Sesin 06Operaciones de funcinComposicin de funcinFunciones inyectivas y sus inversasFunciones crecientes y decrecientes. Aplicaciones.Docente : Alberto Henry Ulloa Lpez Funciones

3. Operaciones de FuncinSean f y g dos funciones y supongamos que Df y Dg denotan los dominios de f y g, respectivamente. definida por: (f + g )(x) = f(x) +g(x) El dominio de f + g es Df Dg

(f g)(x) = f(x) g(x) El dominio de f g es Df Dg

(f/g)(x) = f(x)/g(x) , g(x) 0

El dominio de f /g es Df Dg excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.

Ejemplo 3.1

Sea f(x) = x y g(x) = x . Entonces (f + g) (x) = x + x .

El dominio de f es (,) y el dominio de g es [0, ).

As el dominio de f + g es Df Dg = (-, ) [0, ) = [0, ).

Ejemplo 3.2 Sea f(x) = x3 1 y g(x) = - 4x.

Si x = 3, entonces f(3) = (3)3 1 = 26 y g(3) = 4(3) = 12. As, (f + g) (3) = f(3) + g(3) = 26 12 = 14.

Ejemplo 3.3 Sea f(x) = x +1 y g(x) = x 4 ,entonces (f- g)(x) = f(x) g(x) = x +1 - x 4 .

El dominio de f es [-1, ), y el dominio de g es [4, ).

El dominio de f g es Df Dg = [-1, ) [4, ) = [4, ).

Ejemplo 3.4. Sea f(x) = x 2 y g(x) = x + 2. Entonces (fg)(x) = f(x) g(x) = ( x + 2 )( x - 2) = x2 - 4.

El dominio de f es (, ) y el dominio de g es (, ). Por tanto el dominio de f g es Df Dg = (, ).

Ejemplo 3.5 Sea f(x) = | x | y g(x) = 5.

Entonces (f g)(x) = f(x) g(x) = | x |5. El dominio de f es 3 y el dominio de g es 3.

Entonces el dominio de f g es Df Dg = 3. Si x = -2, Entonces (f g)(-2) = f(-2) g(-2) = |-2|5 = 25 = 10. Ejemplo 3.6. Si f(x) = x + 4 y g(x) = x2 1. Entonces (f/g) (x) = f(x) / g(x) = (x + 4)/(x2 1). El dominio de f y el de g son los nmeros reales. La funcin g(x) = x2 1 es cero para x = 1 y x = -1. Por lo tanto el dominio de f/g es R {-1, 1}

4. Composicion de FuncinSi f es una funcin de X en Y y g es una funcin de Y a Z, entonces la funcin compuesta g o f es la funcin de X a Z dada por:

(g o f)(x) = g(f(x)) para cada x en X.

El dominio de g o f es:

Dgof = {x | x Df y f(x) Dg}

La siguiente figura muestra una representacin geomtrica de (gof) (x) = g(f(x))

Es muy importante hacer notar que para formar la funcin composicin es necesario que el rango de la funcin f sea igual o un subconjunto del dominio de la funcin g.

Ejemplo 4.2

5. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVASFuncin inyectiva Ejemplo de funcin inyectiva. En matemticas, una funcin es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o ms elementos que tengan la misma imagen. As, por ejemplo, la funcin de nmeros reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( 2). Pero si el dominio se restringe a los nmeros positivos, obteniendo as una nueva funcin entonces s se obtiene una funcin inyectiva.

Funcin biyectiva Ejemplo de funcin biyectiva. En matemtica, una funcin es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Formalmente, para ser ms claro se dice que una funcin es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la funcin inyectiva. sumndole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la funcin sobreyectiva.TeoremaSi es una funcin biyectiva, entonces su funcin inversa existe y tambin es biyectiva. Ejemplo La funcin es biyectiva. Luego, su inversa tambin lo es.

Funcin sobreyectiva Ejemplo de funcin sobreyectiva. En matemtica, una funcin es sobreyectiva cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mnimo un elemento de "X".

Qu Funcin es?Porque?

Funciones inversasDada unafuncinf(x), su inversa es otra funcin, designada porf-1(x) de forma que se verifica: sif(a) =b, entoncesf-1(b) =aPasos a seguir para determinar la funcin inversa de una dada:_Despejar lavariableindependientex._Intercambiar laxpor lay, y laypor lax.La funcin as obtenida es la inversa de la funcin dada.Las grficas de dos funciones inversas son simtricas respecto de la bisectriz del 1.ercuadrante y del 3.ercuadrante.

Ejercicio 1:Hallar la funcin inversa dey= 5x- 2, y representar las grficas de ambas funciones en el mismosistemade ejes.Resolucin:

Se intercambian ambas variables:

Ejercicio 2:Hallar la funcin inversa dey=-x+ 4, y representar las grficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.Resolucin:Se despejax : x = -y +4.Se intercambian ambas variables:La funcin dada coincide con su inversa.

y= -x+ 4.

La grafica que se muestra a continuacin sube de A hacia B, mantiene su nivel desde B hasta C y luego desciende desde C hasta D. Se dice que la funcin esta creciendo sobre el intervalo [a,b], que es constante sobre el intervalo [b,c] y que es decreciente sobre el intervalo [c,d]6. Funciones crecientes, decrecientes y constantes

Ejemplo 1A partir de la grafica de la funcin f determinar los intervalos donde f es:CrecimientoDecrecimientoConstante

Para la funcin f, cuyo grfico se muestra, determine: dominio, rango, los intervalos donde la funcin es positiva o negativa y los intervalos de crecimiento y decrecimiento Ejemplo 3

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