Mximo Comn Divisor (mcd) y M­nimo Comn Mltiplo (mcm)

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Conceptos básicos y ejercicios de aplicación de Máximo Común Divisor y de Mínimo Común Múltiplo. Tips para solución de problemas: 1. Si buscas un número mayor que los números dados, estás buscando un múltiplo, por tanto se debe usar el m.c.m. 2. Problemas de coincidencia se resuelven con el m.c.m. 3. Si buscas un número menor que los números dados, estás buscando un divisor, por tanto usas el m.c.d. 4. Siempre que se trata de repartir, es dividir, por tanto se busca un divisor.

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  • 1. 1 MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO Autores: Jos Luis Hernndez Domnguez Germn Chiock Cuadros Profesor: Mg. Rogelio Contreras Infante Universidad Peruana de Ciencias e Informtica Programa ESPEL 2013

2. 2 INDICE Introduccin ............................................................................................... 3 Conceptos generales . 4 Nmero Primo . 4 Nmero Compuesto ..................................................................... 4 Mltiplo de un nmero 4 Propiedades . 4 Submltiplo, Factor Divisor de un nmero . 5 Propiedades de los divisores de un nmero 5 Nmero de divisores de un nmero ................................................. 5 Parte Alcuota .. 6 Nmero Par 6 Nmero Impar .. 6 Nmeros Perfectos ......................................................................... 6 Nmeros amigos . 6 Propiedades Fundamentales de los nmeros primos 6 Descomposicin en factores primos .. 7 Propiedad de la descomposicin en factores primos .. 7 Regla para descomponer un nmero en sus factores primos . 7 Manera de conocer si un nmero es primo o no 7 MXIMO COMN DIVISOR 9 Clculo del M.C.D. 9 Mtodo abreviado para hallar el M.C.D. . 9 Ejemplos prcticos 1, 2, 3 10 Ejemplos prcticos 4 . 11 Ejemplos prcticos 5,6 . 12 Ejemplos prcticos 7,8 . 13 Ejemplos prcticos 9 . 14 Ejemplos prcticos 10 . 15 MNIMO COMN MLTIPLO .................................................................. 16 Clculo del M.C.M. .......................................................................... 16 Propiedades bsicas .......................................................................... 17 Mtodo abreviado para hallar el M.C.M. .. 18 Ejemplos prcticos 1 ......................................................................... 19 Ejemplos prcticos 2, 3, 4, 5 ......................................................... 20 Ejemplos prcticos 6, 7, 8 ................................................................. 21 Ejemplos prcticos 9 . 22 Ejemplos prcticos 10 . 22 Otros usos del M.C.M. ..................................................................... 23 Ejemplos de aplicacin del M.C.D. y del M.C.M. 24 CONCLUSIONES .. 25 Anexo I Propiedades de la divisibilidad .. 27 BIBLIOGRAFA 31 3. 3 INTRODUCCION El presente trabajo tratar sobre dos temas muy importantes dentro de la aritmtica: el Mnimo Comn Mltiplo y el Mximo Comn Divisor. Cabe mencionar que para poder trabajar y entender las operaciones que se realizan dentro de estos dos temas es necesaria la revisin de conceptos previos de la teora de la divisibilidad; la teora de los nmeros primos as como de los mltiplos y de los divisores los cuales nos permitirn realizar relaciones entre ellos. Es dentro de este contexto en que se hace necesario aplicar reglas y procedimientos prcticos haciendo uso de las reglas de potenciacin, as como el uso de operaciones bsicas en las resoluciones de los problemas propuestos en los cuales se ha procedido de manera lo ms asertiva posible para lograr un enfoque didctico para una mejor comprensin y si obtener un aprendizaje significativo 4. 4 Conceptos generales Nmero Primo Absoluto simple Es el nmero que slo es divisible entre s mismo y la unidad Nmero Compuesto Es el nmero que adems de ser divisible entre s mismo y la unidad lo es con otros nmeros. Mltiplo de un nmero Es el nmero que contiene a este nmero un nmero exacto de veces. Por ejemplo: 14 es mltiplo de 2 porque 14 contiene al nmero dos en 7 veces. Los mltiplos de un nmero se forman multiplicando al nmero por la serie infinita de nmeros naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5,. Decimos que un nmero es mltiplo de otro si le contiene un nmero entero de veces. Propiedades: El nmero 0 solamente tiene un mltiplo, que es el 0. Los dems nmeros naturales tienen infinito nmero de mltiplos. El nmero 0 es mltiplo de todos los nmeros. Todos los nmeros son mltiplos de 1 Los mltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8. En los mltiplos de 3, la suma de los valores de sus cifras es tambin mltiplo de 3. Los mltiplos de 5 terminan en 0, o en 5. 5. 5 Los mltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de los valores de sus cifras es mltiplo de 3. En los mltiplos de 9, la suma de los valores de sus cifras es mltiplo de 9. Submltiplo, Factor o Divisor de un nmero: Es el nmero que esta contenido en el primero un nmero exacto de veces. A los divisores tambin se les denomina Factores Ejemplo: 4 es submltiplo de 24 porque est contenido en 24 seis veces Ejemplo: Si 12 4 = 3 entonces 4 es divisor de 12 Si (4) (3) = 12 entonces 12 es mltiplo de 4 Propiedades de los divisores de un nmero: Todo nmero "a", distinto de 0, es divisor de s mismo. El 1 es divisor de todos los nmeros. Todo divisor de un nmero distinto de cero es menor o igual a l, por tanto, el nmero de divisores es finito. Si un nmero es divisor de otros dos, tambin lo es de su suma y de su diferencia. Si un nmero es divisor de otro, tambin lo es de cualquier mltiplo de ste. Si un nmero es divisor de otro, y ste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Nmero de divisores de un nmero: Procedimiento: Descomponer el nmero en sus factores primos. Luego se identifican los exponentes de los factores primos considerando que si un factor no tiene exponente, ste ser la unidad A cada exponente se le suma la unidad Cada resultado se multiplican entre s Ejemplo: Consideremos el nmero 2 520: Su descomposicin en factores es 2 520 = 23 32 5 7 6. 6 El nmero de divisores de 2 520 es: (3 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 4 Parte Alcuota: Parte alcuota de un nmero es una de las partes iguales en la que se puede dividir un nmero. Los divisores de un nmero se denominan partes alcuotas (iguales) de ese nmero. Por ejemplo: 8 es factor divisor de 64 porque esta contenido en 64 la cantidad de 8 veces. Por lo tanto la parte alcuota es 8. Nmero Par: Es todo nmero mltiplo de 2 La frmula general de los nmero pares es 2n Nmero Impar: Es todo nmero que NO es mltiplo de 2. La frmula general de los nmeros impares es 2n1 Nmeros perfectos: Son los nmeros que son iguales a la suma de todos sus factores, excepto el mismo nmero. 6, 28 y 496 son nmeros perfectos. Nmeros amigos: Son dos nmeros tales que cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro. Ejemplo, 220 y 284. Propiedades Fundamentales de Nmeros Primos o Todo nmero compuesto tiene por lo menos un factor primo mayor que 1. o La serie de nmeros primos es ilimitada, o sea que por ms grande sea un nmero primo, siempre existir otro primo mayor. o Si un nmero primo no divide a otro, necesariamente es primo con el. Por ejemplo: El nmero primo 5 no divide a 11; por lo tanto, 5 y 11 son primos entre s. o Todo nmero que divide a un producto de dos factores y es primo con uno de ellos, necesariamente divide al otro factor. Por ejemplo: 5 divide al producto de 8 x 10 = 80. Es primo con 8 entonces divide a 10. o Todo nmero primo que divide a un producto de varios factores, divide por lo menos a uno de ellos. 7. 7 Por ejemplo: 3 divide al producto de 2 x 5 x 9 = 90. Es primo con 2 y 5 pero divide a 9. o Todo nmero primo que divide a una potencia de un nmero tiene que dividir a este nmero. Por ejemplo: El nmero primo 2 divide a 16 que es 42 y tambin divide 4. o Si dos nmeros son primos entre s, entonces todas sus potencias tambin son nmeros primos entre s. Por ejemplo: 2 y 3 son primos entre s entonces dos potencias cualesquiera de ambos sern primos entre si; es decir, 8(=23 ) 243(=35 ) son primos entre s. Descomposicin en factores primos Es convertirlo en un producto de factores primos. o Propiedad de la descomposicin en factores primos: Todo nmero es igual a un producto de factores primos. Regla para descomponer un nmero en sus factores primos o Se divide el nmero dado entre el menor de sus divisores primos; el cociente se divide tambin entre el menor de sus divisores primos y as sucesivamente con los dems cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se dividir entre s mismo. Por ejemplo: Descomponer en sus factores primos el nmero 12740 Solucin: o Se divide el nmero dado 12740 entre el menor de los divisores primos, el nmero 2 y as sucesivamente hasta que se llega al nmero 3185 cuyo divisor menor es 5; a continuacin se divide entre 7. Manera de conocer si un nmero es primo o no. Se divide el nmero entre todos los nmeros primos menores que l y si se llega, sin obtener cociente exacto a una divisin inexacta en que el cociente sea menor igual que el divisor, el nmero dado es primo. Si alguna divisin es exacta, el nmero dado NO es primo. 8. 8 MXIMO COMN DIVISOR El mximo comn divisor (m.c.d.) de dos o ms nmeros es el mayor nmero que divide a todos exactamente. Clculo del mximo comn divisor 1) Se descomponen los nmeros en factores primos. 2) Se toman los factores comunes con menor exponente. 3) Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d. Mtodo abreviado para hallar el M.C.D. El m.c.d. de varios nmeros por descomposicin en factores primos se puede hallar rpidamente dividiendo al mismo tiempo todos los nmeros dados entre un factor comn; los cocientes nuevamente entre un factor comn y as sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre s. El m.c.d. es el producto de los factores comunes. Por ejemplo: Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980, 4410 3430 2450 980 4410 10 343 245 98 441 7 49 35 14 63 7 7 5 2 9 m.c.d. = 10 X 7 2 = 490 9. 9 Ejemplo prctico 01: Hallar el M.C.D. de (72, 90,120) Solucin: 1. Factorizamos cada nmero 72=23 x 32 90=2 x 32 x 5 120=23 x 3 x 5 2. Factores comunes a todos elevados al menor exponente Los factores son 2 y 3 3. M.C.D. (72, 90,120)=2 x 3=6 Respuesta: M.C.D. (72, 90,120) = 6 Ejemplo prctico 02: Hallar el M.C.D. de (24,36) Solucin: Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12 Divisores de 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18 Como 24 y 36 tienen varios divisores en comn: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y el mayor de ellos es 12, por tanto el M.C.D. (24,36)=12 Respuesta: M.C.D. (24,36)=12 10. 10 Ejemplo prctico 03: Hallar el M.C.D de 1800, 420, 1260 y 108 1800 2 420 2 12