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Mé todos Estocásticos aplicados a Hidrolog í a Carrera de Ingenier í a Civil - UMSS 1 Ing. Helmer Rodrí guez Soriano Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic) MODELOS ESTOCÁ STICOS Ing. M. Sc. Helmer Rodrí guez Soriano I INTRODUCCIÓ N La generació n sinté tica de valores, así como tambié n el pronó stico son utilizados en diversas ramas: desde el planeamiento de la elaboraci ó n de cierto producto, la determinació n de la cantidad de pasajes a é reos previstos para la pró xima temporada, la demanda futura de cierto producto, o el volumen de agua que se espera ingresará en un embalse el pr ó ximo mes. En base a la informació n histó rica de una variable medida cronol ó gicamente se puede identificar su patró n de comportamiento y utilizar é ste para reproducir la variable en forma sint é tica, es decir, producir una serie de datos de la variable estad í sticamente indistinguible de la serie histó rica que le dio origen. La serie de datos generada a futuro tiene la misma probabilidad de ocurrir y es utilizada para mejorar la toma de decisiones. A continuaci ó n se presenta una introducció n al análisis de series de tiempo con miras a la generaci ó n sinté tica de valores y tambié n a la determinaci ó n de pronó sticos. Si bien se describe la aplicaci ó n a Hidrologí a, el mé todo es aplicable tambié n a otras variables. II DEFINICIONES Un PROCESO ESTOCASTICO es la observació n secuencial de un fenó meno caracterizado por propiedades estad í sticas que involucran aleatoriedad. Casi todos los procesos hidrol ó gicos pueden ser tratados como estocásticos o como una combinaci ó n estocástico - determiní stica debido a la complejidad de los factores que lo producen. As í por ejemplo, el caudal de un r í o es el resultado de un proceso complejo de precipitaci ó n-infiltració n-escurrimiento. Los valores de este proceso ordenados secuencialmente (por ejemplo caudal mensual de un r í o) pueden ser tratados mediante modelos estoc ásticos. Estos modelos tienen por finalidad: 1) la generaci ó n sinté tica de datos 2) el efectuar pronó sticos. En el presente texto se tratará solamente el caso UNIVARIADO, con tiempo discreto: t ˛ Z, es decir, valores de una só la serie observados a int é rvalos definidos de tiempo (un mes, un a ñ o, etc.). El caso de procesos multivariados forma parte de los así denominados modelos de funció n de transferencia.

Modelos estocasticos

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Mé todos Estocásticos aplicados a Hidrología – Carrera de Ingeniería Civil - UMSS 1 Ing. Helmer Rodríguez Soriano – Tel. 4 29 39 04 (dom), 4 23 57 00 (ofic)

MODELOS ESTOCÁ STICOS

Ing. M. Sc. Helmer Rodríguez Soriano I INTRODUCCIÓ N La generació n sinté tica de valores, así como tambié n el pronó stico son utilizados en diversas ramas: desde el planeamiento de la elaboració n de cierto producto, la determinació n de la cantidad de pasajes aé reos previstos para la pró xima temporada, la demanda futura de cierto producto, o el volumen de agua que se espera ingresará en un embalse el pró ximo mes. En base a la informació n histó rica de una variable medida cronoló gicamente se puede identificar su patró n de comportamiento y utilizar é ste para reproducir la variable en forma sinté tica, es decir, producir una serie de datos de la variable estadísticamente indistinguible de la serie histó rica que le dio origen. La serie de datos generada a futuro tiene la misma probabilidad de ocurrir y es utilizada para mejorar la toma de decisiones. A continuació n se presenta una introducció n al análisis de series de tiempo con miras a la generació n sinté tica de valores y tambié n a la determinació n de pronó sticos. Si bien se describe la aplicació n a Hidrología, el mé todo es aplicable tambié n a otras variables. II DEFINICIONES Un PROCESO ESTOCASTICO es la observació n secuencial de un fenó meno caracterizado por propiedades estadísticas que involucran aleatoriedad. Casi todos los procesos hidroló gicos pueden ser tratados como estocásticos o como una combinació n estocástico - determinística debido a la complejidad de los factores que lo producen. Así por ejemplo, el caudal de un río es el resultado de un proceso complejo de precipitació n-infiltració n-escurrimiento. Los valores de este proceso ordenados secuencialmente (por ejemplo caudal mensual de un río) pueden ser tratados mediante modelos estocásticos. Estos modelos tienen por finalidad:

1) la generació n sinté tica de datos 2) el efectuar pronó sticos.

En el presente texto se tratará solamente el caso UNIVARIADO, con tiempo discreto: t ∈ Ζ, es decir, valores de una só la serie observados a inté rvalos definidos de tiempo (un mes, un añ o, etc.). El caso de procesos multivariados forma parte de los así denominados modelos de “funció n de transferencia”.

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Los modelos desarrollados aquí son aplicados al caso de series estacionarias, por lo que primero se dará una definició n de ESTACIONARIEDAD. Un proceso aleatorio { X t } será considerado estacionario débil, o simplemente estacionario cuando:

(1) E { X t } = m x

(2) Var { X t } = σ x

2

(3) Cov { Xt , X t + k } = λ k Las ecuaciones (1) y (2) significan que el valor esperado y la varianza de las variables aleatorias (VA) del proceso son independientes del tiempo. La ecuació n (3) significa que la covarianza entre dos VA del proceso depende solamente del rezago del tiempo (k) entre las dos VA y no del tiempo en si mismo. La covarianza entre dos VA de un proceso aleatorio se llama autocovarianza. La FUNCION DE AUTOCOVARIANZA en la ecuació n (3) del proceso X t es λ en funció n del rezago de tiempo k. Se tiene evidentemente que:

λ k = λ - k El coeficiente de correlació n entre dos VA de un proceso aleatorio se denomina coeficiente de autocorrelació n. La FUNCION DE AUTOCORRELACION O CORRELOGRAMA del proceso es el coeficiente de autocorrelació n del proceso en funció n del rezago de tiempo k :

ρ k = λ k / σ x2 ρ k = ρ -k , ρ 0 = 1

Si la traslació n en el tiempo no afecta al momento de 1er orden y 2do orden de las VA del proceso, se dice que el mismo es estacionario de 2do orden o simplemente estacionario. Análogamente, se puede definir estacionaridad de tercer, cuarto orden, etc. Se tiene un proceso estrictamente estacionario cuando la distribució n de { X t } no depende del tiempo y cuando todas las distribuciones simultáneas de las VA del proceso dependen solamente del rezago (lapso de tiempo k ) entre ellas. Un proceso estrictamente estacionario puede ser considerado estacionario de orden infinito.

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Un PROCESO NORMAL O GAUSSIANO es un proceso no necesariamente estacionario en el cual todas las VA del proceso están distribuidas segú n la ley Normal y del cual todas las distribuciones simultáneas de VA del proceso son normales. Cuando un proceso aleatorio Gaussiano es estacionario d é bil, esto implica que es tambié n estrictamente estacionario puesto que la distribució n Normal está completamente caracterizada por el 1er y 2do momento. Uno de los procesos estacionarios más simples es el PROCESO ESTACIONARIO NO CORRELACIONADO Z t. Donde las correlaciones (y por consiguiente las covarianzas) entre diferentes VA del proceso son cero:

E { Z t } = 0 Var { Z t } = σz

2 Cov { Z t , Z t + k } = 0 para k ≠ 0 { Z t } ~ N ( 0, σz

2 ) La ú ltima expresió n significa que Z t está normalmente distribuído, con media cero y varianza σz

2

Su funció n de autocovarianza será:

σz2 para k = 0 λ k = E [(Z t - E Z t)( Z t + k - E Z t + k )]

λ k = λ k = E [( Z t )( Z t + k )] 0 para k ≠ 0 λ 0 = E [ Z t * Z t ] = σ z2

λ 0 = σ z2

Corr : (Z t , Z t + k ) = λ k /σz σz = λk / σz 2 = ρ k y la funció n de autocorrelació n:

1 para k = 0 ρ k =

0 para k ≠ 0 Este proceso recibe la denominació n de RUIDO BLANCO. El té rmino esta restringido a veces al caso de un proceso estrictamente estacionario de variables aleatorias estocásticamente independientes. Este proceso estacionario no correlacionado es utilizado como el elemento bá sico para otros procesos como se verá luego.

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F.A.C.V. F.A.C. λ k ρ k σz

2 - - 1 2 -1 0 1 2 ...k -2 -1 0 1 2 .........k

Fig. 1 Funció n de autocovarianza y funció n de autocorrelació n del proceso no correlacionado { Z t } ; ( t ∈ Z )

Para lograr (o mejorar) la estacionariedad del proceso original, en algunos casos se aplica previamente el FILTRO LOGARITMICO a la serie, en un intento de satisfacer la condició n (2). Esto se aplica a los fenó menos donde la “variabilidad” (el componente aleatorio) se incrementa con el “nivel” (tendencia). Este fenó meno se basa en el hecho que aproximadamente:

Std ln X t ≅ Std { X t } / E { X t }

Entonces, si en funció n del tiempo, Std { X t } es proporcional al valor medio de X t : E { X t } , entonces Std ln X t será aproximadamente constante, lo que tiende a satisfacer la condició n (2). III PROCESOS DE MEDIAS MÓ VILES O PROCESOS MA Sea un proceso X t definido como:

(1) X t = Z t + b1 * Z t - 1 + b 2 * Z t - 2 +.......+ b q *Z t - q donde{ Z t } es un proceso estacionario no correlacionado. Este proceso es denominado PROCESO DE MEDIAS MOVILES DE ORDEN q: MA(q) Utilizando el operador “hacia atrás” B, la formula (1) puede ser escrita de la siguiente manera :

X t = Z t + b 1 * B * Z t + b 2 * B 2 * Z t +.......+ b q * B q * Z t = (1 + b 1 * B + b 2 * B 2 +.....+ b q * B q ) * Z t = Σ b i B i Z t

o tambié n

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(2) X t = b [B] Z t ; con b 0 = 1 b [B] = Σ b i B i

Este ú ltimo es un polinomio de orden q en B. La expresió n (2) muestra que { X t } puede ser considerado como la salida de un filtro b[B] con { Z t } como entrada. Este filtro es denominado filtro de medias mó viles o filtro MA. Claramente, é ste es un filtro de convolució n con funció n de transferencia b[B] . La representació n gráfica se presenta a continuació n:

{ Z t } → → { X t }

Filtro de medias mó viles o Filtro MA.

De (1) se deduce :

(3 ) E { X t } = 0

(4) Var { X t } = σ2x = [ 1 + b1

2 + b22 + ......... + bq

2 ] σz2

y tambien: a) Para k > q:

Cov ( X t , X t+ k ) = 0

puesto que en este caso las variables aleatorias Z t que construyen a X t son diferentes de las VA con las cuales está construido X t + k ( ver Fig. 2 )

tiempo t - q .................. t - 1 t t + k - q .......... t + k - 1 t + k Z t - q .....................Z t - 1 Z t Z t + k - q .......... Z t + k - 1 Z t + k { Z t }

{ X t } X t X t + k

Fig. 2 Construcció n del proceso X t a partir de Z t

b) Para 0 < k < q se tiene: (5 λk = Cov (X t , X t + k ) = E [ (X t - E x t ) (X t+ k - E x t + k ) ] = E [ X t . X t+ k ]

= E [ ( z t + b 1 z t -1 + ..... + b q z t - q ) . ( z t+k + b 1 z t+k+1 +......+ b q z t+k+q ) ]

b[B]

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q - k = E [ b k z t

2 + b 1b k+1 z t-12 +........+ bq - k bq z t + k - q

2 ] = σ z 2 ∑ b i b k + i

i=0

De (3), (4) y (5) se concluye que el proceso MA (q) es de por sí estacionario. El hecho que todas las covarianzas y por consiguiente tambi é n todas las autocorrelaciones son cero para rezagos mayores que q, es traducido expresando que la FAC está cortada cuando k = q. Este hecho es importante cuando se está en la fase de selecció n del modelo . Para un PROCESO MA(1) (q=1) se tiene:

(6) X t = Z t + b 1 Z t - 1

E { X t }= 0

Var X t = σ x 2 = ( 1+ b12 ) σ z

2 Cov ( x t , x t + k ) = λ k = 0 ; para k > 1 Cov ( x t , x t +1 ) = λ1 = λ -1 = b1σz

2 Cor ( x t , x t + k ) = ρ k = 0 para k > 1 Cor ( x t , x t +1 ) = ρ1 = ρ-1 = b1 / (1+b1

2)

Esto implica que : ρ k 1 x x… … … … … . x . . x x x x x k … … .. -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … … …

Fig. 3 Funcion de autocorrelació n de un proceso MA (1)

De (6) se tiene : X t -1 = Z t -1 + b1 Z t -2 por tanto Z t -1 = X t - 1 – b1 Z t - 2

X t -2 = Z t -2 + b1 Z t -3 por tanto Z t - 2 = X t - 2 – b1 Z t - 3 Etc. Sustituyendo:

(7) X t = Z t + b1 X t - 1 – b12 X t - 2 + b1

3 X t - 3 - etc ............. Suponga que t es el momento “ahora” o el “momento presente”. Entonces de (7) se deduce que el estado presente X t del sistema es la suma de una

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combinació n lineal de estados pasados X t - 1 , X t - 2 , ............. y un término Z t el cual no está correlacionado con el pasado. Por esta razó n el ú ltimo té rmino (Z t ) es denominado la INNOVACION en el momento t (ú nico té rmino desconocido en el momento presente). El proceso { Z t } es llamado el PROCESO DE INNOVACION. El estado presente está siendo de alguna manera, “regresionado” al pasado. Por lo tanto é sto se llama la DESCOMPOSICION AUTOREGRESIVA del proceso MA. Esta descomposició n existe tambié n para procesos MA de orden mayor. Se ve que para |b1| < 1 , el pasado lejano practicamente no influye en el estado presente. Es bajo esta condició n que este proceso es utilizado en la práctica. A esta condició n se la llama: INVERTIBILIDAD DEL PROCESO MA. Generalizando, se puede probar que el proceso MA (q) es invertible seg ú n la fó rmula (1), si las soluciones (raíces) de la ECUACION CARACTERISTICA:

b [B] = 0 ó

1 + b1 B + b2 B2 + b3 B3 + .....................+ bq Bq = 0 caen todas fuera del círculo unitario en el plano complejo. Nó tese que B es considerada, en este caso, como variable compleja (y no como operador “hacia atrá s” como era originalmente el caso). Otro instrumento importante en la fase de selecció n del modelo es la FUNCION DE AUTOCORRELACION PARCIAL. El coeficiente de correlació n parcial entre 2 variables, con respecto a otras variables, mide la relació n entre ambas dejando sin influencia a las otras. El coeficiente de autocorrelació n parcial Π k de 2 VA X t y X t - k de un proceso aleatorio { X t } deja sin influencia a los valores intermedios X t-1 , X t-2, ............... X t - k +1. En el caso de un proceso estacionario, Π k no depende de t, sino del rezago k. La funció n de Autocorrelació n Parcial es la gráfica obtenida al plotear Π en funcion de k. El coeficiente de correlació n parcial entre la variable r y la variable s puede ser calculado como sigue: Π r,s = - [ (-1) r + s det Pr s ] / [ √ det Pr r * det Ps s ]

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Donde P es la matriz de correlació n de todas las VA consideradas y Pij es la submatriz de P, donde se ha eliminado la fila i y la columna j. El coeficiente de autocorrelació n parcial (de un proceso univariado) puede ser entonces calculado como sigue:

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ρ1 1 ρ1..........ρ k - 2 ρ2 ρ1 1......ρ k - 3 (-1) k+1 det .......... ρk ρk -1 ρk - 2 ...... ρ1 (8) Π k = 1 ρ1 ............ρk -1 det ρ1 1 ...........ρk - 2 ............. ρk - 1 ρk - 2 ........1 Lo que que da: (9) Π 1 = ρ 1 ρ1 1 det ρ2 ρ1 ρ2 - ρ1

2

(10) Π 2 = - = 1 ρ1 1 - ρ1

2

det ρ1 1 ρ1 1 ρ1

det ρ2 ρ1 1

ρ3 ρ2 ρ1 (11) Π 3 = - 1 ρ1 ρ2

det ρ1 1 ρ1 ρ2 ρ1 1

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Fó rmulas (8) a (11) son válidas para todo proceso estacionario (no só lo para procesos MA o AR). Para un PROCESO MA (1) se tiene: ∏ 1 = ρ 1, ∏ 2 = - ρ 12/(1 - ρ 12), Π 3 = ρ 13/(1 - 2 ρ 12) , ..... Ningun ∏k es cero. Por ejemplo para b1 = ½ se tiene ρ1 = 2/5 , por lo tanto: ∏ 1 = 2/5, ∏ 2 = − 4/21, ∏ 3 = 8/85, … … .

Π k

X 2/5 X

x 8/85 x k -3 -2 -1 0 1 2 3 X 4/21 X

Fig. 4 FACP de un proceso MA (1) con b1 = ½ EL PROCESO MA(2) { X t} se define como:

X t = Z t + b1 Z t - 1 + b2 Z t - 2 De acuerdo a la formula (4), la varianza sera:

σ x 2 = σ z

2 (1 + b12 + b2

2)

y de acuerdo a (4) y (5), la funció n de autocorrelació n: ρ1 = b1( 1+ b2) / 1+b1

2+b22, ρ2 = b2 / 1+b1

2+b22, ρk= 0 para k ≥ 3

La ecuació n característica será:

1 + b1B + b2B2 = 0

Con las raices: B1 = - b1+√ (b1

2 – 4b2) / 2b2 , B2 = - b1 - √ ( b12 – 4b2 ) / 2b2

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Las cuales son reales si:

b12 – 4b2 ≥ 0

e imaginarias si:

b12 – 4 b2 < 0

La condició n de invertibilidad de la ecuació n MA(q) requiere que las raíces (soluciones) esté n localizadas fuera del círculo unitario. En el caso del MA(2):

|B1| > 1 y |B2| > 1

Luego de algunos cálculos se encuentra que estas condiciones se cumplen si las siguientes igualdades son válidas:

b1 + b2 > -1 , b1 – b2 < +1 , -1 < b2 < 1

Estas desigualdades forman una regió n triangular en el plano (b1, b2) (ver Fig. 5). Estas condiciones de invertibilidad en b1 y b2 pueden ser expresadas en té rminos de ρ1 y ρ2 :

ρ1 + ρ2 > - ½ , ρ1 - ρ2 < ½ , 4ρ2 < 1+ √ ( 1- 2ρ1

2 )

Las mismas que forman una regió n en el plano ( ρ1 , ρ2) de la Fig. 6. b2 Raices Imaginarias Raices Reales -2 - 1 1 2 b1

Fig. 5 Combinaciones de ( b1 , b2 ) conducentes a un proceso invertible

MA (2) (regió n achurada). Cuando b2 = 0 , se encuentra nuevamente las condiciones para MA (1).

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La selecció n de un proceso MA (q) como posible modelo , requiere la estimació n de (q + 1) parámetros:

b1 , b2,............, bq , σz2

ρ2

1

1/2

1/4

-1 -1 / √2 -1/2 1/2 1 / √2 1 ρ1

-1/2

-1 Fig. 6 Combinaciones de ( ρ1 , ρ2) conducentes a un proceso invertible

MA(2) (regió n achurada). IV PROCESOS AUTOREGRESIVOS O PROCESOS AR Se denomina proceso autoregresivo de orden p al proceso estacionario { X t } definido como sigue:

(1) X t = Z t - a1 * X t - 1 - a2 * X t - 2 - ....... - a p *X t - p donde { Z t } es un proceso estacionario no correlacionado. Utilizando el operador “hacia atrás” B, la expresió n (1) puede ser escrita de la siguiente manera :

X t = Z t - a1 * B * X t - a2 * B2 * X t -.......- ap * Bp * X t

(2) a [B] X t = Z t ; con a0 = 1 a[B] = Σ ai Bi

Esta ú ltima expresió n es un polinimio de orden p en B. De esta expresió n se puede establecer que { Z t } constituye el output (salida) del filtro a [B] al introducir

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{ X t } en dicho filtro. Se puede probar que este filtro es invertible; su inverso se expresa: { a [B] } – 1 el cual es denominado Filtro Autoregresivo o Filtro AR. Este es un filtro de convolució n cuya funció n de transferencia es { a [B] } – 1

{ Z t } → → {X t}

Filtro autoregresivo o Filtro AR.

Consideremos ahora el PROCESO AR(1) (p = 1):

X t = Z t - a1 * X t – 1

Este proceso significa que el valor actual de la variable analizada, caudal anual de un río por ejemplo, depende del caudal observado un a ñ o antes. En la práctica se aplica este modelo a las desviaciones de la variable respecto a su media. V MODELOS AUTOREGRESIVOS APLICADOS A HIDROLOGIA Las series hidroló gicas, en particular secuencias de caudales observados, muestran un cierto grado de PERSISTENCIA. Ello significa que el valor del caudal en el período t podría estar fuertemente influenciado por los valores de períodos precedentes t - 1, t - 2, etc. Este tipo de comportamiento puede ser representado por PROCESOS MARKOVIANOS. Para una serie particular, se podría evidenciar que el valor del período presente está influenciado por el valor del período inmediatamente anterior, entonces se tiene un proceso markoviano de primer orden: AUTOREGRESIVO DE PRIMER ORDEN: AR(1). V. 1 MODELO AUTOREGRESIVO ANUAL AR(1) Sea { X t } una serie estacionaria que puede ser modelada con un proceso AR(1) (las condiciones necesarias para aplicar un AR(1) se define en el curso), por ejemplo caudales anuales observados, la representació n comú nmente utilizada para este modelo es la siguiente:

X t - µ = a1 (X t-1 - µ ) + Z t .......... (1)

Donde: X t : proceso estacionario distribuído normalmente, con media µ y

varianza σx2 : X t ∞ N ( µ , σx

2 ), por ejemplo: caudales anuales

{ a[B] }-1

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a1 : parámetro autoregresivo de primer orden Z t : proceso estacionario no correlacionado, independiente de X t,

con media cero y varianza σz2 : Zt ~ N (0 , σz

2 )

Los parámetros de esta presentació n del modelo AR(1) son entonces:

a1 , µ , σz

2 V. 2 ESTIMACION DE PARAMETROS En el caso del modelo AR(1) se puede demostrar que:

a1 = ρ1 ............... (2) Donde ρ1 es el coeficiente de autocorrelació n de rezago 1. La varianza de Z t reproducirá la VARIABILIDAD DEL PROCESO ORIGINAL (los caudales). Para ello, en el caso del modelo AR(1), é sta se calcula a partir de la varianza de X t a travé s de la relació n:

σz2 = σx

2 ( 1 - a12 ) ............. (3)

Los parámetros µ , σx

2 son calculados a partir de la serie histó rica. V. 3 GENERACION DEL PROCESO Z t Para la simulació n del proceso original { X t } mediante la expresió n (1) se necesita previamente generar valores de { Z t }. La variable aleatoria Z t debe cumplir con tres condiciones: primero debe tener un valor esperado cero, segundo debe estar normalmente distribuída y tercero debe reproducir la variabilidad del proceso original (condiciones de estacionaridad inherentes al proceso Z t ). Para generar valores de { Z t } se cuenta con varios algoritmos. Uno de ellos es presentado de acuerdo a la siguiente secuencia:

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1) Generació n de números aleatorios uniformemente distribuídos U i : Utilizando el METODO LINEAL CONGRUENCIAL, aplicar la expresió n:

u i = ( a*u i-1 + c ) mó dulo m ........ (4)

Que significa que u i es el resíduo que queda al dividir a*u i-1 + c entre m. El valor de m es definido por el diseñ o de la computadora (una potencia grande con base 2 ó 10); a, c y el valor inicial de u i -1 son nú meros íntegros entre 0 y m -1. El resultado formado por la serie {Ui } = u i / m formará una secuencia de nú meros DISTRIBUIDOS RECTANGULARMENTE en el rango 0 a 1: Z t ~ U ( 0, 1 ). Puesto que el algoritmo que los genera tiene una estructura determinística, estos nú meros son PSEUDO-ALEATORIOS, pues se repiten con un período relativamente grande, en el orden de 2 32 = 4.294’967.896. Se necesita una elecció n cuidadosa de los valores a, c y m. La secuencia {u 1, u 2, u3,....} se repetirá eventualmente, de modo de constituir una secuencia de nú meros pseudo-aleatorios. Si la secuencia se repite despué s del valor u p (es decir, luego que se han generado p nú meros), el valor p dependerá de la elecció n de a, c y m. Por consiguiente, es imprescindible elegir estos valores de modo de lograr p lo más grande posible. Reglas que definen esta elecció n han sido estudiadas por Hammersley y Handscomb (1965). Por ejemplo, supongamos a = 3, c = 5, m = 16, tomando u0 = 4 como valor inicial (seed), con la expresió n (3) tendremos:

u0 = 4 u1 = 17 mod 16 = 1 u2 = 8 mod 16 = 8 u3 = 29 mod 16 = 13 u4 = 44 mod 16 = 12 u5 = 41 mod 16 = 9 u6 = 32 mod 16 = 0 u7 = 5 mod 16 = 5 u8 = 20 mod 16 = 4 u9 = 17 mod 16 = 1 u10 = 8 mod 16 = 8 .... etc.

De modo que para esa elecció n de a, c, m, la secuencia se repite despué s del octavo valor y es la siguiente:

{ Ui } = {4/16 1/16 8/16 13/16 12/16 9/16 0 5/16}

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2) Generació n de números aleatorios normalmente distribuídos t i : Aplicando el TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL se pueden obtener valores NORMALMENTE DISTRIBUIDOS a partir de los nú meros Ui previamente calculados, de la siguiente manera:

t 1 = U 0 + U 1 + U 2 + ... + U 11 - 6 t 2 = U 12 + U 13 + U 14 + ... + U 23 - 6 t 3 = U 24 + ... t 4 = ..... etc.

Los nú meros t I así generados, tendrán una distribució n normal con media cero y varianza 12:

t i ~ N ( 0 , 12 )

3) Generació n de números aleatorios normalmente distribuídos Z t: Los valores ti pueden ser convertidos a valores con media µo y varianza diferente de cero σz

2, al aplicar la relació n:

Zt = µ o + t i σz ........... (5)

Con µ o = 0

y en el caso de AR(1): σ z2 = σ x2 ( 1 - ρ 12 )

V. 4 GENERACION SINTETICA DE CAUDALES

Una vez estimados los parámetros del modelo, se procede a aplicar la ecuació n (1) secuencialmente, con un valor de inicio para X t-1. Los primeros valores así generados son descartados para evitar el sesgo resultante.

VI. MODELOS MULTIPLICATIVOS

Estos modelos son utilizados para series estacionales tales como series semanales y mensuales. Una serie estacional es por definició n no estacionaria. Para dar una descripció n general de estos modelos, es preciso diferenciar entre la parte estacional y la parte no estacional presente en los modelos multiplicativos.

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La parte no estacional ha sido ya tratada al inicio, por ejemplo una serie de 30 valores de caudales anuales puede ser modelada por un AR(1). Para modelar este proceso previamente fue necesario controlar que la serie presentara estacionariedad (ya sea de por si misma o modificando la serie para lograr é sto). Para modelar una serie de caudales mensuales, tambi é n es preciso modificarla previamente a travé s de diferenciaciones. Los modelos multiplicativos presentarán entonces ambas partes : una estacional y otra no estacional. Previamente es necesario definir los operadores siguientes: NO ESTACIONAL:

B : operador hacia atrá s (Backwards) B x t = x t - 1 B n x t = x t - n operador B aplicado n veces consecutivas ∆ : operador diferencia ∆ x t = (1-B) x t = x t - x t-1 primera diferencia ∆2 x t = (1-B) 2 x t = x t - 2x t-1 + x t-2 segunda diferencia ∆d x t = (1-B) d x t d ava diferencia ESTACIONAL: ∆ 12 x t = (1-B 12) x t = x t - x t-12 1 a diferenc. estac. de periodo 12 ∆ 12

2 x t = (1-B 12) 2 x t = x t - 2x t -12 + x t -24 2 a dif. estac. de per. 12 ∆ sD x t= (1-B s) D x t = D ava dif. estac. de periodo s Estos operadores son ú tiles para describir los modelos.

VI.1 OPERADORES DE LOS MODELOS MULTIPLICATIVOS

Los siguientes símbolos son utilizados en la nomenclatura: ϕ "phi minú scula" No estacional ARIMA(p,d,q) υ "teta minú scula" φ "phi mayú scula" Estacional ARIMA (p,d,q,) x (P,D,Q) s

Υ "teta mayú scula"

Operador Autoregresivo (no estacional):

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p ϕ (B) x t = (1 - ϕ 1 B - ϕ 2 B2 - … … . - ϕ p B p ) x t = - Σ ϕ i x t - i con ϕ 0 = -1 i = 0

Operador de Medias Mó viles (no estacional): q υ (B) z t = (1 - υ 1 B - υ 2 B 2 - … … . - υ qB q ) z t = - Σ υ i z t - i con υ 0 = -1 i = 0

Operador Autoregresivo estacional: P

φ (B s) x t = (1 - φ 1 B s - φ 2 B 2s - ... - φ P B Ps ) x t = - Σ φ i x t - si con φ 0 = -1 i = 0

Operador de Medias Mó viles estacional: Q

Υ (B s) z t = (1 - Υ1 B s - Υ2 B 2s - … - ΥQ B Qs ) z t = - Σ Υi z t - si con Υ0 = -1 i = 0

Estos operadores servirán mas adelante para determinar la expresió n relativa a cualquier modelo multiplicativo. VI.2 DESARROLLO DE UN MODELO MULTIPLICATIVO • Apliquemos por ejemplo un modelo ESTACIONAL MA(Q) con Q = 1 a una serie

estacionalmente diferenciada una vez, con periodo s = 12 (por ejemplo caudal mensual):

u t = ∆ 121 x t = (1 - B 12) 1 x t = x t - x t -12 x t : proceso analizado

u t = ∆ 121 x t = (1 - B 12) 1 x t = x t - x t -12 u t : proceso diferenciado

α t : residuo MA(1) : u t = α t - Υ1 α t - 12 … … … … .... (1)

O sea : x t - x t - 12 = α t - Υ1 α t - 12

x t = x t - 12 + α t - Υ1 α t - 12 … … … ....... (2)

Ecuació n 2 significa por ejemplo que si x t es el caudal del mes de Mayo de un cierto añ o, el mismo está relacionado al caudal del mismo mes pero del añ o anterior, más un té rmino residual. El mismo tipo de relació n puede establecerse para los restantes meses. Por ejemplo para el mes de Abril :

u t-1 = α t -1 - Υ1 α t - 13

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o sea :

x t -1 = x t - 13 + α t -1 - Υ1 α t - 13 Ahora, el té rmino residual de Mayo α t seguramente podría no ser independiente del residuo de Abril α t - 1 . Por consiguiente podemos relacionar los residuos mediante un proceso autoregresivo u otro :

• En consecuencia, apliquemos seguidamente un proceso NO ESTACIONAL AR(p) con p = 1 a los residuos α t de la ecuació n 2 para representar su patró n mensual :

α t = ϕ 1 α t -1 + z t ...… … … ... (3) z t : proceso aleatorio

Reemplazando ec. 3 en 1 :

u t = ϕ 1 α t -1 + z t - Υ1 ϕ 1 α t - 13 - Υ1 z t - 12

= ϕ 1 ( α t -1 - Υ1 α t - 13 ) + z t - Υ1 z t-12 = ϕ 1 u t -1 + z t - Υ1 z t - 12

o sea : x t - x t - 12 = ϕ 1 ( x t -1 - x t -13 ) + z t - Υ1 z t - 12

x t = ϕ 1 x t - 1 + x t - 12 - ϕ 1 x t - 13 + z t - Υ1 z t -

12 El modelo resultante es denominado multiplicativo ARIMA (1,0,0) x (0,1,1) 12 Esto significa que se ha ajustado un modelo estacional MA(1) a la primera 12ava. diferencia de los datos y sus residuos han sido modelados por un modelo AR(1).

ARIMA (p,d,q) x (P,D,Q) 12 parámetros parámetros periodo

estacionales no estacionales

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Box & Jenkins (1976) generalizaron este mé todo como la representació n a travé s de un modelo estacional ARMA(P,Q) de las D avas. diferencias de los datos originales acoplado a un modelo ARMA(p,q,) que es ajustado a las davas. diferencias de los residuos del primero. La expresió n general de estos procesos es como sigue:

φ (B s) ϕ (B) ∆ sD ∆d x t = Υ (B s) υ (B) z t Aplicando esta expresió n se puede deducir la expresió n relativa a cualquier modelo, por ejemplo:

AR(p): ϕ (B) x t = z t

AR(2): (1 - ϕ 1 B - ϕ 2 B2 ) x t = z t

x t = ϕ 1 x t - 1 + ϕ 2 x t - 2 + z t

ARIMA(2,1,2): ϕ (B) ∆d x t = υ (B) z t (1 - ϕ 1 B - ϕ 2 B 2) (1 - B) 1 x t = (1 - υ 1 B - υ 2 B 2 ) z t x t = x t - 1 + ϕ 1 x t - 1 - ϕ 1 x t - 2 + ϕ 2 x t - 2 - ϕ 2 x t - 3 + z t - υ 1 z t - 1 - υ 2 z t - 2

REFERENCIAS 1. Walter Vandaele. "Applied Time Series and Box - Jenkins

Models". Academic Press, Inc. 2. Prof. G. L. Vandewiele. "Time Series Analysis". Texto

de curso. V.U.B. Bruselas, 1987. 3. Vujica Yevjevich. "Stochastic Processes in Hydrology" W.R.P. Fort Collins, Colorado. 1972.

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4. J. W. Delleur. "Les processus du type ARIMA pour la

prevision et la simulation en hydrometeorologie". La Houille Blanche / No 6 - 1978.

5. P. van der Kloet, F.C. van Geer. "Toepassing van ARIMA

modellen". Dictado del "Technische Hogeschool Delft". Afdeling der Civiele Techniek. Feb. 1983.

6. Prof. J. W. Delleur. "Hydrologie Stochastique". Texto

de curso. E.P.F.L. Lausanne, 1980.

7. Salas, Delleur, et al. "Stochastic Processes applied to Hydrology". Water Resources Publication. Fort Collins, Colorado, 1980.