Elektrina a Magnetismus Skripta

Elektřina a magnetismusvěnováno všem, kteří mají zájem o fyziku a její radostné studium

kolektiv ÚFI FSI

hypertextová verze vycházející z přepracovaných skript Fyzika II, autorů: Šantavý,Liška

Copyright c© 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

Odkazy jsou v textu označeny modře a kliknutím „odskočíteÿ na příslušnou rovnici, obrázek,apod. Pokud se chcete v textu vrátit zpět, použijte klávesové zkratky Alt+Šipka vlevo nebo menuZobrazení-Jít na-Předcházející zobrazení (nebo ikonku ), pro dopředný pohyb Alt+Šipka

vpravo ( ).

Ve významných místech označeny symboly:

odkazy na odpovídající části v knize [1] ve formátu: HRW kapitola, strana.

odkazy do textů Vybrané kapitoly z fyziky a Fyzika 1.

video nebo animace

simulační program

dokumentace k programu

interaktivní příklad

početní příklad

interaktivní test

Další texty a pomůcky ke studiu fyziky naleznete na http://physics.fme.vutbr.cz.

http://physics.fme.vutbr.cz

Obsah

1 Elektromagnetismus 71.1 Elektromagnetické interakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Elektromagnetické jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Elektrický náboj Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Elektromagnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3.1 poznatky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.3.2 Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole, ~E . . . 111.1.3.3 Intenzita elektrického pole ~E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.3.4 Magnetická indukce ~B. Lorentzova síla ~FL . . . . . . . . . . . . 14

1.1.4 Elektrostatické pole ve vakuu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.4.1 Elektrostatické pole bodového náboje. Coulombův zákon. . . . . 161.1.4.2 Elektrické siločáry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.4.3 Elektrostatické pole vytvořené soustavou nábojů. Elektrický dipól. 18

1.2 Elektrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1 Gaussův zákon elektrostatiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1.1 Hlavní výsledek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1.2 Tok N vektoru ~B orientovanou plochou . . . . . . . . . . . . . . 211.2.1.3 Tok vektoru ~E uzavřenou orientovanou plochou v poli bodového

náboje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.1.4 Gaussův zákon elektrostatiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.1.5 Užití Gaussova zákona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2 Elektrický potenciál a napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.2.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.2.2 Práce sil elektrostatického pole vytvořeného bodovým nábojem . 261.2.2.3 Práce sil obecného elektrostatického pole . . . . . . . . . . . . . 271.2.2.4 Energie bodového náboje v elektrostatickém poli, We . . . . . . 281.2.2.5 Elektrický potenciál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.2.6 Elektrické napětí U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.2.7 Ekvipotenciální plochy a elektrické siločáry . . . . . . . . . . . . 33

1.2.3 Elektrostatické pole nabitých vodičů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.3.1 Vodiče a dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.3.2 Vodiče . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.3.3 Elektrostatická indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.3.4 Rovnovážný stav nabitého vodiče . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.2.3.5 Kapacita vodiče. Kondenzátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.2.3.6 Kondenzátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2.4 Elektrostatické pole v látkách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.2.4.1 Interakce elektrického pole s látkou . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Copyright c© 2005, ÚFI FSI VUT v Brně 3

OBSAH

1.2.4.2 Hlavní typy dielektrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.2.4.3 Vektory elektrického pole v dielektriku . . . . . . . . . . . . . . 441.2.4.4 Feroelektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.2.4.5 Elektrické pole v homogenním dielektriku . . . . . . . . . . . . . 471.2.4.6 Energie elektrického pole, We . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.2.4.7 Příklady — Elektrostatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.3 Ustálený elektrický proud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.1 Ohmův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.3.1.1 Základní informace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.1.2 Definice elektrického proudu I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.3.1.3 Ustálený elektrický proud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.3.1.4 Výkon elektrostatických sil v proudovodiči. Jouleovo teplo . . . 601.3.1.5 Ohmův zákon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.3.2 Obvody s elektromotorickým napětím . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.3.2.1 Zdroje napětí a proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.3.2.2 Elektromotorické napětí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.3.2.3 Výkon zdroje elektromotorického napětí . . . . . . . . . . . . . . 661.3.2.4 Ohmův zákon pro obvod se zdrojem elektromotorického napětí . 671.3.2.5 Ohmův zákon pro uzavřený obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.3.2.6 Energetické poměry v obvodu stejnosměrného proudu . . . . . . 711.3.2.7 Příklady — Ustálený elektrický proud . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.4 Časově neměnné magnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771.4.1 Magnetické pole vodičů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.4.1.1 Základní vlastnosti magnetického pole . . . . . . . . . . . . . . . 771.4.1.2 Relativnost elektromagnetického pole . . . . . . . . . . . . . . . 781.4.1.3 Elektromagnetické pole buzené rovnoměrně se pohybujícím bo-

dovým nábojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.4.1.4 Magnetické pole lineárního proudovodiče . . . . . . . . . . . . . 811.4.1.5 Magnetické pole lineárního proudového elementu (Biotův-Savartův-

Laplaceův zákon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821.4.1.6 Magnetické pole vytvořené přímočarým lineárním vodičem a li-

neárním vodičem kruhového tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.4.2 Magnetické síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.4.2.1 Základní poznatky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.4.2.2 Ampérova síla působící na lineární proudový element . . . . . . 861.4.2.3 Definice ampéru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.4.2.4 Účinek homogenního magnetického pole na rovinnou proudovou

smyčku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.4.3 Magnetické pole v látkách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.4.3.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.4.3.2 Magnetický moment atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911.4.3.3 Vliv látek na magnetické pole. Vektor ~H . . . . . . . . . . . . . 931.4.3.4 Hlavní typy magnetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.4.3.5 Silové působení magnetického pole na látky . . . . . . . . . . . . 97

1.4.4 Obecné vlastnosti vektorů ~B, ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981.4.4.1 Magnetický indukční tok φ. IV. Maxwellova rovnice . . . . . . . 981.4.4.2 Ampérův zákon pro cirkulaci vektoru ~H . . . . . . . . . . . . . . 1001.4.4.3 Příklady — Časově neměnné magnetické pole . . . . . . . . . . . 102

1.5 Časově proměnné elektromagnetické pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4 Copyright c© 2005, ÚFI FSI VUT v Brně

OBSAH

1.5.1 Elektromagnetická indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.5.1.1 Základní jevy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081.5.1.2 Definice indukovaného elektromotorického napětí Ei . . . . . . . 1111.5.1.3 Indukční jevy ve vodičích, pohybujících se v časově neměnném

magnetickém poli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111.5.1.4 Indukční jevy v nepohyblivých vodičích . . . . . . . . . . . . . . 1141.5.1.5 Faradayův zákon elektromagnetické indukce . . . . . . . . . . . 1161.5.1.6 Jev vlastní a vzájemné indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181.5.1.7 Energie magnetického pole, Wm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

1.5.2 Maxwellova teorie elektromagnetického pole . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211.5.2.1 Magnetomotorické napětí v obecném poli, εm. Maxwellův proud 1211.5.2.2 Maxwellovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241.5.2.3 Příklady — Časově proměnné magnetické pole . . . . . . . . . . 125


OBSAH


1. Elektromagnetismus1.1 Elektromagnetické interakce

1.1.1 Elektromagnetické jevy

Elektromagnetické jevy tvoří důležitou skupinu fyzikálních jevů, jejichž význam v denním životěi v elektrotechnické praxi vzrůstá. Přesto, že elektrotechnická zařízení jsou většinou velmi složitáa podrobné porozumění jejich činnosti vyžaduje důkladné studium, využívá se v nich relativněmalého počtu jevů a zákonitostí elektromagnetismu. Studium fyzikálních základů elektromagne-tismu je pro studenta strojního inženýrství důležité jednak proto, aby rozuměl fyzikální podstatětechnických dějů, v nichž se elektromagnetické jevy uplatňují, jednak proto, aby si vytvořil před-poklady pro studium jiných částí fyziky optiky, atomistiky, fyziky pevných látek a teoretickýcha technických předmětů, které na fyziku navazují.

È1

È2~F

`v1

`v2

Obrázek 1.1

Elektromagnetické děje v makroskopickém měřítku a elektromagnetické vlastnosti těles jsoupodmíněny elektromagnetickými vlastnostmi některých částic, z nichž jsou tělesa složena.Na tyto částice působí v okolí jiných podobných částic, kromě síly gravitační, ještě další síly,tzv. síly elektromagnetické. Tyto síly se liší od síly gravitační velikostí, směrem a zejménatím, že jsou závislé nejen na vzájemné poloze částic, nýbrž také na jejich rychlostech. Vznik síly~F , působící např. na částici 1, pohybující se rychlostí ~v1 (obr. 1.1) se vysvětluje tím, že na nipůsobí elektromagnetické pole, vytvořené částicí 2. Naopak také částice 1 vytváří ve svémokolí elektromagnetické pole, které působí na částici 2, Částice, které mají tyto vlastnosti, senazývají elektricky nabité. Jsou to např. protony, elektrony, pozitrony atd. Vzájemné působeníelektricky nabitých částic se nazývá elektromagnetická interakce.

Na rozdíl od sil gravitačních nesplňují síly elektromagnetické v obecném případě zákon akcea reakce.

1.1.2 Elektrický náboj Q

Při výkladu elektromagnetických jevů budeme vycházet z fyzikální veličiny „elektrický nábojÿ.V soustavě SI je sice základní veličinou v elektromagnetismu elektrický proud, definovaný nazákladě vzájemného silového působení vodičů, v nichž se pohybují elektricky nabité částice,z hlediska, fyzikálního má však základní význam fyzikální veličina „elektrický nábojÿ, který seoznačuje buď Q nebo q.

Při jeho zavedení se vychází z těchto vlastností nabitých částic: Uvažujme o elektromagne-tickém poli, vytvořeném v inerciální vztažné soustavě S (obr. 1.2) nabitými částicemi 1, 2, . . . , n,


HRW - Fyzika

HRW 22.2, str. 578

Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se elektrického náboje

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/ElNaboj.pdf

KAPITOLA 1. ELEKTROMAGNETISMUS

P~Fp ~F

~F'

`v

È1

ÈnÈ2

proton

S

Obrázek 1.2

jež jsou trvale v klidu. Takovéto pole se nazývá elektrostatické. Je-li v některém bodě tohotopole, např. v bodě P (obr. 1.2), proton, působí na něj určitá síla ~Fp, která nezávisí na tom,zda a jak se proton pohybuje. Na jinou nabitou částici působí v témže místě P síla ~F , kterárovněž nezávisí na pohybu částice a která se od síly ~Fp může lišit velikostí, leží však ve stejnépřímce jako síla ~Fp. Síla ~F je pro některé částice orientována souhlasně jako ~Fp. Tyto částiceoznačíme jako kladně nabité. Pro jinou skupinu částic, které označíme jako záporně nabité, jesíla ~F orientována opačně síla ~F ′ v (obr. 1.2). Do první skupiny patří proton, pozitron, částicealfa atd., do druhé např. elektron.

Elektrický náboj Q částice (krátce jen „nábojÿ) je veličina, která je přímo úměrná velikostisíly, která na ni působí v elektrostatickém poli. Náboj protonu označíme e a nazveme elemen-tární náboj. Náboj Q libovolné kladně nabité částice je dán vztahem

Q

e=

~F

~Fp, (1.1)

kde ~Fp je velikost síly působící v libovolně zvoleném bodě P elektrostatického pole na protona ~F velikost síly působící v tomtéž bodě na uvažovanou částici (obr. 1.3).

~Fp

~F = 3~Fp

È

elektrické pole

eQ = 3e

Obrázek 1.3

Veličina ~F/~Fp udává číselnou hodnotu náboje částice , měřeného v elementárních nábojíche. Pro elektrický náboj je tedy proton „normálemÿ, právě tak jako pro hmotnost je normálemjisté přesně určené těleso.

Je známo, že jednotka 1e je pro technické účely příliš malá a že se jí užívá většinou jenv atomové fyzice. V praxi se užívá jednotky soustavy SI 1coulomb = 1C. Tato jednotka jedefinována jako náboj částic, které projdou za 1s průřezem vodiče, kterým prochází proud 1 A.Platí 1 C = 1 A· s−1. Přitom ampér je v SI definován na základě silových účinků proudu. Z měřeníplyne

e = 1,602 19·10−19coulombů.

Náboj částic, na které elektrostatické pole nepůsobí, je roven nule, Q = 0, takže pro něplatí rovněž rovnice (1.1). Tyto částice nazýváme elektricky neutrální nebo nenabité (např.


1.1. ELEKTROMAGNETICKÉ INTERAKCE

neutron).Elektrický náboj záporně nabitých částic (tj. těch, na něž působí opačně orientovaná síla než

na proton) lze zavést podobně. Náboj elektronu se označí Qe. Pro náboj Q libovolné záporněnabité částice, na níž působí v určitém bodě elektrická sila ~F , je dán vztahem Q = Qe ~F/ ~Fe, kdeFe je velikost síly působící ve stejném bodě na elektron.

Vztah mezi nábojem protonu a elektronu Experimentálně bylo zjištěno, že pro elektrickýnáboj Q libovolného tělesa (částice), sestávajícího buď z kladně nabitých a neutrálních částicnebo ze záporně nabitých a neutrálních částic, platí vztah

Q = Q1 +Q2 + . . .+Qn additivnost el. nábojů, (1.2)

kde Q1, Q2, . . ., Qn jsou náboje jednotlivých částic. Většina objektů, které se zkoumají ve fyzice,obsahuje současně kladně i záporně nabité částice. Nejjednodušší taková soustava — atom vodíku— sestává z jednoho protonu, který tvoří jádro a z jednoho elektronu, který tvoří elektronovýobal. Na atom vodíku nepůsobí elektrická síla, takže jeho elektrický náboj je nulový, Q = 0.Postulujeme-li platnost vztahu (1.2) i pro soustavu složenou z protonu a elektronu, dostaneme:

Q = 0, Q = e+Qe =⇒ Qe = −e. (1.3)

Elektron a proton mají tedy stejně velké náboje opačných znamének. Prohlásíme-li jedenz obou nábojů buď Qe nebo e za kladný, je zbývající záporný. Z historických důvodů se volínáboj protonu kladný, tj. e = 0. Náboj elektronu Qe = −e je pak záporný. Je zřejmé, že nanáboji protonu ani elektronu není nic, co by jeden nebo druhý předurčovalo k tomu, aby bylkladný nebo záporný.

Ze vztahů (1.2), (1.3) plyne, že všechny částice (a všechny soustavy) složené z kladně nabitýchčástic mají náboj kladný a že soustavy sestávající z částic záporně nabitých mají náboj záporný.

Zákon additivnosti elektrických nábojů Z uvedených experimentálních výsledků a úvahplyne: Elektrický náboj Q soustavy, sestávající z částic o libovolných nábojích Q1, Q2, . . . , Qn,kde Qk R 0, je dán vztahem (1.2) Tento výsledek se nazývá zákon additivnosti elektrickýchnábojů.

Je zřejmé, že to, že některé těleso nebo některá jeho část je elektricky neutrální, neznamená,že neobsahuje elektricky nabité částice, nýbrž jen to, že součet jeho kladných nábojů je rovenabsolutní hodnotě součtu jeho nábojů záporných.

Zákon kvantování elektrických nábojů Experimentálně bylo zjištěno, že náboj žádné elek-tricky nabité částice (nebo jakéhokoliv objektu) není v absolutní hodnotě menší než e a že nábojQ libovolné soustavy (částice, tělesa) je vždy roven celistvému násobku elementárního náboje e,tj. že platí

Q = n · e, n = 0,±1,±2, . . . kvantování nábojů

Tento výsledek se nazývá zákon kvantování elektrického náboje.Poznámky:1. Náboj libovolného tělesa se může změnit jen tak, že těleso získá nebo ztratí elektricky nabitéčástice (nebo obojí současně). Náboj tělesa se může měnit pouze nespojitě, po kvantech nábojeo velikosti e nebo jeho celistvých násobcích. Název „elementární nábojÿ je proto oprávněný.2. Náboj Q elektricky nabitých těles, je téměř vždy mnohem větší než e, tj. platí |Q| e. Nábojpředávaný při nabíjení a vybíjení těles je ve srovnání s nábojem e tak velký, že jeho nespojitost,tj. kvantový charakter, je většinou nepozorovatelná a běžnými přístroji nezjistitelná. Náboj


HRW - Fyzika

HRW 22.5, str. 584


těles se tedy mění přibližně spojitě, právě tak, jako se přibližně spojitě mění např. hmotnostplynu obsaženého v nádobě při jeho vypouštění.3. Celkový náboj všech jader atomu v tělese je vždy nesrovnatelně větší než celkový náboj tělesa.Platí tedy: celkový náboj jader atomů tělesa celkový náboj tělesa elementární náboj.

Rn,Q = 86e2

¡, Q = 2e3

Ra,Q = 88e1

Obrázek 1.4

Zákon zachování elektrického náboje. Tento zákon zní: Elektrický náboj izolované soustavyje stálý. Zobecňuje výsledky zkoumáni dějů probíhajících v atomárním světě i v měřítku makro-skopickém. Je-li náboj izolované soustavy na začátku jakéhokoliv děje v ní probíhajícího rovenQ1, je její náboj na konci děje rovněž Q1. Např. při jednom typu radioaktivní přeměny jádraatomu radia (Ra), jehož náboj je Q1 = 88e, vyletí z něho částice alfa o náboji Q2 = 2e a zbytekjádra (jádro radonu Rn) má náboj Q3 = 86e, tj. platí Q1 = Q2 +Q3 (obr. 1.4). Uvedli jsme také,že náboj makroskopického tělesa se mění jen tehdy, když těleso ztratí nebo přijme elektrickynabité částice.

Zákon invariance elektrického náboje Elektrický náboj Q je fyzikální veličina, kterácharakterizuje elektrické vlastnosti částic a těles, podobně jako hmotnost m charakterizuje jejichvlastnosti setrvačné. Hmotnost m tělesa závisí na jeho pohybovém stavu, charakterizovaném jehorychlostí ~v. S rostoucí rychlostí tělesa jeho hmotnost roste podle vztahu m = m0(1− v2/c2)−

12 .

Podobně jako hmotnost m by mohl i elektrický náboj tělesa záviset na jeho pohybovém stavu.Pokusy však ukazují, že tomu tak není. Náboj tělesa nezávisí na jeho rychlosti, s rychlostíse nemění, je invariantní. Tento výsledek se nazývá zákon invariance elektrického náboje.

1.1.3 Elektromagnetické pole

1.1.3.1 poznatky

`p'

`p = 0

`p''

`p'+`p''= 0

atom po vyzáøení, p' è 0

atom pøed vyzáøením

pole

`

`

`

Obrázek 1.5

Pole, vytvořené pohybujícími se nabitými částicemi, se nazývá pole elektromagnetické.Toto pole působí v obecném případě jak na nabité částice tak na proudovodiče, magnety atd.Neprojevuje se však jen silovými účinky, nýbrž má i jiné vlastnosti, které svědčí o jeho existenci:

1. Elektromagnetické pole má hybnost. To se projevuje např. tím, že když volný atom



vyzáří elektromagnetickou vlnu, tj. elektromagnetické pole, změní svoji hybnost (obr. 1.5).Součet hybnosti atomu po vyzáření a hybnosti elektromagnetického pole je roven hybnostiatomu před vyzářením. Perspektivní využití: fotonové rakety.

2. Elektromagnetické pole má energii. Příklady: ohřívání povrchu Země slunečním zá-řením, přenos televizních signálů atd.

3. Elektromagnetické pole působí na lidský organismus: elektromagnetické vlny s frek-vencí z intervalu (4·1014–7,5·1014) Hz vyvolávají světelné vjemy.

Elektromagnetické pole působí na krevní oběh, na nervovou soustavu atd. Elektromagneticképole je jednou z forem hmoty.

energie

energie elmag. pole

Obrázek 1.6

Zdrojem elektromagnetického pole jsou, jak jsme uvedli, pohybující se elektricky nabité čás-tice. V technické praxi je elektromagnetické pole vytvářeno nejčastěji proudovodiči a magnety.I v těchto případech jsou vlastním zdrojem elektromagnetického pole ty pohybující se elektrickynabité částice, jež vytvářejí elektrický proud. Elektromagnetické pole vytvořené nabitou částicíje jakýmsi jejím „prodlouženímÿ do okolního prostoru. Elektricky nabitá částice bez elektrickéhopole neexistuje. Na druhé straně však je elektromagnetické pole relativně samostatné, může se odsvého zdroje odpoutat a šířit se prostorem nezávisle na svém zdroji. Jestliže se pohybuje nabitáčástice se zrychlením, např. kmitá, budí pole, které se šíří okolním prostorem rychlostí světlaa má hybnost a energii. Toto pole postupuje prostorem dál, i když částice přestane kmitat nebokdyž přestane jako samostatný objekt existovat. Na Zemi dopadá z vesmíru elektromagnetickézáření, emitované ve vzdálených oblastech vesmíru před miliardami let ze zdrojů, které dnes užvůbec nemusí existovat. Pole, buzené kmitající nabitou částici, je nesmírné slabé a vyzařovanývýkon je malý. Kmitá-li však částice dosti dlouho, je celková vyzářená energie libovolné velká.Zdrojem této energie je to zařízení, které částici udržuje v kmitavém pohybu (obr. 1.6) a konápráci.

1.1.3.2 Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole, ~E

elmag. pole

P Q

~FB~FE~F

`v

Obrázek 1.7

Obecné ektromagnetické pole je buzeno (v určité inerciální vztažné soustavě) pohybujícímise nabitými částicemi a nabitými tělesy, pohybujícími se magnety atd. a má dvě složky (nebo



„částiÿ): elektrickou a magnetickou. Elektrická složka elektromagnetického pole je ta jeho část,která působí na elektricky nabité objekty — částice, tělesa — silou, nezávislou na jejich pohybu.Tato síla se nazývá elektrická a označuje se obvykle ~Fe. Závisí — v určitém místě prostoru —pouze na elektrickém náboji objektů, na něž působí. Magnetická složka elektromagnetickéhopole se projevuje rovněž silou, která však působí na nabité objekty pouze když se pohybují. Narozdíl od síly ~Fe závisí magnetická síla ~Fm jak na elektrickém náboji tělesa nebo částice, na kterépůsobí, tak na velikosti a směru jejich rychlosti. Na klidnou nabitou částici magneticképole nepůsobí. Výsledná síla ~F , působící v libovolném bodě P na nabitou částici, pohybujícíse rychlostí ~v v elektromagnetickém poli, je rovna ~F = ~Fe + ~Fm (obr. 1.7).

Elektrická a magnetická složka elektromagnetického pole se v prostoru překrývají a jsou nasobě závislé: změna jedné z nich je doprovázena změnou druhé. Ve zvláštních případech však lzevytvořit elektromagnetické pole, které obsahuje buď jen elektrickou složku nebo jen magnetic-kou složku. První typ pole, tzv. elektrostatické pole, je vytvořeno (v určité inerciální vztažnésoustavě Oxyz) náboji, které jsou v Oxyz trvale (nebo po určitou dobu) v klidu. Vyznačujese zejména tím, že a) působí na elektricky nabitá tělesa (částice) silou nezávislou na jejichpohybu, b) nepůsobí na permanenetní magnety ani na proudovodiče (pokud ovšem nejsou elek-tricky nabity). Druhý typ pole, tzv. magnetostatické, je buzeno (v určité inerciální vztažnésoustavě Oxyz) klidnými permanentními magnety nebo proudovodiči, kterými prochází stálýproud. Vyznačuje se zejména tím, že a) působí na permanentní magnety, na elektrické proudya na pohybující se elektricky nabité částice, b) nepůsobí na náboje v klidu. Elektrostatickéa magnetostatické pole je stálé, tj. s časem neměnné.

1.1.3.3 Intenzita elektrického pole ~E

PQ > 0

Q <0

~E~E

a) b)

~FE

~FE

Obrázek 1.8

Elektrickým polem se rozumí buď elektrická složka elektromagnetického pole nebo elek-trostatické pole. Jeho mohutnost se posuzuje podle jeho silových účinků na elektrické nábojea charakterizuje se veličinou ~E, nazvanou intenzita elektrického pole. K definici vektoru ~Ezavedeme nejprve pojem elektrický bodový náboj. Bodový náboj je buď elementární částice— elektron, proton atd. nebo iont, nebo malé nabité tělísko, tak malé, že jeho rozměry a tvarnejsou v dané situaci z fyzikálního hlediska podstatné. Je analogií hm. bodu mechaniky. Definiceelektrické intenzity ~E spočívá na této důležité vlastnosti elektrického pole: Vložíme-li do boduP elektrického pole postupně kladné bodové náboje Q1, Q2, Q3, . . . (obr. 1.8a), působí na něelektrické síly ~F1, ~F2, ~F3, . . .

Tyto síly mají stejný směr a orientaci a pro jejich velikosti platí F1 : F2 : F3 : . . . = Q1 :Q2 : Q3 : . . . V tomtéž bodě působí na záporné bodové náboje síly orientované opačně, jejichžvelikosti jsou opět úměrny nábojům (obr. 1.8b). Odtud plyne: Nechť na bodový náboj Q (kladnýnebo záporný, a libovolně velký, který je v klidu nebo pohybu) působí v bodě P elektrická sila~F . Pak vektorová veličina ~F/Q nezávisí na náboji a na jeho rychlosti a má v boděP velikost a směr, jež závisí jen na elektrickém poli. Podílem ~F/Q je definována intenzita


HRW - Fyzika

HRW 23.4, str. 597


elektrického pole v bodě P . Tedy

~E =~F

Q. definice vektoru ~E (1.4)

[volt·metr−1 = newton·coulomb−1] .

Diskuse:

Z1 Z2Q0

~FE,1

~FE,2

~F = ~F + ~FE,1 E,2

~E1

~E2

~E = ~E + ~E1 2

Obrázek 1.9

1. Veličina ~E je součin skaláru Q−1 a vektoru ~F , Je-li Q > 0, jsou vektory ~E a ~F paralelní, je-liQ < 0, jsou ~E a ~F antiparalelní (obr. 1.8b).2. Veličina ~E je vektor, neboť splňuje podmínky kladené na vektory. Např. platnost zákonavektorového sčítání plyne v případě, že pole je vytvořeno dvěma zdroji Z1, Z2 (obr. 1.9) z toho,že pro intenzitu výsledného pole ~E v libovolném bodě P platí

~E =~F

Q0=

~F1 + ~F2

Q0=

~F1

Q0+

~F2

Q0= ~E1 + ~E2,

kde ~F je síla, působící v bodě P na libovolný náboj Q0 a kde význam ostatních veličin je zřejmý.Tento výsledek zůstává v platnosti i v případě elektrického pole buzeného libovolným počtem

zdrojů. Pro pole n-zdrojů platí

~E = ~E1 + ~E2 + . . .+ ~En. zákon superpozice el. polí (1.5)

Vztah vyjadřuje současně zákon superpozice elektrických polí. Analogický zákonplatí i pro magnetickou složku elektromagnetického pole.

`s

N

~B

S

`vÏ

´

PQ

~FB

Obrázek 1.10

3. Je-li ve vztahu (1.4)Q = 1 coulomb, platí číselně E = F. Jednotka ~E : [E] = newton·coulomb−1.Lze ukázat (viz odstavec 1.2.2, rovnice (1.39)), že platí 1 N·C−1 = 1 volt·metr−1 = 1 V·m−1,což je jednotka, které se užívá nejčastěji. Velikost vektoru ~E: kolem svorek akumulátoru E ∼102 V·m−1, průraz vzduchu E ∼ 3·106 V·m−1.


HRW - Fyzika

HRW 23.4, str. 597

Interaktivní pøíklad

Superpozici elektrických sil si mù¾ete vyzkou¹et v interaktivním pøíkladu na výpoèet vzájemného pùsobení nábojù

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/interaktprikl/FyzikaII/priklad22.html


4. Z definičního vztahu (1.4) plyne, že v bodě P , kde je elektrická intenzita ~E, působí na bodovýnáboj Q síla

~F = Q~E elektrická síla (1.6)

[N = C·V·m−1]

1.1.3.4 Magnetická indukce ~B. Lorentzova síla ~FL

¡

~B

`vQ

`v Ð~B

~F (pro Q <0)B

´

a)

`v~B

~FB

Q > 0

do dlanì

b)

~F (pro Q > 0)B

Obrázek 1.11

Tak jako vektor ~E charakterizuje mohutnost a směrové vlastnosti elektrického pole, charak-terizuje tyto vlastnosti u pole magnetického vektorová veličina zvaná magnetická indukce ~B.I v případě pole magnetického se za míru jeho mohutnosti považují jeho silové účinky na elek-tricky nabité částice. Magnetická síla, kterou působí magnetické pole na letící bodový náboj, senazývá síla Lorentzova značí se buď ~Fm nebo ~FL. Lorentzova síla má tyto hlavní vlastnosti:Nechť ~s je směr ustálené otočné magnetky v bodě P magnetického pole (obr. 1.10), orientovanéod jižního pólu S k severnímu N .

Nechť ~Fm je magnetická síla, působící v bodě P na bodovou částici o náboji Q, která sepohybuje rychlostí ~v⊥, ležící v rovině σ ⊥ ~s, jinak však libovolně orientovanou. Měření vedouk výsledku, že pro tuto silu platí | ~Fm| ∼ |Q|.| ~v⊥|, takže veličina | ~Fm|/|Q|.| ~v⊥| závisí jen namagnetickém poli v bodě P . Magnetická indukce ~B v bodě P je pak definována takto:

1. Směr vektoru ~B je roven směru ~s

2. Velikost vektoru ~B je rovna

B =| ~Fm||Q|.|~v1|

. definice vektoru ~B (1.7)

Výsledky experimentálního zkoumání síly ~Fm, která působí v bodě P magnetického pole nabodovou částici o náboji Q, pohybující se libovolnou rychlostí ~v lze shrnout do jediného vztahu:

~FL = Q(~v × ~B). Lorentzova síla (1.8)

[N = C·ms−1·T][N = C·m·s−1·T]


HRW - Fyzika

HRW 29.2, str. 744


Interaktivní pøíklad na pohyb nabité èástice v magnetickém poli

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/interaktprikl/FyzikaII/priklad_II_1.html


Diskuse:1. Rozměr vektoru ~B plyne z definičního vztahu: [B] = [F ][Q−1][v−1] = N·C−1·m−1·s−2 =kg·A−1·s−2. Jednotkou B je 1 tesla = 1 T = kg·A−1·s−2. Velikost vektoru ~B: zemské poleB ∼ 5·10−5 T, pole mezi póly elektromagnetu B ∼ 1 T až 102 T.2. Směr a velikost Lorentzovy síly:

a) Směr. Ze vztahu (1.8) plyne, že platí ~FL ⊥ ~v, ~B, tj. že síla ~FL je kolmá na rovinu, danouvektory ~v, ~B (obr.1.11a). Je-li Q < 0, míří ~FL na opačnou stranu než vektor (~v × ~B).Ježto platí ~FL ⊥ ~v, je síla ~FL vždy kolmá na trajektorii částice. Z definice práce pakplyne, že Lorentzova síla nekoná práci. Působením síly ~FL se mění pouze směr, nikolivvelikost rychlosti volné částice. Ze vztahu (1.8) plyne známé pravidlo levé ruky pro určenímagnetické síly (obr. 1.11b).

b) Velikost. Ze vztahu (1.8) plyne

~FL = |Q|vB sinα, velikost Lorentzovy síly (1.9)

kde α(0 ≤ α ≤ 180) je úhel sevřený vektory ~v a ~B. Síla ~FL má maximální velikost proα = 90 a minimální ( ~FL = 0) pro α = 0, 180. Je-li v=0, je FL = 0, tj. magneticképole nepůsobí na klidný nábor.

N

S

Z1

Z2

P

~B1

~B2

~B

I

Obrázek 1.12

3. Veličina ~B splňuje požadavky kladené na vektory, tedy je vektor. Experimenty vedou např.k tomuto výsledku: Je-li magnetické pole vytvořeno n zdroji Z1, Z2 . . . Zn a je-li ~Bk magnetickáindukce pole vytvořeného k-tým zdrojem, pak magnetická indukce výsledného pole, ~B, je dánavztahem

~B = ~B1 + ~B2 + . . .+ ~Bn.zákon superpozicemagnetických polí

(1.10)

Tento vztah vyjadřuje zákon superpozice magnetických polí (viz obr. 1.12).4. Celková síla působící na náboj v obecném elektromagnetickém poli. Obecné elektro-magnetické pole ve vakuu je charakterizováno v každém bodě vektory ~E, ~B. Na bodovou částicio náboji Q, pohybující se rychlostí ~v, působí celková síla

~F = Q[ ~E + (~v × ~B)]. celková síla v elektromagnetickém poli (1.11)

Tato celková síla se někdy rovněž nazývá Lorentzova. My budeme užívat názvu„Lorentzova sílaÿ pouze pro její magnetickou složku.



1.1.4 Elektrostatické pole ve vakuu

Elektrostatické pole je zvláštním případem obecného elektromagnetického pole. Je to pole, kteréje vytvořeno v inerciální vztažné soustavě elektrickými náboji v klidu. V technické praxi sesetkáváme s elektrostatickým polem např. v okolí zdrojů stejnosměrného napětí, v prostorukondenzátorů, při vzniku statické elektřiny na vozidlech, letadlech, na látkách z umělých hmotatd. Všechny zákonitosti elektrostatického pole ve vakuu lze vyvodit ze základního zákona elek-trostatiky — z Coulombova zákona. V zákonech elektrostatického pole v látkách se uplatňujíi specifické vlastnosti atomů a molekul. V této části bude vyšetřeno elektrostatické pole vevakuu (tj. přibližně i ve vzduchu).

1.1.4.1 Elektrostatické pole bodového náboje. Coulombův zákon.

Bodový náboj Q, který je v bodě M v klidu, vytváří kolem sebe elektrostatické pole, které sevyznačuje tím, že v libovolném jeho bodě P (obr.1.13) působí na jiný bodový náboj Qo, kterýtam vložíme a který je buď v klidu nebo se libovolně pohybuje, síla ~F , daná vztahem

~F =1

4πε0

QQ0

r2~r0 Coulombův zákon (1.12)

[N = (F·m−1)−1·C2·m−2]

Q,Q > 00

Q

Q0

~FE,1~F = -~FE,1 E

r0`r

M

P

~FE

0`r1

Obrázek 1.13

Zde je r vzdálenost nábojů Q, Q0, veličina ~r0 je jednotkový vektor ležící ve spojnici bodůM a P , orientovaný od zdroje pole Q do bodu P , v němž síla na náboj Q0 působí. Veličina ε0

se nazývá permitivita vakua. Její hodnota byla získána experimentálně a je

ε0 = 8,854·10−12 C2·N−1·m−2. permitivita vakua

Poznamenejme bez důkazu, že platí 1 C2·N−1·m−2 = F·m−1. Síla daná vztahem (1.12) seněkdy nazývá síla Coulombova a vztah (1.12) vyjadřuje Coulumbův zákon.Diskuse:1. Síla, působící na Q0, leží ve spojnici nábojů Q, Q0 a je orientována buď od Q (je-li QQ0 > 0)nebo ke Q (je-li QQ0 < 0). V (obr. 1.13) znázorněn případ, kdy platí QQ0 > 0.2. Náboj Q0 vytváří kolem sebe rovněž elektromagnetické pole. Je-li Q0 v klidu, je i jeho poleelektrostatické a působí na Q silou ~F1, danou vztahem analogickým ke vztahu (1.12), lišícímse od něho tím, že vektor ~r0 je nahražen vektorem ~r0, orientovaným od Q0 ke Q. Platí tedy~F1 = ~F . Pro Coulombovy síly platí zákon akce a reakce. Vztah (1.12) vyjadřuje i známýpoznatek, že souhlasné náboje se odpuzují a nesouhlasné přitahují.3. Velikost Coulumbovy síly je dána vztahem

|~F | = 1

4πε0

|QQ0|r2


Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se elektrického pole

HRW - Fyzika

HRW 22.4, str. 581


Interaktivní pøíklad na výpoèet vzájemného pùsobení nábojù

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/ElPole.pdf



Q > 0 Q > 01

Q > 01

Q > 02 Q <02

Q <0

~FE,1

~E1

~E2

~E1

~E2

~FE,2

~FE,2

~FE,1

Obrázek 1.14

Intenzita elektrického pole buzeného nábojem Q v bodě P je dána vztahem ~E = ~F/Q0. Jetedy

~E =1

4πε0

Q

r2~r0.

intenzita el. polebodového náboje

(1.13)

Vektor ~E leží na spojnici bodu M , P a míří buď od Q (je-li Q > 0) anebo ku Q (je-liQ < 0). V (obr. 1.14) jsou zakresleny vektory sil a intenzit el. pole buzeného nábojem Q prorůzné kombinace znamének nábojů.

1.1.4.2 Elektrické siločáry

Průběh elektrického pole lze znázornit elektrickými siločárami. Elektrické siločáry jsou defino-vány jako orientované křivky, jejichž orientovaná tečna v každém jejich bodě má směr a orientacishodnou se směrem a orientací příslušného vektoru ~E.

V obr. 1.15 je naznačeno několik elektrických siločar obecného pole a polí, vytvořenýchkladným záporným bodovým nábojem. Z definice siločar a z Coulombova zákona a jeho důsledkůvyplývají tyto obecné vlastnosti siločar elektrostatického pole:

E

S1

Q > 0

S2

Q < 0

Obrázek 1.15

1. Každým bodem, v němž není náboj, prochází právě jedna siločára. Body, v nichž je elek-trický náboj, prochází nekonečně mnoho siločar.

2. Siločáry elektrostatického pole nejsou uzavřené. Začínají buď na kladných nábojích nebov nekonečnu a končí buď na záporných nábojích nebo v nekonečnu. Poznamenejme k tomu,


HRW - Fyzika

HRW 23.3, str. 595


že elektrické siločáry obecného elektromagnetického pole (tj. nikoliv elektrostatického),mohou být i uzavřené.

3. Jednotlivé siločáry udávají směr vektoru ~E, nikoliv jeho velikost. Ukazuje se však, ževelikost intenzity v různých místech prostoru je úměrná počtu zakreslených siločar, protí-najících jednotkovou plochu vedenou kolmo na směr siločar. Např. v obr. 1.15 v řezu S1

je | ~E| asi 1,5 krát větší než v řezu S2.

1.1.4.3 Elektrostatické pole vytvořené soustavou nábojů. Elektrický dipól.

%Q

%S %Q

%V

² =¶ = ´ =

%Q%l

a) b) c)

%Q%l

%Q

%S

%Q

%V

Obrázek 1.16

Makroskopické elektrostatické pole je obvykle vytvořeno náboji spojitě rozloženými na křiv-kách (např. na hranách), plochách (např. na povrchu vodičů) nebo v objemu. Spojitě rozloženénáboje charakterizují tyto veličiny:

a) Lineární hustota elektrického náboje τ ; definice: τ = dQdl (obr. 1.16a); [τ ] = C·m−1;

b) Plošná hustota el. náboje σ; definice: σ = dQdS (obr. 1.16b); [σ] = C·m−2

c) Objemová hustota elektrického náboje %; definice: % = dQdV (obr. 1.16c); [%] = C·m−3.

Jako příklad uvedeme výpočet intenzity pole elektrického dipólu.

Elektrický dipól Elektrický dipól je útvar sestávající ze dvou stejně velkých nábojů opačnépolarity, tj. z nábojů Q > 0, −Q, které jsou ve vzdálenosti l (obr. 1.17).

`p

`p`p = Q l

Q > 0

-Qa) b)

l

`

`

Obrázek 1.17

Po stránce elektrické je el. dipól charakterizován vektorovou veličinou nazvanou momentelektrického dipólu, která se označuje ~p a která je definována vztahem ~p = Q~l. Zde ~l jevektor o délce l orientovaný od −Q ku Q (obr. 1.17a). Poznamenejme, že i soustava elektrickýchnábojů rozložených obecně v prostoru ohraničené oblasti, jejíž celkový elektrický náboj je nulový,tj. pro niž platí

∑Q = 0, vytváří v dosti velké vzdálenosti elektrické pole shodné s polem

elektrického dipólu o jistém elektrickém dipólovém momentu ~p, tj. chová se jako elektrickýdipól. Takto je rozložen elektrický náboj např. v některých molekulách. Tyto molekuly, kterése chovají po stránce elektrické jako elektrické dipóly, se nazývají polární molekuly. Vytvářejíelektrické pole, i když jsou neutrální. Platí [p] = C·m.


HRW - Fyzika

HRW 23.5, str. 599


Průběh elektrických siločar pole elektrického dípólu je naznačen na obr. 1.18. Intenzita ~Ena ose dipólu (osa Ox) a na symetrále úsečky AB (osa Oy) je rovnoběžná s osou Ox a je dánaobecným vztahem ~Ev = ~E + ~E′. Její velikost je:

1. Na ose dipólu pro x > l/2

Ev = E′ − E =Q

4πε0·

[1

(x− l2)2− 1

(x+ l2)2

]

Pro x 1 vychází po úpravě Ev.= p/(2πε0x

3)

2. Na ose Oy

Ev = 2E cosα = 2Q

4πε0· 1

( l2)2 + y2·

l2

[( l2)2 + y2]12

=p

4πε0[( l2)2 + y2]32

A B

l

-Q

~E(+)

~E

y

l/2

x

¡

O

~E(-)

¡

~E

~E(-)

~E

~E(+)Q > 0

Obrázek 1.18

Pro y l vychází Ev = p(4πε0y3)

. Elektrický dipól tedy vytváří elektrické pole i ve velké

vzdálenosti, přesto, že je jako celek neutrální. Ve velké vzdálenosti platí Ev ∼ r−3

Elektrický dipól ve vnějším elektrickém poli Je-li elektrický dipól vystaven vlivu vnějšíhoelektrického pole, působí na něj elektrické síly a otáčivý moment. Je-li elektrický dipól volný,natáčí se, případně se pohybuje jako celek se zrychlením. Je-li vázán ke svému okolí — např.polární molekula v pevné látce — natáčí se nebo posouvá jenom částečně a působí přitom nasvé okolí.

a) Dipól v homogenním elektrickém poli. Na dipól, sestávající z bodových nábojů Q,−Q ve vzdálenosti l (obr. 1.19), působí v homogenním elektrickém poli o intenzitě ~Evýsledná síla ~F = ~F1 + ~F2 = Q~E+ (−Q) ~E = ~0. Síly ~F1, ~F2 tvoří silovou dvojici o otáčivémmomentu ~M , jehož velikost je | ~M | = F1l sinα = QEl sinα = pE sinα, kde p = Ql jevelikost elektrického momentu dipólu. Ve vektorovém tvaru lze otáčivý moment působícína dipól vyjádřit ve tvaru

~M = ~p× ~E. otáčivý moment působící na el. dipól (1.14)


HRW - Fyzika

HRW 23.9, str. 608


¡-Q

~F1

`p

`p

~E

~E

~M = `p Ð ~E

l

Q > 0

~F2

Obrázek 1.19

~F ~E

Obrázek 1.20

Je zřejmé, že při proměnném α je M maximální pro α = 90 a minimální (nulový) proα = 0, 180. Dipól je ve stabilní rovnovážné poloze pro α = 0; pro α = 180 je rovnovážnápoloha labilní.

b) Dipól v nehomogenním elektrickém poli. Působí-li na dipól nehomogenní elektricképole, nejsou síly ~F1 a ~F2 (obr. 1.19) stejně velké. Jejich výslednice je nenulová. Nepůsobí-lipřitom na dipól jiné síly, pohybuje se jeho hmotný střed se zrychlením mířícím ve směruvýsledné síly. Toho se využívá např. k odstraňování prachových částic z plynu: v neho-mogenním elektrostatickém poli nabudou prachové částice vlivem posunutí nábojů uvnitřlátky dipólový moment a působením sil nehomogenního pole jsou přitahovány k elektro-dám, na nichž se usazují (obr.1.20).

1.2 Elektrostatika

1.2.1 Gaussův zákon elektrostatiky

1.2.1.1 Hlavní výsledek

¡ `n~E

En

Q4

Q3

Q2

Q1

QS

Obrázek 1.21

Jedním z nejdůležitějších důsledků Coulombova zákona je tzv. Gaussův zákon elektrosta-tiky, který zní takto: Nechť S je libovolná uzavřená plocha vedená v elektrostatickém poli,charakterizovaném v každém bodě vektorem ~E (obr. 1.21). Pak platí∫∫

©S

EndS =

∑′Qε0

, Gaussův zákon (1.15)


HRW - Fyzika

HRW 24.4, str. 622

Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se Gaussova zákona

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/GaussZakon.pdf

1.2. ELEKTROSTATIKA

kde En je průmět vektoru ~E do vnější jednotkové normály ~n k ploše S v místě plošky dS (En =~E.~n) a symbolem

∑′Q je označen součet všech nábojů, které leží uvnitř plochy S. Platnosttohoto zákona dokážeme a na příkladech ukážeme jeho význam a užití.

1.2.1.2 Tok N vektoru ~B orientovanou plochou

¾~S~E

`n

`n

¡¾S S

En

Obrázek 1.22

Nechť S je libovolná (myšlená nebo fyzicky realizovaná) orientovaná plocha vedená v elek-trickém poli charakterizovaném vektorem ~E (obr. 1.22). Orientovanou plochou přitom rozumímetakovou, na které je jednotkovou normálou ~n vyznačena strana, považovaná za kladnou. Tutoplochu rozdělíme na plošné elementy tak malé, aby na každém z nich byl vektor ~E přibližněkonstantní. Nechť ∆S je plošný obsah jednoho z nich. Pak veličina ∆N , definovaná vztahem

∆N = E(cosα)∆S (1.16)

se nazývá „tok vektoru ~E elementární orientovanou plochou ∆S ÿ.Poznámky:1. Veličina ∆N se nazývá „tokÿ v analogii s hydrodynamikou: kdyby v obr. 1.22 byla namístoelektrického pole naznačena proudící nestlačitelná kapalina a namísto elektrických siločar byv něm byly zakresleny proudnice, tj. křivky udávající v každém bodě směr vektoru rychlostiv proudící kapaliny, udávala by veličina v(cosα)∆S objem kapaliny, která projde ploškou ∆S zajednotku času z její záporné strany na kladnou. Tato veličina se nazývá „tok kapaliny ploškouÿ.V analogii i veličina daná vztahem (1.16) se nazývá „tokÿ.2. Znaménko veličiny ∆N dané vztahem (1.16) závisí na orientaci plošky ∆S. Kdyby jednotkovánormála ~n v obr. 1.22 byla orientována opačně, veličina ∆N by měla opačné znaménko.3. Veličinu (1.16) lze psát ve tvaru ∆N = En∆S = ~E · ~n∆S = ~E · ∆~S, kde je En = E cosαa ~S = ~nS.

Tok vektoru ~E orientovanou plochou S (obr. 1.22) je definován jako součet toků ∆Nelementárními ploškami ∆S, na něž je S rozdělena, tj, je dán vztahem

N.=∑k

∆Nk.=∑k

Ek(cosαk)∆Sk; N =

∫∫S

E(cosα)dS; (1.17)

V součtu∑

se sčítá přes všechny plošky, na něž je plocha S rozdělena. Poslední integráludává tento součet jako limitní případ, ke kterému se dojde, jestliže se dělení plochy S na plošky∆S zjemňuje tak, že jejich rozměr i plošný obsah jde k nule, tj. ∆S −→ 0, přičemž jejich početsoučasně roste nade všechny meze. Integrál ve vztahu (1.17) lze zapsat i takto:

N =

∫∫S

EndS =

∫∫S

~E · ~ndS =

∫∫S

~Ed~S.


HRW - Fyzika

HRW 24.2, str. 619


Poznamenejme, že v tomto textu budeme provádět pouze takové úvahy a řešit takové pro-blémy, při nichž lze integrály typu (1.17) řešit elementárními matematickými prostředky.

1.2.1.3 Tok vektoru ~E uzavřenou orientovanou plochou v poli bodového náboje

¡¡

`n

~En

~E2~E1

~E¾S¾S0

¾S2

S1

¾S1

¾»

¾»

r

»1

Q(>0)

P

nnQ'

Obrázek 1.23

Nechť S je libovolná uzavřená plocha, vedená v elektrostatickém poli bodového náboje Q.Uzavřená plocha ohraničuje určitý objem, může to být např. povrch tělesa. Uzavřená plochanemá okraj. Náboj Q nechť je v jejím vnitřku a nechť je orientována, tak, že jednotková normála~n míří ven z plochy (obr. 1.23). Pro určitost budeme předpokládat, že platí Q > 0. Tok vektoru~E plochou S je dán vztahem (1.17). Přitom z obr. 1.23 plyne pro libovolnou plošku ∆S :∆N = E(cosα)∆S = E∆S0, kde ∆S0 = ∆S cosα je průmět plošky ∆S do roviny kolmé naprůvodič ~r. Ježto E = 1

4πε0Qr2, platí

∆N =1

4πε0

Q

r2∆S0 =

Q

4πε0

∆S0

r2=

Q

4πε0∆ω,

kde ∆ω = ∆S0r2

je elementární prostorový úhel, pod kterým je vidět z bodu P plošky ∆S a ∆So.Tok N celou plochou S je dán součtem přes všechny plošné elementy ∆S , tj. výrazem

N =∑

∆N =∑ Q

4πε0∆ω =

Q

4πε04π =

Q

ε0(1.18)

Diskuse:1. Veličina N je vždy rovna Q/ε0, tj. nezávisí na tvaru a velikosti, plochy S.2. Je-li Q < 0, míří v bodě P vektor ~E směrem ku Q, platí α > 90 a cosα < 0, takže ∆N < 0.Celkový tok N je dán opět vztahem (1.18) a platí N = Q

ε0< 0.

3. Je-li bodový náboj Q = Q′ vně plochy S (obr. 1.23), plyne z uvedených úvah pro toky∆N1,∆N2 ploškami ∆S1,∆S2 vztah ∆N1 = −∆N2, tj.,∆N1 +∆N2 = 0. Ježto pro náboj Q vněplochy S lze celou plochu S rozdělit na podobné dvojice a pro každou z nich platí ∆N1+∆N2 = 0,docházíme k výsledku N =

∑∆N =

∮S EndS = 0.

Závěr: Je-li ~E intenzita pole buzeného bodovým nábojem Q, pak pro každou uzavřenou plochuS orientovanou tak, že vnější strana je kladná, platí

(N =)

∫∫©S

EndS =

Qε0

pro Q uvnitř plochy S0 pro Q vně plochy S.

(1.19)


HRW - Fyzika

HRW 24.3, str. 620

1.2. ELEKTROSTATIKA

1.2.1.4 Gaussův zákon elektrostatiky

Uvažujme o toku N uzavřenou plochou vedenou v elektrostatickém poli vytvořeném dvěmabodovými náboji Q1, Q2 (obr. 1.24) ve vakuu. Ježto podle zákona superpozice je intenzitavýsledného pole ~E dána vztahem ~E = ~E1 + ~E2, platí

N =

∫∫©S

EndS =

∫∫©S

( ~E1 + ~E2)ndS =

∫∫©S

E1ndS +

∫∫©S

E2ndS = N1 +N2,

kde N1a N2 jsou toky intenzit polí buzených nábojem Q1 a nábojem Q2. Tyto toky jsou dányvztahem (1.19), takže platí

N =

∫∫©S

EndS =

∑′Qε0

, (1.20)

kde∑′Q je algebraický součet nábojů, které jsou uvnitř plochy, tj, buď 0 , nebo Q1, nebo Q2,

nebo Q1+Q2. Platí-li např. Q1 = −Q2 a jsou-li oba náboje uvnitř plochy, je∑′Q = Q1+Q2 = 0.

E1n E2n

~E1

~E~E2

Q1

Q2 `n

Obrázek 1.24

Výsledek (1.20) zřejmě zůstává v platnosti, i když elektrostatické pole je buzeno libovolnýmpočtem libovolně rozložených nábojů, jak je naznačeno na obr. 1.24. Tím je platnost Gaussovazákona, vyjádřeného vztahem (1.15), dokázána. Uzavřená plocha v integrálu (1.15) se někdynazývá Gaussova plocha.

Gaussův zákon zde byl odvozen jako důsledek vztahu (1.13) s užitím zákona superpozice, tj.v podstatě jako důsledek Coulombova zákona. Zcela analogickou úvahou lze naopak z Gaussovazákona vyvodit zákon Coulombův. Každý z uvedených dvou zákonů lze tedy považovat za zá-kladní a druhý z nich za jeho důsledek. V klasické Maxwellově teorii elektromagnetického pole(odst. 1.5.2) se za základní považuje zákon Gaussův. Vztah (1.15) lze pak interpretovat jakodefiniční vztah pro elektrický náboj uvnitř plochy S.

1.2.1.5 Užití Gaussova zákona

Gaussův zákon vyjadřuje velmi obecnou vlastnost elektrického pole. Plyne z něho jednak řadazajímavých a důležitých důsledků pro teorii elektromagnetického pole, jednak ho lze s výhodouužít k určení průběhu některých často se vyskytujících elektrických poli, které mají určitousymetrii — kulovou, válcovou atd. Ukážeme to na následujícím příkladu.1. Elektrické pole buzené nekonečnou rovnoměrně elektricky nabitou rovinouBudeme uvažovat o nekonečně velké rovině, rovnoměrně nabité elektrickým nábojem o plošnéhustotě σ, která je ve vakuu a je v klidu. Dokážeme, že budí elektrické pole, které je na každéstraně roviny homogenní a jehož intenzita ~E má velikost

E = | ~E| = |σ|2ε0

(1.21)

Přibližně takové pole budí i rovinná elektricky nabitá deska konečných rozměrů (např. deskarovinného kondenzátoru) v bodech blízkých desce a dosti vzdálených od jejího okraje.


HRW - Fyzika

HRW 24.4, str. 622

HRW - Fyzika

HRW 24.8, str. 628


P' P

A2

A1

A3A4

`n

`n

`n

~E

~E

~E~E

~E

~E~E

¡

´(>0)

Obrázek 1.25

Důkaz vztahu (1.21). Budeme uvažovat o vektoru ~E v libovolně zvoleném bodě P (vizobr. 1.25). Z důvodů symetrie je vektor ~E kolmý na uvažovanou nekonečnou rovinu, kterouoznačíme α. Velikost vektoru ~E určíme úvahou o uzavřené Gaussově ploše A, sestávající z válcovéobliny A3 kolmé na rovinu α a dvou shodných základen A1, A2 libovolného tvaru rovnoběžnýchs rovinou α, z nichž jedna A1, jde bodem P a druhá, A2, bodem P ′, souměrně sdruženým k boduP podle roviny α. Užijeme vztahu (1.15) na plochu A. Plošný obsah každé ze základen označímeS. Pro určitost budeme předpokládat, že rovina α je nabita kladně, tj. že platí σ > 0. Pak vektor~E má na základnách A1A2 směr shodný se směrem vnější normály ~n ke Gaussově ploše A a naválcové oblině A3 platí ~E ⊥ ~n. Integrál ve vztahu (1.15) bude tvaru∫∫

©A

EndS =

∫∫A1

EndS +

∫∫A2

EndS +

∫∫A3

EndS = ES + ES + 0 = 2ES. (1.22)

~E = ~E + ~E1 2

~E = ~E + ~E1 2

~E2

~E2

~E1

~E1

´ (>0)1´ (>0)2

Obrázek 1.26

Uvnitř plochy A je náboj na ploše A4, která je v obr. 1.25 vyšrafována, a to náboj Q = σS.Dosadíme-li do vztahu (1.15)

∑′Q = σS, dostaneme s užitím vztahu (1.22) po úpravě vztahE = σ/2ε0.

Předpokládáme-li, že rovina α je nabita záporně, tj. že platí σ < 0, je vektor ~E orientovánk rovině α. Analogicky se dokáže, že platí E = −σ/(2ε0) = |σ|/(2ε0). Tím je platnost vztahu(1.21) dokázána.2. Elektrické pole dvou nekonečných rovin Dvě nekonečné rovnoběžné roviny, nabitérovnoměrně elektrickými náboji o plošných hustotách σ1, σ2, vytvářejí pole, jehož intenzita ~E jemezi nimi i v jejich vnějšku dána vztahem ~E = ~E1 + ~E2. Na obr. 1.26 je znázorněn případ, kdyplatí σ1 > σ2 > 0.

Pak pro body mezi deskami platí E = | ~E1 + ~E2| = E1 − E2 = (σ1 − σ2)/2ε0; pro body vnědesek platí E = | ~E1 + ~E2| = E1 + E2 = (σ1 + σ2)/2ε0. Je-li σ1 = −σ2 = σ(> 0), platí mezideskami

E =σ

ε0(1.23)


HRW - Fyzika

HRW 24.8, str. 629


Interaktivní pøíklad na výpoèet kapacity rovinného kondenzátoru

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/interaktprikl/FyzikaII/priklad-26a.html

1.2. ELEKTROSTATIKA

E = 2~E

~~E2

~~E2~E1

~E1

´ = -´2 1´ (>0)1

E =

~E =~ 0

´1

¥0

Obrázek 1.27

a vně desek E = 0. Přibližně takové pole budí deskový kondenzátor (obr. 1.27).3. Elektrické pole náboje rozloženého s kulovou symetrií Náboj je rozložen s kulovousymetrií, je-li jeho objemová hustota % nebo jeho plošná hustota σ pouze funkcí vzdálenosti odpevného bodu, např. od počátku O, tj. platí-li % = %(r), σ = σ(r) (viz obr. 1.28). Příkladem jetřeba náboj rovnoměrně rozložený v objemu koule nebo na jejím povrchu.

~E

~E

`n

MO

0`r r

P

R

K

²(r)

Obrázek 1.28

Elektrické siločáry pole buzeného takto rozloženým nábojem mají radiální směr. Vektor ~Emíří v každém bodě prostoru (v němž je nenulový) buď do bodu O nebo v opačném směru. Jehovelikost E v obecném bodě P závisí na r. Určíme ji takto: Bodem P vedeme kouli K se středemv O o poloměru r, orientujeme ji vnější normálou ~n a užijeme pro ni Gaussova zákona.

Tok N vektoru ~E kulovou plochou K je, podle definice,

N =

∫∫K

EndS = En

∫∫K

dS = En.4πr2.

Zde je En průmět (neznámého) vektoru ~E do ~n (na kouli K platí En = konst). PodleGaussova zákona (1) však je N = Q′/ε0 , kde Q′ je náboj uvnitř koule K. Srovnáním obouvztahů vychází En = Q′/4πε0r

2, tj.

~E =Q′

4πε0r2~r0,

kde Q′ je celkový náboj uvnitř koule o poloměru r. Přitom ~r0 je jednotkový vektor (viz obr. 1.27).Je-li náboj Q, rozložený s kulovou symetrií, celý uvnitř jisté koule o středu 0 a o poloměru

R, pak vně této koule, tj. pro r > R (bod M v obr. 1.28), platí

~E =Q

4πε0r2~r0

To je však vztah pro intenzitu elektrického pole buzeného bodovým nábojem Q umísténým


HRW - Fyzika

HRW 24.9, str. 630


v bodě 0. Výsledek: Kulově souměrný náboj Q budí ve svém vnějšku stejné pole jakobodový náboj Q umísténý v jeho středu souměrnosti.

Takové pole budí např. koule rovnoměrně nabitá v objemu nebo na povrchu.

1.2.2 Elektrický potenciál a napětí

1.2.2.1 Úvod

Elektrický potenciál neboli potenciál elektrostatického pole je skalární fyzikální veličina, kterácharakterizuje energetické vlastnosti elektrostatického pole. Souvisí s prací, kterou vykonajísíly elektrostatickéko pole působící na bodový náboj, který se v něm přesouvá a s potenciálníelektrickou energií, kterou tento náboj v elektrostatickém poli má. Tato veličina, která je analo-gická potenciálu gravitačního pole, je jednou z nejdůležitějších v celé teorii elektromagnetismua setkáváme se buď s ní nebo s rozdílem jejích hodnot ve dvou bodech, nazvaným elektrickýmnapětím, téměř denně. V dalším postupně zavedeme zmíněné veličiny a odvodíme vztahy mezinimi.

1.2.2.2 Práce sil elektrostatického pole vytvořeného bodovým nábojem

P1

P2MQ1

r

rr1

r2

%r

Q~E ~F

¡

%r1

2

3

C

'Ø 'P P1 2 C'

Obrázek 1.29

V elektrostatickém poli, vytvořeném klidným nábojem Q1 > 0, umístěným v bodě M , nechťse přesune bodový náboj Q > 0 z bodu P1 do bodu P2 po křivce C (obr. 1.29). Určíme práciA, kterou přitom vykonají síly elektrostatického pole působící na náboj Q. Poznamenejme, žena náboj Q, tj. na částici nabitou nábojem Q, působí přitom i jiné sily (jinak by křivka C mělajiný tvar), práce těchto sil nás však nyní nezajímá. Práce A je podle definice, dána vztahemA =

∫C dA, kde dA = ~F .d~r = Fds cosα = QEds cosα = Q Q1

4πε0r2ds cosα.

Užili jsme vztahu |~r| = ds. Z trojúhelníka 1, 2, 3 v obr. 1.29 plyne dr/ds = cosα, tj.ds cosα = dr, takže vychází dA = Q1Q

4πε0r2dr,

A =

∫C

dA =

∫ r2

r1

Q1Q

4πε0r2dr = Q

(Q1

4πε0r1− Q1

4πε0r2

). (1.24)

Výsledek jsme napsali ve tvaru vhodném k dalším úvahám.Důležité poznatky:1. Práce A nezávisí na tvaru trajektorie C, nýbrž jen na Q, Q1 a na vzdálenostech r1, r2

(tj. na poloze bodů P1, P2).2. Platí A ∼ Q; přenáší-li se náboj Q′ = 2Q, je A′ = 2A atd.3. Obr. 1.29 je nakreslen pro Q1 > 0, Q > 0 a pro r2 > r1. Výsledek (10) však zůstává v platnostizcela obecně, tj. pro Q1 Q 0, Q2 Q 0, r2 Q r1.


HRW - Fyzika

HRW 25.2, str. 642

Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se elektrického potenciálu

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/ElPotencial.pdf

1.2. ELEKTROSTATIKA

4. Přesune-li se náboj po uzavřené křivce, splyne bod P2 s bodem P1 (body P ′1 a P ′2 v obr. 1.29)a ze vztahu plyne, že pak platí A = 0.5. Uvedené vlastnosti z hlediska vykonané práce má, jak víme, i gravitační pole vytvořenéhmotným bodem.

1.2.2.3 Práce sil obecného elektrostatického pole

Nechť v obecném elektrostatickém poli, vytvořeném soustavou nábojů Q1, Q2 . . . Qn, se po křivceC přesune bodový náboj Q z bodu P1 do P2 (obr. 1.30). Práci A, kterou přitom vykoná síla ~F ,kterou na náboj Q působí elektrostatické pole, lze určit s užitím zákona superpozice. Podle nějplatí ~F = ~F1 + ~F2 + . . . + ~Fn, kde ~F1, ~F2, . . . jsou síly, kterými by na náboj Q působilo polevytvořené náboji Q1, Q2, . . ., Qn. Práce A, vykonaná silou ~F , je tedy rovna

A =

∫C

~F ·d~r =

∫C

( ~F1+ ~F2+. . . ~Fn)·d~r =

∫C

~F1·d~r+∫C

~F2·d~r+. . .+∫C

~Fn·d~r = A1+A2+. . .+An,

kde A1 je práce síly, kterou by na náboj Q působilo pole vytvořené nábojem Q1 atd. Avšakpro A1, A2, . . . , An platí výsledek (1.24). Z něho a z posledního vztahu vyplývá, že obecné elek-trostatické pole má tyto vlastnosti:

V-1. Práce A, kterou vykonají síly elektrostatického pole působící na bodový nábojQ při jeho přemístění z libovolného bodu P1 do libovolného bodu P2, závisí napoloze bodů P1, P2, nezávisí však na tvaru trajektorie.

V-2. Pro práci A platí: A ∼ Q.

V-3. Přemístí-li se bodový náboj po libovolné uzavřené křivce, pak při jednom oběhuvykonají síly elektrostatického pole nulovou práci, A = 0.

Q1 Q2

QP1

P2

~F=~F+~F21~F2

~F1F2S

F1S

t

C

Obrázek 1.30

Poznámky:Lze dokázat, že tvrzení V-1 a V-3 jsou ekvivalentní, tj. že platí V-1⇔V-3. Každé silové

pole, které má vlastnosti V-1, se nazývá konzervativní silové pole. Objekt, na který působísíly takového pole, má v něm potenciální energii a pole samotné má skalární potenciál.Proto se nazývá také potenciálové, neboli nevírové pole. Název nevírové se užívá v analogiis prouděním kapalin. Jestliže kapalina proudí v různých místech s obecně různou rychlostí ~v tak,že pro integrál I =

∮~v·d~r po některé uzavřené křivce C platí I 6= 0, nazývá se proudění vírové.

Je-li vždy I = 0 nazývá se proudění nevírové, neboli potenciální. Proto i silové pole, pro něžplatí

∮~F ·d~r = 0 pro každou uzavřenou křivku, se nazývá nevírové. Pro každé elektrostatické

pole tedy platí∮~E·d~r = 0.


HRW - Fyzika

HRW 25.2, str. 643


Z uvedených vlastností elektrostatického pole a z Gaussova zákona plynou důležité důsledkypro siločáry elektrostatického pole:

α) Siločáry elektrostatického pole nemohou být uzavřené. Kdyby totiž uzavřená si-ločára existovala a po ní se přemístil bodový náboj Q, pak by síly pole na náboj působícívykonaly práci A =

∮dA, kde dA = ~F .d~r = Q~E.d~r = QE cosαds = QE.(±1)ds. Elemen-

tární práce dA by byly buď na všech elementech dráhy kladné nebo všude záporné, takžeby platilo buď A > 0 nebo A < 0. To je však ve sporu s vlastností V3. Pokud tedy siločáryelektrostatického pole nesahají do nekonečna, v jednom místě začínají a v jiném místěkončí. Poznamenejme ale, že siločáry elektrického pole vzniklého při elektromagnetickéindukci jsou uzavřené.

β) V místě, kde elektrické siločáry začínají nebo končí, je elektrický náboj. Toplyne z Gaussova zákona. Důkaz provádět nebudeme.

1.2.2.4 Energie bodového náboje v elektrostatickém poli, We

Je známo, že hmotná soustava, jejíž části na sebe působí konzervativními silami, má polohovouneboli potenciální energii Wp. Je to skalární fyzikální veličina, která závisí na parametrechudávajících polohu jednotlivých částí soustavy, tj. v uvažovaném vztažném systému na jejichsouřadnicích a nezávisí na jejich rychlostech. Je definována tak, že rozdíl jejich hodnot ve dvoustavech soustavy, které označíme 1, 2, tj. veličina Wp1 −Wp2, je rovna práci A, kterou vykonajízmíněné konzervativní síly, jestliže soustava přejde libovolným způsobem ze stavu 1 do stavu 2,tj. platí

Wp1 −Wp2 = A. (1.25)

P1

P2

We1

A = W + We1 e2

We2

Q

a)

pole pole

poleP2 W = 0e

W (P)e

W = 0eÉ

W (P)e

Q

P

Zeměb)

PQ P ÍÉ2

c)

A = W (P)e

Obrázek 1.31

V případě soustavy, sestávající z bodového náboje Q a z elektrostatického pole vytvoře-ného jinými náboji, působí na náboj konzervativní sily, takže tato soustava má rovněž potenci-ální energii. Nazývá se krátce elektrická energie, přesně pak elektrická energie soustavy:elektrostatické pole + bodový náboj nebo „elektrická energie soustavy bodového náboje Qa ostatních nábojů, vytvářejících elektrostatické poleÿ. Označuje se We. Označíme-li tuto energiiv případě, že náboj Q je v bodě P1, symbolem We1 a podobně symbolem We2 energii náboje Qv bodě P2, platí

We1 −We2 = A ,definice rozdílu elektrických energiínáboje Q v bodech P1, P2

(1.26)

kde A je práce, kterou vykonají síly elektrostatického pole při přemístění náboje Q z boduP1 do bodu P2 (obr. 1.31a) po zcela libovolné křivce. Potenciální energie není vztahem (1.25),a tedy ani vztahem (1.26), definována jednoznačně. Volíme-li však její hodnotu v jednom bodě,např. v bodě P2, libovolně, ale pevně, např. We2 = K, pak její hodnota We(P ) v libovolnémbodě P je dána vztahem plynoucím ze vztahu (1.26): We(P ) = A+We2 = A +K .


1.2. ELEKTROSTATIKA

~F2 ~F3

+ +~F~F = ~F ~F 1 2 3

~F1

Q1

Q2

Q3

Q

É

P

Obrázek 1.32

Bod P2 a hodnoty We(P2) se volí nejčastěji dvojím způsobem:1. P2 na povrchu Země, We2 = 0. Pak We(P ) = A, kde A je práce, kterou vykonají síly

elektrostatického pole při přenesení náboje Q z bodu P na povrch Země (nebo na těleso vodivěspojené s povrchem Země) — obr. 1.31b. Tento postup se volí nejčastěji v elektrotechnické praxi.

2. P2 v nekonečnu, tj. P2 −→ ∞ a We(P2) = We∞ = 0. Pak platí opět We(P ) = A, kde Aje nyní práce, kterou vykonají síly elektrostatického pole při přesunutí náboje Q z bodu P donekonečna (obr. 1.31c). Tento postup se volí v teoretických úvahách, atomové fyzice atd. V oboupřípadech tedy platí formálně stejný definiční vztah

We(P ) = A , definice elektrické energie náboje Q v bodě P (1.27)

kde A je práce elektrických sil při přenesení Q z P buď na Zemi nebo do ∞.Příklad:

Vyšetřete elektrickou energii bodového náboje Q v poli bodového náboje Q1 .

Bodový náboj Q1, vytvářející pole, nechť je umístěn v bodě M (obr. 1.29). Volme místonulové energie v nekonečnu, tj. We∞ = 0. Pak ze vztahů (1.27) a (1.24) plyne vztah

We(P ) =QQ1

4πε0r, energie soustavy bodových nábojů (1.28)

kde r je vzdálenost náboje Q1 od náboje Q.Je-li QQ1 > 0, jsou síly odpudivé, práce A je kladná, A > 0, tedy i We(P ) > 0. Je-li QQ1 < 0,

je We(P ) < 0. Např. elektron v poli atomového jádra má We < 0. Energie, daná vztahem (1.28),se obvykle nazývá elektrická energie soustavy dvou bodových nábojů.

Energie We(P ) náboje Q, umístěného v bodě P elektrostatického pole buzeného bodovýmináboji Q1, Q2 . . . , Qn, (obr. 1.32), je rovna součtu energií, kterou by v tom bodě náboj Q mělv polích, buzených jednotlivými náboji, tj.

We(P ) = We1(P ) +We2(P ) + . . .+Wen(P ). (1.29)

Důkaz: Podle definičního vztahu (1.27) a zákona superpozice (odst. 1.1.1) platí

We(P ) =

∫ ∞P

~F .d~r =

∫ ∞P

( ~F1 + ~F2 + . . .+ ~Fn).d~r =

=

∫ ∞P

~F1.d~r + . . .+

∫ ∞P

~Fn.d~r = We1(P ) + . . .+Wen(P ).

Zde ~F je síla, kterou na náboj Q působí výsledné pole a ~F1, ~F2, . . . , ~Fn síly, kterými by naněj působila pole buzená náboji Q1, Q2, . . . , Qn (obr. 1.32). Tím je vztah (1.29) dokázán.


HRW - Fyzika

HRW 25.10, str. 654


1.2.2.5 Elektrický potenciál

Ze vztahů (1.28) a (1.29) plyne, že pro energii We(P ) náboje Q v elektrostatickém poli platí vždyWe ∼ Q. Je-li např. Q′ = 3Q, je We = 3We atd. Odtud plyne, že veličina daná podílem We/Qnezávisí na náboji Q, nýbrž jen na konkrétním elektrostatickém poli a na poloze bodu P v něm.Uvedeným podílem je tedy charakterizováno elektrostatické pole v daném bodě. To umožňujedefinovat tímto podílem novou skalární fyzikální veličinu ϕ, zvanou elektrický potenciálneboli potenciál elektrostatického vole v bodě P . Definiční vztah pro potenciál ϕ tedy zní:

ϕ(P ) =We(P )

Q, definice potenciálu (1.30)

[volt = joule · coulomb−1] ,

kde We(P ) je elektrická energie náboje Q v bodě P .Diskuse:1. Fyzikální význam: Z definice je zřejmé, že potenciál souvisí s elektrickou potenciální energií:volíme-li Q = 1 C, platí číselně ϕ(P ) = We(P ) = A.2. Jednotka:[ϕ] = [We]/[Q] = J·C−1. Tato jednotka se nazývá 1 volt = 1 V. Tedy 1 V = 1 J·C−1.3. Z definičního vztahu (1.30) plyne: We(P ) = Qϕ(P ), nebo také A = Qϕ(P ).4. Elementární náboj Q = e má v bodě P elektrostatického pole, v němž je ϕ(P ) = 1 volt,energii We(P ) = e·ϕ = 1,602·10−19 C·1 V = 1,602·10−19 J. Tato hodnota energie se nazývá1 elektronvolt.

C3 C2C1

P

P5

=10 Vç

5 ç = 10 V

0~E=~

V

vedení

velké |~E|

velké |~E|

Země

Obrázek 1.33

Má-li určitý bod P nějakého elektrického zařízení — např. bod elektrického vedení (obr. 1.33)— vysoký potenciál (proti Zemi), vykonají síly pole při přenesení kladného náboje z bodu Pna libovolný bod zemského povrchu velkou práci. To značí, že každá křivka spojující bod Ps povrchem Země prochází oblasti, v níž na kladný náboj působí mohutné elektrické síly směremk Zemi. V obr. 1.33 vytváří vodič V mohutné pole zejména ve svém nejbližším okolí. Avšakv dutině vodivé koule, vodivě spojené s vodičem V , je pole nulové, ~E = ~0, přesto, že každý boddutiny má stejný potenciál jako koule tj. i jako vodič V . Je zřejmé, ze v obecném případě můžemít určitá oblast prostoru vysoký potenciál a elektrické pole tam může, být přesto slabé. Avšak,když se přemístí nějaký náboj z bodu P1 dutiny po libovolné křivce C1 na zemský povrch, projdetak mohutným polem, že práce elektrických sil je stejná jako práce elektrických sil po křivkáchC2 nebo C3.

Ze vztahů (1.27), (1.30) plyne: Potenciál ϕ(P ) v bodě P libovolného elektrostatického pole,vytvořeného nad povrchem Země, je v případě, že za místo nulové potenciální energie libovolnéhonáboje (a tedy za místo nulového potenciálu) volíme povrch Země, dán vztahem

ϕ(P ) =A

Q=

1

Q

∫ Zem

P

~F .d~r =1

Q

∫ Zem

PQ~E.d~r,


HRW - Fyzika

HRW 25.2, str. 642

1.2. ELEKTROSTATIKA

Q1

Q2

P

Q

A A

Země

pole

Obrázek 1.34

ϕ(P ) =

∫ Zem

P

~E.d~r (1.31)

PP

C1

C2 Q

Q1

Q3

Q2 C

Mç = 0

ç(P)ç(P)pole

pole

É

É

a) b)

Obrázek 1.35

Zde Q je libovolný bodový náboj a A práce, kterou vykoná síla ~F elektrostatického polepůsobící na náboj Q při jeho přemístění z bodu P do libovolného bodu na povrchu Země pozcela libovolné křivce (obr. 1.34).

Jestliže zvolíme potenciál elektrostatického pole, vytvořeného náboji umístěnými v ohra-ničené oblasti roven nule pro body v nekonečnu, platí potenciál ϕ(P ) v libovolném bodě Pvztah analogický vztahu (1.31):

ϕ(P ) =

∫ ∞P

~E · d~r. (1.32)

Integrační obor je libovolná křivka začínající v bodě P a jdoucí jakýmkoliv směrem donekonečna (obr. 1.35a).

Místo nulového potenciálu tj. bod M v obr. 1.35b, lze volit zcela libovolně. Pak potenciálϕ(P ) v obecném bodě P je dán vztahem

ϕ(P ) =

∫ M

P

~E · d~r.

Poslední tři vztahy se někdy uvádějí ve tvaru nulového potenciálu

ϕ(P ) = −∫ P

Zem

~E · d~r, ϕ(P ) = −∫ P

∞~E · d~r, ϕ(P ) = −

∫ P

M

~E · d~r.

Superpozice elektrických potenciálů Ze vztahů, (1.30), (1.29) plyne: Potenciál elektrosta-tického pole vytvořeného zdroji Z1, Z2, . . . , Zn v libovolném bodě P je dán vztahem

ϕ(P ) = ϕ1(P ) + ϕ2(P ) + . . .+ ϕn(P ), superpozice el. potenciálů (1.33)



Pou¾ití superpozice potenciálù si mù¾ete vyzkou¹et v interaktivním pøíkladu na výpoèet potenciálu nabitého disku


Pou¾ití superpozice potenciálù si mù¾ete vyzkou¹et v interaktivním pøíkladu na výpoèet potenciálu nabitého vlákna




kde ϕi je potenciál pole vytvořeného zdrojem Zi.Ze vztahů (1.30), (1.28) plyne, že potenciál pole vytvořeného bodovým nábojem Q v bodě

P je

ϕ =Q

4πε0r, el. potenciál pole bodového náboje (1.34)

kde r je vzdálenost bodu P od náboje.

1.2.2.6 Elektrické napětí U

Přejde-li náboj Q v elektrostatickém poli z místa P1, kde má elektrickou potenciální energii Wp1,do místa P2, kde má potenciální energii Wp2, vykonají síly pole, které na něj působí, práci, prokterou ze vztahu (1.30) plyne

A = Wp1 −Wp2 = Qϕ1 −Qϕ2 = Q(ϕ1 − ϕ2), práce sil elektrostatického pole

kde ϕ1 je potenciál pole v bodě P1 a ϕ2 potenciál pole v bodě P2 (obr. 1.36). Rozdílem ϕ1 −ϕ2 je definována skalární fyzikální veličina U1,2, nazvaná elektrické napětí mezi body P1, P2

(v uvedeném pořadí). Tedy

U1,2 = ϕ1 − ϕ2. definice el. napětí (1.35)

P1

P2

ç1

ç2

~E

ES

A = Q(ç -ç )1 2

pole

Obrázek 1.36

5. Z definičního vztahu plyne, že platí U1,2 R 0 a že U1,2 = −U2,1. Jednotkou U1,2 je 1 volt.6. Při přenesení náboje Q z bodu P1 o potenciálu ϕ1 do bodu P2 o potenciálu ϕ2 vykonají sílyelektrostatického pole práci

A = Q · U1,2 práce sil elektrostatického pole (1.36)

Je-li buď Q > 0 a U1,2 > 0 nebo Q < 0 a U1,2 < 0, je tato práce kladná, tj. A > 0. Proϕ1 = ϕ2 je A = 0 a v ostatních případech platí A < 0. Působí-li na pohybujíc se nabitou částicipouze elektrostatické síly — např. na elektron v elektronce — mění se její kinetická energie,a to v souhlase se vztahem Wk2 −Wk1 = Q(ϕ1 − ϕ2), plynoucím ze zákona zachování energie:Wk+Wp = konst. Je-li QU1,2 > 0, kinetická energie roste (rentgenové trubice, urychlovače), je-liQU1,2 < 0, kinetická energie částice klesá (elektrony mezi katodou a mřížkou v elektronkách).Jestliže se náboje pohybují z místa o vyšší elektrické potenciální energii na místo potenciálníenergii nižší látkou — např. elektrony kovem, ionty elektrolytem — předávají získanou kinetickouenergii při srážkách ihned okolním atomům a molekulám a látká se zahřívá.7. V praxi se často pod elektrickým napětím rozumí nezáporná veličina U = |U1,2|.8. Vyjádříme-li ve vztahu (1.36) práci A podle definice integrálem

A =

∫ P2

P1

Fsds = Q

∫ P2

P1

Esds,



Interaktivní pøíklad na výpoèet potenciálu nabitého disku


Interaktivní pøíklad na výpoèet potenciálu nabitého vlákna

HRW - Fyzika

HRW 25.2, str. 642



1.2. ELEKTROSTATIKA

dostaneme vztah analogický vztahům (1.31), (1.32) (obr. 1.36)

U1,2 = ϕ1 − ϕ2 =

∫ P2

P1

Esds. vztah mezi intenzitou a napětím (1.37)

Je-li integrační křivka v integrálu (1.37) uzavřená, tj. je-li P1 = P2, je ϕ(P1) = ϕ(P2) a platí∮C

~E · d~r = 0 (1.38)

Integrál na levé straně, v němž integrační obor je uzavřená křivka, se nazývá cirkulace vektoru~E po křivce C. Ukazuje se, že vztah (1.38) platí ve všech elektrostatických polích, tj. i v políchv látkách. Neplatí však v polích časově proměnných. Fyzikální pole, charakterizované nějakýmvektorem ~V , který splňuje vztah, který vznikne ze vztahu (1.38) záměnou ~E → ~V , se nazývápotenciálové neboli nevírové. Je-li integrál na levé straně vztahu (1.38) nenulový, nazývá se polevírové.

1.2.2.7 Ekvipotenciální plochy a elektrické siločáry

z

yx

P QR

~F

~E

90"

P'

S , ç(x,y,z) = C1 1

S , ç = C3 3

S , ç = C2 2

Obrázek 1.37

Potenciál elektrostatického pole má v různých bodech prostoru (obecně) různou hodnotu.V souřadnicovém systému Oxyz (obr. 1.37) platí

ϕ = ϕ(x, y, z).

Všechny body prostoru, v nichž má potenciál stejnou hodnotu, např. hodnotu C, tvoří tzv.hladinu stejného potenciálu neboli ekvipotenciální plochu. Její rovnice je ϕ(x, y, z) = C(obr. 1.37). Elektrická potenciální energie bodového náboje Q je ve všech bodech ekvipotenciálníplochy S stejná. Pro dva libovolné body P , P ′ na S platí We(P )−We(P

′) = Qϕ(P )−Qϕ(P ′) =Q[ϕ(P )−ϕ(P ′)] = 0. Při přesunutí náboje Q z bodu P na ploše S do libovolného jiného bodu P ′

plochy S vykonávají tedy elektrické síly nulovou práci, A = 0. Pro přesunutí náboje Q z boduP do libovolného blízkého bodu R po ploše S odtud plyne, že elektrická síla ~F = Q~E je kolmána úsečku PR. Ježto to platí pro každý bod R na ploše S z okolí bodu P , je vektor ~F , a tedytaké vektor ~E, v bodě P na plochu S kolmý.Závěr: Vektor ~E v libovolném bodě P je kolmý na ekvipotenciální plochu jdoucíbodem P . Odtud plyne: Elektrické siločáry tvoří soustavu ortogonálních trajektoriík soustavě ekvipotenciálních ploch. Ke znázornění průběhu elektrostatického pole lze užítnejen elektrických siločar, nýbrž i ekvipotenciálních ploch (obr. 1.38).


HRW - Fyzika

HRW 25.3, str. 643


Q>0

Q=0

siločáryekvipotenciální plochy

Obrázek 1.38

~E(pro ç <ç )1 2

~E(pro ç >ç )1 2

ç2ç1

¾n

`n

P1

P2

¾n1

`n1S2

S1

Obrázek 1.39

Vztah (1.39) mezi ϕ(x, y, z) a ~E Uvažujme o dvou ekvipotenciálních plochách S1, kdeϕ(x, y, z) = ϕ1 a S2, kde ϕ(x, y, z) = ϕ2 (obr. 1.39). V libovolném bodě P1 plochy S1 veďmejednotkovou normálu ~n orientovanou směrem k S2 a označme P2 její průsečík s S2. Ze vztahu(1.37) plyne

ϕ1 − ϕ2 =

∫ P2

P1

Endn.= En∆n,

En je průmět ~E do ~n, tj. En = E pro ~E ↑↑ ~n,En = −E pro ~E ↑↓ ~n. Označíme-li ϕ2 = ϕ1 + ∆ϕ,plyne odtud

En = −∆ϕ

∆na v limitě pro ∆n→ 0

En = −dϕ

dn. (1.39)

Pro velikost ~E dostáváme E = |dϕ/dn|. Ze vztahu (1.39) plyne [E] = V·m−1.Diskuse:

Vektor ~E má směr největšího poklesu potenciálu. Důkaz: ve vztahu (1.39) je vždydn > 0. Je-li přitom dϕ > 0 (tj. je-li ϕ2 > ϕ1), je En < 0. Je-li dϕ < 0 (tj. je-li ϕ2 < ϕ1), jeEn > 0. To značí, že vektor ~E v bodě P1 míří vždy ve směru klesajícího potenciálu. Změna ϕ připostupu z P1 různými směry je největší při postupu normály k ploše (|dϕdn | > |

dϕdn1|) v obr. 1.39.

Z vektorové analýzy plyne, že platí

~E = − gradϕ(x, y, z) = −(∂ϕ

∂x~i+

∂ϕ

∂y~j +

∂ϕ

∂z~k

).

1.2.3 Elektrostatické pole nabitých vodičů

1.2.3.1 Vodiče a dielektrika

Atomy všech látek sestávají z atomových jader, jež jsou tvořena protony a neutrony, souhrnněnazývanými nukleony, tj. jadernými částicemi a z elektronů, které obklopují jádro a tvoří tzv.elektronový obal atomu neboli atomový obal. Na každý elektron atomového obalu působí jednakkladně nabité atomově jádro, jednak všechny ostatní elektrony obalu elektrickými silami. Pohyb


HRW - Fyzika

HRW 22.3, str. 597

1.2. ELEKTROSTATIKA

elektronů v obalu je velmi složitý. Kdyby se elektrony chovaly jako klasickčé částice (tj. jakomalá tělíska) v tom smyslu, že by měly v každém okamžiku určitou polohu, rychlost a zrychlení,nemohly by vytvořit takovou relativně stabilní soustavu jako je elektronový obal. Teorie totižukazuje — a experiment to potvrzuje —, že nabitá částice, která se pohybuje se zrychlením,ztrácí energii vyzařováním elektromagnetických vln, takže podle klasické teorie by elektronyatomového obalu měly postupně ztrácet energii a dopadnout na atomové jádro. Tomu však taknení. Elektrony v atomovém obalu se tedy nepohybují tak jako planety kolem Slunce nebo jakoMěsíc a družice kolem Země. Jejich pohyb je složitější a řídí se zákony kvantové mechaniky,která bude vyložena později. Na vlastnostech elektronového obalu atomů závisí především jejichchemickě děje a vlastnosti — tvoření, rozpad a slučování molekul, tvorba a vlastnosti krystalůatd.

Jaderné částice — protony a neutrony — mají tyto hlavní parametry:

• proton označení p hmotnost mp = 1,67 · 10−27 kg, el. náboj Qp = 1 e

• neutron označení n hmotnostmn = 1,67·10−27 kg(.= mp), elektrický nábojQn = 0 coulombů.

Zatímco síly, kterými na sebe působí navzájem jádro a elektrony atomového obalu, jsouelektrické, působí na sebe nukleony nejen silami elektrickými, nýbrž i silami jinými, tzv. jader-nými, které jsou přitažlivé. Tyto síly kompenzují mohutné síly elektrického odpuzování, kterýmina sebe púsobí protony jádra a vlivem nichž by se jádro rozpadlo. Jaderné síly drží nukleonypohromadě tak, že vytváří relativně stabilní útvar.

Molekuly a atomy v látce jsou k sobě vázány silami, které podmiňují vlastnosti látky jakocelku, tj. její makroskopické vlastnosti, jako je např. pevnost, tvrdost, měrné teplo atd. Jed-nou z nejdůležitějších elektrických vlatnoatí látek je jejich elektrická vodivost, tj. schopnost véstelektrický proud. Elektrická vodivost látek závisí jednak na tom, zda a kolik je v nich obsaženoelektricky nabitých částic — elektronů, iontů atd., jež se mohou látkou pohybovat na makro-skopické vzdálenosti, jednak na pohyblivosti těchto částic, tj. na tom, jakou rychlostí se látkoupohybují, když na ně určitá síla působí. Podle elektrické vodivosti dělíme látky na 3 hlavnískupiny: vodiče, nevodiče (tj. dielektrika neboli izolátory) a polovodiče.

1.2.3.2 Vodiče

Typickými představiteli vodičů jsou kovové vodiče neboli kovy. Vyznačují se tím, že tvoří krys-taly, jejichž atomy, uspořádané v mřížce, uvolnily část svých valenčních elektronů. Tyto elek-trony, které měly v izolovaném atomu nejvyšší energii ze všech elektronů atomového obalu a kterébyly k atomu vázány slaběji než elektrony ostatní, se mohou po uvolnění relativně snadno po-hybovat v celém objemu krystalu. Nepatří již jednotlivým atomům, nýbrž celé soustavě atomůtvořících krystal. Nazývají se volné nebo také vodivostní elektrony, neboť podmiňují elek-trickou vodivost kovů. Volné elektrony vykonávají v krystalu neuspořádaný (tepelný) pohybs energiemi, jejichž hodnoty mohou ležet pouze v určitých intervalech. Přitom na ně působí sílaod periodicky rozloženého pole ionizovaných atomů, tj. kladných iontů mřížky i od ostatníchelektronů. Pokud se přes neuspořádaný tepelný pohyb elektronů nepřekládá jejich uspořádanýpohyb jedním směrem, tzv. drift, tj. pokud krystalem neprochází elektrický proud, je středníhodnota této síly uvnitř krystalu nulová, neboť elektron je obklopen ionty a elektrony ze všechstran. Jiná je situace u povrchu krystalu, kde na volný elektron působí ionty a elektrony pře-vážně směrem dovnitř krystalu a kde výsledná síla je nenulová. Je kolmá na povrch krystalua míří dovnitř. Označíme ji ~Fi a nazveme pro krátkost „vnitřní sílaÿ. Jestliže se volný elektronpohybuje z vnitřku krystalu směrem k jeho povrchu a nemá příliš velkou rychlost, síla ~Fi hozabrzdí a elektron se vrátí zpět. Jestliže však má velkou energii, kterou získal např. zvýšením



teploty krystalu, nestačí jej síla F1 na povrchu zabrzdit a elektron vyletí z kovu ven. Tento dějse nazývá termoelektrická emise.

~E

~Fe ~Fi

ç1

ç2

Q <0

1

2

Obrázek 1.40

Elektrony mohou opustit kovový krystal tehdy, když se ho dotkne jiný kovový předmět. Tímse jeden kov (obr. 1.40) postupně nabíjí záporně, druhý kladně a kolem obou vodičů se vytvoříelektrické pole. V místě styku má toto pole takový směry že brzdí a pak zcela zastaví průchoddalších elektronů, takže děj zanikne a soustava se ustáli ve stavu kdy má kov 1 potenciál ϕ1 a kov2 potenciál ϕ2. Rozdíl těchto potenciálů se nazývá stykové napětí obou kovů, U = |E1−E2|. Natomto ději je zvlášť pozoruhodné to, že působením vnitřních sil ~Fi se dostávají záporné nábojena nižší potenciál a celý systém přitom získává elektrostatickou energii na úkor vnitřníenergie obou těles.

Další příčinou úniku elektronů z kovu může být působení sil elektrického pole, vyvořenéhobuď jiným zdrojem (zdroj Z v obr. 1.41a) nebo elektrickým nábojem na samotném tělese(obr. 1.41b). Pole v okolí kovového předmětu je vytvořeno nejen zdrojem Z, nýbrž i nepra-videlně rozloženým nábojem na něm samém.

Je známa řada dalších dějů vedoucích k úniku elektronů z kovu: ozáření světlem, rentgenovýmzářením, radioaktivním zářením atd. Tyto děje zde nebudou vyšetřovány.

1.2.3.3 Elektrostatická indukce

Jestliže na vodič A (obr. 1.42) začne působit elektrické pole vytvořené vnějším zdrojem — např.pole vytvořené nabitým tělesem B, které k vodiči A přiblížíme, vnikne pole i do vodiče A.Vlivem elektrických sil, které působí na jeho volné i na jeho ostatní náboje, se jeho volné nábojepřesunou. Je-li např. vodič A kov, vystoupí část elektronů v místě P k povrchu a zde na nězačne působit vnitřní síla. Není-li elektrické pole příliš silné, síla elektrická ~Fe a vnitřní ~Fi sekompenzují, tj. platí ~Fi = −~Fe. Ve zlomku sekundy se povrch vodiče nabije, a to v různýchmístech s různou plošnou hustotou a vytvoří se rovnovážný stav, charakterizovaný tím, žeplošná hustota náboje se dál s časem nemění a volné náboje uvnitř vodiče se nepřesouvají.Elektrické pole, jež je vytvořeno jak vnějšími zdroji, tak náboji na tělese A samotném, se s časemnemění, tj. je elektrostatické. Uvedený jev, tj. částečné přesunutí a rozdělení nábojů v tělese A,se nazývá elektrostatická indukce. Celkový náboj tělesa A v obr. 1.42 se při elektrostatickéindukci nemění: bylo-li z počátku nenabito a rozdělíme-li je řezem R na dvě části, platí pro jejichnáboje Q1, Q2 vztah Q1 = −Q2.

1.2.3.4 Rovnovážný stav nabitého vodiče

Obsahem této části je zkoumání vlastností elektrického pole a elektrického náboje uvnitř a vněhomogenního vodiče v ustáleném stavu. Předpokládáme, že jsou všechny náboje, které se po-dílejí na vytváření elektrického pole, v klidu. Pole se nemění, tj. je elektrostatické. Uvedemea dokážeme hlavní výsledky.


HRW - Fyzika

HRW 22.3, str. 580

HRW - Fyzika

HRW 24.6, str. 625

1.2. ELEKTROSTATIKA

Z

~Fe

~FeQ

a) b)

Obrázek 1.41

R

AQ

P B

Q1

Q = -Q2 1

Obrázek 1.42

1. Intenzita elektrického pole ~E ve vodiči je nulová, tj. platí ~E = 0.

Důkaz: Podle předpokladu jsou volné náboje ve vodiči v klidu, takže výsledná síla Fypůsobící na volnou částici o náboji Q je nulová. Platí ~Fv = ~Fi + ~Fe, kde ~Fi je vnitřnísíla a ~Fe = Q~E je síla elektrická a ježto uvnitř homogenního vodiče je ~Fi = ~0, je ~E = ~0(obr. 1.43).

Q=0

~E=~ 0X

Y

C

S

~E

90"

ç(X) = ç(Y) = ç

ç = konst

elstat. pole

Obrázek 1.43

2. Potenciál vodiče je ve všech jeho bodech stejný, tj. platí ϕ = konst. Odsud plyne,že povrch vodiče je pro vnější elektrostatické pole ekvipotenciální plochou.

Důkaz: Pro potenciály dvou libovolných bodů vodiče X, Y (obr. 1.43), platí ϕ(X)−ϕ(Y ) =∫C~E.d~s, kde C je libovolná křivka vedoucí od X k Y . Ježto všude platí E = 0, je ϕ(X) =

ϕ(Y ). Všechna místa ve vodiči i na jeho povrchu tedy mají stejný potenciál.

3. Vektor ~E na povrchu vodiče je kolmý na povrch. Elektrické siločáry u povrchuvodiče jsou tedy na povrch kolmé.

Důkaz: Elektrické siločáry jsou kolmé na ekvipotenciální plochy v každém elektrostatickémpoli. Ježto povrch vodiče je ekvipotenciální plocha, jsou elektrické siločáry na něj kolmé.

4. Vodič je ve svém vnitřku nenabit. Je-li vodič jako celek nabit nebo jsou-li jeho náboječástečně odděleny např. elektrostatickou indukcí, je nabit pouze na svém povrchu.

Důkaz: Veďme libovolnou uzavřenou plochu S, která leží celá ve vodiči (obr. 1.43). PodleGausova zákona platí ∫∫

©S

EndS ∼ Q,

kde Q je celkový náboj uvnitř plochy S. Ježto všude ve vodiči platí ~E = 0, je Q = 0.Vnitřek plochy S je tedy nenabit. Ježto tento výsledek platí pro zcela libovolnou (tj.i sebemenší) plochu S, je celý vnitřek vodiče nenabit.



5. Je-li ve vodiči dutina a nejsou-li v ní umístěny (izolovaně) náboje, je v dutiněvždy ~E = ~0. Vodič tedy odstiňuje dutinu před vnějšími zdroji pole.

M N

~E=~ 0

C~E è~ 0

a) b)

Obrázek 1.44

Důkaz: Předpokládejme opak, tj. že v dutině je ~E 6= ~0. Elektrické siločáry, které nesahajído nekonečna, začínají vždy na kladných nábojích a končí na záporných. Musí tedy začínata končit na stěně dutiny, nebot jinde náboje podle předpokladu nejsou. Na obr. 1.44a jenaznačena jedna z nich, orientovaná od M k N , označená C. Platí∫

CEsds = ϕ(M)− ϕ(N).

Ježto se integruje po orientované siločáře, je všude Es > 0, takže integrál C má kladnouhodnotu. Odtud plyne ϕ(M) > ϕ(N). To je však ve sporu s tím, že potenciál pole ve všechbodech vodiče je stejný. Tedy platí ~E = ~0 ve všech bodech dutiny.

Poznámky:1. Stěny dutiny jsou nenabity. Jinak by na nich začínaly nebo končily elektrické siločáry.2. Uvedená vlastnost pole vodiče je fyzikální základ využití dutin vodičů k odstínění přístrojůpřed vlivem vnějších elektrických polí.3. Je-li v dutině vložen náboj na těleso, které je vodivě spojeno s povrchem dutiny, stává setěleso součástí vodiče a jeho povrch součástí povrchu dutiny. Náboj se tedy z něj přesune navnější povrch vodiče.4. Je-li v dutině vodiče umístěn izolovaný náboj Q, indukují se ve vodiči náboje podle obr. 1.44ba pole vně vodiče je nenulové. Dutý vodič tedy odstiňuje vnitřek proti vnějšku, nikoliv všakvnějšek proti vnitřku.5. V každém bodě u povrchu vodiče, umístěného ve vakuu, hustota plošného náboje σ a průmětvektoru elektrické intenzity do vnější normály En jsou vázány vztahem

En = σ/ε0,

kde ε0 je permitivita vakua.Důkaz: V oblasti libovolného bodu P u povrchu vodiče, na němž je hustota plošného nábojeσ, vedeme válcovou plochu V s površkami kolmými na povrch vodiče se základnami Z1, Z2,rovnoběžným s povrchem podle obr. 1.45. Základna Z1 je vně, základna Z2 uvnitř vodiče. CelekZ1 + Z2 + V tvoří uzavřenou plochu, na kterou aplikujeme Gaussův zákon. Platí

N =

∮Z1+Z2+V

EndS =

∫∫Z1

EndS +

∫∫Z2

EndS +

∫∫V

EndS = EnS + 0, (1.40)

kde v posledním nenulovém členu na pravé straně je En průmět ~E do vnější normály ~nvodiče. Podle Gaussova zákona je N = Q/ε0 = σ ·S/ε0. Dosazením do rovnice (1.40) dostávámeEn = σ/ε0. Pro velikost ~E dostáváme E = |σ|/ε0. Vektor ~E je dán vztahem ~E = σ

ε0~n.


1.2. ELEKTROSTATIKA

`n

~E =~ 0

Z2

V

Q = ´S

P~En

Z1S

Obrázek 1.45

6. Plošná hustota náboje vodiče a intenzita pole u povrchu vodiče je největší nahrotech a hranách. Důkaz nebudeme provádět, uvedené rozdělení je však v souhlasu s tím, covyplývá z úvah o silách a energii: Každý volný náboj na povrchu vodiče je v poli odpudivýchsil vytvořeném všemi ostatními náboji, které jej „vytlačujeÿ do nejvzdálenější části vodiče —hrotů, hran a výstupků. Při rozložení nábojů, kdy jsou náboje od sebe co nejvíce vzdáleny,je potenciální energie soustavy volných nábojů nejmenší, což je charakteristické pro stabilnírovnovážný stav každé soustavy.Důsledky:

A B

~E = -grad ç

mohutné pole

çBçA

Obrázek 1.46

1. Ze vztahu ~E = (σ/ε0)~n plyne, že intenzita ~E je velká na hrotech a hranách, malá v prohlub-ních.2. Je-li vodič nabit na vysoký potenciál a vytváří mohutné pole, může dojít u jeho hrotů a hran,kde je ~E velké, k porušení dielektrika a k úniku náboje (sršení elektřiny). Sršení je menší,je-li prvek vodiče oblý.3. Přiblížíme-li k vodiči A, nabitému kladné nebo záporně, nenabitý (nebo opačně nabitý) vodičB s hrotem (obr. 1.46), vytvoří se v oblasti největšího přiblížení mohutné pole (E = |ϕA −ϕB|/|∆n|, dielektrikum se poruší a dojde k výboji (elektrická jiskra). Vodič B se částečněnabije, náboj vodiče A se zmenší. Vodič B „odsáváÿ náboj z vodiče A.

1.2.3.5 Kapacita vodiče. Kondenzátor

Q >0ç = konst

Obrázek 1.47


HRW - Fyzika

HRW 26.2, str. 669

Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se kapacity

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/Kapacita.pdf


Kapacita osamoceného vodiče C Osamocený klidný elektricky nabitý vodič, v němž jenáboj v klidu, vytváří elektrostatické pole, které závisí na jeho náboji, na jeho velikosti a tvaru,i na dielektriku, které vodič obklopuje. Vodič má přitom ve všech místech stejný potenciál.

Změní-li se náboj Q vodiče, změní se i jeho potenciál ϕ. Pokud je vodič obklopen běžnými,tzv. lineárními, dielektriky (viz odstavec 1.2.4) nebo pokud je ve vakuu, je potenciál ϕ přímoúměrný náboji Q, tj. platí

ϕ ∼ Q. (1.41)

Veličina definovaná podílem

C =Q

ϕdefinice kapacity (1.42)

[farad = coulomb·volt−1]

dS

Q <0

~E é~ 0~E è~ 0ç (<ç )2 1ç1

Q > 0

a)

~E=~ 0

R1R2

~E è~ 0

~E =~ 0

d

Q(>0)

-Q

b)

Obrázek 1.48

nezávisí na náboji vodiče nýbrž jen na jeho velikosti a tvaru a vlastnostech dielektrika, ježho obklopuje. Nazývá se kapacita vodiče. Jednotkou je 1 farad, 1 farad = 1F = 1 coulomb.1volt−1. Vodič s velkou kapacitou lze nabít velkým nábojem, aniž se jeho potenciál, a tedy i polejej obklopující, příliš zvětší a aniž by došlo k jeho vybíjení např. sršením. V tomto smyslu jeoprávněno tvrzení, že kapacita vodiče charakterizuje jeho schopnost pojmout elektrický náboj.

Je-li kapacita osamoceného vodiče ve vakuu C, je jeho kapacita v homogenním dielektrikus relativní permitivitou εr rovna C ′ = εrC. V dielektriku je totiž při stejném náboji na vodičiintenzita pole dána vztahem ~E′ = ~E/ε a potenciál vztahem ϕ′ = ϕ/εr, takže podle definičníhovztahu (1.41) platí C ′ = εrC.Příklad:

Určete kapacitu osamocené koule o poloměru R v dielektriku o relativní permitivitě εr.

Řešení: Podle definice (1.42) platí C = Q/ϕ, kde Q je (libovolný) náboj, kterým je nabita koulea ϕ příslušný potenciál. Na osamocené kouli je náboj rozložen rovnoměrně. Podle odstavce 1.1.1je vně koule pole stejné jako pole bodového náboje. Jeho potenciál ϕ je pro r ≥ R tedy dánvztahem 4.1-20. Platí tedy

C =Q

ϕ=

Q1

4πε0εrQR

= 4πε0εrR kapacita koule (1.43)

Ježto [εr] = 1 (viz odstavec 1.2.4), je [ε0] = 1 F·m−1.

Poznámka: Pokud by vodič nebyl osamocen, měl by na, jeho potenciál vliv nejen jeho náboj,nýbrž i tvar a prostorové rozložení ostatních těles, zejména vodičů v prostoru. I v takové soustavěexistují nepříliš složité lineární vztahy mezi náboji a potenciály vodičů.


1.2. ELEKTROSTATIKA

1.2.3.6 Kondenzátor

Kondenzátor je soustava dvou vhodně tvarovaných, navzájem izolovaných vodičů, uspořádanýchtak, že nabije-li se jeden z nich nábojem Q a druhý nábojem Q′ = −Q, mají tyto podstatnévlastnosti:

1. Jejich pole je z převážné části soustředěno v prostoru mezi nimi.

2. Potenciální rozdíl ϕ1 −ϕ2 vodičů závisí především (někdy jen) na jejich (nikoliv na ostat-ních) nábojích. Příklady kondenzátorů: deskový — dvě rovnoběžné velmi blízké desky(obr. 1.48a), kulový — dvě soustředné koule, R1

.= R2 (obr. 1.48b), válcový (obr. 1.49).

Podobně jako u osamoceného vodiče, platí i zde (ϕ1−ϕ2) ∼ Q. Veličina, definovaná podílemQ/(ϕ1 − ϕ2), závisí jen na tvaru, velikosti a vzájemné poloze obou částí kondenzátoru a nadielektriku v prostoru, v němž je vytvořeno pole. Nazývá se kapacita kondenzátoru. Tedy:kapacita C je definována jako veličina, daná podílem

C =Q

ϕ1 − ϕ2=Q

U, definice kapacity kondenzátoru (1.44)

[farad = coulomb · volt−1]

kde ϕ1 je potenciál vodiče nabitého nábojem Q a ϕ2 potenciál vodiče o náboji −Q a U = ϕ1−ϕ2.

R2

R1

d

l~E

´

Q(>0),ç1

-Q,ç2

S

Obrázek 1.49

Válcový kondenzátor Válcový kondenzátor sestává ze dvou soustředných válců o poloměrechR1, R2, d = R2 −R1 R1 (obr. 1.49). Je-li d l, je pole vytvořené náboji Q, −Q, kde Q > 0,soustředěno převážně ve válcové vrstvě, o níž budeme nejprve předpokládat, že je vzduchová.Ze vztahu d R1 plyne, že v malém objemu ∆V je elektrické pole přibližně homogenní. Ježtonáboj na vnějším válci nemá na pole v jeho vnitřku vliv, je pole ve válcové vrstvě tloušťky dvytvořeno pouze nábojem na vnitřním válci. Označíme-li σ plošnou hustotu náboje na vnitřnímválci, platí E

.= σ/ε0(viz příklad R-4).

Rozdíl potenciálů je velmi přibližně dán vztahem ϕ1 − ϕ2.= Ed

.= σd/ε0.

Ze vztahu (1.44) dostáváme

C =Q

ϕ1 − ϕ2=

S.σ

ϕ1 − ϕ2=S.σ

σdε0 =

ε0S

d,


HRW - Fyzika

HRW 26.3, str. 672

Simulaèní program

Obvody si mù¾ete vyzkou¹et chování elektrických obvodù s kondenzátory, jejich nabíjení a vybíjení

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/interaktprog/FyzikaII/Obvody.exe


kde S je plošný obsah vnitřního (nebo přibližně i vnějšího) válce. Je-li prostor mezi oběma válcivyplněn dielektrikem o relativní permititivě εr (viz odstavec 1.2.4), dostaneme podle předešlého

C =ε0εrS

d. kapacita válcového i deskového a kulového kondenzátoru (1.45)

Zcela analogicky lze dokázat, že vztah (1.45) platí i pro deskový a kulový kondenzátor (vizobr. 1.48ab) za předpokladu, že platí d

√S respektive d R1.

1.2.4 Elektrostatické pole v látkách

1.2.4.1 Interakce elektrického pole s látkou

Dielektrika, tj. nevodiče, jsou látky které neobsahují volné elektrické náboje a kterými tedynemůže jít elektrický proud. V pevných dielektrikách se všechny nabité částice — atomová já-dra, elektrony, ionty — mohou pohybovat pouze ve velmi malých oblastech kolem rovnovážnýchpoloh a působením sil běžných elektromagnetických polí se nemohou uvolnit a přesouvat na,makroskopické vzdálenosti. Může v nich být jak elektrostatické, tak proměnné elektrické pole,aniž by jimi procházel proud. Tím se podstatně liší od vodičů. Pouze tehdy, když síly vnějšíhopole jsou velmi velké, mohou být nabité částice vytrženy, tj. uvolněny, ze svých rovnovážnýchpoloh a dielektrikum se může stát v některé své oblasti vodivé. Hovoříme pak o průrazu dielek-trika.

Přesto, že dielektrika nevedou za běžných podmínek elektrický proud, mají na ně elektrickápole značný vliv. Zpětně opět dielektrika ovlivňují elektrická pole a podílejí se na jejich vy-tváření. Vyplývá to ze známé zkušenosti: Jestliže nabijeme kondenzátor, mezi jehož deskami jevakuum nebo vzduch, určitým nábojem na napětí U0 a poté ho izolujeme a mezi jeho deskyvložíme dielektrikum, napětí na deskách klesne na hodnotu U < U0. Nové napětí U může býtv případě vhodného dielektrika jen nepatrným zlomkem původní hodnoty. Dielektrikum tedyvelmi výrazně může změnit pole.

d

C

~E0

~Ep

~E`p

´p

-´p

´

-´

Obrázek 1.50

Příčinou tohoto jevu je proces, který se nazývá polarizace dielektrika. Působením silelektrického pole se nabité částice látky přemístí, a to zcela nepatrně, na vzdálenost řádu rozměruatomu. Uvnitř homogenního dielektrika jsou kladné a záporné náboje i nadále rozloženy vedlesebe rovnoměrně, takže vnitřek homogenního dielektrika zůstává nenabit, viz obr. 1.50. Zato všakna povrchu, a v nestejnorodých dielektrikách i na rozhraní dvou různých dielektrik nebo v oblastijiných nehomogenit, převládnou někde kladné, někde záporné náboje a tyto oblasti se nabijí.Takto nahromaděné náboje se nazývají vázané nebo polarizační náboje. Náboje na deskáchkondenzátoru nebo na jiných vodičích, jež lze přivádět respektive odnímat, se pro rozlišení paknazývají „volnéÿ. Vliv dielektrika na elektrické pole je způsoben právě těmito polarizačnímináboji. Pole v dielektriku je vytvořeno volnými a polarizačními náboji. Např. polev dielektriku kondenzátoru na obr. 1.50 je vytvořeno dvěma vrstvami volných nábojů o plošnéhustotě ±σ a dvěma vrstvami vázaných nábojů o plošné hustotě ±σp. Označíme-li intenzitupole vytvořeného volnými náboji ~E0 a intenzitu pole vytvořeného náboji polarizačními ~Ep, platí


1.2. ELEKTROSTATIKA

E0 > Ep. Pro intenzitu výsledného pole ~E dostaneme, viz obr. 1.50 vztah

~E = ~E0 + ~Ep, E = E0 − Ep, takže platí E < E0. (1.46)

Napětí U na deskách kondenzátoru je dáno vztahem

U =

∫C

~E.d~s =

∫Eds = Ed < E0d = U0, (1.47)

takže skutečně platí U < U0 v souhlase s výsledkem uvedeného pokusu. Poznamenejme, ževlastnosti dielektrik v proměnných polích jsou složitější.

1.2.4.2 Hlavní typy dielektrik

Z hlediska fyzikální podstaty dějů, ke kterým dochází v dielektrikách při jejich polarizaci, lzerozdělit dielektrika do dvou skupin, a to na dielektrika s nepolárními molekulami a na dielektrikas polárními molekulami.

-Q

Q

`p è~ 0

~E è~ 0

~E =~ 0, `p =~ 0

a) b)

l`

Obrázek 1.51

1. Dielektrika s nepolárními molekulami. Je-li rozložení záporných nábojů (elektronů)a kladných nábojů (atomových jader) v molekule takové, že molekula má nulový elektrickýdipólový moment, ~p = ~0 (viz odstavec 1.1.4), nazývá se molekula nepolární. Typickánepolární jednoatomová molekula je znázorněna na na obr. 1.51a. Její elektrony jsou roz-loženy symetricky kolem jádra, takže jejich „středÿ splývá s jádrem, tj. středem kladnéhonáboje. Působením elektrického pole se jádro posune zcela nepatrně ve směru intenzity ~E,elektronový oblak však znatelněji ve směru opačném, takže středy kladného a zápornéhonáboje se rozestoupí na vzdálenost |~l| (obr. 1.51b). V molekule se vytvoří, neboli indukuje,elektrický dipólový moment ~p = Q~l, kde Q je náboj jádra. Takováto polarizace se obvyklenazývá „elektronováÿ.

O

H

H

`p

Obrázek 1.52

2. Dielektrika s polárními molekulami. Molekuly některých dielektrik tvoří elektrickédipóly i bez působení vnějšího elektrického pole. Např. molekula vody, znázorněná naobr. 1.52, má uspořádány atomy vodíku nesouměrně, takže střed elektronového oblakumolekuly nesplývá se středem kladných nábojů. Molekula má nenulový elektrický dipólovýmoment, je polární. Ježto molekuly všech látek vykonávají neuspořádaný tepelný pohyb,


HRW - Fyzika

HRW 26.7, str. 681


jsou molekulární dipóly orientovány nahodile a výsledný dipólový moment libovolné, nepříliš malé, části dielektrika, daný součtem dipólových momentů jejich molekul, je nulový.Látka je nepolarizována. Vlivem elektrického pole, které působí na molekuly otáčivýmmomentem, se molekuly látky částečně natáčejí, tj. orientují, do směru pole a látka sepolarizuje. Úplnému natočení všech molekul brání síly, kterými na sebe působí molekulynavzájem při srážkách. Účinek těchto srážek roste s rostoucí teplotou. Proto polarizacelátek tohoto typu, která se obvykle nazývá „orientačníÿ, klesá s rostoucí teplotou látky.S rostoucí intenzitou ~E se polarizace zvětšuje, podobně jako při elektronové polarizaci.

dielektrikum

`n

`n

S

¡ ~P

~P

-q

+q

~ l

~ l

%S

volný náboj

Obrázek 1.53

Elektrické dipólové momenty polárních molekul jsou mnohonásobné větší (asi 103 až 104

krát) než indukované momenty molekul nepolárních. Proto vliv dielektrik s polárnímimolekulami na elektrické pole je podstatně větší než vliv dielektrik ostatních.

1.2.4.3 Vektory elektrického pole v dielektriku

Elektrická polarizace ~P Stupeň polarizace látky v její malé části o objemu dV je charakte-rizován vektorem „elektrické polarizace ~Pÿ, definovaným vztahem

~P =

∑~p

dV, definice elektrické polarizace (1.48)

[C·m−2 = C·m·m−3] ,

kde∑~p je součet momentů elektrických dipólů v uvažovaném objemu, tj. jeho dipólový moment.

Jednotka: [P ] = C·m−2.Vektor ~P souvisí s polarizačními náboji Qp, vytvořenými uvnitř dielektrika a s polarizačními

náboji o plošné hustotě σp, vytvořenými na jeho povrchu, vztahy (1.49), (1.50). Důkaz: Veďmedielektrikem libovolnou uzavřenou plochu S. Nechť dS je její malá část (obr. 1.53).

Dojde-li v dielektriku k polarizaci, projde část atomárních nábojů uvažovanou plochou. Projednoduchost předpokládejme, že se přitom posunou pouze kladné atomární náboje (poněkudkomplikovanější výpočet přihlížející k posuvu kladných i záporných nábojú vede ke stejnémuvýsledku). Nechť je v objemové jednotce látky n0 molekul a nechť rozestup středů jejich nábojůpo polarizaci je dán vektorem ~l. Je-li q celkový kladný náboj v jedné molekule, projde připolarizaci uvedenou ploškou dS z její záporně strany na kladnou celkový náboj

dQ = q ×

počet nábojův objemudSl cosα

= qn0dSl cosα = n0q~l · ~ndS = n0 · ~p~ndS = ~P · ~ndS = PndS.

Zde je ~p = q~l elektrický dipólový moment molekuly a n0~p dipólový moment jednotky objemu,


1.2. ELEKTROSTATIKA

takže ~P = n0~p. Z vnitřku plochy S vystoupí náboj

Q =

∫∫©S

~P · ~ndS =

∫∫©S

PndS,

takže uvnitř plochy, kde byl původně nulový náboj, zůstane náboj Q′ = −Q. To je tedy polari-zační náboj Qp, takže platí

Qp = −∫∫©S

PndS = −∫∫©S

~P · ~ndS. polarizační náboj (1.49)

Leží-li ploška dS na povrchu dielektrika, zůstane náboj dQ = PndS jako polarizační nánojna ní. Jeho plošná hustota σp tedy je

σp = Pn = ~P · ~n. plošná hustota polarizačního náboje (1.50)

Elektrická indukce ~D Užijme pro plochu S na obr. 1.53, v jejímž vnitřku jsou vázané náboje,Gaussova zákona, vyjádřeného vztahem (1.15). Dostaneme∫∫

©S

~E · ~ndS =1

ε0

∑Q =

1

ε0

∑Qvoln +

1

ε0

∑Qpolarizan =

1

ε0

∑Qvoln −

1

ε0

∫∫©S

~P~ndS.

Odtud plyne vztah ∫∫©S

(ε0~E + ~P ) · ~ndS =

∑Qvoln. (1.51)

To je důležitý výsledek: Vektor ~E i vektor ~P závisí na nábojích volných i polarizačních.Integrál na levé straně však závisí jen na volných nábojích uvnitř plochy, zatímco jak vektor ~E,tak vektor ~E, závisí i na nábojích vázaných. Tohoto výsledku lze s výhodou užít při vyšetřováníelektrických polí tam, kde jsou známy volné náboje, nikoliv však náboje polarizační. Pro vektor(ε0

~E + ~P ) odtud vyplývají i jiné užitečné vlastnosti, takže se o něm uvažuje jako o zvláštnímvektoru. Nazývá se elektrická indukce a označuje se ~D. Vektor ~D je tedy definován vztahem

~D = ε0~E + ~P . definice vektoru ~D (1.52)

Při této definici lze psát vztah (1.51) ve tvaru∮S

~D.~ndS =∑

′Qvoln. Gaussův zákon pro dielektrika (1.53)

Elektrické pole je tedy charakterizováno třemi vektory ~E, ~P , ~D, vázanými definičním vztahem(1.52). K vyšetřování polí se volí obvykle dva z nich, nejčastěji ~E, ~D.

Vztah (1.53) je jednou ze základních rovnic teorie elektromagnetického pole a platí zcelaobecně ve všech elektromagnetických polích. Nazývá se Gaussův zákon pro dielektrika nebotaké III. Maxwellova rovnice (odstavec 1.5.2).

Integrál na levé straně rovnice (1.53), vzatý po libovolné (nikoliv jen uzavřené) orientovanéploše S, se nazývá elektrický indukční tok a označuje se φ. Definiční vztah tedy zní

φ =

∫∫S

~D · ~ndS. (1.54)


HRW - Fyzika

HRW 26.8, str. 683


Lineární dielektrika Většina dielektrik je z hlediska elektrického lineární v tom smyslu, žev nich platí vztahy ~P ∼ ~E, ~D ∼ ~E, ~D ∼ ~P . Polarizační vlastnosti těchto látek jsou charakteri-zovány veličinou χ nazvanou elektrická susceptibilita, definovanou vztahem

~P = ε0χ~E. (1.55)

Veličina χ, závisí na, látce a na jejím fyzikálním stavu. Ježto je ~P ↑↑ ~E, platí χ > 0.Dosadíme-li ze vztahu (1.55) do vztahu (1.52), dostaneme

~D = ε0(1 + χ) ~E = ε0εr ~E = ε ~E. vztah mezi ~D a ~E v lineárním dielektriku (1.56)

Veličiny εr, ε jsou definovány vztahyεr = 1 +χ je relativní permitivita, neboli dielektrická konstanta látky. Ve vakuu platí

εr = 1,ε = εrε0 je absolutní permitivita látky.Hodnoty veličiny εr jsou uvedeny v tabulkách. Typické hodnoty ε: sklo 5 až 10, papír 2, voda

81, vzduch 1,006.

1.2.4.4 Feroelektrika

P

E

A

0

Pr

Ek

Obrázek 1.54

V technických aplikacích mají vzrůstající význam elektricky nelineární látky. Závislost vek-toru polarizace na vektoru intenzity u nich není lineární a píšeme-li vztah mezi nimi ve tvaru(1.55), je χ, funkcí veličiny E, tj. χ = f(E). U těchto látek navíc není ~P jednoznačnou funkcí ~E,nýbrž závisí také na předchozí hodnotě elektrického pole v látce. Látka má jakousi elektrickousetrvačnost, ~P se opožďuje za ~E. Tomuto jevu se říká hystereze. Závislost P na E je znázorněnahysterezní křivkou na obr. 1.54.

Látky, které mají tuto vlastnost se nazývají feroelektrika. Patří k nám např. Seignettovasůl (vínan-sodno-draselný), fosforečnan draselný, titaničitan barnatý. Feroelektrikum může býtspontánně polarizováno, tzn. může být polarizováno i při nulovém vnějším elektrickém poli.Krystal feroelektrické látky se skládá z domén (ohraničených makroskopických oblastí). Uvnitřkaždé domény má polarizace vlastní směr, který se od domény k doméně liší (obr. 1.55) a cel-kový moment dipólu krystalu je roven nule. Když začne na krystal působit vnější pole, doménys vektorem polarizace ve směru elektrického pole rostou na úkor ostatních domén a polarizacekrystalu rovněž vzrůstá (část 0A křivky na obr. 1.54). Když se všechny domény uspořádají dosměru vnějšího elektrického pole polarizace je nasycena a krystal se stává jedinou doménou. Pří-padný další růst polarizace je způsoben jevy, o kterých jsme hovořili v předchozí části. Když sevnější pole po dosažení bodu A hysterezní křivky bude zmenšovat, polarizace klesá a její závislostna intenzitě elektrického pole probíhá podél části křivky APr. Při nulovém poli zůstává rema-nentní polarizace Pr. Úplné odstranění polarizace látky je možné jen působením vnějšíhoelektrického pole opačného smyslu.


1.2. ELEKTROSTATIKA

Obrázek 1.55

Intenzita potřebná k tomu, aby polarizace klesla na nulu, se nazývá intenzita koercitivníhopole ~Ek.

Některá pevná dielektrika vykazují piezoelektrický jev. Při pružné deformaci krystalu,stlačení nebo protažení, elementární dipóly molekul látky se stáčejí a mění polarizaci krystalu.Na okrajích krystalu vystupují polarizační náboje, vytvářejí elektrické pole, které je příčinouměřitelného rozdílu potenciálů mezi plochami krystalu. Tohoto jevu se používá k měření defor-mací.

V krystalech je možné pozorovat i opačný jev. Elektrické dipóly se stáčejí ve směru elektric-kého pole a tento pohyb molekul se projeví mechanickou deformací. Vnější pole proto způsobízměnu rozměrů dielektrika. Tento jev se nazývá elektrostrikce a užívá se k buzení ultrazvuko-vých vln nebo k jemným délkovým posunutím, např. k dolaďování vlnových rezonátorů laserů.

1.2.4.5 Elektrické pole v homogenním dielektriku

Uvažujme opět o deskovém kondenzátoru s dielektrikem, obr. 1.50. Intenzita výsledného elek-trického pole ~E je podle rovnice (1.46) dána vztahem ~E = ~E0 + ~Ep, kde ~E0 je intenzita polebuzeného v dielektriku samotnými volnými náboji a ~Ep je intenzita pole, buzeného náboji in-dukovanými polarizací. Pole ~Ep je vytvořeno dvěma rovnoběžnými vrstvami náboje o plošnéhustotě ±σ na povrchu a podle odstavce 1.1.1 tedy platí Ep = σp/ε0. Dosazením do vztahu(1.46) dostaneme s užitím vztahů (1.50), (1.55)

E = E0 − Ep = E0 −σpε0

= E0 −Pnε0

= E0 −P

ε0= E0 −

ε0χE

ε0= E0 − χE =⇒

E(1 + χ) = E0 =⇒ E =E0

εr.

Ježto platí ~E ↑↑ ~E0, vychází odtud důležitý vztah

~E =~E0

εr. elektrická intenzita v dielektriku (1.57)

Z něho pak plyne vztah mezi napětím kondenzátoru s dielektrikem, U , a napětím U0:

U =U0

εr

Pro kapacitu kondenzátoru s dielektrikem pak dostaneme známý vztah (viz rov. (1.45))

C =Q

U=

Q

U0εr = εrC0 =

εrε0S

d.

Vztah (1.57) byl odvozen pro pole v deskovém kondenzátoru. Lze však ukázat, že platí i provektory pole, buzeného náboji v nekonečném homogenním dielektriku. Vektor ~E0 je intenzita


HRW - Fyzika

HRW 26.5, str. 677


Interaktivní pøíklad na výpoèet kapacity rovinného kondenzátoru

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/interaktprikl/FyzikaII/priklad-26a.html


volné náboje

polarizační náboje

0`r

~E~E0

~Ep

Obrázek 1.56

pole buzeného volnými náboji a ~E je intenzita celkového pole, buzeného současné volnými nábojii polarizačními náboji, vytvořenými polarzací dielektrika. Např. intenzita celkového pole, buze-ného malou nabitou koulí — tj. přibližně bodovým nábojem Q — v nekonečném homogennímdielektriku, je dána vztahem

~E =1

4πεrε0

Q

r2~r0.

Na vytvoření tohoto pole se podílejí jak volné, tak vázané náboje, viz obr. 1.56.Pro vektor ~D pole, vytvořeného v nekonečném homogenním dielektriku (nebo mezi deskami.

kondenzátoru), plyne ze vztahů (1.56), (1.57) vztah

~D = ε0εr ~E = ε0~E0,

kde ~E0 je intenzita pole vytvořeného pouze volnými náboji. V dielektriku kondenzátoru naobr. 1.50 nebo u povrchu obecného vodiče v homogenním dielektriku, platí

D = ε0E0 = ε0σ

ε0= σ,

kde σ je plošná hustota volného náboje.

1.2.4.6 Energie elektrického pole, We

ÔR

Q(>0)-Q

I C1 C2R

směr proudění energieZvlnění(pole)

ohřev

a) b) c)

Obrázek 1.57

Řada jevů svědčí o tom, že elektricky nabitá soustava a elektrické pole má a přenáší energii.Příklady: Při vybíjení kondenzátoru (obr. 1.57a) zaniká elektrické pole a ve vodiči R se

vyvíjí teplo. Při zapojení elektrického obvodu na obr. 1.57b ke zdroji střídavého napětí procházívodičem R proud a vyvíjí se v něm teplo, přesto, že není vodivě spojen se zdrojem. Energie je doněj přenášena elektromagnetickým polem, vytvořeným zejména v oblasti kondenzátorů C1, C2.Na obr. 1.57c je schematicky znázorněno přenášení energie elektromagnetickými vlnami.1. Energie nabitého osamoceného vodiče, We Z vlastností elektrostatického pole plyne,že práce, potřebná k nabití libovolné (původně nenabité) soustavy, nezávisí na způsobu nabíjení,nýbrž jen na výsledném jejím stavu. Soustava tedy má elektrickou energii We.


1.2. ELEKTROSTATIKA

¾Q

C

Q, ç Í Q +¾Q, ç +¾ç

Q, U Í Q +¾Q, U+¾U

É¾Q

D1 D2

a) b)

Obrázek 1.58

Položíme-li elektrickou energiiWe nenabitého osamoceného vodiče V o kapacitě C (obr. 1.58a)rovnu nule, We(Q = 0) = 0, je energie nabitého vodiče dána vztahem We = A, kde A je práce,kterou vykonaly vnější síly (tj. jiné než síly od elektrostatického pole uvažovaného vodiče), pů-sobící na nabité částice při jejich přemísťování na V při nabíjení. Uvažujme o takovém nabíjení,při němž se na V postupně přenášejí malé náboje ∆Q z nekonečna, přičemž jeho potenciál(téměř) spojitě roste z hodnoty ϕ = 0 na hodnotu ϕk, které nabude při nabití výsledným ná-bojem Qk. Má-li vodič v některém okamžiku nabíjení právě potenciál ϕ(0 < ϕ < ϕk), vzrostepři přenesení náboje ∆Q z nekonečna na vodič jeho elektrická energie o hodnotu ∆We = ∆Q.ϕ.Současně se zvýší potenciál vodiče z hodnoty ϕ na, hodnotu ϕ + ∆ϕ, kde ∆ϕ = ∆Q/C, takžeplatí ∆We = Cϕ∆ϕ. Celková elektrická energie vodiče nabitého na potenciál ϕk je tedy dánasoučtem

We =∑

∆We =∑

Cϕ∆ϕ→We =

∫ ϕk

0Cϕdϕ =

1

2Cϕ2

k

Užijeme-li definičního vztahu pro kapacitu, dostáváme pro elektrickou energii osamocenéhovodiče, nabitého nábojem Q na potenciál ϕ vztahy

We =1

2Cϕ2 =

1

2Qϕ =

1

2

Q2

C. energie nabitého vodiče (1.58)

2. Energie nabitého kondenzátoru Proces nabíjení kondenzátoru si lze představit jakopostupné odnímání kladného náboje z jedné desky (D1 na obr. 1.58b) a jeho přenášení na druhoudesku. Tím se deska D1 nabíjí záporně a její potenciál klesá, druhá kladně a její potenciál roste.Zcela analogickou úvahou jako u osamoceného vodiče se odvodí vztahy

We =1

2CU2 =

1

2QU =

1

2

Q2

C.

energie nabitéhokondenzátoru

(1.59)

¾W, ¾We

P

Obrázek 1.59

3. Energie elektrického pole Řada jevů, z nichž jsme některé uvedli, ukazuje, že nositelemelektrické energie elektricky nabitých těles je elektrické pole, které tato tělesa budí.



Objemová hustota elektrické energie v bodě P , we, je definována vztahem

we =∆We

∆V, definice hustoty elektrické energie (1.60)

kde ∆We je elektrická energie v malém elementu o objemu ∆V , obsahujícím bod P (obr. 1.59).Tato veličina závisí na mohutnosti elektrického pole, konkrétně na velikosti vektoru ~E. Je

dána vztahem

we =ε0εrE

2

2=ED

2. hustota elektrické energie (1.61)

[J·m−3 = F·m−1·V2·m−2]

Platnost vztahu (1.61) plyne z teorie a je ověřena experimentem. Dojdeme k němu např.úvahou o deskovém kondenzátoru: Deskový kondenzátor na obr. 1.58b s velmi úzkou mezeroumezi deskami má energii, kterou lze vyjádřit ve tvaru

we =1

2CU2 =

1

2

ε0εrS

d(Ed)2 =

ε0εrE2

2Sd. (1.62)

Při dosazení U = Ed jsme předpokládali, že pole mezi deskami je homogenní. Předpokládáme-li, že nositelem energie kondenzátoru je jeho elektrické pole, pak ze vztahů (1.60), (1.62) a (1.56)plyne vztah (1.61).

1.2.4.7 Příklady — Elektrostatika

R-1 V elektronce se pohybuje nerelativistický elektron od katody ke mřížce a je brzděn elek-trickou silou. Jeho zrychlení ~a má velikost a = 1,20·103 m·s−2. Určete: 1. Sílu ~F , která na nějpůsobí; 2. Intenzitu elektrického pole ~E.

Řešení:

1. Pohybová rovnice pro nerelativistický elektron zní: m0~a = ~F , kde m0 je klidová hmotnostelektronu. Odtud plyne: ~F míří ke katodě a má velikost

F = m·a = 9,11·10−31 kg·1,20·103 m·s−2 = 1,09·10−27 N.

2. Intenzita elektrického pole ~E je, podle definice, rovna ~E = ~E/Q = ~E/(−e). Odtud plyne:~E má směr opačný než ~F , tj. míří k mřížce. Její velikost je

E =F

e=

1,09·10−27 N1,60·10−19 C

= 6,81·10−9V·m−1.

R-2 V bodě P stálého magnetického pole se ustálí malá magnetka v rovnovážná poloze naznačenéna obr. 1.60. Jestliže se magnetka odstraní a bodem P se pohybuje volný proton rychlostí ~v1

o velikosti v1 = 3,00·103 m·s−1 kolmo na směr magnetky, má jeho trajektorie v bodě P poloměrkřivosti R = 2,00 mm. Určete: 1. Zrychlení protonu; 2. Magnetickou sílu působící na proton;3. Vektor ~B; 4. Sílu, která by působila na proton, kdyby se bodem P pohyboval rychlostí ~v2

o velikosti v2 = 2,50·104 m·s−1.Řešení:

1. ~a =? magnetická síla: ~F = Q(~v × ~B); ~B má podle definice směr S → N , tedy ~F mířípřed nákresnu, ~a rovněž před nákresnu (~F = m~a); velikost: ~a ⊥ ~v1, tedy ~a je dostředivázrychlení; platí

a =v2

1

R=

(3,00·103)2 m2·s−2

2,00·10−3 m= 4,50·109 m·s−2.


1.2. ELEKTROSTATIKA

¢

..

30"

`v1

`v2

N

S

à~F

~B

Obrázek 1.60

2. ~E =? ~E míří před nákresnu, velikost: F = ma = 1,67·10−27 kg·4,50·109 m·s−2 = 7,52·10−18 N.

3. ~B =? směr: S → N , velikost (podle definice)

B =F

Qv1=

7,52·10−1 N1,60·10−19 C · 3,00·103 m

= 1,57·10−2 T.

4. ~F ′ =? ~F ′ = (~v2 × ~B); směr: za nákresnu, velikost

F ′ = Qv2B· sinβ = 1,60·10−19 C·2,50·104 m·s−1·1,57·10−2 T· sin(180−30) = 3,14·10−17 N.

~Fm

~Fv

~Fe

~E `v

~BP

30"¡=60"

proton

Obrázek 1.61

R-3 Bodem P elektromagnetického pole se pohybuje proton rychlostí ~v o velikosti v = 2·104 m·s−1

(obr. 1.61). Vektory ~E, ~B jsou v bodě P na nebe kolmé a mají velikost E = 3·103 V·m−1,B = 0,2 T. Úkoly: 1. Určete a zakreslete tyto síly působící na proton: a) elektrickou ~Fe, b)

magnetickou ~Fm, c) výslednou ~Fv; 2. Určete a zakreslete síly ~Fe′, ~Fm

′, ~Fv′, které by na proton

působily, kdyby se pohyboval rychlostí ~v′ = −~v ; 3. Určete a zakreslete jednu z možných rychlostíprotonu, při níž by výsledná síla, kterou na něj působí elektromagnetické pole, byla nulová.Řešení:

1. a) ~Fe = Q~E = e ~E, Fe = 1,6·10−19 C · 3·103 V·m−1 = 4,8·10−16 N; ~Fe ↑↑ ~E;

b) ~Fm = e~v× ~B; Fm = evB sinα = 1,6·10−19 C · 2·104 m·s−1 · 0,2 T · sin 60 = 5,54·10−16 N;~Fm ⊥ ~v1, ~B;

c) ~Fv = ~Fe + ~Fm, F 2v = F 2

e + F 2m, neboť ~Fe ⊥ ~Fm · Fv = 7,33·10−16 N.

Ostatní úkoly samostatně.R-4 Vyšetřete elektrostatické pole vytvořené nekonečně dlouhou válcovou plochou rovnoměrněnabitou nábojem o plošné hustotě σ.Řešení:



lRS1

r`n

~E

P

SS2

rσ

Obrázek 1.62

Válec nechť má poloměr R (obr. 1.62). Pak intenzitu pole v bodě P vně válce, tj. pro r > R,určíme užitím Gaussova zákona na uzavřenou plochu S, sestávající ze souosé válcové plochylibovolné délky l, jdoucí bodem P ze dvou kruhových základen S1, S2 o poloměru r.

Vychází

En2πrl = 2πRlσε−10 ⇒ En = σR/(ε0r)

Zde En je průmět do vnější normály ~n. U povrchu válcové plochy (r = R) je En = σ/ε0.Vedeme-li analogickou válcovou plochou bodem uvnitř válce, tj. pro r < R, je v jejím vnitřkuQ = 0. Úvahou shodnou s předešlou dostaneme E = 0.R-5 Vypočtěte práci, kterou vykonají síly elektrostatického pole, vytvořeného elektrickým nábo-jem rozloženým v baterii a v přívodních vodičích (obr. 1.63), jestliže se z bodu M přemístí nábojQ = 2·10−3 C na povrch Země postupně po křivkách C1, C2, C3 (křivka C2je vedena vnitřkemvodiče a baterie). Elektromotorické napětí baterie je E = 12 V.

M

C3 C2

C1

¥

Země

Obrázek 1.63

Řešení:Napětí na svorkách baterie, kterou neprochází proud, je U = E . Ježto katoda je uzemněna,

je potenciál anody ϕA = E = 12 V. Práce, kterou vykonají elektrostatické síly, působící na nábojQ, je na křivkách C1, C2, C3 stejná, tj. platí A1 = A2 = A3 = A, kde pro A plyne ze vztahů(1.27), (1.30)

A = Qϕ(M) = 2·10−3 C · 12V = 2,4·10−2 J.

P-1 Jádro atomu sestává z N neutronů a ze Z protonů, kde N je tzv. neutronové číslo a Zprotonové nebo atomové číslo jádra. Pro neutrální molekulu vody určete: 1. Celkový nábojatomových jader obsažených v molekule; 2. Celkovou hmotnost všech elektronů v molekule.P-2 V měděném vodiči se v krystalové mříži, sestávajíoí z iontů Cu, volně pohybují elektronyv počtu rovném počtu iontů. S užitím hodnot MCu = 63,54 kg·kmol−1, ZCu = 29 a hodnotuvedených ve fyzikálních tabulkách určete pro vodič V o hmotnosti m = 100 g: 1. Počet kilomolůmědi vodiče; 2. Průměrnou hmotnost jednoho atomu mědi; 3. Počet volných elektronů ve vodiči


1.2. ELEKTROSTATIKA

V ; 4. Celkový náboj všech atomových jader mědi ve vodiči; 5. Poměrné zmenšení počtu elektronůve vodiči, nabije-li se nábojem Q = 1,00µC.

¡

m,Q

Země

Obrázek 1.64

P-3 Záporně nabité tělísko o náboji Q = 4,00·10−9 C a o hmotnosti m = 1,00·10−2 g se pohybujev evakuovaném prostoru rovnoměrně po vodorovné přímce za současného působení tíhového polea elektrostatického pole. Řešte tyto úkoly: 1. Určete výslednou sílu působící na tělísko; 2. Určeteelektrickou sílu působící na tělísko; 3. Vyslovte definici intenzity elektrického pole ~E a určete ji;4. Vyšetřete, jaké by muselo být ~E, aby se tělísko pohybovalo po uvedené přímce se zrychlením30 m·s−2.P-4 V homogenním elektrickém poli mezi svislými deskami kondenzátoru visí v klidu v rovno-vážné poloze na vlákně o zanedbatelné hmotnosti malá kulička o hmotnosti m = 0,20 g, nabitánábojem Q = −5,0·10−5 C. Vlákno přitom svírá se svislým směrem úhel α = 35 (obr. 1.64).Určete: 1. Výslednou sílu působící na kuličku; 2. Tíhovou sílu působící na kuličku; 3. Sílu, kteroukulička působí na vlákno; 4. Sílu, kterou na kuličku působí elektrické pole; 5. Vektor ~E; 6. Jakby se kulička pohybovala, kdyby se vlákno přetrhlo.P-5 Na lehké tuhé tyči délky l = 2a = 0,2 m se zanedbatelnou hmotností jsou připevněnadvě malá tělíska o hmotnostech m1 = 0,5 g, m2 = 1,0 g, nabitá náboji Q1 = 5,0·10−9 C,Q2 = 1,0·10−9 C (obr. 1.65). Tyč se může otáčet se zanedbatelně malým třením kolem vo-dorovné osy O. Vlivem tíhových sil a sil od homogenního elektrického pole, jehož intenzita ~Emá velikost E = 8,0·105 V·m−1, je tyč v rovnovážné poloze, při níž svírá se svislicí úhel α. Určete:1. Obecné podmínky rovnováhy; 2. Výslednici tíhových sil a jejich otáčivý moment; 3. Výslednicielektrických sil a jejich otáčivý moment; 4. Úhel α; 5. Sílu kterou působí tyč na těleso m1; 6.Sílu, kterou působí tyč na osu.P-6 V bodech A, B, jež jsou od sebe vzdáleny o d = 120 mm, jsou ve vakuu umístěny pevnébodové náboje QA = 2,00µC, QB = 6,00µC (obr. 1.66). Úkoly: 1. Určete intenzitu elektrickéhopole, vytvořeného v bodě B nábojem QA, tj. ~EA(B); 2. Určete ~EB(A); 3. Určete el. sílu, kterápůsobí na náboj QA a el. sílu, která působí na náboj QB. 4. Určete intenzitu el. pole v boděP1, tj. ~E(P1), a v bodě P2, tj. ~E(P2); 5. Určete sílu, která bude působit na volnou částici Co hmotnosti m = 7,50·10−8 kg a náboji Q = −1,50·10−6 C, která se bude pohybovat bodemP1 rychlostí ~v, v = 1,00·103 m·s−1; 6. Určete zrychlení ~a částice C; 7. Určete tečné a normálovézrychlení částice C; 8. Určete polohu středu křivosti trajektorie částice C v bodě P1; 9. Nakresletepřibližně část trajektorie v okolí bodu P1.P-7 Ve vrcholech A, C obdélníka ABCD o stranách a = AB = 100 mm, b = BC = 50 mmjsou bodové elektrické náboje QA = 5·10−9 C, QC = −2·10−9 C. Určete: 1. Elektrickou sílupůsobící na nábojQC . Zakreslete; 2. Intenzitu elektrického pole v boděB. Zakreslete; 3. Intenzituelektrického pole ve středu S obdélníku. Zakreslete; 4. Na přímce jdoucí body A, C určete bodP , v němž je ~E = ~0.P-8 Nekonečně dlouhý válec V1 o poloměru R je rovnoměrně nabit nábojem o objemové hustotě%. Úkoly: 1. Dokažte, že vektor ~E pole, vytvořeného válcem, má radiální směr; 2. Dokažte, že



a

O

¡m ,Q2 2m0

m ,Q1 1

a

Země

~E

Obrázek 1.65

A,QA

B,QBd/2 d/2 d/2

`v

¡=30"P1 P2

Obrázek 1.66

v bodě P vně válce má intenzita velikost E = R2%/2ε0r, kde r je vzdálenost bodu P od osyválce; 3. Dokažte, že uvnitř válce má intenzita velikost E = %r/2ε0; 4. s) Určete ~E vně válcev bodě P1, vzdáleném o r1 = 30 mm od jeho osy, má-li v bodě P2, vzdáleném o r2 = 50 mmod osy, intenzita velikost E = 800 V·m−1; b) Určete %, je-li poloměr válce R = 12 mm (náčrtek;prostudujte R-4).P-9 Dvě velmi velké rovnoběžné desky D1, D2, vzdálené od sebe o d, jsou nabity s plošnýmihustotami nábojů σ1, σ2. Potenciál desky D1 je ϕ = 0 voltů. Sestrojte náčrtek a řešte úkoly:1. S užitím Gaussova zákona dokažte, že deska D1 budí elektrické pole, jehož intenzita máv celém prostoru velikost E1 = |σ1|/2ε0; 2. Určete potenciál pole, buzeného deskou D1, jakofunkci vzdálenosti x od desky. Znázorněte graficky; 3. Určete intenzitu pole ~E, buzeného oběmadeskami v celém prostoru. Předpokládejte přitom, že platí σ1 > σ2 > 0.P-10 Pro elektrické pole, uvedené v příkladu P-7, určete: 1. Minimální práci potřebnou k pře-nesení náboje QC do nekonečna; 2. Elektrický potenciál pole, buzeného nábojem QA, v boděC; 3. Elektrický potenciál výsledného pole v bodě B; 4. Práci, kterou vykonají elektrické sílypůsobící na bodový náboj Q0 = 4·10−5 C při jeho přenesení z bodu B do bodu D.P-11 Elektron vyletěl v evakuované trubici z uzemněné katody rychlostí ~v1 o velikosti v1 =300 m/s směrem k anodě, která byla vzdálena od anody o d = 12,0 mm. Pole mezi katodoua anodou bylo homogenní, jeho intenzita měla velikost E = 2000 V·m−1 a rychlost elektronuběhem pohybu rostla. Předpokládejte, že po hyb byl nerelativistický a řešte úkoly: 1. Náčrtek!Určete vektor ~E a sílu ~F , která působila na elektron; 2. Určete práci, kterou vykonaly elek-trostatická síly působící na elektron na trajektorii mezi katodou a anodou; 3. Určete elektrickoupotenciální energii při dopadu na anodu; 4. Určete potenciál anody; 5. Napište vztah mezi po-tenciální a kinetickou energií elektronu na katodě a anodě; 6. Určete kinetickou energii a rychlostelektronu při dopadu na anodu; 7. Určete hybnost elektronu na začátku a konci dráhy. Vyslovte1. impulzovou větu a určete dobu letu mezi katodou a anodou; 8. Určete potenciální energiielektronu a potenciál pole na celé trajektorii.P-12 Elektron se uvolnil ve vakuovém fotočlánku z uzemněné fotokatody s kinetickou energiíWk1 = 3,1·10−19 J a pohyboval se klesající rychlostí k anodě. Úkoly: 1. Náčrtek! Určete orientacivektoru ~E mezi katodou a anodou; 2. Rychlost dopadu elektronu na anodu je a) 6,0·105 m/sb) 2,0·103 m/s; Určete v obou případech: α) práci vykonanou silami elektrostatického pole; β)potenciální energii elektronu na anodě; γ) potenciál anody; 3. Určete, při jakém potenciálu anodyby na ni elektron dopadl a energií Wk2 = 0,5Wk1; 4. Určete jakou hodnotu musí mít potenciálanody, aby na ni elektron a) dopadl, b) nedopadl. Poznámka: Napětí mezi katodou a anodou,které odpovídá rozhraní mezi oběma stavy, se nazývá „brzdné napětíÿ.P-13 Proton se pohyboval v elektrostatickém poli ve vakuu. Bodem P1 v němž pole mělo poten-


1.2. ELEKTROSTATIKA

ciál ϕ1 = 20 000 V, proletěl rychlostí o velikosti v1 = 5 000 m·s−1. Jakou rychlostí se pohybovalbodem P2, v němž pole mělo potenciál ϕ2 = 15 000 V?

x

P

OR

Q

%l

Obrázek 1.67

P-14 Tenký kruhový prstenec o poloměru R = 50 mm je nabit rovnoměrně rozloženým nábojemQ = 3,5·10−7 C. Zaveďte osu Ox podle obr. 1.67 a určete: 1. Potenciál dϕ pole, buzenéhov obecném bodě P (x) na ose Ox elementárním úsekem prstence délky dl; 2. Potenciál ϕ(x)pole, buzeného v bodě P celým prstencem. Průběh potenciálu na ose Ox znázorněte přibližněgraficky; 3. Směr vektoru ~E na ose Ox. Vektor ~E s užitím vztahu (1.39). Znázorněte průběh ~Expřibližně graficky; 4. Vektor d ~E pole, buzeného v bodě P elementem prstence dl; 5. Vektor ~Ev bodě P jako součet intenzit d ~E. (Náčrtek!)

K

LdKL

P1

P2

Obrázek 1.68

P-15 Na obr. 1.68 jsou v měřítku 1:1 naznačeny elektrické siločáry homogenního pole a bodyP1, P2,K, L, v nichž má pole potenciály, splňující podmínky: ϕ(P1) = 0V, |ϕK − ϕL| = 8000V.V bodě P1 je uvolněn elektron s nulovou rychlostí a začne se pohybovat s rostoucí rych-lostí do bodu P2. Úkoly: 1. Napište obecný vztah mezi intenzitou ~E a potenciálem ϕ. Za-kreslete ekvipotenciální plochy jdoucí body P1, P2,K, L. Určete intenzitu pole ~E a potenciályϕ(K), ϕ(L), ϕ(P2); 2. Určete elektrickou potenciální energii elektronu v bodech P1, P2; 3. Vy-slovte a zapište zákon zachování energie pro elektron pohybující se v elektrostatickém poli. Určetecelkovou energii a kinetickou energii elektronu v bodech P1, P2; 4. Určete hmotnost a rychlostelektronu při jeho průchodu bodem P2.P-16 Vzduchový deskový kondenzátor sestává ze dvou rovnoběžných desek D1, D2, o rozměrech0,2 m × 0,2 m, vzdálených od sebe o d = 2,00 mm. Je nabit na napětí U = 500 V. Deska D1 jeuzemněna. Body O, O′ značí průsečíky osy Ox s deskami D1, D2 (obr. 1.69). Úkoly: 1. Určetepotenciál bodu O′; 2. Vyslovte definici kapacity kondenzátoru, odvoďte obecný vztah pro kapa-citu deskového kondenzátoru a vypočtěte kapacitu kondenzátoru K; 3. Určete plošnou hustotunáboje na obou deskách; 4. Vyslovte definici intenzity ~E mezi deskami a určete ji; 5. Určeteintenzitu ~E a potenciál ϕ v bodech, ležících vně desek na ose Ox v blízkosti bodů O, O′; 6.Dokažte, že v bodech mezi deskami platí E = |σ|/ε0; 7. Určete intenzitu pole, buzeného v okolíbodu O deskou D1; 8. Určete elektrickou energii kondenzátoru a hustotu energie elektrického



da

D2

D1 a

xO O'

Obrázek 1.69

pole mezi deskami; 9. Určete sílu, kterou je deska D1 přitahována k desce D2.P-17 Soustava S1 sestává z n kondenzátorů o kapacitách C1, C2, . . . Cn, spojených podle sche-matu 1.70a a soustava S2 z n kondenzátorů o kapacitách C1, C2, . . . Cn, zapojených podle sche-matu 1.70b. Úkoly: 1. Vyslovte definici kapacity soustav S1, S2; 2. Odvoďte vztah pro výpočet ka-pacity soustavy S1 ze známých kapacit C1, . . . Cn; 3. Nechť náboj kondenzátoru C1 v soustavě S1

je Q1. Určete náboje a napětí všech ostatních kondenzátorů; 4. Nechť soustava S1 je nabita tak,že napětí na svorkách A, B je U . Určete náboj, kterým je soustava nabita (tj.Q1+Q2+. . .+Qn);5. Odvoďte vztah pro výpočet kapacity soustavy S2; 6. Nechť náboj kondenzátoru C2 v sou-stavě S2 je Q2. Určete náboje a napětí všech ostatních kondenzátorů; 7. Nechť soustava S2 jenabita tak, že napětí na svorkách D, E je U . Určete náboj, kterým je soustava nabita (tj.Q1);8. Soustava S3 (obr. 1.70c), kde C1 = C2 = C3 = C4 je nabita na napětí U . Určete její kapacitua náboje a napětí všech kondenzátorů.

C1

C1

C1

C2

C2

C2

C4C3

Cn

Cn

A

BS1

S2

S3

D

E

a)

b)

c)

Obrázek 1.70

P1 `v0

p = 40 mm

o

3 mm

3 mm

Obrázek 1.71

P-18 Mezi rovnoběžné desky kondenzátoru ve vakuu vletěl v bodě P1 elektron, urychlený elek-trostatickým polem napětí 200 V podle obr. 1.71. Na kondenzátoru je stálé napětí 50 V. Určete:Vstupní rychlost elektronu ~v0; 2. Intenzitu ~E mezi deskami; 3. Sílu ~Fe působící na elektron 4.Zrychlení ~a elektronu. Zakreslete; 5. Rovnici trajektorie ve vhodně zvoleném součadném systému.


1.3. USTÁLENÝ ELEKTRICKÝ PROUD

1.3 Ustálený elektrický proud

1.3.1 Ohmův zákon

1.3.1.1 Základní informace

V technické praxi se ze všech elektromagnetických jevů užívá nejčastěji těch, které jsou spo-jeny s pohybem elektricky nabitých částic, tj. s elektrickým proudem. Elektricky nabité částice,krátce „nábojeÿ se přitom mohou pohybovat buď vakuem (elektronky, televizní obrazovky atd.),nebo plynem (elektrické výboje — oblouk, jiskra), kapalinou (elektrolyty), pevnou látkou (kovy,polovodiče). Jejich pohyb nemusí, ale může, být vázán na pohyb látky jako celku (obr. 1.72).Tyto pohybující se náboje nazýváme „elektrický proudÿ.

Pohyb elektrických nábojů charakterizujeme fyzikální veličinou, kterou rovněž nazývámeelektrický proud, nebo krátce proud. Při její definici se vychází z těchto vlastností elektrickýchnábojů a elektromagnetických polí:

1. Přejde-li elektrický náboj Q v elektrostatickém poli z místa o potenciálu ϕ1 na místoo potenciálu ϕ2, vykonají síly elektrostatického pole práci A = Q(ϕ1 − ϕ2). Přejde-linamísto toho náboj Q′ = −Q z potenciálu ϕ2 na potenciál ϕ1, tj. v opačném směru vizobr 1.73a vykoná elektrostatické pole práci A′ = Q′(ϕ2−ϕ1) = −Q(ϕ2−ϕ1) = A, tj. prácistejnou.

2. Náboj Q, pohybující se rychlostí ~v, budí stejné magnetické pole jako náboj Q′ = −Q,pohybující se rychlostí ~v′ = −~v, viz odstavec 1.4.1. Z hlediska energetického a z hlediskavytváření magnetických polí jsou tedy kladné náboje, pohybující se jedním směrem, ekvi-valentní záporným nábojům, pohybujícím se směrem opačným (obr. 1.73b).

polovodič p polovodič n

kov

K

Aelektronka

galvanický článek

elektrický

A Kionty

S1

S2

nekonečnýpás

oblouk

Obrázek 1.72

ç1

ç2

Q,A

Q'= -Q,A'= A

Qv

v = -v'Q'= -Q

a) stejná práce

b) stejné magnetické pole

Obrázek 1.73

1.3.1.2 Definice elektrického proudu I

Prostorem, v němž se pohybují náboje, vedeme plochu S, kterou orientujeme jednotkovou normá-lou ~n, a to libovolně. V obr. 1.72 je naznačena plocha S1, vedená elektrickým obloukem a plochaS2 vedená elektrolytem. Ve vodiči na obr. 1.74 je to např. rovinný řez S obecného směru. Nechť


HRW - Fyzika

HRW 27.5, str. 702

Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se proudu a odporu

HRW - Fyzika

HRW 27.2, str. 694

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/Proud.pdf


během časového intervalu (t, t+ ∆t) projdou ze záporné strany plochy S na kladnou (jakékoliv)částice s celkovým nábojem ∆Q1 a z kladné strany na zápornou částice s celkovým nábojem∆Q2.

Pak elektrický proud In orientovanou plochou S je definován vztahem

In =∆Q1 −∆Q2

∆t=

∆Q

∆t,

definice elektrickéhoproudu

(1.63)

v limitě ∆t→ 0 In =dQ

dt.

[ampér = coulomb·sekunda−1]

¾Q1¾Q2

`n

Obrázek 1.74

Zde je ∆Q = ∆Q1 − ∆Q2 celkový přírůstek náboje na kladné straně plochy (∆Q R 0)a Q = Q(t) je funkce, udávající prošlý náboj v závislosti na čase.Poznámky:1. Proud In, definovaný vztahem (1.63), může být veličina kladná, záporná nebo nulová. Jejíznaménko závisí jak na proudění nábojů, tak na orientaci plochy S.2. Z definičního vztahu je zřejmé, že kladné náboje, pohybující se jedním směrem, přispívajík hodnotě In stejně jako záporné náboje, pohybující se směrem opačným.

Namísto veličiny In se často zavádí veličina I = |In|, která se nazývá rovněž elektrický proud.Je tedy definována vztahem

I =|∆Q|∆t

, (1.64)

v limitě ∆t→ 0 I =

∣∣∣∣dQdt∣∣∣∣ .

Jednotkou proudu je 1 ampér, pro který platí 1 A = 1 coulomb·1 sekunda−1. V jednotkovésoustavě SI je elektrický proud veličina základní. Jeho hlavní jednotka 1 A je definována pomocísilových účinků magnetického pole na proudovodič (odstavec 1.4.2). Pak 1 coulomb je jednotkaodvozená, definovaná vztahem 1 A = 1 A·s. V technicky důležitých případech je elektrický proudvytvářen buď částicemi s náboji stejného znaménka (např. elektrony v kovech) nebo kladnýmia zápornými částicemi, pohybujícími se opačnými směry (např. ionty v elektrolytech). V tomtopřípadě se zavádí pojem směr proudu, a to takto: Vede se rovinná plocha S, kolmá na osuvodiče a orientuje se jednotkovou normálou ~n tak, aby proud In definovaný vztahem (1.63), bylkladný. Pak směr normály ~n udává směr proudu ve vodiči (obr. 1.75). Jsou-li ve vodiči pouzekladné (záporné) volné náboje, je směr proudu totožný (opačný) se směrem jejich pohybu.

`n~ IS

Obrázek 1.75



Vektor proudu ~I . Ve vodičích, v nichž je definován směr proudu, se definuje vektor proudu~I vztahem

~I = I~n, vektor proudu

kde ~n je jednotkový vektor ve směru proudu.Vektor hustoty proudu ~i(nebo hustota proudu) je definován ve vodičích, v nichž je definován vektor ~I, takto: Bodem

P uvnitř vodiče vedeme malou plošku dS, orientovanou stejně jako plocha S (obr. 1.76). Vektorproudu touto ploškou nechť je d~I. Pak vektor hustoty proudu v bodě P je definován vztahem

~i =d~I

dS=

dI

dS~n. definice ~i (1.65)

Je-li vektor ~i ve všech bodech průřezu S stejný, platí zřejmě ~i = ~I/S a velikost i je dánavztahem

i =I

S. velikost vektoru ~i

Z definice ~i plyne [i] = A·m−2.

`n~ I

%~ I ` iP

%S

S

Obrázek 1.76

Proud In, definovaný vztahem (1), se někdy nazývá „proud orientovaným vodičemÿ. Orien-tovaným průřezem vodiče projde za čas dt náboj dQ = Indt. Náboj, prošlý během intervalu(t1, t2), je dán vztahem

Q =

∫ t2

t1

In(t)dt . výpočet náboje z proudu

Je-li I = konst, je Q = In.(t2 − t1).

1.3.1.3 Ustálený elektrický proud

Připojíme-li ke svorkám elektrického zdroje — galvanického článku, akumulátoru, dynama, ter-moelektrického článku atd. — vodiče V1, V2 (libovolně dlouhé), nabijí se působením vnitřníchsil zdroje (obr. 1.77a) tak, že vodič V1 bude mít potenciál anody ϕA a vodič V2 potenciál ka-tody ϕK(ϕk < ϕA). Oba vodiče vytvoří ve svém okolí elektrostatické pole. V jejich vnitřkubude pole nulové. Spínáme-li klíč K, vznikne při přibližování kontaktů mezi nimi mohutné pole(E

.= (ϕA − ϕB)/|∆n|). V posledním okamžiku před spojením přeskočí jiskra. Poté se kontakty

spojí s jejich náboje se vyrovnají. Pole v okolí se změní a tato změna se šíří podél vodiče (i jinýmisměry) rychlostí c

.= 3·108 m·s−1.

V časovém intervalu délky l/c, kde l je délka obvodu, se náboje budou postupně přeskupovatv celém obvodu (i ve zdroji). To je tzv. přechodný děj. Poté se děj ustálí tak, že

1. Rozložení nábojů v celém obvodu se dále nemění;

2. V okolí vodičů i v jejich vnitřku se vytvoří elektrostatické pole;


HRW - Fyzika

HRW 27.3, str. 696


Interaktivní pøíklad na urèení proudu procházejícího vodièem



3. Vlivem tohoto pole bude ve vodičích proud, v němž se vektor hustoty proudu ~i (a tedyi proud I) s časem nemění. Takový proud se nazývá ustálený. Potenciály anody a katodynabudou nových hodnot ϕ1, ϕ2 (obr. 1.77b).

A KçA

ç1

çK

ç2

V2

V1

a)

~ I

b)

Obrázek 1.77

Elektrické pole, náboj a ustálený proud ve vodiči V , který je chemicky a fyzikálně stejnorodý(takový vodič se nazývá homogenní), mají tyto další vlastnosti:

1. Pohyb volných nábojů ve vodiči je zůsoben elektrostatickým polem, buzenýmnáboji rozloženými na vodiči a částecně i na okolních tělese. Toto pole je ve vodiči trvalenenulové, ~E 6= ~0 (obr. 1.78. Je-li vodič V přímočarý a má-li všude týž průřez jev jeho vnitřku pole homogenní, E = konst. Důkaz nebudeme provádět. Odtud plyne,že potenciál pole ve vodiči lineárně klesá od bodu P1 k bodu P2. Proti směru pohybunábojů působí síly odporu, ~F0

2. Náboje vytvářející elektrické pole ve vodiči i v jeho okolí, jsou umístěny pouze na jehopovrchu, vnitřek vodiče je nenabit. Pro vodič, v němž je pole homogenní (obr. 1.78), toplyne z Gaussova zákona užitého na libovolnou uzavřenou plochu (plocha GP v obr. 1.78),nebo tok vektoru ~E touto plochou je pak roven nule. V obecném případě je důkaz složitější.

Elektrický proud I má v každém průřezu vodiče stejnou hodnotu. Kdyby tomutak nebylo, přibývalo by, nebo ubývalo, v některých částech vodiče náboje, což je v rozporus uvedenými experimentálními výsledky.

1.3.1.4 Výkon elektrostatických sil v proudovodiči. Jouleovo teplo

P1P2

ç1

ç >ç >ç1 2

ç2

GP ¾`r

~E V ~F0 ~FeQ(>0)

Obrázek 1.78

V homogenním vodiči V (obr. 1.78) se pohybují kladné náboje vlivem elektrostatické síly~Fe = Q~E směrem klesajícího potenciálu, záporné náboje směrem rostoucího potenciálu. Jejichpotenciální elektrická energie přitom klesá a kinetická roste. Získanou kinetickou energii všakopět ihned ztrácejí při srážkách s molekulami vodiče, které se pohybují s rostoucí energií ko-lem rovnovážných poloh. Vodič se zahřívá. Přírůstek energie tohoto neuspořádaného tepelného


HRW - Fyzika

HRW 27.7, str. 705


pohybu se obvykle nazývá Jouleovo teplo. Děj lze schematicky znázornit takto:

elektrická potenciální energie volných nábojů −→−→ kinetická energie volných nábojů −→−→ energie tepelného pohybu molekul, ohřev

Výsledný účinek srážek a molekulami na volný náboj je takový, jako kdyby na něj působilapři pohybu síla odporu ~F0 (obr. 1.78), úměrná rychlosti pohybu a orientovaná v opačném směrunež rychlost. Volná částice ve vodiči se pohybuje — v prvním přiblížení — jako těleso ve vazkémprostředí. Působí-li na ni elektrická síla, urychlí se a nabude takové rychlosti, že síla odporuvykompensuje sílu elektrickou, takže platí ~Fe + ~F0 = ~0. Při stálém elektrickém poli se částicepohybují stálou rychlostí a ve vodiči je stálý proud. Rychlost tohoto uspořádaného pohybu, tzv.driftová rychlost, se překládá přes rychlost neuspořádaného tepelného pohybu volných částic.Driftová rychlost elektronů v kovu je poměrně malá i při značných proudech, v ∼ 10−1 mm·s−1.

Je-li ve vodiči V (obr. 1.78) proud, konají elektrostatické síly, působící na volné pohybující senáboje, práci, která se určí takto: Během krátkého časového intervalu (t, t+ ∆t) se volná částiceve vodiči posune o úsek ∆~r, takže elektrostatická síla ~Fe, která na ni působí, vykoná práci ∆A =~Fe·∆~r. Celková práce, vykonaná silami elektrostatického pole ve vodiči, je A =

∑ ~Fe·∆~r, kde sesoučet vztahuje na všechny volné částice ve vodiči. Během uvedeného časového intervalu vstoupído vodiče V v místě P1 (obr. 1.78), kde má pole potenciál ϕ1, částice o celkovém náboji ∆Q =I∆t. Jejich potenciální energie je zde ∆We1 = ∆Q.ϕ1. Současně vystoupí z vodiče jiné částiceo celkovém stejném náboji ∆Q v místě P2, kde je jejich potenciální energie ∆We2 = ∆Q.ϕ2.Rozložení nábojů ve vodiči V , potenciál jeho jednotlivých míst a tedy i elektrická potenciálníenergie vodiče jako celku se přitom nezměnily. Elektrostatické síly působící na volné částice tedyvykonaly ve vodiči práci

∆A = ∆We1 −∆We2 = ∆Q(ϕ1 − ϕ2)

Jejich výkon je dán vztahem

P =∆A

∆t= (ϕ1 − ϕ2)

∆Q

∆t= UI.

výkon elektrostatickýchsil v proudovodiči

(1.66)

[watt = volt·ampér]

Ježto tato práce se mění ve vnitřní tepelnou energii vodiče, je dán vztahem (1.66) i výkon,se kterým se v proudovodiči vyvíjí teplo. Rychlost, se kterou se mění teplota vodiče, závisí najeho měrném teplu a na jeho ochlazování.

Mění-li se napětí na svorkách vodiče anebo proud tak, že v každém krátkém časovém intervalu(t, t+∆t) je děj přibližně ustálený, neboli stacionární, nazývá se děj kvasistacionární. Takovýtoděj nastává tehdy, jestliže během intervalu délky τ = l/c, kde l je délka obvodu a c rychlostsvětla ve vakuu, je změna napětí a proudu v obvodu zanedbatelně malá. Proud má v libovolnémokamžiku stejnou hodnotu ve všech průřezech vodiče. Okamžitý výkon elektrostatických sil jeopět dán vztahem (1.66), jejich práce během časového intervalu (t1, t2) vztahem

A =

∫ t2

t1

P (t)dt =

∫ t2

t1

U(t)I(t)dt. (1.67)

Je-li U = konst, I = konst, pak A = UI·(t2 − t1). Při uvedeném ději se vyvíjí ve vodiči Vteplo na účet práce těch sil, jejichž účinkem se v elektrické síti, nebo ve zdroji, k němuž je vodičV připojen, dostávají buď kladné náboje do místa P1, nebo záporné do místa P2, tj. do místavyšší potenciální energie.



1.3.1.5 Ohmův zákon

1. Ohmův zákon v lokálním tvaru Hustota proudu i v určitém bodě P vodiče závisíjednak na silách, které v něm působí na volné náboje, jednak na vlastnostech vodiče, tj. nahustotě volných nábojů atd. Působí-li na volné částice vodičů, kromě síly odporu, pouze sílaelektrická, pak pro velkou skupinu vodičů zvaných ohmické vodiče, platí vztah

~i ∼ ~E , Ohmův zákon v lokálním tvaru (1.68)

kde ~E je intenzita elektrického pole v bodě P . Tento vztah vyjadřuje Ohmův zákon v lokálnímtvaru. (Tento tvar Ohmova zákona se v literatuře většinou označuje, ne příliš vhodně, jako„diferenciálníÿ.)

Veličina, daná poměrem E/i, je u ohmických vodičů závislá jen na vlastnostech vodiče —na jeho chemickém složení a na jeho fyzikálním stavu (teplotě, tlaku atd.). Charakterizuje tedyvodič v určitém stavu, označuje se % a nazývá se měrný odpor vodiče. Měrný odpor je tedydefinován vztahem

% =E

i. definice měrného odporu vodiče (1.69)

[ohm·metr = volt·metr−1/ampér·metr−2]

Ohmův zákon (1.68) lze pak psát ve tvaru

~E = %~i nebo ~i = γ ~E, Ohmův zákon v lokálním tvaru (1.70)

kde γ = %−1 se nazývá měrná vodivost vodiče. Jednotky [%] = V·m−1·A−1·m2 = V·A−1·m =Ω·m, kde jsme označili 1 Ω = 1 ohm = 1 volt·ampér−1.

Měrný odpor různých látek je uveden v tabulkách. Jeho závislost na teplotě lze vyjádřitv určitém teplotním intervalu vztahem

%(t) = %0(1 + α1t+ α2t2 + α3t

3 + . . .),

kde %0 = %(t = 0C) a α1 je teplotní součinitel odporu, [α1] =C−1. V technické praxi jevětšinou dostačují omezit se na první dva členy napravo, tj. psát %(t) = %0(1 +α1t). Veličina α1

je udána v tabulkách. Pro kovy je α1 > 0, pro polovodiče α1 < 0.2. Ohmův zákon (v integrálním tvaru) Ohmův zákon udává vztah mezi napětím dvoumíst vodiče, U = |ϕ1 − ϕ2| a proudem I, který jím prochází (obr. 1.79a).

C

ç1

ç2

I

I

UO

¢

¡

a) b)

1

2

Obrázek 1.79


HRW - Fyzika

HRW 27.5, str. 703


Experimentální výsledky vedou k závěru, že při změně napětí mezi libovolnými dvěma místyohmického vodiče, v němž se pohybují náboje pouze vlivem elektrostatických sil, se mění proudtak, že platí

I ∼ U. Ohmův zákon (1.71)

Tento vztah se nazývá Ohmův zákon. Pro rozlišení od Ohmova zákona v lokálním tvaru seněkdy připojuje „v integrálním tvaruÿ. Veličina, daná vztahem U/I, charakterizující elektrickévlastnosti vodiče mezi místy 1, 2 za daných fyzikálních podmínek, se označuje R a nazývá elek-trický odpor nebo jen odpor nebo také rezistance vodiče. Tedy odpor vodiče je definovánvztahem

R =U

I, definice odporu vodiče (1.72)

[ohm] = volt·ampér−1

takže Ohmův zákon (1.71) lze psát ve tvaru

U = RI. Ohmův zákon (1.73)

Diskuse:1. Vlastním fyzikálním obsahem Ohmova zákona je přímá úměrnost I ∼ U , která platí v jistémrozmezí napětí a proudů pro značnou část technicky důležitých vodičů.2. Jednotkou rezistance je 1 ohm = 1 Ω = 1 V·A−1.3. Veličina G = R−1 se nazývá elektrická vodivost. Platí [G] = Ω−1. Vztah (1.73) lze psát vetvaru I = GU .4. Odpor vodiče závisí na jeho chemickém složení a na jeho fyzikálním stavu. Jeho přibližnázávislost na teplotě je dána vztahem Rt = R0(1 + α1t).5. Lze ukázat, že elektrická síť S sestávající z různé propojených ohmických vodičů, která mádva přívody (póly), podle obr. 1.80a, rovněž splňuje Ohmův zákon.: Označíme-li, U = |ϕ1−ϕ2|a je-li proud v přívodech, platí I ∼ U . Elektrický odpor soustavy je definován vztahem (1.72).Na základě této definice lze dokázat, že např. soustava na obr. 1.80b (seriově spojené vodiče márezistanci R = R1 + R2 a že soustava na obr. 1.80c (paralelně spojené vodiče) má rezistanciR = (R−1

1 +R−12 )−1. Je-li soustava S připojena ke zdroji nebo k jiné síti, lze ji nahradit jediným

vodičem o odporu R, aniž by se proudy, napětí a energetické poměry v síti změnily.S

I

ç1 ç2

R1

R1

R2

R2

a)

b)

c)

Obrázek 1.80



6. Mnoho vodičů nesplňuje Ohmův zákon. vůbec nebo jej splňuje pouze v malém intervaluproudů a napětí, a to pouze přibližně. Zatímco závislost proudu na napětí je u ohmických vodičůlineární a je v diagramu (U , I) znázorněna přímkou (přímka α v obr. 1.79b), je u neohmickýchvodičů znázorněna křivkou. Neohmické vodiče jsou např. elektronky, plynové výbojky, elektrickýoblouk, polovodiče, tranzistory, fotočlánky atd. Význam neohmických vodičů v posledních letechvzrostl. Křivka β v obr. 1.79b, je tzv. voltampérová charakteristika fotodiody.

Vztahy (1.70) a (1.73) jsou ekvivalentní, jeden je důsledkem druhého. Např. ze vztahu (1.70)plyne vztah (1.73) takto: Vodičem na obr. 1.79a, jehož průřez má plošný obsah S a měrný odpor% v různých průřezech různý, veďme křivku C, splývající se siločárou a orientujme ji od bodu 1k bodu 2. Tato orientace nemusí souhlasit s orientací siločáry. Platí (viz rovnice (1.37), (1.70)):

ϕ1 − ϕ2 =

∫ 2

1% ~E.d~r =

∫ 2

1%~i.d~r =

∫ 2

1%~iS

S.d~r =

∫ 2

1

%

S~I.d~r = Is

∫ 2

1

%ds

S. (1.74)

Průmět Is vektoru ~I do integrační křivky C je na s nezávislý. Ze vztahu (1.74) plyne U ∼ I,tj. vztah (1.71). Nadto srovnáním (1.74) a (1.73) dostaneme

R =

∫ 2

1

%(s)ds

S(s). elektrický odbor obecného vodiče (1.75)

Je-li vodič homogenní a má-li všude stejný průřez, redukuje se vztah (1.75) na známý vztahR = %l/S. Ze vztahů (1.74), (1.75) plyne vztah

ϕ1 − ϕ2 = IsR, (1.76)

který se liší od vztahu (1.73) tím, že může platit ϕ1 ≶ ϕ2, Is ≶ 0. Přitom Is je průmět vektoru~I do křivky C, orientované od bodu 1 k bodu 2.

1.3.2 Obvody s elektromotorickým napětím

1.3.2.1 Zdroje napětí a proudu

A K

~Fj

~Fe

çA çK

Obrázek 1.81

Zdrojem napětí nebo zdrojem proudu se označuje každé zařízení, které samovolně udržujedvě svá místa — obvykle svorky zdroje — na různých potenciálech. Všem těmto zdrojům jespolečné to, že vlivem vnitřních dějů, které v nich probíhají, se v nich přesunují náboje z místa,kde mají malou elektrickou potenciální energii, do míst s potenciální energií vyšší. Elektrickápotenciální energie vzrůstá. na úkor energie jiné — chemické, mechanické, tepelné atd., která jeve zdroji, anebo která se musí přivádět buď občas nebo trvale.

Na obr. 1.81 je schematicky znázorněn galvanický článek nebo akumulátor. Při ponořeníelektrody A do elektrolytu vystupují z ní záporné částice nebo do ní z elektrolytu vstupujíkladné. Elektroda A se začne nabíjet kladně a její potenciál roste, elektrolyt v jejím okolí se na-bíjí záporně a jeho potenciál klesá. V tomto procesu roste elektrická potenciální energie systému


Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se elektrických obvodù

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/Obvody.pdf


na úkor energie chemické vazby. Rozdělené náboje vytvářejí kolem sebe pole, které na rozhraníelektroda — elektrolyt zpomaluje uvedený proces, až při jisté hodnotě intenzity ~E nastane dy-namická rovnováha, kdy volné částice v průměru postupují se stejnou pravděpodobností oběmasměry. Analogický proces probíhá v oblasti druhé elektrody označené K, která se nabíjí záporně.V rovnovážném stavu je potenciál ϕA elektrody A, která se nazývá anoda, vyšší než potenciálϕK elektrody K, tj. katody. Ježto na volnou částici o náboji Q působí ve zdroji elektrostatickásíla ~Fe = Q~E a ježto části, že je v rovnovážném stavu v klidu, působí na ni i neelektrostatická,tzv. vtištěná síla ~Fj = − ~Fe. Velikost této síly je dána chemickým složením a fyzikálním sta-vem zdroje a je stálá, nezávislá na tom, zda se volné částice pohybují, tj. zda zdrojem procházíproud. Je příčinou oddálení kladného a záporného náboje. Síla ~Fj , působící na kladné volnénáboje u anody, je zakreslena v obr. 1.81. V rovnovážném stavu je ~Fj + ~Fe = ~0. Vodiče, v nichžpůsobí vtištěné síly, se někdy nazývají nehomogenní vodiče.

Spojíme-li svorky zdroje Z vodičem V (obr. 1.82), vnikne do něho část nábojů ze svoreka elektrostatiaké pole uvnitř zdroje se zeslabí. Intenzita elektrostatického pole ve zdroji poklesnea tím se zmenší elektrická síla ~Fe působící na volné částice, které byly dosud v rovnováze.Výsledná síla na ně působící je pak nenulová a směr síly Fj . Volné částice se tedy začnouve zdroji pohybovat proti směru působení elektrostatických sil, takže jejich polohováelektrická energie roste. Současně na ně začnou působit síly odporu. Děj se v krátké době ustálí:náboje se rozloží ve zdroji i ve vodiči V , který tvoří vnější část obvodu tak, že celým obvodemprochází stálý, s časem neměnný proud.

~Fj

~Fe

~Fe

~F = ~F + ~Fv j e

~Fe

ç'A ç'K

A K~ I

~ IV

Obrázek 1.82

Silové poměry v těch místech zdroje, kde působí vtištěné síly, jsou znázorněny na, obr. 1.82.Potenciály elektrod se změní, nabudou jistých hodnot ϕ′A, ϕ

′B, takových, že platí ϕ′A − ϕ′B <

ϕA−ϕB. Svorkové napětí zdroje tedy poklesne. Energetické poměry uvnitř zdroje: Vtištěné sílyFj konají kladnou práci na úkor vnitřní energie zdroje. Elektrostatické síly míří proti směrupohybu nábojů a konají zápornou práci. Náboje při tom zvyšují svoji elektrickou potenciálníenergii. Síly odporu ~F0 konají zápornou práci. Tím se zvyšuje, podobně jako při tření, energieneuspořádaného tepelného pohybu molekul ve zdroji a vylučuje se Jouleovo teplo. Ve vnějšíčásti obvodu, tj. ve vodiči V , probíhá proces přeměny potenciální elektrické energie nábojův tepelnou energii vodiče, tj. v Jouleovo teplo. Je-li ve vnější části obvodu zařazen kromě rezistorůi spotřebič jiného typu, např. elektromotor, mění se v něm elektrostatická energie, kterou majínáboje na svorkách, v energii magnetickou, mechanickou a v mechanickou práci. Schematickylze přeměny energie v obvodu znázornit takto

• vnitřní energie zdrojů

– elektrostatická energie nábojů na svorkách zdroje-užitečné



∗ tepelná energie ve vnější části obvodu∗ energie magnetického pole cívek motoru∗ mechanická energie rotoru, mechanická práce

– tepelná energie zdroje-ztráty

1.3.2.2 Elektromotorické napětí

Elektromotorické napětí je veličina, která charakterizuje vlastnosti zdrojů proudu. Je definovánatakto: Nechť A(≥ 0) je práce, kterou vykonají vtištěné, tj. neelektrostatické, síly při průchodunáboje Q(> 0) zdrojem z katody na anodu. Pro většinu zdrojů platí A ∼ Q. Veličina A/Q paknezávisí na prošlém náboji, nýbrž jen na vlastnostech zdroje a je pro něj charakteristická. Je jídefinováno elektromotorické napětí zdroje E :

E =A

Q. definice elektromotorického napětí (1.77)

[volt = joule·coulomb−1]

Diskuse:1. Elektromotorické napětí (krátce EN) má stejný rozměr a jednotky jako potenciál a napětí:[E ] = 1 joule·coulomb−1 = volt. Je-li Q = 1 coulomb, je číselně E = A.2. Svorkové napětí U0 zdroje, kterým neprochází proud (např. nezapojeného zdroje) je U0 = E .Důkaz: Ve zdroji, kterým neprochází proud, jsou elektrostatické síly ~Fe a vtištěné síly ~Fjv rovnováze, tj. platí ~Fj = − ~Fe. Je-li K libovolná křivka, vedená a orientovaná vnitřkem zdrojeod katody k anodě a je-li Ee intenzita elektrostatického pole, plyne z definiční rovnice (1.77)

E =A

Q=

∫K~Fj .d~r

Q=−∫K~Fe.d~r

Q= −

∫K

~FeQ.d~r = −

∫K

~Ee.d~r = −(ϕK −ϕA) = ϕA−ϕK = U0,

tj. platí U0 = E . Svorkové napětí rozpojeného zdroje = elektromotorické napětí.Zjistit EN zdroje lze tedy např. změřením jeho svorkového napětí zařízením a metodou, při

níž zdrojem neprochází proud.3. Zdroje elektrické energie se nazývají buď zdroje proudu nebo zdroje napětí nebo zdrojeelektromotorického napětí. Pro krátkost je budeme označovat v dalším ZEN.4. Veličina E , definovaná vztahem (1.77), je vždy nezáporná. Při rozboru elektrických obvodůněkdy není předem známo, kterým směrem vtištěná síly působí. Proto se pojem elektromotoric-kého napětí poněkud zobecňuje a definuje se elekmotorické napětí v orientovaném vodiči,Es: Vodič, v němž působí na volné náboje vtištěná síly, orientujeme libovolné, např. od určitéhobodu P1 k jinému bodu P2. Označíme A1→2 práci vtištěných sil ~Fj působících na náboj Q přijeho přesunutí z P1 do P2 vnitřkem vodiče. Elektromotorická napětí v orientovaném vodiči mezibody P1, P2 je definováno vztahem

Es =A1→2

Q. (1.78)

Definiční vztah (1.78) je formálně shodný se vztahem (1.77). Rozdíl je v tom, že zatím coplatí E ≥ 0, platí pro Es některý ze vztahů εs R 0. Z definic veličin plyne vztah E = |En|.

1.3.2.3 Výkon zdroje elektromotorického napětí

Prochází-li ZEN, připojeným k nějakému spotřebiči nebo k nějaké elektrické síti, ustálený proudI v přirozeném směru, tj. ve směru působení vtištěných sil na kladné náboje, mění se v něm jeho


HRW - Fyzika

HRW 28.2, str. 716


A K

¥I

Obrázek 1.83

vnitřní energie v elektrickou s jistým výkonem P . Během krátkého časového intervalu (t, t+ ∆t)vstoupí z obvodu do katody (obr. 1.83) kladný náboj ∆Q = I∆t a současně vystoupí stejněvelký náboj z anody do obvodu.

Částice, která vstoupí do katody, se během času ∆t přemístí ve zdroji zcela nepatrně a sou-časně s nimi se zcela nepatrně přemístí všechny volné náboje vytvářející proud v celém zdroji(podobně jako kapalina v potrubí). Práce ∆A, kterou vykonají síly ~Fj působící na všechny volnénáboje uvnitř zdroje, je stejná jako práce, kterou by síly ~Fj vykonaly, kdyby prošly jen ty částice,která vstoupily do katody, celým zdrojem a ostatní náboje ve zdroji přitom zůstaly na místě.Z definičního vztahu (1.77) pak plyne.

∆A = E∆Q = EI∆t =⇒ P =∆A

∆t= EI. výkon zdroje (1.79)

[watt = volt·ampér]

Vztah (1.79) udává výkon zdroje v okamžiku t. Jestliže se proud ve vodiči mění, a to takpomalu, že v krátkých časových intervalech je přibližně stacionární (tj. že je kvaziataci-onární), je celková vnitřní energie, uvolněná zdrojem během časového intervalu (t1, t2), dánavztahem

A =

∫ t2

t1

P (t)dt =

∫ t2

t1

EI(t)dt. (1.80)

Je-li I = konst, je A = EI(t2 − t1), což je známý vztah. Prochází-li zdrojem Z proud Iv opačném směru než na obr. 1.83, plyne z úvah, analogických předešlým, pro výkon vztahyP ′ = −EI. Platí tedy P ′ < 0.

Veličina |P ′| je nyní výkon, se kterým se ve zdroji mění jemu dodávaná elektrickáenergie v energii vnitřní (chemickou při nabíjení článku; mechanickou, je-li zdrojem dynamo,které pak pracuje jako motor).

1.3.2.4 Ohmův zákon pro obvod se zdrojem elektromotorického napětí

Ohmův zákon pro vodič s EN udává vztah mezi napětím na jeho svorkách U , jeho odporem R,jeho elektromotorickým napětím E a ustáleným proudem I, který jím prochází (obr. 1.84). Vodičs EN je např. galvanický článek, akumulátor, termočlánek, vodič v proměnném mag-netickém poli (např. sekundár transformátoru), vodič pohybující se v magnetickémpoli (rotor dynama) atd. Následující úvaha, vedoucí k odvození vztahu (1.84), je analogickáúvaze, provedené v předešlém odstavci.

Nechť na volnou částici o náboji Q působí ve vodiči s EN vtištěná síla ~Fj . Přesto, že tatosíla obecně není, ale může být, elektrického původu, platí pro ni ~Fj ∼ Q. Na volný náboj Qpohybující se ve vodiči působí síla odporu a síla daná součtem

~Fe + ~Fj = Q ~Ee +Q~FjQ

= Q ~Ee +Q ~Ej = Q( ~Ee + ~Ej). (1.81)



%s CC C

P1P2~ I

¥ >0s

P1 P2~ I ~Ej

I >0s ¥ >0s

P1 P2~ I ~Ej

I <0s ¥ <0s

P1 P2~ I ~Ej

I <0s

`s `s `s

a) b) c) d)

C C C

Obrázek 1.84

Zde je zavedeno označení ~Ej = ~Fj/Q, což je veličina analogická intenzitě elektrostatickéhopole ~Ee = ~Fe/Q. Veličina ~Ej není obecně elektrického původu a nazývá se obvykle „ekvivalentníintenzitaÿ nebo „intenzita vtištěných silÿ Podle vztahu (1.81) působí na volné náboje ve vodičitaková síla, jako síla od elektrického pole o intenzitě ~E = ~Ee + ~Ej . Podle vzathu (1.70) pakvodičem prochází proud o hustotě ~i, dané vztahem

%~i = ~Ee + ~Ej . Ohmův zákon pro nehomogenní vodič (1.82)

Vztah (1.82) je zobecněním Ohmova zákona pro homogenní vodič (rovnice (1.70)) a nazýváse Ohmův zákon pro nehomogenní vodič v lokálním tvaru. Vedeme-li nehomogennímvodičem křivku C, orientovanou od bodu P1 k bodu P2 (obr. 1.84a), dostaneme∫

C%~i · d~r =

∫C

( ~Ee + ~Ej) · d~r =

∫~Ee · d~r +

∫C

~FjQ· d~s = ϕ1 − ϕ2 +

AsQ

= ϕ1 − ϕ2 + Es (1.83)

Při úpravě jsme užili vztahu (1.37). Význam symbolů: As je práce vtištěné síly při přechodunáboje Q z bodu P1 do bodu P2, dále Es = As/Q je elektromotorické napětí zdroje ve směru ~s.Užijeme-lí vztahu (1.75), dostaneme

ϕ1 − ϕ2 + En = RIs (1.84)

Isje průmět vektoru ~I do směru ~s. Zřejmě může platit kterýkoliv ze vztahů Is R 0, Es R 0,neboť jednak nemusí být směr ~s shodný se směrem otištěných sil, jednak vektor proudu můžebýt orientován opačně než ~s (viz obr. 1.84bcd).

Vztah (1.84) se nejčastěji uvádí pro případ obvodu s jediným zdrojem orientovaným uvnitřod katody k anodě (obr. 1.85a), ve kterém je proud rovněž od katody k anodě.

~ I

~ I

`s

`s

¥

¥

ç1

ç1

ç2

ç2

K Aa)

b)

1

1

2

2

Obrázek 1.85

Pak platí Is = I(> 0), Es = E(> 0) a vztah (1.84) nabude tvaru

ϕ1 − ϕ2 + E = RI.Ohmův zákonpro obvod se zdrojem

(1.85)

Diskuse:1. Vztahy (1.84) a (1.85) jsou zobecněním vztahů (1.76) a (1.73), které z nich vyplývají proEs = 0 a pro E = 0; R je odpor obvodu mezi body 1, 2.



2. Svorkové napětí. Jsou-li body 1, 2 na svorkách zdroje, nazývá se veličina |ϕ1 − ϕ2| svorkovénepětí zdroje. Označíme-li je U , je v případě, naznačeném na obr. 1.85a, U = ϕ2 − ϕ − 1. Zevztahu (1.85) pak plyne

U = E −RI, svorkové napětí zatíženého zdroje (1.86)

takže je U < E . Je-li ve zdroji proud opačného směru (obr. 1.85b), např. při nabíjení aktumu-látoru, platí Es = E > 0, Is = −I < 0, takže vztah (1.84) nabude tvaru ϕ1 − ϕ2 + E = −RI,tj.

U = E +RI, svorkové napětí nabíjeného zdroje (1.87)

kde U = |ϕ1 − ϕ2| = ϕ2 − ϕ1. V tomto případě platí U > E ! Akumulátorová baterie musí býtpři nabíjení připojena ke zdroji o větším svorkovém napětí než je její elektromotorické napětí.Elektrické síly působící na náboje v baterii mají větší velikost než síly vtištěné. Náboje sepohybují ve směru elektrických sil, vtištěně síly konají zápornou práci, baterie energii přijímá(a měni ji v chemickou). Veličina (1.86) a (1.87) se nazyvá vnitřní odpor zdroje a značí seobvykle Ri.

Je-li článek rozpojen, je I = 0 a platí U = E . Má-li zdroj zanedbatelně malý odpor, platíU

.= E .

3. Při schematickém kreslení zdrojů elektromotorického napětí v obvodech se někdy u nichvyznačuje šipkou jejich přirozený směr, tj. směr vtištěných sil působících na kladné náboje(obr. 1.86). Při průchodu proudu zdrojem tímto směrem koná zdroj kladnou práci.

1.3.2.5 Ohmův zákon pro uzavřený obvod

Re

Ri

ç = ç1 2

¥

Obrázek 1.86

Uzavřený obvod (obr. 1.86) lze interpretovat jako otevřený obvod (obr. 1.85a), pro kterýplatí ϕ1 = ϕ2.

Ze vztahu (1.85) plyne

E = RI = (Ri +Re)I, Ohmův zákon pro uzavřený obvod (1.88)

kde Ri je vnitřní odpor a Re je vnější odpor. To Je známý vztah vyjadřující Ohmův zákonpro uzavřený nerozvětvený obvod.

Seriové řazeni zdrojů Je-li v nerozvětveném obvodu zařazeno za sebou několik ZEN (obr. 1.87),platí (viz rovnice (1.74)∫

C%~i.d~r =

∫ A

P1

+

∫ B

A+

∫ P2

B= R1Is +R2Is +R3Is = (R1 +R2 +R3)Is (1.89)

a dále ∫C

~Ej .d ~r =

∫ A

P1

~Ejd~r +

∫ B

A

~Ejd~r = Es1 + Es2 + Es3. (1.90)


HRW - Fyzika

HRW 28.4, str. 716

HRW - Fyzika

HRW 28.3, str. 717


V případě, znázorněném na obr. 1.87, je Es1 = E1, Es2 = −E2, Es3 = E3. Ze vztahu (1.82)dostaneme integrací po křivce C (obr. 1.87 vztah

ϕ1 − ϕ2 + ϕs1 + ϕs2 + ϕs3 = (R1 +R2 +R3)Is (1.91)

neboϕ1 − ϕ2 + E1 − E2 + E3 = (R1 +R− 2 +R3)Is. (1.92)

P1 A,R1 ,R2 ,R3¥1 ¥3¥2

P2B

~ I

C

Obrázek 1.87

Znaménko veličiny Is, tj. i směr proudu, závisí na znaménku levé strany této rovnice. Vztahlze psat v obecném tvaru pro n zdrojů:

ϕ1 − ϕ2 +

n∑k=1

Esk = Is

n∑k=1

Rk. seriové řazení zdrojů (1.93)

Uzavřený nerozvětvený obvod s několika zdroji Spojíme-li v sousavě na obr. 1.87 svorkyP1 a P2, vznikne uzavřený nerozvětvený obvod. Rovnici analogickou rovnici (1.91) dostanemetak, že v ní položíme ϕ1 = ϕ2. Při orientaci naznačené v obr. 1.87 vychází

E1 − E2 + E3 = I(R1 +R2 +R3).

Rovnici pro obecný uzavřený obvod s n zdroji dostaneme analogicky (ϕ1 = ϕ2) z rovnice(1.93).

Rozvětvený obvod Analogickým postupem, tj. integrací vztahu po orientované křivce K(obr. 1.88), dostaneme pro úsek obvodu mezi body AB, v němž se v některých místech, v tzv.uzlech, odvětvují vodiče a jehož jednotlivými. částmi 1, 2, 3 procházejí různé proudy, vztah

ϕA − ϕB +n∑k=1

Esk =n∑k=1

RkIsk. (1.94)

To je nejobecněší vztah, který zde byl dosud uveden. Vyplývají z něho vztahy (1.76), (1.84),(1.88) a (1.93) jako jeho zvláštní případy. Připomenete, že index s značí, že jde o veličiny vztaženék orientovanému obvodu.

B

A1

2

3

Obrázek 1.88



Interaktivní pøíklad na výpoèet napìtí a proudù v elektrickém obvodu

Simulaèní program

Simulace rozvìtveného elektrického obvodu

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/interaktprikl/FyzikaII/priklad-28.html



Kirchhoffovy rovnice Jestliže v síti na obr. 1.88 tvoří úsek AB uzavřený obvod, tj. jestližebody A, B splývají, platí ve vztahu (1.94) ϕA = ϕB. Vzniklá rovnice se nazývá II. Kirchhaffovarovnice (pro uzavřené obvody).

Připomeňme, že I. Kirchhoffova rovnice (pro uzly) vyjadřuje zákon zachování nábojů proelektrické sítě s ustálenými proudy: Označíme-li I1, I2, . . . , In průměty vektorů I1, I2, . . . , In vevětvích setkávajících se v jednom uzlu, přičemž všechny větve jsou orientovány buď jen venz uzlu nebo jen do uzlu, platí

I1 + I2 + . . .+ In = 0

1.3.2.6 Energetické poměry v obvodu stejnosměrného proudu

¥ Ri

Re

~ I

sít

(spotřebič)

1 2

,

Obrázek 1.89

1. Otevřený obvod Zdroj Z nechť je připojen k elektrické síti (např. ke spotřebiči) a nechájím jde proud I v naznačeném směru (obr. 1.89). Vtištěné síly ve zdroji konají kladnou práci.Vnitřní energie zdroje se částečně mění v potenciální energii elektrickou, která se zužitkováváve vnější části obvodu, tj. v připojené síti (spotřebiči), částečně se spotřebuje na vývin teplapřímo ve zdroji. Vztahy pro příslušné výkony plynou ze základního vztahu ϕ1 − ϕ2 + Es = RIs(rovnice (1.84)), kde Es = E , Is = I, R = Ri, ϕ1 < ϕ2. Násobíme-li uvedenou rovnici veličinouI, vychází po úpravě

EI = R1I2 + (ϕ2 − ϕ1)I. (1.95)

Zde je:

1. Pz = EI výkon, se kterým pracuje zdroj, viz rovnice (1.79)

2. Pvnj = (ϕ2−ϕ1)I = UI(> 0) výkon elektrostatických sil ve vnější části obvodu, tj. výkon,se kterým dodává zdroj Z energii do sítě, viz. rovnice (1.66)

3. Pztr = RiI2 je výkon, se kterým se vylučuje teplo ve zdroji, tj. ztrátový výkon. Plyne to

ze vztahu (1.95): RiI2 = Pz − Pvnj a ze zákona zachování energie.

Z uvedeného plyne, že výkon, se kterým se vyvíjí Jouleovo teplo v nehomogenním vodiči (tj.zdroj EN), není dán vztahem (1.66) jako v homogenním vodiči, nýbrž vztahem

P = RI2. Jouleovo teplo (1.96)

[watt = ohm·ampér2]

Tento vztah má obecnou platnost, platí ve všech vodičích.2. Uzavřený obvod Uvažujme uzavřený obvod na obr. 1.89 jako celek a předpokládejme,že v připojené síti není zdroj elektromotorického napětí. Pak platí E = (Ri + Re)I, kde Re jeodpor sítě. Vynásobíme-li opět veličinou I, dostaneme

EI = RiI2 +ReI

2 = RI2. (1.97)


Simulaèní program

Obvody si mù¾ete vyzkou¹et chování obvodù se zdroji, rezistory, kondenzátory a spínaèi


Interaktivní pøíklad na výpoèet napìtí a proudù v elektrickém obvodu




P1 P2

`s

N

A

Obrázek 1.90

3. Nabíjení akumulátoru Akumulátor A o elektromotorickém nepětí E a o vnitřím odporuje připojen ke svorkám nabíjecího zdroje (nabíječky) N tak že platí Pro obvod UN = ϕ2−ϕ1 > ϕobr. 1.90. Pro obvod P1AP2 platí rovnice

ϕ2 − ϕ1 + Es = RIs,

kde Es = −E . Ježto podle předpokladu je UN > E , tj. platí ϕ2 − ϕ1 − E > 0, plyne z uvedenérovnice vztah Is > 0, tj. Is = I. Proud v akumulátoru má opačný směr než vtištěné síly kterétedy konají zápornou práci. Vnitřní energie akumulátoru se tedy zvětšuje. Násobením veličinouI vychází

X Y¥1 ¥2 ¥n,R1

Z1

,R2

Z2

,Rn

```s

¥,R

X

Y

`s

a)

b)

Obrázek 1.91

UNI = EI +RI2,

kde:

• UNI-výkon dodávaný nabíječkou

• EI-výkon, se kterým roste vnitřní energie akumulátoru

• RI2-výkon, se kterým se vylučuje v akumulátoru teplo

1.3.2.7 Příklady — Ustálený elektrický proud

R-1 Zdroj Z1 je tvořen soustavou n baterií o parametrech (Ei, R1), (E2, R2), . . ., (En, R − n),zapojenýoh v serii (obr. 1.91a). Určete: 1. elektromotorické napětí zdroje Z1; 2. vnitřní odporzdroje Z1.

Řešení:

1. E =? Elektromotorické napětí je definováno vztahem (1.77), tj. E = A/Q, kde A je práce,vykonaná neelektrostatickými silami při přenosu náboje Q z bodu X do Y (obr. 1.92a).



A B

R = 50,0 Æ1

R = 200 Æ2

3 S1 S2

2U=1,20 V

1

Z

G

RxIA

S3

a)

b)

Obrázek 1.92

Platí: A = A1 +A2 + . . .+An, kde (podle definice Ek) je Ak = EkQ. Tedy

E =A

Q=A1 +A2 + . . .+An

Q= E1 + E2 + . . .+ En.

2. R =? Podle vztahu (1.84) platí Es +ϕX −ϕY = RIs. Při sériovém zapojení platí E1 + E2 +. . .+ En + ϕX − ϕY = (R1 +R2 + . . .+Rn)Is.

Tedy

R =n∑k=1

Rk.

Jsou-li baterie stejné, je E = n.E1, R = nR1.

R-2 Zdroj Z2 je tvořen soustavou n stejných baterií, z nichž každá má parametry (E1, R1),zařazených paralelně (obr. 1.91b). Určete: 1. elektromotorické napětí zdroje Z2; 2. vnitřní odporzdroje Z2.

Řešení:

1. E =? Podle definice je opět E = A/Q. Projde-li ze svorky X (obr. 1.91b) na svorku Y nábojQ, projde každou baterií náboj Q1 = Q/n a každá baterie vykoná práci A1 = E1 · Q1 =E1Q/n. Celková práce je A = nA1 = E1Q. Tedy E = E1.

2. R =? Podle vztahu (1.84) platí Es+ϕX−ϕY = RIs, kde IS je celkovy proud v orientovanémzdroji. Pro každou baterii platí Es1 + ϕX − ϕY = R1I1s, kde I1s = Is/n. Ježto Es1 = Es,dostaneme srovnáním

R =R1

n



P-1 Galvanoměr G o odporu Rg = 150 Ω ukazuje maximální výchylku při proudu I0 = 2,00 mA.Řešte nejprve obecně, potom číselně, úkoly: 1. Rozhodněte, zda by se galvanoměr poškodil, kdybybyl zapojen do obvodu v místech©1,©2 (obr. 1.92a); 2. Pro zapojení v místě©3: a) vyslovte definiciodporu soustavy S1, b) vypočtéte odpor soustavy S1, c) vyslovte definici odporu soustavy S2

a vypočtěte jej, d) určete proud jdoucí zdrojem a proud jdoucí odporem R2, e) určete nepětí|ϕA − ϕB| při zapojeném galvanoměru, f) určete proud v galvanoměru a rozhodněte, zda sepoškodí; 3. K uvedenému galvagoměru G je připojen podle schematu 1.92b takový odpor Rx, žegalvanoměrem jde proud I0 tehdy, když IA má hodnotu 1,00 A. Úkoly: a) určete Rx, b) určeteodpor soustavy S3 (která tvoří ampérmetr s rozsahem do 1,00 A).P-2 V ohmmetru je zařazen galvanoměr G o odporu Rg = 120 Ω s maximálním proudem Io =6 mA přes reostat V o proměnném odporu ke zdroji Z o svorkovém napětí U = 1,50 V (obr. 1.93).Stupnice galvanoměru je naznačena. Hlavní úkol: Ocejchovat stupnici ohmmetru v ohmech. Nareostatu V je trvale nastaven takový odpor, aby se galvanomér při spojení svorek A,B nakrátkonepoškodil. Po připojení neznámého Rx ke svorkám A,B lze změřit Ig a vypočíst Rx. Stupniceje ocejchována tak, že ke každému dílku Ig je připsána odpovídající hodnota Rx.) Úkoly: 1.Určete odpor R1, který je nutno nastavit na reostatu V , aby při spojení svorek A, B nakrátkoprocházel ohmmetrem proud I0; 2. Určete, jaký bude při nastaveném odporu R1 na reostatu Vprocházet galvanoměrem proud, je-li ke svorkám A, B připojen vodič o odporu Rx = 500 Ω; 3.Určete Rx, je-li Ig rovno a) 5 mA, b) 4 mA; 4. Ocejchujte stupnici v ohmech.

G

Rx

A

B

Z

V

0 1 2 3 4 5 6 (mA)

Obrázek 1.93

P-3 Měření odporu. Odpor vodiče a se často měří s užitím definičního vztahu Rx = Ux/Ix,kde Ux je napětí na svorkách vodiče x a Ix je proud jím procházející. Měření se provádí buďv zapojení 1.94a a nebo v zapojení 1.94b tak, že se měří současně proud a napětí. Nechť odporvoltmetru je RV , odpor ampérmetru RA a nechť naměřené údaje jsou UV , IA. Hlavní úkol:stanovit podmínky, za nichž platí přibližně Rx

.= Ux/IA. Úkoly:

I. pro zapojení a): 1. Ampérmetr (měří-neměří) proud ve vodiči x; 2. Voltmetr (měří —neměří) napětí na vodiči x; 3. Určete fyzikální význam veličiny R = Uv/IA; 4. Dokažte, žeplatí

Rx =Uv

IA − UVRV

;

5. Vyvoďte závěr pro požadované vlastnosti voltmetru a ampérmetru pro měření v zapojenía).

II. pro zapojení b): 1., 2., 3.-stejné úkoly jako v bodě I.; 4. Dokažte, že platí

Rx =UVIA−RA;

5. Vyvoďte závěry pro požadované vlastnosti voltmetru a ampérmetru pro měření v zapo-jení b).



V

Rx xRx

R ,UV V

VR ,UV V

R ,IA A

R ,IA A

S

A A

S'

a) b)

Obrázek 1.94

P-4 Měření napětí. V obvodu na obr. 1.95a je zapojena baterie s elektromotorickým napětímE .

= 5,9 V a s vnitřním odporem R0 = 0,01 Ω a vodiče o odporech R1 = 4 000Ω, R2 = 1 500 Ω.Galvanoměr G na obr. 1.95b má parametry Rg = 270 Ω, proud při maximální výchylce I0 =1 mA. Úkoly: 1. Určete napětí na svorkách A, B; 2. Určete hodnotu Rx předřadného odporu x(obr. 1.95b) tak, aby takto vzniklým voltmetrem V bylo možno měřit napětí na svorkách zdrojei na svorkách odporů R1, R2; 3. Voltmetrem V měříme napětí na svorkách A,B. Vypočtětenaměřenou hodnotu; 4. Navrhněte schéma voltmetru s měnitelnými rozsahy 1,2 V; 3 V; 6 V;12 V, s užitím galvanoměru G; 5. Řešte úkoly 1, 3 pro případ, že odpory vodičů zapojenýchv obvodu jsou R′1 = 40 000 Ω R′2 = 15 000 Ω.

A BR1 R2

Gx

V

a)

b)

Obrázek 1.95

P-5 Ke zdroji Z o parametrech E = 0,62 V a Ri = 0,40 Ω je zapojen vodič s proměnnýmodporem R (obr. 1.96). Úkoly: 1. Určete svorkové napětí U0 zdroje jako funkci odporu R; 2. Prohodnotu R = 1,60 Ω určete proud a svorkové napětí; 3. Určete tu hodnotu vnějšího odporu, proníž svorkové napětí bude mít hodnotu Us = 0,40 V; 4. Určete a) výkon Pz, se kterým pracujezdroj, b) výkon Pt, se kterým se vylučuje v obvodu teplo a c) výkon Pu, který spotřebuje vodičR, a to vše jako funkci odporu R; 5. Vyšetřete průběh funkce Pu a znázorněte ji (přibližně)graficky; 6. Dokažte, že Pu nabývá největší hodnoty pro R = Ri, tj. že: zdroj dodává dospotřebiče energii s nevětším výkonem, je-li odpor spotřebiče roven odporu zdroje:7. Pro R = Ri srovnejte Pu s Pz.

ç2 ç1

¥ Ri

R

`s

Obrázek 1.96

P-6 Zdroj Z má neznámé elektromotorické nepětí a neznámý vnitřní odpor Ro. Zapojíme-li



k němu vodič V1 0 odporu R1 = 2,0 Ω, bude jím procházet proud I1 = 4,1 A. Při zapojení vodičeV2 o odporu R2 = 5,4 Ω jím bude procházet proud I2 = 1,9 A. Nakreslete schéma a určete: 1.Ro: 2.E ; 3. Svorkové napětí zdroje při zapojeném odporu V1; 4. Maximální proud, který lze zezdroje odebírat.P-7 Baterie B1(E1 = 6,2 V; R1 = 0,20 Ω), B2(E2 = 12,1 V; R2 = 0,30 Ω), odpor R3 = 1,4 Ωa kondenzátory C1 = 5,0µF, C2 = 8,0µF, C3 = 3,7µF jsou zařazeny podle obr. 1.97. Celá síť jev ustáleném stavu, tj. proudy jsou stálé. Pro rozpojený klíč K určete: 1. Proudy v jednotlivýchčástech obvodu; 2. Potenciály bodů X, Y , Z, L; 3. Náboje na deskách D1, D2, D3; 4. Energiikondenzátorů; 5. Řešte úkoly 1, 2 pro spojený klíč K. Odpor spojovacích vodičů je zanedbatelný.

¥ ,R1 1

¥ ,R2 2

R3

C1

C2

D1

D2

C3

D3

LKX

Y Z

Obrázek 1.97

C

¥1

¥2

¥3

R1

R2

R3

A

D

B

Obrázek 1.98

P-8 V obvodě na obr. 1.98 je E1 = 2,0 V, E2 = 5,0 V,E3 = 3,0 V R1 = 5,0 Ω, R2 = 6 Ω. Vnitřníodpor baterií je zanedbatelně malý. Klíč K je rozpojen. Určete: 1. I3; 2. a) UAB = ϕA − ϕB b)UAC , c) UBC d)UBD.

A

R3 R4

¥ ,R1 1

¥ ,R2 2

C

B

D

Obrázek 1.99

P-9 V obvodě na obr. 1.99 je E0 = 6,0 V; R1 = 0,50 Ω; E2 = 4,5 V;R2 = 1,0 Ω; R3 = 1,4 Ω;R4 = 3,8 Ω. Určete: 1. Proud v obvodě; 2. Napětí a) UAB = ϕA−ϕB, b) UCD, c) UAD, d) UBD;3. Výkon, se kterým pracuje zdroj a) Z1, b) Z2; 4. Výkon, který dodává do obvodu zdroj Z1.P-10 Elektrický spotřebič S s údaji 6 V, 30 W má být zapojen tak, aby pracoval při uvedenýchhodnotách. Jako zdroje lze užít několika stejných baterií s parametry E = 6,1 V; Ri = 0,70 Ω.K dispozici je reostat e proměnným odporem. Předpokládejte, že odpor spotřebiče nezávisí naproudu, který jím prochází a řešte úkoly: 1:. Spotřebič je připojen k jedné baterii. Určete a)proud, b) svorkové napětí a c) výkon spotřebovaný v S. Dále určete d) výkon zdroje a e)výkon, se kterým se v něm vylučuje teplo. Rozhodněte, zda lze úkol splnit s užitím jedné baterie(schéma!); 2. Dokažte, že úkol lze splnit s užitím tří baterií. Nakreslete schéma a určete hodnotuodporu Rx, který je nutno do obvodu zařadit.


1.4. ČASOVĚ NEMĚNNÉ MAGNETICKÉ POLE

1.4 Časově neměnné magnetické pole

1.4.1 Magnetické pole vodičů

1.4.1.1 Základní vlastnosti magnetického pole

Magnetické pole (srov. odstavec 1.1.3) je buzeno permanentními magnety, elektromagnety, vo-diči, kterými prochází elektrický proud, elementárními částicemi atd. Existence magnetickéhopole se projevuje zejména tím, že:

1. Pole působí silami a otáčivými momenty na zmagnetovaná tělesa (např. na magnetickoustřelku), na nezmagnetované látky (např. na ocelový předmět; poznamenejme, že původněnezmagnetovaná látka se v magnetickém poli, do něhož je vložena, zmagnetuje), dále napohybující se nabité částice, na proudovodiče atd.

energie

energie

energieenergie

ää

energie

%s~B

Obrázek 1.100

2. V uzavřených obvodech, které se pohybují v magnetických polích nebo které jsou v pro-měnných magnetických polích, vznikají elektrické proudy, nazvané „indukovanéÿ (např.v cívce rotoru elektrického generátoru nebo v sekundární cívce transformátoru). V neuza-vřených (tj. rozpojených) obvodech se účinkem proměnného magnetického pole přeskupujía hromadí náboje a vytvářejí kolem sebe elektrické pole. Toto pole může být tak mohutné,že dojde k průrazu okolního dielektrika a k elektrickému výboji (např. přeskok jiskry vesvíčce motoru). Magnetické pole, podobně jako elektrické, má energii a hybnost a může jipředávat nebo odnímat tělesům (viz obr. 1.100). Je charakterizováno vektorem magnetickéindukce ~B , který je definován vztahy (1.7). Základní zákon, vyjadřující jeho silové účinky,je vyjádřen vztahem (1.8), tj. vztahem

~FL = Q(~v × ~B). (1.98)

Tento vztah udává tzv. Lorentzovu sílu, tj. sílu, kterou působí magnetické pole o indukci ~Bna elektricky nabitou částici o náboji Q, pohybující se rychlostí ~v.

Magnetické pole se často znázorňuje magnetickými indukčními čarami . Jsou to orien-tované křivky, jejichž směr a orientace v každém bodě souhlasí se směrem a orientací vektoru~B. Je-li d~s element indukční čáry v obecném bodě P a je-li ~B(P ) vektor magnetické indukcev tomtéž bodě, platí d~s ↑↑ ~B (obr. 1.100). Výsledky experimentů vedou k závěru, že na rozdílod elektrických siločar jsou magnetické indukční čáry vždy uzavřené.


HRW - Fyzika

HRW 29, str. 2,745

HRW - Fyzika

HRW 29.2, str. 746


Zvláštním případem elektromagnetického, respektive magnetického, pole je časové neměnnémagnetické, tzv. magnetostatické, pole. Může být buzeno (v určité vztažné soustavě) klidnýmimagnety (tj. zmagnetovanými látkami) nebo proudovodiči, v nichž je stálý, tj. časově neměnný,proud.

Zákonitosti buzení magnetického pole elektrickými proudy lze buď zjistit experimentálněa interpretovat je jako nové, na dosud známých zákonech elektromagnetismu nezávislé, přírodnízákony, nebo je lze odvodit ze základních zákonů elektrostatiky s užitím transformačních rovnicteorie relativity. Z hlediska teorie relativity je „vyvozováníÿ zákonů buzení magnetického poleelektrickými proudy na základě experimentů přinejmenším zbytečné.

Proto v tomto textu užijeme postupu vycházejícího z výsledků teorie relativity. Přitom všakz teorie relativity užijeme pouze dvou velmi obecných a přitom jednoduchých vztahů (1.104),které uvedeme bez důkazu, tj. předkládáme je čtenáři k věření. Domníváme se, že čtenář přitomto postupu získá lepší představu o vlastnostech elektromagnetického pole, než když se mupředloží k věření výsledky pokusu, platné jen pro zcela určitou, zvláštní, fyzikální situaci.

Základní vztahy pro určení vektoru ~B (rovnice (1.106), (1.111)) jsou tedy odvozeny teoretickyjako důsledek zákonů, které čtenář již zná. Pro pochopení tohoto odvození je velmi důležitédůkladně prostudovat následující odstavec.

1.4.1.2 Relativnost elektromagnetického pole

Elektromagnetické pole má tuto velmi důležitou vlastnost: Jestliže je v nějaké vztažné soustavěS1 vytvořeno (libovolnými zdroji) elektromagnetické pole, charakterizovaná v obecném boděprostoru vektory ~E1, ~E2, pak v jiné vztažné soustavě S2, které se vzhledem k soustavě S1 pohy-buje, je toto pole v tomtéž bodě prostoru charakterizováno vektory ~E2, ~B2, která obecně nejsoushodné s vektory ~E1, ~B1 tj. pro něž platí

~E2 6= ~E1, ~B2 6= ~B1. (1.99)

~B

Q

ù~FL

P

N

S

M

z1

x1

y1O1

a) b)

z2

x2

y2O2

ù

`v = -ù

~E = ~O, ~B è ~O1 1~E è ~O, ~B è ~O2 2

Obrázek 1.101

To značí, že totéž pole je v různých vztažných soustavách charakterizováno různýmivektory ~E, ~B. Odtud plyne, že elektrické siločáry i indukční čáry maji v různých vztažných sou-stavách (obecně) různý tvar. Tato vlastnost elektromagnetického pole se nazývá jeho relativnost.Ukážeme to na příkladě.



Buzení elektrického pole magnetem Relativnost elektromagnetického pole lze ukázat najednoduchém příkladě: Nechť v inerciální vztažné soustavě S1(01x1y1z1) je vytvořeno klidnýmpermanentním magnetem M (obr. 1.101a) magnetické pole, tj. elektromagnetické pole o vekto-rech ~E1 = ~0, ~B1 6= O. V obr. 1.101 jsou zakresleny indukční čáry v soustavě S1. Bodem P nechťse pohybuje nabitá částice o náboji Q rychlostí ~u, u c, kde c je rychlost světla ve vakuu.Na částici působí Lorentzova (tj. magnetická) síla ~FL = Q(~u × ~B1). Totéž pole a tentýž jevlze popsat ve vztažné soustavě S2(02x2y2z2) která se pohybuje vzhledem k soustavě S1 stálourychlostí ~u, takto (obr. 1.101b): Částice má v soustavě S2 nulovou rychlost. Působí na ni síla~F2 6= ~FL, která je podle klasické mechaniky rovna síle, která na ni působí v soustavě S1, tj. síle~FL.

Podle teorie relativity sice je avšak pro u c jsou obě síly velmi přibližně rovny, tj. platí~FL

.= ~FL. Síla ~FL v soustavě S1 je magnetického původu, síla ~F2 v soustavě S2 však nemůže být

magnetického původu, neboť magnetická pole na klidnou částici nepůsobí. Ježto ji však vyvozujeelektromagnetické pole vytvořené magnetem, je síla ~F2 v soustavě S2 elektrického původu. Toznačí: pole vytvořené v soustavě S2 magnetem M má nenulovou elektrickou složku.Pohybující se magnet vytváří i elektrické pole! Elektrická intenzita ~E2 v bodě P je, podledefinice, dána vztahem ~E2 = síla/náboj. Ježto náboj částice je podle zákona invariace náboje,v soustavě S2 a v soustavě S1 stejný, dostaneme

~E2 =~F2

Q

.=

~FLQ

=Q(~u× ~B1)

Q= ~u× ~B1 = −~v × ~B1, (1.100)

kde ~v(= −~u) je rychlost soustavy S1 vzhledem k soustavě S2. Magnetická složka pole v soustavěS2 je, charakterizována vektorem ~B2. Z teorie relativity plyne, ze pro u c platí ~B2

.= ~B1.

Odtud a ze vztahu (2) plyne výsledek:

v klidu

S1

S2

ù

~E1

P

Q

~E è ~O, ~B = ~O1 1

S v pohybu2

a)

S i Q v pohybu1

S1

S2~E2

P

Q

2~E é ~E , ~B = (`vÐ~E )/c1 2 2 2

S v klidu2

b)`v = -ù

~B2

`v

Obrázek 1.102

Nechť v inerciální vztažná soustavě S1 je vytvořeno magnetické pole (tj. speciální elektro-magnetické pole) charakterizovaná vektory

~E1 = ~0, ~B1 6= ~0 (1.101)

Nechť soustava S1 se pohybuje stálou rychlostí ~v(v c) vzhledem ke vztažná soustavě S2.Pak v soustavě S2 má uvedená pole i elektrickou složku. Vektory pole ~E2, ~B2 jsou dány vztahy

~E2 = −~v × ~B2, ~B2.= ~B1.

magnetické pole →→ elektromagnetické pole

(1.102)

[V·m−1 = m·s−1·T]

Hlavní výsledek: Zdroj, který v klidu vytvoří jen magnetické pole, budí při pohybui pole elektrické. Vznik elektrického pole v okolí pohybujících se zdrojů magnetickéhopole je jeden z jevů, které se nazývají „elektromagnetická indukceÿ (viz odst 1.5.1).



Buzení magnetického pole elektrickými náboji Ukázali jsme, že pohybující se magnetbudí i elektrické pole. Naopak však také pohybující se elektrický náboj budí i pole magnetická.Tento jev, v jistém smyslu doplňkový k předešlému, je nutno v rámci klasické teorie elektromag-netismu považovat za nový experimentální fakt. Z hlediska teorie relativity je to však teoretickývýsledek, který plyne z relativistických rovnic elektromagnetickáho pole. Zní takto:

Nechť v inerciální vztažné soustavě S1 je vytvořeno elektrostatické pole, (tj. speciální elek-tromagnetická pole), charakterizovaná vektory

~E1 6= ~0, ~B1 = ~0 (1.103)

Nechť soustava S1 se pohybuje stálou rychlostí ~v (v c) vzhledem k soustavě S2 (obr. 1.102ab).Pak v soustavě S2 má uvedené pole i magnetickou složku. Vektory pole ~E2, ~B2 jsou dány vztahy

~E2.= ~E1, ~B2 =

1

e2(~v × ~E2). elektrostatické pole → elektromagnetické pole (1.104)

Hlavní výsledek : Zdroj, který v klidu vytváří jen elektrická pole, budí při pohybui pole magnetické.

Buzení magnetického pole pohybujícími se náboji je všeobecně známo a bohatě se ho využívá.Je fyzikální podstatou vzniku magnetického pole v okolí proudovodičů — cívek atd., v nichžprochází proud.

1.4.1.3 Elektromagnetické pole buzené rovnoměrně se pohybujícím bodovým ná-bojem

Elektromagnetické pole, buzené v inerciální vztažné soustavě S bodovou částicí o náboji Q,pohybující se stálou rychlostí ~v (v c) (obr. 1.103), je charakterizováno vektory ~E, ~B, které seurčí s užitím vztahů (1.104).

SS1

O

`v

Q

P ~E1

`r0~B = ~O1

Obrázek 1.103

Ve vztažné soustavě S1, spojené s částicí (4) je částice v klidu a vytváří v ní elektrostaticképole. Soustava S1 je rovněž inerciální s vektory pole ~E1, ~E2 jsou v ní dány v obecném bodě Pvztahy

~E1 =Q

4πε0r2~r0, ~B1 = ~0,

kde r = | ~01P |. V soustavě S je toto pole obecné elektromagnetické a jeho vektory ~E, ~B jsoudány obecnými vztahy (6), ze kterých plyne

~E.=

Q

4πε0r2~r0, (1.105)

~B =1

c2(~v × ~E) =

1

4πε0c2

Q(~v × ~r0)

r2=µ0

4π

Q(~v × ~r0)

r2, (1.106)



Pr

d

Obrázek 1.104

[T = H·m−1·C·m·s−1·m−2]

kde je zavedeno označení µ0 = 1/(ε0c2).

Vztah (1.105) platí pouze přibližně. Vyjadřuje, že elektrické pole bodového náboje, pohy-bujícího se stálou rychlostí ~v(v c), je velmi přibližné stejné jako elektrické pole klidnéhonáboje.

Vztah (1.106) udává vektor magnetické indukce pole, buzeného v bodě P bodovým nábojempohybujícím se stálou rychlostí ~v(v c). Jeho diskusi provedeme současně s diskusí vztahu(1.111).

Veličina µ0 se nazývá permeabilita vakua a její hodnota je (viz odstavec 1.4.2)

µ0 = 4π·10−7tesla·coulomb−1·metr·sekunda = 4π·10−7henry·metr−1,

kde 1 henry je jednotka indukčnosti (viz odstavec 1.5.1 — odvození vztahu [µ0] = H·m−1).

1.4.1.4 Magnetické pole lineárního proudovodiče

1

23

45

%l

P

~B

%α

V

%~B1

%~B2

%~B3

Obrázek 1.105

Prochází-li vodičem proud, vytváří každá nabitá částice, která se v něm pohybuje, magneticképole v okolí vodiče i v jeho vnitřku a všechna tato pole se překládají (superponují). Je-li ~Biindukce magnetického pole, vytvořeného i-tým nábojem, je indukce výsledného magnetickéhopole ~B rovna součtu ~B =

∑ ~Bi. Nejběžnějšími z užívaných vodičů jsou vodiče lineární, tj. takové,jejichž příčné rozměry lze v uvažované situaci zanedbat a jež je pak možno považovat za lineárníútvary. Např. vodič na obr. 1.104 je lineární, zkoumáme-li jeho pole v bodě P , pro který platír d.

Magnetické pole obecného lineárního vodiče V (obr. 1.105) v bodě P lze určit tak, že sevodič V rozdělí na velmi malé úseky, jejichž délky dl jsou malé, že:

a) každý úsek je (přibližně) přímočarý, b) úhel dα je tak malý, že platí dα l. Takovýmalý úsek, kterým prochází proud, se nazývá (lineární) proudový element. Označíme-lid ~Bi indukci magnetického pole, buzeného v bodě P i-tým proudovým elementem, je indukce



magnetického pole ~E P vodičem V , dána vztahem

~B =n∑i=1

d ~Bi. (1.107)

1.4.1.5 Magnetické pole lineárního proudového elementu (Biotův-Savartův-Lap-laceův zákon)

%lÌ

Pr0α

r

a)

Pr0

ri

b)vi

qi

S

v v %t

S

c)

Obrázek 1.106

Lineární proudový element je charakterizován buď vektorem proudu ~I a svojí délkou dl neboproudem I = |~I|) a vektorem d~l(d~l ↑↑ ~I, |d~l| = dl) (obr. 1.106a). Pohyblivé nabité částice,vytvářející v něm elektrický proud, vykonávají dvojí pohyb:

a) tepelný, který je neuspořádaný a jehož rychlost se mění velmi rychle, náhodné a u různýchčástic různě,

b) uspořádaný, který má za následek pohyb náboje na makroskopické vzdálenosti, tj. průchodproudu.

Okamžitá rychlost i-té částice, ~Vi, je dána součtem ~Vi = ~Vti + ~vi, kde ~Vti je okamžitá rychlosttepelného pohybu a ~vi rychlost uspořádaného pohybu, tj. je rychlost driftová, která je v elementupro všechny částice stejného typu stejná a která se při ustáleném proudu s časem nemění.

Magnetické pole, buzené i-tou částicí o náboji qi v obecném bodě P (obr. 1.106b), má vektor~Bi daný vztahem

~Bi =µ0

4π

qi[( ~vit + ~vi)× ~r0i ]

r2i

=µ0

4π

qi( ~vit × ~r0i )

r2i

+µ0

4π

qi(~vi × ~r0i )

r2i

,

kde význam veličin ~r0i , ri je zřejmý. Indukce magnetického pole buzeného celým elementem v bodě

P je

d ~B =

dn∑i=1

~Bi =

dn∑i=1

µ0

4π

qi(~vi × ~r0i )

r2i

, (1.108)

kde dn je celkový počet částic v elementu. V tomto vztahu se již nevyskytují členy obsahující ~vit,nebo vzhledem k náhodnosti veličiny ~vit je jejich součet roven nule. V dalším pro jednoduchostpředpokládejme že proud je vytvořen kladně nabitými částicemi stejného druhu o náboji q(> O)


HRW - Fyzika

HRW 30.1, str. 774


a o rychlosti ~v. Označíme-li n0 počet těchto nábojů v elementu dělený jeho objemem (tj. početnábojů v objemové jednotce) a S plošný obsah průřezu elementu, plyne z rovnice (1.108)

d ~B = dn· µ0

4πr2q(~v × ~r0) = S·dl·n0

µ0

4πr2q(~v × ~r0) =

µ0

4πr2n0Svq(d~l × ~r0). (1.109)

jedna z indukčních čar

αI,%l`0r %~B

0%lÐr `

r

P

Obrázek 1.107

Význam veličiny dané součinem n0Svq: za krátkou dobu dt vyplní ty částice které projdouprůřezem elementu, objem Svdt (obr. 1.106c). Jejich počet je Svdt·n0 a jejich náboj dQ =S·vdtnoq. Odtud plyne

n0Svq =dQ

dt= I. (1.110)

Dosazením do vztahu (1.109) dostaneme

d ~B =µ0

4π

I(d~l × ~r0)

r2. Biotův-Savartův zákon (1.111)

[T = H·m−1·A·m·m−2]

Tento vztah, který udává indukci magnetického pole buzeného lineárním proudovým elemen-tem v bodě P , se nazývá Biotův-Savartův(-Laplaceův zákon).Diskuse:

Diskuse vztahů (1.111), (1.117) — (důležité) 1. Vztah (1.111), respektive (1.106), udává vek-tor d ~B (resp. ~B) pole, buzeného v bodě P elementárním proudovodičem (obr. 1.107), respektivepohybující se nabitou částicí (obr. 1.108). Tyto vztahy mají velmi podobný tvar, jeden přecházív druhý záměnou d ~B ↔ ~B, I ↔ Q, d~l↔ ~v.2. Směr vektoru d ~B( ~B) je kolmý na rovinu danou bodem P a vektorem d~l(~v). Jeho orientace,daná vektorem (d~l × ~r0) [Q(~v × ~B)], je zřejmá z obr. 1.107 (1.108).

Pro snadnější zapamatování směru vektoru se někdy vyslovuje tzv, pravidlo pravé ruky(obr. 1.109) nebo pravidlo pravotočivého šroubu (obr. 1.110). Na obr. 1.111 je zakresleno několikmagnetických indukčních čar pole buzeného elementárním proudovodičem (nebo letící kladněnabitou částicí).3. Velikost vektoru d ~B( ~B). Ze vztahů (1.111) a (1.106) plyne

dB =µ0

4π

Idl sinα

r2(1.112)

B =µ0

4π

|Q| sinαr2

(1.113)

Jednotky: dB − tesla; I − ampér; dl, r−metr atd. Všimněme si závislosti dB ∼ 1/r2, dB ∼sinα (pro α = 0, 180 je dB = 0, pro α = 90 je dB maximální).



¡`v

Q0

`r

~B (pro Q <0)

~B (pro Q > 0)

~E (pro Q > 0)

0vÐr P

2~B = (vÐ~E)/c

Obrázek 1.108

%~B

P

I %l`

směr proudu

mag. indukčníčára

Obrázek 1.109

1.4.1.6 Magnetické pole vytvořené přímočarým lineárním vodičem a lineárním vo-dičem kruhového tvaru

1. Přímočarý vodič Vektor ~B magnetického pole, buzeného v obecném bodě P vodičemA1A2, jímž prochází proud I (obr. 1.112), je dán vztahem (1.107), kde d ~Bi jsou vektory polí,buzených v bodě P jednotlivými elementárními vodiči. Z obr. 1.112 je zřejmé, že všechny vektorydBi v bodě P mají stejný směr, takže kromě obecně platného vztahu (1.107) platí i vztah provelikosti

B =∑

dBi (1.114)

Vektory d ~Bi jsou dány vztahem (1.111), jejich velikost vztahem (1.112). Veličiny r, α jsou prorůzné elementy vodiče A1A2 různé. Aby bylo možno vypočíst součet (1.114) integrací, vyjádřímevzdálenost r pomocí úhlu α a veličinu dl pomocí dα, a to s užitím vztahů plynoucích z obr. 1.112:h = r· sinα, dl· sinα = rdα. Vychází

dB =µ0

4π

Idl· sinαr2

=µ0

4π

Isinαdα

h.

P

%~B

I%l`

Obrázek 1.110

I %l`

Obrázek 1.111

Integrál, vyjadřující součet (1.114), má pak tvar

B =

∫ α′1

α1

µ0

4π

I sinα

hdα =

µ0I

4πh(cosα1 + cosα2), pole konečného vodiče (1.115)


HRW - Fyzika

HRW 30.1, str. 775


kde α2 = π − α′1 (viz obr. 1.112). Pro nekonečný vodič (A1 → ∞, A2 → ∞, α1 → 0, α2 → 0odtud plyne

B =µ0I

2πh. pole nekonečného vodiče (1.116)

~B

%~BiP

%l`

h

I

A1

A2

indukční čára

α1'

¡2

¡1

%l sin α

α

r

%α

Obrázek 1.112

I

l

~B

C

P

%~Bi

%l`

α=90"

Ro

Obrázek 1.113

Směr a orientace vektoru ~B je zřejmá z obr. 1.112 (pravidlo pravé ruky nebo pravidlo pra-votočivého šroubu). Indukční čáry jsou kružnice.2. Kruhový vodič Omezíme se na vyšetření pole kruhového oblouku délky l v boděC (obr. 1.113). Z obr. 1.113 je zřejmé, že vektory d ~Bi jsou rovnoběžné, a že platí α = 90.Dostáváme tedy pro B = | ~B| vztah

B =∑

dBi =∑ µ0

4π

Idl· sinαR2

=µ0Il

4πR2.

Pro uzavřený kruhový závit vychází (l = 2πR):

B =µ0I

2R. pole kruhového vodiče (1.117)

Úkol: Určete ~B v bodě P (obr. 1.113). (Pokyn: určete a zakreslete d ~B od jednoho elementua v součtu ~B =

∑d ~Bi využijte symetrie, z níž plyne, že vektor ~B má směr osy o.)

1.4.2 Magnetické síly

1.4.2.1 Základní poznatky

Je-li vodič, kterým prochází proud, v magnetickém poli ~B, působí na jeho volnou nabitou částicio náboji Q, která se pohybuje rychlostí ~v, (kromě jiných sil) Lorentzova síla ~FL = Q(~v × ~B).V obr. 1.114a je zakreslena síla ~FL působící na volný elektron v kovovém vodiči, ve kterém jeproud I . Účinkem této síly se volná částice přesune ve směru působení síly k povrchu vodiče.Z povrchu vodiče však nemůže vystoupit, neboť jí v tom zabrání jiná síla, a to síla, kterou na niv blízkosti povrchu působí ostatní částice vodiče (atomy, ionty atd.). Tato síla je v obr. 1.114boznačena ~Fj . V ustáleném stavu, kdy náboje proudí ve směru osy vodiče, platí ~Fj = − ~FL. Volná


HRW - Fyzika

HRW 30.1, str. 776


částice naopak působí, podle principu akce reakce, na zbytek vodiče silou ~F = − ~Fj , tj. silou,pro niž platí ~F = ~FL. Magnetické síly ~FL, kterými působí magnetická pole na volná pohybujícíse náboje, se takto přenášejí i na vodič, i když vodič sám se nepohybuje.

`v

~B

~FL

elektron

I

a)

~B

~FL I

b)

~F

~Fj

~B

~FA I

c)

Obrázek 1.114

α ~B`v

S

q(>0)

~FL

I,%l`

n0 αI,%l` ~B

%~F

a) b)

Obrázek 1.115

Závěr: Na proudovodič, ve kterém je proud, působí v magnetickém poli magnetickásíla.

Uvedená síla, která se rovná součtu Lorentzových sil působících na pohybující se volné nábojeurčitého úseku vodiče, se obvykle nazývá Ampérova síla (označena ~FA v obr. 1.114c).

Využití Ampérovy síly v elektromotorech, reléových zařízeních, měřicích přístrojích atd. jeznámé.

1.4.2.2 Ampérova síla působící na lineární proudový element

Ampérova síla d~F , která působí v magnetickém poli o indukci B na proudový element (I, d~l),obr. 1.115, je dána vztahem

d~F =

dn∑i=1

~FLi,

kde ~FLi je Lorentzova síla působící na i-tou částici elementu a dn je počet částic v elementu.Nechť ~v značí driftovou rychlost (srov. odstavec 1.2.1), S plošný obsah průřezu elementu, n0

počet částic v jednotce objemu a nechť všechny volné částice mají stejný náboj Q (obr. 1.115).Pak platí

d~F = dn(~v × ~B) = n0Sdlq(~v × ~B) = n0Svq(d~l × ~B).

Užitím vztahu (1.110) odtud plyne vztah pro Ampérovu sílu:

d~F = I(d~l × ~B). Ampérova síla (1.118)

[N = A·m·T]

Diskuse:


HRW - Fyzika

HRW 30.2, str. 778


1. Vztahy (1.118) a ~FL = q(~v × ~B) jsou si podobné a jeden přechází v druhý záměnou Q ↔I,~v ↔ d~l. Hlavní vlastnosti síly d~F :

a) směr a orientace: d~F ⊥ d~l, ~B; d~F ↑↑ (d~l × ~B) — obr. 1.115. Pravidlo levé ruky — vizobr. 1.116.

b) velikost dF = IdlB sinα, velikost Ampérovy síly (viz obr. 1.115b). Zejména: dF = 0 proα = 0, 180; dF je maximální pro α = 90.

I ~B

~F

do dlaně

směr síly

levá ruka

Obrázek 1.116

2. Síla působící na lineární vodič konečné délky je dána vztahem ~F =∑

d~F , kde d~Fje síla působící na jeho element. Na lineární přímočarý vodič délky l působí v homogennímmagnetickém poli ~B síla (obr. 1.116)

~F =∑

I(d~l × ~B) = I[(∑

d~l)× ~B

]= I(

~l × ~B). (1.119)

O využití Ampérovy síly v elektromotorech atd. jsme se zmínili. Ampérovy síly se však proje-vují — buď příznivé nebo nepříznivě — i ve vinutí cívek (např. transformátorů), v generátorechproudu atd.

Příklad:Dvěma rovnoběžnými, nekonečně dlouhými přímočarými lineárními vodiči V1, V2, jejich vzdá-

lenost je d, procházejí proudy I1, I2 (obr. 1.117). Úkoly: 1. Určete indukci ~B magnetického pole,v němž je vodič V2; 2. Určete sílu ~F , která působí na úseku délky l vodiče V2.

I1 I2

d

~F' ~F

~B

α = 90"V1

l`

V2

Obrázek 1.117

Řešení:

1. Vodič V2 je v magnetickém poli buzeném vodičem V1. Směr a orientace vektoru ~B je zřejmáz obr. 1.117. Jeho velikost je dána vztahem

B =µ0I1

2πd

je tedy ve všech bodech vodiče V2 stejná.



2. Na úsek ~l vodiče V2 působí síla ~F , daná vztahem (20), tj. platí

~F = I2(~l × ~B) => F =µ0I1I2l

2πd. (1.120)

Síla ~F míří k vodiči V1. Podobně se určí síla ~F ′, působící na stejně dlouhý úsek vodičeV1. Platí ~F ′ ∼ ~F , vodiče se přitahují stejně velkými silami. Kdyby směry proudů bylyantiparalelní, vodiče by se odpuzovaly.

1.4.2.3 Definice ampéru

V jednotkové soustavě SI je základní veličinou pro elektromagnetické jevy elektrický proud I.Jeho hlavní jednotkou je 1 ampér. Při definici proudu se vychází z jevu vzájemného přitahovánídvou proudovodičů v uspořádání znázorněném na obr. 1.117. Ve vztahu (1.120) jsou pouzemechanické veličiny F , l, d a jediná veličina elektrická — proud I. Jednotka proudu je definovánatakto: volme I1 = I2 = I. Pak vztah (1.120) nabude tvaru

F =µ0

2π

I2l

d.

Definice ampéru: I = 1 ampér, jestliže pro l = 1 m a d = 1 m je F = 2·10−7 N. Slovy: Dvěmanekonečnými rovnoběžnými přímočarými vodiči, kterými procházejí stejné proudy v souhlasnémsměru a které jsou od sebe vzdáleny 1 m, prochází proud 1 ampér, jestliže 1 m délky jednohovodiče je k druhému vodiči přitahován silou o velikosti 2·10−7 N.

Z této definice plyne pro permeabilitu vakua vztah:

2·10−7 N =µ0

2π

1 A2·1 m1 m

⇒ µ0 = 4π·10−7N·A−2 = 4π·10−7henry·metr−1.

1.4.2.4 Účinek homogenního magnetického pole na rovinnou proudovou smyčku

Proudové smyčky, tj. uzavřené proudové okruhy, vystavené vlivu magnetického pole, se vysky-tují často jak v technické praxi, tak v různých odvětvích fyziky. Např. v elektromotorech vznikáotáčivý moment působením magnetického pole na cívky rotoru, podobné je tomu v některýchelektrických měřicích přístrojích. V atomovém měřítku představují elektrony, pohybující se v or-bitech atomových obalů, rovněž proudové smyčky, které se vlivem magnetického pole natáčejí,zaujímají jisté polohy v prostoru a nabývají určitých energií.

Budeme uvažovat o rovinných smyčkách libovolného tvaru. Taková smyčka je po magnetickéstránce charakterizována (jak vyplyne z dalšího) vektorovou veličinou ~m

~m = IS~n, definice magnetického momentu (1.121)

která se nazývá Ampérúv magnetický moment nebo krátce magnetický moment smyčky (obr. 1.118).Přitom I je proud ve smyčce, S plošný obsah plochy, kterou smyčka obepíná (budeme ji nazý-vat „plocha smyčkyÿ) a ~n jednotková normála k rovině σ smyčky, orientovaná podle pravidlapravotočivého šroubu. Na tvaru křivky veličina ~m nezávisí.

Lze dokázat (viz dále), že platí: Je-li smyčka o magnetickém momentu ~m v homogenním polio magnetické indukci ~B, pak

1. Výsledná síla ~F působící na smyčku je rovna nule,

~F = ~0; (1.122)


HRW - Fyzika

HRW 30.2, str. 778

HRW - Fyzika

HRW 30.5, str. 785


II~B

~B

I~B

`m

`n

ISσ

Obrázek 1.118

2. Na smyčku působí otáčivý moment ~M daný vztahem

~M = ~m× ~B (1.123)

o velikosti

M = mB· sinα (1.124)

Důkaz: Vektor ~B rozložíme na tečnou a normálovou složku ~B′, ~B′′ (obr. 1.118), takže platí~B = ~B′ + ~B′′. Síla a otáčivý moment, kterou působí pole B na smyčku, jsou dány silami,kterými toto pole působí na její elementy. Přitom na element d~l působí síla d~F = I(d~l × ~B) =I [d~l× ( ~B′+ ~B′′)] = I(d~l× ~B′) + I(dl×B′′). Můžeme tedy vyšetřit nejprve účinek pole ~B′, potéúčinek pole ~B′′ a účinky pak sečíst.

Účinek pole ~B′( ~B′ ⊥ ~m) Plochu smyčky rozdělíme přímkami rovnoběžnými s ~B′ na úzképroužky, z nichž jeden je na obr. 1.119 vyšrafován. Tím se smyčka rozdělí na dvojice elementůtypu d~l,d~l′. Na element d~l působí síla d~F = I(d~l × ~B′), která je kolmá na rovinu smyčky a mávelikost

|d~F | = IB′dl sinβ = IB′dh,

kde dh je šířka proužku. Veličina |d~F | tedy nezávisí na úhlu β a délce dl, nýbrž jen na dh. Sílad~F ′ působící na d~l′ má proto stejnou velikost jako d~F a je zřejmě opačně orientována, takžeplatí d~F + d~F ′ = 0. Obě síly tvoří silovou dvojici, která má otáčivý moment d ~M o velikosti

dM = rdF = rIB′dh = IdSB′,

kde r je rameno dvojice a dS plošný obsah vyšrafovaného proužku. Vektor d ~M je zakreslenv obr. 1.119.

Výsledný otáčivý moment ~M všech takových silových dvojic má směr znázorněný v obr. 1.119a velikost

M =

∫dM =

∫IB′ds = IB′S = mB′ = mB sinα.

Platí tedy~M = ~m× ~B,

což je vztah (1.123).Výsledná síla, kterou působí pole ~B′ na smyčku, je dána součtem sil tvořících silové dvojice

a je tudíž rovna nule.



~M

~B'

`m

%SI

%h%l`

%l'

%~F'

%~F

β%~M

%~F'=-%~Fσ

Obrázek 1.119

Účinek pole ~B′′( ~B′′ ‖ ~m) Z obr. 1.118 je zřejmé, že síly, které v tomto případě působí naelementy smyčky, leží v rovině smyčky a buď míří ven ze smyčky, tak jako v případě znázorněnémna obr. 1.118 a smyčku napínají, nebo míří dovnitř (v případě, že buď proud nebo vektor ~B′′

má opačný směr) a smyčku stlačují. Lze (teoreticky) dokázat, že jejich součet i jejich otáčivýmoment je roven nule. Je-li smyčka dokonale tuhá, nemá pole ~B′′ na její pohyb vliv. Důkaznebudeme provádět.

Účinek pole ~B na smyčku je tedy vyjádřen vztahy (1.122) a (1.123).Diskuse:1. Jednotkou vektoru ~m je ampér·metr2.2. Otáčivý moment ~M stáčí smyčku do polohy ~m ↑↑ ~B. Má největší velikost pro α = 90 a jenulový pro α = 0, 180. Rovnovážná poloha α = 0 je stabilní, poloha α = 180 je labilní.3. Elektrony, které se pohybují v orbitech atomů, představují elementární proudové smyčky,takže atomy mají rovněž magnetické momenty, která se nazývají orbitální. Avšak i na samotnéelektrony a dokonce i na neutrální částice, jako jsou např. neutrony, působí v magnetickém poliotáčivý moment. Tyto částice tedy mají rovněž magnetická momenty, jejichž fyzikální podstatazatím není jasná. Magnetický moment elektronu se nazývá spinový magnetický moment.4.Magnetický moment ~m je vektor. Cívka, jejíž závity mají magnetické momenty ~m1, ~m2, . . . , ~mn,má magnetický moment ~m = ~m1 + ~m2 + . . .+ ~mn. V homogenním magnetickém poli na ni působíotáčivý moment daný vztahem (1.123). Podobně i těleso, jehož atomy mají magnetické momenty~m1, ~m2, . . . , ~mn, má magnetický moment ~m = ~m1 + ~m2 + . . . + ~mn. Např. permanentní tyčový

magnet je charakterizován magnetickým momentem ~m, který lze zjistit s užitím rovnice (1.123)např. změřením otáčivého momentu, který na něj působí v magnetickém poli. Magnetický mo-ment atomu je roven vektorovému součtu magnetických momentů všech jeho částí.5. Je-li smyčka, znázorněná na obr. 1.118, v nehomogenním magnetickém poli, pak kromě otáči-vého momentu (1.123) na ni působí i nenulová výsledná síla.

Magnetický dipól (Analogie mezi elektrickým dipólem a proudovou smyčkou). Na elektrickýdipól o dipólovém momentu ~p = Q~l (obr. 1.120) působí v elektrickém poli ~E otáčivý moment~M = ~p × ~E (rovnice (1.14)). Na proudovou smyčku (nebo na atom, nebo na zmagnetované

těleso) působí v magnetickém poli o indukci ~B otáčivý moment (daný analogickým vztahem~M = (~m × ~B) (obr. 1.120). Dále: elektrické pole, vytvořené elekrickým dipólem a magnetické

pole, vytvořené smyčkou (nebo atomem nebo tyčovým permanentním magnetem), jsou v dostivelké vzdálenosti od zdroje podobná (siločáry mají stejný průběh, obr. 1.120). Elektrický dipóla tyčový magnet (nebo proudová smyčka,) jsou tedy analogické jak z hlediska otáčivých momentůa sil, které na ně působí ve vnějších polích, tak z hlediska polí, které samy vytváří. Proto semalý objekt s magnetickým momentem (proudová smyčka, permanentní magnet) často nazývá„magnetický dipólÿ. Poznámka: jedním z nevyřešených problémů teorie magnetismu je, zda tato



analogie není hlubší než formální a zda neexistuje objekt, který by měl „magnetický nábojQmagÿ, na který by v magnetickém poli působila síla ~Fmag = Qmag· ~B.

1.4.3 Magnetické pole v látkách

1.4.3.1 Úvod

~P

~E

~E

-Q

Q~Pl`

~M = `pÐ~E

a)

`m

~B

~B`m

~M = `mÐ~B

b)

I

Obrázek 1.120

Všechny dosavadní úvahy o magnetickém poli pojednávaly o jeho vlastnostech ve vakuu.Magnetické pole, podobně jako pole elektrické, se při interakci s látkami mění. Podle účinkůtéto interakce rozdělujeme magnetika, tzn. látky ovlivňující magnetické pole, do tří hlavníchskupin. Diamagnetické látky mírně zeslabují magnetické pole, paramagnetické látky je mírnězesilují. Feromagnetické látky rovněž zesilují magnetické pole, jejich účinek je však velký. Dalšítypy magnetik jsou ferity, antiferomagnetické látky atd.

Rozdílný vliv látek na magnetické pole spočívá v rozdílné struktuře atomů. Elektrony sesvým orbitálním momentem hybnosti a spinem mají, jako pohybující se nabité částice, elektro-dynamické účinky, jejichž projevem je právě změna magnetického pole.

1.4.3.2 Magnetický moment atomu

I `r

`r+%`r

`n

`v

%r-e,me

%S

b`

m

Obrázek 1.121

Pohyb elektronu obíhajícího v atomu kolem jádra je centrá1ním pohybem: Výslednice silpůsobících na elektron směruje do určitého bodu, nazývaného středem pohybu. Z mechanikyje známo, že tento pohyb je charakterizován konstantním momentem hybnosti ~b. Z klasického


HRW - Fyzika

HRW 41.3, str. 1082HRW 41.4, str. 1083


pohledu představuje pohyb elektronu v atomu uzavřený mikroskopický proud I = e/T ′, kde e jenáboj elektronu a T ′ perioda jeho oběhu kolem jádra. Magnetický moment ~m, odpovídajícítomuto proudu, je roven

~m =

∫I~ndS = − e

T ′~n

∫ T ′

0

dS

dt·dt,

kde dSdt je velikost plošné rychlosti, dS je plocha, kterou opíše polohový vektor ~r za dobu dt

(obr. 1.121), tedy

dS =1

2|~r × d~r|.

Plošná rychlost je potom rovna

dS

dt=

1

2

∣∣∣∣~r × d~r

dt

∣∣∣∣ =1

2|~r × ~v| = 1

2me|~r ×me

~B| = |b|2me

.

Pro magnetický moment atomu potom vyplývá vztah

~m = −e~nT ′|b|

2me

∫ T ′

0dt = − e

2me

~b.

Veličina −e/2m se nazývá gyromagnetický poměr r. Znaménko minus znamená, že ~m máopačný směr než ~b.

Z kvantové mechaniky víme, že kromě orbitálního momentu hybnosti má elektron vlastnímoment hybnosti, spin ~b′, kterému přísluší magnetický moment

~m = − e

me

~b′.

Gyromagnetický poměr pro spin je dvojnásobkem gyromatického poměru orbitálního. V mno-haelektronových atomech jsou elektrony s odlišnými orbity, proto i jejich magnetické momentyjsou různé. Výsledný magnetický moment atomu ~mat je roven vektorovému součtu orbitálnícha spisových magnetických momentů všech elektronů

~mat =∑k

~mk.

Obrázek 1.122

Z odstavce 1.3.2 víme, že v magnetickém poli působí na elementární proudové smyčky otáčivémomenty, které natáčejí magnetické momenty do směru pole. Tedy i na atomy a molekuly látekpůsobí magnetické pole otáčivým momentem. To je samozřejmě možné jenom u těch látek,které jsou tvořeny atomy nebo molekulami, jejichž výsledný magnetický moment je nenulový.V atomech se zaplněnými sférami (a také v molekulách s nasycenou kovalentní vazbou), jevýsledný moment hybnosti atomů roven nule a proto je roven nule i jejich výsledný magnetickýmoment.



Ip

Ip

Obrázek 1.123

1.4.3.3 Vliv látek na magnetické pole. Vektor ~H

Jestliže v blízkosti proudovodiče, který ve vakuu vytváří magnetické pole o indukci ~B0, jsoulátky — např. kov, sklo, olej, voda atd., magnetické pole se změní jak v látkách, tak v jejichokolí. Magnetická indukce nabude hodnoty ~B 6= ~B0.

Tuto změnu pole vyšetříme podrobněji v případě válcového jádra z magnetika, které vsunemedo solenoidu na obr. 1.122. Magnetické pole orientuje magnetické momenty atomů do směru pole.Každý magnetický moment atomu můžeme nahradit mikroskopickým proudem a v příčném řezujej můžeme vyjádřit proudovou smyčkou (obr. 1.123), ze kterého je patrné, že se mikroskopicképroudy ve vnitřních částech jádra ruší. V obvodových částech jádra nejsou proudy vykom-penzovány a vytvářejí proud po obvodu jádra, tzv. povrchový proud Ip, který je zdrojempřídavného magnetického pole o magnetické indukci

~Bp = ~B − ~B0. (1.125)

Stupeň zmagnetování látky v malém jejím elementu o objemu ∆V je charakterizován vek-torem magnetizace ~M , definovaným vztahem

~M =

∑~mi

∆V, definice vektoru magnetizace (1.126)

[A·m−1 = A·m2·m−3]

kde∑

~mi je součet magnetických momentů v elementu, tj. jeho magnetický moment. Vektor ~Mzávisí jak na magnetickém poli, v němž je uvažovaný element, tak na látce samotné a na jejímfyzikálním stavu.

Intenzita magnetického pole ~H Kromě vektorů ~B a ~M zavádí se v nauce o elektromagne-tickém poli ještě další vektor, a to intenzita magnetického pole ~H. Je definována vztahem

~H =~B

µ0− ~M. definice intenzity magnetického pole (1.127)

[A·m−1 = T·H−1·m−1]

Účelnost zavedení vektoru ~H, jehož fyzikální význam není tak bezprostředně zřejmý jakovýznam vektorů ~B a ~M , vyplývá z toho, že tento vektor splňuje velmi důležité a praktickyužitečné vztahy. Z nich nejdůležitější je vztah (1.134), který platí pro ustálené magnetické polea jehož se užívá zejména pro výpočet magnetických obvodů. Jeho zobecněním pro neustálenémagnetické pole je I. Maxwellova rovnice (1.159).

Magnetické pole je pak charakterizováno třemi vektory ~B, ~M, ~H, které jsou vázány vztahem(1.127), takže jen dva z nich jsou nezávislé. Při teoretických úvahách i při vyšetřování technicky


HRW - Fyzika

HRW 32.5, str. 840


důležitých dějů se ukazuje nejvhodnější uvažovat o dvojici ~B, ~H (viz např. Maxwellovy rovnice,odstavec 1.5.2.

Poznamenejme, že ve vakuu platí ~M = ~0, takže vztah (1.127) má jednoduchý tvar ~H = ~B/µ0.S jeho užitím lze získat ze vztahů pro výpočet vektoru ~B ve vakuu, uvedených v odstavci 1.4.1,analogické vztahy pro výpočet vektoru ~H.

Lineární magnetika V tzv. magneticky lineárních prostředích platí ~B ∼ ~H, ~M ∼ ~B, ~M ∼ ~H.S užitím poslední úměry se definuje magnetická susceptibilita χ vztahem

~M = χ ~H (1.128)

charakterizuje látku z hlediska jejích magnetizačních vlastností. Její hodnoty jsou velmi maléa platí

χ < 0 (χ.= 0) u látek diamagnetických,

χ > 0 (χ.= 0) u látek paramagnetických.

Kromě těchto látek jsou technicky důležité feromagnetické látky, u nichž neplatí ~B ∼ ~Hatd. — závislost je složitější. Označíme-li i u nich M/H = χ, je χ závislé na H a platí χ 1.

Dosazením ze vztahu (1.128) do vztahu (1.127) dostaneme po úpravě

~B = µ(1 + χ) ~H = µ0µr ~H = µ ~H, (1.129)

kde µr, µ jsou veličiny, definované vztahy:

µr = 1 + χ - relativní permeabilita látky,

µ = µrµ0 - (absolutní) permeabilita látky.

Kromě vektoru magnetizace ~M (nebo místo něho) se někdy zavádí vektor magnetické pola-rizace ~J , který souvisí s ~J podle vztahu ~J = µ0

~M .

1.4.3.4 Hlavní typy magnetik

Paramagnetismus Uvažujme o látce s nenulovými magnetickými momenty atomů. Bez vnějšíhomagnetického pole jsou magnetické momenty jednotlivých atomů uspořádány chaoticky a vý-sledný magnetický moment je roven nule. Látka není zmagnetována. Vlivem vnějšího magne-tického pole o indukci ~B0 působí na každý atom, který si můžeme představit jako elementárnímagnet, otáčivý moment ~mat × ~B0 a stáčí je do směru magnetického pole. Chaotický tepelnýpohyb v látce snižuje orientaci magnetických momentů ~mat. Látka se ustálí v dynamické rovno-váze, při níž má nenulový magnetický moment; orientovaný ve směru vnějšího pole. Magneticképole se v takové látce nepatrně zvyšuje. Dochází k paramagnetismu, látka je paramagnetická.

Magnetická susceptibilita paramagnetické látky splňuje tzv. Curieův zákon

χ =C

T,

který vyjadřuje tu vlastnost, že zmagnetování látky je tím obtížnější, čím je její teplota větší.Curieova konstanta C závisí na velikostí magnetického momentu atomů a jejich počtu v objemovéjednotce.


HRW - Fyzika

HRW 32.7, str. 841


Diamagnetiamus Vnější magnetické pole má vliv na pohyb elektronu v atomu. Magneticképole o indukci B0 působí na proudovou smyčku oběžného elektronu otáčivým momentem

~M0 =~

m× ~B0.

(Otáčivý moment budeme dále značit ~M0, aby nedošlo k záměně s vektorem magnetizace ~M .)

K1

Ii

`mi

~B0

~Ω

I -e,me`v

K

b`

`m

Obrázek 1.124

Elektron na orbitu má nenulový moment hybnosti a na točivý moment reaguje precesnímpohybem (obr. 1.124). Vektor točivosti ~b začne opisovat kužel s úhlovou frekvencí Ω, kterásplňuje vztah Ω = M0/b. Veličina Ω je mnohem menší než frekvence vlastního pohybu po or-bitu. Z hlediska pohybu elektronu to znamená, že kromě pohybu po orbitu vykonává ještě dalšípohyb po uzavřené křivce K1 v rovině kolmé k magnetickému poli (obr. 1.124). Tento pohybvyvolá indukovaný magnetický moment ~mi, který má opačný směr než vnější magnetické pole.Indukovaný magnetický moment je orientován proti směru vnějšího magnetického pole i tehdyjestliže se elektron pohybuje po orbitu v opačném směru. Tento jev v látkách se nazývá dia-magnetismus. Je vlastností všech magnetik. U látek, jejíchž atomy mají nulový magnetickýmoment, je jediným projevem interakce atomů s magnetickým polem. Takové látky se nazývajídiamagnetické. V diamagnetické látce je vnější magnetické pole zeslabeno, takže susceptibi-lita diamagnetická je záporná, χ < 0. Tepelný pohyb molekul nemá vliv na pohyb elektronův atomech, proto susceptibilita diamagnetické látky nezávisí na teplotě. U magnetik s ~mat 6= ~0převládá paramagnetický jev nad jevem diemagnetickým. Takové látky jsou proto paramagne-tické.

Feromagnetismus Třetí skupinu magnetik tvoří tzv. feromagnetické látky, které v magnetic-kých polích vykazují následující vlastnosti:

1. Relativní permeabilita µr dosahuje vysokých hodnot (∼ 103).

2. Závislost mezi ~B a ~H nebo mezi ~M a ~H nebo mezi ~M a ~B0 není lineární; při nízkýchteplotách mohou již slabá pole vyvolat tzv. sytnou magnetizaci, tj, úplnou orientaci všechmagnetických momentů.

3. U feromagnetických látek se projevuje hystereze, jev spočívající v tom, že závislost ~Ma ~B není jednoznačná.


HRW - Fyzika

HRW 32.6, str. 840

HRW - Fyzika

HRW 32.8, str. 842


Feromagnetickými látkami mohou být pouze magnetika s paramagnetickými atomy. Přiurčité struktuře krystalické látky dochází již v slabých polích k magnetické interakci atomů,která vede k souhlasné orientaci magnetických momentů celé skupiny atomů. Dosáhne-li teplotaferomagnetické látky určité výše TC — Curieův bod, pro každou látku jiný, energie tepelnéhopohybu je natolik vysoká, že poruší vazbu mezi atomy a tím i orientaci magnetických momentů;látka přestane být feromagnetickou a projevuje se pouze jako paramagnetická. Závislost suscep-tibility na teplotě T se řídí tzv. Weissovým zákonem

χ =K

T − TC.

Výklad feromagnetismu se opírá o hypotézu, kterou vyslovil Weiss:

1. Feromagnetický vzorek makroskopických rozměrů obsahuje určitý počet malých oblastí(domén), které jsou zmagnetovány spontánně, tj. bez vlivu vnějšího magnetického pole.Spontánní magnetizace vzorku je dána součtem magnetických momentů všech jednotlivýchdomén.

2. V každé doméně je spontánní magnetizace způsobena existencí molekulárních polí, kterápůsobí na atomy tak, že jejich magnetické momenty jsou orientovány souhlasně.

~B = 00`

a)

~B0

b)

~B0

c)

Obrázek 1.125

Feromagnetismus není jen projevem samotných atomů a molekul, nýbrž souvisí s krysta-lickou stavbou látky jako celku. Jednotlivé oblasti látky, domény, jsou zmagnetovány spon-tánně, přičemž je velikost magnetizace závislá na teplotě látky. Vektor magnetizace látky jeúměný součtu vektorů magnetických momentů domén a může být za určitých podmínek i nu-lový (obr. 1.125a). K magnetizaci látky dochází růstem jedné domény na úkor jiné, tzn. pohybemstěn mezi doménami (obr. 1.125b), a dále stáčením magnetických momentů domén do směruvnějšího pole (obr. 1.125c). Dochází k magnetickému nasycení, vektor magnetizace má směrvnějšího pole a nabývá své maximální hodnoty Ms.

Fyzikální důvod vzniku domén se vysvětluje tendencí feromagnetické látky dosáhnout stavus minimální hodnotou energie. Z klasické nebo kvantové mechaniky je známo, že nejstabilnějěístav každé soustavy, např. soustavy těles nebo elektronů v atomech, je ten, při němž je ener-gie minimální. Ukazuje se, že soustava atomů feromagaetické látky má minimální energii přidoménovém uspořádání.

Chování domén vysvětluje i hysterezi feromagnetické látky. Typická magnetizační křivkavzorku, který je poprvé zmagnetován, je na obr. 1.126. Má několik oblastí a v každé z nichpřevládá určitý děj. Při zvyšování indukce vnějšího magnetického pole probíhá křivka prvotnímagnetizace body OABC. Příčinou růstu magnetizace látky jsou postupně vratné posuvy stěndomén (OA), nevratné posuvy stěn (AB) a stáčení domén (BC). Po dosažení sytné magneti-zace Ms, tzn. po úplné orientaci elementárních magnetických momentů do směru pole, nelze jižmagnetizaci dále zvyšovat. Jestliže při tomto stavu zmagnetování látky budeme vnější magne-tické pole zeslabovat, magnetizace látky se bude snižovat a při B0 = 0 nezanikne, nýbrž bude



mít určitou zbytkovou hodnotu MR, kterou nazýváme magnetickou remanencí. Abychom jiodstranili, musíme na látku působit magnetickým polem opačného směru až do hodnoty BC ,které říkáme koercitivní pole. Dalším zvyšováním pole opačného směru dosáhneme opět sytnémagnetizace. Kdybychom pak zeslabili vnější pole až na nulu a znovu je nechali růst do kladnýchhodnot, uzavřeli bychom křivku. Po určitém počtu cyklů by se hysterezní smyčka ustálila vetvaru naznačeném na obr. 1.126. Ukazuje se, že plocha hysterezní smyčky je rovna energii, spo-třebované při jednom magnetizačním oběhu v objemové jednotce feromagnetika, tj. přeměněnáv tepelnou energii látky. Látka se při přemagnetovávání zahřívá.

Čím širší je hysterezní smyčka, tím větší je koercitivní pole a tím „magneticky tvrdšíÿ je mag-netikum. Taková látka je vhodná pro permanentní magnety, nevhodná však pro stálé přemag-netovávání. Tvrdými magnetiky jsou uhlíkové, wolframové nebo chromové oceli. Tzv. měkkámagnetika mají úzkou hysterezní smyčku s malým koercitivním polem. Používají se při výrobějader elektromotorů a transformátorů, kdy je nutné, aby hysterezní ztráty byly co nejmenší.Zmenšení ztrát a s nimi související snížený ohřev feromagnetika je žádoucí i z toho důvodu, žezvýšením teploty se zhoršují magnetické vlastnosti feromagnetika. Měkkými feromagnetiky jsounapř. křemíkové oceli.

B00

M

C

B

A

M S

M R

BC

Obrázek 1.126

Při magnetizaci látky vznikají mezi jejími molekulami síly, které se projevují změnou mecha-nických vlastností. Zmagnetováním feromagnetické látky nastává podélné nebo příčné zkrácení.Tento jev se nazývá magnetostrikce a používá se v ultrazvukových generátorech k buzeníakustických vln o velmi krátká vlnové délce. Obrácený jev k magnetostrikci spočívá ve změněmagnetizace látky při její deformaci. Tohoto jevu lze využít k měření deformací.

Velký praktický význam, zejména v elektronice„ mají nekovová magnetika — ferity. Jsouto polovodivé sloučeniny železa a kyslíku nebo i jiných prvků, např. mědi, hořčíku, manganu,niklu, jejichž obecné složení je X2+Fe304, kde X2+ značí dvojmocný iont některého z uvede-ných kovů. Odpor feritů při stejnosměrném proudu je 104 až 1011-krát větší než odpor železa.v transformátorových jádrech je jich tedy možné využívat při frekvencích mnohem vyšších nežželeza.

1.4.3.5 Silové působení magnetického pole na látky

Jedním z nejznámějších a technicky nejužívanějších jevů, ke kterým dochází při interakci mag-netických polí a látek, je silové působení. Z hlediska silových účinků působí magnetické pole nazmagnetovanou látku podobně jako na proudovou smyčku nebo na solenoid. Na element látkyo objemu dV, jehož magnetický moment je ~m = ~MdV , kde ~M je vektor magnetizace, působív homogenním poli ~B otáčivý moment d ~M = d~m × ~B a v nehomogenním poli navíc ještě síla



`m~B

N

S

homogenní pole

~F = 0, ~M =~ mÐ~B`

a)

N

S

nehomogenní pole

~F è 0, ~M è 0`

b)

`

Ic)

~F è 0`

`m è 0ind`

Obrázek 1.127

d~F 6= ~0. Element látky, který by byl zpočátku v klidu a na který by působily jen magnetickésíly, by se začal pohybovat tak, že by jeho magnetická potenciální energie dW = −d~m· ~B (srov.R 2) nejrychleji klesala (a kinetická rostla).Příklad:

Na tyčový magnet — permanentní nebo elektromagnet (obr. 1.127a) — o magnetickémmomentu

~m =

∫∫∫V

~MdV

působí v homogenním magnetickém poli pouze otáčivý moment ~M = ~m× ~B. V nehomogennímpoli (obr. 1.127) působí navíc síla ~F 6= ~0.

Příklad:Látka, která byla původně nezmagnetována ( ~M = ~0), se v magnetickém poli zmagnetuje

a pak na ni toto pole působí silově. Na obr. 1.127c je naznačeno přitahování původně nezmag-netovaného železného válečku působením sil pole, vytvořeného cívkou. Tohoto jevu se využívánapř. při magnetickém upínání předmětů, při zvedání a transportu železného šrotu, v elektric-kých měřicích přístrojích atd.

Silové působení magnetického pole na paramagnetika, a diamagnetika je ve srovnání s jehopůsobením na feromagnetické látky zanedbatelně malé.

1.4.4 Obecné vlastnosti vektorů ~B, ~H

1.4.4.1 Magnetický indukční tok φ. IV. Maxwellova rovnice

Magnetické indukční čáry statických polí ve vakuu, která jsme vyšetřovali v odstavci 1.4.1,byly vesměs uzavřené křivky. Experimentálně bylo zjištěno, že tuto vlastnost mají i magne-tické indukční čáry libovolných polí, tj. i polí časově proměnných v libovolných látkách. Např.magnetické indukční čáry pole buzeného magnetem se uzavírají uvnitř magnetu (obr. 1.128).

Vedeme-li v libovolném elektromagnetickém poli uzavřenou plochu S (obr. 1.129), pak mag-netická indukční čára ji buď neprotíná nebo ji protíná v sudém počtu bodů. Z této experimen-tálně zjištěné vlastnosti vyplývá jednoduchý důsledek pro vektor ~B. Než jej uvedeme, vyslovímedefinici veličiny, zvané magnetický indukční tok φ orientovanou plochou.

Magnetický indukční tok φ orientovanou plochou Tato veličina je analogická veličiněψ (odstavec 1.2.4) a je definována takto: Nech orientovaná plocha S má za okraj orientova-nou křivku C (obr. 1.130). Pak magnetický indukční tok orientovanou plochou S (nebo také


HRW - Fyzika

HRW 31.3, str. 800HRW 32.2, str. 834


N

S

Obrázek 1.128

`n

~B

`n

~B

`n

~B

`n

~B

`n

~B

Obrázek 1.129

orientovanou uzavřenou křivkou C) je definován vztahem

φ =

∫∫S

BndS =

∫∫S

~B·~ndS =

∫∫S

~B·d~S. (1.130)

Jednotkou φ je 1 tesla·metr2 = 1 weber = 1 Wb. Tato veličina je důležitá např. při vyjádřenízákonitostí elektromagnetické indukce (odstavec 1.5.1).

corientovanákřivka

orientovanáplocha

S`n %~S

~B

~Bn

magnetickáindukční čára

n

Obrázek 1.130

Magnetický indukční tok uzavřenou plochou Je-li plocha S uzavřená a orientovaná vnějšínormálou (obr. 1.129), pak v místě, kde z ní magnetická indukční čára vystupuje, je BndS > 0a tam, kde do ní vstupuje, je BndS < 0. Tyto příspěvky se v součtu daném integrálem (1.130)pro uzavřenou plochu ruší, takže platí

(φ =)

∮SBndS = 0. (1.131)

Tento experimentálné zjištěný vztah platí zcela obecně, tj. pro libovolnou uzavřenou plochuvedenou v libovolném elektromagnetickém poli v libovolném prostředí. Nazývá se často Gaussůvzákon magnetismu. Je jednou ze základních rovnic obecné teorie elektromagnetického pole,tzv. Maxwellovy teorie (odst. 1.5.2).

Srovnání vztahu (1.131) se vztahem (1.53) ukazuje, že v magnetickém poli neexistuje veličinaanalogická elektrickému náboji, který je zdrojem, tj. „zřídlemÿ; elektrického pole, tj. neexistujemagnetický náboj. Magnetické pole, na rozdíl od pole elektrického, je nezřídlové. Poznamenejme,že po magnetických nábojích fyzici stále ještě pátrají.



1.4.4.2 Ampérův zákon pro cirkulaci vektoru ~H

Magnetické napětí Um je veličina, definovaná pro magnetickou část elektromagnetického polevztahem analogickým vztahu (1.122) platným pro pole elektrické, a to takto: Nechť C je libovolnáorientovaná křivka vedená v magnetickém poli, jehož intenzita je ~H. Pak magnetické napětí Umna křivce C je definováno vztahem

Um =

∫C

~H·d~r. definice magnetického napětí (1.132)

c

~Bs

~B

z

x

y

I1

I2

I3

I4

S

`n

N

S

Obrázek 1.131

Na rozdíl od elektrického napětí U , jež je v elektrostatickém poli závislé jen na poloze počá-tečního a konečného bodu křivky C, je veličina Um závislá i v magnetostatickém poli na tvarukřivky, konkrétněji na poloze křivky vzhledem ke zdrojům magnetického pole. Vyplývá to z ná-sledujícího zákona.

Ampérův zákon pro cirkulaci vektoru ~B ve vakuu Zní: Nechť magnetické pole o intenzitě~B je vytvořeno ve vakuu (v určité inerciální vztažné soustavě) magnety v klidu a ustálenýmiproudy, tj. je magnetostatické. Nechť C je libovolná uzavřená orientovaná křivka (obr. 1.131).Pak platí ∮

C

~B·d~r = µ0

∑k

Ik, (1.133)

kde symbolem∑

k Ik je označen rozdíl součtu proudů, které jdou libovolnou orientovanou plo-chou S, která má křivku C za okraj, z její záporné strany na kladnou součtu proudů, kteréjdou opačným směrem. V případě znázorněném na, obr. 1.131 je

∑k Ik = I1 − I2 + I3. Je to

algebraický součet proudů, které křivka C obepíná. Integrál na levé straně rovnice (1.133) senazývá cirkulace vektoru ~B po křivce C (srov. odstavec 1.2.2). Vztah (1.133) plyne z teorie.

Ampérúv zákon pro cirkulaci vektoru ~H Tento zákon zní: Nechť ~H je vektor intenzityčasově neměnného magnetického pole buzeného ustálenými elektrickými proudy ve vodičích(tj. makroskopickými proudy) v přítomnosti libovolných látek. Pak pro libovolnou uzavřenouorientovanou křivku C (která může procházet látkami i mimo ně) platí∮

C

~H·d~r =∑k

Ik, (1.134)

kde∑Ik algebraický součet makroskopických proudů, které křivka obepíná.


HRW - Fyzika

HRW 30.3, str. 780


Poznamenejme ihned, že hlavní význam tohoto výsledku je v tom, že integrál ve vztahu (34)závisí jen na makroskopických proudech, které křivka C obepíná a že vůbec nezávisí ani naostatních proudech, ani na přítomnosti a rozložení látek. Vektor ~H v každém bodu prostoru natom všem ovšem závisí, integrál ve vztahu (1.134) však nikoliv.

Důkaz vztahu (1.134) provedeme pouze pro zvláštní případ znázorněný v obr. 1.132a. Naválečku je navinuta cívka, kterou prochází proud. Vedeme libovolnou uzavřenou orientovanoukřivku C. V obr. 1.132a tato křivka prochází částečně válečkem a obepíná několik závitů cívky.Látka je zmagnetována. Vektor magnetizace ~M má všude směr osy válečku a v bodech řezůkolmých na osu má stejnou hodnotu. Pole vně i uvnitř válečku je buzeno jak makroskopickýmiproudy v cívce, tak mikroskopickými proudy v látce (obr. 1.123). Z hlediska buzení magnetickéhopole lze mikroskopické proudy nahradit povrchovým proudem Ip (obr. 1.123). Tenká vrstva tvaruplochého válce o základně S a výšce dh (obr. 1.132a) vytváří povrchový proud dIp, který určímetakto: a) z definice vektoru ~M (rovnice (1.126)) plyne d~m = ~MdV , takže je dm = MSdh;b) z definice magnetického momentu proudové smyčky (rovnice (1.121)) plyne ~m = dIpS~n, tj.dm = dIpS. Srovnáním obou výsledků dostáváme dIp = Mdh.

P1

%m

S%h

%h %r

P2

α

~M

%Ip

~M = 0`

c

I

c

I1

I2

~Hs

~H

a) b)

Obrázek 1.132

Ze vztahu (1.133) plyne pro uvažovanou křivku C v obr. 1.132:

1

µ0

∮C

~B·d~r =∑

Imakro +∑

Imikro =∑

Imakro +

∫ P2

P1

dIp =∑

Imakro +

∫ P2

P1

Mdh =

=∑

Imakro +

∫ P2

P1

M cosαds =∑

Imakro +

∮C

~M ·d~r.

Zde je:∑Imikro součet mikoskopických proudů, obepnutých křivkou C; ds = |d~r|. Význam

α je zřejmý z obrázku. Využili jsme dále toho, že vně válečku je M = 0. Položíme-li sobě rovnyprvní člen na levo a poslední součet na pravo a takto vzniklou rovnici upravíme, dostaneme∮

C(~B

µ0− ~M)·d~r =

∑Imakro. (1.135)

Podle definičního vztahu však je ~H = ~B/µ0 − ~M , takže dostáváme vztah (1.134). Tím jedůkaz platnosti vztahu (1.134) pro uvažovaný případ proveden. Výraz na pravé straně rovnice



(1.135) je součet proudů, které cívka obepíná, tj. veličina nI, kde n je počet závitů procházejícíchplochou křivky C.Příklad:

Pro orientovanou křivku C na obr. 1.132b, která obepíná dva závity cívky s proudem I1

a smyčku s proudem I2, dostáváme ze vztahu (1.134):∮CHsds = 2I1 − I2

Užití vztahů (1.134) a (1.131) je ilustrováno v příkladě R-3.Integrál na levé straně vztahu (1.134) je, podle definice (1.132), magnetické napětí v uza-

vřené křivce C. Nazývá se někdy také „magnetomotorické napětíÿ. Zobecnění vztahu (1.134) proobecná časově proměnná elektromagnetická pole se nazývá I. Maxwellova rovnice (viz rovnice(1.159). Rovnice (1.134) je jejím zvláštním případem pro magnetostatické pole.

1.4.4.3 Příklady — Časově neměnné magnetické pole

αr

P

I

VÉ

Obrázek 1.133

R-1 Určete vektor magnetické indukce pole, buzeného v bodě P částí V vodiče na obr. 1.133pro hodnoty I = 12,0 A, α = 60, r = 200 mm.Řešení:

Vodič V je lineární a přímočarý. Z úvah odst. 1.4.1-F plyne, že vektor ~B v bodě P míří zanákresnu. Velikost B je dána vztahem (1.115), kde d = r sinα, α1 = 180 − α, α2 = 0. Tedy

B =µ0I

4πr sinα[cos(180 − α) + cosα2] =

4π·10−7 Hm−112,0 A4π·0,200 m sin 60

[cos(180 − 60) + cos 0] =

= 3,46·10−6T

~M

~B`m

¡%¡

Obrázek 1.134

R-2 Proudová smyčka o magnetickém momentu ~m je v homogenním magnetickém poli o mag-netické indukci ~B a může se otáčet kolem osy kolmé na ~m, ležící v rovině smyčky. Nechť α jeúhel, který svírají vektory ~m, ~B. Dokažte tato tvrzení: 1. Práce, kterou vykoná otáčivý moment,kterým působí pole na smyčku při jejím otočení z polohy α1 do polohy α2, je dána vztahemA = mB(cosα2 − cosα1); 2. Smyčka má v magnetickém poli magnetickou potenciální energiiWp danou vztahem Wp = −~m. ~B + C, kde C je její potenciální energie pro α = 90.Řešení:



1. Na smyčku působí otáčivý moment ~M = ~m× ~B o velikosti M = mB sinα (obr.1.134). Přiotočení o úhel dα vykoná moment M práci

dA = −Mdα = −mB sinαdα.

Celková práce, kterou vykoná při otočení z polohy α = α1 do polohy α = α2 je

A =

∫dA =

∫ α2

α1

−Mdα = −mB∫ α2

α1

sinαdα = mB(cosα2 − cosα1).

2. Práce A závisí jen na počáteční a konečné poloze smyčky v magnetickém poli. Proudovásmyčka má tedy v magnetickém poli magnetickou potenciální energii Wp, pro kterou platí:Je-li pro α její hodnota Wp a pro α = α2 její hodnota Wp2 , pak platí

Wp −Wp2 = A,

kde A je práce, kterou vykoná otáčivý moment při otočení smyčky α→ α2. Tedy

Wp −Wp2 = mB cosα2 −mB cosα⇒Wp +mB cosα = Wp2 +mB cosα2(= C).

Volíme-li α2 = 90, je Wp2 = C, takže platí

Wp = −mB cosα+ C = −~m· ~B + C.

Volíme-li Wp(α = 90) = 0, je C = 0 a dostaneme

Wp = −~m· ~B. (1.136)

Poznámka: [m] = A·m2, [B] = T, [A] = J.R-3 Štíhlý toroid má N = 1 000 závitů hustě a rovnoměrně navinutých na jádře, jehož středníkružnice má poloměr R = 100 mm a jehož průřez má plošný obsah S = 400 mm2. Vinutím jdeproud I = 1 A. Vyšetřete jeho magnetické pole, tj. určete vektory ~B a ~H v těchto případech: 1.Jádro je vzduchové (tj. závity jsou samonosné); 2. Jádro je feromagnetické a má magnetizačníkřivku naznačenou v obr. 1.135; 3. Jádro má relativní permeabilitu µr = 200 a v něm je úzkápříčná mezera o šířce d = 2 mm. Magnetický rozptyl v mezeře zanedbejte.

Poznámka: Štíhlý hustě vinutý toroid budí pole, jež je soustředěno v jeho jádře. Magnetickéindukční čáry jsou kružnice, jež mají střed na ose toroidu. Je-li jádro bez mezery, má vektor ~B(a podobně i vektory ~H, ~M) v celém jádře stejnou velikost. Řešení:

1. Vzduchové jádro (tzv. toroid bez jádra)

Vektor ~H má směr tečny k orientované magnetické siločáře (obr. 1.136). (Pozn.: Toutovlastností jsou magnetické siločáry definovány.) Jeho velikost určíme užitím vztahu (1.134),v němž křivka C je orientovaná střední kružnice K. Dostáváme postupně∮

K

~H·d~r =∑k

Ik ⇒∫KHds = NI ⇒ H

∫K

ds = NI ⇒ H =NI

2πR=NI

l,

kde l = 2πR je délka kružnice K. Vektory ~M , ~B jsou dány vztahy

~M = ~0, ~B = µ0~H.

Po dosazení a výpočtu dostaneme: H = 1 592 A·m−1; B = 4·10−3 T, ~B ↑↑ ~H.



0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

0 200 400 600 800 1200 1400 1600 1800 20001000

H (A/m)

B (

T)

Obrázek 1.135

O R

I

~H~B

S

k

I N

Obrázek 1.136

2. Toroid s jádrem

Magnetické siločáry mají stejný tvar jako v toroidu bez jádra. K určení |H| užijeme opětvztahu (1.134), tj. opakujeme předešlý výpočet a dostaneme opět H = 1 592 A·m−1.

Pro vektor ~B platí ~B ↑↑ ~H. Jeho velikost určíme z magnetizační křivky (obr. 1.135). ProH = 1 592 A·m−1 dostáváme B = 1,35 T. Všimněte si, že číselná hodnotaje mnohem většínež v toroidu bez jádra.

3. Toroid s jádrem s mezerou

Při určování ~B a ~H zanedbáváme magnetický rozptyl, naznačený v obr. 1.137b tence vy-značenými magnetickými indukčními čarami R Předpokládejme tedy, že pole je v každémprůřezu jádra i v mezeře homogenní. Magnetické indukční čáry jsou kružnice (obr. 1.137a).Vektory magnetického pole v jádře označíme ~Bj , ~Hj , ~Mj v mezeře ~Bm, ~Hm.

Nejprve určíme vztah mezi ~Bj , ~Bm a to takto: Vedeme plochu P ve tvaru nízkého válce,jehož jedna základna je v jádře a druhá v mezeře (obr. 1.137b) a užijeme pro ni vztah



`n

~Bm

~Bj

`n S2

S1

µr

µ = 1rm

k

R

P

a) b)

Obrázek 1.137

(1.131). Pro integrál na levé straně dostaneme postupně∫∫P

BndS = BjnS1 +BmnS2 = (Bjn +Bmn),

kde S = S1 = S2 a kde Bjn a Bmn jsou průměty vektorů Bj a Bm do vnějších normálobou základen plochy P . Platí tedy

~Bj = ~Bm. (1.137)

To je důležitý poznatek. Umožňuje zjišťovat ~B v jádře změřením ~B v mezeře. Pro vektory~H, ~Hm platí ~Hj = ~Bj/µrµ0, ~Hm = ~Bm/µ0, takže je ~Hj ↑↑ ~Bj , ~Hm ↑↑ ~Bm. Ze vztahu(1.137) plyne µrµ0Hj = µ0Hm.

Veličinu Hj dostaneme aplikací vztahu (1.134) na kružnici K. Dostáváme postupně:∮K

~H·d~r =∑

I ⇒ Hj(l − d) +Hmd = NI ⇒ Hj(l − d) + µrHjd = NI ⇒

Hj =NI

l − d+ µrd. (1.138)

Dá1e pak Bj = µrµ0Hj , Bm = Bj Číselné hodnoty určete samostatně.

Poznámky:1. Plošný S jsme k výpočtu nepotřebovali. 2. Ze vztahu (1.137) plyne, že při µr 1 i úzká mezeramůže podstatné ovlivnit (zeslabit) pole v jádře, neboť i při d 1 může být µrd > (l − d).

P-1 V homogenním magnetickém poli o vektoru indukce ~B, B = 0,10 T, mezi póly P1, P2

magnetu, který je v klidu v inerciální vztažné soustavě, se pohybuje vodivá tyč AC stálourychlostí ~v, v = 5,0 m·s−1 (obr. 1.138). Úkoly: 1. Určete vektory ~E′, ~B′ uvedeného pole vevztažné soustavě pevně spojené s tyčí a zakreslete je do náčrtku; 2. Vlivem elektrického pole sevolné náboje v tyči částečně přesunou. Naznačte v náčrtku přibližně jejich rozložení. Rozhodněte,které část tyče bude mít nejvyšší potenciál.P-2 V inerciální vztažné soustavě A se ve vakuu pohybuje deskový kondenzátor o rozměrechS = 2,0·10−2 m2, d = 6,0 mm, nabity nábojem Q = 2,0·10−7 C rychlost ~v, v = 50 m·s−1

(obr. 1.139). Určete vektory elektromagnetického pole mezi deskami 1. ve vztažné soustavě,v níž je kondenzátor v klidu, 2. ve vztažné soustavě A. Zakreslete je do náčrtku.



P1

P2

~B

`vC

A

Obrázek 1.138

z

y

x

Q>0

-Q

P

d

S

A0

v

Obrázek 1.139

P (0;-0,4;0,4)2 P (0;0;0,4)1

V (É)1

z (m)

x

y (m)

I1

I2É É

%l`

I3

V2

Obrázek 1.140

IO y (m)

x (m)

z (m)

I

P (0;0;0,5)1

P (0,5;0,5;0)2

P (-0,5;0,5;0)3

A (É)2

A (É)1

Obrázek 1.141

P-3 Magnetické pole je buzeno proudem I1 = 12 A v nekonečném vodiči V1 (obr. 1.140). Úkoly:1. Nakreslete orientovanou magnetickou indukční čáru jdoucí bodem P2; 2. Určete vektor ~Bv bodech a) P1, b) P2. Zakreslete.P-4 Řešte úkoly 1, 2 příkladu P-3 za předpokladu, že pole je buzeno proudem I2 = 10 Av nekonečném vodiči V2.P-5 Řešte úkoly 1, 2 příkladu P-3 za předpokladu, že pole je buzeno elementárním vodičem dldélky dl = 10 mm, v němž je proud I3 = 40 A.



P-6 V nekonečném vodiči A10 A2 (viz obr. 1.141) je proud I = 20 A. Určete a zakreslete magne-tickou indukci pole, buzeného: 1. Vodičem A10 v bodech a) P1, b) P2, c) P3; 2. Vodičem A10A2

v bodech a) P1, b) P2, c) P3; 3. Nakreslete přibližně magnetickou indukční čáru pole, buzenéhovodičem 0A2 jdoucí bodem P2.P-7 Řešte úkoly 1, 2 příkladu P-6 pro body P4(0; 0;−0,2), P5(0,2;−0,2; 0).

%lI

A

BC

D

E`

R = 200 mm

P

60"60"

60"

Obrázek 1.142

P2

P1

P3

d

d

d = 0,30 m

d = 0,15 m1

V1

V2

I2

I1

ÉÉ

É

É

Obrázek 1.143

P-8 Lineárním vodičem ABCDE jde proud I = 5,0A (obr. 1.142). Určete a zakreslete vektormagnetické indukce ~B v bodě P pole buzeného: 1. Elementárním vodičem dl délky dl = 5 mm;2. Obloukem AB; 3. Úsekem BC; 4. Celým vodičem ABCDE.P-9 Ve vodičích V1, V2 (obr. 1.143) jsou proudy I1 = 50,0 A, I2 = 20,0 A. Úkoly: 1. Určetevektory a) ~B1, b) H1 magnetického pole, buzeného v bodě P1 vodičem V1. Zakreslete ~B1 ; 2.Určete vektory a) ~B2, b) ~H2 magnetického pole, buzeného v bodě P1 vodičem V2. Zakreslete ~B2;3. Určete ~B výsledného magnetického pole v bodě P1. Zakreslete.P-10 Řešte úkoly 1 - 3 příkladu P-9 pro bod P2.P-11 Řešte úkoly 1 - 3 příkladu P-9 pro bod P3.

O ØM

x

yP1

d = 0,60 m

d1 d = 0,40 m1 d

P3P2 N

I1

V1 V2

Obrázek 1.144

P-12 V elektronovém svazku se pohybují v určitém okamžiku rovnoběžně vedle sebe dva elek-trony, vzdálené od sebe o 0,4 mm, rychlostí ~v o velikosti v = 2,0·105 m/s. Sestrojte náčrteka řešte tyto úkoly: 1. Napište obecný vztah mezi vektory ~E, ~B elektromagnetického pole, bu-zeného jedním z elektronů v libovolném bodě. Zakreslete; 2. Pro oba elektrony, určete vektory~E, ~B pole, které budí jeden elektron v místě, kde je druhý elektron. Zakreslete; 3. Určete elek-trickou, magnetickou a výslednou sílu, kterou působí pole jednoho elektronu na druhý elektron.Zakreslete.P-13 Ve dvou velmi dlouhých rovnoběžných vodičích V1, V2, vzdálených od sebe o d = 0,60 m,jsou proudy I1 = 50,0 A, I2 = 20,0 A (obr. 1.144). Úkoly: 1. Určete ~B(P1), ~B(P2). Zakreslete;



2. Vyšetřete, zda existují body, v nichž je ~B = ~0. Existují-li, určete jejich polohu. Zakreslete; 3.Na úsečce MN určete body, v nichž má | ~B| extrémní hodnotu. Zakreslete; 4. Určete sílu, kterápůsobí na úsek délky l = 2m vodiče V2. Zakreslete.

a = 50 mm

I3

I1

I2

V1

V2

Obrázek 1.145

a=0,2 m b=0,4 m

c=0,6 m

L

MN

KI2

I1

É

É

Obrázek 1.146

P-14 Třemi tenkými, velmi dlouhými stejně od sebe vzdálenými rovnoběžnými vodiči V1, V2,V3 jdou proudy I1 = 40 A, I2 = I1, I3 = 30 A ve směrech, naznačených na obr. 1.145. Úkoly:1. Určete vektor ~B1 magnetického pole, buzeného v obecném bodě P vodiče V3 vodičem V1.Zakreslete; 2. Určete vektor ~B výsledného pole buzeného vodiči V1, V2 v bodě P . Zakreslete; 3.Určete sílu Fm, která působí na úsek délky h = 0,80 m vodiče V3, Zakreslete.P-15 Obdélníkovou smyčkou KLMN (obr. 1.146) jde proud I1 = 20 A a tenkým, velmi dlouhýmvodičem V , který leží v rovině smyčky, proud I2 = 30 A. Úkoly: 1. Určete indukci magnetickéhopole, vytvořeného v bodě L a) vodičem V . Zakreslete; b) vodičem KN . Zakreslete; 2. Určetesíly a) ~F1, b) ~F2, c) ~F3, d) ~F4, kterými působí magnetické pole, vytvořené vodičem V , na úsekyKL, LM , MN , NK. Zakreslete; 3. Určete výslednou magnetickou sílu, působící na smyčku.P-16 Válcovou cívkou s N = 500 kruhovými závity o poloměru r = 20 mm jde proud I = 2,00 A.Cívka je umístěna v horizontálním magnetickém poli o indukci | ~B| = 0,045 T a může se otáčetbez tření kolem vertikální osy. Poloha na obr. 1.147 je stabilní. Určete: 1. Směr proudu v cívce;2. Magnetický moment ~m cívky. Zakreslete; 3. Otáčivý moment ~M , který vyvozuje magneticképole, je-li cívka vychýlena o úhel ϕ = 30; 4. Práci, potřebnou k otočeni cívky z polohy ϕ1 = 30

do polohy ϕ2 = 120; 5. Kinetickou energii, se kterou projde cívka polohou ϕ = 0, jestliže sepřetočila působením magnetického pole z polohy ϕ = 180, v níž byla v klidu. Odpor vzduchuje zanedbatelný (viz R-2).P-17 Proton se pohybuje ve vakuu v homogenním magnetickém poli po kružnici o poloměrur = 100 mm v rovině kolmé na magnetické indukční čáry. V bodě P měla jeho rychlost velikostv = 4·105 m·s−1. Úkoly: 1. Nakreslete vektor ~v bodě P ; 2. Dokažte, že proton se pohybuje pokružnici rovnoměrně; 3. Dokažte, že uvedený pohyb je možný; 4. Určete magnetickou sílu ~Fmpůsobící na proton během pohybu; 5. Určete ~B; 6. Srovnejte sílu ~Fm s tíhou protonu.P-18 Řešte úkoly příkladu 17 za předpokladu, že se uvedeným způsobem pohybuje jednouionizovaný atom helia.

1.5 Časově proměnné elektromagnetické pole

1.5.1 Elektromagnetická indukce

1.5.1.1 Základní jevy

Elektromagnetickou indukcí se nazývají dvě skupiny jevů, a to:


HRW - Fyzika

HRW 31.1, str. 799

Poèetní pøíklad

Zadání pøíkladù týkajících se elektromagnetické indukce

http://physics.fme.vutbr.cz/files/opory/pdf/F2/priklady/ElMagIndukce.pdf

1.5. ČASOVĚ PROMĚNNÉ ELEKTROMAGNETICKÉ POLE

ç

~B

ò

Obrázek 1.147

P

r

~B

O

Obrázek 1.148

1. Jevy A: Pohybuje-li se vodič — např. kus drátu nebo cívka — ve stálém magnetic-kém poli v inerciální vztažné soustavě (obr. 1.149), působí na jeho náboje (volné i vázané)Lorentzova síla ~FL = Q(~v × ~B). Zde ~v je rychlost té části vodiče, o níž uvažujeme. Volnénáboje se ve vodiči vlivem síly ~FL přeskupí. Netvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V1

v obr. 1.149), rozloží se náboje na jeho povrchu a vytvoří elektrické pole v jeho vnitřkui v jeho okolí. Je-li v c, kde c je rychlost světla ve vakuu, je toto pole přibližně elektrosta-

Q

`v

~B

~FLIi

V1

I=konst z

x

y

~F = Q(v Ð~B)L

~B

O

Q

V2

magnet

ç1

~B = konst`

ç <ç2 1v klidu

V a V v pohybu1 2

`v`v`v

Obrázek 1.149

tické a má potenciál. V důsledku toho mají různá místa vodiče V1 různé potenciály.Tvoří-li pohybující se vodič uzavřený obvod (smyčka V2 v obr. 1.149), pohybují se jehovolné náboje vlivem Lorentzovy síly vzhledem k vodiči po celou dobu jeho pohybu. Vevodiči (smyčce, cívce) vzniká proud, který se nazývá indukovaný.

Poznámky:

1. Takto vzniká např. napětí na svorkách cívky, navinuté na otáčejícím se rotoru elektric-kého generátoru. Je-li cívka rozpojena, neprochází jí proud. Připojíme-li k jejím svorkámspotřebič (tj. vodič), bude vzniklým obvodem procházet indukovaný proud.

2. Rychlost různých míst vodičů V1, V2 (obr. 1.149) je obecně různá, vodič se může i de-formovat atd.

2. Jevy B: Je-li v inerciální vztažné soustavě vytvořeno proměnné magnetické pole,např. pohybujícím se magnetem M nebo cívkou C, v níž se mění proud (obr. 1.150),vzniká současné všude i elektrické pole, které se nazývá indukované (srov. část 1.4.1). Jeho



intenzitu označíme ~Ei. Je-li v tomto poli klidný vodič (vodič V1, V2 v obr. 1.150), působína jeho náboje elektrická síla ~Fe = Q ~Ei od indukovaného pole. Volné náboje sevlivem této síly ve vodiči posunou. Netvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V v obr. 1.150)1 rozloží se náboje na jeho povrchu a vytvoří vlastní elektrostatické pole, zcela analogickyjako vodič V1 v obr. 1.149. Tvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V2 v obr. 1.150), vzniknev něm vlivem elektrické síly od indukovaného pole ~Ei indukovaný proud.

QIi

V1

z

xy

~F = Q~Ee i

O

V2

V a V v klidu1 2

magnetç1

ç >ç2 1

v pohybu

~B(t) ~~E = 0i

I(t)

~Ei

~F = Q~Ee i

~Ei

Q

Obrázek 1.150

Poznámky:

Takto vzniká např. napětí na svorkách sekundáru transformátoru. Připojíme-li k nim spo-třebič, bude vzniklým uzavřeným obvodem procházet indukovaný proud.

3. Obecný jev elektromagnetické indukce Pohybují-li se vodiče V1, V2 v proměnnémmagnetickém poli, probíhají oba jevy A, B současně (obr. 1.151). Na volný náboj Q v boděP vodiče působí současně Lorentzova síla ~FL = Q(~v × ~B) a elektrická síla ~Fe = Q ~Ei, kde~Ei je intenzita indukovaného elektrického pole. Celková síla působící na náboj Q je

~F = ~FL + ~Fe = Q(~v × ~B) +Q ~Ei. (1.139)

Zde značí: ~B magnetickou indukci v bodě P , ~Ei intenzitu indukovaného elektrického polev bodě P , ~v rychlost vodiče v bodě P ; Q náboj volné částice. Ve vodiči V1 se náboje opětrozdělí, vznikne elektrostatické pole a různá místa vodiče nabudou různých potenciálů. Vevodiči V2 vznikne indukovaný proud.

Q

z

xy

~~Fe

O

V2

`v

V a V v pohybu1 2

I(t)

~Fl

QV1

P

M NM~B(t), ~Ei

~F = ~F + ~F e LCN

P

~F= ~F + ~F e L

`v

Obrázek 1.151



1.5.1.2 Definice indukovaného elektromotorického napětí Ei

Obecná definice elektromotorického napětí Es v orientovaném vodiči MN (obr. 1.151, vodič V1)je dána vztahem (1.77)a, tj. Es = AM→N/Q, kde AM→N je práce neelektrostatických sil připřechodu náboje Q z bodu M do bodu N vnitřkem vodiče. Síla ~F , daná vztahem (1.139), jeneelektrostatická, neboť ~FL je magnetická a ~Fe je sice elektrická, nikoliv však elektrostatická.Tedy A1→2 ve vztahu (4.2-15a) je v našem případě práce síly ~F . Elektromotorické napětí sev tomto případě nazývá indukované a značí se Ei. Je definováno vztahem

Ei =AM→NQ

=1

Q

∫ N

M( ~FL + ~Fe)·d~r =

1

Q

∫ N

M

[Q(~v × ~B) +Q ~Ei

]·d~r,

tj.

Ei =

∫ N

M

[(~v × ~B) + ~Ei

]·d~r. definice indukovaného elektromotorického napětí (1.140)

Diskuse:1. Tvoří-li vodič uzavřený obvod (vodič V2 v obr. 1.151), je M ≡ N . V definičním vztahu (1.140)je pak integrační obor uzavřená křivka.2. Jednotka [Ei] = volt.3. Zvláštní případy:

• při indukčním jevu A (obr. 1.149) je ~B konstantní (tj. s časem neměnné) a elektrická složkanevzniká, tj. platí ~Ei = ~0. V integrandu ve vztahu (1.140) je nenulový pouze první člen;

• při indukčním jevu B (obr. 1.150) jsou vodiče V1, V2 v klidu, tedy ~v = ~0. V uvedenémintegrandu je nenulový pouze druhý člen.

Indukovaný proud Ii, který vzniká v uzavřených vodičích (V2 v obr. 1.149, 1.150, 1.151),je dán obecným vztahem (1.88), který má v tomto případě tvar

Ii =EiR. indukovaný proud (1.141)

Zde Ei je indukované elektromotorické napětí, dané vztahem (1.140) aR je celkový odpor obvodu.Je-li např. obvod V2 v obr. 1.149 z nevodivého materiálu, indukované elektromotorické napětív něm vzniká, indukovaný proud však nikoliv.

V mnoha technicky důležitých situacích nelze indukované elektromotorické napětí určit nazákladě definičního vztahu (1.140), lze však užít důležitého výsledku, nazývaného Faradayůvzákon elektromagnetické indukce (rovnice (1.147)).

V dalším probereme některé indukční jevy a jejich zákonitosti podrobněji.

1.5.1.3 Indukční jevy ve vodičích, pohybujících se v časově neměnném magnetic-kém poli

Při pohybu vodičů v časově neměnném magnetickém poli působí na jejich volné náboje Lorent-zova síla, nikoliv však elektrická síla od indukovaného pole, nebo v časově neměnném magnetic-kém poli indukované elektrické pole nevzniká. Indukované elektromotorické napětí ve vodiči jedáno vztahem (1.140), v němž je ~Ei = ~0.1. Lineární přímočarý vodič pohybující se v homogenním magnetickém poli

Budeme uvažovat např. o tenké přímé kovové tyči délky 1, která se pohybuje stálou rychlostí~v v homogenním magnetickém poli podle obr. 1.152a v inerciální vztažné soustavě Oxyz. Vektor


HRW - Fyzika

HRW 31.3, str. 800

HRW - Fyzika

HRW 31.5, str. 804


~B míří za nákresnu, rychlost ~v (v c) je orientována shodně s Oz. Na volné elektrony vodičepůsobí Lorentzova síla ~FL = −e(~v× ~B), která je orientována opačně než Oy. Téměř okamžitě pozačátku pohybu se volné náboje v tyči vlivem síly ~FL nepatrné posunou a částečně vystoupí napovrch rodiče. Tím vznikne uvnitř i vně vodiče elektrické pole o intenzitě ~E, které je, vzhledemk předpokladu v c, velmi přibližně elektrostatické. Vlivem síly od tohoto pole se přestanouelektrony ve vodiči přesunovat. Vznikne rovnovážný stav, při němž výsledná síla působící navolné elektrony je nulová, tj. platí

~Fv = ~FL + ~Fe = −e(~v × ~B)− e ~E = ~0,⇒ ~E = (~v × ~B).

V obr. 1.152b jsou naznačeny elektrické siločáry vzniklého elektrostatického pole, které jev tyči T homogenní. Indukované elektromotorické napětí v tyči, které je orientována od P1 k P2,je dáno vztahem (1.140), kde ~Ei =~0, tj. vztahem

Ei =

∫ P2

P1

(~v × ~B)·d~r =

∫ P2

P1

|~v × ~B| cosβds =

∫ P2

P1

vB cosβds = vBl cosβ = vBl sinα.

Napětí elektrostatického pole mezi body P1, P2 vodiče je rovno

U1,2 = ϕ− 1− ϕ2 =

∫ P2

P1

~E·d~r =

∫ P2

P1

−(~v × ~B)·d~r = −ε1 = −vBl sinα.

V situaci, naznačené na obr. 1.152a je Ei > 0, ϕ1 < ϕ2. Dotýká-li se pohybující se tyč vedvou vodivých kluzných kontaktech K1, K2 (obr. 1.153) nepohyblivého vodiče V , který má na-značený tvar, přesune se vlivem elektrického pole, buzeného náboji tyče, část volných nábojůz tyče T do vodiče V a naopak, takže ve vodiči V vznikne rovněž elektrostatické pole. Současněse elektrostatické pole v tyči poněkud zeslabí a Lorentzovy síly převládnou nad elektrickými.Celým obvodem začne procházet indukovaný proud I, který je dán obecným vztahem Ii = E ′i/R,kde E ′i je elektromotorické napětí indukované v obvodu. Ježto v klidném vodiči se elektromo-torické napětí neindukuje, platí Ei = Ei, kde Ei je indukované elektromotorické napětí v tyči.Předpokládáme-li, že elektrický odpor vodiče V a kontaktů K1, K2 je zanedbatelně malý, jeIi = Ei/(RT +R1 +RA).

Q = -e

zx

y ~F = -e~Ee

O

P , ç2 2

b)

tyč v pohybu

~E

Q = -e

~(`v Ð~B)

P , ç1 1

T

~F = Q(`v Ð~B)L

T

detail

a)

~B

Obrázek 1.152

2. Vztah mezi indukovaným elektromotorickým napětím Ei a magnetickým indukč-ním tokem φ

Hlavním cílem této části je dokázat platnost vztahu (1.144), tj. i vztahu (1.147), v případěnaznačeném v obr. 1.154.

Uvažujme o kruhové vodivé smyčce C o poloměru r, která v některém okamžiku t0 vykonáváv inerciální vztažné soustavě Oxyz translační pohyb rychlostí v magnetickém poli tyčového


HRW - Fyzika

HRW 31.3, str. 800


x

y

O

Ii B

~B

CD

RA

R1A

VK1

K2

AT

Ii

l ~~`v = 0

`v0

Obrázek 1.153

magnetu M v poloze naznačené na obr. 1.154. Střed smyčky se pohybuje po ose magnetu.Indukované elektromotorické napětí ve smyčce, kterou orientujeme podle náčrtku, je, podledefinice (1.140), dáno vztahem

Ei =

∮C

(~v × ~B).d~r.

Vzhledem k symetrii má vektor ~v × ~B všude směr tečny ke křivce C a velikost |~v × ~B| =vB sinα, takže dostáváme

Ei =

∮C|~v × ~B| cos 0ds = vB sinα

∮C

ds = 2πrvB sinα. (1.142)

Toto indukované napětí lze vyjádřit ve tvaru (1.144). Důkaz: Magnetický indukční tok φorientovanou smyčkou C, definovaný v odst. 1.4.4, se s časem mění, neboť křivka C se pohybujev nehomogenním magnetickém poli. Je tedy funkcí času, φ(t). Nechť v okamžiku t1 je smyčkav poloze C1(t1) (obr. 1.155) a indukční tok nechť je φ1. V pozdějším okamžiku t2 = t1 + ∆t,kde ∆t je velmi malé, je smyčka v poloze C2 a indukční tok je φ2 = φ1 + ∆φ, kde jsme označili∆φ = φ2 − φ1. Indukční tok φ1 orientovanou křivkou C1 je (podle definice) roven indukčnímu

xyO

~B

`v

z

M

C

r

o

v klidu

S N

(`v Ð~B)

Obrázek 1.154

toku plochou S′ = V +S2, kde V je válcová ploha ohraničená křivkami C1 C2, neboť pro plochuS′, podobně jako pro plochu S1, je křivka C1 okrajem. Platí tedy φ1 = φV + φ2, kde φ1 jeindukční tok tok válcovou oblinou V . Dostáváme

∆φ(= φ2 − φ1) = −φV =∑V

BndS = −Bn∑

∆S = −(B sinα)2πrv∆t. (1.143)

Srovnáním vztahů (1.142), (1.143) vychází

Ei = −∆φ

∆t. (1.144)



V limitě pro ∆t→ 0 je Ei =dφ

dt,

kde dφ/dt je derivace funkce φ(t). Lze dokázat, že výsledek (1.144) platí obecně při libo-volném pohybu libovolného uzavřeného orientovaného obvodu v časově neměnnémmagnetickém poli.

Diskuse vztahu (1.144) je zahrnuta v diskusi vztahu (1.147), jehož je vztah (1.144) vzláštnímpřípadem.

1.5.1.4 Indukční jevy v nepohyblivých vodičích

V časově proměnných magnetických polích vznikají indukční jevy tím, že v nich vzniká indu-kované elektrické pole ~Ei. Na volné nabité částice vodičů působí elektrická síla ~Fe = Q ~Ei.Tvoří-li vodič uzavřený obvod, vzniká v něm indukovaný proud. Jestliže se vodič nepohybuje, ne-působí na jeho náboje Lorentzova síla a indukované elektromotorické napětí Ei je dáno vztahem(1.140), v němž Q(~v × ~B) = ~0.

V

S1S2

C (t )2 2C (t )1 1v t

~Bn ~B

n2

Obrázek 1.155

1. Nepohyblivá kruhová smyčka v proměnném magnetickém poliVyšetřeme znovu jev, diskutovaný v předešlé části, znázorněný na obr. 1.154. Tentokrát

však jej budeme zkoumat v inerciální vztažné soustavě O′x′y′z′, která se pohybuje vzhledemk soustavě Oxyz (tj. vzhledem k magnetu) stálou rychlostí ~v, v c (obr. 1.156). V této soustavě

O'

~B

C o

v pohybu

S N

C1

~B(t)

C2

ù = -`v

x' y'

z'

~B(t) ~~E = 0i

~Ei

~Ei

Obrázek 1.156

je smyčka v okamžiku t0 v klidu, magnet se pohybuje rychlostí ~u = −~v, V soustavě O′x′y′z′ jemagnetické pole proměnné a vzniká v něm indukované pole elektrické, jehož intenzita je ~E′.Vektory ~E′ a ~B′ v soustavě O′x′y′z′ jsou dány vztahy (1.102), tj.

~E′ = −~u× ~B′ = ~v × ~B′, ~B′ = ~B.

Vektor ~E′ má směr tečny ke smyčce, kruhová smyčka tedy splývá s elektrickou siločárouindukovaného elektrického pole. Elektrická síla ~Fe = Q~E′, působící na volný náboj vodiče, je



stejná jako Lorentzova síla ~FL, která na něj působí v soustavě Oxyz. Je to, samozřejmě, jednaa tatáž síla, v jedné soustavě (Oxyz) je to však síla Lorentzova, v druhé (0’x’y’z’) síla elektrická.Elektromotorické napětí Ei indukované ve smyčce je

E ′i =

∮C

~Ei·d~r =

∮C

~E′ds =

∮C|~v × ~B|ds = Ei,

tj. je opět dáno vztahem (1.142). Indukční tok smyčkou, φ′ = φ, se nyní mění nikoliv vlivempohybu smyčky, nýbrž vlivem měnícího se ~B′ v soustavě 0′x′y′z′. Je zřejmé, že opět platí

E ′i = −dφ′

dt= −dφ

dt. (1.145)

Diskuse:Podobně jako elektrická siločára splývající se smyčkou C, mají i ostatní elektrické siločáry

indukovaného elektrického pole, buzeného pohybujícím se magnetem (obr. 1.156), tvar kružnic,jejichž středy leží na ose magnetu. V obr. 1.156 jsou naznačeny dvě, C1, C2. Na rozdíl od poleelektrostatického, jehož elektrické siločáry nejsou nikdy uzavřené, má indukované elektrickápole siločáry uzavřené. Ježto na elektrická siločáře C platí vždy ~E′·d~r 6= 0, má na ní tentosoučin stálé znaménko a platí vždy ∮

C

~E′d~r = 0. (1.146)

Indukovaé elektrické pole tedy není potenciální, nýbrž vírové (srov. odstavec 1.2.2).Ukazuje se, že vztah (1.145) platí zcela obecně pro jakékoliv indukované elektricképole a pro nepohyblivý uzavřený obvod libovolného tvaru.2. Příklady vzniku indukovaného elektromotorického napětí v proměnném magne-tickém poli

a) Zapalováni v motoru (obr. 1.157). Při rozpojení kontaktů přerušovače se změní v obvoducívky Cl proud. Tím se změní magnetické pole a současně vzniká indukované pole elektrickéo intenzitě ~Ei. Toto pole působí na elektrony cívky C2 tak, že se elektrody svíčky S nabijía nabudou vysokého napětí U = |ϕ1−ϕ2|. V prostoru mezi svíčkami vznikne elektrostaticképole o intenzitě ~E, E

.= |ϕ1 − ϕ2|/d, kde d je vzdálenost elektrod. Je-li d malé, je ~E velké

a dojde k průrazu vzduchu — mezi elektrodami přeskočí jiskra.

I(t) C1C2 S

baterie~B(t)

ç1

ç2

přerušovač

¥i

Obrázek 1.157

b) Transformátor. Při změně proudu v cívce C1, navinuté na železném jádře, vzniká v jádřeproměnné magnetické pole o indukci ~B(t) (obr. 1.158) a v celém prostoru současně vznikáindukované pole elektrické. Pokud je jádro vodivé, působí na jeho volné částice sila ~F =Q ~Ei a v jádře vznikají tzv. vířivé proudy. Je-li na jádře navinuta další cívka C2 (např.sekundární cívka transformátoru), indukuje se v ní napětí Ei, dané vztahem (1.140), v němžse integruje podél všech závitů cívky C2. S rostoucím počtem závitů roste Ei. Elektrické polevzniká i v mezeře jádra. Poznamenejme, že jsme zde připomněli pouze fyzikální podstatučinnosti transformátoru. Skutečné transformátory mají uzavřená jádra konstruovaná tak,aby se omezil vznik vířivých proudů.



el. siločára

I(t)

~Ei

C2

C

C1

indukční čára

Obrázek 1.158

1.5.1.5 Faradayův zákon elektromagnetické indukce

Ukazuje se, že výsledky, které jsme získali při rozboru předešlých jednoduchých dějů, platí i přimnohem obecnějších dějích. Obecný zákon elektromagnetické indukce vyslovuje tzv. Farada-yův zákon elektromagnetické indukce. Faradayův indukční zákon: V každém uzavřenémvodivém obvodu, který se pohybuje, nebo je v klidu. v proměnném nebo stálém mag-netickém poli, se indukuje elektromotorické napětí a indukovaný proud. Indukovanéelektromotorické napětí Ei v orientovaném obvodu souvisí s indukčním tokem φ ori-entovaným obvodem vztahem

Ei = −dφ

dt. Faradayův zákon elektromagnetické indukce (1.147)

[volt = weber·sekunda−1] .

Diskuse:1. Vztah (1.147) není definiční vztah pro Ei, tím je vztah (1.140). Vztah (1.147) udává pouzesouvislost mezi Ei a změnou φ.2. Ze vztahu (1.147) je zřejmé, že indukované elektromotorické napětí vzniká jen při takovémpohybu vodiče a při takových změnách pole, při nichž se mění indukční tok φ. Při translačnímpohybu obvodu v homogenním magnetickém poli je Ei = 0 přesto, že φ je velké (obr. 1.159a).Při rotačním pohybu cívky (obr. 1.159b) je naopak v naznačené poloze φ = 0, avšak |dφ/dt| jevelké, tedy Ei je velké.

Indukční tok válcovou cívkou o N závitech v homogenním magnetickém poli je φ = Nφ1,kde φ1 je indukční tok jedním závitem (obr. 1.159c). 3. Obvod, v němž vzniká elektromotorické

~B = konst.

`v

c)a) b)

¸ = konst.¸ = 0¥ = 0i

¸ = 3¸0%¸%t

= 0¥ = 0i

Obrázek 1.159

napětí, nemusí být sám v magnetickém poli. Např. v místech smyčky C obepínající jádro v němž


HRW - Fyzika

HRW 31.3, str. 799


je proměnný indukční tok (obr. 1.158), je ~B = ~0, avšak Ei 6= 0, neboť φ 6= konst. Z definiceelektromotorického napětí plyne, že v místech smyčky vzniká elektrické pole ~Ei. Zcela analogickásituace nastává např. také v sekundární cívce C2 transformátoru (obr. 1.158).4. Indukovaný proud v obvodu, v němž není zařazen jiný zdroj elektromotorického napětí,je Ii = Ei/R. Je-li v obvodu další zdroj elektromotorického napětí, např. napětí ε1, pak jeIi = (Ei + ε1)/R.5. Faradayův indukční zákon umožňuje určit s užitím vztahu (1.147) elektromotorické napětíněkdy snáze než na základě definice (1.140) nebo i tehdy, když Ei pomocí definice určit nelze.6. Význam znaménka, minus ve vztahu Ei = −dφ/dt. Tento vztah udává Ei v uzavřenéorientované smyčce (obvodu). Chceme-li jej užít, musíme smyčku orientovat. Znaménko mi-nus pak zajišťuje souhlas vypočtené a experimentálně zjištěné orientace indukovaného elektro-motorického napětí, případně indukovaného proudu. Jako příklad uvažujme vodivou smyčkuv homogenním magnetickém poli ~B, které se zmenšuje. Orientujme ji, např. tak, jak je na-značeno na obr. 1.160. Pak je ~n ↑↑ ~B, Bn = B, φ = BnS = BS > 0, ∆φ < 0. Platí tedyEi = −dφ/dt > 0, což značí, že indukovaný proud Ii = Ei/R, kde R je odpor smyčky, jde vesměru, který udává orientace smyčky. Kdybychom orientovali smyčku opačně, bylo by Bn < 0,∆φ > 0, Ei < 0. Indukovaný proud by procházel ve směru opačném než by udávala nová ori-entace smyčky, tj. ve stejném směru jako dříve. Úkol: Proveďte diskusi děje, naznačeného naobr. 1.160 za předpokladu, že | ~B| se zvětšuje. 7. Lenzovo pravidlo. Je formulováno na konci

klesá

Ii

~B(t)

~Bi `n ~Ei

C

|~B|

~B(t+ t)

smyčky

elektromagnet

orienace

Obrázek 1.160

tohoto odstavce. Provedeme úvahu, která k němu vede. Při ději, znázorněném na obr. 1.160,vzniká indukovaný proud Ii takového směru, že jím vytvořené magnetické pole má v prostoruplochy smyčky vektor ~Bi orientován shodně s vektorem ~B. Vektor indukce výsledného magnetic-kého pole je ~Bv = ~B + ~Bi a platí Bv > B. Výsledné magnetické pole klesá pomaleji než pole ~B.Kdyby se | ~B| zvětšovalo, měl by proud Ii opačný směr, indukované magnetické pole ~Bi by mělorovněž opačný směr, tj. směr opačný než ~B. Celkové pole ~B + ~Bi by rostlo pomaleji než pole~B. V obou uvažovaných případech má indukovaný proud takový směr, že jím vvtvořenémagnetické pole ~Bi zpomaluje (tj. částečně kompenzuje) tu změnu indukčního tokuφ smyčkou, s níž veličina Ei podle vztahu (1.147) souvisí. Tento výsledek platí zcelaobecně, tj. v libovolném magnetickém poli při libovolné změně indukčního toku libovolným uza-vřeným obvodem.

Vyšetříme ještě jeden případ. Na obr. 1.161 je naznačena smyčka C s pohyblivou příčkou pdélky l, pohybující se rovnoměrně doprava. Smyčka (nebo alespoň příčka p) je umístěna v ča-sově neměnném magnetickém poli. Ve smyčce vzniká vlivem Lorentzovy síly, působící na nábojev části p a vlivem sil elektrostatického pole, vytvořeného přeskupenými náboji ve smyčce, in-dukovaný proud Ii. Na příčku p působí pak Ampérova sila ~Fm = Ii(~l × ~B), orientovaná opačněnež rychlost příčky, ~v. Tato síla pohyb brzdí. Má-li se příčka pohybovat rovnoměrně, musí na nipůsobit ještě další síly o výslednici ~Fvnj = − ~Fm. Síla ~Fvnj koná kladnou práci, která umožňujevznik proudu Ii a vývin Jouleova tepla. Kdyby proud Ii procházel v opačném smyslu, půso-


HRW - Fyzika

HRW 31.4, str. 803


bila by v obr. 1.161 Ampérova síla směrem doprava, příčka by se pohybovala urychleně, získalaby kinetickou energii a navíc by se vyvíjelo Jouleovo teplo, což by bylo v rozporu se zákonemo zachování a přeměně energie. Směr indukovaného proudu Ii je tedy takový, že zákono zachování a přeměně energie zůstává v platnosti. Všechny tyto poznatky, které platí

p

~B`v

Ii

~Fm ~Fvn l

Obrázek 1.161

zcela obecně ve všech případech elektromagnetické indukce, se často formulují v jediném tvrzení,které se nazývá Lenzovo pravidlo:

Indukovaný proud má vždy takový směr, že jím vznikající magnetické pole a vzni-kající síly zpomalují a částečně kompenzují ty děje, které jsou příčinou jeho vzniku.

1.5.1.6 Jev vlastní a vzájemné indukce

Jev vlastní indukce Prochází-li elektrickým obvodem proud, vytváří v okolním prostorumagnetické pole (obr. 1.162). Jestliže se proud mění (např. změnou odporu R), mění se i magne-tické pole a v oblasti obvodu vzniká indukované elektrické pole. V obvodu pak vzniká indukovanéelektromotorické napětí Ei, které je zvlášť velké tehdy, když je v obvodu zapojena cívka, kterábudí mohutné magnetické pole. Proud v obvodu pak nezávisí jen na elektromotorickém napětíε1 baterie B, nýbrž i na indukovaném elektromotorickém napětí Ei. Tento jev se nazývá vlastníindukce.

R

L~B

~B

I

¥i

¥i

Obrázek 1.162

G

MK2

K1

I1

¸1,2

Obrázek 1.163

Jev vzájemné indukce je znázorněn na obr. 1.163. Obvodem K1 procházející proud vytvářímagnetické po-le, které zasahuje do oblasti, kde leží jiný vodič nebo obvod K2. Změny prouduv K1 mají za následek vznik indukovaného elektromotorického napětí a (je-li vodič K2 uzavřený)indukovaného proudu v K2. Tento jev se nazývá vzájemná indukce. Dva obvody, v nichž docházík vzájemné indukci, se nazývají indukčně vázané.

Vlastní indukčnost L Elektromotorické napětí Ei, indukované v obvodu na obr. 1.162, mávelikost |Ei| = |dφdt |, kde φ je funkce, udávající okamžitý indukční tok obvodem, vytvořený prou-dem I v obvodu. Indukční vlastnosti obvodu jsou charakterizovány fyzikální veličinou L, nazva-


HRW - Fyzika

HRW 31.8, str. 812


nou buď vlastní indukčnost—nebo krátce indukčnost. K její definici pro určitý obvod (cívku)dojdeme takto: předpokládejme, že v okolí obvodu jsou jen neferomagnetické látky. Pak platí~B ∼ I a φ ∼ I, kde φ je indukční tok obvodem, orientovaným ve směru proudu, vytvořenýproudem I. Poměr φ/I udaného obvodu (cívky) nezávisí na I, nýbrž jen na tvaru a rozměrechobvodu nebo cívky, na počtu jejích závitů a na vlastnostech prostředí. Veličina φ/I charakteri-zuje obvod z hlediska jeho indukčních vlastností. Definujeme tedy veličinu L, nazvanou vlastníindukčnost obvodu (cívky), vztahem

L =indukční tok obvodem, vytvořený proudem v obvodu

proud v obvodu

tj.

L =φ

I. Definice vlastní indukčnosti

[henry = weber·ampér−1]

Jednotkou L je 1 henry = 1 H = 1 Wb·A−1. Mění-li se proud I, mění se φ a v obvodus konstantním L vzniká indukované elektromotorické napětí dané vztahem (1.147), tj.

Ei = −dφ

dt= −d(LI)

dt= −LdI

dt. (1.148)

Ježto obvod je orientován ve směru proudu, pak při rostoucím proudu (dI/dt > 0) je jehovzrůst zpomalován a při klesajícím proudu je zpomalován jeho pokles. Ze vztahu (1.148) plyne1 volt = 1 henry·ampér·sekunda−1. Cívky, užívané v laboratořích, mají L řádu 10−3 H. Magne-tický indukční tok cívkou o N stejných závitech je φ = Nφ1.

Z definičního vztahu L = φ/I a ze vztahů φ = BS, B = µ0H, kde [H] = A·m−1 dostaneme:henry = Wb·A−1 = T·m2·A−1 ⇒ H·m−1 = T·(A·m−1)−1 = [µ0], tj. [µ0] = H·m−1. Tentovýsledek jsme uvedli bez důkazu v odstavci 1.3.1.

Užívané cívky mají často feromagnetická jádra. V tom případě neplatí φ ∼ I. Při malýchzměnách proudu, tj. pro I = Io + ∆I, kde |∆I| Io, platí přibližně ∆φ ∼ ∆I. Definujeme-li Lvztahem L = ∆φ/∆I, závisí L na Io a platí Ei = −L(I0)dI

dt .

Vzájemná indukčnost M Dva magneticky (neboli indukčně) vázané obvody (cívky) jsoucharakterizovány veličinou, nazvanou vzájemná indukčnost, nebo také součinitel vzájemnéindukce, která se označuje M nebo L1,2. Je definována takto: předpokládejme opět, že v okolíobvodů není feromagnetická látka. Prochází-li obvodem K1 (obr. 1.163)) proud I1, vytváří mag-netické pole, jehož indukční tok druhým obvodem (K2) označíme φ1,2. Veličina, daná poměremφ1,2/I1, nezávisí na I1, nýbrž jen na počtu závitů, tvaru a vzájemné poloze obou obvodů. Uva-žujme o jiném ději: nech prochází proud I2 závitem K2. Indukční tok magnetického pole jímvytvořeného obvodem K1 označme φ2,1. Poměr φ2,1/I2 opět nezávisí na I2 a ukazuje se (teore-ticky i experimentálně), že platí

φ1,2

I1=φ2,1

I2.

Tyto vlastnosti uvažované dvojice obvodů umožňují definovat vzájemnou indukčnost Mobou obvodů jako veličinu, danou poměrem

M =indukční tok jedním obvodem, vytvořený prudem v druhém obvodu

proud v druhém obvodu,


HRW - Fyzika

HRW 31.12, str. 818


tj.

M =φ

I. Definice vzájemné indukčnosti

[henry = weber·ampér−1] .

Formálně je tento definiční vztah shodný s definičním vztahem pro L. Mění-li se proud I1

v jednom obvodu, vzniká v druhém obvodu indukované elektromotorické napětí εi2, dané (zapředpokladu M = konst.) vztahem

εi2 = −dφ

dt= −M dI

dt. (1.149)

Typickým příkladem indukčně vázaných obvodů jsou primár a sekundár transformátoru.

1.5.1.7 Energie magnetického pole, Wm

B

I

C D K

A

Obrázek 1.164

Připojíme-li ke zdroji elektromotorického napětí cívku (obr. 1.164), proud v obvodu narůstápostupně. V této fázi děje se energie, dodávaná zdrojem do obvodu, jen částečně přeměňujev tepelnou energii (Jouleovo teplo), zbytek energie se spotřebuje na vytvoření magnetickéhopole v oblasti obvodu a to zejména kolem cívky. Jestliže naopak zdroj vyřadíme klíčem K, budepo krátkou dobu v uzavřeném obvodu ABCD procházet proud dál v naznačeném směru a budese tedy dále vyvíjet Jouleovo teplo. V této fázi vrací zanikající magnetické pole energii zpět doobvodu. I z řady jiných pokusů, jako je např. přenos energie elektromagnetickými vlnami, plyne,že elektromagnetická pole a jeho složky — pole elektrické a magnetické — mají energii.

1. Energie magnetického pole vytvořeného proudem I v oblasti obvodu o vlastniindukčnosti L. V obvodu na obr. 1.165 je klíč nejprve rozpojen a v okamžiku t = 0 jesepnut. V tomto okamžiku je proud nulový, I = 0 a magnetické pole je rovněž nulové. Proudpostupně narůstá a jeho okamžitá hodnota I(t) (při orientaci obvodu podle obr. 1.165)souvisí s elektromotorickým napětím zdroje ε a s indukovaným elektromotorickým napětímEi vztahem

ε+ Ei = (R+R0)I, tj. ε = (R+R0)I + LdI

dt.

Násobením poslední rovnice proudem I(t) se dostane rovnice

I(t)R

L¥, R0

Obrázek 1.165


HRW - Fyzika

HRW 31.10, str. 815


εI = (R+R0)I2 + LIdI

dt,

jejíž jednotlivé členy mají tento energetický význam: člen εI na levé straně rovnice jeokamžitý výkon, se kterým pracuje zdroj; na pravé straně rovnice je (R + R0)I2 výkon,se kterým se vylučuje teplo v obvodu. Rozdíl εI − (R+R0)I2 je zřejmě výkon, se kterýmpřechází energie do vznikajícího magnetického pole. Označíme-li energii magnetického poleWm, pak pro tuto veličinu, která je funkcí času, platí

d

dtWm = εI − (R+R0)I2 = LI

dI

dt.

Celková energie ∆Wm, dodaná poli od okamžiku sepnutí t = 0 do jistého okamžiku t0 > 0,kdy proud má hodnotu I0, je dána vztahem

∆Wm =

∫ t0

0LI

dI

dtdt =

∫ I0

0LIdI =

1

2LI2

0 .

Ježto pro t = 0 bylo Wm = 0, je energie magnetického pole v okamžiku, kdy procházíproud I, dána vztahem

Wm =1

2LI2. energie magnetického pole (1.150)

[joule = henry·ampér2]

2. Hustota energie magnetického pole wm. Tato veličina, je definována vztahem wm =∆Wm/∆V , kde ∆Wm je energie magnetického pole obsažená v malém elementu o objemu∆V . Určí se podobně jako hustota energie elektrického pole we (rovnice (4.1-46)), kteráse určila tak, že se vyšetřovala energie nabitého deskového kondenzátoru, vyznačujícího setím, že

a) elektrické pole v kondenzátoru je přibližně homogenní,

b) jeho kapacitu C lze vyjádřit pomocí jeho objemu.

Analogický magnetický prvek je štíhlý, husté vinutý toroid, vyznačující se tím, že

a) magnetické pole v jeho vnitřku má všude stejnou velikost, | ~B| = konst.,

b) jeho vlastní indukčnost L lze vyjádřit pomocí jeho objemu. Ze vztahu (1.150) a z defi-ničního vztahu pro wm pak plyne vztah wm = HB/2, analogický vztahu we = ED/2(viz rovnice (1.61)).

1.5.2 Maxwellova teorie elektromagnetického pole

1.5.2.1 Magnetomotorické napětí v obecném poli, εm. Maxwellův proud

Obsahem této části je vyvození a diskuse zákonitostí a vztahů analogických ke vztahům, vy-jadřujících zákon elektromagnetické indukce v nepohyblivých vodičích. Hlavní výsledek tohotoodstavce je rovnice (1.158). Dojdeme k ní takto:

Všude tam, kde se mění magnetické pole, vzniká i pole elektrické (viz odstavec 1.4.1).Schematicky:

~B = ~B(t) → existuje ~E 6= ~0 (1.151)


HRW - Fyzika

HRW 32.9, str. 846


Je-li C libovolná orientovaná křivka, nepohyblivá v inerciální vztažné soustavě Oxyz a je-liS orientovaná plocha, kterou má křivka C za okraj (obr. 1.166), pak platí: Ei = −dφ

dt , tj.∫C

~E · d~r = − d

dt

∫∫S

~B · ~ndS =

∫∫S

−∂~B

∂t· ~ndS, (1.152)

kde Ei je elektromotorické napětí v křivce C a φ je magnetický indukční tok plochou S. Ukážeme,

x0 y

z

C

~E

~B(t)`n`n

%r

S

Obrázek 1.166

že mezi vektory elektromagnetického pole existuje vztah, který je analogický ke vztahu (1.151),avšak v jistém smyslu „převrácenýÿ. Mění-li se totiž v některé oblasti pole elektrické, existujetam i pole magnetické. Schematicky:

~E = ~E(t) → existuje ~B 6= ~0. (1.153)

Podobnost vztahů (1.151) a (1.153) je zřejmá. V dalším vyvodíme vztah (1.158), který jepodobný vztahu (1.152). Uvažujme o bodovém náboji Q, který se pohybuje rychlostí ~v (v c)ve vakuu (nebo přibližně ve vzduchu) v inerciální vztažné soustavě Oxyz směrem ke kruhovéorientované smyčce C o poloměru r podle obr. 1.167. Uvažujme o integrálu (4.1-39a), tj.

z

x y

`n 'CC

S

`v

~D=¥ ~E0

'¸ =¸e2 e1

¡¸eV

'¸ =¸ +¸e2 e2 eV

v¾t

v¾t

¸e1

Q,t2

Q,t1

n

~B

Obrázek 1.167

ψ =

∫∫~D·~ndS, (1.154)

vztaženém k uzavřené ploše sestavající ze dvou kruhů ohraničených kružnicemi C, C ′ a z válcovéplochy V . Z Gaussova zákona (4.1-39) plyne ψ = 0. Odtud a z obr. 1.167 plyne: Označíme-liψ1, ψ2 elektrické indukční toky kruhem obraničeným křivkou C v okamžicích t1, t2 = t1 + ∆t,kde ∆t je velmi malé, je zřejmé, že platí ψ2 > ψ1 a že rozdíl ψ2 − ψ1 = ∆ψ je právě elektrickýindukční tok ψV válcovou plochou ohraničenou křivkami C, C ′. Na této válcové ploše je zřejmě



průmět vektoru ~D do normály konstantní, takže platí

ψV =

∫∫vlec

~D · ~ndS = ~n · ~DSV = (D sinα) · 2πrv∆t,

takže∆ψ

∆t=ψ2 − ψ1

∆t=ψV∆t

= 2πrvD sinα. (1.155)

Pohybující se náboj Q vytváří i magnetickou složku pole. Vektor ~B je dán vztahem (1.104),tj. platí

~B =1

c2(~v × ~E)⇒ ~B =

1

c2vE sinα.

Magnetomotorické napětí v orientované křivce C je

εm =

∮C

~H · d~r =1

µ0

∮C

~B · d~r =1

µ0

∮CBds =

1

µ0c22πrvE sinα. (1.156)

Srovnáme-li vztahy (1.155), (1.156) a užijeme-li vztahů ~B = µ0~H, ~D = ε0

~E, µ0 = 1/(ε0c2),

dostaneme v limitě pro dt→ 0 vztah∮C

~H · d~r =dψ

dt, tj.

∮C

~H · d~r =d

dt

∫∫S

~D · ~ndS =

∫∫S

∂ ~D

∂t· ~ndS. (1.157)

Je zřejmé, že vztahy (1.152), (1.157) jsou zcela analogické. Platnost vztahu (1.157) jsmedokázali pro situací, naznačenou na obr. 1.167. Ukazuje se však, že vztah (1.157) je platnýobecně, tj. pro jakékoliv pole a pro jakoukoliv pevnou křivku C, pokud plocha S neprotínámísta, kterými procházejí makroskopické proudy. Jsou-li poblíž smyčky makroskopické proudy,přispívají rovněž k vytvoření magnetického pole i k hodnotě magnetomotorického napětí (vizrovnice (1.134)), takže platí ∮

C

~H · d~r =

∫∫S

∂ ~D

∂t·~ndS +

∑Ik, (1.158)

~H

%r

n

~D(t),~H

I

¼~D¼t

ì =M

Obrázek 1.168

kde∑Ik je algebraický součet proudů jdoucích plochou S viz odstavec 1.4.4, obr. 1.132

a obr. 1.168). Ze vztahu (1.158) je zřejmé, že na vytvoření magnetického pole (tj. na hodnotěvektoru ~H) se podílejí jak proudy

∑Ik, tak veličina daná integrálem na pravé straně vztahu

(1.158). Tento integrál se nazývá Maxwellův proud a vektor ~im = ∂D/∂t hustota Ma-xwellova proudu na paměť fyzika J. C. Maxwella, který uvedené zákonitosti elektromagnetic-kého pole formuloval. Elektrický proud, způsobený pohybem nabitých částic, se v této souvislostiněkdy nazývá „vodivýÿ proud. Hlavní význam vztahu (1.158) je v tom, že


HRW - Fyzika

HRW 32.10, str. 848


1. Ukazuje, že při každé změně elektrického pole vzniká i pole magnetické a že Maxwellůvproud je z hlediska vzniku magnetického pole ekvivalentní proudu vodivému.

2. Ze vztahu (1.158) a z několika ostatních základních vztahů, které jsme v textu uvedli,vyplývá, že elektromagnetické pole se může šířit rychlostí světla, tj. že mohou existovatelektromagnetické vlny. Tento výsledek, který získal Maxwell, ještě před experimentálnímzjištěním existence elektromagnetických vln, znamenal mezník ve sdělovací elektrotechnicei v poznání elektromagnetické povahy světla.

3. Při úvaze, vedoucí ke vztahu (1.158), jsme předpokládali, že jevy probíhají ve vakuu.Ukazuje se však, že vztah (1.158) platí zcela obecně i v přítomnosti libovolných látek (viznásledující odstavec).

1.5.2.2 Maxwellovy rovnice

Vztahy a zákonitosti, které se uplatňují v elektromagnetických jevech, jež jsme vyšetřovali,nejsou na sobě obecně nezávislé. Např. z Coulombova zákona vyplývá Gaussúv zákon a nao-pak lze ukázat, že z Gaussova zákona, vyplývá zákon Coulombův. J. C. Maxwell ukázal, ževšechny zákony a výsledky teorie elektromagnetického pole, která se dnes nazývá „klasickáÿ, lzeodvodit jako důsledek několika základních obecných zákonů. Tyto obecné zákony, společně sevšemi teoretickými důsledky z nich plynoucími, tvoří tzv. Maxvellovu teorii elektromagne-tického pole. Vztahy, jimiž jsou tyto obecné zákonitosti matematicky formulovány, se nazývajíMaxwellovy rovnice. Všechny vztahy a rovnice zde již byly uvedeny a vyšetřeny, nyní je shr-neme. Nechť elektromagnetické pole, vytvořené náboji Q a proudy ~I v libovolném prostředí —

`n `n

`n

`n`n

`n

CS2

S1

Q1

Q

Q2

I1

I2

Obrázek 1.169

obsahujícím obecně vodiče, dielektrika atd., je v inerciální vztažné soustavě Oxyz charakterizo-váno vektory ~E(x, y, z; t), ~D, ~B, ~H. Nechť S1 je libovolná uzavřená plocha orientovaná vnějšínormálou a nechť C je libovolná pevná uzavřená orientovaná křivka (obr. 1.169). Pak platí:

Hlavní Maxwellovy rovnice

1. Zákon magnetomotoriokého napětí (I. Maxwellova rovnice)∮C

~H · d~r =dψ

dt+∑

I, (1.159)

kde ψ je elektrický indukční tok plochou S2, která má křivku C za okraj, definovaný vzta-hem (1.154), viz rovnice (1.158). Integrálem na levé straně je definováno magnetomotorickénapětí. Součet

∑I je algebraický součet proudů, které procházejí plochou S2.


HRW - Fyzika

HRW 32.11, str. 850


2. Zákon elektromagnetické indukce (II. Maxwellova rovnice)∮C

~E · d~r = −dφ

dt, (1.160)

kde φ je magnetický indukční tok křivkou C, definovaný vztahem (1.130), viz rovnice(1.147). Integrálem na, levé straně je definováno Ei, viz rovnice (1.140).

3. Gaussův zákon pro elektrické pole (III. Maxwellova rovnice)∫∫S1

~D · ~ndS =∑

′Q, (1.161)

kde∑′Q je algebraický součet „pravýchÿ (tj. nikoliv polarizací vzniklých) nábojů uvnitř

plochy S1 (viz rovnice (1.53)).

4. Gaussův zákon pro magnetické pole (IV. Maxwellova rovnice)∫∫S1

~B · ~ndS = 0 (1.162)

Uvedené čtyři vztahy se nazývají Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru nebo také „hlavníMaxwellovy rovnice v integrálním tvaruÿ. Názvu „integrálníÿ se užívá pro odlišení od diferenci-álních rovnic, jež lze získat z těchto rovnic užitím vektorové analýzy.

Vedlejší Maxwellovy rovnice K hlavním Maxwellovým rovnicím (1.159)–(1.162) se připo-jují tzv. vedlejší Maxwellovy rovnice, které udávají vztahy mezi dvojicemi vektorů ( ~E, ~D), ( ~H,~B), (~i, ~E) a vztah pro sílu, kterou působí elektromagnetické pole na bodový náboj. Tyto vztahymají v různých látkách různý tvar. Jsou-li látky z elektromagnetického hlediska lineární v tomsmyslu, že platí ~D ∼ ~E, ~B ∼ ~H, ~i ∼ ~E, což je případ nejčastěji se vyskytující, pak vedlejšíMaxwellovy rovnice mají tvar

~D = εrε0~E, ~B = µrµ0

~H, ~i = γ ~E (1.163)

~F = Q~E +Q(~v × ~B), (1.164)

viz rovnice (1.56), (1.129), (1.70), (1.11). Jsou to tedy rovněž vztahy, které zde již byly uvedeny.Význam Maxwellových rovnic je v tom, že z nich lze deduktivním způsobem získat vztahy

a zákonitosti, uplatňující se v různých oblastech elektrotechniky — v teorii elektrických sítí, vesdělovací elektrotechnice, a to zejména v nauce o elektromagnetických vlnách atd.

1.5.2.3 Příklady — Časově proměnné magnetické pole

R-1 Tenká kovová tyč T se otáčí v homogenním magnetickém poli o magnetické indukci ~Búhlovou rychlostí ~ω ↑↑ ~B kolem osy o podle obr. 1.170. Úkoly:

1. Určete elektromotorické napětí indukované v úseku P1P2;

2. Rozhodněte, který ze vztahů ϕ(P1) R ϕ(P2) platí;

3. Určete U = |ϕ1 − ϕ2|.

Řešení:



r1

`v Ð~BP2

~Br2

%r

vP1o

»

T

Obrázek 1.170

1. Ei =? Orientujeme tyč od P1 ku P2. Pak podle definice (1.140), kde ~Ei = ~0, platí:

Ei =

∫ P2

P1

(~v × ~B) · d~r, kde ~v ⊥ ~B, (~v × ~B) ↑↑ d~r, v = ωr.

Odtud

Ei =

∫ P2

P1

vBdr =

∫ r2

r1

ωrBdr =ωB

2(r2

2 − r21).

2. ϕ1 R ϕ2? Podle rovnice (1.84), kde Is = 0 a Es = Ei, platí

ϕ1 − ϕ2 = −Ei = −ωB2

(r22 − r2

1) < 0 ; tedy ϕ1 < ϕ2.

3. U =?

U = |ϕ1 − ϕ2| =ωB

2(r2

2 − r21).

R-2 Smyčka obdélníkového tvaru o stranách a, b rotuje v homogenním magnetickém poli o in-dukci ~B úhlovou rychlostí ~ω ⊥ ~B podle obr. 1.171. V okamžiku t = 0 měl úhel α hodnotu α0.Určete (jako funkce času.) veličiny:

1. Indukované elektromotorické napětí εiAB v orientovaném úseku AB;

2. UAB = ϕA − ϕB;

3. Indukované elektromotorické napětí Ei v orientované smyčce ABCDA s užitím definičníhovztahu;

4. Určete Ei s užitím Faradayova indukčního zákona.

%~r

D

A

B

Cb

a

v Ð~Bv

n

~B

»

v ¡

¡

v Ð~B

v Ð~B

Obrázek 1.171

Řešení:



1. εiAB =? Užijeme definičního vztahu (1.140), kde ~Ei = 0, tedy

εiAB =

∫ B

A(~v × ~B)·d~r =

∫ B

A(~v × ~B)sds =

∫ B

AvB sinαds = vBa sinα.

Přitom α = ωt+ α0, tedy

εiAB = vBa sin(ωt+ α0) =ωb

2Ba sin(ωt+ sinα0).

2. UAB(= ϕA−ϕB) =? Úsek AB je vodič s elektromotorickým napětím. Podle vztahu (1.84)platí

ϕA − ϕB + εiAB = RIs, kde Is = 0, tedy UAB = −εiAB.

V poloze na obr. 1.171 je εiAB > 0, tedy UAB < 0, neboli ϕA < ϕB.

3. Ei =? — podle definice

Podle definice (1.140), kde ~Ei = ~0, je

Ei =

∫ABCDA

(~v× ~B)·d~r =

∫AB

+

∫BC

+

∫CD

+

∫DA

=

∫AB

(~v× ~B)sds+0+

∫ D

C(~v× ~B)sds+0 = 2εiAB,

tj.Ei = ωab·B sin(ωt+ α0) = ωSB sin(ωt+ α0), (1.165)

kde S = ab.

Ve výpočtu jsme užili vztahu (~v× ~B) ↑↑ d~r, platného na AB a na CD a vztahu (~v× ~B) ⊥ d~r,platného na BC a na DA.

4. Ei =? — podle Faradayova zákona

Podle Faradayova zákona, rovnice (1.147), je Ei = −dφ/dt, kde φ je indukční tok oriento-vanou smyčkou ABCDA. Ježto smyčka je rovinná a pole homogenní, je φ = S·B cosα =S·B cos(ωt+ α0). Tedy

Ei = −dφ

dt= − d

dt[SB cos(ωt+ α0)] = +ωSB sin(ωt+ α0),

což je výsledek shodný s výsledkem (1.165).

Hlavní výsledek: Výsledek (1.165) lze psát ve tvaru Ei = εi0 sin(ωt+α0), kde εio = SBω = φ0ωje amplituda napětí a φ0 maximální indukční tok smyčkou. Smyčka nebo cívka rotujícív homogenním magnetickém poli je tedy zdrojem sinusového, tj. střídavého, napětí.P-1 Uzavřený vodivý obvod na obr. 1.172 je tvořen pevnou kovovou částí BCDA a kovovoutyči T délky l = 120 mm, která se pohybuje rovnoměrně rychlostí ~v, v = 5,0 m·s−1 a dotýkáse pevné části obvodu v kluzných kontaktech AB. Obvod je v homogenním magnetickém polio indukci ~B, B = 0,040 T, která je kolmá na nákresnu a míří před ni. Odpory zařazených prvkůjsou R1 = 2,0·10−2 Ω, R2 = 1,5·10−2 Ω, RT = 8,0·10−3 Ω. Odpory kontaktů a ostatních částíobvodu jsou zanedbatelně malé. Určete: 1. Směr a velikost Lorentzovy síly působící na elektronv tyči. Zakreslete; 2. Směr Lorentzovy síly působící na elektron v částech BC, CD, DA připrůchodu indukovaného proudu. Zakreslete; 3. Indukované elektromotorické napětí v tyči, v částiBCDA a v celém uzavřeném orientovaném obvodu ABCDA; 4. Směr a velikost indukovanéhoproudu. Zakreslete; 5. Napětí na vodičích R1, R2 a napětí UAB = ϕA − ϕB; 6. Intenzitu ~E



elektrostatického pole v tyči. Zakreslete; 7. Výkon P1, se kterým se vylučuje teplo v obvodu;8. Sílu F1, kterou působí magnetické pole na tyč a sílu F2, kterou musíme působit na tyč, abyse pohybovala rovnoměrně (tření v kontaktech zanedbejte). Zakreslete; 9. Výkon P2 síly F2.Srovnejte P1 s P2.P-2 Pro děj, znázorněný na obr. 1.172, řešte úkoly:

A

B C

D

~B

R1

R2

RT

RT

lT

`v

Obrázek 1.172

1. Určete magnetický indukční tok orientovanou smyčkou ABCDA jako funkci času a jehoderivaci podle času;

2. Určete Ei ve smyčce užitím Faradayova indukčního zákona. Srovnejte jej s výsledkem řešenípříkladu P-1.

~B Y

X

q = -e

I`s

a

b

Obrázek 1.173

P-3 Vodičem obdélníkového průřezu se stranami a, b, umístěným v příčném homogenním mag-netickém poli o indukci ~B, jde proud I v naznačeném směru (obr. 1.173). Předpokládejte, žeproud je způsoben pohybem elektronů, jež mají rychlost ~v.Úkoly:

1. Určete orientaci vektoru ~v. Zakreslete;

2. Určete směr a velikost Lorentzovy síly působící na elektron;

3. Rozhodněte: Vlivem Lorentzovy síly se hromadí elektrony u okraje (X, Y ?). Okraj X senabíjí (kladně, záporně?), okraj Y (kladně, záporně?);

4. Vlivem rozdělení nábojů vznikne ve vodiči dodatečné příčné elektrická pole ~E, vyvozujícítakovou sílu, že elektrony se nadále pohybují konstantní rychlostí ~v. Určete sílu, kteroutoto pole působí na volný elektron. Určete intenzitu ~E. Zakreslete;

5. Dokažte, že platí

|ϕ(X)− ϕ(Y )| = v·Bb;

6. Označíme n0 = (počet volných elektronů)/(objem vodiče). Dokažte

a) platí I = e/n0v·S, kde S = ab;



b) napětí UH = |ϕ(X)− ϕ(Y )|, které se nazývá Hallovo, je dáno vztahem

UH = KHIB

a, (1.166)

kde KH je tzv. Hallova konstanta;

7. Uvedený jev, tj. vznik napětí UH se nazývá Hallův jev. Zjistíme-li pro určitý vodič hodnotukonstanty KH , např. tak, že při známém ~B změříme hodnoty UH , I, a, pak pomoci vztahu(1.166) můžeme určovat B;

8. Vyšetřete průběh jevu v případě, že pohyblivé náboje ve vodiči nejsou elektrony, nýbržkladné náboje.

C1

C2ABI1

P

Obrázek 1.174

P-4 Cívka C1 je připojena k elektrická síti a prochází v ní ve směru naznačeném na obr. 1.174proud, který a) je stálý, b) klesá, c) roste. V její blízkosti je rozpojená vodivá smyčka C2. Propřípady a), b), c) řešte ukoly:

1. Rozhodněte, zda v okolí smyčky C1 vzniká pole magnetické nebo obecné elektromagnetické;

2. Vyšetřete, zda ve smyčce C2 vzniká indukované elektrické pole a v jednom jejím boděnakreslete (přibližně) vektor ~Ei;

3. Rozhodněte, zda ve smyčce C2 vzniká indukované elektromotorické napětí a indukovanýproud. Rozhodněte o platnosti vztahů ϕA − ϕB R 0.

4. Svorky A, B spojíme nakrátko. Rozhodněte, zda ve smyčce C2 vzniká indukovaný proud.Vzniká-li, určete jeho směr.

5. Ve středu P smyčky C1 nakreslete vektor ~B1 magnetického pole buzeného proudem I1

a vektor B2 pole buzeného indukovaným proudem I2. Uveďte v souvislosti s Lenzovýmpravidlem.

I1

t2

tOt1

Obrázek 1.175

P-5 Na obr. 1.175 je znázorněn časový průběh proudu I1 v orientované smyčce C1 na obr. 1.174.Úkoly:

1. Určete časový průběh napětí U = ϕA − ϕB na, svorkách A, B (a to pouze přibližně,kvalitativně) v časovém intervalu (t1, t2). Znázorněte toto napětí graficky jako funkcičasu;



2. Určete (přibližně) okamžiky, kdy je U = 0 a kdy je |U | maximální.

C1

C3 C4

P

´

C2

Obrázek 1.176

P-6 Vodivé smyčky C1, C2, C3, C4 leží v rovině σ (obr. 1.176). Smyčka C1 je připojena ke zdrojiproměnlivého napětí a prochází ji proud I1 v naznačeném směru tak, že je a) stálý, b) roste,c) klesá. Rezistance smyček C2, C3, C4 jsou tak velké, že v nich indukované proudy jsou velmimalé ve srovnání s I1, Úkoly:

1. Vyšetřete, zda a jakým směrem budou procházet indukované proudy v C2, C3, C4;

2. Určete směr vektorů ~B1, ~B2, ~B3, ~B4 pole, buzeného proudy v C1,. . ., C4 v bodě P .

P-7 Primární cívka C1 transformátoru je dokonale vodivá, má N1 závitů a prochází jí a) rostoucí,b) klesající, c) stálý proud I v naznačeném směru (obr. 1.177). Sekundární cívka C2, má N2

dokonale vodivých závitů a je k ní připojen vodič s velkou rezistencí R. Předpokládejte, žemagnetické pole je soustředěno v jádře (tj. že nedochází k magnetickému rozptylu) a pro případya), b), c) řešte tyto úkoly:

1. Orientujte siločáry K1, K2 indukovaného elektrického pole. V bodě M nakreslete vektor~E;

2. Rozhodněte, který ze vztahů ϕC R ϕD je správný. Určete směr indukovaného proudu v R;

3. Dokažte, že pro indukovaná elektromotorická napětí v primáru a sekundáru platí

|εi1 | : |εi2 | = N1 : N2;

4. Dokažte, že pro napětí na UP na primáru a US na sekundáru platí UP = (|ϕA−ϕB|) = |εi1 ,US = (|ϕC − ϕD|) = |εi2 |, takže platí známý vztah UP : US = N1 : N2. (Pokyn k bodu 4:pro primár, orientovaný od A k B, platí rovnice (1.84), tj. ϕA − ϕB + εi1 = RP I, kde RPje odpor primátu, RP = 0.)

C1 C2

A

B

N1

MK2

N2

C

D

R

IK1

Obrázek 1.177

P-8 V magnetickém poli, vytvořeném proudem I v nekonečném přímočarém vodiči V , se pohy-buje vodivá smyčka S rychlostí ~v tak, že v okamžiku t1 = 0 s je v poloze naznačené na obr. 1.178.Přitom a = 0,10 m, b = 0,30 m, c = 0,80 m. Úkoly:

Pro I = 25A, ~v = ~v1, kde v1 = 6,0 m·s−1.



`v2

`v1

I D C

BAa b

cV S

88

Obrázek 1.178

1. Určete sílu ~FL, která působí na volný elektron v úseku AD v okamžiku t1;

2. Určete, jako funkci času, elektromotorické napětí, indukované v orientovaném úseku a)AB, b) BC, c) CD, d) DA, e) v celé orientované smyčce S;

3. Určete směr indukovaného proudu.

P-9 Řešte úkol P-8 pro I = 25 A, ~v = ~v2, kde v2 = 6,0 m·s−1(viz obr. 1.178).

P3

P1

P2

P

C1

C2

r1

r2

I%l1

r = 200 mm3

XY `

Obrázek 1.179

P-10 Dvě soustředné kruhové smyčky C1, C2, které leží v jedné rovině (obr. 1.179), mají po-loměry r1 = 140 mm, r2 = 8,0 mm a rezistance R1 = 20 Ω, R2 = 1,0 Ω. Ve smyčce C1 je stálýproud I0 = 2,5 A v naznačeném směru. Úkoly:

1. Určete vektor d ~B1 pole buzeného v bodě P proudovým elementem d~l1, dl1 = 10 mm;

2. Určete vektor ~B pole buzeného v bodě P smyčkou C1 a zakreslete jej;

3. Určete (přibližně) magnetický indukční tok plochou smyčky C2;

4. Vyslovte definici vzájemné indukčnosti dvou obvodů. Určete vzájemnou indukčnost smyčekC1, C2.

5. Ve smyčce C1 nechť je proud I2 = 5,0A. Určete (přibližně) magnetický indukční tok plochousmyčky C1.

P-11 Ve smyčce C1 v příkladě P-10 byl proud v naznačeném směru, který v intervalu od t1 = 0 sdo t2 = 0,20 s lineárně klesal z hodnoty I1 = 50 A na hodnodu I2 = 10 A. Užijte výsledků řešenípříkladu P-10 a řešte úkoly:

1. Vyjádřete matematicky a znázorněte graficky závislost proudu na čase;

2. Určete indukované elektromotorické napětí εi2 ve smyčce C2;



3. Určete napětí na, svorkách X, Y , tj. ϕX − ϕY ;

4. Určete velikost a směr indukovaného proudu Ii2 ve smyčce C2, jsou-li svorky spojenynakrátko.

P-12 Toroid se vzduchovým jádrem, jehož střední kružnice má poloměr R = 90 mm a jehožprůřez je S = 4,0 cm2, má N1 = 2 000 závitů hustě vinutých po celé délce a jde jím proudI = 4,0 A. Předpokládejte, že nedochází k magnetickému rozptylu a nejprve určete obecně a pakčíselně:

1. magnetickou intenzitu a magnetickou indukci v jádře;

2. Indukční tok průřezem jádra;

3. Indukční tok toroidem;

4. Vlastní indukčnost toroidu;

5. Jak se zvětší magnetická intenzita a vlastní indukčnost toroidu, jestliže se počet závitůztrojnásobí.

P-13 Na toroidu z P-12, jehož vlastní indukčnost je L1 = 3,54·10−3 H, je navinuta hustě dalšícívka (sekundární) s počtem závitů N2 = 5 000. Nakreslete náčrtek a určete (s užitím výsledkůP-12) nejprve obecně a pak číselně:

1. Indukční tok sekundární cívkou;

2. Vzájemnou indukčnost M primární a sekundární cívky;

3. Určete vlastní indukčnost L2 sekundární cívky;

4. Primární a sekundární cívku spojíme seriově tak, aby se jejich magnetická pole zesilovala.Dokažte, že pro vlastní indukčnost L takto vytvořeného toroidu platí L = L1 + L2 + 2M .Určete L;

5. Určete vlastní indukčnost toroidu, vzniklého seriovým spojením primáru a sekundáru tak,že se jejich magnetická pole zeslabují;

6. Nechť v primární cívce je proud I = I0 sinωt, kde I0 = 0,60 A, ω = 314 rad·s−1. Sekun-dární cívka nechť je rozpojena. Určete elektromotorická napětí indukovaná v primárnía sekundární cívce.

P-14 V ideální cívce (R = 0) orientované od A k B o indukčnosti L = 1,2 mH je proudi = I0 sinωt, kde I0 = 4 A, ω = 100πrad·s−1. Určete:

1. Indukované elektromotorické napětí Ei;

2. Svorkové napětí uAB(= ϕA − ϕB);

3. Fázový posuv mezi proudem a napětím;

4. uAB pro a) t1 = O s, b) t2 = 2,543 s.

P-15 Svorkové napětí uAB = ϕA − ϕB ideální cívky (R = 0) o vlastní indukčnosti L = 2 mH jeuAB = U0 sin(ωt+ ϕ), kde U0 = 220·

√2 volt, ω = 314 rad·s−1. Určete:

1. Indukované elektromotorické napětí v cívce, orientované od A k B;



2. Proud v cívce;

3. Fázový posuv proudu a napětí.

P-16 Štíhlý toroid délky l se vzduchovým jádrem o průřezu S má N hustě vinutých závitů,kterými jde proud I, takže jeho pole je soustředěno v jádře. Dokažte, že:

1. Jeho vlastní indukčnost je dána vztahem L = µ0z2V , kde z = N/l, V je objem jádra;

2. Vztah pro jeho magnetickou energii lze psát ve tvaru Wm = µ0H2V/2, kde H je magnetická

intenzita v jádře;

3. Hustota magnetické energie v jádře je dána vztahem wm = HB/2;

4. Určete Wm a wm pro toroid v příkladu P-12.




Literatura

[1] Halliday, D., Resnik, R., Walkrer, J.: Fyzika, VUTIUM a PROMETHEUS, 2000.


Rejstřík

Ampérdefinice, 88

čáraindukční

magnetická, 77částice

elektron, 9neutrální, 8proton, 9

diamagnetismus, 95dieletrika

typy, 43dieletrikum, 34, 42

polarizace, 42dipól

elektrický, 18magnetický, 90

doména, 46

ekvipotenciály, 33elektrický proud, viz proudelektron

vodivostní, 35elektrostrikce, 47emise

termoelektrická, 36energie

bodového náboje, 28elektrického pole, 48kondenzátoru, 49magnetického pole, 120

hustota, 121vodiče, 48

feroelektrika, 46feromagnetismus, 95

hustotaproudu, 59

hystereze, 95

indukceelektrická, 45elektromagnetická, 108elektrostatická, 36magnetická, 14vlastní, 118vzájemná, 118

indukčnostvlastní, 118vzájemná, 119

intenzitaelektrického pole, 12magnetického pole, 93

jevpiezzoelektrický, 47

kapacita, 39kondenzátoru, 41

kondenzátor, 39, 41válcový, 41

konstantadieletrická, 46

látkadiamagnetická, 94feromagnetická, 94paramagnetická, 94

magnetickáremanence, 97

magnetizace, 93magnetostrikce, 97moment

elektrického dipólu, 18hybnosti

elektronu, viz spinorbitální, 92

magnetickýatomu, 91spinový, 90

136

REJSTŘÍK

nábojbodový, 12elementární, 8

napětí, 26elektrické, 32elektromotorické, 66

indukované, 111, 112magnetické, 100magnetomotorické, 121stykové kovů, 36svorkové, 66

nevodič, 35

odporměrný, 62

paramagnetismus, 94permitivita

absolutní, 46relativní, 46

permitivita vakua, 16polarizace

dieletrika, 42elektrická EP , 44remanentní, 46

poleelektrické

dvou rovin, 24kulová symetrie, 25nekonečné roviny, 23

elektromagnetické, 7, 10pohybujícího se náboje, 80složky, 11vlastnosti, 10

elektrostatické, 8, 12intenzita

magnetická, 93koercitivní, 97magnetické

lineárního vodiče, 81vodiče, 77

magnetostatické, 12nevírové, 27potenciálové, 27proměnné

magnetické, 109polovodič, 35potenciál

elektrický, 26, 30

skalární, 27superpozice, 31

práceelektrostatického pole, 27

pravidloLenzovo, 117

proud, 57definice, 57hustota, 59indukovaný, 109, 111Maxwellův, 121směr, 58vířivý, 115

proudová smyčkav magnetickém polí, 88

remanencemagnetická, 97

rovniceKirchhofova, 71Maxwellovy, 124

vedlejší, 125rychlost

driftová, 61

sílaAmpérova, 86Coulombova, 16elektromagnetická, 7Lorentzova, 14magnetická, 85působící na náboj, 15

siločáryelektrické, 17, 33

součinitel odporuteplotní, 62

spin, 92susceptibilita

elektrická, 46magnetická, 94

teploJouleovo, 60

tokelektrický

indukční, 45magnetický

indukční, 112magnetický indukční, 98


REJSTŘÍK

vodič, 34, 35rovnovážný stav, 36

vodivostměrná, 62

výkonelektrostatických sil, 60

zákonaditivnosti náboje, 9akce a reakce, 16Ampérův, 100Biotův-Savartův-Laplaceův, 82, 83Coulombův, 16Curieův, 94Faradayův, 116Gaussův

magnetismu, 99pro dieletrika, 45

Gaussův elektrostatiky, 20invariance náboje, 10kvantování náboje, 9Ohmův, 57, 62

pro uzavřený obvod, 69Weissův, 96

zdrojnapětí, 64

výkon, 66proudu, 64


Documents

Elektrina a Magnetismus Skripta