Elémentsdesolutionspouruncorrigédel’épreuvedéfinitivedu28janvier2019

Exercice1–Billetgagnant-7points–Aucuneétiquettenecorrespondaucontenu.DonclaboîteBnecontientpas30€,mais20€ou40€,c’estàdiredeuxbilletsde10€oudeuxbilletsde20€.AlorsontireunbilletdelaboîteB.

Ø Sic’estunbilletde10€,ondéduitdecequiprécèdequecetteboîteBcontient20€.L’étiquettedevantlaboîteCindique40€.Cetteboîtenecontientdoncpas40€,mais30€,etlaboîteAcontientalors40€.

Ø Sic’estunbilletde20€,ondéduitquecetteboîteBcontient40€.Commel’étiquettedevantlaboîteAindique20€,laboîteAcontient30€,etlaboîteCcontientalors20€.

Exercice2–Bonanniversaire-5points–

Ø LepremiergroupeIlsachètent50canettes, ilspaient100€,etaprèslesavoirbues, ilsrapportentles50canettesvidesetenreçoivent10deplus.Unefoisencoreilsrapportentces10canettesetenreçoivent2nouvelles.Pourlemoment,ilsontbu62canettespour100€etilleurenreste2vides.S’ilsontbu63canettes,c’estqu’ilsenontencoreachetéuneautreà2euros.Ladépensetotaledupremiergroupeestde102€.

Ø LesecondgroupeS’ils ont dépensé 200 €, ils ont acheté au départ 100 canettes. Ils les ont toutes bues et lesrapportent, ilsenreçoivent 20deplus;envidantcesdernières ilsenrécupèrentencore4deplus.Autotal,ilsaurontbu:100+20+4=124canettes.Lesecondgroupeaurabu124canettes.Remarque:enempruntantunecanettevideàunautregroupe,ilsauraientpurécupérerunecanettepleineenplus!!!Exercice3–ÇadérouleRaoul-7points– Exercice4–Couchesdecubes-5points–Pourcequiestdescouchesenlevées:91=7×13et77=7×11Leparallélépipèded’origineavaitlesdimensions13 × 7 × 12.Ilvarester12×6× 11=792cubes.Lenombredecubesrestantest792.Exercice5–Biotomates-7points–Jacquelineprélève10Ldedécoctiondeprêleàl’aidedurécipientde10L.Àl’aidedurécipientde3L,elleremet9Ldanslebidondeprêle.Ilreste1Ldedécoctiondeprêledanslerécipientde10L,qu’elleversedanslerécipientde3L.Elleremplitcerécipientenajoutant2Ldedécoctiond’ortieetversecemélangedanslerécipientde10L.Enfinelleajoute3Ldedécoctiond’ortiepourobtenir6Ldumélangedésiré.

Exercice6–Huitdit-5points–Lesnombresinférieursà100contenantlechiffre8sont:8;18;28;38;48;58;68;78;88;98etlesnombresde80à89.Prenonsauminimum:8;8;18;28et38,dontlasommedonne100.Toutautrechoixdonneuntotalsupérieur.C’estdoncl’uniquesolution.Lenombredebonbonsdanschaqueboîteest8–8–18–28–38.Exercice7–Àlaqueueleuleu-7points–

Ø Lenombre171apparaîtlapremièrefoisenécrivant17puis18.Ilfautdéterminerlenombredechiffresécritsde0à16:

De0à9:10chiffres;de10à16:7nombresà2chiffres,soit14chiffres.Autotal10+14=24chiffres.Lapositionde171est24.

Ø Lenombre321apparaîtlapremièrefoisenécrivant132puis133.De0à9:10chiffres;de10à99:90× 2 =180chiffres;de100à131:32 × 3 = 96chiffresAveclechiffre1de132,onobtiententout287chiffres.Lapositionde321est287.

Ø Lenombre2019apparaîtlapremièrefoisenécrivant1920puis1921.De0à99:190chiffres;de100à999:900 × 3 = 2700chiffres;de1000à1919:920 × 4 = 3680chiffres.Avecleschiffres1et9de1920,onobtiententout6572chiffres.Lapositionde2019est6572.

Exercice8–Trefmédiéval-5points–

Pourlerayonrdelasurfacedebaseona𝑟 = 50! − 40! = 30(Pythagore)

2𝜋×30 ≈ 188,496 et 18847

≈ 188,571

𝟏𝟖𝟖 𝟒𝟕

représenteunevaleurapprochéelacirconférenceducercledebase.

Exercice9–Quadratum-7points–Lesseulespiècesdontonconnaisselesdimensionssontlescarrésde5cmdecôté.Onpeutlesdécouperetessayerdelesagencerdansuncarréde14cmdecôté.Unepremièretentativepourraitêtredelesmettredanslescoins.Maisaprès,onvoitvitequ’onn’arrivepasàremplirl’espacequiresteparlespiècesquirestent.Apartlescarrés,lesseulesautrespiècesayantunangledroitsontlesquatretrianglesrectangles.Oncomprendalorsqu’ilsdoiventsetrouverdanslescoins.Etc’estentournantlescarrésdanslescoinspourfaireplaceauxtrianglesrectanglesqu’onvoittouteslesautrespiècesapparaître.

2𝑥 + 2𝑦 = 70 et 𝑥! + 𝑦! = 625 impose 𝑥 + 𝑦 = 35 et 𝑥𝑦 = 300Lesseulessolutionssont𝑥 = 15 et 𝑦 = 20 ou 𝑥 = 20 et 𝑦 = 15.Cesdeuxsolutionsdonnentenfaitlamêmefigure,àunerotationde90°près.Lesélèvespourrontessayerpartâtonnementpourvoircommentinscrireuncarrédecôté25dansun carré de côté 35, sachant que les sommets du petit carré doivent se trouver sur les côtés dugrandcarré.

Exercice10–Tétraordinaire-10points–Lecalculdesairesdesfacespeutêtreassezcomplexesil’onneperçoitpaslesdimensionsentièresdesfacesdutétraèdre.Cetravailestsimplifiésil’onessayedemettreensemblelesdifférentespartiesdesfacesdutétraèdre,commesurledeuxièmedessin.Lafaceverteetlafacebleueontchacunepouraire25cm2.Lafacerougeetlafacejauneontchacunepouraire50cm2. Exercice11–Enmarche-5points–Enmontant4marchesdeplusqueDelphine,Jeanagagné2secondes.Unemarchemet0,5spourprendrelaplacedelaprécédente.SoitNlenombrevisibledemarches:0,5(N–20)=10d’oùN=40(situationdeJean)OnretrouvelemêmerésultatpourlasituationdeDelphine:0,5(N–16)=12d’oùN=40Cetescalatorcompte40marchesvisibles.Remarque:Onpeutfairelecalculenutilisantlanotiondevitesse.

SoitNlenombredemarchesvisibles.Lavitessevdel’escalatorcorrespondaunombredemarches

arrivantauboutdel’escalatordansuncertaintemps(unité:marchesparseconde).

Pendantles10sdelamontéedeJeanN–20marchesarriventauboutdel’escalator.Onobtient𝑣 = !! !"

!" PourlamontéedeLaeticiaonobtient𝑣 = !!!"

!"

Puisquelavitessedeescalateurestlamême,ona!! !"!"

= !!!"!"

d’oùN=40.

Exercice12–Histoired’eau–7points–Volumedel’aquarium:50 × 25 × 40 = 50 000 𝑐𝑚!Volumerestantnonrempliaprèsinclinaison: 25 × 25 × 50 ÷ 2 = 15 625 𝑐𝑚!Levolumed’eauestégalà:50 000 − 15625 = 34 375 𝑐𝑚!Sionremetl’aquariumhorizontal,lahauteurd’eauestégaleà:34 375 ÷ 25 × 50 = 27,5 𝑐𝑚Lahauteurdel’eaudansl’aquariumestde27,5cm

Exercice13pourlessecondesGT–Quatraire–10points–LestrianglesIAHetIDHontmêmeaire,soita,(trianglesayantmêmebaseetmêmehauteur)LestrianglesIAEetIBEontmêmeaire,soitb,(mêmeraison)LestrianglesIBFetICFontmêmeaire,soitc,(mêmeraison)LestrianglesICGetIDGontmêmeaire,soitd,(mêmeraison)L’airedeIGDHestégaleà:a+dOra+d=aire(IHAE)+aire(IEBF)+aire(IFCG)–2c–2b=aire(IHAE)+aire(IEBF)+aire(IFCG)–2(c+b)

=165+115+175–2×115=225L’aireduquadrilatèreIGDHestégaleà225cm2.Exercice13pourlessecondesPro–Pointilleux–10points–

Onattenduntraçagesurgéogébraparexempleetunelecturegraphique.Ilya16pointsentout.(8;1)(7;4)(4;7)(1;8)sontlespointssurlepremierquartdecercle.LerayonRestdonnéparlepointA,R! = 7! + 4! = 65Unpointestsurlecerclesilasommedescarrésdesescoordonnéesdonne65.8²+1²=65OnplacelepointCetonzoomesuffisammentpourrépondre:lepointCestàl’intérieurducercle.Oubienoncalcule:6,99²+4,01²≈64,94