2 letnik matematika - IC GEOSS · 2018. 12. 16. · • Paralelogrami (sploˇsni paralelogram, romb, pravokotnik in kvadrat) • Trapezi (sploˇsni in enakokraki) • Deltoidi. 1.4

Izobraževalni program:

- Srednješolsko izobraževanje

Vsebinski sklop:

MATEMATIKA 2

Skripta je namenjena kot dodatek k predavanjem avtorja. Kakršnakoli druga uporaba

je dovoljena le s pisno privolitvijo avtorja. Reprodukcija tega dela (fotokopiranje)

lahko uporablja le s pisno privolitvijo avtorja. Besedilo ni lektorirano.

Pripravil in uredil: Jan Maver

Litija, september 2012

IZOBRAŽEVALNI CENTER GEOSS D.O.O., LITIJA

Poklicna matura preverja poznavanje nekaterih pojmov, ki so opisani tudi v kataloguznanja za matematiko. Te cilje bom preverjal tudi na posameznem izpitu, zato sole-ti nasteti tudi spodaj.

Kaj moram znati - cilji preverjanja za POM:

1. Narisati premico, poltrak, daljico, simetralo, kot, krog in kroznico, lok, tetivo,tangento.

2. Poznati razlicne vrste kotov (sokota, sovrsna kota, ostri, topi, suplementarni,komplementarni, izmenicni).

3. Poznati enote za merjenje kotov ter pretvarjati stopinje v radiane in obratno.

4. Racunati s koti.

5. Poznati in uporabljati lastnosti obodnega in srediscnega kota ter obodnegakota nad premerom v polkrogu.

6. Poznati geometrijske like ter njihove osnovne lastnosti.

7. Poznati in uporabljati izreke o skladnosti trikotnikov.

8. V racunskih in konstrukcijskih nalogah uporabljati lastnosti trikotnika, para-lelograma, trapeza.

9. Nacrtovati like (konstrukcijske naloge).

10. Trikotniku vcrtati in ocrtati krog.

11. Nacrtati tangento na krog (v dani tocki kroznice in iz tocke, ki lezi zunajkroga).

12. Uporabljati Pitagorov izrek

13. Uporabljati kotne funkcije.

14. Uporabljati sinusni izrek

15. Uporabljati kosinusni izrek.

16. Poznati enote za merjenje ploscine.

17. Racunati ploscino paralelograma, trikotnika, trapeza, deltoida, kroga, kroznegaizseka.

18. Poznati in racunati obsege likov, dolzino kroznega loka.

19. Iz ustreznih podatkov izracnati ploscino, stranico, kot, obseg, visino, polmerocrtanega in vcrtanega kroga.

20. Poznati in uporabljati lastnosti pokoncnih teles (prizme, valja, piramide, stozca)in krogle.

Gradivo k predavanjem 2 Matematika 2. del

21. Pri ustreznih podatkih za dano telo izracunati visino telesa, stranski rob,osnovni rob, telesno diagonalo, plasc, ploscino osnega preseka, povrsino inprostornino.

22. Izracunati kote, ki jih med seboj oklepajo robovi oziroma ploskve geometrij-skega telesa.

23. Poznati in uporabljati lastnosti pokoncnih teles (prizme, valja, piramide, stozca)in krogle.

24. Pri ustreznih podatkih za dano telo izracunati visino telesa, stranski rob,osnovni rob, telesno diagonalo, plasc, ploscino osnega preseka, povrsino inprostornino.

25. Izracunati kote, ki jih med seboj oklepajo robovi oziroma ploskve geometrij-skega telesa.


Kazalo

1 Osnovni geometrijski pojmi 6

1.1 Koti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Srediscni, obodni, sovrsni ter izmenicni koti . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Osnovni geometrijski liki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Trikotniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Raznostranicni trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Enakokraki trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.3 Enakostranicni trikotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Paralelogrami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.1 Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.2 Romb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.3 Pravokotnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.4 Kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Trapezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6.1 Enakokraki trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Deltoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Osnovne geometrijske konstrukcije 21

2.1 Konstrukcije simetral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.1 Konstrukcija simetrale daljice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Konstrukcija simetrale kota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Konstrukcije nekaterih kotov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Konstrukcija pravilnega sestkotnika . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Konstrukcija kota 60◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.3 Konstrukcija kota 90◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.4 Konstrukcija kota 75◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Konstrukcija tangente na kroznico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Ce lezi tocka na kroznici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Ce lezi tocka izven kroznice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Konstrukcije znamenitih tock trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.1 Tezisce trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.2 Trikotniku ocrtana kroznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4.3 Trikotniku vcrtana kroznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Konstrukcije trikotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6 Konstrukcije kvadratov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Konstrukcije pravokotnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Konstrukcije paralelogramov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9 Konstrukcije rombov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.10 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Skice v geometrijskih nalogah 31

4 Pravokotni trikotnik 31

4.1 Pitagorov izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Kotne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


5 Splosni trikotnik 41

5.1 Kosinusni izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Sinusni izrek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Ploscine geometrijskih likov 46

6.1 Ploscina trikotnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.2 Ploscina pravokotnika in kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Ploscina paralelograma in romba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.4 Ploscina trapeza in deltoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.5 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 Osnovna geometrijska telesa 51

7.1 Prizma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 Valj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.3 Piramida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Stozec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.5 Krogla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.6 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57


c11 Osnovni geometrijski pojmi

Geometrija je zgrajena iz aksiomov (temeljne resnice, ki jih ne dokazujemo) terizrekov, ki jih izpeljemo iz teh aksiomov. Aksiomi in izreki se dopolnjujejo z defi-

nicijami, s katerimi opisemo nove pojme in lastnosti.

Aksiome vsakdanje geometrije je postavil grski matematik in filozof Evklid, zato joimenujemo tudi Evklidska geometrija.

Dva primera aksiomov sta:

• Dve razlicni tocki predstavljata natanko eno premico.

• Skozi dano tocko lahko narisemo natanko eno vzporednico dani pre-

mici.

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦p❛A

Slika 1: Aksiom o vzporednici

Primeri definicij so:

• Premici v ravnini, ki se ne sekata, sta vzporedni.

• Tocke, ki lezijo na isti premici so kolinearne.

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦p

❛A ❛B❛C

Slika 2: Kolinearne tocke

Za zacetek moramo nasteti osnovne geometrijske elemente: tocka, premica in kroznica.Tocke oznacujemo z velikimi tiskanimi crkami (A, B, C, . . . ), premice z malimi ti-skanimi crkami (p, q, r, . . . ), kroznice pa z velikimi pisanimi crkami (K, L, M).

Iz zgornjih osnovnih geometrijskih elementov na razlicne nacine dobimo se ostale:

• Tocka O na premici le-to razdeli na dva poltraka. Tocki O pravimo tudiizhodisce poltraka.


✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦

p

❛O

Slika 3: Poltrak, izhodisce poltraka

• Odseku premice med dvema danima tockama A in B pravimo daljica in jooznacimo z AB. Tocki A in B imenujemo krajisci daljice. Premici p, na katerilezi dana daljica pravimo premica nosilka.

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦p

❛A❛B

Slika 4: Daljica od A do B

• Dva poltraka s skupnim izhodiscem O razdelita ravnino na dva kota. Tocko O

imenujemo vrh kota. Kote oznacujeno s pisanimi grskimi crkami (α, β, γ, δ, . . .).

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦

❏❏

❏❏

❏❏❏

❛Oα

Slika 5: Kot α z vrhom v O

• Simetrala daljice AB je premica sAB, ki razpolavlja dano daljico in je pra-vokotna nanjo.

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦

▲▲

▲▲

▲▲

▲▲▲ sAB

❛A❛B

Slika 6: Simetrala daljice AB

• Simetrala kota α je premica sα, ki gre skozi vrh kota in kot razpolavlja.


sαO ❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦

α2α2

Slika 7: Simetrala kota α

• Kroznica je mnozica tock, ki so enako oddaljene od dane tocke S, ki ji pravimosredisce kroznice. Krog je notranjost kroznice.

O❛✫✪✬✩

Slika 8: Kroznica in sredisce kroznice

• Lok je del kroznice od tocke A do tocke B. Oznacimo ga z⌢

AB. Tetiva jedaljica, ki povezuje krajisci loka.

Slika 9: Lok in tetiva

• Tangenta na kroznico je premica, ki se kroznice samo dotakne. Sekanta jepremica, ki seka dano kroznico v dveh tockah. Mimobeznica je premica, kise z dano kroznico ne seka.

O❛✫✪✬✩

""

""

""

O❛✫✪✬✩

""

""

""

O❛✫✪✬✩

""

""

Slika 10: Tangenta, sekanta, mimobeznica

1.1 Koti

Poglejmo si se enkrat definicijo kota: Dva poltraka s skupnim izhodiscem razdelitaravnino na dva kota.

Kote merimo v stopinjah in radianih. Stopinja (1◦) je 360-ti del kroga. Torej celkrog meri 360◦. Radian je enota, pri kateri cel krog meri 2π radiana. Radianepogosto uporabljamo pri kotnih funkcijah, ki jih bomo srecali v nadaljevanju.

Med obema enotama pretvarjamo s pomocjo navadnega sklepnega racuna.


Zgled 1: Pretvori kot 17, 63◦ v stopinje, minute in sekunde.

Neceli del stopinj pretvorimo v minute tako, da ga pomnozimo s 60

0, 63◦ · 60 = 37, 8′

Nato pa se neceli del minut pomnozimo s 60 in dobimo sekunde

0, 8′ · 60 = 48′′

In na koncu zapisemo17, 63◦ = 17◦37′48′′

Zgled 2: Pretvori kot 23◦15′45” v stopinje.

To pa gre v enem koraku

23◦15′45” = 23 +15

60+

45

3600= 23, 2625◦

Zgled 3: Pretvori kot 72◦ iz stopinj v radiane.

Uporabimo sklepni racun

360◦ . . . . . . 2π rd

72◦ . . . . . . x rd

Po sklepnem racunu

x =72◦ · 2π rd

360◦=

2π

5rd

Zgled 4: Pretvori kot π8

rd iz radianov v stopinje.

Uporabimo sklepni racun

360◦ . . . . . . 2π rd

x◦ . . . . . .π

8rd

Po sklepnem racunu

x =360◦ · π

8rd

2π rd=

360◦ · π rd

2π rd · 8 =45

2

◦

= 22, 5◦

Kote razdelimo glede na lego obeh krakov:

• Nicelni kot je kot, pri katerem oba kraka sovpadata (sta vzporedna in kazetav isto smer). Nicelni kot meri 0◦.

• Iztegnjeni kot je kot, pri katerem sta kraka vzporedna in kazeta v razlicnosmer. Iztegnjeni kot meri 180◦.

• Sokota sta kota, ki imata en skupen krak, druga dva pa lezita na isti premici.Sokota merita skupaj 180◦.


• Polni kot je sokot nicelnega kota. Polni kot meri 360◦.

• Pravi kot dobimo, ce sta sokota enako velika. Pravi kot meri 90◦.

• Ostri kot je kot, ki meri manj od 90◦.

• Topi kot je kot, ki meri od 90◦ do 180◦.

• Kota sta suplementarna, ce merita skupaj 180◦.

• Kota sta komplementarna, ce merita skupaj 90◦.

V geometrijskih nalogah kote oznacujemo tudi tako, da zaporedoma nastejemokrajisce prvega kraka, vrh kota in nato se krajisce drugega kraka. Tako pisemo∠AV B, kjer sta tocki A in B krajisci kraka, tocka V pa je vrh kota.

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦

❏❏

❏❏

❏❏❏ ❛ A ❛

B

❛V

∠AV B

Slika 11: Kot ∠AV B z vrhom V

1.2 Srediscni, obodni, sovrsni ter izmenicni koti

Dve sekajoci se premici razdelita ravnino na dva para sovrsnih kotov. Sovrsna kotasta enako velika.

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛❛

p

q

❛β

βα α

Slika 12: Para sovrsnih kotov α in β

Ce dve vzporedni premici (p in q) sekamo s tretjo (nevzporedno) premico, dobimoizmenicna kota. Izmenicna kota sta enako velika.

✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦✦

p

q α

α

Slika 13: Par izmenicnih kotov α


Ce na dani kroznici izberemo poljubni dve tocki A in B ter ju povezemo s srediscemkroznice, pravimo kotu ∠ASB srediscni kot nad lokom AB. Ce pa dani dve tockipovezemo s poljubno tretjo tocko T na kroznici, pa dobimo obodni kot ∠ATB.

Slika 14: Srediscni kot β in obodni kot α

Lastnosti srediscnega in obodnega kota opisujejo naslednji izreki:

• Vsi obodni koti nad istim lokom so enako veliki.

Slika 15: Vsi srediscni koti nad istim lokom so enaki

• Srediscni kot je dvakrat vecji od obodnega kota nad istim lokom: β = 2α.

• Talesov izrek o kotu v polkrogu: Obodni kot nad premerom je pravi.

Slika 16: Talesov izrek

1.3 Osnovni geometrijski liki

Enostavni geometrijski lik po je definiciji mnozica tock v ravnini, omejena z nekokrivuljo, ki same sebe ne seka.

Slika 17: Enostavni geometrijski lik


ˇ

Veckotnik je mnozica tock v ravnini, omejena s sekajocimi se premicami. Z drugimibesedami - veckotnik dobimo, ce izberemo v ravnini nekaj tock (oglisca) in jih medseboj povezemo z daljicami. Tem daljicam pravimo stranice lika.

""

""

""

"

❚❚

❚❚

❚❚

❚✁✁

✁✁❛❛❛❛✔

✔✔✔✔

❜A

❜B

❜F

❜E ❜ D

❜ C

Slika 18: Veckotnik

Veckotnike razdelimo na skupine glede na razlicne lastnosti. Mi jih bomo razdelili vskupine najprej glede na stevilo stranic (trikotniki, stirikotniki, veckotniki), potempa znotraj vsake skupine se glede na posebne lastnosti (raznostranicni, enakokraki,enakostranicni, pravilni, . . . ).

Veckotnik s tremi stranicami je trikotnik. Geometrijski lik s stirimi stranicami jestirikotnik. Pri stirikotnikih se bomo omejili na enostavne stirikotnike, katerih stra-nice se ne sekajo.

Geometrijske like delimo glede na vec kriterijev:

• glede na velikosti notranjih kotov (konveksni - izboceni in konkavni - vboceni),

Slika 19: Konveksni (levo) in konkavni (desno) stirikotnik

• glede na stevilo stranic (trikotniki, stirikotniki, petkotniki),

Slika 20: Trikotnik, stirikotnik, petkotnik

• glede na posebne lastnosti (raznostranicni, enakokraki, pravilni . . . ).

Slika 21: Raznostranicni, enakokraki in enakostranicni trikotnik


Mi si bomo podrobneje ogledali naslednje geometrijske like:

• Trikotniki (raznostranicni, enakokraki, enakostranicni)

• Paralelogrami (splosni paralelogram, romb, pravokotnik in kvadrat)

• Trapezi (splosni in enakokraki)

• Deltoidi

1.4 Trikotniki

Tri nekolinearne tocke A, B in C dolocajo trikotnik ABC. Trikotnike oznacujemoz znakom ∆ABC. Tockam A, B in C pravimo oglisca trikotnika, daljice, ki jihpovezujejo pa so stranice trikotnika. Koti α = ∠BAC, β = ∠ABC in γ = ∠BCA

so notranji koti trikotnika ABC. Sokot notranjega kota je zunanji kot. Zunanjekote oznacimo z α′, β′ in γ′.

❜ ❜""

""

""

""

""

❜

❚❚

❚❚

❚❚

❚❚

❚❚

A B

C

ab

c

α β β′

γ

Slika 22: Trikotnik z oznakami

Trikotnik je pozitivno orientiran, ce si njegova oglisca sledijo v nasprotni smerivrtenja urinega kazalca, in negativno orientiran, ce si sledijo v smeri vrtenjaurinega kazalca.

Slika 23: Pozitivno (levo) in negativno (desno) orientiran trikotnik

Visina v trikotniku je daljica, ki povezuje oglisce z nasprotno stranico in je pravo-kotna nanjo.

Teziscnica v trikotniku je daljica, ki povezuje oglisce trikotnika z razpoloviscemnasprotne stranice.

Slika 24: Visina in teziscnica v trikotniku


Trikotnike delimo glede na dolzine stranic na:

• raznostranicne

• enakokrake

• enakostranicne

Slika 25: Raznostranicni, enakokraki in enakostranicni trikotnik

1.4.1 Raznostranicni trikotnik

• Vsota notranjih kotov meri 180◦.

• Simetrale stranic se sekajo v eni tocki. Ta tocka je sredisce trikotniku

ocrtane kroznice.

Slika 26: Trikotniku ocrtana kroznica

• Simetrale notranjih kotov se sekajo v eni tocki. Ta tocka je sredisce triko-

tniku vcrtane kroznice.

Slika 27: Trikotniku vcrtana kroznica

• Vse tri visine na stranice se sekajo v isti tocki. Pravimo ji visinska tocka

trikotnika.


Slika 28: Visinska tocka trikotnika

• Vse tri teziscnice se sekajo v isti tocki. Ta tocka je tezisce trikotnika.

Slika 29: Tezisce trikotnika

1.4.2 Enakokraki trikotnik

V enakokrakem trikotniku je visina na osnovnico hkrati simetrala osnovnice in hkratisimetrala kota ob vrhu.

Slika 30: Enakokraki trikotnik

1.4.3 Enakostranicni trikotnik

V enakostranicnem trikotniku so vsi koti enako veliki (in skupaj merijo 180◦), zatovsi merijo 60◦.

Zaradi simetrije je v enakostranicnem trikotniku visina na stranico enaka teziscnicina stranico in enaka simetrali stranice in enaka simetrali nasprotnega kota. Tako


predstavljajo sredisce ocrtane kroznice, sredisce vcrtane kroznice, tezisce in visinskatocka eno in isto tocko.

Slika 31: Enakostranicni trikotnik

1.5 Paralelogrami

Paralelogram je stirikotnik, ki ima dva para vzporednih stranic. Oglisca oznacujemos crkami A, B, C in D v pozitivni smeri, kot je to v navadi. Stranice oznacujemo scrkami a, b, c in d, pri tem pa se drzimo dogovora, da enako dolge daljice (stranice)oznacujemo z isto crko. Kote oznacujemo z grskimi crkami α, β, γ in δ. Enake koteoznacimo z isto crko. Diagonali v stirikotnikih oznacujemo z e in f , pri cemer je podogovoru e = AC in f = BD.

Slika 32: Paralelogram

Za vse stirikotnike velja, da je vsota notranjih kotov enaka 360◦.

1.5.1 Paralelogram

Lastnosti paralelograma:

• Vzporedni stranici sta enako dolgi.

• Nasprotna kota sta enaka (glej zgornjo sliko).

• Sosednja kota sta suplementarna - skupaj merita 180◦ (glej zgornjo sliko vogliscu D).

• Diagonali se razpolavljata.

Slika 33: Diagonali se razpolavljata v paralelogramu


1.5.2 Romb

Romb je paralelogram, ki ima vse stranice enako dolge.

Romb ima poleg lastnosti, ki jih ima kot paralelogram, se naslednje lastnosti:

• Diagonali sta pravokotni.

• Diagonali razdelita romb na stiri enake pravokotne trikotnike.

Slika 34: Diagonali v rombu sta pravokotni

1.5.3 Pravokotnik

Pravokotnik je paralelogram, v katerem so vsi notranji koti pravi. V pravokotnikuvelja, da sta diagonali enako dolgi.

Slika 35: Pravokotnik

1.5.4 Kvadrat

Kvadrat je paralelogram, v katerem so vsi notranji koti pravi ter vse stranice enakodolge. V kvadratu se diagonali sekata pod pravim kotom.

Slika 36: Kvadrat

Kvadrat lahko opisemo tudi kot romb, ki ima vse notranje kote prave kote.

1.6 Trapezi

Trapez je stirikotnik, ki ima en par vzporednih stranic. Nevzporedni stranici ime-nujemo kraka.


Slika 37: Trapez

Trapez razen dveh vzporednih stranic nima drugih posebnih lastnosti.

1.6.1 Enakokraki trapez

Enakokraki trapez je trapez, ki ima kraka enako dolga.

Slika 38: Enakokraki trapez

Enakokraki trapez ima se naslednje lastnosti:

• Diagonali sta enako dolgi (a se ne razpolavljata).

• Notranja kota ob spodnji osnovnici sta enako velika ter notranja kota ob zgornjiosnovnici sta enako velika.

• Vsota enega notranjega kota ob spodnji osnovnici in enega notranjega kota obzgornji osnovnici je 180◦ (sta suplementarna).

• Odsek, ki ga odreze visina od osnovnice je enak a−c2

.

1.7 Deltoidi

Deltoid je stirikotnik, ki ima dva para sosednjih enako dolgih stranic.

Slika 39: Deltoid

Deltoid ima naslednje lastnosti:

• Diagonali sta pravokotni.


• Ena diagonala (f = BD) razpolavlja drugo (e = AC), obratno pa ne velja(druga diagonala ne razpolavlja prve).

• Dva nasprotna notranja kota (pri A in C) sta enaka.

• Diagonala, ki se ne razpolavlja (f = BD), je hkrati simetrala kotov pri B inD.


1.8 Vaje


2 Osnovne geometrijske konstrukcije

Matematiki od Grkov naprej uporabljajo pri svojih konstrukcijah samo dve orodji:sestila in ravnila (ne pa kotomerja). Grki so s temi orodji znali narisati mnogogeometrijskih likov in prikazati mnogo geometrijskih lastnosti. Nekaj tega si bomoogledali tudi mi.

Slika 1: Konstrukcija pravilnega petkotnika

Na zgornji sliki je konstrukcija pravilnega petkotnika. Konstrukcija sama je pretezka,da bi jo obravnavali in utemeljili. Problem vseh geometrijskih konstrukcij je, dalahko po koncani risbi pozabimo, kako smo prisli do nje.

Zato k vsaki konstrukciji spada zraven tudi opis poteka konstrukcije. Le-ta nam po-maga kadarkoli kasneje rekonstruirati potek samega risanja. S potekom konstrukcijena kratko opisemo vrstni red risanja.

Zgled 1: Potek konstrukcije pravilnega petkotnika.1. Narisemo daljico AB (stranica petkotnika)

2. Narisemo kroznico s srediscem v A in polmerom |AB|.3. Oznacimo diametralno tocko kroznice k tocki B.

4. Narisemo pravokotnico na AB skozi tocko A.

5. itd.


2.1 Konstrukcije simetral

S sestilom in ravnilom lahko konstruiramo simetralo poljubnega kota ter simetralopoljubne daljice. To sta konstrukciji, ki sta osnovi za mnoge druge.

2.1.1 Konstrukcija simetrale daljice

Simetrala daljice je po definiciji premica, ki dano daljico razpolavlja in je pravokotnananjo.

Slika 2: Konstrukcija simetrale daljice

Potek konstrukcije:

1. Narisemo daljico AB.

2. Narisemo poljubna loka s srediscem v A nazgornji in spodnji strani daljice.

3. Narisemo poljubna loka s srediscem v B nazgornji in spodnji strani daljice.

4. Potegnemo premico skozi presecisci lokov.

2.1.2 Konstrukcija simetrale kota

Simetrala kota je po definiciji premica, ki gre skozi vrh kota in ga razpolavlja.

Slika 3: Konstrukcija simetrale kota

Potek konstrukcije:

1. Na obeh krakih s sestilom odmerimo enakorazdaljo. Dobimo tocki A in B.

2. Nato narisemo poljuben lok znotraj kota ssrediscem v A.

3. Nato narisemo enako velik lok znotraj kotas srediscem v B.

4. Potegnemo premico skozi vrh kota inpresecisce lokov.

2.2 Konstrukcije nekaterih kotov

S sestilom in ravnilom lahko konstruiramo le nekatere kote. To so koti 60◦, 90◦, 75◦

ter vsi koti, ki jih dobimo s sestevanjem, odstevanjem in razpolavljanjem (simetralakota!) teh kotov (30◦, 45◦, 135◦, . . . ).


2.2.1 Konstrukcija pravilnega sestkotnika

Konstrukcija pravilnega sestkotnika je osnova za konstrukcijo ostalih kotov. V cemje posebnost pravilnega sestkotnika? Pravilni sestkotnik je sestavljen iz sestih ena-kostranicnih trikotnikov. Vsak notranji kot v enakostranicnem trikotniku pa meri60◦.

Slika 4: Konstrukcija pravilnega sestkotnika

Potek konstrukcije:

1. Narisemo daljico AB in nato kroznico ssrediscem v A in polmerom |AB|.

2. S sestilom nanesemo razdaljo |AB| nakroznico, zacensi v B.

3. Povezemo tocke na kroznici.

Konstrukcija pravilnega sestkotnika je hkrati tudi osnova konstrukcije enakostranicnegatrikotnika.

2.2.2 Konstrukcija kota 60◦

Za konstrukcijo kota 60◦ ne potrebujemo celotnega sestkotnika. Dovolj je en njegovdel - en trikotnik. Le-ta je namrec enakostranicen, notranji kot v enakostranicnemtrikotniku pa meri 60◦.

Tak trikotnik najhitreje in z najmanj potezami narisemo po naslednjem postopku.

Slika 5: Konstrukcija kota 60◦

Potek konstrukcije:

1. Narisemo daljico AB in nato lok ssrediscem v A in polmerom |AB|.

2. S sestilom v B nanesemo razdaljo |AB| nalok.

3. Povezemo tocko A z preseciscem lokov.

Z razpolavljanjem tega kota (konstrukcijo simetrale kota) tako lahko dobimo se kota30◦ in 15◦. Konstruiramo lahko tudi kot 45◦ - razpolovimo kot 60◦, nato pa razpo-lovimo se zgornjega od obeh dobljenih kotov. Tako dobimo: 30◦ + 15◦ = 45◦.

Ce pa narisemo dva taka trikotnika, smo konstruirali se kot 120◦ (60◦+60◦ = 120◦).



Kot 90◦ tudi konstruiramo s pomocjo pravilnega sestkotnika. Narisemo kota 60◦ in120◦, potem pa razpolovimo kot med 60◦ in 120◦ (60◦ + 30◦ = 90◦).

Slika 6: Konstrukcija kota 60◦

Potek konstrukcije:

1. Konstruiramo kota 60◦ in 120◦.

2. S sestilom narisemo simetralo kota med60◦ in 120◦.


Kot 75◦ konstruiramo tako, da najprej konstruiramo kot 90◦, kot je opisano zgoraj.Nato pa samo se razpolovimo 30◦ kot med 60◦ in 90◦ (60◦ + 15◦ = 75◦).

2.3 Konstrukcija tangente na kroznico

Tangento na kroznico lahko narisemo v dveh primerih: ce lezi tocka na kroznici alipa, ce lezi tocka izven kroznice.

Pri sami konstrukciji uporabimo v prvem primeru dejstvo, da je tangenta pravo-

kotna na polmer v dotikaliscu tangente in kroznice.

V drugem primeru pa uporabimo Talesov izrek o kotu v polkrogu, ki pravi, daje obodni kot nad premerom pravi kot.

2.3.1 Ce lezi tocka na kroznici

Slika 7: Konstrukcija tangente na kroznico

Potek konstrukcije:

1. Narisemo poltrak z izhodiscem v srediscukroznice S, ki gre skozi dano tocko T nakroznici.

2. S sestilom nanesemo na poltraku se enkratdolzino polmera, dobimo tocko A.

3. Narisemo simetralo daljice SA in dobimotangento.


2.3.2 Ce lezi tocka izven kroznice

Slika 8: Konstrukcija tangente na kroznico

Potek konstrukcije:

1. Povezemo sredisce kroznice S in dano tockoT.

2. S sestilom razpolovimo daljico ST in do-bimo tocko A.

3. Narisemo kroznico s srediscem v A in pol-

merom |ST |2

.

4. Narisemo premico skozi T in presecisceobeh kroznic. Dobimo dve mozni tan-genti.

2.4 Konstrukcije znamenitih tock trikotnika

Med osnovne znamenite tocke stejemo tezisce, sredisce ocrtane kroznice (in kroznicesame) ter sredisce vcrtane kroznice (in kroznice same).

2.4.1 Tezisce trikotnika

Vemo ze, da se teziscnice sekajo v eni tocki - teziscu. V danem trikotniku torejrazpolovimo dve stranici (simetrala stranice) ter narisemo dve teziscnici. Njunopresecisce je tezisce.

Slika 9: Konstrukcija tezisca

Potek konstrukcije:

1. Razpolovimo dve stranici.

2. Narisemo teziscnici skozi razpolovisci.

3. Presecisce teziscnic je tezisce trikotnika.

2.4.2 Trikotniku ocrtana kroznica

Narisati moramo dve simetrali stranic. Njuno presecisce je sredisce trikotnikuocrtane kroznice. Njen polmer je enak razdalji med srediscem in enim od oglisctrikotnika.

2.4.3 Trikotniku vcrtana kroznica

Narisati moramo dve simetrali notranjih kotov. Njuno presecisce je sredisce triko-tniku vcrtane kroznice. Njen polmer je enak razdalji med srediscem in eno od stranictrikotnika.

2.5 Konstrukcije trikotnikov

Trikotnika sta skladna, ce lahko enega premaknemo na drugega tako, da se popol-noma prekrivata. V praksi to pomeni, da sta enaka.


Pri konstrukcijah trikotnikov nam pomagajo skladnostni izreki, ki govorijo o tem,kdaj sta dva trikotnika skladna. V praksi to pomeni, da nam ti izreki dolocajo,koliko podatkov in katere moramo imeti, da znamo narisati trikotnik.

Trikotnika sta skladna, ce se ujemata

a) v vseh treh stranicah

b) v eni stranici in obeh prileznih kotih

c) v dveh stranicah in kotu, ki lezi nasproti daljsi od obeh stranic.

Torej lahko trikotnik konstruiramo, ce imamo zgoraj omenjene podatke zanj. Pa sipoglejmo vse tri konstrukcije.

Dane vse tri stranice: a, b, c

Slika 10: Konstrukcija trikotnika I

Potek konstrukcije:

1. Narisemo stranico c in dobimo oglisci A inB trikotnika.

2. S sestilom v A narisemo lok s polmerom,enakim stranici b.

3. S sestilom v B narisemo lok s polmerom,enakim stranici a.

4. Presecisce lokov je oglisce C trikotnika.

Dana ena stranica in oba prilezna kota: npr. c, α, β

Slika 11: Konstrukcija trikotnika II

Potek konstrukcije:


2. Odmerimo kot α in narisemo drugi krakkota.

3. Odmerimo kot β in narisemo drugi krakkota.

4. Presecisce krakov je oglisce C trikotnika.

Dani dve stranici in kot nasproti daljsi od obeh: npr. c, a, α


Slika 12: Konstrukcija trikotnika III

Potek konstrukcije:


2. Odmerimo kot α in narisemo drugi krak.

3. S sestilom v B narisemo lok s polmerom a.

4. Presecisce kraka kota α in loka je oglisce Ctrikotnika.

2.6 Konstrukcije kvadratov

Dana stranica a.

Slika 13: Konstrukcija kvadrata I

Potek konstrukcije:

1. Narisemo premico in na njej odmerimodvakrat stranico a zapored. Dobimo tockeA, B in T.

2. Narisemo simetralo daljice AT. Le-ta po-teka seveda skozi B.

3. Na obeh pravokotnicah odmerimo stranicoa. Dobimo oglisci A in C.

4. S sestilom v A narisemo lok s polmerom a.

5. S sestilom v C narisemo lok s polmerom a.Presecisce lokov je tocka D kvadrata.

Dana diagonala d.

Slika 14: Konstrukcija kvadrata II

Potek konstrukcije:

1. Narisemo diagonalo d in dobimo oglisci Ain C kvadrata.

2. Narisemo simetralo diagonale d.

3. Narisemo kroznico, ki ima sredisce vpreseciscu diagonale in simetrale ter greskozi A in C.

4. Presecisci simetrale in kroznice sta oglisciB in D kvadrata. Kvadrat je narisan vposevni legi.


2.7 Konstrukcije pravokotnikov

Dani stranici a in b.

Slika 15: Konstrukcija pravokotnika I

Potek konstrukcije:

1. Narisemo stranico a = AB in pravokotniconanjo skozi B.

2. Na pravokotnici odmerimo stranico b indobimo oglisce C.

3. S sestilom v A narisemo lok s polmerom b.

4. S sestilom v C narisemo lok s polmerom a.

5. Presecisce lokov je cetrto oglisce pravoko-tnika.

Dana stranica npr. a in diagonala d.

Slika 16: Konstrukcija pravokotnika II

Potek konstrukcije:


2. S sestilom v A narisemo lok s polmerom d.Dobimo oglisce C.

3. S sestilom v A narisemo lok s polmeromBC.

4. S sestilom v B narisemo lok s polmerom d.

5. Presecisce lokov je oglisce D.

Dana stranica a in kot med to stranico in diagonalo φ.

Slika 17: Konstrukcija pravokotnika III

Potek konstrukcije:


2. Nato narisemo drugi krak kota phi z vrhomv A in enim krakom AB.

3. Presecisce kraka kota in pravokotnice jeoglisce C.

4. S sestilom v A narisemo lok s polmeromBC.

5. S sestilom v B narisemo lok s polmeromAC.

6. Presecisce lokov je oglisce D.


2.8 Konstrukcije paralelogramov

Dani stranici a in b in kot med njima α.

Slika 18: Konstrukcija paralelograma

Potek konstrukcije:

1. Narisemo stranico a = AB in kot α.

2. Na drugem kraku kota α odmerimo stra-nico b in dobimo oglisce D

3. S sestilom v B narisemo lok s polmerom b.

4. S sestilom v D narisemo lok s polmerom a.

5. Presecisce lokov je oglisce C paralelo-grama.

2.9 Konstrukcije rombov

Dani diagonali e in f .

Slika 19: Konstrukcija romba I

Potek konstrukcije:

1. Narisemo diagonalo e = AC in dobimooglisci A in C.

2. Narisemo simetralo diagonale e.

3. S sestilom v preseciscu diagonale in sime-trale narisemo loka s polmerom f

2.

4. Presecisci simetrale in lokov sta oglisci Bin D.

Dana stranica a in kot med njima α.

Slika 20: Konstrukcija romba II

Potek konstrukcije:

1. Narisemo stranico a in dobimo oglisci A inB romba.

2. Odmerimo kot α in narisemo drugi krak.

3. S sestilom v A narisemo lok s polmerom a.Dobimo oglisce D.

4. S sestilom v B narisemo lok s polmerom a.

5. S sestilom v D narisemo lok s polmerom a.

6. Presecisce lokov je oglisce C romba.


2.10 Vaje

1. Konstruiraj trikotnike s podatki.

a) a = 5, b = 6, c = 7

b) c = 6, α = 45◦, β = 60◦

c) b = 5, α = 45◦, γ = 30◦

d) c = 5, a = 7, α = 60◦

e) b = 6, c = 4, β = 45◦

2. Konstruiraj enakostranicni trikotnik s stranico 5 cm.

3. Konstruiraj enakokraki trikotnik s podatki.

a) a = b = 5, c = 3

b) c = 4, vc = 4

c) c = 5, α = β = 45◦

4. Konstruiraj pravokotni trikotnik s podatki.

a) a = 5, b = 3

b) a = 4, c = 6

4. Konstruiraj kvadrat s podatki.

a) a = 4

b) d = 5

5. Konstruiraj pravokotnik s podatki.

a) a = 5, b = 3

b) b = 4, d = 6

c) a = 6, kot med diagonalo in stranico meri 30◦

6. Konstruiraj paralelogram s podatki.

a) a = 5, b = 4, α = 30◦

b) a = 4, b = 6, β = 120◦

7. Konstruiraj romb s podatki.

a) a = 5, α = 45◦

b) e = 7, f = 4

c) a = 5, f = 4


c 3 Skice v geometrijskih nalogah

Pri konstrukcijskih nalogah smo navajeni, da narisemo sliko - geometrijsko kon-strukcijo, ki ustreza danim podatkom. Slika je del naloge. Pri nalogah, kjer pa jepotrebno izracunati neznane kolicine, pa ponavadi slika (konstrukcija) seveda ni ob-vezna. Velja pa, da nam slika pomaga pri iskanju poti do resitve. A zato ne rabimoslike, ampak le skico, ki jo (obicajno) narisemo s prosto roko.

Ceprav skico narisemo s prosto roko, se vseeno drzimo nekaterih pravil in dogovorov:← Pomni:

Kako risemo skice!

• Ce naloga govori o splosnem liku (trikotniku, stirikotniku), na skici takeganarisemo - raznostranicni trikotnik, raznostranicni stirikotnik, . . . Ce pa gre vnalogi za poseben lik (enakokraki trikotnik, pravokotni trikotnik, pravokotnik,kvadrat, romb, . . . ), pa takega tudi narisemo. S tem se izognemo napacnimsklepanjem, do katerih lahko pride.

• Na skici vedno oznacimo vse dane in vse iskane kolicine (dolzine in kote). Vsedane kolicine na nek nacin oznacimo (obicajno jih obkrozimo), s cimer jihlocimo od iskanih.

• Skica naj ne bo premajhna - na premajhni skici se kolicine in povezave mednjimi razgubijo.

• Kadar gre za lik s posebnimi lastnostmi (npr. enakokraki trikotnik), posebnelastnosti oznacimo, ce menimo, da bi nam to pomagalo pri resevanju (v pri-meru enakokrakega trikotnika dolzino obeh krakov oznacimo z isto oznako,oba kota ob osnovnici z isto, . . . ).

4 Pravokotni trikotnik

Pravokotni trikotnik je trikotnik, v katerem je en notranji kot pravi.

Slika 1: Pravokotni trikotnik

Oglisca po dogovoru oznacimo tako, da sta pravokotni stranici oznaceni z a in b. Tidve stranici imenujemo kateti, tretjo stranico pa hipotenuza. Lahko pa recemotudi, da je hipotenuza najdaljsa stranica, ostali dve pa sta kateti. ← Pomni:

kateti, hipotenuza

Ker v pravokotnem trikotniku tudi velja, da je vsota notranjih kotov 180◦, en kot pameri 90◦ (γ), lahko sklepamo, da druga dva merita skupaj se 90◦. Torej sta drugadva kota komplementarna: α + β = 90◦. ← Pomni:

α = 90◦ − β

β = 90◦ − α


Za pravokotni trikotnik tudi velja, da lezi sredisce ocrtane kroznice v razpoloviscuhipotenuze. Ta lastnost sledi iz Talesovega izreka, ki smo ga ze spoznali v prvempoglavju.

Pravokotni trikotnik pa ima se nekaj izjemno uporabnih lastnosti. Prva je Pitago-rov izrek, druga, se uporabnejsa pa so kotne funkcije. Oboje si bomo ogledali vnadaljevanju.

4.1 Pitagorov izrek

Pitagorov izrek povezuje dolzine stranic v pravokotnem trikotniku.


V obliki formule ga zapisemo kot a2 + b2 = c2. Ker pa tak zapis velja le za zgornjeoznake, v nalogah pa bomo imeli stranice oznacene tudi drugace, si bomo Pitagorovizrek raje zapomnili kot: ← Pitagorov izrek:

a2 + b2 = c2 ali pac2 = a2 + b2

1.kateta2 + 2.kateta2 = hipotenuza2

V tem primeru ga bomo znali uporabiti na vsakem primeru. Oglejmo si uporaboPitagorovega izreka v nekem drugem geometrijskem liku, ne pravokotnem trikotniku.

Zgled 1: Zapisi Pitagorov izrek za pravokotni trikotnik, ki ga tvorita diago-nali in stranica v rombu.

Vemo, da sta diagonali v rombu pravokotni in vemo, da se razpolavljata.Torej skupaj z osnovnico romba tvorijo pravokotni trikotnik s stranicami e

2,

f

2in a.

Pitagorov izrek se torej glasi:

(e

2)2 + (

f

2)2 = a2


Zgled 2: Natancno izracunaj dolzino stranice romba, ce sta diagonali dolgi4 cm in 8 cm.Po prejsnjem zgledu ze vemo, da lahko zapisemo:

a2 = (e

2)2 + (

f

2)2

Vstavimo podatke in izracunamo

a2 = (8

2)2 + (

4

2)2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20

Ker naloga zahteva natancen rezultat, le delno korenimo in ne pozabimo naenote

a =√

20 = 2√

5 cm

Pitagorov izrek lahko uporabimo povsod, kjer najdemo pravokotni trikotnik inimamo dani dve stranici, iscemo pa tretjo, ali pa imamo podano le zvezo medstranicami pravokotnega trikotnika, iscemo pa njegove dolzine. ← Pitagorov izrek:

Kdaj ga uporabimo?

Zgled 3: Izracunaj dolzine stranic pravokotnega trikotnika na skici.

Zapisemo Pitagorov izrek

x2 = (x − 1)2 + 32

Poenostavimo in uredimo enacbo

x2 = x2 − 2x + 1 + 9

2x = 10

x = 5

Ker enote niso podane, jih tudi ne navajamo v rezultatu.

Seveda lahko uporabimo Pitagorov izrek tudi v ostalih likih, ne le v pravokotnemtrikotniku. V danem liku moramo le poiskati nek pravokotni trikotnik, o kateremimamo dovolj podatkov, da lahko uporabimo izrek.

Zato pa moramo predvsem dobro poznati lastnosti posameznih geometrijskih likov.


Zgled 4: Natancno izracunaj visino enakokrakega trikotnika, ce merita ka-teti 12 cm, osnovnica pa 4 cm.

Zapisemo Pitagorov izrek za osenceni pravokotni trikotnik:

v2 + (c

2)2 = a2

odtod pa

v2 = a2 − (c

2)2 = 122 − 22 = 144 − 4 = 140

v =√

140 = 2√

35 cm

Zgled 5: Natancno izracunaj stranico enakostranicnega trikotnika, ce merivisina 4

√3 cm.


a2 = (a

2)2 + v2

odtod pa

a2 − (a

2)2 = v2

3a2

4= v2

3a2

4= (4

√3)2

3a2

4= 16 · 3

odtod

a2 =16 · 3 · 4

3= 64

a = 8 cm


Zgled 6: Na dve decimalni mesti natancno izracunaj stranico kvadrata, cemeri njegova diagonala 10 cm.


d2 = a2 + a2

odtod pad2 = 2a2

a2 =d2

2=

102

2= 50

a =√

50 ≈ 7, 07 cm

Zgled 7: Diagonala pravokotnika meri 10 cm, stranici pravokotnika pa stav razmerju a : b = 3 : 4. Natancno izracunaj dolzini stranic pravokotnika.

Ker imamo podano razmerje stranic, lahko zapisemo a = 3k in b = 4k(spomni se poslovne matematike!). Vstavimo v Pitagorov izrek a2+b2 = d2.

(3k)2 + (4k)2 = 102

25k2 = 100

k2 =100

25

k = 4

odtod pa lahko izracunamo stranici a in b

a = 3 · 4 = 12 cm b = 4 · 4 = 16 cm


Zgled 8: Na dve decimalni mesti natancno izracunaj krajso stranico pravo-kotnika, ce meri njegova diagonala 10 dm, daljsa stranica pa 9 dm.


d2 = a2 + b2

odtod pab2 = d2 − a2 = 102 − 92 = 100 − 81 = 19

b =√

19 ≈ 4, 36 dm

Zgled 9: Krajsa diagonala deltoida meri e = 6 cm, stranici pa merita a =8 cm in b = 4 cm. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj dolzino drugediagonale deltoida.

Diagonali razdelita deltoid na stiri pravokotne trikotnike, po dva in dvaenaka. Oglejmo si zgornji osenceni trikotnik. Del diagonale f v njemoznacimo z oznako x in ga izracunamo.

x2 + (e

2)2 = b2

x2 = b2 − (e

2)2 = 42 − 32 = 16 − 9 = 7 → x =

√7

Podobno izracunamo se drugi del diagonale f , v drugem osencenem triko-tniku oznacen z y.

y2 = a2 − (e

2)2 = 82 − 32 = 64 − 9 = 55 → y =

√55

Diagonala f je vsota obeh delov.

f = x + y =√

7 +√

55 ≈ 10, 06 cm


4.2 Kotne funkcije

V pravokotnem trikotniku pa lahko definiramo tudi t.i. kotne funkcije. Poznamostiri kotne funkcije, od katerih v praksi uporabljamo tri.


Kotne funkcije so definirane kot razmerja dolzin stranic v pravokotnem trikotniku.Da se dokazati, da je vrednost kotne funkcije odvisna le od velikosti kota in ne odizbire takega ali drugacnega pravokotnega trikotnika. Zato jih lahko uporabimo vvsakem pravokotnem trikotniku. Z zapisom razlicnih razmerij dobimo stiri kotnefunkcije: sin ali sinus, cos ali kosinus, tan ali tangens in cot ali kotangens: ← Kotne funkcije:

sin, cos, tan, cot

sin α =dolzina nasprotne stranice

dolzina hipotenuze

cos α =dolzina prilezne stranice

dolzina hipotenuze

tan α =dolzina nasprotne stranice

dolzina prilezne stranice

cot α =dolzina prilezne stranice

dolzina nasprotne stranice

Kotne funkcije si zapomnimo v taki obliki zato, da jih lahko uporabimo v poljubnooznacenem pravokotnem trikotniku, kot je ta v naslednjem zgledu.

Zgled 10: Zapisi vse stiri kotne funkcije za kot γ in kot v ogliscu W vspodnjem pravokotnem trikotniku.

sin γ =55

dcos γ =

w

dtan γ =

55

wcot γ =

w

55

sin 60◦ =w

dcos 60◦ =

55

dtan 60◦ =

w

55cot 60◦ =

55

w

V tem zgledu ze vidomo, kako bomo uporabili kotne funkcije. Ce si vzadnji vrstici ogledamo naprimer definicijo kosinusa, vidimo, da je tu le enaneznana kolicina. Z malce obracanja formul dobimo d = 55

cos 60◦in odtod

s kalkulatorjem d = 110. Ko pa imamo izracunano se to stranico, lahkoizracunamo se tretjo . . .


Za nekatere najbolj pogoste kote, ki jih srecamo v geometrijskih likih (60◦ in 30◦

v enakostranicnem trikotniku, 45◦ v kvadratu, . . . ) si lahko zapomnimo natancnevrednosti kotnih funkcij. Le te najdemo v spodnji tabeli.

Tabela natancnih vrednosti kotnih funkcij za nekatere kote: ← Kotne funkcije:

Tabela natancnihvrednosti!kot sin x cos x tan x cot x

0◦ 0 1 0 ∞30◦ 1

2

√3

2

√3

3

√3

45◦√

22

√2

21 1

60◦√

32

12

√3

√3

3

90◦ 1 0 ∞ 0

Kateri pa so zadostni podatki za uporabo kotnih funkcij? Kotne funkcije uporabimo:← Kotne funkcije:

Kdaj jih uporabimo?

• ce imamo dan en kot in dolzino ene stranice v pravokotnem trikotniku, iscemopa dolzino druge stranice.

• ce imamo podani dve stranici v pravokotnem trikotniku, iscemo pa velikostkota.

Opomba: Kotni funkciji tangens in kotangens sta si zelo podobni - le stevec inimenovalec zamenjamo. Torej lahko vedno namesto kotangensa zapisemo tangens intudi uporabljamo le tangens. Zato tudi kalkulatorji nimajo posebne tipke za izracunkotangensa. Ce ga potrebujemo, si pomagamo z obratno vrednostjo (cotx = 1

tan x).

cot 50◦ =1

tan 50◦=

1

1, 191753593 . . .≈ 0, 839099631 . . .

Oglejmo si uporabo kotnih funkcij na spodnjih zgledih.

Zgled 11: Kot v pravokotnem trikotniku meri 50◦, njemu nasprotna stra-nica pa 3 cm. Koliko merita ostali dve stranici? Rezultat zaokrozi na dvedecimalni mesti.

Ker imamo podan kot in njemu nasprotno stranico, lahko zapisemo kotnifunkciji sinus in tangens in iz njiju z obracanjem formul pridemo do iskanihkolicin.

sin 50◦ =3

c→ c =

3

sin 50◦≈ 3, 92 cm

tan 50◦ =3

b→ b =

3

tan 50◦≈ 2, 52 cm


Zgled 12: Kateti pravokotnega trikotnika merita 4 cm in 6 cm. Kolikomerijo notranji koti? Izracunaj na minuto natancno.

Ker imamo podani obe kateti, bomo uporabili kotno funkcijo tangens zanpr. kot β.

tan β =4

6→ β = 33, 69006753 . . .◦ ≈ 33◦41′

← Kalkulator:

Kako ga uporabimo?

Pri zgornjem izracunu smo uporabili tipko tan−1 , ki jo na vecini kalkula-

torjev dobimo s kombinacijo tipk Shift in tan .Za zgornji izracun na novejsih kalkulatorjih odtipkamo zaporedje

Shift tan ( 4 : 6 ) =

na starejsih pa

4 : 6 = Shift tanRezultat nam iz stopinj in dela stopinj v stopinje in minute na kalkulatorjih

ponavadi pretvori tipka ◦ ′ ′′ ali pa tipka →DMS . Za podroben opis glejtenavodila, prilozena kalkulatorju.

Seveda pa za kotne funkcije velja podobna ugotovitev kot za Pitagorov izrek: upora-bimo jih lahko v vsakem geometrijskem liku, v katerem najdemo pravokotni trikotnikz zadostnimi podatki.

Zgled 13: Osnovnica enakokrakega trikotnika meri 7 cm, kraka pa 10 cm.Na minuto natancno izracunaj vse notranje kote tega trikotnika.

cos α =3, 5

10= 0, 35 → α = 69, 51268489 . . .◦ ≈ 69◦31′

Kot v ogliscu B je enak kotu α, kot v ogliscu C pa dobimo z odstevanjem

γ = 180◦ − 2α ≈ 180◦ − 139◦2′ ≈ 40◦58′


Zgled 14: Osnovnica enakokrakega trikotnika meri 7 cm, visina na krak pa6 cm. Na minuto natancno izracunaj kot ob vrhu trikotnika.

Najprej s kotnimi funkcijami izracunamo kot α, nato pa z odstevanjem (kotpri prejsnjem zgledu) se kot γ.

sin α =6

7→ α = 58, 99728087 . . .◦ ≈ 59◦

γ = 180◦ − 2α ≈ 180◦ − 118◦ ≈ 62◦

Zgled 15: S pomocjo kotnih funkcij natancno izracunaj stranico enako-stranicnega trikotnika, ce meri njegova visina 12

√3 cm.

Ker naloga zahteva natancno vrednost, za sin 60◦ vzamemo vrednost√

32

, kijo najdemo v tabeli na zacetku poglavja o kotnih funkcijah.

sin 60◦ =v

a→ a =

v

sin 60◦=

12√

3√

32

=12√

3 · 2√3

= 24 cm

Zgled 16: V kvadratu s stranico 10 cm povezemo oglisce z razpoloviscemnasprotne stranice. Koliksen kot oklepata ta daljica in stranica? Izracunajga na minuto natancno.

tan φ =a2

a=

5

10=

1

2→ φ = 26, 56505118 ≈ 26◦34′


c 5 Splosni trikotnik

Splosni trikotnik ima le malo nam znanih posebnih geometrijskih lastnosti (vsotanotranjih kotov je 180◦, zunanjih 360◦, teziscnice se sekajo v isti tocki, visine se se-kajo v isti tocki, simetrale stranic . . . ). V njem ne moremo uporabiti Pitagorovegaizreka in ne kotnih funkcij.

Zato pa lahko uporabimo dva izreka - sinusni in kosinusni, ki povezujeta dolzinestranic trikotnika in velikosti njegovih kotov. V sinusnem nastopa kotna funkcijasinus, v kosinusnem pa kosinus. Odtod sta dobila tudi svoje ime.

5.1 Kosinusni izrek

Kosinusni izrek je pravzaprav posplositev Pitagorovega izreka za splosne trikotnike.Sam izrek je pravzaprav samo posledica racunanja z vektorji, eno izmed podrocijmatematike. V sam dokaz se ne bomo spuscali.

Slika 4: Splosni trikotnik

Kosinusni izrek lahko zapisemo za vsako trikotnikovo stranico in tako dobimo triformule:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

Kako si cim laze zapomnimo kosinusni izrek? Poglejmo, kako je sestavljena vsakaposamezna formula.

Slika 5: Kosinusni izrek

Na desni strani formule sta torej vedno kvadrata drugih dveh stranic, od cesarodstejemo dvakratni produkt teh dveh stranic, pomnozen s kosinusom kota medtema dvema stranicama.

Kosinusni izrek lahko torej uporabimo, ce imamo dani dolzini dveh stranic

splosenga trikotnika in kot med njima, iscemo pa dolzino tretje stranice.Lahko pa ga uporabimo tudi, ce imamo dane vse tri dolzine stranic splosnega

trikotnika, iscemo pa velikost notranjega kota. Pa si poglejmo to na primerih.


Zgled 17: Stranici v trikotniku merita a = 5 cm in c = 4 cm, kot med njimapa 50◦. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj dolzino tretje stranice.

Zapisemo kosinusni izrek za tretjo stranico.

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β = 52 + 42 − 2 · 5 · 4 · cos 50◦ = 15, 28849561 . . .

b =√

15, 28849561 . . . ≈ 3, 91 cm

Zgled 18: Stranice trikotnika merijo a = 10 dm, b = 7 dm in c = 13 dm.Izracunaj velikost notranjih kotov na minuto natancno.

Ker nas zanima kot α, zapisemo tisti kosinusni izrek, ki vsebuje ta kot.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α

Preoblikujeno formulo in iz nje izrazimo neznani kot α

2bc cos α = b2 + c2 − a2

cos α =b2 + c2 − a2

2bc=

72 + 132 − 102

2 · 7 · 13=

118

182

α = 49, 58256179 . . . ≈ 49◦35′

Podobno se za kot β.b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

cos β =a2 + c2 − b2

2ac=

102 + 132 − 72

2 · 10 · 13=

220

260=

11

13

β = 32, 2042275 . . . ≈ 32◦12′

Tretji kot dobimo z odstevanjem

γ = 180◦ − α − β ≈ 180◦ − 49◦35′ − 32◦12′ ≈ 98◦13′


Seveda lahko kosinusni izrek uporabimo tudi v drugih geometrijskih likih, kjer lenajdemo splosni trikotnik z zadostnimi podatki, da lahko uporabimo izrek.

Zgled 19: Na dve decimalni mesti natancno izracunaj dolzino teziscnice nastranico a v trikotniku s stranicami a = 9 dm, b = 7 dm in c = 11 dm.

Najprej potrebujemo kot v ogiscu B.

b2 = a2 + c2 − 2ac cos β

cos β =a2 + c2 − b2

2ac=

92 + 112 − 72

2 · 9 · 11=

153

198=

17

22

β = 39, 40056876 . . .◦

Kota β pravzaprav ne rabimo, samo kosinus tega kota, kot bomo videli.Zapisemo se kosinusni izrek za manjsi trikotnik.

t2a = c2 + (a

2)2 − 2c

a

2· cos β = 112 + 4, 52 − 2 · 11 · 4, 5 · 17

22= 64, 75

ta =√

64, 75 ≈ 8, 05 dm

Zgled 20: Stranici paralelograma merita a = 10 cm in b = 7 cm, kot mednjima pa α = 50◦. Izracunaj dolzini diagonal paralelograma. Rezultatzaokrozi na eno decimalno mesto.

f 2 = a2 + b2 − 2ab cos α = 102 + 72 − 2 · 10 · 7 · cos 50◦ = 59, 00873464 . . .

f =√

59, 00873464 . . . ≈ 7, 68 cm

Za drugo diagonalo rabimo kot β. V paralelogramu merita skupaj 180◦.

β = 180◦ − α = 130◦

e2 = a2 + b2 − 2ab cos β = 102 + 72 − 2 · 10 · 7 · cos 130◦ = 238, 9902654 . . .

e =√

238, 9902654 . . . ≈ 15, 46 cm


5.2 Sinusni izrek

Drugi izrek, ki velja v splosnem trikotniku pa je sinusni izrek. S pomocjo tega izrekalahko izracunamo tudi polmer trikotniku ocrtane kroznice, ki ga v izreku oznacimoz R.

Slika 5: Splosni trikotnik

Sinusni izrek se glasi:a

sin α=

b

sin β=

c

sin γ= 2R

Formule v taki obliki seveda ne moremo uporabiti. Zato vzamemo le dva njena dela,odvisno od podanih kolicin trikotnika.

Kdaj ga uporabimo?

• Kadar imamo podani dve stranici in kot, ki lezi eni od danih stranic nasproti.

• Kadar imamo podano eno stranico in dva notranja kota.

• Kadar imamo podan polmer ocrtane kroznice in se en podatek - en kot ali enostranico.

Zgled 21: V trikotniku poznamo: a = 5 m, c = 7 m in α = 30◦. Na minutonatancno izracunaj vse notranje kote tega trikotnika.

Zapisemo tisti del sinusnega izreka, ki vsebuje dane podatke in ga preobli-kujemo.

a

sin α=

c

sin γ→ sin γ =

c · sin α

a=

7 · sin 30◦

5= 0, 7

γ = 44, 427004◦ ≈ 44◦26′

Tretji kot pa dobimo z odstevanjem.

β = 180◦ − α − γ ≈ 180◦ − 30◦ − 44◦26′ ≈ 105◦34′


Zgled 22: V trikotniku stranica a meri 6 dm, kot β meri 50◦, kot γ pa30◦. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj dolzini ostalih dveh stranictrikotnika.

Na prvi pogled je premalo podatkov, saj za uporabo sinusnega izreka manjkakot α. Toda tega se da z odstevanjem izracunati.

α = 180◦ − β − γ = 180◦ − 50◦ − 30◦ = 100◦

Sedaj pa lahko zapisemo sinusni izrek.

a

sin α=

b

sin β→ b =

a · sin β

sin α=

6 · sin 50◦

sin 100◦≈ 4, 67 dm

a

sin α=

c

sin γ→ c =

a · sin γ

sin α=

6 · sin 30◦

sin 100◦≈ 3, 05 dm

Zgled 23: Polmer trikotniku ocrtane kroznice meri 10 cm, kota α in β pa45◦ in 60◦. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj dolzine stranic tegatrikotnika.

Spet podobno kot prej najprej izracunamo tretji kot.

γ = 180◦ − α − β = 180◦ − 45◦ − 60◦ = 75◦

In zapisemo tisti del sinusnega izreka, ki vsebuje polmer ocrtane kroznice.

a

sin α= 2R → a = 2R sin α = 2 · 10 · sin 45◦ ≈ 14, 14 cm

b

sin β= 2R → b = 2R sin β = 2 · 10 · sin 60◦ ≈ 17, 32 cm

c

sin γ= 2R → c = 2R sin γ = 2 · 10 · sin 75◦ ≈ 19, 32 cm


6 Ploscine geometrijskih likov

6.1 Ploscina trikotnika

Splosni trikotnik: Zanj poznamo vec formul za izracun ploscine - pac odvisno odtega , katere kolicine v njem poznamo.

S = a·va

2= b·vb

2= c·vc

2oziroma S = stranica · visina nanjo

2

S = ab sin γ

2= bc sin α

2= ac sin β

2oziroma S = stranica · stranica · sinus vmesnega kota

2

S =√

s(s − a)(s − b)(s − c) Heronova formula (s = a+b+c2

je polovicni obseg)

Pravokotni trikotnik: Tu pride v postev poleg zgornjih formul se ena, ki jo tudinajveckrat uporabimo

S = a·b2

oziroma S = ena kateta · druga kateta2

Enakostranicni trikotnik: S pomocjo kotnih funkcij in Pitagorovega izreka lahkoizpeljemo naslednjo formulo za ploscino.

S = a2·√

34


6.2 Ploscina pravokotnika in kvadrata

Pravokotnik: Formulo za izracun ploscine pravokotnika poznamo vsi, saj jo najveckratuporabljamo v vsakdanjem zivljenju.

S = a · b oziroma S = ena stranica · druga stranica

Kvadrat: Tudi to formulo poznamo iz vsakdanjega zivljenja.

S = a2 oziroma S = stranica na kvadrat

6.3 Ploscina paralelograma in romba

Paralelogram: Formulo za izracun ploscine paralelograma je zelo podobna formuliza ploscino trikotnika.

S = a · va = b · vb oziroma S = stranica · visina nanjo

S = ab sin α oziroma S = stranica · stranica · sinus vmesnega kota

Romb: Tudi to formulo poznamo iz vsakdanjega zivljenja.

S = a2 oziroma S = stranica na kvadrat


6.4 Ploscina trapeza in deltoida

Trapez:

S = a+c2

· v

Deltoid: Koliko platna potrebujemo za izdelavo zmaja? Formula je enaka, kot zaromb.

S = e·f2

oziroma S = ena diagonala · druga diagonala2


6.5 Vaje

1. Natancno izracunaj obseg in ploscino pravokotnega trikotnika s podatki: β =60◦, b = 5

√3 cm. [R: S = 25

√3 cm2, o = 15 + 5

√3 cm]

2. Natancno izracunaj ploscino pravokotnega trikotnika s podatki: α = 45◦,c = 16

√2 dm. [R: S = 8 dm2]

3. Natancno izracunaj ploscino pravokotnega trikotnika s podatki: β = 45◦, a =10 cm. [R: S = 100 m2]

4. Natancno izracunaj obseg in ploscino enakokrakega trikotnika s podatki: a =10 cm, c = 12 cm. [R: S = 48 cm2, o = 32 cm]

5. Natancno izracunaj obseg in ploscino enakokrakega trikotnika s podatki: vc =12 dm, a = 13 dm. [R: S = 60 dm2, o = 36 dm]

6. Natancno izracunaj obseg in ploscino enakokrakega trikotnika s podatki: α =30◦, c = 10

√3 m. [R: S = 36

√3 m2, o = 20 + 10

√3 m]

7. Natancno izracunaj obseg in ploscino enakokrakega trikotnika s podatki: α =30◦, a = 6 cm. [R: S = 9

√3 cm2, o = 12 + 6

√3 cm]

8. Natancno izracunaj obseg in ploscino enakostranicnega trikotnika s podatki:a = 5 cm. [R: S = 25

√3

4cm2, o = 15 cm]

9. Natancno izracunaj obseg in ploscino enakostranicnega trikotnika s podatki:v = 6

√3 dm. [R: S = 36

√3 dm2, o = 36 dm]

10. Natancno izracunaj ploscino enakostranicnega trikotnika s podatki: o = 18 m.[R: S = 9

√3 m2]

11. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino (splosnega) tri-kotnika s podatki: a = 5 cm, b = 8 cm, γ = 50◦. [R: S = 15, 32 cm2,o = 19, 13 cm]

12. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino (splosnega) tri-kotnika s podatki: c = 6 cm, b = 10 cm, α = 40◦. [R: S = 19, 28 cm2,o = 22, 64 cm]

13. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino (splosnega) tri-kotnika s podatki: a = 5 cm, b = 8 cm, β = 50◦. [R: S = 19, 61 cm2,o = 16, 69 cm]

14. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino (splosnega) tri-kotnika s podatki: c = 6 cm, b = 10 cm, β = 60◦. [R: S = 29, 99 cm2,o = 21, 66 cm]


15. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino (splosnega) tri-kotnika s podatki: a = 6 cm, b = 7 cm, c = 9 cm. [R: S = 20, 98 cm2,o = 22 cm]

16. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj ploscino (splosnega) trikotnika spodatki: b = 9 cm, c = 7 cm, o = 26 cm. [R: S = 27, 93 cm2]

17. Diagonala pravokotnika meri 13 cm, stranica a pa 5 cm. Natancno izracunajploscino in obseg. [R: S = 60 cm2, o = 34 cm]

18. Diagonala pravokotnika meri 9√

2 cm, kot med diagonalo in to stranico a pa45◦. Natancno izracunaj ploscino in obseg. [R: S = 81 cm2, o = 36 cm]

19. Stranica b pravokotnika meri 12 cm, kot med to stranico in diagonalo pa 60◦.Natancno izracunaj ploscino in obseg. [R: S = 144

√3 cm2,

o = 24(1 +√

3) cm]

20. Obseg pravokotnika meri 28 cm, stranici pa sta v razmerju a : b = 3 : 4.Natancno izracunaj ploscino in obseg. [R: S = 48 cm2, o = 10 cm]

21. diagonala kvadrata meri 10√

2 cm. Natancno izracunaj ploscino in obseg. [R:S = 100 cm2, o = 40 cm]

22. Ploscina kvadrata meri 64 cm2. Natancno izracunaj diagonalo kvadrata. [R:o = 8

√2 cm]

23. Stranici paralelograma merita 10 in 4 cm, kot med njima pa 120◦. Na dvedecimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino. [R: S = 34, 64 cm2,o = 28 cm]

24. Stranici paralelograma merita 9 in 5 cm, diagonala f pa 7 cm. Na dve deci-malni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino. [R: S = 34, 82 cm2,o = 28 cm]

25. Stranici paralelograma merita 11 in 6 cm, diagonala e pa 15 cm. Na dvedecimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino. [R: S = 56, 57 cm2,o = 34 cm]

26. Stranica romba meri 5 cm, diagnala f pa 8 cm. Natancno izracunaj ploscinoin obseg. [R: S = 24 cm2, o = 20 cm]

27. Stranica romba meri 13 cm, diagnala e pa 10 cm. Natancno izracunaj ploscinoin obseg. [R: S = 120 cm2, o = 40 cm]

28. Diagonala romba meri 10 cm, kot α = 50◦. Na dve decimalni mesti natancnoizracunaj obseg in ploscino. [R: S = 107, 23 cm2, o = 47, 32 cm]

29. Dan je enakokraki trapez s podatki: a = 10 cm, b = d = 5 cm, c = 4 cm.Natancno izracunaj ploscino in obseg. [R: S = 28 cm2, o = 24 cm]

30. Dan je enakokraki trapez s podatki: a = 11 cm, c = 7 cm, α = 70◦. Na dvedecimalni mesti natancno izracunaj obseg in ploscino. [R: S = 49, 45 cm2,o = 29, 7 cm]


c Osnovna geometrijska telesa

V vsakdanjem zivljenju srecamo nekatera geometrijska telesa, o katerih moramovedeti njihovo prostornino in povrsino:

• kvader (Koliko barve rabimo za barvanje ali fasado hise z merami. . . ?)

• prizma trapezaste oblike (Koliko materiala bomo dobili s kopanjem jarka tra-pezaste oblike z merami . . . ?)

• kocka (Koliko betona potrebujemo za izdelavo greznice z merami. . . ?)

• valj (Koliko litrov tekocine drzi sod valjaste oblike iz nerjavne plocevine zmerami. . . ?)

• piramida (Koliko kritine potrebujemo za pokritje strehe zvonika z merami. . . ?)

• krogla (Koliko kvadratnih metrov usnja potrebuje nasa firma za izdelavo tolikoin toliko nogometnih zog velikosti. . . ?)

Osnovna geometrijska telesa delimo na tri osnovne skupine:

• prizme in valji,

• piramide in stozci ter

• krogle.

V nadaljevanju si bimo ogledali skupne in posamezne znacilnosti teh teles.

Najprej pa nastejmo nekaj pojmov, ki jih bomo uporabljali v nadaljevanju:


Geometrijsko telo omejuje vec ploskev. Nekatere so osnovne ploskve, druge pa sostranske ploskve. Stranske ploskve tvorijo skupaj plasc telesa. Stiki osnovnihin stranskih ploskev so osnovni robovi, stiki stranskih ploskev pa stranski robovi.

Poleg dolzin osnovnih (oznaka a) in stranskih robov (oznaka s), visine teles (oznakav), dolzine diagonale (oznaka D) in podobno nas zanima tudi povrsina in prostor-nina teh teles. Za povrsino telesa se uporablja oznaka P, za ploscino osnovne ploskveS, za povrsino plasca telesa Spl, za prostornino pa V. Formule bomo srecali v nada-ljevanju.

Oznake v formulah torej pomenijo:

• a . . . dolzina osnovnega roba

• s . . . dolzina stranskega roba

• v . . . visina telesa

• r . . . polmer osnovne ploskve valja ali stozca ali pa polmer krogle

• D . . . dolzina telesne diagonale telesa

• S . . . ploscina osnovne ploskve

• Spl . . . povrsina plasca telesa

• P . . . povrsina telesa

• V . . . prostornina telesa

Geometrijska telesa so lahko pokoncna ali posevna. Geometrijsko telo je pokoncno,ce so stranski robovi pravokotni na osnovno ploskev, in posevna, ce niso pravokotni.

Geometrijsko telo je pravilno, ce je pokoncno in ce je osnovna ploskev pravilni n-kotnik (enakostranicni trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, . . . ).


Ker so posevna geometrijska telesa v vecini primerov mnogo tezja za obravnavo, sebomo omejili na pokoncna geometrijska telesa.

Ko govorimo o geometrijskih telesih, uporabljamo se nekaj izrazov:

• tristrana, stiristrana, petstrana, . . . prizma ali piramida imata za osnovno plo-skev trikotnik, stirikotnik, petkotnik . . .

• enakoroba prizma ali piramida je telo, ki ima vse robove (osnovne in stranske)enako dolge.

Zgled 1:

• Kaj je pravilna enakoroba stiristrana prizma? To je kocka.

• Kaj je pravilna tristrana enakoroba piramida? To je tetraeder.

7.1 Prizma

Prizma je oglato telo, omejeno z dvema vzporednima in skladnima n-kotnikoma(osnovni ploskvi) in n pravokotniki (plasc).

Visina prizme je razdalja med osnovnima ploskvama.

V = S · vP = 2S + Spl

Spl = o · vo je obseg osnovne ploskve.

Med prizme stejemo tudi kvader in kocko. Kvader je pokoncna stiristrana prizma,ki ima za osnovno ploskev pravokotnik. Kocka pa je pravilna stiristrana enakorobaprizma.

Ker sta kvader in kocka geometrijski telesi s posebno lepimi lastnostmi, so njuneformule za povrsino in prostornino se posebno enostavne:

Kvader:

P = 2S + Spl = 2ab + (2a + 2b)c = 2(ab + ac + bc)

V = S · v = ab · c = abc

Kocka:

P = 2S + Spl = 2a2 + 4a · a = 6a2

V = S · v = a · a · a = a3


Zgled 2: Kocko z robom 10 dm pretopimo v kvader z roboma 4 in 25 dm.Koliko merita visina in povrsina kvadra?

Prostornina kocke:Vko = a3 = 103 = 1000 dm3

Vko = Vkv

Prostornina kvadra:

Vkv = a · b · c = 4 · 25 · c = 100c

Visina kvadra (stranica c):

c =Vkv

100=

1000

100= 10 dm

Povrsina kvadra:

P = 2(ab + ac + bc) = 2(4 · 25 + 4 · 10 + 25 · 10) = 780 dm2

Zgled 3: Na dve decimalni mesti natancno izracunaj povrsino in prostorninopokoncne prizme z visino 10 cm, osnovna ploskev pa je trikotnik s podatki:b = 4 cm, c = 6 cm in α = 30◦.

Ploscina osnovne ploskve:

S =b · c · sin α

2=

4 · 6 · sin 30◦

2= 6 cm2

Dolzina tretje stranice s kosinusnim izrekom:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos α = 16 + 36 − 60 · 1

2= 20

a =√

20 = 2√

5 ≈ 4, 4721 cm

Obseg osnovne ploskve:

o = a + b + c = 14, 4721 cm

Plasc prizme:Spl = o · v = 144, 721 cm2

Povrsina:S = 2S + Spl = 2 · 6 + 144, 721 = 156, 721 cm2

Prostornina:V = S · v = 6 · 10 = 60 cm3


7.2 Valj

Valj je rotacijsko telo, ki ga dobimo z vrtenjem pravokotnika s stranicami r in v

okoli stranice v.

V = πr2v

P = 2πr2 + 2πrv = 2πr(r + v)

Spl = 2πrv

Valj je enakostranicen, ce je njegova visina enaka premeru osnovne ploskve.

Zgled 4: Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncnega valja zvisino 10 m, ploscina osnovne ploskve pa meri 25π m2.

Polmer osnovne ploskve:S = πr2

25π = πr2

r = 5 m

Plasc:Spl = 2πrv = 2π · 5 · 10 = 100π m2

Povrsina:S = 2S + Spl = 2 · 25π + 100π = 150π m2

Prostornina:V = S · v = 25π · 10 = 250π m3

7.3 Piramida

Piramida je oglato telo, omejeno z n-kotnikom (osnovna ploskev) in n trikotniki(plasc).

V =S · v

3

P = S + Spl

Plasc je sestavljen iz enakokrakihtrikotnikov.

Piramida je enakoroba, ce so vsi njeni robovi enako dolgi.


Zgled 5: Na dve decimalni mesti natancno izracunaj prostornino pokoncnepravilne stiristrane piramide z visino 15 cm in ploscino osnovne ploskve16 cm2.

V =S · v

3=

16 · 15

3= 80 cm3

7.4 Stozec

V =πr2v

3

P = πr2 + πrs = πr(r + s)

Spl = πrs

s je dolzina stranskega roba

Enakostranicni stozec ima stranski rob enak premeru osnovne ploskve.

Zgled 6: Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncnega stozca sstranskim robom 15 m in visino 9 m.

Stranski rob, visina in polmer osnovne ploskve tvorijo pravokotni trikotnik.S Pitagorovim izrekom lahko izracunamo polmer osnovne ploskve:

r2 = s2 − v2 = 152 − 92 = 225 − 81 = 144

r =√

144 = 12 m

Povrsina:P = πr(r + s) = π · 12(12 + 15) = 324π m2

Prostornina:

V =πr2v

3=

π · 122 · 93

= 432π m3

7.5 Krogla

V =4πr3

3

P = 4πr2


Zgled 7: Kroglo s povrsino 16π cm2 pretopimo v kocko. Izracunaj rob kockena dve decimalni mesti natancno.

Polmer krogle:4πr2 = 16π

r = 2 cm

Prostornina:

V =4πr3

3=

32π

3≈ 33, 5103216 = Vkocke

Rob kocke:a3 = V = 33, 5103216 cm3

a = 3, 22 cm

7.6 Vaje

1. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncneprizme z visino 8 cm, osnovna ploskev pa je trikotnik s podatki: a = 5 cm, b = 6 cmin γ = 60◦.

[R: P = 158, 52 cm2, V = 103, 92 cm3]

2. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncne enakorobe prizme, ki imaza osnovno ploskev romb z diagonalama e = 24 m in f = 10 m.

[R: P = 916 m3, V = 1560 m3]

3. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncne prizme z visino 6 cm,osnovna ploskev pa je pravokotni trikotnik s katetama 3 in 4 cm.

[R: P = 144 cm3, V = 216 cm3]

4. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncneenakorobe prizme, ki ima za osnovno ploskev enakostranicni trikotnik s stranico6 cm.

[R: P = 139, 18 cm2, V = 93, 53 cm3]

5. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncne prizme z visino 7 dm,ki ima za osnovno ploskev enakokraki trikotnik s stranicami a = b = 10 dm inc = 16 dm.

[R: P = 348 dm2, V = 336 dm3]

6. Prostornina pokoncne stiristrane prizme meri 105 m3, osnovna ploskev pa jepravokotnik s stranicami 3 in 5 m. Natancno izracunaj povrsino te prizme.

[R: P = 172 m2]


7. Povrsina pravilne pokoncne stiristrane enakorobe prizme meri 150 dm2. Natancnoizracunaj njeno prostornino.

[R: telo je kocka, V = 125 dm3]

8. Kvader z robovi 9, 8 in 3 cm pretopimo v kocko. Natancno izracunaj stranicokocke ter njeno povrsino in prostornino.

[R: a = 6 cm, P = 216 cm2, V = 216 cm3]

9. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pravilne pokoncne stiristrane enako-robe prizme z osnovnim robom 5 m.

[R: telo je kocka, P = 150 m3, V = 125 m3]

10. Natancno izracunaj prostornino pokoncne pravilne stiristrane piramide z osnov-nim robom 5 cm in visino 12 cm.

[R: V = 100 cm3]

11. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj povrsino pokoncne enakorobe pra-vilne stiristrane piramide z osnovnim robom 5 dm.

[R: P = 93, 30 dm2]

12. Natancno izracunaj prostornino pokoncne tristrane piramide, ki ima za osnovnoploskev pravokotnik s stranicama 5 in 7 m, visina pa meri 9 dm.

[R: V = 105 m3]

13. Natancno izracunaj prostornino pokoncne tristrane piramide, ki ima za osnovnoploskev pravokotni trikotnik s katetama 6 in 8 cm, visina pa je enaka dolzini tretjestranice trikotnika (hipotenuza).

[R: V = 240 cm3]

14. Na dve decimalni mesti natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncnegavalja z visino 7 dm, premer osnovne ploskve pa meri 10 dm.

[R: P = 120π ≈ 376, 99 dm2, V = 175π ≈ 549, 78 dm3]

15. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncnega valja z visino 10 m inobsegom osnovne ploskve 12π m.

[R: P = 192π m2, V = 360π m3]

16. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncnega stozca z visino 12 cm,premerom osnovne ploskve 10 cm in stranskim robom 13 cm.

[R: P = 90π cm2, V = 100π cm3]

17. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncnega stozca z visino 4 dm inpolmerom osnovne ploskve 3 dm.

[R: P = 48π dm2, V = 12π dm3]

18. Natancno izracunaj povrsino in prostornino pokoncnega stozca s stranskimrobom 15 m in premerom osnovne ploskve 18 m.


[R: P = 432π m2, V = 324π m3]

19. Natancno izracunaj povrsino in prostornino krogle s premerom 12 cm.[R: P = 144π cm2, V = 288π cm3]

20. Natancno izracunaj polmer in prostornino krogle s povrsino 36π dm2.[R: r = 3 dm, V = 36π dm3]

21. Natancno izracunaj polmer in povrsino krogle s prostornino 36π m3.[R: r = 3 dm, V = 36π dm3]


Documents

2 letnik matematika - IC GEOSS · 2018. 12. 16. · • Paralelogrami (sploˇsni paralelogram, romb, pravokotnik in kvadrat) • Trapezi (sploˇsni in enakokraki) • Deltoidi. 1.4