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Bivariate Polynome auf Dreiecken
06. 10. 2011
Janette Schmid
Lehrstuhl für Mathematik IV Approximationstheorie G. Nürnberger, M. Matt, G. Schneider Seminar HWS 2011
Gliederung:
• 1. Grundlagen: Bivariate Polynome
• 2. Eigenschaften der Approxiamtion
• 3. Eigenschaften der Interpolation
1. Bivariate Polynome
• 1.1 Definition
Für heißt
Bivariates Polynom vom Grad d.
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
j
1.2 Normen
Gegeben sei ein Gebiet Ω in • -Norm:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
1.2 Normen
Gegeben sei ein Gebiet Ω in • -Norm:
• q-Norm: Für 0<q< gilt:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 1.4 Satz
Sei T ein Dreieck und der Flächeninhalt des Dreiecks, dann gilt für alle und für alle
:
K ist eine Konstante die nur von d abhängt.
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 1.5 Ableitungen
Seien die partiellen Ableitungen von p, dann gilt:
mit:
für
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 1.5 Ableitungen
Seien die partiellen Ableitungen von , dann gilt:
mit:
für
Vergleich univariat:
Ableitung:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 1.6 Satz:
Sei K eine Konstante in Abhängigkeit von d, T ein Dreieck und der Inkreisradius dieses Dreiecks, dann gilt für jedes Polynom :
Für alle
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 1.7 Richtungsableitung:
Sei ein Vektor, dann ist die Richtungsableitung der Funktion f definiert durch:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
2. Approximation
• 2.1 Aproximation in der Maximumnorm• Seminorm:
• Durchmesser von Ω:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . Dann gibt für jedes ein , sodass gilt
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 2.1 Satz: Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in .
Dann gibt für jedes ein , sodass gilt
• 2.2 Aussage über die Konvergenzgeschwindigkeit:
Der Exponent kann nicht erhöht werden.
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 2.3 Durchschnittstaylorpolynom
• Taylorpolynom im univariaten:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 2.3 Durchschnittstaylorpolynom
• Taylorpolynom im univariaten:
• Taylorpolynom im bivariaten:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• Durchschnittstaylorpolynom:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• Durchschnittstaylorpolynom:
• Gauss‘sche Glocke:
Sei eine Kreisscheibe in mit dem Radius p und dem Mittelpunkt
. Es gilt:
mit
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• Satz 2.2:Für jedes und gilt:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• Satz 2.2:Für jedes und gilt:
• Satz 2.3:Es existiert eine Konstante K in Abhängigkeit von d, sodass gilt:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• 2.3 Approximation in der q-Norm• Sobolev-Raum:
mit
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• Satz 2.4:Sei Ω die abgeschlossene Hülle eines konvexen Gebiets in . und sei , dann existiert ein K in Abhängigkeit von d, sodass gilt:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
3. Interpolation• Univariat:
Interpolation immer möglich an m+1 verschiedenen Punkten.• Bivariat:
Interpolation nicht immer möglich.
Hängt ab von der Lage der Interpolationspunkte.
Es ergibt sich folgende Matrix:
Interpolation nur möglich, wenn gilt:
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• Beispiel:
Sei d=1 und und die 3 Punkte
liegen auf einer Geraden: y=ax+b.
Dann ergibt sich folgende Matrix:
det(M)=0 Matrix nicht lösbar.
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
Mögliche Lage der Interpolationspunkte:
• Satz 3.1: Geradenkriterium
Sei A eine Menge von Punkten und eine
Menge von d+1 Geraden. Wenn auf i-ter Geraden genau i
Punkte liegen, aber keine der Punkte auf einem der
Schnittpunkte, dann heißt A Interpolationslage von .
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
• Satz 3.2: Domainpoints (Spezialfall von Satz 3.1):
Sei T ein Dreieck mit den Ecken und sei
Dann ist die Punktmenge eine
Interpolationslage von .
1. Bivariate Polynome 2. Approximation 3. Interpolation
Literatur:
Lai, M. J.; Schumaker, L.L. (2007): Spline functions on triangulations, 1- 17. Cambridge Univ. Press.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit