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Curso de M etodos Num ericos.Derivada Num erica

Curso : Metodos Numericos en Ingenierıa

Profesor : Dr. Jose A. Otero Hernandez

Universidad : ITESM CEM

Fecha : Jueves, 01 de octubre de 2014

Definici on de derivada Derivada aproximada Derivada num erica: MATLAB

Topicos

1 Definici on de derivada

2 Derivada aproximada

3 Derivada num erica: MATLABAproximacion derecha: u′

Aproximacion izquierda: u′

Aproximacion centrada: u′

Aproximacion centrada: u′′


Topicos








DerivadaEs la razon de cambio de una variable dependiente conrespecto a una variable independiente.

La definicion matematica de la derivada esta dada por unaaproximacion por diferencias:

∆y

∆x=

f(xi + ∆x)− f(xi)∆x

,dy

dx= lim

∆x→0

f(xi + ∆x)− f(xi)∆x


Segunda derivada

Representa la derivada de la primera derivada.

Expresa la rapidez de cambio de la pendiente.

d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)


Segunda derivada



d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)


Segunda derivada



d2y

dx2=

d

dx

(dy

dx

)


Derivadas de funciones de mas de una variableSe toma la derivada en un punto manteniendo constantetodas las variables excepto una.

∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x, y)− f(x, y)∆x

∂f

∂y= lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)∆y



∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x, y)− f(x, y)∆x

∂f

∂y= lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)∆y



∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x, y)− f(x, y)∆x

∂f

∂y= lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)∆y


Topicos








Discretizaci on dudx

De la formula de Taylor se tiene:

u(x±4x) = u(x)±∆x u′(x) +∆x2

2u′′(x)± ∆x3

6u′′′(x) +

∆x4

24u′′′′(x) + · · ·

(1)

Al sustituir x = xi, x + ∆x = xi+1, x−∆x = xi−1, u(x±4x) =ui±1 y u(x) = ui, la formula (1) se transforma en:

ui±1 = ui ±∆xu′i +∆x2

2u′′i ±

∆x3

6u′′′i +

∆x4

24u′′′′i + · · · (2)




u(x±4x) = u(x)±∆x u′(x) +∆x2

2u′′(x)± ∆x3

6u′′′(x) +

∆x4

24u′′′′(x) + · · ·

(1)


ui±1 = ui ±∆xu′i +∆x2

2u′′i ±

∆x3

6u′′′i +

∆x4

24u′′′′i + · · · (2)




u(x±4x) = u(x)±∆x u′(x) +∆x2

2u′′(x)± ∆x3

6u′′′(x) +

∆x4

24u′′′′(x) + · · ·

(1)


ui±1 = ui ±∆xu′i +∆x2

2u′′i ±

∆x3

6u′′′i +

∆x4

24u′′′′i + · · · (2)



De (2+) se obtiene: Aproximacion derecha o hacia delante

u′i =ui+1 − ui

∆x, ε = o(∆x) (3)

De (2-) se obtiene: Aproximacion izquierda o hacia atras

u′i =ui − ui−1

∆x, ε = o(∆x) (4)

De (2+)-(2-) se obtiene: Aproximacion centrada

u′i =ui+1 − ui−1

2∆x, ε = o(∆x2) (5)




u′i =ui+1 − ui

∆x, ε = o(∆x) (3)



∆x, ε = o(∆x) (4)


u′i =ui+1 − ui−1

2∆x, ε = o(∆x2) (5)




u′i =ui+1 − ui

∆x, ε = o(∆x) (3)



∆x, ε = o(∆x) (4)


u′i =ui+1 − ui−1

2∆x, ε = o(∆x2) (5)


Discretizaci on d2udx2

De (2+)+(2-) se obtiene: Aproximacion centrada para lasegunda derivada

u′′i =ui+1 − 2ui + ui−1

∆x2, ε = o(∆x2) (6)


Topicos








Aproximaci on derecha: u′

Primera derivada dudx

Aproximacion derecha

u′i =ui+1 − ui

∆x



Programa MATLAB

funct ion pder ivada d v1 ( f , x i , x f , np )clcF= i n l i n e ( f , ’ x ’ ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i : dx : x f +dx ] ;n=size ( x , 2 ) ;fo r i =1:n−1

dF ( i ) =(F ( x ( i +1) )−F( x ( i ) ) ) / dx ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 1 : n−1) ’ dF ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )syms xde r f = d i f f ( f , x ) ;ezp lo t ( der f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plo t ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ green ’ )

end



Ejemplo 1: f(x) = x2

f = ’ x ˆ2 ’ ;x i =0;x f =4;np=4;pder ivada d v1 ( f , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 11 32 53 74 9











Aproximaci on izquierda: u′


Aproximacion izquierda


∆x



Programa MATLAB

funct ion pde r i vada i v1 ( f , x i , x f , np )clcF= i n l i n e ( f , ’ x ’ ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i−dx : dx : x f ] ;n=size ( x , 2 ) ;fo r i =2:n

dF ( i ) =(F ( x ( i ) )−F( x ( i −1) ) ) / dx ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 2 : n ) ’ dF ( 1 , 2 : n ) ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )syms xde r f = d i f f ( f , x ) ;ezp lo t ( der f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plo t ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ ye l low ’ )

end




f = ’ x ˆ2 ’ ;x i =0;x f =4;np=4;pde r i vada i v1 ( f , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 −11 12 33 54 7











Aproximaci on centrada: u′


Aproximacion centrada

u′i =ui+1 − ui−1

2∆x



Programa MATLAB

funct ion pder ivada c v1 ( f , x i , x f , np )clcF= i n l i n e ( f , ’ x ’ ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i−dx : dx : x f +dx ] ;n=size ( x , 2 ) ;fo r i =2:n−1

dF ( i ) =(F ( x ( i +1) )−F( x ( i −1) ) ) / (2∗dx ) ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 2 : n−1) ’ dF ( 1 , 2 : n−1) ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )syms xde r f = d i f f ( f , x ) ;ezp lo t ( der f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plo t ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ red ’ )

end




f = ’ x ˆ2 ’ ;x i =0;x f =4;np=4;pder ivada c v1 ( f , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 01 22 43 64 8











Aproximaci on centrada: u′′

Segunda derivada d2udx2

Aproximacion centrada

u′′i =ui+1 − 2 ui + ui−1

∆x2



Programa MATLAB

funct ion sder ivada c v1 ( f , x i , x f , np )clcF= i n l i n e ( f , ’ x ’ ) ;dx =( xf−x i ) / np ;x =[ x i−dx : dx : x f +dx ] ;n=size ( x , 2 ) ;fo r i =2:n−1

dF ( i ) =(F ( x ( i +1) )−2∗F( x ( i ) ) +F( x ( i −1) ) ) / ( dx ˆ 2 ) ;ends a l i d a =[ x ( 1 , 2 : n−1) ’ dF ( 1 , 2 : n−1) ’ ] ;disp ( ’ x DF ’ )disp ( s a l i d a )syms xde r f = d i f f ( f , x ) ;der2 f= d i f f ( der f , x ) ;ezp lo t ( der2f , [ x i−dx , x f +dx ] ) ; hold on ;plo t ( s a l i d a ( : , 1 ) , s a l i d a ( : , 2 ) , ’∗ ’ , ’ c o l o r ’ , ’ red ’ )

end




f = ’ x ˆ3 ’ ;x i =0;x f =4;np=4;sder ivada c v1 ( f , x i , x f , np )

Sa l ida

x DF0 01 62 123 184 24




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