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7/21/2019 ESTOCASTICOS ESPINOZA
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METODO DE MONTECARLO Universidad Nacional de Ingeniería
Macedo Flores, José Enrique
20134153K
RESUMEN– El presente informe
nos dará a conocer una técnica
que permite resolver problemas
matemáticos mediante la
simulación de variables
aleatorias, conocido como el
Método de Montecarlo. Este
método es mu utili!ado para la
toma de decisiones frente a
problemas comple"os.
I. INTRODUCCION
Esta técnica fue desarrollada por
tan Ula! " #o$n %on Neu!ann& En los
a'os () " con los pri!eros
ordenadores* aplica la si!ulaci+n para
resolver pro,le!as co!ple-os .ue no
podían ser resueltos de for!a
analítica&
En a'os posteriores* la si!ulaci+n
de Monte Carlo se $a venido aplicando
en varios ca!pos co!o alternativa a
los !odelos !ate!/ticos e0actos o
incluso co!o 1nica $erra!ienta para
esti!ar soluciones a pro,le!as
co!ple-os& Es así* .ue se pueden
encontrar !odelos .ue $acen uso de
si!ulaci+n Montecarlo en las /reas
e!presarial* infor!/tica* industrial*
econ+!ica e incluso social&
II. MARCO TEORICO
La si!ulaci+n de Monte Carlo es
una técnica cuantitativa .ue $ace uso
de la estadística " los ordenadores
para i!itar* !ediante !odelos
!ate!/ticos* el co!porta!iento
aleatorio de siste!as reales nodin/!icos 2por lo general* cuando se
trata de siste!as cu"o estado va
ca!,iando con el paso del tie!po* se
recurre ,ien a la si!ulaci+n de
eventos discretos o ,ien a la
si!ulaci+n de
siste!as continuos3& La clave de la
si!ulaci+n MC consiste en crear un!odelo !ate!/tico del siste!a*
proceso o actividad .ue se .uiere
anali4ar* identi5cando a.uellas
varia,les 2inputs del !odelo3 cu"o
co!porta!iento aleatorio deter!ina
el co!porta!iento glo,al del siste!a&
Una ve4 identi5cados dic$os inputs o
varia,les aleatorias* se lleva a ca,o un
e0peri!ento consistente en 263
generar 7 con a"uda del ordenador8!uestras aleatorias 2valores
concretos3 para dic$os inputs* " 293
anali4ar el co!porta!iento del
siste!a ante los valores generados&
Tras repetir n veces este e0peri!ento*
dispondre!os de n o,servaciones
so,re el co!porta!iento del siste!a*
lo cual nos ser/ de utilidad para
entender el funciona!iento del !is!o
7o,via!ente* nuestro an/lisis ser/
tanto !/s preciso cuanto !a"or sea el
n1!ero n de e0peri!entos .ue
lleve!os a ca,o&
GENERADORES DE NUMEROS
ALEATORIOS
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1. Método de los centros de los
cuadrados
Desarrollado por %on Neu!ann&
ea un n1!ero inicial lla!ado se!illa*
γ 0=0.9876 for!ado por ( cifras&
O,tene!os γ 02
.ue tendr/ : cifras "
elegire!os las ( centrales*
γ 02=0.97535376
estas cifras for!ar/nγ 1=0.5353
* "
elevando al cuadrado γ 12
*
γ 12=0.28654609
o,tendre!osγ 2 ; )&<=(< " así
sucesiva!ente& Este !étodo presenta
algunos pro,le!as* entre otros la
o,tenci+n de n1!eros pe.ue'os con
!a"or frecuencia .ue n1!eros
grandes&
2. Método Congruencial
Dire!os .ue dos n1!eros x e y
son congruentes !+dulo m si>
x ≡ y mod (m)
Esto e.uivale a .ue x e y
producen el !is!o resto al ser
divididos por m &
La e0presi+n !/s co!1n a la $ora de
calcular n1!eros aleatorios es la dada
por>
γ n=(γ n−1) ·a+bmod(m)
Donde a " b son n1!eros
elegidos conveniente!ente "γ 0 se
deno!ina se!illa&
?& Método !ultiplicativo
Es una !odi5caci+n del !étodo
congruencial en el .ue b=0 &
γ n=γ n−1 ·amod (m)
Nor!al!ente ! se elige tal .ue
m=c p
donde c es el n1!ero de
dígitos diferentes del siste!a usado
2,inario* 93 " p es el ta!a'o de una
pala,ra& El periodo !/0i!o de
repetici+n es m /4 con m=2 p
"
to!ando co!oγ 0 una se!illa
i!par&
III. APLICACIONES
• C/lculo de integrales
∫0
1
x2
dx
@ara eso* se genera aleatoria!ente
alrededor de 9=) coordenadas& Tal .ue
0< x<1 ,0< y<1
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A continuaci+n
) )&6 )&9 )&? )&( )&= )&< )& )&: )&B 6
)
)&6
)&9
)&?
)&(
)&=
)&<
)&
)&:
)&B
6
igura& ra5ca con los 9=) coordenadas
aleatorias&
Co!o se puede ver* se coloca el
criterio>
Si y< x2
,contador=contador+1.
Entonces*
) )&6 )&9 )&? )&( )&= )&< )& )&: )&B 6
)
)&9
)&(
)&<
)&:
6
igura& ra5ca con las coordenadas .ue
cu!plen el criterio
Te+rica!ente se conoce*
∫0
1
x2
dx=0.333
@or lo .ue el error relativo es
Errorrelativo=0.336−0.3330.333
∗100
¿0.9
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e conclu"e .ue la apro0i!aci+n por
!edio de n1!eros aleatorios es
v/lida&
• #uegos de a4ar
El -uego consiste en lan4ar 6
!oneda>
i la !oneda sale cara* el -ugador
gana 6 d+lar& i la !oneda sale
sello* el -ugador pierde 6 d+lar&
@ri!ero o,tene!os aleatoria!ente
6))) n1!eros* x i * tal .ue
0< xi
<1&
Entonces*
Cara* si xi ≥0.5
&
ello* si x i<0.5 &
e reali4an 96 prue,as del
-uego " se o,tuvo lo siguiente>
La colu!na INAL* es lo .ue se o,tuvo
luego de lan4ar la !oneda 6)))
veces&
En las 96 prue,as se o,tuvo>
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PRIMALIDAD ESTA EN RP
Lema de Fermat: i N es pri!o*
entonces ∀ a>0 * con a ≤ N −1 se
cu!ple .ue a N −1=1mod N &
Algoritmo de MoteCarlo !ara N
"om!#e$to:
Elegi!os 2≤ a ≤ N −1
• i a N −1
≠1mod N * entonces N
es co!puesto&
• i a N −1=1mod N * entonces N
es pri!o 2pro,a,le!ente3
Algorit!o en C>
Resultado>
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I%. &I&LIOGRAFIA ' %INCULOSo Investigaci+n de
operaciones& F edici+n&Ga!d" A& Ta$a& Cap& 6:
Modelado de si!ulaci+n*
9))(&o $ttp>HH,enas.ue&orgH,enas.u
eH9))=taeH9))=tae8
talsH96?s?&pdf
o $ttps>HHJJJ&ucl!&esHprofeso
radoHlicesioHDocenciaH!coiHT
e!a(Kguion&pdf o $ttp>HHJJJ&uoc&eduHin?He!a
t$HdocsHi!ulacionKMC&pdf
o $ttps>HHJJJ&"outu,e&co!Hc$annelHUCC<spJK"4Dv
uAfEaA 8 Dr& erard
%ersc$uuren&
%. CONCLUSIONES1. El !étodo de MC es una
$erra!ienta 1til para to!ar
decisiones ante pro,le!as
difíciles&2. El !étodo de MC tiene una
alta tasa de con5a,ilidadpara ser un !étodo
iterativo&?& Este !étodo es aplica,le
para cual.uier tipo de
pro,le!a "a sea
deter!inístico o estoc/stico&
