Prof. dr. sc. Ljupko Šimunović, dipl. ing.

Fakultet prometnih znanosti, Zagreb

Zavod za gradski promet

TEORIJA REPOVA/REDOVA(queueing theory)

OPERACIJSKA ISTRAŽIVANJA

Operacijska istraživanja (OI) - bave se matematičkimmodeliranjem realnih procesa u svrhu donošenja optimalnih odlukau okviru danih restrikcija i ograničenih kapaciteta.

Metode i alati OI

Cijelobrojno programiranje

Markovljevi lanci

Teorija repova/čekanja

Mrežno programiranje

Višekriterijsko programiranje (AHP)

Metode prognoziranja

Teorija igara

Analiza osjetljivosti

Heurističko odlučivanje

PRIMJERI ČEKANJA U REPU

TEORIJA REDOVA/REPOVA

UVOD

Teorija redova poznata je i kao teorija masovnog usluživanja (ili

posluživanja).

Teorija redova (masovnog usluživanja) jedna je od metoda

operacijskih istraživanja koja proučava procese usluživanja

slučajno pristiglih jedinica ili zahtjeva za nekom uslugom koristeći

se pritom matematičkim modelima pomoću kojih se ustanovljava

međuzavisnost između dolazaka jedinica, njihovog čekanja na

uslugu, usluživanja, te na kraju izlaska jedinica iz sustava, sa

svrhom da se postigne optimalno funkcioniranje promatranog

sustava

Teorija redova je područje matematike koje modelira ponašanje

redova.

PROCES PODVORBE (USLUŽIVANJA)

OTAC TEORIJE REPOVA

Danski inženjer A. K. Erlang

eksperimentirao je 1909. s

promjenom potražnje u telefonskom

prometu u Copenhagenu i izučavao

kapacitet telefonskog sustava

1917, objavio je izvješće o rješenju

kašnjenja u automatskoj telefoniji

Krajem II Svjetskog rata njegov rad

je proširen na rješavanje drugih

generalnih problema

Morse, 1958. objavljuje rad Queues,

Inventories and Maintenance

Prvi tekst o repovima u transportu

napisao je Newell 1971.

(Applications of Queueing theory)

PROBLEMI U PROMETU

Putovanja ovise o vremenu rada tvornice, škole, trgovine, banke..

Usluga nije sinkronizirana s potražnjom (plaćanje usluge organizirati

u vrijeme praznog hoda)

Posljedice: Troškovi čekanja korisnika u repu i gubitka vremena kad

servis nije angažiran (nema nikoga na posluživanju)

Optimalni balans postiže se pravilnim rasporedom dolazaka i

pružanjem odgovarajuće usluge u vrijeme kad servis nije angažiran

Troškovi čekanja Troškovi gubitka vremena kad servis nije uposlen

PROBLEMI U PROMETU

Neusklađenost potražnje i ponude

Potražnja je najčešće limitirana infrastrukturom

PR: U luku pristižu brodovi iz različitih dijelova svijeta. Pitanje

koliko pristaništa u luci treba izgraditi da bi ekonomski učinci bili

najveći

Mali broj pristaništa i ukrcajno - iskrcajnih postrojenja, maksimalno

iskorištenje, ali će se pojaviti gubici čekanja brodova u luci.

Prevelik broj pristaništa i postrojenja, brodovi ne bi čekali, ali bi

postrojenja bila neiskorištena, pa ponovo imamo gubitke.

Ovakvi problemi rješavaju se analizom redova čekanja (waiting line

analysis)

Rep

DOLASCI, REP, ODLASCI

Proces odlaska

MODELIRANJE DOLAZAKA I POSLUGE

ELEMENTI SUSTAVA REPOVA

Sustav repova definiran s tri elementa:

Korisnici, poslužitelji (serveri) i repovi

Korisnici su osobe ili stvari koje čekaju na uslugu (putnici, vozila,

roba

Poslužitelji pružaju uslugu korisnicima (cesta, bus, gate-ovi/izlazi

na aerodromu, šalteri, naplatne kućice)

Rep je grupa korisnika koji čekaju na uslugu (obično poredani u

red, ali može biti i grupa koja čeka npr. na terminalu, pješačkom

prijelazu

ELEMENTI SUSTAVA

Neusmjerena Dolazak Rep (linija čekanja) Servis Izlaz iz sustava

vozila

Dolazak u sustav U sustavu Izlazak iz sustava

Karakteristike dolazaka Karakteristike čekanja Karakteristike posluživanjaVeličina (broj) dolaznih (Ne)ograničenost repa Vrsta servisa (kanali, faze)klijenata u repu Vrsta repa (disciplina) Statistička razdioba odlazaka Dolazno ponašanjeStatistička razdioba dolazaka

Autopraonica

Ulaz Izlaz

PERFORMANSE SUSTAVA REPOVA

Za potpuni opis sistema u kojem dolazi do stvaranja repa potrebno

je poznavati slijedeće elemente:

prosječnu vrijednost dolaska u sustav

razdiobu dolazaka

prosječnu vrijednost trajanja usluge

razdiobu vremena usluge

način usluživanja repa

broj uslužnih kanala

PROCES DOLAZAKA U SUSTAV

Dolasci klijenata u sustav mogu biti deterministički kada

klijenti (vozila, ljudi, paketi..) dolaze u jednakom broju ili

jednakim vremenskim razmacima (što ne prdstavlja problem) i

stohastički kada klijenti dolaze slučajno (dolasci variraju u

vremenu i broju) pa se trebaju aproksimirati prema određenoj

teorijskoj razdiobi vjerojatnosti.

Transient condition

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

time, t

Num

ber

of

jobs i

n t

he s

yste

m,

N(t

)

Steady State condition

E[N(t)]N(t)

N(t) = broj klijenata u sustavu

u vremenu t

E[N(t)] = očekivani broj

klijenata u sustavu

PROCES DOLAZAKA U SUSTAV

Za opisivanje slučajnih dolazaka koriste se vjerojatnosti,

odnosno dolasci se aproksimiraju prema određenoj

teorijskoj razdiobi vjerojatnosti

Razdiobe vjerojatnosti dijelimo na kontinuirane i

diskontinuirane (ovisno da li slučajna varijabla poprima

bilo koju vrijednost na nekom intervalu ili

konačan/prebrojiv broj vrijednosti)

VRSTE RAZDIOBA (DISTRIBUCIJA)

Kontinuirane

distribucije

Normalna ili Gaussova distribucija

Studentova ili t-distribucija

Gama distribucija

Eksponencijalna distribucija

Uniformna distribucija

Weibullova distribucija

Paretova distribucija

Hi-kvadrat distribucija

Diskontinuirane

distribucije

Binomna distribucija

Poissonova distribucija

Hipergeometrijska distribucija

Geometrijska distribucija

Diskretna uniformna distribucija

VRSTE RAZDIOBA (DISTRIBUCIJA)

Najčešće razdiobe koje se koriste za modeliranje dolazaka

vozila u sustav i procesa pražnjenja/posluživanja su:

• Uniformna (deterministička)

• Poissonova

• Erlangova

PROCES DOLAZAKA U SUSTAV

Za opisivanje dolazaka koriste se pojmovi:

očekivani (srednji) broj dolazaka ili intenzitet dolazaka

klijenata „λ” u sustav, u jedinici vremena (odgovara protoku

vozila „q” u prometnom toku) i

srednje vrijeme dolazaka izraženo u sekundama po klijentu

„1/λ” (odgovara time headway u prometnom toku vozila)

Dolasci klijenata su obično diskretne slučajne varijable

(poprimaju konačan broj vrijednosti, dobiju se npr.

prebrojavanjem automobila), a vremena između dolazaka su

kontinuirane slučajne varijable (poprimaju bilo koju vrijednost iz

intervala ili beskonačno vrijednosti)

POISSONOVA RASPODJELA

Obilježja Poissonove diskretne razdiobe

- oblik Poissonove razdiobe ovisi o parametru

- razdioba unimodalna i desnostrano asimetrična,

- asimetrija je manja što je veći.

- kako raste broj dolazaka, asimetrija se smanjuje i na kraju aproksimira

normalnu raspodjelu.

vjerojatnost da će x klijenata doći u sustav u vremenu t

PROCES USLUŽIVANJA

Procesom usluživanja (pokazuje stohastičke varijacije)

Za opisivanje posluživanja koristi se vjerojatnost, odnosno

očekivanje srednjeg broja klijenata na servisu

Proces posluživanja ili servisa opisuje se

intenzitetom usluživanja „µ” ili prosječnom vrijednosti trajanja

usluge „1/µ”

razdiobom vremena usluge

Prosječna broj klijenata koji mogu biti usluženi u vremenu t „µ”

definiran je kapacitetom posluživanja ili srednjim vremenom

posluživanja izraženim u sekundama po klijentu „1/µ”

EKSPONENCIJALNA DISTRIBUCIJA

Služi za opisivanje trajanja usluge, vremena između dolaska dva

klijenta, vozila, posjeta nekoj adresi, duljina poziva na telefonu,

kvarova na nekom uređaju ili stroju,..

t

T etF 1)(

00

0)(

tza

tzaetf

t

T

Vrijeme između dolazaka

fT(t)

µ = prosječan broj klijenata

koji može biti uslužen u

jedinici vremena

1/ = srednje vrijeme

posluživanjafT(t) – funkcija gustoće vjerojatnostit – slučajna varijablaE(X) – prosječni/srednji interval vremenaFT(t)-funkcija kumulativnedistribucije

Srednja vrijednost

E[T]=1/µ

ILUSTRACIJA EKSPONENCIJALNE DISTRIBUCIJE

Vjerojatnost da će se usluga završiti

u vremenu t

P(X t) = 1 - e-t

µ = t

fT(t)

Srednja vrijednost

E[T]=1/µ

Vrijeme između dolazaka

Prosječno prometno opterećenje toka q (voz/sat) ili intenzitet usluge „µ” veći, je prosječne vremenske praznine u promatranom razdoblju manje (inverzna vrijednost µ i 1/µ)Funkcija gustoće vjerojatnosti eksponencijalne razdiobe

µ

Vje

roja

tno

st g

ust

oća

INTENZITET USLUŽIVANJA (VAŽNO)

„μ” - srednja brzina ili intenzitet posluživanja [korisnika/jedinica

vremena], prosječan broj klijenata koji može biti uslužen u jedinici vremena

Srednji broj ili intenzitet posluživanja najčešće se ravna po

Poissonovoj razdiobi

„1/μ” [vrijeme/klijentu] - srednje (očekivano) vrijeme posluživanja

ts (vrijeme koje je potrebno da bi se poslužio jedan korisnik) ili

vremenski razmaka između dva posluživanja.

Srednje vrijeme posluživanja najčešće se ravna po

Eksponencijalnoj razdiobi

Prosječno prometno opterećenje glavnog toka q (voz/sat) ili

intenzitet usluge µ, u promatranom razdoblju, je inverzna

vrijednosti prosječne vremenske praznine

INTENZITET DOLAZAKA (VAŽNO)

λ [korisnika, jedinica/vrijeme] – srednja brzina ili intenzitet

dolazaka

Srednji broj ili intenzitet dolazaka najčešće se ravna po

Poissonovoj razdiobi

1/λ – očekivano, srednje međudolazno vrijeme ta

Srednje međudolazno vrijeme najčešće se ravna po

Eksponencijalnoj razdiobi

Razdioba vjerojatnosti opisuje se pomoću slučajne varijable

X i pripadajućih vjerojatnosti

DOLASCI I POSLUŽIVANJA U REDU ČEKANJA

Pr. ako je intenzitet dolaska vozila λ = 6 voz/h onda je vrijeme

između dva dolaska t = 60/6 = 10 min

Pr. ukoliko je intenzitet servisiranja μ = 2 dijela/h (svaki sat se

obrade dva dijela na stroju) onda je prosječno vrijeme

servisiranja jednog dijela jednako ts = ½ = 0.5 h za jedan dio.

Pr. ako je intenzitet dolaska vozila λ = 180 voz/h onda je vrijeme

između dva dolaska ta = 3600/180 = 20 sekundi

Poznat intenzitet dolazaka λ (ili usluge μ) treba odrediti vrijeme

između dva dolaska “ta“ (ili vrijeme usluge “ts“ )

DOLASCI I POSLUŽIVANJA U REDU ČEKANJA

λ = 1 ⁄ ta = const μ = 1/ts = const

Pr. ukoliko je prosječno vrijeme između dva dolaska korisnika jednako 2h, tada je intenzitet dolaska jednak λ = 1/(2h) = 0.5 korisnika/h (svaki sat dolazi ½ korisnika)

Pr. Vrijeme usluživanja na naplatnoj postaji za jedan automobil je 2 min, tada je intenzitet posluživanja μ = 60/ (2 min) = 30 vozila/h.

Poznato je vrijeme dolaska ta (ili usluge ts) treba odrediti

intenzitet dolazaka λ (ili usluge μ)

KUMULATIVNI DIJAGRAM

Dolazak i odlazak pojedinog korisnika prikazan je stepenicom u

vremenu, kad se zbio taj događaj

Kumulativni dolasci A(t) u vremenu od 0 do t (pokazuju koliko je korisnika ušlo u sustav)Kumulativni odlasci D(t) u vremenu od 0 do t (pokazuju koliko je korisnika napustilo sustav)Broj korisnika u sustavu L(t) u bilo kojem vremenu t A(t) – D(t)W(t) - ukupno vrijeme svih klijenata provedeno u sustavu

NESATURIRANI (STACIONARNI) SUSTAV

Ako je broj dolazaka u sustav u jedinici vremena „λ” (prometni

tok q) manji od intenziteta usluge - vremena trajanja usluge po

klijentu (od kapaciteta infrastrukture „C”) onda postoji stabilnost

sustava

Takav sistem se naziva nezasićeni (nesaturirani) ili stacionarni

sistem.

Kumulativne

krivulje,

zastoj i rep

Stacionarni uvjeti Povremeni nestacionarni uvjeti

STACIONARNI SUSTAV

ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM

RASKRIŽJU

U stacionarnim uvjetima odvijanja prometnog toka na

semaforiziranim raskrižjima svaki ciklus odnosno njegova

zelena faza omogućava disipaciju cijele kolone akumulirane za

vrijeme crvenog svjetla.

To znači da nijedno vozilo ne čeka više od jednog ciklusa za

prolaz raskrižjem što je realan slučaj za mala opterećenja i

dobro odabrane faze ili na semaforima s detektorskim petljama.

GRAFIČKA ANALIZA REPOVA

Kumulativne krivulje, zastoji i repovi na signaliziranom raskrižju

ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM

RASKRIŽJU – STACIONIRANI UVJETI

Na početku crvene faze tok je zaustavljen i počinje se stvarati

kolona vozila.

Ponovnim aktiviranjem zelene faze vozila u koloni odlaze te

funkcija odlaska sustiže funkciju dolaska

Od ove točke linija dolaska i odlaska dalje koincidiraju što znači

da sva ostala vozila pristigla za vrijeme zelenog svjetla prolaze

kroz raskrižje bez zakašnjenja do trenutka ponovnog aktiviranja

crvene faze

Ovakav scenarij predstavlja idealni slučaj koji pretpostavlja da

su sva vozila u koloni ispražnjena za vrijeme trajanja zelene

faze

NESTACIONARNI UVJETI

U realnosti rijetki su slučajevi uniformnog dolaska pa je

prihvatljivija pretpostavka slučajnih dolazaka klijenata (po

Poisson-ovoj razdiobi)

NESTACIONARNI UVJETI

U slučaju da je intenzitet dolaska λ veći od intenziteta pružanja

usluge onda rep raste i ne može se više govoriti o vremenskoj

nezavisnosti sustava, odnosno govori se o zasićenom

(saturiranom) sustavu i vremenski ovisnim modelima

Nestacionarni uvjeti

ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM

RASKRIŽJU – NESTACIONIRANI UVJETI

Kod prezasićenosti sistema potražnja premašuje kapacitet u

duljem vremenskom razdoblju pa se kolona vozila iz ciklusa u

ciklus stalno povećava jer se čitavi rep ne uspijeva isprazniti za

vrijeme zelene faze.

Samim tim povećava se i zakašnjenje jer se nova kolona vozila

u ciklusu pridodaje ostatku kolone iz prethodnog ciklusa.

Zbog kumulativnog povećavanja kolone zakašnjenje može

postati ekstremno veliko.

GRAFIČKA ANALIZA REPOVA

Sustav je prikazan kroz četiri fazeFaza I: Stagniranje - predstavlja inicijalnu fazu (t = 0-20), kad se svi klijenti mogu uslužiti jednakom brzinom kako pristižu u sustav Faza II: Rast - predstavlja fazu rasta repa (t = 20-80), kad se svi klijenti ne mogu uslužiti jednakom brzinom kako pristižu u sustav Faza III: Opadanje – započinje u trenutku kad rep dostiže maksimalnu duljinu i traje do izjednačavanja s kapacitetom, kad nestaje repa (t = 80-140)Faza IV: Stagniranje – rep stagnira na 0, klijenti dolaze sporije od mogućnosti usluživanja sustava

FAZE ZASIĆENOG SUSTAVA

Sustav je prikazan kroz četiri faze

Faza I: Stagniranje

Faza II: Rast

Faza III: Opadanje

Faza I: Stagniranje

GRAFIČKA ANALIZA

dolasciodlasci

ANALIZA REPOVA NA SEMAFORIZIRANOM

RASKRIŽJU – NESTACIONIRANI UVJETI

U ovakvom jednostavnom modelu ukupno zakašnjenje n-tog

vozila predstavljeno je horizontalnom razlikom između linije

dolazećih i odlazećih vozila.

Vertikalna razlika između linija dolazaka i odlazaka, predstavlja

ukupni broj vozila u koloni tj. duljinu repa u trenutku t.

Ukupno zakašnjenje u nekom periodu predstavlja sumu svih

formiranih površina trokuta između funkcija dolaska i odlaska

PAUZA

NAČIN POSLUŽIVANJA (SCHEDULING)

Moguće su razne discipline posluživanja:

FIFO (First In First Out) ili FCFS (First Come First Served) – prvi koji je došao u red, bit će prvi i poslužen

LIFO (Last In First Out) ili LCFS (Last Come First Served) – zadnji koji je došao u red bit će prvi poslužen

Prema određenim prioritetima (Priority service PRIOR algoritam)

Slučajno (Service in Random OrderSIRO algoritam) svakoj jedinici daje istu vjerojatnost usluživanja bez obzira na vrijeme dolaska

OSNOVNE STRUKTURE SUSTAVA

Kanali/serveri – paralelni poslužitelji koji istovremeno poslužuju korisnike.

Faze – slijedno postavljeni poslužitelji, tako da korisnici moraju proći sve poslužitelje da bi bili posluženi.

OSNOVNE STRUKTURE SUSTAVA

OZNAKE VRSTE I TIPA REDA ČEKANJA

- NOTACIJA -

A/B/m/K/N

Dolazni proces•M: Markovian •D: Deterministic•Er: Erlang•G: General

Proces usluživanja•M: Markovian •D: Deterministic•Er: Erlang•G: General

Broj kanala

posluživanja (paralelnih

poslužitelja ili servisa)

m=1,2,…

kapacitet sustava, max broj

korisnika u sustavu (u redu

čekanja ili na

posluživanju/servisu); K= 1,2,…

(ako je ∞ ne piše se)

Redoslijed

posluživanja/servisa

U tu svrhu prihvaćena je Kendall-ova notacija oblika A/B/m/K/N iliv / w / x / y / z

M (Markovian) = Poissonov dolazak ili exponencijalno vrijeme uslugeD (Deterministic) = Konstantna dolazna rata ili vrijeme uslugeG (General) = Opća vjerojatnost za dolaske ili vrijeme usluge

NOTATION

PR. - OPIS POSLUŽITELJSKOG SUSTAVA

M M s

Poissonova razdioba dolazaka

Negativnaexponencijalna

distribucija vremena usluge

jednokanalski sustavjedan server (single)

PR. - OPIS POSLUŽITELJSKOG SUSTAVA

M M m

Poissonovadistribucija dolazaka

Negativnaekponencijalna

distribucija usluge

Višekanalski sustavviše servera

OPIS POSLUŽITELJSKOG SUSTAVA: PRIMJERI

M/M/1: Poissonovi dolasci, eksponencijalna razdioba vremena posluživanja, jedan poslužitelj, beskonačni spremnik

M/M/m: sustav jednak prethodnom samo sa m poslužitelja/servera

M/M/5/40: Poissonovi dolasci, eksponencijalna razdioba vremena posluživanja, 5 poslužitelja, max broj korisnika u sustavu 40 (u redu čekanja 35 i na posluživanju/servisu 5);

M/G/1: Poissonovi dolasci, vremena posluživanja raspodjeljena sukladno općoj razdiobi, jedan poslužitelj, beskonačni spremnik

M/D/1 Poissonovi dolasci ili eksponencijalna raspodjela među dolaznih vremena, determinističko vrijeme posluživanja, 1 server

G/G/3/20/FCFS opća raspodjela dolazaka i servisa, 3 servera, 17 klijenata u repu, first come first servis

MODEL REDOVA ČEKANJA S OSNOVNIM PARAMETRIMA

Tw ili Wq

Lw

Ts ili Ws

Ls

T ili W

L

vrijeme - T ili W = Ww + Ws

duljina repa - L = Lw + Ls

PARAMETRI SUSTAVA USLUŽIVANJA

L ili N - prosječan broj korisnika u sustavu (u redu čekanja i na posluživanju)

Lw - prosječan broj korisnika u redu čekanja

Ls – prosječan broj korisnika koji se servisira

T ili W - prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu (čekanje i posluživanje)

Tw ili Wq - prosječno vrijeme koje korisnik provede u redu čekanja

Ts ili Ws– vrijeme koje korisnik provede u servisiranju

P0 - vjerojatnost da nema korisnika u sustavu

Pn - vjerojatnost da je n korisnika u sustavu

Pq(n) – vjerojatnost broja korisnika u redu za čekanje

ρ - iskoristivost, tj. dio vremena u kojem je sustav u uporabi

RESUME - ANALIZA SUSTAVA

Osnovna pitanja koja se javljaju kod analize jednog sustava s

fenomenom stvaranja repova su:

razdioba duljine repa

razdioba vremena čekanja u repu

postotak vremena kada je sistem prazan

Koje će se razdiobe primijeniti ovisi o konkretnom sustavu koji

se analizira (nesemaforizirano raskrižje, semaforizirano

raskrižje, ulazna rampa, parking itd.) i određuju se na temelju

izvršenih mjerenja ili već ranije provedenih istraživanja

LITTLE-ove FORMULE

Vrijede samo za stabilne sustave

L = λ·T - prosječan broj korisnika, jedinica/paketa u sustavu

(Lq = λTw, Ls= λTs )

λ – intenzitet dolazaka

T – prosječni čekanje u sustavu

L ili N = λ·T

POKAZATELJ/FAKTOR ISKORIŠTENJA (OPTEREĆENJA) SUSTAVA

Za ocjenu rada sustava uvodi se pokazatelj opterećenja sustava

Pokazatelj iskorištenja odnosno opterećenja sustava (engl.: the

traffic intensity) ili stupanj zasićenja (saturiranosti) je odnos

intenziteta toka dolazaka i intenziteta posluživanja i označava se s

grčkim slovom ρ:

ρ = ts ⁄ ta

Ako je ρ < 1, sustav je stabilan (μ > λ)

ts- vrijeme uslugeta - vrijeme dolaska

DONOŠENJE OPTIMALNIH ODLUKA

Cilj teorije repova je donošenje optimalnih odluka radi postizanje

maksimalnih ekonomskih učinaka

RJEŠAVANJE PROBLEMA

Riješiti problem znači odrediti optimalan broj uslužnih mjesta

sukladno potražnji kako bi vrijeme čekanja u redu ili troškovi

(gubici) prouzrokovani čekanjem bili minimalni.

Za samo rješavanje problema u transportu najčešće se primjenjuje

optimizacija i kontrola sustava (optimizacija ciklusa i faza na

semaforu, dodavanje prometnog traka, promjena smjera u špicama

na cesti, povećanje broja šaltera ili naplatnih kućica..)

RESUME - ANALIZA SUSTAVA

Osnovna pitanja koja se javljaju kod analize jednog sustava s

fenomenom stvaranja repova su:

razdioba duljine repa

razdioba vremena čekanja u repu

postotak vremena kada je sistem prazan

Koje će se razdiobe primijeniti ovisi o konkretnom sustavu koji

se analizira (nesemaforizirano raskrižje, semaforizirano

raskrižje, ulazna rampa, parking itd.) i određuju se na temelju

izvršenih mjerenja ili već ranije provedenih istraživanja

ŠTO TREBA ZNATI IZ VJEROJATNOSTI?SIMULACIJSKO MODELIRANJE MONTE KARLO

Teoriju redova karakterizira izuzetno velika matematička složenost

Gdje je klasična teorija masovnog usluživanja iscrpljena, pomaže metoda simulacijskog modeliranja slučajnih procesa, poznatija kao simulacijsko modeliranje Monte Karlo.

Ova metoda osigurava približna rješenja za niz matematičkih problema primjenom statističkog uzorkovanja na računalskim modelima

Rulet je jednostavni generator slučajnih brojeva, a grad Monte Karlo, prestolnica ruleta i kocke

Na temelju informacija u

kutiji zaključujemo što je u ruci.

Na temelju informacija u ruci zaključujemo što je u kutiji

Statistika Vjerojatnost

(1) P(A) 0

(2) vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je nuli P(Ø) = 0,

a vjerojatnost sigurnog događaja jednaka je jedan P(S) = 1, tj.

0 P(A) 1

(3) vjerojatnost da neće nastupiti događaj A jednaka je, tj.

( ) 1 ( )P A P A

( ) ( ) 1P A P A

SVOJSTVA VJEROJATNOSTI

SLUČAJAN POKUS, SLUČAJNA VARIJABLA

Slučajan pokus/eksperiment je postupak koji se može ponavljati

(npr. bacanje novčića), ako postoje barem 2 različita ishoda

(pismo, glava) te ako se ishodi ne mogu predvidjeti sa sigurnošću

(neizvjestan)

Slučajna varijabla X je funkcija koja svakom ishodu

(elementarnom događaju) slučajnog pokusa pridružuje realan broj

(npr. X je slučajna varijabla koja predstavlja ishod bacanja kocke,

tj. broj na kocki. Varijabla X može poprimiti vrijednosti iz skupa

{1,2,3,4,5,6}

SLUČAJNA VARIJABLA

DISKRETNA I KONTINUIRANA SLUČAJNA VARIJABLA

Diskretna slučajna varijabla – poprima konačan broj vrijednosti x1,

x2, ..xi..xk (npr. bacanje kocke 1,2,3,..6 ili bacanje novčića P, G)

U pravilu nastaje u pokusima u kojima nešto prebrojavamo;

vrijednost bacanja kocke, broj vozila na sat, broj e-mailova koji se

šalje na dan

Kontinuirana slučajna varijabla – poprima bilo koju

vrijednost/beskonačno vrijednosti/ iz nekog intervala (od jednog

do drugog broja)

Primjer kontinuirane slučajne varijable - vrijeme trajanja

telefonskog razgovora; vrijeme čekanja na šalteru, brzina,

headway, vremenski interval između dolazaka vozila na naplatne

kućice

DISTRIBUCIJA SLUČAJNE VARIJABLE I OČEKIVANJE

Vrijednosti slučajne varijable (npr. kod bacanja kocke 1,2,3,..6 ili bacanja

novčića P, G) nastupaju s određenim vjerojatnostima p(x1).. p(x2) ..p(xi)

Distribucija (razdioba) slučajne varijable X može se zapisati na

sljedeći način:

Očekivana vrijednost slučajne varijable X:

1

-

, ako je varijabla diskretna

( )

( ) , ako je varijabla kontinuirana

k

i i

i

x p x X

E X

xf x dx X

FUNKCIJA VJEROJATNOSTI ILI FUNKCIJA GUSTOĆE

SLUČAJNE VARIJABLE I KUMULATIVNA FUNKCIJA

DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI

Funkcija p(x) koja svakoj vrijednosti slučajne varijable xi pridružuje

određenu vjerojatnost p(xi) naziva se funkcija vjerojatnosti ili

funkcija gustoće slučajne varijable

Kumulativna funkcija distribucije F(X) pokazuje kolika je

vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi bilo koju vrijednost

manju ili jednaku x0

FUNKCIJE DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI I

KUMULATIVNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE

VJEROJATNOSTI DISKRETNE SLUČAJNE VARIJABLE

F(x) – funkcija distribucije

vjerojatnosti diskretne

slučajne varijable

Kumulativna funkcija

distribucije diskretne

slučajne varijable X “F(X)”

Npr. vjerojatnost da broj vozila koji dolaze u sustav bude manji od 5

FUNKCIJE DISTRIBUCIJE VJEROJATNOSTI I

KUMULATIVNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE

VJEROJATNOSTI KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE

f(x) - funkcija distribucije vjerojatnosti

kontinuirane slučajne varijable (nema

značenje vjerojatnosti)

Kao vjerojatnost može se smatrati

umnožak f(x)dx - vrijednost funkcije

vjerojatnosti u okolini točke x

Kumulativna funkcija

distribucije kontinuirane

slučajne varijable može

se izračunati preko

funkcije gustoće

vjerojatnosti f(x)

Npr. vjerojatnost da je međudolazno vrijeme veće od t1 a manje od t2 ili da u vremenu od 30 min pristigne 10 vozila

KUMULATIVNA FUNKCIJA DISTRIBUCIJE

VJEROJATNOSTI KONTINUIRANE SLUČAJNE

VARIJABLE

Vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, u

primjeru od x=2

PAUZA

PRIMJERI STOHASTIČKOG SUSTAVA(vremena dolazaka slučajna i trajanje usluge nije poznato)

Određivanje broja dolazaka (Poissonova raspodjela)

PR. Informacije su pozvane u prosjeku 20 puta u toku jednog sata. Kolika

je vjerojatnost da će u periodu od 15 minuta biti

a) barem jedan poziv

b) najviše jedan poziv

Prvo treba odrediti srednji broj poziva u 5 minuta

20 poziva na sat je isto što i 5 poziva u 15 minuta

Poissonova raspodjela λ = 5 poz./15 min

a)

b)

0! = 1

PRIMJERI STOHASTIČKOG SUSTAVA(vremena dolazaka slučajna i trajanje usluge nije poznato)

Određivanje broja dolazaka (Poissonova raspodjela)

PR: Servis HAK-a, za popravak vozila, pozvan je u prosjeku 7 puta u toku 1

sata. Kolika je vjerojatnost da će u toku određenog sata servis biti

pozvan

a) točno 4 puta

b) bar jedanput

a)

b)

λ=7

1. Prosječno vrijeme između dva telefonska poziva je eksponencijalno distribuirano i iznosi 80 sekundi. Odredite vjerojatnost

a) da to vrijeme bude najmanje 80 s

b) da poruka dođe za manje od 60 s

c) da poruka stigne između 50-te i 100-te s

λ = 1/80, jer je prosječno vrijeme između dva dolaska 80 s.

a) p(X ≥ 80) = p(80 < X < ∞) = 1- F(80) = 1-(1-e-80/80) = 0.3679

b) p(X<60) = p(-∞ <X< 60) = F(60) – 0 = 1-e-60/80 = 0.5276

c) p(50 < X< 100) = F(100) – F(50) = (1-e-100/80) - (1-e-50/80) = 0.2488

xexF 1

Određivanje vjerojatnosti vremenskog intervala pojavljivanja klijenata, događaja.

Eksponencijalna distribucija

PRIMJERI STOHASTIČKOG SUSTAVA(vremena dolazaka slučajna i trajanje usluge nije poznato)

FORMULEJEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)

1) ρ = 1 – P0 vjerojatnost da je sustav pun,

2) P0 = 1 – ρ = 1 – λ/μ vjerojatnost da je sustav prazan

3) P1 = λ/μ · P0 = ρ · P0 vjerojatnost da je u sustavu jedna osoba

4) P2 = λ/μ · P1 = ρ · (ρ · P0)= ρ2 · P0 = ρ2 (1 – ρ) vjerojatnost da su u

sustavu dvije osobe

.

5) Pn = (λ/μ)n·P0 = (λ/μ)n ·(1 –λ/μ) = ρn·(1-ρ) vjerojatnost da u

sustavu ima n korisnika

6) Pn = ρ · Pn-1, n=1,2,..

JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)

1

22

ww TL

11

2

LLw

wLE

1

1TL

11

2

sW LLL

1ss TL

11

2

ws LLL

wLE

wLE

Očekivani/srednji broj korisnika u repu

Očekivani/srednji broj korisnika u sustavu

Očekivani/srednji broj korisnika na servisu/usluživanju

Prosječan broj korisnika u redu čekanja

Prosječan broj korisnika u sustavu

Prosječan broj korisnika na servisu/posluživanju

FORMULE

JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)

TL

T ww

)()(

1 2

1)1()1(

)(

11 ssw

TTTT

11

ss

ssw

TT

TTTT

11 s

s

LT

1

)(

1

ws TTT

E[Tw]

E[Ts]

Prosječno vrijeme koje korisnik provede u redu čekanja

Prosječno vrijeme koje korisnik provede na usluživanju

očekivano/srednje vrijeme čekanja u repu po klijentu

Očekivano/srednje vrijeme posluživanja/servisiranja po korisniku

FORMULE

JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / 1/ ∞)

11LT

11

)(sw TTT

1sw TTT

11

ss

ssw

TT

TTTT

E[T]

Prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu

očekivano vrijeme zadržavanja u sustavu po korisniku

FORMULE

11LT

ČEKANJE vs ISKORIŠTENJE/OPTEREĆENJE SUSTAVA

1T

T

ZADATAK (primjer za M/M/1 sustav)

Na poštanski šalter po Poissonovoj raspodjeli stiže 10 korisnika

tijekom 1 sata. Srednje vrijeme posluživanja koje se ravna po

eksponencijalnoj raspodjeli iznosi prosječno 4 minute po klijentu.

Odredite

a) Vjerojatnost da u sustavu nema korisnika, da ima samo jedan, dva,

dva ili manje, tri ili više

b) Prosječan broj korisnika u sustavu (koji čekaju u repu ili su na

servisu)

c) Prosječan broj korisnika koji čekaju u repu

d) Prosječno vrijeme koje korisnik provede u sustavu

e) Prosječno vrijeme koje korisnik provede na čekanju u repu

RJEŠENJE

μ = 60/4 = 15 korisnika/h – intenzitet posluživanja

ρ = 10/15 = 0.6667 – faktor iskorištenja

a) P(0 u sustavu) = 1 - ρ = 0.3333

P(1 u sustavu) = (1 - ρ)ρ = 0.2222

P(2 u sustavu) = (1 - ρ)ρ2 = 0.1481

P(2 ili manje u sustavu) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.7037

P(3 or više u sustavu) = 1 - P(2 ili manje u sustavu) = 1 - 0.7037 =

0.2963

b) L = ρ/(1-ρ) = 2 osobe .........

c) Lw = L-ρ = 1.333 osobe ...... Prosječan broj korisnika u repu čekanja

d) T = 1/(μ-λ) = 0.2 h/osoba

e) TW = ρT = 0.1333 h/osoba .. Srednje vrijeme čekanja u repu

Prosječan broj korisnika u sustavu (u repu i na posluživanju)

... Srednje vrijeme čekanja u sustavu

EKONOMSKA ANALIZA (ZA ZADATAK)

Metoda 1: Određivanje troškova prema vremenu boravka u sustavu (srednje vrijeme čekanja u sustavu je T = 0.2 sata po osobi), ako korisnici u njega dolaze intenzitetom λ =10 korisnika/h

T × λ × rata = trošak kn/h, T- srednje vrijeme čekanja u sustavu po osobi

rata – cijena sata (20 kn - pretpostavimo)

Deset korisnika izgubi 2 sata (10×0.2 = 2.0 h) na čekanju u sustavu.

Ako je cijena 1 sata 20 kn (hipotetički) to znači da grupa od 10 ljudi gubi 40 kn po svakom satu čekanja u sustavu (2 x 20 = 40 kn)

Metoda 2: Određivanje troškova prema prosječnom broju korisnika koji čekaju u sustavu (L = 2 os)

Svi misle da oni ne plaćaju (da ta dvojica koja čekaju u sustavu nisu oni)!

L × rata = trošak kn/h, gdje je: L - prosječan broj korisnika u sustavu 2 osobe × 20 kn/osoba-sat = 40 kn – trošak

EKONOMSKA ANALIZA

Predpostavimo da se želi modernizirati sustav s kojim će se vrijeme posluživanja smanjiti na pola.

Pretpostavimo da troškovi otplate nove opreme iznose 15 kn po satu ili 30 dana x 24 sata x 15 kn = 10800 kn mjesečno (hipotetički)

Kapacitet posluživanja sa starom opremom iznosio je μ=15 korisnika/h

Ako proces duplo ubrzamo, s novom opremom, broj usluženih korisnika u jednom satu „μ” će iznositi:

μ = 1/ts/2 = 60/4/2 ili 2·60/4 = 30 korisnika/h (sa starom opremom μ = 15

korisnika/h)

EKONOMSKA ANALIZA

Novi troškovi, s novom opremom, za korisnike koji pristižu u sustav s prosječnim intenzitetom 10 osoba u jednom satu, sada iznose:

Izračun troškova po metodi 1: (obzirom na izgubljeno vrijeme po korisniku u sustavu)

T = 1/(μ-λ) = 1/(30 -10)=1/20 = 0.05 sati/korisniku - novo vrijeme boravka u sustavu

T·λ·20 = 0.05×10×20 = 10 kn - novi trošak za 10 osoba na sat

Izračun troškova po metodi 2. (obzirom na prosječan broj korisnika koji čekaju u sustavu)

L = λ/(μ-λ) = 10/(30-10)=10/20 = 0.5 korisnika koji čekaju u sustavu u 1h

L·20 = 0.5×20 = 10 kn – novi trošak za 10 osoba u jednom satu

Modernijom uslugom ukupni satni trošak za 10 osoba je pao sa 40 kn na 10 kn. Ušteđeno je 30 kn po satu (40 kn–10 kn=30 kn).

Ako se za otplatu kredita za opremu plaća 15 kn po satu onda čista zarada iznosi 15 kn po satu (30-15=15 kn)

2. ZADATAK (PRIMJER ZA M/M/1 SUSTAV)

Automobili dolaze na naplatnu postaju po Poissonovoj razdiobi s prosječnim intenzitetom dolaska λ = 24 automobila na sat (24 h-1). Usluga na naplatnoj postaji traje u prosjeku 2 minute. Odredi operativne značajke sustava posluživanja: vjerojatnost da nema automobila na naplatnoj postaji, prosječan broj automobila u sustavu (repu i posluživanju), prosječan broj automobila na čekanju, prosječno vrijeme koje automobil provodi u sustavu, prosječno vrijeme koje automobil provede u redu čekanja, vjerojatnost da je naplatna postaja zauzeta (faktor iskorištenja), vjerojatnost da je naplatna postaja slobodna i može odmah prihvatiti automobil.

Dolazi li sustav u stacionarno stanje?

Rješenje:

Kako je vrijeme usluživanja jednako 2 min, tada je intenzitet posluživanja μ = 1/ (2 min) = 30 h-1.

Kako je λ<μ (24 < 30), sustav će doći u stacionarno stanje. Sada računamo operativne karakteristike prema izrazima.

Rješenje:

Vjerojatnost da nema automobila na naplatnoj postaji

Prosječan broj automobila u sustavu (repu i posluživanju)

Prosječan broj automobila na čekanju

Prosječno vrijeme koje automobil provodi u sustavu

Prosječno vrijeme koje automobil provede u redu čekanja

Vjerojatnost da je naplatna postaja zauzeta (faktor iskorištenja)

Vjerojatnost da je naplatna postaja slobodna i može odmah prihvatiti automobil.

T

Tw

Lw

3. ZADATAK (PRIMJER ZA M/M/1 SUSTAV)

Na naplatnu kućicu dolazi 180 vozila/sat po Poissonovoj razdiobi.

Vremena dolazaka i posluživanja se ravnaju po eksponencijalnoj

razdiobi. Srednje vrijeme posluživanja iznosi 15 s/vozilu. Odredite

a) prosječnu duljinu repa

b) vrijeme čekanja u repu (u minutama po vozilu) te

c) prosječno vrijeme zadržavanja u sustavu (u minutama po vozilu).

λ=180 voz/h = 3 voz/min

μ = 15 s/voz =4 voz/min

ρ=λ/μ = ¾ = 0.75

][25.21

2

vozLw

][min/75.0)(

vozTw

][min/11

vozT

a)

b)

c)

JEDNOKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / D / 1/ ∞) 22

sT

)1(212)(2

s

w

TT

12

2

ww TL

21

1)1(2

ss

ssw

TT

TTTT

21

1

TL

Model s jednim poslužiteljem, s eksponencijalnim vremenom

međudolazaka i konstantnim vremenom posluživanja

srednje vrijeme čekanja u redu

srednji broj jedinica/klijenata u repu

srednje vrijeme zadržavanja u

sustavu ili

srednji broj jedinica u sustavu

)1(2

21

)1(2

sw TTT

FORMULE

1. ZADATAK (PRIMJER ZA M/D/1 SUSTAV)

Na naplatnu kućicu dolazi 180 vozila/sat po Poissonovoj razdiobi.

Vrijeme posluživanja je konstantno i iznosi 15 s/vozilu. Odredite

prosječnu duljinu repa i vrijeme čekanja u repu (u minutama po vozilu)

te prosječno vrijeme zadržavanja u sustavu (u minutama po vozilu).

λ=180 voz/h = 3 voz/min

μ = 15 s/voz =4 voz/min

ρ=λ/μ = ¾ = 0.75

vozLw 125.1)75.01(2

75.0

)1(2

22

vozTw min/375.0)75.01(42

752.0

)1(2

vozT min/625.0)1(2

2

a)

b)

c)

VRIJEME ČEKANJA vs PROMET

3. PRIMJER TK PROMET

VIŠEKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / S / ∞ )

vrijeme između dva uzastopna dolaska jedinica i vrijeme

opsluživanja jedinica ponašaju prema eksponencijanoj razdiobi.

ili prema rekurzivnim formulama:

VIŠEKANALNI SUSTAV S ČEKANJEM I NEOGRANIČENOM DULJINOM REDA ČEKANJA (M / M / S / ∞ )

9) Ts = T - Tw

OVISNOST DULJINE REPA O PROMETU ZA RAZLIČITI BROJ POSLUŽITELJA (M/D/m)

MODEL TROŠKOVA ČEKANJA

Da bi se eliminiralo čekanje, koje se javlja u sustavu opsluživanja, bilo bi potrebno ili postaviti vrlo velik broj kanala (da jedinice uopće ne čekaju) ili samo onoliki broj kanala koji će stalno biti zaposlen (da kanali ne budu neiskorišteni).

Prema tome, optimalna varijanta bit će ona koja će gubitke koji nastaju zbog čekanja svesti na minimum.

Ukupni troškovi čekanja jednog sustava opsluživanja (C) sadrže: 1) troškove nastale zbog čekanja jedinica (Cw) i 2) troškove zbog neiskorištenosti uslužnih mjesta (Cp). Koristeći teoriju redova čekanja troškovi čekanja izračunaju se na sljedeći način: Troškovi čekanja jedinica (korisnika)

troškovi nezauzetih uslužnih mjesta

ukupni troškovi čekanja

MODEL TROŠKOVA ČEKANJA

gdje je: C - iznos ukupnih troškova (u novčanim jedinicama LQ - prosječan broj jedinica (korisnika) u redu čekanja (S - r) - broj slobodnih (nezauzetih) uslužnih mjesta (kanala) t - duljina vremenskog perioda za koji se izračunavaju troškovi

(primjerice godina dana) cw - iznos (u novčanim jedinicama) troška u jedinici vremena nastalog zbog

čekanja jedinice u redu cp - iznos (u novčanim jedinicama) troška u jedinici vremena nastalog zbog “čekanja", odnosno nezauzetosti kanala.

Dakle, pomoću teorije redova čekanja moguće je izračunati troškove koji nastaju zbog čekanja i ukupne troškove sustava opsluživanja koji se mogu koristiti u analizi međusobno konkurentnih uslužnih mjesta.

Drugim riječima, programiranjem procesa opsluživanja može se odrediti broj uslužnih mjesta za koji je iznos ukupnih troškova čekanja minimalan, tj. optimalan broj uslužnih mjesta (kanala).

HVALA NA POZORNOSTI!

KRAJ