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CONCOURSNATIONALCOMMUNSESSION:2014 FILIERES:MP&PSI

EPREUVEDESCIENCESINDUSTRIELLESPOURL’INGENIEUR

ELEMENTSDECORRECTIONROBOTDETRAITEAUTOMATIQUEASTRONAUTA3

3.Etudefonctionnellepartielleexterneetimplantationdurobot

Question1:Recopieretcomplétersurvotrecopiel’actigrammeA‐0incompletdurobotdetraiteAstronautA3donnésurlafigure5suivante.

Figure5:SADTincompletdeniveauA‐0durobotdetraieAstronautA3.

Question2:CompléterlediagrammeFASTpartieldurobotdetraiteAstronautA3,donnésurlafigureR1dudocumentréponseDR1.

VoirdocumentréponseDR1.

4.EtudedelafonctionFT10:«Gérerlatraite»

Question3:Déterminerlenombredetraitesquepeuteffectuerlerobotsuruneplaged’utilisationde20heures. En déduire la taillemaximale du troupeau (nombremaximum de vaches) lors del’implantationd’unrobotAstronautA3.

5traitesprennent:5x6+4=34min 20traitesprennent:3x(34)+5x6+9=141min En20h,onpeutréaliser:20x60/141=8fois20traitesilreste72minquipermettentde

réaliser10traitessoit170traitesen20heures. Letroupeaupeutdonccontenir170/2,5=68vaches.

Question4:

Ondemandedecompléter lenouveaugrafcetG1degestiondes tâches fourni sur la figureR2 dudocument‐réponseDR2,desorteàprendreenconsidération:

‐ Lestâchespouvants’effectuersimultanément,plusparticulièrement,aprèsquelecyclederinçagetrayonssoit terminé,onpeutsimultanémentcontinuer lecycleparrinçagedescanalisations, latransmissiondedonnéesetleplacementdubrasenpositionattente,toutenouvrantlaportedesortiepourlibérerlavachepuislarefermeretouvrircelledel’entrée.

Traireautomatiquementunevacheetluifournirunequantité

denourritureadaptée.

RobotdetraiteAstronautA3

Vachetraite

LaitVache

Energie NourritureCodevache

A‐0

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‐ Lecasoù l’intervalleentredeux traitesest insuffisantetqu’alors la traiteestnonautorisée: laportedesorties’ouvre,alors,libérantlavache.Dèssasortiedubox,laportedesortiesefermeetcelled’entrées’ouvre.

VoirDocument‐réponseDR2

5.EtudedelafonctionFT122«Peserlavache»

Question5: a) Ecrireleséquationsissuesdel’applicationduprincipefondamentaldelastatiqueàl’ensembleE=(plateau+vache)aupointM.

b) DéduirelepoidsPdelavacheetlescoordonnéesXGetYGdesoncentredegravitéG,enfonctiondesdonnées,faireensuitel’applicationnumérique.

a) PFSappliquéàl’ensembleE=(plateaupeseur+vache):

{ } { } { } { } { } { }( ) ( .) ( .) + ( .) + ( . ) 0M N KT E E T B Plat T B Plat T B Plat T Pes Vache = + =

{ } { } { }

0 0 0

0 0 0 0 0 0

( .) 0 0 , ( .) 0 0 et ( .) 0 0

0 0 0M N K

M N KM R N R K R

T B Plat T B Plat T B Plat

Z Z Z

ì ü ì ü ì üï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï = = =í ý í ý í ýï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ïî þ î þ î þTRSprojetésur z

: 0K M NZ Z Z P+ + - =

TMSenM: . . . 0N KMN Z z MK Z z MG P z + - =

. . ( . . ) . ( . . . ) . 02N K G G

bb y Z z a x y Z z X x Y y h z P z + + - + + =

. . . . . . . . . . 02N K K G G

bb Z x a Z y Z x X P y Y P x - + + - =

[ ]. . . . . . . 02N K G K G

bb Z Z Y P x a Z X P yé ùê ú + - + - + =ê úë û

D’où: . . . 02N K G

bb Z Z Y P+ - = et . . 0K Ga Z X P- + =

c) K M NP Z Z Z= + + AN: 600P daN=

. .K KG

K M N

a Z a ZX

P Z Z Z= =

+ +AN: 0,44GX m=

. . 2 . .2 2( )

N K N KG

K M N

b Z b Z b Z b ZY

P P Z Z Z+

= + =+ +

AN: 1,5GY m=

6.EtudedelafonctionFT131:«Mettreenpositionlesorganesnécessairesàlatraite»

6.1.Etudehyperstatique

Question6: a) Dresserlegraphedeliaisonsdubrasderobot.b) Donner,enspécifiantlesmouvementsconcernés,lesmobilitésutileetinternedu

système.

c) Calculerledegréd’hypersatismehdusystème.Quelleestl’influencedecettevaleurdehsurlaréalisationdusysème?

d) Danslecasoùlemécanismeesthyperstatique,proposerunesolutionpourlerendreisostatiquesachantqueseuleslesliaisonsenD,E,FetHpeuventêtremodifiées.

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a) Legraphedeliaisonsdubrasderobot:

b) Mobilité:m=mu+mi

Mobilitéutile:mu=2(lesmouvementsdetranslationdesdeuxvérinsV5etV6).

Mobilitéinterne:mi=0.

c) Degréd’hyperstatisme: – 2 6 2 ‐10 4c ch m E I x= + = + = .

Influencedeh:systèmerigidemaisnécéssite4contraintesdimensionnelleset/ougéomètriquesàrespecterlorsdesaréalisationpourquelesystèmepuisseêtremontéetfonctionner.

d) Solutionisostatique:

OnremplacelesliaisonsenD,E,FetHpardesliaisonssphériques.Eneffet:midevient4,doncm=6et – 6 6 2–18 0c ch m E I x= + = + = ,onobtientainsiunsystème

isostatique.

6.2.Etudecinématique

Question7: a) Représenter,àl’échelleproposée,levecteurvitesse Î( 51/50)V D .

b) ParcompositiondesvitessesenD,déterminerlesvecteursvitesses Î( 50/0)V D et

Î( 2/0)V D .

c) Déterminerlevecteurvitesse Î( 2/0)V B .

d) Déterminerladirectionduvecteurvitesse Î( 3/0)V E .

e) DéterminerlecentreinstantannéderotationI30dumouvementde(3)parrapportà(0).

f) Déterminerlevecteurvitesse Î

4( 4/0)V G ,donnersanorme.

a) Î( 51/50)V D estportéeparFD,voirDR3

b) ParcompositiondesvitessesenD:

Î( 2/0)V D =. ( 2/51)V DÎ

+ Î( 51/50)V D + Î

( 50/0)V D

Î( 2/0)V D ^(AD)carAºCIRdumouvementde1/0.

Î( 51/50)V D déjàtracée

Î( 50/0)V D ^(FD)carFºCIRdumouvementde50/0.

Entraçantleparallélogrammeondéterminecomplétementlesvitesses Î( 50/0)V D et Î

( 2/0)V D .

c) Vecteurvitesse Î( 2/0)V B .

( 2/0)V BÎ

^(AB)carAºCIRdumouvementde1/0.

20

3+4

Pivotd’axe0( , )A x

Pivotd’axe0( , )B x

50 51

60 61

Pivotd’axe

0( , )F x

Pivotd’axe

0( , )D x

Pivotd’axe

0( , )E x

Pivotd’axe

0( , )H x

Pivotglissantd’axe 5( , )D y

Pivotglissantd’axe 6( , )E y

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Lavitessevarielinéairementlelongde(ADE),d’où Î( 2/0)V B .

d) Directionduvecteurvitesse Î( 3/0)V E .

Î( 3/0)V E = ( 3/6)V EÎ

+ ( 6/0)V EÎ

^(HE)carHºCIRdumouvementde6/0.

e) CentreinstantannéderotationI30dumouvementde(3)parrapportà(0).

Ona: ( 3/0) ( 3/2)V B V BÎ = Î

( 2/0)V B+ Î

I30=(^ ( 3/0)V BÎ

)Ç(^ Î( 3/0)V E )c.à.d.I30=(AB)Ç(HE).

Oubienenfaisantusageduthéorèmedes3plansglissants:I30=(I32I20)Ç(I36I60)c.à.d.I30=(BA)Ç(EH)

f) Vecteurvitesse Î

4( 4/0)V G

4 30 4( 4/0) ( )V G I GÎ ^

SoitJlepointde 30( )I B telque:I30B’=I30G4,alors: 4( 4/0) ( 3/0)Î = Î V G V J ;

Lavitessevarielinéairementlelongde(I30JB),d’où: ( 3/0)ÎV J et Î

4( 4/0)V G .

6.3.Etudeduguidageentranslationduchariot1Question8: a) EnseplaçantàlalimitedeglissementetenappliquantlesloisdeCoulomb,tracer,en

justifiant,lessupportsdesactionsmécaniquesdubâti(0)surl’ensemble(E)enMetN.

b) DéterminergraphiquementlapositionlimiteLlimdupointKquiassurel’équilibrestrict(limite)del’ensembleE.

c) Al’aided’uneanalysegéométrique,déterminerLlimenfonctiondefetdesdonnées.

d) Donner la condition sur la distance L pour éviter tout risque de coincement (arc‐boutement)duchariot1parrapportaubâti(0).Justifier.

a) Enseplaçantàlalimitedeglissement(ouàl’équilibrestrict),lesloisdeCoulombdisentqueles

supportsdesactionsmécaniques MRet NR

dubâti(0)surl’ensemble(E)enMetNfontl’angle

javecleursnormalesdecontactenMetNdesortequeleurscomposantestangentielles MTet

NTsoientopposéesauxvitessesdeglissementenMetN(respectivement)portéespar(+ 0x

).

Leseffortsnormauxétantdirigésverslamatièredel’ensembleE.

b) L’équilibreestassurésilestroisforces MR, NRetFauxquellesestsoumisl’ensemble(E)sont

concourants(etqueleursommevectorielleestnulle).L’intersectiondesactions MRet

NRdéfinitlapositionlimiteLlim.

c) Ona: lim lim lim limtan tan 2 tan 22 2e e

h L L L L fj j jæ ö æ ö÷ ÷ç ç= + + - = =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

lim 2h

Lf

=

d) Pourévitertoutrisquedecoincement(arc‐boutement)duchariot1parrapportaubâti(0)ilfaudraqueL<Llim.Eneffet,pourqu’ilyaitcoincement(c.à.d.équilibre)ilfaudraqueles3forcesappliquéesà(E)soientconcourantescommec’estdéjàditetpourquececipuissesefaireilfaut

quelesactions MR, NRfassentunanglesupérieuràjavecleursnormalesdecontactenMetN

(horscônedefrottement)chosequiestimpossibled’aprèslesloisdeCoulomb.

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6.4.Dimensionnementdesactionneurs

Question9: a) Déterminerlescomposantesduvecteurposition 3BG

ducentred’inertieG3dubras3.

b) Donner, en justifiant, la forme simplifiée de lamatrice d’inertie (B,3)I dans la base

0 3 3( , , )x y z

.

c) Exprimer en fonction des données, et dans la base 0 3 3( , , )x y z

, la matrice d’inertie

31(G ,31)I .Endéduirelamatriced'inertie (B,31)I danslabase 0 3 3( , , )x y z

.

d) Exprimer en fonction des données, et dans la base 0 3 3( , , )x y z

, lesmatrices d'inertie

32(G ,32)I et 33(G ,33)I .Endéduirelesmatricesd'inertie ( ,32)I B et ( ,33)I B .

e) Déduirel'expressiondelamatriced’inertie (B,3)I danslabase 0 3 3( , , )x y z

.

a) lescomposantes 3 3 3, G G GX Y et Z ducentred’inertieG3dubras3.

3 3 0 3 3 3 3

31 31 32 32 33 3331 32

31 3 32 0 3 3 33 0 3 331 32

. . .

1 .( )

( 2 )

1 .

( 2 ) 2 2 2 2 2 2 2

G G GBG X x Y y Z z

m BG m BG m BGm m

b a h b a h bm z m x y z m x y z

m m

= + +

= + ++

ì üæ ö æ öï ïï ï÷ ÷ç ç= - + - - + - - -í ý÷ ÷ç ç÷ ÷ç çï ïè ø è ø+ ï ïî þ

{ }( ){ }

31 3 32 3 331 32

31 32 3 32 331 32

1 ( )

( 2 ) 2

1 /2

( 2 )

bm z m hy bz

m m

m m bz m hym m

=- ⋅ + ++

=- ⋅ + ++

323 3 3

3

. . .2

m bBG h y z

m=- -

D’où; 323 3 3

3

0; ; 2G G G

m h bX Y Z

m= =- =-

b) Formesimplifiéedelamatriced’inertie ( ,3)I B .

Lagéométriedubrasintermédiaire3présenteunplandesymétrie 3 3( , , )B y z

,donc:

0 3 3

3

3 3

3 3 ( , , )

0 0

( ,3) 0

0x y z

A

I B B D

D C

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

c) Matriced’inertie 31(G ,31)I et ( ,31)I B

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= +ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø 0 3 3

2

2 23131

2

( , , )

0 0

( ,31) 0 012

0 0x y z

bm

I G a b

a;

D’aprèsHuygensona: { }31 31 31( ,31) ( ,31) ( , , )I B I G I B G m= +

Etpuisque: 31 32b

BG z=-

,alors: { }

0 3 3

231

231 31 31

( , , )

/ 4 0 0

( , , ) 0 /4 0

0 0 0x y z

m b

I B G m m b

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷=ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø

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D’où:

0 3 3

2

31

2 2

31

2

31( , , )

0 03

( ,31) 0 012 3

0 012 x y z

bm

a bI B m

am

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç æ ö ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷= +ç ÷÷ç ç ÷÷çç è ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è ø

d) Matricesd’inertie: 32(G ,32)I , 33(G ,33)I , ( ,32)I B et ( ,33)I B .

0 3 3

2 2

23232 33

2

( , , )

0 0

( ,32) ( ,33) 0 012

0 0x y z

h bm

I G I G b

h

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷= = ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø

Ona: 32 0 3 3/2. /2. /2.BG a x h y b z= - -

et 32 0 3 3/2. /2. /2.BG a x h y b z=- - -

Donc:

( )

( )

( )0 3 3

2 2 2 232 3232 32

2 2 232 3232 32

2 2 232 3232 32

( , , )

( )12 4 4 4

( ,32)4 12 4 4

4 4 12 4 x y z

m m ah abh b h b m m

m mah bhI B m b a b m

m mab bhm m h a h

æ ö÷ç + + + ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç= + + - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- + + ÷ç ÷ç ÷çè ø

0 3 3

2 23232 32

2 2

32 32 32

2 2

32 32 32( , , )

( )3 4 4

( ,32)4 4 3 4

4 4 4 3 x y z

m ah abh b m m

ah a b bhI B m m m

ab bh a hm m m

æ ö÷ç + ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷æ ö ÷ç ÷ ÷çç ÷= + - ÷çç ÷ ÷çç è ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷æ öç ÷÷ç ÷ç ÷÷ç - +ç ÷÷ç ç ÷ç è øè ø

Demême:

0 3 3

2 23333 33

2 2

33 33 33

2 2

33 33 33( , , )

( )3 4 4

( ,33)4 4 3 4

4 4 4 3 x y z

m ah abh b m m

ah a b bhI B m m m

ab bh a hm m m

æ ö÷ç + - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷æ ö ÷ç ÷ ÷çç ÷= - + - ÷çç ÷ ÷çç è ø ÷ç ÷ç ÷ç ÷æ öç ÷÷ç ÷ç ÷÷ç - - +ç ÷÷ç ç ÷ç è øè ø

e) Matriced’inertie ( ,3)I B

( ,3) ( ,31) ( ,32) ( ,33)I B I B I B I B= + +

0 3 3

3

3 3

3 3 ( , , )

0 0

( ,3) 0

0x y z

A

I B B D

D C

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= -ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

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avec:

2 2 2 2 22 232 33

3 31 3 31 32 33

2 2 2

3 31 32 33 3 32 33

( ) ; ( )3 3 12 3 4 3

( ) ; ( )12 4 3 4

m mb a b a bA m h b B m m m

a a h bhC m m m D m m

ì æ ö æ öï + ÷ ÷ï ç ç÷ ÷= + + = + + + +ï ç ç÷ ÷ççï ÷ è øçè øïïíï æ öï ÷çï ÷= + + + = +çï ÷çï è øïî

Question10: a) Déterminerletorseurcinétique,aupointB,dubras(3)danssonmouvement/àR0.

b) Déterminer laprojection sur 0xdesélémentsde réductiondu torseurcinétique,au

pointB,delatête(4)danssonmouvement/àR0.

a) Torseurcinétique,aupointB,dubras(3)danssonmouvement/àR0.

{ }

( )

( )

3 03 0

3 0

33 0 3 3 3 0 3 0 2 2 2 2 3 3

3 0 3 3 3 0

33 3 0 2 2 2 3 2

( / )( / )

( , / )

( / ) ( / ) . . . ( ).2

( , / ) . ( / ) ( ,3). 3/0

. (2

c

B

c

R S RS R

B S R

LR S R m V G S R m x x L z y

B S R m BG V B S R I B

Lm z x x L z A

s

q q q

s

q q q

ì üï ïï ï= í ýï ïï ïî þæ ö÷ç= Î = + + + ÷ç ÷çè ø

= Î + W

=- + + +

C

( )

3 0

3 33 2 2 3 0 3 2 3 0

1 13 2 3 3 3 2 2 3 0 3 3 32 2

)

.. sin ( )

2

( ) sin . .

x

m Lx y L x A x

A m L L x m L x y

q q q q

q q q q

=- - + +

é ù= + + -ë û

b) Torseurcinétique,aupointB,delatête(4)danssonmouvement/àR0.

{ }

( )( )( )

4 04 0

4 0

0 4 0 0 4 4 4 0 4

0 4 0 0 4 3 0 0 4 4 4 4 0

4 2 3 4 0 3 3 4 3 4 4 0

4 2 3

( / )( / )

( , / )

. ( / ) . ( / ) .

. ( , / ) . ( , / ) . ( / )

( ) . ( / )

( )

c

B

c

R S RS R

B S R

x R S R x m V G S R m x

x B S R x G S R x BG m V G S R

A m x L z L y V G S R

A m

s

s s

q q

q q

ì üï ïï ï= í ýï ïï ïî þ

= Î =

= + Î

= + - + Î

= + -

C

( ) ( )( ) ( )( )

4 4 3 3 3 0 2 2 2 3 2 3 3 4 2 3 3

2 24 2 3 4 3 4 2 3 2 2 3 3 4 3

. . . . ( ). ( ).

( ) ( ) . . sin cos

L z L y x x L z L y L z

A m L L L L L

q q q q q

q q q q q q q

- + + + - +

é ù= + + + + + -ê úë û

Ondonneleschémad’analysedusystèmesurlafigure9suivante:

Onrappellequetouteslesliaisonssontavecfrottementvisqueuxetquelesmassesdesvérinssontnégligées

Figure9:Schémad’analysedusystème

Vache

0 1

2

V1

3+4

V6

Glissièrededirection

0x

Pivotd’axe0( , )A x

Pivotd’axe0( , )B x

V5 Pesanteur

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Les lois demouvement étant connues on désire dimensionner les vérins V1, V5 et V6 permettant deréalisercesloisdemouvement.

Question11:Sansdévelopperlestermesdynamiques,écrireleséquationspermettantdedéterminerlesactionsmécaniquesdes vérins:F1,F5 etF6. Indiquer, clairement, le(s) système(s)à isoler,le(s)théorème(s)àutiliser.

DéterminationdeF1:Onisolel’ensembleE1=(S1+S2+S3+S4),

{ } { } { } { } { }1 1 0 1 1 0 1 00 1 0 01

1 1 1 1 1 0 1 1

( ). ( ). ( . ). 0( ). .

.

pR V S x F R Vache S x F R Pes E xR S S x f x

E E V S Vache S S S Pes E = =- = =-

= + + +

TRDenprojectionsur 0x:

0 1 0 1 01. ( / ) .D px R E R F F f x= - -

1 0 1 0 01. ( / ) .D pF x R E R F f x= + +

DéterminationdeF6:

Onisolel’ensembleE2=(S3+S4)

{ } { } { } { }6 62 3 0 23 3

2 2 2 3 6 3 2

( ). .

0

.

B

E

F yM S S x f

E E S S V S Pes Eq ì üï ï =- ï ïí ýï ïï ïî þ

= + +

TMDaupointBenprojectionsur 0x:

( )0 2 0 0 6 6 3 3 0 4 4 0 23 3. ( , / ) . . . . ( ) . . .x B E R x BE F y BG m g z BC CG m g z fd q= - - + -

( )30 2 0 3 6 6 2 3 3 2 3 4 3 2 3 4 2 3 23 3. ( , / ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) .

2L

x B E R a F m g m g L L fd q q q q q q q q q q= - - - + + - + + + -

30 2 0 4 3 2 3 4 4 2 3 23 3

63 6 2 3

. ( , / ) in( ) cos( ) .2

cos( )

mx B E R m gL s m gL f

Fa

d q q q q q

q q q

æ ö÷ç+ + + - + +÷ç ÷çè ø=

- -

DéterminationdeF5:

Onisolel’ensembleE3=(S2+S3+S4)

{ } { } { } { } { }5 5 6 61 2 0 12 2

3 3 1 2 5 2 6 3 3

( ). .

0 0

.

A

D E

F y F yM S S x f

E E S S V S V S Pes Eq ì ü ì üï ï ï ï =- ï ï ï ïí ý í ýï ï ï ïï ï ï ïî þ î þ

= + + +

TMDaupointAenprojectionsur 0x:

( )0 3 0 0 5 5 6 6 2 2 0 3 3 0 4 4 0 12 2. ( , / ) . . . . . . . . . .x A E R x AD F y AE F y AG m g z AG m g z AG m g z fd q= + - - - -

( )

320 3 0 2 5 5 2 6 6 5 21 2 2 2 3 2 2 2 3

4 2 2 3 2 3 4 2 3

. ( , / ) sin( ) cos cos cos sin( )2 2

. . cos sin( ) cos( )

LLx A E R a F h F f m g m g L

m g L L L

d q q q q q q q q

q q q q q

æ ö÷ç= - + - - - + + ÷ç ÷÷çè ø

- + + - +

320 3 0 6 6 5 21 2 3 4 2 2 4 3 2 3 4 4 2 3

52 5 2

. ( , / ) cos cos sin( ) cos( )2 2

sin( )

mmx A E R h F f m m gL m gL m gL

Fa

d q q q q q q q

q q

æ öæ ö ÷÷ çç- + + + + + + + + +÷÷ çç ÷ ÷ç çè ø è ø=

-

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Question12:Encalculantlestermesdynamiques,déterminercomplétementF1etF6enfonctiondesdonnées.

DéterminationcomplètedeF1:

( ) ( )0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0

1 2 3 4

. ( / ) . ( / ) . ( / ) . ( / ) . ( / ) . ( / )

( ).

D C C C C C

d dx R E R x R E R x R S R x R S R x R S R x R S R

dt dtm m m m x

= = + + +

= + + +

( )1 1 2 3 4 01 . pF m m m m x f x F= + + + + +

DéterminationcomplètedeF6:

30 2 0 4 3 2 3 4 4 2 3 23 3

63 6 2 3

. ( , / ) in( ) cos( ) .2

cos( )

mx B E R m gL s m gL f

Fa

d q q q q q

q q q

æ ö÷ç+ + + - + +÷ç ÷çè ø=

- -

Avec:

( )

( ) ( )0

2 00 2 0 0 0 2 0 2 0

2 0 0 0 0 3 3 3 0 4 4 4 0

( , / ). ( , / ) . . ( / ) ( / )

( , / ). ( / ) .( ( / ) ( / )

E ER

d B E Rx B E R x x m V B R V G R

dt

dB E R x x V B R m V G S R m V G S R

dt

sd

s

æ ö÷ç= + ÷ç ÷çè ø

= + Î + Î

( ) ( )

( )

0 2 0 2 0 0 0 2 2 2 3 3 3 0 4 4 4 0

33 0 2 2 2 2 3 3

2 0 0 2 2 2

4 0 2 2 2 3 2 3 3 4 2

. ( , / ) ( , / ). . . .( ( / ) ( / )

. . . ( ).2( , / ). . . .

. . . ( ). (

dx B E R B E R x x L z m V G S R m V G S R

dtL

m x x L z ydB E R x L y

dtm x x L z L y L

d s q

q q qs q

q q q q

= + Î + Î

æ ö÷ç + + + +÷ç ÷çè ø= -

+ + + -

( )

( ) ( )( )

3 3

12 0 0 2 2 2 3 3 3 3 4 3 3 4 32

).

( , / ). ( ) cos cos sin

z

dB E R x L m L m L L

dt

q

s q q q q q q

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç +è ø

= - + + +

( )

( ) ( )( )

2 0 0 3 0 0 4 0 0

21 13 3 3 2 3 3 3 2 2 32 2

2 24 2 3 4 3 4 2 3 2 2 3 3 4 3

( , / ). ( , / ). ( , / ).

( ) sin

( ) ( ) . . sin cos

B E R x B S R x B S R x

A m L m L L

A m L L L L L

s s s

q q q q

q q q q q q q

= +

é ù= + + + +ê úë ûé ù+ + + + + -ê úë û

( ) ( )

( )( )

2 2 21 10 2 0 3 4 3 3 4 3 4 2 3 3 3 3 4 3 3 4 3 2 22 2

213 3 3 4 2 3 3 4 3 2 22

. ( , / ) ( ) ( ) sin sin cos

cos cos sin

x B E R A A m L m L L m L m L L L

m L m L L L L

d q q q q q q

q q q q

é ù= + + + + + + + -ë û- + +

7.EtudedelafonctionFT135:«Réguleretasservirlapositiondesorganesdetraite»

Lecahierdeschargespartieldécrivantlesperformancesassociéesauchariot1estlesuivant:

Fonction Critères Niveauxetéventuelleflexibilité

FT135

AxeN°1(translationduchariot1parrapportaubâti)

Stabilitédel’axe Margedephase:MP³45°

Amortissementdel’axe Aucundépassementtransitoirepermis

Précisiondepositionnementdel’axe

‐ Insensibilitéàuneperturbationimpulsion.‐ Ecartstatique(écartenrégimepermanentsuiteàunéchelondeposition)nul.

Rapiditédel’axe Pulsationdecoupureà0dB(oudegainunité):wc0=10rad.s‐1

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7.1.Modélisationdessystèmesélectro‐hydrauliques

Question13:Ensupposantlesconditionsinitialesnulles,écrireleséquations(1),(2),(3)et(4)dans ledomainedeLaplace,puisrecopieretcompléterleschéma‐blocsdelafigure11.

(1): =( ) . ( )Dq t K u t ( ) . ( )DQ p K U p= .(2)qfuite(t)=l -( ( ) ( ))a bP t P t Qfuite(t)= ( ( ) ( ))a bP p P pl -

(3) : ( )( ) . ( ) ( )

2d P t

q t S v t P tdt

sl

bD

= + ⋅ + D s

lb

= + D + D( ) . ( ) . ( ) . ( )2

Q p S V p p P p P p .

(4) : ( ). ( ) . ( ) ( )éq p

dv tM S P t f v t F t

dt= D - - = D - -. . ( ) . ( ) . ( ) ( )

éq pM p V p S P p f V p F p . 

Figure11:Schéma‐blocdel’ensemble«vérin+charge»

Question14: a) Ecrirelafonctiondetransfert( )( )V pU p

pour =( ) 0pF p souslaforme+ + 21

uKAp Bp

où

lestermesA,BetKuserontexplicités.

b) Écrirelafonctiondetransfert( )( )p

V pF p

pour =( ) 0U p souslaformet+

+ + 2

(1 )

1fK p

Ap Bpoù

lestermestetKfserontexplicités.

c) Montrerquelemodèlecompletassociéàl’axe0x peutsemettresouslaformedu

schémafonctionneldonnéfigure12oùlestermesF(p),G(p)etH(p)serontexplicités.

a) Fonctiondetransfert( )( )V pU p

pour =( ) 0pF p  

22( ) 0

2

2 22

2 2

2

2 12( ) 2

. .2 1( ) (2 )( ) 21

2

2.

2 2 ( ).22 2 (2 )

12 ( ) 2 ( )

1

p

éqD D

éqF p

éq

D

Déq éqéq éq

u

Sp f M pV p BS

K KU p p f M p SS

B p f M p

SK

S f SKM f Mf S M f p M p

p pf S f S

KAp Bp

bbl s

b bl s bl s

bb b l

bl s sbl b bl s sb l b l

=

⋅ ⋅+ +

= =+ + ++ ⋅ ⋅

+ +

+= =++ + + +

+ ++ +

=+ +

 

avec : bl s sb

b l b l b l

+= = =

+ + +2 2 2

22. , et 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )

éq éq

u D

M f MSK K A B

f S f S f S. 

S

Q(p) P(p)

l

DK

U(p) V(p)

Fp(p)Qfuite(p)

S2pbs

1.éqf M p+

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b) Fonctiondetransfert( )( )p

V pF p

pour =( ) 0U p  

22

( ) 0

2

2 22

2 2

2

1

( ) 22 1( ) (2 )( ) 21

2

22

22 ( )222 2 (2 )

12 ( ) 2 ( )

(1 )

1

éq

p éqU p

éq

éq éqéq éq

f

f M pV p pF p p f M p SS

p f M p

pf Sp

M f Mf S M f p M pp p

f S f S

K p

Ap Bp

bl sb bl s b

bl s

bl sbl

blb lbl sbl s sbl b bl s sb l b l

t

=

+ += =

+ + ++ ⋅ ⋅+ +

æ ö÷ç + ÷ç ÷÷ç+ è ø+= =

++ + + ++ +

+ ++

=+ +

 

Avec :  2

2et

22 ( )fK f Sbl s

tblb l

= =+

. 

c) D’aprèsleschéma‐blocdelafigure12ona: ( ) ( ). ( ). ( ) ( ). ( ). ( )pV p H p G p U p H p F p F p= -

Donc: 2( ). ( )1

uKH p G pAp Bp

=+ +

 et  2

(1 )( ). ( )

1fK p

H p F pAp Bp

t+=

+ +. 

D’où : 2

1( )

1H p

Ap Bp=

+ +,  ( ) uG p K=  et  ( ) (1 )fF p K pt= + .

Question15: a) Mettrelafonctiondetransfert( )( )V pU p

sousforme: 2

2

( )( ) 2

1

u

n n

KV pU p p

px

w w

=+ +

,

Donnerlesexpressionsdexetwn enfonctiondeAetB.

b) DonnerlavaleurdexpourquelaréponseenvitesseàunéchelondetensionU0soitla

plusrapidepossiblesansqu’ilyaitdépassement

c) Enfaisantusagedel’abaquedelafigure13,déterminerlavaleurdewn donnantun

tempsderéponseà5%égalà0,5s.

d) DéterminerlavaleurdugainKuassurantunevitesseenrégimepermanentde50m/spourunéchelondetensionU0=10Venl’absencedelaperturbation.

e) Enl’absencedelatensionU(p),déterminerlapositionenrégimepermanent ¥( )x du

chariot1suiteàuneperturbationimpulsiondeDirac: d=( ) . ( )pF t a t enfonctiondeKf.

f) Conclurequantlacapacitédelacommandeenchaînedirecteàsatisfairel’exigenceducahierdechargesentermesdesensibilitéàlaperturbation.

a) 2 2

2

( )( ) 1 2

1

u u

n n

K KV pU p Ap Bp p

px

w w

= =+ +

+ +

1et

2n

A

B Bw x= =

b) PourquelaréponseenvitesseàunéchelondetensionU0soitlaplusrapidepossiblesansqu’ilyaitdépassementilfautprendre 1x= .

c) D’aprèsl’abaque,pour 1x= ona: 5% . 5r nt w = 15%5/ 5/0,5 10 .n rt rad sw -= = = .

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d) Enl’absencedelaperturbation,lavitesseenrégimepermanent

1 10 0( ) . ( )/ 50/10 5 . .v K U K v U m s V- -¥ = = ¥ = = .

Donc: 2

( ) 5( ) (1 0,1. )V pU p p

=+

e) Enl’absencedelatensionU(p),Lapositionenrégimepermanentest:

20 0 0

(1 )1( ) lim ( ) lim . ( ). ( ). ( ) lim .1

1f

p fp p p

K px pX p p F p H p F p K

p Ap Bp

t

+¥ = = = =

+ +

f) Lacommandeenchaînedirecteestdoncsensibleuneperturbationimpulsion.Ellenejamaissatisfairel’exigenceducahierdechargesentermesdesensibilitéàlaperturbationimpulsion.

7.3.Synthèsedelaloidecommandedédiéeàl’asservissementetàlarégulationdelapositionduchariot1

7.3.1.Systèmeasservinoncorrigé

Lapremièreétudeproposées’intéresseàl’étudedelacommandeenboucleferméenoncorrigé:C(p)=1.

Question16: a) Déterminerlafonctiondetransfertenboucleouverte ( )BOH p ensupposant ( ) 0pF p = .

b) Déterminerlafonctiondetransfertenbouclefermée: =( ) ( )/ ( )BF CH p X p X p .

c) En supposant ( ) 0CX p = , déterminer la fonction de sensibilité vis‐à‐vis de la

perturbationdéfiniepar: e=( ) ( )/ ( )préc pH p p F p .

a) Fonctiondetransfertenboucleouverte: 2

1 5( ) ( ). ( ). ( ).

(1 0,1 )BOH p C p G p H pp p p

= =+

b) Fonctiondetransfertenbouclefermée:

2 2

( )( ) 5 1( )

( ) 1 ( ) 5 (1 0,1 ) 1 0,2 0,02BO

BFC BO

H pX pH p

X p H p p p p p= = = =

+ + + + +

c) Fonctiondesensibilitévis‐à‐visdelaperturbation:

2

2

2

2(1 0,2 )1( ). ( ).

( ) 2(1 0,2 )(1 0,1 )( )

5( ) 1 ( ) 5 (1 0,1 )1(1 0,1 )

précp BO

pF p H p

p pp p pH p

F p H p p pp p

e+

++= = = =+ + ++

+

Question17: a) Donnerl’écartenrégimepermanentdûàuneentréeéchelon: ( ) 0,01. ( )cx t u t= avec

( )u t lafonctiond’Heaviside.

b) Déterminerl’écartenrégimepermanentdûàuneperturbationdetypeimpulsiondeDirac: ( ) . ( )pF t a td= .

c) Conclurequantà la capacitéde la commandeboucléenon corrigéeà respecter lesspécificationsducahierdechargesentermesdeprécision.

a) Ecartenrégimepermanentdûàuneentréeéchelon:es=0carlaclassedeHBO(p)estégaleà1.

b) EcartenrégimepermanentdûàuneperturbationdetypeimpulsiondeDirac: ( ) . ( )pF t a td= .

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20 0 0

2(1 0,2 )( ) lim ( ) lim . ( ). ( ) lim . .1 0

5 (1 0,1 )préc pp p p

pp p p H p F p p

p pe e

+¥ = = = =

+ +

Résultatqu’onpourraitécriredirectementvuqu’unecommandeasservieesttoujoursinsensibleauxperturbationsimpulsionsetceciqu’ilyaitprésenced’intégrationdanslaboucleoupas.

c) Onconclutquelacommandeboucléenoncorrigéeestcapablederespecterlesspécificationsducahierdechargesentermesdeprécision.

Question18: a) SurlafigureR5dudocument‐réponseDR4,placeretrelever:

lapulsationw 0c decoupureà0dB.

lesmargesdegainetdephase.

b) Lacommandeboucléenoncorrigéepermet‐ellederespecterlescritèresducahierdechargesrelatifsàlarapidité,àlastabilitéetl’amortissementdel’axe?

a) Voirdocument‐réponseDR4

lapulsationw 0c =4rad/s.

lesmargesdegainetdephase:MG=12dBetMP=45°.

b) Lacommandeboucléenoncorrigéepermetderespecterlecritèreducahierdechargesrelatifà

lastabilité(MP³45°)maispasceuxdelarapidité(w 0c <10rad/s)etdel’amortissementde

l’axe(présencededépassementdelavaleurfinale)

7.3.2.Correctionàactionproportionnelle

Question19: a) ApartirdelafigureR5dudocument‐réponseDR4,déterminerlavaleurKc1deKcpermettantderespecterlaspécificationderapiditéexigéparleCdCF.

b) TracersurlafigureR5dudocument‐réponseDR4lesdiagrammesdegainetdephasedusystèmecorrigéparKc1.

c) Releverlesnouvellesvaleursdesmargesdegainetdephase.

d) Auvudesrésultatsprécédents,est‐ilpossibledevaliderlechoixd’uncorrecteuràactionproportionnel?Commenter.

a) ValeurKc1deKcpermettantderespecterlaspécificationderapiditéexigéeparleCdCF.

Ilfaudradéplacerlelieudegainverslehautpourlefairecouperavecl’axe0dBenw=10rad/s.

Lavaleurdedéplacementest20logKc1=12dBc.à.d.Kc1=1012/20=4.

b) Voirledocument‐réponse(lelieudephaseresteinchangé).

c) Nouvellesvaleursdesmargesdegainetdephase:MG=0dBetMP=0°lesystèmeestdevenujusteinstable.

d) Il n’est pas possible de valider le choix d’un correcteur à actionproportionnel car onnepeutsatisfaireàlafoisauxexigencesderapiditéetdestabilité:

PourKc=1,lecritèredestabilitéestsatisfaitmaispasceluidelarapidité;

PourKc=Kc1,lecritèrederapiditéestsatisfaitmaispasceluidelastabilité.

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Question20:Apartirdelafigure15,justifierpourquoiest‐ilpossibled’approcherlesystèmeasserviparun système de deuxième ordre et déterminer ses paramètres caractéristiques:

, BF nBF BFK etw x .

Ilestpossibled’approcherlesystèmeasserviparunsystèmededeuxièmeordredontlecoefficientd’amortissementestinférieurà1,carlatangenteàl’origineesthorizontaleestquelaréponseestoscillante.

Paramètrescaractéristiques:

Lapositionenrégimepermanentest: ( ) 0,01. BFx K¥ = etonrelèvesurlegraphe ( ) 0,01x m¥ = ,

donc: 1BFK = .

Le1erdépassementrelatifest 11 2 2 2

1

ln(D )D exp

1 ln (D )

pxx

x p

æ ö- ÷ç= =÷ç ÷ç ÷÷ç - +è ø,onrelèvesurlegraphe

1

0,0125 0,01D 0,25

0,01-

= = ,donc: 0,4x= .

Le1erdépassementalieuàlademipseudo‐période.

pn2 2

n

T0,65s

2 1 0,65 1

p pw

w x x= = =

- -,donc: 1

n 5,3rad.sw - .

7.3.3Correctionàactionsproportionnelle‐dérivée

Question21:SurlafigureR6dudocument‐réponseDR4,tracerlesdiagrammesasymptotiquesetl’alluredesdiagrammesréelsdeBodeducorrecteur 2( )C p .

VoirDocument‐réponseDR4.

Question22:Déterminerlafonctiondetransfertenboucleouvertecorrigé 2( )BOH p ,donnersonordre,sa

classeetsongainstatique.

2 2 2

1 0,24. 5 8,25(1 0,24 )( ) 1,65

1 0,04. (1 0,1 ) (1 0,04. )(1 0,1 )BO

p pH p

p p p p p p+ +

= ⋅ ⋅ =+ + + +

Sonordren=4,saclassea=1etsongainstatiqueKBO2=8,25.

Question23: a) Représenter puis relever les écarts en régime permanent respectivement à uneperturbationimpulsion ( ) . ( )pF t a td= etàunéchelondeposition ( ) 0,01. ( )cx t u t= .

b) Représenter puis relever sur le diagramme deBlack de la figureR8 dudocument‐réponseDR5,lapulsationw 0c decoupureà0dB,lesmargesdephaseetdegain.

c) Au vu des résultats précédents et des spécifications du cahier des charges, est‐ilpossibledevaliderlecorrecteuràactionproportionnelle‐dérivée 2( )C p ?Commenter.

a) ‐L’écartenrégimepermanentàuneperturbationimpulsion ( ) . ( )pF t a td= estnulcarlesystème

estbouclé.

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‐ L’écart en régime permanent à un échelon de position ( ) 0,01. ( )cx t u t= est aussi nul car la

boucleprésenteuneintégration.Voirdocument‐réponseDR5

b) ‐Pulsationdecoupureà0dB: 10 10 .c rad sw -= .

‐Margesdephaseetdegain:MP 45 etMG 12dB.

c) Cecorrecteurpermetlasatisfactiondescritèresducahierdechargesentermesdeprécision,rapiditéetdestabilitémaispasceluidel’amortissementdel’axe(onvoitbiensurlegraphedepositionlaprésenced’ndépassementtransitoire.Onnepeutpasalorslevalider.

Question24: a) ReleversurlediagrammedeBodedelafigure21,lapulsationw 0c decoupureà0dB

ainsiquelesmargesdegainetdephase.

b) Cettecommandepermet‐ellederespecterlescritèresdeperformancesdéfinisparlecahierdescharges?Commenter.

a) ‐Pulsationdecoupureà0dB: 10 10 .c rad sw -= .

‐Margesdephaseetdegain:MP 77= etMG=40dB.

b) Cettecommandepermetderespectertouslescritèresdeperformancesdéfinisparlecahierdescharges,eneffet:

–Pourlaprécision:lesécartsdusàlaperturbationimpulsionetàl’entréeéchelonsonttoutdeuxnuls.

–Pourlarapidité: 10 10 .c rad sw -= ;

–Pourlastabilité:MP>45°;

–Pourl’amortissementdel’axe:onvoitbiensurlegraphed’évolutiondelapositionqu’iln’yapasdépassementtransitoire.

…Fin

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SciencesIndustriellespourl’Ingénieur 16/20 Document‐‐réponse

DOCUMENT‐REPONSEDR1

FigureR1:FASTpartieldurobotdeTraite

AstronautA3

Ecrandecontrôletactile

FT1:Traiteautomatiquementunevacheetluifournirunequantitédenourritureadaptée.

FT11:Recevoirlavache

Box

FT12:Transmettreau

robotlescaractéristiquesdelavache.

Brasdurobot,chariot,vérins

Cuvederéceptiondulait

……………………….

FT134:Connecterlavacheaurobot

FT133:Nettoyerlestrayons

FT132:………………………………………………………………….

FT123:Traiterlesinformationsettransmettrelesdonnées

FT122:Peserlavache

FT121:Identifierlavache

FT112:Isolerlavache

FT13:Extrairelelait

FT15:………………………………….

FT143:Peserlelait

FT142:Déterminerlaconductivité,lacouleur,ledébitdu

lait

FT111:…………………………………………………………………….

FT10:Gérerlatraite

Unitédecommandeetmodèlededécision

…………………………………………………….

………………………………………………..

………………………..

……………………….……………………………………………………

……………………....

……………………………………………………

Systèmededétectiondestrayons

Systèmed’aspirationetgobelets

FT131:Mettreenpositionlesdiversorganesnécessaires

à la traite

Lesbouclesd’asservissements

FT135:Réguleretasservirla

positiondesdiversorganesdetraite

FT141:Recevoirle lait

FT14:Analyseretstockerlelait

Placerlavache

Portesentréeetsortie

Plateaupeseur

Lecteurdubadgedela

Ordinateurdestockagedel’information

Détecterlespositionsdestrayons

CapteurMQC

Brosses

Balance

Dialogueravecl’utilisateur

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SciencesIndustriellespourl’Ingénieur 17/20 Document‐‐réponse

FigureR2:GrafcetG1degestiondestâchesàcompléter

DOCUMENT‐REPONSEDR2

porte entrée ouverte.porte sortie fermée 

porte entrée ouverte . porte sortie 

10 

poids >250 

Rincer canalisations, gobelets et b

cycle rinçage gobelets terminé   détection vache sortie  

Fermer porte entrée 

porte entrée fermée.données reçues.traite autorisée  

gobelets escamotés 

trayons localisés 

gobelets rétractés

brossage terminé 

30 

cycle rinçage trayons terminé 

Transmettre données  

Placer bras en position attente 

Ouvrir porte sortie  

traite non autorisée  

détection vache sortie  

12

Acquérir données du badge  

 Nettoyer trayons 

 Localiser trayons  

 « Accrocher  gobelets » 

Escamoter gobelets  

Rincer trayons  

Ouvrir porte sortie  

Fermer porte sortie  

Ouvrir porte entrée  

Fermer porte sortie  

Ouvrir porte entrée  

40 

60 

70 

71 

72 

74

75

13

11 

M50 

73  76

données transmises . bras en position 

1

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ConcoursNationalCommun Elémentsdecorrection Session2014

SciencesIndustriellespourl’Ingénieur 18/20 Document‐‐réponse

Echelledesvitesses:0,1m/s1,5cm

DOCUMENT‐REPONSEDR3

0y

FigureR3 :Schémacinématiqueplandubrasderobot

AO

F

H

G4

BD

E

C

1º0

2 3

4

51

650

0z

0

I30

Î( 51/50)V D Î

( 50/0)V D

Î

4( 4/0)V G

dir. Î( 3/0)V E

Î( 2/0)V B

( 2/0)V DÎ

J

FigureR4:Schémaduguidageduchariot1

0z

0x

MN

Llim

NT

NN

NR

MT

MR

I

1F

M

N

Galet4

Galet1Galet2

Galet3

Bâti0

h

e/2

e/2

L

K

j

Chariot1

j

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SciencesIndustriellespourl’Ingénieur 19/20 Document‐‐réponse

FigureR5:DiagrammedeBodedelaboucleouvertedusystèmeasservinoncorrigé

FigureR6:DiagrammedeBodeducorrecteuràactionsproportionnelleetdérivéeC2(p)

DOCUMENT‐REPONSEDR4

0

4

8

12

16

20

Gain(dB)

Phase(deg)

10‐1 100 101 102 1030

45

90

Pulsation(rad/s)

Phase(deg)

Gain(dB)

10‐

100

101

102

103

‐270

‐225

‐180

‐135

‐90

Pulsation(rad/s)

‐120

‐100

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

MP=45°

MG=12dB

wc0 wc0’LieudugaindusystèmecorrigéavecKc=Kc1

MêmelieudelaphasepourlesystèmecorrigéavecKc=Kc1etnoncorrigé

20logKc1=12dB

10,04

20log1,65

10,24

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SciencesIndustriellespourl’Ingénieur 20/20 Document‐‐réponse

FigureR7:Positionduchariot1pourunéchelondepositionde0,01maveclecorrecteurC2(p)

FigureR8:DiagrammedeBlackdelaboucleouvertecorrigéeaveclecorrecteurC2(p)

Temps(s)0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014Positionx(t)(m)

Phase(deg)‐270 ‐225 ‐180 ‐135 ‐90

‐120

‐100

‐80

‐60

‐40

‐20

0

20

40

60

300rad/s

70rad/s

30rad/s16rad/s

c0ω =10

rad/s

6rad/s

1rad/s

0,1rad/s

Gain(dB)

DOCUMENT‐REPONSEDR5

MP45°

MG12dB

s = 0

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