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EQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DEGLI ASSI L’equazione dell’asse x è � � 0.
EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSIL’equazione di una retta r parallela all’asse x è
L’equazione di una retta r parallela all’asse y è
EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DEI Ricordiamo la definizione di bisettrice: la
luogo di punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Essendo quindi tutti i punti equidistanti dai due assi, l’
della bisettrice del I e III quadrante
L’equazione della bisettrice del II e IV quadrante
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EQUAZIONE DELLA RETTA
L’equazione dell’asse y è � � 0.
EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L’equazione di una retta r parallela all’asse x è � � � cioè � è uguale ad una costante:
� ∥ � → � � �
L’equazione di una retta r parallela all’asse y è � � � cioè � è uguale ad una costante:
� ∥ � → � � �
EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DEI QUADRANTIRicordiamo la definizione di bisettrice: la bisettrice di un angolo è il luogo di punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Essendo quindi tutti i punti equidistanti dai due assi, l’
della bisettrice del I e III quadrante è:
� � �
equazione della bisettrice del II e IV quadrante
� � �
EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE Consideriamo una retta � passante per l’origine
distinta dagli assi cartesiani: la retta
punti aventi ordinata proporzionale all’ascissa
secondo un coefficiente opportuno. Infatti siano ��� , � � e ����, ��� due punti generici della retta
r, ma distinti dall’origine: siano
ortogonali di � e � sull’asse x: i triangoli ��′� sono simili (perché hanno angoli uguali) e si
ha pertanto la seguente proporzione tra i segmenti
e tra le loro relative misure:
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è uguale ad una costante:
è uguale ad una costante:
QUADRANTI bisettrice di un angolo è il
luogo di punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Essendo quindi tutti i punti equidistanti dai due assi, l’equazione
equazione della bisettrice del II e IV quadrante è:
EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER
passante per l’origine
distinta dagli assi cartesiani: la retta � è il luogo dei
punti aventi ordinata proporzionale all’ascissa
secondo un coefficiente opportuno. Infatti siano
due punti generici della retta
r, ma distinti dall’origine: siano �′ e �′ le proiezioni
x: i triangoli ��′� e
sono simili (perché hanno angoli uguali) e si
ha pertanto la seguente proporzione tra i segmenti
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�′���′ � �′���′ → � � �����
Dato che i punti P e Q sono generici, possiamo concludere che per tutti i punti della retta, diversi
dall’origine, il rapporto tra ordinata e ascissa è costante, tale costante si indica con �.
�� � � → � � ��
Il valore di � si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta (maggiore è il valore di �,
maggiore è l’angolo). Rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare.
• Se � > 0, la retta appartiene al I e III quadrante.
• Se � � 1, otteniamo la bisettrice del I e III quadrante.
• Se � < 0, la retta appartiene al II e IV quadrante.
• Se � � 1, otteniamo la bisettrice del II e IV quadrante.
EQUAZIONE DELLA RETTA IN POSIZIONE GENERICA Dobbiamo ricavare l’equazione di una generica retta del piano, non passante per l’origine e non
parallela ad alcuno degli assi cartesiani.
Consideriamo una retta� non passante per
l’origine e non parallela ad alcuno degli assi
cartesiani. Sia ��0, �� il punto in cui r
interseca l’asse y. Sia � la traslazione del
sistema di riferimento che porta l’origine in �.
Nel sistema ��� la retta r passa per l’origine
e quindi avrà equazione � � ��;
sostituendo in tale equazione � al posto di �
e � � al posto di � in base alle equazioni
della traslazione, si otterrà l’equazione di �
nel sistema ���, in cui � non passa per
l’origine, in formule:
� � �� → � � � �� → � � �� + �
Pertanto si può concludere che:
� � �� + �
è l’equazione di una generica retta del piano ���, dove � è il coefficiente angolare e � è detta
intercetta o ordinata dell’origine, in quanto è l’ordinata del punto � di intersezione della retta
con l’asse y. L’equazione � � �� + � viene chiamata equazione della retta in forma esplicita o
anche equazione della funzione lineare.
• Se � � 0 si ottiene l’equazione di una retta passante per l’origine.
• Se � > 0 la retta generica forma un angolo acuto con l’asse x.
• Se � < 0 l’angolo formato è ottuso.
• Se � � 0 si ha l’equazione di una retta parallela all’asse x.
CONDIZIONE DI PARALLELISMO
Condizione necessaria e sufficiente affi
parallele è che i loro coefficienti angolari siano uguali.
CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ
Condizione
perpendicolari è che i coefficienti angolari siano
l’antireciproco dell’altro.
EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTALa più generale equazione di primo grado in
Quest’equazione rappresenta, al variare dei coefficienti a, b, c, una qualsiasi retta del piano.
Prende il nome di equazione generale della rettaimplicita. Il coefficiente � viene detto termine noto. I vari casi
• ! 0 ∧ # ! 0 ∧ � ! 0In questo caso l’equazione è completa e può essere rispetto a y essendo
Il coefficiente angolare è �
L’intercetta è � � � #⁄
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l’angolo formato è ottuso.
si ha l’equazione di una retta parallela all’asse x.
CONDIZIONE DI PARALLELISMO
Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano
parallele è che i loro coefficienti angolari siano uguali.
� ∥ % ⇔ �' � �
CONDIZIONE DI PERPENDICOLARITÀ
Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette siano
perpendicolari è che i coefficienti angolari siano
l’antireciproco dell’altro.
� ( % ⇔ �' �
EQUAZIONE GENERALE DELLA RETTA La più generale equazione di primo grado in � e � (equazione lineare in due variabili) è
� + #� + � � 0
Quest’equazione rappresenta, al variare dei coefficienti a, b, c, una qualsiasi retta del piano.
equazione generale della retta o anche di equazione della retta in forma viene detto termine noto. I vari casi possibili sono: 0
In questo caso l’equazione è completa e può essere rispetto a y essendo #� � # � �#
� #⁄
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nché due rette siano
parallele è che i loro coefficienti angolari siano uguali.
�)
necessaria e sufficiente affinché due rette siano
perpendicolari è che i coefficienti angolari siano l’uno
1�)
in due variabili) è
Quest’equazione rappresenta, al variare dei coefficienti a, b, c, una qualsiasi retta del piano.
equazione della retta in forma
# ! 0
• ! 0 ∧ # ! 0 ∧ � �L’equazione assume la forma
per l’origine, di coefficiente angolare
• � 0 ∧ # ! 0(con � qualsiasi)
L’equazione diventa #� + � �all’asse x (se� � 0 è l’equazione dell’asse x stessa).
• ! 0 ∧ # � 0 (con c qualsiasi)
L’equazione diventa � + � �y (se � � 0 è l’equazione dell’asse y stesso).
• � 0 ∧ # � 0 ∧ � �L’equazione, riducendosi all’identità
numeri reali, essa non rappresenta alcuna retta, ma il piano stesso.
• � 0 ∧ # � 0 ∧ � ! 0L’equazione non ha soluzioni e
FASCIO IMPROPRIO DI RETTE Il fascio improprio di rette è l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele.
L’equazione che rappresenta il fascio improprio è:
Il coefficiente angolare � è comune a tutte le rette, l’intercetta
ottengono tutte le rette del fascio e per
considerata la retta base del fascio alla quale tutte le altre sono parallele.
L’equazioni della traslazione degli assi sono:
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� 0 � + #� � 0, cioè � � � #��⁄ , che è l’equazione di una retta
per l’origine, di coefficiente angolare � � #⁄ .
qualsiasi) � 0, ossia � � � #⁄ , che è l’equazione di una re
è l’equazione dell’asse x stessa).
(con c qualsiasi) � 0, cioè � � � ⁄ che è l’equazione di una retta parallela all’asse
è l’equazione dell’asse y stesso).
� 0
L’equazione, riducendosi all’identità 0 � 0, risulta verificata per qualsiasi coppia ordinata di
numeri reali, essa non rappresenta alcuna retta, ma il piano stesso.
0
L’equazione non ha soluzioni e non ha rappresentazione grafica.
è l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele.
L’equazione che rappresenta il fascio improprio è:
� � �� + �
comune a tutte le rette, l’intercetta � è variabile. Al variare di
ottengono tutte le rette del fascio e per � � 0 si ottiene quella passante per l’origine che è
considerata la retta base del fascio alla quale tutte le altre sono parallele.
FASCIO PROPRIO DI RETTEIl fascio di rette proprio è l’insieme di tutte le
rette del piano che passano per uno stesso
punto, detto centro o sostegno del fascioNell’equazione del fascio proprio il coefficiente
angolare dovrà essere variabile in quanto l
rette del fascio hanno ciascuna un diverso
coefficiente angolare.
L’equazione del fascio proprio di rette passanti
per l’origine degli assi è � �in R.
Consideriamo un fascio di rette di centro *��+, �+�. Operiamo una traslazione ��� che porti l’origine nel punto
riferimento �*� il fascio di rette è
rappresentato dall’equazione
L’equazioni della traslazione degli assi sono:
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, che è l’equazione di una retta
, che è l’equazione di una retta parallela
che è l’equazione di una retta parallela all’asse
, risulta verificata per qualsiasi coppia ordinata di
è l’insieme di tutte le rette di un piano che sono tra loro parallele.
è variabile. Al variare di � in R si
si ottiene quella passante per l’origine che è
FASCIO PROPRIO DI RETTE è l’insieme di tutte le
rette del piano che passano per uno stesso
sostegno del fascio.
Nell’equazione del fascio proprio il coefficiente
angolare dovrà essere variabile in quanto le
rette del fascio hanno ciascuna un diverso
L’equazione del fascio proprio di rette passanti � �� con � variabile
Consideriamo un fascio di rette di centro
. Operiamo una traslazione degli assi
che porti l’origine nel punto *. nel
il fascio di rette è
rappresentato dall’equazione � � ��.
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� � � + �+ � � � �+ � � � + �+ � � � �+
� � �� → � �+ � ��� �+�
Quindi:
� �+ � ��� �+�
dove � è il coefficiente angolare variabile, rappresenta il fascio di rette di centro *��+, �+�.
COEFFICIENTE ANGOLARE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Consideriamo i punti ��� , � � e ����, ���. L’equazione del fascio di rette di centro ��� , � � è
� � � ��� � �
Imponendo che la generica retta di questo fascio passi per �, ossia che le coordinate di �
soddisfino la precedente equazione, si ottiene:
�� � � ���� � �
Cioè
� � �� � �� �
Pertanto: il coefficiente angolare della retta passante per due punti dati si ottiene come rapporto
tra la differenza delle ordinate dei due punti e la differenza delle corrispondenti ascisse.
EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI Siano ��� , � � e ����, ��� due punti della retta ��. L’equazione della retta passante per � e per � si otterrà scrivendo l’equazione della retta passante per ��� , � �e con coefficiente angolare �
uguale a quello della retta ��, cioè � � ��� � � ��� � �⁄ ; si avrà quindi:
� � � �� � �� � �� � �
Dividendo ambo i membri per �� � , si ha:
� � �� � �� � �� �
Che è l’equazione della retta passante per due punti dati ��� , � � e ����, ��� e non parallela ad
alcun asse cartesiano.
DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti di
EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DI UN ANGOLO
E perciò, dovendo essere �,---- � �.- | � + #� + �|
√ � + #� � | ′�√
Le equazioni delle due bisettrici si ottengono dalla formula considerando
volta il segno -.
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DISTANZA DI UN PUNTO DA UNA RETTA
Per calcolare la distanza di un generico punto
dalla retta � di equazione � + #� +seguente formula:
1 � | �+ + #�+√ � + #
Cioè la distanza di un punto da una retta di equazione � + #� + � � 0 si ottiene sostituendo nel primo membro
dell’equazione della retta al posto di �e �+ del punto e dividendo il valore assoluto del risultato
per la radice quadrata della somma dei quadrati dei coefficienti di � e di � nell’equazione stessa.
EQUAZIONE DELLE BISETTRICI DI UN ANGOLO
Determiniamo le equazioni delle bisettrici
degli angoli formati dalle rette incidenti r
ed s, di equazione rispettivamente:
r) � + #� + � � 0
s) 2� + #2� + �2 �
Sia ���, �� un punto generico di una delle
bisettrici. Applicando la formula della
distanza tra un punto e una retta, si ha:
�,---- � | �√
�.---- � | ′�√
- �.----
+ #′� + �|√ � + #� → � + #� + �
√ � + #� � 3 ′
Le equazioni delle due bisettrici si ottengono dalla formula considerando una volta il segno + e una
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Per calcolare la distanza di un generico punto ���+, �+� � � 0 si usa la
+ �|�
Cioè la distanza di un punto da una retta di equazione
si ottiene sostituendo nel primo membro � e � le coordinate �+
del punto e dividendo il valore assoluto del risultato
nell’equazione stessa.
Determiniamo le equazioni delle bisettrici
i formati dalle rette incidenti r
ed s, di equazione rispettivamente:
� 0
un punto generico di una delle
bisettrici. Applicando la formula della
distanza tra un punto e una retta, si ha:
- � + #� + �|√ � + #�
� + #′� + �|√ � + #�
′� + #′� + �√ � + #�
una volta il segno + e una
ASSE DI UN SEGMENTO L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al
segmento e passante per il suo punto medio. L’asse è
anche il luogo geometrico di tutti e soli i punti del piano
che sono equidistanti dagli estremi del segmento.
Quindi per trovare l’equazione dell’asse di un segmento
possiamo fare:
�4 � �5 → �4--
Ossia
�� � �� +
Sviluppando e riducendo si avrà l’equazione cercata, che risulta un’equazione lineare
FASCIO DI RETTE GENERATO DA DUE RETTE
• Se � � 0, si ottiene la seconda generatrice.
• Se �� � 0, si ottiene la prima generatrice.
Per non avere due costanti (� e
� �� � �
Se � ��⁄ � �, allora �� � +
Se �� � 0, �perde significato e si suol
o � → ∞ (� tende all’infinito).
La forma nella quale è di solito assegnato un fascio proprio di rette è:
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L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al
segmento e passante per il suo punto medio. L’asse è
anche il luogo geometrico di tutti e soli i punti del piano
dagli estremi del segmento.
Quindi per trovare l’equazione dell’asse di un segmento
�4�---- � �5�-----
� + �� � �� � �� ���� + �� ��Sviluppando e riducendo si avrà l’equazione cercata, che risulta un’equazione lineare
DA DUE RETTE
Consideriamo due rette�equazione
r) � + #� + � � 0
s) 2� + #2� + �2 � 0
e sia *��+, �+� il loro punto di intersezione.
Le due rette generano un fascio proprio di
rette di centro * e sono dette rette generatrici,
in particolare la retta� è la prima generatrice e
la retta% è la seconda generatrice.
L’equazione del fascio di rette generato da due
rette è:
� � � + #� + �� + ���
, si ottiene la seconda generatrice.
, si ottiene la prima generatrice.
e ��), si divide per �� e si ottiene
� + #� + �� + ���� � 2� + #2� + �2� � 0
� + #� + �� + 2� + #2� + �2 � 0
perde significato e si suol dire che � è «infinito» e si scrive � � ∞La forma nella quale è di solito assegnato un fascio proprio di rette è:
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���
Sviluppando e riducendo si avrà l’equazione cercata, che risulta un’equazione lineare in � e �.
� ed %, incidenti, di
il loro punto di intersezione.
Le due rette generano un fascio proprio di
e sono dette rette generatrici,
è la prima generatrice e
è la seconda generatrice.
L’equazione del fascio di rette generato da due
� 2� + #2� + �2� � 0
∞ (� uguale a infinito)
� +
Avendo supposto che le generatrici
Esso risulta in funzione di �e, al variare di
inclinazione variabile.
Se le generatrici � ed % fossero parallele, si avrebbe il fascio improprio di rette generato da
il coefficiente angolare è
In pratica un’equazione di primo grado in
• un fascio proprio di rette, se il coeffici
• un fascio improprio di rette, se il coefficiente angolare è costante.
Il centro del fascio proprio si determina intersecando le generatrici del fascio.
AREA DEL TRIANGOLO Esiste una regola che ci permette di calcolare l’are
coordinate de vertici, questa è la
Frederic Sarrus.
7 � 12 |��9 ∙ �; ∙ 1� + ��9 ∙ 1 ∙ �
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� + ′��� + �# + #′��� + � + �2� � 0
Avendo supposto che le generatrici � ed % siano incidenti, il coefficiente angolare è:
� � + ′�# + #′�
e, al variare di�, si ottengono le diverse rette del fascio con
fossero parallele, si avrebbe il fascio improprio di rette generato da
� � ′#′ un’equazione di primo grado in � e � rappresenta:
, se il coefficiente angolare è funzione di k;
, se il coefficiente angolare è costante.
Il centro del fascio proprio si determina intersecando le generatrici del fascio.
Esiste una regola che ci permette di calcolare l’area di un triangolo conoscendone solo le
coordinate de vertici, questa è la regola di Sarrus, dal nome del matematico francese Pierre
7 � 12 <�9 �9�; �;�= �=
Per trovare il determinante della matrice bisogna riportare
le prime due colonne a destre della matrice e poi
moltiplicare le diagonali:
7 � 12 <�9 �9 1�; �; 1�= �= 1<
�9�;�=�=� + �1 ∙ �; ∙ �=� �1 ∙ �; ∙ �=� ��9 ∙ 1
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siano incidenti, il coefficiente angolare è:
, si ottengono le diverse rette del fascio con
fossero parallele, si avrebbe il fascio improprio di rette generato da � ed %e
Il centro del fascio proprio si determina intersecando le generatrici del fascio.
a di un triangolo conoscendone solo le
, dal nome del matematico francese Pierre
111< Per trovare il determinante della matrice bisogna riportare
e colonne a destre della matrice e poi
< 9 �9; �;= �=
∙ �=� ��9 ∙ �; ∙ 1�|