Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat01-2017.pdf · 3 Anti cka Gr cka { helenizam 4 Anti cka Gr cka { postklasi cno razdoblje 5 Srednjevjekovni

Uvod Pramatematika Stari Egipat Mezopotamija Kina

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Ozujak 2018.

http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike

http://prelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/


Koji su najpoznatiji matematicari koje poznate? Kad suzivjeli?

Otkad se ljudi bave matematikom? Koje su najranije pojavematematike?Otkad se tvrdnje u matematici dokazuju? Tko je to prvi radio?Koja su glavna razdoblja matematicke povijesti?Koje matematicke discipline znate? Kad su otprilike nastale?

Slika: c© FMB 1999 (CC BY-NC-ND)


Povijest matematike


Koji su najpoznatiji matematicari koje poznate? Kad suzivjeli?Otkad se ljudi bave matematikom? Koje su najranije pojavematematike?

Otkad se tvrdnje u matematici dokazuju? Tko je to prvi radio?Koja su glavna razdoblja matematicke povijesti?Koje matematicke discipline znate? Kad su otprilike nastale?



Povijest matematike


Koji su najpoznatiji matematicari koje poznate? Kad suzivjeli?Otkad se ljudi bave matematikom? Koje su najranije pojavematematike?Otkad se tvrdnje u matematici dokazuju? Tko je to prvi radio?

Koja su glavna razdoblja matematicke povijesti?Koje matematicke discipline znate? Kad su otprilike nastale?



Povijest matematike


Koji su najpoznatiji matematicari koje poznate? Kad suzivjeli?Otkad se ljudi bave matematikom? Koje su najranije pojavematematike?Otkad se tvrdnje u matematici dokazuju? Tko je to prvi radio?Koja su glavna razdoblja matematicke povijesti?

Koje matematicke discipline znate? Kad su otprilike nastale?



Povijest matematike


Koji su najpoznatiji matematicari koje poznate? Kad suzivjeli?Otkad se ljudi bave matematikom? Koje su najranije pojavematematike?Otkad se tvrdnje u matematici dokazuju? Tko je to prvi radio?Koja su glavna razdoblja matematicke povijesti?Koje matematicke discipline znate? Kad su otprilike nastale?



Povijest matematike


Koji su najpoznatiji matematicari koje poznate? Kad suzivjeli?Otkad se ljudi bave matematikom? Koje su najranije pojavematematike?Otkad se tvrdnje u matematici dokazuju? Tko je to prvi radio?Koja su glavna razdoblja matematicke povijesti?Koje matematicke discipline znate? Kad su otprilike nastale?



Povijest matematike


Plan gradiva po tjednima

1 Pramatematika; Egipat i Mezopotamija; Indija i Kina2 Anticka Grcka – jonsko i atensko razdoblje3 Anticka Grcka – helenizam4 Anticka Grcka – postklasicno razdoblje5 Srednjevjekovni muslimanski svijet, srednji vijek u Europi6 Renesansa7 Aritmetika i teorija brojeva8 Geometrija9 Algebra10 Matematicka analiza11 Vjerojatnost i statistika12 Topologija, matematicka logika i teorija skupova13 Numericka matematika; pregled razvoja


Povijest matematike


Pramatematika

Sto mislite, koje su prve pojave matematike?

Poceci matematikevezani su uz brojanje i geometrijske uzorke te mjere i mjeriteljstvo.Najranije tragove matematike mozemo naci u obliku zareza ukostima i kamenju (rovasi), te kao ornamente na glinenimposudama iz razdoblja pred vise od 30.000 godina.Dva najpoznatija izvora pra-matematike potjecu iz Afrike:

kost iz Lebomba (stara oko 43.000 godina) i

kost iz Isanga (stara oko 20.000 godina).

Kako nazivamo doba povijesti iz kojeg potjecu ti najstarijimatematicki izvori? Kasnija pomagala za biljezenje brojeva bili su izetoni te u juznoj Americi uzad s cvorovima (quipu).

Prva pomagala za racunanje bili su pak prsti (Aristotel: brojanjepo deset). Racunanje se sa sigurnoscu moze dokazati tek prijeca. 4000 godina.


Povijest matematike

http://originalpeople.org/ishango-bone-worlds-oldest-math-tool/

https://afrolegends.com/2013/08/29/the-ishango-bone-craddle-of-mathematics/

https://sites.utexas.edu/dsb/tokens/tokens/


Pramatematika

Sto mislite, koje su prve pojave matematike? Poceci matematikevezani su uz

brojanje i geometrijske uzorke te mjere i mjeriteljstvo.Najranije tragove matematike mozemo naci u obliku zareza ukostima i kamenju (rovasi), te kao ornamente na glinenimposudama iz razdoblja pred vise od 30.000 godina.Dva najpoznatija izvora pra-matematike potjecu iz Afrike:






Povijest matematike





Pramatematika

Sto mislite, koje su prve pojave matematike? Poceci matematikevezani su uz brojanje i geometrijske uzorke te mjere i mjeriteljstvo.Najranije tragove matematike mozemo naci u obliku zareza ukostima i kamenju (rovasi), te kao ornamente na glinenimposudama iz razdoblja pred vise od 30.000 godina.Dva najpoznatija izvora pra-matematike potjecu iz Afrike:



Kako nazivamo doba povijesti iz kojeg potjecu ti najstarijimatematicki izvori?

Kasnija pomagala za biljezenje brojeva bili su izetoni te u juznoj Americi uzad s cvorovima (quipu).



Povijest matematike





Pramatematika





Prva pomagala za racunanje bili su pak

prsti (Aristotel: brojanjepo deset). Racunanje se sa sigurnoscu moze dokazati tek prijeca. 4000 godina.


Povijest matematike





Pramatematika







Povijest matematike





Staroegipatska matematika: izvori

Najstariji izvori potjecu iz doba tzv. srednjeg carstva (2040.–1794.).

Dva najpoznatija su Rhindov i Moskovski papirus .Rhindov papirus napisao je pisar Ahmes, ca. 1650.pr.Kr. AlexanderHenry Rhind ga je kupio 1858. u Luxoru. Danas je u BritishMuseum u Londonu. Moskovski papirus potjece iz ca. 1850.pr.Kr.V. S. Goleniscev ga je 1893. donio u Moskvu. Uz njih poznati su iLondonski kozni svitak iz istog doba te kasniji papirus Kairo.Biljezenje brojeva u Egiptu potjece iz jos starijeg doba.Hijeroglifski brojevni sustav : dekadski, aditivan, nepozicijski

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

| 2 3 4 5 6 7

hijeratske brojke (kasnije su se iz njih razvile demotske)


Povijest matematike

http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=110036&partId=1

https://themathematicaltourist.wordpress.com/2012/10/19/moscow-mathematical-papyrus/

https://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_Mathematical_Leather_Roll

http://discoveringegypt.com/egyptian-hieroglyphic-writing/egyptian-mathematics-numbers-hieroglyphs/

https://www.britannica.com/topic/hieratic-numeral


Staroegipatska matematika: izvori

Najstariji izvori potjecu iz doba tzv. srednjeg carstva (2040.–1794.).

Dva najpoznatija su Rhindov i Moskovski papirus .Rhindov papirus napisao je pisar Ahmes, ca. 1650.pr.Kr. AlexanderHenry Rhind ga je kupio 1858. u Luxoru. Danas je u BritishMuseum u Londonu. Moskovski papirus potjece iz ca. 1850.pr.Kr.V. S. Goleniscev ga je 1893. donio u Moskvu. Uz njih poznati su iLondonski kozni svitak iz istog doba te kasniji papirus Kairo.Biljezenje brojeva u Egiptu potjece iz jos starijeg doba.Hijeroglifski brojevni sustav : dekadski, aditivan, nepozicijski

1 10 100 1000 10000 100000 1000000

| 2 3 4 5 6 7hijeratske brojke (kasnije su se iz njih razvile demotske)


Povijest matematike

http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=110036&partId=1

https://themathematicaltourist.wordpress.com/2012/10/19/moscow-mathematical-papyrus/

https://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_Mathematical_Leather_Roll

http://discoveringegypt.com/egyptian-hieroglyphic-writing/egyptian-mathematics-numbers-hieroglyphs/

https://www.britannica.com/topic/hieratic-numeral


Egipatski razlomci

jedinicni razlomci

specijalni znak samo za 23

hijeroglifska notacija: r iznad brojke koja predstavljanazivnik

u Rhindovom papirusu: tablica razlomaka tipa 22n+1 kao

jedinicnih (nije jasna metoda, ali izbjegava 2/n = 1/n + 1/n)

moze li se svaki pozitivan razlomak zapisati kao zbrojjedinicnih?

kako biste nasli takav zapis?

je li takav zapis jedinstven?


Povijest matematike


Egipatski razlomci

jedinicni razlomci









Povijest matematike


Egipatski razlomci

jedinicni razlomci









Povijest matematike


Fibonaccijev teorem o egipatskim razlomcima

Teorem

Svaki se pozitivan razlomak moze prikazati kao konacan zbrojjedinicnih razlomaka.

Formalno za dokaz treba:

Lema (James Joseph Sylvester (1814.–1897.))

Neka je pq bilo kakav razlomak manji od 1 koji nije jedinicni. Neka

je 1n najveci jedinicni razlomak manji od p

q . Tada je pq −

1n = r

qnrazlomak sa svojstvom r < p.

Zapravo vrijedi

Teorem

Svaki pozitivan razlomak ima beskonacno mnogo egipatskih zapisa.


Povijest matematike


Fibonaccijev teorem o egipatskim razlomcima

Teorem

Svaki se pozitivan razlomak moze prikazati kao konacan zbrojjedinicnih razlomaka.

Formalno za dokaz treba:

Lema (James Joseph Sylvester (1814.–1897.))

Neka je pq bilo kakav razlomak manji od 1 koji nije jedinicni. Neka

je 1n najveci jedinicni razlomak manji od p

q . Tada je pq −

1n = r

qnrazlomak sa svojstvom r < p.

Zapravo vrijedi

Teorem

Svaki pozitivan razlomak ima beskonacno mnogo egipatskih zapisa.


Povijest matematike


Staroegipatska aritmetika

Zbrajanje i dijeljenje – pregrupiranjem simbola.

Mnozenje:

1 722 1444 2888 576

16 1152

25 · 72 = 72 +576 + 1152 =1800

Dijeljenje: analogno

184 17

17 134 268 4

136 8

Sad: 184− 136 = 48,48− 34 = 14 < 17. Dakle184 : 178 + 2 = 10 i ostatak 14 (i 14

17).


Povijest matematike


Staroegipatska aritmetika

Zbrajanje i dijeljenje – pregrupiranjem simbola.

Mnozenje:

1 722 1444 2888 576

16 1152

25 · 72 = 72 +576 + 1152 =1800

Dijeljenje: analogno

184 17

17 134 268 4

136 8

Sad: 184− 136 = 48,48− 34 = 14 < 17. Dakle184 : 178 + 2 = 10 i ostatak 14 (i 14

17).


Povijest matematike


Algebarski zadaci starih Egipcana

RP31

Hrpa, njene dvije trecine, njena polovina i njena sedmina cine 33.Koliko sadrzi hrpa?

Uz zadatke s”hrpama”, tipicni su i zadaci s omjerima pefsu koji

pokazuju kvalitetu piva/kruha (pefsu je omjer kolicina dobivenogkruha/piva i utrosenog zita).

RP77

Receno ti je , da 10 des pive (pefsu 2) treba zamijeniti za kruhove(pefsu 5). Koliko kruhova ce biti?

2 pefsu =10 des

5 hekat, 5 pefsu =

x des

5 hekat

1 hekat ≈ 4,8 L.


Povijest matematike



RP31




RP77


2 pefsu =10 des

5 hekat, 5 pefsu =

x des

5 hekat

1 hekat ≈ 4,8 L.


Povijest matematike



RP31




RP77


2 pefsu =10 des

5 hekat, 5 pefsu =

x des

5 hekat

1 hekat ≈ 4,8 L.


Povijest matematike



RP31




RP77


2 pefsu =10 des

5 hekat, 5 pefsu =

x des

5 hekat

1 hekat ≈ 4,8 L.


Povijest matematike


Geometrija u starih Egipcana

RP41

Koji je volumen valjkastog silosa za zito promjera 9 i visine 10?Oduzmi 1

9 od 9. Ostaje 8. Pomnozi 8 s 8, dobijes 64. Pomnozi 64s 10, to je 640 kubicnih kubita.a

a1 kubit ≈ 52,3 cm.

Kako dakle procjenjuju povrsinu kruga? Kojoj aproksimaciji za πto odgovara?

14. zadatak u MPEgipcanima je bila jako vazna zemljopisna orijentacija hramova.Smjer sjever-jug utvrdivali su promatranjem tocaka na horizontugdje neka zvijezda izlazi i zalazi, a zatim se pomocu konopa

(3, 4, 5) utvrdivao smjer istok-zapad. Tek papirus Kairo (izca. 300.pr.Kr.) navodi i trojke (5, 12, 13) i (20, 21, 29).


Povijest matematike

http://numberwarrior.wordpress.com/2008/03/05/on-the-egyptian-value-for-pi/

https://www.jstor.org/stable/3854850?seq=1#page_scan_tab_contents

https://www.slideshare.net/sdlandau/the-egyptian-rope-stretchers



RP41




Kako dakle procjenjuju povrsinu kruga? Kojoj aproksimaciji za πto odgovara?14. zadatak u MP

Egipcanima je bila jako vazna zemljopisna orijentacija hramova.Smjer sjever-jug utvrdivali su promatranjem tocaka na horizontugdje neka zvijezda izlazi i zalazi, a zatim se pomocu konopa



Povijest matematike






RP41




Kako dakle procjenjuju povrsinu kruga? Kojoj aproksimaciji za πto odgovara?14. zadatak u MP

Egipcanima je bila jako vazna zemljopisna orijentacija hramova.Smjer sjever-jug utvrdivali su promatranjem tocaka na horizontugdje neka zvijezda izlazi i zalazi, a zatim se pomocu konopa



Povijest matematike





Glavne karakteristike staroegipatske matematike

matematika nastala iz prakticnih potreba drzavnih sluzbenika:mjeriteljstvo, gradevina, skladistenje, porezi, . . .

zadaci i rjesenja, bez postupaka i generalizacije

prirodni brojevi i pozitivni razlomci (ne kao apstraktni objekti)

cetiri osnovne operacije te√.

konacni aritmeticki i geometrijski nizovi

linearne jednadzbe s jednom nepoznanicom te cisto kvadratnejednadzbe

povrsine (trokut, pravokutnik, trapez, krug) i volumeni(kocka, kvadar, valjak, krnja kvadratna piramida)

smatra se da je geometrija egipatskog porijekla


Povijest matematike


Mezopotamija

Zasto odande imamo vise sacuvanih izvora?

U podrucjuMezopotamije tijekom prva tri tisucljeca izmijenili su se razlicitidominantni narodi (Sumerani, Akadani, Babilonci, Asirci,Perzijanci), no od ca. 2500.pr.Kr. svi su koristili varijante klinastogapisma te su iz tog razdoblja sacuvane mnoge glinene plocice, odkojih stotinjak imaju matematicke sadrzaje (tablice, zadatke).Najvise ih je iz starobabilonskog carstva (ca. 1900.–1600. pr.Kr.).Dvije najpoznatije su

YBC 7289 s vrlo dobrom aproksimacijom√

2 i

Plimpton 322 s tablicom pitagorejskih trojki.

Nedavno je otkrivena i jedna plocica na kojoj se moze naci ranioblik primjene trapezne formule. Cesto se cuje ili procita da suSumerani odnosno Babilonci koristili sustav s bazom 60, ali . . .


Povijest matematike

http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/the-best-known-old-babylonian-tablet

http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html

http://www.sciencemag.org/news/2016/01/math-whizzes-ancient-babylon-figured-out-forerunner-calculus


Mezopotamija

Zasto odande imamo vise sacuvanih izvora? U podrucjuMezopotamije tijekom prva tri tisucljeca izmijenili su se razlicitidominantni narodi (Sumerani, Akadani, Babilonci, Asirci,Perzijanci), no od ca. 2500.pr.Kr. svi su koristili varijante klinastogapisma te su iz tog razdoblja sacuvane mnoge glinene plocice, odkojih stotinjak imaju matematicke sadrzaje (tablice, zadatke).Najvise ih je iz starobabilonskog carstva (ca. 1900.–1600. pr.Kr.).Dvije najpoznatije su


2 i


Nedavno je otkrivena i jedna plocica na kojoj se moze naci ranioblik primjene trapezne formule.

Cesto se cuje ili procita da suSumerani odnosno Babilonci koristili sustav s bazom 60, ali . . .


Povijest matematike





Mezopotamija

Zasto odande imamo vise sacuvanih izvora? U podrucjuMezopotamije tijekom prva tri tisucljeca izmijenili su se razlicitidominantni narodi (Sumerani, Akadani, Babilonci, Asirci,Perzijanci), no od ca. 2500.pr.Kr. svi su koristili varijante klinastogapisma te su iz tog razdoblja sacuvane mnoge glinene plocice, odkojih stotinjak imaju matematicke sadrzaje (tablice, zadatke).Najvise ih je iz starobabilonskog carstva (ca. 1900.–1600. pr.Kr.).Dvije najpoznatije su


2 i


Nedavno je otkrivena i jedna plocica na kojoj se moze naci ranioblik primjene trapezne formule. Cesto se cuje ili procita da suSumerani odnosno Babilonci koristili sustav s bazom 60, ali . . .


Povijest matematike





Razvoj brojki u Mezopotamiji

Izvor: The comparative history of numerical notation

Klasicni babilonski brojevni sustav


Povijest matematike

http://digitool.library.mcgill.ca/R/?func=dbin-jump-full&object_id=19493&local_base=GEN01-MCG02

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Diagrams/Babylonian_symbols.gif


Razvoj brojki u Mezopotamiji

Izvor: The comparative history of numerical notationKlasicni babilonski brojevni sustav


Povijest matematike

http://digitool.library.mcgill.ca/R/?func=dbin-jump-full&object_id=19493&local_base=GEN01-MCG02

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Diagrams/Babylonian_symbols.gif


Aritmetika

Mane babilonskog brojevnog sustava?

Ipak, to je prvi pozicijskisustav u povijesti i za znanstveno racunanje je sve do indoarapskogbio najpogodniji!Mnozenje su Babilonci olaksavali postupcima koji su ekvivalentniformulama

ab =(a + b)2 − a2 − b2

2i

ab =(a + b)2

4− (a− b)2

4pa je za mnozenje brojeva potrebna samo tablica kvadratnihbrojeva. Dijeljenje se svodilo na mnozenje s reciprocnim brojem.

Zadatak

Zapisite razlomke 1748 na staroegipatski i babilonski nacin!


Povijest matematike

http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2012-05


Aritmetika

Mane babilonskog brojevnog sustava? Ipak, to je prvi pozicijskisustav u povijesti i za znanstveno racunanje je sve do indoarapskogbio najpogodniji!Mnozenje su Babilonci olaksavali postupcima koji su ekvivalentniformulama

ab =(a + b)2 − a2 − b2

2i

ab =(a + b)2

4− (a− b)2

4pa je za mnozenje brojeva potrebna samo tablica kvadratnihbrojeva. Dijeljenje se svodilo na mnozenje s reciprocnim brojem.

Zadatak

Zapisite razlomke 1748 na staroegipatski i babilonski nacin!


Povijest matematike

http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2012-05


Algebarski zadaci

Mnoge plocice sadrze zadatke koji se svode na linearne i kvadratne,cak i kubne jednadzbe i njihove sustave.

BM 13 901

Povrsinu i moje nasuprotno skupio sam i dobio 0;45.

x2 + x = 45/60

BM 13 901

Zbrojio sam povrsine obiju mojih strana i dobio 0;25,25. Strana je2/3 strane i 0;5.

x2 + y2 =61

144, y =

2

3x +

1

12


Povijest matematike


Algebarski zadaci


BM 13 901


x2 + x = 45/60

BM 13 901


x2 + y2 =61

144, y =

2

3x +

1

12


Povijest matematike


Algebarski zadaci


BM 13 901


x2 + x = 45/60

BM 13 901


x2 + y2 =61

144, y =

2

3x +

1

12


Povijest matematike


Geometrija

Terminologija: Pravokutnik je”ono sto ima duljinu i sirinu”, trapez

je”bikovo celo”, krug je

”zakrivljenost”, . . .

Iza 700. pr.Kr. (dakle, u asirskom i novobabilonskom carstvu)bitno se razvila matematicka astronomija. U nekim seastronomskim tablicama mogu naci zaceci predznaka (

”tab/lal”).

Aproksimacije povrsine i opsega kruga najcesce se svode na π ≈ 3,ponekad π ≈ 31

8 . Tako jedna plocica iz razdoblja1900.–1600.pr.Kr. tvrdi da je opseg pravilnog sesterokuta jednaka24/25 opsega tom sesterokutu opisane kruznice):

π =?

r = a6 ⇒ O6 = 6a6 = 6r ≈ 24

25O =

24

25· 2rπ ⇒ π ≈ 25

8


Povijest matematike


Geometrija

Terminologija: Pravokutnik je”ono sto ima duljinu i sirinu”, trapez

je”bikovo celo”, krug je

”zakrivljenost”, . . .

Iza 700. pr.Kr. (dakle, u asirskom i novobabilonskom carstvu)bitno se razvila matematicka astronomija. U nekim seastronomskim tablicama mogu naci zaceci predznaka (

”tab/lal”).

Aproksimacije povrsine i opsega kruga najcesce se svode na π ≈ 3,ponekad π ≈ 31

8 . Tako jedna plocica iz razdoblja1900.–1600.pr.Kr. tvrdi da je opseg pravilnog sesterokuta jednaka24/25 opsega tom sesterokutu opisane kruznice):

π =?

r = a6 ⇒ O6 = 6a6 = 6r ≈ 24

25O =

24

25· 2rπ ⇒ π ≈ 25

8


Povijest matematike


Geometrija

Geometrija je inspirirana prakticnim problemima, posebno izgradevine. Na plocicama se mogu naci mnogi zadaci vezani,primjerice, za izgradnju kanala i nasipa, osobito cesto trapeznogpresjeka.

Jedan zadatak o kanalu

Mali kanal. 6 gisa dug. 2 lakta gornja sirina. 1 lakat donja sirina.112 lakata dubina. 1

3 SAR zemlje radni ucinak. 18 ljudi. Dani susto?11 dana i 1

4 su dani.

Mnogi zadaci se rjesavaju koristeci proporcionalnost ekvivalentnukotangensu. Znali su i da su obujmi prizme i valjka jednakiumnosku povrsine baze i visine.


Povijest matematike


Geometrija





4 su dani.

Mnogi zadaci se rjesavaju koristeci proporcionalnost ekvivalentnukotangensu.

Znali su i da su obujmi prizme i valjka jednakiumnosku povrsine baze i visine.


Povijest matematike


Geometrija





4 su dani.

Mnogi zadaci se rjesavaju koristeci proporcionalnost ekvivalentnukotangensu. Znali su i da su obujmi prizme i valjka jednakiumnosku povrsine baze i visine.


Povijest matematike


Pitagora prije Pitagore

Starobabilonski zadatak

”4 je duljina i 5 dijagonala. Kolika je sirina? Nije poznata. 4 puta4 je 16. 5 puta 5 je 25. Oduzmes 16 od 25 i ostaje 9. Sto dauzmem da dobijem 9? 3 puta 3 je 9. 3 je sirina.”

Tablica Plimpton 322 sadrzi pitagorejske trojke: trojke prirodnih

brojeva k ,m, n takve da je k2 + m2 = n2. Tocnije, u toj je tablici udrugom stupcu kraca kateta b trokuta, u trecem hipotenuza c , a uprvom stupcu su kvadrati omjera c/a.


Povijest matematike



Pitagora prije Pitagore

Starobabilonski zadatak

”4 je duljina i 5 dijagonala. Kolika je sirina? Nije poznata. 4 puta4 je 16. 5 puta 5 je 25. Oduzmes 16 od 25 i ostaje 9. Sto dauzmem da dobijem 9? 3 puta 3 je 9. 3 je sirina.”

Tablica Plimpton 322 sadrzi pitagorejske trojke: trojke prirodnih

brojeva k ,m, n takve da je k2 + m2 = n2. Tocnije, u toj je tablici udrugom stupcu kraca kateta b trokuta, u trecem hipotenuza c , a uprvom stupcu su kvadrati omjera c/a.


Povijest matematike



Ima jos

Jos jedan starobabilonski zadatak

Odredivanje polumjera kruznice opisane istostranicnom trokutu sastranicama duljina 50, 50 i 60 pomocu Pitagorinog poucka. Dobivase (31; 15)60.

I jos jedan (BM 85 196)

Patu (balvan?) duljine 0; 30. Gornji kraj je skliznuo za 0; 6. Kolikose pomakao donji kraj?

A znali su i Talesov teorem i koristili ga u komibinaciji sPitagorinim, npr. za odredivanje visine kruznog odsjecka nadtetivom poznate duljine u krugu poznatog promjera.


Povijest matematike


Ima jos







Povijest matematike


Ima jos







Povijest matematike


Heronova metoda za√.

Primjer

12 ≤ 2 ≤ 22 ⇒ prva aproksimacija a za√

2 je 1.Druga aprosimacija: 1

2

(1 + 2

1

)= 1,5. To je novi a.

Schritt a√

n ≈1 1 1,5

2 1,5 1,4166666666 . . .

3 1,4166666666 1,414215686275 . . .

4 1,414215686275 . . . 1,414213562375 . . .

ai+1 =1

2

(ai +

n

ai

)→√

n


Povijest matematike



Primjer



2

(1 + 2

1


Schritt a√

n ≈1 1 1,5

2 1,5 1,4166666666 . . .

3 1,4166666666 1,414215686275 . . .

4 1,414215686275 . . . 1,414213562375 . . .

ai+1 =1

2

(ai +

n

ai

)→√

n


Povijest matematike



Primjer



2

(1 + 2

1


Schritt a√

n ≈1 1 1,5

2 1,5 1,4166666666 . . .

3 1,4166666666 1,414215686275 . . .

4 1,414215686275 . . . 1,414213562375 . . .

ai+1 =1

2

(ai +

n

ai

)→√

n


Povijest matematike


Glavne karakteristike mezopotamske matematike

prakticna orijentacija: trgovina, gradevina, astronomija;

pozitivni razlomci (s nazivnikom 60);

kombinacija dekadskog i seksagezimalnog sustava;

uglavnom aditivni sustavi osim:

babilonski seksagezimalni sustav je pozicijski (prvi upovijesti!).


Povijest matematike


Malo kineske povijesti

najstarije kulture oko rijeka Huang He i Jangce: 3000.–1500. pr. Kr.(iza 2000.: kinesko pismo; iza 1500.: dekadski brojevni sustav)vec rano razvijena astronomijakineski zid: 221.-207. prvi car Shi-Huang-tiprvi pouzdaniji podaci: iz doba dinastije Zhou (Chou) (11.–5. st. pr.Kr.): Halleyev komet, kalendari, Konfucije i Lao Ceod doba dinastija Han (206. pr. Kr. – 220.) procvat matematike,pridaje se vaznost matematickom obrazovanju, najstariji sacuvanimatematicki tekstovi; proizvodnja papira; Sunceve pjege, ZhangHeng (78.–139.) uci da je Zemlja kuglastog oblika i konstruraseizmograf; u 1. st. prodire budizam iz Indije; u 3. st. carstvo seraspalo618.–906. dinastija Tang: novi procvat uz dominaciju budizma960.–1278. sjeverna pa juzna dinastija Sung: tisak s pomicnimslovima, drzavni ispiti za sluzbenike, konfucijanizam obvezanu 13. st. Mongoli (Marko Polo: 1275. u Pekingu); nula


Povijest matematike


Starokineska matematika

Kineska aritmetika je vjerojatno stara otprilike koliko i egipatska isumerska. Najkasnije od 5. st. pr. Kr. koristen je decimalnipozicijski sustav bez nule: Brojevi se prikazuju pomocu stapica,koji su ujedno racunsko pomagalo. Iz tog su se razvile kineskestapicaste brojke (vertikalno: neparne potencije, horizontalno:

parne potencije). Najkasnije u 5. st., vjerojatno dosta ranije,razlikuju se i pozitivni (

”shi”=blago) i negativni brojevi (

”fa”=dug)

(prihodi i rashodi, crni i crveni stapici), no krug kao simbol za nuluuveden je tek u 13. st.

Kineski abakus ( suanpan ) je uvedenkasnije od stapica; poznato je da je u opcoj uporabi tek od 16. st.O kineskim brojkama


Povijest matematike

http://www.omniglot.com/images/writing/rod_numerals.gif

https://en.wikipedia.org/wiki/Suanpan

http://www.omniglot.com/chinese/numerals.htm






”fa”=dug)

(prihodi i rashodi, crni i crveni stapici), no krug kao simbol za nuluuveden je tek u 13. st. Kineski abakus ( suanpan ) je uvedenkasnije od stapica; poznato je da je u opcoj uporabi tek od 16. st.

O kineskim brojkama


Povijest matematike









”fa”=dug)

(prihodi i rashodi, crni i crveni stapici), no krug kao simbol za nuluuveden je tek u 13. st. Kineski abakus ( suanpan ) je uvedenkasnije od stapica; poznato je da je u opcoj uporabi tek od 16. st.O kineskim brojkama


Povijest matematike





Magicni kvadrati

Stari Kinezi su se prvi bavili magicnim kvadratima (najkasnije u7. st. pr. Kr.).

Veci magicni kvadrati se spominju u Kini tek u 13. st., a nestoranije poznati su u Indiji. Arapski matematicari ce se magicnimkvadratima baviti od 9. st.


Povijest matematike


Magicni kvadrati

Stari Kinezi su se prvi bavili magicnim kvadratima (najkasnije u7. st. pr. Kr.).

Veci magicni kvadrati se spominju u Kini tek u 13. st., a nestoranije poznati su u Indiji. Arapski matematicari ce se magicnimkvadratima baviti od 9. st.


Povijest matematike


Permutacije

Najstariji poznati primjer permutacija: I Ching (Knjiga promjena),vj. iz 7. st. pr. Kr.Da simbola, jang (—) i jin (– –) se prvo slazu u 23 = 8 trigramapa oni u 82 = 64 heksagrama.


Povijest matematike


Zhoubi suanjing (Aritmetika Zhou-gnomona)

Najstariji potpuno sacuvan kineski matematicki tekst (izmedu 100pr. i poslije Kr.).Sadrzi grafiku koja se lako poopcava na dokaz Pitagorinog teorema(u Kineza: pravilo gougu).

c2 = 4 · ab

2+ (a− b)2


Povijest matematike


Devet poglavlja umijeca racunanja (Jiuzhang Suanshu)

246 zadataka u 9 poglavlja; vrlo utjecajno djelo, kompilacija raznihmanuskripta iz 200. pr. Kr.–300.

1 mjerenje (povrsine) ukljucivo racuna s razlomcima; π ≈ 32 preracunavanja kolicina za razmjenu (pravilo trojno)3 raspodjela dobara i novca (proporcionalnost)4 geometrijski problemi: kvadratni i kubni korijeni, iracionalni

brojevi, povrsine i volumeni5 radni ucinci (volumeni, cak i kompliciranih tijela)6 porezni racuni (proporcionalnost)7 visak i manjak (linearne jednadzbe)8 pravokutne tablice (sustavi linearnih jednadzbi se rjesavaju

metodom fang-cheng koja je u osnovi Gaussova metodaeliminacija!)

9 pravokutni trokut (Pitagorin teorem)


Povijest matematike


astronom i filozof Zhang Heng (2. st.): kvadrat opsega krugase prema kvadratu opsega krugu opisanog kvadrata odnosi uomjeru 5 : 8) – π ≈?;

Liu Hui (3. st.) – komentari Devet poglavlja; π ≈ 3,14150(upisuje k · 2n-terokute pocevsi od sesterokuta i jasno navodida s povecanjem broja stranica dobijemo tocnijuaproksimaciju)

Matematicki prirucnik o jednom otoku u moru : odredivanjeudaljenosti i velicina nedostupnih objekata.

Primjer

Neka su dva stapa visine 5 puaa zabijeni u zemlju i razmaknuti1000 pua. Jedan je blizi udaljenom otoku nego drugi. Akopromatrac stoji 123 pua iza prvoga, vidi vrh otoka u liniji s vrhomtog stapa, a ako stoji 127 pua iza drugoga, vidi vrh otoka u liniji svrhom tog drugog stapa. Koliko je visok otok i koliko je daleko odblizeg mu stapa?

aJedan pu iznosi 1,7907 metara.


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Liu_Hui.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Haidao_Suanjing


astronom i filozof Zhang Heng (2. st.): kvadrat opsega krugase prema kvadratu opsega krugu opisanog kvadrata odnosi uomjeru 5 : 8) – π ≈?;

Liu Hui (3. st.) – komentari Devet poglavlja; π ≈ 3,14150(upisuje k · 2n-terokute pocevsi od sesterokuta i jasno navodida s povecanjem broja stranica dobijemo tocnijuaproksimaciju)

Matematicki prirucnik o jednom otoku u moru : odredivanjeudaljenosti i velicina nedostupnih objekata.

Primjer

Neka su dva stapa visine 5 puaa zabijeni u zemlju i razmaknuti1000 pua. Jedan je blizi udaljenom otoku nego drugi. Akopromatrac stoji 123 pua iza prvoga, vidi vrh otoka u liniji s vrhomtog stapa, a ako stoji 127 pua iza drugoga, vidi vrh otoka u liniji svrhom tog drugog stapa. Koliko je visok otok i koliko je daleko odblizeg mu stapa?

aJedan pu iznosi 1,7907 metara.


Povijest matematike

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Liu_Hui.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Haidao_Suanjing

Documents

Franka Miriam Bruckler - prelog.chem.pmf.hrprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/PovMat/povmat01-2017.pdf · 3 Anti cka Gr cka { helenizam 4 Anti cka Gr cka { postklasi cno razdoblje 5 Srednjevjekovni