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Esercizi Svolti di Analisi Numerica - Istituto per le ... pontrell/esercizi_  · PDF fileEsercizi Svolti di Analisi Numerica 1 Esercizi Svolti di Analisi Numerica Gli esercizi che

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  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 1

    Esercizi Svolti di Analisi Numerica

    Gli esercizi che proponiamo qui di seguito si riferiscono ai contenuti del libro

    A. M. Perdon, Elementi di Analisi Numerica, Pitagora Ed., 2003.

    Essi sono divisi secondo i capitoli di tale libro ed intendono fornire agli studenti materiale per

    esercitarsi e verificare la propria preparazione, in aggiunta agli esercizi proposti dallo stesso testo

    (le cui correzioni sono disponibili su questo stesso sito).

    # Argomenti del Capitolo 1

    Esercizio 1 Determinare la base x tale che:

    (1308)10 = (354,6)x (21)3

    (21)3 = 23 + 1 = 710

    (354,6)x = 3 x2 + 5x + 4 +6 x -1

    1308

    7 = 186,857142 1

    Quindi

    1

    2

    6 0.857142

    3 5 4 186

    x

    x x

    3x 2 + 5x 182 = 0

    52

    6

    x = 5 25 2184

    6

    + =

    5 47

    6

    =

    42

    6 = 7

    Dato che x deve essere un intero > 1 lunica soluzione accettabile x = 7

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 2

    Verifichiamo che soddisfa anche la 1 equazione

    6

    7 = 0.857142

    Esercizio 2 Determinare la base x tale che:

    X7 = (12,34)6 (0.72)10

    La risoluzione dellesercizio immediata:

    6 10

    3 6 4 2212.34 8 8 8.61

    36 36

    10 710 100.72 8.61 6.2 6.1254

    Esercizio 3 Determinare la base x tale che:

    X10 = (20,64)10 (0.21)10

    La risoluzione dellesercizio immediata:

    7

    4620.64 14 14.93877551

    49

    3

    3 10 10

    21 2 3 1 70.21

    22 2 3 2 8

    10 13.07142857X

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 3

    # Argomenti del Capitolo 2

    Esercizio 1 Data lequazione 21 4 0x x a) Determinare quante radici ha l equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. b) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f(x) si deduce che l equazione ammette 2 radici 1 e 2 tali che

    1

    2

    0,0.1

    2.1,2.3

    Considero lintervallo 0,0.1

    0

    2

    0.1

    ( ) ''( )0.2284

    '( )x

    f x f xm

    f x

    0.2961

    1

    m

    m

    0

    101 0 1

    0

    22 2

    43 3

    0.1

    ( )0.05837 0.1 10

    '( ) 1

    0.06290 0.1 10

    0.06299 0.2 10

    x

    f x mx x x

    f x m

    x

    x

    1 0.0629 Considero lintervallo 2.1,2.3

    0

    2

    2.3

    ( ) ''( )0.0475

    '( )x

    f x f xm

    f x

    0.04988

    1

    m

    m

    0

    201 0 1

    0

    42 2

    73 3

    2,3

    ( )2.23182 0.34 10

    '( ) 1

    2.23012 0.84 10

    2.230119 0.53 10

    x

    f x mx x x

    f x m

    x

    x

    2 2.2301

    In realt 3x ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui: 2 2.230199

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 4

    Esercizio 2

    Determinare la radice dellequazione 232 0xx e con 5 decimali esatti.

    Da un abbozzo del grafico si vede che la radice sta nellintervallo 0.5,1.5 infatti f(0.5)0

    f(1.5)0 Applichiamo il metodo di Newton-Raphson:

    2

    2

    2 2

    3

    2

    2

    ( ) 2

    '( ) 6 2

    ''( ) 12 4 2

    x

    x

    x x

    f x x e

    f x x xe

    f x x x e e

    scegliamo come punto iniziale 0 1x e vediamo che il metodo converge dato che:

    0

    2

    ( ) ''( )0.4052109

    'x x

    f x f xm

    f

    1

    11

    1

    1

    ( )

    '( )i

    i ii

    i i i

    f xx x

    f x

    x x x

    lerrore al passo i-esimo i pu essere maggiorato: 1im

    xm

    9 9

    0 1

    1 0.7576931 0.2423069 0.1650759

    0.07137365 0.048624592 0.6863195

    0.00602847 0.0041070053 0.680291

    0.000041467 0.000028249944 0.6802496

    5 0.6802496 1.954047 10 1.33123 10

    i i ii x x

    1

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 5

    La soluzione dellequazione : x=0.6802496 con 8 decimali esatti

    Esercizio 3

    Data lequazione 21 4 0x x c) Determinare quante radici ha l equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. d) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f(x) si deduce che l equazione ammette 2 radici 1 e 2 tali che

    1

    2

    0,0.1

    2.1,2.3

    Considero lintervallo 0,0.1

    0

    2

    0.1

    ( ) ''( )0.2284

    '( )x

    f x f xm

    f x

    0.2961

    1

    m

    m

    0

    101 0 1

    0

    22 2

    43 3

    0.1

    ( )0.05837 0.1 10

    '( ) 1

    0.06290 0.1 10

    0.06299 0.2 10

    x

    f x mx x x

    f x m

    x

    x

    1 0.0629 Considero lintervallo 2.1,2.3

    0

    2

    2.3

    ( ) ''( )0.0475

    '( )x

    f x f xm

    f x

    0.04988

    1

    m

    m

    0

    201 0 1

    0

    42 2

    73 3

    2,3

    ( )2.23182 0.34 10

    '( ) 1

    2.23012 0.84 10

    2.230119 0.53 10

    x

    f x mx x x

    f x m

    x

    x

    2 2.2301

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 6

    In realt 3x ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui: 2 2.230199

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 7

    # Argomenti del Capitolo 3

    Esercizio 1 Dati:

    8 1 0 0

    1 9 2 0

    0 2 3 4

    0 0 4 5

    A

    2

    0.5

    1

    10

    b

    (a) Determinare i fattori triangolari L ed U tali che A = LU (oppure le matrici L ed U e la matrice di permutazione P tali che PA = LU ) (b) Usando la decomposizione triangolare risolvere il sistema Ax = b

    8 1 0 0

    1 9 2 0

    0 2 3 4

    0 0 4 5

    32

    43

    1 0 0 0

    0.125 1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    l

    l

    11 12

    22 23

    33 34

    44

    0 0

    0 0

    0 0

    0 0 0

    n n

    n n

    n n

    n

    N.B: 31 41 42

    31 14 24

    0

    0

    l l l

    n n n

    perch la matrice a banda

    Moltiplicando la I riga per la I e II colonna si ottengono rispettivamente le condizioni:

    11

    12

    8

    1

    n

    n

    Analogamente

    21 0.125l e quindi:

    32

    43

    1 0 0 0

    0.125 1 0 0

    0 1 0

    0 0 1

    Al

    l

    22 23

    33 34

    44

    8 1 0 0

    0 0

    0 0

    0 0 0

    n n

    n n

    n

    Proseguendo

    22

    23

    0.125 9

    2

    n

    n

    22

    23

    8.875

    2

    n

    n

    32 8.875 2l 32 0.2254l

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 8

    43

    1 0 0 0

    0.125 1 0 0

    0 0.2254 1 0

    0 0 1

    A

    l

    33 34

    44

    8 1 0 0

    0 8.875 2 0

    0 0

    0 0 0

    n n

    n

    33

    34

    2 0.2254 3

    4

    n

    n

    33 2.5493n

    43 2.5493 4l 43 1.5691l

    1 0 0 0

    0.125 1 0 0

    0 0.2254 1 0

    0 0 1.5691 1

    A

    44

    8 1 0 0

    0 8.875 2 0

    0 0 2.5493 4

    0 0 0 n

    444 1.5691 5n 44 1.27623n

    1 0 0 0

    0.125 1 0 0

    0 0.2254 1 0

    0 0 1.5691 1

    L

    8 1 0 0

    0 8.875 2 0

    0 0 2.5493 4

    0 0 0 1.27623

    U

    Ly b

    2

    0.25

    0.9436

    8.5193

    y

    Ux y

    0.5519

    2.4156

    10.8442

    6.6754

    x

    N.B: Dato che la matrice A triangolare, si poteva applicare semplicemente lalgoritmo di Thomas

    Esercizio 2

    Dati:

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 9

    1 0.5 0.3 1.2

    0.5 0.3 0.25 0

    0 0.5 1 4

    0 0 0.3 5

    A

    1

    0

    2

    1

    b

    (c) Determinare i fattori triangolari L ed U tali che A = LU (d) Usando la decomposizione triangolare risolvere il sistema Ax = b

    11 12 13 14

    21 22 23 24

    32 33 34

    43 44

    1 0 0 0

    1 0 0 0

    0 1 0 0 0

    0 0 1 0 0 0

    u u u u

    l u u u

    l u u

    l u

    1 0.5 0.3 1.2

    0.5 0.3 0.25 0

    0 0.5 1 4

    0 0 0.3 5

    11

    12

    13

    14

    21 11 21

    21 12 22 22

    21 13 23 23

    21 14 24 24

    32 22 32

    32 23 33 33

    32 24 34 34

    43 33 43

    43 3

    1

    0.5

    0.3

    1.2

    0.5 0.5

    0.3 0.55

    0.25 0.1

    0 0.6

    0.5 0.90

    1 1.090

    0 3.45

    0.3 0.275

    u

    u

    u

    u

    l u l

    l u u u

    l u u u

    l u u u

    l u l

    l u u u

    l u u u

    l u l

    l u

    4 44 445 4.05u u

    1 0 0 0

    0.5 1 0 0

    0 0.90 1 0

    0 0 0.275 1

    L

  • Esercizi Svolti di Analisi Numerica 10

    1 0.5 0.3 1.2

    0 0.55 0.1 0.6

    0 0 1.090 3.45

    0 0 0 4.05

    U

    Risolviamo ora lequazione Ax=b considerando che: ( )A LU Ax LUx L Ux b Pongo Ux=y e risolviamo in due passi 1) Ly=b

    1

    2

    3

    4

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