Fagrapport – Matematik N. Zahles Seminarium 2009

En undersøgelse af, hvordan de bedste matematikelever arbejder.

Forfatter: Klavs Ravn Gydesen

Studienummer: 272026

Vejleder: Hans Jørgen Beck

2

Indholdsfortegnelse

1.0 Indledning. ..................................................................................................................................................... 3

1.1 Emneområde. ............................................................................................................................................ 3

1.2 Baggrund for valg af emneområde. ........................................................................................................... 3

2.0 Problemformulering. ..................................................................................................................................... 4

3.0 Metodebeskrivelse. ....................................................................................................................................... 5

3.1 Den læringsteoretiske synsvinkel. ............................................................................................................. 5

3.2 Indledende undersøgelse. ......................................................................................................................... 6

4.0 Didaktiske og pædagogiske overvejelser. ..................................................................................................... 6

4.1 Didaktiske overvejelser. ............................................................................................................................. 6

4.2 Pædagogiske overvejelser. ........................................................................................................................ 9

4.3 Det valgte undervisningsforløb. .............................................................................................................. 10

4.4 Observationsfokus. .................................................................................................................................. 11

5.0 Undervisningsforløbet. ................................................................................................................................ 12

5.1 Afsluttende kommentar på UV-forløbet: ................................................................................................ 18

6.0 Analyse af undervisningsforløbet. ............................................................................................................... 18

6.1 En diskussion og refleksion over undervisningsforløbet. ........................................................................ 20

7.0 Konklusion. .................................................................................................................................................. 21

8.0 Afrunding og perspektivering. ..................................................................................................................... 22

9.0 Kilder. ........................................................................................................................................................... 23

10.0 Bilagsoversigt. ............................................................................................................................................ 24

Bilag 1: Invitationsbrev .................................................................................................................................. 25

Bilag 2: Resultatark ........................................................................................................................................ 27

Bilag 3: Evalueringstekst i forbindelse med de enkelte moduler .................................................................. 28

Bilag 4: Undervisningsforløbet i skematisk form ........................................................................................... 29

Bilag 5: Øvelse – geometriske figurer ............................................................................................................ 32

Bilag 6: Øvelse - omskrive tekster til matematisk udtryk .............................................................................. 33

Bilag 7: Øvelse – ”Kryds og bolle” skal bytte plads ........................................................................................ 34

3

1.0 Indledning.

1.1 Emneområde.

Jeg er optaget af, hvad der sker i en homogen gruppe af udskolingselever, der almindeligvis har relativt nemt

ved matematikfaget, når disse elever bringes ind i et undervisningsforløb, hvor de er sammen med

”ligesindede”. I det følgende er omtalen af ”elever” underforstået udskolingselever i en klasse. Klassen består

af 11 piger (61 %) og 7 drenge (39 %).

1.2 Baggrund for valg af emneområde.

Faget matematik er et kernefag i den danske folkeskole: ”Formålet med undervisningen i matematik er, at

eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

og naturforhold. Analyse og argumentation skal indgå i arbejdet med emner og problemstillinger.” (Kilde:

www.faellesmaal.uvm.dk/fag/Matematik/formaal). I formålsparagraffen stk. 2 hedder det endvidere at:

”Undervisningen tilrettelægges, så eleverne opbygger matematisk viden og kunnen ud fra egne forudsæt-

ninger”. De fremhævede dele har for mig en central betydning idet matematikfaget i de ældste klasser (7. -

9.klasse) har et tiltagende dagligt præg af, at eleverne snart skal til afgangsprøve. Terminskarakterer,

”blækregning” (opgaver i problemløsning) trinmål og slutmål har specielt fra lærerside et dedikeret fokus. ”Nu

skal de lære matematik.”

Eleverne møder i undervisningssituationerne flere nye begreber eksempelvis formler, ”ubekendte”, regning

med ”ubekendte”. Det er en matematik, der bliver sat mere og mere ind i hverdagssituationer gennem

problemløsning og undersøgende arbejde med tekster og tolkning af det matematiske indhold i teksterne.

Nogle elever i udskolingen mangler dog stadig at få helt styr på de små tabeller, at kunne multiplicere, at

kunne udføre en division, måske at huske ti’erne i overgange ved addition, forståelse af brøker samt procent-

regning er heller ikke altid lige nemt.

I undervisningssituationer bliver der stadig brugt tid på ”at samle op” og sikre, at alle elever er på nogenlunde

samme niveau, hvad angår det basale stof (fra mellemtrinet). Men der er samtidig andre elever, der har

indøvet en fortrolighed med viden, færdigheder og kompetencer fra mellemtrinnet. Disse elever har nemmere

ved det nye stof, men de keder sig relativt hurtigt i situationer, hvor læreren nu igen skal bruge tid på at samle

op og repetere. Løsningen på dette findes måske inden for princippet om undervisningsdifferentiering, bl.a.

formuleret i FSL § 18. De dygtige elever får eksempelvis stillet nogle af de mere komplicerede opgaver. Disse

opgaver hviler ofte på den samme forståelse og anvendelse af denne forståelse. I praksis opleves også, at de

relativt svagere elever har brug for mere tid i deres arbejde med det problem, som de er stødt på. De relativt

stærkere elever har brug for mindre tid i deres arbejde med det samme problem. Resultatet er, at lærerens tid

over for de svagere elever i praksis ofte er fordelt til fordel for dem, mens de stærkere elever mister en

værdifuld tid til kvalificerende og udfordrende dialog omkring netop det læringspotentiale, som de står med.

4

Mit fokusområde i denne fagrapport er, at de bedste elever i dagligdagen ikke får tilstrækkelig udfordring og

kvalificeret opmærksomhed i deres læreproces. Disse elever møder sjælden en grænse for, hvornår det er lidt

svært at finde ud af det – en grænse der kan være med til at stimulere en yderligere nysgerrighed. Der skal

også i forhold til de bedste elever iscenesættes en kvalificeret virksomhed med henblik på at lære matematik

ud fra deres kognitive og motivationelle niveau.

Jeg er til daglig matematiklærer for to 8.klasser på en folkeskole. Jeg havde ligeledes begge klasserne i 7.klasse

sidste skoleår. Skolen er afdelingsopdelt, hvor jeg tilhører udskolingen (7. – 9.kl.). I skoleåret 2008/2009 er der

udbudt en række valgfag. Flere valgfag har status af at henvende sig til de dygtigste elever. Ét af valgfagene

hedder ”Matematikgrublerier”. Dette valgfagsforløb, der er på 5 gange 2 lektioner, har jeg stået for at

planlægge, forberede, afvikle samt evaluere. Der var i alt 18 elever fordelt på to 7.klasser samt to 8.klasser.

Efter samråd med de øvrige matematiklærere, blev eleverne fra 9.klasserne af forskellige årsager valgt fra, og

deltog i stedet i valgfaget ”Matematikværksted”.

Det er ud fra Folkeskolelovens § 25 stk. 5 muligt at sammensætte elevgrupper på tværs af klasser og klassetrin

i kortere perioder. Dette giver anledning til, at de bedste elever inden for matematik i en periode kan opnå at

fokusere bedre på læreprocessen og derved bedre kan registrere udbyttet af læringen. Der skabes et mere

intensivt fokus på ”at lære matematik”, når en gruppe elever er samlet uden for normalgruppen / normal-

klassen. Eleverne udgør en mere homogen gruppe, idet de har foretaget et positivt tilvalg af valgfaget.

I dagligdagen ved jeg/vi godt, at ”de gode elever er gode” inden for daglig pensum. Dette opleves på forskellig

vis; de arbejder hurtigere, de løser flere opgaver og har flere rigtige, de er bedre i stand til at forklare sig, og

selvom det på ingen måde er lærerens intension kommer eleverne ofte til at kede sig for hurtigt.

Jeg mener, der er et reelt grundlag for at undersøge, hvad sker der i en relativt homogen gruppe af elever,

der almindeligvis har nemt ved matematikfaget, når de bringes ind i et undervisningsforløb, hvor de er

sammen med ”ligesindede”.

2.0 Problemformulering.

I konkretiseringen af emneområdet ønsker jeg at fokusere på, hvilke faktorer, der har indflydelse på læringen

for de bedste elever, når de er i et læringsmiljø, hvor deres kompetencer har mulighed for at blive udfordret.

Ligeledes har det været vigtigt for mig at kunne observere tegn eller konkret adfærd, der kan bidrage til at

beskrive og evaluere læringsprocessen. Dette fører til følgende problemformulering:

Hvordan arbejder de bedste matematikelever i en udskolingsgruppe,

og er der særlige tegn, der kan observeres og beskrives?

5

3.0 Metodebeskrivelse.

Fagrapporten er bygget op således, at jeg først vil kort præsentere min indledende pejling på elevernes eget

udtrykte udgangspunkt og forventninger til forløbet. Dette munder ud i en præsentation af mine didaktiske og

pædagogiske overvejelser samt mine overvejelser omkring det matematikfaglige valg.

Dernæst vil jeg beskrive den teori jeg har anlagt med henblik på valget af et konkret undervisningsforløb. Jeg

vil samtidig konkludere på, hvorfor jeg har taget konkrete valg med baggrund i dels forundersøgelsen samt det

teoretiske fundament for denne rapport.

Med udgangspunkt i en beskrivelse af undervisningsforløbet vil jeg inddrage mine iagttagelser, evalueringer

og notater fra lektionerne samt elevernes slutevalueringer.

Efterfølgende vil jeg analysere, reflektere over samt diskutere mit erfaringsmateriale med udgangspunkt i

den læringsteoretisk ramme, idet jeg anvender en model som professor ved RUC, Knud Illeris (”Læring”, 2007),

har udarbejdet. Modellen anlægger et overordnet syn på de elementer og sammenhænge, der indgår i en

enhver læreproces. Jeg vil anvende modellen med specifik fokus på læring inden for faget matematik.

Endelig vil jeg foretage en konklusion samt en afrunding og perspektivering på, hvorledes de bedste elever kan

have mulighed for at blive tilgodeset på en mere kvalificeret måde inden for faget matematik.

3.1 Den læringsteoretiske synsvinkel.

Der findes i litteraturen adskillige teorier om, hvordan

læring foregår samt, hvordan lærings-processer kan

tilrettelægges. Matematikfaget er i et væsentligt omfang

bygget op omkring en logik, definitioner, abstrakte

begreber, bestemte tal og begrebsmæssige

sammenhænge under givne forudsætninger samt ikke

mindst løsninger, der enten er rigtige eller forkerte.

Læringsprocessen har ifølge professor ved RUC Knud

Illeris (”Læring”, 2007) tre hoveddimensioner:

Den kognitive dimension, hvor særligt tænkning,

analyse, struktur, deduktion og logik håndteres. Knud

Illeris omtaler læringens entydighed (assimilation) samt læringens flertydighed (akkomodation) i den

kognitive dimension. I min analysedel vil jeg forsøge at beskrive, hvorvidt undervisningsforløbet har tilført

assimilativ eller akkomodativ læring hos målgruppen idet jeg supplerer med Benjamin Blooms taksonomi.

6

Den psykodynamiske dimension indeholder vores motivation, følelser og viljes bidrag til læringen.

Den tredje dimension er den relationelle dimension eller den samspilsmæssige dimension. Samspils-

dimensionen dækker over, at læringen dannes i den sociale proces og konteksten, man deltager i.

Deltagelsen kan spænde fra en passiv iagttager til en aktiv deltagelse, der genererer medspil, udfordring

eller modspil.

Matematiklæring kræver virksomhed. Eleverne kan ikke nøjes med at læse matematik for at forstå matematik.

En matematiklæring er udvikling af en færdighed, en kompetenceudvikling. Faget har et implicit indhold af et

undersøgende og afprøvende element. Jeg har anlagt en erfaringspædagogisk tilgang i undervisningsforløbet.

John Deweys (tidligere amerikansk filosof og pædagogisk tænker) tænkning baserede sig på, at mennesket

konstant er i interaktion med sin omverden, og regulerer sine aktiviteter i forhold til de reaktioner det

modtager – at vi lærer (bedst) gennem at kombinere egen virksomhed og erfaring. Begrebet virksomhed

dækker over, at vi foretager handlinger og praktiske forsøg, og har en umiddelbar oplevelse forbundet

dermed. Erfaringen og erfaringsprocessen er en efterfølgende erkendelse, hvor det oplevede nu får en

betydning, mening og værdi, hvorved læring er opnået i den konkrete situation.

3.2 Indledende undersøgelse.

Tilbagemelding på det indledende brev (bilag 1) op til forløbet viste i elevernes egen vurdering af niveau i

forhold til klassekammeraterne ikke overraskende, at ingen i gruppen ”under middel”. Fordelingen af eleverne

i de to øvrige kategorier var: 5 i ”middel” og 13 i ”over middel”. I begrundelserne (se bilag 2 – resultatark)

viste tilbagemeldingen to dominerende grupperinger af indhold: A) at eleverne ønsker/håber på en faglig

stimulering. B) at eleverne glæder sig at have det sjovt!

4.0 Didaktiske og pædagogiske overvejelser.

Eleverne i forløbet havde i december 2008 modtaget et velkomstbrev fra mig. I dette brev havde jeg bedt dem

om at skrive en kort begrundelse for valget af netop dette valgfag. Endvidere havde jeg udbedt mig elevens

egen umiddelbare vurdering af (som en afkrydsning), hvor de mener, at de fagligt er placeret i forhold til deres

klassekammerater i faget matematik: under middel, omkring middel eller over middel. Se bilag 1.

4.1 Didaktiske overvejelser.

I en beskrivelse af mine didaktiske overvejelser og intentioner vil jeg benytte den didaktiske relationsmodel fra

Hiim og Hippe i en strukturel opsætning idet denne model giver en god og nuanceret baggrund for dels plan-

lægningen af undervisningsforløbet og dels den efterfølgende analyse af forløbet.

Læringsforudsætninger: elevernes sociale, kulturelle, psykologiske og fysiske læringsforudsætninger. Hvor

gode er de bedste elever egentlig? At de er bedre end deres klassekammerater i stamklasserne er reelt nok,

men er de bedste så i ”en klasse for sig”, og hvordan vil dette give sig udtryk i spørgsmål til det stof jeg kan

7

præsentere for dem samt i deres spørgsmål til hinanden og mig som lærer? Hvad kan jeg forvente af dem i en

gruppedialog, som en del af en demokratiforståelse? Har eleverne blot en hurtigere tilgang til en strategi-

forståelse hen imod en løsning af de daglige opgaver? Hvordan vil et fagligt overskud og en forståelse af stoffet

kunne skabe en større almen respekt for de andre klassekammeraters forslag og løsninger?

Målgruppen for forløbet er de dygtigste elever i en udskolingsgruppe. Eleverne er gruppe børn fra et

middelklasseområde i en rolig forstadskommune til København. Der er ikke dansksproglige eller kulturelle

udfordringer til stede i elevgruppen. Eleverne har foretaget et positivt tilvalg i deres deltagelse. Jeg anlægger

derfor den synsvinkel, at eleverne er velfunderet i sproglighed inden for problemopgaver og situations-

beskrivelser samt har godt styr på den matematik, der ligger i niveauet 7.kl. / 8.kl. I Benjamin Blooms

taksonomi svarende til niveau 3 – anvendelse: ”Benyttelse af generelle ideer, teorier, principper, procedurer

og metoder i konkrete (nye) (problem) situationer”.

I elevernes egen vurderingen af niveau i forhold til klassekammeraterne var der, ikke overraskende, ingen i

gruppen ”under middel”. Fordelingen af eleverne i de to øvrige kategorier var: 5 i ”middel” og 13 i ”over

middel”.

Rammefaktorer: lovgivning, skolebeslutninger, fysiske rammer. Skolen har en bevidst ambitiøs målsætning, og

er placeret som den bedste skole i kommunen målt af CEPOS. Lærerteamet i udskolingen har en ligeledes

tydelig og ambitiøs indstilling til at have en klar profil både hvad angår det faglige og det sociale. Udskolingen

er fysisk samlet i store og lyse klasselokaler, der giver gode muligheder for at mindre grupper kan arbejde. I

dette forløb har jeg lagt beslag på det tidligere 10.kl. lokale, så vi har mulighed for at lade materialer og

notater m.v. ligge fra gang til gang.

Mål: undervisningsmål, læringsmål. Folkeskolens formål i relation til den almene dannelse rummer alle elever,

men eleverne med særlige bevidste (og udprægede gode) kompetencer inden for faget matematik skal også

kunne rummes ud fra deres individuelle behov. Matematik faget i udskolingen har som særligt slutmål, at

eleverne skal op til en skriftlig afgangsprøve efter 9.klasse. For en del af eleverne gælder det endvidere om at

komme videre i en gymnasial uddannelse, og måske derfra videre i uddannelsessystemet.

Matematik faget har i mange uddannelser en central kvalificerende og samtidig en studiemæssig relevant

betydning, idet fagets analyserende og undersøgende form bidrager kognitivt til en strategiforståelse og

problemløsende tilgang til mange andre komplekse eller forståelsesmæssige sammenhænge, hvor der indgår

flere elementer.

Målsætningen med forløbet er at sætte en ramme, og præsentere et indhold, hvor de valgte problemstillinger

giver så mange muligheder for at arbejde undersøgende som muligt og samtidig skal det være muligt at nå

8

frem til at løse problemet. Balancen mellem at give faglig udfordring uden at tage modet fra eleverne har

været vigtigt i mine valg.

Inden for Fællesmålene for matematik vil jeg derfor fokusere på, at eleverne har mulighed for at tilegne sig

færdigheder, der sætter dem i stand til at problemformulere, beskrive fremgangsmåder og angive løsninger

på forståelig vis, at de mundtligt kan udtrykke sig samt i samarbejde med andre kan vælge en hensigts-

mæssig faglig metode, arbejdsform og redskab ved løsning af problemstillinger af tværgående art. I deres

arbejde med at formulere hypoteser og gennemføre ræsonnementer skal de opnå en forståelse af, at valget

af en matematisk model kan afspejle en bestemt værdinorm.

Indhold: undervisningsforløbets faglige indhold. Hvilke faglige udfordringer har de behov for samt hvad kan jeg

præsentere således, at eleverne på den ene side oplever en, i forhold til deres niveau, faglig stimulering, og

samtidig på en måde således, at de på den anden side ikke møder et naturligt fagligt nederlag, men fortsat har

tillid til egne muligheder? Eleverne er gode til at ”regne matematik”. Jeg anlægger derfor et udgangspunkt,

hvor der godt må være en hvis grad af uforudsigelighed i problemopgaverne. I begrundelserne (bilag 2) viste

tilbagemeldingen to dominerende grupperinger af indhold. Den ene gruppe handler om, at eleverne

ønsker/håber på en faglig stimulering. Indhold som eks.: ”… udfordring …”, ”… at lære noget …”, ”… nye måder

…”, ” … løse problemer …” går igen i flere af elevernes begrundelser. Den anden gruppe handler om, at

eleverne glæder sig at have det sjovt! Jeg mener godt dette kan tolkes, at eleverne har en forventning om, at

det bliver et socialt stimulerende forløb at kunne arbejde sammen med ”ligesindede”.

Læreprocessen: tilrettelæggelsen og organiseringen samt afviklingen af læreprocessen herunder lærerens

involvering og rolle. Jeg forestiller mig, at elevernes gensidige respekt for hinanden er synligt til stede, da de til

en vis grad kender hinandens forudsætninger for at deltage i forløbet. Eleverne har en god fornemmelse af, at

de er sammen med andre, der også er dygtige til den daglige matematik. Jeg har en forestilling om, at deres

samarbejdsevner viser sig i en professionel udgave idet eleverne møder undervisningsforløbet med en positiv

motivation. Eleverne kan med andre ord forventes at indgå som aktører i undervisningen (T. Nordahl)

Jeg er indstillet på, at eleverne møder med en åben og erkendt nysgerrighed og et ønske om at blive udfordret

og sat på prøve … ”gad vide om jeg også kan klare dette!”. Jeg vil forvente, at eleverne har en undersøgende

og spørgende tilgang i omgangen med stoffet samt, at de har en interesse i at hjælpe hinanden. Denne

situation kender de fra dagligdagen, hvor de er hjælper for deres sidekammerater.

Jeg har en forestilling om, at eleverne selv skaber det udfordrende i deres strategi for at håndtere

grublerierne, og samtidig ikke lader sig afskrække af en problemløsningsopgave. Eleverne har med andre ord

en lidt naiv faglig selvbevidsthed, der skal rystes og stimuleres med en ”god anderledeshed” (som Thomas

Ziehe udtrykker det). Som matematiklærer anser jeg det for en meget vigtig opgave at bidrage til den almene

9

dannelse samt at så mange elever som muligt opnår så gode matematikfaglige kvalifikationer som muligt

inden for folkeskolens kontekst. Men også, at de elever, der har behovet, opnår en for deres niveau passende

matematisk kompetence, der bidrager til en handlekompetence.

Vurdering / evaluering: vurdering og evaluering i forhold til processen og de opsatte mål. Hvad kan eleverne

have ud af at gennemføre 10 lektioner i matematisk grubleri, når de i forvejen ligger godt til, i den under-

visning, der er tilrettelagt ud fra de fælles mål?

Jeg har udleveret en invitation inden forløbet startede og gennem invitationen opsamlet skriftlige svar på et

spørgsmål om elevernes forventninger (se bilag 2). Undervejs vil jeg dels observere gruppesamtalerne mellem

eleverne samt foretage en umiddelbar evaluering efter hvert modul, hvor jeg vil bede eleverne om en

umiddelbar tilkendegivelse af deres dominerende læringsoplevelse af modulet.

Slutligt vil jeg udbede mig en kommentar på forløbet sat i forhold til deres oprindelige forventning. De løbende

modulevalueringer skal give mig en pejling på om sværhedsgraden og læringsoplevelsen har været passende.

Samtidig er det min forventning, at evalueringerne og gruppeobservationerne kan bidrage med et vurderings-

materiale til at kunne besvare problemformuleringen.

I en samarbejdsproces med ligesindede vil jeg vurdere elevernes evne og adfærd i forhold til at anvende deres

normalfaglige overskud til dels at indgå i et samarbejdende fællesskab og dels deres evne til at skabe fremdrift

på den faglige del af problemløsningen.

Med fokus på de bedste elever er denne udfordring yderligere vigtig. Denne elevgruppe har i deres valg af

valgfagsforløbet tilkendegivet et tilvalg af et fokusområde, hvor de gerne vil udfordres og kvalificeres i forhold

til den daglige undervisning. Dette vil jeg vurdere på en tretrinsskala (bilag 3), hvor 1) Det individuelt kognitive:

angiver om eleven oplever at have fået mest ud at kunne reflektere og overveje/tænke løsningsmuligheder

eller delløsninger i problemopgaven, 2) Det samspilsmæssige og relationelle: angiver om eleven mener at have

fået mest ud af den interpersonelle proces og det dialogbaserede samarbejde i gruppen samt 3) Det

præstationsorienterede: der angiver, om eleven mener at have haft størst udbytte af, at gruppen eller eleven

selv er nået frem til en løsning / et resultat.

4.2 Pædagogiske overvejelser.

Jeg planlægger et undervisningsforløb, hvor eleverne arbejder i mindre grupper. Eleverne skal kunne udfordres

og samtidig opleve, at de selv bidrager i en udfordrende dialog med ligesindede, og derved indgår i et

dialektisk forhold med deres omverden. Inden for gruppen er min intension, at eleverne via deres samtaler om

problemstillingen, ved fælles hjælp, selv skal udvikle en løsningsstrategi. Dette er en erfaringspædagogisk

vinkel, som stimulerer elevernes kognitive evner samtidig med, at den samspilsmæssige og relationelle

dimension kan bringes i spil.

10

Da alle eleverne har et rimelig fagligt homogent samt ambitions- og interessemæssigt ensartet udgangspunkt,

er der stor sandsynlighed for, at alle eleverne kan opleve at være inddraget i arbejdet. Dette udelukker ikke, at

enkelte elever kan have behov for at trække sig tilbage i kortere perioder for at kunne reflektere og klargøre

sine tanker, der derefter kan præsenteres i gruppen.

Jeg er i mine pædagogiske overvejelser optaget af, at undervisningsforløbet tidsmæssigt og arbejdsmæssigt

skal have plads til en udforsknings- og dialogproces i gruppearbejdet. Det er ikke afgørende, at eleverne

fremkommer med resultatet, men hvordan de i gruppesamarbejdet kommer frem til resultatet.

Sat i forhold til Illeris´ tre dimensioner i læringstrekanten vil jeg illustrere ovenstående:

Kognition og de kognitive elementer: De bedste elever oplever sig tydeligvis bedre end deres

klassekammerater i stamklassen. Jeg mener det er væsentligt, at det matematikfaglige indhold, der skal

tilbydes, er tilstrækkelig illustrativt (billedligt og matematisk), relevant i forhold til klassetrin og analytisk

udfordrende således, at eleverne har plads og tid til at strukturere deres tanker samt kan sætte ord og

sprog på tanker, forslag og metoder/ fremgangsmåde, strategi.

Psykodynamik og elementer af det psykodynamiske: Motivationen, følelsen af, at matematik er sjovt

samt viljen til at ville lykkes og finde løsningen skal imødekommes i valget af indhold og målsætning for

forløbet. Jeg vil sætte undervisningsrammen for et arbejde med eleverne således, at de har mulighed for

at fokusere på processen, metoden og fremgangsmåden mere end på dét, at de finder selve resultatet.

Det relationelle og deltagelsen i en samspilsproces: Mit indtryk er, i dagligdagen arbejder de fleste af

eleverne mere på ”egen hånd”, hvor de oplever, at have en faglig selvtilstrækkelighed. Samarbejdet, og

dét, at de kan bruge hinanden aktivt skal have mulighed for at komme til udtryk i dette undervisnings-

forløb. Det kan ikke udelukkes, at enkelte vil have behov for at isolere sig i deres egen tanke- og løsnings-

orienterede arbejdsproces i kortere perioder.

4.3 Det valgte undervisningsforløb.

Med udgangspunkt i ovenstående overvejelser har jeg valgt et undervisningsforløb, hvor vi arbejder ud fra

følgende – en skematisk form af hele undervisningsforløbet findes i bilag 4:

Klassen deles på forhånd af mig i mindre grupper på 4-5 elever med en ligelig spredning af drenge og piger.

Da samtale (gruppedialoger, klassedialoger), notater, refleksion, tænkning og eksperimenterende

afprøvning skal have plads, har jeg valgt, at vi arbejder uden for det bogsystem (Matematiktak), som de er

vant til. Der er således ikke mulighed for at konsultere en resultatliste.

Jeg har en intension om, at eleverne kan arbejde hen imod en udledning af matematikken i problem-

opgaverne samt, at jeg kan opnå, at klassen ved fælles hjælp kan frembringe det generelle i forsøgene og

derved, at vi kan opskrive vores strategi i det undersøgende arbejde og nå frem til ”formlen”.

11

Jeg har valgt det faglige indhold i form af tre ”hovedeksperimenter”, der alle tre er anderledes og sjove, og

samtidig giver mig mulighed for at kunne foretage mine observationer og undersøgelser – bilag 5:

”To lige høje tårne” – hvor eleverne gerne skal komme frem til, hvordan man ud af et sæt stave med en

stigende længde på 1 cm kan bygge to lige høje tårne. Denne opgave har en karakter af et eksperiment

samt har karakter af noget fysisk, der kan observeres, undersøges og efterprøves i en resultatgivende eller

ikke-resultatgivende retning. Jeg medbringer stave fra 1x1 cm til 1x20 cm.

”Kryds & bolle skal bytte plads” – et spilorienteret eksperiment, hvor en systematisering af pladsbytningen

og fremgangsmåden kræver opbygning af en dokumentation. Jeg udvider med stadig flere krydser & boller

– fra to af hver op til fire af hver.

”Rente på penge”. Eksperimentet er flyttet ud i en dagligdags kontekst, hvor det handler om penge, rente

på penge og opsparing, som eleverne har et vist forhold til.

Min lærerrolle er, at jeg på baggrund af at stille opgaverne, så åbent som muligt, vil lade grupperne arbejde

selvstændigt så lang tid som muligt, uden jeg intervenerer med

hjælp, vejledning eller anden støtte.

4.4 Observationsfokus.

Undervisningsforløbet danner udgangspunkt for mit

observationsfokus. Jeg har struktureret dette ud fra Illeris´ tre

dimensioner (se figur, kilde: ”Læring”, 2007) med følgende

indhold for mit observationsfokus:

I den kognitive dimension vil jeg kigge efter tegn på, hvordan

eleverne viser overblik og strukturerer deres arbejde samt,

hvordan de er i stand til at frembringe en løsningsstrategi på

eksperimenterne.

I den psykodynamiske dimension vil jeg fokusere på, hvordan

elevernes ambition, motivation og lyst samt om der viser sig

elementer af konkurrence i deres indbyrdes arbejde og dialog.

I den relationelle dimension observerer jeg, hvordan eleverne er aktive med, arbejder med dialog, at

lytte/spørge, om alle eller kun få er med i arbejdet samt om samarbejdet foregår inkluderende og deltagende.

Fokusområdet for elevernes arbejde er ”det indre af trekanten” i ovenstående figur - processen. Eksperimen-

terne og min lærerrolle i forhold til elevarbejdet er tilrettelagt med henblik på en læringsproces, hvor jeg ser

på hvordan læringselementerne (hjørnerne) har indflydelse på: arbejder eleverne undersøgende / eksperimen-

12

terende? Ser de mønstre og muligheder? Kan de opstille en regel/regler? Er de bevidste om at afprøve reglen

og kan anvende dette i en generaliseret betragtning med henblik på at frembringe et matematisk udtryk, der

endeligt kan kontrolleres? Jeg vil senere i rapporten analysere, hvordan jeg har oplevet fokuspunkternes

indflydelse på disse spørgsmål.

5.0 Undervisningsforløbet.

Undervisningsforløbet er bygget op over fem moduler à to lektioner. Jeg har valgt overvejende at observere en

gruppe af gangen pr. modul.

Modul 1: Jeg havde som mål, at sætte den overordnede ramme for generaliseringsbegrebet samt at eleverne

skulle opleve, hvad det vil sige at arbejde med en generalisering.

Jeg havde på forhånd inddelt de 18 elever i fire grupper med fire eller fem i hver gruppe. Jeg introducerede

forløbets overordnede mål og indhold i form af at præsentere og beskrive, hvordan et (matematikholdigt)

problem i virkelighedens verden kan transformeres og omformes til en model / formel, der kan løse det

virkelige problem samt kan generaliseres til en løsningsmodel for andre problemer af samme art og indhold.

Elevernes forståelse af ordet ”generalisere” vakte til min undren nogle forståelsesmæssige spørgsmål. Det

viste sig allerede her, at jeg stødte på en sproglig abstraktion som til en vis grad foruroligede mig. Jeg valgte at

lade eksemplet illustrere forståelsen. Eleverne afprøvede den indledende opgave omkring forskellige figurer

(bilag 5), hvor det nu blev tydeligt for dem, hvad begrebet ”at generalisere” kunne betyde. Vi havde derefter

opnået en tilsyneladende fælles forståelse.

Modulets anden del bestod i et arbejde med fire korte tekstopgaver, der kan omformes til en ligning (bilag 6).

Grupperne skulle opskrive et matematisk udtryk, en ligning, der kunne beskrive situationen i teksten. Denne

type problemløsning viste sig at være relativ nem for størstedelen af eleverne. Grupperne fik én opgave ad

gangen, 8 min til at diskutere den i gruppen, og derefter fremlægge og argumentere for deres forslag. Mine

observationer var, at eleverne havde nemt ved at afkode tekstens indhold i form af de uligheder/ligheder,

konstanter, variable og koefficienter, der var lagt op til. Tilbagemeldingerne i plenum var korte, klare og

rigtige. Umiddelbart udviste flere elever en mindre utålmodighed gående på, om det virkelig ”skulle være så

nemt”?!

Jeg kunne samle op på modulets mål og indhold: Vi havde en fælles forståelse af, at situationer kan skrives i et

matematisk udtryk, der kan transformeres og generaliseres til andre lignende situationer – vi har fundet

formler eller modeller, der beskriver en del af en virkelighed. Denne konklusion var de tilfredse med. De mente

således at ”have lært noget vigtigt … jeg vil jo gerne blive bedre til det her fag”, som en dreng konkluderede.

Slutevalueringen på skalaen 1-3 gav et billede af, at dialog samt dét at nå frem til løsninger, ved at samtale om

indholdet, havde været den dominerende oplevelse af læring.

13

Modul 2: Målet med dette modul var at observere og finde tegn på elevernes evne til dels at kommunikere om

en måde at løse problemet på samt observere, hvordan de mere eller mindre bevidst er i stand til at anlægge

en brugbar løsningsstrategi. Vægten i dette modul var derfor arbejdet med opgaven ”to lige høje tårne”.

Eleverne skulle finde ud af; A) Hvis man har et antal tårne fra 1x1 cm. til 1x10 cm., kan man så bygge to lige

høje tårne heraf? B) Kan I lave en regel, der fortæller hvornår man kan og hvornår man ikke kan? Jeg introdu-

cerede formålet med opgaven på tavlen (anvendte eks. med 1x1, 1x2 og 1x3 cm), og sikrede mig, at eleverne

havde en forståelse af, hvad opgaven gik ud på. Optimismen og troen på deres egne evner var intakt, og alle

gav udtryk for at have forstået opgaven. Materialerne de havde til rådighed var et sæt af udklippede karton-

stave, som jeg havde forberedt (mål på 1x1 op til 1x20 cm) og medbragt. Jeg gav også eleverne muligheden, at

de kunne anvende kvadreret papir eller de kunne anvende det ene sættet af cuisenaire stave vi havde på

skolen. Opgaven var stillet så åben som muligt.

Grupperne kastede sig over denne opgave med en iver, der overraskede mig. ”Det er da nemt nok …” var der

flere, der udtrykte. Stavene blev lagt op, og der blev afprøvet, men efter ca. 10 min. blev der en dialog, hvor en

blanding af irritation over ikke bare lige at kunne løse opgaven samt en undren over, hvad problemet egentlig

bestod i, meldte sig.

Jeg observerede specifikt gruppe 1 i dette modul, og havde et øre med på de andre gruppers dialoger:

Julie: ”Skal det kun være to tårne?” … de andre ”ja!”

Kasper: ”Skal vi anvende alle stavene?”

Julie: ”Må tårnene ikke bare være næsten lige høje?”

Nina: ”Jeg forstår altså ikke opgaven … hvad er det egentlig man skal finde ud af?”

Elevernes ambition om at finde løsningen (som de var vant til fra dagligdagen – tænker jeg) stødte på en

vanskelighed. Jeg lod dem blive i frustrationen, undlod at give dem hints eller mulige veje at undersøge, for at

kunne observere, hvad deres samarbejde og strategi nu kunne udvikle sig til?

Kamilla: ”Prøv at høre … vi må starte forfra … se her … vi kan godt med de første tre! Hvis vi starter med at

skrive tallene op så vi kan se, hvornår vi kan og hvornår vi ikke kan?!”

Julie: ”Lad os prøve …! Er det ikke noget med … hver anden gang kan man og hver anden gang kan man ikke?”

Simone: ”Jo!! Det skal være et lige tal!!”

Kasper: ”Hvad skal være et lige tal? Man kan da ikke med to!”

Simone: ”Nej nej!! Men prøv at se her … man kan med tre 1+2+3 giver et lige tal, man kan også med fire det

giver 10 … men vi kan ikke med 5 da det giver 15!”

”Jamen, det kan man da … så bliver de hver 10 høje!”… gruppen funderer over dette!

14

Julie: ”OK! Man kan med fire, man kan med fem … og ikke med 6 det giver 21 … man kan med 7 der giver 28”

Gruppen prøver af op til de 17. Det tager en del plads, de bruger gulvet, hvor det giver et godt overblik.

”Det har sikkert noget at gøre med, at vi skal lægge tallene sammen … altså hvor høje stavene er tænker jeg …

og så har det nok noget at gøre med, at hver anden ulige kan man med og hver anden ulige kan man ikke med.

De lige tal kan altid.” siger Nina, der tidligere gav udtryk for, at hun ikke forstod, hvad opgaven gik ud på. Hun

har fulgt de andres arbejde, og har samlet små konklusioner op. De andre er enige i, at hun har fat i en god

strategi – hvilket mønster tegner sig?

Julie: ”Kan vi ikke få noget hjælp nu? … Vi synes vi er på sporet, men vi har altså lidt svært ved at se, hvor vi …”

bliver afbrudt af, at Kamilla, der mener hun har fundet en metode. Hun har siddet de sidste par minutter med

det kvadrerede papir, hvor hun har tegnet og regnet! Hun foreslår, ”at vi jo skal se på hele figuren som en slags

trekant, der kan udregnes som et areal – den formel kender vi”. Hun foreslår, at hvis trekanten har en højde

ganget med bredden, og det tal kan deles i to hele tal, så kan man bygge de to tårne.

Modulet slutter, og jeg samler kort op. Jeg udbeder mig igen en umiddelbar evaluering på skalaen 1-3.

Evalueringen viste, at færre end sidste modul havde haft et dominerende udbytte af at tale sammen om

problemopgaven. De fleste elever havde denne gang haft størst udbytte af at tænke parallelt med gruppens

arbejde eller haft udbytte af det målrettede arbejde med forståelsen hen imod en løsning. Det gav mig en

pejling på, at modulets mål omkring elevernes arbejde med at finde en løsningsstrategi var stimuleret positivt.

Der havde været masser af samtale mellem eleverne i gruppen, og samtalerne var rettet mod at finde en

strategi, omend processen ikke altid var særlig struktureret, så tolkede jeg, at de alle var klar over, at en

strategi måtte der frembringes.

Modul 3: Målet i dette modul var fortsat at kunne observere gruppernes arbejde med at fremkomme med en

løsningsstrategi. Jeg ønskede samtidig, at eleverne kunne blive præsenteret for formlen: Sn = 𝑛(𝑛+1)

2 , der

udtrykker summen ”S” af de ”n” første naturlige tal, hvis de ikke var nået frem til den selv.

Grupperne genoptager arbejdet fra sidste modul. De har taget nogle notater sidst, og kommer overraskende

godt fra start. De starter ikke forfra, de kan huske opgavens mål, og de ved, hvordan de skal gå i gang.

Grupperne virker motiverede og opsatte på, at NU skal det løses! ”Kom så … nu skal vi have det her løst!”.

Jeg observerer specifikt gruppe 2 i dette modul. Det viser sig, at denne gruppe har haft en mere struktureret

fremgangsmåde i deres undersøgende arbejde, og de har en strategi fra første modul, som de genoptager og

forfølger.

Gruppen synes at være klar over, at de skal gå systematisk frem for at finde et system, og at der er flere måder

at illustrere systemet på. De har undersøgt på meget konkret vis i to undergrupper; én undergruppe på to

elever arbejdede med kvadreret papir, og én undergruppe på tre elever, der havde kartonstavene at prøve af

15

med. Undervejs konsulterede de hinandens arbejde. I dette modul er deres udgangspunkt godt funderet på

flere konklusioner fra første modul. De har noteret sig, at de kan bygge to lige høje tårne på flere forskellige

måder. De har endvidere fundet ud af, at de har at gøre med noget, der ligner halvdelen af et firkant (et

kvadrat) – kommer fra undergruppen, der arbejder på kvadreret papir. Endelig har de konkluderet, at de kan

bygge to lige høje tårne, når de har 3, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 20. ”Man kan ikke med de øvrige” konkluderer

de. De kommer frem til, at det har noget at gøre med, at de ikke kan bygge to lige høje tårne med ”hvert andet

ulige tal efter 5” som en elev udtrykker det.

Det er tydeligt at se, at de føler en sejr ved sammen at have fundet noget, der minder om en løsning – et

system. ”Hvad er systemet i den løsning I har fundet? Kan i opskrive en regel for, hvornår det kan lade sig

gøre?” spørger jeg gruppen. De leder efter, hvordan systemet i talrækken kan skrives på en anden måde? De

har ikke forfulgt deres observation vedrørende halvdelen af et kvadrats areal! Dette undrer mig! Gruppernes

arbejde har nu foregået i ca. 30 min.. De kører lidt i ring om deres foreløbige konklusioner og jeg beslutter at

bryde ind for at samle op på, hvor langt klassen som helhed er. Jeg noterer i plenum de enkelte gruppers

”resultater” på tavlen. Ved fælles hjælp når vi frem til et brugbart slutresultat: 𝑛2

2+

𝑛

2 =

𝑛 ∙(𝑛+1)

2, og når

dette resultat giver et lige tal så kan vi bygge to lige høje tårne. Eleverne føler selv en stor del af æren for dette

slutresultat.

Dagens næstsidste punkt er en opsamling på elevernes bud på, hvad er det de gør, når de arbejder. Følgende

punkter fremkom som elevernes konkluderende beskrivelse:

Jeg spørger: ”Kan vi opstille en fremgangsmåde, en metode eller en strategi og beskrive vores måde at løse

eksperimentet på?” Flere elever svarer: ”Ja, det kan vi vel godt …?!”

Resultatet af den fælles opsamling på elevernes regelsæt/fremgangsmåde bliver følgende:

- ”Vi finder blik for, hvad vi opdager og ser …” (det undersøgende element)

- ”Hvad kan vi umiddelbart forestille os af regler, der gælder her?” (ser efter mønstre …?)

- ”Afprøver så regler på små tal og derefter på lidt større tal, og finder ud af, hvordan reglen passer med dem …”.

Jeg spørger: ”Hvad hvis vi erstatter tal-eksempler med et vilkårligt tal ”n”?”

- ”Det har vi jo lige fundet en formel til.” Vi taler kort om det generelle i formlen. Det er stadig lige svært at forstå ”n-tal”.

- ”Vi kontrollerer og efterprøver den generelle formel på de kendte eksempler fra før.” Det virker, og passer med deres egne resultater af undersøgelserne!

Eleverne har stadig lidt svært ved at forstå ”vilkårligt tal” og tallet ”n”. Jeg oplever, at vi er i grænsen mellem

en erkendelse af, at det jo er rigtigt … men hvordan er det alligevel vi skal forstå det? De er lige ved at have fat

16

i en abstraktion og et overblik … og så ikke helt alligevel. De er trætte, og har brugt meget mental energi på at

ville løse opgaven!

Efter en kort pause præsenteres eksperimentet med ”kryds og bolle, der skal bytte plads”. Jeg introducerer og

beskriver, hvad opgaven går ud på med henblik på, at vi næste gang kan igangsætte arbejdet i de samme

grupper. Opsamlingen i forhold til elevernes umiddelbare udbytte var, at samtalen i grupperne havde givet

dem det dominerende udbytte.

Modul 4: Jeg indleder med en kort repetition af dagens opgave. Grupperne har fået et ark som et værktøj til at

arbejde med ”kryds og bolle” eksperimentet – bilag … Grupperne starter med et 2x2 eksperiment.

Gruppe tres arbejde har i dag mit fokus. Jeg vurderer, at dette eksperiment er lidt sværere at danne sig

overblik over, og jeg er spændt på, om gruppen har lært sig, at de kan have hjælp af at blive enige om at

arbejde med en løsningsstrategi.

Det er tydeligt, at de er lidt mere ydmyge over for, hvor nem eller svær opgaven muligvis er. Martin: ”Vi må

lige have fat på, hvad vi skal nå frem til! Hvis vi nu lige prøver nogle gange, og så tæller – kan vi ikke dele os

lidt, så nogen prøver og nogen skriver ned, hvad vi gør?!” De andre er ikke helt med … Samantha: ”Hvad mener

du?! Vi kan jo bare tælle på arket!”. Samantha er hurtigt i gang med at skrive sine træk ned. Gruppen arbejde

ikke i takt. De taler ikke helt så meget sammen, og der er forskellige udtryk, der tyder på, at gruppen mere

arbejder som fire individualister end som én gruppe. Efter ca. 10 minutters mere eller mindre individuelt

arbejde prøver de sig spørgende og konsulterende hos hinanden. ”Hvad har du fået?”. De har fire forskellige

resultater. Eleverne synes det er svært! De samler sig igen ved, at Samantha tager initiativet: ”Nu starter vi

altså forfra!”. I gennem tre forsøg kommer gruppen ved fælles hjælp frem til, at de mindst skal flytte 19 gange

som bedste resultat. ”Er det godt nok?”, henvender de sig spørgende til mig. Jeg roser dem for deres

ihærdighed med at forbedre løsningsforslaget. Jeg udfordrer dem efterfølgende på, om de kan se et mønster i,

hvordan de flytter eller hopper med krydserne og bollerne? Samantha er igen den første med en lang

forklaring: ” at man ganger med 2 efter man har lagt 2 til antallet af krydser … ”. De andre kan ikke følge

hendes forklaring, men hendes energi i forklaringen tyder på, at hun har fat i en tankerække, som peger i den

rigtige retning. I den afsluttende gennemgang med alle gruppernes konklusioner kommer vi frem til følgende:

Tre af grupperne havde set et mønster i de enkelte linjer af forsøg i skemaet.

Jesper i gruppe 4 havde fundet resultatet n(n+2). Han kunne resonere, men kunne ikke argumentere.

De finder et system i 7, 9, 11.

De finder et system i 2 gange 4, 3 gange 5, 4 gange 6.

De finder et system i 2 gange 2+2, 3 gange 3+2, 4 gange 4+2.

Ledes med min hjælp frem til n gange n+2.

17

Vi får afsluttet modulet med en opsamling, hvor størstedelen af eleverne denne gang vurderede, at de havde

haft mest ud at finde løsningen – de havde ambitionen som det umiddelbart mest styrende for deres arbejde.

Modul 5: I dette sidste modul er jeg interesseret i at observere, om eleverne har opnået en mere tydelig

bevidsthed omkring deres arbejde og fremgangsmåde i arbejdet. Jeg har denne gang særlig fokus på gruppe 4.

Endelig ønsker jeg have mulighed for at kunne indsamle en samlet evaluering af forløbet. Jeg kan allerede nu

forudse, at vi ikke når hele vejen gennem arbejde med ”Penge og rente” eksperimentet.

Opgaven i grupperne er, at eleverne arbejder med at sende ”penge” videre med en rente på. Modtager skal

notere ”udregningen” for, hvilken kapital, der nu er i puljen – ”det jeg skylder den forrige”. Jeg har valgt

renten til 5 %. Inden eksperimentet starter er der en kort ordveksling om, hvordan de regner med procent.

Eleverne er egentlig ikke i tvivl, men de har tilsyneladende behov for at blive bekræftet – at de forstår det

samme i opgaven. I de første runder går det fint i gruppen. Der regnes, nedskrives og beløbet vokser. Efter fire

runder melder spørgsmålet sig: ”Det er da kedeligt det her … kan vi ikke bare prøve at skrive udregningen op …

vi kan jo sagtens se, at beløbet hele tiden bliver større?!” De andre er enige i, at eksperimentet er kedeligt og

lidt trivielt. Men de har svært ved, at samles om at skrive udregningen ned – indtil Jesper viser det på et stykke

papir midt på bordet. ”Vi starter eksempelvis med 1000 kroner, plus 5 % giver 1050 kroner … vi lægger 5 % til

igen … det giver 52,50 kroner som vi lægger til 1050 kroner …” De fortsætter udregningerne. Nu sidder de med

en masse tal – igen. De prøver ihærdigt at finde et mønster, som vi tidligere har talt om. Men tallene skifter jo

hele tiden!? De kan godt se, at der er tale om kapital plus en rente plus rentes rente etc.. Disse begreber

kender de tilsyneladende, men de får ikke omsat virkeligheden (pengestørrelserne) til generelle symboler og

matematiske udtryk. Jeg vælger at stoppe arbejdet efter der er gået ca. 30 min. hvorefter jeg foreslår, at vi

samler op og konkluderer på opgaven i plenum.

På spørgsmålet, om eleverne kan prøve at beskrive, hvad de gør og, hvad de tænker for at løse denne opgave

kommer følgende frem:

Det handler om …:

o ”At finde én løsning”

o ”At finde alle løsninger” tilføjer flere andre.

o ”At bruge sine tanker!” – dette er flere meget enige i.

o ”At tænke i et system” – bliver ikke nærmere beskrevet.

o ”At finde en regel … eller måske flere regler, der kan sættes sammen”

o ”At finde et system eller en regel som sådan gælder hele vejen igennem” – bliver deres konklusion.

I den afsluttende evaluering af dette modul har eleverne overvejende haft mest ud af at tale sammen.

Den samlede evaluering af hele undervisningsforløbet igangsættes ved, at eleverne først nedskriver deres

oplevelse – ganske kortfattet – af forløbet på et stykke papir. De skal ikke være påvirket af andres udtalelser.

Derefter har vi en afsluttende løs snak om, hvordan de synes det har været: ”Det har været sjovt …

18

Anderledes… Har lært noget andet … Kan sagtens gentages … Hvis man nu kan have en lille smule af det hele

tiden … Det er godt … Man kan få tid til at tænke og blive udfordret … ”.

5.1 Afsluttende kommentar på UV-forløbet:

Min egen oplevelse af forløbet er, at der i alle modulerne har været en behagelig ro og koncentration i

gruppernes arbejde. Disciplinen med at møde til tiden har været der, der har været en flot udholdenhed i

arbejdet idet eleverne næsten ingen pauser har haft, eleverne har taget imod opgaven med løbende at

evaluere, seriøst. Jeg kan også se tilbage på, at jeg har glædet mig til de enkelte moduler.

Elevernes egen konklusion på forløbet er udtrykt i flere forskellige udsagn, som resultatarket i bilag … viser.

Stort set alle eleverne har haft en positiv oplevelse. De giver udtryk for, at det har været sjovt (fagligt som

socialt), anderledes og udfordrende grænsende til, at det har været svært!

6.0 Analyse af undervisningsforløbet.

Med udgangspunkt i Knud Illeris´ læringstrekant vil jeg analyse det observerede undervisningsforløb ud fra de

tre dimensioner: den kognitive dimension, den psykodynamiske dimension samt den relationelle dimension

eller samspilsdimensionen.

Den psykodynamiske dimension: Det er helt tydeligt, at den sociale konstruktion, som undervisningsforløbet

danner, har bidraget til et læringsrum, hvor den faglige optagethed, motivation samt lysten til at være

sammen med andre dygtige matematikelever har været til stede. Det første interessepunkt er, om eleverne

har lært noget ved dette forløb. Jeg havde en intension om, at arbejdet i mindre grupper, hvor eleverne

arbejder med problemopgaver, stillet i en åben form, skulle give mulighed for, at der kunne arbejdes

eksperimenterende og afprøvende. Eleverne skulle gennem denne erfaringspædagogiske tilgang samt gennem

undervisningsforløbets moduler, opnå en oplevelse og erkendelse af, at måden hvorpå de arbejder kræver

nogle overvejelser og en bevidst fremgangsmåde.

Den kognitive dimension: I den åbne form, som opgaverne er stillet i samt ved opgavernes problemløsende

karakter, virker det naturligt for eleverne, at de må prøve sig frem, lege, og langsomt se, om de kan blive enige

i nogle deres observationer og betragtninger af eksperimentet. Cand. Pæd. Psyk. Kirsten Baltzer siger: ”Når

skolen har tilbud, der stiller store faglige krav, ser det ud til, at børn med særlige forudsætninger identificerer

sig selv.” (KVAN nr. 75, s.53). Eleverne har som helhed forstået opgaverne, og hvad de skulle finde ud af. De

mindre forståelsesproblemer blev mange gange løst inden for gruppen, hvor eleverne havde nemt ved at tale

om, hvad de ikke forstod eller forklare, hvad der skulle forstås. I arbejdet har den løbende arbejdssamtale

være fokuseret, de har haft en koncentration om en fælles opgave, og har udvist gode samarbejde evner. Én af

grupperne (gruppe 3) havde en udfordring. Denne gruppe arbejdede ikke sammen, hvilket umiddelbart

bevirkede, at én elev tog føringen og bestemte, hvad der skulle ske. Hun var samtidig ikke optaget af, at resten

19

af gruppen måske også kunne bidrage. Et tegn på en individuel motivationel drivkraft og personlig ambition i

den psykodynamiske dimension.

Jeg har derimod ikke observeret tydelige tegn på, at de er bevidste om, at det undersøgende arbejde med

fordel kan struktureres. Det begrænsede overblik, hvor eleverne flere gange er forskellige steder i deres

betragtninger, hvad de prøver at få system i samt deres tankeproces, gør det svært for gruppen som helhed at

samle op og blive enige om konklusioner, der kan føre videre i en proces. Jeg kan observere delvise elementer

af, at de forsøger med delkonklusioner og et arbejde med mulighederne, men elevernes fokus på enkelte

detaljer og stræben efter ”at finde en løsning” tyder på, at de bliver forstyrret.

Jeg kan derfor ikke konstatere, at deres umiddelbare kognitive overskudskapacitet udmønter sig i, at de

derved samarbejder efter en bevidst strategi. Der har endvidere også været tegn på, at flere elever havde

svært ved at forstå nogle af ordene eller udtrykkene: ”at generalisere”, ”at finde et matematisk udtryk” som

eksempler. Illeris taler om læringens entydighed (assimilation) samt om læringens flertydighed

(akkomodation) i den kognitive dimension. At eleverne er kompetente på læringens entydighed – at de forstår

opgaven og ved fælles opsamling kan forstå løsningen – har ikke i dette undervisningsforløb kunne overføres til

flertydigheden, hvor elevernes akkomoderede læring skulle komme til udtryk ved, at de har lært, det vil sige

tilegnet sig en bevidsthed om, at udarbejdelsen af en samarbejds- og løsningsstrategi er befordrende for

gruppens arbejde.

Med reference til Blooms taksonomi er jeg overrasket over, at jeg ikke har observeret, at det generelle

kognitive niveau er repræsenteret på niveau 3 – anvendelse: ”Benyttelse af generelle ideer, teorier, principper,

procedurer og metoder i konkrete (nye) (problem) situationer”.

Den relationelle dimension: Eleverne har haft et godt fremmøde samt en deltagende og disciplineret adfærd i

forløbet – det har været tydeligt, at lysten til at være sammen om, tale med hinanden, lytte på hinandens

synspunkter, input med mere har været til stede. Dette har medvirket til og understreget den positive

motivation og det ihærdige arbejde, som alle grupperne har præsteret. Den vedholdende, og nogle gange lidt

stædige adfærd i gruppens eller enkelte elevers arbejde, understreger, at elevernes læringsproces dog har en

betydelig tilstedeværelse af den psykodynamiske dimension i samarbejdet. Et egentlig konkurrenceelement har

jeg ikke observeret, som noget udtalt. Der har været en generel og umiddelbar harmonisk stemning i arbejdet,

hvor behovet for at demonstrere sin stærke faglighed ikke har vist sig i dialogen. Eleverne har i stedet netop

brugt deres stærke faglighed til at forstå hinandens spørgsmål eller kommentarer.

Det generelle indtryk er, at eleverne i såvel gruppearbejdet såvel som i plenumdialog har udvist en evne til at

kunne sprogliggøre deres observationer fra gruppeeksperimenterne. De har i gruppearbejdet vist en udpræget

virksomhed og deltagende adfærd, hvor det at lytte har været mindst lige så dominerende som det at kunne

20

kommentere med en individuel vinkel eller holdning. Der har i de fleste tilfælde kunne observeres en relativ

naturlig accept af samt respekt for hinanden, som ligeværdige samarbejdspartnere.

6.1 En diskussion og refleksion over undervisningsforløbet.

Det er indledningsvis relevant at spørge til, hvad de dygtigste elever i matematik egentlig er dygtigst til eller

om det kan være deres almene skolemotivation og sociale forudsætninger, der er stærkere, og således også

træder frem i faget matematik. Jeg har ikke i forløbet undersøgt disse forhold omkring eleverne, men alene

koncentreret mig om udgangspunktet: at de med en god selverkendelse vurderer deres faglige niveau i forhold

til klassekammeraterne som bedre samt at de har foretaget et positivt tilvalg til forløbet.

Min intension har været at bringe klassen ud i et problemløsningsområde – med de valgte eksperimenter –

hvor eleverne har haft mulighed for på en selvstændig arbejdsform at finde sammen om problemforståelse,

elementer i problemet, sammenhænge og mønstre, overføring af mønstre til generelle symboler, der kan

sammensættes i et generelt matematisk udtryk.

Det har umiddelbart ikke været begrænsende, at klassen har arbejdet uden et bogsystem, men kun med de

ark, materialer m.v. som jeg forelagde dem.

Min diskussion er sat i forhold følgende didaktiske relationer:

Forløbets mål i forhold til læreprocessen,

Indholdet i forhold til læringsforudsætningerne,

Indholdet i forhold til læreprocessen samt

Min lærerrolle i forhold til processen.

Forløbets mål i forhold til læreprocessen: Jeg er bevidst om, at det har været et ambitiøst mål, at eleverne i

løbet af 10 lektioner, på baggrund af en refleksiv proces skulle tilegne sig en bevidst konklusion på deres

individuelle tankeproces samt deres deltagelse i gruppens virksomhed og samarbejde. Eksperimenterne og

elevernes øvelser har været velvalgte og levet op til mine kriterier, og eleverne har vist tegn, der peger i den

retning jeg havde håbet at kunne få frem. Men dels har eleverne haft en lyst og ambition om at ville løse

opgaven, og dels har forskellige – om end mindre – samarbejdsudfordringer ikke givet overskud til, at eleverne

kunne forholde sig tilstrækkelig refleksivt til processen.

Jeg er efterfølgende stadig af den opfattelse, at elevernes udbytte har været positivt – de har opnået en

erfaringsbaseret læring med problemorienterede opgaver, hvor det har været deres egen tænkning, struktur

og overblik, der skulle anvendes i en virksomhed med de øvrige deltagere i gruppen. Endvidere har klassens

plenumdiskussion vist, at de og jeg ved fælles hjælp, og netop på baggrund af deres afprøvede erfaringer,

kunne opsamle en forståelse og en læring.

21

Indholdet i forhold til læringsforudsætningerne: Eksperimenternes grad af abstraktion satte flere elever på

prøve. De blev udfordret, men udfordringen viste sig for mange elever at række længere end deres daglige

matematikfaglighed har givet dem. Jeg mener ikke at have observeret elever, der har taget det som et ”fagligt

nederlag”. Netop fordi de valgte eksperimenter har ligget uden for et ”normalpensum”, kan oplevelsen have

været noget særligt, som de har haft lejlighed til at deltage i. Slutevalueringerne og udtalelserne viser stadig, at

forløbet i flere tilfælde har været positivt stimulerende.

Gruppen af de bedste matematikelever i udskolingen har oplevet et forløb, hvor der er taget hensyn til deres

særlige evner og forudsætninger. Eleverne er selvbevidste om deres læringsforudsætninger, de ved, de er

sammen med andre elever med de (næsten) samme forudsætninger. Dette kombineret med, at eleverne

mødes omkring de svære opgaver, tyder på etableringen af en befordrende proces for et fagligt, socialt og

respektfuldt samarbejde.

Indholdet i forhold til læreprocessen: Indholdet har lagt op til kognitive, psykodynamiske såvel som

samspilsmæssige forhold i læreprocessen. I et alternativt forløb kunne opgavernes krav til samarbejde og

dialog skærpes yderligere. De enkelte eksperimenter i dette forløb kan løses individuelt.

Min lærerrolle i forhold til processen: Jeg er efterfølgende i tvivl, om jeg skulle have interveneret mere i

gruppernes arbejde. I de fire forskellige grupper jeg fulgte, var der situationer, hvor jeg muligvis kunne have

hjulpet dem videre i en retning eller fastholdt deres arbejde. Omvendt havde jeg lagt mig fast på kun at ville

blande mig på en direkte opfordring om processtøtte. Min overvejelse har grund i, at jeg mistænker flere

elevers individuelle ambitionsfokus på en løsning, kan have virket forstyrrende på opmærksomheden i

dialogen og samarbejdsprocessen.

7.0 Konklusion.

I baggrunden for opgaven samt i problemformuleringen beskrev jeg, at jeg ville undersøge, hvordan de bedste

elever i en udskolingsgruppe arbejder med problemorienteret matematik samt, hvilke særlige tegn, der kan

observeres og beskrives.

Undervisningsforløbet har vist, at de bedste matematikelever i udskolingsgruppen:

1. Forholdsvis let forstår at læse og afkode en relativ abstrakt opgave.

2. Der er en naturlig respekt for hinanden som ligeværdige samarbejdspartnere, og de forstår at tale om,

hvad opgaven handler om. Eleverne er åbne om deres tanker og forslag og er åbne for at diskutere

mulighederne.

3. Der er en tydelig energi og ambition om at ville forstå og ville lykkes.

4. Og eleverne har en optimistisk og selvtillidsfuld tiltro til egne matematikfaglige evner og bidrag i

samarbejdsprocessen.

22

5. Det ligger naturligt for dem, at de skal starte op med at foretage undersøgelser af problemstillingen, og

hvordan en løsningsvej kan se ud. De har en fornemmelse af, at arbejdet og processen skal organiseres.

6. Eleverne har en kreativ indgang illustreret ved, at de bruger forskellige former for undersøgelser og

materialer i undersøgelsen – teoretiske på papir, centikubes, papstavene etc.

7. De har behov at holde abstraktionen i små / mindre bidder. Dette giver sig udtryk i, at eleverne har brug

for at få tydeliggjort delvise konklusioner i et forsøg på at bevare et overblik. Alligevel tabes denne indsats

efterfølgende i andre detaljer. Det er overraskende, at de ikke fastholder delkonklusionerne, og det er lidt

uklart, om eleverne har en helt klar ide om, at de er nødt til at have en struktur for deres arbejde, at de er

nødt til at udvikle en strategi.

8. Eleverne arbejder mindst lige så procesorienteret som resultatorienteret.

9. Eleverne er bevidste om, hvornår de behøver hjælp i undersøgelses- og arbejdsprocessen, og de har

tydeligvis et udbytte af at sprogliggøre deres tanker og forslag, men også behov for at få en klarere

struktur og retning på processen.

Jeg mener, at jeg kan konkludere, at der har vist sig en tydelig adfærd omkring, hvordan den bedste

matematikelever i udskolingen arbejder samt, at disse tegn giver sig udtryk i dels kognitive færdigheder

omkring deres tænkning i at finde strukturer og arbejde på at finde en strategi dels i den psykodynamiske

dimension ved, at eleverne har helt tydelige motivationer og ambitioner om at ville lykkes samt ikke mindst i

den samspilsmæssige dimension, hvor sprogligheden og det respektfulde og ligeværdige samarbejde har

domineret.

Der har samtidig vist sig nogle udfordringer ved at kunne løfte en assimilativ læring til en akkomoderet læring.

Det er forventeligt, at min lærerrolle skal bidrage til denne proces, og at eleverne ikke selvstændigt kan

reflektere og stille de nødvendige udfordrende spørgsmål.

8.0 Afrunding og perspektivering.

Jeg har i indledningen været inde på, at et intentionelt undervisningsdifferentieringsprincip kan tilgodese de

bedste elever i normalklasserne. Samtidig viser ovenstående forløb, at disse elevers udbytte kommer til sin ret

i et særskilt forløb, hvor deres kognitive evner, sproglighed, matematikfaglighed samt lyst og ambition kan

mødes i en demokratisk dannende proces.

Fra politisk side bliver der sat fokus på eliteklasser /-skoler. Hvordan udfordrer dette enhedsskolens ideal, og

den demokratisk dannelsesproces – i det senmoderne? Muligheden for en ændret holddannelse tilgodeser

forskellige homogene elevgruppers behov, og er umiddelbart inden for lovens rammer og intensioner; men vil

dette bidrage til skabe en eliteorientering, og i stigende grad en generel orientering mod at sortere, opdele,

disciplinere og individualisere eleverne?

23

9.0 Kilder.

1. Beck, Hans Jørgen m.fl.: ”Matematik i læreruddannelsen. Teori og praksis – en fagdidaktik.” Gyldendal

2005.

2. Beck, Hans Jørgen m.fl.: ”Matematik i læreruddannelsen 1 – Kultur, kundskab og kompetence”. Gyldendal

2006.

3. Beck, Hans Jørgen m.fl.: ”Matematik i læreruddannelsen 2 – Kultur, kundskab og kompetence”. Gyldendal

2006.

4. Christensen, Hans Jørgen: ”Didaktik og pædagogik. At navigere i skolen – teori og praksis.” Gyldendals

Lærerbibliotek 2007.

5. Collin, Finn: ”Socialkonstruktivismen – et erkendelsesteoretisk og ontologisk standpunkt.” Kvan, nr. 54,

august 1999.

6. Fælles Mål, Faghæfte nr. 12 – Matematik. Undervisningsministeriet 2003.

7. Illeris, Knud: ”Læring”. Roskilde universitetsforlag 2007.

8. Kristensen, Hans Jørgen Didaktik og pædagogik – at navigere i skolen. Gyldendals Lærerbibliotek 2007.

9. Kompetencer og matematiklæring. Idéer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark

Pixi-udgave - KOM-arbejdsgruppen. IMFUFA, RUC Juni 2002.

10. Nordahl, Thomas: Eleven som aktør. Hans Reitzels forlag, 2002.

11. Lov om folkeskolen (LBK nr. 1049 af 28/08/2007).

12. Tønnesvang, Jan: Relationer i skolen, 2006: ”Selvet og den psykologiske ilt i undervisningens relationer.”

13. Rasmussen, Jens: Modernitetsforståelse, s. 13 – 30. ”Socialisering og læring i det refleksivt moderne”.

Unge pædagoger, 1996.

14. Winsløw, Carl: ”Didaktiske elementer – en indføring i matematikkens og naturfagenes didaktik.”

15. Skovmose, Ole og Blomhøj, Morten (red): ”Kan det virkelig passe?”

16. KVAN, nr. 75, august 2006: ”Undervisningsdifferentiering.”

17. Krogh-Jespersen, Kirsten: Om undervisning – en bog til almen didaktik. Forlaget Klim, 2006.

24

10.0 Bilagsoversigt.

Bilag 1:

Invitationsbrevet til eleverne inden forløbet startede.

Bilag 2:

Resultatark over elevernes egen forventning inden forløbet startede, vurdering af de enkelte moduler samt

slutvurdering.

Bilag 3:

Teksten som oplæg til, at eleverne kan evaluere de enkelte moduler.

Bilag 4:

Skematisk oversigt over undervisningsforløbet.

Bilag 5:

Indledende figurøvelse.

Bilag 6:

Omformning af tekstproblem til matematisk udtryk.

Bilag 7:

Hjælpearket i forbindelse med ”Kryds og bolle” eksperimentet.

25

Bilag 1: Invitationsbrev

Valgfag: Matematikgrublerier.

Hvad handler disse grublerier om?

I har sikkert en god fornemmelse af, hvad matematik går ud på. På Præstemoseskolen undervises der i faget

matematik efter et bogsystem, der hedder Matematiktak.

Når jeg taler om matematikgrublerier handler det stadig om matematik. Men i stedet for, at vi skal ”regne”

matematik, så skal vi også bruge meget af tiden på at kommunikere om matematik. Hvad vil det egentlig sige?

Når vi/I står med en opgave, en problemstilling, en slags gåde eller andet, hvor der er et indhold af matematisk

tænkning, så er vi nødt til at tænke os godt om. Vi er også ofte nødt til at spørge andre, hvad de mon tænker.

Når vi hører deres svar, så giver det en mulighed for at tænke over sit eget svar igen … og så videre!

”Kan jeg lære matematik på denne måde?”

Der er meget, der tyder på det! Vi har mulighed for at lære mere eller lære bedre ved at tale om det vi tænker,

det vi vil forstå og lære eller det vi ønsker at lære.

”Hvilken matematik og hvilke grublerier skal vi så arbejde med?”

Man kunne fristes til at blive nervøs for, at ens evner ikke slår til, at man ikke kan matematik nok, at man ikke

tror på, at man kan ”tale” matematik samt andre forbehold. Hele øvelsen i valgfaget går ud på, at vi skal øve os

i det. Det går ud på, at vi skal præsenteres for, tænke over, skrive om, fortælle om samt blive enige om,

hvordan et problem eller en opgave kan løses eller kan forstås. Lyder det indviklet? Måske en smule. Det kan

du gruble videre over til vi mødes den første gang.

Hvad mere …?

Nu har jeg beskrevet lidt indledende. Jeg har samtidig nogle forventninger. Mine forventninger til, at I får et

godt forløb i valgfaget er:

I møder til tiden. Vi har kun 10 lektioner i alt, og de små forsinkelser vil være unødigt forstyrrende.

Da I selv har valgt dette valgfag, har jeg en forventning om, at I ønsker at lære samt er motiveret.

At vi får det sjovt!

Inden valgfaget starter!

Jeg har en interesse i at lære noget af dette valgfagsforløb sammen med jer. Til støtte for dette arbejde har jeg

brug for, at I svarer på et par spørgsmål. Spørgsmålene er ikke en test eller prøve. Det vigtige er dels, at du

svarer på spørgsmålene, og at du svarer så ærligt som muligt – altså uden at give svar, som du egentlig godt

ved ikke holder …! Dine svar holdes anonyme og skal kun bruges af mig.

På forhånd tak for din besvarelse, og velkommen til valgfaget Matematikgrublerier efter nytår!

Bedste hilsner Klavs

26

Spørgsmål i forbindelse med valgfaget:

1. Hvis du skal formulere en (eller et par) kort sætning om, hvorfor du har valgt

netop dette valgfag, hvad vil du så skrive?:

2. Hvis du kort skal angive dit faglige niveau i matematik, er du så:

a. Under middel i forhold til dine klassekammerater? ______

b. Omkring middel i forhold til dine klassekammerater? ______

c. Over middel i forhold til dine klassekammerater? ______

27

Bilag 2: Resultatark

Hvad betød mest for dig i disse lektioner?

1) tænke? 2) snakke sammen? 3) forståelse?

Årsag til valg (kort skriftligt inden start) U2 U3 U4 U5 U6 Slutevaluering (skriftkort + mundtlig fremlæggelse)

Forventer at det kan blive sjovt at møde nogle andre matematikproblemer

2 3 2 2 2 Det har været skægt. Vidste ikke, at matematik også kunne være sjovt!

Mangler udfordring i Tiktak … det er nogle gange for nemt

2 3 1 1 - OK … det her var lidt sværere, og det var fint. (opsøgt efter forløbet sluttede)

Det der grubleri lyder spændende … kan godt lide sudoku

2 3 2 2 -

Det var anderledes end jeg havde forestillet mig, men det var sjovt! (opsøgt efter forløbet sluttede)

Man kan aldrig blive klog nok … og matematik er spændende

2 3 3 3 3 Det var lige lidt svært i starten, og jeg er ikke helt sikker på, at jeg forstod opgaven …

Ikke sikker … men tror det bliver anderledes spændende

2 1 2 1 2 Det har været anderledes, men også svært nogle gange

Jeg vil bare være god til matematik! 2 1 1 - 1 Godt! Noget af det var lidt svært …

Håber jeg også kan lære noget af de andre på holdet!

2 2 2 2 2 Jeg har lært nogle nye ord og spil

Ikke noget specielt …! Det bliver godt tror jeg!

2 3 3 3 2 Bedre end forventet. Specielt det med papirtårnene.

Udfordring! Håber at lære noget! 1 1 1 2 2 Sjovt og godt! … lærte mest i gruppen med de andre

Jeg synes ikke man kan blive for god til matematik … og så tror jeg det er vigtigt at kunne lære noget fra 8. klasserne

2 2 2 3 2

Man kan ikke mærke forskel på 7. eller 8. klasse. Vi er lige gode ... synes jeg. Der har været mindre udenomssnak end i de andre matematiktimer.

Jeg synes bare det er sjovt! 2 2 2 3 2 Sjov måde at lære matematik på - vi har også brugt meget tid på gruppearbejde

Ja … jeg vil bare gerne være dygtig … og det tror jeg, at dette hold kan hjælpe med

2 3 2 3 2 Jeg ved ikke om jeg har lært mere … jeg har nok lært noget … altså noget andet …

Jeg vil bare lære noget mere matematik! 1 3 2 3 2 Jeg er blevet bedre til at forstå en formel

Ikke nogen speciel årsag … lød spændende ift det andet

2 1 2 3 2 Det har været godt … det har været anderledes

Nye måder at lære matematik på 2 1 1 - 2 Kunne godt bruge mere tid på noget af det … du kommer for hurtigt med resultatet …

Jeg synes matematik er sjovt! Jeg kan også lide at løse problemer!

2 3 3 2 2 Det kunne være fint hvis man havde sådan noget en gang imellem synes jeg

Jeg synes altid det er spændende at løse et problem, og det lyder "grublerier" til at indeholde

2 2 3 3 2

Måske ikke så meget grubleri … det var mere formler og ligninger vi fandt … godt at kunne tale sammen om de ting vi fandt i spillene …

Jeg savner bare noget mere udfordring i matematiktimerne. Det her kan måske give noget?!

- 3 3 1 1

Det var sjovt … jeg kan godt se, at det handler om matematik … men hvad skal vi bruge det til?

Samlet med "1". pr modul 2 5 4 3 2 16 Samlet med "2" pr. modul 15 4 9 5 13 46 Samlet med "3" pr. modul 0 9 5 8 1 23

28

Bilag 3: Evalueringstekst i forbindelse med de enkelte moduler

Evalueringspunkter 1-3:

Hvordan er lektionerne gået i dag?

Hvad mener du har været dominerende eller betydet mest for dig i disse

lektioner:

1) Har du haft mest ud af at kunne sidde ”for dig selv” i gruppen og

tænke problemet, løsningen eller andet igennem?

2) Har du haft mest ud samarbejdet samt at kunne tale med de andre i

gruppen, lytte til deres svar og så videre?

3) Har du haft mest ud af, at du eller gruppen fandt ud af resultatet,

løste problemet eller opgaven?

29

Bilag 4: Undervisningsforløbet i skematisk form

UV forløb: Matematikgrublerier

Tidspunkt: Uge 2 – 6 i 2009.

Målgruppe: 18 elever i et valgfag for 7.kl. – 8.kl.

CKF´er: Kommunikation og problemløsning: Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har

tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at:

forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk

problemformulere, beskrive fremgangsmåder og angive løsninger på forståelig vis, såvel

skriftligt som mundtligt

benytte eksperimenterende og undersøgende arbejdsformer og formulere resultater af den

faglige indsigt, der er opnået

vælge hensigtsmæssig faglig metode, arbejdsform og redskab ved løsning af

problemstillinger af tværgående art

samarbejde med andre om at løse problemer ved hjælp af matematik

anvende systematiseringer og matematiske ræsonnementer

benytte variable og symboler, når regler og sammenhænge skal bevises

benytte geometrisk tegning til at formulere hypoteser og gennemføre ræsonnementer

forstå, at valget af en matematisk model kan afspejle en bestemt værdinorm

veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske

problemstillinger.

Materialer: Uden bogsystem. Eget materiale medbragt.

Indledende indbydelse fra brochuren over valgfag.

Invitationsbrev samt spørgsmål.

Ark med figurer til indledende arbejde.

Cuisenaire stave, udklippede ”stave” i karton fra 1cm til 20cm,

o Alternativt at bede eleverne om at tegne stave i et skema

o Alternativt at de selv udklipper stavene i karton.

Kassen med centikubes.

Excel ark til ”kryds- og bolle”.

30

Modulplan:

Arbejdsform / hvordan:

Indhold:

Evaluering:

Modul 1 (uge 2): MÅL: Etablering af sam-arbejdsform som et middel til en forståelse og indsigt i en demokratisk dannelse.

Samarbejde med andre om at løse tekst-problemer ved hjælp af matematik.

Lærer: Dannelse af 4-5 grupper med blandede elevforudsætninger. Frie gruppediskussioner, hvor undersøgende, konstruerende og argumenterende arbejde i grupperne er det styrende. Opsamlende plenumdialog med gruppernes enige forslag.

Kort læreroplæg om det generelt anvendelige i matematik som et værktøj til at forstå samt kunne deltage i en generel debat. Teori: ”Model af virkeligheden”. Kort fagligt oplæg på modulets opgaver. Geometriske figurer på ark. Tekststykker m.h.p. opstilling af ligning. Eleverne og grupperne arbejder ud fra udleverede materialer. Arbejde med former, geometriske figurer samt forholde sig kritisk til tekster med informationer, som indeholder og kan udtrykkes matematikfagl.

Individ- og gruppe-fokus. Afsluttende individuel vurdering (1-3). Tegn der observeres: - God stemning, grin,

samtale. - Alle elever i en

gruppe deltager. - Frustrationer, og

spørgsmål mellem elever.

Rettighed og pligt til at delagtiggøre gruppen i sine tanker og fore-stillinger om mulig-heder for løsning.

Modul 2 (uge 3): MÅL: Udvikling af elevens indsigt i samt synliggøre værdi af et ligeværdigt samarbejde. Styrke den personlige integritet gennem udvikling og brug af en dialogisk kompetence.

Anvende systematise-ringer og matema-tiske ræsonnementer.

Benytte eksperimen-terende og under-søgende arbejds-former og formulere opnåede resultatet.

Lærerintroduktion om dagens formål samt øvelsen. Gruppernes eksperi-menterende arbejde med øvelsen. Lav grad af lærerinvolvering. Eleverne skal afprøve enighed og uenighed gennem at lytte og argumentere for egne fortolkninger. Plenumdialog og opsamling. Optag af elevudtryk samt brug af deres formuleringer.

Opsamling fra sidst – kort. ”Vi ser noget af det samme, men hvad?” Mønstre, det palindrome! (eks. kvadratet på 11, 111, 1111, etc.) Lærer: To lige høje tårne øvelsen introduceres. Afkodning af mønstre, gentagelser, sammen-hænge samt, hvordan gruppen kan se det samme samt blive enige om at udtrykke dette mundtligt og matematisk.

Individ- og gruppe-fokus. Afsluttende individuel vurdering (1-3). Observation af, hvordan arbejder eleverne samt hele gruppen i en procesorienteret form med at anlægge en strategi samt at fastholde et overblik.

Modul 3 (uge 4):

Gruppearbejder, hvor eleverne fra at afprøve skal

Opsamling på To-lige-høje-tårne øvelsen fra sidst.

Individ- og gruppe-fokus.

31

MÅL: Eleverne skal erfare og udvikle arbejdsmetoder / en strategi så de gennem erkendelse og fantasi får tillid til egne muligheder, stillingtagen og handlen.

Veksler mellem prak-tiske og teoretiske overvejelser, ved løs-ningen af matema-tisk problemstilling.

Eksperimenterende og undersøgende arbejde frem mod formulering af et resultat

fremkomme med systematiseringer og en mulig formelskrivning. Gruppediskussioner opsamles i en plenum-diskussion. Grupperne skal forelægge deres tanker/forslag/ ideer/løsninger.

Hvordan kommer vi videre?!

Hvad forstår vi nu med at kunne skrive noget på en generel form i matematik?

Flytninger og Hop eksem-plet startes op (”Kryds og bolle bytter plads”). Lektie: hvordan kan vi finde mønster i 3, 4, 5 kryds/ bolle? Udvide den strukturelle tankegang i forhold til at nå frem til et generelt udtryk.

Afsluttende individuel vurdering (1-3).

Modul 4 (uge 5): MÅL: Afprøvning af og anvendelse af elevens erfarede handlekompe-tence samt bidrag til demokratiske processer,

Benytter variable og symboler regler og sammenhænge skal bevises.

Plenumdialog vedrørende afrunding fra sidst. Optag af elevudtryk samt brug af deres formuleringer. Elevernes argumentation om afkodning af mønstre, gentagelser, sammen-hænge samt, hvordan eleven kan udtrykke dette mundtligt eller matema-tisk, og få resten af gruppen overbevist.

Afrunding af kryds/bolle - hvad handler det om? Plenumoplæg: ”Renter og penge” begreb introduceres.

Individ- og gruppe-fokus. Afsluttende individuel vurdering (1-3).

Modul 5 (uge 6): MÅL: Fremme en elevforståelse af, hvordan ”kommuni-kation og problem-løsning” både har en matematikfaglig anvendelse i en og har en generel betydning for en udviklingsorienteret og demokratisk dannelses-proces.

Gruppeaktivitet med videreforsendelse af ”kapital + rente”. Hvilken struktur udvikles renten efter? Kan vi opskrive det? Husk tid til opsamling og slutevaluering.

Renteformlen afsluttes og konkretiseres ud fra gruppernes egne observationer. Afsluttende opsamling på UV-forløbet og koblingen mellem matematik og virkelighed. Afsluttende evaluering.

Individ- og gruppe-fokus. Afsluttende individuel vurdering (1-3). Samlet vurdering af UV-forløbet i få ord.

32

Bilag 5: Øvelse – geometriske figurer

1. Hvilke af ovenstående figurer kender I en skrivemåde at udregne et areal eller en omkreds på?

2. Hvis vi ikke en skrivemåde, kan vi så formulere en – og hvilken?

Matematikgrublerier – øvelse 1:

33

Bilag 6: Øvelse - omskrive tekster til matematisk udtryk

Matematikgrublerier: Kan vi skrive tekst til matematik? Hvordan?

1. En dreng er x år gammel. Hans søster er 5 år ældre. Til sammen er de 35 år. Hvor gammel er drengen?

Hvordan vil I opskrive udregningen matematisk?

2. Eleverne fra 7.b skal på klasse tur. De deles om at bære maden, sodavand samt forskelligt udstyr. Eleverne

bærer 2 kg hver, og klasselæreren bærer 3 kg. I alt har de 45 kg med at bære på. Hvor mange elever er der

i 7.b? Hvordan kan I opskrive udregningen matematisk?

3. Cecilies kat har fået unger hele to gange i år. Hun har valgt at forære 4 unger væk i alt. De resterende

unger solgte hun for 10 kr. stykket. Cecilie fik i alt 30 kr. ved salget. Hvor mange unger fik Cecilies kat dette

år? Hvordan vil I opskrive udregningen matematisk?

4. Jesper kender et taltrick: Jesper tænker på et tal. Hvilket tal tænker Jesper på, hvis det dobbelte af tallet er

7 større end 13? Hvordan vil I opskrive udregningen matematisk?

Nedskriv kort, hvad du synes var nemt i denne øvelse samt, hvad du synes var svært ved disse øvelser?

34

Bilag 7: Øvelse – ”Kryds og bolle” skal bytte plads

Matematikgrublerier: Kryds og bolle skal bytte pladser.

O O O X X X