Enciklopedija Matematickih Konstanti Za Sajt

Enciklopedija matematikih konstantiDuko Leti Nenad Caki Branko Davidovi

Izdava:


Vojvode Stepe 34, Beograd Tel: 011/3096-966 e-mail: [email protected] internet: www.kombib.rs Urednik: Mihailo J. olaji Za izdavaa, direktor: Mihailo J. olaji Autor: Dr Duko Leti, Dr Nenad Caki, Dr Branko Davidovi Recezenti: Prof. dr Dobrilo Toi, ETF, Beograd. Akademik, prof. dr Gradimir Milovanovi, SANU. Akademik, prof. dr Teodor Atanackovi, SANU. Lektura: Mr Sran erer Korice: Zvonko Aleksi Ilustracije za korice: Duko Leti Znak Kompjuter biblioteke: Milo Milosavljevi tampa i CTP ploe: Svetlost aak Tira: 500 Godina izdanja: 2011. Broj knjige: 464 Izdanje: Prvo ISBN: 978-86-7310-484-3

Tekst, autorska prava, Copyright 2011. autor i izdava. Sva prava zadrana. Nije dozvoljeno reprodukovati, snimati, ni emitovati ni jedan deo ove knjige, bilo kojim sredstvom: elektronskim, optoelektronskim, mehanikim, ili elektronsko-mehanikim, ukljuujui fotokopiranje, snimanje i skeniranje, ili na bilo koji drugi nain, bez pisane dozvole autora i izdavaa. Informacije u knjizi nisu pod zatitom patenta. Autori su se trudili da u knjizi ne bude greaka i da podaci i informacije budu tani. S obzirom da sve podatke i informacije nisu mogli proveriti, ne mogu preuzeti odgovornost za njih, kao ni za bilo kakve eventualne posledice njihove zloupotrebe.

Ilustracije na prednjoj korici: Archimedes (287-322 p.n.e), Leonhard Euler (1707-1783), Carkl Friedrich Gauss (1777-1855), Srinivasa Ramanujan (1887-1920)

CIP - , , , 1959Enciklopedija matematikih konstanti / Duko Leti, Nenad Caki, Branko Davidovi. - 1. izd. - Beograd: Kompjuter biblioteka, 2011 (aak :Svetlost). - IV, 353 str.: ilustr.; 24 cm. - (Kompjuter biblioteka; knj. br. 464) Tira 500. - Bibliografija: str. 343-348. - Registar. ISBN 978-86-7310-484-3 1. , 1961. - [] 2. , 1947 [] ) - COBISS.SR-ID 185699084

Enciklopedija matematikih konstanti

v

__________________________________________________________________________________________________________

PredgovorSmatra se da su matematiari u 16. veku znali manje nego grki matematiari u vreme Arhimeda. Danas, vode ove egzaktne discipline toliko su narasle da najbolji matematiari mogu znati samo 5% itavog korpusa znanja iz ove nauke. injenica je da se svake godine objavljuje vie stotina hiljada matematikih teorema. Kao posledica, u jednom malom segmentu sagledavanja tog horizonta, javljaju se mnoge matematike konstante. Iako prosean ovek zna za nekoliko njih, u novijim studijama broj konstanti premauje nekoliko stotina Mnogim matematiarima bi svakako bio vrlo zanimljiv posao kada bi pisali knjigu ili neku drugu studiju o njima. Danas im stoji obilje materijala na raspolaganju. Na prvom mestu to je, svakako, Finchova knjiga-enciklopedija Mathematical Constants, sa univerziteta u Kembridu. Ovo je jedna od najboljih referenci iz ove oblasti. Tu je i nezaobilazna knjiga Kliforda Pikoverija Strast za matematikom (prevedena kod nas). U knjizi svetskog autora iz istorije matematike Dirka Strojka Kratak pregled istorije matematike mogu se takoe pronai znaajni podaci o nastanku fundamentalnih matematikih konstanti, koje najpre potiu od Ojlera. Takoe su tu i nepresuni izvora sa interneta. Ti izvori se uglavnom odnose na veb-sajtove koji pruaju obilje matematikih informacija, a najzanimljiviji su svakako PTS (Mathcad.com), Wikipedia, the Free Encyclopedia (wikipedia.com), Ask Dr. Math (mathforum.org/dr.math/) i nezaobilazni MathWorld (mathworld.wolfram.com). Serija domaih izdanja je takoe bila vrlo inspirativna, a odnosi se na istorijske komponente matematike i teorije brojeva, koje su domai autori objavili. Izdvojimo tu: Razvoj matematike, Ernesta Stipania. Matematiki vremeplov, autora Petkovia M i Petkovi Lj. Pregled istorije i filozofije matematike, autora Boi, M. Brzina kojom kompjuter moe da izrauna matematiku konstantu jeste zanimljiva mera sposobnosti kompjutera i mogunosti raunanja. Danas se matematike konstante raunaju sa velikim brojem cifara, zahvaljujui brzim kompjuterima, boljim algoritmima i boljem razumevanju kako da matematiki upravljamo velikim brojevima koji imaju preko milijardu cifara. Knjiga je najpre namenjena studentima matematike kao i mnogim zaljubljenicima ove discipline. Njen karakter je obrazovni i aplikativni. Veina matematikih konstanti iznetih u knjizi se mogu veoma brzo generisati kompjuterskim algoritmima koji su ugraeni u raznim programskim paketima. U ovom sluaju korien je programski paket Mathcad ija je sintaksa skoro podudarna sa nainom pisanja, kako to rade matematiari. U knjizi e se koristiti dvostruka notacija za pisanje formula, i to: Originalna sintaksa, sa Arial fontom koji je izabran u Mathcad-u. Na osnovu World-ovog editora, preteno fontom Times New Roman. Pored toga, spisak uzornih referenci (bibliografija) koje se citiraju u knjizi, nalazi se na kraju knjige, dok se u odeljcima pojedinih konstanti daju samo Veb sajtovi koji omoguuju korisniku brzu pretragu o dodatnim informacijama o konstantama Autori se ovom prilikom veoma zahvaljuju recenzentima knjige, Prof. dr Dobrilu Toiu sa Elektrotehnikog fakulteta u Beogradu, Akademiku, prof. dr Gradimiru Milovanoviu i Akademiku, prof. dr Teodoru Atanackoviu iz Srpske akademije nauka i umetnosti. Autori


i

__________________________________________________________________________________________________________

Sadraj Predgovor

Str.

1.0 UNIVERZUM BROJEVA.............................................................................................. 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Pojam broja ..................................................................................................................... 1 Brojevi i matematike konstante ............................................................................... 1 Neke kategorije brojeva ............................................................................................... 2 Hipoteza o kontinuumu brojeva ................................................................................. 4 Pregled nekih matematikih konstanti ..................................................................... 6 Matematiki algoritmi .................................................................................................. 8 Paradigma prostih brojeva ........................................................................................... 8

2.0 MATEMATIKE KONSTANTE ............................................................................. 15 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 Euler-ova matematika ................................................................................................. 15 Matematike konstante: 0, 1, -1 ............................................................................. 16 Alladi-Grinstead-ova konstanta ag ............................................................................. 19 Apry-jeva konstanta (3) ............................................................................................. 20 Archimedes-ova konstanta ........................................................................................ 31 Artin-ova konstanta a0 ................................................................................................... 69 Backhous-ova konstanta B ............................................................................................ 71 Baxter-ova konstanta C2 ............................................................................................... 76 Beraha-ova konstanta b .................................................................................................. 77 Bernstein-ova konstanta ............................................................................................. 78 Bloch-ova konstanta bc .................................................................................................. 79 Brun-ova konstanta B2 ................................................................................................... 81 Cahen-ova konstanta i Silvester-ov redosled an ...................................................... 84 Carefree konstanta K1, K2 ........................................................................................... 86 Carlson-Levi-eva konstanta cl ..................................................................................... 87 Catalan-ova konstanta G ................................................................................................ 88 Champernown-ov broj C ........................................................................................... 103 Champernown-ova konstanta Cb .............................................................................. 104 Copeland-Erds-ova konstanta KE ........................................................................... 105 Delian-ova konstanta d2 .............................................................................................. 106 Konstanta dvanaesti koren iz dva d .......................................................................... 107 Erds-Borwein-ova konstanta EB ............................................................................. 108 Euler-ova konstanta e ................................................................................................... 109 Euler-Mascheroni-jeva konstanta .......................................................................... 122

ii

Ekspozicije u Mathcad-u

__________________________________________________________________________________________________________

2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31 2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47 2.48 2.49 2.50 2.51 2.52 2.53 2.54 2.55 2.56 2.57 2.58 2.59 2.60 2.61 2.62 2.63 2.64 2.65

Favard-ova konstanta Kn ............................................................................................. 138 Faigenbaum-ove konstante i .............................................................................. 140 Feller-ove konstante k i k ........................................................................................ 142 Feller-Tornier-ova konstanta ft ................................................................................. 143 Flajolet-Odlyzko-ova konstanta fo .......................................................................... 144 Fios-ova konstanta .................................................................................................... 146 Fransn-Robinson-ova konstanta F .......................................................................... 148 Freiman-ova konstanta fr ........................................................................................... 151 Gauss-ova konstanta lemniskate S ............................................................................... 152 Gelfond-ova konstanta e ............................................................................................. 157 Gelfond-Schneider-ova konstanta 22 ...................................................................... 160 Gieseking-ova konstanta ge ........................................................................................ 163 Glaisher-Kinkeli-ova konstanta A ............................................................................. 165 Goh-Schmuts-ova konstanta gs ................................................................................. 166 Konstanta zlatnog odnosa ....................................................................................... 169 Golomb Dickman-ova konstanta GD ........................................................................ 177 Gompertz-ijeva konstanta g ......................................................................................... 178 Hafner-Sarnak-McCurley-ova konstanta H ............................................................ 179 Hall-Montgomery-ova konstanta 0 ......................................................................... 182 Heath-Brown-Moroz-ova konstanta h ...................................................................... 183 Heksagonalna entropijska konstanta Kh ................................................................. 185 Heptanacci konstanta h7 ............................................................................................. 187 Hexanacci konstanta h6 ............................................................................................... 189 Konstanta Jedan-devet ............................................................................................ 191 Kac-ova konstanta c1 ................................................................................................... 194 Karpekar-ova konstanta-broj 6174 ............................................................................ 195 Kepler-Bowkamp-ova konstanta KB ...................................................................... 198 Khinchin-ova konstanta Kh ........................................................................................ 199 Komornik-Loreti-eva konstanta q0 ........................................................................... 203 Konstanta Koren iz pet 5 ......................................................................................... 205 Konstanta kvadratnih brojeva qc .............................................................................. 206 Landau-Ramanujan-ova konstanta Lr ...................................................................... 208 Laplace-ova konstanta 0 ............................................................................................ 211 Leb-ova kvadratna konstanta ..................................................................................... 212 Lebesque-va konstanta c ............................................................................................. 213 Legendre-ova konstanta Bn ........................................................................................ 215 Lengyel-ova konstanta ............................................................................................ 217 Levy-eva konstanta Lv ................................................................................................. 219 Liouvlle-ova konstanta L ............................................................................................. 220 Logaritam ln(10) ........................................................................................................ 222 Logaritam od dva ln2 ............................................................................................... 224


iii

__________________________________________________________________________________________________________

2.66 2.67 2.68 2.69 2.70 2.71 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 2.77 2.78 2.79 2.80 2.81 2.82 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87 2.88 2.89 2.90 2.91 2.92 2.93 2.94 2.95 2.96 2.97 2.98 2.99 2.100 2.101 2.102 2.103 2.104 2.105 2.106

Modelung-ova konstanta M3 ....................................................................................... 227 Mertens-ova konstanta mo .......................................................................................... 229 Mills-ova konstanta Am ............................................................................................... 235 Murata-ova konstanta CM ............................................................................................ 236 Nielsen-Ramanujan-ova konstanta ak ...................................................................... 237 Niven-ova konstanta cn ............................................................................................... 239 Norton-ova konstanta n ............................................................................................... 241 Omega konstanta ..................................................................................................... 242 Paper-Folding-ova konstanta pf ................................................................................. 244 Konstanta parabole P2 ................................................................................................ 245 Pell-ovi brojevi Pn i konstanta srebrni odnos ...................................................... 247 Pell-ova konstanta p ..................................................................................................... 255 Pentanacci konstanta p5 ............................................................................................. 256 Plastini broj ............................................................................................................ 258 Plouffe-ova konstanta U .............................................................................................. 260 Plya-ova konstanta Po ............................................................................................... 261 Porter-ova konstanta P ................................................................................................. 263 Prouhet-Thue-Morse-ova konstanta ..................................................................... 264 Pytagoras-ova konstanta 2 ........................................................................................ 265 Rabbit-ova konstanta R ................................................................................................ 271 Iz Ramanujan-ovog notesa ....................................................................................... 272 Ramanujan-Soldner-ova konstanta ....................................................................... 280 Reciprona Fibonacci-jeva konstanta ................................................................... 282 Reciprona multifaktorijelna konstanta m(n) ......................................................... 284 Reciprona Lucas-ova konstanta l ............................................................................ 286 Reny-eva konstanta Re................................................................................................. 288 Salem-ova konstanta 1 .............................................................................................. 290 Sarnak-ova konstanta Cs ............................................................................................. 293 Shah-Wilson-ova konstanta 2 ................................................................................. 295 Sierpiski-eve konstanta K i S .................................................................................. 296 Silver konstanta s ......................................................................................................... 299 Silverman-ova konstanta sm ....................................................................................... 301 Somos-ova konstanta ............................................................................................... 303 Stephens-ova konstanta sp .......................................................................................... 305 Stieltjes-ove konstante n ............................................................................................ 307 Theodorus-uova konstanta 3 .................................................................................... 308 Tetranacci konstanta t4 ............................................................................................... 309 Tribonacci konstanta t3 .............................................................................................. 311 Valle-ova konstanta v ................................................................................................. 313 Varga-inova konstanta V............................................................................................... 316 Wallis-ova konstanta w ................................................................................................ 317

iv


__________________________________________________________________________________________________________

2.107 2.108 2.109 2.110

Weierstrass-ova konstanta w ................................................................................... 319 Wibraham-Gibbs-ova konstanta wg ......................................................................... 320 Zeta konstante ........................................................................................................... 322 Zolotarev-Schur-ova konstanta ............................................................................... 326

3.0 EPILOG .......................................................................................................................... 329 3.1 3.2 3.3 3.4 Pribline vrednosti nekih konstanti ...................................................................... 329 Rezultati sa priblinim celobrojnim vrednostima ............................................ 335 Primena matematikih konstanti u fizici i tehnici ............................................. 337 Integrisane konstante ................................................................................................. 338

Bibliografija .. ...................................................................................................................... 341 Indeks imena ....................................................................................................................... 346Fajlovi koji se nalaze u primerima mogu se preuzeti

Napomena: Sve tekstualne i/ili slikovne informacije koje su objavljene u ovoj knjizi a koje su preuzete sa sajta PTC-a, preuzete su uz saglasnost kompanije CPS-CAD Professional Sys.Beograd, koja je zvanini distributer softverskog paketa Mathcad za Republiku Srbiju. Ekstenzije fajlova MCD odnose se na verziju Mathcad-a 2001, dok fajlovi ekstenzije XML (ili XMCD) pripadaju Mathcad-u 14.


v

__________________________________________________________________________________________________________

O konstantamaKako su nastale. Istorija govori da su oduvek bile tu. Vladaju svemirom, samo ih treba pronai. Imaju kraljicu zvanu . Toliko je mistina kao za Egipane bog Ra, ali monija od njega. Jer ona vlada Orionom. Katkada je veoma bliska, i oni koji je ne poznaju mogu je potpuno razumeti. A onda se udalji, duboko religiozna. Nalazi se svuda, samo presvuena u drugoj simbolici i kodovima i uvek predstavlja odnos obima i prenika tajanstvenog kruga. To joj je dom. Ali kako su se milenijumi reali uselila se u ljudske domove preko raznih formula, te su joj ljudi pripisali boansku mo. alje nam pozdrave preko Arhimeda, kod koga je boravila u mislima. Neujno se tog dana spustila do uarenog peska pokazavi odnos obima i prenika kruga. Arhimed se zapita: Da li si ti 22/7? Ne, ja sam beskrajna i iracionalna i neete me moi dokuiti do kraja. Sa Ojlerom sam etala obalama Neve. No on je voleo kraljicu e. Sada idem do Ramanudana, jer sam samo njemu obeala boansku pesmu. Bila je namenjena Ojleru, ali on je naao drugu boginju. I, zapisivao ih je Indus u tajnosti, a onda je svetu podario predivne stihove. Pesma Brame irila se van Indije. Izdao me je da su moji, ali ja nisam izdala njega. Ispratila sam ga poslednjim stihom. Kod ovih pustinjaka sam samo boravila da ih vidim i da me vide, ali tu sam na zemlji od kada je ona postala sfera. U galaksiji sam od kada je on postao spiralan. U svemiru sam od kada je on postao fraktalan. U nukleusu sam od kada u njemu vladaju sile i geometrija. U entropiji sam od Hokinga. U singularitetu sam od njegovog poetka. Jedino mi je on ravan. Sa njim u ostati kada sve bude u njemu. Ja nisam sama. Moji aneli su mnogobrojni i niko ih nije dirao u inkviziciji. Nas je puno. Tako su se pojavili arhangeli: e, , , , ... Uberite nas jer mi smo vae, kao to su jagode njihovih polja, zauvek.

vi


__________________________________________________________________________________________________________

Rad posveujemo senama velikih matematiara: Arhimeda, Ojlera, Gausa i Ramanudana


1

__________________________________________________________________________________________________________

1 2

3

4

5

6

7

8

9 (hijeratiki brojevi)

1.0 UNIVERZUM BROJEVA 1.1 Pojam broja

B

roj je jedan od osnovnih pojmova matematike. Poetkom 20. veka veliki filozof i matematiar Bertrand Rasel je zapisao [144] Ne manje strasno teio sam za saznanjem ... Pokuao sam da uhvatim pitagorejsku vrlinu koja je prirodu stvari i bia sagledavala u moi brojeva ... U svakodnevnoj komunikaciji broj kao logiki i formalni pojam intuitivno je poznat, dok ga matematiari precizno formuliu na kvantitativnim i kvalitativnim osnovama. U tom smislu se primenjuje teorija skupova, a broj, izmeu ostalog, slui da opie karakteristike skupa. On je kljuni aksiom na kome se zasniva matematika, nastao iz prvobitne potrebe za brojanjem predmeta, a zatim se usavravao srazmerno razvoju matematikih znanja. Ve u radovima antikih filozofa vladalo je miljenje da je niz prirodnih brojeva beskonaan (3. vek p.n.e.). Problemi formiranja naziva za proizvoljno velike brojeve (beskonanost prirodnih brojeva) i redosleda prostih brojeva razmatrani su jo u uvenom Euclid-ovom delu "Elementi", kao i u Archimedes-ovoj knjizi O izraunavanju peska (Psammit) [147]. Sa uvoenjem pojma sabiranja, oduzimanja, mnoenja i deljenja, poinje da se razvija nauka o brojevima i operacijama na njima, poznata kao aritmetika. Izuavanje sloenih zakonitosti u prirodnom nizu brojeva traje i danas, i predstavlja zadatak opte teorije brojeva. Prirodni broj se inio toliko jednostavnim i prirodnim, da ga nauka dugo nije pokuavala definisati. Preciznije definicije i objanjenja su se pojavili tek sredinom 19. veka prilikom razvoja aksiomatske metode u matematici i same matematike analize. To je uinjeno 70-ih godina 19. veka u radovima nemakog matematiara Cantor-a na osnovu pojma skupova. Drugi pojam prirodnog broja dao je italijanski matematiar Peano na osnovu preciznih aksioma. Prvo uoptenje prirodnih brojeva bili su racionalni brojevi i razlomci, nastali zbog potrebe da se izmeri neka veliina, tj. uporedi sa nekom drugom veliinom (etalonom). Sva kasnija proirenja pojma broja nisu nastala na potrebama raunanja i merenja, ve su bila posledica razvoja matematike. Prvo od njih bilo je uvoenje negativnih brojeva, uslovljeno razvojem algebre. U Evropu je negativne brojeve uveo u upotrebu u 17. veku francuski naunik Descartes [149]. Zatim su uvedeni iracionalni brojevi. Izuavanje pojma neprekidnosti brojeva nalazi se u radovima nemakih matematiara Dedekind-a, Weierstrass-a i Cantor-a, to je dovelo do daljeg razjanjavanja pojma broja i njegovih osobina. Razvojem teorije algebarskih jednaina (19. vek) pojavio se pojam kompleksnog broja. Njegovo sutinsko znaenje otkrio je Gauss. Dvadeseti vek obiluje mnogim teorijama o brojevima [74], a dalja istraivanja, uz kompjutersku podrku, nastavljaju se i u 21. veku.

1.2 Brojevi i matematike konstanteMatematika konstanta je kvantitativna veliina; najee realni ili kompleksni broj bez dimenzije (kao to to imaju fizike konstante). Pojavljuje se u matematikim izrazima kao srazmera meu mnogobrojnim promenljivim veliinama. Uobiajeno je da se celi brojevi ne razmatraju kao posebne matematike konstante, ve su to skoro uvek transcendentni brojevi koji

2


__________________________________________________________________________________________________________

se ne mogu predstaviti u nekom zatvorenom obliku (izuzetak su brojevi 0 (nula), 1 ili Kaprekarov broj, poznat kao 6147), npr. kao koreni polinoma sa racionalnim koeficijentima i sl.

1.3 Neke kategorije brojevaVane definicije u teoriji brojeva odnose se na kategorije brojeva, tako da se dolazi do sledeih osnovnih formulacija: Prirodni brojevi su celi nenegativni brojevi. Oznaavaju se sa N i predstavljaju se skupom {0, 1, 2, K, n} N . Celi brojevi, pojednostavljeno govorei, su svi okrugli brojevi, tj. bez decimala, ukljuujui nulu, pozitivne i negativne brojeve. To su, dakle, brojevi: 0, 1, 2, 3, ..., 100, 101, itd, ali i brojevi 1, 2, 3, ..., 100, 101, itd. Skup svih celih brojeva se u matematici oznaava velikim latininim slovom Z . Kao i prirodni brojevi, skup Z je zatvoren za operacije sabiranja i mnoenja. To znai da je zbir i proizvod bilo koja dva cela broja opet ceo broj. Meutim, za razliku od prirodnih brojeva, skup celih brojeva je zatvoren i za oduzimanje. Ovo ne vai i za deljenje, jer kolinik dva cela broja ne mora da bude ceo broj. Realni brojevi su svi racionalni i iracionalani brojevi [131]. Skup realnih brojeva oznaavamo sa R . Ovaj skup je beskonaan i neprebrojiv, a broj elemenata, tzv. kardinalni broj skupa realnih brojeva, naziva se kontinuumom. Realni brojevi obrazuju polje. Termin realan stoji nasuprot istim imaginarnim, odnosno kompleksnim brojevima. Kompleksni brojevi su produeni realni brojevi u ijem je sadraju je i imaginarna konstanta i , npr.

K = 3+ 2 i, gde su: realni deo Re( K ) = 3 , imaginarni deo Im(K ) = 2 , dok je i = 1 najea oznaka za imaginarnu jedinicu (konstantu). Racionalni broj moe biti izraen kao odnos dva cela broja, gde imenilac nije jednak nuli. Primeri za to su brojevi: 4/5, 6/4, 1/5, 8, itd. Ako se ovi brojevi meusobno: mnoe, dele, sabiraju ili oduzimaju, rezultat je uvek racionalni broj. Uobiajeno je da se oznaavaju slovom Q . U matematici, iracionalni broj je onaj realan broj koji nije racionalan, tj. ne moe biti napisan kao razlomak dva cela broja, odnosno nije oblikaa brojilac . = b imenilac

Ovde su su a i b celi brojevi, dok b nije jednako nuli. Ako je npr. kvantitativan odnos dve dui iracionalan, dui su meusobno nesamerljive, to znai da nemaju zajedniku meru i ne mogu se precizno odrediti. Moe se lako pokazati da su iracionalni brojevi svi oni koji u svakoj brojnoj osnovi (decimalnoj, binarnoj, itd.) imaju neogranien broj cifara i pri tome se ne dolazi do beskonanog ponavljanja nekog podniza cifara (mada matematiari nikad ovo ne bi naveli kao definiciju). U smislu preciznijeg odreenja, skoro svi realni brojevi su iracionalni. Iracionalni brojevi mogu biti i koreni polinomskih jednaina sa racionalnim koeficijentima. Neki iracionalni brojevi su, dakle, algebarski brojevi, kao to su 2 , 3 5 , dok su neki transcendentni, npr. prirodni logaritam broja 2 ( ln 2 ), Archimedes-ov broj , Euler-ova konstanta tj. osnova prirodnog logaritma e i sl. Kompjuterskim metodama danas se traga za merom (ne)ureenosti cifara u beskrajnom nizu, ne bi li se otkrila neka zakonitost i time proirio pojam iracionalnosti, odnosno izvela njegova mera u vidu entropije.


3

__________________________________________________________________________________________________________

Algebarski broj je realan broj koji moe predstavljati reenje polinoma npr. tipa ax 2 + bx + c , iji koeficijenti su racionalni brojevi. Dakle oni su veinom pozitivni ili negativni brojevi koji predstavljaju reenja ovakvih polinoma. Ovi brojevi su realni i/ili kompleksni. Realni brojevi koji nisu algebarski zovu se, shodno prethodnim definicijama, transcendentnim. Nealgebarski brojevi su otkriveni tek sredinom 19. veka. Dobro poznati nealgbarski brojevi su i e . Brojevi poput njih mogu se prikazati kao kontinualni razlomci ili kao granine vrednosti zbira, odnosno proizvoda nizova celih brojeva. Ostali nealgebarski brojevi su veoma retki u optoj upotrebi. Takvi brojevi ne mogu biti izraeni kao koren bilo koje algebarske jednaine sa racionalnim koeficijentima. Nije jednostavan zadatak dokazati da je neki broj nealgebarski. Charles Hermit je dokazao da je e nealgebarski broj 1873. god, dok je Ferdinand von Lindemann 1882. god., istu osobinu dokazao za broj . Tih godina Cantor je pretpostavio da su skoro svi realni brojevi nealgebarski, tj. da su algebarski veoma retki. Skoro svi nealgebarski brojevi su i iracionalni. Liouville je potvrdio egzistenciju transcendentnih brojeva, a 1844. g. je dokazao da ni e odnosno e 2 ne mogu biti koreni kvadratne jednaine sa racionalnim koeficijentima. To je bila karika u lancu dokaza, koja poinje Lambert-ovim dokazom da je iracionalan broj. Zna se, takoe, da su e i e nealgebarski brojevi. Do danas se ne zna da li su: e , , ili e e nealgebarski brojevi. Generalno, matematiari nisu dokazali da li su zbirovi i proizvodi nealgebarskih brojeva, takoe, nealgebarski. To je sluaj sa sledeim konstantama + e ili e . Interesantno je da ovi brojevi, pojedinano, ne mogu biti algebarski. Kratak primer to ilustrujea := + e b := e

x a x + b

2

0 solve , x

e 2.718281828459045 = 3.141592653589793

Koreni ovog polinoma su x1 = e i x 2 = . Vaee je shvatanje da polinomi sa koeficijentima algebarskih brojeva moraju imati korene koji su, takoe, algebarski. Godine 1929. dokazano je za e da je nealgebarski broj, a ve sledee godine je to dokazano i za 2 2 ( e i 2 2 su Gelfondove konstante). Godine 1997. matematiar S. Pinkas i Rudolf Kalman pronali su statistiki metod zvani aproksimativna entropija za procenu ureenosti cifara u nealgebarskim brojevima, primenivi ga, najpre, na broj , i algebarskim brojevima kao to su 2 , 5 i sl. Hiperkompleksni brojevi su viedimenzionalni produeci kompleksnih brojeva, ukljuujui brojeve kao to su kvaternioni (za operacije u 4 dimenzije), oktonioni (8 dimenzija) i sedenioni (16 dimenzija). Otkrio ih je Hamilton 1843. god. Primarno se koriste za modeliranje dinamike kretanja mehanikih objekata u 3D prostoru. Kao to realni brojevi popunjavaju praznine izmeu celih brojeva, nadrealni brojevi popunjavaju prazninu meu Cantor-ovim rednim brojevima. Ovi brojevi predstavljaju super-niz realnih brojeva koje su definisali John Conway i Donald Knuth. Oni ukljuuju: beskonanost i infinitezimale, brojeve manje od bilo kog imaginarnog realnog broja i sl. Vrlo malo se moe rei o takvim brojevima, jer su i minorna istraivanja vrena na tom polju teorije brojeva [127]. Hiperrealni brojevi su ekstenzija realnih brojeva kojima se dodaju beskonano veliki realni brojevi. Pod beskonanim brojevima se podrazumevaju brojevi ija apsolutna vrednost je vea od bilo kog pozitivnog broja. Jo jedna vana definicija vezana je za broj, a to je njegov kontinuum. Kontinuum u matematici predstavlja kardinalnost skupa realnih brojeva (kao i mnogih drugih skupova). Za njega se esto

4


__________________________________________________________________________________________________________

vezuje tzv. hipoteza kontinuuma koju je precizirao Cantor. Pokazano je da su: kako hipoteza kontinuuma, tako i njena negacija, nezavisne, i predstavljaju neprotivrene teorije. Mogua ilustracija prethodno definisanih brojeva data je na sl. 1.

1.4 Hipoteza o kontinuumu brojevaU matematici, hipoteza kontinuuma je hipoteza o moguim veliinama beskonanih skupova brojeva. Georg Cantor je uveo koncept kardinalnosti, kako bi uporeivao veliine ovih skupova, i pokazao je da je skup celih brojeva strogo manji od skupa realnih brojeva [127]. Transfinitni broj je beskonani osnovni ili redni broj (redni broj se smatra mesto u odreenom nizu celih brojeva). Na primer, koristi se za raunanje kao prvi, drugi, trei, etvrti do n -tog u nizu brojeva. Najmanji transfinititivni broj se naziva alef-nula, koji se oznaava kao 0 i rauna kao broj celih brojeva (slovo je prvo u hebrejskom pismu). Ako je broj celih brojeva beskonaan (sa 0 lanova), da li postoji jo vii nivo beskonanosti? Da bi oznaili ovu promenu, matematiari se orijentiu na beskonaan broj racionalnih i celih brojeva kao 0 , a beskonaan broj iracionalnih i realnih brojeva kao 1 , to predstavlja kardinalnost kontinuuma realnog broja (obino se koristi izraz kardinalnost kada se govori o broju beskonanih brojeva, ili, matematiari bi istakli da je kardinalnost iracionalnih brojeva poznata kao kontinuum). Pretpostavljeno je da je veza izmeu 0 i C jednostavna i iznosi C = 20 . Drugim reima, 20 je oznaeno sa C i takoe predstavlja kardinalnost niza realnih brojeva ili kontinuum. Slino tome, postoji vie realnih brojeva koji ukljuuju racionalne (koji se mogu izraavati i u vidu razlomaka), i iracionalne brojeve (kao to su mnoge konstante, npr. , koji se ne mogu izraziti u vidu razlomaka) nego to ima celih brojeva. Neki od ovih kardinalnih brojeva su prikazani na sl. 1. Ona je relativno kompleksna oblast i preko nje treba sagledavati prelazne veze s ostalim vrstama brojeva. Matematiari, takoe, razmiljaju o veim beskonanostima, oznaenim sa 1 , 2 , i tako dalje. Na primer, postavljena teorija, simbolom 1 vrednuje beskonanost kao najmanju posle 0 . Hipotezom kontinuuma se tvrdi da je C = 1 = 20 . Meutim, pitanje da li je C stvarno jednako 1 smatra se nereivim pomou sadanjih matematikih teorija. Kad su u pitanju beskonani skupovi, kao to su skupovi celih ili racionalnih brojeva, ovakve brojeve je znatno komplikovanije pokazati. Meutim, pokazuje se da je kardinalnost racionalnih brojeva jednaka kardinalnosti celih brojeva, i da su oba prebrojivi skupovi. Cantor-ovim dijagonalnim postupkom se tvrdi da celi i realni brojevi nemaju istu kardinalnost. Pored osnovne, postavljena je i generalizovana hipoteza kontinuuma. Cantor je verovao da je hipoteza kontinuuma tana, i godinama je pokuavao u potpunosti da je dokae. Znatno kasnije, 1940. g. veliki matematiar Kurt Gdel je pokazao da hipoteza kontinuuma ne moe biti opovrgnuta standardnom Zermelo-Frenkel-ovom teorijom skupova, ak i ako se usvoji aksioma izbora. Drugim reima, matematiari, poput Gdel-a, dokazivali su da je ova hipoteza dosledna pretpostavka u jednoj brani matematike. Meutim, drugi matematiar, Paul Koen, je 1963. dokazivao da je isto tako realno pretpostaviti da je hipoteza kontinuuma pogrena, ili u najmanju ruku da uz iste ove aksiome hipoteza kontinuuma ne moe biti dokazana [28]. Stoga, hipoteza kontinuuma je nezavisna od Zermelo-Frenkel teorije skupova sa aksiomom izbora. Oba ova rezultata pretpostavljaju da same Zermelo-Frenkel aksiome ne sadre kontradikciju, i ova pretpostavka je u dananjoj matematici iroko prihvaena kao tana.

Algebarski brojeviCeli brojevi

0Nula 0

Racionalni brojevi0

Prirodni brojevi 1, 2, 3, 4

0

Celi negativni brojevi -1, -2, -3, -4, ...

Razlomci 1/3, 3/5

0

Kompleksni algebarski brojevi

ni eal err i Hip rojev b

0Korenovi

Na dr e a ln ib r oj ev i

Dominantna oblast matematickih konstanti2 , 3, 5 , K

Iracionalni brojevi

C = 2 0Nealgebarski brojevi , e, ...

Hiperkompleksni brojevi

Konvejevi brojevi

C = 20Kompleksni nealgebarski brojevi i

Kvaternioni Bikvaternioni Oktonioni Sedenioni Hamiltonovi celi brojevi

Sl. 1 Univerzum brojeva i sazvea matematikih konstanti

6


__________________________________________________________________________________________________________

Hipoteza kontinuuma je u bliskoj vezi sa mnogim iskazima iz raznih matematikih oblasti. Kao rezultat njene nezavisnosti, za mnoge znaajne konjekture iz ovih oblasti je kasnije pokazano da su, takoe, nezavisne. Istorijski, matematiari koji su bili pristalice bogatog i velikog univerzuma brojeva su bili protiv hipoteze kontinuuma, dok oni koji su se zalagali za uredan i kontrolisan univerzum, bili za nju. Chris Frailling je 1986. predstavio argument protiv hipoteze kontinuuma, (nazvan Frailling-ova aksioma simetrije). Pokazao je da je negacija hipoteze kontinuuma ekvivalentna iskazu o verovatnoi koju je okarakterisao kao intuitivno tanu, to je izazvalo u matematikim krugovima puno kontraverzi. Posledice njegove teorije nepotpunosti su ogromne, ne samo primenom u matematici, ve i u oblasti kompjuterskih nauka, ekonomije i prirode. Pored Heisenberg-ove teorije neodreenosti, one su ozbiljno pokolebale nastojanja teoretiara da se procesi u prirodi do maksimuma determiniu (i kontroliu), posredstvom aksioma. Godine 1900. David Hilbert je odredio 23 vana matematika problema koje je trebalo reiti u nastupajuem 20. veku. Teorema kontinuuma je prva na spisku vanih otvorenih pitanja koji je Hilbert proitao na ovom uvenom matematikom kongresu u Parizu [110].

1.5 Pregled nekih matematikih konstantiNeverovatna korist od matematikih konstanti u egzaktnim i drutvenim naukama je neto to se granii sa misterioznim i ne postoji razumno objanjenje za to, naglaava matematiar i publicista Pickover-i u knjizi Strast za matematikom ... (A passion for mathematics: numbers, puzzles, madness, religion, and quest for reality) [127]. Uz i e kao najvanijim konstanta u matematici, poto se pojavljuju u nebrojenim matematikim sadrajuma, broj novih matematikih konstanti je u stalnom porastu. Tako ih Finch [56] svrstava u razne kategorije, a njihov broj verovatno premauje nekoliko stotina. U nastavku se daje pregled nekih od ovih konstanti, dok se opirnije definicije i algoritmi za njihovo izraunavanje daju u narednim poglavljima. S obzirom na karakteristike i oblast primenljivosti ovih brojeva, u tabeli (T-1) se koriste sledee oznake: I iracionalan broj, A - algebarski broj, T - transcedentalni broj, ? - nepoznata karakteristika, G uopteno, NT - teorija brojeva, HT - teorija haosa, Km - kombinatorika, Inf - teorija informacija i AM - matematika analiza.

T-1Simbol 2 3 Priblina vrednost 3,141592653589793 2,718281828459045 1,414213562373095 1,732050807568877 0,577215664901532 1,618033988749894

Ime Pi, Archimedes-ova konstanta ili Ludolph-ov broj Euler-ova konstanta, osnova ln-logaritma Pythagoras-ina konstanta, kvadratni koren iz 2 Theodorus-ova konstanta, kvadratni koren iz 3 Euler-Mascheroni-jeva konstanta Zlatni odnos

PodrujeG, AM, T G, AM, T G, I, A G, I, A G, NT G, A


7

__________________________________________________________________________________________________________

* C2 M1 B2 B4 K K K BL EB D

0,70258 4,669201609102990 2,502907875095892 0,660161815846869 0,261497212847642 1,9021605823 0,8705883800 > 2,7 10-9 0,915965594177219 0,764223653589220 1,13198824 1,08366 1,451369234883381 1,606695152415291 ? 0,2801694990 0,3036630029 0,3532363719 0,6243299885 0,6294650204 0,6627434193

Embree-Trefethen-ova konstanta Feigenbaum-ova konstanta Feigenbaum-ova konstanta Konstanta dvojnog prostog broja Meissl-Mertens-ova konstanta Brun-ova konstanta za dvojne proste brojeve Brun-ova konstanta za proste kvadruplete Bruijn-Newman-ova konstanta Catalan-ova konstanta Landau-Ramanujan-ova konstanta Viswanath-ova konstanta Legendre-ova konstanta Ramanujan-Soldner-ova konstanta Erdos-Borwein-ova konstanta Chaitin-ova konstanta Bernstein-ova konstanta Gauss-Kuzmin-Wirsing-ova konstanta Hafner-Sarnak-McCurley-ova konstanta Golomb-Dickman-ova konstanta Cahen-ova konstanta Laplace-ova granica

NT HT HT NT NT NT NT NT Km NT, I NT NT NT NT, I Inf, T AM Km NT Km, NT -

0

Heterogena struktura matematikih konstanti ne upuuje na moguu hipotezu o njihovoj meusobnoj zavisnosti. Ono to je interesantno je da se Khinchin-ovom teoremom mogu povezati osobine nekih konstanti. I najpoznatija Euler-ova relacija e i + 1 = 0 predstavlja svojevrsni generator nekih konstanti. Mnoge konstante se stvaraju na osnovu prostih brojeva, ili u obliku nizova ili proizvoda prirodnih brojeva.

8


__________________________________________________________________________________________________________

1.6 Matematiki algoritmiAlgoritam je specifian niz uputstava za izvoenje nekog postupka kod reavanja odreenog problema. Obino se zahteva da se takav ureeni skup postupaka zavri u racionalnom vremenskom i prostornom domenu. Smatra se da re vodi poreklo od imena persijskog matematiara iz 9. veka Mohamed-a ibn Muse Alvarizmija (al-Khwrizm). Re algoritam je preinaeno ime ovog mislioca, koji je u to vreme napisao veoma znaajnu i uticajnu raspravu o algebarskim metodama. Preciznija definicija govori da je algoritam propisan skup dobro definisanih pravila ili instrukcija za reavanje nekog problema, npr. realizaciju izraunavanja u konanom broju koraka. Izraunavanje putem algoritama u formalnoj notaciji jedan je od glavnih zadataka kompjuterskog programiranja. Mnogi koraci koji vae za programe, vae i za algoritme, i obrnuto [144]. Efektivan algoritam jeste onaj koji je efektivno izraunljiv. Ispitivanje da li za reavanje odreenih problema postoji racionalan algoritam, ini osnovu teorije algoritama. Izuzev za najjednostavnije algoritme, teko je dokazati da li je algoritam sutinski i formalno korektan. U praksi se istraivai obino moraju zadovoljiti postignutom valjanou algoritma, na osnovu ijih kriterijuma se potvruje, ili verifikuje, da e algoritam izvriti traeno izraunavanje. Taj proces podrazumeva testiranje algoritma, kako bi smo se uverili da zadovoljava postavljene kriterijume. Ako je skup testova dovoljno dobro izabran, tada se u algoritam moe imati poverenja. U matematici se svakodnevno definiu novi algoritmi, naroito intenzivnim razvojem kompjuterskih programa. Tako su neki od njih poznati kao: 196-algoritam, Archimedes-ov algoritam, Brelaz-ov heuristiki algoritam, Buchberger-ov algoritam, Bulirsch-Stoer-ov algoritam, Bumping algoritam, Computation algoritam, algoritam faktorizacije kontinualnog razlomka, Criss-Cross metod, Dijkstra-ov algoritam, Euclid-ov algoritam, Ferguson-Forcade algoritam, Floyd-ov algoritam, Genetiki algoritam, Gosper-ov algoritam, Greedy-jev algoritam, HJLS algoritam, Kruskal-ov algoritam, Levine-O'Sullivan Greedy-jev algoritam, LLL algoritam, Markov algoritam, Miller-ov algoritam, Neville-ov algoritam, Newton-ov algoritam, algoritam faktorizacije prim-brojeva, primitivna rekurzivna funkcija, PSLQ algoritam, PSOS algoritam, Quotient-Difference algoritam, Risch algoritam, Schrage-ov algoritam, Shanks-ov algoritam, Simplex metod, Spigot-ov algoritam, Totala funkcija, algoritam Turing-ove maine, Zeilbergerov algoritam i dr. U ovoj knjizi re algoritam se slobodnije koristi, kako bi se putem njega dali ureeni skupovi postupaka za nalaenje, pre svega odreenih matematikih konstanti. Za to je, esto, dovoljna samo ve poznata formula. Meutim, u odreenim momentima mora se definisati potprogram, ili nekoliko njih, da bi korisnik postigao osnovni cilj-efikasno nalaenje matematike konstante. Primeri su programi za generisanje prostih brojeva, a koji se ne mogu iskazati najobinijom formulom. Drugi ciljevi algoritama i programa su postizanje efekata koji korisniku omoguuje razumevanje konstanti. Ovo se realizuje tabelarnim izraunavanjima i grafikom vizuelizacijom. Nije, svakako, zanemarljiv ni nain verifikacije dobijenih numerikih reenja. Posebna preimustva Mathcad procesiranja su njegove sintakse i programiranje koje je visoko sofisticirano i omoguuje korisniku da prati tok evaluacije rezultata.

1.7 Paradigma prostih brojevaJo jedna oblast teorije brojeva, optereena jo nereenim problemom je teorija prostih brojeva. To su dobro poznati brojevi koji su deljivi sami sa sobom i sa jedinicom. Izuzimajui nulu, njihov poetni redosled je: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...itd. Niz ovih brojeva ne formira prepoznatljivu emu, i kao takvi, prosti brojevi slede neki svoj unutranji zakon. Opisani su ''kao korov koji raste sluajno, tu i tamo'', meu prirodnim brojevima. Kada se prouavaju prirodni


9

__________________________________________________________________________________________________________

brojevi mogue je pronai oblasti bogate prostim brojevima, ali su zato neke oblasti potpuno razuene. Vekovima su matematiari bezuspeno pokuavali da objasne emu koja lei u osnovi egzistencije prostih brojeva. Pre dve hiljade godina Euclid je pretpostavio da postoji beskonano mnogo prostih brojeva, ali su tek u poslednja dva veka matematiari pokuavali da dokau da postoji i beskonaan broj prostih brojeva blizanaca (videti o Brun-ovoj konstanti). U teoriji brojeva Goldbach-ova hipoteza kae se da je svaki paran broj zbir dva prosta broja. Mada dokaz jo uvek nije naen, ova pretpostavka se potvrena na nekoliko stotina miliona parnih brojeva. Mnoge matematike konstante, nastale su na bazi prostih brojeva. ''Matematiari su do danas bezuspeno pokuavali da otkriju neku zakonitost u nivou prostih brojeva, pa imamo razloga da verujemo da je to misterija u koju ljudski um nikada nee proniknuti'' tvrdio je Euler (iz knjige Georga Simons-a, Raunarski dragulji, 1992.). U Euler-ovoj knjizi Uvod u analizu beskonanog (Introduction in abalysis infinitorum iz 1748. g.) pojavljuje se funkcija zeta ( ) koja e imati najvei uticaj i znaaj u sledeem veku u istraivanjima o raspodeli prostih brojeva [144]. U istoriji matematike zabeleeni su znaajni trenuci nastanka teorema o raspodeli prostih brojeva. Tako se pored pionirskih radova Euler-a, jednim od prvih veih pomaka smatraju Legendre-ovi radovi iz 1808. g. kada je nastala formula koja prezentuje stav da broj prostih brojeva (n) u odnosu na broj prirodnih n stoji u sledeoj priblinoj proporciji ( n) ~

n ln n B

Gde je B = 1,08366 Legendre-ova konstanta, za koju je on smatrao da je tana, a kasnije je dokazano da je u stvari jednaka jedinici. Pre njega, Gauss je 1792. g. kao petnaestogodinjak doao do pribline formule o raspodeli prostih brojeva, tj. nainu na koji uestalost ovih brojeva, meu ostalim brojevima opada, u sledeoj proporciji ( n) ~

n ln n

to je istovetno Legendre-ovoj furmuli za B = 1 . Meutim, Gauss je prvi pretpostavio da je (n) ~ Li (n) = n

1 dn . ln n 2

Ovaj broj je priblian vrednosti logaritamskog integrala Li (n) od krajnjeg prirodnog broja n u posmatranom skupu. Gauss-ov rezultat je publikovan tek 1863. g. Tanije reenje podrazumeva asimptotski razvoj ove specijalne funkcije u vidu redaLi (n) = nk! n n 2n 6n + + + +K 2 3 k +1 ln n (ln n) (ln n) (ln n) 4 k = 0 (ln n )

Veliki doprinos teoremi o distribuciji prostih brojeva dali su: ebiev (1850.), Riemann (1858.), krajem 19. veka, nezavisno, Hadamard (1896.), i iste godine Valle Poussin, zasnovanoj na Riemann-ovoj zeta funkciji. Poetkom 20. veka daljem razvoje teorije doprineli su: Koch (1901.), Ramanujan (1914.), Littlewood (1914.), dok su to 1932-33. uinili Landau i Bochner. Sredinom 20. veka, javljaju se novi prilozi teoriji prostih brojeva od strane eminentnih matematiara:

10


__________________________________________________________________________________________________________

Erds-a (1949.), Selberg-a (1950.) i Nagell-a (1951.). Godine 1955. matematiar Skewes pokazao je da bi Gauss-ova pretpostavka bila neostvariva (tj. sa pocenjenim brojem) kada se kriva pretpostavljene raspodele nalazi ispod krive stvarne raspodele, do sluaja neposrednog dostizanja broja sa enormnim rasponom prirodnih brojeva iji je red veliine

1010

1034

= 1010

1000000000000000000000000000000000

G. H. Hardy je [127] nazvao ovaj broj Skewes-ovim brojem sa karakteristikom ''najveeg broja koji je ikada imao odreeni smisao u matematici''. Dakle, ovim se obistinila Euler-ova konjektura o precenjenoj raspodeli prostih brojeva. Rezultati novijeg datuma su dati u radovima Walfisz-a 1963., Landau 1974. Hardy i Wright-a (1979.), Ball-a i Coxeter-a 1987., Ingham-a 1990. Wagona 1991., Rubinstein i Sarnak 1994. Riesel-a 1994., Knuth-a 1998, Hardy-a 1999; Havil-a 2003, Derbyshire-a 2004. i dr. Zanimljivo je da su neka od imena ovih matematiara i kompjuterskih strunjaka vezana i za zaetnika pojedinih matematikih konstanti. U doba informacionih tehnologija i novih algoritama, prosti brojevi se prouavaju na poseban nain. U sledeoj tabeli dat je pregled veliine skupova prirodnih i pripadajuih podskupova prostih brojeva, sa analitikom obradom ovih veliina i autorstvom

T-2x106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017

(x)78.498 664.579 5.761.455 50. 847.534 455.052.511 4.118.054.813 37.607.912.018 346.065.536.839 3.204.941.750 802 29.844.570.422.669 279.238.341.033.925 2.623.557.157.654.233

Li(x) (x)129 336 753 1.700 3.103 11.587 38.262 108.970 314.889 1.052.618 3.214.631 7.956.588

(x)-0.209 -0.1809 -0.1339 -0.0994 -0.0594 -0.0725 -0.0781 -0.0723 -0.0678 -0.0735 -0.0726 -0.0581

KomentarMeissel 1871. Meissel, 1886. (korigovao) Lehmer, 1959. (korigovao) Bohmann, 1972. (korigovao) Lagarias Miller Odlyzko, 1985. LMO, 1985. LMO, 1985. Delglise Rivat, 1994.


11

__________________________________________________________________________________________________________

1018 1019 1020 2.1020 1021 2.1021 4.1021 1022 1,5.1022 2.1022 4.1022

24.739.954.287.740.860 234.057.667.276.344.607 2.220.819.602.560.918.840 4.374.267.703.076.959.271 21.127.269.486.018.731.928 41.644.391.885.053.857.293 82.103.246.362.658.124.007 201.467.286.689.315.906.290 299.751.248.358.699.805.270 397.382.840.070.993.192.736 783.964.159.847.056.303.858

21.949.554 99.877.774 222.744.643 472.270.046 597.394.253 1.454.564.714 1.200.472.717 1.932.355.207 2.848.114.312 2.732.289.619 5.101.648.384

-0.05177 -0.0760 -0.0546 -0.0823 -0.0471 -0.0816 -0.0479 -0.0491 -0.0592 -0.0493 -0.0655

Delglise Rivat, 1994. Delglise, 1996. Delglise, 1996. X. Gourdon, nov. 2000. X. Gourdon, nov. 2000. pi(x) project, dec. 2000. pi(x) project, dec. 2000. pi(x) project, dec. 2000. P. Demichel, X. Gourdon, feb. 2001. pi(x) project, feb. 2001. pi(x) projekt, mart, 2001. (trenutni svetski rekord)

Relacije zastupljene u prethodnoj tabeli izmeu ukupnog broja prostih brojeva (n) i skupa prirodnih brojeva n , kao i njihovih razlika, dao je Cramer. Prema njegovoj metodi aproksimacije ovih brojeva na osnovu logaritamskog integrala sledi da jeLi (n) = n

1 dt , ln(t ) 2

dok je Cramer-ove funkcije

( n) =

(n) Li (n) 2n ln ln(n) ln(n)

Enigmatina paradigma prostih brojeva zadrana se do dananjih dana. To je direktno uticalo na istraivanja i razvoj matematikih konstanti. Poslednja dva veka ''obini'' prosti brojevi su se delili na sledee: tetradini, pandigitni, prosti faktorijeli plus jedan prosti broj i sl. Takoe, postoje Kulenovi, multifaktorijalni, polindromski i antipolindromski prosti brojevi. Ovim se jo mogu dodati: strohogramatiki, subskriptni, interni repdigitni, eliptini i Bakster-Hikerson-ovi prosti brojevi.. Sutinski, razvija se sasvim nova podoblast matematike koja se tie samo atributa raznih vrsta prostih brojeva. U Mathcad programu generisanje prostih brojeva je vreno najee za granice < 10 6 , 10 6 , 10 7 ili 2 10 7 prirodnih brojeva, te se rezultati odnose na ove skupove brojeva i dati su u pojedinim poglavljima posveenim matematikim konstantama, odnosno odgovarajuim fajlovima. Za dobijanje Cramer-ovih vrednosti neophodno je kompjuterski generisati proste brojeve, kao u sledeem rezultatu.

12


__________________________________________________________________________________________________________

A ( a , n , r) :=

for i 2 .. length ( r) for j 2 .. a ari 1 j

Q ( a , n) :=

j1 for i 2 .. n if ai j 0

p ( n) :=

n ri1

0 if n 2if n > 2 a 0n

2

1

q i j j+11

r p ( ceil ( n) ) a A ( a , n , r) q Q ( a , n)

q

Primer: Za izabrani broj prirodnih brojevan := 1 107

P := p ( n)

vektor prostih brojeva sa sopstvenom vrednou i redosledom u stoku prirodnih brojeva bi se dao kao niz, sa prvim ili sa poslednjim vrednostima

Sl. 2 Vektor prostih brojeva sa prvim (gore) i poslednjim vrednostima redosledu (ispod)

Ukupan broj prostih brojeva u intervalu N [0, 10.000.000] iznosi Poslednji prost broj i njegova pozicija u ovom intervalu jemax( P) = 9999991

last ( P) = 664579

ili

P

last ( P)

= 9999991

Vrednost logaritamskog integrala za n = 10 7 iznosi Li ( x) := x 1

ln ( t)

dt

Li ( n) float , 12 664917.359885

2

Razlika distribucije je ( n) := Li ( n) last ( P) ( n) = 339.195


13

__________________________________________________________________________________________________________

Kvantifikator relativnih razlika po Cramer-ovoj metodi iznosi ( n) :=

last ( P) Li ( n) ln ( ln ( n) ) 2n ln ( n)

( n) = 0.1826

Ostale vrednosti su vrlo sline tabelarnim, i u tom smislu se mogu uzeti kao verodostojne. Pripadnost skupu prostih brojeva

Pripadnost ili nepripadnost pojedinanog broja skupu prostih brojeva moe se programski ispitati. Tako, npr. ako je programski definisana relacija propadnosti ( x , P) :=

x P > 0

tada se pojedinani brojevi testiraju: da li pripadaju (1) ili ne pripadaju (0) generisanom skupu od 1229 prostih brojeva od prvih 10.000 prirodnih brojeva. Za dva testirana broja sledi da jea := 9967 a P=1

i i

b := 9968 b P=0

Problem se moe postaviti i inverzno na sledei nain. Za nepripadnost izabranih brojeva a i b skupu prostih brojeva, sintaksa je ( x , S) := 1 ( x , S)

a P=0

b P=1

Slino pojedinanom testiranju, pripadnost ili nepripadnost izabranog skupa brojeva u nekom skupu prostih brojeva (ovde je uzet domen prvih 104 prirodnih brojeva) moe se, takoe, programski ispitati. Tako, npr. ako je dat programski blok u Mathcad-u kojim se reava [112] unija, odnosno podskup skupa u vidu ( v) :=

S0 v0 k1 for i 1 .. last ( v) if v Si

( P , S2) :=

Sa ( P) Sb ( S2) k0 for i 0 .. ( Sa) 1 if Sa Sbi

S vk

i

kk+1 S I ( P , S2) := ( stack ( P , S2) ) ( P , S) := sort ( ( P) )

I Sak

i

kk+1

sort ( ( S) )

( S) := length ( ( S) )

14


__________________________________________________________________________________________________________

i ako je umesto jednog broja dat skup S od etiri broja

7 9 S := 11 3

presekom ovog skupa sa generisanim skupom prostih brojeva P dobija se novi skup u vidu vektora reenjaP

3 S= 7 11

dok se unijom poveava novoformirani skup za jedan lan (a to je 9), tako da imamo sledee reenje:

Sl. 3 Uporedni prikaz vektora sa pridruenim lanom (unijom) i izvornim vektorom prostih brojeva (desno)

Presekom dva skupa: testiranog S i originalnog sa prostim brojevima P , na osnovu sledeeg programskog modula: ( P , S) := ( P S , P)

moe se umesto jednog ispitati pripadnost (1) ili nepripadnost (0) vie brojeva (vektora) generisanom skupu prostih brojeva. Na primer, za tri naredna skupa uoava se njihova konzistentnost sa prostim brojevima

1 2 1 5

P= 0

0.5 24 11 31

P= 0

971 113 9887

P= 1

Napomena: Na ovaj nain moe se npr. testirati pripadnost Fermat-ovih ili Mersenne-ovih brojeva skupu prostih brojeva.


15

__________________________________________________________________________________________________________

2.0 MATEMATIKE KONSTANTE 2.1 Euler-ova matematika

E

uler je objavio preko 8000 raznih referenci, gotovo sve na latinskom jeziku. Skoro da nema oblasti ondanje matematike u kojoj ovaj matematiar nije dao doprinos. A tu su jo i: inenjerstvo, fizika, astronomija i teologija. Njegove formule izraavaju svet misli, istine, poezije i religijskog duha. U analizi je prouavao beskonane nizove (redove) i diferencijalne jednaine. Svetu je podario mnoge nove funkcije, kao to su: gama, beta, eliptine integrale i stvorio raun varijacije. Njegova notacija, za: i e , zatim x , i druga, koriste se i danas u neizmenjenom obliku. U mehanici je prouavao kretanje vrstih tela u tri dimenzije, konstrukciju i upravljanje brodovima i nebesku mehaniku. Nakon njegove smrti 1783. g. radovi su mu objavljivani narednih dve stotine godina, da bi se tek 1910. g. krenulo sa publikovanjem sabranih dela, koja obuhvataju vie od 75 tomova knjiga [147], [144]. Velika veina Euler-ovih radova ne sadri samo otkria, ve i neobino i novo metodoloko bogatstvo [155]. Veliki Laplace je sjojevremeno savetovao itajte Euler-ove knjige, on je uitelj svih nas. Takoe je i Gauss poruivao Studiranje Euler-ovih radova postae najbolja kola za najrazliitija podruja matematike, i ne moe ga nita zameniti. Euler je u svom ivotnom opusu reio mnoge matematike probleme, ali ono to je esto isticao ostalo je jo uvek nereeno, a to je pitanje distribucije prostih brojeva. U tom smislu ovde e se pokazati neke Euler-ove relacije vezane za ove brojeve. Euler-ovi identiteti

Jedna od najpoznatija relacija u matematici odnosi se na zeta funkciju ( ~ N ), koja korespondira izmeu beskonanog niza prirodnih brojeva i proizvoda prostih brojeva. Ova Eulerova formula izazvala je veliku panju teoretiara brojeva, jer na udesan nain vezuje zbir prirodnih i proizvod prostih brojeva. Ovom formulom daje se sledee reenje (uz aproksimaciju da je ~ N = 100 ) .N := 1000 x := 8

n=1 n

N

1 x

1 k

1

(Pk)

x

=

0

Gde je npr. njena vrednost od poznatog argumenta

Zeta ( x) :=

n=1 n

N

1 x

Zeta ( x) = 1.004077356

tada je reciprona vrednost zeta funkcije jednaka1

Zeta ( x)

1 k

= x P ) (k 1

0

16


__________________________________________________________________________________________________________

Ovde je x N . Prethodna zakonitost je inicirala na stotine drugih formula koje, takoe, vezuju ova dva skupa brojeva. Mnogi od istraivanih nizova rezultiraju graninim vrednostima ija su reenja ve dugo poznata ili su skoro naena, te pripadaju novim matematikim konstantama. Neke od njih povezuju vie konstanti, kao to su npr. Mertens-ove konstante i sl. Pored ovih, poznate su i sledee Euler-ove formule vezane za proizvod prostih brojeva

2

k

1 Pk 1 1 + = sin P 2 k

0

ili po Blatner-u (1997.), kada je k 2 (kao inspiracija na Euler-ovu relaciju), sledi da jePk1 2 ( 1) 1 + P k 1

k := 2 .. 1229

2

k

=0

2.2 Matematike konstante: 0, 1, -1Ove dobro poznate konstante, bez kojih bi dola u pitanje egzistencija cele matematike, odnose se na brojeve: nula, jedan i imaginarnu jedinici. Poznato je da su prve dve vezane za binarnu logiku, kao osnovu rada dananjih raunarskih sistema, a da je imaginarna konstanta osnova mnogih sloenih matematikih izraunavanja u mehanici fluida, elektrodinamici i sl. Ovi brojevi su zastupljeni i u teorijskim problemima moderne fizike. Tako je Dirac-ova matrica iskljuivo sastavljena od brojeva 0 i 1. Podsetimo se da je broj jedan zastupljen u Pean-ovoj aksiomatici sa vrlo stogim konceptima. Meu predloenim definicijama stoje aksiomi koje je ovaj matematiar postavio jo 1899., a to su 1 je ceo broj, svaki ceo broj ima sledei definisani, kome on prethodi, 1 nema prethodnog, ako dva broja imaju isti sledei, oni su jednaki, svaki skup celih brojeva koji sadre 1 i sledei svakog od svojih elemenata, sadri sve cele brojeve. Ovih pet aksioma potpuno karakterie skup N celih prirodnih brojeva [144]. No vek i po ranije stvorena je posebna formula, koja je izazvala veliku panu istraivaa, a koja pripada Euler-u (mada se u istoriji matematike smatra da je ova formula bila poznata i Joannes-u Bernoulli-ju) i daje se kaoei t

cos ( t) + i sin ( t)

Za

t :=

se svodi naei

+1=0 ( 1)i

Razne varijante ove jednaine mogu se dobiti iz osnovne, kao npr.

exp( ) = 0

Enciklopedija matematikih konstanti ili kao optije reenje, gde je n N .

17

__________________________________________________________________________________________________________

n := 0 .. 5

Slino prethodnim, karakteristini su i sledei identitetii i

i i i 2n 2 simplify i e i i i

1 e

=0

ln ( e) 1 simplify i

e

x

i

4i

solve , x simplify

ln ( 1)

2i

(i 2ni)i simplify

e2

(

n

)i

cos ( n ) + i sin ( n ) simplify e4n 2n

ni

2 ( 1 + i) i 2

i

simplify ( 1)

Veina identiteta je generisana trigonometrijskim funkcijama. Tako su npr.e+e 21

cos ( i)

=0

sin ( i)

ee 2

1

i = 0

ili sa logaritamskom funkcijomln

2i ln ( i) 1 + ln e i = 3.14159265358979

1 + i simplify 1 i 2 1i

( i)

Sledei izraz je posebno zanimljiv i dat je kao kompleksni broji rectangular 2 2 + 1 2 2 i = 0.7071068 + 0.7071068i

Kompleksna vrednost Lambert-ove funkcije u aproksimativnoj formi, od prvoj drugog i etvrtog stepena sa eksponentom imaginarne konstante, je sledeai simplify exp i

1 2

i simplify exp i

i

1

2

i exp

1

2

i

i

i

i

i

simplify exp

1

2

i exp

1

2

i exp

1

2

i exp

1

2

= 0.38717 + 0.03053i

18 ili aproksimativno kao


__________________________________________________________________________________________________________

1 i 2 ( 1) ( 1) i i i 2 2

( 1)

i

i

simplify ( 1)

2

= 0.38717 + 0.03053i

Kada se postavi vea preciznost, sa npr. 50-tim stepenom, sledi znatno tanija vrednost funkcije

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

float , 8 0.43794945 + 0.36253707

U sluaju da je broj stepeni beskonaan formira se granina vrednost Lambert-ove funkcije, kao kompleksni broj. U Mathcad-u se reenje dobija na osnovu inkorporirane Lambert-ove funkcije, kaoLambertW ( ln ( i) ) ln ( i) float , 8 0.43828294 + 0.36059247i

ili u drugoj varijanti2i

LambertW

float , 8 0.43828294 + 0.36059247i 2

i

Weisstein, Eric W. "Lambert W-Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "e." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/e.html.

464

Enciklopedija atematikih konstantiD. Leti N. Caki B. Davidovi


484-3

Ukoliko ste povezani na internet, kliknite link http://bit.ly/qKk09o i naruite knjigu.

Documents

Enciklopedija Matematickih Konstanti Za Sajt