Teorija Prometnog Toka

7/30/2019 Teorija Prometnog Toka

1/107

Sveuilite u Splitu

Gra

evinsko-arhitektonski fakultet

Predavanja na poslijediplomskom studiju iz predmeta

TEORIJA PROMETNOG TOKA

Sastavio: Doc.dr.sc. Draen Cvitani

Suradnici: Dr.sc. Ivan Lovri

Mr.sc. Deana Breki


2/107

SADRAJ:

1. Teorija prometnog toka - osnovni koncept.....................

1.1 Uvod...........................

1.2 Modeliranje prometnog toka.

1.2.1 Osnovni parametri...............

1.3. Makroskopski modeli prometnog toka..........................

1.4 Mikroskopski modeli prometnogtoka...1.5. Primjena modela na elemente cestovne mree s

neprekinutim i prekinutim tokom .

2. Analiza prometnog toka na semaforiziranim raskrijima....................................

2.1 Openito.......

2.2. Definiranje vremena slijeda, zasienog toka i kapaciteta....

2.3. Koncept kritinog traka i raspodjele vremena.....

2.4. Utjecaj lijevih skretaa.....

2.5. Mjere efikasnosti semaforiziranih raskrija.2.5.1 Analitiki modeli zakanjenja....

2.5.1.1 Osnovne postavke i izvedene relacije iz teorije repova.................

3. Analiza prometnog toka na nesemaforiziranim raskrijima....

3.1. Uvod......

3.2. Postojee metodologije......

3.2.1 Osnove teorije prihvaanja vremenskih praznina...

3.2.2 Metode procjene kritine praznine i vremena slijeda.................

3.3. Modeli kapaciteta zasnovani na teoriji prihva

anja vremenskih praznina...........3.3. 1 Matematika interpretacija kapaciteta sporednog toka..........

3.3.1.1 Osnovni modeli s jednim prometnim trakom u prioritetnom toku.

3.3.1.2 Interakcija vie tokova razliitog ranga prioriteta.....

3.4. Razina usluge........................

3.4.1 Vremenski ovisni modeli zakanjenja..................

4. Analiza odvijanja prometa na dionicama dvotranih cesta..

4.1 Uvod...

4.2 Opis postoje

ih modela.... .4.2.1 Osnovni dijagram prometnog toka..

4.3 Modeli q-v u metodologijama analize propusne moi..

4.3.1 HCM 2000.......

4.3.2 HBS 2001.

3

4

5

6

8

11

16

19

20

20

25

29

3031

33

50

52

52

53

56

5964

64

66

70

72

73

77

77

82

83

84

86


3/107

5. Simulacijski modeli prometnog toka............................................

5.1 Uvod...

5.2. Klasifikacija simulacijskih modela..................

5.3. Razvoj stohastikog simulacijskog modela prometnog toka....

5.4. Generiranje i primjena slu

ajnih brojeva.....5.4.1 Pseudosluajni brojevi s jednolikom raspodjelom....

5.4.2. Pseudosluajni brojevi s proizvoljnom raspodjelom.

5.5. Izbor odgovarajueg simulacijskog modela..

95

96

97

99

101102

102

105


4/107

1. Teorija prometnog toka - osnovni koncept


5/107

1.1 Uvod

Teorija prometnog tokaje znanost koja prouava zakonitosti kretanja motornih vozila u

prometnom toku. Kretanja vozila ovise o brojnim faktorima zbog ega i opisivanje zakonitosti

predstavlja vrlo sloen proces. Najznaajniji faktori koji utjeu na nain kretanja vozila u

prometnom toku su: veliina prometnog toka, karakteristike toka, voznodinamike karakteristike

vozila, psihofizike osobine i motiviranost vozaa, karakteristike sistema za upravljanje i

kontrolu prometa te uvjeti okoline (vidljivost, stanje kolnika, klima i dr.). Istovremeno

djelovanje vie navedenih faktora utjee na sloenost opisivanja zakonitosti kretanja vozila u

prometnom toku, a dodatno je potencirano i injenicom da su osnovni utjecajni faktori

promjenljivi u prostoru i vremenu.

Zbog navedenih razloga, rjeenja za opisivanje kretanja vozila u prometnom toku naena

su u modeliranju.Pri tom su se tijekom vremena, zbog razliitog naina opisivanja, razvili modeli za dvije

osnovne podjele vrste toka:

1. Neprekinuti tok tok kod kojeg ne postoje vanjski utjecaji koji mogu prouzroiti

prekide toka, prekidi toka su iskljuivo uvjetovani interakcijom vozila (kao npr. na

autocesti, due dionice dvosmjernih cesta izmeu raskrija )

2. Prekinuti tok tok kod kojeg dolazi do povremenih zaustavljanja toka uslijed

naina kontrole prometa (semaforski ureaji na semaforiziranIm raskrijima, stopznak na nesemaforiziranim raskrijima i sl.)

S obzirom na razliite uvjete odvijanja toka na pojedinim elementima cestovne mree,

danas se teorija prometnog toka bavi opisivanjem odvijanja prometa na otvorenim dionicama

autoceste, zatim na potezima silazno-ulaznih rampi na autocestama, potezima vangradskih i

gradskih dvosmjernih cesta, semaforiziranim i nesemaforiziranim raskrijima.

U ovom kolegiju e se detaljno obraditi postojee metodologije analize odvijanja

prometnog toka na dvosmjernim dvotranim cestama, nesemaforiziranim i semaforiziranim

raskrijima iz razloga to od ukupne duljine vangradske cestovne mree preko 90% otpada na

dvotrane dvosmjerne ceste, a u gradskoj ulinoj mrei na kvalitetu odvijanja prometnih tokova

najvei utjecaj imaju raskrija


6/107

1.2 Modeliranje prometnog toka

Pod modeliranjem prometnog toka podrazumijeva se definiranje odnosa izmeu osnovnih

parametara toka, a to su: brzina v, gustoa ki intenzitet toka q. Konkretnije, opis prometnog toka

tj. razvoj njegovog modela obino zahtijeva definiranje slijedeih relacija:

ope jednadbe prometnog toka gdje je prometni tok jednak umnoku brzine i gustoe

(q = v x k)

jednadbe ouvanja vozila gdje razlika izmeu broja vozila koja su ula na promatranu

dionicu i onih koja su izala u nekom vremenskom intervalu mora odgovarati promjeni

broja vozila du promatrane dionice (odljevu i priljevu s poprenih veza) i

utvrivanje odnosa (veze) izmeu brzine i gustoe ili gradijenta odnosa toka i gustoe

Zbog sloenosti prometnog toka na ije odvijanje utjee vie faktora, do danas ne postoji

jedinstvena teorija temeljem koje se tok modelira ve je veina predloenih modela dobivena na

temelju empirijskih podataka.Poeci istraivanja na ovom polju datiraju negdje oko 1930. godine i bili su usmjereni na

definiranje odnosa i matematikih relacija izmeu brzine i gustoe te brzine i prometnog toka na

temelju terenskih mjerenja. Vanost principa ouvanja vozila u prometnom toku nije bila toliko

naglaena do vremena kada su se razvila brza raunala koja su potakla i omoguila koritenje

simulacija za modeliranje prometnog toka.

Ovisno na kojoj se razini promatraju karakteristike prometnog toka, modeli prometnog

toka mogu se podijeliti u dvije osnovne kategorije:

makroskopski modeli i mikroskopski modeli

Makroskopski modeli opisuju ponaanje ukupnog prometnog toka koristei prosjene

vrijednosti brzine, gustoe i intenziteta toka promatrajui ga kao kontinuiranu cjelinu, dok

mikroskopski pristup polazi od promatranja zakonitosti kretanja pojedinih elemenata toka tj.

pojedinih vozila i njihove interakcije te se ovi modeli jo nazivaju i modeli slijeda vozila.

Zbog drugaije razine promatranja kod ove dvije kategorije, razlikuju se i osnovni

parametri koji se koriste za opisivanje prometnog toka. Tako su makroskopske karakteristike

brzina, gustoa i intenzitet toka , dok mikroskopski modeli kao parametre koriste individualnu

brzinu pojedinog vozila, udaljenost vozila i vrijeme slijeda.

Prije saetog prikaza osnovnih makroskopskih i mikroskopskih modela prometnog toka dat

e se kratki prikaz navedenih deskriptivnih parametara.


7/107

1.2.1 Osnovni parametri

Brzina

Brzina se uobiajeno definira kao prijeeni put u jedinici vremena. Meutim, za definiranje

prosjene brzine prometnog toka mogua su dva pristupa. U prvom sluaju prosjena brzina

putovanja na nekoj dionici moe se dobiti mjerenjem potrebnih vremena putovanja pojedinih

vozila du dionice te izraunavanjem njihove prosjene vrijednosti. Na ovaj nain definira se

srednja prostorna brzina i izraava kao:

==

==N

i

i

N

i

i

s

t

NS

N

t

Sv

11

(1.1)

gdje je:

vs = srednja prostorna brzina (km/h)

S = duljina dionice (km)

ti = vrijeme putovanja i-tog vozila (h)

N = broj promatranih vozila

U drugom sluaju prosjena brzina toka moe se dobiti kao srednja vrijednost izmjerenih

brzina svih vozila koja su prola odreenim presjekom prometnice u promatranom vremenskom

intervalu. Ovako definirana brzina naziva se srednja vremenska brzina i izraava se slijedeim

izrazom:

N

v

v

N

i

i

t

=

=

1

(1.2)

gdje je vt srednja vremenska brzina, vi brzina i-tog vozila i N je broj promatranih vozila. U

modelima prometnog toka s teoretskog gledita radije se koristi srednjaprostorna brzina tako da

se u daljnjem tekstu pod pojmom brzine kao makroskopske karakteristike podrazumijeva ova

brzina.

Volumen i intenzitet toka

Za definiranje koliine prometnog toka koji proe odreenim presjekom prometnice u

nekom vremenskom periodu mogu se koristiti dvije veliine - volumen i intenzitet toka. Volumen

toka je ukupni broj vozila izbrojen u nekom vremenskom intervalu na odreenom referentnom

presjeku, dok intenzitet toka predstavlja istu koliinu vozila ali izraenu u jedinici vremena,

najee jednom satu. Za bolju ilustraciju navest e se jedan primjer: ako je na jednom

promatranom presjeku izbrojeno 100 vozila u 10 minutnom periodu tada je volumen prometa

100 voz/10 min, a intenzitet prometnog toka je 600 voz/h. Intenzitet prometnog toka ne znai da


8/107

e tim presjekom stvarno proi 600 vozila, ali izraava prosjenu mjeru dolaska vozila na

temelju 10 minutnog mjerenja.

Vano je razlikovati ove dvije mjere prometnog toka jer se kod modeliranja koristi veliina

intenziteta prometnog toka (u literaturi esto nazvan samo prometni tok) s oznakom q (voz/h). Za

volumen prometa uobiajena oznaka je V.

Gustoa prometnog toka

Gustoa prometnog toka k predstavlja broj vozila na jedininoj duljini traka ili itavog

kolnika. Direktno mjerenje gustoe moe se dobiti iz aero snimka ili pak primjenom osnovne

jednadbe toka ako su poznati prosjena brzina i intenzitet toka tako da je

k = q / v (1.3)

gdje je:

k = gustoa prometnog toka (voz/km)

q = intenzitet prometnog toka (voz/h)

v = prosjena brzina toka (km/h)

Vrijeme slijeda i vremenska praznina

Vrijeme slijeda definirano je kao vrijeme izmeu prolaska dva uzastopna vozila kroz

referentni presjek na nain da se mjeri vrijeme izmeu prolaska prednjeg branika prvog i

prednjeg branika vozila koje slijedi. Uobiajena oznaka je h i mjeri se u sekundama. Iako je

vrijeme slijeda mikroskopski deskriptivni parametar moe se dovesti u vezu s pojmom

intenziteta toka. Naime, za poznati intenzitet toka koji je definiran za vrijeme od jednog satamoe se dobiti prosjeno vrijeme slijedah prema izrazu:

qh

3600= (sek/voz) (1.4)

jer u jednom satu ima 3600 sekunda koje se mogu "raspodijeliti" na q vozila. Iz navedenog

izraza vidljivo je takoer da se iz izmjerenog prosjenog vremena slijeda moe definirati

intenzitet toka na promatranoj lokaciji.

Za razliku od vremena slijeda, vremenska praznina oznaava vremenski interval izmeu

prolaska zadnjeg branika prvog vozila i prednjeg branika vozila koje slijedi.Veliina vremenske praznine u prometnom toku vana je kod modeliranja toka na

raskrijima jer o veliini vremenske praznine u glavnom toku ovisi mogunost odvijanja lijevog

skretanja na semaforiziranim raskrijima kao i ukljuivanje vozila iz sporednog toka na

nesemaforiziranim raskrijima.


9/107

Udaljenost i razmak

Analogno vremenu slijeda i vremenskoj praznini koje predstavljaju vremenske parametre,

udaljenost i razmak definiraju prostorni odnos dva susjedna vozila. Udaljenost u predstavlja

vrijednost u metrima ili kilometrima izmeu prednjih branika promatranih vozila dok se razmak

x mjeri od zadnjeg branika prvog vozila do prednjeg branika onog koje ga slijedi.

Takoer se i ovdje moe uspostaviti veza s makroskopskim veliinama jer se udaljenost

matematiki moe izraziti kao inverzna vrijednost gustoe toka tj.

ku

1= (km/voz) (1.5)

Na slici 1.1. dan je ilustrativni prikaz navedenih mikroskopskih parametara.

p = vremenska praznina (sek/voz)

x = razmak (km/voz)

h = vrijeme sli jeda (sek/voz)

u = udaljenost (km/voz)

n + 1 n

n = vodee vozilo

n + 1 = vozilo koje slijedi vodee

Slika 1.1. Prikaz mikroskopskih deskriptivnih parametara

1.3. Makroskopski modeli prometnog toka

Poetak razvoja modela prometnog toka vee se za tridesete godine prolog stoljea kada

zapoinju nastojanja utvrivanja matematike veze izmeu osnovnih makroskopskih parametara.

Prvi radovi bili su usmjereni na utvrivanje funkcionalne zavisnosti izmeu brzine i gustoe i to

kao jednoreimskih modela u uvjetima nezasienog toka kada je tok manji od kapaciteta i u

uvjetima zasienog toka kada tok nadilazi kapacitet te dolazi do zaguenja promatranog elementa

prometnog sustava.


10/107

Rezultati primjene jednoreimskih modela potakli su strunjake da odnos brzina-gustoa

prikau kombinacijom dvaju (ili vie) modela, posebno za domenu malih gustoa i domenu

velikih gustoa, to je dovelo do razvoja viereimskih modela.

Prvi model prometnog toka razvio je Greenshields 1934. godine koji je na temelju

izmjerenih podataka i aero snimaka te primjenom regresijske analize utvrdio da se brzina moe

izraziti kao linearna funkcija gustoe. Definirao je izraz:

kk

vvv

j

ffs

ffs = (1.6)

gdje je:

v = prosjena brzina toka (km/h)

vffs = brzina slobodnog toka tj. brzina kada se tok pribliava nuli odnosno nema utjecaja

drugih vozila (km/h)

kj = gusto

a pri maksimalnoj koncentraciji vozila tj. gusto

a pri zaguenju (jam density)koja se javlja kad je tok potpuno zaustavljen (voz/km)

k = prosjena gustoa toka (voz/km)

Na slici 1.2. grafiki je prikazan odnos brzine i gustoe i odgovarajui odnosi brzina-tok i

tok-gustoa koji se mogu izvesti iz Greenshields-ovog izraza i predstavljaju najjednostavniju

vezu ova tri osnovna parametra prometnog toka.

tok (voz/h/traku)

j

gustoa (voz/km/traku)

tok(voz

/h/traku)

0

cq

kc

ffsv

cv

kj

gustoa (voz/km/traku)

ffs

brzina(km/h)

0

cv

v

ck

ffs

c

brzina(km/h)

q

jk

c

0

v

v

k

qc

kc

Slika 1.2. Osnovni dijagrami odnosa brzine, gustoe i toka (Greenshields)


11/107

1

Kasnije je Greenberg 1959. god., s pretpostavkom da se prometni tok moe promatrati kao

jednodimenzionalni fluid te kombinirajui jednadbe kretanja i kontinuiteta, predloio

logaritamsku vezu brzine i gustoe i dobio da je:

=

k

kvv

j

c ln (1.7)

gdje je vc = brzina kada je tok jednak kapacitetu prometnice, kj = gustoa pri zaguenju.

Underwood 1961.god. u svom modelu predlae eksponencijalnu vezu brzine i gustoe,

May predlae zvonoliki oblik krivulje, dok Drew 1968. god. u relaciju uvodi parametar z

pomou kojeg razvija opi izraz (1.8) za familiju modela prometnog toka:

=

+2

1

1

z

jffs

k

kvv (1.8)

Ovdje je interesantno uoiti da za vrijednost z =1 model postaje linearan (Greenshields-ov

model), za z= 2 parabolian , za z= 3 eksponencijalan.

Kako je ve navedeno, osim jednoreimskih razvijeni su i viereimski modeli kod kojih

za jednu domenu vrijednosti gustoe odgovara jedan reim dok za slijedeu domenu vrijedi drugi

reim odnosa brzine i gustoe. Na slici 1.3. prikazani su navedeni jednoreimski i viereimski

modeli odnosa brzine i gustoe prometnog toka.

v 40ffs

jkk

6040200

10

20

30

k12010080

2)j-0.5(k/keffsv = v

j-k/keffsv = v

ck

2k1k

ffsv

v

v

zvonolika krivulja

Underwood

ffsv

v 3 - reimski linearni

)j(1 - k/kffsv = vffsv

v Greenshields

primjer snimljenih podataka

v = vffs e -k/kj

cv

c

c

k

k

k

k

fsv

v

k

k

Ediev

50

c ln(kj/k)v = v

jk

jk

k

k

v = v

2 - reimski linearni

fsv

fsv

Green ergv

v

kjk

/k)jln(kc

jkk

Slika 1.3. Neki od predloenih modela odnosa brzine i gustoe prometnog toka


12/107

1

Navedeni modeli nisu i jedini modeli koji su razvijeni tijekom vremena i ne postoji

jedinstveni izraz koji najbolje odgovara za sve uvjete prometa, prometnice i okoline. U sluaju

kada postoje izmjereni podaci o brzini i gustoi ili toku za odreenu lokaciju, na temelju

testiranja prilagodbe ovih podataka pojedinom modelu, moe se utvrditi koji od modela najbolje

opisuje prometni tok na promatranoj lokaciji.

1.4. Mikroskopski modeli prometnog toka

Za razliku od makroskopskih modela iji parametri opisuju tok kao cjelinu, mikroskopski

modeli opisuju ponaanje jednog para vozila unutar prometnog toka, uz pretpostavku da se takvo

"ponaanje" moe zatim primijeniti na sva ostala vozila u toku. Stoga se kod ovih modela koriste

parametri koji opisuju kretanje na razini pojedinog vozila, a to su: individualna brzina, vrijeme

slijeda i razmak vozila ije su definicije dane u uvodnom dijelu.Ovi modeli koji opisuju nain kretanja pojedinog vozila u prometnom toku tj. nain na koji

vozilo slijedi vozilo ispred sebe nazivaju se jo i modeli slijeda vozila (car-following models) i

na njima se temelji logika simulacijskih modela. Razvili su se poetkom 50-ih i 60-ih godina

prolog stoljea. Prve radove koji opisuju teoriju slijeda vozila objavili su Reuschel i Pipes.

Daljnji doprinos razvoju modela slijeda vozila dali su Kometani i Sasaki, Forbes te grupa

istraivaa unutar General Motors-a koji su takoer prouavali interakciju vozila unutar

prometnog toka. Naroito vaan doprinos dali su istraivai General Motors-a koji su utvrdili

matematiku vezu izmeu mikroskopskih i makroskopskih modela prometnog toka.

Na slici 1.4. prikazan je uobiajeni nain oznaavanja parametara koji se koriste u ovim

modelima, a vezani su uz kretanje dva susjedna vozila tj. vodeeg vozila i onog kojeg ga slijedi.

U daljnjem tekstu vodee vozilo definira se kao prvo vozilo s oznakom n, a drugo vozilo, s

oznakom n+1, oznaava ono koje ga slijedi.

x (t+ t)n+1

x (t)n+1 x (t)n

x (t)n+1

x (t)n

Ln+1 Ln

x (t) - x (t)n n+1

n+1 n


13/107

1

n = vodee vozilo

n+1 = vozilo koje slijedi vodee

L n = duljina vodeeg vozila (m)

L n+1 = duljina vozila koje slijedi vodee (m)

x n = poloaj vode

eg vozila (m)x n+1 = poloaj vozila koje slijedi vodee (m)

(m/s)vozilavodeegbrzinax n =&

)21n

1n

(m/svodeeslijedikojevozilausporenjeiliubrzanjex

(m/s)vodeeslijedikojevozilabrzinax

=

=

+

+

&&

&

t = u trenutku t

t+t = u trenutku t nakon t

Slika 1.4. Oznake koje se koriste u teoriji slijeda vozila

Pipes-ov model

Pipes-ov model slijeda vozila temelji se na pravilu da sigurnosni razmak izmeu

promatranog vozila i onog ispred njega iznosi najmanje jednu duljinu vozila za svakih 10 milja

na sat (16 km/h) brzine vonje promatranog vozila. Ovo opeprihvaeno pravilo ne temelji se na

znanstveno utvrenim injenicama ve na empirijskim podacima i na osnovu njega Pipes je

definirao izraz za minimalnu udaljenost sigurne vonje:

( ) ( )[ ]( )

( )( ) nn

nnn Ltx

Ltxtxu +

== ++ 1047.1

1min1min

&(1.9)

gdje umin predstavlja udaljenost izmeu prednjih branika prvog i drugog vozila dok je vrijednost

1.47 uvedena zbog pretvaranja mjernih jedinica (mi/h u ft/sec).

Iz izraza (1.9) moe se uoiti da prema Pipes-ovoj teoriji najmanja udaljenost sigurne

vonje linearno raste s poveanjem brzine. Rezultati dobiveni koritenjem gornjeg modela

pokazali su se vrlo bliski podacima dobivenim mjerenjem na terenu.

Forbes-ov model

Forbes je, za razliku od Pipes-a, kao polaznu veliinu prouavao vrijeme reakcije vozaa

tr tj. vrijeme od trenutka uoavanja potrebe za smanjenjem brzine do poetka koenja. Na

temelju pretpostavke da je vremenska praznina izmeu vozila uvijek jednaka ili vea od vremena

reakcije vozaa definirao je minimalnu duljinu vremena slijeda:

( )txL

thn

nr

&+=min (1.10)


14/107

1

Prema ovom modelu minimalno vrijeme slijeda jednako je sumi vremena reakcije tr i

vremena potrebnog vodeem vozilu da prijee put ekvivalentan njegovoj duljini. Iz gornjeg

izraza moe se lako izvesti izraz za minimalnu udaljenost sigurne vonje pa je tako:

( )[ ] nnr Ltxtu += &min (1.11)

iz

ega se uo

ava da je Forbes-ov model vrlo sli

an Pipes-ovom jer i ovdje minimalna udaljenostsigurne vonje linearno raste s poveanjem brzine.

Forbes je proveo mnoga mjerenja na terenu koja su pokazala da se rezultati njegovog

modela dobro slau s izmjerenim podacima, naroito u podruju srednjih brzina iako su

izmjerene minimalne vremenske praznine varirale od 1 do 3 sekunde.

Modeli General Motors-a

Zajedniki rad istraivaa okupljenih u General Motorsu, uz odreeni broj vanjskih

suradnika, rezultirao je razvojem pet modela slijeda vozila i utvrivanjem matematike vezeizmeu mikroskopskih i makroskopskih modela prometnog toka to predstavlja vrlo znaajno

dostignue. Uz to, provedena su vrlo opsena i sloena terenska istraivanja koja su i omoguila

razvoj od prvog, jednostavnog, do petog, generalnog modela naina slijeda vozila te njihovo

testiranje i vrednovanje.

Svi modeli imaju slijedei temeljni oblik:

reakcija = osjetljivost x podraaj (1.12)

U svim modelima reakcija je ubrzanje ili usporenje vozila kao odgovor na podraaj. Podraaj

predstavlja relativnu brzinu vonje vodeeg vozila u odnosu na promatrano vozilo koje gaslijedi, dok osjetljivost predstavlja sposobnost vozaa da uoi podraaj i odgovarajue reagira na

njega. Osjetljivost je uvjetovana i mehanikim mogunostima vozila. Upravo nain definiranja i

matematika interpretacija osjetljivosti su rezultirali razvojem serije od pet modela General

Motors-a.

U prvom modelu osjetljivost je pretpostavljena kao konstantna veliina pa izraz (1.12)

poprima slijedei oblik:

( ) ( ) ( )[ ]txtxttx nnrn 11 ++ =+ &&&& (1.13)

gdje oznaava osjetljivost. Izraz za podraaj, odnosno relativna brzina prvog i drugog vozila,

moe biti pozitivan, negativan ili jednak 0 to rezultira ubrzanjem, usporenjem ili pak

odravanjem konstantne brzine drugog vozila. Istraivai General Motorsa proveli su opseno

mjerenje veliine vremena reakcije tr i parametra osjetljivosti . Dobiveni interval vrijednosti

od 0,17 do 0,74 sek-1 za parametar osjetljivosti, ponukao je istraivae da u parametar

osjetljivosti uvedu i utjecaj razmaka meu vozilima. Ovaj zakljuak je doveo do razvoja drugog


15/107

1

modela u kojem parametar osjetljivosti moe imati dva stanja tj. veliku vrijednost 1 kada su

vozila vrlo blizu i malu vrijednost 2 kada je razmak izmeu vozila velik. Matematiki se moe

prikazati slijedeim izrazom:

( ) ( ) ( )[ ]txtxttx nnrn ili 112

1

++ =+ &&&&

(1.14)

Vrlo brzo istraivai su uoili potekoe kod izbora vrijednosti 1 i 2 to je dovelo do

daljnjih terenskih istraivanja kako bi se na bolji nain u parametar osjetljivosti uveo utjecaj

razmaka vozila. Provedena istraivanja rezultirala su treim modelom slijeda vozila gdje je

osjetljivost izraena kao inverzna funkcija udaljenosti to implicira veu vrijednost osjetljivosti

za manje udaljena vozila. Prema navedenom, trei model General Motors-a tj. jednadba slijeda

vozila ima oblik:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]txtxtxtxttx nnnnrn 1

1

01 ++

+ =+ &&&&

(1.15)

gdje je 0konstanta osjetljivosti. Ovdje je vano uoiti da je dimenzija konstante osjetljivosti

izraena u jedinicama za brzinu dok je u izrazu (1.13) dimenzija konstante osjetljivosti sek-1.

Dimenzija brzine kod konstante osjetljivosti bila je klju kod kasnijeg uspostavljanja

matematike veze izmeu mikroskopskih i makroskopskih modela prometnog toka.

Daljnja nastojanja u poboljanju parametra osjetljivosti na nain da se u izraz uvede i

brzina drugog vozila rezultirala su razvojem etvrtog modela. Osnovna misao je bila da e pri

generalnom pove

anju brzine prometnog toka voza

drugog vozila biti osjetljiviji prema razlicibrzine njegovog vozila i brzine vozila koje je ispred. Ova pretpostavka dovela je do slijedeeg

izraza:

( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ]txtx

txtx

ttxttx nn

nn

rnrn 1

1

11 +

+

++

+=+ &&

&&&

(1.16)

Moe se uoiti da u izrazu (1.16) parametar osjetljivosti ima tri komponente: konstantu ',

brzinu drugog vozila [ ( )rn ttx ++1& ] i udaljenost vozila [ ( ) ( )txtx nn 1+ ]. Ovdje je konstanta

osjetljivosti 'bez dimenzija.

Nastavljena istraivanja vezana uz poboljanje i generaliziranje parametra osjetljivosti

rezultirala su uvoenjem opih eksponenata m i lu izraz (1.16) te se dobiva

( )( )[ ]

( ) ( )( ) ( )[ ]txtx

txtx

ttxttx nnl

nn

m

rnlm

rn 1

1

1,1 +

+

++

+=+ &&

&&&

(1.17)

Ovaj izraz predstavlja konani peti model i svi prethodni modeli General Motors-a su

specijalni sluajevi ovog opeg modela ovisno o primijenjenim vrijednostima za m i l. Tako se


16/107

1

za vrijednosti m= 0 i l= 0 dobiju prvi i drugi model, za m=0 i l= 1 trei, a za m =1 i l=1 etvrti

model General Motors-a.

Dodatno vano dostignue istraivaa General Motors-a je utvrivanje postojanja

matematike veze izmeu njihovog treeg modela (1.15) i Greenberg-ovog makroskopskog

modela prometnog toka definiranog izrazom (1.7). Polazei od treeg modela General Motors-a i

primjenom osnovnih matematikih postupaka integracije, supstitucije i diferencijacije dolazi se

do Greenberg-ovog modela.

Polazei od hipoteze: ako se Greenbergov model moe povezati s treim modelom slijeda

vozila, tada se i ostali makroskopski modeli mogu dovesti u vezu s nekim od mikroskopskih

modela. Gazis te May i Keller su to uspjeli i dokazati za skoro sve postojee modele. Tako su

npr. utvrdili da je peti model General Motors-a ekvivalentan modelu Greenshields-a za

vrijednosti m = 0 i l= 2, ili pak da za vrijednosti m = 0 i l= 3/2 odgovara modelu Drew-a, itd.

Vanost uspostavljanja ove veze lei u injenici da se makroskopski parametri toka mogu

jednostavno dobiti koritenjem standardnih detektorskih petlji ili brojaa koji u biti mjere

mikroskopske parametre - vrijeme slijeda, razmak, individualnu brzinu, broj vozila.

Primjena modela slijeda vozila

Koritenjem jednadbe slijeda vozila tj. jednog od prethodno prikazanih modela te uz

primjenu osnovne jednadbe jednolikog ili jednoliko ubrzanog kretanja moe se za svako

pojedino vozilo u prometnom toku odrediti njegov poloaj, brzina i ubrzanje u svakom

vremenskom trenutku. Na taj nain definira se trajektorija pojedinog vozila. Naravno datrajektorija vodeeg vozila ovisi o prethodno definiranim graninim vrijednostima pojedinih

parametara (brzine, ubrzanja i usporenja) i ona predstavlja temelj o kojoj ovise trajektorije svih

vozila koji ga slijede.

Teorija slijeda vozila, saeto prikazana kroz navedene mikroskopske modele, bila je

osnovno polazite za razvoj simulacija jer se algoritmi mikroskopskih simulacijskih modela

temelje na proraunu poloaja, brzine i ubrzanja svakog vozila u prometnom toku. Tako

izraunati podaci za svaki definirani vremenski koraktomoguavaju simulaciju kretanja vozila

du promatrane prometnice ili itave mree. Razvoj digitalnih raunala koja u kratkom vremenuobrauju veliki broj podataka i omoguavaju grafiku vizualizaciju bila su dodatni poticaj

razvoju i primjeni simulacijskih modela.


17/107

1

1.5. Primjena modela na elemente cestovne mree s neprekinutim i

prekinutim tokom

Generalno promatrajui, s obzirom na vrstu toka, prometni tok moe se podijeliti u dvijeosnovne kategorije:

neprekinuti tok, i

isprekidani tok

Neprekinuti tok javlja se na dijelovima prometnog sustava gdje ne postoje vanjski utjecaji

koji bi mogli prouzroiti prekide u prometu. Ovakav tok prvenstveno se javlja na autocestama te

vietranim ili dvotranim vangradskim prometnicama gdje nema svjetlosne signalizacije ili

prometnih znakova koji bi mogli povremeno zaustavljati prometni tok. Neprekinutim tokom

moe se smatrati i tok na dovoljno dugim dionicama izmeu semaforiziranih raskrija gdje nema

krianja sa sporednim cestama odnosno uplitanja dodatnih vozila ili isplitanja postojeih.

Uvjeti toka na ovakvim dijelovima prometnog sustava prvenstveno su rezultat interakcije

vozila u samom toku te utjecaja geometrijskih karakteristika prometnice i uvjeta okoline, tako da

i u sluaju pojave zaguenja prometa ono nije rezultat vanjskih faktora ve odreenih potekoa

nastalih unutar samog toka.

Slika 1.2. prikazuje generalni odnos izmeu intenziteta prometnog toka, brzine i gustoe i

ovi odnosi predstavljaju temelj za kapacitativnu analizu i definiranje razine usluge onih dijelova

prometne mree na kojima vladaju uvjeti neprekinutog toka. Oblik pojedine krivulje moe

varirati ovisno o prevladavajuim uvjetima prometa i prometnice, ali uvijek imaju nekoliko

karakteristinih toaka. Prva je ona koja definira brzinu slobodnog toka vffs kada su tok i gustoa

jednaki nuli to predstavlja teoretsku vrijednost, druga karakteristina veliina je gustoa pri

zaguenju kj kad je tok potpuno zaustavljen. Ove dvije vrijednosti predstavljaju ekstremne

sluajeve. U trenutku kada umnoak brzine i gustoe ima svoj maksimum qc kapacitet je

dostignut, to prema slici 1.2. odgovara uvjetima kada brzina ima vrijednost vc (brzina pri

kapacitetu) i gustoa toka ima vrijednost kc(gustoa pri kapacitetu).

Sve ostale vrijednosti intenziteta prometnog toka koje nisu jednake kapacitetu mogu biti

ostvarene ili u uvjetima male gustoe i velikih brzina ili u uvjetima velike gustoe i malih brzina.

Prema navedenom se dijagrami na slici 1.2. mogu podijeliti na dva dijela gdje prvi dio

predstavlja uvjete nesaturiranog toka gdje je kvc, a drugi dio uvjete saturiranog toka gdje

je k>kc i v


18/107

1

Za razliku od neprekinutog, kod isprekidanog toka dolazi do povremenih prekida i

zaustavljanja toka zbog djelovanja vanjskih faktora. Ovakav tok javlja se na onim dijelovima

prometnog sustava gdje postoji svjetlosna signalizacija, prometni znakovi ili drugi ureaji za

kontrolu prometa koji utjeu na progresiju toka. Prema tome, prekinuti tok javlja se prvenstveno

na raskrijima (semaforiziranim i nesemaforiziranim) ili mjestima gdje postoji intenzivni

pjeaki tok.

Prekinuti tok je mnogo sloeniji od neprekinutog jer ukljuuje i dimenziju vremena koju

treba uzeti u obzir kod optimalnog i sigurnog voenja tokova kroz konfliktnu zonu raskrija.

Vana specifinost toka na raskrijima je stvaranje kolone (repa) vozila zbog periodinog

zaustavljanja toka te nain i mogunost pranjenja stvorenog repa.

Kod nesemaforiziranih raskrija osnovni parametri za modeliranje toka i odreivanje

kapaciteta su kritina vremenska praznina koja se definira kao minimalni vremenski interval koji

omoguuje ulazak jednom vozilu iz sporednog prometnog toka u raskrije i vrijeme slijeda

sporednog toka tj. prosjeni vremenski interval izmeu vozila u koloni koja ulaze u raskrije

tijekom duljih vremenskih praznina u prioritetom toku.

Definiranjem ovih parametara odreuje se i nain pranjenja stvorenog repa na sporednom

privozu koji predstavlja temelj za procjenu kapaciteta i razine usluge tj. mjera efikasnosti

raskrija kao to su prosjeno zakanjenje i duljina kolone. Na temelju dostignua teorije

prihvaanja vremenskih praznina i teorije repova razvijeni su razliiti modeli za procjenu

kapaciteta te modeli za procjenu zakanjenja nesemaforiziranih raskrija.

Na raskrijima sa svjetlosnom signalizacijom vaan utjecaj na funkcioniranje samograskrija i odvijanje toka, a time i definiranje kapaciteta i mjera efikasnosti, ima nain rada

semaforskih ureaja. Nain i mogunost pranjenja stvorenih kolona, a time i efikasno odvijanje

prometa znaajno ovisi o duljini ciklusa, tonije o broju i duljini trajanja pojedine zelene faze i

njihovoj progresiji.


19/107

1

Literatura:

1. [D.1] Drew, D.R. Traffic Flow Theory and Control, McGraw-Hill Book Company,

New York, 1968.

2. [F.1] Fambro, D. B. and Rouphail, N. M., Generalized Delay Model for Signalized

Intersections and Arterial Streets, Transportation Research Record 1572, TRB, NationalResearch Council, Washington, D. C., pp. 112-121, 1997.

3. [G.1] Gazis, D.C., Herman, R., Potts, R., Car-Following Theory of Steady-State Traffic

Flow, Operations Research, Vol. 7, 1959

4. [G.3] Greenberg, H.,An Analysis of Traffic Flows, Operations Research, Vol.7, ORSA,

Washington, DC, 1959.

5. [G.4] Greenshields, B., A Study of Traffic Capacity, Proceedings of the Highway

Research Board, Vol. 14, Transportation Research Board, National Research Council,

Washington, DC, 1934.

6. [M.1] May, A.D., Traffic Flow Fundamentals, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New

Jersey, 1990.

7. [M.2] May, A.D., Keller, H. E. M., Non-integer Car-Following Models, Highway

Research Board, Record 199, Washington D.C., 1967.

8. [M.4] McShane, W.R., Roess, R.P., Prassas, E.S., Traffic Engineering, Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey, 1990.

9. [P.1] Pipes, L.A., An Operational Analysis of Traffic Dynamics, Journal of Applied

Physics, Vol.24, No. 3, 1953.

10. [R.1] Reuschel, A., Vehicle Movements in Platoon, Oesterreichisches Ingeniuer-Archir,

Vol.4, 1950

11. [U.1] Underwood, R., Speed, Volume and Density Relatinships, Quality and Theory of

Traffic Flow, Yale Bureau of Highway Traffic, New Haven, CT, 1961.

12. [W.1] Webster, F., Traffic Signal Settings, Road Research Technical Paper No.39, Road

Research Laboratory, London, U.K., 1958.


20/107

1

2. Analiza prometnog toka na

semaforiziranim raskrijima


21/107

2

2.1 Openito

Na raskrijima sa svjetlosnom signalizacijom vaan utjecaj na funkcioniranje samog

raskrija i odvijanje toka, a time i definiranje kapaciteta i mjera efikasnosti, ima nain rada

semaforskih ureaja. Nain i mogunost pranjenja stvorenih kolona, a time i efikasno odvijanje

prometa znaajno ovisi o duljini ciklusa, tonije o broju i duljini trajanja pojedine zelene faze i

njihovoj progresiji.

Stoga se modeli za analizu i ocjenu funkcioniranja raskrija sa svjetlosnom signalizacijom

temelje na etiri osnovna koncepta od kojih svaki opisuje pojedine specifinosti prometnog toka

na ovim raskrijima, a to su:

definiranje vremena slijeda, zasienog toka i kapaciteta

koncept kritinog traka i raspodjele vremena

utjecaj lijevih skretaa zakanjenje i druge mjere efikasnosti.

U daljnjem tekstu prikazano je znaenje i modeliranje navedenih karakteristika potrebnih

za razvoj bilo kojeg analitikog modela semaforiziranih raskrija.

2.2. Definiranje vremena slijeda, zasienog toka i kapaciteta

Na semaforiziranim raskrijima odreeni dio prometnog toka se zaustavlja za vrijeme

crvenog svjetla i dolazi do akumuliranja vozila na stop crti. Stoga je osnovna karakteristika koju

je potrebno opisati kod modeliranja prometnog toka nain odlaska vozila sa stop crte u trenutku

pojave zelenog svjetla na semaforskom ureaju. Da bi se definirao nain odlaska vozila tj. nain

pranjenja stvorenog repa, razmotrit e se primjer s N vozila u koloni koji ekaju zelenu fazu na

jednom privozu raskrija kao to je prikazano na slici 2.1.

Slika 2.1. Stvaranje kolone na privozu semaforiziranog raskrija

1 2 3 4 N


22/107

2

Nakon aktiviranja zelene faze vozila se poinju kretati jedan za drugim i odlaze s privoza.

Uobiajeno je da se odlazak vozila smatra kada zadnja osovina prijee stop crtu. Ako se mjere

vremenski intervali izmeu odlazaka pojedinih vozila s privoza tada se na temelju tako

izmjerenih podataka moe nacrtati dijagram kao na slici 2.2. u kojem je apscisa referentno vozilo

u repu, a ordinata vrijednost vremena proteklog izmeu odlaska uzastopnih vozila. Vremenski

interval izmeu odlaska dva uzastopna vozila tj. meuvrijeme prelaska zadnje osovine preko

stop crte, definira se kao vrijeme slijeda (engl. headway). Na slici 2.3. prikazan je opi oblik

krivulje vremena slijeda u odnosu na poloaj vozila u koloni.

Vozilo

vrijem

eslijeda(sekunde)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.0

0.51.0

1.5

2.0

2.53.0

3.54.0

4.5

Slika 2.2. Primjer izmjerenih vremena slijeda

h

e(i)

vozila u repu

1 2 3 4 5 6 7

vrijeme

prelaskastopcrte

t(i)

h = vrijeme slijeda zasienog toka

= )(1 iel = poetno izgubljenovrijeme

Slika 2.3. Opi oblik krivulje vremena slijeda

Na obje prethodne slike moe se uoiti da je prvo vrijeme slijeda (koje se mjeri od trenutka

aktiviranja zelene faze) najdulje jer ukljuuje vrijeme reakcije prvog vozaa na stop crti kao i

vrijeme potrebno za pokretanje i ubrzanje vozila. Slijedee vrijeme slijeda je neto krae jer

drugi voza svoje vrijeme reakcije i vrijeme ubrzanja moe preklopiti s vremenom prvog vozaa.

Svako slijedee vrijeme slijeda nastavlja se smanjivati dok se vrijednost ne stabilizira oko jedne

odreene vrijednosti h. Prema provedenim istraivanjima utvreno je da ovo izravnanje vremena


23/107

2

slijeda poinje s etvrtim ili petim vozilom u repu te se vrijednost h definira kao zasieno

vrijeme slijeda. Ono predstavlja vrijeme izmeu uzastopnih odlazaka vozila kada postoji

kontinuirana stabilizirana kolona u kretanju kroz raskrije.

Na temelju navedenih podataka, pri modeliranju prometnog toka na semaforiziranom

raskriju prikladno je pretpostaviti da je svakom vozilu potrebno h sekunda zelenog vremena za

ulazak u raskrije. Iz ovakve pretpostavke moe se izvesti i pojam zasienog toka gdje je

zasieni tok s broj vozila u jednom satu koja bi mogla ui u raskrije da je na signalnom

ureaju cijelo vrijeme zeleno svjetlo. Iz navedenog slijedi:

s = 3600 / h (2.1)

gdje je : s = zasieni tok (voz/h zel)

h = zasieno vrijeme slijeda (sek)

3600 = sekunda / sat

Jedinica za definiranje zasienog toka je "vozila na sat zelenog vremena po traku", a

mnoei ga s brojem trakova dobije se "vozila na sat zelenog vremena" za odreeni privoz

raskrija.

Kada bi svjetlo na signalnom ureaju doista bilo stalno zeleno, zasieni tok predstavljao bi

kapacitetpromatranog traka ili privoza tj. maksimalni broj vozila koja mogu proi tim trakom ili

privozom u uvjetima (geometrijskim i prometnim) koji vladaju na promatranoj lokaciji.

Meutim, s obzirom da se zeleno i crveno svjetlo cikliki izmjenjuju tokom vremena, za

definiranje i modeliranje kapaciteta privoza i/ili raskrija i procjenu mjera efikasnosti potrebno je

uzeti u obzir zaustavljanje i ponovno pokretanje vozila za vrijeme svakog pojedinog ciklusa.Ako bi se promatrala prosjena vrijednost vremena slijedah (kao to je sluaj kod

modeliranja neprekinutog toka) tada bi ona bila vea od h sekunda zbog veih vremena slijeda

prvih 3-4 vozila na stop crti. Stoga se, radi jednostavnijeg modeliranja naina pranjenja repa,

umjesto prosjenog vremena slijeda koje ovisi o broju vozila u repu upotrebljava konstantna

vrijednost zasienog vremena slijeda od h sek/voz, a dodatno potrebno vrijeme koje koristi prvih

nekoliko vozila promatra se kao zasebna vrijednost kroz pojam poetnog izgubljenog vremena.

Ako se razlika izmeu zasienog vremena slijeda h i pojedinog vremena slijeda prva tri do etiri

vozila na stop crti oznai s e(i) kako je prikazano na slici 2.3. tada se pojam poetnog

izgubljenog vremena definira kao:

( )=i

iel1 (2.2)

gdje je: l1 = poetno izgubljeno vrijeme u sekundama

e(i) = razlika vremena slijeda za vozilo i i zasienog vremena slijeda h

i = 1 do n gdje je n posljednje vozilo s vremenom slijeda veim od h


24/107

2

Raunanjem poetnog izgubljenog vremena l1 kao zasebne vrijednosti, koja predstavlja

vrijeme potrebno za reakciju vozaa i ubrzanje prvih vozila, pojednostavljuje se nain opisivanja

kretanja vozila na raskriju i s tim u vezi definiranje ostalih potrebnih parametara. Tako se, s

ovim pojednostavljenjem, trajanje zelene faze potrebne za uslugu N vozila u jednom ciklusu

moe jednostavno odrediti na slijedei nain:

Z = l1 + h N (2.3)

gdje je:

Z = vrijeme potrebno za prolaz N vozila po traku (sek)

l1 = poetno izgubljeno vrijeme (sek)

h = zasieno vrijeme slijeda (sek)

uz uvjet da su poznati podaci o poetnom izgubljenom vremenu i zasienom vremenu slijeda.

Sofisticiraniji pristup u definiranju zelene faze, a time i odreivanju kapaciteta traka ili

privoza je proraun tzv. efektivnog zelenog vremena gi. Efektivno zeleno vrijeme predstavlja

vrijeme koje se stvarno moe koristiti za prolaz vozila kroz raskrije i definira se izrazom:

gi = Gi + Yi - tL (2.4)

gdje je: gi = efektivno zeleno vrijeme za smjeri

Gi = aktualno zeleno vrijeme za smjeri (vrijeme zelenog svjetla na semaforu)

Yi = suma utog za smjeri i vremena kad je svima crveno(Yi najee iznosi 35 sek)

tL = ukupno izgubljeno vrijeme po fazi, (tL = l1 + l2)

Ovdje je uveden pojam ukupnog izgubljenog vremena tL = l1 + l2 kojeg sainjavaju

poetno izgubljeno vrijeme l1 i vrijeme pranjenja raskrija (clearance time) l2 kada nijednovozilo ne ulazi u raskrije. Vrijeme pranjenja l2 je vrijeme proteklo od ulaska zadnjeg vozila u

raskrije s privoza kojem je dozvoljeno kretanje do poetka slijedee zelene faze u kojoj je

dozvoljeno kretanje vozilima nekog drugog privoza.

Odnos efektivnog zelenog svjetla i duljine ciklusa (gi/C) naziva se odnos zelenog svjetla za

smjer i i predstavlja uee stvarno raspoloivog vremena za ovaj manevar kretanja u jednom

ciklusu. Kako je zasieni toksi broj vozila za smjeri koji u jednom satu mogu ui u raskrije uz

uvjet da je na semaforu stalno zeleno svjetlo, tako se sada uz definirani odnos zelenog svjetla,

kapacitet traka ili grupe trakova za smjeri moe definirati slijedeim izrazom:

C

gsc ii= (2.5)

gdje je: ci = kapacitet za smjeri (voz/h ili voz /h/ traku)

si = zasieni tok za smjeri (voz/h ili voz /h/ traku)

gi= efektivno zeleno vrijeme za smjeri (sek)

C= duljina ciklusa (sek)


25/107

2

Odreivanje zasienog vremena slijeda, zasienog toka, izgubljenog vremena i efektivnog

zelenog vremena presudno je kod modeliranja i prorauna kapaciteta koji predstavlja osnovni

ulazni podatak za daljnju analizu i vrednovanje funkcioniranja semaforiziranih raskrija i

odreivanje mjera efikasnosti. Iz izraza (2.5) vidljivo je da se osnovni problem definiranja

kapaciteta svodi na odreivanje vrijednosti zasienog toka. Za to postoje dvije mogunosti:

direktno odreivanje zasienog toka na promatranoj lokaciji to iziskuje angaman odreenog

broja ljudi i potrebnog vremena za prikupljanje i analizu terenskih podataka ili procjena stvarnog

zasienog toka pomou nekog od razvijenih modela.

U svim analitikim modelima za analizu funkcioniranja semaforiziranih raskrija procjena

stvarnog zasienog toka temelji se na idealnom zasienom toku pod kojim se podrazumijeva

neprekinuti tok samo putnikih vozila koja idu pravo u jednom smjeru. Pri tome su i uvjeti

idealni tj. uzduni nagib je 0%, irina traka je 3,60 m, nema bonih smetnji, nema pjeaka ni

manevara parkiranja te je stanje ceste i klimatskih prilika takoer idealno. To znai da u idealnim

uvjetima zakonitosti kretanja vozila ovise samo o njihovoj meusobnoj interakciji. Meutim,

poznato je da u realnom toku postoji niz specifinih imbenika koji utjeu na odvijanje

prometnog toka, a obuhvaeni su kroz pojam prevladavajuih uvjeta Prevladavajui uvjeti

generalno se mogu podijeliti na uvjete prometa, uvjete prometnice i uvjete rada svjetlosne

signalizacije.

Uvjeti prometa ukljuuju intenzitet prometnog optereenja, raspodjelu manevara kretanja

vozila (lijevo, pravo, desno), strukturu toka unutar svake grupe manevara, pjeake i biciklistike

tokove, manevre parkiranja, i sl.Uvjeti prometnice ukljuuju osnovnu geometriju raskrija odnosno broj i irinu trakova,

uzdune nagibe privoza, nain koritenja trakova ukljuujui i trakove za parkiranje u zoni

raskrija i sl.

Uvjeti signalizacije ukljuuju potpuno definiranje ukupne duljine ciklusa, broja i trajanja

pojedinih faza, tipa kontrole te naina izmjene faza signala.

Utjecaj svih ovih faktora na odreenoj lokaciji uvode se u proraun procjene veliine

zasienog toka na nain da se idealni zasieni tok, definiran za idealne uvjete, mnoi

korekcijskim faktorima koji odraavaju prevladavajue uvjete tj.:nifNss i ,...,10 == (2.6)

gdje je:

s = procjena stvarnog zasienog toka

s0 = idealni zasieni tok


26/107

2

N = broj trakova u grupi

fi = korekcijski faktori koji idealne uvjete prevode u prevladavajue uvjete.

Svaki od postojeih analitikih modela za proraun kapaciteta kao to su npr. ameriki

Highway Capacity Manual (HCM), kanadski Canadian Capacity Guide (CCG), njemaki RAS,

australska SIDRA i drugi, precizno definira idealan tok te prevladavajue uvjete i nain

prorauna korekcijskih faktora.

2.3. Koncept kritinog traka i raspodjele vremena

Pojam kritinog traka i nain raspodjele vremena usko su povezani kod opisivanja i analize

funkcioniranja semaforiziranih raskrija.

Pod raspodjelom vremena podrazumijeva se dodjeljivanje dijela raspoloivog vremena

pojedinim tokovima vozila i pjeaka tako da im se omogui to sigurnije i efikasnije kretanje iprolaz kroz raskrije. Raspoloivo vrijeme za dodjeljivanje uvijek je isto: 3600 sekunda u

jednom satu i tenja je iskoristiti ga optimalno. Koncept kritinog traka sadri princip raspodjele

tog vremena.

Za vrijeme svake faze obino je dozvoljeno kretanje vozilima iz nekoliko trakova, no samo

jedan od njih ima najintenzivniji promet i po definiciji on predstavlja kritian trak za tu fazu.

Stoga se moe pretpostaviti da dodjeljivanje dovoljnog efektivnog zelenog vremena kritinom

traku podrazumijeva kvalitetnu uslugu i vozilima na ostalim trakovima koji koriste istu fazu.

Na slici 2.4 prikazan je primjer etverokrakog raskrija ulica s dvofaznim signalnim

sustavom i naznaenim kritinim trakovima na temelju kojih se zatim vri raspodjela

raspoloivog vremena tj. odreivanje duljine ciklusa te broja i trajanja pojedinih faza.

Slika 2.4. Koncept kritinog traka


27/107

2

U okviru svake faze postoji poetno izgubljeno vrijeme i vrijeme pranjenja raskrija koji

ine ukupno izgubljeno vrijeme tL definirano u izrazu (2.4)kada se raskrije praktiki ne koristi.

Ako ciklus ima N faza tada ukupno izgubljeno vrijeme u jednom ciklusu iznosi:

TL = N tL (2.7)

Ako je duljina ciklusa Csekunda, tada je ukupan broj ciklusa u jednom satu 3600/C. Sada

se, nakon definiranja broja ciklusa, moe odrediti i ukupno izgubljeno vrijeme u jednom satu

koje iznosi:

CNt

CTT LLLH

36003600== (2.8)

Budui su kroz ukupno izgubljeno vrijeme obuhvaeni vremenski intervali kada se

raskrije ne koristi tj. obuhvaeno je izgubljeno vrijeme na poetku svake zelene faze potrebno

za reakciju vozaa i ubrzanje vozila kao i vrijeme na kraju zelene faze kada se prazni konfliktna

zona raskrija tada slijedi da se preostalo vrijeme u satu TG, koje se moe raspodijeliti kao

efektivno zeleno vrijeme za pojedine faze, moe izraunati prema izrazu:

CNtTT LLHG

360036003600 == (2.9)

Stavljanjem u odnos raspoloivog efektivnog zelenog vremena u jednom satu i zasienog

vremena slijeda definira se maksimalni broj vozila koji moe proi raskrijem u toku jednog

sata. Ovaj odnos u stvari predstavlja maksimalno moguu sumu prometnih optereenja kritinih

trakova na promatranom semaforiziranom raskriju. Matematiki se izraava relacijom:

== CNthh

T

V LG

c

36003600

1(2.10)

gdje je Vc maksimalna suma prometnih optereenja kritinih trakova.

Ovako definiran kritini prometni tok je jo jedan nain definiranja kapaciteta ako je

poznato zasieno vrijeme slijeda i ukupno izgubljeno vrijeme po fazi.

Koritenjem izraza (2.10) moe se utvrditi meusoban odnos kapaciteta, duljine ciklusa i

broja faza po ciklusu. Naime, za poznato zasieno vrijeme slijeda i ukupno izgubljeno vrijeme

moe se izraunati kapacitet Vc za razliite duljine ciklusa i razliiti broj faza. Ako se prema

dobivenim podacima izradi dijagram odnosa kapaciteta i duljine ciklusa dobit e se krivulje

oblika kao na slici 2.5. gdje je za h uzeta vrijednost od 2,15 sek, a tL = 3 sek/fazi.


28/107

2

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

40 90 140 190 240

duljina ciklusa (sek)

Vc

(voz/sat)

N=2

N=3

N=4

Slika 2.5. Prikaz kapaciteta u odnosu na duljinu ciklusa i broj faza

Na temelju dobivenih krivulja moe se zakljuiti da e kapacitet rasti s porastom duljine

ciklusa. Razlog je to se izgubljeno vrijeme definira kao konstanta za svaku fazu pa manji broj

ciklusa tijekom jednog sata povlai manji broj faza, a time i manje izgubljenog vremena. Na

dijagramu se moe uoiti da iako je kapacitet stalno u porastu, u domeni veih vrijednosti duljine

ciklusa dolazi do smanjenja osjetljivosti kapaciteta u odnosu na duljinu ciklusa kada dui ciklus

ne pridonosi znaajnijem poveanju kapaciteta.

Nadalje, iz daljnje analize meusobnih odnosa moe se zakljuiti da se kapacitet poveava

to je manji broj faza u jednom ciklusu, to je ponovno povezano s injenicom da se izgubljeno

vrijeme pripisuje svakoj fazi.

To objanjava nastojanja da se na semaforiziranom raskriju primjeni dvofazni sustav. Notakovo rjeenje moe biti i neefikasno u odreenim prometnim uvjetima i smanjivati kapacitet

to prvenstveno ovisi o mogunosti lijevih skretaa da koriste vremenske praznine u konfliktnom

toku.

Osim za odreivanje kritinog prometnog toka koje moe proi raskrijem, relacija (2.10)

se moe upotrijebiti i za definiranje potrebnog broja trakova na privozu ili se pak moe koristiti

za odreivanje minimalne duljine ciklusa. Broj potrebnih trakova moe se utvrditi tako da se

postojei ili planirani prometni tok raspodijeli na trakove po pojedinim privozima na nain da

suma broja vozila na kritinim trakovima ne prelazi utvreni Vc.S druge stane ako je geometrija raskrija (broj trakova) limitirana prostornim uvjetima tada

se za mogui broj trakova i definirani postojei ili planirani prometni tok moe utvrditi

maksimalna suma volumena kritinih trakova Vc te iz relacije (2.10) odrediti minimalno potrebnu

duljinu ciklusa koja e propustiti to prometno optereenje. Tada je minimalna duljina ciklusa za

poznato vrijeme slijeda h i izgubljeno vrijeme tL definirana izrazom:


29/107

2

hV

NtC

c

L

=

3600

3600min (2.11)

Relacija (2.28) ee se koristi napisana u ovom obliku:

h

V

NtC

c

L

/36001

min

= (2.12)

Meutim, ovakav proraun temelji se na ukupnom broju vozila u satu ne uzimajui u obzir

fluktuaciju toka unutar samog vrnog sata, a osim toga predstavlja apsolutno minimalnu duljinu

ciklusa u kojoj se koristi svaka sekunda efektivnog zelenog vremena to znai da je tok jednak

kapacitetu (q/c = 1) tokom cijelog sata to uzrokuje velika zakanjenja i lou razinu usluge.

Uvoenjem faktora vrnog sata (FVS) u izraz (2.12), ime se uzima u obzir fluktuacija

toka, i uvoenjem odnosa q/c kojim se definira eljeni odnos prometnog toka i kapaciteta na

odreenoj lokaciji, relacija (2.12) se prevodi u izraz (2.13) za proraun tzv. poeljne duljine

ciklusa:

)/3600)(/(1

hcqFVS

V

NtC

c

Lpoz

= (2.13)

Faktor vrnog sata karakterizira varijaciju prometnog toka unutar vrnog sata i vaan je u

kapacitativnoj analizi jer da bi bilo koji segment prometne mree funkcionirao na

zadovoljavajui nain potrebno ga je dimenzionirati tako da svojim kapacitetom zadovoljava i u

uvjetima najintenzivnijeg toka koji se obino javlja u kraim vremenskim intervalima. FVSse

rauna kao odnos stvarnog broja vozila (volumena) u jednom satu i najveeg volumena prometa

u kraem vremenskom intervalu, a izvedenog na vrijednost jednog sata. Za raskrija je

uobiajeno da se uzima najintenzivnijih 15 min u toku vrnog sata pa se faktor vrnog sata

rauna kao:

15

60

4 V

VFVS

= (2.14)

gdje je:

V60 = volumen prometa u vrnom satu

V15 = volumen prometa u najoptereenijih 15 minuta vrnog sata

Manja vrijednost faktora vrnog sata odraava veu varijabilnost toka, dok vee vrijednosti

ukazuju na manje promjene intenziteta ali i vei ukupni satni volumen.


30/107

2

2.4. Utjecaj lijevih skretaa

Kod modeliranja prometnog toka na semaforiziranim raskrijima najsloenije je

matematiki interpretirati tok lijevih skretaa jer na izvrenje manevra lijevog skretanja utjee

mnogo faktora.

U prvom redu treba razlikovati geometrijske karakteristike privoza odnosno da li lijevi

skretai koriste isti trak kao i vozila koja idu pravo kroz raskrije ili postoji poseban, dodatni trak

za lijeve skretae. Nadalje, ovisno o primijenjenom programu rada svjetlosnih signala, lijevi

skretai mogu koristiti istu fazu kao i vozila koja idu pravo, zatim mogu imati posebnu fazu tj.

zatieno zeleno vrijeme ili pak kombinaciju ova dva sluaja. Kod kombinirane zelene faze

zatieno vrijeme moe biti ili prije ili poslije zelenog vremena kojeg koriste vozila koja idu

pravo.

Meutim, bez obzira na nain regulacije, lijevim skretaima uvijek je potrebno vieefektivnog zelenog vremena za prolaz kroz raskrije nego vozilima koja idu pravo zbog same

prirode takvog kretanja. U praksi, ovo vee potrebno vrijeme u svim modelima uzima se u obzir

koritenjem faktora ekvivalencije ELT kojim se definira broj vozila koja bi mogla proi pravo

kroz raskrije za isti vremenski period potreban za prolaz jednog vozila koje skree lijevo.

Drugim rijeima, efektivno zeleno vrijeme potrebno za prolaz jednog lijevog skretaa kroz

raskrije jednako je prosjenom potrebnom vremenu jednog vozila koje ide pravo pomnoenom

s faktorom ekvivalencijeELT.

Za sluaj kada nemaju zatienu fazu, lijevi skretai moraju ekati na prihvatljivuvremensku prazninu u suprotnom toku. Ako pri ekanju koriste zajedniki prometni trak tada

blokiraju ostala vozila na traku koja su prisiljena ekati ili, ako je mogue, mijenjaju prometni

trak, a sve to znatno utjee na kapacitet privoza.

Modeliranje prihvaanja vremenske praznine u suprotnom toku ovisi o veliini najmanje

(kritine) vremenske praznine koju e prihvatiti lijevi skretai te o raznim parametrima koji

opisuju nasuprotni tok kao to su intenzitet toka, nain dolaska vozila, broj trakova, duljina

zasienog i nezasienog dijela zelenog vremena, tako da modeli za procjenu zasienog toka, a

time i kapaciteta moraju uzeti u obzir utjecaj svih ovih veliina i kroz odreene parametre

ukomponirati ih u proraun korekcijskog faktora utjecaja lijevih skretaa.


31/107

3

2.5. Mjere efikasnosti semaforiziranih raskrija

Za dijelove prometnog sustava s neprekinutim prometnim tokom, dakle za dionice

autocesta i drugih vangradskih cesta, mjere uinkovitosti preteno su vezane uz pojmove

prosjene ili maksimalne brzine i gustoe koje se mogu ostvariti na promatranim segmentima

mree. Budui su raskrija u osnovi samo toke unutar prometnog sustava cesta i ulica to je

definiranje mjera efikasnosti za opis kvalitete funkcioniranja raskrija neto sloenije nego kod

slobodnih dionica s neprekinutim tokom.

Osnovni prometni pokazatelji koji se koriste u analizi funkcioniranja raskrija, a kojima se

kvantificiraju odreeni aspekti prolaska vozila kroz raskrije i na taj nain "mjeri" uinkovitost

samog raskrija su:

zakanjenje

duljina repa i broj zaustavljanja

Zakanjenje se definira kao razlika izmeu vremena putovanja koje vozilo ostvari uz

utjecaj rada semafora i vremena putovanja koje bi vozilo ostvarilo na istom putu da nema

kontrole semaforom. Koristi se za odreivanje razine usluge semaforiziranih raskrija i u

optimalizaciji naina rada semaforskih ureaja, a detaljnije je opisano u slijedeem poglavlju.

Treba jo naglasiti da se zakanjenje moe promatrati kao ukupno zakanjenje ili pak kao

prosjeno zakanjenje po vozilu. Pod ukupnim zakanjenjem podrazumijeva se zakanjenje svih

vozila koja su prola kroz raskrije u nekom vremenskom periodu i izraava se u vozila-sati ilivozila-sekundi dok seprosjeno zakanjenje po vozilu izraava u sekundama po vozilu (sek/voz

ili min/voz ili h/voz) za odreeni vremenski interval i predstavlja individualno zakanjenje

vozila.

Osim zakanjenja koje se najee koristi kao mjera uinkovitosti i prema kojem se

definira razina usluge raskrija, vrlo korisni prometni pokazatelji su duljina repa i broj

zaustavljanja. Prosjena duljina repa tj. broj akumuliranih vozila koristi se za definiranje

potrebne duljine dodatnih trakova na privozu dok je broj zaustavljanja vaan ulazni podatak za

odreivanje koliine ispunih plinova tj. zagaenosti zraka i potronje goriva.

U daljnjem tekstu prikazat e se razvoj modela zakanjenja kao najvanijeg pokazatelja

kvalitete funkcioniranja semaforiziranog raskrija, a dat e se i kratki prikaz modeliranja duljine

repa.


32/107

3

2.5.1 Analitiki modeli zakanjenja

Vanost potrebe modeliranja zakanjenja na privozima raskrija proizlazi iz injenice da se

ovaj parametar koristi kako u postupku dimenzioniranja pojedinih elemenata raskrija tako i kod

analize i vrednovanja uinkovitosti postojeih rjeenja. Na primjer, minimizacija zakanjenja

esto se koristi kao osnovni kriterij za optimizaciju rada semaforskih ureaja tj. za odreivanje

najpovoljnije duljine ciklusa i pojedinih faza to je dalje vezano i uz definiranje geometrije

raskrija. Kao evaluacijski kriterij koristi se u HCM-u gdje se na temelju veliine prosjenog

zakanjenja po vozilu utvruje razina usluge. Prihvaanje zakanjenja kao optimizacijskog i

evaluacijskog kriterija jest u injenici da je ono direktno vezano za iskustvo koje ostvare vozai

pri prolazu kroz raskrije.

Na semaforiziranim raskrijima zakanjenje se definira kao razlika vremena putovanja

stvarno ostvarenog pri prolazu kroz raskrije i vremena koje bi vozilo ostvarilo da nema kontrolesemaforskim ureajem.

Tonu vrijednost zakanjenja teko je utvrditi jer ono ukljuuje zakanjenje povezano s

usporenjem vozila do zaustavljanja, zatim zakanjenje zbog stajanja u koloni ekajui zelenu

fazu kao i vrijeme potrebno za ubrzanje vozila nakon zaustavljanja do postizanja brzine

slobodnog toka. Zorniji prikaz navedenih komponenti zakanjenja dan je na slici 2.6 gdje je na

dijagramu put-vrijeme ucrtana trajektorija jednog vozila koje je na svom putu zaustavljeno zbog

crvenog svjetla na raskriju.

Put

Vrijeme

Putanja vozila ez stajanja

Putanja vozila sa stajanjemi ostu nimus orenjemiu rzanjem

Putanja vozilasa stajanjem

i trenutnim us orenjemiu rzanjem

Uku no zakanjenje

Zakanjenje

u rzanjaZakanjenjeus orenja

Zakanjenje stajanja

Slika 2.6. Prikaz komponenti zakanjenja na privozu raskrija


33/107

3

Kako je prikazano na slici 2.6 ukupno zakanjenje sastoji se od zakanjenja usporenja,

zakanjenja stajanja i zakanjenja ubrzanja. Zakanjenje stajanja u principu se definira kao

vrijeme potpunog mirovanja vozila iako kod veine modela ovo zakanjenje ukljuuje i vrijeme

kada se vozilo kree ekstremno malom brzinom pa tako npr. ova granina vrijednost u HCM-u,

CORSIM-u i nekim drugim modelima iznosi 1,2 m/sek to odgovara prosjenoj brzini pjeaka i

sva kretanja vozila brzinom manjom od ove ukljuena su u zakanjenje stajanja.

Iako je veliki dio zakanjenja prouzroen radom svjetlosnih signala, postoji dio zakanjenja

koji ovisi o vremenu reakcije vozaa na promjenu signala i o tehnikim mogunostima vozila da

krenu iz stanja mirovanja te je ovo zakanjenje uzeto u obzir kroz definiciju poetnog

izgubljenog vremena. Pridodajui i potrebno vrijeme pranjenja konfliktne zone raskrija i time

definiranja ukupnog izgubljenog vremena, ciklus se moe promatrati kroz efektivne intervale

(efektivno zeleno vrijeme i efektivno crveno vrijeme) umjesto aktualnog zelenog, utog i

crvenog vremena kako je i prikazano na slici 2.7. Na ovaj nain se proraun zakanjenja kod

analitikih modela svodi na efektivni period kada je tok zaustavljen i efektivni period kada je tok

u potpunom kretanju gdje se za svaki od njih nain pranjenja raskrija moe smatrati

konstantnim tj. za vrijeme efektivnog crvenog vremena prometni tok na promatranom privozu

jednak je nuli dok je za vrijeme efektivnog zelenog vremena jednak veliini zasienog toka.

Slika 2.7. Prikaz osnovnih atributa toka na semaforiziranim raskrijima


34/107

3

Budui je osnovna posljedica primjene crvenog signala i prekidanja tokova na

semaforiziranim raskrijima stvaranje kolona na privozu koje ekaju da budu usluene tj. da im

se omogui prolaz raskrijem to se svi primjenjivi modeli za procjenu zakanjenja i duljine repa

na semaforiziranim raskrijima temelje na dostignuima teorije repova.

Teorija repova ima iroku primjenu jer se temelji na analizi opeg(apstraktnog) sistema u

kojem se vri neka vrsta usluge elementima koji ulaze u sistem pa se njena teoretska dostignua

mogu primijeniti za razne vrste problema koji se mogu interpretirati kao takvi procesi. Kao

primjer mogu se navesti procesi u telekomunikacijama, alterske usluge, satelitske komunikacije

i dr., a u samom transportnom sustavu dostignua teorije repova mogu se koristiti kod

modeliranja toka na raskrijima, naplatnim kuicama, parkiralinim povrinama, kod incidentnih

situacija i sl.

2.5.1.1 Osnovne postavke i izvedene relacije teorije repova

Teorija repova razvila se s ciljem opisivanja ponaanja nekog sistema kojem je glavni

zadatak da prui odgovarajuu "uslugu" ili "servis" za sluajno nailazee zahtjeve. Temeljna

postavka teorije repova je da se stvaranje zastoja interpretira kroz vrijeme ekanja tj. zakanjenje

uzrokovano prekidima u toku.

Na slici 2.8 dan je shematski prikaz jednog opeg sistema kojeg analizira teorija repova

gdje u nekom vremenskom intervalu odreeni broj elemenata dolazi u sistem, eka na uslugu i

odlazi iz sistema. Element koji dolazi u sistem bit e odmah usluen ako je sistem prazan ili e seprikljuiti repu i ekati na izvrenje usluge. Osnovni parametri za opisivanje ovakvog sistema su

broj dolazaka u sistem u jedinici vremena i vrijeme usluge po elementu gdje oba ova parametra

mogu varirati u vremenu to uzrokuje i promjene u duljini repa i vremenu ekanja.

rep

= mjerausluge

uslunikanal

= mjeradolaska

Slika 2.8. Shematski prikaz jednolinijskog repa

Kod opisivanja i analize odvijanja prometnih tokova jedan takav sistem gdje se stvaraju

repovi moe predstavljati privoz raskrija bilo nesemaforiziranog ili semaforiziranog, zatim

ulazna rampa, ulaz na parkiralite, pjeaci na pjeakim prijelazima, dionica vangradske ceste s

incidentnom situacijom, itd. Ovdje se za broj elemenata koji ulaze u sistem podrazumijeva broj


35/107

3

vozila odnosno veliina prometnog toka tj. =q, a uslugu predstavlja kapacitet promatranog

privoza, dionice ili ulaza ovisno koji dio prometnog sustava se analizira.

Rep predstavlja broj vozila koji ekaju na uslugu, ne ukljuujui ono kojem se usluga

upravo vri, a stvara se ili zbog fluktuacije prometnog toka ili zbog promjene kapaciteta u nekom

vremenskom periodu.

Za potpuni opis sistema u kojem dolazi do stvaranja repa potrebno je poznavati slijedee

elemente:

prosjenu vrijednost dolaska u sistem

razdiobu dolazaka

prosjenu vrijednost trajanja usluge

razdiobu vremena usluge

nain usluivanja repa

broj uslunih kanalaProsjena vrijednost dolazaka definirana je intenzitetom prometnog toka odnosno brojem

vozila na sat ili vremenom slijeda izraenog u sekundama po vozilu dok razdioba dolazaka

moe biti deterministika (uniformna) kada vozila dolaze u jednakim vremenskim razmacima ili

probabilistika kada se dolasci ravnaju prema odreenoj teoretskoj razdiobi vjerojatnosti.

Na isti nain prosjeno vrijeme usluge definirano je kapacitetom ili vremenom slijeda

izraenog u sekundama po vozilu, te i njegova razdioba moe biti deterministika ili

probabilistika.

Najei nain usluivanja repa, a koji se koristi i kod opisa prometnih problema, je "firstin, first out" (FIFO) gdje se elementi usluuju prema redoslijedu ulaska u rep. Drugi na ini

usluge koji se jo koriste u teoriji repova mogu biti: "last in, first out" (LIFO), npr. kod dizala,

zatim repovi s otkazom gdje neki elementi nee ekati u repu ako je rep velik, repovi s

prioritetom i dr.

Jo jedan ulazni parametar je broj uslunih kanala kojih moe biti jedan ili vie i ako ih je

vie od jednog da li su u seriji ili paralelni.

Ako je broj dolazaka u sistem u jedinici vremena (tokq) manji od vremena trajanja usluge

po vozilu c (kapacitet) onda postoji stabilnost sistema i konano vremenski nezavisnavjerojatnost da rep bude u bilo kojem stanju u nekom trenutku. Takav sistem se naziva

nezasieni (nesaturirani) ili stacionarni sistem. U sluaju da je mjera dolaska q vea od mjere

trajanja pruanja usluge onda rep raste i ne moe se vie govoriti o vremenskoj nezavisnosti

sistema odnosno govori se ozasienom (saturiranom) sistemu i vremenski ovisni modelima.

Osnovna pitanja koja se javljaju kod analize jednog sistema s fenomenom stvaranja

repova su:


36/107

3

razdioba duljine repa

razdioba vremena ekanja u repu

postotak vremena kada je sistem prazan

Odgovori na ova pitanja direktno ovise o vrsti razdiobe dolazaka u sistem i razdiobe

vremena usluge. Postoje mnoge razdiobe koje se mogu koristiti za modeliranje dolaska vozila u

sistem i procesa pranjenja, a najee se koriste uniformna (deterministika), sluajna (Poisson-

ova) i Erlangova. U tablici 2.1 prikazana je klasifikacijska shema razdioba koje se koriste u

teoriji repova i nain oznaavanja. Oznaka D koristi se za uniformnu razdiobu, dok M, E i G

redom oznaavaju sluajnu (Poisson-ovu), Erlang-ovu i proizvoljnu (generalnu) razdiobu. Tako

npr. oznaka M/D predstavlja sistem gdje su dolasci u sistem sluajni, a vrijeme usluge

konstantno. Nadalje, ako nije drugaije naznaeno ova oznaka podrazumijeva sistem s jednom

linijom usluge i FIFO nainom usluge.

Tablica 2.1: Klasifikacija razdioba vjerojatnosti koje se koriste u stohastikoj analizi repova

Razdioba

dolazakaKonstantna

Razdiob

a usluge

SluajnaErlang-ova Opa

Konstantn

a

Deterministi

ki pristupD/M D/E D/G

Sluajna M/D M/M M/E M/G

Erlang-ova E/D E/M E/E E/G

Opa G/D G/M G/E G/G

Koje e se razdiobe primijeniti ovisi o konkretnom sistemu koji se analizira

(nesemaforizirano raskrije, semaforizirano raskrije, ulazna rampa, parking itd.) i odreuju se

na temelju izvrenih mjerenja ili ve ranije provedenih istraivanja.

Rezultati dobiveni u teoriji repova mogu se koristiti za odreivanje zakanjenja i duljine

repa na privozima raskrija pa je izraz (2.15) relacija koja se esto koristi u tom smislu, a naziva

se Pollaczek-Khintchine formula. Ova formula izvedena je za sistem sa sluajnom razdiobom

dolazaka i proizvoljnom razdiobom vremena usluge (M/G/1) i glasi:

( )( )

+

+=12

)( 22 uVarqnE (2.15)

gdje je:

E(n) = oekivana duljina repa

q = intenzitet prometnog toka


37/107

3

= stupanj zasienosti (saturiranosti) sistema izraen kao odnos mjere dolaska i mjere

usluge (= /) to kod promatranja prometnog toka odgovara odnosu prometnog

toka q i kapaciteta c

Var(u) = varijanca razdiobe vremena usluge

Budui se kod analize semaforiziranih raskrija promatra zasieno vrijeme slijeda kao

konstantno vrijeme usluge tada je Var(u) = 0 pa je prema izrazu (2.15) osim oekivane duljine

repa lako odrediti i oekivano vrijeme ekanja te oekivano vrijeme ukupnog zakanjenja to je

prikazano u tablici 2.2.

Tablica 2.2. Oekivane vrijednosti prema teoriji repova

O^ EKIVANADULJINA REPA

O^ EKIVANOVRIJEME ^ EKANJAU REPU

O^ EKIVANOVRIJEME UKUPNOGZAKA[ NJENJA

SLU^ AJNOVRIJEME USLUGE

/(1-) (1/c) (/(1-)) (1/q) (/(1-))

KONSTANTNOVRIJEME USLUGE

(2-2)/(2(1-)) /(2c(1-)) (2-)/(2c(1-))

Pollaczek-Khintchine formula (2.15) koristi se i u modelima zakanjenja za

nesemaforizirana raskrija gdje je vrijeme usluge sluajna varijabla tj. odlazak vozila sa stop crte

sporednog privoza moe se opisati negativno eksponencijalnom razdiobom pa je Var(u) = 1/c2.

Kako je ranije ve spomenuto sistem moe biti u nezasienom i zasienom stanju za to se

jo koriste pojmovi stacionarni i nestacionarni uvjeti. U kojim uvjetima se sistem nalazi ovisi o

odnosu mjere dolaska i odlaska iz sistema. Kod analize funkcioniranja privoza semaforiziranih

raskrija mjera dolaska je prometni tok u jedinici vremena, a mjera odlaska tj. vrijeme usluge

predstavlja zasieno vrijeme slijeda h kojim je definirana i veliina zasienog toka s (s =

3600/h).

Na slici 2.9 prikazane su funkcije dolaska na raskrije A(t) i odlaska s raskrija D(t)

tijekom vie uzastopnih ciklusa na jednom privozu semaforiziranog raskrija u razliitim

uvjetima funkcioniranja.


38/107

3

A(t)

D(t)

Vrijeme (sek)

Vozila

Slika 2.9.a Stacionarni uvjeti

A(t)

D(t)

Vrijeme (sek)

ozila

Slika 2.9.b Povremeni nestacionarni uvjeti

A(t)

D(t)

Vrijeme (sek)

ozila

Slika 2.9.c Nestacionarni uvjeti

Slika 2.9. Prikaz moguih uvjeta odvijanja prometnih tokova tijekom vie faza


39/107

3

Slika 2.9a prikazuje sluaj stacionarnih (nezasienih) uvjeta kada ni jedno vozilo pristiglo

na raskrije ne eka vie od jedne zelene faze za odlazak s privoza tj. sva akumulirana vozila

prou raskrijem prije pojave novog crvenog signala. U ovom sluaju funkcija odlaska D(t)

sustie i dijelom koincidira s funkcijom dolaska A(t) za vrijeme svakog ciklusa.

Slika 2.9b prikazuje povremene nestacionarne uvjete tj. sluaj kada se u seriji odreenog

broja ciklusa pojavi manji broj zasienih faza u kojima funkcija odlaska ne sustie funkciju

dolaska to znai da neka vozila moraju ekati vie od jednog ciklusa za prolaz raskrijem.

Ovdje je karakteristino da se ipak, nakon manjeg broja takvih zasienih ciklusa, sistem

stabilizira i ponovno funkcionira u stacionarnim uvjetima.

Nestacionarni uvjeti prikazani su na slici 2.9c i predstavljaju situaciju pojavljivanja veeg

broja zasienih ciklusa u duem vremenskom periodu. U ovom sluaju stvaranje repova postaje

ozbiljniji problem jer se svaki novi rep vozila prikljuuje zaostalom repu iz prethodnog ciklusa te

njegova veliina, a time i veliina zakanjenjapostaje ovisna o vremenu trajanja zasienih faza.

Budui veliina zakanjenja ovisi o uvjetima odvijanja prometnog toka to e se u daljnjem

tekstu za sve navedene uvjete dati kratki prikaz naina modeliranja te razvijenih modela

zakanjenja.

Stacionarni uvjeti

Kako je ve prethodno navedeno pod stacionarnim uvjetima odvijanja prometnog toka na

semaforiziranim raskrijima podrazumijeva se sluaj prikazan na slici 2.9a kada svaki ciklusodnosno njegova zelena faza omoguava disipaciju cijele kolone akumulirane za vrijeme

crvenog svjetla. To znai da nijedno vozilo ne eka vie od jednog ciklusa za prolaz raskrijem

to je realan sluaj za mala optereenja i dobro odabrane faze ili semafore s detektorskim

petljama.

Kod stacionarnih uvjeta funkcija odlazaka u svakom ciklusu sustie funkciju dolazaka to

odgovara uvjetima da je tok manji od kapaciteta u svakom trenutku i nema zaostalih vozila na

kraju bilo koje zelene faze. U ovom sluaju ukupno zakanjenje u nekom periodu predstavlja

sumu svih formiranih povrina trokuta izmeu funkcija dolaska i odlaska. Ovo zakanjenjeuobiajeno se naziva uniformno zakanjenje i oznaava s UD.

Radi preglednijeg i jednostavnijeg prikaza izvoda relacije za proraun uniformnog

zakanjenja, na slici 2.10 prikazane su funkcije dolaska i odlaska za vrijeme jednog ciklusa.


40/107

3

Zeleno

D(i)

tcr = C(1-g/C)

ZelenoCrveno

L(t)Dolazea vozila

Nagib = q

Nagib = s

Odlazea vozila

Vrijeme (sek)

Kumulativniprikazvozila(i)

Uniformno zaka{njenje

Slika 2.10. Prikaz uniformne komponente zakanjenja

Model za proraun uniformnog zakanjenja pretpostavlja uniformni dolazak vozila na

raskrije tj. vozila pristiu u jednakim vremenskim razmacima to je na slici 2.10. predstavljeno

linijom konstantnog nagiba gdje veliina nagiba odgovara intenzitetu prometnog toka q.

Na poetku crvene faze tok je zaustavljen i poinje se stvarati kolona vozila. Ponovnim

aktiviranjem zelene faze vozila u koloni odlaze s mjerom odlaska zasienog toka s (voz/sek).

Odlazak intenzitetom zasienog toka s odvija se u vremenu tc to predstavlja vrijeme odlaskasvih akumuliranih vozila i toku kada funkcija odlaska sustie funkciju dolaska. Od ove toke

linija dolaska i odlaska dalje koincidiraju to znai da sva ostala vozila pristigla za vrijeme

zelenog svjetla prolaze kroz raskrije bez zakanjenja do trenutka ponovnog aktiviranja crvene

faze.

Ovakav scenarij predstavlja idealni sluaj koji pretpostavlja da su sva vozila u koloni

ispranjena za vrijeme trajanja zelene faze. U ovakvom jednostavnom modelu ukupno

zakanjenje (Di) i-tog vozila predstavljeno je horizontalnom razlikom izmeu linije dolazeih i

odlazeih vozila. Vertikalna razlika izmeu linija dolazaka i odlazaka, s oznakom L(t),predstavlja ukupni broj vozila u koloni tj. duljinu repa u trenutku t.

Ukupno zakanjenje svih vozila izraeno u vozila-sekundi predstavljeno je povrinom

izmeu linija dolazaka i odlazaka to implicira da je uniformno zakanjenje za vrijeme jednog

ciklusa jednako povrini trokuta na slici 2.10. Povrina je jednostavno 1/2 umnoka osnovice ri

visineHgdje je refektivno crveno vrijeme. Budui se u analizi semaforiziranih raskrija rijetko


41/107

4

koristi termin crvenog vremena to se ono moe izraziti kao dio ciklusa koji nije efektivno zeleno

pa je

=C

gCr 1 (2.16)

gdje je Cduljina ciklusa, a gefektivno zeleno vrijeme izraeno u sekundama.

Visina trokutaHdobije se ako se izjednai broj vozila koja dou u vremenu r+ tc s brojem

vozila koja su otila u vremenu tc to daje:

( ) cc sttrqH =+= (2.17)

gdje je: tc = vrijeme pranjenja repa (sek)

s = veliina zasienog toka (voz/sek)

Uvrtavajui izraz (2.16) u gornju relaciju te rjeavajui postupno, prvo po tc,a zatim po

H, dobije se izraz za visinu:

=

qsqs

CgCH 1 (2.18)

Sada se proraunom povrine trokuta dobije izraz za ukupno uniformno zakanjenje svih

vozila koja su dola i otila za vrijeme trajanja jednog ciklusa kao

=qs

qs

C

gCUDu

22 1

2

1(2.19)

gdje je UDu = ukupno uniformno zakanjenje (vozila-sekunda),

Da bi se dobilo prosjeno zakanjenje po vozilu gornji izraz se mora podijeliti brojem

vozila usluenih za vrijeme trajanja ciklusa to je jednako qC. Navedeno ukljuuje i vozila koja

dolaze za vrijeme trajanja zelene faze i ne ostvaruju zakanjenje pri prolazu raskrijem. Dijelei

izraz (2.19) s qC uz provedena pojednostavljenja dolazi se do klasinog oblika tzv. Webster-

ovog izraza za uniformno zakanjenje:

( )[ ]( )[ ]sq

CgCUD

/1

/1

2

2

= (2.20)

gdje je UD = prosjeno uniformno zakanjenje po vozilu (sek/voz).

Izraz (2.20) razvio je Webster 1958. godine i on predstavlja temelj i ishodite razvoja svih

analitikih modela zakanjenja.

Iako je razvijen za jedan ciklus, pretpostavka uniformnih dolazaka, izraz (2.20) ini

primjenljivim za sva razdoblja u kojima je mjera dolaska konstantna. Ovaj izraz jednak je

deterministikom modelu u teoriji repova tj. za rep tipa D/D/1 klasificiranog prema tablici 2.1 jer

je primijenjena konstantna mjera dolaska i konstantno vrijeme usluge definirano kroz veliinu

zasienog toka.


42/107

4

Povremeni nestacionarni uvjeti

Osnovna pretpostavka kod razvoja modela za uniformno zakanjenje bila je da vozila

uniformno dolaze na raskrije to je za posljedicu imalo da se itava kolona vozila na jednom

privozu raskrija u nesaturiranim uvjetima toka uvijek moe isprazniti prije pojave novog

crvenog svjetla na semaforu. No u realnosti rijetki su sluajevi uniformnog dolaska ve je

prihvatljivija pretpostavka sluajnih dolazaka vozila koji se tada ravnaju po Poisson-ovoj

razdiobi.

Komponenta sluajnosti dolazaka moe prouzroiti pojavu pojedinih zasienih ciklusa

kada neka vozila ostaju u repu na kraju zelenog intervala i moraju ekati slijedeu zelenu fazu

iako je ukupni prosjeni tok manji od kapaciteta u promatranom razdoblju. Ta injenica da je u

ukupno promatranom razdoblju prosjeni tok manji od kapaciteta dovodi do toga da se nakon

nekoliko zasienih faza sistem stabilizira i ponovno dolazi u ravnoteu. Ovakvi povremeni

nestacionarni uvjeti prikazani su na slici 2.9b kroz odnos funkcije dolaska i odlaska.

Crtkana linija na toj slici definirana je maksimalno moguim brojem odlazaka za vrijeme

ciklusa pa njezin nagib (konstantni) predstavlja kapacitet c promatranog privoza. Uoljivo je da

linija odlaska ne sustie liniju dolaska vozila u svakom ciklusu to je posljedica stohastike

prirode dolazaka. U ovakvom sluaju ukupno zakanjenje se sastoji od uniformnog zakanjenja

UD i tzv. sluajne komponente. Uniformno zakanjenje je predstavljeno povrinom izmeu linije

kapaciteta i linije odlazaka vozila. Sluajno zakanjenje je tada povrina izmeu linije dolazaka i

linije kapaciteta.Jedan od temeljnih i najee navoenih modela u literaturi za povremene nestacionarne

uvjete je Webster-ov model koji je nastao koritenjem teorijskog pristupa i rezultata simulacije i

glasi:

[ ])/(2

3

1

2

22

65.0)1(2)/(12

)/1( Cgq

C

qCg

CgCd +

+

=

(2.21)

gdje je:

d = prosjeno zakanjenje po vozilu (sek/voz);

C = duina ciklusa (sek);

g = efektivno zeleno vrijeme (sek);

= stupanj zasienosti;

q = dolazei prometni tok (voz/sek).

Prvi lan u jednadbi predstavlja uniformnu komponentu zakanjenja (jednoliko

zakanjenje) i odgovara izrazu (2.20). Drugi lan je posljedica prirode sluajnih dolazaka na


43/107

4

raskrije i predstavlja dodatno tzv. sluajno zakanjenje koje pretpostavlja Poisson-ovu razdiobu

dolazaka i konstantnu mjeru odlaska koja odgovara kapacitetu privoza. Ovaj lan identian je

izrazu iz teorije repova prikazanom u tablici 2.1 za oekivano vrijeme zakanjenja repa tipa

M/D/1. Trei lan je korekcijski faktor dobijen i kalibriran na osnovu simulacijskih istraivanja s

ciljem konzistentnosti procijenjenih i simuliranih vrijednosti.

Na temelju Webster-ovog rada razvijeni su i drugi stohastiki modeli za procjenu

zakanjenja uz razliite pretpostavke razdioba dolazaka i odlazaka vozila. Kao zakljuak moe se

navesti da svi stohastiki modeli imaju iste ope pretpostavke. Prvo, da se dolasci vozila ravnaju

prema odreenoj statistikoj razdiobi koja se ne mijenja tokom vremena. To implicira da ovi

modeli nisu primjenjivi za procjenu zakanjenja na koordiniranim raskrijima gdje vozila dolaze

u grupama kao posljedica naina rada semafora "uzvodnog" raskrija. Drugo, svi modeli

pretpostavljaju da su vremena odlazaka meusobno identina ili se ravnaju prema poznatoj

razdiobi s konstantnom srednjom vrijednosti. Tree, iako se mogu pojaviti povremena

prezasienja zbog stohastike prirode dolazaka, pretpostavlja se da je sistem generalno nezasien

za vrijeme analiziranog perioda tj. vraa se u ravnoteno stanje pa su modeli vremenski

nezavisni. I na kraju, svi imaju pretpostavku da vozila trenutano ubrzavaju i usporavaju.

U svijetu provedena istraivanja usporedbe razliitih stohastikih modela pokazuju da oni

daju dobre i sline rezultate u uvjetima dok je optreenje manje od kapaciteta, naroito za odnos

toka i kapaciteta (q/c) do vrijednosti 0.80 - 0.85. U uvjetima kada se prometna potranja

pribliava kapacitetu (q/c = 1) ovi modeli tee u beskonanost jer se izraz (1-q/c) nalazi u

nazivniku sluajne komponente zakanjenja to implicira da nisu primjenjivi u nestacionarnimuvjetima toka.

Nestacionarni uvjeti - deterministiki pristup

Prethodno je prikazano da se stohastiki modeli ne mogu primijeniti u sluajevima kada se

zasienje javlja u znaajnijem vremenskom periodu tj. kada je potreban dui vremenski period

da bi se sistem vratio u ravnoteu. U tom sluaju, koji je prikazan na slici 2.9c, sluajno

zakanjenje postoji praktiki u svakom ciklusu analiziranog razdoblja i sistem je prezasien.Kod prezasienosti sistema potranja premauje kapacitet u duljem vremenskom razdoblju

pa se kolona vozila iz ciklusa u ciklus stalno poveava jer se itavi rep ne uspijeva isprazniti za

vrijeme zelene faze. Samim tim poveava se i zakanjenje jer se nova kolona vozila u ciklusu

pridodaje ostatku kolone iz prethodnog ciklusa. Zbog kumulativnog poveavanja kolone

zakanjenje moe postati ekstremno veliko.


44/107

4

Ovakva stanja, kada je u duljem vremenskom periodu prometni tok vei od kapaciteta (q/c

> 1), stohastiki modeli teorije repova ne opisuju dobro jer sistem nije u ravnotei, odnosno

prevladavaju nestacionarni uvjeti. No uz pretpostavku konstantne potranje i konstantne usluge,

dakle deterministikim pristupom, moe se procijeniti veliina zakanjenja uslijed trajanja

zasienja. Takav deterministiki model prikazan je na slici 2.11.

Z Z Z ZC C C

s

c

q

Vrijeme (sek)

cT

qT

Prezasi}eno zakanjenje

Vozila

Uniformno zaka{njenje

Slika 2.11 Deterministiki model zakanjenja u nestacionarnim uvjetima

Prometni tok, odnosno dolazak vozila na raskrije, prikazan je linijom konstantnog nagiba

q koja u svakom trenutku premauje kapacitet privoza. Kapacitet privoza c predstavljen jelinijom konstantnog nagiba koja je definirana krajnjim tokama linija odlazaka za svaki ciklus,

to znai da predstavlja mjeru maksimalnog prosjenog odlaska u jedinici vremena. Za vrijeme

crvene faze funkcija odlazaka je konstantna jer je tok=0, dok je za vrijeme zelene faze jednaka

vrijednosti zasienog tokas.

U ovom sluaju, kada potranja kontinuirano nadilazi kapacitet, zakanjenje uslijed

zasienosti sistema raste s vremenom to implicira da vremensko trajanje prezasienja direktno

utjee na ovu komponentu zakanjenja.

Uniformna komponenta zakanjenja predstavljena je povrinom izmeu linije kapaciteta ilinije odlazaka i jednaka je zakanjenju koje bi se pojavilo u sluaju da linije kapaciteta i

dolazaka koincidiraju. Zakanjenje uzrokovano zasienjem sistema moe se predstaviti

povrinom izmeu linije dolazaka i linije kapaciteta.

Veliina uniformne komponente moe se dobiti prema izrazu (2.20) uvrtavajui (q/s)=

(g/C)(q/c) i (q/c) = 1 ime se dobiva:


45/107

4

( )[ ]2

/1 CgCUDo

= (2.22)

gdje je UDo uniformna komponenta prosjenog zakanjenja kada postoji prezasienje na

promatranom privozu.

Ukupno zakanjenje svih vozila zbog zasienja sistema do trenutka t=Todgovara povrini

trokuta kojeg tvore linija dolazaka i linija kapacite

Documents

Teorija Prometnog Toka