Funciones logarítmicas

OBJETIVOS

•Definir e identificar una función logarítmica destacando que es la inversa de la función exponencial, establecer su dominio y rango.

•Conocer las características de la gráfica de una función logarítmica.

•Explorar el cambio gráfico que se produce al modificar la base, los coeficientes y/o el argumento de la función logarítmica utilizando un graficador.

•Graficar una función logarítmica dada y determinar su dominio y rango.

•Modelar situaciones que puedan ser expresadas como una función logarítmica

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Una función logarítmica tiene la forma =𝑦 𝑙𝑜𝑔 ,𝑎 donde se llama base y es un número

real cualquiera positivo distinto de uno.

La función logarítmica de base se define como la inversa de la función exponencial. Es decir el logaritmo de base de un número es el exponente al cual debe elevarse la base para obtener el mismo número , y se define como sigue:

𝑦=𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑥 )⇒𝑎𝑦=𝑥 𝑥>0 ,𝑎>0 𝑦 𝑥≠1         𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑎 𝑑𝑒 𝑥

Ejemplo: encuentra los logaritmos siguientes:

𝑦=𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 ) , 𝑥=8 𝑙𝑜𝑔2 (8 )=3 , 𝑦𝑎𝑞𝑢𝑒23=8

Observa que el hecho de una función sea la inversa de otra, significa que la acción que una de ellas realiza sobre un número la otra función la elimina , es decir:

𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑏𝑥 )=𝑥

Ejercicios…

FUNCIÓN LOGARÍTMICA (INVERSA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL)

Veamos en la grafica con la función es la inversa de la función

𝑓 (𝑥 )=10𝑥 𝑦=𝑥

𝑓 (𝑥 )=𝑙𝑜𝑔10𝑥

Propiedades de los logaritmos

A partir de la definición del logaritmo se tienen las siguientes propiedades:

Propiedad inversa4.

Propiedad uno a uno

Funciones logarítmicas con base b

La función logarítmica se define como la inversa de la función exponencial, por la relación que existe entre ambas. Entonces la función logarítmica se define como:

Si   b   es   la   base   del   logaritmo ,  b >0,  b ≠0  y   y>0,  con   𝑥 y y con n ú meros reales , entonces :𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦=𝑥 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜𝑠𝑖 𝑏𝑥=𝑦

Para graficar esta función lo primero que hacemos es pasar a forma exponencial, y se tabula en .

Ejemplo:

𝑙𝑜𝑔2 𝑥=𝑦 2𝑦=𝑥

0.25 -2

0.50 -1

1 0

2 1

4 2

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

x1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

y

𝑓 (𝑥 )=𝑙𝑜𝑔2(𝑥−3)𝑙𝑜𝑔2 (𝑥−3 )=𝑦

Ejemplo 2.

2𝑦=(𝑥−3)

2𝑦+3=𝑥𝑙𝑎𝑎𝑠í 𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑥=3

3.25 -2

3.50 -1

4 0

5 1

7 2

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

x1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

y

Gráfica de la función logarítmica

•Para representar la función logarítmica distinguiremos dos casos:

1.- Base mayor que 1:

Las funciones de la forma tiene las siguientes propiedades:

Su dominio son los números reales positivos.

Su rango son todos los números reales.

Son continuas y crecientes en todo su dominio.

Sus gráficas pasan por los puntos (1,0) y (a,1)

La recta x = 0 es una asíntota vertical.

La función es negativa para valores de x menores que 1.

La función es positiva para valores de x mayores que 1.

2.-Base entre mayor que cero y menor que uno.

Las funciones de la forma tiene las siguientes propiedades:

Su dominio son los números reales positivos.

Su rango son todos los números reales.

Son continuas y decrecientes en todo su dominio.

Sus gráficas pasan por los puntos (1,0) y (a,1)

La recta x = 0 es una asíntota vertical.

La función es negativa para valores de x mayores que 1.

La función es positiva para valores de x menores que 1.

Actividad 3

Logaritmo natural Como se mencionó previamente la función tiene muchas aplicaciones prácticas

y su función inversa es también importante.

De ahí de dar la importancia de dar la definición de la

función logaritmo natural

𝒇 (𝒙 )=𝒍𝒐𝒈𝒆𝒙=𝒍𝒏𝒙 , 𝒙>𝟎El dominio de la función está expresado en la definición de la misma, los valores de no pueden tomar el valor de cero ni valores negativos. En la gráfica siguiente se muestra el comportamiento del logaritmo natural que sirve de ejemplo para observar lo que ocurre con un logaritmo de cualquier base.

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

x1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

y

𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥)

𝐷𝑓 =(0 ,∞ ) 𝑅𝑓=(−∞ ,∞)

Transformación de una gráfica de la función logaritmo

Corrimiento horizontal

𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥+3)

𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥−3)

𝑓 (𝑥 )=ln 𝑥

Si a la función se modifica de tal manera que el argumento toma la forma de en donde es una constante positiva, se tendrá la nueva función:dando por resultado un corrimiento a la izquierda de la gráfica.

Si se usa un argumento la función será: teniendo un corrimiento a la derecha de la gráfica del logaritmo.

Corrimiento vertical

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥 )+3

𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥 )

𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥 )−3

Si ahora se modifica la función y se le suma una constante quedando se tendrá un corrimiento hacia arriba de la gráfica del logaritmo sobre el eje de coordenadas.

En el caso de el corrimiento será hacia abajo.

Reflexión con respecto al eje x

Es posible lograr la reflexión de la función logaritmo con respecto al eje sólo es necesario hacer:

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥)

𝑓 (𝑥 )=−ln (𝑥)

Reflexión con el eje

1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6

x

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

y

𝑓 (𝑥 )=ln (−𝑥) 𝑓 (𝑥 )=ln (𝑥)

También se puede hacer la reflexión de la función logaritmo con respecto al eje sólo es necesario hacer es decir,

Ejemplos: Grafica la función y encuentra el dominio y el rango de la misma

𝑓 (𝑥 )=2 ln (𝑥 )+5

1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6

x1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1

-2

y

𝐷𝑓 =(0 ,∞)

𝑅𝑓 =(−∞ ,∞)

𝑓 (𝑥 )=−4 ln (−2𝑥 )−3

10 20 30 40 50 60-10-20-30-40-50-60-70

x

10

20

30

40

50

-10

-20

-30

-40

-50

y

ACTIVIDAD 4