ELEMENTE DE GEOMETRIE FRACTALA

ELEMENTE DE GEOMETRIE FRACTALA

In incercarea de a patrunde mai adanc tainele naturii, oamenii au confectionat anumite modele pentru a le simplifica intelegerea unor fenomene si a unor obiecte observate. De multe ori modele elaborate s-au dovedit a fi simpliste si mult inferioare in fata complexitatii naturii. Odata cu dezvoltarea omenirii si cu evolutia stiintei, s-a incercat elaborarea unor modele mult mai complexe care sa conduca la concluzii cat mai apropiate de fenomenele reale observate.

Una dintre stiintele pe care omul a incercat sa o elaboreze si mai apoi sa o perfectioneze a fost geometria. Geometria clasica, denumita si euclidiana, opereaza cu forme geometrice de obicei regulate (dreapta, patrat, triunghi etc.). Dupa mai bine de 2000 de ani apar si alte geometrii si anume geomtriile neeuclidiene. Conform acestora, postulatul paralelelor nu mai este valabil, cladindu-se un nou postulat care admite constructia a doua drepte paralele printr-un punct exterior unei drepte date. Parintii acestor geometrii au fost rusul Nikolai Lobacevski (1792-1856) si Janos Bolyai (1802-1860) de origine maghiara.

In a doua parte a secolului al XIX-lea si inceputul secolului al XX-lea, anumiti matematicieni afirma gasirea unor entitati geometrice exceptionale denumite si "monstrii matematici", fara nicio asemanare cu figurile si corpurile geometrice studiate pana atunci. Printre cei care prezinta astfel de "monstrii matematici" se numara: Georg Cantor, Helge von Koch, Felix Hausdorff, Giuseppe Peano s.a.

Termenii cheie din geometria fractala sunt:

initiator: segmentul, curba sau forma initiala.

generator: regula folosita pentru a construi o noua curba sau forma din cea obtinuta anterior.

iteratie: procesul de repetare a aceluiasi pas iar si iar.

Matematicianul francez Benoit Mandelbrot isi da seama ca "monstrii matematici" se regasesc in natura, ba mai mult, ca natura ofera aproape in excusiviatate astfel de forme (de exemplu: linia care separa tarmul unei insule de apa marii, distributia cutremurelor pe Pamant, forma muntilor, forma raurilor). El observa ca forma unui munte nu este cea a unei piramide sau a unui con in realitate, ca norii nu sunt sfere etc. In natura nu intalnim de fapt forme geometrice simple, regulate ci forme complexe si unice. Astfel s-a nascut o noua stiinta care studiaza aceste forme complexe denumita GEOMETRIA FRACTALA. Mandelbrot spunea: "Fractalii sunt forme geometrice care contrar celor ale lui Euclid, nu sunt deloc regulate. In primul rand, sunt neregulate peste tot. In al doilea rand au acelasi grad de neregularitate la orice scara. Un obiect fractal arata la fel cand este examinat de departe sau de aproape- este selfsimilar".

(linia de coasta) (cutremur)

(rauri) (munti)

Mandelbrot foloseste termenul fractal in sensul de neregulat, iar definitia pe care el o da este: "un ansamblu care prezinta aceleasi neregularitati la orice scara ar fi privit".

Fractalul, ca obiect geometric, are in general urmatoarele caracteristici:

este auto-similar (macar aproximativ sau stochastic): daca se mareste orice portiune dintr-un fractal, se vor obtine (cel putin aproximativ) aceleasi detalii cu cele ale fractalului intreg.

are o definitie simpla si recursiva pentru a va imagina fractalul corespunzator unei functii f(x), considerati elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.

are detaliere si complexitate infinita: orice nivel de magnificare pare identic si are o structura fina la scari infinit de mici.

Pe langa proprietatea de autosimilaritate, fractalii sunt, de regula, entitati geometrice cu dimensiune neintreaga.

In matematica, notiunea de dimensiune este acceptate in mai multe formulari printre care cele mai uzuale fiind cele de dimensiune topologica, dimensiune Hausdorff, dimensiune de autosimilaritate (de capacitate), dimensiune compas (fractala).

Din punctul de vedere al dimensiunii topologice, punctul are dimensiunea 0, dreapta sau curba dimensiunea 1, suprafata dimensiunea 2 s corpul volumic dimensiunea 3. In aceste cazuri dimensiunea este un numar intreg.

Fractalii au dimensiune fractionara. O astfel de dimensiune este cea fractala specifica fractalilor.

1.MULTIMEA LUI CANTOR

Mulimea lui Cantor (sau discontinuul lui Cantor sau praful lui Cantor) este un concept n cadrul topologiei atribuit matematicianului Georg Cantor.

CONSTRUCTIE

Se considera un segment de dreapta. Eliminand treimea mijlocie se obtin doua segmente a caror lungime este egala cu 1/3 din segmentul initial. Se continua operatia si se elimina treimea mijlocie ale celor doua segmente. Se obtin patru segmente ale caror lungimi sunt egale fiecare cu 1/9 din lungimea initiala a segmentului. Extinzand procedeul la infinit se obtine multimea Cantor. Este de observat ca reducand scara de la 1:1 la 1/3, 1/32,...,1/3n, va fi mereu aceeasi imagine, fiind pus in evidenta astfel caracterul de autosimilaritate.

AICI E UN GIF CU MODUL DE CONSTRUCTIE AL MULTIMII:

http://pages.cs.wisc.edu/~ergreen/honors_thesis/IFS.html2.CURBA LUI VON KOCH

Aceasta a fost introdusa de matematicianul suedez Helge von Koch in 1904 intr-un articol intitulat "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire".

CONSTRUCTIE

Fie un segment de dreapta. Eliminand treimea mijlocie si inlocuind-o cu doua segmente egale, rezulta linia franta ce are segmentele egale cu 1/3 din segmentul initial. Se continua procedeul cu fiecare segment al liniei frante, adica se elimina treimea mijlocie si se inlocuieste cu doua segmente egale cu 1/9 din cel initial. Extinzand procedeul la infinit se obtine curba lui von Koch. Daca se reduce scara la 1/3, 1/32,...,1/3n, se observa aceeasi imagine (autosimilaritate).

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Von_Koch_curve.gif Fulgul de zapada al lui Koch se obtine pornind de la un triunghi echilateral, inlocuindu-se treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat sa se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se executa aceiasi pasi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. La fiecare iteratie, perimetrul aceste figuri creste cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui numar infinit de executii ale acestor pasi, si are lungime infinita, in timp ce aria sa ramane finita.

3.COVORUL LUI SIERPINSKI

Este o alta forma de repartizare a unor goluri pentru a modela o "sita naturala". In acest caz, factorul de scara este 3, adica initiatorul constituit dintr-un patrat plin este divizat n 9 parti egale din care se ndeparteaza partea centrala. Raportul de masa este 8, adica sunt 8 patrate verzi ramase prin eliminarea celui din mijloc.

CONSTRUCTIE

Fie un patrat cu latura egala cu unitatea. Se imparte fiecare latura in trei parti egale. Se obtin asadar 9 patrate cu latura 1/3. Eliminand patratul din mijloc, se obtin 8 patrate ale caror laturi vor fi impartite din nou in cate 3 parti egale. Se formeaza 72 patrate cu latura 1/9. Eliminand patratul din mijloc de latura 1/9 din fiecare cele 8 patrate, raman 64 patrate cu latura 1/9. Repetand operatia de foarte multe ori, se obtine covorul lui Sierpinski.

4.SITA LUI SIERPINSKI

Probabil cel mai cunoscut fractal al tuturor timpurilor este asa-numitul triunghi al lui Sierpinski. In 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul si un an mai tarziu, covorul.

Modul de realizare al acestui fractal este foarte simplu: la inceput se deseneaza un triunghi care se divizeaza in patru parti egale, iar trei dintre ele (cele din exterior) vor fi si ele divizate (folosind acelasi procedeu), procesul continuand la infinit pentru toate triunghiurile formate.

Un alt mod de realizare consta in considerarea unui triughi echilateral. Eliminand triunghiul median, vor ramane trei triunghiuri congruente cu triunghiul median eliminat. Eliminand in continuare triunghiurile mediane ale acestor trei triunghiuri s eobtine o figura formata din trei triunghiuri echilaterale congruente cu triughiurile mediane eliminate. Extinzand procedeul la infinit se obtine o multime de triunghiuri ce alcatuiesc sita lui Sierpinski. Este evident ca reducand scara la 1/4, 1/42,...,1/4n, se observa mereu aceeasi imagine (autosimilaritate).

5.BURETELE LUI MENGER

Se considera un cub cu muchia egala cu unitatea. Se imparte fecare muchie a cubului in trei parti egale. Se obtin 27 de cuburi de muchie 1/3. Se elimina acum cuburile d epe randurile centrale. Vor ramane 20 de cuburi de muchie 1/3. Se continua procedeul cu fiecare din aceste 20 de cuburi. Se vor obtine 400 de cuburi de muchie 1/9. Continuand procedeul de un numar foarte mare de ori se obtine buretele lui Menger.

https://plus.google.com/photos/+annaritaruberto/albums/5956287816487579841/5956287822278221138?pid=5956287822278221138&oid=100838479986767739179http://www.pure-mirage.com/Gallery/MengerSponges/Menger%20Sponge%20Animation%202.gifMULTIMEA LUI MANDELBROT

Pentru a se obtine a doua imagine, prima imagine a fost marita de aproximativ 60.000.000.000 de ori,

Mulimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut n afara matematicii att pentru estetica sa, ct i pentru structura complicat, care are la baz o definiie simpl. Acest lucru se datoreaz n mare parte eforturilor lui Benot Mandelbrot i ale altora de a populariza acest domeniu al matematicii. Mulimea lui Mandelbrot se definete ca fiind mulimea acelor puncte c din planul complex pentru care aplicnd n mod repetat polinomul complex z2 + c (pornind de la z = 0) rezultatul rmne n interiorul unui disc de raz finit.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Mandelbrot_sequence_new.gifDe la fractalii lui Mandelbrot la cristalele de ghea ale lui Fournier, la triunghiul lui Sierpinski, vasele sanguine, frunzele copacilor, aripile fluturilor, frunzele de ferig, cochiliile melcilor, la conopid, floarea-soarelui, dunele de nisip ale deertului, ADN, coralii, lanurile de coast, ritmurile inimii, apa, chiar vntul i muzica totul este, de fapt, o repetare a unor motive, dup un anume algoritm i anumite reguli ce guverneaz Universul.

Geometria fractal nu a ptruns numai n fizic, ci i n medicin, climatologie, geologie, seismic, cinematografie i chiar marketing i economie, care toate utilizeaz programe de simulare fractal. Exista chiar si muzica si arta fractale.

In medicina, s-au dezvoltat studii serioase in ceea ce priveste generarea unor fractal ice modeleaza structura pulmonara, reteaua neuronala a creierului, reteaua de vascularizare a organismului precum si alte organe a caror structura se preteaza la o modelare fractala.FRACTALII IN NATURAIn natura, sunt considerati fractali muntii presarati cu stanci colturoase, corola unui arbore sau radacinile acestuia raspandite in sol in toate directiile, norii al caror contur se modifica permanent, reteaua hidrografica, valurile marii, reteaua de vase sanguine, un fulg de zapada; chiar si Universul sau parti ale sale, avand o structura neregulata, pot fi considerate fractali. Caracteristicile fractalilor vin in contrast cu ordinea din geometria euclidiana si cu perfectiunea cristalelor din lumea fizica.

Arboriisiferigilesunt fractali naturali care pot fi modelati usor pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursiva este evidenta n aceste exemple o ramura a unui arbore sau o frunza a unei ferigi este o copie n miniatura a ntregului: nu identice, dar similare. O alta planta la care se poate observa usor auto-similitudinea esteconopida(saubroccoli).

Unii dintre cele mai impresionanti fractali din natura sunt:

Scoicile

Fulgul de zapada

Brocoli Romanesco

Feriga

Penele unui paun

Norii

FRACTALII IN ARTA

Astzi fractalii sunt folosii intensiv n garfica 3D, n special pentru generarea mediului nconjurtor textur, teren, vegetaie, fenomene atmosferice. O alt aplicaie aflat deocamdat n faza de dezvoltare const n compresia fiierelor care conin imagini, prin nlocuirea stocrii pixelilor cu determinarea unor parametri care s permit re-generarea, mcar pe fragmente, a imaginii. In sfrit, s amintim existena unui numr mare de programe de trasare a fractalilor (unele chiar freeware) care au dus la apariia unui adevrat curent artistic arta fractal.Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de unii oameni in arta, colorati in manifestarile lor diferite si grupati in galerii de imagini fractale, pentru a ului si pentru a provoca imaginatia. De asemenea, fractalii mai pot fi utilizati pentru amodela cu precizie muzicaprodusa de diferiti compozitori. Fractalii se regasesc si in unelepicturi, precum si in arta siarhitecturaafricana.

http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/Nature/NatFracGallery/NatFracGallery.htmlhttp://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractalihttp://ro.wikipedia.org/wiki/Mul%C8%9Bimea_lui_Cantorhttp://www.math.uaic.ro/~necula/down_files/fractali2015/curs_01_introducere.pdfhttp://ulechiusa.3x.ro/covorul.htmhttp://webecoist.momtastic.com/2008/09/07/17-amazing-examples-of-fractals-in-nature/?ref=searchhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Mul%C8%9Bimea_lui_Mandelbrot#Propriet.C4.83.C8.9Bi_de_baz.C4.83http://ro.wikipedia.org/wiki/Fractal#Istoriehttp://mariacalinescu.eu/e-business/ce-sunt-fractalii/https://matematicasiteologie.wordpress.com/2013/08/30/geometria-naturii/http://www.wired.com/2010/09/fractal-patterns-in-nature/