„Elementy”

Wrocław, 24 marca 2010

„Elementy”

Podstawowe dane

Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrałnajważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył ztego nową jakość.

Elementy to monografia i podręcznik.

Składają się z 13 ksiąg, z których

Księgi I – VI poświęcone są geometrii płaszczyzny

Księgi VII – X arytmetyce

Księgi XI – XIII geometrii brył

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25%(Księga X)

Każda z pozostałych to około 5 – 8% całości dzieła.

„Elementy”

Podstawowe dane

Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrałnajważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył ztego nową jakość.

Elementy to monografia i podręcznik.

Składają się z 13 ksiąg, z których

Księgi I – VI poświęcone są geometrii płaszczyzny

Księgi VII – X arytmetyce

Księgi XI – XIII geometrii brył

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25%(Księga X)

Każda z pozostałych to około 5 – 8% całości dzieła.

„Elementy”

Podstawowe dane

Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrałnajważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył ztego nową jakość.

Elementy to monografia i podręcznik.

Składają się z 13 ksiąg, z których

Księgi I – VI poświęcone są geometrii płaszczyzny

Księgi VII – X arytmetyce

Księgi XI – XIII geometrii brył

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25%(Księga X)

Każda z pozostałych to około 5 – 8% całości dzieła.

„Elementy”

Podstawowe dane

Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrałnajważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył ztego nową jakość.

Elementy to monografia i podręcznik.

Składają się z 13 ksiąg, z których

Księgi I – VI poświęcone są geometrii płaszczyzny

Księgi VII – X arytmetyce

Księgi XI – XIII geometrii brył

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25%(Księga X)

Każda z pozostałych to około 5 – 8% całości dzieła.

„Elementy”

Podstawowe dane

Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrałnajważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył ztego nową jakość.

Elementy to monografia i podręcznik.

Składają się z 13 ksiąg, z których

Księgi I – VI poświęcone są geometrii płaszczyzny

Księgi VII – X arytmetyce

Księgi XI – XIII geometrii brył

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25%(Księga X)

Każda z pozostałych to około 5 – 8% całości dzieła.

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

Źródła naszej wiedzy

O matematyce przed Euklidesem wiemy z książki Eudemosa zRodos (ok. -350 do -300), ucznia Arystotelesa.

Napisał książkę o historii matematyki, książka zaginęła, ale pewnejej fragmenty przepisał w „Komentarzach do Euklidesa” Proklos,zyjący w latach 410 – 485 (czyli 700 lat po Euklidesie).

Najstarsze egzemplarze „Elementów” jakie znamy, pochodzą zokoło 880 roku, od czasów Euklidesa minęło do ich napisaniawięcej czasu, niż od ich napisania do chwili obecnej!

„Elementy”

Co napisał Eudemos

Poczatki wiedzy geometrycznej pochodza z Egiptu, bo tam wylewyNilu zmusiły ludzi od mierzenia np. pól powierzchni (czylipowierzchni pól).

Arytmetykę rozwinęli Fenicjanie, gdyż potrzebna była do handlu iobrotu pieniężnego.

Pitagoras przekształcił matematykę w jedną ze „sztukwyzwolonych”, badając jej twierdzenia w sposób intelektualny iniematerialny.

Hipokrates z Chios badał „księżyce” i napisał pierwsze „elementy”.

Platon wielce przyczynił się do rozwoju matematyki, bo uważałstudiowanie jej za sprawę pierwszej wagi (napis na wejściu doakademii). Bardzo też dbał o ścisłość definicji, wprowadził pewnepostulaty itp.

Teajtet, Eudoksos, ... (uczniowie Platona)

„Elementy”

Matematyka

Greckie słowo mathema µαθηµα oznaczało kiedyś „to, czego sięuczymy, wiedza” i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszyprzez Platona i pitagorejczyków.

Greckie manthanein oznacza „uczyć się”.

Inne języki:

angielski mind

sanskryt man = myśleć

łacina mens = dusza (mens sana in corpore sano)

„Elementy”

Matematyka

Greckie słowo mathema µαθηµα oznaczało kiedyś „to, czego sięuczymy, wiedza” i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszyprzez Platona i pitagorejczyków.

Greckie manthanein oznacza „uczyć się”.

Inne języki:

angielski mind

sanskryt man = myśleć

łacina mens = dusza (mens sana in corpore sano)

„Elementy”

Matematyka

Greckie słowo mathema µαθηµα oznaczało kiedyś „to, czego sięuczymy, wiedza” i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszyprzez Platona i pitagorejczyków.

Greckie manthanein oznacza „uczyć się”.

Inne języki:

angielski mind

sanskryt man = myśleć

łacina mens = dusza (mens sana in corpore sano)

„Elementy”

Budowa Księgi I

Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny:

Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, anastępnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miaręformalne) dowody.

Popatrzmy na tekst Księgi I:

23 definicje

5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)

5 „common notions” - aksjomatów dotyczących nie tylkowielkości geometrycznych

48 twierdzeń

„Elementy”

Budowa Księgi I

Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny:

Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, anastępnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miaręformalne) dowody.

Popatrzmy na tekst Księgi I:

23 definicje

5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)

5 „common notions” - aksjomatów dotyczących nie tylkowielkości geometrycznych

48 twierdzeń

„Elementy”

Budowa Księgi I

Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny:

Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, anastępnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miaręformalne) dowody.

Popatrzmy na tekst Księgi I:

23 definicje

5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)

5 „common notions” - aksjomatów dotyczących nie tylkowielkości geometrycznych

48 twierdzeń

„Elementy”

Budowa Księgi I

Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny:

Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, anastępnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miaręformalne) dowody.

Popatrzmy na tekst Księgi I:

23 definicje

5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)

5 „common notions” - aksjomatów dotyczących nie tylkowielkości geometrycznych

48 twierdzeń

„Elementy”

Kilka twierdzeń

Przykładowe twierdzenia z Księgi I:

Tw. 4 to cecha przystawania BKB

Tw. 20 to nierówność trójkąta

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za tendowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierającnajkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ...

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.

Tw. 47.

„Elementy”

Kilka twierdzeń

Przykładowe twierdzenia z Księgi I:

Tw. 4 to cecha przystawania BKB

Tw. 20 to nierówność trójkąta

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za tendowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierającnajkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ...

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.

Tw. 47.

„Elementy”

Kilka twierdzeń

Przykładowe twierdzenia z Księgi I:

Tw. 4 to cecha przystawania BKB

Tw. 20 to nierówność trójkąta

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za tendowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierającnajkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ...

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.

Tw. 47.

„Elementy”

Kilka twierdzeń

Przykładowe twierdzenia z Księgi I:

Tw. 4 to cecha przystawania BKB

Tw. 20 to nierówność trójkąta

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za tendowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierającnajkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ...

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.

Tw. 47.

„Elementy”

Kilka twierdzeń

Przykładowe twierdzenia z Księgi I:

Tw. 4 to cecha przystawania BKB

Tw. 20 to nierówność trójkąta

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za tendowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierającnajkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ...

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.

Tw. 47.

„Elementy”

Księga II

Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jednotwierdzenie:

Twierdzenie 4

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab

Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklidesw języku geometrii.

Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da sięskonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).

„Elementy”

Księga II

Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jednotwierdzenie:

Twierdzenie 4

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab

Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklidesw języku geometrii.

Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da sięskonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).

„Elementy”

Księga II

Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jednotwierdzenie:

Twierdzenie 4

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab

Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklidesw języku geometrii.

Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da sięskonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).

„Elementy”

Księga II

Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jednotwierdzenie:

Twierdzenie 4

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab

Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklidesw języku geometrii.

Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da sięskonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).

„Elementy”

Księga III

Księgia III poświęcona jest okręgom:kąty w okręgach, dwusieczne, cięciwy, styczne do okręgów itp.

„Elementy”

Księga IV

Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- isześciokątów foremnych.

Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątówforemnych?

Dla n > 1 można skonstruować 2n-kąt foremny

Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.

Jeśli umiemy skonstruować r -kąt foremny i s-kąt foremny przyczym NWD(r , s)=1, to umiemy skonstruować r · s-kątforemny.

Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, toumiemy skonstruować k-kąt foremny.

Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątówforemnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.

„Elementy”

Księga IV

Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- isześciokątów foremnych.

Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątówforemnych?

Dla n > 1 można skonstruować 2n-kąt foremny

Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.

Jeśli umiemy skonstruować r -kąt foremny i s-kąt foremny przyczym NWD(r , s)=1, to umiemy skonstruować r · s-kątforemny.

Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, toumiemy skonstruować k-kąt foremny.

Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątówforemnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.

„Elementy”

Księga IV

Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- isześciokątów foremnych.

Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątówforemnych?

Dla n > 1 można skonstruować 2n-kąt foremny

Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.

Jeśli umiemy skonstruować r -kąt foremny i s-kąt foremny przyczym NWD(r , s)=1, to umiemy skonstruować r · s-kątforemny.

Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, toumiemy skonstruować k-kąt foremny.

Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątówforemnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.

„Elementy”

Księga IV

Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- isześciokątów foremnych.

Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątówforemnych?

Dla n > 1 można skonstruować 2n-kąt foremny

Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.

Jeśli umiemy skonstruować r -kąt foremny i s-kąt foremny przyczym NWD(r , s)=1, to umiemy skonstruować r · s-kątforemny.

Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, toumiemy skonstruować k-kąt foremny.

Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątówforemnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.

„Elementy”

Księga IV

Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- isześciokątów foremnych.

Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątówforemnych?

Dla n > 1 można skonstruować 2n-kąt foremny

Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.

Jeśli umiemy skonstruować r -kąt foremny i s-kąt foremny przyczym NWD(r , s)=1, to umiemy skonstruować r · s-kątforemny.

Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, toumiemy skonstruować k-kąt foremny.

Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątówforemnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.

„Elementy”

Gauss

Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodniłkonstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:

wielokąty foremne o pn bokach są konstruowalne wtedy i tylkowtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jestpostaci p = 22

k+ 1.

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego naswoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.

Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująckonstrukcję 65 537-kąta foremnego...

„Elementy”

Gauss

Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodniłkonstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:

wielokąty foremne o pn bokach są konstruowalne wtedy i tylkowtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jestpostaci p = 22

k+ 1.

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego naswoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.

Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująckonstrukcję 65 537-kąta foremnego...

„Elementy”

Gauss

Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodniłkonstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:

wielokąty foremne o pn bokach są konstruowalne wtedy i tylkowtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jestpostaci p = 22

k+ 1.

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego naswoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.

Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująckonstrukcję 65 537-kąta foremnego...

„Elementy”

Gauss

Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodniłkonstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:

wielokąty foremne o pn bokach są konstruowalne wtedy i tylkowtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jestpostaci p = 22

k+ 1.

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego naswoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.

Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująckonstrukcję 65 537-kąta foremnego...

„Elementy”

Gauss

Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodniłkonstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:

wielokąty foremne o pn bokach są konstruowalne wtedy i tylkowtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jestpostaci p = 22

k+ 1.

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego naswoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.

Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująckonstrukcję 65 537-kąta foremnego...

„Elementy”

Gauss

Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodniłkonstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:

wielokąty foremne o pn bokach są konstruowalne wtedy i tylkowtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jestpostaci p = 22

k+ 1.

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego naswoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.

Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująckonstrukcję 65 537-kąta foremnego...

„Elementy”

Kolejne księgi

W V mamy proporcje między wielkościami abstrakcyjnymi(porównaj: Arystoteles Etyka nikomachejska, str. 172). W tymfigury podobne.

W VI proporcje i pola.

W VII użycie proporcji do „mierzenia” liczb. Algorytm Euklidesa(Twierdzenie VII.1), NWD i liczby pierwsze.

Twierdzenie VII.31 Dowód używa faktu: każdy niepusty podzbiórzbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.

„Elementy”

Dowód z „Księgi”

W księdze IX „Elementów” znajduje się poniższe twierdzenie:

Jest wiecej liczb pierwszych niż jakakolwiek ustalona ilość liczbpierwszych.

„Elementy”

Dowód z „Księgi”

Jest też dowód:

Niech a, b, c będą liczbami pierwszymi. Twierdzę, że istniejewięcej liczb pierwszych niż a, b, c . W tym celu rozważmy liczbęd = abc + 1. Albo jest ona pierwsza albo ma czynnik pierwszy(Tw. VII.32).Jeśli jest pierwsza, to znaleźliśmy liczby pierwsze a, b, c , d ,których jest więcej niż a, b, c .Jeśli nie jest pierwsza, ale ma czynnik pierwszy g , to twierdzę, iż gnie jest równa żadnej spośród a, b, c .Przypuśćmy, że jest przeciwnie (tzn. g jest jedną spośród a, b, c).Wtedy g dzieli abc , ale g dzieli abc + 1. Stąd g powinna dzielićliczbę 1, co jest absurdem. Zatem g nie jest równa żadnej spośróda, b, c , więc a, b, c , g są pierwsze.

„Elementy”

Erdos i „dowody z Księgi”

Węgierski, podróżujący całe życie matematyk Paul Erdos (1913 –1996) twierdził, że Bóg ma Księgę, w której zapisane są idealnedowody wszystkich twierdzeń.

Przykładem takiego dowodu jest właśnie dowód Euklidesa oistnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych.

„Elementy”

Piąty aksjomat

Księga I Elementów jest wyjątkowa. Wszystkie pozostałe mają conajwyżej definicje, po których następują twierdzenia. Dlaczego?

Może pozostałe aksjomaty (dla liczb) uważano za oczywiste?Można tylko spekulować.

„Elementy”

Geometria absolutna

Twierdzenia geometrii płaszczyzny, które nie można wyprowadzićbez piątego postulatu tworzą geometrię absolutną. Oto przykładtakiego twierdzenia:

Twierdzenie I. 27 Jeśli prosta przecina dwie proste tak, że kątyodpowiadające są równe, to te dwie proste są równoległe.

Wariantem powyższego jest kolejne

Twierdzenie I. 28Jeśli kąty G i H są równe, to proste AB i CD są równoległe.Jeśli suma kątów H oraz przyległego do G ma 180◦, to AB i CD sąrównoległe.

„Elementy”

Odwracamy Twierdzenie I.27

Twierdzenie I.29. Jeśli proste AB i CD są równoległe, to kąty α i βsą równe.

Wspaniałe twierdzenie: aby sprawdzić równoległość prostych,należałoby sprawdzić, czy się przecinają, więc trzeba przedłużyć jew nieskończoność! Twierdzenie mówi, że wystarczy sprawdzićlokalnie: zmierzyć kąty.

Do dowodu KONIECZNY jest Piąty Postulat (o równoległych).

„Elementy”

Inne konsekwencje Piątego Postulatu

Suma wewnetrznych kątów trójkąta jest równa dwóm kątomprostym. (Twierdzenie I.32).

Ta własność charakteryzuje trójkąt w klasie wielokątów. ImmanuelKant podał ją w Krytyce czystego rozumu jako przykład„syntetycznego sądu apriori” to znaczy absolutnie pewnej wiedzy,niewynikającej z naszego doświadczenia.

Z tego twierdzenia wynika, że suma kątów w n-kącie jest równa(n − 2)π. Jakob Steiner wyprowadził z tego ostatniego faktu wzórEulera dla wielościanów wypukłych: W + S − K = 2.

„Elementy”

Próby poprawienia Piątego Postulatu

Starożytni próbowali zastąpić go prostszym - próby nie powiodłysię.

W roku 1663 John Wallis wykazał, że zdanie istnieją trójkątypodobne o różnych polach implikuje Piąty Postulat.

G. Saccheri opublikował w 1733 roku ksiażkę Euklides od wszelkichdefektów uwolniony. Badał tam czworokąt o trzech kątachprostych. Wówczas czwarty kąt może być ostry albo prosty alborozwarty.Kąt prosty równoważny jest Piątemu Postulatowi.Kąt rozwarty przeczy istnieniu linii o nieskończonej długości.Z założenia, że kąt jest ostry wyprowadził wiele wniosków, októrych wierzył, że przeczą innym (absolutnym) twierdzeniomEuklidesa. Ale się mylił.

„Elementy”

Geometria na sferze

Do zrozumienia innych rodzajów geometrii potrzebne jest pojecielinii geodezyjnej: to najkrótsza linia łącząca dwa punkty.

Na przykład na sferze jest to łuk koła wielkiego, wyznaczonegoprzez te punkty. W takiej geometrii, gdy za proste przyjmiemy koławielkie, to dostajemy inną geometrię: w niej nie ma w ogóleprostych równoległych, bo każde dwie proste przecinają się.

„Elementy”

Geometria na sferze

Trójkąt w tej geometrii to figura wyznaczona przez trzy punkty iłuki kół wielkich, wyznaczonych przez pary punktów.

Zauważmy, że suma kątów każdego trójkąta ma ponad 180◦.

Jak wykazał J. H. Lambert, pole takiego trójkąta (na sferze opromieniu 1) jest równe nadmiarowi tego trójkąta tzn. sumie kątówminus π.

„Elementy”

Bolyai, Łobaczewski i Gauss

Około roku 1830 J. Bolyai, N. Łobaczewski i K. Gauss niezależniezbudowali geometrie oparte na zaprzeczeniu Piątego Postulatu.Założyli, że przez dany punkt można poprowadzić więcej niż jednąprostą równoległą do zadanej.

I otrzymali inną geometrię. W niej pewne twierdzenia, ale nie byłozgody co do tego, czy ta teoria nie jest wewnętrznie sprzeczna.

Gauss wyników nie opublikował (nie chciał „krzyku Beotów”).

„Elementy”

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej:zespolonej),

prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku (czyli okręgu x2 + y2 = 1);

izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względemśrednic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku;

inwersje zadane są wzorem: dla |a| < 1 określamyIa(z) = a−z

1−az . Zauważmy, że Ia(a) = 0 oraz Ia(Ia(z)) = z .

„Elementy”

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej:zespolonej),

prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku (czyli okręgu x2 + y2 = 1);

izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względemśrednic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku;

inwersje zadane są wzorem: dla |a| < 1 określamyIa(z) = a−z

1−az . Zauważmy, że Ia(a) = 0 oraz Ia(Ia(z)) = z .

„Elementy”

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej:zespolonej),

prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku (czyli okręgu x2 + y2 = 1);

izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względemśrednic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku;

inwersje zadane są wzorem: dla |a| < 1 określamyIa(z) = a−z

1−az . Zauważmy, że Ia(a) = 0 oraz Ia(Ia(z)) = z .

„Elementy”

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej:zespolonej),

prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku (czyli okręgu x2 + y2 = 1);

izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względemśrednic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych dobrzegu dysku;

inwersje zadane są wzorem: dla |a| < 1 określamyIa(z) = a−z

1−az . Zauważmy, że Ia(a) = 0 oraz Ia(Ia(z)) = z .

„Elementy”

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego jest konforemny, to znaczy hiperboliczne kątymiędzy prostymi są takie same jak kąty euklidesowe (liczone dlastycznych w punkcie przecięcia łuków).

Łatwo obliczać odległość od (0,0): punkt leżący w euklidesowejodległości r ∈ [0, 1) od (0, 0) znajduje się w hiperbolicznejodległości 12 ln

1+r1−r od (0,0).

Odległości innych par punktów łatwo obliczyć, przesuwając jeden znich do (0, 0) za pomocą izometrii.

Dwie proste są równoległe, jeśli ich jedynym punktem wspólnymjest punkt graniczny (na okręgu).Dwie proste, które w ogóle nie mają punktów wspólnych (nawetgranicznego) to nadrównoległe.

Zadanie. Dane są: prosta L i punkt A. Poprowadzić przez A więcejniż jedną prostą równoległą do L. Ile jest prostych, które nie mająpunktów wspólnych z L? „Elementy”