Upload
buinhan
View
227
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Elementi specijalne teorije relativnosti (STR)
Relativnost
Klasična,Galileijeva
Specijalnateorija
relativnosti
Opća teorija
relativnosti
v<<c v c v c
v jednolikaneakcelerirani sistemi
v nije jednolikaakcelerirani sistemi
17.vijek Einstein 1905.g. Einstein 1915.g.
Klasičan princip relativnosti
Newtonovi zakoni vrijede jednako bez obzira miruje li sistem(u kojem ih provjeravamo) ili se jednoliko translacijski kre će(nerelativisti čki-brzinom puno manjom
od brzine svjetlosti).
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
Ovaj sistem se krećejednoliko brzinom v puno manjom od c(u smjeru osi x)
Sx
y
z
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron vlakOpažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron vlak
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
T
Opažač O’
– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu
koji se kreće jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron vlak
Zadatak za obojicu: opišite položaj točke T
T
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron vlak
r ’ (x’,y’,z’)r (x,y,z)
T
Zadatak za obojicu: opišite položaj točke T
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu
koji se kreće jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron vlak
T
U kakvoj su (matematičkoj) vezi r i r’ ?
r ’r
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu
koji se kreće jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
S
y
z
S’
y’
x’
z’
peron vlak
T
U kakvoj su (matematičkoj) vezi r i r’ ?
r ’r
v t
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
r = r’+ vt
Galileijeve transformacije koordinata
x = x’+ vt koordinata u smjeru kretanjay = y’z = z’
t = t’
Transformacije koordinata
Galileijeve transformacije
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron vlak
Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu
koji se kreće jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron voz
Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P
brzina (u S’) je u’brzina (u S) je u
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– mašinovođa koji sjedi (miruje) u vozu
koji se kreće jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron voz
brzina (u S’) je u’brzina (u S) je u
U kakvoj su (matematičkoj) vezi u i u’ ?
u = u’+ v
u = u’+ v
Galileijeve transformacije brzina
Sabiranje (slaganje) brzina
x = x’+ vt koordinata u smjeru kretanjay = y’z = z’t = t’
u = u’+ v
Galileijeve transformacije - klasična relativnost
Transformacije koordinata
Transformacije brzina
slaganje ili sabiranje brzina
Galileijeve transformacije i Newtonov zakon kretanja
xdt
dxu ɺ== '
'
'' x
dt
dxu ɺ==
vxx −= ɺɺ'dt
d/
0' −= xx ɺɺɺɺ m⋅/xmxm ɺɺɺɺ ='
FF ='
vuu −='
Zapišimo brzine
Relacija sabiranja brzina je tada
Newtonov zakon kretanja je invarijantan na Galileijeve transformacije
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Klasičan princip relativnosti
Newtonovi zakoni vrijede jednako bez obzira miruje li sistem (u kojem ih provjeravamo)
ili se jednoliko translacijski kreće(nerelativistički-brzinom puno manjom od brzine svjetlosti).
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
PeronPrometnik...
VozMašinovoña...
Mjere li oba opažača isto vrijeme ?
Klasična fizika (mehanika, relativnost): DA
Zagarantirana istodobnost
Što se dogaña ako v c ?
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
Vrijedi li i tada sabiranje brzina ?
Sx
y
z
S’
y’
x’
z’
peron raketa
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
Opažač O’
– pilot koji sjedi (miruje) u raketi koja
se kreće jednoliko brzinom v
uporedivom s c
Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P
brzina (u sistemu S’) je u’brzina (u sistemu S) je u
Problemi sa Galilejevim transformacijama• Mawellove jednačine nisu invarijatne u odnosu na Galilejeve transformacije
Rješenje problema:
• 1. Maxwellove jednadžbe su pogrešne - ispravna teorija elektrodinamike je invarijantna pri Galilejevim transformacijama.
Ili
• 2. Galilejev princip relativnosti je ispravan, ali u elektromagnetizmu postoji preferirani IRS ≡ eter, pa je prostiranje svjetlosti kroz eter analogno prostiranju mehaničkog vala kroz neko sredstvo.
Ili
• 3. Postoji novi princip relativnosti koji važi i za mehaniku i za elektromagnetizam koji nije zasnovan na Galilejevim transformacijama - ova mogućnost zahtijeva promjene osnovnih zakona mehanike!
Albert Michaelson (1852-1931)
Michaelson - Morley eksperiment1881.g.
krah klasične relativnostikrah koncepta etera
Specijalna teorija relativnosti
SP
EC
IJA
LNA
R
ELA
TIV
NO
ST
Svjetlost udaljene zvijezde
Zemlja u ovoj tački putanje ide ususret svjetlosti zvijezde
Zemlja u ovoj tački putanje ide od smjera kretanja svjetlosti zvijezde
Michaelson - Morley eksperiment - ideja
ogledalo M
N
Smjer kretanja Zemlje
Polupropusno ogledalo
izvor
detektor:nije opažen pomak interferencijskih pruga tj.
svjetlost je uvijek imala istu brzinu bez obzira na smjer!
O
OM=ON
Michaelsonov interferometar, 1887
ogledalo
Michaelsonov eksperiment
• Rezultati su začuñujući- svjetlost ima istu brzinu u svim smjerovima!!!!!
• Konstantnost brzine svjetlosti ruši sve predstave o sabiranju brzina, prostoru i vremenu u mehanici
• Galilejeve transformacije ne vrijede za svjetlost
• Einstein uvodi relativiziranje vremena i prekida sa tradicionalnim shvatanjima- vrijeme nije apsolutno
Principi specijalne relativnosti (Einstein)
• Sistem koji se kreće konstantnom brzinom zove se “inercijalni sistem”
• 1. Svi prirodni zakoni su isti u svim inercijalnim sistemima referencije
• 2. Brzina svjetlosti u vakuumu je ista u svim sistemima referencije
• Nema apsolutnog prostora ni vremena
Lorentzove transformacije
Transformacije koje zadovoljavaju Einstenov zahtjev bi trebale zadovoljiti drugačije uslove od Galilejevih
• Transformacije izmeñu inercijalnih sistema moraju biti takve da brzina svjetlosti ostane konstantna
• Svi prirodni zakoni su invarijantni s obzirom na takve transformacije
• Zahtjev da prostor bude homogen ukazuje da su transformacije linearne
BtAxt
btaxx
+=+=
'
'
Lorentzove transformacije
⇒
Konstante a,b, A i B su nepoznate i treba ih odrediti. Neka se crtani sistem udaljava brzinom v od mirnog sistema. Ishodište crtanog sistema x’=0 opisuje u necrtanom sistemu kretanje x=vt. Uvrstimo to u (1):
(1)
(2)
( )0 a vt bt= + ⇒ b av= −
( )'x ax avt a x vt= − = − (3)
• Možemo sad pretpostaviti da crtani sistem miruje, a necrtani se prema njemu kreće.
• x koordinata necrtanog sistema biće izražena na isti način sa x’ i t’, samo što ispred brzine dolazi pozitivan predznak jer se necrtani sistem prema crtanom kreće u suprotnom smjeru:
( )' 'x a x vt= +
Konstantu a možemo odrediti iz uslova da se svjetlosni signal u oba slučaja širi jednakom brzinom. Pustimo u početnom trenutku t=t’=0 signal iz ishodišta obaju sistema.
U jednom sistemu širenje signala opisuje jednačina
x=ct, a u drugom x’=ct’. Uvrstimo to u prethodne dvije jednačine:
(4)
⇒( )( )
'
' '
ct a ct vt
ct a ct vt
= −
= +
( )2 2 2 2' 'c tt a tt c v= −
⇒
Nakon množenja lijevih i desnih strana ovih jednačina, dobivamo
2
2
1
1
av
c
=−
Uvrštavanjem x’ iz (3) u jednačinu (4) i uz korištenje a iz (5) dobivamo izraz zat’
Označava se sa γ
)('
)('
2tx
c
vt
vtxx
+−=
−=
γ
γ
Lorentzove transformacije
2
2
1
1
av
c
γ= =
−avb −= aB = 2c
avA −=
BtAxt
btaxx
+=+=
'
'⇒
γ ∈ (1, ∞)
)('
)('
2tx
c
vt
vtxx
+−=
−=
γ
γ
Posljedice Lorentzovih transformacija
1. Kontrakcija dužine
2. Dilatacija vremena
U sistemu koji miruje dužina objekta koji se kreće je kraća
nego u sistemu koji se kreće.
U sistemu koji miruje vrijeme se produžava u odnosu na vrijeme
proteklo u sistemu koji se kreće.
Paradoks blizanaca
Kontrakcija dužine
Posljedice specijalne teorije relativnosti
dužina štapa u sustavu u kojem štap miruje (S ’)
vlastita dužina štapa, dužina mirovanja
''' 12 xxddo −==
- sistem S’ se jednoliko translacijski kreće duž osi x u odnosu na S
- u S’ miruje štap dužineod
Koliku dužinu štapa d mjeri opažač iz S?
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Kontrakcija duljine
12 xxd −=
Dužina štapa koju mjeri opažač iz S:
Odnos d i d’ ? Lorentzove transformacije
2
2
1
1
c
v−=γ
)(' vtxx −= γ)(' 111 vtxx −= γ
=−= 12 ''' xxd _
)()( 1212 ttvxx −−−= γγ
0 jer se mjerenje mora obaviti u istom trenutku
d
)(' 222 vtxx −= γ
)( 11 vtx −γ)( 22 vtx −γ Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Kontrakcija duljine
'd dγ=
2
2
1
1
c
v−=γ
vlastita dužina štapa dužina štapa mjerena
u sistemu S
1≥γBudući da je 'dd⟨
Kontrakcija ili skraćenje dužine
(u smjeru kretanja)
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Dilatacija vremena
Vrijeme koje mjeri opažač iz S:
Odnos ∆t’ i ∆t ? Lorentzove transformacije
2
2
1
1
c
v−=γ
_
0 jer se dogañaj zbivana istom mjestu
12 ttt −=∆
)''(2
txc
vt += γ )''( 1121 tx
c
vt += γ
)''( 2222 txc
vt += γ
=−=∆ 12 ttt )''( 222tx
c
v +γ )''( 112tx
c
v +γ
)''()''( 12122ttxx
c
v −+−= γγ
't∆
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
't tγ∆ = ∆
2
2
1
1
c
v−=γ
Vlastito vrijeme
Vrijeme mjereno
u sistemu S
cv≤ 1≥γBudući da je 'tt ∆⟩∆
Dilatacija vremena
Dilatacija ili produženje vremena
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Slaganje brzina
2
( )'
(1 )
u vu
vu
c
−=−
Za v<<c u’=u-v što je Galileijev izraz za slaganje brzina
Relativistička masa
γomm=
2
2
1
1
c
v−=γ
Količina kretanja
vmvmp o
��� γ==
nije svojstvo tijela nego je
ovisna o brzini kojom se tijelo giba
v
m
c
mo
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Relativistički izraz za silu
dt
��
=
2
2
1
1
c
v−=γ
vmvmp o
��� γ==
)( γvmdt
dF o
��=
Relativistički oblik 2. N.z.
(Lorentz invarijantan)
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Relativistički izraz za energiju
dt
vmdF
)(�
�=
Kinetička energija
FvdtFdsdE
FsE
k
k
===
vdtdt
mvddEk
)(=
[ ]dmvmvdv
vdmmdvv
mvvd
2
)(
+=+=
=
Diferencijal kinetičke energije ����
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Relativistički izraz za energiju
Iz izraza za relativističku masu:
Usporedbom s izrazom ���� za diferencijal kinetičke energije dobivamo
2
2
1c
v
mm o
−=
2
2
2
22
1c
v
mm o
−=
22
22
vc
cmo
−= 222222 cmvmcm o=−
dt
d
0)22(2 222 =+− vdvmdmmvdmmc
dmcdmvmvdv 22 =+
dmcdEk2=
Izv.
pro
f. dr
. sc.
Raj
ka J
urda
na Š
epić
FIZI
KA 1
Relativistički izraz za energiju
dmcdEk2=
)( 2mcddEk = ∫
∫∫ =m
mo
Ek
k mcddE )( 2
0
)(0 2ok mmcE −=−
22 cmmcE ok −=
Energija
mirovanja
Ukupna
energija
Kinetička
energija
E= mc2 – ukupna energija (princip ekvivalencije mase i energije)E0=m0c2- energija mirovanja
2 22 0
2
2
2 220
2 2
2
1
1
m vp
v
c
m cE
c v
c
=−
=−
2 2 4 2 20E m c p c= +⇒
FotoniE hν ω= = ℏ
Prema teoriji relativnosti ako je m0=0 dobijamo da je za foton E=pc
Foton ne može postojati u stanju mirovanja, tj. postoji samo kad se kreće brzinomprostiranja svjetlosti. Impuls fotona je:
2E hp k
c c c
p k
ν ω πλ
= = = = =
=
ℏ ℏℏ
��ℏ