Formenkunde DreieckFormenkunde Dreieck

20. Oktober 2009Vertr. Prof. Dr. Katja Krüger

Universität PaderbornUniversität Paderborn

1Didaktik der Geometrie II (Klasse 7-10) 1

InhaltInhalt

F b h D i k− Formbetrachtungen am Dreiecko Von den Sonderfällen zum allgemeinen Dreiecko Ein alternativer Weg: Vom Parallelogramm zum Dreiecko Ein alternativer Weg: Vom Parallelogramm zum Dreieck

− Der Winkelsummensatz in SchulbüchernDie Winkelsumme in besonderen Dreiecken− Die Winkelsumme in besonderen Dreiecken

Kinematisch funktionales Denken in der − Kinematisch-funktionales Denken in der Geometrie

− Exkurs: Formenzeichnen im Geometrieunterricht − Exkurs: Formenzeichnen im Geometrieunterricht an Waldorfschulen

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Formbetrachtungen am DreieckFormbetrachtungen am Dreieck

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Der Unterrichtsgegenstand Dreieck“Der Unterrichtsgegenstand „Dreieck

G db i i h Fi d V f h Grundbaustein geometrischer Figuren und Verfahren z.B.

• Berechnung von Flächeninhalten geradlinig begrenzter Figuren • Berechnung von Flächeninhalten geradlinig begrenzter Figuren möglich durch Zerlegung in Dreiecke.

• Verwendung von Dreiecksnetzen bei der Vermessung (Triangulation) oder der Modellierung gekrümmter Flächen.

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Das Thema Dreieckbeinhaltet

A F k d B Wi k l t• Aussagen zur Formenkunde z.B. Winkelsummensatz• Kongruenzsätze• KonstruktionenKonstruktionen• Flächenberechnung

Quelle: Vorlesungsskript Rinkens S 54Quelle: Vorlesungsskript Rinkens, S. 54

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Kompetenzerwartungen Geometriep g(am Ende der Jahrgangsstufe 6)

Schülerinnen und SchülerErfassen • verwenden die Grundbegriffe Punkt, Gerade, Strecke, Winkel, Abstand, Radius,

parallel, senkrecht, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch zur Beschreibung p y p y gebener und räumlicher Figuren

• benennen und charakterisieren Grundfiguren und Grundkörper (Rechteck, Quadrat, Parallelogramm, Dreieck, Kreis, Quader, Würfel) und identifizieren sie i ih U lt in ihrer Umwelt

Konstruieren • zeichnen grundlegende ebene Figuren (parallele und senkrechte Geraden, Winkel,

Rechtecke Quadrate Kreise) und Muster Rechtecke, Quadrate, Kreise) und Muster …Messen • schätzen und bestimmen Umfang und Flächeninhalt von Rechtecken, Dreiecken,

Parallelogrammen und daraus zusammengesetzten Figuren (nur Gymnasium G8)Parallelogrammen und daraus zusammengesetzten Figuren (nur Gymnasium G8)• schätzen und bestimmen Längen, Winkel, Umfänge von Vielecken, Flächeninhalte

von Rechtecken (übrige Schulformen)

www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/lehrplaene/kernlehrplaene-sek-i/6

Kompetenzerwartungen Geometriep g(am Ende der Jahrgangsstufe 8)

E f Erfassen • benennen und charakterisieren rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige

Dreiecke, Parallelogramme, Rauten, Trapeze und Prismen und identifizieren sie in ihrer Umwelt (grün fehlt in G8 dafür werden Zylinder ergänzt)ihrer Umwelt. (grün fehlt in G8, dafür werden Zylinder ergänzt)

Konstruieren • zeichnen Dreiecke aus gegebenen Winkel- und Seitenmaßen•• …Messen • schätzen und bestimmen Umfang und Flächeninhalt von Dreiecken,

Parallelogrammen (G8 stattdessen: Kreise) und daraus zusammengesetzten Parallelogrammen (G8 stattdessen: Kreise) und daraus zusammengesetzten Figuren

• …Anwenden Anwenden • erfassen und begründen Eigenschaften von Figuren mit Hilfe von Symmetrie,

einfachen Winkelsätzen oder der Kongruenz

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Formenkundliche Betrachtungen am Dreieck gWinkelsumme und Flächeninhalt

F h th di h l i h i d t li h t hi dli h Fachmethodisch lassen sich zwei grundsätzlich unterschiedliche Wege unterscheiden, wie man durch Formbetrachtungen zur Winkelsumme und zum Flächeninhalt des Dreiecks gelangen kann:

1. Vom Speziellen zum Allgemeinen:

2 Vom Allgemeinen zum Speziellen:2. Vom Allgemeinen zum Speziellen:

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1. Von den Sonderfällen des Dreiecks zum allgemeinen Dreieckallgemeinen Dreieck

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Vom Falten eines gleichschenkligen Dreiecks zum Zeichnen

E d k d V d d Ei h fEntdecken und Verwenden der Eigenschaften:• Gleich lange Schenkel• Achsensymmetrie• Gleich große Basiswinkel

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Funktionale Betrachtungen am gleichschenkligen Dreieck

V i i d B i b i f Variation der Basis bei festem Winkel an der Spitze des Dreiecks:Di B sis i k l bl ib l i h ß • Die Basiswinkel bleiben gleich groß. → Winkelsummensatz.

• Je länger die Schenkel desto • Je länger die Schenkel, desto länger die Basis.→ Proportionalität Strahlensatz→ Proportionalität, Strahlensatz.

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Funktionale Betrachtungen am gleichschenkligen Dreiecki h V i i d h k l Systematische Variation der Schenkel

bei fester Basis des Dreiecks:J lä di S h k l d st• Je länger die Schenkel, desto– kleiner der Winkel an der Spitze– größer die Basiswinkel größer die Basiswinkel.

• Sonderfall gleichseitiges Dreieck• Je kleiner die Basiswinkel destoJe kleiner die Basiswinkel, desto

– kürzer die Schenkel.→ Seitensummensatz.

– größer der Winkel an der Spitze. → Winkelsummensatz.

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Funktionale Betrachtungen am rechtwinkligen Dreieck

Welche Zusammenhänge lassen sich bei di D i k i ti td k ?dieser Dreiecksvariation entdecken?

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Das rechtwinklige DreieckDas rechtwinklige Dreieck

Die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck ist halb gso groß wie im Rechteck, d.h. sie beträgt zwei rechte Winkel bzw. 180°.

Der Flächeninhalt dieses rechtwinkligen Dreiecks ist halb so groß wie der des Rechtecks, lalso

2baA ⋅

=

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Übertragung auf andere DreiecksformenÜbertragung auf andere Dreiecksformen

im gleichschenkligen Dreieck im allgemeinen Dreieck

Die Winkelsumme von 180° erhält man aus der Winkelsumme der beiden rechtwinkligen Teildreiecke.

Den Flächeninhalt erhält man aus den Inhalten der beiden rechtwinkligen Teildreiecke:

2 bzw.

2HöheGrundseiteHöheBasis ⋅⋅

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Ein alternativer We : Ein alternativer Weg: Vom Allgemeinen zum Speziellen

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Vom Rechteck zum ParallelogrammVom Rechteck zum Parallelogramm

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Vom Parallelogramm zum DreieckVom Parallelogramm zum Dreieck

Quelle: Vorlesungsskript Rinkens, S. 6618

Gewinnen einer Vermutung über die Winkelsumme im (allgemeinen) Dreieck

Maßstab 7, Hauptschule Nord, Schroedel 2000, S.40Maßstab 7, Hauptschule Nord, Schroedel 2000, S.40

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Beweis des WinkelsummensatzesBewe s des W nkelsummensatzesRückführung auf die Winkelsumme im Parallelogramm

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Der Winkelsummensatz in Schulbüchernin Schulbüchern

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Ein Stufenbeweis

Drenckhahn: Raumlehre in der Volksschule. Berlin, Leipzig: Beltz 1935, S. 39 22

Beweis des Winkelsummensatzes mit Wechselwinkeln:folgt direkt nach dem Kapitel über Winkel an Geradenkreuzungen

Lambacher Schweizer 6, Mathematik für Gymnasien. Hessenausgabe. Stuttgart: Klett 2006, S. 123

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Die Winkelsumme inbesonderen Dreieckenbesonderen Dreiecken

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Messung der Winkel in einem großen DreieckMessung der Winkel in einem großen Dreieck

Gauß hat bei der berühmtenMessung zwischen denGipfeln von Brocken, HohemH d I l bHagen und Inselsberg etwa15“ über 180° herausbekommenund das nicht als ausreichenden Wid s h 180°Widerspruch zu 180°angesehen.

:denBogensekunAbb. verändert nach Reidt,Wolff, Athen: Elemente der Mathematik, Band 2. Hannover: Schroedel 1965, S. 326. °≈°=°= 004,0240

13600

15''15

g

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Das unmögliche DreieckDas unmögliche Dreieck

Quelle: Führer L u a : Widersprüche und

Verein "Treffpunkt Physik", Gotschuchen/Kärnten/ Quelle: Führer, L. u.a.: Widersprüche und

Trugschlüsse als Unterrichtsmittel.In: Mathematik lehren 5 (1984), 44-49.

Gotschuchen/Kärnten/Österreich.

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Kann es überhaupt Dreiecke geben, deren Winkelsumme sich von 180° unterscheidet?

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Die Sache mit der Winkelsumme ist nur in der Ebene einfach, im Raum aber…

Ei ä d d E lä t S hülEinwände und Erläuterungen von Schülern:a) „Die Winkel sind nicht genau 90°, weil die Erde krumm ist.“b) Das mit den Winkeln stimmt nicht weil die Dreiecksseiten b) „Das mit den Winkeln stimmt nicht, weil die Dreiecksseiten

an den Ecken krumm sind.“c) „Wenn man die Ecken zusammenschiebt, wird es nicht

h l “richtig platt.“d) „Man muss die kleinen Stellen, auf denen der Bär dreht,

immer parallel lassen. Das gibt dann keinen richtigen Winkel, immer parallel lassen. Das gibt dann keinen richtigen Winkel, sondern eine Würfelecke, oder so…“

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Kinematisch-funktionales Denken in der Geometriein der Geometrie

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Pestalozzis Idee eines ABC der Anschauung untersucht und wissenschaftlich ausgeführt (1804)untersucht und wissenschaftlich ausgeführt (1804)

Anschauung bilden: „Größen soviel möglich als fließend betrachten“fließend betrachten

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Erziehung zum funktionalen Denken in der Geometrie

“Diese Gewohnheit des funktionalen Denkens soll auch in der Geometrie durch fortwährende Betrachtung der der Geometrie durch fortwährende Betrachtung der Änderungen gepflegt werden, die die ganze Sachlage durch Größen- oder Lageänderung im einzelnen erleidet, z. B. bei Gestaltsveränderung der Vierecke Änderung in der Gestaltsveränderung der Vierecke, Änderung in der gegenseitigen Lage zweier Kreise usw....”.Meraner Lehrplan (1905)

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W. Lietzmann, W.: Methodik des mathematischen Unterrichts., Band II, 1916, S. 155 f.33

Das Prinzip der BewegungDas Prinzip der Bewegung

Al i d H hi d l i hi h d i li h Als einer der Hauptunterschiede altgriechischer und neuzeitlicher Geometrie gilt das, daß in jener die Figuren sämtlich als starr und fest gegeben angenommen werden, in dieser als beweglich und

i ß fli ß d i t t Üb i gewissermaßen fließend, in stetem Übergang von einer Gestaltung zu anderen begriffen. Sollen unsere Schüler in die heutige Form der Wissenschaft und gar gelegentlich in deren Anwendung eingeführt werden so müssen auch sie beizeiten daran Anwendung eingeführt werden, so müssen auch sie beizeiten daran gewöhnt werden, die Figuren als jeden Augenblick veränderlich zu denken und dabei auf die gegenseitige Abhängigkeit ihrer Stücke zu achten diese zu erfassen und beweisen zu könnenachten, diese zu erfassen und beweisen zu können. ...

1. Beweglichmachen der Teile einer Figur2 Erzeugung der Grenzfälle2. Erzeugung der Grenzfälle3. Bewegen der ganzen Figur

P. Treutlein: Der geometrische Anschauungsunterricht 1911, S. 202g g ,

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DreiecksvariationenDreiecksvariationen

Treutlein: Der geometrische Anschauungsunterricht 1911, Anhang.

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Der “Pythagorasfilm”y g(Geh. Schulrat Münch)

„In geradezu dramatischer Anschaulichkeit führten die prächtigen Films – die auf Zehntausenden von feinzelnen Bildern beruhen! – das funktionale Leben geometrischer Figuren vor Augen, von der schlichtesten vor Augen, von der schlichtesten Kreistangente zu verwickelten Kurvenscharen und … auch der anfängliche Skeptiker erkannte welch ein anfängliche Skeptiker erkannte, welch ein reicher Quell zur Belebung unseres Unterrichts hier erschlossen wird...“

Gentil, K.: Der mathematische Lehrfilm. In: Unterrichtsblätter 27, H. 5/6 (1921), S. 55f.

(Bericht über den 10. Ferienkurs für Lehrer in Frankfurt in ZMNU 1913, S. 109).

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Bewegte Mathematik

www.stauff.de/bewmath/dateien/bewmath.html37

Visualisierung von Beweisen mit Dynamischer Geometriesoftware

http://mathematik.uni-l d d / th/d / th / th ht llandau.de/roth/dynageo/pythagoras/pythagoras.html

Weitere Links:www dynamische-geometrie de/www.dynamische-geometrie.de/http://www.mathe-ecke.de/http://www.briegel-online.de/mathe/mathe-index.htm 38

Exkurs: Formenzeichnen im Geometrieunterricht an Waldorfschulen Geometrieunterricht an Waldorfschulen

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Geometrieunterricht an WaldorfschulenGeometrieunterricht an Waldorfschulen

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Wyss, Bühler u. a. 1978

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FreihandzeichnenFreihandzeichnen

Wyss u.a.

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Dynamisches Zeichnen

Wyss, Bühler u. a. 1978

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ChronophotographieChronophotographieEadweard Muybridge (1830-1904) war britischer Fotograf und Pionier der Fototechnik. Er gilt – neben Étienne-Jules Marey und Ottomar Anschütz aufgrund seiner Reihenfotografien und Serienaufnahmen mitAnschütz – aufgrund seiner Reihenfotografien und Serienaufnahmen mit Studien des menschlichen und des tierischen Bewegungsablaufs als einer der bedeutendsten frühen Vertreter der Chronofotografie.

http://de wikipedia org/wiki/Eadweard Muybridgehttp://de.wikipedia.org/wiki/Eadweard_Muybridge

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