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1
2.Elektrizität und Magnetismus
2.1. Physikalische Grundgrößen und Grundgesetze2.1.1. Physikalische Grundgrößen
Raumladungsdichte [] = As/m3
elektrische Ladung V
dVQ [Q] = As = C
elektrische Spannung U [U] = V
elektrische Feldstärke E
[E] = N/As = V/m
ED r
0elektrische Flussdichte,dielektrische Verschiebung
[D] = As/m2
Permittivität des Vakuums 0 = 8.854 10-12 As/Vm
relative Dielektrizitätskonstante r
elektrischer StromdtdQI [I] = A
j
A
adjI Stromdichte [j] = A/m2mit
2
Leitfähigkeit mit Ej
[] = A/Vm
magnetische Feldstärke H
(magnetisches Feld)
[H] = A/m
HB r
0magnetische Flussdichte,magnetische Induktion
[B] = Vs/m2 = T
Permeabilität des Vakuums 0 = 4 107 Vs/Am
relative Permeabilitätskonstante r
3
2.1.2. Grundgesetze
a) Kräfte
Coulomb-Kraftbeschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:
12
122
12
21
012 4
1rrrr
rrQQF
Lorentz-Kraftbeschreibt Kraft zwischen elektrischen Strömen bzw. bewegten Ladungen und Magnetfeldern
BlIF
BvQF
4
b) Maxwellsche Gleichungen in IntegralformGrundgleichungen der Elektrodynamik
numschlosses
QadD 1. Gaussches Gesetz
0s
adB 2. Nichtexistenz magnetischer Monopole (magnetischer Ladungen)
c A
adDdtdIldH
3. Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz (Durchflutungsgesetz)
c A
adBdtdldE
4. Induktionsgesetz
Ej
BHr
0
1
c) Materialgleichungen:
ED r
0
5
2.2. Elektrostatik2.2.1. Elektrische Ladungen
Symbol Q [Q] = As = C
b) Ladung ist quantisiert
elektrische Ladungen haben Ursprung in Existenz von negativen und positivenElementarteilchen: Elektron e
Proton pElementarladung: e = 1.60219 · 10-19 As
- Ladung ist quantisiert Q = N e (N ist ganze Zahl)
Ladung Elektron: Qe = -eGesamtladung der Elektronen: Qeg = -ZeLadung Proton: Qp = +eLadung Atomkern: QK = +ZeAtom ist neutral: QAtom = Qeg + QK = -Ze + Ze = 0
a) Existenz positiver und negativer Ladungen, (+,-)
c) Ladungssumme beleibt erhalten
Die Summe der Ladungen bleibt in einem abgeschlossenen System immer erhalten: constQQi
iges
Bsp.: Kernzerfall Dissoziation – H2O OH- + H+
6
d) Kräfte zwischen Ladungen
aus Modell des Atomaufbaus folgt:- Materie ist ladungsneutral- natürlich belassene Körper haben keine
elektrostatischen Wechselwirkungen- aber Ladungsungleichgewicht kann durch
Einwirkung äußerer Kräfte entstehen
Bsp.: Reibungselektrizität(Cohns-Regel)
r(Wolle) > r(Plastik)+ + + - - -Q > 0 Q < 0
r(Porzellan) > r(Leder)+ + + - - -
Q > 0 Q < 0
Exp.: Abstoßung zwischen zwei geladenen PlastikstäbenAnziehung zwischen geladenen Plastik-und Porzellanstäben
Ergebnis:Anziehung zweier ungleicher Ladungen (+,-)Abstoßung zweier gleichartiger Ladungen (+,+) oder (-,-)
7
Experiment: Kraft in Abhängigkeit vom Abstand, F=F(r)
Ergebnis:Abhängigkeit der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Ladungen: F r-2
Coulomb-Kraftbeschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:
r
C
er
QQrr
rQQ
rrrr
rrQQF
221
0
221
0
12
122
12
21
012,
41
41
41
mit 0 = 8.854 10-12 As/Vm(Permittivität des Vakuums)(00 =1/c0
2)
Q2Q1
12,CF
1r
2r12 rrr
re
Q1 Q2 < 0
Q1 Q2 < 0: Q1 Q2 > 0: rG eF
12,
rG eF 12, Anziehung
Abstoßung
12
122
12
21rrrr
rrmmFG
Vergleiche mit Newtonschen Gravitationsgesetz Coulomb-Kraft ist auch
konservative Kraft
4010G
CFFVergleich Coulombkraft und Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen:
FC entscheidend für mikroskopische Objekte (Elektron, Kerne, Atome, Ionen)(FG zu klein und kann werden)
8
Beispiel: Blättchenelektroskop
Experiment: Blättchenelektroskop- Coulomb-Kraft- Ladung schaufeln
9
2.2.2. Das elektrische Feld
Coulomb-Kräfte sind additiv
i i
i
i
iC rr
rrrr
QqrF
204
1
- Punktadungen Q1, Q2, …, Qi an den Orten Coulomb-Kraft die von Ladungen Qi auf Probeladung q am Ort ausgeübt wird:r
irrr ,...,, 21
dVr
rrrr
rrq
dQrrrr
rrqrF
V
QC
´´´
´1
41
´´´
´1
41
20
20
- Kontinuierliche Ladungsverteilung mit differentiellen Teilladungen und LadungsdichteCoulomb-Kraft die von Ladungsverteilung auf Probeladung q am Ort ausgeübt wird:r
´´ rdQ ´r ´r
Coulombkraft hängt nur von Ladungsverteilung und Ort der der Probeladung q abr
elektrische Feld: q
rFrE C
[E] = N/C = V/m
rEqrFC
Qr
'r'rr
q
dVdQ = dV
0
10
Interpretation:
Ladungsverteilung erzeugt eine Eigenschaft des Raumes, die darin besteht,dass auf Probeladung q eine Kraft wirkt!
Diese Raumeigenschaft heißt elektrisches Feld.
+q
-Q1
-Q2
-Q3
-Q4
Schirm, Vorhang
rFC
rE
q
rFrE C
Veranschaulichung von
- entsprechen Kraftlinien entlang deren Coulomb-Kraft wirkt- sind von + nach – gerichtet, entlang Coulomb-Kraft auf positive Probeladung- Dichte ist Maß für Stärke des Feldes- entsprechen Symmetrie der Ladungsanordnung
rE
durch Feldlinien
11
Beispiele für Feldlinien des elektrischen Feldes
positive Punktladung
re
rQ
qrFrE
2
041
Kugelsymmetrie resultiert ineinem radialen elektrischen Feld
zwei Punktladungen +Q, +Q zwei Punktladungen +Q, -Q
elektrischer Dipol mitDipolfeld
Experiment: Elektrisches Feld von Punktladungen (+Q, +Q+Q, +Q –Q)
i
ii
i
iii e
rQrErE
2
041
12
Experiment: Millikan-Versuch (quantitativ)
Beachte:
auf geladene Öltröpfchen wirkende Kräfte : Coulomb-Kraft, Reibung in Luft, Auftrieb in Luft
konstante Sink-oder Steiggeschwindigkeit der Öltröpfchen ist abhängig von Masse (Radius) undLadung Z = Ne der Öltröpfchen sowie vom elektrischen Feld
Bestimmung der Elementarladung
Anwendung: Millikan-Versuch zur Bestimmung der Elementarladung
13
2.2.3. Berechnung elektrischer Felder – Das Gaussche Gesetz
V
numschlosses
dVQadD Gaussches Gesetz (1. Maxwellsche Gleichung)
ist Grundlage für die Berechnung von elektrischenFeldern, die im allgemeinen durch die Ladungsdichte verursacht werden
ED r
0mit elektrische Flussdichte (dielektrische Verschiebung) [D] = As/m2
und r = 1 für Vakuum folgt: V
numschlossess
dVQadEadD
0
+Qumschlossen
s – Oberfläche von eingeschlossenenVolumen V
s V
rE
- wir sehen D
hat physikalische Bedeutungeiner Flächenladungsdichte
14
Beispiel für die Berechnung elektrischer Felder:
Geladene Hohlkugel mit Radius R im Vakuum, r = 1
a) r > R
E
r
E
ad
umsQA
adEA
adD
0
umsQrE 240
204 r
QRrE ums
rr
rQRrE ums
2
04
besitzt radiale Symmetrie: ||
Integrationsoberfläche ist Kugelschale mit Radius r: ||
analoges Ergebnis ergibt sich für Punktladung Qums
E
Symmetrie
b) r < R
00 A
adEA
adD (da Hohlkugel)
0 RrE
r
E
R
21r
0Experiment: Elektrisches Feld von geladener
Hohlkugel bei r > R und r < R
rE
ad
r+++
++++ +
15
2.2.4. Elektrisches Potential und Spannung- Coulomb-Kraft ist konservative Kraft: 0 rdF 0 rdE
- potentielle Energie Epot der Probeladung q am Ort im elektrischen Feld der Ladung Q bezüglichReferenzpunkt :
r E
0r
''''0
00
, rdrEqrdrFrrEr
r
r
rpot
- elektrisches Potential V der Ladung Q am Ort bezüglich Referenzpunkt :r 0r
'00
,,
qrrE
rrV pot
''
00
, rdrErrVr
r
mit VAsNmV (Volt)
Beispiel: elektrisches Potential einer Punktladung Q:
''0
0
, rdrErrVr
r
mit '
'
2'0
'
4 rr
rQrE
00
'2'
00
1144
1,0
rrQdr
rQrrV
r
r
mit Referenzpunkt im unendlichen 0r
elektrische Potential potentielle Energie = Coulombenergie:und
r
QrV04
rqV
rqQrEpot
04
'rE
'rd
Q > 0
folgt:
gilt ebenfalls für geladenen Kugel bei r > R ,rV rEpot
16
- Berechnung des elektrischen Feldes aus elektrischen Potential V : rE
rdrdV
zrV
yrV
xrVrE
,,
constrV
0rdrdVrE
Beispiel: Äquipotentialoberfläche
Bedingung:
rd ist entlang Äquipotentialoberfläche gerichtet
0 rdrErdV
rdrE
(Skalarprodukt)
E
steht senkrecht zur Äquipotentialoberfläche
rd
rE
r
Q > 0
Äquipotentialoberfläche
17
- elektrisches Spannung U21 ist Potentialdifferenz zwischen zwei Orten und 2r
1r
1221 rVrVU
''''21
1
0
2
0
rdrErdrEUr
r
r
r
''21
1
2
rdrEUr
r
VU 21
Beispiel: Beschleunigung eines Elektrons mit Ladung q = -e im elektrischen Feld rE
Beschleunigung durch Coulombkraft: geleistet Arbeit W resultiert in kinetischer Energie des Elektrons W = Ekin = ½ mv2
rdEerdEerdFWr
r
r
r
r
r
1
2
2
1
2
1
''0
0
, rdrErrVr
r
12 rVrVeW 1221 rVrVU
W = eU21 = ½mv2 hier ist Einheit für Arbeit bzw. Energie: [W] = eV
Anwendung: Elektronenstrahlröhre
18
2.2.4. Elektrische Leiter im elektrischen Feld - Influenz
Elektrische Leiter (z. Bsp. Metalle) besitzen freibewegliche Ladungsträger, z. Bsp. Elektronen mit q = -e
im -Feld wirkt auf Ladungsträger Coulomb-Kraft und verschiebt dieseE
EqF
Experiment: Verschiebung der Ladung innerhalb von elektrischen Leitern in einem elektrischen Feld
Frage 1: Wie weit verschieben sich die Ladungen im Leiter unter den Einfluss des elektrischen Feldes?
Antwort 1: Elektrischen Ladungen, die auf einem Leiter aufgebracht oder durch ein elektrisches Feld erzeugt werden, sitzen nur an der Oberfläche des Leiters. Das elektrische Feld innerhalb des
Leiters ist Null:
0E
da 00 umsQA
adEA
adD Beachte: Antwort 1 gilt nur für Leiter
im Gleichgewicht = Elektrostatik !
Experiment: - Cavendish Schalen- Faraday-Käfig- Ladungstransfer auf Faraday-Becher- Van-de-Graaff Generator
19
Van-de-Graaff Generator
20
Frage 2: Wie sind die Feldlinien des elektrischen Feldes relativ zur Oberfläche gerichtet?
Antwort 2: Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche, d. h. die Oberfläche des Leiters ist eine Äquipotentialfläche.
Erklärung: Ladungen bewegen sich auf der Oberflächeauf Grund der Coulomb-Kraft so lang bis paralleleKomponenten des elektrische Feldes zur Oberfläche
(Tangential-Komponenten) verschwinden
Beachte: Auch Antwort 2 gilt nur für Leiter im Gleichgewicht = Elektrostatik !
Experiment: Spiegelladung
Elektrische Feldlinien treffen rechtwinklig auf leitende Plattenoberfläche!
Kraft auf geladene Kugel vor leitender Platte:
20
2
0 241
zQFz
Experimente: -Entladung an Spitzen- elektrischer Wind- Reaktionsrad
21
2.2.5. Kondensatoren
a) Prinzip:
Erde
+
+++++
------
Platte 1 Platte 2
U
+Q -Q
betrachten zwei leitende parallel Platten
rdrEU 2
1
QA
adE
0
UQC
FFaradV
sAC 111
Spannung zwischen beiden Platten:
aus
folgt für gespeicherte Ladung Q auf Platten:Q U, d. h. Q = C U
mit der Kapazität
Q = gespeicherte LadungU = angelegte SpannungC ist nur durch Anordnung der beiden Leiter (Geometrie) unddem isolierenden Medium dazwischen bestimmt
22
b) Berechnung der Kapazität des Plattenkondensators: Plattenabstand l, Plattenfläche A
Experiment: elektrisches Feld des Plattenkondensators,Feldlinien existieren nur im Raum zwischen Platten
Platte 1
Platte 2
+Q
-Q
A´
A´: Gaussche Integrationsfläche
Berechnung elektrisches Feld:oA
QadE
´
00´
AQAEadE
Az
mit Q = Qums
Berechnung Spannung: rdrEUrrUr
r
1
2
1221, 0,0,01 r lr ,0,02
lEdzEU zl
z 0
AQlU0
mit
Definition Kapazität:UQC
lAC 0 Kapazität des Plattenkondensators im Vakuum
Experiment: Plattenkondensators, Q l-1 für U = konst., U l für Q = konst.
- Flächenladungsdichte
AQEz0
23
- Kapazität ist von Geometrie abhängig
- Kapazität ist vom isolierenden Medium (dielektrisches Material) zwischen Leitern abhängig
z. Bsp. Zylinderkondensator(Koaxialkabel)
i
arr
lCln
2 0l - Länge des Zylinders (Kabels)
ra - Radius äußerer Leiterri -Radius innerer Leiter
z. Bsp. - Plattenkondensator mit VakuumlAC 0
- Plattenkondensator gefüllt mitdielektrischen Material mitrelativer Dielektrizitätskonstante r
lAC r0
Ursache: permanente oder induzierte molekulare Dipolmomente
Experiment: Isolierende Platte (Dielektrikum) zwischen Platten eines Kondensators schieben:wegen Q = C U beobachten wir
- bei Q = const, U sinkt Udiel < UVak- bei U= const, Q steigt Qdiel > QVak
ir
ar
24
c) Schaltung von Kondensatoren
U+
-
+Q1
-Q1
+Q2
-Q2
+Q3
-Q3
Parallelschaltung:
i
ii
iges CUQQ i
iges CCGesamtladung:
positiv und negativ geladene Plattenbilden jeweils Äquipotentialfläche
Spannungsabfälle Ui überKondensatoren sind gleich
Reihenschaltung:
ii
iiges CQUU 1
ii
ges CC 1
1
iiges CC 11Gesamtspannung:
Experiment: Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
U1 U2 U3+++- - -
+
-U
in Leitersegmenten zwischen Konden-satoren gilt
Spannungsabfälle Ui überKondensatoren addieren sich
constQi
i
25
d) Energie des elektrischen Feldes
- Aufladen eines Kondensators erfordert Arbeit- diese ist in Form von elektrischer Energie im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert
Experiment: Kondensator als Energiespeicher, Energie wird frei bei Entladung
(W = qU, Q = U C)
Aufladevorgang: Transportiere differentielle Ladung +dq von negativer zur positiver Kondensatorplatte
dabei notwendige Arbeit dqqC
dqUdW 1
Q
dqqC
W0
1 CUCQW 2
2
21
21
gesamtes Aufladen
CUWEel2
21
Arbeit W ist im elektrischen Feld als elektrische Energie gespeichert:
lAC 0für Plattenkondensator mit U = E l und folgt:
Eel = ½ E2 0 l A = ½ E2 0 V = ½ E D V
Energiedichte des elektrischen Feldes: DEVEw el
el
21
Beachte: bei Kondensator mit Dielektrikum (r >1) gilt ED
0r
und somit wel(r >1) > wel(r =1) (im gefüllten, mit Spannungsquelle verbundenenKondensator ist mehr Energie gespeichert)
26
2.3. Elektrische Gleichströme2.3.1. Stromstärke und Stromdichte
Elektrischer Strom ist Ladungstransport!Wo kann Ladungstransport stattfinden?
27
a) Stromstärke:
E
E
Elektrischer Strom ist Ladungstransport!
verknüpft
wirkt Kraft auf Ladungsträger Q aus
Betrachte Leiter mit Querschnitt A und angelegter Spannung UU ist mit elektrischen Feld
Stromfluss + -
E
Definition Stromstärke I: Ladungsmenge dQ, die pro Zeit dt durchQuerschnitt des stromführenden Leiters A fließt(Stromrichtung Querschnitt) dt
dQI [I] = As/s = A = Ampere
, deshalb entspricht I Bewegung der positiven Ladungsträger (Q > 0) Beachte: I fließt entlang E
b) Stromdichte: j
aedadIj
A
adjI
Die Stromdichte ist ein Vektor in Richtung der Normalen zum Fächenelement
[j] = A/m2
ad
bzw.
hier Q > 0
''21
1
2
rdrEUr
r
(technische Stromrichtung)
28
b) Pfeilrichtung bei Strom und Spannung:
+_
+_
+
_
Bewegung der positivenLadungsträger (Q > 0)von + nach -
beliebigeStromquelle
Gleich-stromquelle
technischeStromrichtung
29
2.3.2. Elektrischer Widerstand, Leitfähigkeit und Leistung
a) Widerstand
Welcher Zusammenhang besteht zwischen I und U?
Experimente: - Strom-Spannungskennlinie eines Ohmschen Widerstande I = f(U)- I = f(A), I = f(l)
I U, : I l-1, : I AErgebnis:
Ohmsches Gesetz: U = R I mit elektrischen Widerstand: R [R] = V/A = = Ohm
AlR s mit spezifischen Widerstand s [s] = mund
s ist Materialkonstante und ist in der Regel temperaturabhängig
( s steigt mit zunehmender Temperatur für Metalle Kaltleiters sinkt mit zunehmender Temperatur für Halbleiter Heißleiter)
30
mit Stromdichte entlang - Feld:
b) Leitfähigkeit
E
j
Leitfähigkeit:RAl
s
1[] = (m)-1
jAadjIA
lErdrEU
l
0Strom: Spannung: Ohmsches Gesetz: U = R I
ERAlj E
Ej
E l = R j A
alternative Schreibweise für Ohmsches Gesetz:
31
c) Elektrische Leistung
+ -
RStrom fließt durch Widerstand R,Ladungsträger müssen Arbeit verrichten, Arbeit wird von Spannungsquelle geliefert
- Arbeit W, die geleistet wird, wenn Ladungsmenge Q Potentialdifferenz U (Spannung) durchläuft:
QUW [W] = VAs = Ws = J = Joule
Leistung (Arbeit pro Zeit): UItQU
tWP
[P] = VA = Js-1 = W = Watt
mit U = R I (ohmsches Gesetz): P = UI = I2R = U2/R
Beachte: Die Arbeit, die der Strom leistet, wird im Widerstand in Wärme („Joulesche Wärme“) umgewandeltBeispiele: Tauchsieder, elektrischer Wasserkocher
32
2.3.3. Gleichstromkreise
2.3.3.1. Kirchhoffsche Gesetzea) Knotenregel
Aus Erhaltung der Ladung Q und folgt:
IdtdQ
4321 IIII
Knotenregel: 0k
kI
Die Summe aller Ströme, die in den Knoten münden, ist Null.
Experiment: - Demonstration Knotenregel
bzw. 04321 IIII
33
b) Maschenregel
a
brdEU
1Spannungsabfall z. Bsp. über Widerstand R1:
Da die Coulomb-Kraft eine konservative Kraft ist, gilt
EqFC
0 rdFC
und mit somit 0k
kUrdE
folgt: 04321 UUUU
Maschenregel: 0k
kU
Regeln:- Strom in Uhrzeigersinn zählen (I > 0)- eingefügte (eingeprägte), gerichtete Spannung
U4 = Ue zeigt vom höheren zum niedrigerenPotential ( Ue > 0 für + -)
- Spannungsabfälle Uk = Rk Ik an Widerständenzeigen ebenfalls vom höheren zum niedrigerenPotential ( Uk > 0 für + -) entlang positivenIk > 0
Experiment: - Demonstration Maschenregel
U1
U2
U4
U3 I3R3
a
b
34
2.3.3.2. Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze
a) Reihenschaltung von Widerständen
0 UIRk
k
k
k IRU
k
kg RR
Maschenregel:
Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz: IRU g
Experiment: Widerstände in Reihenschaltung
b) Parallelschaltung von Widerständen
Maschenregel: -R1 I1 + R2 I2 = 0-U1 + U2 = 0U1 = U2 = Uk = UIk = U/Rk
Knotenregel: k kk
k RUII 1
Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz: gRUI /
k kg RR
11Experiment: Widerstände in Parallelschaltung
35
c) Spannungsteiler
AlR s
AxR s
x
xRx
IRUR xx IRU
lx
RR
UU x
R
x
lxU
lxUU Rx 0
Experiment: - Spannungsteiler
36
+ -
U0Ri
d) Innenwiderstand einer Spannungsquelle
U0 - Leerlaufspannung (Urspannung)Ri - Innenwiderstand U – Klemmspannung mit
U falls I 0
Spannungsquelle mit Lastwiderstand R:
UIRU i 00
RIIRUU i 0
RRUIi
0
RRRUU
i 0
Kurzschluss, R = 0:
Leerlauf, R >> Ri:iR
UI 0
0UU
Ri begrenzt Strom I
Verbraucherspannung entsprichtUrspannung
Experiment: - Innenwiderstand einer SpannungsquelleU = U0 -RiI
+ -
U0Ri
R
U
IIRUU i 0
37
aus Extremwertproblem
2
202
RRURRIRIRUP
i
iRUP4
20
max
Anpassung: Leistung an R:
bei R = Ri maximale Leistung
Experiment: - Leistungsanpassungmaximale Leistung am Verbraucherwiderstandwenn R = Ri
0dRdP
folgt
0 20 40 60 80 1000.0
0.1
0.2
0.3
P (W
)
R ()R = Ri
iRUP4
20
max
38
2.4. Magnetfelder2.4.1. Magnetfelder von Permanentmagneten
Ursache des Magnetismus in Materie: Magnetische Dipolmomente durch Bahnbewegung der Elektronen und durch Spin, d. h. Eigendrehimpuls der Elektronen.Beide magnetische Dipolmomente sind nicht teilbar!
Es gibt keine isolierten magnetischen Pole, d.h. keine magnetischen Ladungen.Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen!
Konsequenz:
2. Maxwellsche Gleichung: 0s
adB
s – Oberfläche voneingeschlossenen Volumen V
rB
s V
rB
Bsp.: Magnetfeld eines Stabmagneten
Experiment: Feldlinienbild eines stabförmigen Permanentmagneten,Demonstration mit Eisenfeilspänen
Beim Durchbrechen einesStabmagneten erhält manwieder zwei Stücke mitN-und S-Pol
39
2.4.2. Magnetfelder stationärer elektrischer Ströme
Magnetfelder werden auch durch elektrische Ströme erzeugt.
Experiment: - Feldlinienbild eines geradlinigen Stromleiter- Messung B = B(r), B = B(I) mit Hall-Sonde
Magnetfeld eines geradenstromführenden Leiters: e
rIHB 0
e
3. Maxwellsche Gleichung,Ampèresches Gesetz für stationäre Ströme:
adjIsdHAc
ad
csd
sowiead sdund
bilden Rechtsschraube
jI
, BH
,undad
sd
2.4.2.1. Die 3. Maxwellsche Gleichung – Das Ampérsche Gesetz
40
2.4.2.2. Anwendungen des Ampérschen Gesetzes
a) geradliniger stromdurchflossener Leiter (Zylinder mit Radius r0)
..,, 20
0 constr
IjconstIrr
r
IrH
2
adjIsdHAc
IrHdrconstrHsdHc
2
2
0
I
rH
r
j
c sd
ad
Ad
- geschlossene Integrationskurve c entspricht -Feldlinie um Leiter bei H
r
- geschlossene Integrationskurve c spannt Integrationsfläche A auf undumschließt hier I bzw. vollständigj
drds sdH ||
e
rIrH
2bzw.
41
b) stromdurchflossene lange Zylinderspule
L
n – Windungen, L - Länge
Experiment: Feldlinienbilder Kreisstrom und Zylinderspulen
A
BC
DABCD - geschlossene Integrationskurve c
C
B
DB
A
0...
Spulevon Abstandbeliebigem
0...en weg0...
0
C
A
D
D
C
C
B
B
A
LHsdHHsdH
InsdHsdHsdHsdHsdH
LInH
42
2.5. Magnetische Induktion2.5.1. Die 4. Maxwellsche Gleichung - Das Induktionsgesetz
4. Maxwellsche Gleichung, Induktionsgesetz c A
adBdtdldE
-magnetische Induktion mit induzierter Spannung Uind kanndargestellt werden durch Ersatzspannungsquelle mit fiktiverUrspannung indUU '
0
-Pfeile für Uind und bilden Rechtsschraubead
-Pfeile für und bilden Rechtsschraubeadld
I
HB r
0
adld
E
RA
c
'H
indind Ij ,
'0UUind
+
- 1´2´
0dtBd
-induzierte Spannung Uind und induzierter Strom Iind sind
ihrer Ursache entgegengerichtet:
Lenzsche Regel
0dtBd
0'
r
BH
43
I
HB r
0
adld
E
RA
c
'H
indind Ij ,
'0UUind
+
- 1´2´
0dtBdDiskussion der 4. Maxwellsche Gleichung:
c AadB
dtdldE
linke Seite: c
indUUldEldE'
'
2
1
'0
rechte Seite:dt
dadBdtd m
A
AA
m daBadB cos
aB ,
mit magnetischen Fluss
und [m] = Vs = Tm2
dtdadB
dtdU m
Aind
induzierte Spannung:
44
Experiment: magnetische Induktion, Induktionsspulespule mit NI - Windungen im Magnetfeld der Erregerspule mitNe-Windungen, Messung mit Galvanometer
dt
daBd
dtdadB
dtdU Am
Aind
cos
allg. Messsignal am Galvanometer: tdUR
tdISt
indt
ind 00
1
LINHB ee
roro
A
Iind adBNdtdU
cos0 A
LIN
RNS eerI
Erregerspule erzeugt magn. Flussdichte
in Induktionsspule induzierte Spannung:
beobachtetes Messsignal
Experimente: Demonstration Lenzsche Regel- leitender Ring auf Magnet- Waltenhofensches Pendel (Wirbelstrombremse)
B
45
2.5.2. Selbstinduktiona) Induktivität
- diese führt wiederum zu einer selbst-induzierten Spannung Uind,s in der Spule
- Betrachte zeitabhängigen Strom I(t) durch Spule
tBs
- I(t) resultiert in zeitabhängiger magnetischer Induktion in Spule
Selbstinduktion A
ssind adtBdtdU
,
da Bs(t) I(t) folgt: dtdILUU sind ,
mit Induktivität L[L] = Vs/A = H (Henry)
- resultierender induzierter Strom Iind,s ist seiner Ursache, d. h. zeitlicher Änderung entgegengesetzt (Lentzsche Regel) dt
dI
Experimente: Selbstinduktion mit Spule
46
Beispiel: Zylinderspule
l
Länge l, Querschnitt A << l2, Windungszahl N
lAtIN
dtdadtBN
dtdtU r
As
20
dtdI
lANU r
20
dtdILU
lANL r
20
Vergleich mit ergibt für Induktivität einer Zylinderspule
l
tINtH s
l
tINtHtB rsrs
00
zeitabhängiges Magnetfeld durch Strom I(t):
Induktionsgesetz:
- Induktivität ist von der relativen Permeabilitätskonstante r des Füllmaterial der Spule abhängig
Ursache: magnetische atomare oder molekulare Dipolmomente infolge ungepaarter Elektronenspinsund des magnetischen Bahnmomentes des Elektrons
47
b) Energie des magnetischen Feldes
- Das magnetische Feld in einer Spule wird gegen die Wirkung der Selbstinduktion, d. h. gegen die selbst-induzierteSpannung U aufgebaut.
- Dazu ist Arbeit notwendig: dILIdtdtdIILdtIUdtPdW
magI
ELIdILIW 2
0 21
- Diese Arbeit W ist als Energie Emag im magnetischen Feld gespeichert.
- mit Induktivität einer Zylinderspule l
ANL r2
0
lINH
, Magnetfeld in Zylinderspule
und Volumen der Zylinderspule V = A l folgt:
BHVAlHN
lHl
ANIl
ANLIE rrr
mag 21
21
21
21
21 2
02
22202
202
Energiedichte des magnetischen Feldes: HBwmag
21
Experimente: Energiespeicherung im Magnetfeld einer Spule
48
2.5.3. Die Lorentz-Kraft auf stromdurchflossenen Leiter
0,0,0 xvv
- rechteckige Leiterschleife in xy-Ebene
0,0,0 yll
- verschiebbarer Leiter mit
beweget sich in Zeit t mit Geschwindigkeit entlang Weg x = vx t
- magnetische Induktion 0,0,0 zBB
mit Flächenelement 0,0,0 zdaad
Berechne die Kraft auf Strom I (bewegte Ladung im Magnetfeld):
in Leiterschleife induzierte Spannung 0
dt
dadBdtdU m
Aind
xyzyzind vlB
txlBU
RvlB
RUI xyzind liefert induzierten Strom
I erzeugt im Widerstand R Wärmenergie (Joulsche Wärme): x
th vxRItRItPW
2
2
Joulsche Wärme entspricht Arbeit W die notwendig ist zur Bewegung des Leiter : l
,thWW
xlIBxF yzx zyx BlIF
Verallgemeinerung Lorentz-Kraft: BlIFL
Uind
0,,0 yll zBB ,0,0
ad
0,0,xvv
exF
xF
xx
ex v
xRIxFxF
2
Experimentatorbewegt Draht mitKraft e
xF
Gegenkraft des Drahtesnach 3. Newt. Axiom, xF
49
Experimente: Demonstration Lorentz-Kraft auf Ströme- Lorentz-Schaukel- Kraft auf zwei parallel Drähte(Definition der Stromstärke: 1A entspricht F/l = 210-7 N/m im Vakuum)
50
2.5.3. Die Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung
Lorentz-Kraft auf stromdurchflossenen Leiter mit Länge l und Querschnitt A:
BleAjBlIF AL
Dvnqj
BleAvnqF ADL
sowie n = N/V folgt für N = 1:
mit Stromdichte:
n – Ladungsträgerkonzentration
Ladung dQ die durch Querschnitt A in Zeit dt fließt:dQ = q n dV = q n A vD dt
dx = vD dt
DqnAvdtdQI Dqnv
AI
AdtdQj
- Driftgeschwindigkeit (Geschwindigkeit derLadungsträger im Leiter
Dv
leAV A
mit Leitervolumen
Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = e im Vakuum (v = vD):
BvqFL
Experimente: Ablenkung eines Elektronenstrahl im Magnetfeld eines Stabmagneten
folgt
51
Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = -e (Elektronenstrahl): BveBvqF
Experiment: Ablenkung eines Elektronenstrahlim Magnetfeld eines Stabmagneten
E
eUvme 2
2 222
BrU
me
e
Anwendungen: Bestimmung spezifische Ladung des Elektrons e/me
mit Spannung U=E d zwischen Kathode und Anode
Beschleunigung der Elektronen im elektrischen Feld
vBconstB ,
Kreisbahn: FL = Fz e v B = me v2 r-1
BveFL
52
Anwendungen: Massenspektrometer
B
E
BvqEqF
22
2BrU
mq
53
2.6. Wechselströme2.6.1. Erzeugung von Wechselströmen – Der Generator
B
Leiterschleife mit Fläche A rotiert in Magnetfeld mit Winkelgeschwindigkeit
A
4. Maxwellschen Gleichung (Induktionsgesetz):
c A
adBdtdldE
dt
tdU m
induzierte Spannung:
mit Um tBAt cos U – Anfangsphase der Spannung
UtBAtU sin
UtUtU sin0
induzierte Wechselspannung:
mit Amplitude U0 = -BA
U(t)
t
21 T
U0
-U0
UU sin0
in Analogie: Wechselstrom ItItI sin0
Experimente: Wechselstromgeneratoren-Prinzip- U0
54
2.6.2. Leistung in Wechselstromkreisen
- momentane Leistung: tItUtP ,sin0 UtUtU ItItI sin0mit
- Wirkleistung:
coscos21
00 effeff IUIUP
dttPT
PT
0
1(Mittelwert über Periode T )
,2
10UUeff 02
1 IIeff Effektivwerte:
IU
coscos21sinsin
dttIUT
IUPT
IU
00
0000 2cos1cos21
Wirkleistung ist die tatsächlich verbrauchte Leistung!
- Blindleistung: sin21
00 IUPBlind
Blindleistung wird nicht wirklich verbraucht, sondern von Wechselstromwiderständen aufgenommen und im elektrischen Feld (Kondensator) oder magnetischen Feld (Spule) gespeichert
es gilt: 222BlindPPP
55
2.6.3. Widerstände in Wechselstromkreisen- Impedanzen
tU
tI
RU
LU
CU
Serien RLC-Kreis (Reihenschaltung: Widerstand – Spule – Kondensator)
Generator: tUtU sin0
RcL UUUtU CLR IIItI
IRCQ
dtdILtU
RdtdI
CI
dtIdL
dttdU
2
2
Maschenregel:
inhom. Differentialgleichung 2. Ordnung
tieUtU 0 tieItI 0komplexer Ansatz:
einsetzen in Diff.-gln. liefert: IRiCIILUi 2
IC
LiRU
1 (vgl. mit Ohmschen Gesetz U = R I)
Z
IZU
CLiRZ
1
RCL ZZZZ
Wechselstromwiderstand – Komplexe Impedanz:
mit
LiZ L - induktive Reaktanz:
CiZ C
- kapazitive Reaktanz:
RZ R - ohmschen Widerstand:
56
1
CZ
rL LZ L
ANL r2
0
RZ R
Experimente: Wechselstromwiderstände an Widerstand, Spule, Kondensator Zeige:
LiZ L , da
CiZ C
RZ R
57
2.6.4. Zeigerdiagramme
in komplexer ZahlenebeneDarstellung der komplexe Impedanz Z
AB
tan 22 BAZ und als „Zeigerdiagramm“ mit
RZ R LiZ L CiZ C
Auftragung der Impedanzen:
- Phasenverschiebung zwischen und daU I
,0tieUtU tieItI 0 IZU und
- am Widerstand: = 0, und in Phase - an Spule: = +/2, eilt um /2 voraus - am Kondensator: = -/2, eilt um /2 voraus
U IU I
UI
CLiRZ
1
RA C
LB
1
Hier ist und
58
- allgemeine Darstellung von Z im Zeigerdiagramm:
C1
Betrag der komplexen Impedanz: 2
2 1
CLRZ
Phasenverschiebung:R
CL
1
tan
Eulersche Darstellungkomplexer Zahlen:
ieZZ
CLiRZ
1
59
2.6.5. Erzwungene Schwingungen im RLC-Serienschwingkreis
tU
tI
RU
LU
CU
ZUI
ZeU
eZeUI
ti
i
ti
00komplexer Strom:
Eulersche Darstellung für Z
mit2
2 1
CLRZ
ergibt sich für den Realteil von I
tIt
CLR
UItI coscos1
Re 022
0
mit Phase
RC
Lar
1
tan
frequenzabhängiger Stromamplitude 2
2
00
1
CLR
UI
und
60
2
2
00
1
CLR
UI
Diskussion von
0I hat Maximum, d. h. Stromresonanz, bei Resonanzfrequenz:LCr1
R
UI r0
0 mit
0
0U
RI
RC
Lar
1
tan
Resonanzkurve Phasenverschiebung
Linienbreite LR
Experiment: Stromresonanz im RLC-SerienschwingkreisErzwungene Schwingung
61
2.6. Elektromagnetische Wellen2.6.1. Entstehung elektromagnetischer Wellen
- Wir betrachten RLC-Serienschwingkreis mit Induktivität (Spule) L und Kapazität (Kondensator) C
LCr1
l
ANL Sr2
0
lAC Cr 0
Resonanzfrequenz: Induktivität: Kapazität:
- Verkleinerung von L und C resultiert in Vergrößerung derResonanzfrequenz r, höheren Verlusten (in Analogie) zu Widerstand R und „Energieabstrahlung“
2 Dipol
Strom- und Spannungsverlauf auf /2 -Dipol
t = 0
t = T/4
t = T/2
t = 3T/4 lccf
22- Resonanzfrequenz des /2-Dipols:
mit Phasengeschwindigkeit rr
c 00
1
c ist Lichtgeschwindigkeit im jeweiligen Ausbreitungsmedium
tzI , tzU ,- /2 Phasenverschiebung zwischen und Experiment: Visualisierung der Strom- und
Spannungsbäuche am /2-Dipolmittels Glühlampe (I) undGlimmlampe (U)
- ist analog zur Grundschwingung einer Seilwelle mit festen Enden (eingespannten Seite),stehende Welle mit /2 = l
tzI ,
62
Abstrahlung des elektrischen Feldes am Beispiel des Hertz‘schen Dipols: tptp cos0
mit Dipolmoment lQp
0
Animation Feldabschnürung
63
Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):
r
t
etd
tpdcr
trHr
2
2
41,
rr
tree
tdtpd
rctrE
r
2
2
204
1,
mit retardierter Zeit crttr
,1,r
trE
rtrH 1,
geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand Signalübertragung
E
keine Phasenverschiebung zwischen und H
rr eHcE 0 reHE
aus folgt
Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichteist durch Pointingvektor gegeben reHES
||
Polarisation der elektromagnetischen Welle
und oszillieren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung E
H
der elektromagnetischen Welle reS
bzw.
tptp cos0
und Dipolmoment
2/100
rrcPhasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: , im Vakuum: smc 82/1
000 10998,2 (Vakuumlichtgeschwindigkeit)
64
Experiment: Polarisation der Dipolstrahlung
65
Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):
r
t
etd
tpdcr
trHr
2
2
41,
rr
tree
tdtpd
rctrE
r
2
2
204
1,
mit retardierter Zeit crttr
,1,r
trE
rtrH 1,
geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand Signalübertragung
E
keine Phasenverschiebung zwischen und H
rr eHcE 0 reHE
aus folgt
Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichteist durch Pointingvektor gegeben reHES
||
Polarisation der elektromagnetischen Welle
und oszillieren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung E
H
der elektromagnetischen Welle reS
bzw.
tptp cos0
und Dipolmoment
2/100
rrcPhasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: , im Vakuum: smc 82/1
000 10998,2 (Vakuumlichtgeschwindigkeit)
66
Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichteist durch Pointingvektor gegeben reHES
||
2
2sinr
S
Energiestromdichte – „Leistung P, die von elektromagnetischer Welle durch Einheitsfläche senkrecht zurAusbreitungsrichtung, d.h. senkrecht zu Pointingvektor , transprotiert wird“S
ad
adSdP
67
2.6.2. Das elektromagnetische Spektrum
Charakter der elektromagnetischen Wellen ändert sich mit Frequenz = c/infolge der unterschiedlichen Energien der Lichtquanten E = h
68
Neben Frequenz und der Wellenlänge sind die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes und sowie die Polarisation wichtige Parameter der elektromagnetischen Wellen.
0E
0H
Polarisationstypen:
- linear polarisiert - zirkular polarisiert - elliptisch polarisiert
- unpolarisiert
Experiment: Polarisation von Mikrowellen ( 9 GHz, 0.027 m = 2.7 cm) (linear polarisiert)