Proseminar – Geometrie © by Johannes Weckend und Tim Schweisgut Sommersemester 2003 Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern

Proseminar – Geometrie

© by Johannes Weckendund Tim Schweisgut

Sommersemester 2003

Schwerpunkte von Dreiecken, Vierecken und Tetraedern

Schwerpunkte…

© by Johannes Weckend und Tim Schweisgut, 2003

1. …von zwei Massepunkten

5. …im Dreieck1. Eckenschwerpunkt2. Flächenschwerpunkt3. Kantenschwerpunkt2. …einer mit Masse belegten Strecke

3. Schwerlinien

5. …im Dreieck

6. …im Viereck

7. …im Tetraeder

4. …eines Zweibeins

6. …im Viereck1. Eckenschwerpunkt2. Flächenschwerpunkt3. Kantenschwerpunkt

7. …im Tetraeder1. Eckenschwerpunkt2. Flächenschwerpunkt3. Kantenschwerpunkt4. Raumschwerpunkt

1. Schwerpunkt von zwei Massepunkten


1 2

A B

2 1

Mit |S| bezeichnen wir die in dem Punkt S punktförmig konzentrierte Masse.

a : b = |B| : |A|

Satz 1:Der Schwerpunkt S von zwei Punkten A und B teilt die Strecke [AB] imumgekehrten Verhältnis der Massen ihrer Endpunkte. A und B können durch S mit der Masse |S| = |A|+|B| ersetzt werden.Spezialfall: Für |A| = |B| ist S der Mittelpunkt von [AB].

S

2. Schwerpunkt einer homogen mit Masse belegten Strecke


M=S

A B

Satz 2:Der Schwerpunkt S einer homogenen mit Masse belegten Strecke [AB] ist ihrMittelpunkt mit der Ersatzmasse |S| = AB.

Der Schwerpunkt einer homogen mit Masse belegten Strecken [AB] ist auf Grund derSymmetrie immer der Mittelpunkt der Strecke. |S| = AB.

3. Schwerlinien


Definition (Schwerlinie):Eine Gerade durch den Schwerpunkt eines geometrischen Gebildes heißtSchwerlinie.

Satz 3:Zwei verschiedene Schwerlinien eines Gebildes schneiden sich stets inseinem Schwerpunkt.

4. Schwerpunkt eines Zweibeins


Nach Satz 1 und 3 ist [SASB] eine Schwerlinieund es gilt:

|SA|SSA = |SB|SSB also OA : OB = SSB : SSA

Weiterhin gilt für den Schnittpunkt S‘ der Strecke[SASB] mit der Winkelhalbierende wM:

S‘SB : S‘SA = MSB : MSA = OA : OB.

S‘ = S

Satz 4:Der Schwerpunkt S eines homogen mit Masse belegten Zweibeins [OA][OB] istder Schnittpunkt der Mittelparallelen [SASB] mit der Winkelhalbierenden wM desWinkels SAMSB durch den Mittelpunkt M der Strecke [AB]. Es gilt: |S| = OA + OB

Schwerpunkte in Dreiecken und Vierecken


Bei Dreiecken und Vierecken unterscheidet man zwischen einem• Eckenschwerpunkt E, bei nur die Ecken mit Masse belegt sind• Flächenschwerpunkt F, bei dem die ganze Fläche homogen mit

Masse belegt ist• einem Kantenschwerpunkt K, bei dem die Kanten homogen mit

Masse belegt sind.

5.1 Schwerpunkt eines Dreiecks Eckenschwerpunkt E


Gegeben sei ein Dreieck, bei dem alle Ecken A, B, C mit derMasse 1 belegt sind. Es gilt also, dass |A|+|B|=2 ist, undman so A und B in C1 zusammenfassen kann.

Nun haben wir eine Schwerlinie [CC1], und ebenfalls nachSatz 1 folgt, das E die Strecke in einem Verhältnis von 2:1 teilt.Den Eckenschwerpunkt kann man allerdings auch finden, indem

man zwei oder alle drei Seitenhalbierenden einzeichnet, denndiese sind alle Schwerlinien Die Seitenhalbierenden schneiden sich in E.

Satz 5:Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in seinem Eckenschwerpunkt E.Dieser teilt jeweils die Strecke von der Ecke zum Mittelpunkt der Gegenseite im Verhältnis2:1.

5.2 Schwerpunkt eines Dreiecks Flächenschwerpunkt F


Die Strecke [A1B1], die parallel ist zur Strecke [AB], wird vonder Seitenhalbierenden [CC1] in der Mitte geteilt.Unterteilt man das Dreieck in viele kleine Streifen, parallel zu[AB], so liegt von jedem Streifen der Schwerpunkt (nach Satz 2)in der Mitte, also auf [CC1] [CC1] ist eine Schwerlinie.Wenn man diese Überlegung analog auf die anderenSeitenhalbierenden überträgt, stellt man fest, dass alle dreiSeitenhalbierenden Schwerlinien sind.

E = F

Satz 6:Im Dreieck fallen Eckenschwerpunkt E und Flächenschwerpunkt F zusammen; sie sind derGemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Dieser Punkt heißt wegen E=F kurzDer Schwerpunkt S des Dreiecks.

Nach Satz 4 ist C2 der Schwerpunkt des Zweibeins und nachSatz 1 ist C1 der Schwerpunkt der Strecke [AB]. Folglich mussder Kantenschwerpunkt K des Dreiecks auf der Schwerlinie[C1C2] liegen.

Um den Kantenschwerpunkt zu finden zerlegen wir das Dreieckin das Zweibein [CA][CB] und die Seite [AB].

Gegeben ist ein Dreieck ABC, dessen Kanten homogen mitMasse belegt sind.

5.3 Schwerpunkt eines Dreiecks Kantenschwerpunkt K


Wenn man das Dreieck anders in ein Zweibein und eine StreckeAufteilt (analog zu oben), erhält man nun drei Schwerlinien,dessen Schnittpunkt der Kantenschwerpunkt K des Dreieck ist.

5.3 Schwerpunkt eines Dreiecks Kantenschwerpunkt K


Der Kantenschwerpunkt K ist der Mittelpunk des dem DreiecksA1B1C1 einbeschriebenen Kreises, der sogenannteInnkreismittelpunkt.

Satz 7:Der Kantenmittelpunkt K eines Dreiecks ABC ist derInnkreismittelpunkt seines SeitenmittelpunktdreiecksA1B1C1.

Wann ist im Dreieck K = S?


Wir wissen schon, dass im Dreieck der Eckenschwerpunkt E gleich dem Flächenschwerpunkt Fist. Wann aber sind Kantenschwerpunkt K und Schwerpunkt S gleich?

Wir stellen uns hierzu ein Dreieck vor, welches eine ganz kleine Basislängehat, gegenüber der Schenkel. Wenn [AB] nun sehr klein ist, trägt dieKante fast nichts mehr zum Kantenschwerpunkt bei, und somit liegt K etwain der Mitte der Höhe durch C.

E hingegen befindet sich bei einem Drittel der Höhe durch C.

Wann ist im Dreieck K = S?


Der Kantenschwerpunkt ist gleich dem Schwerpunkt, wenn dieSeitenhalbierenden gleich den Winkelhalbierenden sind (nachSatz 5 und 7).Dies ist der Fall, wenn das Dreieck A1B1C1 gleichseitig ist.Also ist ABC auch gleichseitig.

Satz 8:Der Schwerpunkt S und der Kantenschwerpunkt Kfallen genau dann zusammen, wenn das Dreieckgleichseitig ist.

6.1 Schwerpunkt eines Vierecks Eckenschwerpunkt E

Nach Satz 1 lässt sich die Masse von A und B in MAB, die Massen von C und D in MCD zusammenfassen.

Satz 9:Die Seitenmitten eines Vierecks bilden ein Parallelogramm. Sein Diagonalenschnittpunkt ist der Eckenschwerpunkt E des Vierecks.

Ebenso ist E der Mittelpunkt der Strecke [MBCMDA] Diese Strecken halbieren sich also gegenseitigDas schwarz umrandete Viereck ist daher nach einem bekannten Satz in der Geometrie ein Parallelogramm

E ist also der Mittelpunkt der Strecke [MABMCD ] mit |E|=4.


6.2 Schwerpunkt eines Vierecks Flächenschwerpunkt F


Satz 10:Zerlegt man das Viereck ABCD durch die beiden Diagonalen [AC] und [BC] in jeweils zwei Dreiecke mit den Schwerpunkten S1, S2 bzw. S3, S4, so sind die Geraden S1S2 und S3S4

Schwerlinien des flächenhaft homogen mit Masse belegten Vierecks. Der Schnittpunktvon S1S2 und S3S4 ist der Gesuchte Flächenschwerpunkt F.

Unterteilung des Vierecks durch die Diagonale [AC] in die zwei Dreiecke ABC und ADC.

Nach Satz 6 werden die Schwerpunkte S1 und S2

der Dreiecke bestimmt. Nach Satz 1 liegt F auf der Schwerlinie [S1S2]Zerlegt man das Viereck in die Dreiecke BAD und BCD,berechnet ebenfalls deren Schwerpunkte S, so erhält man die Schwerlinie [S3S4].

F ist Schnittpunkt der beiden Schwerlinien[S1S2] und [S3S4]

6.3 Schwerpunkt eines Vierecks Kantenschwerpunkt K


Satz 11:Zerlegt man das Viereck ABCD, dessen Kanten homogen mit Masse belegt seien, einmal in die beiden Zweibeine [AB][AD] und [CB][CD] mit den Schwerpunkten K1 und K2, dann in die Zweibeine [BA][BC] und [DA][DC] mit den Schwerpunkten K3 und K4, so sind K1K2 bzw. K3K4 Schwerlinien, ihr Schnittpunkt K ist der gesuchte Kantenschwerpunkt.

Zerlegung des Vierecks in die beiden Zweibeine [AB][AD] und [CB][CD]!

Nach Satz 4 werden die Schwerpunkte K1 und K2

der Zweibeine bestimmt. Nach Satz 1 liegt K auf der Schwerlinie [K1K2]Zerlegt man das Viereck in die Zweibeine [BA][BC] und [DA][DC] mit ihren Schwerpunkten K3 und K4, so erhält man die zweite Schwerlinie [K3K4].K ist Schnittpunkt der beiden Schwerlinien

[K1K2] und [K3K4]

Zusatz zu Vierecksschwerpunkten: E=F?


Satz 12:Bei einem Viereck fallen Eckenschwerpunkt undFlächenschwerpunkt genau dann zusammen, wenn das Viereck einParallelogramm ist.



Direkter Beweis des Satzes mit Koordinatenrechnung:

Somit ist MAC und MBD a c2( ,0) b d

2(0, )

Gegeben: Koordinatensystem mit Diagonalenals Ursprung.

Der Mittelpunkt E hat somit die Koordinaten:a c b d4 4E ( , )



Jetzt teilen wir das Viereck in die Dreiecke ABC und ACD aufund berechnen davon die Schwerpunkte.

MAC hat die Koordinate und die Masse von A und Cist in MAC konzentriert (also z.B. 2). Wobei B nur die Masse 1hat. Nach Satz 1 folgt nun, dass der Flächenschwerpunkt FABC

die Strecke [BMAC] im Verhältnis 2:1 teilt, und so kann mandann ausrechnen, dass FABC die Koordinate hat.

a c2( ,0)

a c b3 3( , )

Analog findet man die Koordinate von FACD:a c d3 3( , )



Wir suchen: y-Koordinate von SABCD.

Wir wissen:FACD=FABC=E =SABCD liegt auf der Strecke [FABCFACD].SABCD hat als x-Koordinate:

F1=

F2=

a c b3 3( , )

a c d3 3( , )

a c b d4 4( , )

a c3

(a c) d2

(a c) ( b)2



Nach dem Lemma gilt:a c

2ABC 2a c

1ACD 2

dFF S dbF ( b)SF

Wir betrachten nur noch die y-Koordinaten, und haben also folgende Situation:

b3

d3

?

l2 ~ F2 ~ dl1 ~ F1 ~ (-b)

l ~ Fges ~ (-b)+d

Nun folgt:b d 2 2 2 23 3( b) d (d b)(d b)b d d b d b1 1

( b) d 3( b d) 3 d b 3 (d b) 3

a c b d3 3S ( , ) und da a c b d

4 4E ( , ) stellt man fest, dass Ecken- und

Flächenschwerpunkt aufeinander fallen, wenn: a=-c und b=-d ist.

E=F, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist.

7.1 Schwerpunkt eines Tetraeders Eckenschwerpunkt E


Nach Satz 5 lassen sich die drei Massen A,B,C in dem Punkt SABC zusammenfassen!

Daraus folgt, dass E auf der Strecke [SABCD] liegt

Da man diese Überlegungen für jedes mögliche Dreieck machen kann, ergibt sich

Nach Satz 1 wird die Strecke im Verhältnis [SABCE]:[ED] = 1:3 geteilt

Satz 13:Die vier Schwerlinien eines Tetraeders schneiden sich in dem Eckenschwerpunkt E, dieser teilt die Strecke von einer Ecke zum Schwerpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksfläche von innen im Verhältnis 3:1

7.1 Schwerpunkt eines Tetraeders Eckenschwerpunkt E


Man kann den Eckenschwerpunkt E auch durch eine andere Konstruktion bekommen

Man fasst die Punkte A und D, sowie B und C durchMAD bzw. MBC zusammen. |MAD|=|MBC|=2

Da man diese Überlegungen für jedes Paar der drei Paare von Gegenseiten anstellen kann, erhält man

E ist der Mittelpunkt der Strecke [MADMBC].

Satz 14:Die drei Verbindungsstrecken der Mittelpunkte je zweier Gegenseiten eines Tetraeders schneiden sich im Eckenschwerpunkt E und werden durch E halbiert.

7.2 Schwerpunkt eines Tetraeders Raumschwerpunkt R


Satz 15:Beim Tetraeder fällt der Eckenschwerpunkt E mit dem Raumschwerpunkt R zusammen. Man bezeichnet diesen Punkt daher kurz als den Schwerpunkt S des Tetraeders. Er ist der Schnittpunkt der vier Schwerlinien.

Wir betrachten zunächst ein Querschnitt des Tetraeders, das Dreieck A‘B‘C‘, parallel zur Grundfläche.

Da das Dreieck A‘B‘C‘ durch zentrische Streckung aus dem Dreieck ABC hervorgeht, liegt SA‘B‘C‘ auf der Strecke [SABCD]

Teilt man das Tetraeder in dünne Schichten parallel zur Grundfläche, folgt für den Grenzfall: Schichtdicke -> 0, dass die Gerade DSABC eine Schwerlinie ist!Nach 7.1 folgt, dass R=E ist

7.3 Schwerpunkt eines Tetraeders Kantenschwerpunkt K


Das Tetraeder wird in das Dreibein [DA][DB][DC] und in das Dreieck ABC zerlegt! Nach Satz 7 wird der Kantenschwerpunkt KABC des Dreiecks ABC bestimmt!Das Dreibein teilt man wiederum in das Zweibein [DA][DB] und die Kante [DC] auf und bestimmt deren Schwerpunkte KAB bzw. C1

Die beiden anderen Möglichkeiten liefern zwei weitere Schwerlinien, der Schnittpunkt ist der Schwerpunkt KD des Dreibeins!

So erhält man eine Schwerlinie des Tetraeders, durch die anderen Aufteilungen erhält man drei weitere Kantenschwerlinien und somit den erwünschten Kantenschwerpunkt K des Tetraeders!

Daraus folgt die erste Schwerlinie des Dreibeins, [KABC1]

7.4 Schwerpunkt eines Tetraeders Flächenschwerpunkt F


Zunächst wird das räumliche Dreibein [DA][DB][DC] betrachtet!

Es gibt eine Gerade m, die von den drei Ebenen DAB, DBC, DCA den gleichen Abstand hat, sie wird die Mediane des Raumwinkels bei D genannt!

Satz 16:Die Mediane m von einer Ecke eines Tetraeders ABCD treffe die gegenüberliegende Seitenfläche ABC in einem Punkt M. Dieser Punkt M zerlegt das Dreieck ABC in drei Teildreiecke AMB, BMC, CMA, deren Flächen sich wie die anliegenden Seitenflächen des Tetraeders verhalten.

Wie man bei der nebenstehenden Figur sieht, gilt:AMBD

=1/3 H AMB

=1/3 h ABDBMCD=1/3 H BMC=1/3 h BCD

CMAD=1/3 H CMA=1/3 h CAD

Daraus folgt der nächste Satz:



Im Tetraeder seien A1, B1, C1, D1 die Schwerpunkte der den Punkten A,B,C,D gegenüberliegenden Seitenflächen.

Der Flächenschwerpunkt FD des homogen mit Masse belegten „Dreiflachs“ [DAB][DBC][DCA] liegt also in der Ebene des Dreiecks A1B1C1 und ist dessen Eckenschwerpunkt, wenn man sich die Eckpunkte A1,B1,C1 jeweils mit den Massen B1D0C1, C1D0A1, A1D0B1 belegt denkt

Das Tetraeder A1B1C1D1 geht durch zentrische Streckung s an S mit dem Streckungsfaktor -1/3 hervor. Deshalb gilt:A1D1B1:B1D1C1:C1D1A1=ADB:BDC:CDA (1)Sei nun m die Mediane durch den Punkt D1 und D0, so gilt nach Satz 16: A1D0B1:B1D0C1:C1D0A1=A1D1B1:B1D1C1:C1D1A1 (2)Nach (1) und (2) folgt:ADB:BDC:CDA= A1D0B1:B1D0C1:C1D0A1 (3) Wir fassen die Massen der Tetraederdreiecke zusammen:|C1|=ADB; |A1|=BDC; |B1|=CDA (4) |C1|:|A1|:|B1|= A1D0B1:B1D0C1:C1D0A1



Nun hilft uns die analytische Geometrie weiter, wir benutzten ein kartesisches Koordinatensystem in der Ebene des Dreiecks A1B1C1 mit dem Ursprung D0.

Satz 17:Seien A1,B1,C1, D1 die Schwerpunkte der den Ecken A, B, C, D gegenüberliegenden Seitenflächen eines Tetraeders ABCD. Der Flächenschwerpunkt FD der Dreiflachs [DAB][DBC][DCA] liegt im Inneren des Dreiecks A1B1C1 und ist der Durchstoßpunkt der Mediane m durch die Ecke D1.

Die Koordinaten der einzelnen Punkte sind:A1(a1|a2); B1(b1|b2); C1(c1|c2); D0(0|0); FD(f1|f2)

Für die Teilflächen des Dreiecks erhält man:2D0B1C1=b1c2-b2c1; 2D0C1A1=c1a2-c2a1; 2D0A1B1=a1b2-a2b1Und somit folgt für FD:2 A1B1C1 f1=(b1c2-b2c1) a1+(c1a2-c2a1) b1+(a1b2-a2b1) c1=02 A1B1C1 f2=(b1c2-b2c1) a2+(c1a2-c2a1) b2+(a1b2-a2b1) c2=0 f1=f2=0 und somit FD=D0



Zuerst zerlegt man das Tetraeder in das Dreiflach [DAB][DBC][DCA] und das Dreieck ABC, man erhält deren Schwerpunkte FD bzw. D1.

Satz 18:In einem Tetraeder ABCD seien die Seitenflächen homogen mit Masse belegt. Der Flächenschwerpunkt F des Tetraeders ABCD ist der Mittelpunkt der seinem Schwerpunkttetraeder A1,B1,C1, D1 einbeschriebenen Kugel.

Aus Symmetriegründen müssen auch die anderen drei Medianen durch die Ecken A1, B1, C1 des Schwerpunkttetraeders Schwerlinien sein

Alle vier Medianen schneiden sich im gesuchten Flächenschwerpunkt F

Dieser Schnittpunkt der Medianen ist der Mittelpunkt der dem Schwerpunkttetraeder A1B1C1D1 einbeschrieben Kugel.

So ergibt sich die erste Schwerlinie [FDD1] des Tetraeders

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