EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA 27 de agosto de 2013 Tópicos 1 a 6

EQE 002EQE 002

OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICAQUÍMICA

27 de agosto de 2013

Tópicos 1 a 6

CONTEXTO DA DISCIPLINA

Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos

ENGENHARIA DE PROCESSOS

Esta disciplina de Otimização em Engenharia Química se desenvolve no contexto da

O conjunto de ações desenvolvidas

DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico

AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.

É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!

PROJETO

ANÁLISE SÍNTESE

SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA

PROJETO

(a) escolha de um equipamento para cada tarefa.(b) definição da fluxograma do processo.

(a) previsão do desempenho do processo.(b) avaliação do desempenho do processo.

Esse conjunto compreende três sub-conjuntos que interagem:

SELEÇÃO DAROTA QUÍMICA

Investigar mercado para o produto

Investigar reagentesplausíveis

Investigar a disponibilidade

das matérias primas

Definir as condições das reações e

identificar os sub-produtos gerados

SÍNTESE

Estabelecer o número e o tipo

dos reatores

Definir o número e o tipo dos

separadores

Definir o número e o tipo de

trocadores de calor

Estabelecer malhas de controle

Definir o fluxograma do

processo

ANÁLISE

Calcular o consumo de utilidades

Calcular a vazão das correntes

intermediárias

Calcular as dimensões dos equipamentos

Calcular o consumo dos insumos

Calcular o consumo de matéria prima

Avaliar a lucratividadedo processo

O PROJETO É CARACTERIZADO PELA

MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo

RM

Reator demistura

RT

Reator tubular

DS

Coluna de destilaçãosimples

DE

Coluna de destilaçãoextrativa

A

Aquecedor

R

Resfriador

T

Trocador deIntegração

A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.

Um problema com multiplicidade de soluções

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE

DS

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

(7)

RM

A,B

P,A

DS

P

A

T

(8)

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

DE

(9)

DSRT RAA,B A,P

P

A

(11)

RM

A,B

P,A

P

A

T DE

(10)

DSRT A,P

P

A

T

A,B

(12)

RT RAA,B A,P

P

A

DE

(13)

RT A,P

P

A

T

A,B

DE

(14)

Na Síntese, as soluções são fluxogramas

Um número finito de soluções viáveis

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

Podendo ocorrer uma

Modelo1. Q* (xo

* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)Variáveis de Projeto: x1, x2

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

rafinado

x1 kgAB/kg A ?

W1 kg B/h ?

y1 kg AB/kg B ?extrato

W1 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h


W2 kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/hx2 kgAB/kgA ?

W2 kg B/h ?

rafinado

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A1 2

alimentação

Cada par (x1,x2) é uma solução fisicamente viável

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

Variáveis contínuas: uma infinidade de soluções viáveis

Na Análise, as soluções são pares de valores x1,x2

A multiplicidade de soluções de um problema acarreta o seguinte:

Multiplicidade de Soluções

Exige a busca da Otimização

Solução Ótima

através de

Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de

métodos de busca da solução ótima de um problema

OTIMIZAÇÃO

Ação de buscar a solução ótima de um problema

Palavra com dois significados:

Fonte da complexidademultiplicidade de soluções nos três níveis

Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química.

Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo.

Otimização Tecnológica

Otimização Estrutural

Otimização Numérica

O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização

COMO RESOLVER?

MÉTODOS DE

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível NuméricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Busca Orientada por Árvore de Estados

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

A+B P+CA,B P,C

??

1 PAB Cx

?

T D

2PA

B Cx

?T A

P3DE Fx

?

DM

PF

4DE x

?

M E

L

x

6

x o = 3x*

8

L

xx o = 4x*

L

10

xx o = 6x*

L

x

7

x o = 5x*

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

L

x4

10

?

P3DE Fx

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível NuméricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.

Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada

Vantagem

Varre todas as soluções sem repetições

sem omitir a ótima

Desvantagem

Explosão Combinatória(outros métodos)

Solução Ótima:

Interesse deste capítulo

INÍCIO DO CAPÍTULO

O seu contexto, na Engenharia de Processos é na

Análise de Processos

Este Capítulo trata da

OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

ANÁLISE

Calcular o consumo de utilidades

Calcular a vazão das correntes

intermediárias

Calcular as dimensões dos equipamentos

Calcular o consumo dos insumos

Calcular o consumo de matéria prima

Avaliar a lucratividadedo processo

1. Conflitos em Otimização2. Origem do Problema de Otimização Numérica3. Elementos Comuns em Problemas de Otimização 3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 3.2 Critério 3.3 Função Objetivo 3.4 Restrições 3.5 Região Viável4. Localização da Solução Ótima5. Problemas e Métodos de Otimização6. Método Analítico 6.1 Problemas univariáveis 6.2 Problemas multivariáveis.


Todo problema de Otimização encerra um conflito.

A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

R

C

0

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

Exemplo

No extrator, a vazão de solvente afeta o Lucro de forma conflitante.

- aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.

- aumenta a recuperação de soluto. Logo, aumenta a Receita.

Com o aumento da vazão:

Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.

W kg B/h ?

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

(extrato)

x kgB/kgA

EXTRATOR

B: benzeno (solvente)

A : água

AB: ácido benzóico (soluto)

Vazão ótima Lucro máximo



W4 = 60.000 kg/h

A = 360 m2

W2 = 60.000 kg/h

1 3

2

4

W1*= 36.345 kg/h

T1* = 80 oC

T2* = 15oC

W3 = 36.345 kg/h

T3* = 25oC

T4* = 30oC

Problema : quanto se deve fornecer de área de troca térmica e de água de resfriamento a um trocador de calor para resfriar a corrente 1 de 80oC a 25oC, utilizando água a 15oC e limitando a sua saída a 30oC.

Este tipo de problema é chamado deProblema de Dimensionamento

Generalizando...

W4 = 60.000 kg/h

A = 360 m2

W2 = 60.000 kg/h

1 3

2

4

W1*= 36.345 kg/h

T1* = 80 oC

T2* = 15oC

W3 = 36.345 kg/h

T3* = 25oC

T4* = 30oC

1 3

2

4

dQ3 C3

*

Q2 C2*

Q1* C1

*

Q4 C4*

As variáveis do problema podem ser classificadas em:Conhecidas: vazão e condição da corrente processada, condição da corrente auxiliar: W1

* , T1* , T2

*

Metas (de projeto e operação): a serem atendidas à saída do equipamento: T3

*, T4*

Calculadas ou Incógnitas: calculadas para proporcionar as metas: dimensão e vazão da corrente auxiliar: A, W2

Ela decorre do fato de que um sistema de equações pode ser:

- inconsistente (sem solução) - consistente

- determinado (solução única)- indeterminado (infinidade de soluções)

Exemplo trivial: solução de um sistema de duas equações lineares

y

x

Consistente determinadoInconsistente Consistente indeterminado

y

x

paralelas

y

x

coincidentes

Balanço de Informação

O Balanço de Informação é uma análise prévia da consistência de um problema.

Número de Incógnitas: I = V - E

Número de equações independentes: N

Número Total de Variáveis: V

Número de Variáveis Especificadas: E = C + MC: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto

Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações:

O Balanço de Informação consiste no cálculo dosGraus de Liberdade do problema

1. F z1 = V y1 + L x1

2. F z2 = V y2 + L x2 3. z1 + z2 = 14. y1 + y2 = 15. x1 + x2 = 16. F = V + L

Esse sistema é formado por 6 equações dependentes:qualquer uma pode ser obtida a partir das demais. Ex:Somando 1 + 2 F (z1 + z2) = V (y1 + y2) + L (x1 + x2).Usando 3, 4 e 5 F = V + L, que é a equação 6.

As cinco primeiras formam um sistema de equações independentes.Elas são suficientes para resolver qualquer problema relativo ao sistema.

Equações IndependentesNão resultam da combinação das demais

F,z1,z2

V,y1,y2

L,x1,x2

É possível formar 6 conjuntos de 5 equações. Cada um deles constitui um sistema de equações independentes.

Ex.: em processos de separação:

A equação 6 torna-se supérflua para fins de resolução do problema, maspode ser usada para conferir a solução obtida.

Número de Incógnitas: I = V - E

Número de equações independentes: N

Número Total de Variáveis: V

Número de Variáveis Especificadas: E = C + MC: Variáveis Conhecidas e M: Metas de Projeto

.

Os Graus de Liberdade (G) dependem dos seguintes elementos encontrados no sistema de equações:

G = I – N = (V - E) – N = V - N - E

O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdade do problema

Explicando melhor através de alguns exemplos

G = V - E - N

Exemplo 1

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7m

1

2

3

Sistema consistente determinadoSolução única

y

x

N = 3

V = 7C = 2

M = 2

E = 4

G = V - E - N = 7 - 4 - 3 = 0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

7xpx7m

0

100

200

300

400

500

y

x

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7m

1

2

3

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7

1

2

3

Exemplo 2

y

x

coincidentes

Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado

(infinidade de soluções)(uma há que ser apresentada)

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

V = 7

N = 3

C = 2

M = 1

E = 3

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7

1

2

3

x4c

x5c

x1

x2

x3

x6m

x7p

1

2

3

Para se obter uma das soluções, é preciso escolher uma das incógnitas e lhe atribuir um valor.

A variável escolhida é denominadavariável de projeto.

O critério de escolha se baseia na minimização doesforço computacional.

Cabe ao projetista a liberdade de escolher essa incógnita e o seu valor. Por exemplo: x7.

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7p

1

2

3

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

7xpx7m

0

100

200

300

400

500

A cada valor corresponde uma solução viável e um valor para o Lucro.

Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado).

Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.

Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).

y

x

coincidentes

Exemplo 3

Sistema InconsistenteExcesso de metas ou de equaçõesNão há solução

1

2

3

x1

x2

x3m

x4c

x5c

x6m

x7m

E = 5

G = V – E – N = 7 - 5 - 3 = - 1

y

x

paralelasN = 3

V = 7C = 2

M = 3

Resumindo

O Balanço de Informação consiste no cálculo dos Graus de Liberdadedo problema: G = V – N - E (E = C + M).

Em função dos Graus de Liberdade, o problema pode ser:

- inconsistente (G < 0 : sem solução) - consistente

- determinado (G = 0 : solução única)- indeterminado (G > 0 : infinidade de soluções otimização)

Problemas de dimensionamento podem ser determinados (G = 0) ouindeterminados (G > 0, otimização).

Problemas de simulação são determinados (G = 0).(se impomos as entradas, a natureza não nos dá liberdade de escolha das saídas).

EM RESUMO

Insuficiência de metas gera graus de liberdade

Graus de liberdade geram multiplicidade de soluções

A multiplicidade de soluções exige a busca da solução ótima

A busca de solução ótima se dá por um processo de otimização



3.1 Variáveis de Decisão (ou Variáveis Manipuladas)

3.2 Critério

3.3 Função Objetivo

3.4 Restrições

3.5 Região Viável

3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO NUMÉRICA

Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquerque seja a sua área de aplicação.

3.2 Critério


3.4 Restrições

3.5 Região Viável

3. ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos qualquerque seja a sua área de aplicação.



São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a busca da solução ótima.

Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.

Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de metas de projeto

INCÓGNITAS

L

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

Vd,A

e,A

c,A

r

VARIÁVEIS DE PROJETO

r,T9,T

12OTIMIZAÇÃO

W4,W

6,W

8,W

11,W

14

MODELO

FÍSICO

VARIÁVEIS ESPECIFICADAS

W1

x11

,x14

T1,T

2,T

5,T

6,T

7,T

8,T

10,T

11,T

14,t

O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7

1

2

3

y

x

coincidentes

Metas insuficientes, incógnitas em excessoSistema consistente indeterminado

(infinidade de soluções)

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

V = 7

N = 3

C = 2

M = 1

E = 3

Há que se escolher uma solução

Para se obter uma das soluções, é preciso especificar uma das 4 incógnitas.

O critério de escolha se baseia na minimização do esforço computacional e foi abordado no Capítulo 3

(Algoritmo de Ordenação de Equações).

o projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x7 (variável de projeto).

G = V – E – N = 7 - 3 - 3 = 1

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7

1

2

3x7p

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7p

1

2

3

x7m0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

7xp

0

100

200

300

400

500

A cada valor de x7p

corresponde uma solução viável x1, x2, x3 e um valor para o Lucro.

Se a variável for contínua, haverá umainfinidade de soluções viáveis (indeterminado).

Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.

Qualquer outro valoratribuído como metaproduziria uma soluçãopior do que a ótima.

Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima).

x1

x2

x3

x4c

x5c

x6m

x7p

1

2

3

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

7xpx7m

0

100

200

300

400

500

Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima !

y

x

coincidentes

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas.

Modelo Matemático

1. Q (xo - x) - W y = 0

2. y - k x = 0

Balanço de Informação

V = 5, N = 2, C = 2, G = 1

(candidatas: x, y, W)

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Exemplo: otimização do extrator

W? x? y?

R

C

0

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

Lo=15,6

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

W kg/hWo = 1.973,6

L = R - C

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,0200

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

L

C

R

xo = 0, 01118

Lo = 15,6

xo*

1

y

x

W2

Q*

xo*

1

y

x

W

2

Q*

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

A solução ótima independe da variável de projeto escolhida

Wo = 1.972,3

xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/h

xo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h

O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

Escolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequência de cálculo acíclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Variável de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

xo*

1

y

x

W

2

Q*

Variável de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0

Escolha infeliz !Sequência de cálculo cíclicaOtimização com cálculo iterativo

xo*

1

y

x

W2

Q*

Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização

3.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)


3.4 Restrições

3.5 Região Viável

3 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,independentemente da área de aplicação.

Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução doproblema

3.2 Critério

A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.

O critério mais comum é econômico

3.2 Critério

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

0

100

200

300

400

500

Maximização do Lucro

x7o

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

L

0

100

200

300

400

500

R

C

L

Minimização do Custo(produção fixa Receita constante)

x7o

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.

A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo umoutro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a

mais segura. E vice-versa.

Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimização com objetivos múltiplos)


3.2 Critério

3.4 Restrições

3.5 Região Viável





(c ) Convexidade: côncava ou convexa.

É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema.

A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização.

(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta.

Pode ser classificada quanto à:

(b) Modalidade: unimodal, multimodal.

Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.

3.3 Função Objetivo(a) Continuidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

x

Função Contínua0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

y

x

Função Contínua comdescontinuidade na derivada

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y

x

Função Descontínua0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

y

xFunção Discreta

Os parâmetros da função dependem da

faixa de x

A função só existe para valores inteiros de x

3.3 Função Objetivo(b) Modalidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

x

Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

f

X1

Função Bimodal em 1 Dimensão

1 2 3 4 5 6

200

205

210

215

220

y

x

A

B

C

D

E

F

3.3 Função Objetivo(b) Modalidade

Função Bimodal em 2 Dimensões

0

1

2

3

4

5

6

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,02,5

3,0

-1

0

1

2

3

4

f

x1

x 2

ABC

Incerteza quanto ao ótimo global

C, E: máximos locaisA: máximo global

B, D: mínimos locaisF: mínimo global

B: mínimo localF: mínimo globalC: ponto de sela

Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)

3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções univariáveis)

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

xx1 x2(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

0 a 1


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

xx1 x2(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

0 a 1

limite inferior para o máximo

Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)


0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5y

xx1x2

(1-a)x1+ ax2

y[(1-a) x1 + a x2]

(1-a) y(x1) + a y(x2)

0 a 1

limite superior para o mínimo

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada

da função no ponto extremo.

3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus

Valores Característicos

Equação Característica

que são as raízes da sua

jxix

f

2

ijf

f11

f12

H(x) = f

21f

22

Matriz Hessiana

f11

f12

f21

f22

-

- = 0det

Equação Característica:

Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

2 – (f11 + f22) + (f11f22 – f12f22) = 0

Para uma função qualquer de duas variáveis para a qual existem as derivadas primeiras e segundas, existe uma

Ilustração com Funções Quadráticas (simetria)

3.3 Função Objetivo(c ) Convexidade (funções multivariáveis)

f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x2

2 + b12 x1 x2

Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes

-1,0-0,8-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,00,20,40,60,81,0

f

X2

X1-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

-1,0

-0,8

-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

f

-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1,0-0,8

-0,6-0,4

-0,20,0

0,20,4

0,60,8

1,0

f

-1,0-0,8-0,6

-0,4-0,2

0,00,2

0,40,6

0,81,0-1,0

-0,8-0,6

-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0

0

-0,80-0,50

-0,20

-0,20

-0,50

0,10

0,10

-0,80-1,1

-1,1

0,40

0,40

-1,4

-1,4

0,70

0,70

-1,7-1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x 2

X1

estritamente convexa

convexa

estritamente côncava

côncava

ponto de sela

1 ,

2H ( x ) f ( x )

1

> 0 , 2

> 0 positiva definida

1 > 0 ,

2 = 0 positiva semi-definida

1

< 0, 2

< 0 negativa definida

1

< 0, 2

= 0 negativa semi-definida

1

> 0 , 2

< 0 indefinida

1 > 0 : 2 > 0

1 > 0 : 2 = 0

1 < 0 : 2 < 0

1 < 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0

Exemplo de uma função não quadrática

1 2

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

W1

kgB/hW2

kgB/h

y1

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

x1

x2

kgAB/kgAkgAB/kgA

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Dimensionamento de 2 extratores em série

1 2

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

W1

kgB/hW2

kgB/h

y1

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

x1

x2

kgAB/kgAkgAB/kgA

Variáveis de Projeto: x1 e x2

Escrevendo o Lucro em função de x1 e x2

x1dcx2

baL ---=

x2x1

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

2

12

1 x

xdcx

x

baL ---=

Exemplo de Função Não-Quadrática(Lucro de 2 extratores em série)


Função Bimodal em 2 Dimensões

0

1

2

3

4

5

6

-2,0-1,5

-1,0-0,5

0,00,5

1,01,5

2,02,5

3,0

-1

0

1

2

3

4

ABC

Ponto C : x1 = 0,6 : x2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3

Ponto A: x1 = -1 : x2 = 1 : f = 01 = 10,6 : 2 = 3,4

Ponto B: x1 = 2 : x2 = 4 : f = 1.5 1 = 37 : 2 = 1

3.1 Variáveis de Decisão

3.2 Critério


3.5 Região Viável



3.4 Restrições

3.4 Restrições

São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo.

(b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto

(a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático.

Há dois tipos de restrições:

Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projetos.a.: g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade

Enunciado Formal de um Problema de Otimização

Max L(x) = R - Cs.a.:

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0h2 (x) = y - k x = 0

g(x) = x - xo 0

Exemplo: otimização do extrator

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1.0

0,80,6

0,4

B

A

h(x) = 0

x1

x2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) ,x 12

22 0 25 0

3.4 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : B

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0 0,4

0,6

0,8

1,0A

B

C

h(x) = 0

x1

x2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x( ) , ( ) ,x 2 122 1 1 0 1 0

Solução Irrestrita: ASolução Restrita : BC é um máximo local

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1.0

0,80,6

0,4

B

A

h2(x) = 0

h1(x)=0

x1

x2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 12

22 0 25 0( ) ,x Solução Irrestrita: A

Solução Restrita : B (restrições compatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

1.0

0,80,6

0,4

B

A

h2(x) = 0h1(x)=0

x2

x1

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

h x x1 12

22 0 25 0( ) ,x

h x x2 1 2 1 0( )x Solução irrestrita: ASolução restrita: impossível( restrições incompatíveis)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

3.4 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : B

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x21.0

0,80,6

0,4

B

A

x1

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

1.0

0,80,6

0,4

B

A

g x x1 12

22 0 25 0( ) ,x = + -

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g (x)2

g (x)1

B

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita : ASolução restrita : B

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g (x)1

g (x)2C

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : C

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g (x)1

g (x) 2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x2 12

22 4 0( )x

g x x1 12

22 1 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução irrestrita: ASolução restrita : A

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

0,40,6

0,8

1,0A

g (x)1

g (x)2

f x x x x( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1 1 1 112

1 2 22

g x x1 12

22 1 0( )x

g x x2 12

22 4 0( )x

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0

Solução impossívelRestrições incompatíveis


3.2 Critério


3.4 Restrições



3.5 Região Viável

3.5 Região Viável

h(x) = 0

g(x) 0

x1

x2

x3

Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)

Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.

Max f(x)s.a.: h(x) = 0 g(x) 0

Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

Região ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na região.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

g (x)1

g (x)2

g (x) 3

A

B

g x x1 12 2

222 2 4 0( ) ( ) ( )x

g x x x2 12

22 4 0( )

g (x) (x 2) x 4 03 12 2

3.5 Região Viável Convexidade

A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização

Região Não - ConvexaA reta que une A e B não

permanece contida na região

g (x) x x 4 01 12

22

2 1 2g (x) x (x 2) 4 02 2= + - -

g x x x3 12

221 1 0( ) ( )

0,0 0,5 1,0 1,5 2,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x2

x1

g (x)1

g (x)2

g (x)3

B

A

É o maior desafio da otimização

A não-convexidade não garante a convergência dos métodos de otimização

3.5 Região Viável Convexidade

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

Restrições podem ser lineares:x1 – 0,02 0x2 – x1 0



4. Localização da Solução Ótima

Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.

Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

Localização de valores extremos na faixa x1 x x2

0 5 10 15 20

1

2

3

4

5

x

f(x)

m

m

M

M

M

x1 x2



(a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis(b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos

5. PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podemser classificados:

(a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.

Os métodos de resolução podem ser classificados:



ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

W kg B/h

Q = 10.000 kgA/h

rafinado

y kg AB/kg B

xo= 0,02 kg AB/kg A

extrato

x kgB/kgA

Modelo Matemático:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)

Balanço de Informação: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimização)

Avaliação Econômica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

6. MÉTODO ANALÍTICO 6.1 Problemas univariáveis

Exemplo: dimensionamento do extrator

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

Sequência de Cálculo

Restrições de Igualdade !!!

x y W

1 * * *2 * *

x y W

1 x x o2 x o

Equações ordenadas

Variável de Projeto : x

Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadasà Função Objetivo

(viável em problemas simples)

Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W

x 2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y

L = pAB W y - pB Wy, W

LL = a - b x - c/x

x L

a = Q (pAB xo + pB / k) = 105

b = pAB Q = 4.000

c = pB Q xo / k = 0,5

0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,0220

10

20

30

40

50

60

L,R,C$/a

x kgAB/kg A

L

C

R

xo =0, 01118

Lo = 15,6

Busca do ponto estacionário:

yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/h

Solução completa do problema:

L = a - b x - c/x

x b

dL

dxb

cx

co= - + = = =2

0 0 01118,



1 2

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

W1

kgB/hW2

kgB/h

y1

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

x1

x2

kgAB/kgAkgAB/kgA

6. MÉTODO ANALÍTICO 6.2 Problemas multivariáveis

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

Modelo Matemático1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 * * *2 * * 3 * * * *4 * *

W1 x1 y1 W2 x2 y2 1 o x x2 x o 3 x o x x4 x o

Equações Ordenadas2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

Ordenação

Variáveis de Projeto: x1 e x2

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L

Buscando o ponto estacionário:

Solução completa:y1

o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h

y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2

o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h

L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2

L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0

L/x2 = - c + dx1/x22 = 0

x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357

x2o = (d/b) x1

2 = 0,00921

L = R – CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)

2. y1 = k x1

4. y2 = k x2

3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2

1. W1 = Q (xo - x1)/ y1

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

L

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

ALERTA!

1 2

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.184 kgB/h

W2 = 1.184 kgB/h

x1 = 0,01357 kgAB/kgA

x2 = 0,00921 kgAB/kgA

y1 = 0,05428 kgAB/kgA y2 = 0,03824 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

DIMENSIONAMENTO ÓTIMO

Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima

Resultado pelo Método Analítico: x1 e x2 manipuladas simultaneamente

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

19,5

0,01357

0,00921

Solução Ótima no Plano Fase

Modelo Físico1. Q* (xo

* - x1 *) - W1 y1 = 0

2. y1 - k x1 * = 0

3. Q * (x1 * - x2

*) - W2 y2 = 04. y2 - k x2

* = 0

Balanço de InformaçãoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única)

DIMENSIONAMENTO COM G = 0

Q* = 10.000 kgA/hxo

*= 0,02 kg AB/kg A

rafinado

x1 * = 0,015 kgAB/kgA

W1 kg B/h ?


W1 kg B/h

Q * = 10.000 kgA/h


W2 kg B/h

Q * = 10.000 kgA/hx2

* = 0,008 kgAB/kg A

W2 kg B/h ?

rafinado1 2

alimentação

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2

* = 0,008

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

17,8

19,5

OTIMIZAÇÃO SEQUENCIAL

Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis:

(a) otimizar o primeiro estágio x1o

(b) utilizar o valor ótimo x1o na otimização do segundo estágio.

Vejamos o resultado...

1Q*

xo* x

1

W1

W1y1

L p Q x x

p Q x x

kx

L a b xc

x

a Q p xp

k

b p Q

cp Q x

k

xc

b

L a

ab ob o

ab ob

ab

b o

o

o

1 11

1

1 1 1 11

1

1

1

1

11

1

1

105

4.000

05

00111803

1556

* ** *

* *

*

* *

( )

.

,

,

, $/

Q*

x* x

W

Wy

2

2

22

2

1

L p Q x x

p Q x x

kx

L a b xc

x

a Q p xp

k

b p Q

cp Q x

k

xc

b

L a

abb

abb

ab

b

o

o

2 1 21 2

2

2 2 2 22

2

2 1

2

21

22

2

2

6972

4000

02795

0008359

284

* ** *

* *

*

* *

( ) ,

.

,

,

, $/Solução ótima do Estágio 1 Solução ótima do Estágio 2

imposição!

x1 = 0,01118 kgAB/kgA

x2 = 0,008359 kgAB/kgA

1 2

Q = 10.000 kgA/h

xo = 0,02 kgAB/kgA

W1 = 1.972 kgB/h W2 = 843 kgB/h

y1 = 0,04472 kgAB/kgA y2 = 0,03344 kgAB/kgA

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

O segundo estágio foi otimizado para x1 = 0,01118

Resultando:

02,04,0

6,08,0

10

12

1416

18

0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,0350,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

X2

X1

A busca de x2o ficou restrita a x1 – 0,01118 = 0

Obviamente, não é a solução ótima

Comparando as duas soluções...

Solução Seqüencial

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815Lucro $/a 15,56 2,84 18,40

Solução Simultânea

Estágio 1 2 Total

Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368Lucro $/a 13,87 5,61 19,48

A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que

consome menos solvente mas recupera menos soluto.

EXERCÍCIOS

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EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA 27 de agosto de 2013 Tópicos 1 a 6