Čestica u kutijičestica u kutiji –kvantna fizika

1. Napisati klasični hamiltonijan

2. Pretvoriti klasični hamiltonijan u

kvantnomehanički operator

3. Postaviti Schrödingerovu jednadžbu

4. Riješiti Schrödingerovu jednadžbu

čestica u kutiji –kvantna fizika

ˆ3. HΨ E

1. H Tˆ ˆ2. H T

4. ( ) sin( )Ψ x = N ax+

Općenito rješenje za česticu u 1-D kutiji:

22

2 1,2,3,...8nhE n nmL

2= sinnn x

L L

2

2 (2 1)8hE nmL

čestica u kutiji –kvantna fizika

čestica u kutiji –kvantna fizika

22

28hE nmL

2

1 2 2 18n nhE E E nmL

čestica u kutiji –kvantna fizika

čestica u kutiji –kvantna fizika

22

28hE nmL

čestica u kutiji –kvantna fizika

čestica u kutiji –kvantna fizika

Zadatak

Pretpostavite da se elektron u nalazi konjugiranom sustavu molekule karotena;11 dvostrukih i 10 jednostrukih veza svaka C-C veza duljine 140 pm.Izračunajte:(a) energiju osnovnog stanja elektrona (izrazite energiju u eV)(b) energiju potrebnu da se elektron pobudi iz petog nivoa u prvi viši nivo

(izrazite energiju u eV)(c) Izračunajte valnu duljinu emitiranog elektromagnetskog zračenja pri prelasku

elektrona iz petog u šesti energetski nivo.

Čestica u kutiji – pitanja za ponavljanje

1. O čemu ovise energije čestice u kutiji?

2. Kako energija ovisi o masi čestice?

3. Kako energija ovisi o dimenziji kutije?

5. Što je degeneracija energetske razine?

6. Kako se mijenja gustoća stanja s energijom?

7. Na kakve je sustave primjenjiv model čestice u kutiji?

8. Postoji li energija 0 za translaciju čestice u kutiji? Zašto?

9. Nacrtajte prve tri valne funkcije za česticu u kutiji?

10. Gdje je najveća vjerojatnost nalaženja čestice u n = 1, 2 i 3

čestica u kutiji –kvantna fizika

Harmonički oscilator

F k x

d dV F x k x x

212V kx

Hooke:

22 21 1 d 1

2 2 d 2xxT mv m mxt

&

F ma mx&&

Harmonički oscilator –klasična fizika

H T V

ekranslika sjene česticena ekranu

sjena čestice

sjena čestice

čestica

izvor svjetla

ČESTICA

SJENAČESTICE

Harmonički oscilator –klasična fizika

osvjetljenje

AKCELERACIJA I BRZINA

SU OKOMITI

AKCELERACIJA JE

KONSTANTNOG IZNOSA,

ALI JOJ SE MIJENJA SMJER

Harmonički oscilator –klasična fizika

2

rada rv

t

s r

d dd ds rt t

rv

ČESTICA

SJENAČESTICE 0( ) cos cosx t A x

0

sin sin

sin sin

xs tt

r t x tt

Qv v

Harmonički oscilator –klasična fizika

2 2 22

Qra r

r rv

Harmonički oscilator –klasična fizika

20

12

E T V kx

12

km

20cos cosx Qa a x

Harmonički oscilator –klasična fizika

20

12

E T V kx

1. Napisati klasični hamiltonijan

2. Pretvoriti klasični hamiltonijan u

kvantnomehanički operator

3. Postaviti Schrödingerovu jednadžbu

4. Riješiti Schrödingerovu jednadžbu

HΨ E2=exp( )ax

Harmonički oscilator –kvantna fizika

Rješenje za osnovno stanje harmoničkog oscilatora:

20 =exp ax 0

14 2h kE h

m

Općenito rješenje za harmonički oscilator:

1 ; 0,1,2,3,...2nE n h n

2= ( )expn n nN H x ax

E h

Harmonički oscilator –kvantna fizika

20

1=exp2

kmxh

Utjecaj maseUtjecaj konstante sile

Harmonički oscilator –kvantna fizika

Harmonički oscilator –kvantna fizika

Harmonički oscilator –kvantna fizika

Harmonički oscilator –kvantna fizika

Harmonički oscilator –kvantna fizika

Zadatak

Zamislite da u molekuli HI atom joda miruje, a atom vodika vibrira.Pretpostavite da konstanta sile za H-I vezu iznosi 314 N m-1, te:(a)Nacrtajte valnu funkciju osnovnog stanja vibriranja atoma vodika.(b) Izračunajte energije prva tri vibracijska nivoa;(c) Izračunajte vibracijsku frekvenciju molekule HI pod pretpostavkom

klasičnog harmoničkog titranja;(d) Izračunajte vibracijske frekvencije prva tri vibracijska stanja molekule HI

pod pretpostavkom kvantnomehaničkog harmoničkog titranja;(e) Izračunajte valnu duljinu potrebnu da se molekula HI

pubudi u više vibracijsko stanje.

Harmonički oscilator –kvantna fizika

21

1 2 1 1 2

d( )dxF k x x l mt

22

2 2 1 2 2

d( )dxF k x x l mt

2 1( )x x l x

2

2

ddxk xt

Harmonički oscilator – pitanja za ponavljanje

1. O čemu ovisi frekvencija klasičnog harmoničkog oscilatora?2. O čemu ovisi ukupna energija klasičnog harmoničkog oscilatora?3. Kako se mijenja položaj s vremenom?4. Kako se mijenja brzina s vremenom?5. Kako potencijalna energija ovisi o vremenu?6. Kako kinetička energija ovisi o vremenu?7. Prikažite odnos kinetičke, potencijalne i ukupne energije za H.O.?8. Kakva je raspodjela vjerojatnosti nalaženja čestice?9. Kakve su energije kvantnog harmoničkog oscilatora?10. Kojeg su oblika valne funkcije H.o?11. Što je energija nulte točke?12. Koje su glavne razlike klasičnog i kvantnog oscilatora?13. Što je princip korespondencije?

Harmonički oscilator –kvantna fizika