FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 1

1

Frazioni e numeri decimali

Def. I numeri razionali sono quozienti fra due numeri naturali e si rappresentano tramite le frazioni. I numeri razionali possono essere:

1. un numero naturale: 10

5= 10 ∶ 5 = 2,0 = 2

2. un numero decimale limitato, cioè con un numero finito di cifre decimali:

3

5= 3 ∶ 5 = 0,6

3. un numero decimale illimitato, cioè con un numero infinito di cifre decimali:

5

3= 5 ∶ 3 = 1,66666666 …

Dalle frazioni ai numeri decimali

N.B.: La frazione deve sempre essere RIDOTTA AI MINIMI TERMINI. Senza eseguire l’operazione è possibile stabilire se una frazione da origine ad un decimale limitato

Frazione decimale: ha come denominatore una potenza di 10 (10, 100, 1000, …). Si può sempre trasformare in un numero decimale limitato.

Esempio: 71

10= 71: 10 = 7,1

243

100= 243: 100 = 2,43

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 2

2

Frazioni ordinarie Regola: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale limitato se il suo DENOMINATORE, scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2 e 5 o solo uno di essi, con le loro potenze. Esempio: 33

200=

33

23∙52 numero decimale limitato

12

50=

6

25=

6

52 numero decimale limitato

13

400=

13

24∙52 numero decimale limitato

Def: un numero PERIODICO ha un gruppo di cifre decimali che si ripetono.

PERIODICO SEMPLICE: si ripetono tutte le cifre dopo la virgola

Es: 3, 214̅̅ ̅̅ ̅ = 3,214214214214214 ….

PERIODICO MISTO: le prime cifre decimali non si ripetono (ANTIPERIODO), le altre si ripetono (PERIODO)

Es: 4,2174̅̅̅̅ = 4,217474747474 …. 21 è antiperiodo 74 è periodo (la parte che si ripete) Regola 2: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico semplice se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene solo fattori diversi da 2 e da 5.

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 3

3

Esempio: 2

33=

2

11∙3 numero decimale periodico

semplice 25

231=

25

3∙7∙11 numero periodico semplice

Regola 3: Una frazione irriducibile si può trasformare in un numero decimale periodico misto se il suo denominatore, scomposto in fattori primi, contiene i fattori primi 2 e 5 (entrambi o solo uno) e altri fattori. Esempio: 7

22=

7

2∙11 numero decimale periodico misto

31

75=

31

3∙52 numero decimale periodico misto

FATTORI PRIMI DEL

DENOMIMATORE

TIPO DI NUMERO DECIMALE

2 e 5, oppure 2, oppure 5

con le loro potenze

DECIMALE LIMITATO

Fattori diversi da 2 e 5 DECIMALE PERIODICO SEMPLICE

2 e/o 5 e altri fattori DECIMALE PERIODICO MISTO

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 4

4

Dai numeri decimali alle frazioni

1) DECIMALI LIMITATI

La frazione generatrice di un numero decimale limitato è la frazione che ha:

per numeratore il numero naturale senza la virgola per denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero. Esempi:

3,219 =3219

1000 0,063 =

63

1000

11,7105 =117′105

10′000

2) DECIMALI ILLIMITATI

La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice ha: per numeratore il numero naturale senza virgola

per denominatore tanti

Esempi:

13, 025̅̅ ̅̅ ̅ =13025 − 13

999=

13012

999

250, 84̅̅̅̅ =25084 − 250

99=

24834

99=

8278

33

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 5

5

La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto ha: per numeratore il numero naturale senza virgola diminuito della parte che precede il periodo; per denominatore e

Esempi:

12,56̅ =1256 − 125

90=

1131

90=

377

30

0,0613̅̅̅̅ =613 − 6

9900=

607

9900

2,315̅̅̅̅ =2315 − 23

990=

2292

990=

1146

495=

382

165

Espressioni con i numeri decimali

Si deve prima trasformare ogni numero decimale in frazione e dopo si svolgono i calcoli. Es. pag. 24 n. 147

0,5 +2

3− (1 − 0,75) ∙ 0,5 + 5 ∙ (3 −

5

3) ∙ (7 −

23

8) +

1

3− 27,5 + 1,125 =

si trasformano tutti i decimali in frazioni 5

10+

2

3−

25

100∙

5

10+

5

1∙

4

3∙

33

8+

1

3−

275

10+

1125

1000=

1

2+

2

3−

1

4∙

1

2+

5

1∙

1

1∙

11

2+

1

3−

55

2+

9

8=

1

2+

2

3−

1

8+

55

2+

1

3−

55

2+

9

8=

12 + 16 − 3 + 8 + 27

24=

60

24=

5

2

FRAZIONI E NUMERI DECIMALI 6

6

Esempio: (1, 1̅ + 2, 2̅ + 3, 3̅) ∙ 0,6 = Trasformare ogni numero in FRAZIONE

(11 − 1

9+

22 − 2

9+

33 − 3

9) ∙

6

10=

(10

9+

20

9+

30

9) ∙

3

5=

(10 + 20 + 30

9) ∙

3

5=

60

9∙

3

5 =

12

3= 4