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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 1 Esercizi Svolti di Analisi Numerica Gli esercizi che proponiamo qui di seguito si riferiscono ai contenuti del libro A. M. Perdon, Elementi di Analisi Numerica, Pitagora Ed., 2003. Essi sono divisi secondo i capitoli di tale libro ed intendono fornire agli studenti materiale per esercitarsi e verificare la propria preparazione, in aggiunta agli esercizi proposti dallo stesso testo (le cui correzioni sono disponibili su questo stesso sito). # Argomenti del Capitolo 1 Esercizio 1 Determinare la base x tale che: (1308) 10 = (354,6) x (21) 3 (21) 3 = 2 3 + 1 = 7 10 (354,6) x = 3 x 2 + 5x + 4 +6 x -1 1308 7 = 186, 857142 1 Quindi 1 2 6 0.857142 3 5 4 186 x x x 3x 2 + 5x – 182 = 0 52 6 - x = 5 25 2184 6 - + = 5 47 6 - = 42 6 = 7 Dato che x deve essere un intero > 1 l’unica soluzione accettabile è x = 7

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 1

Esercizi Svolti di Analisi Numerica

Gli esercizi che proponiamo qui di seguito si riferiscono ai contenuti del libro

A. M. Perdon, Elementi di Analisi Numerica, Pitagora Ed., 2003.

Essi sono divisi secondo i capitoli di tale libro ed intendono fornire agli studenti materiale per

esercitarsi e verificare la propria preparazione, in aggiunta agli esercizi proposti dallo stesso testo

(le cui correzioni sono disponibili su questo stesso sito).

# Argomenti del Capitolo 1

Esercizio 1 Determinare la base x tale che:

(1308)10 = (354,6)x (21)3

(21)3 = 2�3 + 1 = 710

(354,6)x = 3 x2 + 5x + 4 +6 x -1 1308

7 = 186,8571421

Quindi

1

2

6 0.857142

3 5 4 186

x

x x

��� ���� � � ���

3x 2 + 5x – 182 = 0

52

6

x = 5 25 2184

6

− +� =

5 47

6

− � =

42

6 = 7

Dato che x deve essere un intero > 1 l’unica soluzione accettabile è x = 7

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 2

Verifichiamo che soddisfa anche la 1° equazione

6

7 = 0.857142

Esercizio 2 Determinare la base x tale che:

X7 = (12,34)6 (0.72)10

La risoluzione dell’esercizio è immediata:

6 10

3 6 4 2212.34 8 8 8.61

36 36

� �� � � � �

10 710 100.72 8.61 6.2 6.1254� � �

Esercizio 3 Determinare la base x tale che:

X10 = (20,64)10 (0.21)10

La risoluzione dell’esercizio è immediata:

7

4620.64 14 14.93877551

49� � �

3

3 10 10

21 2 3 1 70.21

22 2 3 2 8

� �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � �� � � � � �� �

10 13.07142857X �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 3

# Argomenti del Capitolo 2

Esercizio 1 Data l’equazione 21 4 0x x� � � � a) Determinare quante radici ha l’ equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. b) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f(x) si deduce che l’ equazione ammette 2 radici 1� e 2� tali che

� �� �

1

2

0,0.1

2.1,2.3

Considero l’ intervallo � �0,0.1

� �0

2

0.1

( ) ''( )0.2284

'( )x

f x f xm

f x�

�� � 0.2961

1

m

m�

0

101 0 1

0

22 2

43 3

0.1

( )0.05837 0.1 10

'( ) 1

0.06290 0.1 10

0.06299 0.2 10

x

f x mx x x

f x m

x

x

� � � � � � ��

� � �

� � �

1 0.0629� �

Considero l’ intervallo � �2.1,2.3

� �0

2

2.3

( ) ''( )0.0475

'( )x

f x f xm

f x�

�� � 0.04988

1

m

m�

0

201 0 1

0

42 2

73 3

2,3

( )2.23182 0.34 10

'( ) 1

2.23012 0.84 10

2.230119 0.53 10

x

f x mx x x

f x m

x

x

� � � � � � ��

� � �

� � �

2 2.2301� �

In realtà 3x ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui: 2 2.230199� �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 4

Esercizio 2

Determinare la radice dell’equazione 232 0xx e�� � con 5 decimali esatti.

Da un abbozzo del grafico si vede che la radice sta nell’ intervallo � �0.5,1.5 infatti

f(0.5)�0

f(1.5)�0

Applichiamo il metodo di Newton-Raphson:

2

2

2 2

3

2

2

( ) 2

'( ) 6 2

''( ) 12 4 2

x

x

x x

f x x e

f x x xe

f x x x e e

� �

� �

� �

� � �

scegliamo come punto iniziale 0 1x � e vediamo che il metodo converge dato che:

� �0

2

( ) ''( )0.4052109

'x x

f x f xm

f�

�� � �1

11

1

1

( )

'( )i

i ii

i i i

f xx x

f x

x x x

��

� �

� � �

l’errore al passo i-esimo i� può essere maggiorato: 1i

mx

m� � �

9 9

0 1

1 0.7576931 0.2423069 0.1650759

0.07137365 0.048624592 0.6863195

0.00602847 0.0041070053 0.680291

0.000041467 0.000028249944 0.6802496

5 0.6802496 1.954047 10 1.33123 10

i i ii x x �

� �

� � �

1

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 5

La soluzione dell’equazione è: x=0.6802496 con 8 decimali esatti

Esercizio 3

Data l’equazione 21 4 0x x� � � � c) Determinare quante radici ha l’ equazione e gli intervalli nei quali esse sono contenute. d) Stimare tutte le radici con 4 decimali esatti. Dal grafico di f(x) si deduce che l’ equazione ammette 2 radici 1� e 2� tali che

� �� �

1

2

0,0.1

2.1,2.3

Considero l’ intervallo � �0,0.1

� �0

2

0.1

( ) ''( )0.2284

'( )x

f x f xm

f x�

�� � 0.2961

1

m

m�

0

101 0 1

0

22 2

43 3

0.1

( )0.05837 0.1 10

'( ) 1

0.06290 0.1 10

0.06299 0.2 10

x

f x mx x x

f x m

x

x

� � � � � � ��

� � �

� � �

1 0.0629� �

Considero l’ intervallo � �2.1,2.3

� �0

2

2.3

( ) ''( )0.0475

'( )x

f x f xm

f x�

�� � 0.04988

1

m

m�

0

201 0 1

0

42 2

73 3

2,3

( )2.23182 0.34 10

'( ) 1

2.23012 0.84 10

2.230119 0.53 10

x

f x mx x x

f x m

x

x

� � � � � � ��

� � �

� � �

2 2.2301� �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 6

In realtà 3x ha 6 cifre dopo la virgola esatte per cui: 2 2.230199� �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 7

# Argomenti del Capitolo 3

Esercizio 1 Dati:

8 1 0 0

1 9 2 0

0 2 3 4

0 0 4 5

A

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �

2

0.5

1

10

b

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� � � �

(a) Determinare i fattor i tr iangolar i L ed U tali che A = LU (oppure le matr ici L ed U e la matr ice di permutazione P tali che PA = LU ) (b) Usando la decomposizione tr iangolare r isolvere il sistema Ax = b

8 1 0 0

1 9 2 0

0 2 3 4

0 0 4 5

�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �

32

43

1 0 0 0

0.125 1 0 0

0 1 0

0 0 1

l

l

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� ���� ��

11 12

22 23

33 34

44

0 0

0 0

0 0

0 0 0

n n

n n

n n

n

�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��

N.B: 31 41 42

31 14 24

0

0

l l l

n n n

� � � ����� � � ��� perché la matrice è a banda

Moltiplicando la I° riga per la I° e II° colonna si ottengono rispettivamente le condizioni:

11

12

8

1

n

n

� ����� ���

Analogamente

21 0.125l �

e quindi:

32

43

1 0 0 0

0.125 1 0 0

0 1 0

0 0 1

Al

l

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� ���� ��

22 23

33 34

44

8 1 0 0

0 0

0 0

0 0 0

n n

n n

n

�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��

Proseguendo

22

23

0.125 9

2

n

n

� � ����� ��� 22

23

8.875

2

n

n

� ����� ���

32 8.875 2l � � � 32 0.2254l �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 8

43

1 0 0 0

0.125 1 0 0

0 0.2254 1 0

0 0 1

A

l

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� ���� ��33 34

44

8 1 0 0

0 8.875 2 0

0 0

0 0 0

n n

n

�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��

33

34

2 0.2254 3

4

n

n

� � � ����� ��� � 33 2.5493n �

43 2.5493 4l � � � 43 1.5691l �

1 0 0 0

0.125 1 0 0

0 0.2254 1 0

0 0 1.5691 1

A

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �

44

8 1 0 0

0 8.875 2 0

0 0 2.5493 4

0 0 0 n

�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� ���� ��

� 444 1.5691 5n� � � � 44 1.27623n ��

1 0 0 0

0.125 1 0 0

0 0.2254 1 0

0 0 1.5691 1

L

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �

8 1 0 0

0 8.875 2 0

0 0 2.5493 4

0 0 0 1.27623

U

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� � �

Ly b� �

2

0.25

0.9436

8.5193

y�

Ux y� �

0.5519

2.4156

10.8442

6.6754

x�

N.B: Dato che la matr ice A è tr iangolare, si poteva applicare semplicemente l’algor itmo di Thomas

Esercizio 2

Dati:

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 9

1 0.5 0.3 1.2

0.5 0.3 0.25 0

0 0.5 1 4

0 0 0.3 5

A

�� �� �� ��� �� ��� �� ��� �� �� �� � � �

1

0

2

1

b

�� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� � �

(c) Determinare i fattor i tr iangolar i L ed U tali che A = LU (d) Usando la decomposizione tr iangolare r isolvere il sistema Ax = b

11 12 13 14

21 22 23 24

32 33 34

43 44

1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

u u u u

l u u u

l u u

l u

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

1 0.5 0.3 1.2

0.5 0.3 0.25 0

0 0.5 1 4

0 0 0.3 5

�� �� �� ��� �� �� �� ��� �� �� �� �� �

11

12

13

14

21 11 21

21 12 22 22

21 13 23 23

21 14 24 24

32 22 32

32 23 33 33

32 24 34 34

43 33 43

43 3

1

0.5

0.3

1.2

0.5 0.5

0.3 0.55

0.25 0.1

0 0.6

0.5 0.90

1 1.090

0 3.45

0.3 0.275

u

u

u

u

l u l

l u u u

l u u u

l u u u

l u l

l u u u

l u u u

l u l

l u

� �

� �� �

� � �

� � ��

� ��

� � �

� � �

� �

4 44 445 4.05u u

���������������������������������������������������������� � � ������

1 0 0 0

0.5 1 0 0

0 0.90 1 0

0 0 0.275 1

L

� �� �� �� ��� �� �� �� �� �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 10

1 0.5 0.3 1.2

0 0.55 0.1 0.6

0 0 1.090 3.45

0 0 0 4.05

U

� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �

Risolviamo ora l’equazione Ax=b considerando che: ( )A LU Ax LUx L Ux b� � � � Pongo Ux=y e risolviamo in due passi 1) Ly=b

1

2

3

4

1 0 0 0 1

0.5 1 0 0 0

20 0.90 1 0

10 0 0.275 1

y

yL

y

y

� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � ��� ���� � � ���� �

da cui quindi

1

0.5

1.5455

1.42501

y

� �� �� ��� ��� �� �� ��� �� �

2) Ux=y

1

2

3

4

1 0.5 0.3 1.2 1

0 0.55 0.1 0.6 0.5

1.54550 0 1.090 3.45

1.425010 0 0 4.05

x

x

x

x

� ��� � �� ��� � �� ��� � �� � �� ��� � �� �� ��� � �� ��� � �� ��� � ��� ���� � � ���� �

da cui quindi

0.213607

1.7531

2.53094

0.351855

x

� ��� �� �� ��� �� �� ��� �� �

Esercizio 3 Dati:

1 1 0 0

2 0 3 0

1 7 8 4

0 8 12 6

A

� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �� �� �� �

1

0.2

4.3

1

b

� �� �� �� �� �� ��� �� ��� �� �� �� �� � �

(e) Determinare i fattor i tr iangolar i L ed U tali che A = LU (f) Usando la decomposizione tr iangolare r isolvere il sistema Ax = b

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

42 43 44

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0 0

u u u u

l u u u

l l u u

l l u

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

1 1 0 0

2 0 3 0

1 7 8 4

0 8 12 6

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 11

1 0 0 0

2 1 0 0

1 3 1 0

0 4 0 1

L

� �� �� �� ��� ��� �� �� �� �

1 1 0 0

0 2 3 0

0 0 1 4

0 0 0 6

U

� ��� �� �� ��� ��� �� �� �� �

L’equazione Ax=b può essere scritta come: ( )Ax LUx L Ux b� � � ; ponendo Ux=y essa si può risolvere in due passi: 3) Ly=b

1 0 0 0

2 1 0 0

1 3 1 0

0 4 0 1

� �� �� �� �� ��� �� �� �� �

1

2

3

4

1

0.2

4.3

1

y

y

y

y

�� � ���� � ��� � ��� � ���� � ��� � ��� � ��� ��� � ���

da cui quindi

1

2.2

3.3

9.8

y

� ��� �� �� ��� ��� �� ��� �� �

Esercizio 4 Dati:

2 1 4 0

6 8 15 0

0 20 6 7

0 0 12 11

A

� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �� �� �� � � �

0.75

1

2

0.6

b

�� �� �� ��� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �

(g) Determinare i fattor i tr iangolar i L ed U tali che A = LU (h) Usando la decomposizione tr iangolare r isolvere il sistema Ax = b

11 12 13 14

21 22 23 24

32 33 34

43 44

1 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0

u u u u

l u u u

l u u

l u

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

2 1 4 0

6 8 15 0

0 20 6 7

0 0 12 11

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

1 0 0 0

3 1 0 0

0 4 1 0

0 0 2 1

L

� �� �� ��� ��� �� �� ��� �� �

2 1 4 0

0 5 3 0

0 0 6 7

0 0 0 3

U

� ��� �� ��� ��� �� �� �� �� �

L’equazione Ax=b può essere scritta come: ( )Ax LUx L Ux b� � � ; ponendo Ux=y essa si può risolvere in due passi:

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 12

4) Ly=b

1 0 0 0

3 1 0 0

0 4 1 0

0 0 2 1

� �� �� ��� �� �� �� ��� �� �

1

2

3

4

0.75

1

2

0.6

y

y

y

y

�� � ��� � ��� � ���� � ���� � ��� � ��� � �� ��� � ���

da cui quindi

0.75

1.25

3

0.6

y

� �� �� �� ��� ��� �� �� �� �

5) Ux=y

2 1 4 0

0 5 3 0

0 0 6 7

0 0 0 3

� ��� �� ��� �� �� �� �� �� �

1

2

3

4

x

x

x

x

�������������������

0.75

1.25

3

0.6

� �� �� �� �� ��� �� �� �� �

da cui quindi

2.2

1.21

1.6

1.8

x

� ��� �� �� ��� �� �� ��� �� �

6) Ux=y

1 1 0 0

0 2 3 0

0 0 1 4

0 0 0 6

� ��� �� �� �� ��� �� �� �� �

1

2

3

4

x

x

x

x

�������������������

1

2.2

3.3

9.8

� ��� �� �� �� ��� �� ��� �� �

da cui quindi

4.95

5.95

3.23

1.63

x

� �� �� �� ��� ��� �� ��� �� �

# Argomenti del Capitolo 4 Delle matrici che seguono a) Calcolare gli autovalori ed i corrispondenti autovettori.

b) Determinare l’ indice di condizionamento 1

n

P�

�� e confrontarlo con k(A) stimato in norma

infinito ed in norma euclidea.

Esercizio 1

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 13

Data la matrice

1 3 7

0 5 11

0.5 0 11

A

� �� �� �� �� �� �� �� �

a) Autovettori:

0.99284985 0.07515313 0.49714574

0.10991217 0.87280092 0.86645301

0.04656707 0.4822557 0.0458834

� � �� �� �� �� �� �� �� ���� �� � �

Autovalori:� !0.33957102 ; 11.077918 ; 5.5825098

b) 1 11.07791832.623273

0.33957102n

P�

�� � �

max max2

1.25 3 12.5

( ) 3 34 34 295.91151 17.202079

12.5 34 291

TA A A� �

�� �� �� �� � � � � �� �� �� ���� �� �

1

24.50822313....A� �

1

2 2( ) 77.5509495K A A A�� � �

Esercizio 2

Data la matrice

2 4 8

1 3 11

4 14 61

A

� �� �� �� �� � �� �� ��� �� �

a) Autovettori:

0.9947464 0.12887338 0.54704619

0.09338827 0.17780577 0.80675706

0.04193117 0.97559047 0.22334615

� � � �� �� �� ��� �� �� ���� �� �

Autovalori:� !2.7127469 ; 64.079955 ; 0.63279234�

b) 1 64.079955101.26538

0.63279234n

P�

�� � �

max max2

21 51 239

( ) 51 221 919 4136.9757 64.319326

239 919 3906

TA A A� �

� �� �� �� �� � � � � � �� �� �� ���� �� �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 14

1

2

1

2 2

1.9173356

( ) 123.3217339

A

K A A A

� � �

Esercizio 3

Data la matrice

4 1 0 0 0

1 4 1 0 0

0 1 4 1 0

0 0 1 4 1

0 0 0 1 4

A

� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �� �

a) Autovettori:

14

14 14

14

0.28867513 0.28867513 0.57735027 0.5 0.5

0.5 0.5 7.9252251 0.5 0.5

0.57735027 0.57735027 0.57735027 4.97 3.03

0.5 0.5 1.5433193 0.5 0.5

0.28867513 0.28867513 0.57735027 0.5 0.5

e

e e

e

� �

� ���� � ����� � � � ���� � � ����� � � � � �

������������������ ��

Autovalori:� !5.7320508 ; 2.2679492 ; 4 ; 5 ; 3�

b) 1 5.73205082.5274159

2.2679492n

P�

�� � �

max max2

17 8 1 0 0

8 18 8 1 0

( ) 32.856406 5.73205081 8 18 8 1

0 1 8 18 8

0 0 1 8 17

TA A A� �

�� �� �� �� �� �� �� �� � � � ��� �� �� �� �� �� �� ��� ���

1

2

1

2 2

0.4409269851

( ) 2.52741588

A

K A A A

� � �

Esercizio 4

Data la matrice

3 1 6

1 7 0

1 1 1

A

� �� �� �� �� �� ��� �� �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 15

a) Autovettori:

0.96600149 0.85182401 0.178596

0.08322944 0.12951727 0.97379316

0.24477334 0.50756392 0.1408203

� �� �� �� �� � �� �� �� ���� �� � �

Autovalori:� !4.6064877 ; 0.42308529 ; 7.1834024� �

b) 1 7.183402416.978615

0.42308529n

P�

�� � �

max max2

11 5 19

( ) 5 51 5 52.65787 7.2565743

19 5 37

TA A A� �

� �� �� �� �� � � � � �� �� �� ���� � �

Esercizio 5

Data la matrice

3 1 0 0

1 3 1 0

0 1 3 1

0 0 1 3

A

� ��� �� �� �� ��� �� �� �� ��� �� �

a) Autovettori:

0.37174803 0.37174803 0.60150096 0.60150096

0.60150096 0.60150096 0.37174803 0.37174803

0.60150096 0.60150096 0.37174803 0.37174803

0.37174803 0.37174803 0.60150096 0.60150096

� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� �

Autovalori:� !4.618034 ; 1.381966 ; 3.618034 ; 2.381966

b) 1 4.6180343.3416408

1.381966n

P�

�� � �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 16

max max2

10 6 1 0

6 11 6 1( ) 21.326238 4.618034

1 6 11 6

0 1 6 10

TA A A� �

� �� �� �� �� �� �� �� � � � �� �� �� � �� �� �� �� ��� �

1

2

1

2 2

0.7236068

( ) 3.3416379

A

K A A A

� � �

Esercizio 6

Data la matrice 0.005 1

1 1A� �� ��� �� �

a) Autovettori:0.52658235 0.85012413

0.85012413 0.52658235

� �� �� �� �� �

Autovalori:� !1.6194182 ; 0.61441819�

b) 1 1.61941822.6356938

0.61441819n

P�

�� � �

max max2

1.000025 1.005( ) 2.6225153 1.6194182

1.005 2TA A A� �

��� � � � � �� �� �� �

1

2

1

2 2

2.64899384

( ) 4.289828836

A

K A A A

� � �

Esercizio 7

Data la matrice 1 1

1 1.0001A� �� ��� �� �

a) Autovettori:0.7070891 0.70712446

0.70712446 0.7070891

� �� �� �� �� �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 17

Autovalori:� !2.00005 ; 0.00005

b) 1 2.0000540001

0.00005n

P�

�� � �

max max2

2 2.0001( ) 4.0002 2.00005

2.0001 2.0002TA A A� �

��� � � � � �� �� �� �

1

2

1

2 2

20000.5000125

( ) 40002.00005

A

K A A A

� � �

Esercizio 8

Data la matrice

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

A

� �� � � �� �� �� � �� �� �� � �� �� ��� �� �� �� �

a) Autovettori:

15 15 15 15

30 30 30

45 45

60

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

e e e e

e e e

e e

e

� � � �

� � �

� �

�� �� �� �� � � �� �� �� �� �� � � �� �� �� �� �� �� �� �� ��� � ���

Autovalori:� !1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1

b) 1 11

1n

P�

�� � �

max max2

1 1 1 1 1

1 2 0 0 0

( ) 7.4874999 2.73632961 0 3 1 1

1 0 1 4 2

1 0 1 2 5

TA A A� �

� � � � �� �� �� ��� �� �� �� �� � � � �� �� �� �� ��� �� �� �� ���� ���

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 18

1

2

1

2 2

10.75438416

( ) 29.4275397

A

K A A A

� � �

Esercizio 9

Data la matrice

2

2

2

2

2

10 0 0 0 0

0 10 0 0 0

0 0 10 0 0

0 0 0 10 0

0 0 0 0 10

A

� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �� �

a) Autovettori:

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

�� �� �� �� �� �� �� ��� �� �� �� �� �� �� ��� ���

Autovalori:� !100 ; 100 ; 100 ; 100 ; 100

b) 1 1001

100n

P�

�� � �

max max2

10000 0 0 0 0

0 10000 0 0 0

( ) 10000 1000 0 10000 0 0

0 0 0 10000 0

0 0 0 0 10000

TA A A� �

�� �� �� �� �� �� �� �� � � � ��� �� �� �� �� �� �� ��� ���

1

2

1

2 2

0.01

( ) 1

A

K A A A

� � �

Esercizio 10

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 19

Data la matrice 0.780 0.563

0.913 0.659A� �� ��� �� �

a) Autovettori:0.64955573 0.58526314

0.76031399 0.81084342

� �� �� �� �� �

Autovalori:� !1.4389993 ; 0.00000069

b) 1 1.43899932085506

0.00000069n

P�

�� � �

max max2

1.441969 1.040807( ) 2.193219 1.4809521

1.040807 0.75125TA A A� �

��� � � � � �� �� �� �

1

2

1

2 2

1480952.03419

( ) 2193219.02504

A

K A A A

� � �

Esercizio 11

Data la matrice 1 10

10 101A� �� ��� �� �

a) Autovettori:0.9853762 0.99513333

0.99513333 0.09853762

� �� �� �� �� �

Autovalori:� !101.9902 ; 0.00980486

b) 1 101.990210402.005

0.00980486n

P�

�� � �

max max2

101 1020( ) 10402 101.9901956

1020 10301TA A A� �

��� � � � � �� �� �� �

1

2

1

2 2

101.9901951

( ) 10401.99990386

A

K A A A

� � �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 20

# Argomenti del Capitolo 5

Esercizio 1 Determinare il polinomio di Newton che meglio interpola i seguenti dati:

x 0.6 0.8 1 1.2 1.4 y 2.2 2.52 1.13 1.03 1.5

Stimare f’ (1) con la massima accuratezza possibile. Per determinare il polinomio di Newton dobbiamo creare la tabella delle differenze divise:

� �

� �� � � �

� � � �

� �� � � �

� �

� � � �

0 0

1 01 0

1 0

2 1 1 01 1 2 1 0

2 0

2 12 1 3 2 1 0

2 1

3 2 2 12 3 3 2 1 4 0

3 1

3 23 2 4 3 2 1

3 2

3 4 4 3

( )

( ) ( ),

, ,( ) , ,

( ) ( ), , , ,

, ,( ) , , ,........,

( ) ( ), , , ,

( ) , ,

x f x

f x f xf x x

x x

f x x f x xx f x f x x x

x x

f x f xf x x f x x x x

x x

f x x f x xx f x f x x x f x x

x x

f x f xf x x f x x x x

x x

x f x f x x x

��

��

��

��

��

� �� � � �

� �

4 3 3 22

4 2

4 34 3

4 3

4 5

, ,

( ) ( ),

( )

f x x f x x

x x

f x f xf x x

x x

x f x

��

��

Con i valori:

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 21

0.6 2.2

1.6

0.8 2.52 21.375

6.95 62.5

1.0 1.13 16.125 96.875

0.5 15

1.2 1.03 7.125

2.35

1.4 1.5

� �

Ora possiamo impostare il polinomio di Newton.

( ) 2.2 1.6( 0.6) 21.375( 0.8) ( 0.6)

62.5( 1) ( 0.8) ( 0.6) 96.875( 1.2) ( 1) ( 0.8) ( 0.6)NP x x x x

x x x x x x x

� � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � �

Applicando l’estrapolazione di Richardson alla formula della derivazione basata sulle differenze centrali calcoliamo il valore di f’ (1) (usando i valori di f dati)

00.2 1h x� �

� �

� �

0 0

0 0

( ) ( ) 1.03 2.523.725

2 0.4( 2 ) ( 2 ) 1.5 2.2

2 0.8754 0.8

f x h f x hF h

hf x h f x h

F hh

� � � �� � ��

� � � �� � ��

� �

(2 ) ( )0.95

3'(1.4) 4.675

F h F h

f F h

�� �

� � ��

# Argomenti del Capitolo 6

Esercizio 1 Calcolare il seguente integrale con 3 decimali esatti:

22 2

1(2 1) ( )x sen x dx�"

La funzione integranda è: 2 2( ) (2 1) ( )f x x sen x dx� � Utilizziamo il metodo di Romberg:

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 22

Applichiamo il metodo dei trapezi più volte con un numero di punti 2mn� dove 0,1,2,3m�

trovando ogni volta il valore :mA

0

2

2

(2) (1)3.24791

2(2) 2 (1.5) (1)

3.36524

(2) 2 (1.75) 2 (1.5) 2 (1.25) (1)3.40157

8

f fA

f f fA

f f f f fA

�� �

� �� �

� � � �� �

Stimiamo l’errore:

11 011

112 2 1

0.0390956 0.4 103 3

0.0121238 0.1 103 3

A A

A A

��� � �

� �� � �

continuiamo con la costruzione della tabella:

1 01 1

2 12 2

321 2 1

3.40433

3.41373

0.000626634 0.6 1015 15

A AB A

A AB A

B B �

�� � �

�� � �

� �� � ��

in conclusione.

2 12 2 3.41432

15

B BC B

�� � �

La tabella sarà:

1 2 3

3 15 633.24791

3.3652 0.0390956 3.4043

3.40157 0.0121238 3.4137 0.000626634 3.41432

i i im m m mA B C D

� � �

quindi2

2 2

1(2 1) ( ) 3.41432x sen x dx� #"

con un errore inferiore a 32 0.6 1015

i ��� �

Esercizio 2 Calcolare il seguente integrale con 4 decimali esatti:

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 23

22

1(1 )xe dx��"

La funzione integranda è: 2( ) (1 )xf x e dx�� � Utilizziamo il metodo di Romberg: Applichiamo il metodo dei trapezi più volte con un numero di punti 2mn� dove 0,1,2,3m�

trovando ogni volta il valore :mA

40

4 21

2

3

20 1 0.9816842611

21 2

1 1 1.3555068972 21.468920194

1.498974297

A e

A e e

A

A

� �

� �� � � � �� �� �

� � � �� � � � �� � � �� � � �

La tabella sarà:

1 2 3

2

3 4

3 15 630.1246... 1.480114409

0.6378... 1.5067224626 0.177 10 1.50849864

0.0100... 1.508992331 0.15 10 1.509143511 0.10 10

i i im m mB C D

� �

� � �

�� �

quindi l’ integrale richiesto è: 1.509153747 , a meno di un errore 40.1 10ε −≤ ⋅

# Argomenti del Capitolo 7

Esercizio 1 Data l’equazione differenziale:

y(3) + y(2) – y = 6

con condizioni iniziali y(0) = 1 , y’ (0) = 1 ed y’ ’ (0) = 2, determinare con il metodo di Crank-Nicholson ed h = 0.3 la soluzione per x = 0.6 Posto:

1 : ( )z y x�

2 : '( )z y x�

3 : ''( )z y x�

1 2

2 3

3 3 1

'

'

' 6

z z

z z

z z z

� ����� ����� �� � ���

1

2

3

(0) 1

(0) 1

(0) 2

z

z

z

� ����� ����� ���

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 24

1 1

2 2

3 3

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 1 6

I

I

I

z z

z z

z z

�� � � �� � �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � � � �� � �� � �� � �� �� � � ��� �

Ponendo ora 1

2

3

( )

( )

( )

z x

Z z x

z x

� �� �� ��� �� �� �� �

si ha: 'Z AZ b� � con

1 1 0

1 0 1

0 0 1

A

�� �� �� ��� �� �� ���� �� �

0

0

6

b

�� �� �� ��� �� �� ���� � �

Applicando lo schema di Crank-Nicholson, partendo con 0

1

1

2

Z

�� �� �� ��� �� �� ���� � �

, si ha:

Zn+1 = Zn + h

2 [ A Zn+1 + b + A Zn + b ]

Zn+1 = Zn + h

2A Zn+1 +

h

2A Zn + bh

Zn+1 ( I - h

2A) = ( I +

h

2A) Zn + bh

Zn+1 = ( I - h

2A)-1 ( I +

h

2A) Zn + ( I -

h

2A)-1

bh

1

1.006 0.3009 0.0392

: ( ) ( ) 0.0392 1.006 0.26162 2

0.2616 0.0392 0.7442

h hE I A I A�

�� �� �� �� � � �� �� �� ���� � �

1

0.0353

: ( ) 0.23552

1.57

hq I A bh�

�� �� �� �� � �� �� �� ���� � �

Zn+1 = E Zn + q con 0 0x � 0

1

1

2

z

�� �� �� ��� �� �� ���� � �

h = 0.3 x1 = 0.3 x2 = 0.6 Zn+1 = E Zn + q Z0 =

1 1 2

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 25

Z1 = E Z0 + q Z1 = y (0.3) = 1.42058214325

Z2 = E Z1 + q Z2 = y (0.6) = 2.13885720739 \

Esercizio 2 Data l’equazione differenziale:

2y(3) + 5y(1) – y = 0

con condizioni iniziali y(1) = 0 , y’ (1) = -1 ed y’ ’ (1) = 0, determinare con il metodo di Eulero esplicito ed h = 0.2 la soluzione per x = 1.4 Posto:

1 : ( )z y x�

2 : '( )z y x�

3 : ''( )z y x�

1 2

2 3

3 2 1

'

'

5 1'

2 2

z z

z z

z z z

���� ����� ������ �� �����

0

0

1

0

Z

�� �� �� ��� �� �� ���� � �

Posto ( )1 2 3, ,T

Z z z z=

0 1 0

' 0 0 1

1 50

2 2

nZ Z

�� �� �� �� �� �� ��� ��� �� �� �� ��� ���� ��

Sapendo che: � �1 0.2n nZ I A Z� � � �

Posso calcolare:

1

0.2

1

0.5

Z

� �� �� �� �� �� �� �� ���� � �

1.421 1.804 3.359

2.1388570739 2.98461947267 4.512383375142

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 26

2

0.4

0.9

1.02

Z

� �� �� �� �� �� �� �� ���� � �

Esercizio 3

Data l’equazione differenziale: 4y(3) - 3y(2) – y = 0

con condizioni iniziali y(1) = 0 , y’ (1) = -1 ed y’ ’ (1) = 0, determinare con il metodo di Eulero esplicito ed h = 0.1 la soluzione per x = 0.2 Posto:

1 : ( )z y x�

2 : '( )z y x�

3 : ''( )z y x�

1 2

2 3

3 3 1

'

'

3 1'

4 4

z z

z z

z z z

���� ����� ������ � �����

0

0

1

0

Z

�� �� �� ��� �� �� ���� � �

0 1 0

' 0 0 1

1 50

2 2

nZ Z

�� �� �� �� �� �� ��� ��� �� �� �� ��� ���� ��

Sapendo che: � �1

1 0.1 0

0.1 0 1 0.1

0.025 0 1.075n n nZ I A Z Z�

� �� �� �� � � � �� �� �� �� �

Posso calcolare:

1

0.1

1

0

Z

� �� �� �� �� �� �� �� ���� � �

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Esercizi Svolti di Analisi Numerica 27

2

0.2

1

0.0025

Z

� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� �