Sadrºaj

Sadrºaj i

1 Vektorska algebra 1

1.1 Orjentisane duºi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Modul, pravac i smjer vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Sabiranje vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Mnoºenje vektora skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Kolinearni i komplanarni vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Koordinatizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Skalarni proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8 Vektorski proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Mje²oviti proizvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

POGLAVLJE 1

Vektorska algebra

U ovom poglavlju prou£avat ¢emo jedan specijalni vektorski prostor - pros-tor vektora u trodimenzionalnom prostoru elementarne geometrije. Smatrat¢emo poznatim osnovne pojmove geometrije, kao i neke tvrdnje koje ih ka-rakteri²u.

Skup svih ta£aka trodimenzionalnog prostora ozna£avat ¢emo sa E (ili E3,da naglasimo da je rije£ o trodimenzionalnom prostoru, u tom slu£aju sa E2ozna£avamo ravan, a sa E1 pravu).

Poznato je da su dvije osnovne kategorije �zikalnih veli£ina skalarne ivektorske veli£ine. Za poznavanje skalarne veli£ine dovoljno je poznavatinjen iznos, dok je za poznavanje vektorske veli£ine potrebno pored iznosa,znati i pravac i smijer. Primjeri vektorskih veli£ina su brzina, ubrzanje, sila,impuls. Takoe neke geometrijske transformacije, poput translacije, mogubiti opisane pomo¢u vektora. Ovi, kao i mnogi drugi, primjeri ukazuju navaºnost ovog specijalnog vektorskog prostora.

Uobi£ajeno se vektor zami²lja kao duº sa strelicom, no matemati£ki is-pravna de�nicija je znatno sloºenija. U nastavku ¢emo precizno de�nirativektor, ukazati na njegovu vezu sa usmjerenom duºi i prou£avati osnovneoperacije sa vektorima. Takoe ¢emo uo£iti obostrano jednozna£nu kores-pondenciju vektora trodimenzionalnog prostora sa skupom R3.

1.1.Orjentisane duºi Doc. dr. Almasa Odºak

1.1 Orjentisane duži

Uobi£ajena intuitivna predodºba vektora kao �duºi sa strelicom� vi²e od-govara pojmu usmjerene ili orjentisane duºi nego pojmu vektora. Pojamusmjerene duºi uvodimo sljede¢om de�nicijom.

De�nicija 1.1. Neka su A i B bilo koje ta£ke prostora E. Ureen par na-zivamo usmjerena duº (to jeste, element skupa E × E). Ta£ku A zovemopo£etnom, a ta£ku B krajnjom ta£kom usmjerene duºi.

Usmjerenu duº ozna£avat ¢emo sa−→AB, pridruºujemo joj duº AB i pri

crtanju stavljamo strelicu. Iz de�nicije odmah slijedi da−→AB i

−→BA nisu iste

usmjerene duºi kad god je A ̸= B.Koriste¢i pojam usmjerene duºi de�nira se pojam vektora. Intuitivno, to

je skup svih paralelnih usmjerenih duºi jednake duºine.Za precizno de�niranje vektora, uvodimo sljede¢u relaciju na skupu svih

usmjerenih duºi u E × E , taj skup ozna£imo sa D.

De�nicija 1.2. Za usmjerene duºi−→AB i

−−→CD kaºemo da su ekvivalentne ako

duºi AD i BC imaju zajedni£ko sredi²te. Pi²emo−→AB ∼

−−→CD.

Mogu¢e su dvije situacije:

(a) Ta£ke A, B, C i D leºe na istom pravcu.

(b) Ta£ke A, B, C i D ne leºe na istom pravcu.

Primijetimo da u situaciji (b) posmatrane ta£ke £ine £etverougaoABCD, kojije paralelogram. Sjetimo se da je paralelogram £etverougao kojem oba parasuprotnih stranica leºe na paralelnim pravima. Pokazuje se da je £etverougaoparalelogram akko se dijagonale tog £etverougla polove.

Ova razmatranja, kao i prethodna de�nicija dovode nas do zaklju£ka dasu usmjerene duºi

−→AB i

−−→CD ekvivalentne akko je £etverougao ABCD para-

lelogram ili ta£ke A, B, C i D leºe na istoj pravoj i pri tom duºi AD i BCimaju zajedni£ko polovi²te.

Napomenimo da smo prethodna razmatranja proveli u slu£aju trodimen-zionalnog prostora E ×E = E3×E3, analogno vrijedi i za E2×E2 ili E1×E1.

Koriste¢i £injenicu da za duºi poredak krajnjih ta£aka nije bitan, interpre-taciju relacije ∼ pomo¢u paralelograma i osobine relacije paralelnosti moºese pokazati da relacija ∼ na skupu D zadovoljava osobinu re�eksivnosti, si-meri£nosti i tranzitivnosti. Dakle, vrijedi teorem.

2

1.1.Orjentisane duºi Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem 1.1. Relacija ∼ je relacija ekvivalencije na skupu usmjerenih duºiD.

injenica da svaka relacija ekvivalencije odreuje klase ekvivalencije, koje£ine particiju skupa na kojem je de�nirana posmatrana relacija omogu¢avanam uvoenje pojma vektora kao u sljede¢oj de�niciji.

De�nicija 1.3. Vektor je klasa ekvivalencije po relaciji ∼ na skupu D.1

Skup svih vektora trodimenzionalnog prostora ozna£avat ¢emo sa V 3.Klasu ekvivalencije odreenu sa

−→AB ozna£avat ¢emo [

−→AB] ili [

−→AB]∼, tj.

[−→AB] = {

−→PQ ∈ D :

−→PQ ∼

−→AB}.

Jasno,−→AB ∈ [

−→AB], kaºemo da je

−→AB predstavnik ili reprezentant vektora

[−→AB].

Vektore ozna£avamo malim slovima a⃗, b⃗, c⃗, . . . , x⃗, y⃗, z⃗, . . .Napomenimo da je potpuno analogno situacija i za dvodimenzionalni i

jednodimenzionalni slu£aj. U slu£aju da smo krenuli od E2 ili E1 umjesto E3potpuno analogno bi dobili skupove vektora V 2 i V 1. Za elemente skupa V 2

kaºemo da su vektori ravni, a za elemente skupa V 1 da su vektori na prevoj.Poznato je da su elementi jedne klase ekvivalencije meusobno ravno-

pravni u smislu da svaki od njih moºe biti izabran za predstavnika klase.Prilikom prou£avanja vektora i njihove upotrebe korisno je birati predstav-nike koji imaju po£etak u zadatoj ta£ci. O mogu¢nosti izbora takvog pred-stavnika nam govori sljede¢i teorem.

Teorem 1.2. Neka je a⃗ = [−→AB] i C ∈ E . Tada postoji jedinstvena ta£ka

D ∈ E takva da je a⃗ = [−−→CD].

Dokaz. Posmatrat ¢emo dvije mogu¢e situacije, kada ta£ka C leºi na pravojodreenoj ta£kama A i B i kada ne leºi na toj pravoj. U prvom slu£ajuta£ka D je jedinstvena ta£ka na pravoj odreenoj ta£kama A i B takva daduºi AC i DB imaju zajedni£ko sredi²te. Razmotrimo drugi slu£aj. Postojijedinstvena prava koja je paralelna pravoj odreenoj ta£kama A i B i prolazita£kom C. Ozna£imoje sa p. Takoe postoji jedinstvena prava koja prolazita£kom B, a paralelna je sa pravom odreenom ta£kama A i C. Ozna£imo jesa q. Presjek pravih p i q je ta£ka D. Jedinstvenost ta£ke slijedi iz rezultata

1Treba napomenuti da postoje i drugi na£ini de�niranja vektora.

3

1.2.Modul, pravac i smjer vektora Doc. dr. Almasa Odºak

euklidske geometrije. Po konstrukciji £etverougao ABDC je paralelogram,pa je

−−→CD ∼

−→AB. Dakle,

−−→CD moºe biti izabran za predstavnika vektora

a⃗.

Posmatrajmo vektor koji je odreen predstavnikom £ija se po£etna i kraj-nja ta£ka poklapaju. Dakle, razmotrimo situaciju [

−→AA]. Neka

−−→CD ∈ [

−→AA],

tada je−→AA ∼

−−→CD i duºi AD i AC imaju zajedni£ko sredi²te, a to je mogu¢e

samo ako je D = C, pa je [−→AA] = {

−→CC : C ∈ E}. Ovaj vektor nazivamo

nulavektorom i pi²emo 0⃗.Za a⃗ = [

−→AB], de�niramo −a⃗ kao vektor s predstavnikom

−→BA. Jednos-

tavno se pokaºe da−→BA ̸∈ [

−→AB] kada je A ̸= B. Vektor −a⃗ nazivamo suprot-

nim vektorom vektora a⃗. Jednostavno se zaklju£uje da vrijedi −(−a⃗) = a⃗.Pojmovi nulavektor i suprotni vektor asociraju na sli£ne pojmove nula

element i suprotni element koji se uvode u prou£avanju algebarskih struktura.Pokazat ¢emo, ne²to kasnije, da to i jesu neutralni i suprotni elemenat datogelementa u odnosu na operaciju sabiranja vektora.

1.2 Modul, pravac i smjer vektora

U ovom odjeljku ¢emo pokazati da svaki vektor moºe biti okarakterisan sasvoja tri osnovna svojstva, modulom, pravcem i smjerom.

Jasno je da svakoj usmjerenoj duºi moºemo pridruºiti duº zanemariva-njem usmjerenja. Duºina usmjerene duºi je duºina njoj pridruºene duºi. Po-kazat ¢emo da dvije usmjerne duºi koje su predstavnici istog vektora imajuistu duºinu. Neka je

−→AB,

−−→CD ∈ a⃗. Ako su A, B, C i D kolinearne ta£ke, iz £i-

njenice da AD i BC imaju zajedni£ko sredi²te S, slijedi da vrijede jednakosti|AS| = |SD|, |BS| = |SC|, pa je |AB| = |AS|− |SB| = |SD|− |SC| = |CD|(U prethodnim relacijama |MN | ozna£ava duºinu duºi MN). Dakle, duºineduºi AB i CD su jednake. Ako A, B, C i D nisu kolinearne, onda je ABCDparalelogram, pa je |AB| = |CD|. Dakle, dvije usmjerene duºi iz a⃗ imajuiste duºine. Pod modulom ili intenzitetom vektora a⃗ podrazumijevamo du-ºinu predstavnika

−→AB vektora a⃗. Pokazali smo da svi predstavnici imaju

istu duºinu pa je pojam modula vektora dobro de�niran. Jasno je da vrijedi∣∣∣⃗0∣∣∣ = 0.Ako je a⃗ ̸= 0⃗ i

−→AB ∈ a⃗, tada ta£ke A i B odreuju ta£no jednu pravu

koju nazivamo nosa£em usmjerene duºi. Ako je−−→CD neki drugi predstavnik

4

1.3.Sabiranje vektora Doc. dr. Almasa Odºak

posmatranog vektora a⃗, tada i ta£ke C i D odreuju jednu i samo jednupravu. Kako je

−→AB ∼

−−→CD, to su A, B, C, D kolinearne ili £ine paralelogram

ABCD. U oba slu£aja prave su paralelne, pa odreuju isti pravac paralelnihpravih, kojeg nazivamo pravcem vektora a⃗. Ako je a⃗ = 0⃗, tada je

←−AB njegov

predstavnik samo za A = B, ali tada kroz jednu ta£ku prolazi beskona£nomnogo pravih, pa kaºemo da pravac nula vektora nije odreen.

Za dva vektora kaºemo da su kolinearni ako imaju isti pravac. Dogovoromsmatramo da je nulavektor kolinearan sa svim vektorima.

Neka su−→AB i

−−→CD dvije kolinearne usmjerene duºi, neka su im nosa£i

razli£iti, tada te ta£ke odreuju jednu ravan, a ta£ke A i C jednu pravu pu toj ravni. Ako ta£ke B i D pripadaju istoj poluravni odreenoj pravomp kaºemo da orjentisane duºi imaju isti smjer, a ako ta£ke B i D pripadajurazli£itim poluravnima kaºemo da su

−→AB i

−−→CD suprotnog smjera. U slu£aju

kad se nosa£i poklapaju, mogu¢i presjeci polupravih pp(AB) i pp(CD)2 suta£ka A, duº AC ili jedna od tih polupravih. U prve dvije situacije kaºemo dausmjerene duºi imaju suprotan smjer, a u tre¢oj da imaju isti smjer. Vaºnoje napomenuti da samo za kolinearne vektore moºe govoriti da li su isto ilisuprotno orjentirani.

Sve navedeno implicira sljede¢u tvrdnju.

Teorem 1.3. Vektor je jednozna£no odreen svojim modulom, pravcem ismjerom.

1.3 Sabiranje vektora

U ovom odjeljku ¢emo uvesti operaciju sabiranja za vektore i razmotriti oso-bine te operacije.

De�nicija 1.4. Neka je a⃗, b⃗ ∈ V 3, a⃗ = [−→AB], b⃗ =

−−→BC. Zbir vektora a⃗ i b⃗

a⃗+ b⃗ odreen je predstavnikom−→AC. Dakle,

a⃗+ b⃗ = [−→AC].

Ukoliko se sabiranje vektora vr²i prema gornjoj de�niciji kaºemo da jekori²teno pravilo trougla ili pravilo nadovezivanja.

Pokaºimo da je prethodna de�nicjia korektna, da ne zavisi od izborapredstavnika. Neka su za vektore a⃗ i b⃗ pored ranije odabranih predstavnika

2pp(AB) ozna£ava polupravu £ija je po£etna ta£ka A, a sadrºi ta£ku B.

5

1.4.Mnoºenje vektora skalarom Doc. dr. Almasa Odºak

−→AB i

−−→BC, odabrani predstavnici

−−→A′B′ i

−−→B′C ′, respektivno. etverouglovi

ABB′A′ i BCC ′B′ su paralelogrami, pa su AA′ i BB′ paralelni i jednakihduºina, kao i BB′ i CC ′, pa slijedi da su takve i duºi AA′ i CC ′. Onda jeACC ′A′ paralelogram, pa je

−→AC ∼

−−→A′C ′. Sli£no se pokazuje da je de�nicija

dobra i u slu£aju kada ta£ke A, B i C leºe na istoj pravoj.Sabiranje se moºe de�nirati koriste¢i predstavnike s istim po£etkom. Neka

je a⃗ = [−→OA], b⃗ = [

−−→OB], tada je a⃗+ b⃗ = [

−→OC], pri £emu je C jedinstvena ta£ka

takva da je OACB paralelogram.Ovaj metod sabiranja nazivamo pravilom paralelograma. Analogno se

pokazuje da je i ova de�nicija nezavisna od izbora predstavnika. Izborom[−→AC] za predstavnika vektora b⃗ pokazuje se da su de�nicije ekvivalentne.

Naredna teorema daje neke osnovne osobine sabiranja vektora.

Teorem 1.4. Neka su a⃗, b⃗, c⃗ ∈ V 3 po volji odabrani, tada vrijedi

(a) a⃗+ b⃗ ∈ V 3,

(b) (⃗a+ b⃗) + c⃗ = a⃗+ (⃗b+ c⃗),

(c) a⃗+ 0⃗ = 0⃗ + a⃗ = a⃗,

(d) a⃗+ (−a⃗) = −a⃗+ a⃗ = 0⃗,

(e) a⃗+ b⃗ = b⃗+ a⃗.

Prethodni teorem se jednostavno dokazuje primjenom de�nicije sabiranjai pogodnim izborom predstavnika pojedinih vektora. Ovaj teorem nam go-vori da je skup vektora trodimenzionalnog euklidskog prostora sa uvedenomoperacijom sabiranja Abelova grupa. Dakle, (V 3,+) je Abelova grupa.

1.4 Množenje vektora skalarom

U ovom odjeljku uvodimo operaciju mnoºenja vektora skalarom. Razmotrit¢emo situaciju kada su skalari iz skupa relanih brojeva.

De�nicija 1.5. Mnoºenje vektora skalarom je operacija: R× V 3 → V 3 kojaureenom paru (α, a⃗) pridruºuje vektor αa⃗ za koji vrijedi

(i) |αa⃗| = |α| |⃗a|

6

1.4.Mnoºenje vektora skalarom Doc. dr. Almasa Odºak

(ii) pravac je kao kod vektora a⃗ (ako su a⃗ i αa⃗ razli£iti od 0⃗)

(iii) smjer je jednak kao kod vektora a⃗ za α > 0, a suprotan za α < 0.

Primijetimo da je αa⃗ = 0⃗ akko je α = 0 ili a⃗ = 0⃗.Zaista,

(⇒) Po de�niciji je |αa⃗| = |α| |⃗a|, pa |αa⃗| = 0 implicira |α| |⃗a| = 0, odnosno|α| = 0 ili |⃗a| = 0, pa je α = 0 ili a⃗ = 0⃗.

(⇐) Ako je α = 0 ili a⃗ = 0⃗ tada je |αa⃗| = |α| |⃗a| = 0.

Sljede¢i teorem nam govori da je suprotni vektor vektora a⃗ jednak rezultatumnoºenja vektora a⃗ sa skalarom −1.

Teorem 1.5. Za svaki vektor a⃗ ∈ V 3 vrijedi (−1)⃗a = −a⃗.

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti koriste¢i tvrdnju da je vektor u potpunosti odre-en svojim modulom, pravcem i smjerom. Posmatrajmo vektor a⃗, njemusuprotan vektor je −a⃗, po de�niciji on ima isti modul i pravac kao i vektora⃗, a smjer mu je suprotan. Po de�niciji skalarnog mnoºenja vektor (−1)⃗aima modul |(−1)⃗a| = |(−1)||⃗a| = |⃗a|, dakle, isti kao i vektor a⃗. Pravci suim takoe isti, a kako je −1 < 0, to je smjer vektora (−1)⃗a suprotan smjeruvektora a⃗. Dakle, vektor (−1)⃗a ima isti modul i pravac kao i vektor a⃗, a smjermu je suprotan. Kako smo do²li do istog zaklju£ka i za vektor −a⃗ tvrdnjavrijedi.

Razliku vektora a⃗− b⃗ de�niramo kao a⃗+ (−b⃗).Naredni teorem daje bitne osobine mnoºenja vektora skalarom.

Teorem 1.6. Neka su a⃗, b⃗ po volji odabrani vektori iz V 3 i α i β realnibrojevi, vrijedi

(a) αa⃗ ∈ V 3,

(b) α(βa⃗) = (αβ)⃗a,

(c) α(⃗a+ b⃗) = αa⃗+ α⃗b,

(d) (α + β)⃗a = αa⃗+ βa⃗,

(e) 1a⃗ = a⃗.

7

1.5.Kolinearni i komplanarni vektori Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem se dokazuje koriste¢i de�niciju mnoºenja vektora skalarom i tvrd-nju koja govori da je svaki vektor u potpunosti odreen svojim intenzitetom,pravcem i smjerom.

Osobine vektora navedene u posljednjem teoremu zajedno sa ranije izve-denim zaklju£kom da je (V 3,+) Abelova grupa govore nam da je V 3 vektorskiprostor nad poljem R. Dakle, (V 3,+, ·), gdje + predstavlja operaciju sabi-ranja vektora, a · operaciju mnoºenja vektora skalarom, je vektorski prostor.Kako u op²tem vektorskom prostoru, tako specijalno i u (V 3,+, ·), mogu¢eje govoriti o lineranoj kombinaciji vektora, linearnoj zavisnosti i linearnojnezavisnosti.

1.5 Kolinearni i komplanarni vektori

Pojmovi kolinearnosti i komplanarnosti su zna£ajni za vektore. Uvodimo ihu nastavku i dajemo vezu sa linearnom zavisno²¢u.

De�nicija 1.6. Za dva vektora kaºemo da su kolinearni ako imaju isti pra-vac.

Obzirom da pravac za nula vektor nije odreen smatra se da je nula vektorkolinearan sa svakim vektorom. Za vektore koji nisu kolinearni kaºemo dasu nekolinearni.

Iz de�nicije mnoºenja vektora skalarom slijedi da su vektori a⃗ i αa⃗ koli-nearni. Sljede¢i teorem nam govori da vrijedi i obrat.

Teorem 1.7. Neka su a⃗ i b⃗ kolinearni vektori i a⃗ ̸= 0⃗. Tada postoji ta£nojedan realan broj α takav da je b⃗ = αa⃗.

injenica da jednakost b⃗ = αa⃗ iz prethodnog teorema moºemo napisatikao αa⃗− b⃗ = 0⃗ ili u slu£aju kada vektori a⃗ i b⃗ zamijene uloge kao −a⃗+ α⃗b = 0⃗,odnosno op¢enito kao αa⃗+ βb⃗ = 0⃗, implicira da vrijede sljede¢e tvrdnje.

Teorem 1.8. Vektori a⃗ i b⃗ su kolinearni ako i samo ako postoji netrivijalanizbor skalara α i β takav da je αa⃗+ βb⃗ = 0⃗.

Teorem 1.9. Vektori a⃗ i b⃗ su nekolinearni ako i samo ako αa⃗ + βb⃗ = 0⃗implicira da je α = β = 0.

Pojam komplanarnosti vezan je za paralelnost vektora nekoj ravni. Slje-de¢om de�nicijom ga uvodimo.

8

1.5.Kolinearni i komplanarni vektori Doc. dr. Almasa Odºak

De�nicija 1.7. Za vektor a⃗ = [−→AB] kaºemo da je paralelan ravni π ako je

prava odreena ta£kama A i B paralelna ravni π. Za vektore prostora V 3

kaºemo da su komplanarni ako su paralelni istoj ravni.

Za vektore koji nisu komplanarni kaºemo da su nekomplanarni. Primije-timo da je prethodna de�nicija korektna, ne zavisi od izbora predstavnika,jer su svi predstavnici nekog vektora meusobno paralelni.

Neposredno iz de�nicije komplanarnosti slijedi da su kolinearni vektorikomplanarni i da su svaka dva vektora prostora V 3 komplanarna.

Jos jedna vaºna osobina kolinearnih vektora data je u sljede¢em teoremu.

Teorem 1.10. Neka su a⃗ i b⃗ nekolinearni vektori. Svaki vektor c⃗ kompla-naran s njima moºe se na jedinstven na£in razloºiti po tim vektorima, tj.napisati u obliku c⃗ = αa⃗+ βb⃗, gdje su α i β realni skalari.

Karakterizaciju komplanarnih i nekomplanarnih vektora, sli£no kao i koli-nearnih i nekolinearnih, moºemo izvr²iti koriste¢i osobinu linearne zavisnostii nezavisnosti.

Teorem 1.11. Vektori a⃗, b⃗ i c⃗ su komplanarni ako i samo ako postoji netri-vijalan izbor skalara α, β i γ takav da je αa⃗+ βb⃗+ γc⃗ = 0⃗.

Teorem 1.12. Vektori a⃗, b⃗ i c⃗ su nekomplanarni ako i samo ako αa⃗+ βb⃗+γc⃗ = 0⃗ implicira da je α = β = γ = 0.

Vaºan rezultat koji nam govori o bazi prostora vektora V 3 je sadrºan usljede¢oj teoremi.

Teorem 1.13. Neka su a⃗, b⃗ i c⃗ nekomplanarni vektori. Svaki vektor x⃗ pros-tora V 3 moºe se na jedinstven na£in razloºiti po tim vektorima, tj. napisatiu obliku x⃗ = αa⃗+ βb⃗+ γc⃗, gdje su α, β i γ realni skalari.

Dakle, ovaj teorem nam govori da svaka tri nekomplanarna vektora £inebazu prostora V 3, pa je taj prostor kona£no generisan i dimenzija mu je 3.

Za baze prostora V 3 uvode se pojmovi desne i lijeve baze. Neka je databaza (⃗a, b⃗, c⃗), neka su predstavnici vektora baze izabrani tako da imaju zajed-ni£ki po£etak, neka su predstavnici

−→OA,

−−→OB i

−→OC, respektivno. Posmatrajmo

trougao OAB iz ta£ke C. Kaºemo da je ovaj trougao pozitivno orijentiranako je najkra¢i obilazak O → A → B suprotan kretanju kazaljke na satu,tada kaºemo da je baza (⃗a, b⃗, c⃗) desno orijentirana ili desna baza. U protiv-nom kaºemo da je lijevo orijentirana ili lijeva baza.

9

1.6.Koordinatizacija Doc. dr. Almasa Odºak

1.6 Koordinatizacija

Pod pojmom koordinatizacije podrazumijevamo izbor koordinatnog sistema,koji se sastoji u izboru baze i koordinatnog po£etka. Teorem 1.13 nam govorida postoji ta£no jedna ureena trojka (α, β, γ) takva da za proizvoljan vektorx⃗ vrijedi x⃗ = αa⃗ + βb⃗ + γc⃗, pri £emu vektori a⃗, b⃗ i c⃗ £ine bazu prostora V 3.Trojku (α, β, γ) nazivamo koordinatama ili komponentama vektora x⃗ po bazi(⃗a, b⃗, c⃗). Kaºe se da je vektor x⃗ razloºen po posmatranoj bazi. Obzirom najedinstvenost komponenti u posmatranom razlaganju za datu bazu mogu¢eje posmatrati preslikavanje k : V 3 → R3 de�nisano sa

k(x⃗) = k(αa⃗+ βb⃗+ γc⃗) = (α, β, γ),

koje je bijekcija. Pi²e se x⃗ = (α, β, γ).Ovo preslikavanje nam omogu¢ava predstavljanje vektora pomo¢u realnih

brojeva. Operacije s vektorima se pojednostavljuju, jer se operacije s vekto-rima svode na odgovaraju¢e operacije u R3, dakle na operacije s brojevima.O tome nam govori naredni teorem.

Teorem 1.14. Neka je x⃗ = (α1, β1, γ1) i y⃗ = (α2, β2, γ2). Tada je

x⃗+ y⃗ = (α1 + α2, β1 + β2, γ1 + γ2),

ax⃗ = (aα1, aβ1, aγ1).

Treba napomenuti da se u prethodnoj teoremi podrazumijeva da su kom-ponente vektora x⃗ i y⃗, kao i rezultuju¢ih vektora date u odnosu na istu bazu.

Za uvoenje koordinatnog sistema pored izbora baze treba izabrati i ko-ordinatni po£etak. Ureen par (O, (e⃗1, e⃗2, e⃗3)) ta£ke O prostora E i baze(e⃗1, e⃗2, e⃗3) naziva se koordinatni sistem. Za proizvoljnu ta£ku M prostoraE , vektor [

−−→OM ] naziva se radijus vektorom ta£ke M . Komponente (α, β, γ)

radijus vektora u odnosu na bazu (e⃗1, e⃗2, e⃗3) nazivaju se koordinatama ta£keM .

esto se prilikom koordinatizacije prostora uvode specijalni zahtjevi zaelemente baze. Ukoliko zahtijevamo da su elementi baze jedini£ni vektori, tojeste da im je modul 1, i da su meusobno okomiti onda govorimo o orto-normiranoj bazi. esto se zahtijeva i da baza bude desno orijentirana. Bazakoja zadovoljava navedene uslove obiljeºava se sa (⃗i, j⃗, k⃗). Odgovaraju¢i koor-dinatni sistem se naziva Descartesovim pravouglim koordinatnim sistemom.

10

1.6.Koordinatizacija Doc. dr. Almasa Odºak

Navedena razmatranja su se odnosila na trodimenzionalni euklidski prostor iprostor vektora V 3. Sli£na razmatranja vrijede i za ravan i pravac, odnosnoprostore vektora V 2 i V 1. Zaklju£uje se da postoji bijektivno preslikavanjeskupova V 2 i V 1 u skupove R2 i R, respektivno

U nastavku ¢emo opisati postupak koordinatizacije na pravcu, u ravnii trodimenzionalnom prostoru. Po²to je postupak induktivan polazimo odpravca.

• Koordinatizaciju pravca vr²imo na sljede¢i na£in. Prvo odaberemo ko-ordinatni po£etak O, a potom pravu p koja prolazi ta£kom O. Pravojp pridruºimo brojnu pravu, tako da vrijednosti 0 odgovara koordinatnipo£etak O. Odaberemo ta£ku I tako da ona odgovara broju 1 na broj-noj pravoj. Vektor i⃗ de�niramo tako ²to stavimo da je i⃗ = [

−→OI]. Iz

na£ina odabira ta£ke I slijedi da je |⃗i| = 1. Na ovaj na£in je uvedenkoordinatni sistem (O, (⃗i)) pravca. Brojnu pravu pridruºenu pravoj pnazivamo apscisom ili x-osom. Svakoj ta£ki A pravca jednozna£no jepridruºen vektor a⃗ = [

−→OA], kao i komponenta x u odnosu na datu bazu.

Koriste¢i teorem 1.7 i osobine mnoºenja vektora skalarom zaklju£ujemoda je prikaz a⃗ = x⃗i jednozna£an. Pi²e se [

−→OA] = (x).

• Koordinatizaciju ravni π vr²imo tako ²to u njoj odaberemo koordinatnipo£etak O, a potom prave p i q koja prolaze ta£kom O i meusobno suokomite. Na pravima p i q izvr²imo kordinatizaciju kako je opisano, tojeste uvedemo koordinatne sisteme (O, (⃗i)) i (O, (⃗j)), gdje je i⃗ = [

−→OI]

i j⃗ = [−→OJ ] i ta£ke I i J su odabrane tako da se ta£ka I rotacijom

oko ta£ke O za ugao od π/2 u pozitivnom smjeru slika u ta£ku J . Naovaj na£in je uveden desni ortonormirani koordinatni sistem u ravni(O, (⃗i, j⃗)). Brojnu pravu pridruºenu pravoj p nazivamo apscisom ili x-osom, onu pridruºenu pravoj q ordinatom ili y-osom. Ravan π osamaje podijeljena na £etiri dijela koja nazivamo kvadrantima. Svakoj ta£kiA ravni jednozna£no je pridruºen vektor a⃗ = [

−→OA], kao i komponente

x i y u odnosu na datu bazu. Koriste¢i teorem 1.10 zaklju£ujemo da jeprikaz a⃗ = x⃗i+ yj⃗ jednozna£an. Pi²e se [

−→OA] = (x, y).

• Koordinatizacija prostora se vr²i na sljede¢i na£in. Prvo odaberemokoordinatni po£etak O i meusobno okomite prave p, q i r koji prolazekroz ta£ku O. U ravnini odreenoj pravima p i q de�niramo desni orto-normirani koordinatni sistem (O, (⃗i, j⃗)), kakoje ve¢ opisano, a na pravoj

11

1.7.Skalarni proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

r koordinatni sistem (O, (k⃗)) tako da vektori i⃗, j⃗ i k⃗ £ine desnu bazu.Na ovaj na£in je de�niran ortonormirani koordinatni sistem (O, (⃗i, j⃗, k⃗))u euklidskom prostoru E .Brojne prave pridruºene pravim p, q i r nazivaju se apscisa, ordinatai aplikata, odnosno x-osa, y-osa i z-osa, respektivno. Ravni odreeneovim osama nazivaju se koordinatnim ravnima i prostor dijele na osamoktanata.

Svakoj ta£ki A prostora jednozna£no je pridruºen vektor a⃗ = [−→OA],

kao i komponente x, y i z u odnosu na datu bazu. Koriste¢i teorem1.13 zaklju£ujemo da je prikaz a⃗ = x⃗i + yj⃗ + zk⃗ jednozna£an. Pi²e se[−→OA] = (x, y, z).

1.7 Skalarni proizvod

Pored navedenih operacija za vektore mogu¢e je uvesti i proizvode vektora.Razlikuju se skalarni, vektorski i mje²oviti proizvod vektora. Prvo ¢emode�nirati skalarni proizvod i razmotriti njegove osobine.

Za uvoenje pojma skalarnog proizvoda trebamo uvesti pojam ugla iz-meu dva vektora.

Neka a⃗, b⃗ ∈ V 3, a⃗ ̸= 0⃗, b⃗ ̸= 0⃗. Pod uglom izmeu ovih vektora podra-zumijevamo mjerni broj ugla ]AOB (gdje je a⃗ = [−→OA], b⃗ = [−−→OB]) koji senalazi u intervalu [0, π]. Smatramo da je ugao neorjentiran.

Ako je bar jedan od vektora a⃗ ili b⃗ nula vektor, ugao izmeu tih vektorase ne de�nira.

Moºe se pokazati da ova de�nicija ugla izmeu vektora ne zavisi od izborapredstavnika. Naime, svi predstavnici jednog vektora su meusobno para-lelni, a uglovi sa paralelnim kracima su jednaki. Obzirom da posmatramoneorijentisani ugao slijedi da je ](⃗a, b⃗) = ](⃗b, a⃗).

Specijalno, ako je ](⃗a, b⃗) = π2kaºemo da su vektori a⃗ i b⃗ okomiti i pi²emo

a⃗ ⊥ b⃗.U slu£aju kada su a⃗, b⃗ kolinearni, onda je ](⃗a, b⃗) = π ili ](⃗a, b⃗) = 0. U

prvom slu£aju vektori su suprotno orjentirani, a u drugom isto orjentirani.Vrijedi i obrat, to jeste, ako je ugao izmeu dva vektora 0 ili π onda suposmatrani vektori kolinearni.

Sljede¢om de�nicijom se uvodi skalarno mnoºenje vektora.

12

1.7.Skalarni proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

De�nicija 1.8. Skalarno mnoºenje vektora je operacija · : V 3 × V 3 → Rkoja

(a) vektorima a⃗, b⃗ ̸= 0⃗ pridruºuje skalar

a⃗ · b⃗ = |⃗a||⃗b| cos](⃗a, b⃗),

(b) vektorima a⃗, b⃗ od kojih je bar jedan 0⃗ pridruºuje a⃗ · b⃗ = 0.

Vrijednost a⃗ · b⃗ nazivamo skalarnim proizvodom vektora a⃗ i b⃗.

Skalarnim proizvodom se karakteri²u okomiti vektori. Vrijedi sljede¢iteorem.

Teorem 1.15. Neka je a⃗, b⃗ ∈ V 3, a⃗ ̸= 0⃗, b⃗ ̸= 0⃗. a⃗ ⊥ b⃗ ako i samo ako jea⃗ · b⃗ = 0.

Dokaz. Obzirom da je tvrdnja u formi ekvivalencije dokazivat ¢emo je u dvakoraka. Neka a⃗ i b⃗ zadovoljavaju uslov teoreme.

(⇒) Prvo pretpostavimo da je a⃗ ⊥ b⃗, tada je ](⃗a, b⃗) = π2, pa je cos](⃗a, b⃗) =

0, odnosno a⃗ · b⃗ = |⃗a||⃗b| · 0 = 0.

(⇐) Neka je sada a⃗ · b⃗ = 0. Tada je |⃗a||⃗b| cos](⃗a, b⃗) = 0, pa kako je popretpostavci |⃗a| ̸= 0, |⃗b| ̸= 0, to mora biti cos](⃗a, b⃗) = 0 pa, obziromna ograni£enje uvedeno za uglove pri de�niranju ugla izmeu vektora,slijedi da je ](⃗a, b⃗) = π

2, odnosno a⃗ ⊥ b⃗.

Teorem je dokazan.

Specijalno ukoliko posmatramo skalarni proizvod vektora sa samim sobomslijedi da je a⃗ · a⃗ = |⃗a||⃗a| cos](⃗a, a⃗) = |⃗a|2. Pi²emo a⃗ · a⃗ = a⃗2.

Iz de�nicije skalarnog proizvoda i osobine funkcije kosinus slijedi da vrijedi

a⃗ · b⃗ ≥ 0 za ](⃗a, b⃗) ≤ π2,

a⃗ · b⃗ < 0 za ](⃗a, b⃗) > π2,

imaju¢i na umu ograni£enje da se pod uglom izmeu dva vektora smatraugao iz zatvorenog intervala [0, π].

Sljede¢e dvije teoreme daju neke od najzna£ajnijih osobina skalarnogmnoºenja.

13

1.7.Skalarni proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem 1.16. Neka a⃗, b⃗ ∈ V 3. Vrijedi

(i) (⃗a+ b⃗)2 = a⃗2 + 2a⃗ · b⃗+ b⃗2,

(ii) (⃗a− b⃗)2 = a⃗2 − 2a⃗ · b⃗+ b⃗2.

Ovaj dokaz se moºe izvesti razmatraju¢i posebno situacije kada su vektorikolinearni istog smjera, kolinearni suprotnog smjera i kada su nekolinearni. Uprva dva slu£aja se koristi de�nicija sabiranja pomo¢u pravila nadovezivanja,a u posljednjoj situaciji kosinusna teorema.

Naredni teorem se dokazuje koriste¢i de�niciju skalarnog proizvoda i oso-bine ranije uvedenih operacija.

Teorem 1.17. Neka je a⃗, b⃗ ∈ V 3 i λ ∈ R.

(a) a⃗2 ≥ 0,

(b) a⃗2 = 0 ako i samo ako je a⃗ = 0⃗,

(c) a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗,

(d) (λa⃗) · b⃗ = λ(⃗a · b⃗) = a⃗ · (λ⃗b),

(e) a⃗ · (⃗b+ c⃗) = a⃗ · b⃗+ a⃗ · c⃗,

(f) (⃗a+ b⃗) · c⃗ = a⃗ · c⃗+ b⃗ · c⃗.

Na kraju ovog odjeljka razmotrimo na£in ra£unanja skalarnog proizvodavektora ukoliko su vektori zadati svojim komponentama u ortonormiranojbazi (⃗i, j⃗, k⃗). Kako su vektori ortonormirane baze nenulti vektori koji sumeusobno okomiti iz de�nicije skalarnog mnoºenja slijedi da je

· i⃗ j⃗ k⃗i⃗ 1 0 0j⃗ 0 1 0k⃗ 0 0 1

Neka su a⃗ i b⃗ vektori prostora V 3 dati svojim koordinatama a⃗ = (a1, a2, a3)i b⃗ = (b1, b2, b3) u odnosu na ortonormiranu bazu

(⃗i, j⃗, k⃗

). Tada je

I a⃗ · b⃗ = a1b1 + a2b2 + a3b3,

14

1.8.Vektorski proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

I |⃗a| =√

a21 + a22 + a

23,

Icos](⃗a, b⃗) = a1b1 + a2b2 + a3b3√

a21 + a22 + a

23

√b21 + b

22 + b

23

=a⃗ · b⃗|⃗a||⃗b|

.

Specijalno, ukolio posmatramo kosinuse uglova proizvoljnog vektora a⃗ sa vek-torima baze zaklju£ujemo da je

cos](⃗a, i⃗) = a1|⃗a|

, cos](⃗a, j⃗) = a2|⃗a|

, cos](⃗a, k⃗) = a3|⃗a|

.

Neposrednim uvr²tavanjem dobijamo da vrijedi

cos2](⃗a, i⃗) + cos2 ](⃗a, j⃗) + cos2 ](⃗a, k⃗) = 1.

Napomenimo da se skalarni produkt moºe de�nirati i za vektore iz pros-tora ve¢e dimenzije.

1.8 Vektorski proizvod

U ovom odjeljku uvodimo vektorsko mnoºenje vektora i razmatramo osobineovog proizvoda.

De�nicija 1.9. Vektorsko mnoºenje vektora je operacija × : V 3×V 3 → V 3koja paru vektora (⃗a, b⃗) pridruºuje vektor c⃗ = a⃗×b⃗ de�niran na sljede¢i na£in:

(i) Ako su a⃗ i b⃗ kolinearni, onda je c⃗ = 0⃗,

(ii) Ako a⃗ i b⃗ nisu kolinearni, onda je

(a) |⃗c| = |⃗a||⃗b| sin](⃗a, b⃗),(b) pravac vektora c⃗ je okomit na pravac od a⃗ i od b⃗,

(c) smjer vektora c⃗ je takav da je{a⃗, b⃗, c⃗

}desno orijentirana baza

prostora V 3.

a⃗× b⃗ nazivamo vektorskim proizvodom vektora a⃗ i b⃗.

15

1.8.Vektorski proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

Intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora ima i svoju geometrijsku ka-rakterizaciju. Naime |⃗a × b⃗| jednako je povr²ini paralelograma odreenogvektorima a⃗ i b⃗. Pod paralelogramom odreenim sa dva vektora podra-zumijevamo paralelogram konstruisan nad njihovim predstavnicima koji suodabrani tako da imaju zajedni£ki po£etak. Poznato je iz geometrije da jepovr²ina paralelograma jednaka produktu baze i visine. Baza je jednaka in-tenzitetu jednog od vektora nad kojim je paralelogram konstruisan, a visinumoºemo izraziti koriste¢i osobinu funcije sinus u pravouglom trouglu £ija jejedna stranica drugi vektor nad kojim je paralelogram konstruisan, a drugavisina paralelograma. Ugao naspram visine u tom trouglu je ugao izmeuvektora nad kojim je paralelogram konstruisan. Slijedi da je sin](⃗a, b⃗) = h

|⃗b|,

pa je h = |⃗b| sin](⃗a, b⃗). Sada je P = |⃗a| · h = |⃗a||⃗b| sin](⃗a, b⃗).Vektorskim proizvodom se karakteri²u kolinearni vektori.

Teorem 1.18. a⃗× b⃗ = 0⃗ ako i samo ako su vektori a⃗ i b⃗ kolinearni.

Dokaz. Dokaz ¢emo izvesti u dva dijela.

(⇒) Prvo pretpostavimo da je a⃗ × b⃗ = 0⃗. Neka a⃗ i b⃗ nisu kolinearni, tadaje prema de�niciji vektorskog mnoºenja |⃗a × b⃗| = |⃗a||⃗b| sin](⃗a, b⃗), apo pretpostavci je |⃗a × b⃗| = |⃗0| = 0. Po²to vektori nisu kolinearnito je sin](⃗a, b⃗) ̸= 0, pa mora biti |⃗a| = 0 ili |⃗b| = 0. Slijedi da jea⃗ = 0⃗ ili b⃗ = 0⃗, a to je suprotno nekolinearnosti jer se smatra da jenulavektor kolinearan sa svakim vektorom. Dakle, ovo je kontradikcija,pa je pretpostavka da a⃗ i b⃗ nisu kolinearni pogre²na. Slijedi da su onikolinearni.

(⇐) Ovaj dio tvrdnje slijedi direktno iz dijela (i) de�nicije vektorskog mno-ºenja.

Primjenom prethodne teoreme na vektorsko mnoºenje vektora sa samimsobom dobijemo sljede¢u posljedicu.

Posljedica 1.19. Neka je a⃗ ∈ V 3, tada je a⃗× a⃗ = 0⃗.

Naredni teorem daje osnovne osobine vektorskog mnoºenja.

Teorem 1.20. Neka je a⃗, b⃗, c⃗ ∈ V 3 i λ ∈ R. Tada vrijedi

16

1.8.Vektorski proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

(a) a⃗× b⃗ = −b⃗× a⃗,

(b) (λa⃗)× b⃗ = a⃗× (λ⃗b) = λ(⃗a× b⃗),

(c) a⃗× (⃗b+ c⃗) = a⃗× b⃗+ a⃗× c⃗,

(d) (⃗a+ b⃗)× c⃗ = a⃗× c⃗+ b⃗× c⃗,

Osobina (a) se naziva antikomutativnost, a osobina (b) kvaziasocijativ-nost, dok su osobine (c) i (d) osobine distributivnosti vektorskog mnoºenjaprema sabiranju.

Primijetimo da vektorsko mnoºenje ne zadovoljava sljede¢e osobine:

(i) asocijativnostNa primjer posmatrajmo proizvode (⃗a × b⃗) × c⃗ i a⃗ × (⃗b × c⃗). Nekasu a⃗, b⃗, c⃗ ∈ V 3 komplanarni (paralelni sa ravni π) i neka a⃗ i c⃗ nisukolinearni. Iz de�nicije slijedi da su a⃗ × b⃗ i b⃗ × c⃗ okomiti na ravan π.Onda su (⃗a× b⃗) × c⃗ i a⃗× (⃗b × c⃗) paralelni sa π (jer dva puta okomitodaje paralelno). Dakle, (⃗a× b⃗)× c⃗ je okomit na c⃗, a a⃗× (⃗b× c⃗) je okomitna a⃗. Po²to a⃗ i c⃗ nisu kolinearni, to ne mogu biti isti vektori, pa su dvaposmatrana proizvoda razli£ita.

(ii) Ne postoji neutralni element za vektorsko mnoºenje.Ne moºe postojati e⃗ ∈ V 3 takvo da je a⃗ × e⃗ = e⃗ × a⃗ = a⃗ za pro-izvoljno a⃗ ∈ V 3. Zbog antikomutativnosti ne vrijedi prva jednakost, aiz de�nicije je e⃗× a⃗ ⊥ a⃗, pa ne moºe biti jednak a⃗.

Sljede¢i teorem povezuje vektorsko i skalarno mnoºenje.

Teorem 1.21. Neka su a⃗, b⃗, c⃗ ∈ V 3. Tada je

(i) (⃗a× b⃗)× c⃗ = (⃗a · c⃗)⃗b− (⃗b · c⃗)⃗a,

(ii) a⃗× (⃗b× c⃗) = (⃗a · c⃗)⃗b− (⃗a · b⃗)c⃗.

Kao i u slu£aju skalarnog mnoºenja razmotrimo izra£unavanje vektorskogproizvoda kada su vektori dati svojim komponentama u odnosu na ortonor-miranu bazu. Iz de�nicije vektorskog mnoºenja odmah slijedi da za vektorei⃗, j⃗ i k⃗ vrijedi

17

1.9.Mje²oviti proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

× i⃗ j⃗ k⃗i⃗ 0⃗ k⃗ −j⃗j⃗ −k⃗ 0⃗ i⃗k⃗ j⃗ −⃗i 0⃗

Posmatrajmo sada vektore date svojim komponentama u bazi (⃗i, j⃗, k⃗),a⃗ = (a1, a2, a3), b⃗ = (b1, b2, b3). Prema de�niciji i koriste¢i navedenu tablicuslijedi da je

a⃗× b = (a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1) =

∣∣∣∣∣∣i⃗ j⃗ k⃗a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ . (1.1)Napomenimo da je vektorski proizvod karakteristi£an za prostor V 3 i ne

generalizuje se na prostore ve¢ih dimenzija. Obzirom na zapis (1.1), slijedi dase osobine vektorskog proizvoda mogu izvesti koriste¢i osobine determinanti.Na primjer osobina antikomutativnosti slijedi iz £injenice da determinantamijenja znak promjenom susjednih vrsta. Osobina kvaziasocijativnosti slijediiz osobine mnoºenja determinante skalarom.

1.9 Mješoviti proizvod

Kombinovanjem skalarnog i vektorskog proizvoda uvodi se mje²oviti pro-izvod.

De�nicija 1.10. Operaciju m : V 3 × V 3 × V 3 → R koja trojci vektora(⃗a, b⃗, c⃗) pridruºuje skalar (⃗a× b⃗)· c⃗ nazivamo mje²ovitim mnoºenjem. Rezultat(⃗a× b⃗) · c⃗ ∈ R nazivamo mje²ovitim proizvodom. Pi²emo m(⃗a, b⃗, c⃗) = (⃗a, b⃗, c⃗).

Komplanarnost vektora se moºe karakterisati koriste¢i mje²oviti proizvod.

Teorem 1.22. Mje²oviti proizvod triju vektora jednak je nuli ako i samo akosu vektori komplanarni.

Dokaz teorema se izvodi koriste¢i navedene osobine skalarnog i vektorskogmnoºenja.

Koriste¢i koordinatni prikaz vektora u bazi (⃗i, j⃗, k⃗) mje²oviti proizvod semoºe pisati pomo¢u determinante. Vrijedi teorem.

18

1.9.Mje²oviti proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

Teorem 1.23. Neka je a⃗ = (a1, a2, a3), b⃗ = (b1, b2, b3), c⃗ = (c1, c2, c3) koor-

dinatni zapis posmatranih vektora u bazi (⃗i, j⃗, k⃗), tada je

(⃗a× b⃗) · c⃗ =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .Dokaz. Dokaz slijedi koriste¢i zapis vektorskog proizvoda pomo¢u determi-nante. Vrijedi

(⃗a× b⃗) · c⃗ =

∣∣∣∣∣∣i⃗ j⃗ k⃗a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ · (c1⃗i+ c2j⃗ + c3k⃗)= (a2b3 − a3b2)c1 + (a3b1 − a1b3)c2 + (a1b2 − a2b1)c3

=

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ .

Kombiniranjem posljednja dva teorema dobijamo posljedicu.

Posljedica 1.24. Tri vektora a⃗ = (a1, a2, a3), b⃗ = (b1, b2, b3) i c⃗ = (c1, c2, c3)su komplanarni ako i samo ako je∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = 0.Koriste¢i osobine determinanti i posljednji teorem, mogu¢e je dokazati

osobine mje²ovitog proizvoda vektora.

Teorem 1.25. Neka a⃗, b⃗, c⃗, d⃗ ∈ V 3 i λ ∈ R. Vrijedi

(a) Mje²oviti proizvod ne mijenja vrijednost za bilo koju cikli£ku izmjenufaktora, dok kod necikli£ke izmjene mijenja znak.

(⃗a, b⃗, c⃗) = (⃗b, c⃗, a⃗) = (c⃗, a⃗, b⃗) = −(⃗b, a⃗, c⃗) = −(⃗a, c⃗, b⃗) = −(c⃗, b⃗, a⃗),

(b) (⃗a+ b⃗, c⃗, d⃗) = (⃗a, c⃗, d⃗) + (⃗b, c⃗, d⃗),

19

1.9.Mje²oviti proizvod Doc. dr. Almasa Odºak

(c) (λa⃗, b⃗, c⃗) = λ(⃗a, b⃗, c⃗),

(d) (⃗a× b⃗) · c⃗ = a⃗ · (⃗b× c⃗).

Mje²oviti proizvod ima i svoju geometrijsku interpretaciju u formi zapre-mine paralelopipeda konstruisanog nad nekomplanarnim vektorima prostoraV 3. Preciznije vrijedi sljede¢i teorem.

Teorem 1.26. Zapremina paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a⃗, b⃗ ic⃗ jednaka je apsolutnoj vrijednosti mje²ovitog produkta (⃗a, b⃗, c⃗).

Dokaz. Bez umanjenja op²tosti moºemo smatrati da su predstavnici vektoraodabrani tako da imaju isti po£etak. Zapremina paralelopipeda je jednakaproizvodu baze i visine na tu bazu V = B · H. Ukoliko smatramo da jebaza odreena vektorima a⃗ i b⃗ iz osobine vektorskog proizvoda slijedi da jeB = |⃗a× b⃗|. Visina se moºe izraziti kao H = |proja⃗×b⃗c⃗| = |⃗c|| cos](⃗a× b⃗, c⃗)|.Ukoliko a⃗, b⃗, c⃗ £ine desni trijedar, H je jednako pozitivnoj projekciji, dok jeu slu£aju lijevog trijedra ugao koji £ine a⃗ × b⃗ i c⃗ tupi, pa je visina jednakanegativnoj projekciji. Zbog toga se uzima apsolutna vrijednost projekcije.Slijedi da je V = |⃗a× b⃗| · |⃗c|| cos](⃗a× b⃗, c⃗)| = |(⃗a× b⃗) · c⃗|.

Zapremina tetraedra konstruisanog nad vektorima a⃗, b⃗, c⃗ jednaka je ²estinizapremine paralelopipeda konstruisanog nad tim vektorima. Dakle,

Vtetraedar =1

6(⃗a, b⃗, c⃗).

Koriste¢i mje²oviti proizvod mogu¢e je karakterizirati i orjentaciju baze.Vrijedi teorem.

Teorem 1.27. Trijedar (⃗a, b⃗, c⃗) je desne orjentacije ako i samo ako je (⃗a, b⃗, c⃗) >

0, a lijeve ako i samo ako je (⃗a, b⃗, c⃗) < 0.

20