04. 01. 2011 1

FFZS-10 Úvod do moderní fyziky I

Co předcházelo kvantové fyzice

Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029

http://webak.upce.cz/~stein/lectcz/ffzs_10.html

04. 01. 2011 2

*Písemná práce• Nádobu (Papinův hrnec) o objemu 0.05 m3 uzavřeme za běžných podmínek 105 Pa a 30° C pevným víkem s

manometrem a ohřejeme na 90° C.• Vysvětlete, jaké veličiny se musely změnit uvnitř nádoby a jak?• Jaký tlak naměříme?

• Měděným drátem o průřezu 3 mm2 teče proud 20 A. MCu = 63.5 g/mol a Cu = 8.95 g/cm3. Předpokládáme, že volnými nosiči jsou elektrony a každý atom přispívá jedním.

• Co dělá vodič vodičem a proč přispívá každý atom Cu právě jedním elektronem?• Jakou mají volné nosiče náboje hustotu a driftovou rychlost?

• Máme k dispozici několik spojných čoček dvojího typu o f1 = 5 cm a f2 = 2 m.• Sestavte z libovolného množství čoček co nejjednodušší dalekohled, popište ho a nakreslete.• Jaké bude mít zvětšení a bude obraz přímý nebo převrácený?

• Máme deskový kondenzátor C = 1 pF nabitý na 100 V. Po odpojení zdroje k němu připojíme kvalitní voltmetr. Potom mezi desky vložíme dielektrickou destičku o relativní permitivitě r = 100.

• Co očekáváme, že ukáže voltmetr a proč?• Jak se změní energie kondenzátoru?• Bude nutné vkládat destičku do kondenzátoru silou nebo tam bude vtažena? Odůvodněte!

04. 01. 2011 3

Hlavní body• Částicové vlastnosti vln

• Záření černého tělesa – Planckův zákon• Fotoelektrický jev• Comptonův jev

• Vlnové vlastnosti částic• DeBrogliovy vlny • Elektronová difrakce

• Představy o stavbě atomu• Rentgenovo záření• Laser

04. 01. 2011 4

Záření černého tělesa I• Ze zkušenosti víme, že jsme schopni cítit sálání

blízkého teplého tělesa. Kromě kondukce a konvekce se totiž tepelná energie přenáší i EMA zářením - radiací.

• Při teplotách do cca 700° C je záření hlavně v infračervené oblasti. Při teplotách vyšších se objevuje výrazněji i jeho viditelná složka.

• Musíme si uvědomit význam přenosu energie radiací: Existence života na Zemi je téměř zcela založená na získávání radiační energie od Slunce.

04. 01. 2011 5

Záření černého tělesa II• Při studiu tepelného záření je nutné jej oddělit od

záření odraženého. Používáme idealizaci a mluvíme o dokonale černém tělese, jehož veškeré vyzařování je tepelné.

• Kromě schopnosti vyzařovat má každé těleso schopnost též záření absorbovat.

• Gustav Robert Kirchhoff ukázal, že tyto schopnosti jsou úměrné a když těleso dobře absorbuje, musí též dobře emitovat.

04. 01. 2011 6

Záření černého tělesa III• V roce 1879 objevil Josef Stefan zákon, který by později (1884)

teoreticky odůvodněn Ludwigem Boltzmanem :Z plochy S z materiálu s emitivitou o teplotě T odchází radiací tepelný výkon

konstanta = 5.67033 10-8 Wm-2K-4

• Je tedy zřejmé, že odvod tepla můžeme ovlivnit emitivitou povrchu. Pro studium vlastností zářiče je ale vhodné, aby záření bylo blízké záření černého tělesa.

• Koncem 19. století byl objeven systém zářící, jako d.č.ť.

4STtQP

Záření černého tělesa IV

Záření dopadající z vnějšku je dokonale pohlceno. (Podobně jako u oka)

Spektrum vycházejícího záření závisí pouze na teplotě tělesa.

04. 01. 2011 8

Záření černého tělesa V• Nepřekonatelnou obtíž však s sebou přinášely pokusy o

popis spektrálního chování teplotní závislosti intenzity záření černého tělesa.

• Dílčího úspěchu dosáhl v roce 1896 W. Wien, který formuloval empirický zákon, podle něhož se chovají maxima spektrálního rozdělení :

m je vlnová délka odpovídající maximu rozdělení

mKTm31090.2

04. 01. 2011 9

*Záření černého tělesa VI• Na přelomu 19. a 20. století ještě vznikla teorie Rayleigh-

Jeansova, která popisovala dobře dlouhovlnnou oblast spektra. Neexistovala ale teorie, která by dokázala popsat celé chování.

• Průlomem byl až (zpočátku empirický) vztah Maxe Plancka (1885-1947) (nyní Planckův zákon):

k = 1.38 10-23 J/K je Boltzmanova konstanta a h = 6.626 10-34 J s = 4.1356692 10-5 eV s je Planckova konstanta

1

12),( 5

2

kThc

e

hcTI

kT

04. 01. 2011 10

Záření černého tělesa VII• Planckův zákon byl průlomem nejen proto, že vysvětloval záření

černého tělesa, ale předpokládal systém skládající se z malých oscilátorků, jejichž energie nemohou dosáhnout libovolné hodnoty, ale jsou diskrétní :

• M. Planck považoval diskrétnost energií za pomůcku, díky níž bylo možné interpretovat data. Revolučnost myšlenky, že energie v mikrosvětě je kvantovaná veličina, rozeznal až Albert Einstein v roce 1905. Stanovil, že částice EMA záření – foton, má energii závisející na frekvenci právě podle Planckova zákona .

3,2,1 nnhfEkT

hfE

04. 01. 2011 11

Záření černého tělesa VIII• Záření černého tělesa a jeho rozuzlení

Planckův zákon jedním z jevů, které si vyžádaly vznik nového popisu mikrosvěta – kvantové teorie.

• Kromě toho lze použít k velmi praktickým účelům, jako je bezkontaktní měření teploty od vysokých teplot v tavných pecích po teploty hvězd nebo reliktní záření v kosmu…

kT

Pyrometr s mizejícím vláknem – měření teploty

oko

Záření černého tělesa IX

04. 01. 2011 13

Fotoelektrický jev I• Jak název napovídá, spočívá fotoelektrický jev ve

vyrážení elektronů z pevných látek následkem ozáření elektromagnetickým zářením (VIS, UV).

• Umístíme-li do blízkosti ozářené elektrody elektrodu další, vytvoří se mezi nimi (téměř okamžitě) rovnovážné napětí U, které odpovídá maximální kinetické energii, jakou mají elektrony vyražené za příslušných podmínek :

eUEeUE kinkin max

04. 01. 2011 14

Fotoelektrický jev II• Ukazuje se, že Ekmax nezávisí na intenzitě ale

je lineární funkcí jeho frekvence. Jev ale existuje až za jistou prahovou frekvencí. Ta odpovídá minimální výstupní práci Wo, která je potřebná pro uvonění elektronů z látky a je materiálovým parametrem :

• To opět podporuje představu kvant záření.ok WhfE max

04. 01. 2011 15

*Fotoelektrický jev III• Vlnové představě odporuje i kvantitativní rozbor rychlosti

děje: Kdyby byl výkon záření rozdělen rovnoměrně v průřezu paprsku, trvalo by naakumulování energie, potřebné pro uvolnění elektronu v blízkosti průměrného atomu o mnoho řádů déle než je tomu u skutečného experimentu.

• S energií fotonů souvisí řada jevů od používání červené žárovky při vyvolávání fotomateriálů v temné komoře po důvod, proč jsou listy fotosyntézujících rostlin zelené.

• Měření rozdělení energií fotoelektronů = fotoemisní spektroskopie je důležitým principem metod měření povrchových vlastností látek, např. nanoESCA.

04. 01. 2011 16

Comptonův jev I• V roce 1923 zjistil A. Compton, že vlnová délka

rozptýleného rtg. záření je větší než vlnová délka záření dopadajícího a navíc silně závisí na úhlu rozptylu.

• Z rozboru plyne, že jev je způsoben nepružnými srážkami elektronů a fotonů, kterým je nutné kromě energie přisoudit i hybnost.

• Příklad:

Dopadající foton

E1 = hf1

Elektron hmotnosti m v klidu před nárazem fotonu

Elektron v pohybu po nárazu fotonu

Foton po srážce s elektronem

ΘE2 = hf2; E2 < E1

)cos1( mch

(5)

Comptonův jev II

04. 01. 2011 18

De Broglieho hypotéza I

• Nejzávažnější výsledky ukazovaly na kvantování mikroskopických veličin a na dualismus částic a elektromagnetických vln.

• De Broglie vyslovil (na svou dobu a vzhledem k svému mládí odvážnou) hypotézu, že dualismus vln a částic je v mikrosvětě normální vlastnost. Vlny se tedy za určitých okolností projevují jako částice a naopak částicím majícím hybnost lze přiřadit vlnovou délku :

ph

04. 01. 2011 19

De Broglieho hypotéza II• Vychází se z analogie s fotony, u kterých E = hf a

m0 = 0, což z STR vede na E = cp = hf .• Je zřejmé, že vlny odpovídající makroskopickým

tělesům jsou (zatím?) neměřitelně krátké, ale v mikrosvětě je tomu jinak :• Běžící člověk (100 kg, 10 m/s) 10-37 m• Brouk Pytlík (0.001 kg, 1 cm/s) 10-29 m• Elektron (9.1.10-31 kg, 1.106 m/s) 10-10 m

04. 01. 2011 20

De Broglieho hypotéza III• Obvod každé dráhy v Bohrově modelu je roven celistvému

násobku De Broglieho vln.• Další objevy daly De Brogliemu zapravdu. Brzy po

vyslovení jeho hypotézy byla například objevena difrakce elektronů. Protože De Broglieho vlnová délka elektronů je opět srovnatelná s meziatomovými vzdálenostmi jedná se opět o významnou metodu strukturní analýzy.

• S vlnovými vlastnostmi elektronů je nutné také počítat při konstrukci elektronových mikroskopů a urychlovačů.

Difrakce elektronů na krystalu a tenké vrstvě

Zdroj elektronů

Detektor

Krystal

Fólie

Průsečnice kuželů s rovinou stínítka

04. 01. 2011 22

Vlnová délka pro elektronový paprsek:

meUh

ph

2

meUmvpmeUveUmv 22

21 2

m10.37,110.8.10.602,1.10.11,9.2

10.626,6

V10.8 pro

1131931

34

3

U

Difrakce elektronů na krystalu a tenké vrstvě

04. 01. 2011 23

Bohrův model atomu I• Jiným problémem bylo vysvětlit existenci

diskrétních čar v atomových spektrech. Vlnočet u první známé (Balmerovy) serie spektrálních čar vodíku vyhovoval vztahu :

n = 3, 4 ... a R = 1.0974.107 m-1 je tzv. Rydbergova konstanta.

)121(1

22 nR

04. 01. 2011 24

Bohrův model atomu II• Později byly objeveny další serie čar a

všechny se daly popsat jednou rovnicí :

n = k+1, k+2, k+3 ... • V UV oblasti k = 1 Lymanova• V VIS oblasti k = 2 Balmerova• V IR oblasti k = 3 Pashenova

)11(122 nk

R

04. 01. 2011 25

Bohrův model atomu III• V této době již byly známy elektrony a

atomové jádro a existoval i planetární model. Jeho vadou byla ale skutečnost, že pohyb po uzavřené dráze je nutně pohybem zrychleným a elektrony by rychle vyzářily svou energii a za několik pikosekund spadly na jádro. Bohr skloubil planetární model s Planckovou kvantovou hypotézou.

04. 01. 2011 26

Bohrův model atomu IV• Postuloval, že elektrony mohou být trvale jen v určitých

stacionárních energetických, stavech a vyzařují nebo přijímají energii pouze při přechodech mezi stavy podle :

• Energetické hladiny, ke kterým takto dospěl souhlasily se spektry i u některých dalších atomů (Z):

• Energie -E1 = -13.6 eV je energie základního stavu H

lk EEhf

2

2

1 nZEEn

04. 01. 2011 27

Rentgenovo záření I• V roce 1895 byl W. Röntgenem objeven i jev

opačný k jevu fotoelektrickému : • Při dopadu urychlených elektronů je z látek

emitováno elektromagnetické záření s vlnovou délkou řádově 10-10 m. Toto záření má složku spojitou (bílou), způsobenou zabržděním elektronů a složku charakteristickou, která odpovídá emisnímu spektru látky v rtg. oblasti.

04. 01. 2011 28

Rentgenovo záření II• Rtg. záření má vlnovou délku srovnatelnou s

meziatomovými vzdálenostmi v molekulách a pevných látkách a proto má obrovský význam při studiu struktury látek metodami rtg. difraktometrie.

• Důležité jsou i metody rtg. defektoskopie, studující absorpci látek, mezi něž patří i lékařské aplikace a techniky spektroskopie, které zkoumají emisní a absorpční spektra látek a řada speciálních metod (EXAFS…).

04. 01. 2011 29

Laser I• Obrovský průlom do mnoha oblastí vědy byl

objev laserového záření.• Lasery jsou zdroje (IR, VIS, UV… ) záření, které

je nebo může být :• kolimované• má malou rozbíhavost• monochromatické• intensivní • koherentní

04. 01. 2011 30

*Laser II• Laser je založen na jevu stimulované emise. Při ní

vyvolá vhodný foton při interakci s excitovaným atomem další foton, který je jeho přesnou kopií.

• Volbou vhodných materiálů je možné dosáhnout inverzní populace excitovaných elektronů v nějakém metastabilním stavu na dostatečně dlouhou dobu a vhodným způsobem se spustí emise.

04. 01. 2011 31

*Laser III• Laser bývá podlouhlého tvaru a jeho konce jsou

částečná nebo úplná zrcadla, rovinná nebo dutá. Díky zrcadlům se fotony mnohonásobně vrací zpět do excitovaného media. Tím se vyvolá lavinový efekt právě v ose laseru a zúží jeho spektrum.

• Mediem laseru může průhledný krystal nebo plyn, jak je tomu např. u HeNe laseru. Excitace se vytváří zářením nebo chemicky.

• V poslední době se rychle rozvíjejí polovodičové lasery s důležitým použitím.

04. 01. 2011 32

Heisenbergův princip neurčitosti I

• V klasické fyzice předpokládáme, že každé měření je zatíženo určitou chybou, ale zlepšováním přístrojů a metod lze tuto chybu neustále zmenšovat.

• V mikrosvětě se ale ukazuje, že výskyt určitých “chyb“ je principiální vlastností přírody, která nesouvisí přímo s vlastním měřením. Tento fakt musí kvantová mechanika respektovat.

• Pomocí měření se ale princip neurčitosti nejsnáze a nejčastěji vysvětluje. To vede sice k názorným ale často ne úplně správným představám.

04. 01. 2011 33

H. princip neurčitosti II• Jedno z vyjádření Heisenbergova principu neurčitosti lze psát ve

formě :

• Princip neurčitosti platí pro různé, tzv. nekompatibilní (nebo nekomutativní) dvojice veličin. Kromě souřadnice a odpovídající složky hybnosti mezi ně patří i čas a energie :

• Kompatibilní dvojice, např. x a py však mohou společně ostrou hodnotu mít.

• Neurčitosti vyplývající z Heisenbergova principu lze jistý jev chápat jako mezní dosažitelné.

2

))(( hpx x

))(( tE

04. 01. 2011 34

Pád klasické fyziky• Na přelomu 19. a 20. století se nahromadily experimenty,

které ukazovaly na principiální odlišnosti mikrosvěta a světa makroskopického.

• Nejzávažnější výsledky ukazovaly na dualismus vln a částic a s ním související kvantování mikroskopických veličin.

• Popis, který si mikrosvět vyžádal je bohužel daleko od běžných zkušeností a selského rozumu.

• Klasická fyzika je v makrosvětě zpravidla dobrou aproximací, ale kvantové jevy zasahují i nutně sem. Tedy existují makroskopické jevy, jejichž výsledek je způsoben kvantovým chováním.

04. 01. 2011 35

Kvantová teorie I• Pro zatím nejlepší teorii, která se snaží o vysvětlení

mikrosvěta a sporů s klasickou fyzikou se vžil název kvantová mechanika.

• Spíš by se ale hodil název pravděpodobnostní mechanika, protože její nejzávažnější a nejobtížněji „stravitelnou“ vlastností je právě fakt, že ukazuje, že popis mikrosvěta je principiálně možný pouze pomocí pravděpodobností.

• S tímto faktem se například nikdy nesmířil A. Einstein, přestože sám stál u kolébky kvantové teorie. Tvrdil, že „Bůh nehraje v kostky“

04. 01. 2011 36

Kvantová teorie II• Kvantová teorie vysvětluje chování mikrosvěta. Její extrapolace

do makroskopického (normálního) světa ale musí souhlasit s dobře ověřenou fyzikou klasickou. Existuje totiž jen jeden svět! Tomuto přirozenému požadavku se říká princip korespondence.

• Přes všechny nesporné úspěchy kvantové teorie nezavrhujeme v makroskopické praxi klasické teorie, např. Newtonovy zákony nebo geometrickou optiku, protože jejich použití je mnohem jednodušší a přitom poskytuje často dostatečně přesné výsledky.

• Ne ale vždy! Vždy je nutné vědět, kde mají klasické teorie své hranice.

04. 01. 2011 37

Determinizmus versus pravděpodobnost I

• Klasická mechanika je determistická – známe-li pohybové rovnice určitého tělesa a okrajové podmínky, jsme principiálně schopni určit její polohu a hybnost v libovolném čase v minulosti i budoucnosti.

• Mikrosvět deterministický není. Je to vidět třeba na předchozím příkladu zobrazování s použitím jednotlivých fotonů, kdy fotony vychází z jednoho zdroje, prochází stejným optickým systémem, ale každý dopadne někam a předem nelze určit kam. Kvantová teorie musí tuto principiální vlastnost mikrosvěta odrážet. Proto je založena na pravděpodobnostech.

04. 01. 2011 38

Determinizmus versus pravděpodobnost II

• Extrapolace mikrosvěta do makrosvěta vede ke zdánlivému determinismu. Kvantová teorie totiž přiřadí každému řešení jistou pravděpodobnost. U některých řešení je ovšem astronomicky malá. Tím může podpořit náš předchozí názor, že se jedná o řešení téměř nemožná.

• Předchozí postup sice připomíná metody klasické statistické fyziky, například u teorie plynů, ale ta ve skutečnosti předpokládá deterministické chování jednotlivých částic.

• Kvantové efekty se nemusí vyrušit ani pro velké množství částic. Ty potom bývají nerozlišitelné a chovají se podle neklasických kvantových statistik – Bose-Einstein / Fermi-Dirac.

04. 01. 2011 39

Vlnová funkce I• Experimentálně je nade vší pochybnost dokázáno, že fotony se nedělí.

Změna intenzity světla tedy vede ke změně jejich počtu. Neexistuje teorie ani teoretická možnost určit, kam dopadne jeden konkrétní foton. Teprve až bude fotonů obrovské množství bude zobrazení vypadat tak, jak očekáváme v závislosti na analýze příslušného zobrazovacího systému. Tu bychom mohli učinit nejobecněji pomocí kvantové elektrodynamiky (QED), která popisuje základní interakci elektronu a fotonu.

• V praxi ji však provádíme vždy s využitím nejednoduššího modelu, který ještě splňuje požadavek dané přesnosti:• užitím představy paprsků pokud postačuje model geometrické optiky• nebo pomocí skládání vln u difrakčních experimentů.

• Stejně postupujeme i u jiných mikroskopických částic.

04. 01. 2011 40

Vlnová funkce II• Provedeme-li s částicemi například vhodně navržený

experiment s dvojitou štěrbinou, dostáváme obdobné výsledky jako s monochromatickým vlněním (světlem).

• Není tedy překvapivý předpoklad, že v pozadí existence částic je jakási ‘hmotnostní’ vlna. V současné době se nazývá vlnová funkce.

• V analogiích lze pokračovat : Jak známo, intenzita světla v jistém bodě zobrazení je úměrná druhé mocnině intenzity elektrického pole EMA záření. Budeme-li ale zobrazovat foton po fotonu, můžeme intenzitu světla chápat jako pravděpodobnost dopadu fotonu do daného místa.

04. 01. 2011 41

Vlnová funkce III• Analogicky požadujeme, aby druhá mocnina amplitudy vlnové

funkce, která je komplexní, protože musí popsat i fázové posuny, byla rovná hustotě pravděpodobnosti výskytu příslušné částice v daném bodě a čase.

• Tedy vlnová funkce podobně jako amplituda elektrické intenzity EMA vlny závisí na poloze a na čase a sama o sobě není přímo měřitelnou veličinou. Uvědomme si, že například při difrakci EMA vln neumíme přímo měřit intenzitu elektrické ani magnetické složky EMA pole, ale jen intenzitu záření. Neznáme tedy fázi příchozích vln. To je obtíž například ve strukturní analýze, kde zkoumáme, strukturu ‘difrakční mřížky’. Nazývá se fázový problém.

04. 01. 2011 42

*Vlnová funkce IV• Vlnovou funkci lze nicméně za příznivých okolností nalézt

a vypočítat příslušné pravděpodobnosti. • Aby to bylo co nejjednodušší musí být vlnová funkce

zpravidla normovaná.• Rozličné fyzikální veličiny lze získat působíme-li na

vlnovou funkci vhodnými operátory. • Například je operátor celkové energie a

je operátor hybnosti.t

i

i

Kirchhoffův zákon I

• .

• Platnost Kirchhoffova zákona (v jednodušší podobě) lze ověřit experimentálně: Mějme těleso s dvěmi různými plochami I a II. Do blízkosti plochy I dejme plochu II’ spojenou s teploměrem, stejnou jako je plocha II a obráceně do blízkosti plochy II dejme plochu I’ s teploměrem.

• Za jistou dobu se ustaví rovnováha a všechny plochy budou na stejné teplotě. Budou-li i emisní koeficienty a i koeficienty absorpční, musí platit:

IIIIII

Kirchhoffův zákon II

• .

• Je tedy vždy emisní koeficient úměrný koeficientu absorpčnímu:

• Je-li například plocha I černá a tedy má I 1 a plocha II částečně odráží II < 1, bude i I > II .• Takto lze argumentovat dokonce pro absorpčí a emisní koeficienty pro každou vlnovou délku.

II

II

I

I

^

Tepelné záření - příklad

• .

• Mějme keramickou konvici s = 0.7 a nerezovou konvici s = 0.1. V každé je 0.75 l čaje o 95° C. Odhadněte jaký výkon odchází z každé z nich do okolí o teplotě 20° C ?

• Předpokládejme, že každá konev je přibližně krychle o hraně 10 cm. Každá současně emituje i absorbuje.

W

TTSP

30)293368(1051067.5

)(4428

42

41

^

• Keramická konvice tedy vyzařuje 21 W a nerezová (lesklá) jen 3 W. Proto vydrží čaj ve druhé konvici teplý déle. Zde ale bude ještě hrát ve skutečnosti roli vedení tepla!

Wienův zákon – příklad I

./.

• Odhadněte teplotu na povrchu Slunce. Maximum jeho spektrální intenzity m 500 nm leží ve viditelné oblasti :

KT 6000105001090.2

9

3

^

Wienův zákon – příklad II

./.

• Teplota vlákna žárovek a náplň jejich baňky se navrhují podle užití: 2200 °C u vakuových do 25 W, 2600 °C u běžných, plněných směsí Ar & N2 a 3000 °C u speciálních halogenových, promítacích a fotografických.

• Wolfram je selektivní zářič, takže ve viditelné oblasti svítí více, než by odpovídalo jeho teplotě. Kde by leželo maximum vlnové délky u běžné žárovky, kdyby se chovala jako dokonale černé těleso?

^

nmm 10092875

1090.2 3

• Maximum tedy leží v infračervené oblasti a do ní odchází i největší část vyzářené energie. Část spektra ale zasahuje do oblasti viditelné. Tepelné záření působí příjemně.

Wienův zákon – příklad III

• .

• Jak bude vypadat hvězda, která má povrchovou teplotu 32500 K.?

nmm 2.891025.31090.2

4

3

^

• Maximum leží v ultrafialové oblasti a intenzita s rostoucí vlnovou délkou klesá. Hvězda se bude jevit jako modrobílá.

Comptonův jev I

• .

• RTG záření o vlnové délce 0.14 nm se comptonovsky rozptyluje na bločku uhlíku. Jaká bude vlnová délka záření rozptýleného pod úhlem 0°, 90°, a 180°?

• Pro vlnovou délku rozptýleného záření platí :

)cos1( cm

h

e

^

• Výraz má rozměr délky nazývá• se Comptovona vlnová délka. Zde tedy platí:

• A tedy a) b) c)

pmcm

h

e

43.2

][)cos1(43.2140 pmpm140 pm4.142 pm86.144

Příklad - Fotoelektrický jev I• Cesiová vrstva s výstupní prací Wo = 1.93 eV, je ozařována ze vzdálenosti r = 3.5 m světlem sodíkové výbojky, kde nejsilnější čára má vlnovou délku = 590 nm, s výkonem P=100 W. Rozměry

elektronu zatím neznáme. Definují se ale účinné průřezy vzhledem k určitým jevů. Pro interakci s fotonem jej lze chápat jako kruhovou plošku o poloměru re = 5.10-11 m. • Za jak dlouho by elektron načerpal dostatečnou energii, aby mohl být emitován při izotropním toku energie ?• Za jakou střední dobu proletí jeden foton účinným průřezem elektronu? • Účinný průřez elektronu je :

2212 1085.7 mrS ee

Příklad - Fotoelektrický jev II• Energie emitovaného fotonu v J je:

12019 1097.2

1037.3100

sJ

WEPn

ff

JmsJshcE f19

9

1834

1037.310590

1031063.6

• Energie emitovaného fotonu v eV je:

eVe

hcE f 107.2

• Počet fotonů vyzářených výbojkou za jednotku času 1 s do všech směrů při 100% účinnosti:

Příklad - Fotoelektrický jev III• Intenzita, čili výkon procházející jednotkou plochy v místě

vzorku je :

21182

120

20 1093.1154

1097.24

msm

sr

nn f

2222 65.0

)5.3(4100

4 Wm

mW

rPI

• Počet fotonů procházejících jednotkou plochy v místě

vzorku za 1 s je :

Příklad - Fotoelektrický jev IV• Po vynásobení předchozích hodnot účinným průřezem elektronu do staneme energii

protékají tímto účinným průřezem (a tedy absorbovanou) za jednotku času :

sWs

eVJeVP

Wte

o 60101.5

/106.193.1121

19

• Nyní již snadno zjistíme, doba potřebné na naakumulování energie rovné výstupní práci, by byla asi 1 minuta :

)(101.5 121 WJsISP ee

• a počet fotonů protékajících tímto účinným průřezem za jednotku času. : 1

0 015.0 sSnn ee

Příklad - Fotoelektrický jev V• Střední doba než foton prolétne účinným průřezem elektronu je :

^

• Na první pohled se jedná o srovnatelné časy. Skutečná čekací doba je ale řádově 10-9 s. To lze vysvětlit jedině tak, že elektron nesaje energii postupně, ale pohltí ji celou naráz při srážce s fotonem. Střední doba, za kterou se jakýkoli foton srazí s jakýmkoli elektronem se zkracuje s velikostí vzorku, s počtem elektronů a celkovým účinným průřezem, který je součtem účinných průřezů jednotlivých elektronů.

• Dobu potřebnou pro sání energie, které by bylo postupné nijak zkrátit nelze!

sn

te

f 1.661

Bohrův model atomu I• Bohr připustil planetární model, ale jen v určitých stacionátních

stavech, které lze charakterizovat kvantováním momentu hybnosti :

...,2,1 nvrmnL ne• Ze skutečnosti, že elektrická přitažlivá síla je

rovna síle dostředivé plyne s dosazením za v2 ve jmenovateli z předchozího :

22

222

2

2

2

22

nmrmkZe

vmkZer

rkZe

rvm

e

ne

en

nn

e

Bohrův model atomu II• Po úpravě zjistíme, že poloměr jakékoli dráhy, jakéhokoli atomu lze

vyjádřit pomocí Bohrova poloměru, což je nemenší poloměr u vodíku.

• Podobně lze vyjádřit každou energii pomocí energie elektronu vodíku na dráze nejbližší jádru.

Znr

Zmkenr

en

2

12

22

2

2

12

2

2

4222

21

2 nZE

nZmek

rkZevmE e

nen

Bohrův model atomu III• Vypočítejme dráhy a energie prvních 4 orbitalů:• n rn [pm] En [eV]• 1 53 -13.6• 2 212 - 3.4• 3 417 - 1.5• 4 848 - 0.85• Pro určitý atom se poloměr dráhy se kvadraticky zvětšuje.• Poloměr odpovídající dráhy atomu s vyšším Z je menší.• Energie vázaných elektronů je vždy záporná. Pro ionizaci je tedy třeba energii dodat.• Energetické hladiny vázaných elektronů se kvadraticky zhušťují směrem k nulové energii.• Energie absorbovaných nebo emitovaných fotonů musí odpovídat jen přechodům mezi těmito energetickými stavy.

^

Bohrův model atomu IV• Úpravy které vedou na vztah pro En :

• Dosadíme za mev2 do celkové energie :

^

• A sem dosadíme za 1/rn :nn

en rkZe

rkZevmE

2

222

21

2

2

12

2

2

42

22

22

22 nZE

nZmek

nmkZekZeE ee

n

04. 01. 2011 59

Comptonův jev vlnové (elektromagnetická vlna)

Vlastnosti záření

částicové (foton)

Každý foton má svoji energii E = hν a hybnost p = h/λ. Dojde-li ke srážce fotonu pohybujícího se rychlostí c s elektronem, jehož rychlost je zanedbatelná vůči c (je možné ji považovat za nulovou), lze použít klasické zákony zachování energie a hybnosti. Elektron se dá do pohybu - získá hybnost a kinetickou energii a energie fotonu se sníží. To se projeví poklesem frekvence, resp. vzrůstem vlnové délky záření.

04. 01. 2011 60

Laser – optický kvantový generátorZdroj koherentního záření v rozsahu od IČ do UV; výkon: 1mW až 1 kW; speciální lasery pracují v rozsahu od vlnové délky zlomků milimetru až do oblasti rentgenového či záření; výkon: 1 kW – 1013 kW.

Základní rysy: úzká spektrální čára i možnost ladění v určitém rozsahu vlnových délek, koherence, vysoká směrovost, vysoká hustota energie.

Zářičem (aktivním prostředím) může být: pevná látka, kapalina, plyn.

Součásti: aktivní prostředí, optický rezonátor, zdroj budící energie (výbojka, elektrický výboj v aktivním prostředí, chemická reakce).

04. 01. 2011 61

Předpoklad činnosti:

1) Dosažení inverze populace energetických hladin t.j. situace, kdy počet elektronů na jednotlivých hladinách neodpovídá rovnovážnému rozdělení - obsazení vyšší hladiny je vyšší než hladiny nižší. Tohoto stavu lze dosáhnout intenzivním buzením a vhodným rozdělením energetických hladin (buzení výbojem, zářením, …)

2) Stimulovaná emise - děj, při kterém je vzbuzený atom na energetické úrovni E2 interakcí s fotonem energie hν převeden na energetickou úroveň E1 za současného vyslání dvou fotonů původní energie, tj.

04. 01. 2011 62

Helium - neonový laserPlynový laser, aktivní prostředí je směs helia a neonu

Zrcadlo Polopropustné zrcadlo

Elektrody pro zapálení výboje

04. 01. 2011 63

Energetické přechody při činnosti He - Ne

Ne

1s

2p

2s3p

3s3s - 3p ….3,391 μm

3s - 2p ….0,633 μm

2s - 2p ….1,152 μm

04. 01. 2011 64

Chemický laser:

Nerovnovážný stav po exotermické chemické reakci typu

Příklad: λ = 4,1 - 4,3 μm λ = 3,7 - 4,0 μm

λ = 2,8 - 3,0 μm

Inverze populace mezi vibračně - rotačními hladinami, pracuje impulsně i kontinuálně, výkony až desítky kW.

04. 01. 2011 65

Zákony záření černého tělesa

Definice absolutně černého tělesa:

Je to těleso, absorbující veškeré dopadající záření bez ohledu na jeho vlnovou délku.

V tepelné rovnováze s okolím je dopadající energie za jednotku času na jednotku plochy rovna energii vyzářené.

Spektrální zářivost:

R(λ,T) je energie, vyzářená jednotkou plochy za jednotku času, vztažená na jednotkový interval vlnových délek při teplotě T.

Zářivost:

(9)

04. 01. 2011 66

Stefanův - Boltzmannův zákon:

331

221

,(

)(

WmmJsTR

WmmJsTR

Kirchhoffův zákon:

Poměr spektrální zářivosti ku spektrální pohltivosti je funkcí teploty a vlnové délky. Nezávisí na materiálu zářiče.

Wienův zákon:(10)

(11)

Vztah (2) nerespektuje teplotu okolí a předpokládá jednotkovou emisivitu!

04. 01. 2011 67

Energie vztažená na jednotkový objem dutiny černého tělesa a na jednotkový interval frekvencí vypočítaná na základě klasické teorie (spojité vyzařování) je určena vztahem

Rayleigh - Jeansův zákon:

Vyzařovaná energie na jednotkový interval frekvencí roste s druhou mocninou frekvence do nekonečna. To je nereálné! nutnost revize klasické elektromagnetické teorie.

(12)

(13)

04. 01. 2011 68

Planckův vyzařovací zákonEnergie vyzářená z jednoho m2 za jednotku času vztažená na jednotkový interval frekvencí:

Energie vyzářená z jednoho m2 za jednotku času (tj. vyzařovaný výkon z jednoho m2 ) vztažená na interval frekvencí dυ:

(14)

(15)Dokažte!

De Broglieho hypotéza • Vychází se ze známé Einsteinovy rovnice pro celkovou

energii. De Broglieho přínos je odhad, že to, co platí pro fotony, platí i pro ostatní mikročástice :

h

chf

cEp

EcpE

cmcumcm

cmmcEcu

20

222

420

22242

202

2

21

•

^

Relace neurčitosti I• Hledáme-li ve tmě pingpongový míček, můžeme se

snažit ho nahmátnout nebo si posvítit. Při nahmatávání do míčku zpravidla nechtě strčíme, ale potom nevíme přesně, kde míček původně byl. Když si posvítíme běžným světelným zdrojem, polohu míčku určíme, protože tlak fotonů jej nedokáže uvést do pohybu.

• Posvítíme-li si ovšem na mikroskopickou částici, do pohybu ji uvést můžeme a ještě neurčitost změření souřadnice závisí na vlnové délce použitých fotonů :

x

Relace neurčitosti II• DeBroglieho vlnové délce takového fotonu odpovídá

hybnost :

• Neurčitost hybnosti odhadneme na srovnatelnou :

• Součin neurčitostí souřadnice a hybnosti tedy je :

• Přesnější výpočet vede na :

hp

hp

hpx ))((

2

))(( hpx

Relace neurčitosti III

^

• Vidíme, že neurčitost souřadnice a neurčitost hybnosti si konkurují: Budeme-li například chtít, aby hybnost fotonů byla malá a tedy malá byla i jejich interakce se sledovanou částicí, musíme použít fotony s velkou vlnovou délkou, což ale vede k větší neurčitosti v určení souřadnice.

Relace neurčitosti IV

^

• Příklad 1.: Basebalový míček o hmotnosti 150 g je hozen rychlostí v = 42 m/s, s neurčitostí 1 m/s. S jakou maximální přesností by mohla být změřena souřadnice?Neurčitost hybnosti míčku je p = 0.15 kg m/s. Tedy :

Neexistuje metoda, která by měřila s takovou přesností. Relace neurčitosti neznamenají pro současné určení souřadnic i hybnosti makroskopických těles žádné faktické omezení. Jinak by tomu bylo, kdyby bylo např. h = 1!

mskgmJs

px 34

34

107/15.0

1006.1

Relace neurčitosti V

^

• Příklad 2.: Elektron se pohybuje rychlostí v = 1.1 106 m/s, která byla změřena s přesností 0.1 %. S jakou maximální přesností by mohla být změřena souřadnice?Odpovídající hybnost elektronu je p = 1 10-24 kg m/s a její neurčitost p = 1 10-27 kg m/s. Tedy :

To je asi tisícinásobek velikosti atomu!

mskgm

Jsp

x 727

34

101.1/100.1

1006.1

Relace neurčitosti VI

^

• Příklad 3.: Bylo zjištěno, že mezon J/, objevený v roce 1974 má střední hmotnost 3100 MeV/c2 s rozpětím 63 keV/c2. Toto rozpětí souvisí s dobou života mezonu. Odhadněte tuto dobu pomocí relací neurčitosti?Neurčitost energie mezonu je E = 63 103 1.6 10-19 = 1.01 Jkg. Tedy :

Takto krátké doby života je velice obtížné měřit přímo.

sJJs

E20

14

34

1011001.11006.1

Filosofie vlnové funkce I• Lineárně polarizovanou, rovinnou EMA vlnu, šířící se ve směru, vlnového vektoru, lze

popsat jako časoprotorovou závislost její magnetické indukce nebo elektrické intenzity:

EhhfE

2

• Úhlovou frekvenci lze vyjádřit pomocí celkové energie. Pro m0 = 0 :

)(exp),( 0 trkiEtrE

Filosofie vlnové funkce II• Podobně velikost vlnového vektoru k lze vyjádřit pomocí

velikosti vektoru hybnosti p. Stejný vztah platí i mezi jednotlivými složkami a tedy i celými vektory. Vektory

• a jsou podle očekávání rovnoběžné :

pkpk

khhc

hfcEp

EcpEmcE

2

2

20

2222

• p

k

Filosofie vlnové funkce III• Popis naší známé EMA vlny tedy lze upravit na :

)(exp),( 0 EtzpypxpiEtrE zyx

• Analogicky definujeme kvantově mechanickou vlnovou funkci :

)(exp),( 0 Etrpitr

)(exp)(exp),( 00 EtrpiEtrkiEtrE

Filosofie vlnové funkce IV

• Po úpravě platí :

• Fyzikální veličiny vyjadřujeme z vlnové funkce zpravidla vhodným derivováním.

• Derivujme ji například parciálně podle času :

iEEtrpiiE

t)(exp0

Et

iti

Filosofie vlnové funkce V

• Působením výrazu na vlnovou funkci tedy dostáváme energii. Proto tento výraz nazýváme operátorem celkové energie.

ti

Filosofie vlnové funkce VI• Podobně můžeme vlnovou funkci parciálně

derivovat například podle souřadnice y a máme:

yy py

ipiy

yi

• operátor y-ové složky hybnosti :

Filosofie vlnové funkce VII

• Pokud je známa vlnová funkce lze jeho působením určit hybnost, i odvodit fundamentální rovnici kvantové mechaniky tzv. Schrödingerovu rovnici.

^

• Kdybychom takto postupovali pro všechny složky:

pipx

i x

i• nalezneme operátor vektoru hybnosti :