Elektrotehnika-Vaje - dsc.ijs.sidsc.ijs.si/mgasperin/elektrotehnika/wp-content/uploads/2010/06/skripta.pdf · Poglavje1 Stati£noelektri£nopolje 1.1 Elektri£nasila Med dvema naelektrenima

Elektrotehnika - VajeInterno [email protected]

1

Poglavje 1

Stati£no elektri£no polje

1.1 Elektri£na silaMed dvema naelektrenima telesoma delije sila, ki je privla£na, £e sta telesinasprotno naelektreni oz. odbojna £e sta enako naelektreni. Sila je premoso-razmerna produktu obeh nabojev in obratnosorazmerna s kvadratom njuneoddaljenosti. Matemati£no silo lahko zapi²emo:

F =Q1·Q2

4πεr2(1.1)

kjer je ε dielektri£nost medija med nabojema. Dolo£ena je kot produkt dielek-tri£nosti praznega prostora (vakuuma) ter relativne dielektri£nosti.

ε =εr· ε0

ε0 =1

c20·µ0

= 8, 85· 10−17As/V m

Vpliv enega naboja na drugega lahko opi²emo tudi z pojmom polja. Naboj vsvoji okolici povzro£i spremembo elektri£nega polja, sila na drug naboj pa jeprodukt naboja z jakostjo elektri£nega polja na mestu delca.

~F = Q· ~E (1.2)

Pomembna lastnost elektri£nega polja je, da je aditivno. To pomeni, da seprispevki ve£ nabojev se²tejejo.

~E =∑

i

~Ei (1.3)

2

1.2 Elektri£no polje v okolici to£kastega naboja Stati£no elektri£no polje

1.2 Elektri£no polje v okolici to£kastega nabojaV okolici naelektrenih delcev (nabojev), elektri£no polje opisuje ena£ba

~E = ~1rQ

4πεr2(1.4)

Lastnosti polja v okolici to£kaste elektrine:a) Vektro elektri£ne poljske jakosti ( ~E) ima smer radialno okrog to£ke

b) Jakost elektri£nega polja je odvisna od velikosti naboja Q

c) Jakost elektri£nega polja pada s kvadratom razdalje od naboja

d) Jakost elektri£nega polja je odvisna od dielektri£nosti medija v kateremse naboj nahaja (ε)

1.3 Elektri£no polje v okolici premega nabojaPremi (linijski) naboj si lahko predstavljamo kot dolgo naelektreno daljico.Recimo, da je daljica naelektrena z nabojem Q, ki je enakomerno porazdeljenpo dolºini `: q = Q/` [As/m]. Izra£unajmo jakost elektri£nega polja E vsimetralni ravnini, ki daljico razpolavlja (pol daljice je pod njo in pol nad njo).

Na daljici si izberemo dva diferenciala (to£kasti elektrini) dx, ki imata nabojq· dx. Vsak diferencial naboja povzro£a v to£ki T diferencial elektri£nega poljadEx. e gledamo le prispevka na²ih dveh diferencialov naboja vidimo, da sekomponenti vektorjev d ~E1 in d ~E2 v smeri x od²tejeta, vsota obeh diferencialovpa je d ~E, ki je enak:

d ~E = dE1· cos(ϕ) + dE2· cos(ϕ)

= 2· dE1· cos(ϕ) (1.5)

Po izrazu za elektri£no polje to£kastega naboja:

dE1 =qdx

4πεR2

dE =qdx cos(ϕ)

2πεR2(1.6)

3

1.3 Elektri£no polje v okolici premega naboja Stati£no elektri£no polje

Z upo²tevanjem trigonometrijskih relacij lahko zapi²emo naslednje povezavemed spremenljivkami:

R =r

cos(ϕ)

x = r tan ϕ

dx =r· dϕ

cos2(ϕ)(1.7)

Dobimo izraz za dE:

dE =qdx cos ϕ

2πεR2

=q cos(ϕ)rdϕ

cos2(ϕ)2πε r2

cos2(ϕ)

dE =q cos(ϕ)dϕ

2πεr(1.8)

Ker se²tevamo prispevke dveh nasprotno leºe£ih nabojev, izraz integriramo pokotu ϕ od 0o do ϕ0.

Er =q

2πεr

∫ ϕ0

0

cos(ϕ)dϕ =q

2πεrsin(ϕ0) (1.9)

e daljico raztegujemo v premico, se kot ϕ0 bliºa vrednosti 90o se vrednostizraza sin(ϕ0) bliºa 1. Za prakti£no uporabo je dovolj ºe, da je dolºina daljice` veliko ve£ja od oddaljenosti to£ke (r) v kateri ra£unamo jakost elektri£negapolja. Rezultat se poenostavi v:

Er =q

2πεr(1.10)

4

1.4 Elektri£no polje v okolici ploskovne elektrine Stati£no elektri£no polje

1.4 Elektri£no polje v okolici ploskovne elektrinePloskovni naboj (elektrino) si predstavljamo kot veliko, naelektreno ploskev.e po ploskvi s povr²ino A enakomerno razporedimo naboj Q, ploskovno gos-toto naboja izra£unamo kot σ = Q/A As/m2.

e se nahajamo pravokotno nad sredi²£em plo²£e, se podobno kot pri pre-j²njem primeru, pre£ni prispevki eleketri£nega polja vseh diferencialnih nabo-jev med seboj izni£ijo. Vsota vseh pripevkov v tej to£ki ima zato smer pra-vokotno na ravnino (proti ploskvi, £e je na njej negativni naboj in stran odnje, £e je naboj pozitiven. Izraz za jakost elektri£nega polja v okolici poljubne

ploskve presega obseg na²ega dela, zato predpostavimo, da so dimenzije ploskveveliko ve£je od oddaljenosti to£ke, v kateri ra£unamo elektri£no polje. Takolahko splo£en izraz poenostavimo (Koti do robov ploskve so pribliºno enaki90o):

E =σ

2ε(1.11)

Opazimo, da jakost elektri£negap olja ni odvisna od oddaljenosti od ploskve.Z upo²tevanjem predhodnih izpeljav poizku²ajte utemeljiti, kako pride do tega!

V praksi se ve£krat sre£amo s problemom, ko imamo eno zraven drugepostavljeni dve ploskvi z enako koli£ino naboja vendar nasprotnega predznaka.Kasneje bomo tak element opisali ²e iz vidika koncentritranih elementov, natem mestu pa opi²imo elektri£no polje med ploskvama.

Zoped predpostavimo, da so dimenzije ploskev veliko ve£je od razdalje mednjima. Tako lahko uporabimo poenostalvjeno ena£bo in upo²tevamo, da jepolje v celotnem prostoru med ploskvama homogeno.

Med ploskvama se prispevka elektri£nega polja obeh ploskev se²tejeta, zatojakost elektri£negap olja opisuje ena£ba:

E = E+σ + E−σ

= 2· σ

2ε

E =σ

ε(1.12)

5

1.4 Elektri£no polje v okolici ploskovne elektrine Stati£no elektri£no polje

Zunaj obeh ploskev (levo in desno) se prispevka obeh ploskev od²tejeta injakost elektri£negap olja je povsod drugje enaka 0.

6

1.5 Naloge Stati£no elektri£no polje

1.5 Naloge1. V okolici to£kastega naboja skicirajte vektor elektri£nega polja. Enako

storite tudi, ko na razdalji 5 cm od tega naboja dodamo ²e enega zenakim oz. nasprotnim predznakom.

2. To£kasti naboj Q se nahaja v olju relativne dielektri£nosti εr = 2, 5. Naoddaljenosti r = 5 cm od njega je absolutna vrednost vektorja elektri£nepoljske jakosti E = 500 kV/m. Izra£unajte naboj Q.(Re²itev: Q = 1, 7× 10−7 As)

3. Homogeno elektri£no polje prehaja pravokotno iz trdega papirja z rela-tivno dielektri£nostjo εr1 = 7 v transformatorsko olje. Elektri£na poljskajakost v papirju je E1 = 1 MV/m, v olju pa E2 = 2, 8 MV/m. Izra£unajterelativno dielektri£nost olja.(Re²itev: εr2 = 2, 5)

4. Na valjni lupini polmera r = 1mm je vzdolºna gostota naboja q =10µC/m. Kolik²na je ploskovna gostota naboja na tej lupini?(Re²itev: σ = 1, 59C/m2)

5. Izra£unajte oddaljenost x naboja Qx, ki bo zagotavljala, da bo sila nanaboj Qx enaka 0(d = 30mm). Ali vrednost naboja Qx vpliva na rezul-tat?

Slika 1.1: Naloga 5

Q

2πε0x2=

4Q

2πε0(d− x)2

1

x2=

4

(d− x)2

d2 − 2dx + x2 = 4x2

−3x2 − 2dx + d2 = 0

(1.13)

7


x1,2 =2d±

√4d2 − 4· (−3)d2

2· (−3)

=−2d±

√16d2

6

=−2d± 4d

6

x1 =2d

6=

2· 30mm

6= 10mm

x2 =2d

6=−6· 30mm

6= −30mm (ni prava re²itev!)

(Re²itev: x = 10mm)

6. Izra£unajte oddaljenost x in mnoºino naboja Qx, ki bo zagotavljala, dabodo sile na vse tri to£kaste naboje enake 0 (Q = 9nAs, d = 30mm).

Slika 1.2: Naloga 6

(Re²itev: x = 10mm,Qx = −4nAs)

7. Trije enaki to£kasti naboji (vsak z nabojem Q) so razme²£eni na oglji²£aenakostrani£nega trikotnika. Kolik²en naboj Qx moramo postaviti vteºi²£e trikotnika, da bodo sile na vse 4 naboje enake 0?(Re²itev: Q = 1

3Qx)

8. Koliko mora biti delec z nabojem Q = 5 × 10−6C oddaljen od drugega,ki ima naboj Q1 = 8× 10−6C, da bo na Q1 delovala sila F1 = 1N?(Re²itev: r = 0, 6m)

9. Dva enaka naboja sta oddaljena 60cm in imata enako vrednost naboja.Kolik²en naboj Q nosita delca, £e delujeta eden na drugega s silo F =0, 9N?(Re²itev: Q = 4, 2× 10−6As)

10. Izra£unajte vektor elektri£ne poljske jakosti na mestu kjer je naboj Q2

ter vektor elektri£ne sile, ki deluje na naboj Q2 (Q1 = 5 × 10−6C,Q2 =−2× 10−6C,Q3 = 5× 10−6C,d = 1cm).

8


Slika 1.3: Naloga 10

11. Dani so trije vzporedni ravninski sloji s ploskovnimi gostotami σ1 = −σ,σ1 = 3σ in σ3 = −2σ. Dolo£ite jakost elektri£nega polja (E) v vseh ²tirihpodprostorih.


(Re²itev: ~Ea = 0, ~Eb = −~exσε0, ~Ec = ~ex

2σε0, ~Ed = 0)

12. Ravnini sta med seboj oddaljeni za d = 5cm in naelektreni z enakoploskovno gostoto naboja σ = 2, 3µC/m2. Kolik²na je absolutna vred-nost vektorja elektri£ne poljske jakosti med ravninama?(Re²itev: E = 0V/m)

13. Izra£unajte silo na to£kasti naboj Q = 2×10−6C, ki je v elektri£nem poljudveh ravninskih elektrin σ1 = 4 × 10−6C/m2 in σ2 = −6 × 10−6C/m2,razporejenih kot kaºe slika.


(Re²itev: E = 1, 1× 105~exV/m,F = −0.226~exN)

9


14. tiri enake to£kaste naboje (vsak z nabojem Q) postavimo v oglji²£akvadrata. Kolik²en naboj Qx moramo postaviti v njegovo teºi²£e, dabodo elektri£ne sile na vse naboje enake 0?(Re²itev: Qx = −1+2

√2

4Q)

15. V to£kah T1(2cm, 1cm, 0),T2(1cm, 1cm, 0),T3(1cm, 2cm, 0) se nahajajo nabojiQ1 = 20nC, Q2 = −50nC, Q3 = 30nC. Dolo£ite vektor elektri£ne silena naboj Q2.(Re²itev: ~F = (~ex90 + ~ey135) mN )

16. Med plo²£ama zra£nega kondenzatorja, priklju£enega na napetost U =10kV se nahajata naboja ±Q = ±2nC. dolo£ite elektri£no silo na naboj+Q. Razdalja med nabojema je r = 2cm, med plo²£ama pa d = 4cm.


(Re²itev: ~F = −~ey4, 1× 10−4N)

17. Delec z maso m = 1, 44 × 10−14kg in nabojem Q = −1, 6 × 10−17Cse nahaja v homogenem elektri£nem polju med plo²£ama (d = 2cm).Na delec deluje poleg elektri£ne ²e gravitacijska sila. Kolik²no napetostmoramo priklju£iti med plo²£i, da bo vsota sil na delec enaka 0N?


10


1.5.1 Dodatne naloge18. Dve kroglici mase 8.5g visita na lahkih vrvicah dolºine 3m. Vrvici sta

pritrjeni na strop v isti to£ki. Vsako od kroglic naelektrimo z nabojem0.6 × 10−6As. Kolik²en je v ravnovesju naklonski kot vrvic glede nanavpi£nico?

11

Poglavje 2

Magnetno polje

2.1 Magnetna silaNa naboj Q, ki se v magnetnem polju ~B giblje s hitrostjo ~v deluje magnetnasila!

~Fm = Q~v × ~B (2.1)Magnetno silo na delec izra£unamo kot vektorski produkt med gostoto mag-netnega polja in produktom hitrosti ter naboja delca. Rezultat vektorskegaprodukta je vektor, £igar smer je pravokotna na oba vektorja, njegova velikostpa je Q|~v|· | ~B|· sin(ϕ).

Gostota magnetnega pretoka B je z jakostjo magnetnega polja H povezanapreko permeabilnosti µ.

~B = µ· ~H (2.2)Magnetno permeabilnost µ izra£unamo po ena£bi:

µ = µr·µ0 (2.3)

kjer je µ0 = 4π10−7Vs/Am permeabilnost praznega prostora in µr relativnapermeabilnost materiala (brez enote!).

12

2.2 Sila na vodnik v magnetnem polju Magnetno polje

2.2 Sila na vodnik v magnetnem poljuNa vodnik dolºine `, po katerem te£e tok ~I in se nahaja v magnetnem polju~B deluje magnetna sila.

~F = I~× ~B (2.4)

2.3 Sila med dvema vodnikomaMed dvema vodnikoma, dolºine `, po katerih te£eta tokova I1 in I2 deluje sila.e tokova te£eta v isto smer je sila odbojna, £e v nasprotno pa privla£na!

F1 = F2 = µI1I2

2πd` (2.5)

ali v sili na enoto dolºine f [N/m]

f1 = f2 = µI1I2

2πd(2.6)

Skicirajte smeri magnetnega polja ter sile v primeru, ko tokova po vodnikihte£eta v isto smer.

2.4 Magnetno polje v okolici vodnikaV okolici vodnika, po katerem te£e tok I je gostota magnetnega polja podanaz ena£bo

B = µI

2πr(2.7)

13

2.5 Magnetno polje v tuljavi Magnetno polje

2.5 Magnetno polje v tuljaviV osi tuljave dolºine ` z N ovoji, po katerih te£e tok I gostoto magnetnegapolja opisuje ena£ba

B =NI

2`(sin α1 − sin α2) (2.8)

e je dolºina tuljave ` veliko ve£ja od polmera r, lahko rezultate poenos-tavimo.

a) V notranjosti zelo dolge tuljave:

α1 ≈ 90o

α2 ≈ −90o

B = µNI

`

(sin(900)− sin(−90o)

)

= µNI

`(1− (−1)) = µ

NI

`(2.9)

b) Na robu zelo dolge tuljave

α1 ≈ 90o

α2 ≈ 0o

B = µNI

`

(sin(900)− sin(0o)

)

= µNI

`(1− (0)) = µ

NI

2`(2.10)

14

2.6 Naloge Magnetno polje

2.6 Naloge1. Dolo£ite gostoto magnetnega pretoka, £e pretok magnetnega polja skozi

ploskev povr²ine A = 0.0003m zna²a φ = 600µWb.(Re²itev: B = 2T )

2. Gostota magnetnega polja na razdalji 1m od zelo dolgega vodnika je6· 10−6T Kolik²na je gostota magnetnega polja na razdalji 10m in ko-lik²en tok te£e po vodniku?(Re²itev: I = 30A)

3. Dva zelo dolga vzporedna vodnika sta oddaljena drug od drugega 1m.Kolik²na je gostota magnetnega polja na sredini med vodnikoma, £e te£epo prvem tok 50A, po drugem pa 20A v nasprotni smeri?

4. Vodnika dvovoda se odbijata z magnetno silo 0, 1µN na meter dolºine.Kolikokrat moramo pove£ati tok v dvovodu, da bo sila na meter dolºinedvovoda 106-krat ve£ja?(Re²itev: Sila je sorazmerna produktu obeh tokov, zato je re²itev 103-krat.)

5. Dve ºici sta postavljeni vzporedno, med seboj pa sta oddaljeni 10cm. Poprvi te£e tok 2A, po drugi pa 3A v nasprotni smeri. Izra£unaj gostotomagnetnega polja:

(a) v to£ki A, ki je od prve ºice oddaljena za 4cm, od druge pa 6cm inleºi med obema ºicama;

(b) v to£ki B, ki leºi 14cm od prve in 4cmod druge ºice.

6. Magnetni pretoki skozi 5 stranskih ploskev kocke so slede£i:1mWb, 2, 5mWb,4mWb, −2mWb, −1mWb. Dolo£ite pretok skozi ²esto ploskev.(Re²itev: −4, 5mWb)

7. Aluminijeva palica s presekom 1, 2cm2 leºi vodoravno v homogenem mag-netnem polju, katerega silnice so vodoravne; palica je pravokotna nasilnice. Kolik²na mora biti gostota magnetnega polje, da palica lebdi?(gostota aluminija je ρ = 2, 7g/cm3, po palici te£e tok 2, 7A)

8. Kolik²na je gostota magnetnega polja, ki ga s tokom 0, 3A ustvarimov tuljavi z 2000 ovoji, dolºino 20cm in s premerom 4cm? Kolik²en jemagnetni pretok skozi posamezen ovoj tuljave? Kolik²en pa skozi vsotuljavo? Kolik²na je induktivnost tuljave?(Re²itev: B = µNI

l, φ1 = BA, φc = Nφ1, L = Nφ1

I= µN2A

l)

15


9. Kolik²na je induktivnost tokovne zanke, £e tok 2, 5A povzro£a magnetnipretok 0, 2mV s?(Re²itev: L = φ

I)

10. Dolo£ite jakost magnetnega polja (H) v tuljavi z 40 ovoji, dolºine 10cm,po kateri te£e tok 3A. e navitje raztegnemo na dolºino 20cm, pri tem,da dolºina ºice in tok ostaneta enaka, kak²na je nova jakost magnetnegapolja v tuljavi?(H = NI/l, Re²itev: 1200A/m, 600A/m)

11. Magnetna permaeabilnost µ ºeleznega jedra ima vrednost 5600×10−6Tm/Apri toku I = 80mA. Navitje okoli jedra ima N = 200 ovojev, dolºinajedra pa je l = 20cm. Dolo£ite H, B in µr.(Re²itev: H = 250A/m, B = 0.45T ,µr = 4440)

12. Tuljava polmera r = 1cm in dolºine l = 4cm ima N = 1000 ovojev.Dolo£ite gostoto magnetnega pretoka (B) v to£ki T , ki leºi v osi tuljavein to na njenem level robu, £e je tok v tuljavi I = 2A.(Re²itev: B = µ0NI

2l(sin α1 − sin α2), B ≈ 30, 5mT )

13. Kolik²en mora biti tok, da nastane v tuljavi z 2000 ovoji, z dolºino 20cmin premerom 5cm magnetno polje z gostoto B = 5× 10−3T in kak²en jetakrat magnetni pretok skozi tuljavo (φ)? Kolik²en tok pa je potreben,da dobimo skozi tuljavo magnetni pretok φ = 2× 10−5Wb?(Re²itev: B = µNI

l,I = Bl

µN, φ = BA)

14. (a) V navitju z zra£nim jedrom, dolºine 5cm, z 8 ovojii te£e tok 5A.Dolo£ite jakost magnetnega polja (H = 8000A/m).

(b) V tuljavo vstavimo ºelezno jedro, kak²na je nova jakost magnet-nega polja (H)? Katere koli£ine, ki opisujejo stanje se spremenijo(Predpostavimo µr = 5000,Gostota magnetnega polja (B)?

(c) Pri enaki dolºini navitja podalj²amo ºelezno jedro na 10cm. Kak²naje nova vrednost jakosti magnetnega polja (H)?

16


15. Tuljava polmera 1cm in dolºine 10cm ima 1000 ovojev, tok v tuljavi je2A.

(a) Dolo£ite gostoto magnetnega pretoka B in magnetni pretok Φ vto£ki T1.

(b) Dolo£ite gostoto magnetnega pretoka B in magnetni pretok Φ vto£ki T2.

(c) Kolik²na je indktivnost tuljave?


16. elezni krog ima sredinski obseg 40cm in presek 1cm2. Po njem jenavita ºica, tako da napravi 500 ovojev. Z meritvami smo dolo£ili tokv ºici (I = 0.06A) in magnetni pretok znotraj ovoja (φ = 6× 10−6Wb).Dolo£ite gostoto magnetnega polja (B), jakost magnetnega polja (H),permeabilnost (µ) in relativno permeabilnost (µr) ºeleza.(Reºitev: B = φ

A= 6 × 10−2T,H = NI

l= 75A/m, µ = B

H= 8 ×

10−4Tm/A, µr = µµ0

= 635)

17

2.7 Dodatne naloge Magnetno polje

2.7 Dodatne naloge17. Razcepljen dvovod, postavljen v enakostrani£ni trikotnik po sliki, vodi

tok 2I(I = 10A). Dolo£ite vektor sile na enoto dolºine na vodnik s tokom2I. (a = 0, 1m)


(Re²itev: ~B = ~ex2µ0I2πa

cos α, ~F = 2I~l× ~B, ~f =~Fl

= 2I ~ez× ~ex2µ0I2πa

cos α ≈~ex693µN/m)

18. Proton vstopi s hitrostjo 2· 105m/s v obmo£je homogenega magnetnegapolja gostote B = 2T . Dolo£ite vi²ino h, na kateri proton izstopi iz tegaobmo£ja. Za maso protona vzamemo m ≈ 1, 6· 10−27kg, za njegov nabojpa Q ≈ 1, 6· 10−19C.


(Re²itev: r = mv0

QB= 1mm,h = 2r = 2mm)

18

Poglavje 3

Analiza enosmernih vezij

3.1 Elementi enosmernih vezij3.1.1 UporOsnovni element enosmernih vezij je upor (R). Z uporom nadomestimo vserealne elemente, pri katerih nas zanima le njihova karakteristika med tokom(I) in napetostjo (U). To so lahko nitka v ºarnici, upornost napeljave, no-tranja upornost zvo£nika,. . . Idealni upor, s katerim se bomo sre£evali ima

konstantno odvisnost med tokom im napetostjo, ki jo opisuje Ohmov zakon:

U = R· I (3.1)

Iz oblike ena£be vidimo, da je napetost na uporu (U) odvisna od toka (I),razmerje med veli£inama pa dolo£a vrednost upornosti (R[Ω]). Iz tega sledi, da£e pove£amo tok skozi upor na dvakratno vrednost, se tudi napetost pove£a zaenak faktor, v tem primeru na dvakratno predhodno vrednost. Karakteristikonapetosti v odvisnosti od toka prikazuje slika: Vidimo, da karakteristiko upora

predstavlja premico v U − I ravnini, naklon premice pa je vrednost upornostiR.

19

3.1 Elementi enosmernih vezij Analiza enosmernih vezij

1. Nadomestna upornost pri zaporedni vezaviNadomestno upornost verige zaporednih uporov lahko izra£unamo kot:

RN = R1 + R2 + . . . + Rn (3.2)

2. Nadomestna upornost pri vzporedni vezavi Nadomestno upornostverige vzporedno vezanih uporov lahko izra£unamo kot:

1

RN

=1

R1

+1

R2

+ . . . +1

Rn

(3.3)

Za dva vzporedno vezana upora, lahko zgornji izraz preoblikujemo:

RN =R1·R2

R1 + R2

(3.4)

20

3.1 Elementi enosmernih vezij Analiza enosmernih vezij

3.1.2 Napetostni generatorIdealni napetostni generator je element, ki drºi konstantno napetost, neodvisnood toka, ki te£e skoz njega. Njegovo karakteristiko prikazuje slika:

Iz primerjave med karakteristiko idealnega napetostnega vira ter uporalahko sklepamo, kolik²na je upornost tega elementa. Ker je naklon premiceenak 0, je tudi notranja upornost idealnega napetostnega vira enaka RUg = 0Ω.

Idealni elementi v realnosti seveda ne obstajajo (lahko se jim le bolj ali manjpribliºamo), saj imajo vsi napetostni generatorji (baterije, akumulatorji,...)notranjo upornost, ki je ve£ja od 0. Realni napetostni generator modeliramo znaslednjim vezjem: Napetost na izhodnih sponkah je enaka napetosti idealnega

vira, zmanj²ani za napetosti na uporu, ki pa je odvisna od toka skozi njega. Zena£bo to zapi²emo kot

U = Ug −Rg· Ig (3.5)Karakteristika tak²nega vira pa je:

21

3.2 Re²evanje enosmernih vezij Analiza enosmernih vezij

3.1.3 Tokovni generatorZa idealni tokovni generator velja, da skozi njega vedno te£e enak tok, ne gledana napetost na njem. Notranja upornost tega elementa je neskon£na. Realnitokovni generator ima seveda notranjo upornost, ki ima kon£no vrednost (zeloveliko), zato ga modeliramo z vezjem: Tok na sponkah realnega kondenzatorja

je:

I = Ig − IR

= Ig − U

Rg

(3.6)

Napetost realnega tokovnega vira pa:

I = Ig − U

Rg

I·Rg = Ig·Rg − U

U = Ig·Rg − I·Rg (3.7)

3.2 Re²evanje enosmernih vezijPri analizi in re²evanju vezij uporabljamo naslednje pojme:

• Veja: del vezja z dvema sponkama, ki povezuje dve vozli²£i

• Vozli²£e: sti£i²£e ve£ vej

• Zanka: zaklju£ena zanka, sestavljena iz ve£ vej

22


3.2.1 1. Kirchoov zakonVsota vseh tokov, ki pritekajo v vozli²£e je enaka 0

n∑i=1

Ii = 0 (3.8)

Za vsako vozli²£e v vezju lahko zapi²emo po eno ena£bo, kjer se²tejemo vsetokove, ki v vozli²£e pritekajo ter od²tejemo tokove, ki odtekajo iz vozli²£a, terrazliko izena£imo z 0.

Tako lahko zapi²emo toliko ena£b, kot je vozli²£ v vezju. Vendar takodobimo sistem ena£b, kjer je vsaka ena£ba ºe vsebovana v ostalih. Po prvemKirchhoovem zakonu zato vedno zapi²emo le n − 1 ena£b (n je ²tevilo vsehvozli²£ v vezju).

Ko bomo re²evali vezja, obi£ajno v naprej ne bomo poznali smeri dejanskihtokov. Zato si smeri na za£etku izberemo poljubno, kon£ni izra£un pa bopokazal (glede na predznak), kak²na je dejanska smer toka.

3.2.2 2. Kirchhoov zakonVsota napetosti na vseh elementih v zaklju£eni zanki je enaka 0.

n∑i=1

Ui = 0 (3.9)

Primer:

Ug + (−U1) + (−U2) = 0 (3.10)Z upo²tevanjem 2. Kirchhoovega zakona lahko za dano vezje zapi²emo

toliko ena£b, kot je v vezju razli£nih zank. Vendar bodo ponovno nekatereena£be ºe vsebovane v predhodnih. Zato jih zapi²emo toliko, kot jih potrebu-jemo (m− (n− 1), kjer je m ²tevilo neznank v vezju).

23


Kot smeri tokov, nam polarizacija napetosti na posameznih elementih vvezju predhodno ni znana, zato si jo lahko izberemo poljubno. Negativnipredznak v re²itvi pa bo pokazal, da je dejanska polarizacije napetosti obratna,ko smo si jo izbrali.

Pri pisanju ena£b ni pomembno, katere napetosti pi²emo s pozitivnim,ter katere z negativnim predznakom. Drºimo se dogovora, da elemente, ki vsmeri zanke potencial dvigajo (smer znake zadane ob − znak na elementu)pri²tejemo, tiste, ki potencial zniºujejo (+ znak) pa od²tevamo (glej primer!).

3.2.3 Re²evanje vezij z uporabo Kirchhoovih zakonovPri re²evanju vezij se drºimo slede£ega postopka (za vezje, ki ima n vozli²£ inm vej)

1. Na shemi vezja ozna£imo vse tokove in napetosti (smeri izberemo poljubno);

2. Zapi²emo ena£be za n− 1 vozli²£ (izpustimo poljubno vozli²£e)

3. Zapi²emo toliko zan£nih ena£b, da dobimo poln sistem (toliko ena£b kotje neznank): m− (n− 1)

4. Tokove skozi posamezne veje pretvorimo v napetosti na elementih (aliobratno) z uporabo Ohmovega zakona ter re²imo sistem ena£b

3.2.4 Re²evanje vezij po metodi zan£nih tokovI²£emo vrednosti tokov, ki te£ejo po posameznih zankah. V vejah, ki leºijo lev eni zanki, je tok enak zan£enmu. V vejah, ki leºijo na meji med zankami paje vejni tok enak razliki (vsoti) zan£nih tokov.

Ena£be za izra£un zan£nih tokov zapi²emo po naslednjem postopku:

1. Prvi £len ena£be je produkt zan£nega toka in vsote vseh upornosti zanke

2. Naslednji £len je produkt zan£nega toka sosednje zanke in upornosti vtej veji (od²tejemo, £e sta smeri zan£nih tokov glede na vejo nasprotni alipri²tejemo, £e sta zan£na enaki). Ta korak ponavljamo za vse sosednjeveje.

3. Izena£imo z napetosti vira v zanki. Predznak je +, £e vir zan£nemutoku "pomaga", − £e mu nasprotuje. Ali, + £e zadenemo v + znaknapetostnega vira, oz − v nasprotnem primeru.

24


3.2.5 re²evanje vezij po metodi vozli²£nih potencialovI²£emo potenciale vseh vozli²£ v vezju. Izberemo si referen£no vozli²£e terozna£imo ostalih n− 1vozli²£. Napetosti posameznih vej iz potencialov vozli²£lahko izra£unamo kot razliko napetosti med obema vozli²£ema veje. Ena£beza izra£un zan£nih tokov zapi²emo po naslednjem postopku:

1. Prvi £len ena£be je produkt potenciala vozli²£a in vsoti prevodnosti(G =1/R) vseh vej, ki izhajajo iz vozli²£a;

2. nato od²tejemo produkt potenciala sosednjega vozli²£a in prevodnosti vejmed njima. Ta korak ponavljamo za vsa sosednja vozli²£a;

3. Izena£imo s tokom vira v zanki. Predznak je +, £e vir proti vozli²£udviguje potencial, − £e ga spu²£a. Ali, + £e je + znak napetostnega viraobrnjen proti vozli²£u, oz − v nasprotnem primeru.

25

3.3 Naloge Analiza enosmernih vezij

3.3 Naloge3.1 V danem vezju imajo upori vrednosti R1 = 100kΩ, R2 = 200kΩ,R3 =

100kΩ. Izra£unajte nadomestno upornost vezja.

Slika 3.1: Naloga 3.1

(Re²itev: Rn = 74kΩ)

3.2 Dolo£ite mo£, ki se tro²i na uporu z upornostjo R = 25Ω za naslednjevrednosti toka: I1 = 3A,I2 = 6A in I3 = 1, 5A.(Re²itev: P1 = 225W ,P2 = 900W ,P3 = 56, 25W )

3.3 Vezje sestoji iz 6V baterije, stikala in ºarnice. Ko je stikalo sklenjeno pokrogu te£e tok I = 2A. Kolik²na je upornost ºarnice?(Re²itev: R = 3Ω)

3.4 Na uporu z upornostjo R = 200Ω izmerimo napetost U = 20V . Kolik²entok te£e skozi upor?(Re²itev: I = 0, 1A)

3.5 Ali na napetost v vti£nici (U = 220V ), na liniji, ki jo ²£iti varovalkaz nazivnim tokom I = 15A, lahko priklopimo breme z upornostjo R =12Ω?(Re²itev: NE, I = 18, 3A)

3.6 arnico z notranjo upornostjo R = 10Ω napajamo z baterijo (U = 12V ).Kolik²na je mo£ s katero ºarnica sveti?(Re²itev: P = 14, 4W )

26


3.3.1 Zaporedna vezava3.7 Dolo£ite padec napetosti na vseh uporih (po metodi delilnika napetosti).

Vrednosti uporov so R1 = 1Ω, R2 = 10Ω in R3 = 7Ω, napetostni vir paima napetost U1 = 110V .

R1

+-

U1

R2

R3


(Re²itev: U1 = 6, 1V , U2 = 61, 1V , U3 = 42, 8V )

3.8 V avtomobilu sta ºarnica za armaturno plo²£o (3V, 1, 5Ω) in zadnjo lu£(3V, 1, 5Ω) vezani zaporedno z virom napajanja, ki po kogu poganja tokI = 2A. Dolo£ite upornost vezja in napajalno napetost.(Re²itev: RN = 0, 75Ω, U = 1, 5V )

3.9 Upori z vrednostmi R1 = 3Ω, R2 = 5Ω in R3 = 4Ω so vezani zaporednoskupaj z napetostnim virom. Napetost na uporu R1 je U = 6V . Kolik²naje napetost vira?(Re²itev: U = 24V )

3.10 Reektor z notranjo upornostjo Rn = 12Ω je vezan zaporedno skupaj znapetostnim virom in uporom z upornostjo R = 32Ω. Napetost na reek-torju je U = 31, 2V . Izra£unajte vse ostale vrednosti v vezju (napetostna uporu, nadomestno upornost vezja, tok skozi upor in skozi reektor,napajalno napetost).(Re²itev: UR = 83, 2V , RN = 44Ω, I = 2, 6A, U0 = 114, 4V )

3.11 Napetostni delilnik sestavljajo upori vrednosti R1 = 3kΩ, R2 = 5kΩ inR3 = 10kΩ. Tok skozi vezje je I = 15mA. Dolo£ite nadomestno upornostvezja, padce napetosti na vseh uporih in skupni padec napetosti.(Re²itev: RN = 18kΩ, U1 = 45V , U2 = 75V , U3 = 150V , U = 270V )

27


3.12 Na katero vrednost moramo nastaviti 120-ohmski potenciometer, da bonapetost med to£ko A in B enaka 2, 5V (U1 = 12V ).

+-

U1

B

A


(Re²itev: RAB = 25Ω)

3.13 Kak²na mora biti upornost R2, da bo napetost na tem uporu enaka kotna uporu R1 = 20Ω, U = 10V.


(Re²itev: R2 = 20Ω)

3.14 Iz vira enosmerne napetosti U = 12V ºelimo z napetostnim delilnikomdobiti enosmerno napetost 5V . Tok skozi upore naj bo 100mA. Dolo£itevrednosti uporov R1 in R2.


(Re²itev: R1 = 70Ω, R2 = 50Ω)

28


3.3.2 Vzporedna vezava3.15 Dolo£ite napetosti na uporih R1 in R2 (U1 = 9V in U2 = 6V ).


(Re²itev: UR1 = 9V , UR2 = 3V )

3.16 Lu£ z neznano notranjo upornostjo Rx je vezana vzporedno z avto-mobilsko 12-voltno vti£nico z upornostjo R = 75Ω. Dolo£ite notranjoupornost lu£i Rx, £e pri napajalni napetosti U = 12V skozi vezje ste£etok I = 0, 8A

+-

UR R

x

I


(Re²itev: Rx = 18, 75Ω)

3.17 Dolo£ite napetost, ki je potrebna da skozi vzporedno vezane upore 20Ω,30Ωin 40Ω ste£e skupni tok 2A.(Re²itev: U = 18, 46V )

3.18 Dva upora z vrednostma R1 = 72kΩ in R2 = 18kΩ sta vezana vzporedno.Skozi celotno vezje te£e tok I = 30mA. Dolo£ite tok skozi vsako vejovezja (uporabite formulo za delitev toka).(Re²itev: I1 = 6mA, I2 = 24mA)

3.19 tirje enaki upori z upornostjo 90Ω so vezani vzporedno na napetostnivir 90V . Dolo£ite nadomestno upornost in celoten tok skozi vezje.(Re²itev: RN = 22, 5Ω, I = 4A)

3.20 Kak²en upor moramo vezati vzporedno z uporoma 20Ω in 60Ω, da boskupna nadomestna upornost 10Ω.(Re²itev: Rx = 30Ω)

29


3.21 Dolo£ite mo£, ki jo v avtomobilu (12V napajanje) tro²ijo vzporednovezane lu£i, dve prednji (skozi vsako te£e tok 4, 2A) in dve zadnji (skozvsako te£e tok 0.9A).

3.22 Dolo£ite tok I3 v vezju na sliki. Vrednosti elementov so: R1 = 4Ω,R2 =4Ω,R3 = 5Ω,R4 = 10Ω, I = 96mA.

+-

UR

2

I

R1

R3

R4

I3


3.23 Vti£nice v kuhinji so vezane vzporedno, preko ene varovalke.

(a) Pe£ica (R1 = 30Ω), grelec za vodo (R2 = 30Ω) in elektri£na ponev(R3 = 24Ω) so priklju£eni na vti£nice z napetostjo U = 220V .Kak²en tok bo tekel skozi vsako napravi in kak²en bo celoten tokskozi vezje?

(b) Skozi naprave te£ejo tokovi I1 = 8, 7A,I1 = 8, 9A in I3 = 9, 4A.Dolo£ite celoten tok skozi vezje, napetost na vsaki napravi in nadomestnoupornost vezja.

+-

Upečica grelec el. ponev

I1 I2 I3


30


3.3.3 Re²evanje vezij3.24 Kolik²na je napetost na ozna£enem uporu?


I1 = 100− I2

I3 = 100− I4

Zapi²emo ena£bo za levo vozli²£e:

I1 − I5 − I3 = 0

Vstavimo vrednosti za I1 in I3 in dobimo:

I2 − I4 + I5 = 0

Zan£na ena£ba za zgornjo zanko:

10I2 − 5I5 − 5I1 = 0

2I2 − I5 − 100 + I2 = 0

3I2 − I5 = 100

I2 =100 + I5

3

Zan£na ena£ba za spodno zanko:

−10I3 + 5I5 + 5I4 = 0

−2I3 + I5 + I4 = 0

3I4 + I5 = 200

I4 =200− I5

3

Vstavimo dobljeni ena£bi v ena£bo levega vozli²£a:

I2 − I4 + I5 = 0

31


100 + I5

3− 200− I5

3+ I5 = 0

100 + I5 − 200 + I5 + 3I5 = 0

5I5 = 100

I5 = 20A

U5 = I5 ∗R5 = 100V

(Re²itev: U = 100V )

3.25 Kolik²en tok te£e skozi upor Rx?


Zapi²emo zan£no ena£bo:

−30 + U1 + Ux = 0

in napetosti izrazimo z tokovi:

−30 + I1· 20Ω + Ix· 20Ω

2I1 + 2Ix = 3

Zapi²emo vozli²£o ena£bo za zgornje vozli²£e:

I1 + 2A + Ix = 0

Iz nje izrazimo I1

I1 = Ix − 2

In rezultat vstavimo v zan£no ena£bo

2(Ix − 2) + 2Ix = 3

2Ix + 2Ix = 7

Ix = 1, 75

32


3.26 Vrednosti uporov v vezju so: R1 = 4Ω, R2 = 20Ω in R3 = 60Ω. Zuporabo Kirchhoovih zakonov izra£unajte napetost vira (U0), ter tokovaskozi upora R2 in R3 (I2, I3)


(Re²itev: I2 = 6A, I3 = 2A, U0 = 152V )

3.27 Dolo£ite napetost na uporu z upornostjo 1Ω.+

-

3Ω

5A10V

4Ω 1Ω

2Ω


33


3.28 Dolo£ite napetosti na posameznih pasivnih elementih v vezju!


3.29 Poi²£ite napetost na uporih z upornostjo 10Ω!


3.30 Kolik²na mora biti upornost Rx spodnjega dela potenciometerskega delil-nika, da bo ºarnica pravilno napajana?


34

3.4 Re²evanje vezij z metodo zan£nih tokov Analiza enosmernih vezij

3.31 Dolo¢ite upornost Rx, da bo mosti£ uravnoteºen (UAB = 0). Kolik²naje takrat mo£ na uporu Rx? (R1 = 12, 5Ω, R3 = 18, 4Ω, R4 = 15, 3Ω,Ug = 10V )


(Re²itev:R1 = 10, 4Ω, Px = 1, 98W )

3.4 Re²evanje vezij z metodo zan£nih tokov3.32 Z uporabo zan£ne metode zapi²ite sistem ena£b za analizo vezja na sliki.

Uporabite na sliki ozna£ene smeri zan£nih tokov. Izra£unajte vrednostivseh zan£nih tokov ter iz njih vrednosti tokov po posameznih vejah.


Re²itev:

J1· (80 + 40 + 80)Ω− J2· 40Ω− J3· 80Ω− 105V = 0

−J1· 40Ω + J2· (40 + 40 + 20 + 20)Ω− J3· 40Ω = 0

−J1· 80Ω− J2· 40Ω + J3· (80 + 40 + 40)Ω = 0

(3.11)

35


3.33 Z uporabo zan£ne metode zapi²ite sistem ena£b za analizo vezja na sliki.Uporabite na sliki ozna£ene smeri zan£nih tokov. Izra£unajte vrednostivseh zan£nih tokov ter iz njih vrednosti tokov po posameznih vejah.


Re²itev:

J1· 120Ω− J2· 40Ω = 20V

−J1· 40Ω + J2· 100Ω− J3· 20Ω = 20V

−J2· 40Ω + J3· 20Ω = 60V

(3.12)

3.34 Z uporabo zan£ne metode zapi²ite sistem ena£b za analizo vezja na sliki.Uporabite na sliki ozna£ene smeri zan£nih tokov. Izra£unajte vrednostivseh zan£nih tokov ter iz njih vrednosti tokov po posameznih vejah.


Re²itev:

J1· 25Ω− J2· 10Ω = 10V

−J1· 10Ω + J2· 45Ω− J3· 25Ω = 10V

−J2· 25Ω + J3· 65Ω = 0

(3.13)

36


3.35 Imamo vezje s ²tirimi vejami in tremi vozli²£i. Vrednosti elementov soslede£e: R1 = 10Ω, R2 = 20Ω, R3 = 40Ω, R4 = 40Ω, U0 = 40V ,I0 = 10A. Re²ite vezje!

R1

R2

+

-

R4

R3

U0

I0


Re²ite vezje z metodama zan£nih tokov in vozli²£ih potencialov!Pomo£: Napetost na realnem tokovnem viru je U = I ·R = (I0− I1) ·R1.Za napetost vira v ena£bah za izra£un zan£nih tokov zato upo²tevamo£len I0 ·R1.

3.36 vrednosti elementov so: R1 = 15Ω, R2 = 20Ω, R3 = 33Ω, R4 = 45Ω,R5 = 22Ω, R6 = 48Ω, U1 = 10V in U2 = 20V . Re²ite vezje.

R2

R1

+-

R4

R3

U1

R6

R5

+

-

U2


Re²ite vezje z metodama zan£nih tokov in vozli²£ih potencialov!

37

3.5 Re²evanje vezij z metodo vozli²£nih potencialovAnaliza enosmernih vezij

3.5 Re²evanje vezij z metodo vozli²£nih po-tencialov

3.37 Z uporabo metode vozli²£ih potencialov zapi²ite sistem ena£b za analizovezja na sliki. Uporabite na sliki ozna£ena vozli²£a. Izra£unajte vrednostipotencialov vseh vozli²£ iz njih napetosti na posameznih uporih.


Re²itev:

VA ·(

1

80Ω+

1

80Ω+

1

40Ω

)− VB ·

(1

80Ω

)− VC ·

(1

40Ω

)=

105V

80Ω

−VA ·(

1

80Ω

)+ VB ·

(1

80Ω+

1

40Ω+

1

40Ω

)− VC ·

(1

40Ω

)= 0

−VA ·(

1

40Ω

)− VB ·

(1

40Ω

)+ VC ·

(1

40Ω+

1

40Ω+

1

20 + 20Ω

)= 0

38

3.6 Dodatna naloga Analiza enosmernih vezij

3.38 Z uporabo metode vozli²£ih potencialov zapi²ite sistem ena£b za analizovezja na sliki. Uporabite na sliki ozna£ena vozli²£a. Izra£unajte vrednostipotencialov vseh vozli²£ iz njih napetosti na posameznih uporih.


Re²itev:

VA ·(

1

80Ω+

1

40Ω+

1

40Ω

)− VB ·

(1

40Ω

)=

40V

80Ω+

20V

40Ω

−VA ·(

1

40Ω

)+ VB ·

(1

40Ω+

1

20Ω+

1

20Ω

)− =

60V

20Ω

3.6 Dodatna naloga3.39 Izra£unajte nadomestno upornost neskon£ne verige


39

Poglavje 4

Analiza izmeni£nih vezij

4.1 Kapacitivnost2.1 Kolik²na je kapacitivnost kondenzatorja, na katerem je pri napetosti 2V

naboj 4As?(Re²itev: C = Q

U= 2F )

2.2 Kolik²en je naboj na kondenzatorju s kapacitivnostjo 10F pri napetosti3V ?(Re²itev: Q = 30As)

2.3 Kolik²na je napetost na kondenzatorju s kapacitivnostjo 10−3F , ko je nanjem naboj 2As?(Re²itev: U = 2000V )

2.4 Izra£unajte nadomestno kapacitivnost treh kondenzatorjev, ki so vezanizaporedno.

Slika 4.1: Naloga 4

(Re²itev: CN = 1, 6µF )

2.5 Izra£unajte nadomestno kapacitivnost vezja:(Re²itev: CN = 360µF )

40

4.1 Kapacitivnost Analiza izmeni£nih vezij

Slika 4.2: Naloga 5

41

4.1 Kapacitivnost Analiza izmeni£nih vezij

2.6 Kolik²na je impendanca kondenzatorja pri izmeni£nem viru napetosti zfrekvenco 60Hz?

Slika 4.3: Naloga 6

(Re²itev: XC = −j66, 25Ω)

2.7 Kondenzator ima ka²acitivnost C = 3µF . Kolik²en tok te£e po elek-tri£nem vezju, £e nanj priklju£imo izmeni£no napetost 15V, 800Hz?

Slika 4.4: Naloga 7

(Re²itev: IC = 226mA)

2.8 Upor z upornostjo 15Ω in kondenzator z impendanco −j20Ω sta vezanavzporedno na izmeni£no napajanje 120V . Izra£unajte tok skozi upor(IR), tok skozi kondenzator (IC), skupni tok skozi vezje (IT ), fazni kotmed napajalno napetostjo in tokom (Θ) ter skupno impendanco vezja(Z).

Slika 4.5: Naloga 8

Re²itev:

IR =UT

R=

120

15= 8A

IC =UC

XC

=120

20= 6A

IT =√

I2R + I2

C =√

82 + 62 = 10A

Θ = arctan8

6= 36, 9O

Z = R||(−jXC)

42

4.2 Induktivnost Analiza izmeni£nih vezij

4.2 Induktivnost2.9 Kolik²na je nduktivnost tuljave, v kateri se inducira napetost 20V ko tok

v navitju naraste iz 12A na 20A v £asu 2s?Re²itev:

uL = 20V

∆t = 2s

∆i = 20− 12 = 8A∆i

∆t=

8

2= 4A/s

L =uL

∆i∆t

=20

4= 5H

2.10 Induktivnost tuljave je L = 50µH. Kolik²na napetost se inducira natuljavi, £e se tok v navitju spreminja z 10000A/s?(Re²itev: U = 0, 5V )

2.11 Vezje sestoji iz tuljave z induktivnostjo L = 20mH in izmeni£nega na²-pajanja s frekvenco f = 950kHz. Kolik²na je impendanca tuljave?(Re²itev: XL = ωL = 11, 2× 104Ω)

2.12 Kolik²na je induktivnost tuljave, £e ima pri frekvenci f = 60kHz impen-danco 945Ω?(Re²itev: L = 2, 5mH)

2.13 Tuljava ima induktivnost L = 300µH. Pri kateri frekvenci bo njenaimpendanca XL = 3768Ω?(Re²itev: f = 2MHz)

2.14 Tuljavi z induktivnostima L1 = 10H in L2 = 12H sta vezani zaporednoin razmaknjeni, tako da ne vplivata ena na drugo.

• Kolik²na je njuna nadomestna induktivnost?• Tuljavi postavimo skupaj, tako da je njuna medsebojna induk-

tivnost LM = 7H. Kolik²na je njuna nadomestna kapacitivnost,£e sta naviti v enako smer in kolik²na £e sta naviti v nasprotnihsmereh?

(Re²itev: LT = 22H, LT = 36H, LT = 8H)

43

4.2 Induktivnost Analiza izmeni£nih vezij

2.15 Dve tuljavi z induktivnostima L1 = 6H in L2 = 22H sta vezani za-poredno na vir izmeni£ne napetosti U = 120V pri 60Hz. Tuljavni nistasklopljeni in njuna upornost je enaka 0. Kolik²ns jr njuna impendancain kolik²en tok bo stekel po vezju?(Re²itev: LT = 28H, XL = 10550Ω, IL = U

XL= 11, 4mA)

2.16 Po RL vezju z uporom R = 50Ω in tuljavo XL = 50Ω te£e tok z maksi-malno vrednostjo I = 1A. Dolo£ite napetost na uporu (UR), napetost natuljavi (UL), skupno napetost (UT ) in fazni kot med tokom in napetostjo(Θ).


Re²itev:

UR = I. R = 50V

UL = I. XL = 50V

UT =√

U2R + U2

L = 70, 7V

Θ = arctanUL

UR

= 45o

2.17 RL vezje je sestavljeno iz upornosti (R = 20Ω) in tuljave (XL = 20Ω).Amplituda napajalne napetosti je UT = 100V . Dolo£ite tok skozi upor(IR), tok skozi tuljavo (IL), skupni tok (IT ) ter fazni kot (Θ).


(Re²itev: IR = 5A,IL = 5A,IT = 7, 07A, Θ = −45o)

44

4.3 RLC vezja Analiza izmeni£nih vezij

4.3 RLC vezja2.18 V RLC vezju izra£unajte napajalno napetost (UT ) ter fazni kot (Θ).

Skicirajte tudi fazni diagram!


Re²itev:

UR = I. R = 8V

UL = I. XL = 39V

UC = I. XC = 24V

(4.1)

Ker je UL > UC :

UT =√

U2R + (UL − UC)2 = 17V

Θ = arctan39− 24

8= 61, 9o

Slika 4.9: Naloga 18 - Fazni diagram

2.19 V RLC vezju, ki ga sestavljajo vzporedno vezani upor (R = 400Ω),tuljava (XL = 50Ω) in kondenzator (XC = 40Ω) izra£unajte tokove poposameznih vejah (IT , IR, IL, IC), fazni kot (Θ) in impendanco vezja.Skicirajte tudi fazni diagram!

45

4.3 RLC vezja Analiza izmeni£nih vezij


Re²itev:

IR =UT

R= 0, 3A

IL =UT

XL

= 2, 4A

IC =UT

XC

= 3A

Ker je XL > XC oziroma IC > IL je vezje kapacitivnega zna£aja

IT =√

I2R + (IC − IL)2 = 0, 67A

Θ = arctanIC − IL

IR

= 63, 4o

Z =UT

IT

= 179Ω

Slika 4.11: Naloga 19 - Fazni diagram

2.20 Za RLCvezje na sliki poi²£ite XL,XC ,Z, Θ,I,UR,UC in UL. Nari²ite udifazni diagram.(Re²itev: XL = 30Ω, XC = 50Ω, Z = 30Ω, Θ = −36, 9o, I = 1A,UR = 24V , UL = 32V , UC = 50V )

46

4.4 Prehodni pojavi Analiza izmeni£nih vezij


2.21 Upor, kondenzator in tuljava so vezna vzporedno na vir izmeni£ne napetostikot ka²e slika. Poi²£ite:

(a) reaktanco kondenzatorja in tuljave (XC , XL);(b) kazalce toka po posameznih vejah (IR, IC , IL);(c) skupni tok skozi vezje (IT );(d) impendanco ter fazni kot (Z, Θ);(e) nari²ite fazni diagram.


(Re²itev: (a)XL = 188Ω, XC = 318Ω; (b) IR = 2A, IL = 1, 06A,IC = 0, 63A; (c) IT = 2, 05A; (d) Z = 97, 6Ω, Θ = −16, 9o)

4.4 Prehodni pojavi2.22 Kondenzator s kapacitivnostjo C = 10µF in za£etno napetostjo U0 =

10V priklopimo na upor z upornostjo R = 1kΩ ter v nekem trenutkusklenemo stikalo.

(a) Kolik²en tok v tem trenutku ste£e skozi upor R?(b) Kolik²na je £asovna konstanta prehodnega pojava τ?(c) Skicirajte £asovni potek toka.(d) V kolik²nem £asu vrednost toka pade na 20% za£etne vrednosti?

47

4.4 Prehodni pojavi Analiza izmeni£nih vezij


2.23 V vezju v trenutku t = 0 vklopimo stikalo. Dolo£ite £asovni poteknapetosti na kondenzatorju C in £asovni potek celotnega toka i(t) skozivezje, £e je U = 6V , R1 = 10Ω, R2 = 5Ω in C = 50µF .


(Re²itev: uC(0) = 6V , uCS = 2V , 1/τ = 6000s−1, uC(t) = 2+4e−6000tV ,i(t) = 0, 4− 0, 4e−6000tA)

48

Poglavje 5

Operacijski oja£evalnik

1. Opi²ite delovanje vezja na sliki. Izpeljite ena£bo za oja£enje vezja (razmerjemed napetostjo na izhodu (u2) in vhodu (u1)). Izra£unajte oja£enje vezjaza vrednosti uporov: R1 = 20Ω, R2 = 5Ω.

Re²itev:Zapi²emo ena£bo za levo zanko:

u1 +R1

R1 + R2

(u2 − u1) = −ud = 0 (5.1)

Ali, zapi²emo vozli²£no ena£bo:

i1 − i2 = 0u1

R1

= − u2

R2

u2 = −R2

R1

u1

A = −R2

R1

Pri zapisu ena£b upor²tevamo lastnosti idealnega operacijskega oja£e-val£nika. Vhodna notranja uporanost je zato enaka neskon£no in v

49

Operacijski oja£evalnik Operacijski oja£evalnik

vhodne sponke tok ne te£e! Oja£enje operacijskega oja£evalnika je pravtako neskon£no (v realnosti pribliºno 106), zato je pri negativni povratnizanki edino stabilno stanje sistema takrat, ko je razlika napetosti medvhodi enaka 0 (ud = 0).Oja£enje sistema A je negativno, zato temu oje£avelniku re£emo inverti-rajo£i oja£evalnik (pozitivna sprememba vhodnega signala (u1) povzro£inegativno spremembo izhodnega signala (u2)).

2. Opi²ite delovanje vezja na sliki. Izpeljite ena£bo za oja£enje vezja (razmerjemed napetostjo na izhodu (u2) in vhodu (u1)). Izra£unajte oja£enje vezjaza vrednosti uporov: R1 = 10Ω, R2 = 10Ω.

(Re²itev: A = 2)

3. Opi²ite delovanje vezja na sliki. Izpeljite ena£bo za oja£enje vezja (razmerjemed napetostjo na izhodu (u2) in vhodu (u1)). Kak²ni sta vhodna inizhodna impendanca vezja?

(Re²itev: Vezje je napetostni sledilnik, A = 1, vhodna impendanca jeneskon£no, izhodna pa ni£)

50

Operacijski oja£evalnik Operacijski oja£evalnik

4. Opi²ite delovanje vezja na sliki. Zapi²ite uzhodno napetost (u3) kotfunkcijo vhodnih (u3 = f(u1, u2)) v primeru, ko so vrednosti uporovenake (R1 = R2 = R3).

(Re²itev: u3 = −(u1 + u2))

5. Opi²ite delovanje vezja na sliki. Zapi²ite uzhodno napetost (u3) kotfunkcijo vhodnih (u3 = f(u1, u2)). Dolo£ite vrednosti uporov, in napetostiu1, £e bomo vezje uporabili za prilagoditev napetosti razpona od 0 . . . 5Vna obmo£je −10 . . . 10V . Upo²tevajte, da je razmerje uporov enako, takoda R1

Ra= R2

Rb= ζ.

(Re²itev: u3 = ζ(u2 − u1), ζ = 4, u1 = 2, 5V )

51

5.1 Operacijski oja£evalnik v frekven£nem prostoru Operacijski oja£evalnik

6. Dolo£ite tok skozi breme Rb, £e je U1 = 5V in R1 = 2kΩ. Razmislite,kolik²na je lahko najve£ja vrednost bremenskega upora Rb, da bo skozinjega ²e tekel tok, ki ste ga izra£unali.

(Re²itev: ib = 2, 5mA)

5.1 Operacijski oja£evalnik v frekven£nem pros-toru

7. Opi²ite delovanje vezja na sliki v £asovnem in frekven£nem prostoru.

Re²itev:Zapi²emo Kirchhoov zakon za vozli²£e z invertirajo£im vhodom:

52


u1

R+ C

du2

dt= 0

Cdu2 = − 1

Ru1dt

du2 = − 1

RCu1dt

u2 = − 1

RC

∫u1dt

Za anlizo v frekven£nem prostoru upo²tevam impendanco kondenzatorja,ki je ZC = 1

jωCin uporabimo ena£bo za oja£enje invertirajo£ega sistema

z impendancami.

A(jω) = −ZC

ZR

= −1

jωC

R= − 1

jωRC=

j

ωRC

Vidimo, da je oja£enje odvisno od frekvence vzbujanja. Vi²ja kot jefrekvenca, manj²e je oja£enje sistema. Zelo visoke frekven£ne kompo-nente bodo zato mo£no du²ene in vezje predstavlja nizko prepustni lter!

8. Opi²ite delovanje vezja na sliki v £asovnem in frekven£nem prostoru.

(Re²itev: diferencialni £len: u2 = −RC du1

dt, Visoko prepustni lter:

A(jω) = jωRC )

9. Za vezje na sliki nari²ite potek izhodne napetosti (u2) pri podanempoteku vhodne napetosti. Vrednosti elementov sta R = 2kΩ in C =2mF .

10. Za vezje na sliki nari²ite potek izhodne napetosti (u2) pri podanempoteku vhodne napetosti. Vrednosti elementov sta R = 1kΩ in C =5mF .

53


54

Poglavje 6

Digitalna vezja

4.1 Minimizirajte funkcijof(A,B,C) = ΠM(0, 2, 3, 7)

4.2 Minimizirajte funkcijof(A,B,C, D) = Σm(2, 3, 5, 7, 9, 11, 14, 15)

4.3 Zapi²i funkcijo v popolni in minimalni konjuktivni in disjunktivni oblikiter jo realizirajte z NEIN in NEALI vratif(A,B,C) = A + BC

4.4 Podana je funkcijaf(A,B,C, D) = ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD + ABCD + ABCD + ABCD

Zapi²ite pravilnostno tabelo in funkcijo v minimalni disjunktivni nor-malni obliki (MDNO)

4.5 Zapi²i minimalno obliko funkcije f(A,B, C, D) podane z vezjem:

Slika 6.1: Naloga 5

55

Digitalna vezja Digitalna vezja

4.6 Funkcijo:f(A,B,C, D) = A(B + CD)(A + D)

(a) zapi²ite v pravilnostni tabeli, in poi²£ite minimalno disjunktivnonormalno obliko,

(b) * realizirajte z multipleksorji z dvema izbirnima vhodoma.

4.7 Funkcijo:f(A,B,C, D) = (AB)⊕ (C ⊕D) +ABD +BC(A⊕D)+AB(C ⊕D)+CD(A⊕D)

(a) zapi²ite v pravilnostni tabeli(b) zapi²ite v minimalni disjunktivni normalni obliki(c) * realizirajte z multipleksorji z dvema izbirnima vhodoma

4.8 Za preklopno funkcijo podano v naslednji oblikif(A,B,C, D) = ΠM(1, 2, 5, 7, 9, 10, 13, 15)

(a) zapi²ite ustrezno pravilnostno tabelo,(b) poi²²£ite ekvivalentno popolno normalno disjunktivno obliko (PDNO),(c) Karnaugh-jev diagram,(d) minimalno disjunktivno normalno obliko.





4.11 Zgradite vezje, ki bo dalo na izhodu enico, kadar bosta dve vhodni dvo-bitni ²tevili A in B razli£ni. Uporabite minimalno ²tevilo logi£nih vratNAND.

56

Digitalna vezja Digitalna vezja

4.12 Zgradite vezje, ki detektira pra²tevila, kodirana s ²tiribitno Grayevokodo. Za realizacijo uporabite:

(a) minimalno ²tevilo logi£nih vrat NAND(b) multipleksorje z dvema izbirnima vhodoma

²tevilo Grayeva koda0 00001 00012 00113 00104 01105 01116 01017 01008 11009 110110 111111 111012 101013 101114 100115 1000

Tabela 6.1: tiribitna enokora£na Grayeva koda

57

Documents

Elektrotehnika-Vaje - dsc.ijs.sidsc.ijs.si/mgasperin/elektrotehnika/wp-content/uploads/2010/06/skripta.pdf · Poglavje1 Stati£noelektri£nopolje 1.1 Elektri£nasila Med dvema naelektrenima