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MSc. Eng Rodrigo Mota Amarante
1o. Semestre de 2011
PNV-2300: Introdução à Engenharia Naval
Otimização
A otimização refere-se ao estudo de
problemas nos quais o objetivo é
maximizar ou minimizar uma função,
sujeita a restrições, através da escolha
sistemática dos valores de variáveis reais
ou inteiras.
Otimizar é o mesmo que melhorar. No
ideal, melhorar necessariamente até o
máximo.
Otimização: Conceitos
Objetivos
• Objetivo Critério de Sucesso
• Atender/satisfazer os requisitos do armador, com o menor custo possível
• Satisfazer requisitos regulatórios
– Desempenho
– Qualidade
– Fatores Humanos
– Custo
– Segurança
– Ambiente de Operação
– Interface com outros Sistemas
– Segurança
– Logística
– Confiabilidade
– Efeito nas Cercanias
– Viabilidade de Manutenção
– Facilidade de Conserto
– Estética
– ...
• Todo projeto possui limitações ou restrições, pois os recursos nunca são infinitos.
• Restrições são aplicadas a todo o projeto de navio, tanto ao processo de desenvolvimento como ao produto.
• Representam limitações e fronteiras para as soluções de projeto.▫ Orçamento
▫ Tempo
▫ Pessoal
▫ Leis
▫ Propriedades de Materiais e disponibilidade
▫ Viabilidade de Fabricação
Restrições
Restrições Restrições
FísicasFísicasEx. calado de portos
Restrições ao Restrições ao
ProcessoProcessoEx. disponibilidade de software
Restrições Restrições
AmbientaisAmbientaisEx. 1990 obrigatoriedade de casco duplo
Espiral de Andrews
Restrições
Projeto convencional x Projeto ótimo
Adquirir informações
para descrever o
sistema
Estimativa do projeto
inicial
Análise
Verificação do
desempenho
É satisfatório?
Modificar o projeto
baseado na
experiência/heurística
Projeto Concluídosim
não
Adquirir informações
para descrever o
sistema
Estimativa do projeto
inicial
Análise
Verificação das
restrições
É satisfatório? Projeto Concluído
Modificar o projeto
usando um modelo de
otimização
Identificar:
1. Variáveis de Projeto
2. Funções de Custo
3. Restrições
sim
não
PR
OJ
ET
O C
ON
VE
NC
ION
AL
PR
OJ
ET
O Ó
TIM
O
Processo de Projeto
OBJETIVOS
De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se
fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha.
Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que
a calha tenha capacidade máxima?
• Folha tem largura L
• Borda tem comprimento x
• Volume V ocupado por uma calha é
V = L*(30-2x)*x
• A função (30-2x)*x = f(x) tem
máximo em x = 7,5
• Para x = 7,5 , Volume V é máximo
• Para x = 7,5 , o sistema é ótimo
Exemplo de Problema de Otimização
Introdução à Otimização
PROJETO CONVENCIONAL
L
h
b
• Viga Prismática
• Seção Retangular
• Material Madeira
• Engastada
Introdução à Otimização
PROJETO CONVENCIONAL
L
Introdução à Otimização
PROJETO CONVENCIONAL
L
• A viga existe?
• Posso comprá-la?
PROJETO CONCLUIDO
Introdução à Otimização
PROJETO ÓTIMO• Posso sustentar mais massa ?
• A estrutura pode ser mais
leve?
• A estrutura pode ser mais
barata?
L
Introdução à Otimização
PROJETO ÓTIMO• Viga “I”, “H”, caixa...?
• Viga não-prismática?
• Outros materiais?
• Estrutura treliçada?
Quantas barras?
Qual a configuração?
L
Definições: Variáveis de projeto
• São as variáveis que descrevem o sistema;
• Ao modificá-las independentemente, novas
soluções são obtidas;
• As variáveis de projeto devem ser independentes
entre si (o máximo possível / muitas vezes a
capacidade de análise do projetista não permite
identificar inter-relações).
Definições: Funções de custo
• São também chamadas de funções-objetivo;
• São expressões matemáticas que traduzem o
critério de desempenho do sistema;
• A função de custo deve depender das variáveis
de projeto;
• Projetos podem possuir mais de uma função de
custo, e nesse caso, o problema é chamado
problema de otimização multi-objetivo
Definições: Restrições de projeto
• As restrições de projeto definem fronteiras ao
espaço de soluções possíveis;
• Há restrições explícitas e implícitas
– Explícitas estabelecem, por exemplo, os limites
máximos e mínimos das variáveis de projeto;
– Implícitas limitam parâmetros do desempenho do
projeto e por isso são difíceis de serem modeladas
nas etapas iniciais da formulação do problema;
• As restrições podem ser ainda de igualdade ou
de desigualdade.
Definições: Restrições de projeto
x2
x1
x1=x2
x2
x1
x1=x2
x1≤ x2
Região
Viável
igualdade desigualdade
Forma padrão do modelo de otimização
SOLUÇÕES POSSÍVEIS
OBJETIVO
RESTRIÇÕES
Forma Canônica
Exemplo de Problema
Dados do Problema
Linha de Montagem 1 Linha de Montagem 2
Limite de uso: 100h/semana Limite de uso: 42h/semana Lucro Unitário
pára-quedas 10 horas por unidade 3 horas por unidade R$ 60,00
asa-deltas 10 horas por unidade 7 horas por unidade R$ 40,00
OBJETIVO: Programação de produção que maximize o lucro.
• Horizonte de tempo: 1 semana;
• Tempos idênticos na linha de montagem 1;
• Linha de montagem 1: 10 unidades (pára-quedas + asa-deltas);
• Linha de montagem 2: 14 pára-quedas OU 6 asa-deltas;
• Pára-quedas: menos tempo na linha de montagem 2 e maior lucro;
• Opção ótima: confecção de 10 pára-quedas;
• Lucro máximo: R$ 600,00
Solução “óbvia”
Possíveis soluções para o problema (guessing)
X1 X2 Restr. 1 Restr. 2 Restr. 3 Restr. 4 F(X)0 0 ok ok ok ok 0
1 1 ok ok ok ok 100
3 4 ok ok ok ok 340
4 3 ok ok ok ok 360
10 0 ok ok ok ok 600
0 10 ok falha ok ok -
5 2 ok ok ok ok 380
2 5 ok ok ok ok 320
3 6 ok falha ok ok -
6 3 ok ok ok ok 480
4 4 ok ok ok ok 400
5 5 ok falha ok ok -
14 2 falha falha ok ok -
14 0 falha ok ok ok -
0 11 falha falha ok ok -
-1 5 ok ok falha ok -
1 2 ok ok ok ok 140
2 2 ok ok ok ok 200
2 1 ok ok ok ok 160
3 1 ok ok ok ok 220
3 2 ok ok ok ok 260
3 3 ok ok ok ok 300
2 3 ok ok ok ok 240
1 3 ok ok ok ok 180
9 1 ok ok ok ok 580
9 2 falha ok ok ok -
8 1 ok ok ok ok 520
8 2 ok ok ok ok 560
7 3 ok ok ok ok 540
7 4 falha falha ok ok -
Formulação padrão do problema
Variáveis de decisão:
• X1: quantidade de pára-quedas a serem produzidos
• X2: quantidade de asa-deltas a serem produzidos
Função-objetivo:
• Maximizar F(X) = 60. X1 + 40. X2
Restrições:
• 10.X1 + 10.X2 ≤ 100
• 3.X1 + 7.X2 ≤ 42
• X1, X2 ≥ 0
Solução gráfica do problema
2 4 6 8 10 12 14 16
Soluções
Viáveis
X1
X2
8
10
6
4
2
Restrições
Solução gráfica do problema
2 4 6 8 10 12 14 16
Soluções
Viáveis
X1
X2
8
10
6
4
2
Restrições
Função objetivo F(X)
Solução gráfica do problema
2 4 6 8 10 12 14 16
Soluções
Viáveis
X1
X2
8
10
6
4
2
Restrições
Função objetivo F(X)
Solução gráfica do problema
2 4 6 8 10 12 14 16
Soluções
Viáveis
X1
X2
8
10
6
4
2
Restrições
Função objetivo F(X)
Máx F(X)
X1 = 10
X2 = 0
Solução usando o “solver” do Excel®
Função-objetivo:
• Maximizar F(X) = 60. X1 + 40. X2
Restrições:
• 10.X1 + 10.X2 ≤ 100
• 3.X1 + 7.X2 ≤ 42
• X1, X2 ≥ 0
Variáveis de decisão:
• X1: quantidade de pára-quedas a serem produzidos
• X2: quantidade de asa-deltas a serem produzidos
Solução usando o “solver” do Excel®
Função-objetivo:
• Maximizar F(X) = 60. X1 + 40. X2
Restrições:
• 10.X1 + 10.X2 ≤ 100
• 3.X1 + 7.X2 ≤ 42
• X1, X2 ≥ 0
X1 X2 total sinal b
Restrição 1 10 10 0 <= 100
Restrição 2 3 7 0 <= 42
F(X) 60 40 0
Solução
Solução usando o “solver” do Excel®
X1 X2 total sinal b
Restrição 1 10 10 0 <= 100
Restrição 2 3 7 0 <= 42
F(X) 60 40 0
Solução
Solução usando o “solver” do Excel®
X1 X2 total sinal b
Restrição 1 10 10 0 <= 100
Restrição 2 3 7 0 <= 42
F(X) 60 40 0
Solução
• Selecionar a célula F(x) total, que se quer maximizar
Solução usando o “solver” do Excel®
X1 X2 total sinal b
Restrição 1 10 10 0 <= 100
Restrição 2 3 7 0 <= 42
F(X) 60 40 0
Solução
• Selecionar a célula F(x) total, que se quer maximizar
• No Excel 2007, clique em Dados >> (Análise) Solver
• No Excel 2003, Ferramentas >> Solver >> Parâmetros do Solver
Solução usando o “solver” do Excel®
X1 X2 total sinal b
Restrição 1 10 10 0 <= 100
Restrição 2 3 7 0 <= 42
F(X) 60 40 0
Solução
• Em qualquer dos casos...
Solução usando o “solver” do Excel®
X1 X2 total sinal b
Restrição 1 10 10 0 <= 100
Restrição 2 3 7 0 <= 42
F(X) 60 40 0
Solução
• Em qualquer dos casos...
Solução usando o “solver” do Excel®
X1 X2 total sinal b
Restrição 1 10 10 0 <= 100
Restrição 2 3 7 0 <= 42
F(X) 60 40 0
Solução
• Em qualquer dos casos...
Solução usando o “solver” do Excel®
Solução usando o “solver” do Excel®
• A CEARS – Cia. De Estoques Agrícolas do Estado do Rio Grande
do Sul, está avaliando uma série de localidades no estado do Rio
Grande do Sul para construir três novos armazéns agrícolas. A
empresa já possui uma série de armazéns, mas está precisando
expandir sua capacidade devido ao crescimento expressivo das
atividades agrícolas em sua região de atuação. Os armazéns a
serem construidos serão graneleiros e poderão ser utilizados para
estocar uma série de produtos a granel, como soja e milho.
• Podemos classificar este problema como um de “P-medianas”:
envolve a localização de p facilidades e a designação de clientes
a facilidades, minimizando o custo/distância total de designação
Problema 2: Localização de Armazéns da “CEARS”
Localizações e Informações
• As 5 cidades escolhidas como
possiveis armazéns são marcadas
no mapa com a letra C;
• As 5 cidades clientes foram
marcadas com um X;
• Demandas e capacidades
referentes a um ano;
• Os custos logísticos referem-se a
uma tonelada de produto;
• A CEARS está interessada em
construir apenas 3 armazéns, com
custo total de construção e
logístico seja mínimo.
Demais Informações
Função-Objetivo e Restrições
• Levar-se-ão em conta dois custos:
(1) o de construção do armazém escolhido;
(2) o de logística.
• Como o armazém j pode encaminhar seus produtos para qualquer cliente i, chamamos de Yij a quatidade de produtos enviadas de j para i.
(i = 1, 2, 3, 4, 5)
• Consideramos a variável Xj como a presença do armazém na localidade j, ou seja, ela será uma variável binária:
(j = 1, 2, 3, 4, 5)
1
Xj =
0
Função-Objetivo e Restrições
• A função-objetivo é o custo total Z , que deverá ser minimizado
Z = 7000*X1 + 5000*X2 + 9000*X3 + 6000*X4 + 4000*X5
+
2,1*Y11 + 6,3*Y21 + 7,8*Y31 + 6,3*Y41 + 7,5*Y51
+
5,7*Y12 + 2,7*Y22 + 4,5*Y32 + 4,5*Y42 + 3,78*Y52
+
5,4*Y13 + 5,58*Y23 + 4,38*Y33 + 2,88*Y43 + 4,8*Y53
+
10,2*Y14 + 6,54*Y24 + 1,14*Y34 + 2,4*Y44 + 3*Y54
+
5,58*Y15 + 7,86*Y25 + 6*Y35 + 3,48*Y45 + 6,84*Y55
Função-Objetivo e Restrições
• Sabemos que as quantidade enviadas dos armazéns não podem exceder
as capacidades dos armazéns:
Y11 + Y21 + Y31 + Y41 + Y51 <= 600*X1 (Capacidade do armazém 1)
Y12 + Y22 + Y32 + Y42 + Y52 <= 750*X2 (Capacidade do armazém 2)
Y13 + Y23 + Y33 + Y43 + Y53 <= 350*X3 (Capacidade do armazém 3)
Y14 + Y24 + Y34 + Y44 + Y54 <= 450*X4 (Capacidade do armazém 4)
Y15 + Y25 + Y35 + Y45 + Y55 <= 400*X5 (Capacidade do armazém 5)
Função-Objetivo e Restrições
• As demandas também estão restritas, sendo atendidas pelos envios
conforme as inequações:
Y11 + Y12 + Y13 + Y14 + Y15 = 150 (demanda de Uruguaiana )
Y21 + Y22 + Y23 + Y24 + Y25 = 450 (demanda de Pelotas )
Y31 + Y32 + Y33 + Y34 + Y35 = 300 (demanda de Caxias do Sul )
Y41 + Y42 + Y43 + Y44 + Y45 = 250 (demanda de Passo Fundo )
Y51 + Y52 + Y53 + Y54 + Y55 = 500 (demanda de Porto Alegre )
Função-Objetivo e Restrições
• O último grupo de restrições estabelece que apenas 3 armazéns devem ser
abertos, ou seja:
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 3
• As variáveis Xj são binárias (ou seja, só assumem os valores 0 ou 1)
Solução usando o “solver” do Excel®
Análise da Solução
• As fábricas 1, 2 e 5 devem ser abertas, pois:
X1 = 1 , X2 = 2 , X3 = 0 , X4 = 0 , X5 = 1
• Valores tranferidos dos armazéns 1, 2 e 5 para as cinco cidades
clientes:
Y11 = 150 , Y22 = 450 , Y32 = 200 , Y35 = 100 ,
Y45 = 250 , Y51 = 450 , Y55 = 50
• O função-objetivo minimizada Custo Total também é calculada:
função-objetivo = 22729,00.