მთავარი - VIIIold.eqe.ge/uploads/Grifireba/GRIFIREBULEBI_2012/maths/... · 2019-01-23 · 2) ra SemTxvevaSi SeiZleba iyos oTxkuTxedi paralelogrami? Aamocanebi gameorebisTvis

gamomcemloba

inteleqti

VIII

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili

maTematika

VIII klasis saxelmZRvanelo

gamomcemloba inteleqtiTbilisi 2012

redaqtori Teimuraz vefxvaZe

grifi mieniWa 2012 wels ssip ganaTlebis xarisxis ganviTarebis

erovnuli centris (brZaneba ## 375, 18. 05. 2012) mier

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,

ia mebonia, lamara qurCiSvili

m a T e m a t i k a

I nawili

VIII klasis saxelmZRvanelo

gamomcemloba inteleqti

Tbilisi 2012

Guram Gogishvili, Teimuraz Vepkhvadze,

Ia Mebonia, Lamara Kurchishvili

MaTHS VIII

Part 1

InTeLeKTI Publishers

Tbilisi 2012

ISBN 978-9941-439-35-3 (VIII klasi, I nawili)ISBN 978-9941-439-37-7 (saerTo)

© gamomcemloba `inteleqti~, 2012.

gamomcemloba inteleqtiTbilisi, ilia WavWavaZDis gamz. 5. tel.: 225 05 22

www.intelekti.ge [email protected] [email protected]

intelekti PuBlISherS5 Ilia Chavchavadze Ave., Tbilisi, Georgia. Tel.: (995 32) 225 05 22

3

Cveno keTilo megobaro!

mogesalmebiT da gilocavT axali saswavlo wlis dadgomas!

imedia, Cveni saxelmZRvanelo karg megzurobas gagiwevT maTema-

tikis didebul samyaroSi mogzaurobisas. SevecadeT, praqtikuli

amocanebis ganxilviT dagarwmunoT maTematikis Seswavlis aucile-

blobaSi. gaxsovdeT, aq miRebuli codna da misi gamoyenebis unari

sxva sagnebis ukeT aTvisebaSic dagexmarebaT.

Tu pirveli gacnobisas romelime sakiTxi kargad ver gaiazreT,

ar daRondeT, gaagrZeleT muSaoba _ amave sakiTxs saxelmZRvaneloSi

kvlav araerTxel SexvdebiT da aucileblad daZlevT mas.

warmatebiT gevloT maTematikis Seswavlis gzaze.

guram gogiSvili, Teimuraz vefxvaZe,ia mebonia, lamara qurCiSvili

avtorTa madloba

axali saxelmZRvaneloebis Seqmna da maTi skolaSi danergva ganaTlebis mimdinare reformis mniSvnelovani nawilia.

eqspertTa, pedagogTa da saxelmZRvaneloebis avtorTa erToblivi Za-lisxmeviT Seiqmna VII-XII klasebis saxelmZRvaneloebi, romlebic damkvi-drda saSualo skolebSi. yoveli axali wignis werisas viTvaliswinebdiT maswavlebelTa mosazrebebs. madlobas movaxsenebT maT nayofieri Tanam-SromlobisTvis.

gansakuTrebuli madlierebiT gvsurs aRvniSnoT eqspertTa Rvawli; maT mier Sedgenili 2011-2016 wlebis erovnuli saswavlo gegmis mixe dviT dai-wera VIII klasis axali saxelmZRvanelo. gaviTvaliswineT yvela cvlileba erovnul saswavlo gegmaSi, eqspertebTan konsultaciebis dros gamoTqmu-li mosazrebebi da wina wlebSi miRebuli gamocdileba.

madlobas movaxsenebT yvelas, vinc Tavis arCevans am wignze SeaCerebs. vfiqrobT es saxelmZRvanelo maT imedebs aucileblad gaamarTlebs.

rogor visargebloT wigniT

gameoreba. statistikis elementebi. Ggeometriuli figurebi1

1. ricxvebi da maTze moqmedebebi

2. cvladiani gamosaxuleba. Ggantoleba. gantolebis saSualebiT

amocanebis amoxsna

3. vagrZelebT procentis ganxilvas

4. wre da misi nawilebi

5. monacemTa analizi da statistika

1) monacemTa mopoveba da dajgufeba

2) monacemTa warmodgenis xerxebi. wriuli diagrama

6. geometriuli gardaqmnebi. Mmobruneba

7. paraleluri wrfeebi. Pparalelur wrfeTa aqsioma

8. wrfeTa paralelobis niSnebi

9. mravalkuTxedis kuTxeebis jami

10. kuTxis biseqtrisis Tviseba

amocanebi gameorebisTvis

Sesabamisoba simravleebs Soris da misi gamosaxvis xerxebi 2

1. dasabuTebis xerxebi

1) debulebis sawinaaRmdego debuleba

2) debulebis dasabuTeba kontrmagaliTis gamoyenebiT

2. naSTi. Ggayofadobis niSnebi

3. Sesabamisoba or simravles Soris

4. Aasaxva erTi simravlidan meoreSi

5. wrfivi damokidebuleba


gantolebaTa sistemebi3

1. wrfivi orucnobiani gantoleba

2. wrfiv orucnobian gantolebaTa sistema

3. wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsnis grafikuli xerxi

4. Casmis xerxiT wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsna

sarCevi

5. Sekrebis xerxiT wrfiv orucnobian gantolebaTa sistemis amoxsna

6. Aamocanebis amoxsna wrfiv orucnobian gantolebaTa

sistemis saSualebiT

Aamocanebi gameorebisTvis

7. gamosaxulebaTa gardaqmnis magaliTebi


kvadratuli da kuburi fesvebi. piTagoras Teorema4

1. kvadratuli fesvi

2. piTagoras Teorema

3. kvadratuli fesvis Semcveli gamosaxulebebis gardaqmna

4. piTagoras Teoremis zogierTi gamoyeneba

5. marTkuTxa samkuTxedis maxvili kuTxis sinusi, kosinusi da tangensi

6. kuburi fesvi amocanebi gameorebisTvis

damatebiTi amocanebi maTematikuri Se jibrebebisTvis

oTxkuTxedebi. farTobi. farTobis Tvisebebi. M

moculobis Tvisebebi5

1. OoTxkuTxedi. Aamozneqili oTxkuTxedi

2. Uutolobebis Tvisebebi da maTi gamoyeneba

3. Pparalelogrami

1) paralelogramis Tvisebebi

2) ra SemTxvevaSi SeiZleba iyos oTxkuTxedi paralelogrami?


4. Pparalelogramis kerZo saxeebi. Prombi. rombis Tvisebebi

marTkuTxedi. marTkuTxedis Tvisebebi

kvadrati


5. koordinatTa meTodis da geometriuli gardaqmnebis

zogierTi gamoyeneba

6. trapecia

7. Talesis Teorema

8. vagrZelebT Talesis Teoremis gamoyenebaTa ganxilvas

samkuTxedis Suaxazi

trapeciis Suaxazi


(ricxviT monacemTa statistikuri maxasiaTeblebi)

9. farTobi

zogierTi umartivesi figuris farTobi 82

samkuTxedis farTobi

paralelogramis farTobi

trapeciis farTobi

nebismieri mravalkuTxedis farTobi

10. sivrculi figurebi. moculobis Tvisebebi


erTucnobiani utoloba. xarisxi mTeli maCvenebliT6

1. erTucnobiani utoloba

2. utolobebis gamoyenebis magaliTebi

3. xarisxi mTeli maCvenebliT

4. ricxvis standartuli forma


albaToba7

1. fardobiTi sixSire da albaToba

2. SeuZlebeli xdomiloba. aucilebeli xdomiloba. albaTobis skala


3. albaTobis formula

4. vagrZelebT albaTobis gamoTvlis magaliTebis ganxilvas

testi gameorebisTvis

sagnobrivi saZiebeli

pasuxebi

6

am niSnakiT drodadro SegaxsenebT, rom yvela amocana unda gadaita noT rveulSi da DSemdeg SeasruloT. wignSi Canawerebi ar unda gakeTdes!

vin iqneba pirveli. am niSnakiT warmodgenili amocanebis amox-snisas ecadeT, gamWriaxobasTan erTad sxa rti azrovnebac ga-moavlinoT.

rv

eul

Si!

gaufrTxildiT wigns!

masSi Tqvenma Canawerebma wigni SeiZleba sxvebisTvis gamousadegari gaxados!

rogor visargebloT wigniT

wigniT sargebloba rom gagiadvildeT, ramdenime rCevas mogcemT.

saxelmZRvanelos TiToeuli Tavi masSi mocemuli ZiriTadi sakiTxebis CamonaTvaliT iwyeba.

TiToeuli Tavi paragrafebisgan Sedgeba. paragrafebi, rogorc wesi, ornawiliania. pirveli nawili Teoriul masalas eTmoba. misi gadmocema praqtikuli magaliTebis ganxilviT mimdinareobs. am nawils Seswavlili masalis SejamebiT vasrulebT.

es niSnaki migvaniSnebs paragrafis meore nawilis dawyebas _ `sxva-da sxva~. aq istoriuli sakiTxebi da sxva damxmare masalaa mo-cemuli.

s

es niSnaki amocanebis CamonaTvals win uZRvis.a

SemogTavazebT jgufuri muSaobis proeqtebs _ es TanaklaselebT-an erToblivad muSaobis gamocdilebas Seg ma tebT. aq SeiZleba dag-WirdeT informaciis damo u ki de be li moZiebac da misi damuSavebac.

j

zogierTi paragrafis Teoriul nawilsa da amocanebs mosdevs sa-varjiSoebi, romliTac Seswavlil (maT Soris _ gasul wlebSic) sakiTxebs gaimeorebT. am nawilis dawyebas gvauwyebs es sagangebo niSnaki.

g

teqstis ukeT gagebis mizniT saWirod CavTvaleT zo gi er Ti si-tyvis warmomavlobis, misi msgavsi mniSv ne lo be bi s an sinonimebis miTiTeba. aRniSnuli miTiTebebi Cvens leq si konSia mocemuli. am saTauriT gamoyofil Ca na werebs Tqven xSi rad SexvdebiT. igi Tqvens sityvaTa ma rag sac gaamdidrebs da ufro gasagebs gaxdis wignis Si na arss.

Cveni

leqsikoni

i

7

gameoreba. statistikis elementebi. geometriuli figurebi

1.1 ricxvebi da maTze moqmedebebi

1

am TavSi gaimeorebT gasul wels Seswavlil zogierT sakiTxs, amasTanave, gaiRrmavebT da gaifarTovebT codnas Semdegi mimar-TulebebiT:

• procenti (maT Soris 1-ze naklebi; 100-ze meti)• monacemTa Segroveba da sxvadasxva xerxiT warmodgena• geometriuli gardaqmnebi• wrfeebis paralelurobis niSnebi da maTi gamoyeneba

gavixsenoT, rogor farTovdeboda Cveni codna ricxvebisa da maTi gamoy-

enebebis Sesaxeb. dadebiTi racionaluri ricxvebiT, ZiriTadad, Tvlisa da

gazomvis Sedegebs warmovadgendiT.

magaliTad, aB monakveTis gazomvisas erT eulis sigrZis aU monakveTi aB-

Si 3-jer mo Tavsda, aB-s sigrZe 3-iT

— na tu raluri ricxviT gamoisaxa.

aC monakveTis gazomvisas erTeuli sigr Zis monakveTi aC-Si 6-jer mo-

Tavsda da kidev darCa monakveTi, romelSic erTeulis sigrZis monakveTis

mexuTedi orjer moTavsda — aC-s sigrZe 625

-ia. es ricxvi SeiZleba wiladis

saxiTac CavweroT — 325

. yo ve li naturaluri ricxvic Caiwereba wiladis

saxiT, magaliTad, 3= 31

. yo vel ricxvs, romelic ab

(a∈N, b∈N) wiladis saxiT SeiZleba Caiweros, saerTo sa xeli aqvs — dadebiTi racionaluri ricxvi.

dadebiTi racionaluri ricxvi aTwiladis saxiTac Caiwereba — an sasruli

aT wi ladis saxiT (magaliTad, 6 =6,4), an — usasrulo perioduli aTwila-

dis sa xiT (magaliTad, =0,333...=0,(3)). racionaluri ricxvis aTwiladis

saxiT Ca sa werad, ZiriTadad, gayofis wess viyenebT — vyofT a-s b-ze.

• ra SemTxvevaSi Caiwereba dadebiTi racionaluri ricxvi sasruli aTwila-dis saxiT (rogor ukavSirdeba es sakiTxi wiladis mniSvnelis gamyofebs)?

• ras ewodeba perioduli aTwiladis periodi?• gaixseneT aTwiladebis Sedarebis wesi da SeadareT: 1,5145 da 1,5139.• gaixseneT damrgvalebis wesi da daamrgvaleT: 3,145 measedebamde; 42,976

meaTedebamde, 2,3(27) perioduli aTwiladi meaTasedebamde. ra ricxvebi war-

moadgens 2,3(27)-s miaxloebiT, 0,01 sizustiT, metobiT da naklebobiT?

8

gavixsenoT, rom procentic wiladis (aTwiladis) Caweris erT-erTi for-

maa: 1%=0,01. procentiT zogierTi wiladi (aTwiladi) naturaluri ricxvis

saxiT warmoidgineba. magaliTad:

0,25=25%; 12

=50%; 0,21=21%; 0,02=2%; 110

=10%.

dadebiT racionalur ricxvebTan erTad Tqven uaryofiT racionalur

ricxvebsac gaecaniT — isini SeiZleba ab

(a∈Z, b∈n) wiladis saxiT Caiweros.dadebiTi racionaluri ricxvebi, uaryofiTi racionaluri ricxvebi da

nuli racionalur ricxvTa simravles qmnis. es simravle Q-Ti aRiniSneba.

• gaixseneT da CawereT mimarTebebi naturalur, mTel da racionalur ricxvTa simravleebs Soris, anu n, Z da Q simravleebs Soris. (magaliTad,

n⊂Z — yoveli naturaluri ricxvi mTeli ricxvicaa). racionalur ricxvebs Tqven ricxviTi wrfis wertilebiTac gamosaxavdiT.

• ipoveT ricxviT wrfeze wertili, romelic 4,5-is mopirdapire ricxvs gamosaxavs. risi tolia manZili am wertilidan sa Ta vemde?

• risi tolia TiToeuli am ricxvis (4,5-isa da –4,5-is) moduli?• vTqvaT, a raime racionaluri ricxvia. aRwereT a ricxvis moduli

geometriuli warmodgenis gamoyenebiT an mis gareSe.

• ra formuliT warmoadgenT |a|-s (ganixileT SemTxvevebi, rodesac a dadebiTia, uaryofiTia an nulia).

gaixseneT racionaluri ricxvis xarisxi da CawereT xarisxis saxiT im kubis mo culoba, romlis gverdis

sigrZe 7,5 sm-ia.

racionaluri ricxvi _ terminis Sinaarsi teqstSia aRwerili, saxelwo-

deba warmoiSva laTinuri ratio-dan, rac Sefardebas, Tanafardobas

niSnavs. rationalis _ gonivruls, mizanSewonils niSnavs.Cvenileqsikoni

SevajamoT: gavixseneT racionaluri ricxvebi, maTi Caweris wesebi, gamoyenebebi; mimarTebebi naturalur, mTel da racionalur ricxvTa simravleebs Soris — mokled isini SeiZleba ase warmovadginoT:

n ⊂ Z ⊂ Q.

0 1 2 3 4 5

7,5 sm

7,5 sm

7,5 sm

9

dadebiTi racionaluri ricxvebi

Zvel babilonsa da egvipteSic ki iyo

cnobili. eg viptelebi, rogorc wesi,

wiladebs gamosaxavdnen 1-is toli

mricxvelis mqone wi ladebis jamis

saxiT. ricxvebis Caweris poziciuri

sistema (60-obiTi sistema) Zi riTadad

Zvel babilonSi, 4 aTasi wlis win Seiqmna. Cveni

welTaRricxvis da saw yisSi wiladebs iyenebdnen CineTsa da indoeTSic.

aTwiladebi da maTze moqmedebebi pirvelad samaryandeli maTema-

tikosis kaSis naS ro mebSi gvxvdeba (me-15 saukune). evropaSi es siaxle

mxolod me-16 saukuneSi gavr celda. uaryofiT ricxvebs didi berZeni

maTematikosi diofantec (Cv. w. a. III sau kune) iyenebda, Tumca, XVI

saukunemde bevri evropeli maTematikosi maT cru, mat yuara ricxveb-

sac uwodebda. mxolod XVII saukuneSi, dekartis mier koordinatTa

sis temis SemoRebis Semdeg, Seicvala aseTi damokidebuleba uaryofiTi

ricxvebis mi marT _ roca moxerxda dadebiT da uaryofiT ricxvebze

geometriuli warmod genebis Ca moyalibeba.

rogorc xedavT, ricxvis cnebis gafarToebis Tanamimdevroba emTxveva

Tqven mier misi Seswavlis Tanamimdevrobas.

iqneb imsjeloT, gamoTqvaT varaudebi am istoriulad Camoyalibe-

buli Tanamimdevrobis asaxsnelad.

1 CawereT aTwiladis saxiT: 621000 1) 0,62 2) 0,062 3) 6,2 4) 0,0062.

2 CawereT wiladis saxiT: 3,006

1) 301000

2) 3061000

3) 30061000

4) 3000610000

.

3 1%= 1) 0,01 2) 0,1 3) 1 4) 0,001.

4 10% 1) 0,1 2) 0,01 3) 0,001 4) 1.

naturaluri ricxvebi da nuli

arauaryofiTi racionaluri ricxvebi

racionaluri ricxvebi

SearCieT swori pasuxi

a

s

10

5 uaryofiTi ricxvis moduli 1) uaryofiTia 2) dadebiTia 3) nulia 4) aradadebiTia

6 3,25 SeiZleba ase CavweroT:

1) 3+2510

2) 3+25 3) 3+210

+5

100 4) 3+2

100+5

1000.

7 3125,351 — am ricxvSi xazgasmuli cifri miuTiTebs 1) 5

10-s 2) 5

100 -s 3) 5

1000 -s 4) 5

10000 -s.

8 gamosaxeT larebiT 57 lari da 5 TeTri 1) 0,575 lari 3) 57,05 lari 2) 57,5 lari 4) 5,75 lari.

9 |–9,8|= 1) –9,8 2) –9 3) –10 4) 9,8.

10 vTqvaT, a uaryofiTi racionaluri ricxvia, maSin a ricxvis gamom-saxveli wertilidan saTavemde manZili aris

1) a 2) |a| 3) ±a 4) 0.

11 vTqvaT, a nulisgan gansxvavebuli racionaluri ricxvia. maSin a da –a mo pir dapire ricxvebis gamomsaxvel wertilebs Soris manZili (ricxviT wrfeze) aris

1) |a| 2) 2a 3) 2|a| 4) |a|2

.

12 Tu –a dadebiTia, maSin a 1) dadebiTia 2) nulis tolia 3) uaryofiTia 4) arauaryofiTia.

13 4·105+3·102+7·101+5= 1) 43750 2) 4375 3) 437,5 4) 400375.

14 1 km= 1) 106 sm 2) 103 sm 3) 104 sm 4) 105 sm.

15 mocemulia: a) –17∈n b) –513 ∈Z g) 0,(3)∈Z d) 1,(3)∈Q. maTgan WeS-

ma ri tia. 1) a) 2) g) 3) d) 4) b) da d).

16 mocemulia a) n ⊂ Z, b) Q ⊂ n, g) Z ⊂ n, d) n ⊂ Q ⊂ Z. maTgan WeS-ma ritia.

1) a) da d) 2) b) 3) a) 4) b) da g).

11

17 Tu racionaluri a ricxvis gamomsaxveli wertili ricxviT wrfeze a-s mopirdapire ricxvis gamomsaxveli wertilidan 12,5 erTeuliTaa daSorebuli, maSin a aris

1) 12,5 an –12,5 2) 0 3) 6 an –6 4) 6,25 an –6,25.

18 ipoveT im mTeli ricxvebis odenoba, romlebic metia –3,2-ze da naklebia 2,5-ze

1) 5 2) 6 3) 4 4) 7.

19 Tu ricxviT wrfeze a wertilis koordinatia –2,7, B wertilisa ki 1,7, maSin aB monakveTis sigrZea

1) 2,7 2) 1,7 3) 4,4 4) 3,4.

20 winaswari Sefasebis gamoyenebiT (dawvrilebiTi gamoTvlebis gareSe) ipoveT is gamosaxuleba, romlis mniSvneloba 23-sa da 24-s Sorisaa

1) 15,82+1,4+8,1 2) 7,66+9,11+6,939 3) 6,99+3,89+15,39 4) 4,673+12,15+5,008.

21 kotem gamoiyena kalkulatori da Sekriba ricxvebi: 572,9; 31,8 da 36,36. kotes pasuxia 927,26.

• gamoiyeneT winaswari Sefaseba da aRmoaCineT Sec-doma;

• ra Secdoma dauSva, Tqveni azriT, kotem?

22 ricxviT wrfeze gamosaxulia a da b ricxvebi; Sesabamisi wertile-bia a da B, O aTvlis saTavea, Oa>OB.

SeadareT: a) a da b ricxvebi; b) –a da –b ricxvebi; g) |a| da |b|; d) a+2 da b+2; e) a–16 da b–16.

23 mocemulia simravle:

a={0; 3,3; – 59

; 79

; 139

; 102,5; –3 45

; 7,(3)}.

a) ipoveT simravle yvela im ricxvisa, romelic ekuTvnis a-sac da n-sac, anu n∩a simravles; a-sac, Z-sac da Q-sac, anu Q∩Z∩a simravles; a-sac da Q-sac, anu Q∩a simravles. b) ipoveT simravle yvela im ricxvisa, romelic ekuTvnis a-s da

ar ekuTvnis: • Z simravles; • Q simravles; • n simravles.

927,26

a

A

0O

b

B

amoxseniT amocanebi

12

24 ipoveT raime racionaluri ricxvi, romelic Semdeg or ricxvs Sorisaa:

a) 0,47 da 0,48; b) –1,06 da –1,05;

g) 3,12345 da 3,123451; d) 27

da 37

;

e) 19

da 29

; v) 120

da 110

;

z) 1100

da 110

; T) 12

da 23

.

25 warmoadgineT raime nimuSi, roca WeSmaritia winadadeba: • ori mTeli ricxvis jami ar aris naturaluri ricxvi. • mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis sxvaoba ar aris mTeli

ricxvi. • mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis namravli ar aris mTeli

ricxvi. • mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis namravli mTeli ricx-

via.

26 sworia Tu ara, rom: • nebismieri ori mTeli ricxvis jami naturaluri ricxvia? • nebismieri racionaluri ricxvis naturalur ricxvze gayofiT

racionaluri ricxvi miiReba? • nulisa da nebismieri racionaluri ricxvis namravli nulia? • nebismieri mTeli ricxvisa da racionaluri ricxvis sxvaoba

mTeli ricxvia? • nebismieri racionaluri ricxvis nebismier racionalur ricxvze

gayofiT racionaluri ricxvi miiReba?

27 mocemulia ricxvebi:

0,60; 010

; 0,6; 63

; 0; 25

; 35

; 0,33; 0,(4); 0,4; 49

.

ramdenia am ricxvebs Soris: a) gansxvavebuli, b) gansxvavebuli mTeli ricxvi? g) daasaxeleT mocemul ricxvebs Soris udidesi da umciresi.

miTiTeba. g) 3,12345 SeiZleba ase CavweroT:3,1234500;

analogiurad, 3,123451=3,1234510. erT-erTi saZiebeli ricxvia 3,1234505.

T) 12 =

612

; 23 =

812

. am ricxvebs Sorisaa ricxvi: 712

. meore xerxi:

12

=0,50, 23

=0,666... erT-erTi saZiebeli ricxvia 0,6; anu 35

.

13

28 ojaxis Semosavlidan 240 lari komunalur gadasaxadebSi daixarja, rac Semosavlis 32%-s Seadgens. daadgineT ojaxis Semosavali.

29 1989 wlis aRweriT saqarTveloSi miaxloebiT 2581,4 aTasi mamakaci iyo, rac mTeli mosaxleo-bis 47,4%-s Seadgenda. ramdeni mosaxle iyo miaxloebiT 1989 wlis aRweriT saqarTveloSi?

30 2002 wlis aRweris mixedviT saqarT-veloSi miaxloebiT 4,4 milioni mosaxle iyo. gamoiyeneT wina amocana da SeadareT es ricxvi 1989 wlis monacemebs. gamosaxeT cvlileba procentebiT.

31 CineTSi 1989 wlis monacemebiT miax-loebiT 1 275 mln mosaxle iyo, qveynis far-Tobi — 9,5 mln km2; saqarTvelos farTobi mi-axloebiT 69,5 aTasi km2-ia. SeadareT CineTi da saqarTvelo mosaxleobis simWidrovis mixedviT (1 km2-ze mosaxleTa odenoba). gamoiyeneT:

a) winaswari Sefaseba; b) kalkulatori; g) weriTi gayofa.

32 daakvirdiT, aRmoaCineT asoebis am ganlagebaSi raime kanonzom-iereba. ra aso iqneba Tqven mier aRmoCenili kanonzomierebis mixedviT 102-e adgilze?

a b g d e v a b g d e v a b g d e v...

33 vTqvaT, mariamis ojaxi yovelTviurad 280 ki-lovatsaaT eleqtroenergias moixmars. 2006 wlis 1 ivnisidan 100-dan 300-mde kilovatsaaTi eleqtroen-ergiis moxmarebis SemTxvevaSi 1 kilovatsaaTis fasma 3,2 TeTriT moimata (iyo — 12,8 TeTri).

• ramdeni procentiT gaizarda gadasaxdeli Tanxa?

• ra Tanxa Seadgina mariamis ojaxSi moxmare-buli eleqtroenergiis gadasaxadma 2006 wlis maisis TveSi?

• ra Tanxa Seadgina ojaxis am gadasaxadma 2006 wlis ivnisSi?

14

axla cvladiani gamosaxuleba, gantoleba da gantolebis saSualebiT amocanebis amoxsna gavixsenoT.

suraTze samkuTxedia gamosaxuli. vTqvaT, cnobilia, rom misi erT-erTi gverdi 12 sm-ia, meore _ 5 sm. Tu mesame gverdis sigrZis ricxviT mniSvnelobas x-iT aRvniSnavT, maSin samkuTxedis perimetrisTvis gvaqvs cvladiani gamosaxuleba:

12+5+x.

SeiZleba Tu ara am gamosaxulebaSi x nebismieri ricxvi iyos?gavixsenoT samkuTxedis erT-erTi Tviseba: nebismieri ori gverdis jami

metia mesame gverdze.imedia, ar gagiWirdebaT dadgena, rom x naklebia 17-ze da metia 7-ze.

magaliTad, Tu x=10, maSin12+5+x=27.

27 aris mocemuli cvladiani gamosaxulebis mniSvneloba, roca x=10.vTqvaT, axla cnobilia samkuTxedis perimetri — 26 sm da mxolod ori

gverdi: 5 sm da 12 sm. samkuTxedis mesame gverds vipoviT, Tu amovxsniT gantolebas:

12+5+x=26.

axla is igiveobebic gavixsenoT, romelTa gamoyenebiT gamosaxulebebs gardavqmnidiT, vamartivebdiT (Semoklebuli gamravlebis formulebi).

(a+b)2=a2+2ab+b2; (a–b)2=a2–2ab+b2; (a+b)(a–b)=a2–b2.

am igiveobebs geometriul warmodgenebsac vukav-Si reb diT. magaliTad, am suraTze ABCD kvadratia. SeadareT daStrixuli figuris da EBHL marTkuTxe-dis farTobebi. romeli igiveobis aRwera SeiZleba am Se da rebis safuZvel ze?

1.2cvladiani gamosaxuleba. gantoleba.

gantolebis saSualebiT amocanebis amoxsna

SevajamoT: gavixseneT gasul wels Seswavlili zogierTi sakiTxi. momavalSi sxva sakiTxebsac gavixsenebT.

12 sm 5 sm

E

B C H

L

DA

bb

ba

F

a–b

a–b

G

15

Tu x:y=3:2, maSin vambobT, rom x da y cvladebi aris 3-isa da 2-is pro-porciuli. moxdenili agebulebis adamianzec amboben xolme: mSvenie-

ri proporciebi aqvso. Tu arCevnebis dros pirvelobas politikuri

partiebi ecilebian da ara calkeuli kandidatebi, maSin es saarCevno

sistema pro por ciulia.

Tu, magaliTad, mosaxleoba moiTxovs raime produqcias da ver xe-

rxdeba am moTxovnis dakmayofileba, amboben

xolme: darRveulia proporcia moTxovnasa

da miwodebas Soriso.

es suraTic moTxovnasa da miwodebas

Soris dar Rveul proporcias asaxavs.

Svili: dedi, 5 lari momeci ra?deda: 1 larze mets ver miiReb!

oqros kveTis proporciazec visau-breT gasul wels.

C wertili AB monakveTs oqros kveTis

pro por ciiT kveTs (AB monakveTis oqros

kveTas axdens), Tu ACAB =

BCAC , anu, Tu AB=a, AC=x,

xa =

a–xx .

x2+ax–a2=0.aseTi saxis gantolebis amoxsna Zvel babilonSic SeeZloT —

mis fesvebs sakmaod ma Rali sizustiT poulobdnen. Tqvenc male SeZlebT msgavsi amocanebis gadawyvetas.

gaixseneT oqros kveTasTan dakavSirebuli masala, romelsac gasul wels gaecaniT: oq ros kveTa maTematikaSi, oqros kveTa bune-basa da xelovnebaSi. gamoiyeneT li te ra tura, magaliTad,

avTandil benduqiZe, maTematika, seriozuli da saxaliso, Tbilisi, 2005, an interneti, magaliTad, en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio.

moamzadeT da warmoadgineT moxseneba oqros kveTis Sesaxeb.

A C B

x

proeqti

s

16


1 (x–1)(x–1,5)=0 gantolebas 1) erTi fesvi aqvs 2) ori fesvi aqvs 3) sami fesvi aqvs 4) ara aqvs fesvebi.

2 rom vipovoT a-s yvela is mniSvneloba, romlisTvisac 4a–1 da 8a–13 gamosaxulebebis mniSvnelobebi tolia, unda amovxsnaT gantoleba:

1) 4a=8a 2) 4a–1=8a 3) 4a–1=8a–13 4) 8a–1=4a–13.

3 erT-erTi gantolebis amoxsnisas jer am gantolebis orive mxares gamoakles 8, Semdeg yvela wevris 3-ze gayofiT miiRes: x=9. aRadgi-neT Tavdapirveli gantoleba.

1) 3x–8=19 2) 3x+8=35 3) 3x=27 4) x+8=17.

4 mocemulia gantolebebi: a) 3x=9–4x, b) 4x+6=4x+11, g) |x|= –5, d) |x|=x. maTgan romel gantolebas ara aqvs fesvi? 1) a) da d) 2) a) 3) d) 4) b) da g).

5 3x=x+7 gantolebis tolfasi gantolebaa: 1) 3x=7 2) 2x=7 3) x=7 4) 3x+7=x.

6 mocemulia gantolebaTa wyvilebi: a) 8x=–4 da 8x+x=x–4 b) 3x=11 da 3x+5=x+11 g) 8x=36 da 25–x=7x+11 d) 25–x=7x–11 da 8x=3. maTgan tolfas gantolebaTa wyvilia 1) a) 2) b) 3) g) 4) d).

7 vTqvaT, a dadebiTi ricxvia, b — uaryofiTi. ricxviT wrfeze am ricxvebis gamomsaxvel wertilebs Soris manZilis gamosaTvleli formulaa:

1) a+b 2) a–b 3) b–a 4) 2(a–b).

8 qvanaxSiris maRarodan 240 t qvanaxSiris gamosa-tanad saWiroa 4 vagonis Sevseba. imave saxis ramdeni vagonia saWiro 300 t qvanaxSiris gamosatanad?

am amocanis amosaxsnelad sakmarisia amoixsnas pro-porcia:

1) 2404 =

x300 2)

2404 =

300x 3)

5404 =

300x 4)

6004 =

x300 .

a

17

9 SeiZleba Tu ara, rom samkuTxedis gverdebi 1-is, 2-isa da 3-is proporciuli iyos?

1) Tu samkuTxedi maxvilkuTxaa, SeiZleba 2) Tu samkuTxedi blagvkuTxaa, SeiZleba 3) Tu samkuTxedi sxvadasxvagverdaa, SeiZleba 4) ar SeiZleba.

10 ra ricxvebi miiReba 60-is gayofiT 2-is da 3-is proporciul nawilebad?

1) 12 da 24 2) 20 da 40 3) 10 da 50 4) 24 da 36.

11 oqrosa da vercxlis erT-erT SenadnobSi oqrosa da vercxlis masebis Sefardebaa: 2:13. am Senadnobis masis ra nawilia vercxlis masa?

1) 213

2) 1313

3) 215

4) 1315

.

12 200 kilovatsaaTi eleqtroenergiis Rirebuleba 32 laria. 250 ki lovatsaaTi eleqtroenergiis Rirebulebis (larebSi) sapovnelad SeiZleba amovxsnaT proporcia:

1) 32200 =

x250 2)

3200200 =

250x

3) 2003200 =

x250 4)

32250 =

x200 .

13 gaarkvieT – ra wesiT xdeboda 2006 wlis ivnisSi Tbilisis mo-saxleobis mier moxmarebuli eleqtroenergiis Rirebulebis dad-gena (1 kilovatsaaTis fasi da mo kidebuli iyo moxma re bu li eleqtroen-ergiis odenobaze) da ipoveT eleq tro energiis gadasaxadi 2006 wlis ivnisis TveSi, roca mox-ma rebulia

a) 80 kilovatsaaTi; b) 160 kilovatsaaTi; g) 350 kilo vatsaaTi. gamoiyenebT Tu ara am

Sem Txve vaSi raime pro-porcias?

14 inglisuri da franguli enebis Semswavlel kursebze 45 studenti swavlobs. im studentebis ricxvi, romlebic inglisurs swavloben, ise Seefardeba im studentebis ricxvs, romlebic franguls swavloben, rogorc 7:2. amasTanave, inglisurs 25 studentiT meti swavlobs, vidre franguls. ramdeni studenti swavlobs orive enas, marto inglisurs, marto franguls?

abonentTa sayuradRebod!saqarTvelos energetikis maregulirebeli komisiis 2006

wlis maisis dadgenileba ##18-is Tanaxmad eleqtroenergiis Sesasyidi tarifi mosaxleobis seqtorisaTvis 2006 wlis 1 ivnisidan ganisazRvreba Semdegi odenoba:

# moxmarebuli eleqtroenergiis raodenoba (30 kalendarul dReSi)

TeTr/kvtsT

1 100 kvtsT-is CaTvliT 13.480

2 101 kvtsT-dan 300 kvtsT-is CaTvliT 16.000

3 301 kvtsT da meti 17.697

im SemTxvevaSi, Tu saangariSsworebo periodi metia an nak-lebia 30 dReze, safexurebis intervali icvleba Sesabamisad normirebuli saSualo dRiuri moxmarebis mixedviT.

amoxseniT amocanebi

18

15 sam dReSi fotogamofena 2940-ma ada-mianma daaTvaliera. pirvel dRes damTva-lie rebelTa ricxvi ise Seefardeba meore dRis damTvalierebelTa ricxvs, rogorc 5:6. meore dRes damTvalierebelTa ricxvi ise Seefardeba mesame dRis dam Tva li e-rebelTa ricxvs, rogorc 4:9. ramdenma

daaTvaliera gamofena TiToeul dRes?

16 SeiZleba Tu ara zRvaSi ise ganla-gdes sami gemi, rom maT Soris a, b da c manZilebi akmayofilebdes pirobebs: a da b proporciuli iyos 2 da 3-is; b da c ki – 4 da 9-is?

17 ABC samkuTxedis perimetri 23 sm-ia. E wertili AC gverds ekuTvnis. CBE samkuTxedis perimetri 17 sm-ia. ABE samkuTxedis perimetri – 14 sm. ipoveT BE.

18 ABC samkuTxedis C kuTxe marTia. cnobilia, rom C wertili abscisaTa RerZs ekuTvnis. amasTanave, cnobilia A da B wertilebi: A(10;0); B(2;6). ipoveT C wertili.

19 miTiTebuli zomebis mixedviT SeadgineT figuris S farTobis gamomsaxveli sxvadasxva formula Semdegi ori wesis gamoyenebiT:

a) dayaviT figura marTkuTxedebad horizon-talurad gavlebuli wrfiT;

b) dayaviT figura marTkuTxedebad verti-kalurad gavlebuli wrfiT.

algebruli wesebiT SeamowmeT miRebuli gamo-saxulebebis igivuri toloba.

20 amoxseniT wina amocanis analogiuri amocana suraTze gamosaxuli figuris SemTxvevaSi.

21 mocemulia kvadrati, romlis gverdis sigrZea a+b. ise gaavleT horizontaluri da vertikaluri wrfeebi, rom kvadrati daiyos oTxkuTxedebad, romelTagan ori kvadratia da farTobis formulebis gamoyenebiT miiReT formula:

a) (a+b)2=a2+2ab+b2;

b) (a+b)2=(a+ b2 )2+2(a+ b2 )

b2

+( b2 )2.

a

d

b

c

c

bd

a

a b

a

b

19

22 SecvaleT* niSnaki raime iseTi gamosaxulebiT, rom swori toloba miiRoT:

a) (2x+*)2=4x2+12xy+9y2. b) (4a+*)2=16a2+*+4; g) (*–5m)2=9n2–*+25m2; d) (*–0,1b)2=*–ab+0,01b2.

23 1,0022 da 0,9972 ricxvebis meaTasedebamde sizustiT povnis mizniT: • gamoiyeneT kalkulatori; • gamoiyeneT Semoklebuli gamravlebis formulebi (1+a)2 da (1–a)2

saxis gamosaxulebebisTvis da kalkulatoris gareSe ipoveT saTanado mniSvnelobebi.

• SeiZleboda Tu ara TiToeul SemTxvevaSi gamogveyenebina miax-loebiTi toloba (1+a)2 ≈ 1+2a; (1–a)2 ≈ 1–2a?

• ra SemTxvevaSia gamarTlebuli Tqveni azriT am miaxloebiTi tolobebis gamoyeneba?

24 (erTi Zveleburi amocanis mixedviT) glexi ori sxvadasxva Rirebulebis Rvinos hyidda, pirvelis fasi — 1 fuTi — 30 lari (igulisxmeT, rom 1 fuTi 16 litria), meoris fasi — 1 fuTi — 18 lari.

TiToeuli RviniT savse 1-fuTiani WurWlebis ra nawilebi unda Seeria glexs, rom 1 fuTi axali Rvinis fasi yofiliyo 21 lari?

25 gvaqvs oqrosa da vercxlis ori Senadnobi. erT-erTSi am metalebis masebis Sefardebaa 2:3, meoreSi — 3:7. TiToeuli Senadnobis ramdeni kilogrami unda aviRoT, rom miviRoT 8 kg axali Senadnobi, romelSic oqros da vercxlis masebis Sefardebaa 5:11?

miTiTeba. aviRoT I Senadnobi — x kg. meore — (8–x) kg.

20

magaliTi 1

magaliTi 2

magaliTi 3

gavixsenoT, rom ricxvebs procentis saxiTac CavwerdiT xolme. magaliTad, 34 =

75100 =0,75=75%. amrigad, ricxvis 75%-is povna, ricxvis

75100 -is povnas niSnavs

da amitom ricxvs vamravlebT 75100 -ze (anu 0,75-ze). imis nacvlad, rom vTqvaT:

`mosaxleobis 0,25~, an `mosaxleobis 14 ~, vambobT xolme: mosaxleobis 25%.

xSirad, praqtikaSi `mcire~ procentTanac gvaqvs xolme saqme. magaliTad, 1%-ze naklebTanac, roca 0,01-ze nakleb nawils vixilavT.

2005 wels umaRles saswavleblebSi misaReb er-Tian erovnul gamocdaze maTematikaSi 5000 abitu-rientisTvis SeTavazebuli 40 amocanidan yvelaze rTuli aRmoCnda erT-erTi 5-quliani amocana. is

unaklod amoxsna mxolod 34-ma abiturientma anu 34

5000 nawilma, rac 0,0068-is tolia. es aTwiladi

SeiZleba procentebiT ga movsaxoT. amisTvis ki, rogorc ukve iciT, sakmarisia 100-ze gamravleba. miviRebT 0,0068=0,68%-s.

SeiZleba proporciac gamoviyenoT

SeiZleba 100%-ze meti procentis magaliTic ganvixiloT.

1.3 vagrZelebT procentis ganxilvas

vTqvaT, mewarmis Semosavali wels gasul welTan SedarebiT 3,5-jer gaizarda.

• wina wlis Semosavlis ramdeni procentia wels mewarmis Semosavali?• ramdeni procentiT gaizarda Semosavali?am magaliTSi dasmul kiTxvebze, imedia, SeZlebT pasuxis gacemas;gaiTvaliswineT, rom 3,5=350%, 2,5=250%.(3,5x aris x-is 350%; x gaizarda 2,5x-iT, rac aris x-is 250%).

vTqvaT, qveynis biujetis saSemosavlo nawili (ganmartebisTvis ixi-leT paragrafis `leqsikoni~) gasul welTan SedarebiT 1,4-jer gaizarda. ga mov saxoT es ricxvi procentebiT:

1,4=1,4·100%=140%.amrigad, es axali monacemi gasuli wlis aseTive monacemis 140%-s

Seadgens.

1 nawili _ 100%0,0068 _ x%

x=0,0068⋅100=0,68

21

SevajamoT: a ricxvis m% aris a·m100 .

ricxvis k nawili ricxvis 100k%-ia. 2-jer gazrda niSnavs 100%-iT gazrdas, 3-jer gazrda niSnavs 200%-iT gazrdas, 3,5-jer gazrda _ 250%-iT, 5-jer gazrda – 400%-iT, n-jer gazrda _ (n–1)·100%-iT.ricxvis 0,001 aris am ricxvis 0,1%.ricxvis 0,0001 aris am ricxvis 0,01%.ricxvis 0,2% aris am ricxvis 0,002 nawili.ricxvis 0,02% aris am ricxvis 0,0002 nawili.SeiZleba xSirad proporciac gamoviyenoT; gaiTvaliswineT, rom 1=100%.

biujeti (franguli _ budget) _

1. saxelmwifos, qalaqis, dawesebulebis, sa war mos, ojaxis Semosaval-gasavlis nusxa drois garkveuli monakveTisTvis _ xar j TaRricxva. magaliTad, qalaq Tbi lisis 2011 wlis biujetis dagegmvisas Se mo savlebi

605 788 000 lariT ganisazRvra.igi Sedgeba sxvadasxva gadasaxadebiT, qonebis gayidvisgan miRebuli Semo-

sav lebiT, sa xelmwifo biujetidan miRebuli TanxiT da sxva.biujetis mixedviT igegmeba gasavalic ganaTlebis, janmrTelobis, kul-

turis, sa bi nao mSeneblobis sferoebSi da sxva.

2. visime piradi Semosavali da xarjebi.

Cveni

leqsikoni

pirvelad rodis gamoiyenes procenti da misi simbolo?

am kiTxvas gasul wels vupasuxeT. wels 1-ze nakleb procentzec

gvqonda saubari. 1-ze naklebi procentisTvisac saTanado saxeli da

aRniSvnaa SemoRebuli, Tumca maT farTo gamoyeneba ar aqvs.

erTi measedi erTi procentia, erTi meaTasedi _ erTi promile. misi

aRniSvnaa _ 1a. 0,6%-s asec CavwerT: 6a _ promileebis mTeli ric-

xviT gamoisaxa 6 mea Tasedi nawili. medikosebi zogierTi gamokvlevisas

miRebul monacemebs promileebSi ga mo saxaven.

s

22


1 0,001= 1) 1% 2) 0,1% 3) 0,01% 4) 0,001%.

2 0,2%= 1) 0,2 2) 0,02 3) 0,002 4) 0,0002.

3 ricxvis meaTasedi nawili aris am ricxvis 1) 1% 2) 0,01% 3) 0,001% 4) 0,1%.

4 ricxvis 0,3% rom vipovoT, es ricxvi unda gavamravloT

1) 310

-ze 2) 3100

-ze 3) 3-ze 4) 31000

-ze.

5 ricxvis 400% rom vipovoT, es ricxvi unda 1) gavyoT 4-ze 2) gavamravloT 4-ze 3) gavyoT 40-ze 4) gavamravloT 40-ze.

6 Tu dadebiT ricxvs gavzrdiT 400%-iT, maSin es ricxvi gaizrdeba 1) 4-jer 2) 3-jer 3) 5-jer 4) 6-jer.

7 Tu dadebiT ricxvs gavzrdiT 6-jer, maSin is gaizrdeba 1) 600%-iT 2) 500%-iT 3) 400%-iT 4) 60%-iT.

8 Tu mocemul dadebiT ricxvs jer gavzrdiT 100%-iT, Semdeg _ 200%-iT, maSin mocemuli ricxvi gaizrdeba

1) 300%-iT 2) 600%-iT 3) 500%-iT 4) 200%-iT.

9 Tu mocemul dadebiT ricxvs gavzrdiT 200%-iT, Semdeg _ 100%-iT, maSin mocemuli ricxvi gaizrdeba

1) 300%-iT 2) 600%-iT 3) 500%-iT 4) 200%-iT.

10 rogor Seicvleba ori dadebiTi ricxvis namravli, Tu erT ricxvs gavzrdiT 20%-iT, xolo meores SevamcirebT 20%-iT?

1) gaizrdeba 4%-iT 2) Semcirdeba 4%-iT 3) Semcirdeba 96%-iT 4) ucvleli darCeba.

11 rogor Seicvleba ori dadebiTi ricxvis namravli, Tu erT ricxvs gavzrdiT 200%-iT, xolo meores SevamcirebT 2-jer?

1) gaizrdeba 50%-iT 2) Semcirdeba 50%-iT 3) gaizrdeba 100%-iT 4) ar Seicvleba.

a

23

12 erT-erTi skolis me-8 klaselebs sTxoves daesaxelebinaT say-vareli sportuli TamaSi (erTi). aRmoCnda, rom yoveli moswavle

sportis qomagia. gamokiTxvis Sedegebi diagram-azea mocemuli (vertikalur RerZze _ moswav-leTa odenobebi, horizontalurze _ sportuli TamaSebi, f-fexburTi, k-kalaTburTi, C-CogburTi, W-Wad raki, d-da na rCeni saxeobebi).

• sul ramdeni moswavle gamoikiTxa? • moswavleTa saerTo odenobis ramdeni

procenti ani Webs upiratesobas fexburTs an ka-laTburTs?

• ramdeni procentiT meti aniWebs upirate-sobas ka laT burTs WadrakTan SedarebiT?

• ramdeni procentiT meti aniWebs upirate-sobas Cog burTs WadrakTan SedarebiT?

• am diagramis mixedviT SeiZleba Tu ara miviCnioT, rom klaselebs Soris aris wyalburTis qomagi, xel burTis qomagi?

13 fexburTSi 2006 wlis msoflio Cempionatis finalur matCze dasas-wrebi bileTis fasi maspinZlis _ ger-maniis gundis gamosvlebis Sesabamisad meryeobda. meoTxedfinalSi germanelTa gamarjvebis Semdeg arsebuli fasi 100%-iT gaizarda. naxevarfinalSi dam-arcxebis Semdeg es axali fasi 2,5-jer Semcirda. ramdeni procentiT Seicvala bileTis meoTxedfinalamde arsebuli fasi (gaizarda, Tu Semcirda)?

14 vTqvaT, dolaris gacvliTi kursi larTan mimarTebaSi iyo _

22 ivniss 1 dolari _ 1,775 lari;

25 ivniss _ 1 dolari _ 1,772 lari;

13 ivliss _ 1 dolari _ 1,760 lari.

am dReebSi meanabrem bankidan 200-200 dolari gamoitana (sul _ 600 dolari). TiToeul SemTxvevaSi banki meanabris mier gamotanili Tanxidan itovebda 0,01%-s — momsaxurebis gadasaxads. sul ramden lars aiRebda meanabre am sam dReSi ga mo tanili Tanxebis larebze gacvliT?

15 saqonlis fasi 10%-iT Seamcires, Semdeg _ kidev 10%-iT. ramdeni pro cen tiT iafi gaxdeboda saqoneli, misi fasi Tavdapirvelad 20%-iT rom Se em ci rebinaT (pasuxi miuTiTeT procentis measedebamde sizustiT)?

6

7

8

9

11

10

1

2

3

4

5

y

x0 f k C W d

amoxseniT amocanebi

24

16 navTobis gadamuSavebisas miiRes 30% navTi, 53% mazuTi, danarCeni _ narCenebi.

a) ramden procents Seadgens narCenebi? b) ra odenobis navTi da mazuTi miiReba 20 t navTobis gada-

muSavebisas?

17 erT-erTi sawarmos aqciis (fasiani qaRaldis) fasi 12 %-iT gaiz-arda. ra Rirs amJamad aqcia, Tu misi Zveli fasi iyo

a) 200 lari, b) 300 lari, g) 50 lari?

18 ujrian rveulSi daxazeT kvadrati, romlis gverdis sigrZe ujris gverdis sigrZeze orjer metia. daxa-zeT raime marTkuTxedi, romlis farTobi daxazuli kvadratis farTobis

a) 200%-ia, b) 150%-ia, g) 400%-ia.

19 vTqvaT, TiToeuli kaklis (nayofis) naWuWis masa nayofis masis miaxloebiT 60%-ia. rogor fiqrobT, ra ufro xelsayrelia: dasarCevi (naWu-Wiani) kaklis yidva _ 1 kg _ 5 larad, Tu dar-Ceulis _ nigvzis yidva 1 kg _ 12,5 larad?

20 sami metalis SenadnobSi am metalebis masebi 1, 2 da 5-is pro-porciulia. Senadnobis masis ramden procents Seadgens TiToeuli metalis masa?

21 erT-erT firmaSi muSakTa xelfasi misi 15 nawiliT Semcirda. md-gomareobis gamosworebis Semdeg xelfasi Zvel odenobas daubrunda. ramdeni procentiT gazrdila mdgomareobis gamosworebis Semdeg firmis muSakTa xelfasi?

22 x da y dadebiTi ricxvebia. gaizrdeba Tu Semcirdeba xy ricxvi, Tu x-s gavzrdiT 20%-iT, y-s SevamcirebT 20%-iT. ramdeni procentia zrda an kleba?

23 marTkuTxedis formis nakveTis zomebis SecvliT kvlav marT-kuTxedis formis nakveTi miiRes _ sigrZe gaizarda 40%-iT, sigane Semcirda 40%-iT. gaizarda Tu Semcirda nakveTis farTobi?

24 muqi saRebavebiT dafaruli zedapiri sinaTlis 98%-s STanTqavs. ramdenjer naklebia sinaTlis arekvlili nawili dacemulze, STanTqmulze?

25

vTqvaT, meanabre apirebda erTi wliT 20 000 laris Setanas erT-erT bankSi. am bankis wesdebiT 1 wlis Semdeg meanabris Tanxas dam-atebiT daericxeboda Setanili Tanxis 11,25% _ sargebeli, fulis gamotanisas ki daeqviTeboda (daukavdeboda) saxelmwifo gadasaxadi _ daricxuli sargeblis 10%. Tu meanabre amave Tanxas aSS dolarebis Sesabamisi odenobiT Secvlida da Seitanda bankSi, maSin erTi wlis Semdeg mas daericxeboda Setanili Tanxis 9,25%. am SemTxvevaSic, Tanxis gamotanisas, daeqviTeboda daricxuli Tanxis 10%.

vTqvaT, meanabre apirebda Tanxis Setanas 2006 wlis 19 ivnisidan 13 ivlisamde _ erT-erT dRes.

• ipoveT TiToeul SemTxvevaSi 1 wlis Semdeg asaRebi Tanxa.• gaiTvaliswineT laris kursis mimarTeba am periodSi dolaris

kursTan da mocemuli diagramis mixedviT imsjeleT _ romel dRes da romeli valutis (larisa Tu dolaris) Setana aRmoCndeboda ufro xelsayreli meanabrisTvis, Tu gacvlis es kursi ar Seicvleboda (gaiTvaliswineT, rom es banki anabris Tanxebs ufasod cvlida sxva valutaSi). ramdeni lari SeiZleba ezarala meanabres Tu valutisa da dRis SerCevisas saukeTeso variantis magier yvelaze uaress SearCevda?

• iqneb damatebiT raime sxva faqtorebis gaTvaliswinebacaa saWiro? gamoTqviT varaudebi gacvlis kursis cvlilebis gaTvaliswinebiTac da imsjeleT.

• rogor aisaxeba miRebul Sedegebze saxelmwifo gadasaxadis gauqmeba? (amJamad es gadasaxadi gauqmebulia).

proeqti

1.7640

1.7660

1.7680

1.7700

1.7720

1.7740

1.7780

1.7760

19.06.2006

20.06.2006

21.06.2006

22.06.2006

23.06.2006

26.06.2006

27.06.2006

28.06.2006

29.06.2006

30.06.2006

03.07.2006

04.07.2006

05.07.2006

06.07.2006

07.07.2006

10.07.2006

11.07.2006

12.07.2006

13.07.2006

14.07.2006

dolaris larSi gacvlis kursis cvlileba

26

wre wrewiriT SemosazRvruli figuraa, wrewiri wris sazRvaria, igi wris nawilia.

suraTze wrewiria gamosaxuli. misi centri O wertilia. A wertili wrewiris wertilia, OA monakveTi radiusia (mis sig-

rZesac radiuss vuwodebT xolme). vTqvaT, OA=r.sibrtyis ra wertilTa simravlea es wrewiri?am suraTze daStrixulia sibrtyis yvela im wer-

ti lis simravle, romlebidanac manZili mocemul O wertilamde mocemul ricxvs (radiuss) ar aRemateba _ wre.

A da B wertilebi wrewirs or nawilad hyofs, Ti Toeuli maTgani wrewiris rkalia A da B boloebiT.

am rkalebis gansxvavebis mizniT TiToeulze damatebiT TiTo wer tili aviReT _ C da D. axla am rkalebs ase davasaxelebT: ACB rkali da ADB rkali. maT asec aRvniSnavT: ∪ACB, ∪ADB.

qorda aris monakveTi, romelic wrewiris or wertils aerTebs erTmaneTTan.

suraTze ori qordaa gamosaxuli, erT-erTi — CD — cen-trze gadis. centrze gamaval qordas diametri ewodeba.

diametri udidesi qordaa. am debulebis dasabuTebaSi suraTis TvalsaCinoeba davixmaroT.

• vTqvaT, radiusi (radiusis sigrZe) r-is tolia. AB ki raime qordaa, romelic centr ze ar gadis.

• risi tolia diametri (diametris sigrZe)? • gaixseneT samkuTxedis utoloba da miiRebT, rom AB

27

am suraTze wre oTx seqtoradaa dayofili. vTqvaT, maTi Sesabamisi centruli kuTxeebi ise Seefardeba, rogorc 1:5:2:4.

vipovoT TiToeuli centruli kuTxe. am kuTxeebis zomebis jami 3600-ia. maSasadame, gvaqvs:

SevajamoT: gavixseneT: wrewiri sibrtyis yvela im wertilis simravlea, romlebic am sibrtyis mocemuli wertilidan erTi da imave manZiliTaa daSorebuli; wrewiriT SemosazRvruli sibrtyis nawili wrea; seqtori wris nawilia, romelic ori ra di usiTaa SemosazRvruli; centruli kuTxe wris centridan gamosuli ori sxiviT Seq mnili kuTxea.

x+5x+2x+4x=3600

12x=3600

x=300, 5x=1500, 2x=600, 4x=1200.

adamianebi uZvelesi droidan iyenebdnen mraval xelsawyos,

romlebic wrewirs an wres da mis nawilebs ganasaxierebdnen. mxolod

borbalic ki ikmarebda amis dasturad.

* * *

wresTan dakavSirebiT gavixsenoT Zveli qarTuli

(amJamad miviwyebuli) TamaSi laxtaoba. is meo-

marTa aRzrdasa da wvrTnas uwyobda xels. TamaSi

alyaSemortymul cixesimagreze ieriSs mogvagonebs:

moTamaSeTa erTi gundi miwaze moniSnuli wrewiris

SigniT dgas da miwaze dawyobil laxtebs (qamrebs,

romelTac balTa ara aqvs) icavs. laxtis erTi

bolo wrewirzea, TviT laxti ki diametrze Zevs.

meore gundis wevrebi wres garSemo uvlian da

cdiloben laxtis an TviT mo wi na aRm degis ̀ gatacebas~

wridan ise, rom Tavad ar `daiWran~, anu gadaurCnen

mowinaaRmdegis fe xis Sexebas. Tu laxti motacebulia, maSin laxtis

daxmarebiTac cdiloben danarCeni lax tebis motacebas. Tu moitaces,

laxtiT dauwyeben fexebSi cemas wreSi myofT. mom tacebelTa `daWris~

Semdeg gundebi cvlian poziciebs.

* * *

meore magaliTi fexburTSi 9-metrian zonas ukav-

Sirdeba. fexburTis matCis dros sajarimo dartymis

Sesrulebisas burTi wesebis darRvevis adgilze ideba.

mas im wrewiris centrad warmoidgenen, romlis radiusi

9 metri unda iyos. sajarimo darty mis Sesrulebis

dros am wrewiris SigniT mowinaaRmdege gundis rome-

lime mo Ta maSis yofna akrZalulia.

s

28

aSearCieT swori pasuxi

* * *

sityva centri sxva azriTac ixmareba. ma ga-

liTad, SesaZlebelia gaigonoT: `satelevizio

cen tris max lob lad saswavlo centri amoq medda~.

am winadadebaSi centri dawesebulebebis aRsan-

iSnavad gamoiyeneba.

Tu vinmem, an raimem sayovelTao yuradReba

mi iq cia, maSin amboben xolme: `yuradRebis

centrSi moeqcao~.

* * *

wre saerTo interesebis mqone adamianTa jgufsac aRniSnavs, zogjer

ki _ garemocvasac. magaliTad: `batoni givi saqmiani wreebis warmomad-

genelia~, `nona Wadrakis wreSi dadis~; `es biWi cud wreSi aRmoCnda~.

Tu vinme zomierebis, wesierebis farglebs scildeba, amboben xolme: `is

wres gadadis~. Tqven TviTon axseniT ras unda niSnavdes wre Semdeg

winadadebaSi: `dinamo~ Tasis gaTamaSebis meore wreSi gavida~.

* * *

aviaciis moqmedebis ares _ aviaciis moqmedebis radiussac uwodeben

xolme. Tu saxls garSemo cecxli moedo, amboben: `saxli cecxlis

rkalSi moeqcao~.

* * *

sityva seqtori sxva azriTac gamoiyeneba xolme. magaliTad: `priva-

tizaciis Sedegad es qarxana kerZo seqtorSi aRmoCnda~ niSnavs, rom

qarxana saxelmwifo sakuTrebidan kerZo mflobelobaSi gadavida.

1 wrewiri ewodeba sibrtyis yvela im wertilis simravles, romle-bic am sibrtyis mocemuli wertilidan

1) mocemul manZilze metad ar aris daSorebuli 2) mocemul manZilze naklebad ar aris daSorebuli 3) mocemuli manZiliT aris daSorebuli.

2 wre ewodeba sibrtyis yvela im wertilis simravles, romlebic am sibrtyis mocemuli wertilidan

1) mocemuli manZiliT aris daSorebuli 2) mocemul manZilze metad ar aris daSorebuli 3) mocemul manZilze metad aris daSorebuli.

29

3 wrewiris radiusia 7,8 m. am wrewiris diametria 1) 7,8 m 2) 3,9 m 3) 15,6 m 4) 156 m.

4 wrewiris diametri 18,7 dm-ia. am wrewiris radiusia 1) 18,7 dm 2) 9,35 dm 3) 37,4 dm 4) 0,935 dm.

5 wrewiris diametri mis radiusze 1) orjer naklebia 2) samjer metia 3) orjer metia.

6 wrewiris centria P(4,8; 0) wertili. wrewiri gadis koordinatTa saTaveze. am wrewiris radiusia

1) 2,4 2) 4,8 3) 9,6.

7 wrewiris raime ori wertilis SemaerTebel monakveTs 1) am wrewiris radiusi ewodeba

2) Sesabamisi wris seqtori ewodeba

3) am wrewiris qorda ewodeba.

8 wrewiris udidesi qorda a) radiusis tolia 2) diametris tolia 3) diametrze metia.

9 suraTze daStrixuli seqtori aris wris 1) 25% 2) 8% 3) 12,5% 4)

18 %.

10 romel suraTzea daStrixuli wris 25%? 1) 2) 3)

11 suraTze BOC aris AOB kuTxis 1) 75% 2) 33

13 % 3) 50% 4) 45%.

12 suraTze daStrixuli seqtori aris wris 1)

12 2)

112 3)

512 4)

13 . ��

�

��

��

�

A

B

C

O

30

13 AOB, BOC, COD da AOD centruli kuTxeebi ise Seef-ardeba, rogorc 10:14:3:9. AOD seqtori aris wris

1) 40% 2) 25% 3) 9%.

14 suraTze Seferadebuli nawili aris 1) ori seqtoris gaerTianeba 2) ori segmentis gaerTianeba 3) ori wris gaerTianeba.

15 suraTze mocemuli wrewiris simetriis RerZia 1) a 2) b 3) c.

16 wris centri A(–3;1) wertilia, radiusi ori erTeulis tolia. aageT naxazi da miuTiTeT sakoordinato sibrtyis romel meoTxede-bSia wris wer ti lebi.

17 wrewiris centri koordinatTa saTaveSia, radiusi 5 erTeulia. ipoveT am wrewiris sakoordinato RerZebTan gadakveTis wertilebis koordinatebi.

18 wrewiris centria P(4; 0) wertili, radiusi 3-is tolia. ipoveT am wrewiris abscisaTa RerZTan gadakveTis wertilebis koordinatebi.

19 wrewiris centri P(–3; 0) wertilia. wrewiri gadis koordinatTa sa-Taveze. ipoveT am wrewiris abscisaTa RerZTan gadakveTis wertilebis koordinatebi.

20 wris centri P(0; 3) wertilia, radiusi _ 2 erTeuli. CamoTvlil wertilTagan romeli ekuTvnis wres:

A(0;2), B(1;3), C(3;3), D(0;6), E(0;5)?

SeasruleT naxazi.

21 wrewiri kveTs ordinatTa RerZs (0;1) da (0;–5) wertilebSi. misi centri ordinatTa RerZzea. ipoveT wrewiris centris koordinatebi.

22 wrewirze moniSneT A, B da C wertilebi. daasaxeleT romelime oTxi rkali.

23 wrewiris centri koordinatTa saTavea, wrewiri sakoordinato RerZebs kveTs A(4;0), B(0;–4), C(–4;0) da D(0;4) wertilebSi. am wertile-biT SemosazRvruli rkalebidan romeli

a) ar Seicavs II meoTxedis 2-ze met wertils;

b) Seicavs mxolod im wertilebs, romelTa abscisebi arauaryofiTi ricxvebia;

D

A

B

C

O

c

a

b

amoxseniT amocanebi

31

g) Seicavs mxolod im wertilebs, romelTa koordinatebis nam-ravli aradadebiTi ricxvebia;

d) Seicavs mxolod im wertilebs, romelTa ordinatebi aradadebiTi ricxvebia?

24 A(–3;0) da B(7;0) — wrewiris diametris bolo wertilebia. ipoveT am wrewiris centris koordinatebi.

25 A(0;–2) im wrewiris wertilia, romlis centria P(0;1). ipoveT am wrewiris diametri.

26 A(0; 6,4) da B(0;–3,2) wrewiris diametris boloebia. ipoveT am wrewiris radiusi da centris koordinatebi.

27 wrewiri ordinatTa RerZs M(0;10,2) da N(0;12,1) wertilebSi kveTs. ipo veT MN qordis sigrZe.

28 wrewiris radiusia 8 sm. SeiZleba Tu ara, rom misi romelime qorda iyos

a) 1 sm; b) 8 sm; g) 17 sm; d) 16 sm; e) 18 sm?

29 a da b wrfeebi P wertilSi ikveTeba. wrewiri, romlis centria P werti-li, a wrfes A da B wertilebSi kveTs, b wrfes ki _ C da D wertilebSi. da a saxeleT:

a) APD centruli kuTxis toli centruli kuTxe;

b) centruli kuTxe, romelic APD kuTxis mosazRvrea.

30 AOB da BOC centruli kuTxeebis zomebi Sesabamisad aris 500 da 280. ipoveT

a) AOC centruli kuTxis gradusuli zoma. b) EOF centruli kuTxis gradusuli zoma, Tu OE da

OF aris mocemuli AOB da BOC kuTxeebis biseqtrisebi.

31 wris centrze gavlebuli AB da CD wrfeebiT Seqmnili erT-erTi centruli kuTxe 420-ia. ipoveT danarCeni centruli kuTxeebi.

32 ipoveT α.

33 cnobilia, rom AB da CD marTobuli diametrebia. ∠1+∠2=1280. ipoveT ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5 _ centruli kuTxeebi.

� ��

�

5

C

A B

D

12

3

4

32

34 AB da CD diametrebiT Seqmnili ori kuTxe ise Seefardeba, rogorc 2:3. ipoveT es centruli kuTxeebi.

35 wrewirze ise SearCies A, B, C da D wertilebi, rom AOB, BOC, COD da AOD centruli kuTxeebis gradusuli zomebi 3, 3, 2 da 1 ricxvebis proporciuli aRmoCnda. ipoveT TiToeuli kuTxe.

36 wris centri koordinatTa saTavea, radiusi 2,4 erTeulia. daS-trixeT wrewiris A(2,4;0) da B(0;–2,4) wertilebze gavlebuli AB qor-diT miRebuli segmenti, romlis nebismieri wertilis koordinatebis namravli aradadebiTi ricxvia.

37 suraTze wris formis nakveTebia gamosaxuli. Tqveni varaudiT, mocemuli wris romel wertilebSi unda ganalagoT solebi, rom isini iyos erTmaneTisgan rac SeiZleba Sors; rac SeiZleba axlos:

a) O O'

b) O

O'

38 aRwereT da Semdeg daxazeT wris simetriuli figura l wrfis mimarT:

a) l b)

l

g)

l

d) l

39 daxazeT O centris mqone wrewiri. moniSneT wrewirze raime A wertili. ipoveT mocemuli wrewiris OA mimarTuli monakveTiT para-leluri gadatanisas miRebuli figura.

D

A

B

C

O

C

A

B

D

O

33

magaliTi

erT-erTi humanitaruli organizaciis davalebiT ninom da beqam Caatares gamokiTxva, raTa daedginaT: ramdenSviliani ojaxebi cxovreben maTTvis uaxloes sacxovrebel korpusSi.

beqa miRebul Sedegebs TanamimdevrobiT iwerda:1, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 5, 2.

nino ki Tavidanve aseT cxrilSi ganalagebda monace-mebs:

1. monacemebis mopoveba da dajgufebagasul wels gavecaniT sxvadasxva mizniT monacemTa mopovebis (Segrovebis)

zo gi erT xerxs:I _ gamokiTxvis Catareba. am gziT adgenen pirovnebis an gundis popu-

larobis do nes, politikosebSi `ZalTa ganawilebas~ arCevnebis Catarebamde, satelevizio kon kursis gamarjvebulis vinaobas da a. S. zogjer gamokiTxvas internetis ga moyenebiTac atareben.

II _ cnobarebis gamoyeneba (maT Soris internetSi ganTavsebuli cno-barebisac). magaliTad, monacemebi okeaneebze, kosmosze, ekonomikur sakiTxebze, msoflioSi mosaxleobis ganawilebaze da a. S. cnobarebiT SeiZleba moviZioT.

III _ dakvirveba. magaliTad, TbilisSi transportis moZraobisa da mgza-vrTa odenobis Seswavlis mizniT 2006 wlis ivlisSi dakvirvebas studentebi axdendnen.

IV _ eqsperimentis Catareba. magaliTad, vatarebT eqsperiments _ mon-etis mra val jerad agdebas da vakvirdebiT gerbisa da safasuris mosvlaTa odenobas.

mopovebuli monacemebis dasamuSaveblad _ mosawesrigeblad vaxdenT maTi raime niSniT dalagebas (dajgufebas), zogjer ki sixSireTa cxrils SevadgenT.

cxadia, monacemebis aseTi cxri liT _ six Si reTa cxriliT warmodgena ufro xelsayrelia. daasaxeleT, ra upiratesoba aqvs aseT war mod genas Tavdapirvel warmodgenasTan SedarebiT?

zogjer gamoiyeneba cxrilebi, romlebSic yoveli monacemisTvis sixSires-Tan erTad, an mis nacvlad, miTiTebulia fardobiTi sixSire _ six Si ris Sefardeba monacemTa saerTo raodenobasTan. mas, rogorc wesi, procentebiT ga mosaxaven. magaliTad, warmodgenili monacemebisTvis fardobiTi sixSireebi pro cen tebiT ase gamoisaxeba: 12%, 48%, 28%, 8% da 4%.

• risi tolia am fardobiT sixSireTa jami?• ipoveT dasaxelebul monacemTa saSualo, moda da gabnevis diapazoni.

aRwereT es monacemebi am maxasiaTeblebiT.

1.5 monacemTa analizi da statistika

Svilebis odenoba

erTeulebi sixSire

1 3

2 12

3 7

4 2

5 1

34

aSearCieT swori pasuxi

SevajamoT: ganvixileT monacemTa Segrovebis, klasifikaciisa da sixSire-Ta cxriliT warmodgenis magaliTi.

bevri Tqvengani, SesaZlebelia, yuradRebiT adevnebs xolme Tvals

fexburTis matCebs. fexburTis matCis damTavrebis Sem-

deg xSirad televiziiT matCis statistikas gvamcnoben

_ monacemebs, romlebic TamaSis msvlelobas asaxavs.

magaliTad, safrangeTsa da italias Soris erT-erTi

saerTaSoriso matCis zogierTi monacemi aseTi iyo:

am monacemebis mixedviT bevri ma xa siaTebliT safrangeTis gundi uke-

Tesadac gamoiyureboda. Tumca, mniSv nelovani iyo

matCis Semdgom pe naltebSi italielTa upira te-

so ba. gadamwyveti aRmoCnda italielTa saocari

sa Ta maSo disciplina da sportuli Jini _ italiam

Rirseulad gaimarjva.

italia safrangeTi

jarimebi 15 21

kuTxurebi 5 10

gafrTxileba 1 2

gaZeveba 0 1

karisken dartyma 5 10

karSi dartyma 3 5

TamaSgare 3 2

burTis floba 50% 50%

golebi 1 1

matCis Semdgomi penaltebi

5 3

1 vTqvaT, ricxviTi monacemebia: 2; 2; 3; 3; 3; 5; 5; 5. am monacemebSi 3-is sixSirea 1) 2 2) 3 3) 1 4) 2.

2 wina amocanaSi warmodgenil monacemebSi 3-is fardobiTi sixSirea 1) 75% 2) 37,5% 3) 32,5% 4) 35%.

3 vTqvaT, ricxviTi monacemebia: 5, 5, 6, 6, 6, 10. am monacemebis Se-sabamisi sixSireTa cxrilia

s

35

1) ricxvi 5 6 10sixSire 2 3 1




4 vTqvaT, ricxviTi monacemebia: 5, 5, 5, 6, 6, 6, 10, 10, 2; 5; 2; 5; 10; 10; 3; 2; 3; 5.

SeadgineT fardobiT sixSireTa cxrili.

5 kamaTeli gaagores 20-jer. ricxvi 1 movida 5-jer. 2 _ 2-jer; 3 _ 4 jer; 4 _ 3-jer, 5 _ 2-jer, 6 _ 4-jer.

SeadgineT: a) am ricxvebis mosvlis sixSireTa cxrili; b) fardobiT sixSireTa cxrili.

6 moneta aagdes 25-jer. safasuri gamoCnda 14-jer, gerbi _ 11-jer. SeadgineT safasurisa da gerbis gamoCenis:

a) sixSireTa cxrili; b) fardobiT sixSireTa cxrili.

7 Tqveni klaselebisTvis yvelaze popularuli kinofilmebis, sportsmenebis, msaxiobebis, poli-tikosebis da telegadacemebis xuTeulebis mixedviT CaatareT gamokiTxva _ TiToeulma Tanaklaselma

yoveli xuTeulidan unda daasaxelos misi az-riT yvelaze popularuli. Semdeg SeadgineT Sesabamisi sixSireebis cxrili, fardobiTi sixSireebis cxrili da imsjeleT maT Sesaxeb.

8 gamoikiTxa 50 axalgazrda _ ramdeni filmi naxa kinoTeatrSi ga-sul TveSi. gamokiTxvis Sedegebi sixSireTa cxriliTaa warmodgenili.

• ramdenma axalgazrdam naxa aranakleb 2 filmisa?

• ramdenma naxa ara umetes 2 filmisa?

nanaxi filmebis odenoba 0 1 2 3 4 5sixSire 12 10 15 9 3 1

amoxseniT amocanebi

36

• filmebis ra odenobaa warmodgenili udidesi sixSiriT?

• SeadgineT fardobiT sixSireTa cxrili. • daasruleT svetovani diagramis Sed ge na

(rveulSi).

9 wignebis gamyidveli aRricxavda dRiur navaWrs. aRmoCnda, rom erTi dRis ganmavlobaSi TiTo wigni oTxma iyida; or-ori _ xuTma, sam-sami _ samma; oTxi _ erTma; xuTi _ erTma; eqvs-eqvsi _ orma. SeadgineT monacemebis:

a) sixSireTa cxrili; b) fardobiT sixSireTa cxrili.

10 anim gamokiTxa Tanaklaselebi da aRmoCnda, rom diliT 7 sT-dan 7 sT 15 wT-mde misi 1 Tanaklaseli dgeba; 7 sT 15 wT-dan 7 sT 30 wT-mde _ 4 Tanaklaseli; 7 sT 30 wT-dan 7 sT 45 wT-mde _ 8 Tanaklaseli; 7 sT 45 wT-dan 8 sT-mde _ 1 Tanaklaseli. TviTon ani, rogorc wesi, miaxloebiT 7 sT 50 wT-ze dgeba. Se ad gineT fardobiT sixSireTa cxrili.

11 fardobiT sixSireTa cxriliT warmodgenilia qarTul enaSi abi-turientTa naSromebis gasworebis Sedegebi

• ris tolia sxvaoba daSvebul SecdomaTa udides da umcires odenobebs Soris?

• SecdomaTa ra ricxvia tipuri mocemuli monacemebisTvis? • miuTiTeT _ ra statistikuri maxasiaTeblebiT isargebleT

kiTxvebze pasuxebis gasacemad?

12 cxriliT warmodgenilia 100-larian aqciaTa odenobebi, romlebic erT-erTi sawarmos TanamSromlebma SeiZines.

ipoveT am monacemebis saSualo, gabnevis diapazoni da moda. axseniT am maxa sia-Teb le bis praqtikuli azri _ ra SeiZleba Se it yoT am cxrilidan?

si

xS

ir

e

5

10

0 filmebis odenoba

Secdomebis odenoba 0 1 2 3 4 5 6sixSire 4 5 14 24 10 2 1

aqciaTaricxvi

erTeulebi sixSire

2 20

5 12

10 7

25 4

100 2

37

proeqti

winadadebis sigrZe vuwodoT winadadebaSi Semaval sityvaTa odenobas.

SearCieT ramdenime wigni Tqveni saxelmZRvaneloe-bidan. SeadgineT TiToeuli saxelmZRvanelos raime gverdze winadadebebis sigrZeTa sixSireTa cxrili.• SeadareT saxelmZRvaneloebi winadadebis sig-

rZeTa sixSireebis cxrilis mixedviT.• ramden sityviani winadadeba gvxvdeba ufro xSirad TiToeul

wignSi?• romelSia meti `grZeli~ winadadebebi?• ra daskvnas gaakeTebdiT am cxrilebis mixedviT (saxelmZRva-

nelos teqstis gaazrebisa da sxva faqtorebis Sesaxeb).

2. monacemTa warmodgenis xerxebi. wriuli diagramamonacemTa gamosaxvis ramdenime xerxs gasul wels gavecaniT:vixilavdiT cxrilis gamoyenebiT monacemebis warmodgenas. magaliTad,

Tqvenc SeZlebT SeavsoT cxrili, romelic warmoadgens Tqveni skolis VII-XI klasebis moswavleTa klasebis mixedviT dayofas (klasifikacias).

• moifiqreT _ sxva ra principiT SeiZleba daiyos jgufebad VII-XI kla-sis moswavleebi?

• vTqvaT, cnobilia, rom VII klasSi 50 moswavlea. maT Soris 10 friadze swavlobs (aqvT Sefasebebi 9 an 10), 15 – kargad (Sefaseba – 8), 21 damakmayo-fileblad (Sefaseba – 6 an 7). danarCeni – aradamakmayofileblad.

SeadgineT svetovani diagrama am klasifikaciis Sesabamisad.vTqvaT, VIII klaselTa Sesabamisi monacemebia: 9

– friadze, 13 – kargad, 25 – damakmayofileblad, 3 – ara damakmayofileblad.

SeiZleba Tu ara erTdroulad warmovadginoT VII da VIII klaselTaTvis aRniSnuli principis Se-sabamisi svetovani diagramebi? Cven wamoviwyeT am cxrilis Sedgena VIII klasel TaT vis. imedia, Tqven daasrulebT mas.

gaixseneT _ kidev ra saxis diagramebs gaeca-niT SarSan?

vTqvaT, TbilisSi zafxulis erTi kviris gan-

klasifikacia klasebis mixedviT (VII-XI)

VII VIII IX X XI

moswavleTa odenoba 4 5 14 24 10

od

en

ob

eb

i

Sefasebebi

2

fr

iad

ikar

gi

damakmay.

ar

ad

amakm.

38

mavlobaSi haeris temperatura Semdeg na i rad icvleboda:

cxadia, Tqven iolad daasrulebT am di ag ramis agebas. warmoadgineT es monacemebi wertilovani diagramiTac. Semdeg ki am ori sa xis diagramidan daasaxeleT is, romelic ukeT warmoaCens dReebis mixedviT tem pe raturis cvlilebas.

axla monacemTa warmodgenis kidev erT xerxze SevCerdeT – wriul dia-gramaze. wri uli diagrama, rogorc wesi, monacemTa erTobliobis Semadgenel nawilebs Soris Ta na fardobis TvalsaCinod gamosaxvisTvis gamoiyeneba.

vTqvaT, maRaziaSi dRis ganmavlobaSi puris gayidvidan Semosuli Tanxa mTeli na vaW ris 40%-ia, Saqris _ 18%, karaqis _ 15%, sxva produqtebis _ 27%.

wriuli diagramis asagebad sruli kuTxe _ 3600 am mona ce mebis proporciul na wi lebad unda davyoT:

3600⋅0,4=1440, 3600⋅0,18≈650,

3600⋅0,15=540, 3600⋅0,27≈970

Semdeg wre iyofa miRebuli sidideebis — centruli kuTxeebis Sesabamis seqtorebad.

wriuli digramebi asec SeiZleba warmovadginoT:

suraTze svetovani diagramiTaa war-modgenili sawarmoSi TiTo detalze daxarjuli drois aRricxvis fardobiT sixSireTa cxrili; magaliTad, im de-talebis odenobis fardobiTi six Sire, romlebzedac 0,5 sT daixarja, 16%-ia, 0,6 sT _ 20%, 0,7 sT _ 40%; 0,8 sT _ 24%.

• SeadgineT Sesabamisi wriuli dia-grama.

30

20

10

10 11 12 13 14 15 16

TariRiSuadRis

temperatura

SuaRamis

temperatura

10 ivlisi 300 200

11 ivlisi 320 240

12 ivlisi 340 220

13 ivlisi 270 220

14 ivlisi 250 180

15 ivlisi 340 200

16 ivlisi 360 230

15%27%

40%

18%

15%

27%

40%

18%15%18%

27%

40%

10

20

30

40

0,5 0,6 0,7 0,8 dro (sT)

far

do

biT

i si

xS

ire

%

39


SevajamoT: gavixseneT monacemTa TvalsaCinod warmodgenis ramdenime xerxi da gavecaniT kidev erT xerxs _ wriul diagramas.

1. monacemTa TvalsaCinod warmodgenis ra xerxebs icnobT?2. ra SemTxvevaSia mosaxerxebeli monacemebis xazovani diagramiT

warmodgena _ risi gaazreba SeiZleba am diagramaze erTi Sexedvi-Tac ki?

3. ra SemTxvevaSi gamoiyeneba wriuli diagrama?4. ra SemTxvevaSi ar aris, Tqveni azriT, moxerxebuli wriuli

diagramis gamoyeneba?

13 wris formis gazoni rva tol seqtorad gayves. 1 da 5-nom ria nebze vardi gaaSenes. 2 da 6-ze _ tita, 3 da 7-ze _ mixaki, 4 da 8-ze _ koindari.

• ipoveT TiToeuli seqtoris Sesabamisi centruli kuTxe.

• gazonis ra nawili uWiravs TiToeuli saxeobis mcenares? gamo sa xeT es ricx vi procentebiT.

14 TvalzomiT wre dayaviT iseT sam seqtorad, romelTa Sesabamisi centruli kuTxeebi 3-is, 4-is da 11-is proporciulia. Sedegi Seamow-meT transportiriT.

15 wre dayaviT iseT sam seqtorad, romelTagan erTis Sesabamisi centruli kuTxe aris sruli kuTxis 35%, meore _ 40%. ipoveT TiToeuli seqtoris Sesabamisi kuTxe da SeasruleT naxazi (trans-portiris gamoyenebiT).

16 diagramaze sawarmos oTxi ganyofilebis mTeli wlis xarjia gamo-saxuli.

• gamoTvaleT sawarmos mTeli wlis xarji (oTxive ganyofilebis);

• daadgineT: mTeli xarjis ramdeni procentia (miax lo ebiT) TiToeuli gan yo -fi lebis xarji.

• daxazeT wre da dayaviT oTx seqtorad ise, rom seq to rebis Sesabamisi cen t ruli kuTxeebi iyos miRebuli pro centebis pro-por ci uli.

1

23

4

5

6 7

8

1000

2000

xar

ji (

l)

I II III IV

a

40

17 suraTze 50 sportsmenis Sefasebis procen-tuli mona cemebia. daxazeT amave mo nacemebis aRsawerad svetovani di ag rama.

18 gamokiTxeT Tqvens Tanaklaselebs _ weliwa-dis romel drosaa daba d e buli. SeadgineT:

a) sixSireTa cxrili; b) fardobiT sixSireTa cxrili. g) wriuli diagrama;

19 mocemulia sami wlis ganmavlobaSi erT-erT qveyanaSi Seqmnili kinofilmebis odenobaTa cxrili

• SeadgineT am cxrilis Sesabamisi svetovani diagrama (vertikalur RerZze aiReT danayofebi 0, 100, 200, 300 _ kinofilmebis odenobebi).

• SeadgineT Sesabamisi fardobiT sixSireTa cxrili (gamoTvlebi awar-

moeT miaxloebiT, meaTedebamde sizustiT). • SeadgineT wriuli diagrama.

20 CaatareT Tqvens TanaklaselebSi gamokiTxva _ fexburTelTa na-krebebs Soris (espaneTi, italia, inglisi, germania) romeli qveynis gunds gulSematkivroben isini?

pasuxebi SeiZleba iyos _ erTi romelime gundi, an _ arc erTi. SeadgineT Sesabamis fardobiT sixSireTa cxrili da wriuli diagrama.

21 gaecaniT da SeadareT erTmaneTs Wvavis, xorblis I xarisxisa da xorblis II xarisxis fqvilisgan damzadebuli puris kvebiTi Rirebulebebis zogierTi monacemi (ganixileba TiToeuli saxe-obis 100 grami puri). yoveli niSnis mixedviT SeadgineT svetovani da wriuli diagramebi da ganixileT isini.

4%

24%

10%

`sami~

`ori~

`oTxi~`xuTi~

wlebi filmebis odenoba

2009 130

2010 107

2011 280

puris saxeoba(mg)

kalciumi(mg)

fosfori(mg)

magniumi(mg)

rkina(mg)

kaloriuloba(kkal)

Wvavis 21 174 57 3,6 170

xorblis I x. 26 83 35 1,6 240

xorblis II x. 23 131 51 3,2 218

41

22 maTematikaSi semestruli Sefase-bebis mi xed viT erT-erTi klasis mos-wav le ebi Semdegnairad ga nawildnen:

SeadgineT Sesabamisi svetovani da

wriuli diagramebi.

23 erT-erT fermaSi naTesebis ga-nawileba Semdegi saxiT war-mogvidgeba:

xorblis naTesebs ukavia mTeli farTobis 63%,

qers _ 16%, siminds _ 12%, lobios _ 9%.

SeadgineT Sesabamisi wriuli diagrama.

24 cxriliT mocemulia erT-erTi dawesebulebis TanamSromelTa ga-nawileba samuSao staJis mixedviT:

SeadgineT wriuli diagrama am monacemebis mixedviT.

25 cxrilSi mocemulia erT-erTi wlis monacemebi ZiriTad nav Tobmompovebel qvey nebSi navTobis yo vel dRiuri mopovebis Sesaxeb (1 bareli _ 159 litria).

SeadgineT saTanado svetovani da wriuli diagramebi, romelic gviCvenebs am qvey-nebs So ris navTobis dRiuri mopovebis Ta na far do bas.

SefasebamoswavleTa

odenoba

9-10 3

7-8 10

6 17

6-ze naklebi 2

samuSao staJiaraumetes 3

weli4 weli 5 weli

6 da meti weli

fardobiTi sixSire (%) 8 12 16 64

qveynebi dRiuri mopoveba(mln. bareli)

saudis arabeTi 10,4

ruseTi 9,3

aSS 8,7

irani 4,1

meqsika 3,8

42

26 am cxrilSi mocemulia nav-To bis mTeli maragis ode no bebi (miaxloebiT) Zi ri Tad navTob-mompovebel da udi de si maragis mqone qve y neb Si.

SeadgineT saTanado svetovani d a w r i u l i d i a g r a m e b i ; SeadareT isi-ni wina amoca-naSi Sedgenil di ag ramebs.

27 cxrilSi mocemulia evropis xuTi saukeTeso gundis mier CempionTa ligaSi monawileobis garkveul etapze aRebuli Tanxebi. SeecadeT miaxloebiT aagoT Sesabamisi svetovani da wriuli diagramebi.

28 cxriliT mocemulia erT-erTi ojaxis sa Sualo Tviuri Semosavlis ganawilebis Se sa xeb gamokiTxvis Sedegebi.

• aageT wriuli diagrama. • yoveli 100 laridan ramdeni lari

ixar je ba sursaTze, transportze?

qveynebinavTobis maragi

(miliardi bareli) saudis arabeTi 267

ruseTi 60aSS 21

irani 132meqsika 13kanada 179

kuveiti 104erayi 115

gaerTianebuliemiratebi 98

venesuela 79

# klubebiTamaSebSi monawileobisTvis

aRebuli Tanxa (dolari) reklamebSi aRebuli

Tanxa (dolari)sul

(dolari)1 arsenali 25 672 125 29 999 000 55 671 1252 barselona 28 228 125 20 733 000 48 961 125

3 lioni 14 328 125 25 162 000 39 490 125

4 Celsi 10 578 125 28 084 000 38 662 125

5 milani 17 578 125 14 284 000 31 862 125

ojaxis Tviuri danaxarjebi

kveba 35%

tansacmeli 5%

janmrTeloba 10%

transporti 12%

ganaTleba 8%

gadasaxadebi 20%

sxva xarjebi 10%

43

29 cxriliT mocemulia dedamiwis xmeleTis zedapiris farTobis ga-nawileba kontinentebis mixedviT:

• miaxloebiT ramdeni kvadrat-uli kilometria dedamiwis xmeleTis zedapiris farTobi?

• dedamiwis xmeleTis zedapiris ramdeni procentia evraziis far-Tobi?

• aageT kontinentebis mixed-viT farTobis ganawilebis wriuli diagrama.

• cnobilia, rom evropis xmeleTis farTobi dedamiwis mTeli xmeleTis far To bis miaxloebiT 7%-ia. ramdeni procentia aziis farTobi?

30 erTiani erovnuli gamocdebisTvis mzadebis periodSi Catarda mosamzadebeli wera maTematikaSi. Sedegebi aseTi iyo: 0-29 qula miiRo moswavleTa saerTo odenobis 12%-ma; 30-59 qula _ 55%-ma; 60-84 qula _ 29%-ma, 85-100 qula _ 4%-ma. SeadgineT moswavleTa niSnebis ganawilebis wriuli diagrama.

kontinentebi farTobi

afrika 29,22 mln km2

avstralia 7,56 mln km2

samxreT amerika

18,13 mln km2

CrdiloeT amerika

20,36 mln km2

evrazia 53,44 mln km2

antarqtida 12,40 mln km2

proeqti geometriul figuraTa Tvisebebis gamoyeneba

gaixsneT VII klasis saxelmZRvanelos mixedviT savele samuSaoebis Catarebisas `wrfis monakveTis~ gamosaxvis (swori xazis gavlebis) erT-erTi xerxi.

marTobuli wrfeebis agebisas iyeneben specialur xelsawyos — ekers. suraTis mixedviT SeecadeT aRw-eroT marTobuli `wrfeebis~ gavlebis wesi, an mocemuli mimarTulebisadmi marTobuli mimarTulebis wrfis gavlebis wesi.

1. suraTis mixedviT aRwereT tbis napiris A da B punqtebs Soris manZilis povnis procesi — moqmedebaTa Tanamimdevroba (toli monakveTebi erTnairadaa moniSnuli). rogor gaavlebdiT `wrfes~ mocemuli mimarTulebiT? rogor mozomavT wrfeze tol monakveTebs? rogor gamoiyenebdiT ekers miTiTebuli marTi kuTxis asagebad?K

A

BC

44

2. suraTis mixedviT dawvrilebiT aR-wereT mdinaris siganis gazomvis procesi. viyenebT ekers da sazom lents. Tqven mier miRebuli Sedegebi ra debulebis Tanaxmad aris swori?

3. suraTis mixedviT aRwereT rogor vpoulobT A da B punqtebs Soris manZils, romlebic tbis sxvadasxva mxaresaa (toli monakveTebi suraTze erTnairadaa moniSnuli). ra de bu leba gamoiyeneT?

4. suraTis mixedviT aRwereT xevis erTi napiris B wertilidan meore napiris A wertilamde manZilis povnis procesi (toli kuTxeebi erTnairadaa moniSnuli). amjerad kuTxis mzomi xelsawyoc dagWirdebaT.

A B

O

C D

A

B

C D

45

gavixsenoT gasul wels Seswavlili geometriuli gardaqmnebi _ RerZuli simetria, paraleluri gadatana.

1) suraTze gamosaxulia X da Y wertilebi da a wrfe, Y wertili a wrfes ekuTvnis, X wertili ar ekuTvnis a wrfes.

ganvixilavT simetrias a wrfis mimarT. gaixseneT:

• rogor avagoT X wertilis simetriuli X¢ wertili? • ra wertilia a wrfis mimarT Y wertilis simetriuli?

suraTze tolferda samkuTxedia gamosaxuli, BD misi biseqtrisaa.

Tu warmovidgenT, rom es samkuTxedi gadavkeceT BD wrfeze, maSin DABD daemTxveva DCBD-s _ BD wrfis mimarT simetriis dros ABD samkuTxedi (wertilTa simravle) aisaxeba BDC samkuTxedze, es samkuTxedebi toli samkuTxedebia, BD aris ABC-s simetriis RerZi.

• ras ewodeba samkuTxedis simaRle, mediana, biseqtrisa?• ra Tviseba aqvs tolferda samkuTxedSi wverodan

gavlebul biseqtrisas?• ra Tviseba aqvs tolferda samkuTxedis fuZesTan mdebare kuTxeebs?

2)

vTqvaT, a||b da am wrfeebze gamaval sibrtyeze Zevs DABC.suraTze gamosaxulia a wrfis mimarT da b wrfis mimarT RerZul simetriaTa

mimdevrobiT Catarebis procesi _ ganvixilavT am simetriebis kompozicias.a wrfis mimarT RerZuli simetriisas DABC-dan miviReT misi toli A

1B

1C

1

samkuTxedi, b wrfis mimarT simetriisas DA1B

1C

1-dan miiReba DA

2B

2C

2.

gaixseneT, rom am ori RerZuli simetriis kompozicia aris paraleluri

gadatana BB2

→ mimarTuli monakveTiT _ ABC samkuTxedis yoveli wertili

gadadis erTi da imave manZiliT (BB2 monakveTis toli

manZiliT, romelic 2-jer aRemateba wrfeebs Soris manZils, (m+n)-s da erTi da imave mimarTulebiT (B-dan B

2-sken)).

M(x, y) wertilis paraleluri gadatana OP→

mimarTuli monakveTiT (P=P(a; b)) gvaZlevs M¢(x+a, y+b) wertils.

1.6 geometriuli gardaqmnebi. mobruneba

A

B

C A1C1

B1

A2 C2

B2

a b

m m n n

0

M x y( ; )

M�( ; )x+a y+b

P a b( ; )

Y

X

a

B

A

DC

46

3) vTqvaT, O wertilidan gamomavali yoveli sxivi brunavs O wertilis garSemo erT sibrtyeSi erTi da imave mimarTulebiT, erTi da imave α kuTxiT.

am mobrunebisas sibrtyis yoveli wertili gadadis iseT X¢ wertilSi, rom OX¢=OX da ÐX¢OX=α. am kuTxes ewodeba mobrunebis kuTxe. X¢ wertili miiReba X wertilisgan saaTis isris moZraobis sawinaaRmdego mimarTulebiT O centris garSemo α sididis kuTxiT mobrunebisas.

A¢B¢C¢D¢ marTkuTxedi miiReba ABCD marTkuTxedisgan saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT α kuTxiT mobrunebisas.

suraTze warmodgenilia O centris garSemo α kuTxiT mobruneba saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT da mobruneba 3600-α kuTxiT _ saaTis isris mimarTulebiT. ABCD kvadrati am ori mobrunebisas erTsa da imave A¢B¢C¢D¢ kvadratze aisaxeba. magaliTad, mobruneba 2000-iT saaTis isris mimarTulebiT igivea, rac mobruneba 1600-iT _ saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT.

mobrunebisas yoveli figuridan misi toli figura miiReba.

O centris garSemo saaTis isris sawinaaRmdego

mimarTulebiT α kuTxiT mobrunebisas DABC-dan misi toli DA¢B¢C¢ miiReba _ DA¢B¢C¢=DABC.

OA B

DC

x�

A�

D�

C�

B�

x�

O

�

A

A�

B

B�

C

C�

D

D�

O

�

A

A�

B

B�

C

C�

SevajamoT: ganvixileT kidev erTi geometriuli gardaqmna _ mobruneba; figuris (magaliTad, wertilis, samkuTxedis, oTxkuTxedis) mobrunebis mocema niSnavs, rom cnobilia: 1) mobrunebis O centri, 2) mobrunebis α kuTxe, 3) mobrunebis mimarTuleba.

1. ra unda iyos mocemuli mobrunebis mocemis dros? 2. vTqvaT, mocemulia mobrunebis centri, mobrunebis kuTxe da

mobrunebis mimarTuleba. rogor avagoT X¢ wertili, romelic miiReba X wertilisgan am mobrunebiT?

3. sibrtyis ra wertili gadadis imave wertilSi RerZuli simetriisas?

47


1 1. Ox RerZis mimarT simetriisas yoveli M(x; y) wertili gadadis 1) M(x; y) wertilSi 2) M(-x; y) wertilSi 3) M(x; -y) wertilSi 4) M(-x; -y) wertilSi.

2 Tu M(x; y) wertilidan Oy RerZis mimarT simetriisas miiReba M(x¢; y¢) wertili, maSin

1) x=x¢, y=y¢ 2) x=-x¢, y=y¢ 3) x=-x¢, y=-y¢ 4) x=x¢, y=-y¢.

3 ABC tolgverda samkuTxedis simetriis RerZebia 1) AB gverdze gamavali wrfe 2) BC gverdze gamavali wrfe 3) gverdebze gamavali samive wrfe 4) samkuTxedis yovel wverosa da mis mopirdapire

gverdis Sua wertilze gamavali wrfeebi _ 3 wrfe.

4 paraleluri wrfeebis mimarT ori RerZuli simetriis kompozicia 1) aris RerZuli simetria 2) aris paraleluri gadatana 3) ar aris paraleluri gadatana 4) aris mobruneba.

5 Tu M(x; y) wertili Ox RerZis mimarT RerZuli simetriisas gadadis M¢(2; -5) wertilSi, maSin

1) x=2, y=-5 2) x=-2, y=-5 3) x=-2, y=5 4) x=2, y=5.

6 Tu paraleluri gadatanisas koordinatTa saTave gadadis P(0; 5) wertilSi, maSin amave paraleluri gadataniT M(x; y) wertili gadadis

1) M¢(x; y+5) wertilSi 2) M¢(x+5; y) wertilSi 3) M¢(x+5; y+5) wertilSi 4) M¢(x; y) wertilSi.

7 Tu paraleluri gadatanisas koordinatTa saTave gadadis P(5; 0) wertilSi, maSin amave paraleluri gadatanisas M(x; y) wertili gadadis

1) M¢(x; y+5) wertilSi 2) M¢(x+5; y) wertilSi 3) M¢(x+5; y+5) wertilSi 4) M¢(x; y) wertilSi.

8 Tu paraleluri gadatanisas koordinatTa saTave gadadis P(3; 5) wertilSi, maSin amave paraleluri gadatanisas M(x; y) wertili gadadis

1) M¢(x; y) wertilSi 2) M¢(x+3; y+5) wertilSi 3) M¢(x; y+5) wertilSi 4) M¢(x+3; y) wertilSi.

9 sibrtyeze mocemulia ori wertili. ramdeni sxvadasxva paraleluri gadatana SeiZleba davasaxeloT am ori wertilis mixedviT?

1) 2 2) 3 3) 4 4) 1.

A

B

C

a

48

10 sibrtyeze mocemulia sami wertili, romlebic erT wrfes ar ekuTvnis. ramdeni sxvadasxva paraleluri gadatanis dasaxeleba SeiZleba am wertilebis mixedviT?

1) 2 2) 4 3) 6 4) 1.

11 sibrtyeze mocemulia sami wertili _ A(2; 1), B(3; 1), C(5, 1); ramdeni sxvadasxva paraleluri gadatanis dasaxeleba SeiZleba am wertilebis mixedviT?

1) 2 2) 4 3) 6 4) 1.

12 romeli wertili gadadis Tavis TavSi nebismieri kuTxiT mobru-nebisas?

1) sibrtyis nebismieri wertili 2) mobrunebis centri 3) mobrunebis centrisgan gansxvavebuli nebismieri wertili 4) mobrunebis centridan 1 sm-iT daSorebuli wertilebi.

13 wrfis raime wertilis garSemo ra kuTxiT mobrunebisas SeiZleba gadavides es wrfe amave wrfeSi?

1) 900-is toli kuTxiT 2) 1800-is toli kuTxiT 3) 450-is toli kuTxiT 4) 600-is toli kuTxiT.

14 monakveTis mobrunebisas misi Sua wertilis garSemo mobrunebis ra zomis kuTxis SemTxvevaSi SeiZleba miviRoT igive monakveTi?

1) 1800-is 2) 900-is 3) 450-is 4) 600-is.

15 koordinatTa saTavis garSemo saaTis isris sawinaaRmdego mimarTu-lebiT 1800-is toli kuTxiT mobrunebisas nebismieri M(x; y) wertili gadadis

1) M(x; -y) wertilSi 2) M(-x; -y) wertilSi 3) M(-x; y) wertilSi 4) M(x; y) wertilSi.

16 koordinatTa saTavis garSemo saaTis isris sawinaaRmdego mimarTu-lebiT 900-iani kuTxiT mobrunebisas M(0; 6) wertili gadadis

1) M¢(0; -6) wertilSi 2) M¢(-6; 0) wertilSi 3) M¢(-6; -6) wertilSi 4) M¢(6; 0) wertilSi.

17 a) b)

suraTze gamosaxulia brtyeli figurebi _ kvadrati da wre. aRwereT wrfeebi, romelTa mimarT simetriisas es figurebi Tavis

TavSi gadadis (simetriis RerZebi).

amoxseniT amocanebi

49

18 aRwereT marTkuTxedis simetriis RerZebi.

19 daaxasiaTeT yvela is wrfe, romelic mocemuli RerZuli simetriisas amave wrfeSi gadadis.

20 sakoordinato sibrtyeze daxazeT ABCD marTkuTxedi, A(2; 0), B(2; 9), C(9; 9), D(9; 0)

a) daasaxeleT raime oTxi wertili, romlebic AB gverdis paralelur simetriis RerZs ekuTvnis;

b) daasaxeleT raime oTxi wertili, romlebic BC gverdis paralelur im wrfes ekuTvnis, romelic marTkuTxedis simetriis RerZia.

21 daxazeT suraTze gamosaxuli asoebis simetriis RerZebi.

22 gamoiyeneT samkuTxedis utoloba da aCveneT, rom ABCDE texilis sigrZe metia AE monakveTis sigrZeze.

23 rogor mivideT umoklesi gziT A wertilidan B wertilSi a `gzis~ raime wertilis gavliT?

A

B

C

D

E

A

a M N

B

A�

miTiTeba. AB+BC+CD+DE>AC+CD+DE...

miTiTeba. nacvlad AMB, ANB da sxva amgvari texilebis sigrZeebisa, ganvixilavT A¢MB, A¢NB da a. S. `gzebs~ da maT Soris virCevT umokless. A¢ aris A wertilis simetriuli a wrfis mimarT.

50

24 maxvili kuTxis SigniT mocemulia M wertili. aageT umciresi perimetris mqone MAB samkuTxedi, romlis A da B wveroebi kuTxis gverdebzea.

25 aageT sakoordinato sibrtyeze wertilebi, romlebic simetriulia A(3; -2), B(4; 0) da C(0; -6) wertilebis:

a) Ox RerZis mimarT; b) O

y RerZis mimarT;

g) I meoTxedis biseqtrisaze gamavali wrfis mimarT. ipoveT miRebuli wertilebis koordinatebi.

26 P wertilis simetriuli wertili II sakoordinato kuTxis biseqtrisaze gamavali wrfis mimarT aris P¢(-4; 6). ipoveT P wertilis koordinatebi.

27 aRniSneT rveulSi A, B da C wertilebi. aageT is wertilebi, romlebSic gadadis es wertilebi im paraleluri gadatanisas, romelsac:

a) A gadahyavs B-Si; b) B gadahyavs C-Si; g) A gadahyavs C-Si; d) B gadahyavs A-Si;

e) C gadahyavs B-Si.

28 arsebobs Tu ara paraleluri gadatana, romlis dros: a) kvadratis erTi gverdi gadadis am kvadratis meore gverdSi? b) samkuTxedis erTi gverdi gadadis am samkuTxedis meore gverdSi?

29 suraTze 5 toli samkuTxedia gamosaxuli. daasaxeleT samkuT-xedi,

a) romelic miiReba ABC sam-kuTxedisgan paraleluri gadata-niT (miuTiTeT mimarTuleba),

b) romelic miiReba DRN samku-Txe disgan paraleluori gadataniT (miuTiTeT mimarTuleba).

A

M�

B

M

M��miTiTeba. aageT M¢ da M¢¢ wertilebi,

romlebic M-is simet riulia kuTxis gverdebis

mimarT.

B

A

C

A

B

CD

R N

F

GEMK

S

H Q

P

51

30 mocemulia wertilebi A(4; 10), B(0; -12), C(2; 0). daasaxeleT wertilebi, romlebic miiReba am wertilebidan paraleluri gadataniT O

x RerZis mimarTulebiT 3 erTeulis manZilze.

31 paralelur gadatanas O(0; 0) wertili gadahyavs P(8; 0) wertilSi, M wertili _ M¢(-5; 4) wertilSi. ipoveT M-is koordinatebi.

32 mocemulia wertilTa simravle {(2; 3), (3; -1), (-5; 1), (0; 0), (-5; 3), (0; -2); (1; -1), (3; 2)}. paralelur gadatanas yoveli M wertili gadahyavs M¢ wertilSi O

y RerZis mimarTulebiT 2 erTeulis manZilze.

daasaxeleT wertilTa mocemul simravleSi wertilTa wyvilebi, romlis wertilebidan am paraleluri gadataniT erT-erTi gadadis meoreSi.

33 aRniSneT rveulSi ori wertili _ O da A. aageT is wertili, romelSic gadava A wertili O wertilis garSemo mobrunebiT:

a) 900-is toli kuTxiT saaTis isris moZraobis sawinaaRmdego mimarTulebiT;

b) saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT 600-is toli kuTxiT; g) saaTis isris mimarTulebiT 1200-is toli kuTxiT. 34 mocemulia sami wertili O, C da D. aageT C¢D¢

monakveTi, romelic miiReba CD monakveTis brunviT O wertilis garSemo α kuTxiT saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT, Tu:

a) α=900, b) α=1800, g) α=2700.

35 mocemulia wertilebi: A(6; 0), B(-2; 0), C(1; 4), D(-2; -7). a) ra wertilebi (daasaxeleT koordinatebi) miiReba mocemuli

wertilebidan O(0; 0) saTavis garSemo saaTis isris moZraobis mimarTulebiT 900-iani kuTxiT.

b) Seicvleba Tu ara a) SemTxvevaSi miRebuli wertilebis koordinatebi Tu A, B, C da D wertilebis mobruneba moxdeba saaTis isris moZraobis sawinaaRmdego mimarTulebiT (imave kuTxiT); ipoveT es koordinatebi.

36 mocemulia ABCD kvadrati. ra figura miiReba am kvadratis brunviT O wertilis garSemo saaTis isris moZraobis mimarTulebiT 900; 1800-is toli kuTxeebiT?

37 mocemulia wertilTa simravle sakoordinato sibrtyeze: X={(2; 0), (0; -1), (-7; -3), (-5; -2), (3; 1), (-3; 7), (1; -3), (-1; 0)}.

amowereT im wertilTa wyvilebi, romelTagan pirveli gadadis meoreSi saTavis garSemo 900-is toli kuTxiT mobrunebisas.

O

D

C

B C

DA

O

52

38 a)

O

F�

F

b)

O

F

F�

g)

O

F�

F

romel SemTxvevaSi SeiZleba vTqvaT, rom F¢ figura, romelic tolia

F figuris, miiReba F-isgan O wertilis garSemo mobrunebiT?

39 mocemul A da A¢ wertilebisTvis aageT ramdenime iseTi mobrunebis centri, romlis garSemo raime kuTxiT mobrunebisas A gadadis A¢-Si.

40 gamosaxeT suraTze kuTxe, romelic miiReba AOB marTi kuTxis mobrunebisas α kuTxiT O wertilis garSemo saaTis isris sawinaaRmdego mimarTulebiT da ipoveT mocemuli da miRebuli kuTxeebis gaer-Tianebisa da TanakveTisas miRebuli kuTxeebis zomebi, Tu

a) α=300; b) α=450; g) α=600.

41 mocemulia kvadrati, daasaxeleT saaTis isris moZraobis sawinaaRmdego mimarTulebiT yvela is mobrunebebi, romlebis drosac es kvadrati Tavis TavSi gadadis.

B C

DA

O

A

BO

rv

eul

Si!

53

1.7 paraleluri wrfeebi. paralelur wrfeTa aqsioma

suraTebze ori wrfis urTierTganlagebis SemTxvevebia gamosaxuli.

zeda suraTze wrfeebis gadakveTis SemTxvevaa gamosaxuli, am wrfeebs erTi saerTo wertili aqvs. qveda suraTze wrfeebis paralelurobis SemTxvevaa warmodgenili _ wrfeebi erT sibrtyeze mdebareobs da maT saerTo wertili ara aqvs.

SeiZleba Tu ara sxva SemTxvevac gvqondes? magaliTad, or wrfes ori an sami saerTo wertili hqondes?

Tqven es SemTxvevebi, albaT, SeuZleblad migaCniaT. Tumca, maTematikaSi yoveli gamoTqmuli debulebis WeSmaritoba an unda dasabuTdes, an es debuleba WeSmaritad unda iyos miCneuli (gamocxadebuli). pirvel SemTxvevaSi vambobT, rom gvaqvs Teorema, romelic unda davasabuToT (davamtkicoT); meore SemTxvevaSi ki gamoTqmul debulebas aqsioma ewodeba.

erT-erTi aqsioma, romelsac eyrdnoba zemoT gamosaxuli SemTxvevebis ganxilva, ase SeiZleba CamovayaliboT:

or wertilze erTaderTi wrfe gadis.

• SeecadeT am aqsiomaze dayrdnobiT daamtkicoT Teorema:

erT-erTi aqsioma paralelur wrfeTa aqsiomis saxeliTaa cnobili, mas momavalSi Teoremebis damtkicebisas gamoviyenebT xolme. am aqsiomas, Cven ase CamovayalibebT:

am aqsiomis Tanaxmad, A wertilze a wrfis paraleluri ori wrfis gavleba SeuZlebelia.

axla im SemTxvevas davubrundeT, roca ori wrfe ikveTeba.

gadakveTisas oTxi kuTxe miiReba. maTi zomaTa jami 3600-ia. or-ori maTgani gaSlil kuTxes _ 1800-s Seadgens, isini mosazRvre kuTxeTa wyvilebia. magaliTad, Ð1 da Ð2, Ð1 da

Ð4. vertikalur kuTxeTa wyvilebia: Ð1 da Ð3, Ð2 da Ð4.daamtkiceT, rom Ð1=Ð3, Ð2=Ð4.

miRebuli 4 kuTxidan ori maxvilia da ori blagvia, an oTxive marTia. gaixseneT, rom pirvel SemTxvevaSi wrfeebs Soris kuTxe vuwodeT am oTxi kuTxidan maxvil kuTxes. meore SemTxvevaSi _ wrfeebi marTobulia, maT Soris kuTxe 900-ia.

a

A

1

2

4

3

Tu ori wrfe paraleluria, maSin vityviT, rom maT Soris kuTxe aris 00.

vertikaluri kuTxeebi tolia.

or wrfes erTze meti saerTo wertili ar SeiZleba hqondes.

wertilze, romelic mocemul wrfes ar ekuTvnis ar SeiZleba am wrfis paraleluri erTze meti wrfis gavleba.

54

SevajamoT: warmodgenilia wrfeTa urTierTganlagebis SemTxvevebi. CamovayalibeT aqsioma, romelsac eyrdnoba mxolod aRniSnuli SemTxvevebis arseboba _ or wertilze erTaderTi wrfe gadis.

aqsioma aris maTematikuri debuleba, romelic dasabuTebis gareSea miCneuli WeSmaritad. debulebas, romlis WeSma-ritoba dasabuTebis (damtkicebis) gziT unda dadgindes, Teorema ewodeba.

didi berZeni maTematikosi evklide iyo pirveli,

vinc maTematikis erT-erTi nawili _ geometria war-

moadgina daumtkiceblad Camoyalibebuli maTematikuri

debulebebisa (aqsiomebis) da maTze dayrdnobiT damt-

kicebuli Teoremebis saxiT. Zveli welTaRricxvis V da

IV saukuneebSi Seqmnili misi didebuli maTematikuri

Txzuleba _ `sawyisebi~ _ 13 wignisgan Sedgeboda. 9

wignSi geometriuli masala iyo gadmocemuli.

evklide zogierT aqsiomas postulats uwodebda.

magaliTad, paralelur wrfeTa aqsioma. aqsioma masTan

V postulatis saxelwodebiT iyo mocemuli.

evklide aleqsandriaSi cxovrobda. mis bevr Tanamedroves gauCnda

survili `sawyisebiT~ Seeswavla maTematika. mefemac ki mimarTa mas _

xom ar SeiZleba geometriis ufro martivad Seswavlao. amaze evklidem

upasuxa _ geometriaSi ar arsebobs sagangebo samefo gzebio! saukuneebis

manZilze `samefo gzebi~ ar gamoCenila, Tumca geometriis Seswavlis

formebi mniSvnelovnad gamartivda da yvela moswavles mieca SesaZle-

bloba geometria Seiswavlos daubrkoleblad, xalisiTac ki!

1. ra maTematikur debulebas ewodeba aqsioma? 2. ras ewodeba Teorema? 3. rogor CamoayalibebT aqsiomas or wertilze gamavali wrfis Sesaxeb? 4. rogor CamoayalibebT paralelur wrfeTa aqsiomas? 5. ras ewodeba vertikaluri kuTxeebi? 6. vertikaluri kuTxeebis ra Tvisebas icnobT?

s

55


1 debulebas, romelic dasabuTebis (damtkicebis) gareSea miCneuli WeSmaritad, ewodeba

1) Teorema 2) aqsioma 3) gansazRvreba 4) cneba.

2 debulebas, romlis WeSmaritebas vadgenT damtkicebis gziT, ewodeba 1) Teorema 2) aqsioma 3) gansazRvreba 4) cneba.

3 vertikaluri kuTxeebi 1) ar aris toli 2) SeiZleba toli ar iyos 3) aucileblad marTia 4) tolia.

4 mosazRvre kuTxeebis jami aris 1) 1800 2) 900 3) 2700 4) 3600.

5 or wrfes Soris kuTx

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მთავარი - VIIIold.eqe.ge/uploads/Grifireba/GRIFIREBULEBI_2012/maths/... · 2019-01-23 · 2) ra SemTxvevaSi SeiZleba iyos oTxkuTxedi paralelogrami? Aamocanebi gameorebisTvis