Experimentos num¶ericos sobre ecuaciones de … · 2015-09-17 · vectivo supera el difusivo y se elimina la formaci¶on de patrones. Por otro lado para valores muy bajos en el

Rev. Int. Met. Num. Calc. Dis. Ing. (2010) 26: 69-81

Experimentos numericos sobre ecuaciones de reaccionconveccion difusion con divergencia nula del campo develocidad

Diego A. Garzon-Alvarado, Carlos H. Galeano, Juan M. Mantilla

Recibido: Diciembre 2009, Aceptado: Mayo 2010c©Universitat Politecnica de Catalunya, Barcelona, Espana 2010

Resumen El presente artıculo estudia el efecto de in-corporar el termino de transporte en las ecuaciones dereaccion-difusion de dominio fijo, a traves de camposde velocidad toroidal. Se estudia especıficamente la for-macion de patrones de Turing en problemas de difu-sion-adveccion-reaccion, considerando los modelos decinetica de reaccion de Schnackenberg y de glucolisis. Seanalizan cuatro casos que se solucionan numericamenteempleando la tecnica de elementos finitos. Se encuentraque, para los modelos de glucolisis, el efecto advectivomodifica totalmente la forma de los patrones de Turingobtenidos con difusion-reaccion; mientras que para losproblemas de Schnackenberg, los patrones originales sedistorsionan levemente, haciendolos rotar en el sentidodel campo de velocidades. Ademas, se determino, encada caso, la velocidad lımite para la cual el efecto ad-vectivo supera el difusivo y se elimina la formacion depatrones. Por otro lado para valores muy bajos en elcampo de velocidad, el efecto advectivo no es conside-rable y no hay modificacion en los patrones de Turingoriginales.

Diego A. Garzon-Alvarado,Carlos H. Galeano, Juan M. MantillaUniversidad Nacional de ColombiaKr. 30 No. 45-03Edificio 453 Oficina 401Bogota, ColombiaTel.: 57 1 316 5320; Fax: 57 1 165333e-mail: [email protected]

NUMERICAL EXPERIMENTS ON REACTIONADVECTION DIFUSION WITH NULL DIVER-GENTE OF VELOCITY FIELD

Summary This article studies the effect of the inclu-sion of the transport term in the reaction-diffusion equa-tions, through toroidal velocity fields. The formationof Turing patterns in diffusion-advection-reaction pro-blems is studied specifically, considering the Schnacken-berg reaction kinetics and glycolysis models. Four casesare analyzed and solved numerically using finite ele-ments. Is found that, for the glycolysis models, the ad-vective effect totally modifies the form of the obtainedTuring patterns with diffusion-reaction; whereas for theproblems of Schnackenberg, the original patterns dis-tort themselves slightly, making them to rotate in thedirection of the velocity field. Also this work was able todetermine, that for high values of velocity, the advectiveeffect surpasses the diffusive one and the instability bydiffusion is eliminated. On the other hand for very lowvalues in the velocity field, the advective effect is notconsiderable and there is no modification in the originalTuring pattern.

1. Introduccion

Muchos problemas fısicos pueden ser modelados ana-lizando el balance de tres fenomenos: la difusion, la ad-veccion y la reaccion [1]. El primero se define como ladispersion de las especies involucradas en el proceso a lolargo del dominio fısico del problema. La adveccion serelaciona con el transporte de especies debido a la pre-sencia de campos de velocidad. Y por ultimo, la reacciones el proceso de interaccion mediante la cual se generano se consumen las especies involucradas en el fenomeno.

70 D.A. Garzon-Alvarado, C.H. Galeano, J.M. Mantilla

La ecuacion diferencial de difusion-adveccion-reaccioninvolucra estos terminos, tal como se expresa en (1) pa-ra un fenomeno con una sola especie [1]:

∂u

∂t= ∇ · k∇u + a∇u + f(u), (1)

donde u es la concentracion de la especie estudiada, a esla velocidad asociada al fenomeno advectivo y f(u) lafuncion que define el proceso de reaccion. Esta ecuacion,y mas comunmente sistemas de ecuaciones diferencia-les, han sido empleados para el estudio de problemas encampos como la dinamica de fluidos [2], transferencia decalor [3–5], fısica de semiconductores [6], ingenierıa demateriales [7], quımica [8], biologıa [9–12], dinamica depoblaciones [13–15], astrofısica [16], ingenierıa biomedi-ca [17–19] y matematicas financieras entre otros.

Un fenomeno particular que se rige por los procesosde reaccion y difusion, se caracteriza por la presenciade distribuciones espacio-temporales de las especies in-volucradas, esta distribucion se denomina comunmentepatron. Turing [20] define las condiciones para las cualesun proceso reactivo en equilibrio puede ser inestabiliza-do por la presencia de un termino difusivo, generandoseası unos patrones espaciales heterogeneos, denominadosinestabilidades por difusion o inestabilidades de Turing.

De acuerdo con Turing [20], Madvamuse [11,12,17,21–25,27,28] y Garzon-Alvarado [29], han propuesto si-mulaciones numericas bajo condiciones de crecimientode dominio y geometrıas particulares que modifican lospatrones de distribucion de las concentraciones, respec-tivamente. Dichos articulos tienen en comun que el mo-delo de ecuaciones diferenciales es un sistema de reac-cion-difusion, de dos especies, como el definido en (2),

∂u

∂t= ∇ · ∇u + γ · f(u, v)

∂v

∂t= d∇ · ∇v + γ · g(u, v)

(2)

modelo que presentara inestabilidad espacial en los pa-trones de concentracion de las especies u y v, si secumplen cada una de las condiciones enunciadas en (3)[20,21,26].

fugv − fvgu > 0fu + gv < 0dfu + gv < 0(dfu + gv)2 > 4d (fugv − fvgu)

(3)

Donde fl y gl indican las derivadas de las funcionesde reaccion con respecto a las variables de concentra-cion, por ejemplo fu = ∂f

∂u . En las expresiones (2) y (3)d = Du

Dv es la relacion entre los coeficientes de difusionde las dos especies Du y Dv, en tanto que γ es un coefi-ciente de adimensionalizacion asociado con los procesosreactivos f y g.

El trabajo de Turing, permitio simular la formacionde patrones en diversos procesos fısicos y quımicos, ta-les como la formacion las manchas en la piel de algunosanimales [10–12,30–33], la formacion de hueso, tejidos ytumores [17–19,34], la distribucion de poblaciones ani-males [13,14], entre otras muchas aplicaciones.

La dinamica de la formacion de estos patrones, mo-delada a traves de las ecuaciones de reaccion-difusion,es estudiada normalmente empleando diversas tecni-cas numericas. Estas soluciones de naturaleza numeri-ca se hacen necesarias y utiles, debido a las formasgeometricas complejas de los dominios que comunmen-te se tratan, ası como tambien a las no linealidadesque se introducen en las ecuaciones diferenciales dentrode los terminos de cinetica de reaccion clasicos, talescomo modelos de reaccion de Gierer–Meinhardt, Tho-mas, Schnakenberg, Gray & Scott, entre otros [11]. Sehan implementado soluciones al problema de reaccion-difusion empleando diferente tecnicas numericas, talescomo: diferencias finitas, como por ejemplo en los tra-bajos de Murray [31], Kondo [32], Barrio [35] y Cram-pin [36]; elementos finitos, como en Chaplain [34], Se-kimura [22] y Madzvamuse [11,23–25]; y elementos es-pectrales, como en Kassam [37]. Muchos de los estu-dios inicialmente desarrollados en el tema de formacionde patrones de Turing se han dedicado al trabajo conmallas fijas No obstante dado que muchos de los pro-blemas fısicos simulados empleando las ecuaciones dedifusion-reaccion implican crecimiento, algunos autorescomo Madzvamuse [11], han estudiado la incidencia delcrecimiento de malla en la formacion de patrones de di-fusion En su trabajo de 2003, Madzvamuse [11], planteaun algoritmo para la solucion de problemas bidimensio-nales de difusion-reaccion empleando un dominio Eule-riano continuamente creciente. Por ejemplo, en [23] sepresenta una aplicacion de una tecnica de elementos fi-nitos con crecimiento de malla a problemas biologicosEn 2007 Madzvamuse [27] presenta, mediante un enfo-que Lagrangiano, el efecto de una malla estructuradacreciente en la formacion de patrones de Turing, anali-zando dos tecnica especıficas: un metodo de diferenciasfinitas implıcito y un planteamiento de elementos fini-tos con una discretizacion temporal de segundo ordensemi-implıcita (2-SBDF). Este ultimo trabajo se com-plementa con [28], en donde se comparan los resultadosde la tecnica 2-SBDF, con una implementacion en ele-mentos finitos que linealiza los terminos de reaccion.

Es de resaltar que, en los trabajos anteriormentemencionados, los cuales incorporan el efecto del creci-miento del dominio en la formacion de patrones de Tu-ring, se introduce un termino advectivo en la ecuaciondiferencial. No obstante, en muchos de ellos el papelde este fenomeno de transporte no es evidente, debi-

Experimentos numericos sobre ecuaciones de reaccion conveccion difusion con divergencia nula del campo de velocidad 71

do a que el enfoque Lagrangiano empleado elimina estetermino de la ecuacion diferencial.

El presente artıculo se enfoca en el estudio de la for-macion de patrones de Turing, sin crecimiento de malla,incluyendo terminos advectivos con campos de veloci-dad toroidal. Se implemento en lenguaje Fortran, unasolucion numerica de la ecuacion de reaccion-adveccion-difusion empleando elementos finitos, con una discreti-zacion temporal Backward-Euler. Los resultados alcan-zados muestran no solo la influencia de los terminosconvectivos analizados con el tipo de patron formado,sino la relacion entre la magnitud del termino de ad-veccion y la aparicion o no de las inestabilidades pordifusion. Se presentan cinco casos de estudios, tres deestos incorporan terminos de reaccion de Schnacken-berg, mientras que los dos casos restantes se analizarontomando un modelo de reaccion de glucolisis. Los resul-tados presentados muestran que los modelos con reac-cion de glucolisis son mucho mas sensibles a la presenciade campos advectivos, pues aun para pequenos valo-res de velocidad se reportan alteraciones en el patronde Turing resultante. Por el contrario, los modelos conreaccion de Schnackenberg, muestran variaciones en lospatrones de Turing que son proporcionales a la magni-tud del campo de velocidad toroidal empleado, de modoque para pequenos campos las variaciones en los patro-nes no son considerables.

La estructura del artıculo presentado consta de cua-tro secciones: en la primera parte del texto se planteala formulacion de la ecuacion de reaccion-conveccion-difusion, en tanto que la solucion numerica de la mismase presenta en la segunda seccion, a traves de una for-mulacion por elementos finitos. En una tercera seccionse definen los modelos de cinetica de reaccion de Schna-kenberg y glucolisis, mientras que en la cuarta seccionse presentan los resultados de diferentes experimentosnumericos desarrollados para dos especies, incorporan-do el termino de transporte con campos de velocidadtoroidales y los terminos reactivos anteriormente men-cionados. En la parte final del artıculo se presentan lasconclusiones.

2. Formulacion por elementos finitos de lasolucion de la ecuacion dereaccion-adveccion-difusion

Este artıculo se enfocara en el estudio del siste-ma de ecuaciones diferenciales de reaccion-adveccion-difusion (4):

∂u

∂t+ a · ∇u−∇ ·D(∇u)− f(u) = 0 (4)

en donde u = [u, v]T es el vector de concentracion de lasespecies u y v, a = [ax, ay]T es el vector de velocidadesasociado con el termino de transportes, en tanto quef(u) = [f(u, v), g(u, v)]T son las funciones que definenlos modelos de reaccion entre las especies.

Aplicando el metodo de los residuos ponderados ala expresion (4) se obtiene la ecuacion (5):∫

Ω

W ·(

∂u

∂t+ a · ∇u−∇ ·D(∇u)− f

)dΩ = 0 (5)

en donde W es una funcion de ponderacion. Ahora,operando cada uno de los terminos por separado e in-tegrando por partes se obtiene la expresion (6):∫

Ω

W.∂u

∂tdΩ +

∫

Ω

W. (a · ∇u) dΩ+

+∫

Ω

∇W · (D∇u) dΩ −∫

Ω

W.fdΩ

−∫

Γ

W.D∇udΓ = 0

(6)

Empleando el metodo de Galerkin y aproximacio-nes polinomiales discretas para cada elemento como en(7), la ecuacion de residuos ponderados puede escribirsepara cada elemento como se muestra en (8) [38].

ue =∑m

Nmum (7)

∫

Ωe

Wl.Nm∂um

∂tdΩe +

+

∫

Ωe

Wl. (a · ∇Nm) dΩe +∫

Ωe

∇Wl· (D∇Nm) dΩe

um

−∫

Ωe

Wl.fdΩe −∫

Γ e

Wl.JdΓ e = 0 (8)

Desde el punto de vista temporal, la derivada delprimer termino de la expresion (8) se puede aproximarmediante un planteamiento totalmente implıcito Back-ward-Euler, tal como se muestra en (9).∫

Ωe

Wl.NmdΩe

(ui

m − ui−1m

∆t

)+

∫

Ωe

Wl. (a · ∇Nm) dΩe +∫

Ωe

∇Wl· (D∇Nm) dΩe

ui

m

−∫

Ωe

Wl.fdΩe −∫

Γ e

Wl.JdΓ e = 0 (9)

Donde uim y ui−1

m son los vectores de valores nodalespara el instante de tiempo i e i− 1 respectivamente, entanto que ∆t es el intervalo de tiempo.


En forma simplificada, la expresion (9) se puede es-cribir como (10):

uim − ui−1

m

∆tM +

(C + K

).ui

m = fl (10)

donde

M =∫

Ωe

Wl.NmdΩe (11)

C =∫

Ωe

Wl.(a · ∇Nm)dΩe (12)

K =∫

Ωe

∇Wl· (D∇Nm) dΩe (13)

fl =∫

Ωe

Wl.fdΩe +∫

Γ e

Wl.JdΓ e (14)

3. Modelo de reaccion de Schnakenberg

Schnakenberg [39] considero un conjunto de dos es-pecies en una reaccion trimolecular que admite reaccio-nes periodicas. Este mecanismo quımico ha sido utiliza-do por un gran numero de autores para explicar diversosfenomenos naturales [1,25,30,40,41,43] Los terminos dereaccion de Schnakenberg pueden ser introducidos enun sistema de reaccion-adveccion-difusion, que en suforma adimensional se muestra en la expresion (15)[39]

∂u

∂t= γ(α− u + u2v) +∇ · ∇u− a.∇u

∂v

∂t= γ(β − u2v) +∇ · d∇v − a.∇v

(15)

en donde las constantes positivas α y β representan laproduccion de u y v respectivamente, mientras que eltermino de catalisis nolineal u2v define la activacion deu y el consumo de v La constante d define la relacionentre los coeficientes de difusion de cada especie.

Este modelo resulta especialmente interesante de-bido a que su empleo en las ecuaciones de reaccion-difusion permite la generacion de patrones particularesgenerados por inestabilidades de Turing. En este proce-so de formacion de patrones, las pequenas perturbacio-nes iniciales se amplifican y se propagan, lo que lleva a laformacion de manchas que avanzan lentamente e inter-actuan entre sı [42]. Debido a lo anterior, el modelo delSchnakenberg es ampliamente empleado para la simu-lacion de regeneracion osea, como en [43] en donde lasespecies estudiadas son las hormonas PTHrP (Hormo-na Paratiroidea Peptida Relacionda) y Ihh (HormonaIndian Hedgehog).

4. Modelo de reaccion de glucolisis

La glucolisis o glicolisis es el proceso de sıntesis (oxi-dacion) de la molecula de glucosa para proporcionarenergıa al metabolismo celular. A traves de una secuen-cia de reacciones, la glucosa es transformada en piru-vato y en ATP, unidad de intercambio metabolico en elorganismo vivo. Este modelo de reaccion, caracterizadoporque las dos especies relacionadas (piruvato y ATP),se emplea comunmente para modelar los procesos decoagulacion y morfogenesis [44],[45] Las ecuaciones dereaccion-adveccion-difusion adimensionales para el mo-delo de glucolisis se muestran en (16).

∂u

∂t= δ − ku− uv2 +∇ · ∇u− a.∇u

∂v

∂t= ku + uv2 − v +∇ · d∇v − a.∇v

(16)

5. Caso 1: Modelo de disfusion, adveccion yreaccion de Schnackenber #1

Para este modelo se definio un dominio cuadradoen coordenadas adimensionales una constante de difu-sion igual a d = 8, 6676, ası como unas constantes dereaccion de Schnackenbreg definidas por los valores:

γ = 230, 82 α = 0, 1 β = 0, 9 (17)

Desde el punto de vista advectivo el campo de velo-cidades empleado para este problema esta definido porlas funciones del vector a de la ecuacion (18) e ilustradoen la Figura 1

a = bax ay c =[−0, 6(y − 0, 5) 0, 6(x− 0, 5)

](18)

La simulacion por elementos finitos realizada paraeste problema, utilizo una malla estructurada de 2500elementos (2601 nodos) cuadrados de primer orden y

Figura 1. Campo de velocidad empleado parael Caso 1


Figura 2. Distribucion espacio-temporal de la concentracion de los reactivos u (a) y v (b) obtenida para el Caso1 empleando un campo de velocidad nulo (Referencia)

Figura 3. Distribucion espacio-temporal de la concentracion de los reactivos u (a) y v (b) obtenida para el Caso1 empleando el campo de velocidad definido en (18)

un tiempo de simulacion igual a 30, con incrementosde 001 unidades adimensionales. La condicion inicialse tomo como una variacion aleatoria del ±10% de laconcentracion de cada una de las especies alrededor delcaso estable sin difusion.

5.1. Resultados obtenidos para el Caso 1

En la Figura 2 se muestra los resultados de referen-cia obtenidos para este caso empleando un campo develocidad a nulo; mientras que en la Figura 3 se grafi-can los resultados alcanzados empleando el campo develocidad definido en (18). Para el caso de referencia,

se observa la formacion de un patron de Turing seme-jante a un tablero de ajedrez cuyas casillas se encuen-tran alineadas con los bordes del dominio. Debido alos parametros y la verificacion de las condiciones deestabilidad dadas en (3), tal como se define en [1,21],el tipo de patron espacial, de estado estable en termi-nos temporales, que se presenta esta determinado por elnumero de onda (2,2) [23,29], como se ve en la Figura 2.Ademas se observa que el tiempo de estabilizacion es deaproximadamente 7 unidades adimensionales de tiem-po. Por otro lado, en los resultados alcanzados adicio-nando el efecto de adveccion, se observa la formacion deun patron similar al anterior, aunque ligeramente dis-torsionado (rotado) en la direccion de giro del campode velocidad. Esta distorsion, medida como la rotacionde los puntos de mas alta concentracion de especie la


v, es cercana a 9, 5 (ver Figura 4) Sin embargo es-te angulo cambia para diferentes intensidades de rota-cion del campo de velocidad toroidal, siendo 9, 5 elmaximo angulo de distorsion, pues para magnitudes develocidad de rotacion superiores a 0, 6 la componenteadvectiva supera los efectos difusivos y no se presentaformacion de un patron de Turing. Se encuentra adi-cionalmente que el fenomeno de transporte introducidocon el campo de velocidad retarda el tiempo de estabi-lizacion del problema, hasta un tiempo cercano a las 30unidades y no modifica los niveles de concentracion delas dos especies uy v.

Figura 4. Rotacion del patron de Turing obtenida parael Caso 1

6. Caso 2: Modelo de difusion, adveccion yreaccion de Schanckenberg #2

Para la solucion numerica de este caso se empleo lamisma malla utilizada en el Caso 1, ası como los mis-mos valores para las constantes definidas en (17), y seconsidero un campo de velocidad toroidal oscilatorio,el cual se define en (19). En cuanto a la condicion ini-cial, se empleo la solucion del caso estable del problemareactivo.

a = [axay] =[−0, 6(y − 0, 5)Sin

(2πt

15

)0, 6(x− 0, 5)Sin

(2πt

15

)]

(19)


La solucion obtenida, mostrada en la Figura 5, pre-senta formacion de patrones de Turing en forma de

tablero de ajedrez, el cual se ve distorsionado por elsentido de giro del campo de velocidad toroidal, obte-niendose un patron oscilatorio alrededor de la solucionde referencia (no advectiva). Dado que la amplitud dela velocidad empleada fue la misma que para el Caso1, la amplitud de oscilacion del patron resulta ser cer-cana tambien a 9, 5. No se encontro, que por efecto deeste campo de velocidad oscilatorio, los niveles de con-centracion de alguna de las dos especies cambien conrespecto al problema de referencia. Es importante no-tar que la oscilacion permite la continua re-construccionde los patrones en ±9.5˚, sin generar cambios aprecia-bles en la apariencia de los mismos en comparacion conel patron referente.

Figura 5. Distribucion espacio-temporal de la concen-tracion de los reactivos u (a) y v (b) obtenida para elCaso 2


Figura 6. Campo de velocidad empleado para el Caso 3

Figura 7. Distribucion espacio-temporal de la concentracion de los reactivos u (a) y v (b) obtenida para el Caso3 empleando un campo de velocidad nulo (Referencia)

7. Caso 3: Modelo de difusion, adveccion yreaccion de Schanckenberg #3

Para este modelo se definio un dominio cuadrado encoordenadas adimensionales, discretizado con 2500 ele-mentos cuadrilateros de primer orden. La constante dedifusion d y las constantes de reaccion de Schnacken-berg son definidas en (20).

d = 11,5776 γ = 70, 6 α = 0, 1 β = 0, 9 (20)

Los anteriores datos predicen la formacion de unpatron de estado temporal estable e inestable espacialdel tipo (1,1), tal como se referencia en [1,21]. Al igualque en el Caso 2 se empleo un campo de velocidad to-roidal variable en el tiempo, el cual se define en (21) yse ilustra en la Figura 6

ax =

0,001 t ≤ 15−1, 8y t > 15

ay =

0,001 t ≤ 151, 8x t > 15

(21)

La condicion inicial se tomo como una variacionaleatoria del ±10 % de la concentracion de cada una delas especies para el caso estable sin difusion. El tiem-po de simulacion es de 30 unidades, con incrementosiguales a 001.


En la Figura 7 se muestran los resultados de refe-rencia obtenidos para este caso empleando un campode velocidad nulo, es decir, para un fenomeno difusivo-reactivo. Se observa un corto tiempo de estabilizacioncercano a 16 unidades de tiempo y un patron carac-terizado por la formacion de cuatro zonas o cuadran-tes con concentraciones maximas y mınimas alternadas.En la Figura 8 se muestran los resultados de la simu-lacion del problema difusivo-advectivo-reactivo. Se ob-serva que para el campo de velocidad inicial (t ≤ 15)la distribucion de concentraciones de las dos especiesevoluciona hasta estabilizar y formar un patron identi-


Figura 8. Distribucion espacio-temporal de la concentracion de los reactivos u (a) y v (b) obtenida para el Caso3 empleando el campo de velocidad definido en (21)

co al encontrado en el caso de referencia (problema noadvectivo) Esta similitud en los dos patrones se explicapor la pequena magnitud de la velocidad empleada enesta fase de la simulacion. Sin embargo, para tiempossuperiores a 15 unidades, cambia radicalmente el campode velocidad y se presenta una modificacion en el patronobtenido hasta el momento. Efectivamente, despues de15 unidades de tiempo el patron comienza un periodode evolucion, el cual dura aproximadamente 2 unidadesadimensionales de tiempo, al final del cual se obtieneuna nueva distribucion, que es claramente asociable a ladireccion de giro del campo toroidal de velocidad. Estadistribucion de concentraciones se asemeja al patronobtenido en la Figura 7 con una rotacion de 90 enla direccion de giro del campo de velocidad (sentidoantihorario).

Notese que dado que el campo de velocidad toroidalno gira entorno al centro del dominio (x = 0, 5y = 0, 5),el patron final no conserva las caracterısticas simetricasque exhibıa en el problema de referencia

En este ejemplo se observa como para pequenos va-lores en el campo de velocidad, el efecto advectivo no lo-gra afectar considerablemente la componente difusiva-reactiva, no ası para valores de velocidad intermedios,en donde el transporte de las especies logra modificar

los patrones de Turing originales, cambiando de mane-ra importante la distribucion de las concentraciones delas especies. Para velocidades altas, el efecto advectivosupera el difusivo y no se presenta formacion de patro-nes, es decir, se elimina la inestabilidad difusiva en lareaccion de las especies.

8. Caso 4: Modelo de difusion, adveccion yreaccion de glucolisis – primer caso

En este caso se analiza el efecto del fenomeno advec-tivo en la formacion de patrones de Turing, dentro de unproblema con un mecanismo de reaccion de glucolisis.El dominio del problema se define como un cuadrado delongitud π, discretizado con 2500 elementos cuadrilate-ros lineales. El campo de velocidad toroidal empleado,con centro en (x = π

2 y = π2 ), se encuentra descrito por

medio de la expresion (22) (ver Figura 9), en tanto quelas constantes de reaccion se definen en (23)

a =[ax ay

]=

[−κ(y − π2 ) κ(x− π

2 )]

(22)

d = 0, 0125 k = 0, 06 δ = 2, 8 (23)

Para mostrar la influencia del termino advectivo, sesimularon para las mismas condiciones difusivas-reactivas,


Tabla 1. Valores del parametro κ para los campos de velocidad empleados en el Caso 41

Caso Caso 4-0 Caso 4-1 Caso 4-2 Caso 4-3 Caso 4-4

κ 0 0, 005 0, 2 0, 4 0, 7

Figura 9. Campo de velocidad empleado para el Caso 4

Figura 10. Distribucion espacio-temporal de la concentracion del reactivo u obtenida para el Caso 4 empleandocampos de velocidad toroidal de diferente magnitud

cuatro casos con diferentes magnitudes en el campo develocidad, las cuales se presentan en la Tabla 1.

El tiempo final de simulacion empleado fue de 3000unidades de tiempo con incrementos iguales a 01. Lacondicion inicial utilizada esta definida por una varia-cion aleatoria del 10 % alrededor de los valores establesdel proceso reactivo.


En la secuencia de imagenes (a) de la Figura 10, semuestra el patron de Turing obtenido para el problemade referencia difusivo-reactivo (Caso 4-0). Este patronse caracteriza por la presencia de puntos en una distri-bucion mas o menos regular, la cual se estabiliza en untiempo cercano a las 450 unidades. Al adicionar un pe-queno campo advectivo, como en el Caso 4-1, el patronmuestra una dinamica en la cual los puntos interactuanentre ellos uniendose y separandose permanentemen-te mientras rotan alrededor del centro del dominio del

problema, tal como se ilustra en la secuencia (b) de laFigura 10 Este caso no exhibe una solucion estable, elcomportamiento dinamico de continua rotacion del sis-tema se mantiene aun al final del tiempo de simulacionigual a 3.000 unidades.

Al aumentar la magnitud en el campo de velocidad,como en el Caso 4-2 (secuencia (c) de la Figura 10),se observa un retardo en el tiempo de formacion delpatron. Dicha distribucion, que queda definida casi in-mediatamente para los Casos 4-0 y 4-1 (en la referen-cia) ahora toma forma solo despues de 450 unidadesde tiempo. El patron ahora formado muestra un me-nor numero de puntos que en los dos casos anteriores, yaunque al igual que en el Caso 4-1, el arreglo alcanzadorota permanentemente alrededor del centro, se observaque los puntos no interactuan unos con otros tal comosi sucedio previamente.

Para el Caso 4-3 el patron formado muestra un efec-to mucho mas notorio de la componente advectiva Lospuntos circulares en rotacion obtenidos en los casos pre-


vios, se fusionan por el efecto del campo de velocidad,reduciendo la cantidad de puntos formados. Este patronse mantiene en rotacion alrededor del centro, tal co-mo se observa en la secuencia (d) de la Figura 10. Unaumento en la velocidad vortical, como en el Caso4-4,termina de fusionar los puntos creando zonas anularesregulares con diferentes intensidades de concentracion.A diferencia de los casos anteriores, este patron obte-nido se estabiliza despues de 150 unidades de tiempoaproximadamente, tal como se muestra en la secuencia(e) de la Figura 10.

9. Caso 5: Modelo de difusion, adveccion yreaccion de glucolisis – segundo caso

En este caso se analiza el efecto del fenomeno advec-tivo en la formacion de patrones de Turing, dentro de unproblema con un mecanismo de reaccion de glucolisis.El dominio del problema se define como un cuadradode longitud igual a 5π, el cual es discretizado con 2.500elementos cuadrilateros lineales. El campo de velocidadtoroidal empleado, con centro en (x = 0y = 0), se en-cuentra descrito por medio de la expresion (24) (verFigura 11), en tanto que las constantes de reaccion sedefinen en (25).

a =[ax ay

]=

[−ςy ςx]

(24)

d = 0, 08 k = 0, 06 δ = 1, 2 (25)

Para mostrar la influencia de del termino advecti-vo, se simularon para las mismas condiciones difusivas-reactivas cuatro casos con diferentes magnitudes en lavelocidad angularς, las cuales se presentan en la Ta-bla 2. El tiempo final de simulacion empleado fue de6.000 unidades de tiempo con incrementos iguales a 0,1.La condicion inicial utilizada esta definida por una va-riacion aleatoria del 10 % alrededor de los valores esta-bles del proceso reactivo.

Tabla 2. Valores del parametro de velocidad angular ςpara los campos de velocidad de Caso 5

Caso Caso 5-0 Caso 5-1 Caso 5-2 Caso 5-3

ς 0 0, 05 0, 1 0, 7


En la secuencia de imagenes (a) de la Figura 12,se muestra el patron de Turing obtenido para el proble-ma de referencia difusivo-reactivo. En estas imagenes seobserva como se forman una serie de puntos, los cuales

Figura 11. Campo de velocidad empleado para elCaso 5

interactuan entre sı a lo largo del tiempo, hasta formarun patron de lıneas horizontales, mas o menos definidodespues de 1.750 unidades de tiempo. La aplicacion deun pequeno campo de velocidad toroidal, como el indu-cido en el Caso 5-1, lleva a la formacion de un patronde lıneas concentricas alrededor del centro del campo develocidad, las cuales se estabilizan rapidamente aproxi-madamente despues de 500 unidades de tiempo y quemuestran una relacion con el campo advectivo aplica-do en el problema. En la secuencia (b) de la Figura12 se puede observar la evolucion del patron obtenidopara el Caso 5-1. En el Caso 5-2 se analiza el efectodel aumento en la magnitud del campo de velocidadsobre la distribucion de los patrones. Al igual que enel Caso 5-1, para este caso se presenta la formacion dezonas de concentracion circulares centradas en (0, 0).Este patron se forma y se estabiliza muy rapidamen-te despues de 500 unidades de tiempo. Sin embargo,transcurridas 1.750 unidades de tiempo se alcanza unabifurcacion y el patron comienza a cambiar nuevamen-te, para estabilizarse finalmente despues de 2.200 uni-dades de tiempo, tal como se muestra en la secuencia(c) de la Figura 12.

Finalmente, para una problema con un campo ad-vectivo mayor, como el planteado en el Caso 5-3, seobserva que el patron formado no es estable como enlo casos anteriores, sino que se trata de un patron os-cilatorio, tal como se ilustra en la secuencia (d) de laFigura 12. En este caso, al igual que en los anteriores,se presenta tambien la formacion de unas lıneas circu-lares centradas en el origen del sistema coordenado; sinembargo las intensidades de las lıneas del patron varıandurante el tiempo de forma oscilatoria, de modo que elpatron cambia tal como un frente de onda expandiendo-se desde el vertice inferior del dominio hacia los bordesdel mismo.


Figura 12. Distribucion espacio-temporal de la concentracion del reactivo u obtenida para el Caso 5 empleandocampos de velocidad toroidal de diferente magnitud

10. Conclusiones

Se analizaron cinco problemas de difusion-adveccion-reaccion, empleando los modelos de cinetica de reaccionde Schnackenberg y de glucolisis. En todos los casos secompararon los resultados de los patrones de Turingobtenidos del problema de difusion-reaccion de domi-nio fijo y sin adveccion, con la distribucion resultanteal introducir un termino de transporte por medio deun campo de velocidad toroidal. Se encontro que paralos casos con cinetica de reaccion de Schnackenberg, enciertos rangos de velocidad los patrones de Turing ori-ginales se distorsionan, generandose patrones similaresal inicial pero con cierto angulo de desviacion, el cuales proporcional a la magnitud del campo de velocidadaplicado. Para velocidades superiores, el efecto advecti-vo supera el difusivo, eliminandose la inestabilidad pordifusion y por tanto los patrones de Turing. En caso deemplear velocidades inferiores al rango mencionado, elefecto del transporte no es significativo y las variacionessobre los patrones de Turing no son apreciables.

Para los casos que emplearon el modelo de cineti-ca de reaccion de glucolisis, se encontro que aun losterminos convectivos menores modifican considerable-mente los patrones de Turing formados. Pequenos va-lores en los campos de velocidad generan patrones deforma parecida a los difusivo-reactivos (patrones de re-ferencia), pero con una tendencia permanente a la rota-cion. En tanto que con campos advectivos mas fuertes,se produce un transporte y combinacion (arrastre) delos patrones obtenidos previamente, formandose nuevospatrones, los cuales guardan formas geometricas muyrelacionadas con la naturaleza del campo de velocidadaplicado.

Por ultimo, es importante resaltar que los resultadosobtenidos en los casos numericos no han sido comproba-dos experimentalmente. En este sentido, se han hecho

comprobaciones experimentales como [46] en donde serelata la formacion de patrones en reacciones quımi-cas complejas. En este sentido, este articulo deja abier-ta la posibilidad de realizar nuevos experimentos sobresistemas reactivos complejos bajo la accion de camposde velocidad que modifican el patron de formacion deTuring. Por tanto, este artıculo senala una nueva posi-bilidad de experimentacion en problemas de reaccion-conveccion-difusion que se ha predicho mediante la si-mulacion numerica.

Agradecimientos

El presente proyecto fue financiado por la DIB (Di-vision de Investigacion de Bogota, Universidad Nacio-nal de Colombia) mediante el apoyo al proyecto ”Mo-delado Matematico y Simulacion de Procesos en Inge-nierıa Mecanica y Biomedica: Segunda Fase”. CodigoDIB 8008170.

Referencias

1. D. Garzon. (2007) Simulacion de procesos de reaccion-difusion: Aplicacion a la morfogenesis del tejido oseo.Ph.D. Thesis . Universidad de Zaragoza.

2. D. White. (1988) The planforms and onset of convectionwith a temperature dependent viscosity. J. Fluid Mech191 247–286.

3. O. Hirayama, R. Takaki. (1988) Thermal convection ofa fluid with temperature-dependent viscosity. Fluid Dy-namics Research. 12-1:35-47.

4. M. Ardes, F. Busse, J. Wicht. (1997) Thermal convec-tion in rotating spherical shells. Physics of the Earthand Planetary Interiors. 99:55-67.

5. J. Lir, T. Lin. (2001) Visualization of roll patterns inRayleigh–Benard convection of air in rectangular sha-


llow cavity. International Journal of Heat and MassTransfer 44: 2889-2902.

6. Y. Balkarei, A. GrigorYants, Y. Rhzanov, M. Elinson.(1988) Regenerative oscillations, spatial-temporal singlepulses and static inhomogeneous structures in opticallybistable semiconductors. Opt. Commun. 66:161–166.

7. V.I. Krinsky. (1984) Self-organisation: Auto-Waves andstructures far from equilibrium Ed. Springer.

8. L. Zhang, S. Liu. Stability and pattern formation in acoupled arbitrary order of autocatalysis system. AppliedMathematical Modelling 33:884–896.

9. F. Crauste, M. Lhassan, A. Kacha. (2008) A delayreaction-diffusion model of the dynamics of botulinumin fish. Mathematical Biosciences. 216:17–29.

10. F. Rossi, S. Ristori, M. Rustici, N. Marchettini, E. Tiez-zi. ( 2008) Dynamics of pattern formation in biomimeticsystems. Journal of Theoretical Biology. 255:404–412.

11. A. Madzvamuse, A. Wathen, P. Maini. (2003) A movinggrid finite element method applied to a model biologicalpattern generator. Journal of Computational Physics.190:478–500.

12. H. Frederik, P. Maini, A. Madzvamuse, A. Wathen,T. Sekimura. (2003) Pigmentation pattern formationin butterflies: experiments and models. C. R. Biologies.326:717–727.

13. F. Yi, J. Wei, J. Shi, Bifurcation and spatiotemporalpatterns in a homogeneous diffusive predator–prey sys-tem. Journal of Differential Equations. Article in Press.

14. M. Baurmanna, T. Gross, U. Feudel. (2007) Instabilitiesin spatially extended predator–prey systems: Spatio-temporal patterns in the neighborhood of Turing–Hopfbifurcations. Journal of Theoretical Biology 245220–229.

15. B. Rothschild, J. Ault. (1996) Population-dynamic ins-tability as a cause of patch structure. Ecological Mode-lling 93:237-239.

16. T. Nozakura, S. Ikeuchi. (1984) Formation of dissipativestructures in galaxies. Astrophys. J. 279:40–52.

17. A. Madzvamuse (2002) A Numerical Approach to theStudy of Spatial Pattern Formation in the Ligamentsof Arcoid Bivalves. Bulletin of Mathematical Biology64501–530.

18. J. Garcıa-Aznar, J. Kuiper, M. Gomez-Benito, M. Do-blare, J. Richardson. (2007) Computational simulationof fracture healing: Influence of interfragmentary move-ment on the callus growth. Journal of Biomechanics. 40(7):1467-1476.

19. S. Ferreira, M. Martins, M. Vilela. (2002) Reaction-diffusion model for the growth of avascular tumor. Phy-sical Review. 65(2):21–907.

20. A. Turing. (1952) The chemical basis of morphogenesis.Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 237:37–72.

21. A. Madzvamuse. (2000) A numerical approach to thestudy of spatial pattern formation. Ph.D. Thesis. Uni-versity of Oxford.

22. T. Sekimura, A. Madzvamuse, A. Wathen, P. Maini.(2000) A model for colour pattern formation in the but-terfly wing of Papilio dardanus. Proc. Roy. Soc. London.Series B 26:851–859.

23. A. Madzvamuse, A. Wathen, P. Maini. (2005) A movinggrid finite element method for the simulation of patterngeneration by Turing models on growing domains. J.Sci. Comp. 24 (2):247–262.

24. A. Madzvamuse, R. Thomas, P. Maini, A. Wathen.(2002) A numerical approach to the study of spatialpattern formation in the ligaments of arcoid bivalves.Bull. Math. Biol. 64:501–530.

25. A. Madzvamuse, T. Sekimura, A. Wathen, P. Maini.(2002) A predictive model for colour pattern formationin the butterfly wing of Papilio dardanus. HiroshimaMath J. 32:325–336.

26. E. Crampin. (2000) Reaction and diffusion on growingdomains. Ph.D. Thesis. University of Oxford.

27. A. Madzvamuse, P. Maini. (2007) Velocity-induced nu-merical solution of reaction–diffusion systems on conti-nuosly growing domains. Journal of computational phy-sics. 225:100–119.

28. A. Madzvamuse. (2006) Time-stepping schemes for mo-ving grid finite element applied to reaction-diffusion sys-tems on fixed and growing domains. Journal of compu-tational physics. 214:239–263.

29. D. Garzon. (2007) Simulacion de procesos de reaccion-difusion: Aplicacion a la morfogenesis del tejido oseo.Ph.D. Thesis. Universidad de Zaragoza.

30. H. Meinhardt. (1982) Models of Biological Pattern For-mation Ed. Academic Press.

31. J. Murray. (1981) A prepattern formation mechanismfor animal coat markings. J. Theor. Biol. 88:161–199.

32. S. Kondo, R. Asai. (1995) A reaction-diffusion wave onthe skin of the marine anglefish, Pomacanthus. Nature376:765–768.

33. T. Sekimura, A. Madzvamuse, A. Wathen, P. Maini.(2000) A model for colour pattern formation in the but-terfly wing of Papilio dardanus. Proc. Roy. Soc. London.Series B 26:851–859.

34. M. Chaplain, A. Ganesh, I. Graham. (/2001) Spatio-temporal pattern formation on spherical surfaces: Nu-merical simulation and application to solid tumorgrowth. J. Math. Biol. 42:387–423.

35. R. Barrio, C. Varea, J. Aragon, P. Maini. (1999) A two-dimensional numerical study of spatial pattern forma-tion in interacting systems. Bull. Math. Biol. 61:483–505.

36. E. Crampin, E. Gaffney, P. Maini. (1999) Reaction anddiffusion on growing domains: Scenarios for robust pat-tern formation. Bull Math. Biol. 61:1093–1120.

37. A. Kassam, L. Trefethen (2003) Solving reaction-diffusion equations 10 times faster. Oxford University:Numerical Analysis Group Research Report No. 16.


38. O. Zienkiewicz, R. Taylor. (2004) Problemas de con-veccion dominante: Aproximaciones de elementos finitosa la ecuacion de difusion-adveccion. En: El Metodo delos elementos finitos. 3:16–78 Ed. Centro Internacionalde Metodos Numercios en Ingenierıa. Traducido de TheFinite Element Method 5th Edition.(2000) Butterworth-Heinemann College. 3:5-150.

39. J. Schnakenberg. (1979) Simple chemical reactionsystems with limit cycle behaviour. J. Theor Biol.81(3):389-400.

40. R. Chaturvedi, C. Huang, J. Izaguirre, S. Newman, J.Glazier, M. Alber. (2004) A Hybrid Discrete-ContinuumModel for 3-D Skeletogenesis of the Vertebrate Limb. Ed.Springer.

41. R. Chaturvedi, C. Huang B. Kazmierczak, T. Schnei-der J. Izaguirre, T. Glimm, H. Hentschel J. Glazier, S.Newman, M. Alber. (2005) On multiscale approachesto three-dimensional modelling of morphogenesis. J. R.Soc. Interface. 2:237-253.

42. R. Revelli, L. Ridolfi. (2008) Generalized colloca-tion method for two-dimensional reaction-diffusion pro-blems with homogeneous Neumann boundary condi-tions. Computers and Mathematics with Applications.56:2360–2370.

43. D. Garzon-Alvarado, J. Garcıa-Aznar, M. Doblare. Areaction-diffusion model for long bones growth. Bio-mechanics and modeling in mechanobiology. Article inPress.

44. D. Garzon-Alvarado, J. Garcıa-Aznar, M. Doblare. Ap-pearance and location of secondary ossification centresmay be explained by a reaction-diffusion mechanism.Computers in biology and medicine. Article in press.

45. J. Vanegas, N. Landinez, D. Garzon-Alvarado. (2009)Analisis de Inestabilidad de Turing en Modelos Biologi-cos. Revista DYNA. 47. Article in press.

46. J. Stavek, M. Sipek, J. Sestak. (2002) The applicationof the principle of least action to some self-organizedchemical reactions. Thermochimica Acta. 388(1-2):441-450.

Documents

Experimentos num¶ericos sobre ecuaciones de … · 2015-09-17 · vectivo supera el difusivo y se elimina la formaci¶on de patrones. Por otro lado para valores muy bajos en el