Mcm y MCD (Rosemary Torrico Bascopé)

7/26/2019 Mcm y MCD (Rosemary Torrico Bascop)

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Mximo Comn

Divisor y mnimocomn mltiplo


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Contenido

Introduccin

Mximo comn divisor MCD Mtodos de obtencin del MCD

Mnimo comn mltiplo mcm Mtodos de obtencin del mcm


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Introduccin

Existen diversas situaciones en las que esnecesario saber por ejemplo en cuntasporciones cortar una pi!!a" un pastel de #ormaque todos los presentes puedan comer la misma

cantidad de porciones$


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%$

En otras es necesario reali!ar operacionesbsicas como la suma y resta de#racciones &etero'neas" simpli(cacin de

#racciones" etc$ El Mximo comn Divisor y Mnimo Comn

Mltiplo se aplican para la resolucin deproblemas relacionados con las

situaciones descritas anteriormente


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Mximo comn divisor MCD

El mximo comn divisor de dosnmeros es el mayor de los divisorescomunes de esos nmeros$

Ejemplo MCD )*+",-. / ,

1

33 515

2 3

4 6 9

18 36

Divisores

de 15Divisores

de 36

MCDDivisores

comunes


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Mtodos de obtencin delMCD

*$ 0or descomposicin en #actoresprimos

1$ 2l'oritmo de Euclides para obtenerel MCD

,$ 3sando el mnimo comn mltiplo


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Mtodo * 0or descomposicin en#actores primos

*$ 4e descomponen los nmeros en#actores primos$

1$ 4e toman los #actores comunes conmenor exponente y se multiplica

Ejemplo

5allar el MCD)*67" 187" *877.


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Hallar el MCD(180, 240, 1400)

180 240 1400 Paso 1descomponemos los

nmeros en sus #actoresprimos

Paso 2Marcamos los#actores primos comunes

Paso 3 Multiplicamos los#actores primos comunes yobtenemos el MCD

2 2 5 = 20

MCD

2

90 120 700

45 60 350

45 30 175

45 15 175

15 5 175

5 5 175

1 1 35

1 1 7

1 1 1

2

2

2

3

3

5

5

7


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Mtodo 1 2l'oritmo de Euclidespara obtener el MCD

4ean a y b enteros positivos"

entonces el mximo comn divisor)MCD." de ay bes el ltimo residuono cero de la aplicacin sucesiva delal'oritmo de Euclides$

MCD(a,b) MCD(b,) !

Do"de = a #od b, es el

resid$o de dividir a e"%re b,


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0or ejemplo 5allar el MCD de-69 y 1,8

MCD(689, 234) = MCD(234, 221) = MCD(221,13) = 13

( )234mod689221 ( )221mod23413 ( )13mod2210

0rimero calculamos

el mdulo entre-69 y 1,8 el

resultado es 11*

:ue'o calculamosel mdulo entre

1,8 y 11* elresultado es *,

%$ calculamos el

mdulo entre11* y *, el

resultado es 7$

0or lo que identi(camoscomo MCD a *," debidoa que es el ltimo

divisor residuo )mdulo.di#erente de 7


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Mtodo , 3sando el mnimo comnmltiplo

El mximo comn divisor tambinpuede ser calculado usandoel mnimo comn mltiplo$

4i ay bson distintos de cero

El mximo comn divisor de tresnmeros se puede calcular comosi'ue

MCD(a, b, c) = MCD(a,MCD(b, c))


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0or ejemplo 5allar el MCD de -y 6 usando el mtodo de mcm

224

48

)8,6(

86)8,6( ==

=

mcmMCD

- 6 1

, 8 1

, 1 1

, * ,

* *

mcm)-"6. /

1x1x1x, / 18

Clculamos el

mcm de - y 6


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Mnimo Comn Mltiplom$c$m$

El mnimo comn mltiplo de dos oms nmeros es el menor nmero delos mltiplos comunes a ellos"

distinto de 7$

El m$c$m$ de dos nmeros primos esel resultado de la multiplicacin deambos Ejemplo

El m$c$m$)*, "


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Mtodos de obtencin delmcm

*$ 0or interseccin de conjuntos demltiplos

1$ 0or descomposicin en #actoresprimos


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Mtodo * 0or interseccin deconjuntos de mltiplos

Ejemplo 5allar

El m$c$m$)*1 " *+. /-7

120

60

12 24

36

48 72 &&

15 30

45 75

90!&

M'l%ilos

de 12

m.c.m es el menor

mltiplos

comunes

M'l%ilos

de 15


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Mtodo * 0or descomposicinen #actores primos

=tra #orma deencontrar el m$c$m$de dos o mas

nmeros esmultiplicando los#actores primoscomunes y no

comunes$Ejemplo

mcm)16"*7./1x1x+xiblio'ra#a

Matemticas >" Pedro AntonioGutierrez Figueroa, Ed. a !oguera,"##$.

Dominando las Matemticas"2ritmeticaII" . Ga%dos,"##&.

Matemticas -" EdicionesSanti%%ana,"###

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