Teorija skupova

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Svibanj 2021.

Nastanak teorije skupova

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Beskonacnost?!

Vec u antici su se idejom beskonacnosti bavili ne samo filozofi iteolozi, nego i matematicari: Zenonovi paradoksi; Eudoksovametoda ekshaustije; Aristotel je razlikovao aktualnu i potencijalnubeskonacnost i samo potonju smatra realno mogucom.U srednjem vijeku tom su se temom bavili npr. Toma Akvinski(13. st.) i Thomas Bradwardine (ca. 1295–1349), koji je smatraoda su kontinuirane velicine sastavljene od beskonacno mnogoistovrsnih kontinuiranih velicina.Renesansa – Galileo – Prva pojava osnovnog svojstva beskonacnihskupova: Beskonacan skup je ekvipotentan nekom svom pravompodskupu. Galileo je primijetio da za beskonacne velicine vrijededruga pravila nego za konacne, iz cega je vidljivo da prihvacaegzistenciju beskonacnih skupova. Ipak, do 19. st. mnogi cematematicari smatrati da beskonacni skupovi ne postoje.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Primjer (Boskovicev paradoks, 18. st.)

Promotrimo kut CBA sa simetralom BD. Ako jedan od tako dobivenihdijelova ravnine ima beskonacnu povrsinu, isto vrijedi i za drugi.Kroz C na jednom kraku povucimo paralelu s drugim krakom i neka onasimetralu sijece u D. Na CD nademo E koja je od D dvaput vise udaljenanego C od D. Povlacimo paralele cde s CDE i tako dijelimo kut CBE napruge. Zbog odabira E je 4dBe dvaput vece povrsine nego 4cBd . Stogaje cetverokut dDEe dvaput vece povrsine nego cCDd . To vrijedi za svecde, dakle dio ravnine unutar kuta CBD ima upola manju povrsinu negounutar DBE , koji je manji od onog unutar DBA koji je jednak CBD?!

B

A

D d

C

E

c

e

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Bernhard Bolzano (1781.–1848.)

Istrazivao je takve prividne paradokse na temelju vise primjera.Tako je nasao vise primjera beskonacnih skupova s bijekcijom naneki pravi podskup, npr. 〈0, 1〉 ∼ 〈0, 2〉.Bolzanov tekst Paradoxien des Unendlichen objavljen je posthumno1851. Tu se po prvi put pojavljuje pojam

”skup”.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Primjer (Bolzanovo objasnjenje Galileovog paradoksa)

Gledamo �ABCD i ucrtamo cetvrt kruznice oko A s polumjerom |AB|.

A B

CD R

P

N

M

Paralela s AD sijece kvadrat u P i R, dijagonalu AC u N i luk kruznice uM. Ako se PR priblizava k AD, krug polumjera |PN| se smanjuje dok neostane samo tocka A. Pritom prsten izmedu kruznica s polumjerima|PM| i |PR| postaje sve tanji i prelazi u kruznicu polumjera |AC |. No, zasvaki PR vrijedi i |PN|2 = |PR|2 − |PM|2. Znaci li to da tocka A imapovrsinu kao krug polumjera |AC |? Ne! Bolzano je pokazao da tocka kaoi kruznica imaju povrsinu nula – broj tocaka u figuri ne odreduje njezinupovrsinu.

No, pravi poticaj je dosao vezano za preciziranje uvjetakonvergencije trigonometrijskih redova . . .

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845.–1918.)

Roden u St. Petersburgu. Kad je imao 11 godina, obitelj seodselila u Njemacku. Studirao je matematiku u Zurichu i uBerlinu. U Berlinu su mu medu profesorima bili Weierstraß iKronecker. Doktorirao je 1867. s temom iz teorije brojeva. Isprvaje radio u skoli za djevojcice, a onda se 1869. zaposlio nasveucilistu u Halleu. Tu ga je za matematicku analizu zainteresiraoHeinrich Edouard Heine (1821.–1881.), poznat po uvodenju pojmauniformne neprekidnosti funkcije, Heineovoj definiciji neprekidnostifunkcije i Heine-Borelovom teoremu (podskup Rn je kompaktanako i samo ako je zatvoren i ogranicen). U doba kad je Cantordosao u Halle bavio se pitanjem jedinstvenosti reprezentacijefunkcije svojim Fourierovim redom. Cantor je tako provjeravajucirazne uvjete tipa

”konvergira do na . . . skup” poceo razmatrati

precizniji opis linearnog kontinuuma realnih brojeva.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Cantor je 1870. definirao realne brojeve kao klase ekvivalencijeCauchyjevih nizova racionalnih brojeva i dokazao bijekciju stockama pravca. Pritom je definirao i mnoge topoloske pojmove(okolina, gomiliste skupa, . . . ) i dobio novi uvjet jedinstvenostireprezentacije funkcije Fourierovim redom.Tako se Cantor poceo pomalo detaljnije posvecivati skupu R iopcenito beskonacnim skupovima. Naravno, potrebu preciznijedefinicije realnih brojeva nije primijetio samo on.Godine 1872. sprijateljio se s Richardom Dedekindom (1831–1916),koji se takoder bavio definiranjem realnih brojeva.Dedekind – Precizna definicija kontinuuma R: Dedekindovi rezovi1872. (A ∩ B = ∅, A ∪ B = Q, A nema najveci element, ∀x ∈ A∀y ∈ B x < y) u Q precizno definiraju iracionalne brojeve, npr.

√2

je broj definiran rezom A = {x ∈ Q : x2 < 2};B = {x ∈ Q : x2 > 2}.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Tijekom 1873 Cantor je dokazao ekvipotentnost N s Z. Pritom jekoristio svojstvo koje je ocigledno tocno za konacne skupove – dvaskupa su ekvipotentna (imaju jednako mnogo elemenata) akopostoji bijekcija s jednog na drugi. To je svojstvo kasnije istaknuo ikao definiciju. Primijetimo: Skup je ekvipotentan (jednakobrojan)sa N tocno ako se njegove elemente moze poredati u niz. Skupoviekvipotentni N nazivaju se prebrojivim skupovima, a njihovkardinalni broj oznacava se s ℵ0 (alef-nula). I naziv i oznakapotjecu iz kasnijih Cantorovih tekstova.Iste godine je dokazao i prebrojivost skupa Q. Danas prebrojivostQ+ dokazujemo pomocu dijagrama

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

11

21

12

13

22

31

41

32

23

14

24

34

44

33

43

42

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

......

......

iz kojeg se vidi da se svi pozitivni racionalni brojevi mogu poredatiu niz.Ove se ideje obicno prepricavaju kao Hilbertov hotel (DavidHilbert ga je ispricao na jednom predavanju 1924., a prica jepostala popularna 1947. knjigom G. Gamowa One, Two, Three. . . Infinity).Cantor je 1873. dokazao i da je skup svih algebarskih brojevaprebrojiv. Jesu li mozda svi beskonacni skupovi prebrojivi? Nisu!

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Neprebrojivi skupovi

Mnogi trenutak Cantorovog dokaza da skup R nije ekvipotentan sN uzimaju kao rodenje teorije skupova. Bilo je to u prosincu 1873.,a objavljeno je 1874. u Crelles Journal.Ubrzo su Cantorovi rezultati postali kontroverzni – tek 1844. jeLiouville dokazao da transcendentni brojevi postoje, 1873. jeHermite dokazao da je e transcentdentan, a iz Cantorovogrezultata slijedi da ih ima neprebrojivo mnogo!1877. Vidim, ali ne vjerujem!: Duzina i kvadrat i kocka suekvipotentni! No, ima li dimenzija onda smisla? Brouwer je1912. dokazao da ima – izmedu prostora razlicite (konacne)dimenzije doduse postoji bijekcija, ali ne neprekidna. U clanku1877. Cantor precizira pojam ekvipotentnosti, uvodi oznaku ∼,dokazuje da su prebrojivi skupovi najmanji beskonacni skupovi, . . .

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Kontroverzi oko Cantorovih rezultata najvise je doprinijeo tadasnjiizdavac Crelle’s Journal-a, Leopold Kronecker (1823–1891).Posljednji spomenuti clanak objavio je tek nakon intervencijeDedekinda i Weierstraßa. Glavni razlog njegova protivljenja bilo jenjegovo konstruktivisticko uvjerenje: priznaju se samo dokazipostojanja nekog matematickog objekta koji daju eksplicitni nacinkonstrukcije tog objekta u konacno mnogo koraka.Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere istMenschenwerk.1879–1884 Cantor je u Mathematische Annalen objavio 6 clanaka sdetaljnim opisom svoje teorije skupova. Tu uvodi i dobro uredeneskupove, ordinalne brojeve i njihovu aritmetiku. Najmanjibeskonacni ordinalni broj je onaj od N sa standardnim uredajem: ω.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Hipoteza kontinuuma

1894. Cantor je dozivio prvi napad depresije – sukob sKroneckerom? Vjerojatnije: problemi u meduljudskim odnosima imatematicke brige, posebno neuspjesni pokusaji dokaza hipotezekontinuuma:

ℵ0 je najmanji beskonacni kardinalni broj;

on je manji od kardinalnog broja skupa R (c);

ima li koji izmedu?

HK: nema – ℵ1 = c?!

2ℵ0 = ℵ1?

U to doba je imao poteskoca i s dobivanjem mjesta u Berlinu te senapadi depresije pocinju ponavljati. Ipak, 1895–97 objavio jedvodijelni pregled svoje teorije skupova s prosirenjima.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Dijagonalni argument

Najpoznatiji rezultat ove druge faze je

Teorem (Osnovni Cantorov teorem teorije skupova)

Svaki skup ima manje elemenata nego njegov partitivni skup.

Dokaz.A 3 x 7→ {x} ∈ P(A) je ocito injekcija, dakle skup A nema viseelemenata nego P(A).Pretpostavimo da postoji surjekcija f : A→ P(A). Neka jeM = {x ∈ A : x /∈ f (x)}. Ocito M ∈ P(A). Zbog surjektivnostipostoji a ∈ A t.d. f (a) = M. Ili je a ∈ M ili a /∈ M. Ako da, podefiniciji M, a /∈ f (a) = M i obrnuto ako a /∈ M, onda a ∈ M.Posljedica: Postoji beskonacno mnogo razlicitih beskonacnosti.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Varijanta gornjeg dijagonalnog postupka koristi se u dokazuneprebrojivosti skupa R ∼ 〈0, 1〉 (Cantor, 1891).Pretpostavimo 〈0, 1〉 ∼ N, dakle se svi brojevi iz 〈0, 1〉 mogunabrojati kao niz, u svom decimalnom zapisu (jedinstven akozahtijevamo beskonacno mnogo nenul znamenki):

x1 = 0,7528752 . . .

x2 = 0,5038567 . . .

x3 = 0,1193453 . . .

x4 = 0,2553602 . . ....

(1)

Broj x = 0,a1a2a3 . . . ∈ 〈0, 1〉, za koji je ai = 9 uvijek osim ako jei-ta znamenka od xi jednaka 9, u kom slucaju uzimamo ai = 8(gore: x = 0,9989 . . .) je u 〈0, 1〉, ali nije u nizu!

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

1890-ih Cantor se pokusao pomiriti s Kroneckerom te ga je pozvaona prvi sastanak Deutsche Mathematische Vereinigung 1891.Kronecker nije mogao doci na taj sastanak zbog smrti supruge, aubrzo zatim je i sam umro. Godine 1896. Cantoru je umrla majka,a 1899. mladi brat i najmladi sin.S vremenom su se napadi depresije sve cesce pojavljivali i poceo sesve ekscentricnije ponasati. Tako je u svojim

”mracnim” fazama

bio skloniji baviti se filozofijom i teorijom da je Roger Baconnapisao Shakespeareove drame, nego matematikom. Objavio je iradove o toj teoriji, a kad je 1911. kao ugledan znanstvenik biopozvan na 500. obljetnicu sveucilista St. Andrews u Skotskojgovorio je uglavnom o teoriji Shakespeare-Bacon. Nakon sto je urazdoblju 1900.–1910. cesto zbog boravaka u sanatorijima bioodsutan s posla, povukao se u mirovinu 1913. Posljednje godinezivota proveo je slabo ishranjen zbog ratnih uvjeta, a umro je odsrcanog udaru u sanatoriju u Halleu 1918.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Napomenimo ovdje da je najpoznatiji simbol iz teorije skupova,znak ∈ za

”je element skupa” te znakove ∩ i ∪ za presjek i uniju

skupova uveo Giuseppe Peano 1888./9.Peano je ujedno prvi koji je eksplicitno spomenuo koristenje tvrdnjepoznate kao aksiom izbora, koju je implicitno vec ranije koristioCantor:Za bilo kakvu familiju1 medusobno disjunktnih skupova postojiskup koji sa svakim skupom te familije ima tocno jedan zajednickielement.

1Uobicajen termin kad se govori o skupu ciji elementi su skupovi je da je tofamilija skupova.

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Paradoksi i aksiomatizacija

1897.: Burali-Fortijev paradoks: Klasa svih ordinalnih brojeva nijeskup.1899.: Cantorov paradoks: Klasa svih skupova nije skup.1902.: Russellov paradoks: A = {x : x /∈ x} nije skup.Je li Kronecker bio u pravu? No, u to doba teorija skupova vec je imalavelike posljedice na druge matematicke discipline (npr. temelj je teorijemjere). Kako maknuti paradokse? Potjecu li mozda od aksioma izbora?Npr. iz aksioma izbora slijedi paradoks Banacha i Taskog: Kugla se mozerastaviti na konacno mnogo dijelova iz kojih se mogu sastaviti dvije kuglejednakog volumena.Ernst Zermelo (1871–1956) i Emile Borel (1871–1956) su pokazali da jeAI ekvivalentan tvrdnji koju je koristio vec Cantor: Svaki skup se mozedobro urediti. Bertrand Russell s Alfred North Whiteheadom(1861–1947) izdao Principia Mathematica s ciljem svodenja citavematematike na logiku, no ni to nije pomoglo. Rjesenje je:

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

Aksiomatizacija teorije skupova

1908. je Zermelo prvi pokusao aksiomatizirati teoriju skupova. Tajprvi sustav aksioma doradili su drugi matematicari sve dok1922. nije dobiven danas uobicajeni sustav aksioma (poznat kaoZermelo-Fraenkelovi aksiomi teorije skupova). On s jedne straneonemogucuje pojavu paradoksa, a s druge strane omogucujekoristenje svih Cantorovih rezultata teorije skupova.Tom sustavu se danas u pravilu kao aksiom dodaje aksiom izboraza kojega je 1940. Kurt Godel dokazao da se ne moze opovrgnutikoristeci ostale aksiome teorije skupova, a 1963. je Paul Cohenpokazao da je aksiom izbora nezavisan od ostalih aksioma teorijeskupova. Za kraj napomenimo da i hipotezu kontinuuma nijemoguce ni dokazati ni opovrgnuti koristeci Zermelo-Fraenkelovsustav aksioma (bilo sa bilo bez aksioma izbora).

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

Teorija skupova

”Iz raja kojeg nam je stvorio Cantor nece nas nitko moci istjerati”

(D. Hilbert)

”Bit matematike je u njezinoj slobodi” (G. Cantor)

Slika: c© FMB 1999 (CC BY-NC-ND)

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike