M.C. D. - M.C. M. - FRACCIONES ALGEBRAICAS

1) MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.): El M.C.D. de dos o más expresiones algebraicas es aquella expresión algebraica, del mayor coeficiente y del mayor grado posible, que divide exactamente y a la vez a las primeras. Por ejemplo, dados: P = 12(x + 1)(x + 2)(x + 3) Q = 9x(x + 1)(x + 2) Las expresiones que dividen exactamente a P y a Q son: 1; 3; (x + 1); (x + 2); 3(x + 1); 3(x + 2); 3(x + 1)(x + 2). De todas ellas, 3(x + 1)(x + 2) es la de mayor coeficiente y de mayor grado, luego es el M.C.D. de P y Q. 2) MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.): El M.C.M. de dos o más expresiones algebraicas es aquella expresión algebraica, del menor coeficiente y del menor grado posible, que es múltiplo a la vez de las primeras. Por ejemplo, dados: P = 12(x + 1)(x + 2)(x + 3) Q = 9x(x + 1)(x + 2) Las expresiones que son múltiplos de P y Q a la vez son infinitas, pero un pequeño análisis nos hace notar que han de ser múltiplos de 12 y 9, y además contener a los factores x; (x + 1); (x + 2); (x + 3); por lo que tendrán la siguiente forma:

(36k)xm(x + 1)

n(x + 2)

p(x + 3)

q

Donde: k, m, n, p, q De todas las posibles combinaciones, la de menor coeficiente y de menor grado es la siguiente: 36x(x + 1)(x + 2)(x + 3), luego es el M.C.M. de P y Q. Forma Práctica para hallar el M.C. D. y el

M.C. M. de Expresiones Algebraicas 1. Factorizar las expresiones dadas. 2. Para el M.C.D., tomar únicamente todos los factores comunes, pero elevados a su menor exponente. 3. Para el M.C.M., tomar todos los factores, comunes o no, pero elevados a su mayor exponente. Ejemplo: Halle el MCD y el MCM de P y Q

P = 8x3 – 96x

2 + 360x – 400

Q = 20x3 – 180x

2 + 480x – 400

Solución: Factorizando ambas expresiones tendremos:

P = 8(x – 5)2(x – 2)

Q = 20(x – 5)(x – 2)2

MCD(P,Q) = 4(x – 5)(x – 2) MCM(P,Q) = 40(x – 5)

2(x – 2)

2

PROPIEDADES 1. Si las expresiones son primas entre sí, el MCD será igual a 1. 2. Si las expresiones son primas entre sí dos a dos, el MCM será el producto de dichas expresiones. 3. Para dos expresiones se cumple que: 3) FRACCIONES ALGEBRAICAS: Una fracción algebraica es la división indicada de dos polinomios, donde el denominador debe tener al menos una variable. CLASIFICACIÓN 1A) Propias: Si el grado del numerador es menor que el del denominador. 1B) Impropias: Si el grado del numerador es mayor que el del denominador. 2A) Homogéneas: Si sus denominadores son iguales. 2B) Heterogéneas: Si sus denominadores son diferentes. 3A) Irreductibles: Si sus términos son PESI; en consecuencia, no pueden simplificarse. 3C) Reductibles: Si sus términos no son PESI, luego admiten ser simplificadas o reducidas. FRACCIONES EQUIVALENTES: Aquellas que, para cualquier valor que se le dé sus variables, resultan teniendo el mismo valor numérico. FRACCIONES COMPLEJAS: También llamadas fracciones compuestas, son aquellas cuyo numerador y/o denominador es a su vez otra fracción algebraica.

Ejercicios I. Halle el MCM y el MCD de: 1. A = 28x

2y

3z

4

B = 35x3y

4z

5

C = 4x2y

5z

6

2. A = 3(x + 1)

B = 2(x2 – x + 1)

C = 6x3 + 6

3. A = 20x

4 + x

2 – 1

B = 25x4 + 5x

3 – x – 1

C = 25x4 – 10x

2 + 1

4. A = x

2 + 5x + 6

ÁLGEBRA

MCD(A,B) MCM(A,B) = A B

B = 2x2 + 12x + 18

C = 4x2 + 4x – 24

5. A = 2x

4 – 10x

2 + 8

B = x2 + x – 2

C = x6 + 7x

3 – 8

6. A = x

3 + 5x

2 + 8x + 4

B = x3 + 3x

2 – 4

C = x3 + 6x

2 + 12x + 8

7. A = x

4 + a

2x

2 + a

4

B = x3 – ax

2 + a

2x

8. A = x

2 + 3x – 10

B = x2 – 25

C = x2 + 5x

II. Simplifique las fracciones algebraicas: 1. x

2 – x – 20

x2 – 7x + 10

2. 3x

2 – 4x – 15

x2 – 5x + 6

3. 1 + 4x + 4x

2

1 – 4x2

4. n

2 – 2 – n

2n2 – n

3

5. x

2 – 4 .

5px + 10p 6. x

4 – x

3 + x – 1

x3 + 1

7. m

2 + m – mn – n

m2 – 2mn + n

2

8. x

3 – 25x .

2x3 – 8x

2 – 10x

9. (n

2 – 3n – 4)(n

2 – 5n + 6)

(n2 – 6n + 8)(n

2 – 2n – 3)

Problemas

1. Calcule el MCM de:

A = a2 – b

2

B = a2 – 2ab + b

2

C = a2 + 2ab + b

2

a) (a – b)

2 b) (a + b)

3 c) (a

2 – b

2)2

d) (a2 – b

2)3 e) (a – b)

3

2. Dé el MCD de:

A = x3 – xy

2 + x

2y – y

3

B = x3 – xy

2 – x

2y + y

3

C = x4 – 2x

2y

2 + y

4

a) x + y b) x – y c) x

2 – y

2

d) (x + y) 2 e) (x – y)

2

3. Si:

A(x;y) = 12xn – 1

ym + 1

B(x;y) = 16x

n + 1y

m – 1

Son tales que:

MCM(A;B) = cxay

4

MCD(A;B) = dx5y

b

Calcule:

d + b – n c + a – m

a) 1 b) – 1 c) 0 d) 2 e) 4 4. El producto de dos polinomios es (x

2 – 1)

2,

y el cociente de su MCM y MCD es (x – 1)2.

Calcule el MCD de dichos polinomios. a) x + 1 b) x

2 + 1 c) (x + 1)

2

d) (x – 1)2 e) x – 1

5. Simplifique:

x6y – 25x

4y .

x5y – x

4y – 30x

3y

a) x

2 + 5x b) x

2 + 5x c) x

2 – 5x

x – 6 x + 6 x – 6 d) x

2 – 5x e) x .

x + 6 x + 6 6. Reduzca la siguiente expresión:

1 x

1 – x

2

x – 1 x – x

a) x b) 1 / 2 c) x

- 1

d) x - 2

e) x + 1