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Formelsammlung Thermodynamik
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wes
enTe
chni
sche
The
rmod
ynam
ik
FormelsammlungTechnische ThermodynamikWrmebertragung
Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
University ofApplied Sciences
HOCHSCHULE ZITTAU/GRLITZ (FH) - University of Applied Sciences
FACHBEREICH MASCHINENWESEN Fachgebiet Technische Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. habil. H.-J. Kretzschmar
Formelsammlung Technische Thermodynamik Wrmebertragung Seite
Internationales Einheitensystem "SI" Schaltbilder fr Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481) Gren 1/1 Thermische Zustandsgren 2/1 Energetische Zustandsgren 3/1 Entropie 4/1 Exergie 5/1 Ermittlung von Zustandsgren 6/1 Zustandsdiagramme 6/3 Massebilanz 7/1 Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik 8/1 Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik 9/1 Exergiebilanz 10/1 Einfache technische Prozesse 11/1 Wrmeleitung 12/1 Wrmedurchgang 13/1 Konvektiver Wrmebergang 14/1 Wrmestrahlung 15/1 Wrmebertrager 16/1 Instationre Wrmeleitung 17/1
Internationales Einheitensystem SI
Gre SI - Einheit empfohlene Einheit
Lnge z 1 m 1 m
Zeit 1 s 1 s Masse m 1 kg 1 kg
Molmenge n 1 mol 1 kmol = 1000 mol
Thermodynamische Temperatur T 1K 1K
Kraft F 2kg m1 N 1
s= 1 kN = 1000 N
Druck p 2
5
N1Pa 1m
1bar 1 10 Pa1bar 100 kPa 0,1MPa
== = =
2
kN1 kPa 1m
1 kPa 0,01 bar==
Enthalpie H Innere Energie U Exergie E Wrme Q Arbeit W
1 J = 1 Nm
1 kJ = 1 kNm
spezifische Enthalpie h spezifische innere Energie u spezifische Exergie e spezifische Wrme q spezifische Arbeit w
2
2J Nm m1 1 1
kg kg s= =
2
2kJ m1 1000kg s
=
Enthalpiestrom H Exergiestrom E Wrmestrom Q Arbeitsleistung = P W
= =J Nm1 W 1 1s s
kJ kNm1 kW 1 1s s
= =
Spezif. Wrmekapazitten cp, cv Spezifische Entropie s Spezifische Gaskonstante R
J Nm1 1kg K kg K
= kJ kNm1 1
kg K kg K=
Entropiestrom S Wrmekapazittsstrom C
W J Nm1 1 1K s K s K
= = kW kJ kNm1 1 1K s K s K
= =
* in der Technik oft verwendete Einheit bar fr Druck
KhlturmWrmever-brauchermit Heizflchen
KernreaktorBrennkammer fr Gase
Drosselventil(Druckminder- ventil)
Turbine mitGenerator- Dampfturbine- Gasturbine- Wasserturbine
Pumpe allgemein
Verdichterallgemein
KondensatorMischwrme-bertrager
Khlmedium
Verdampfer (Kessel)mit berhitzer
Verdampfer(Kessel)
Wrmeber-trager alsRekuperatorallgemein(Wrme-tauscher)
Schaltbilder fr Bauelemente der Energietechnik (DIN 2481)
Schaltbilder fr weitere Bauelemente (DIN 2481)
Absorber Austreiber (Kocher) Gekoppelte Rektifiziersule
Rohrleitungen fr Schaltungen der Energietechnik (DIN 2481)
Wasser
Luft
Verbrennungsgase
Dampf
Feste Brennstoffe
Brenngase
Heizl
1/1
Gren Umrechnung Beispiele
spezifische Gre Z: (massebezogen)
Zz =m
pv, u, h, s, c , q, w
Zeitbezogene Gre Z (Strom):
= dZZ
d Z m z= m, n, V, H, Q, W P=
Volumenbezogene Gre Z: ZzV
= z z= m, q = Molare Gre Z: Zz
n= z M z= v, h, s, q, w
Flchenbezogene Gre Z: ZzA
= q
Stromdichte: ZzA
= q , m
Temperatur Maeinheit Umrechnung Thermodyn. (KELVIN)-Temp.: T T K= CELSIUS-Temp.: t t C= t T 273,15
C K=
FAHRENHEIT-Temp.: F F F= F 9 T 459,67F 5 K =
RANKINE-Temp.: R R R= R 9 TR 5 K =
Temperaturdifferenz: T T t K= = T t=
Druck
p d A p= = =d F
1 kPa 0,01 barn ,
berdruck: p p pub = - pu - barometrischer Druck der Umgebung
Unterdruck: p p pun u= -
Vakuum: unu
pVa
p=
1/2
Statischer Druck einer Flssigkeitssule
p g zFl FL= Fl Dichte der Flssigkeit z Fl Hhe der Flssigkeitssule
Auftriebskraft
F = g V ( - )A ver ver
Vver ver
FA
g
Vver Volumen des verdrngenden Krpers (Fluids) ver Dichte des verdrngenden Fluids Dichte des Fluids in Umgebung
Normzustand n
pn = 101,325 kPa = 1,01325 bar Tn = 273,15 K
n n nn
1v bei p , T= des Fluids
2/1
Thermische Zustandsgren Spezifisches Volumen v und Dichte Dichte: =
1v
Reales Fluid
v = f (p,T)technische Formulierung
= f (p,T)
z.B. WDT, Stoffwerte p = f (T,v) physikalische Formulierung
Realgasfaktor realp vzR T=
Differenz fr Zustandsnderung c d ( ) ( )2 1 2 2 1 1v v v p ,T v p ,T = v(p,T) z.B. WDT, Stoffwerte
Ideales Gas Zustandsgleichung des idealen Gases:
TRmVp = TRvp = TRvp = TRMvp = TRnVp = Spezifisches Volumen:
pTR=vig
Dichte: TR
p=ig Spezifische Gaskonstante eines Stoffes:
MRR=
M Molare Masse des Stoffes = mMn
R, M Stoffwerte Strmendes ideales Gas: TRmVp =
Differenz fr Zustandsnderung c d
2 1
2 12 1
T Tv v Rp p
=
2/2
Inkompressible (ideale) Flssigkeiten und Festkrper
v f Tif nur= ( ) )T(
1)T(vif
if
=
Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c d
( ) ( )1if2if12 TvTvvv = v Tif ( ) Stoffwerte
Nherung
ifv v '(T)= )T('v z.B. WDT
Differenz fr Zustandsnderung c d
( ) ( )1212 T'vT'vvv = )T('v Stoffwerte
Berechnung mit Isobarem Volumenausdehnungskoeffizienten
if
o p ov (T) v 1 (T T ) = +
)=( oeff.sdehnungsk VolumenauIsobarer pp Stoffwerte (Mittelwert im Temp.-Bereich To ... T)
Berechnung mit Lngenausdehnungskoeffizienten
fr Lnge L >> Querschnitt bei Festkrpern
o lin oL(T) L 1 (T T )= +
lin Lngenausdehnungskoeffizient(Mittelwert im Temp.-Bereich T ... T)o
3/1Energetische Zustandsgren Isochore Wrmekapazitt Cv Isobare Wrmekapazitt Cp
m
Cc vv = Definition m
Cc pp =
v
v Tu:c
= p
p
hc :T =
Reales Fluid cv = f (T,p) , cv = f (T,v) pc = f (T,p) , cp = f (T,v) z. B. WDT
Ideales Gas
ig 3v 2c R= Einatomige Gase ig 5p 2c R=
Mehratomige Gase
)T( fcnurig
v = Rccigv
igp += nurigpc f (T)=
Stoffwerte
Berechnung mit Isentropenexponenten Temperaturunabhngige Festwerte als Nherung
Einatomige ideale Gase Zweiatomige ideale Gase Dreiatomige ideale Gase
61,66= =1,4 =1,3
(exakt) (gute Nherung) z.B. Luft (grobe Nherung)
R11cigv =
igv
igp cc = R1c
igp
=
Ideale Flssigkeiten und Festkrper
)T( fcnurif
v = )T( fcnurif
p = Stoffwerte
Nherung
)T(c'c pifp
z. B. WDT
3/2
Innere Energie U Enthalpie H
Definition
U Energiegehalt eines Systems Vp+U:H =
mUu = , umU = m
Hh = , hmH =
Reales Fluid
u = f(p,T) , u = f(T,v) h = f (p,T) , h = f(T,v) z. B. WDT
vphu =
Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( )
( ) ( )2 1 2 2 1 1
2 2 2 1 1 1
u u h p ,T h p ,Tp v p ,T p v p ,T
=
( ) ( )2 1 2 2 1 1h h h p ,T h p ,T = v, h(p,T) z. B. WDT h(p,T) z. B. WDT
3/3
Innere Energie U Enthalpie H
Ideales Gas
uig = f (T) (T)f=hnurig
ig igu h R T= Stoffwerte
igh (T) Stoffwerte
+=T
T
igv
igo
ig
o
dT )T(cuu +=T
T
igp
igo
ig
o
dT )T(chh
Differenz fr Zustandsnderung c J d
2
1
Tig
2 1 vT
u u c (T)dT = 21
Tig
2 1 pT
h h c (T)dT =
( ) ( ) ( )ig ig2 1 2 1 2 1u u h T h T R T T = ( ) ( )ig ig2 1 2 1h h h T h T = hig (T) Stoffwerte hig (T) Stoffwerte
mit Mittelwerten c bzw. cvmig
pmig = const
O
Tig ig ig
o v oT
u u c (T T )= + O
Tig ig ig
o p oT
h h c (T T )= +
O O
T Tig igv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tig igv p
T Tc c R=
o o
T ig igTig ig op p
o oT T
h h1c c (T)dTT T T T
= = Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c J d ( )ig2 1 vm 2 1u u c T T = ( )ig2 1 pm 2 1h h c T T =
Rcc igpmigvm =
2 1
2o o
1
T Tig igp 2 o p 1 oT
T Tig igpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
=
o
Tigp
Tc Stoffwerte
Nherung fr kleine Differenz ( )12 TT : ( ) ( )2
1
Tig ig ig igpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
+
cpig (T) Stoffwerte
3/4 Innere Energie U Enthalpie H
Ideale Flssigkeiten und Festkrper )T(fh
nurif = Stoffwerte = +
o
Tif if if
o vT
u u c (T) dT = + o
Tif if if
o pT
h h c (T) dT
u h T p v Tif if if= ( ) ( ) hif T vif T( ), ( ) Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c J d
2
1
Tif
2 1 vT
u u c (T)dT = 21
Tif
2 1 pT
h h c (T)dT =
( ) ( )if if2 1 2 1
if if2 2 1 1
u u h T h T
(p v (T ) p v (T ))
=
( ) ( )if if2 1 2 1h h h T h T = hif (T) Stoffwerte
hif T vif T( ), ( ) Stoffwerte
mit Mittelwerten ifpmifvm c bzw. c = const
O
Tif if if
o v oT
u u c (T T )= + O
Tif if if
o p oT
h h c (T T )= +
O O
T Tif ifv p o
T TMittelwert c bzw. c zwischen T und T
o o
T Tif ifv p
T Tc c R=
o o
TT if ifif if op p
o oT T
1 h hc c (T)dTT T T T
= = Stoffwerte
Differenz fr Zustandsnderung c J d ( )if2 1 vm 2 1u u c T T = ( )if2 1 pm 2 1h h c T T =
2 1
2o o
1
T Tif ifp 2 o p 1 oT
T Tif ifpm p
2 1T
c (T T ) c (T T )
c = c(T T )
= o
Tifp
Tc Stoffwerte
Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 : ( ) ( )2
1
Tif if if ifpm p p 1 p 2
T
1c = c c T c T2
+ ifpc (T) Stoffwerte
Nherungen
)T('vp)T('huif = ifh h'(T)= v',h' z. B. WDT h' z. B. WDT
Differenz fr Zustandsnderung c J d ( ) ( )( ) ( )2 1 2 12 2 1 1
u u h' T h' Tp v' T p v' T
=
( ) ( )2 1 2 1h h h' T h' T = v',h'(T) z. B. WDT h'(T) z. B. WDT
4/1
Entropie S spez. Entropie s
Sm
= Entropiestrom S m s=
Reales Fluid ( )s f p T= , z. B. WDT bzw. ( )s f T v= , Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( )s s s p T s p T2 1 2 2 1 1 = , , ( )s f p T= , z. B. WDT
Ideales Gas s f T pig = ( , ) igs f(T,v)=
igTpig ig
ooTo
c (T) ps s dT R lnT p
= + T ig
ig ig vo
oTo
c (T) vs s dT R lnT v
= + +
igigT
o
ps s R lnp
= mit dT T)T(c
ssT
T
igpig
oigT
o
+= ( )s f TTig = Stoffwerte, berechnet fr: K 273,15=T bei 0s oigo = Ausnahmen - Wasserdampf:
KkgkJ 1562,9sigo =
- Luft: igokJs 0,16189
kg K=
Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( )s s s T s T R ppTig Tig2 1 2 1 21 =
ln
( )s TTig Stoffwerte
mit Mittelwerten igvmigpm cbzw. c = const:
T
ig ig igo p
o oTo
T ps s c ln R ln T p
= +
Tig ig ig
o vo oTo
T vs s c ln R ln T v
= + +
Differenz fr Zustandsnderung c J d
s s cTT
Rpppm
ig2 1
2
1
2
1 =
ln ln s s c
TT
Rvvvm
ig2 1
2
1
2
1 =
+
ln ln
Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 : +
T2ig ig ig igpm p p 1 p 2
T1
1c = c c (T ) c (T )2
c c Rvmig
pmig=
cpig (T) Stoffwerte
4/2
Ideale Flssigkeiten und Festkrper ( )if ifes gilt: v f(T) , h f(T)= = )p,T( fsif =
( )ififT pif ifo oTo
dv (T)c (T)s s dT p p
T dT= + mit dT T
)T(css
T
T
ifpif
oifT
o
+= Nherung:
( )ifif ifT odv (T)s s p pdT=
( )if sdv'(T)s s'(T) p p (T)dT= p (T) s'(T), v'(T)s , z. B. WDT
( )s f TTif = Stoffwerte, Tab. 4 fr Wasser, berechnet fr K 273,15=T bei 0s oifo = ( )v f Tif = Stoffwerte Tab. 4 fr Wasser Differenz fr Zustandsnderung c J d
( ) ( ) ( ) ( ) ( )if if2 1if if2 1 T 2 T 1 2 12 1
v T v Ts s s T s T p p
T T =
( ) ( )s T v TTif if, Stoffwerte Nherung:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12 1 2 1 2 12 1
v' T v' Ts s s' T s' T p p
T T =
( ) ( )s T v T' , ' z.B. WDT mit Mittelwert ifpmc = const:
( ) = + ifT
if if ifo p o
oTo
dv (T)Ts s c ln p pT dT
Differenz fr Zustandsnderung c J d
( )if if2 1if 22 1 pm 2 11 2 1
v (T ) v (T )Ts s c ln p pT T T
= ifv (T) Stoffwerte Nherung fr kleine Differenz ( )T T2 1 :
T2if if if ifpm p p 1 p 2
T1
1c = c c (T ) c (T )2
+
( )c Tpif Stoffwerte Sonderfall T=const
( )if if2 1 2 1v (T T) v (T T)s s p p(T T) (T T)+ = +
mit T = 0,1...1K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
5/1
Exergie E
spezifische Exergie mEe = Exergiestrom E m e=
Spezifische Exergie (der Enthalpie) bei offenen Systemen:
( ) ( )u uu)h( ssThh:ee = uuuu T,p bei Fluidsenbetreffenddes s,h Differenz fr Zustandsnderung
( ) ( )12 u1212 ssThhee = Exergie im Stoffstrom - Technische Arbeitsfhigkeit:
( )st 2 st12E m e c g z m e= + + =
mit st 21
2e e c g z= + + Spezifische Exergie der inneren Energie e(u) bei geschlossenen Systemen:
( ) ( ) ( )u uu uu)u( vvpssTuu:e += uuuuu T,p bei Fluids enbetreffenddes v,s,u Differenz fr Zustandsnderung
( ) ( )12u12u121)u(2)u( vvpssTuuee +=
6/1
Ermittlung von Zustandsgren aus Stoffwerttabellen (Wasserdampftafel)
Bezugszustand der Wasserdampftafel: Tripelzustand auf der Siedelinie (tr)
ooo o o o
u 0s 0 beih u p v 0
=== +
oo
3 1o
T 273,16 Kp 0,6112 kPav 0,0010002 m kg
===
Fluide Einphasengebiete (Flssigkeit, berhitzter Dampf)
p1 p2 p3
0C . . . t . . . . 800C
.
. (Flss.) . . . (berh. Dampf) . .
.
.
. (Flss.). . . (berh.Dampf).
.
.
.
.
.
. (ber- krit. Fluid) .
Werte fr v, h, s, cp,
,
p1p2
p3
p
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
kr
tr
t (p )s 1 t (p )s 2 t
Trennstrich in Tabelle
berkrit. Fluid
berh. Dampf
Dampfdruck-kurveFlss.
aus Tabelle fr Nassdampfgebiet
Phasengrenzkurven
p ts = f(p) . . . v, v, h, h, r, s, s = f(p) und cp, cp, , , , = f(p) . . .
.
.
.
.
.
. sowie
t ps = f(t) . . . v, v, h, h, r, s, s = f(t) und cp, cp, , , , = f(t) . . .
.
.
.
.
.
.
T
T (p)s
s
h
s
h"
h'
s' s"
p
v"
x=0 v'
kr x=1
T (p)s
kr v" p
h"
x=1x=0 v'h'
p
s' s"
6/2
Zustandsgren des Zweiphasengemisches Nassdampf Siededruck (Dampfdruck, Sttigungsdruck):Siedetemperatur (Sttigungstemperatur): fr beide Phasen
sp f TT f ps
==
( )( )
Anteil siedender Flssigkeit: m', V' v'=V'm'
Anteil trocken gesttigten Dampfes: m", V" v"=V"m"
Nassdampfgemisch: m m' m"= +
V V Vx = +' " x
xVv m
=
Dampfanteil m" m"xm m' m"
= = +
Dampfvolumenanteil x
V" V"yV V' V"
= = + xv"vxy =
spezifisches Volumen: xv v' x (v" v ')= + xxv
= 1 v' v" f T, ( )= oder = f (p) z.B. WDT
spezifische Enthalpie: xh h' x (h" h')= + h h r f T' , " , ( )= oder = f (p) z.B. WDT Verdampfungsenthalpie vr h h'' h' = spezifische innere Energie: u h p vx x s x= p f Ts = ( ) z.B. WDT
spezifische Entropie: xs s' x (s" s')= + s s f (T) oder' , "= = f (p) z.B. WDT spezifische Exergie: x x u u x ue (h h ) T (s s )= ( )h s f p Tu u u u, ,= z.B. WDT
6/3
c
t Tripel-zustand
p
pc22,064 MPa
kritischer Punkt
berkritisches Fluid
feste Phase Feststoff
Sublimationsdruckkurve psub(T)
Dampfdruckkurve ps(T)
ideales Gas
Tt 273,16 K
Tc 647,096 K
pt0,6117 kPa
T
Schmelzdruckkurven
Wasser
andere Fluide
pmelt(T)
flssige Phase Flssigkeit
reales Fluid
Werte von Wasser T
ps(T)
inkom-pressible
Flssigkeit Gasphase
berhitzter Dampf
p,T-Diagramm mit Berechnungsbereichen
TT
max
T
Zweiphasengemisch flssig - gasfrmig
Flssigkeit
p,v-Diagramm fr Fluide mit Phasengebieten und charakteristischen Isolinien
Siedelinie x=0 - Zustand siedender Flssigkeit
(Zeiger ')
Taulinie x=1 - Zustand trocken gesttigten
Dampfes (Zeiger '')
6/4
T,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
Mollier h,s-Diagramm mit Phasengebieten und Berechnungsbereichen
T
s
inkompressibleFlssigkeit
Ts (p)
s'(p) s"(p)
Tc
sc
h' (p)
p max
Ttst' st"
h"(p)
reales Fluid
c
ideales Gas
Tmax
berhitzter Dampfx = 1
x = 0
v = const
v = const
x = 0,
2
p = const
x =
0,4 x = 0,6
x = 0,8
h = const
v chc
pc
h = const
v t"
p t
v"(p
)p
= co
nst
p =
cons
t
v =
cons
t
p =
cons
tv =
con
stt"
t'
Flssigkeit
NassdampfZweiphasengemisch
flssig-gasfrmig
kritischer Punkt
inkompressibleFlssigkeit
h
hc
sc s"(p)s'(p)
h"(p)
h'(p)
st' st"
p,T s(p)
v t"
T = const
ideales Gas
NassdampfZweiphasengebietflssig-gasfrmig
c
ht'
p t ,T t
Ts (p)
p = co
nst
berhitzter DampfT c
v = co
nst
p c
Tmax
pmax
v"(p
)
x = 1
x = 0,8
x = 0,
4
v = con
st
p t ,Tt
x = 0
t'
t"Tt
ht"
in Bild 8.7
Flssigkeit
kritischer Punkt
7/1
Massebilanz
Instationr: m m dmdzu ab
= Sonderfall: , m m constzu ab = im Zeitraum
( ) m m m mzu ab = 2 1 mit = 2 - 1 Stationr: m mzu ab= (m = const im System)
Massestrom: m V= , = 1v Volumenstrom: V c Aq= Aq durchstrmte Querschnittsflche c mittlere Strmungsgeschwindigkeit ber Querschnittsflche Einfache Mischung von Massen: m m m mzu ab = 2 1
8/1
Energiebilanz - I. Hauptsatz der Thermodynamik Energiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationre Energiebilanz: Q W dUd
+ = mit: =
QQd
, WW Pd =
Differentielle Formen
dUWWQ dissV =++ r dissQ V dp W W dH + + + = Zustandsnderung von Zeitpunkt c bis d Form mit innerer Energie Form mit Enthalpie
1212diss12V12 UUWWQ =++ 2
1
p
12 r12 diss12 2 1p
Q V dp W W H H+ + + = Dissipierte Arbeiten: W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Volumennderungsarbeit: Zustandsnderung von Zeitpunkt c bis d
2
1
V
V12 r12V
W p dV W= + V rW p dV W = + uere Kolben - Nutzarbeit: (bei pu=const)
( )N12 V12 u 2 1W W p V V= + pu barom. Druck in Umgebung d. Kolbens
z2
N1 2 Kz1
W F (z) dz= FK(z) - uere Kolbenkraft in Abhngigkeit von z
(positiv in Richtung Volumenverringerung) z - Ortskoordinate in Richtung Volumenverringerung
Sonderfall: Adiabate Mischung 012Q = bei V = const bei p = const
21 UU = 21 HH =
8/2
Energiebilanz bei offenen Systemen
Instationre Energiebilanz: Q W H H dUd
stzust
abst+ + =
Stationre Energiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:
Q P W H Ht
stdiss
st st12 12 12 2 1+ + =
Gesamtenthalpiestrme:
Eintritt ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12H m h c g z m h= + + =
Austritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22H m h c g z m h= + + =
Technische Nutzleistung des Fluidstroms:
P W m wtst
tst
tst
12 12 12= =
Spezifische technische Arbeit des Fluidstroms: ( ) ( )2
1
pst 2 21
r12 2 1 2 1t12 2p
w v dp w c c g z z= + + +
Spezifische innere technische Arbeit: = +
2
1
p
r12t12p
w v dp w
Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 - stationrer Flieproze
( ) ( ) ( )st 2 2112 diss12 2 1 2 1 2 1t12 2Q P W m h h c c g z z + + = + + Differentielle Form: stt dissq w w dh c dc g dz + + = + + mit stt rw v dp w c dc g dz = + + + Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen st2
st1 HH =
9/1
Entropiebilanz - II. Hauptsatz der Thermodynamik Definition der Entropie:
Form mit U: dU p dVdS
T+ =
Form mit H: dH V dpdS
T =
Entropiebilanz bei geschlossenen Systemen
Instationre Entropiebilanz: =+ ddSSS irrQ
Differentielle Form: dSSTQ irr =+
Quasistatische Zustandsnderung vom Zeitpunkt c bis d:
S S S SQirr
12 12 2 1+ =
SQTQ12
1
2= Entropie der Wrme
Sirr12 Entropieproduktion im System
1 12 2
S m sS m s
= = Entropie im Fluid
Sonderfall: Adiabate Mischung
irr12 2 1S S S=
9/2
Entropiebilanz bei offenen Systemen
Instationre Entropiebilanz: S S S S dSdQ zu ab
irr+ + = Stationre Entropiebilanz vom Eintritt c zum Austritt d:
S S S SQ
irr12 12 2 1+ =
SQTQ12
1
2= Entropie des Wrmestroms
irr12S Entropieproduktionsstrom im System S m s1 1 1= Entropiestrom im Fluidstrom S m s2 2 2= Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 stationrer Flieproze
( )12irr1212Q ss mSS =+
Differentielle Form: dssTq irr
2
1=+
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen
= 12irr12 SSS
10/1
Exergiebilanz Exergiebilanz bei geschlossenen Systemen Form mit Exergie der inneren Energie:
E W W E E EQ N diss V u u12 12 12 12 2 1+ + = ( ) ( )
ET T
TQQ
u12
1
2= Exergie der Wrme
( )12u12V12N VVpWW += Nutzarbeit
2
1
V
V12 r12V
W pdV W= +
Volumennderungsarbeit
W W Wdiss el W12 12 12= + + ... Dissipierte Arbeiten
irr12u12v STE =
Exergieverlust im System
E m eu u( ) ( )= Stoffgebundene Exergie der inneren Energie
Form mit Exergie der Enthalpie:
2
1
P
Q12 r12 diss12 v12 2 1P
E V dp W W E E E+ + + = E m e= Stoffgebundene Exergie (der Enthalpie)
10/2
Exergiebilanz bei offenen Systemen
Stationre Exergiebilanz vom Eintritt c bis Austritt d:
=++ st1st212v12dissst12t12Q EEEWPE
mit E T TT
QQu
121
2= Exergie des Wrmestroms
irr12u12v STE = Exergieverluststrom im System ( )st 2 st11 1 1 1 1 1 12E m e c g z m e= + + = Exergie im Stoffstrom am Eintritt ( )st 2 st12 2 2 2 2 2 22E m e c g z m e= + + = Exergie im Stoffstrom am Austritt Sonderfall: Ein Eintritt und ein Austritt ( ) m m m= =1 2 stationrer Flieproze
( ) ( ) ( )st 2 21Q12 diss12 v12 2 1 1 2 1t12 22E P W E m e e c c g z z + + = + +
Exergetischer Wirkungsgrad: Nutzen
exAufwand
EE
=
Sonderfall: Adiabate Mischung von Fluidstrmen
= st1st212v EEE
10/3
Energieformen als reine Exergie Spez. Nutzarbeit am Kolben bei geschlossenen Systemen:
( )12u12vNN vvpwwe +== Spez. Technische Arbeit bei offenen Systemen:
2
1
p
t t r12p
e w v dp w= = + Spez. Elektrische Arbeit: elel we = Spez. Wellenarbeit: WW we = Spez. kinetische Energie: 21kin 2e c= Spez. potentielle Energie: e g zpot = Energieformen mit Exergie und Anergie Spez. Exergie (der Enthalpie): - bei offenen Systemen
( ) ( )uuu ssThhe =
Spez. Exergie der inneren Energie: - bei geschlossenen Systemen
( ) ( ) ( )uuuuu)u( vvpssTuue += Spez. Exergie der Wrme: =
2
1
uq qT
TTe
Energieformen als reine Anergie Spez. Enthalpie bei Umgebungszustand: ( )h f p T hu u u= =, , 0eu = Spez. Innere Energie bei Umgebungszustand: ( )u f p T uu u u= =, , 0e u)u( = Spez. bertragene Wrme bei T=Tu: ( )q T s su12 2 1= , 0)T(e uq = Spez. Volumennderungsarbeit bei p=pu: ( )w p v vV u12 2 1= , Vw ue (p ) 0=
11/1
Einfache technische Prozesse Drosselentspannung - Nherung: adiabat
constm =
1p1 , T1c1 , z1
p < p2 1
2, T2
c2 , z2
H Hst st2 1= ( )irr 2 112S m s s=
( )v12 U 2 1E m T s s= , st1
st2
exEE=
Sonderfall: c c z z2 1 2 1 ,
h h2 1=
h = const
h
p p1 2
s s s1 2
h = h2 11 2
v v1 2
Reale Fluide: T2 < T1 falls c innerhalb Inversionskurve T2 > T1 falls c auerhalb Inversionskurve ( ) ( )11212 T,psh,p = sss z.B. WDT wobei )T,p(fh 11= z.B. WDT
Ideales Gas: T T T2 1= = s s R
pp
Rvv2 1
2
1
2
1 =
=
ln ln
Ideale Flss.: T T T2 1= = und v v vif2 1= =
( )if2 1 2 1dv (T)s s p pdT = wobei if if ifdv (T) v (T T) v (T T)dT (T T) (T T)
+ +
mit T = 0,1...1 K bzw. benachbarte Tabellenwerte zu T
mit vif if=1 wobei
if f T= ( ) Stoffwerte
gute Nherung v v Tif = ' ( ) z.B. WDT
11/2
Verdichtung (Kompression) - Nherung: Verdichter, Pumpe - adiabat
( ) ( ) ( )( )
st 2 21t12 2 1 2 1 2 12
2 1 2s 1sV
P m h h c c g z z1mit h h h h
= + + = +
2 2
mFlssigkeit Gas
Dampf
Pt12st
adiabat
M M
1 1
Pumpe Verdichter(Kompressor)
m
p2>p1
sV Pt12st
1 1 1 2s 2 1Fr realesFluid : h = f(p ,T ) , h = f(p ,s ) WDT
( )
( ) ( )
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 2s 1sV
1
22s 1
1if
2s 1 m 2 1
Fr ideales Gas mit c , const :
h h c (T T )1T T (T T )
pmit T Tp
Fr ideale Flss : h h v p p
= =
= + =
=
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte ( )
( )irr
2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= =
h p
s s
p
h
hh
s
w w
2
1 2
1
1
2
2s
t12s t12
1
s12irr
2s2
Isentroper Verdichtergtegrad (innerer Wirkungsgrad)
sV t st
sww
h hh h
= = 12
12
2 1
2 1
Sonderflle: Fr Ideales Gas mit c constpmig =
oder Ideale Flss. mit c constpm
if = : sV s
T TT T
= 2 1
2 1
Nherung: adiabate reversible Verdichtung s=const
2 = 2s
sV
t t s sw w h h== = 1
12 12 2 1
11/3
Turbinenentspannung (-expansion) - Nherung: Turbine adiabat Gasturbine Dampfturbine Wasserturbine
( ) ( ) ( )( )
= + + = +
st 2 21t12 2 1 2 1 2 122 1 sT 2s 1
P m h h c c g z z
mit h h h h
1
2adiabat
G
-Pt12st
sT
m
Fr reales Fluid h f p T h f p ss: ( , ), ( , )1 1 1 2 2 1= = WDT
( )
( ) ( )
1
igpm
ig2 1 pm 2 1
2 1 sT 2s 1
22s 1
1
if2s 1 m 2 1
Fr ideales Gas mit c , const :
h h c (T T)T T (T T)
pmit T Tp
Fr ideale Flss: h h v p p
= =
= + =
=
h h Tif1 1= ( ) Stoffwerte ( )
( )irr
2 112
v12 u 2 1
S m s s
E m T s s
= =
s s s1 2
p1 p2
h
hh
h1
2
2s
-wt12
2
1
2s
-wt12s
s12irr
Isentroper Turbinengtegrad (innerer Turbinenwirkungsgrad)
2 1t12sT
t12s 2s 1
h hww h h
= =
Sonderflle: Fr Ideales Gas mit c constpmig =
oder
Ideale Flss. mit c constpmif = :
sTs
T TT T
= 2 1
2 1
Nherung: adiabate reversible Entspannung s=const
2 = 2s
sT
t t s sw w h h== = 1
12 12 2 1
11/4
Reversible Zustandsnderungen idealer Gase von c nach d fr cp, cv, = const p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v = = = = = +, , , ,
1
11
vv2
1= p
p2
1= T
T2
1= u u2 1 = h h2 1 = s s2 1 =
Isochore v constpT
const==
vv2
11= p
pTT
2
1
2
1= T
Tpp
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
s s cTTv2 12
1 =
ln
Isobare p constvT
const==
vv
TT
2
1
2
1= p
p2
11= T
Tvv
2
1
2
1=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
s s cTTp2 12
1 =
ln
Isotherme T const
p v const= =
vv
pp
2
1
1
2= p
pvv
2
1
1
2= T
T2
11= u u2 1 0 = h h2 1 0 =
s s Rpp
s s Rvv
2 12
1
2 12
1
=
=
ln
ln
Isentrope s const
p v const=
=vv
pp
vv
TT
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=
=
pp
TT
pp
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=
=
TT
pp
TT
vv
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=
=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
s s2 1 0 =
Polytrope
p v constn = v
vpp
vv
TT
n
n
2
1
1
2
1
2
1
1
2
11
=
=
pp
TT
pp
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
=
=
TT
pp
TT
vv
nn
n
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
=
=
( )u u c T Tv2 1 2 1 =
( )h h c T Tp2 1 2 1 =
2 1
2v
1
s s
Tn c lnn 1 T
= =
11/5
Reversible Prozesse idealer Gase von c nach d fr cp, cv, = const p v R T c R c R c c c c Rp v p v p v = = = = = +, , , ,
1
11
q12 = wv12 = (bei geschl. Systemen) wt12 = (bei stat. off. Systemen) Isochore
v const pT const= =, ( )q c T Tv12 2 1= w v12 0= ( ) ( )w v p p R T Tt12 2 1 2 1= = Isobare
p const vT const= =, ( )q c T Tp12 2 1= ( ) ( )w p v v R T Tv12 2 1 2 1= = w t12 0=
Isotherme T const
p v const= =
q w wv t12 12 12= = w w q R T vv R Tpp
p v p vv t12 12 12 21
2
11 1 2 2= = =
=
= ln ln mit: R T =
Isentrope s const
p v const=
=q12 0= ( ) ( )w c T T R T Tv v12 2 1 2 11= =
11 2
v121
R T pw 1
1 p
=
wR T v
vv121 1
2
1
11=
mit: R = T p v1 1 1 w wv t12 12
1=
( ) ( )w c T T R T Tt p12 2 1 2 11= = 1
2t12 1
1
pw R T 1
1 p
=
w R Tvvt12 1
1
2
1
11=
mit: R = T p v1 1 1 w wt v12 12=
Polytrope p v constn =
( )( )
( )
q c T T w
q c T T w
q nn
R T T
v v
p t
12 2 1 12
12 2 1 12
12 2 11 1
= = =
( )( )( )
n 1n1 2
v121
R T pw 1
n 1 p
=
wR Tn
vvv
n
121 1
2
1
11=
mit: R T p v = 1 1 1 ( )w Rn T T w n wv v t12 2 1 12 121 1= - =
n 1n2
t12 11
pnw R T 1n 1 p
=
wn
nR T
vvt
n
12 11
2
1
11=
mit: R T p v = 1 1 1 ( )w R nn w n wt t v12 12 121= = T T2 1
12/1
Eindimensionale stationre Wrmeleitung ohne Wrmequellen (=const) Gleichung des Temperaturfeldes: divgrad t = 0
Wrmestromdichte: (Betrag)
q grad t= AQq =
Wrmestrom durch Wand:
tQR
= wi wat t t =
Wrmeleit- widerstand: R Am
= - Wanddicke
- mittlere vom Wrmestromdurchdrungene Flche
Am
Ebene Wand:
= dtgrad tdx
xi xax
t
Q
Q
A
Ai
twi
twitwatwa
t x)Eb(
a
= x xa i
Temperaturverlauf (linear)
( ) ( )t x) t t t x xEb wi wi wa i( =
Ebm i aA a b A A A const= = = = =
(a, b Abmessungen der Wand)
Nherung fr wandartige Gebilde Zylinderwand:
RohrwandHohlzylindermit Lnge l
= dtgrad tdr
rir
t
Q
Q
A
Ai a
twi
twitwatwai
a
ra
t rZyl( )
( )1a i a i2r r d d = =
Temperaturverlauf (logarithmisch)
( )t r t t trrrr
Zylwi wi wa
i
ai
( )ln
ln=
( ) = = a iZyl a i
ma ai i
d d A AA ld Aln lnd A
Nherung fr kanalartige Gebilde bei AA
a
i< 3
Kugelwand:
= dtgrad tdr
i a
Kug t(r)
ri r
t
ra
twi twatwa
twi
Ai
Aa Q
Q
( )1a i a i2r r d d = =
Temperaturverlauf (hyperbolisch)
( )t r t t t r rr r
Kugwi wi wa
i
i a
( ) =
1 1
1 1
( )Kug a im a i
i a
d dA A A
1 1d d
= =
Nherung fr geschlossene Gefe bei AA
a
i< 3
(logarith-misches Mittel)
(geomet-risches Mittel)
13/1
Eindimensionaler stationrer Wrmedurchgang ( , = const)
x = x1
t
Q
A , A
i a
i ax2
a
k
, i
A
B
C
tFtW
tW
Am Am Am
i x3 x = x4a
t FtW = tW
2
3
B CA
a 4
a
itW = t Wi 1
x
Sonderfall: Ebene Wand A A A A consti m aj= = = = (j = A, B, C)
Wrmestrom:
k
kk R
tQ = k F Fi at t t = Wrmedurchgangswiderstand R R R Rk
ji j a
= + + (j = A,B,C)
iiaak Ak
1Ak
1R ==
ka - Wrmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Flche Aa ki - Wrmedurchgangskoeffizient
bezogen auf Flche Ai
Wrmebergangswiderstnde RAi i i
= 1
RAa a a
= 1
- Wrmeber-
gangskoeffizient
Wrmeleitwiderstand der Schicht j (j = A, B, C) R
Ajj
j m j
=
Kontinuittsgleichung des stationren Wrmestroms:
Q Q Q Q Qk i j a= = = =
i j akk i j ak i j a
t t ttQ , Q , Q , QR R R R
= = = =
13/2
Verallgemeinerung:
thRtQ = Rth - thermischer Widerstand zwischen den Temperaturen von t
Berechnung des thermischen Widerstandes:
i a
a
F
i
1
6
2345
t Fi t aQ.
Nherung fr Vernachlssigung der W-Strme quer:
R R R R R Rth i a= + + + + 1 2 5 6 (Reihenschaltung)
1 1 1 1 1
2 5 2 3 4 5R R R R R
= + + + (Parallelschaltung)
Wrmedurchgang bei aneinander vorbeiflieenden Fluiden (durch Wand getrennt)
aGl
i
Geg0
A
k
ia
am.
m.
Q.
m.
Gl - Fluide im Gleichstrom Geg - Fluide im Gegenstrom
Temperaturschaubild
k
i
Weg
t
Wand Glkt
GegktGl
kt Gegkt
00 A
A
A0
i
a
m.
aGegm
.aGlm
.
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen mi und ma von 0 bis A :
A
0
A0
k
k
kkmk
tt
ln
ttt
= ai0 FFk ttt = 0
aiA FFk ttt = A
Hinweis: Unterschied ob Gleich- oder Gegenstrmer
Wrmestrom k
mk
k RtQ =
14/1
Konvektiver Wrmebergang Wrmestrom (NEWTONsches Wrmebergangsgesetz)
= tAQ F W F W1 2
F W1
F W2
t t t tt
t tln
t t
=
tF ndert sich von tF1 auf tF2,
bei Mittelwert tW
mF Wt t t = bei Mittelwerten fr Fluidtemperatur mFt
und Wandtemperatur tW
Wrmeber- gangskoeffizient:
= Nulchar
bei tst
Nu - Nuelt-Zahl lchar - charakteristische Lnge fr jeweilige Geometrie
Fluid
Reynolds -Zahl: Re = c lchar bei tst
- Wrmeleitkoeffizient c - Geschwindigkeit
- kinematische Viskositt = - dynamische Zhigkeit
Prandtl -Zahl: Pr = = acp
, cp, bei tst
- Dichte = 1v
a - Temperaturleitkoeff. a cp=
Grashof -Zahl:
= tlg1Gr 3char2
, bei tst
- isobarer Volumenausdehnungskoeffizient
=
toffwerteS
Flss. fr )T(
Gase ideale fr T1=
stpst
Stoffwerte bei Stoffwert- Temperatur tst Korrekturfaktor fr Temperatur-Abhngigkeit der Stoffwerte falls in Nu-Glg. angegeben Gase: KT =
=
10 14
Flssigkeiten KTW
:,
Dyn. Zhigkeit des Fluids bei Stoffwerttemp. tDyn. Zhigkeit des Fluids bei Wandtemp. t
st
WW
g - Erdbeschleunigung
14/2
Freie Konvektion Nu = f (Gr,Pr) Platten, Zylinder, Kugeln F WQ A t t =
Nu Gr Gr KT= +
011
13 0 1, ( Pr) ( Pr) , ( )t t tst F W= +12
gltig fr Pr , , ( Pr)> 0 5 10 107 12Gr lchar = Hhe bei senkrechten Wnden und Rohren lchar = Auendurchmesser bei waagerechten Rohren und Kugeln lchar = kleinere Seitenlnge bei waagerechter Platte Enge Spalte
2 1W WQ A t t =
Nuk Grm Gr
n= + + 1
( Pr)( Pr) ( )t t tst W W= +0 5 1 2,
gltig fr Pr , , ( Pr)> 0 5 1700 108Gr
Nu = 1 fr (Gr Pr)
14/3
Erzwungene Konvektion Nu = f (Re,Pr) Strmung in Rohren
=
F W F W1 2F W1
F W2
t t t tQ A
t tln
t t
bzw. mF WQ A t t =
A - durchstrmteQuerschnittsflche
U - benetzter Umfangq
q
Sonderfall: Kreisrohr d dgl i=
tW - mittlere Wandtemperatur tF1 - Eintrittstemperatur Fluid tF2 - Austrittstemperatur Fluid L - Rohrlnge
Laminare Strmung bei Re < 2300
Nu
dL
dL
K
gl
glT= +
+
3 66
0 0677
1 01
133
0,83,, Re Pr
, Pr Re
,
( )= +=
1st F F1 22
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
gltig fr: 6,0Pr,32
LgldPrRe >>
Turbulente Strmung bei Re 2300
( ) ( )Nu dL Kgl T= +
0 0235 230 1 18 0 80,8 0,3
23
, Re , Pr , ( )1 21st F F2
mst F
t t t
bzw. t t (Mittelwert)
= +=
gltig fr: L 6 31 , 2300 Re 10 , 0,6 Pr 10
dgl> < < 0,6
Turbulente Grenzschicht bei Re 3,5 105
Nu KT= 0 037 0 8 0 43, Re Pr, , 1Fst tt = gltig fr: 0,6 Pr 100
glchar dl = d AUglq
q= 4 mFt - mittlere Fluidtemperatur
15/1
Wrmestrahlung
Strahlungskoeffizient: C Cs= = a - Emissionsverhltnis a - Absorptionskoeffizient
8
s s 2 4WC 10 5,67051
m K= =
- Strahlungskoeffizient des
Schwarzen Strahlers
Emittierter Energiestrom: E C A T= 1004
Wrmestrom durch Strahlung
Q C A T T12 12 1 14
24
100 100=
a) Sich umhllende Krper ( innerer Krper)
1 2Q12
1
C
CAA C Cs
12
1
1
2 2
11 1 1
=+
b) unendlich groer Raum
Q122
1
bei: A2 >> =A AA11
20
C C12 1= c) und unendlich groe parallele Wnde
Q1221
bei: A2 =A AA11
21
falls Abstand viel kleiner als Abmessungen der Wnde
s21
12
C1
C1
C1
1C+
=
15/2
d) Berechnung mit Einstrahlzahl
.1
2Q12
++=
s22
1
s12s1 C1
C1
AA
C1
C1
C1
1C12
12 Einstrahlzahl Diagramme fr bestimmte Geometrien
Reziprozittsbeziehung: 12 1 21 2 = A A Wrmebergangskoeffizient durch Strahlung
1 U2Q12
Str CT T
T T=
12
14
24
1 2
100 100( )
Strahlungsschirm Strahlungs-
schirm (Sch)
3 1
Sch12Q
3
sch12 13 32Q Q Q= =
4 4
Sch 1 212
1 13 3 32
T T1Q 1 1 100 100A C A C
= +
T C AT
C AT
C A C A3
4 13 11
4
32 32
4
13 1 32 3100100 100
=
+
+
16/1
Rekuperatoren (Wrmetauscher)
Festlegungen:
H - Heizmedium gibt Wrme ab K - Khlmedium nimmt Wrme auf 1 - jeweils Eintritt von H und K 2 - jeweils Austritt von H und K
0 - Eintritt Heizmedium (a = 0) A - Austritt Heizmedium (a = A)
a - laufende Heizflche (a = 0 ... A) A Heizflche des Wrmebertragers
Wrmekapazittsstrom: pC m c=
Q k A tj j HKm=
Mittlere Temperaturdifferenz zwischen Heiz- und Khlmedium:
0 A
m HK HKHK 0
HKAHK
t tt
tln
t
=
Gleichstrom: 1K1H0HK ttt =
2K2HAHK ttt =
Gegenstrom: 2K1H0HK ttt =
t t tHKA H K= 2 1
Sonderfall bei Gegenstrom und KH CC = : m 0 AHK HK HKt t t = = Q C tH H= t t t C m cH H H H H pH= = 1 2 , ,
H2 H1
o o
t t
pH H2 o pH H1 ot tH2 H1
pHH2 H1 H2 H1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
= =
to Bezugstemperatur fr Enthalpie
Nherung: 1pH p H1 p H22c c (t ) c (t ) + Stoffwerte
Q C tK K= t t t C m cK K K K K pK= = 2 1 , , K2 K1
o o
t t
pK K2 o pK K1 ot tK2 K1
pKK2 K1 K2 K1
c (t t ) c (t t )h hct t (t t )
= =
to Bezugstemperatur fr Enthalpie
Nherung: 1pK p K1 p K22c c (t ) c (t ) + Stoffwerte
j Flchenbezug j = i Innenflche j = a - Auenflche
16/2
( )H H1 K1Q C t t= ( )Betriebscharakteristik
tt
H
H1 := tK1
j j H
H K
k A Cf ;C C =
mit k A
Ct
t
CC
tt
j j
H
H
HKm
H
K
K
H
= = ;
Sonderfall: Verdampfer tK = 0
( )1K2KK hhmQ = , CCHK = 0 Sonderfall: Kondensator tH = 0
( )2H1HH hhmQ = , KH
C 0C
=
( ) = 1K1HK ttCQ ,
== 0
CC;
CAk
fH
K
K
jj
, ( )1K1HKtt
t: =
j Flchenbezug j = i Innenflche j = a - Auenflche
Diagramme fr - Gleichstrmer - Gegenstrmer - Kreuzstrmer
17/1
Instationre Wrmeleitung
Zu- bzw. abgefhrte Wrme
[ ]omp t)(tcV)(Q = tm() - Mitteltemperatur des Krpers nach Zeit
Quasistatische instationre Wrmeleitung Nherung fr langsame Erwrmung bzw. Abkhlung von kleinen Krpern mit guten Wrmeleiteigenschaften J Mitteltemperatur tm im gesamten Krper gleich gro
Anfangstemperatur tim gesamten Krpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit = 0
Mittlere Temperatur im Krperverndert sich mit Zeit
t = f ()m
Krper mit- Masse m- Oberfche A
p- c
Fluid mit Temperatur t = constF
o
Definition: Normierte Mitteltemperatur
Fo
Fmm tt
tt=
Normierte Mitteltemperatur als Funktion der Zeit: m
p
A( ) expm c
=
17/2
Analytische Lsung nach Grber fr symmetrische Bedingungen
Anfangstemperatur tim gesamten Krpergleich
o
Eintauchen in Fluid zur Zeit = 0
Temperatur im Kern t = f ()K
Krper mit
- geometrische Lnge L
Fluid mit Temperatur t = constF
geo
Temperatur an Oberflche t = f ()W
Mitteltemperatur t = f ()m
p- m, c ,
o
Funktionaler Zusammenhang
Temperatur Zeit Stoffwerte
Fo
FKK tt
tt=
Fo
FWW tt
tt=
Fo
Fmm tt
tt=
Normierte Temperatur
2geo
aFoL
=
Fourier-Zahl
mit: acp
=
=geoLBi
Biot-Zahl
bei tW bekannt: Bi = und Berechnung fr tF = tW
im Diagramm fr
Unendliche ebene Wand (Platte) Lgeo = 2 ; - Wanddicke
Unendlich langer Zylinder L dgeo = 2 ; d - Durchmesser
Vollkugel L dgeo = 2 ; d - Durchmesser
17/3
Nherungen fr weitere Geometrien:
Plattenhnliche Gebilde LVAgeo
Zylinderhnliche Gebilde LVAgeo
2 V - Volumen A - Oberflche Kugelhnliche Gebilde L
VAgeo
3
Superpositionsprinzip
= x y z Beispiel: Endlicher Zylinder als berlagerung von:
unendlich groe Platte
(Pl) unendlich
langer Zylinder (Zyl)
d
c
d
f
e
f
e
Temperatur an Stelle : = KPl KZyl
: = KPl WZyl
: = WPl WZyl
: = WPl KZyl