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ALGORITMOS NA ENGENHARIA DE PROCESSOS (EQE 489)
MÉTODO DA BISSEÇÃO
x
ALGORITMO
SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs
f(x)
x
xi
fi
xs
fs
x
f
xs
fs
xi
fi
x
f
f(x)
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f
Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xiCalcular fs em xs
REPETIRx = (xi + xs)/2
Calcular f em x
Senão atualizar : xs = x : fs = f
ATÉ xs - xi
x fBISS
f (x)
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
xi fi x f xs fs
0,00005 -11,51 1 2 1
0,00005 -11,51
0,5 0,307
0,5 0,307
0,375 -0,231
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5
0,25
0,125
0,0625
f = x1 x2* + ln x1
x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1: = 0,1
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f
Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
REPETIR
x = (xi + xs)/2Calcular f em x
Senão atualizar : xs = x : fs = f
ATÉ xs - xi
EFICIÊNCIA DO MÉTODO
Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo
Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo
Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então:
Nt = Nm + 2
Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
xi fi x f xs fs
0,00005 -11,51 1 2 1
0,00005 -11,51
0,5 0,307
0,5 0,307
0,375 -0,231
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5
0,25
0,125
0,0625
= 0,5Nm
ln = Nm ln 0,5
Nt = 2 + ln / ln 0,5
10% : = 0,1 N = 5,3 Nt = 6
1% : = 0,01 N = 8,6 Nt = 9
Nt = 2 – 1,4 ln
MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA
Um método típicoMétodo da Substituição Direta
Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente:
f(xi ) = 0 xi = F(xi)
Exemplo
x1 = e - x1
x2
*
x1 = - (1/ x2*) ln x1
F(x1)
F(x1)
x1 x2* + ln x1 = 0
f(x1)
f(xi ) = 0 xi = F(xi)
F(x)
x
A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .
0,2
0,2
(x2* = 2 : x1 inicial = 0,5)
F(x1) = e - x1
x2
*
Solução: x = 0,4263
x1
x3
x2
F(x)
x
x F 0,5 0,367 0,2640,367 0,479 0,302
0,479 0,383 0,199
0,383 0,464 0,210
0,464 0,395 0,149
ALGORITMO
Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)
Estabelecer xinicial, (tolerância)
REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergir
xsolução = F
F = xinicial
Como dar a partida ?
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações
Enquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo.(c) remover a variável (X na vertical).
Enquanto houver variáveis de frequência unitária
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação (X na horizontal).Se ainda houver equações (ciclo!)
(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação (X na horizontal).
SIMULAÇÃO DE PROCESSOS COMPLEXOS
Processos Complexos
1 2 3 4 5 6 7 81* 2
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
143
Abrir C3
REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)
REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)
ATÉ Convergir C8
Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)
ATÉ Convergir C3
Abrir C8
Corrente 1: única conhecida
ALGORITMO DA SEÇÃO ÁUREA
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREAIniciarRepetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto
ConvergiuDelta Tolerância
ALGORITMO DE HOOKE & JEEVES
ALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma BaseRepetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão (proximidade do ótimo):
Senão: reduzir os incrementos
Se Chegou ao ÓtimoEntão: Finalizar
MÉTODO HEURÍSTICO PARA SÍNTESE DE REDES DE TROCADORES DE CALOR
CRITÉRIO RPS PARA A SELAÇÃO DAS CORRENTES
ALGORITMO
Se TEQ* - TSF < DTmin então limitar TSF = TEQ* - DTmin
Fixar TEQ* = To(Q) e TEF* = To(F); Metas provisórias (temperaturas de destino) : TSQ = Td(Q) e TSF = Td(F)
Selecionar um par de correntes (QMTO x FMTO ou QmTO x FmTO)
TEQ*
TEF* TSF = TEQ* - 10
TSQ?
Se TSQ - TEF* < DTmin então limitar TSQ = TEF* + DTminTEQ*
TEF* TSF
TSQ = TEF* + 10
TEQ* = ToQ
TEF*=ToF TSF = TdF ?
TSQ = TdQ?
Enquanto houver trocas viáveis, ou seja: To(Q) > To(F)
Se Q = Oferta então confirmar TSQ e calcular TSF.
Calcular Oferta e Demanda
TEQ*
TEF* TSF
TSQ calcular
TEQ*
TEF* TSF calcular
TSQ
Se Q = Demanda, então confirmar TSF e calcular TSQ.
Adotar a troca máxima: Q = Min (Oferta, Demanda).
TEQ*
TEF* TSF = TEQ* - 10
TSQ?
TEQ*
TEF* TSF
TSQ = TEF* + 10
Atualizar a Tabela
Com as metas ajustadas