FİZİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

FİZ-202 FİZİK LABORATUVARI IV

Elektrik devreleri deneyleri için

ön bilgiler

(Berkeley Fizik Laboratuvarı-2’nin içeriği uyarlanmıştır)

Şubat-2017

Prof. Dr. Hüseyin Çelik

Elektrik Devreleri Bu deney serisinde, gerilim ve akımın zamana bağlı olarak değiştiği çeşitli elektrik

devrelerinin davranışlarını inceleyeceksiniz. Bu seride yapılacak deneyler:

1. ED – 1: Direnç - Sığa Devreleri (RC devreleri)

2. ED - 2 : Direnç - İndüksiyoncu Kangal Devreleri (RL devreleri)

3. ED - 3 : LRC Devreleri ve Salınımlar

4. ED - 4 : Çiftlenimli Salınganlar

5. ED - 5 : Periyodlu Yapılar ve İletim Yolları

Bu deneylerde kullanılacak devre elemanları:

1. Direnç

2. Kondansatör,

3. İndüksiyoncu kangalı,

4. Doğru gerilim (DC) güç kaynağı, alternatif gerilim (AC) güç kaynağı ,

osilatör ve osiloskop.

DİRENÇ

Kusursuz bir direncin özelliği, uçları arasında bir V potansiyel farkı

uygulandığında dirençten geçen I akımının V ile doğru oranlı

olmasıdır:

V = IR (1)

R ile gösterilen orantı sabitine devre elemanının direnci denir. Sabit

sıcaklıkta bu bağıntı Ohm yasası olarak bilinir.

V’nin volt (V), I’nin amper (A) olarak ölçüldüğü MKSA (SI) birim

sisteminde direncin birimi ohm’dur ve Ω ile gösterilir.

Dirençlerin değeri, çoğu kez Şekil-1’deki gibi renk halkaları kullanılarak

işaretlenirler. Aşağıdaki tabloda dirençlerin renk kodlaması verilmiştir.

Şekil-1

RENKLER KATSAYI değeri

Çarpan Tolerans Sıcaklık katsayısı 1. band 2. band 3. band

Siyah 0 0

1

Kahverengi 1 1 1 10 ± %1 100 ppm

Kırmızı 2 2 2 100 ± %2 50 ppm

Turuncu 3 3 3 1k

15 ppm

Sarı 4 4 4 10k

25 ppm

Yeşil 5 5 5 100k ± %0.5

Mavi 6 6 6 1M ± %0.25

Mor 7 7 7 10M ± %0.10

Gri 8 8 8

± %0.05

Beyaz 9 9 9

Altın

0.1 ± %5

Gümüş

0.01 ± %10

Renksiz

± %20

Direnç Renk Kodları

4, 5 ve 6 band kodlu dirençlerin değerlerinin okunması

KONDANSATÖR (SIĞA, KAPASİTÖR)

Çeşitli kondansatör örnekleri

Bir kondansatör içinde yük biriktirilen bir aygıt olarak düşünülebilir. +Q yük bir levhaya, – Q yükü de ötekine yüklenince levhalar arasında oluşan V potansiyel farkı Q ile oranlı olur. Bu ilişki Q = CV (2) bağıntısı ile verilir. Burada C orantı katsayısı olup aygıt için belirtgen bir sabittir ve buna aygıtın sığası denir. MKSA (SI) birim sisteminde sığanın birimi farad (kısaltılmışı F)’dır. Farad, son derecede büyük bir sığa birimidir; bu nedenle genellikle daha küçük µF (=10–6 F), nF (=10–9 F) ve pF (=10–12 F) birimleri kullanılır.

Kondansöterler sığasından başka uygulanabilecek bir anlık büyük

gerilime göre de değerlendirilirler. Bu gerilimin aşılması, levhalar

arasındaki dielektriğin (yalıtkanın) delinmesine başka bir deyişle

kondansatörün işe yaramaz hale gelmesine yol açar. Bu nedenle bir

kondansatörlere üzerinde yazılan değerden daha büyük gerilim (veya

elektrik alan) uygulamamak gerekir.

Aradaki dielektrik malzemenin yıkıma uğramadan dayanabileceği en

yüksek elektrik alan şiddetine dielektrik kuvvet denir. Çok

kullanılan bazı yalıtkanların dielektrik kuvvetleri Tablo-1’de

verilmiştir.

KONDANSATÖRLERİN BAĞLANMASI

Kondansatörler seri, paralel veya karışık bağlanarak istenilen değerde sığalar elde edilir.

İNDÜKTANS

Diğer bir devre elemanı indüktansdır. İndüktans ferromanyetik çekirdek (ferrit

gibi) üzerine sarılmış veya içinde hiçbir şey bulunmayan bir tel kangaldır.

Aşağıda çeşitli indüktans örneklerinin fotoğrafları verilmiştir.

Özindüktans

Bir telin çevrelediği kapalı devreden geçen manyetik akı, telden geçen I akımı ile orantılıdır.

Orantı sabiti özindüktans olarak tanımlanır ve L ile gösterilir. I akımının geçtiği tek bir devre

için özindüktans, devrenin sınırladığı alan içinden geçen manyetik akı B ile tanımlanır;

B = LI (3)

Faraday yasasına göre, bu devrede meydana gelen özindüksiyon emk’i , devreden geçen

manyetik akının değişim hızıdır:

= -d B /dt = -LdI/dt (4)

Buradaki eksi işareti Lenz yasasından gelmektedir. Özindüksiyonun birimi (MKS birim

sisteminde) henry (H)’dir. Genellikle mH (=10–3 H) ve µH(=10–6 H) birimleri kullanılır.

Eğer bobindeki i akımı değişiyorsa, bobinden geçen manyetik

akı değişimi bobinde bir indüksiyon emk’sı oluşturur.

İdeal selonoid için L’nin

L = 0AN2/l (5)

ifadesi ile verildiğini biliyorsunuz. Burada N sarım sayısı, l selonoidin uzunluğu ve A ise kesit

alanıdır.

İndüktans bir ferromanyetik malzeme üzerine sarılırsa 0 yerine manyetik maddenin geçirgenliği

alınır:

= 0 (1+m) (6)

Demir için m = 5.5x103 olduğu dikkate alınırsa, demir çekirdek üzerine sarılmış bir selonoidin

indüktansının çok büyük olacağı anlaşılır.

a ve b uçları arasında i akımı olan bir direnç: potansiyel a’dan b’ye azalır.

a ve b arasında sabit i akımı olan bir indüktans : hiçbir potansiyel fark yok

a ve b arasında artan i akımı geçen bir indüktans : potansiyel a’dan b’ye düşer.

a ve b arasında azalan i akımı geçen bir indüktans : potansiyel a’dan b’ye artar.

İndüktansların seri ve paralel bağlanması

Seri bağlı indüktanslar:

Paralel bağlı indüktanslar:

GÜÇ KAYNAĞI (Üreteç)

Kusursuz bir güç kaynağı (DC gerilim), çıkış uçları arasında aygıtın içinden geçen

akıma bağlı olmayan sabit bir gerilim farkı oluşturan bir aygıttır. En çok kullanılan

DC güç kaynağı pillerdir. Deneylerde kullanacağımız üreteçlerde gerilim, akımdan

büsbütün bağımsız değildir. Üreteçlerin bu davranışı, gerilimi sabit olan kusursuz bir

bataryaya iç direnç denilen belli bir direncin seri bağlanması ile anlatılabilir. Bir kuru

pilin iç direnci yeni iken 0,1 µΩ basamağındadır ve bu direnç zamanla ve kullanma ile

artar. Deneylerde kullanacağınız bir DC güç kaynağının fotoğrafı aşağıda verilmiştir.

OSİLOSKOP Bu serideki deneylerde ölçü aleti olarak osiloskop kullanacaksınız. Katod - ışını

osiloskobunu oluşturan temel işleyiş birimleri aşağıda şekilde özetlenebilir:

Katod-ışını tübü (KIT): Elektron tabancası, saptırıcı levhalar ve elektron demetinin

gözle görülebilmesini sağlayan bir flüoresant perdeden oluşur.

Güç kaynağı: Katodu ısıtmaya yarayan akımla birlikte elektron tabancasının kafes

ve anoduna uygun gerilimleri verir. Tipik hızlandırıcı gerilimi 2000 V’dur.

Testere dişi üreteci: Testere dişi üreteç, değişebilen bir frekansla zamanla değişen

bir gerilim verir ve frekansı tekrarlayan giriş gerilimi ile zamandaş olacak şekilde

ayarlanabilir. Sinyalin şekli testere dişlerine benzediği için bu adlandırma

yapılmıştır.

İşaret yükselteçleri: Elektronu perdenin yarıçapı kadar düşeyine saptırmak için

gerekli gerilim 2000 V kadardır. 0,1 V’luk küçük işaretleri gösterebilmek için birkaç

binlik ek bir büyütme gereklidir.

Osiloskobun işlemesini gösteren bir blok çizge ve tipik bir komuta tablası da

aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.

Osiloskobun işlemesini gösteren bir blok çizim.

Tipik Bir Osiloskop http://www.doctronics.co.uk/scope.htm#what

Laboratuvarda kullanacağınız iki osiloskobun resmi

ED – 1: Direnç - Sığa (R-C) Devreleri

Bu deneyde, seri bağlı direnç ve kondansatörlerden oluşan devrelerin davranışı incelenecektir.

Önce bir batarya, bir direnç, bir kondansatör ve bir voltmetre ile bir anahtardan oluşan Şek.1.1’deki devreyi ele alalım. Burada Rv voltmetrenin iç direncidir.

S anahtarı kapatılınca kondansatör, bataryanın potansiyeline erişinceye kadar çabucak yüklenir; her iki levhadaki yükünün büyüklüğü:

Q = CV0 (1.1)

dir.

Şekil-1.1

Anahtarın açıldığı andaki durum Şekil-1.2’de gösterildiği

gibidir. Kondansatördeki gerilim voltmetre direnç kolu

üzerinde de görülür ve bu koldan bir akımın geçmesine yol

açar. Bu akım kondansatördeki yükü azaltır, bu da,

kondansatörün gerilimini ve dolayısı ile de akımını azaltır.

ŞEKİL-1.2

Bir anlık yükü, akımı ve gerilimi sırası ile Q, I ve VC ile gösterelim.

I akımı, kondansatörün boşalmasından ileri geldiğinden yalnızca yükün aktarılma hızıdır ve

I = -dQ/dt (1.2)

denklemi yazılabilir.

Akım bir anlık V gerilimine ve devrenin direncine bağlıdır. Seri bağlı direnç (R1) ve

voltmetrenin direnci (RV) toplamı R = R1+RV olduğundan,

I = VC / R (1.3)

denklemi yazılabilir.

Son olarak VC gerilimi herhangi bir anda kondansatör üzerindeki Q yüküne

VC = Q/C (1.4)

ile bağlıdır.

Denk. (1.2) ve (1.3)’nın sağ yanlarını eşitleyip Denk (1.4)’den bulunan VC’yi yerine koyarak

dQ/dt = -Q/ RC (1.5)

denklemini elde ederiz.

Türevi kendisi ile oranlı olan tek fonksiyon üstel (eksponansiyel ) fonksiyondur.

Denk. (11)’i sağlayan fonksiyon:

Q = Q0e–t/RC (1.6)

olur. RC’ye devrenin zaman sabiti veya gevşeme (relaxation) zamanı denir. C = RC= (R1+RV)C Eşitlik-1.6’nın gösterdiği gibi, RC’ye eşit bir t süresi sonunda yük, başlangıçtaki

değerinin Q/Q0 = e–1 = 0,368 veya %36,8’ine düşer.

Bununla ilgili ve genellikle deneyle daha kolay ölçülebilen başka bir nicelik, Q’nun

ilk değerinin yarısına düşmesi için gerekli zamandır. Bu zamanı T1/2 ile göstererek

½ = e– T1/2/ RC (1.7)

denklemini elde ederiz. Her iki tarafın e tabanına göre logaritmasını alıp yeniden düzenlersek

T1/2 = RCLn2 = 0,693 RC (1.8)

buluruz. Burada dir. T1/2 süresine yarı ömür denilir.

R=(R1+RV)

Şekil-1.3

Başlangıçta V0 gerilimi altında yüklenmiş bir kondansatörün bir direnç üzerinden

boşalması Şekil-1.3‘de gösterilmiştir. Düşey ekseni, VC , Q ve I olarak

düşünebilirsiniz. Yatay eksen devrenin zaman sabiti (RC) cinsinden

ölçeklendirilmiştir.

t = RC = C

0,368Q0 0,368V0 0,368I0

Düşey eksenin akım

için negatif olduğuna

dikkat edelim.

Vb-IR-Q/C =0

veya

Vb-RdQ/dt-Q/C =0

Çözüm:

Q = CVb(1-e-t/RC)

I=(Vb /R)e-t/RC

Bir kondansatörün bir direnç üzerinden yüklenmesi sırasında akım ve yükün zamanla değişimi aşağıdaki gibidir. Zaman ekseni RC cinsinden ölçeklenmiştir. Sol düşey eksen akımı (I), sağ düşey eksen yükü (Q) göstermektedir.

T1/2 = RC Ln2 = 0,693 RC

ELEKTRO MEKANİKSEL BENZETİŞLER

Elektrik devreleri ve mekanik sistemler arasında ilginç ve yararlı birçok benzerlikler vardır. Bunlardan en basiti, bir kapı kapayıcısının basitleştirilmiş

şekli olan Şekil-1.4’de gösterilen mekanik sistem ile RC devresi arasındaki

benzerliktir. Delikli piston harekette iken yağ deliklerden geçmek zorundadır.

Bunun bir sonucu olarak yalnız yağ viskozluğundan doğan hıza bağlı bir karşı

koyma kuvveti ortaya çıkar.

Çok yüksek olmayan hızlar için bu kuvvet, hız ile oranlıdır ve

F = – bv

ile gösterilebilir. Burada b bir orantı sabitidir ve eksi işaret, kuvvetin harekete

hep karşı koyduğunu anlatır.

Şekil-1.4

Hareketli pistona yay da bir kuvvet uygular. Denge konumundan bir x uzaklığa

kadar ayrıldığında yay bir F = – kx kuvveti uygular. İkinci Newton yasasına

göre, pistona etkiyen bu iki kuvvetin toplamı pistonun kütlesi ile ivmesi

çarpanına eşit olmalıdır. Eğer kütle önemsenmeyecek kadar küçükse iki

kuvvetin toplamı sıfırdır ve

bdx/dt +kx = 0

veya

dx/dt +(k/b)x = 0 (1.9)

elde ederiz .

Bu diferensiyel denklemin şekli kondansatördeki yük için yazılan eşitlik ile

aynıdır:

dQ/dt +(1/RC)Q = 0 (1.10)

Burada mekanik sistem ile elektrik sistem parametreleri arasındaki ilişkiye

dikkat ediniz.

x Q

v I

b R

k 1/C

Bu çözümleme, kapı kapayıcısının denge konumundan bir x0 ilk yer değiştirmesi ile ayrılmış olması halinde denge konumuna doğru b/k’ya eşit bir zaman sabiti ile

x = x0e–(k/b)t (1.11)

denklemine göre üstel olarak yaklaştığını gösterir.

Eğer pistonun kütlesi ihmal edilecek kadar küçük değilse çözümlemede bu durum göz önüne alınmalıdır. Kütle olması pistonun denge konumunu aşıp sönümlü bir salınım yapabilmesini sağlar. Deney ED-3’de göreceğimiz gibi, sönümlü harmonik salıngan, seri bağlı direnç, kondansatör ve indüksiyoncudan oluşan elektrik devresinin tam bir benzeridir.

• Yukarıda, RC devresinin yük gevşemesi olarak da adlandırılan davranışı, RC zaman sabitinin yeterince uzun diyelim birkaç saniye veya daha uzun süreler kadar olması halinde bir voltmetre ile doğrudan gözlenebilir.

• Analog voltmetre ve ampermetrelerin ibresi, hareket ettiren mekanizmanın eylemsizliği ve sönüm etkileri nedeniyel, gerilim ve akımdaki son derece çabuk değişmelere uyum sağlayamaz, uysa bile bu hareket gözle izlenemez. Bu durumda gevşemeyi daha çabuk ölçmek için osiloskop kullanılır.

• Tekrarlanan bir gevşeme olayı elde etmek için osilatörün kare dalga veren çıkışı ile devre beslenir ve kondansatörün uçları osiloskopa bağlanarak kondansatörün dolma ve boşalma eğrisinin grafiği çizilebilir (Şekil-1.5)

Osilatörün kare dalga çıkışı kullanılarak bir kondansatörün dolma ve boşalma eğrisinin osiloskopta gözlenmesi (Şekil-1.5).

Kare dalga

Kondansatörün dolma eğrisi

Kondansatörün Boşalma eğrisi

V

Şekil-1.5

SİNÜSSEL GERİLİM Osiloskop, RC devrelerinin bir başka önemli davranışını incelemede yani sinüssel

giriş gerilimi ile sürülünce tepkisini incelemede kullanılabilir. Şek.1.6’da

gösterilen devreyi gözönüne alalım; uygulanan sürücü gerilim, genliği V0 , açısal

frekansı ω olan zamanın sinüssel bir fonksiyonudur.

Laboratuvarda kullanacağınız bir osilatörün resmi.

Devreye Kirchoff’un gerilim kuralını uygulayarak,

V0 cos ωt = IR + Q/C = RdQ/dt +Q/C (1.12)

denklemini elde ederiz.

Şekil-1.6

Q’nun sinüssel olarak gerilim ile aynı frekansla değiştiğini ve aralarında kadar bir faz farkı bulunduğunu varsayalım. Yani Q,

Q = Q0 cos (ωt + ) (1.13)

denklemi ile verilsin. Q0, Q’nun bir dönemde eriştiği en büyük değerdir. Burada ’ye faz açısı denir. Eğer Q’nun zamanla değişimi V’nin bir çeyrek dönem önünde olduğu anlaşılırsa = π/2 olur ve bu böyle gider.

Şimdi, Kirchhoff’un ilmek kuralı uyarınca Eşitlik-1.13’in Eşitlik- 1.12’yi sağlaması için gerekli Q0 ve değerlerini bulalım. Eşitlik-1.13’den dQ/dt’yi hesaplayıp Q ve dQ/dt’yi Eşitlik-1.12’de yerlerine yazarak

V0 cos ωt = – ωRQ0 sin (ωt + ) + (Q0/C) cos (ωt + ) (1.14)

bağıntısını elde ederiz. Bir sonraki adım,

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

trigonometri özdeşliklerini kullanarak sin (ωt + ) ile cos (ωt + )’yi açmaktır. İşlemlerden sonra Eşitlik- (1.14)’nü sin ωt ve cos ωt parentezlerine alarak

cos ωt [– ωQ0R sin + (Q0/C) cos – V0 ] + sin ωt [– ωQ0R cos (Q0/C) sin ] = 0

(1.15) elde ederiz.

Eşitlik-1.15’in her an için doğru kalması gerekir. Bu durumda ikinci parantezi

sıfıra eşitlediğimizde

tan = – ωRC veya = -arctan(ωRC) (1.16)

denklemini buluruz. Aynı şekilde ilk parantezi sıfıra eşitleyip yeniden

düzenleyerek

Q0 = V0/[– ωR sin + 1

𝐶cos ]

denklemini elde ederiz. Bu ifadenin

Q0 = CV0 cos = CV0/(tan2 +1)1/2 = CV0 /[1+(ωRC)

2]1/2 (1.17)

şeklinde yazılabileceğini göstermek zor değildir.

Aşağıda Şekil-1.7’de R=10 k, V=10 volt ve C=0,1 F alınarak Q0 ve ’nin ’ya

bağlı davranışları verilmiştir.

iken Q00

iken -/2

Şekil-1.7a

Şekil-1.7b

I akımının frekans ile nasıl değiştiğini gözlemek de ilginçtir. Eşitlik-1.13’ün zamana göre türevini alıp cos(A +π/2) = – sin A özdeşliğini kullanarak

I = dQ/dt = – ω Q0 sin (ωt + ) = ω Q0 cos (ωt + +π/2 )

denklemini elde ederiz. I0 ile gösterilen I’nın en büyük değeri ωQ0 ile verilir.

Eşitlik-1.17’yi kullanarak bunu aşağıdaki gibi çeşitli yollardan gösteribiliriz:

I0 = ωQ0 = ωCV0 cos = ωCV0 /[(ωRC)2 + 1]1/ 2 = V0/[R

2 + (1/ωC)2]1/2

I0 =V0/[R2 + (1/ωC)2]1/2 (1.18)

Aşağıda Şekil-1.8’de R=10 k, V=10 volt ve C=0. 1F alınarak I0’ın

’ya bağlı davranışı verilmiştir. Alçak frekans sınırında I0’ın değeri 0’a

yaklaşır. Yüksek frekans sınırında I0’ın değeri V/R’ye yaklaşır.

Şekil-1.8

Seri bağlı RC devresinde empedans ve faz açısı ilişkisi:

• Empedans değeri: Z = R2 + X2C

• Faz açısı: = tan-1(XC/R)

• Bir devrede sadece direnç olduğunda gerilim ile toplam akım arasındaki faz farkı sıfırdır.

• Bir devre sadece kapasitif olduğunda gerilim ile toplam akım arasındaki faz farkı 900 dir. Sığaç üzerinde akım, gerilimin 900 ilerisindedir (Şekil-1.9a).

• Hem direnç ve hem kapasitans bir devre içinde bir arada olduğunda, uygulanan gerilim ve toplam akım arasındaki faz açısı direncin ve kapasitansın göreceli değerlerine bağlı olarak, 00 ve 900 arasında bir yerdedir (Şekil-1.9b)

• RC devresinde empedans faz ilişkisi (Şekil-1.9c)

Yüksek frekans sınırında akım gerilim ile aynı fazdadır ve genliği V0/R olur

(Şekildeki Vm=V0 dır). Yani yüksek frekanslarda RC-devresindeki kondansatör

yokmuş gibi davranır. Tersine, alçak frekans sınırında devrenin davranışı R olmaması

hali gibidir. Başka bir deyişle kondansatör yüksek frekanslarda kısa devre, alçak

frekanslarda ise açık devre olarak davranır.

R = 0 ise

Gerilim akımdan

900 geridedir

Gerilim akımdan açısı

kadar geridedir.

R 0 ise

Deney ED - 2 :Direnç - İndüksiyoncu Kangal (RL) Devreleri

Deney ED-1’de seri bağlı direnç ve kondansatörden oluşan devrelerin davranışı inceledik. Bir direnç üzerinden boşalan kondansatördeki yükün üstel olarak azaldığını gördük ve bu devrenin uygulanan sinüssel bir sürücü gerilime karşı tepkisini inceledik.

Bu deneyde, bir direnç ve bir indüktans’dan oluşan bir devreyi aynı şekilde inceleyeceğiz. Arada bazı önemli farklar olsa da RC devresi ile bu devre arasında birçok benzerlikler bulunduğunu göreceğiz. Şekil-2.1’deki devreyi göz önüne alalım.

Şekil-2.1

Üretecin gerilimi V0 dır ve indüktansın direnci ihmal edilebilirse devreden

I0 = V0/R (2.1)

ile verilen düzgün bir I0 akımı geçer (Kararlı duruma geldikten sonra). Belli bir anda diyelim t = 0’da üretici devreden çıkarmak üzere anahtarı 2 konumuna çevirdiğimizde ne olur?

Akımı I(t) ile gösterelim, ve bu fonksiyonun ne olduğunu bulmak için RC devresinde olduğu gibi RL ilmeğine Kirchoff’un gerilim kuralını uygularız. R üzerindeki gerilim düşmesi IR ve L’deki ise LdI/dt’dir, böylece ilmek denklemi şu şekilde yazılır:

RI + L dI/dt = 0 (2.2)

Bu denklemin çözümünü

I(t) = I0 e–t/(L/R) (2.3)

fonksiyonu sağlar.

Deney ED-1’de verilen yöntem izlenirse bu yeni durumda zaman sabitinin L = L/R (2.4a) ile verildiği ortaya çıkar. L/R’ye eşit bir zaman sonunda akım, başlangıç değerinin

1/e’sine düşer. Deney ED-1’de tanımlanan T1/2 yarı-ömür tanımını burada da yapabiliriz:

T1/2 = (In2) L/R = 0,693 L/R (2.4b)

RL devresinin elektro-mekaniksel benzetişimi:

RC devresinde olduğu gibi RL devresinin de elektro-mekaniksel benzerlerini inceleyebiliriz. Hız

kutusu (hidrolikli kapı tutucusu) durumunu göz önüne alalım, fakat şimdi yayın çıkarıldığını ve m piston kütlesinin ihmal edilemediğini düşünelim. Bu durumda piston üzerindeki tek kuvvet, kütle ile ivmenin çarpımına yani mdv/dt’ye eşitlenen –bv viskozluk kuvvetidir. Buna göre hareket denklemi

(2.5)

olur.

Bu denklem ile Eşitlik-2.2’nin karşılaştırılması bunların tam özdeş biçimde olduklarını gösterir: v, I’nın, b, R’nin ve m de L’nin yerini alır. v – I ve b – R benzerlikleri RC devresinde olduğu gibidir ve bu durumda m’nin L indüksiyon katsayısına karşılık geldiğine dikkat ediniz.

Bu benzetmeyi izleyerek, pistona bir v0 başlangıç hızı verilir ve serbest bırakılırsa hızın m/b’ye eşit belirtgin bir sönme zamanı ve T1/2 = (Ln2) m/b’lik bir yarı-ömür ile

v(t) = v0 e–(b/m)t (2.6)

denklemine göre zamanla değiştiğini görürüz.

RL devresinde akım ve gerilimin zamana göre değişimi.

Şimdi RL devresine yeniden dönelim ve Şekil-2.2’de gösterilen devrenin uygulanan

sinüssel gerilime karşı tepkisini, RC devresinde kullanılan ana yol uyarınca izleyelim.

Şekil-2.2’deki devrenin denklemi, Eşitlik-2.2’ye sürücü gerilim için bir terim ekleyerek

bulunabilir. Eğer sürücü gerilim V(t) = V0cosωt ile verilirse devre denklemi

RI + L dI/dt = V0cosωt (2.7)

olur. Sürücü gerilim ile aynı ω frekanslı fakat aralarında bir faz farkı olabilen bir çözüm

ararız. Şu halde;

I(t) = I0 cos (ωt + ) (2.8)

şeklinde bir çözüm deneyelim.

Şekil-2.2

I0 ile ’yi bulmak için yapılacak işlem bunun karşılığı olan Deney ED1’deki hesabın benzeridir. Eşitlik-2.8 ‘deki ifade Eşitlik-2.7’de yerlerine konularak

tan = - ωL/R

I0= V0 /[R2 +(ωL)2)]1/2 (2.9)

sonuçlarını elde etmek zor değildir (Bu işlemi yapmanızı öneririz).

• Çok alçak frekanslarda (ωL > R), sanki direnç kısa devre olmuş gibi , – π/2’e ve I0’da V0/ωL’ye ulaşır.

• Orta frekansta her zaman akımın fazı gerilimden sıfır ile –π/2 arasında bir açı kadar geridedir.

• [R2 +(ωL)2]1/2 niceliğine devrenin empedansı denir ve Z ile gösterilir. Böylece herhangi bir frekansta I0 = V0/Z’dir.

• Herhangi bir frekansta R ve L’den şimdi olduğu gibi aynı akım geçiyorsa L’nin uçları arasındaki gerilim R’deki gerilimden bir çeyrek dönem π/2 öndedir.

•L, çok alçak frekanslarda kısa devre, çok yüksek frekanslarda ise açık devre olur.

Deney ED - 3 : LRC Devreleri ve Salınımlar

Bu deneyde, hormanik salınganın elektrikteki benzeri olan elektrik

devresini inceleyeceğiz. Temel düşünceleri tanıtmak için önce, Deney

ED-1’in Şekil-1.1’deki devresine çok benzeyen Şekil- 3.1’deki LC

devresini ele alalım.

Şekil-3.1

Anahtar-1’i aniden kapatarak kondansatörü bir Q0 yükü ile yükledikten sonra anahtar-1’i açalım. Daha sonra t = 0 anında anahtar-2’nin kapatıldığını

varsayalım. Böylece kondansatör indiksiyoncu üzerinden boşalmaya başlar.

Akımın yönünü Şekil-3.1’deki gibi tanımlar ve Kirchhoff’un ilmek kuralını

uygularsak

LdI/dt + Q/C = 0 (3.1)

bağıntısını elde ederiz. Burada dI/dt = d2Q/dt2 olduğunu kullanırsak

L d2Q/dt2 + Q/C = 0 (3.2)

buluruz.

Bu denklemin şekli, kütlesi m ve kuvvet sabiti k olan bir harmonik salınganın

hareket denklemi ile aynıdır.

m d2x/dt2 +kx = 0 (3.3)

Eşitlik 3.2 ve Eşitlik-3.3 karşılaştırıldığında 1/C’nin k yay sabitinin ve L

indüktansının da mekanik sistemdeki m kütlesinin yerini aldığını görürüz.

Yukarıdaki bağıntıyı enerjinin korunumu ilkesinden hareket ederek de elde edebiliriz.

Bir LC salınım devresinde toplam enerji herhangi bir anda

U = UB + UE = (1/2)LI2 + (1/2)Q2/C

ifadesi ile verilir. Toplam enerji herhangi bir anda, indüktans alanında depo edilen manyetik enerji ile kondansatör alanında depo edilen elektriksel potansiyel enerjin toplamına eşittir. Şayet devrenin dirençsiz olduğunu varsayarsak, toplam enerjiden ısı enerjisine bir geçiş yoktur. Dolaysıyla I ve Q zamanla değişmesine karşın U değişmez. Bu durumda

dU/dt = d[(1/2)LI2 + (1/2)Q2]/dt = LIdI/dt + (Q/C)dQ/dt = 0

yazabiliriz. dI/dt = d2Q/dt2 yazarak

L d2Q/dt2 +Q/C = 0

sonucunu elde ederiz. Bu Eşitlik-3.2 ile aynıdır.

Başlangıçtaki yer değiştirmesi x0 olan bir harmonik salınganın hareket denkleminin çözümünün

x = x0 cos (ω0t +)

ile verildiğini biliyoruz. Buradaki ω0 açısal frekansdır ve

ω0 = (k/m)1/2 (3.4)

ile verilir.

Benzetişe devam edersek, kondansatördeki yükün de zaman ile

Q = Q0 cos (ω0t +)

denklemine göre salındığını görürüz. Buradaki açısal frekans

ω0 = 1/(LC)1/2 (3.5)

ile verilir.

Harmonik salıngandaki enerji, hareket sırasında potansiyelden kinetiğe ve kinetikten yeniden potansiyele dönüşür. Yer değiştirmenin en çok, hızın sıfır olduğu noktalarda enerji tüm potansiyeldir; yer değiştirmenin sıfır, hızın en büyük olduğu noktalarda ise tüm kinetiktir.

Benzer şekilde LC devresinde kondansatör yükünün en çok, akımın sıfır olduğu anlarda enerji tüm kondansatörde; yükün sıfır, akımın en fazla olduğu anlarda ise indüksiyoncunun manyetik alanında toplanır. Böylece kondansatörün elektrik alan enerjisi potansiyel enerjiye, indüksiyoncunun manyetik alan enerjisi de kinetik enerjiye benzer.

Dirençsiz bir LC devresi ile benzeri olan kütle-yay sisteminde bir dönünün çeşitli aşamaları aşağıdaki şekilde verilmiştir. 1) Yük (Q) ve Akımın (I); ve 2)

Kondansatördeki enerji (UC) ile İndüktanstaki enerjinin (UL) zamanla değişimi

verilmiştir.

1) Yük ve akımın

zamanla değişimi

2) Kondansatördeki ve

indüktanstaki enerjinin

zamanla değişimi

SÖNÜMLÜ HARMONİK SALINGAN

Burada, sönümlü bir harmonik salınganın elektrikteki benzerinin, bir direnç, bir indüktans ve

bir kondansatörden oluşan bir elektrik devresi olduğunu görmek zor olmayacaktır. Harmonik

salıngan için geçerli Eşitlik-3.3’ün, hız ile orantılı, zıt yönde olduğu düşünülen bir sönüm

kuvvetini veren –bdx/dt teriminin eklenmesi ile değiştirilmesi gerekir. Böylece sönümlü

harmonik salınganın hareketinin diferensiyel denklemi

md2x /dt2 + bdx/dt + kx = 0 (3.6) (35)

olur.

Şekil-3.2’de gösterilen devre için Kirchhoff’un

ilmek kuralı

Q/C-LdI/dt–IR = 0

denklemini verir. Bu, (I = – dQ/dt’i kullanarak) Q cinsinden yeniden yazılabilir:

L d2Q/dt2 +RdQ/dt +Q/C =0 (3.7)

Bu denklem Eşitlik-3.6 ile biçimce aynıdır. Önceki gibi, L, m’ye; 1/C, k’ya ve R de b’ye eş

düşer.

Şekil-3.2

Denklem-3.7’nin çözümü için

yazabiliriz. Burada Q0 sığanın başlangıçtaki yüküdür. Bu eşitliği, ω0 = 1/(LC)1/2 ve

τ = 2L/R alarak

Q = Q0 e–t/τ cos [(ω0

2 -1/τ2)1/2 t + ] (3.8)

formunda yazabiliriz. Bu durum sönümlü harmonik hareketi incelerken b2

Şekil-3.3

Sönümlü harmonik salıngan ile LRC devresi arasındaki benzerliğin başka bir yönü iki sistemdeki enerji bağıntılarının göz önüne alınması ile ortaya çıkar:

• Sönümsüz harmonik salınganın toplam mekanik enerjisi sabittir; sönüm

kuvvetinin etkisi enerjiyi sürekli olarak azaltmaktır. • Benzer şekilde dirençsiz bir LC devresinin toplam enerjisi sabittir; indüksiyoncu

ile sığa enerji biriktirir, fakat elektrik enerjisini devreden çıkarıp eksiltmez. Direncin eklenmesi I2R güç kaybı ile dizgenin enerji kaybetmesine yol açar. Enerjinin dirençte ısıya dönüşmesi ile devredeki elektrik enerjisi sürekli olarak azalır.

• Tam sönümsüz bir harmonik salınganın gerçekleştirilmesi ideal bir durumdur.

Örneğin, doğrusal hava rayında yapılan deneyler, kızağı taşıyan hava tabakasının viskozluğu yaklaşık hız ile oranlı, küçük, fakat ihmal edilmeyen bir sönüm kuvveti oluşturduğunu gösterir. Aynı şekilde dirençsiz bir LC devresi de bir idealdir. Devrede hiç direnç olmasa bile indüksiyoncu sargı telinin ve bağlama tellerinin direnci hiç bir zaman tamamen ihmal edilemez.

Harmonik salınganlar üzerindeki deneysel çalışmalar sönüm kuvvetinden ileri gelen

enerji kaybı ile birlikte salınımların genliğinde de düzgün bir azalma olduğunu

gösterdiğini hatırlayınız. Benzer şekilde Şekil-27’deki gibi bir LRC devresinde,

kondansatör üzerindeki Q yükünün salınım genliğinin küçülmesini bekleriz.

Salınımların ne çabuklukla söndüğü b sönüm sabitinin (veya R direncinin)

büyüklüğüne bağlıdır. Bu niceliklerin daha büyük bir değer alması salınımların daha

çabuk sönmesine yol açar. Aşağıdaki şekil, L= 0.08 H, C = 25x10-8 F, R = 50, 100,

150 ve 250 alınarak çizilmiştir.

SİNÜSSEL SÜRÜCÜ KUVVETE KARŞI TEPKİ Bir LRC devresinin sinüssel sürcü bir gerilime verdiği tepkiyi inceleyeceğiz.

Şekil-3.4’daki devreyi göz önüne alalım ve

V = V0 cos ωt (3.9)

ile verilen sinüssel bir sürücü gerilim ile devrenin beslendiğini düşünelim.

Şekil-3.4

Şekil-3.4’daki devreye Kirchoff’un ilmek kuralını uyguladığımızda, Eşitlik-3.7’den tek farkın

V0 cos ωt teriminin eklenmesi olduğu görülür. Bu durumda geçerli diferensiyel denklem:

L d2Q/dt2 + R dQ/dt + Q/C = V0cos ωt (3.10)

dir.

Kondansatörün Q yükünün zamanla değişimi, Eşitlik-3.10’nun çözümü olan bir fonksiyon

ile anlatılır. Çözüm, tıpkı Deney ED-1’in RC devresindeki gibi bulunur. Çözümün, frekansı

sürücü geriliminki ile aynı olan fakat aralarında bir faz farkı bulunan

Q = Q0 cos (ωt + ) (3.11)

şeklinde bir kosinüs fonksiyonu olduğunu düşünelim (Kalıcı çözümü dikkate alacağız)

Şimdi bu bağıntının çözüm olabilmesi koşulunu, Q’nın birinci ve ikinci türevlerini ve kendisini Eşitlik-3.10’da yerlerine koyarak bulalım. sin(ωt + ) ve cos(ωt + )

fonksiyonlarını açıp terimleri sinωt ve cosωt parantezlerine alalım. Buradaki katsayılar

Deney ED-1’deki nedenlerle ayrı ayrı yok olmalıdır. Bu koşulu uyguladığımızda

– Q0 ω2L cos(ωt + ) – Q0 ωR sin(ωt + ) +(Q0/C) cos(ωt + ) = V0 cosωt

veya

Q0 [(1/C– Lω2) (cosωt cos– sinωt sin) – ωR (sinωt cos + cosωt sin)] = V0 cosωt

veya

Q0[(1/C– Lω2) cos– Rω sin] cosωt + Q0[-(1/C– Lω

2) sin - Rω cos] sinωt = V0 cosωt

elde ederiz. cos ωt ve sin ωt’nin katsayılarını sıra ile eşitleyerek

Q0[(1/C– Lω2) cos– Rω sin] = V0 (3.12a)

Q0[-(1/C– Lω2) sin - Rω cos] = 0 (3.12b)

yazabiliriz (Buradaki ara işlemleri yapınız).

Eşitlik-52b’yi yeniden düzenleyerek:

tan = R/[ωL-1/(ωC)] (3.13) Eşitlik-52a’yı sin ile bölüp Eşitlik-53’ü yerine koyalım ve Q0 yı çözelim:

Q0= – [V0/ (ω R)]sin (3.14)

buluruz. Q0, içinde bulunmayacak şekilde de belirtilebilir: Q0= (V0/ω) / [R

2 + [ωL-1/(ωC)]2]1/2 (3.15) Q0 ‘nın ω’ya bağlı davranışı L=0,025 H, C=0,001 F, R = 1000 ve V0 = 10 volt

değerleri için aşağıda verilmiştir.

Rezonans

frekansı

Devredeki I akımı Denk (3.11)’in zamana göre türevinden başka bir şey değildir.

I = dQ/dt = -(V0 / [R2 + (ωL-1/(ωC))2]1/2 )sin(ωt + ) (3.17)

Akımın fazı her zaman Q’dan π/2 öndedir. Rezonans durumunda I ile V aynı

fazdadır ve R’den L ile C sanki kısa-devre yapılmış gibi akım geçer. Bu nedenle

ω0, R’de en çok güç harcamasına yolaçan frekanstır.

Bu Q0 genliği ω ile ilginç biçimde değişir; (ωL –1/ωC)’nin sıfır olduğu = -π/2

durumunda

(Q0)max = V0/(ωR) (3.16)

en büyük değerine ulaşır. Bu, ω = (1/LC)1/2 olduğu zaman gerçekleşir; bu da

devrenin ω0 sönümsüz frekansından başka bir şey değildir. Yani, ω sürücü

frekansın ω0 doğal sönümsüz frekansa eşit olması (ω = ω0 ) halinde devrenin

tepkisi en büyüktür. Belli bir frekansta tepkinin “tepe değerine ulaşmasına”

rezonans denir (Bu konuda Titreşimler ve dalgalar ders notuna bakınız).

(3.18a)

büyüklüğüne devranin empedansı denir. XL = L indüktif reaktans, XC = 1/C’ye de

kapasitif reaktans denir. Bu gösterimle empedans

Z = [R2 + (XL – XC)2]1/2 (3.18b)

şeklinde yazılır.

Seri RLC devresinin empedansını vektör gösterimi ile

şeklinde temsil edebiliriz (XL> XC durumu için) . Bu gösterim faz ilişkilerini kolay

analiz etme imkanı vermesi bakımından faydalıdır.

Z = [R2 + (ωL-1/ωC)2]1/2

Seri LRC devresinde XL> Xc ve XL< Xc durumları için fazör diyagramı

a)Seri bağlanmış R-L-C devresi b)XL> Xc için fazör diyagramı c) XL< Xc için fazör diyagramı

Direnç voltaj

fazörü, akım

fazörüyle aynı

fazdadır.

Tüm devre

elemanlarının

akım fazörü

aynıdır.

Kaynak voltaj fazörü VR ,VL ,VC ‘nin vektörel toplamıdır

indüktans

voltaj

fazörü,

akım

fazörünün

90 derece

önündedir.

Sığaç voltaj fazörü,

akım fazörünün 90

derece arkasındadır.

Daima VL fazörüne anti paraleldir.

XL< Xc ise, kaynağın voltaj fazörü akım fazöründen geridedir.

R, C ve L elemanlarında V gerilimi ile I akımı arasındaki faz ilişkisi

1. Direnç üzerinde akım ile

gerilim aynı fazdadır. 2. Sığaç üzerinde akım,

gerilimin 900 ilerisindedir.

2.indüktans üzerinde akım,

gerilimin 900 gerisindedir.

ÖZET

Deney ED - 4 :Çiftlenimli Salınganlar

Bu deneyde, mekaniksel harmonik salınganlar veya LC devreleri gibi salıngan iki sistemin davranışını inceleyeceğiz. Temel kavramları alışık olduğumuz mekanik sistemlerde ele alacağız (Şekil-4.1). Deneysel inceleme elektrik devreleri üzerinde olacaktır.

ŞEKİL-4.1 Çiftlenimli kütle-yay sistemi.

Not: Bu konunun iyi anlaşılması için H. Çelik FİZ-217 Titreşimler ve Dalgalar ders notlarına bakabilirsiniz.

x1 ve x2 koordinatları kütlelerin denge konumundan uzaklaşmalarını göstermektedir. Birinci kütleye sol yaydan doğan -kx1 ve orta yaydan ileri gelen k'(x2 –x1) kuvvetleri etkimektedir. Böylece birinci kütle için

md2x1/dt2 + kx1+ k'(x1– x2)=0 (4.1a)

yazabiliriz.. Benzer şekilde ikinci kütlenin hareket denklemi için md2x2/dt

2 + kx2+ k'(x2– x1)=0 (4.1b) yazılabilir. NOT: Genel ifadenin

𝑚𝑝 𝑥 𝑝 +𝑘𝑝(𝑥𝑝 - 𝑥𝑝−1) + 𝑘𝑝+1(𝑥𝑝 - 𝑥𝑝+1)=0 (4.2) olduğunu biliyorsunuz (H. Çelik,Titreşimler ve Dalgalar ders notlarına bakınız).

Bu iki denklemi tekrar düzenlersek,

m d2x1/dt2 + (k + k') x1 - k'x2 = 0

m d2x2/dt2 +(k + k')x2 - k'x1 = 0 (4.3)

elde ederiz . Burada

x1 = A1 cosωt

x2 = A2 cosωt (4.4)

Şeklinde bir çift harmonik çözüm deneyelim. Bu deneme çözümlerini türevleri ile birlikte Eşitlik-4.3’de

yerlerine koyarak çözüm olup olmadığını, yani diferensiyel denklemleri sağlayıp sağlamadıklarını buluruz.

Bunları yerlerine koyup cosωt ortak katsayısı ile böldüğümüzde;

– m ω2 A1 + kA1 – k' (A2 – A1) = 0

– m ω2 A2 + kA2 + k' (A2 – A1) = 0 (4.5)

buluruz. Bu iki denklemi yeniden (A1 ve A2 parantezlerine alarak )

[(ω2–(k+ k')/m] A1+ (k'/m)A2 = 0

(k'/m)A1 + [(ω2–(k+ k')/m] A2 = 0

(4.6)

şeklinde yazabiliriz. A1 ve A2 genlikleri Eşitlik-4.6’yı sağlayınca Eşitlik-4.4, Eşitlik-4.3’ün

çözümü olur.

Eşitlik- 4.6 eşzamanlı homojen çizgisel denklem takımıdır. Çözümün olabilmesi için katsayı determinantının sıfır olması gereklidir yani,

Buradan

(𝜔2 − (𝑘 + 𝑘′)/𝑚)2= (𝑘′/𝑚)2 veya

𝜔2 −𝑘+𝑘′

𝑚= ±

𝑘′

𝑚 (4.7)

yazabiliriz. Buradan iki tane kök buluruz . Köklerin büyüğü ve küçüğü için ω+ ve ω – gösterimlerini kullanarak

𝜔+ =𝑘+2𝑘′

𝑚

1/2 ve 𝜔− =

𝑘

𝑚

1/2 (4.8)

yazabiliriz.

𝜔2 − (𝑘 + 𝑘′)/𝑚 𝑘′/𝑚

𝑘′/𝑚 𝜔2 − (𝑘 + 𝑘′)/𝑚 = 0

ω+ veya ω- değerleri kullanılarak genlikler arasındaki bağıntı bulunabilir.

ω+ için

A1 = -A2

- için ise A1 = A2

sonucunu elde ederiz.

Şimdi bu sonuçları yorumlayabiliriz:

(i) ω+ kökü için genlikler eşit fakat zıt işaretli olduklarından, aralarında yarım dönemlik bir faz farkı vardır. Bu halde çiftlenim yayı ( k' ) geri çağırıcı ek bir kuvvet oluşturduğundan ω + frekansı çiftlenimsiz dizgelerin frekansından daha büyüktür.

(ii) ω- kökü, iki kütlenin aynı frekans ve aynı genlik ile titreşmesine karşılık gelir. Bu durumda k' çiftlenim yayının hiç bir etkisi yoktur.

Hareket denklemleri çizgisel diferensiyel denklemler olduğundan çözümlerin bir

toplamı da bir çözümdür. Elde ettiğimiz genlikler arasındaki bağıntıları bir araya

getirerek sistemin olası bütün hareketlerini kapsayan en genel çözüm için

x1 = A cosω- t + B cosω+ t

x2 = A cosω- t - B cosω+ t

(4.9)

yazabiliriz. Burada A ve B, başlangıç koşullarına bağlı gelişigüzel sabitlerdir.

Tek frekanslı hareketin herbirine normal mod (kip) denir; genel olarak hareket

normal mod hareketlerinin bir karışımıdır.

İlginç bir durum, özellikle k' çiftlenim yayının öteki ikisinden çok zayıf (yani

k'

Şimdi bu gösterimi A = B varsayımı ile birlikte Eşitlik- (4.9)’de kullanalım ve her kosinüsü cos(a ± b) = cosa cosb ± sina sinb formülüne göre açalım:

x1 = A cos(ω0– ∆ω)t + A cos(ω0+ ∆ω)t

= A (cosω0t cos∆ωt + sinω0t sin∆ω t + cosω0t cos∆ωt – sinω0t sin∆ω t)

= [2A cos(∆ω t)] cosω0t

yazabiliriz. x2 ifadesi de aynı şekilde açılırsa

x2 = A cos(ω0– ∆ω)t – A cos(ω0+ ∆ω)t

= A (cosω0t cos∆ωt + sinω0t sin∆ω t – cosω0t cos ∆ωt + sin ω0t sin∆ω t)

= [2A sin(∆ω t)] sinω0t

elde edilir.

x1 ve x2 için bulunan sonuçları tekrar yazalım:

x1 = [2A cos(∆ω t)] cosω0t

x2 = [2A sin(∆ω t)] sinω0t (4.11)

Hareket basit sinüssel hareket değildir, çünkü koordinatların her biri zamanla iki sinüssel fonksiyonun çarpımı şeklinde değişmektedir. Bununla birlikte fonksiyonlardan biri zamanla, frekansı ∆ω olmak

üzere ağır değişirken öteki iki normal mod frekansı arasında ω0 frekansı ile daha hızlı değişir.

Bunun için bu hareketlerin frekansının ω0 olduğunu ve genliğinin de sıfır ile 2A arasına değiştiğini

düşünebiliriz. Bundan başka x1 genliği en büyük olduğu sırada (yani cos∆ωt = ± 1 iken) x2 genliğinin

sıfır olduğu ve aynı şeklide bunun tersinin de olabileceği görülmektedir. Başlangıçta 2. kütle

hareketsizdir, 1. kütle, 2A genliği ile titreşmektedir. 2. kütle’nin 2A genliği ile titreşmeğe koyulduğu

∆ωt = π/2 ile verilen bir süre sonunda bu genlik azalmış sıfır olmuştur. Bu hareket, x1 ve x2 grafiklerini

zamanın fonksiyonu olarak veren Şekil-35’de grafik halinde gösterilmiştir.

x1 = [2A cos(∆ω t)] cosω0t

x2 = [2A sin(∆ω t)] sinω0t

ŞEKİL-4.2

ENERJİ BAĞINTILARI Bu durumu enerji bağıntıları yönünden ele alabiliriz. t = 0 anında bütün enerji salıngan 1’dedir.

k' yayı ile sağlanan çiftlenimden dolayı enerjinin tümü salıngan 2’de toplanıncaya kadar enerji

salıngan 2’ye aktarılır. Sonra enerji yeniden salıngan 1’e geçmeğe başlar. Enerjinin 1’den 2’ye

gidip geri dönmesi için geçen alışveriş zamanı olarak adlandırabileceğimiz talışveriş zamanı

∆ωtalışveriş = π bağıntısı ile verilir.

Periyotlu enerji alış verişinin açısal frekansı

ωalışveriş = 2/talışveriş = 2 ∆ω (4.12) ile verilir.

ELEKTRİKSEL BENZERLİK

ED-1’den ED-4’e kadar olan deneylerde tartıştığımız elektromekanik benzerlikleri

kullanarak çiftlenimli iki harmonik salınganın elektrikteki benzerini bulabiliriz. Kütle-

yay (m-k) dizilimi indüksiyon-sığa (L-C) dizilimine, çiftlenim yayı da çiftlenim

kondansatörüne karşılık gelir. Özel olarak, elektriksel benzer dizge Şekil-4.3’de

görülen devredir.

Şekil-4.3

Bunun gerçekten biraz önce tartışılan mekanik dizgenin bir benzeri olduğunu ayrıntılı bir

şekilde doğrulamak için Kirchoff’un ilmek kuralını her ilmeğe iki kez uygulayarak devre

denklemlerini yazalım. Çeşitli yük ve akımlar şekilde gösterildiği gibi işaretlenmişlerdir. C'

çiftlenim kondansatöründeki yük ± (Q1 – Q2) olup bunun karşılığı olan gerilim ± (Q1– Q2)/C'

‘dir. Şekil-4.3’de gösterilen yük ve akımların tanımlarından akımlar I1 = dQ1/dt ve I2 = dQ2/dt

ile verilir. İndüksiyoncuların uçları arasındaki gerilimler, I2 için de aynı olmak üzere, L dI1/dt =

-L d2Q1/dt2 ile verilir. Devre denklemleri şöyledir:

md2x1/dt2+ kx1+k'(x1– x2)=0

md2x2/dt2 + kx2+k'(x2– x1)=0

Bu son iki denklemi çiflenimli harmonik salınganların Eşitlik-4.1 ile karşılaştırdığımızda

bunların şekilce özdeş olduklarını görürüz. Buradaki elektromekaniksel benzerlikler önceki

deneylerde bulduklarımızın aynıdır:

L ↔ m, 1/C ↔ k, Q ↔ x ve I ↔ v Şu halde, her iki kip birlikte bulunduğu zamanki enerji aktarılması, dizgenin iki parçası

çiftlenimsiz olduğu zaman davranışı ve normal kiplerin anlatımını da ekleyerek yukarıda çiftlenimli harmonik salınganlar için söylenilen her şeyi çiftlenimli LC rezonans devreleri için de tekrarlayabiliriz.

Burada k' = 0, sonsuz derecede büyük C' çiftlenim sığası karşılığıdır. Böyle bir kondansatörün özeliği, kondansatör ne kadar yüklenirse yüklensin uçları arasındaki gerilimin sıfır olmasıdır. Genel olarak bir kondansatör için V = Q/C’dir. Buna göre, Q’nün herhangi belli bir değeri için V sıfırdır. Bu nedenle C' bir kısa devre gibi davranır ve iki LC devresi çiftlenimsiz olur. ∆ω

Deney ED - 5 :Periyodlu Yapılar ve İletim Yolları

Deney ED-4’de incelediğimiz çiftlenimli salınganları bu deneyde genişleteceğiz.

Çiftlenimli iki kütle-yay veya indüksiyoncu-kondansatör dizgeleri yerine bunlardan

birçoğunun birlikte çiftlenimli halde oluşturduğu tekrarlı yapıları inceleyeceğiz.

İlerde göreceğimiz gibi böyle yapılar, geçirdikleri atmaları, zamanca geciktirmek

için kullanılabilir ve bazı frekansları geçirip ötekilerine kapalı olan süzgeçler

şeklinde işlemek gibi ilginç özellikleri de varadır.

Şekil-5.1’de gösterilen periyodlu yapılın oluşturduğu basit mekanik örnek ile

tartışmaya başlayalım.

Uçtaki iki kütlenin değerleri m/2’dir.

Şekil-5.1

Eğer iletim yolunun ucundaki bir kütle boylamasına sertçe sarsılarak bırakılırsa,

bu şekilde oluşan yerdeğiştirme atması yol boyunca yayılır. Atma öteki uca

çarpınca geri yansır. Böylece iletim yolu boyunca geriye dönen ikinci bir atma

türer. Uç yaylarını sabit duvar yerine hız kutularına bağlayıp atmaların bir kısmını

veya tümünü soğurarak yansımaları önleyebiliriz. Yansımaların önlenmesi bu

dizgenin elektrikteki benzerinde büyük önem taşır.

𝑚𝑛𝑥 𝑛 = −𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 − 𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛+1 = 𝑘 𝑥𝑛−1 − 2 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1 (5.1a)

yazabiliriz.

Uçtaki kütleler için ise

1

2𝑚𝑥 1 = −𝑘 𝑥1 − 𝑥2 (5.1b)

1

2𝑚𝑥 𝑁 = −𝑘 𝑥𝑁 − 𝑥𝑁−1 (5.1c)

Bütün kütlelerin sayısı N ise o zaman n indisi 1’den N’ye dek değişir. n’inci kütlenin

diferensiyel denklemi yalnız x’n ye değil yayların etkisinden dolayı aynı zamanda xn–1 ve

x’n+1 e de bağlıdır. İletim yolunun ucunda olmayan tipik bir kütle için

yazabiliriz (Bu konu için H. Çelik, Titreşimler ve Dalgalar ders notlarına bakabilirsiniz).

Bu denklemlerin çözümlerini bulmak için iletim yolunun bir ucundan başlatılan bir

atmanın biçim değiştirmeden sabit bir hızla yayıldığını düşünelim. Bu varsayımı

simge halinde göstermek için, sağa doğru yol alan bir atma düşünelim. Eğer belli bir n

numaralı kütle, zamanla xn(t) fonksiyonu ile verilen bir yerdeğiştirmeye uğrarsa bir

sonraki (n + 1) numaralı kütle aynı yerdeğiştirmeye daha sonraki bir t + T anında

uğrar. Burada T, Şekil-5.2’de görüldüğü gibi bir atmanın bir kesimlik yolu alması

için gereken zamandır.

Şekil-5.2

Öyle ise

olduğunu düşünebiliriz.

Bu bağıntıları basitleştirmek için Taylor serisi açılımını kullanarak xn(t ± T) fonksiyonlarını xn ve xn ‘nin t anındaki türevleri cinsinden aşağıdaki gibi yazabiliriz.

𝑥𝑛 𝑡 + 𝑇 = 𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥 𝑛 𝑡 𝑇 +1

2𝑥 𝑛 𝑡 𝑇

2 + ⋯

ve

𝑥𝑛 𝑡 − 𝑇 = 𝑥𝑛 𝑡 − 𝑥 𝑛 𝑡 𝑇 +1

2𝑥 𝑛 𝑡 𝑇

2 − ⋯ (5.3)

Yukarıdaki bağıntılarda n’yi sıra ile (n – 1), veya (n + 1) ile değiştirerek aynı bağıntıları

xn–1 (t ± T) ve xn+1 (t ± T) için yazabiliriz. Aşağıdaki çözümlemede, bu sonsuz serilerin ilk üç

terimi dışındaki bütün terimlerinin önemsenmeyecek kadar küçük olduğunu düşünebiliriz. Bu

yaklaşıklık, atmanın tümünün verilen bir noktadan geçmesi için gerekli zamanın T’ye göre çok

büyük alınması halinde geçerlidir. Bu durumda her bir x, T zaman aralığında oldukça az

değişir; xn(t) ve xn (t + T) arasındaki fark küçük olur ve seri hızla yakınsaklaşır.

𝑥𝑛−1(𝑡) = 𝑥𝑛(𝑡 + 𝑇) 𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝑥𝑛(𝑡 − 𝑇) (5.2)

Eşitlik-5.2’yı Eşitlik-5.1a’da yerine yazalım ve ondan sonra Eşitlik-5.3 ile verilen seri açılımlarını

kullanalım: 𝑚𝑥 𝑛 𝑡 = 𝑘 𝑥𝑛 𝑡 + 𝑇 − 2𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥𝑛 𝑡 − 𝑇

= 𝑘 𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥 𝑛 𝑡 𝑇 +1

2𝑥 𝑛 𝑡 𝑇

2 − 2𝑥𝑛 𝑡 + 𝑥𝑛 𝑡 − 𝑥 𝑛 𝑡 𝑇 +1

2𝑥 𝑛 𝑡 𝑇

2 = 𝑘𝑥 𝑛 𝑡 𝑇2

(5.4)

elde ederiz. Sağ taraftaki T3 ve daha büyük üslü terimler atıldı. Çünkü bunlar bırakılan terimlerden çok daha küçüktürler.

Bu denklem, kütlelerin hareketinin nasıl olduğunu ayrıntı ile göstermez. Bunu bulmak için ilk atmanın

biçimini bilmeliyiz. Fakat bu, çözümler üzerindeki ilk varsayımımızın, Eşitlik-5.2, mekanik yasaları ile

uyuştuğunu gösterir. Bundan başka, Eşitlil-5.4’ün bu yasalara uyması için bir özdeşlik olması

gerektiğinden 𝑚𝑥 𝑛 𝑡 ≡ 𝑘𝑥 𝑛 𝑡 𝑇2 veya 𝑚 = 𝑘𝑇2 olmalıdır. Bu durumda “kesim başına gecikme”

zamanının

T = (m/k )1/2 (5.5)

ile verildiğini görürüz. Şimdiye dek söylenilen her şeyin sağa olduğu kadar sola doğru yayılan, bir atma

için de geçerli olduğunu belirtelim. Bu durumda Eşitlik-5.2’deki işaretleme zıt olur ve Eşitlik-5.4’da da

buna karşılık değişmeler olduğu için çözümlerin herhangi bir toplamı da bir çözümdür. Bu nedenle hareket

zıt yönlerde yol alan atmaların üst üste binmesi olabilir. Gerçekten bir atma bir uçtan yansıdığında böyle

bir durum ortaya çıkar, şimdi bu yansımaları tartışacağız.

YANSIMALAR

Sönüm kuvvetleri olmayınca sağ uçtaki koordinatı xN olan m/2 kütlesinin hareket denklemi

Eşitlik-5.1c’dir. Bununla birlikte sözü edildiği gibi yansıyan atmanın değişmesini veya

tamamen önlenmesini sağlayacak enerji soğurumu için bir yol arayabiliriz. Bu nedenle bu

kütleye –b𝑥 𝑁 değişken sönüm kuvvetini ekleyerek (Şekil-5.3)

Şekil-5.3

1

2𝑚𝑥 𝑁 = −𝑘 𝑥𝑁 − 𝑥𝑁−1 − 𝑏𝑥 𝑁 (5.6)

hareket denklemini şeklinde yazabiliriz. Buradaki b sönüm sabiti olarak adlandırılır. Bu

denklem, bir atmanın iletim yolunun ucunda yansımasını incelemek için kullanılabilir.

Yansıma ve Geçme Katsayıları Belirli bir gerilme altında olan ip, birim uzunluk başına kütlesi farklı bir ip ile birleştirilirse, birleşme noktasında oluşan süreksizlikte ikinci ortama geçme yanında, yansıma da ortaya çıkar (Şekil-5.4).

Boyca kütle yoğunlukları 𝜇1 ve 𝜇2 olan iplerin Şekil-5.4’deki gibi 𝑥 = 0 noktasında birleştiğini kabul edelim. Bu durumda aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz: Gelen dalga (+x yönünde) 𝑦𝐼 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘1𝑥 − 𝑤𝑡) (5.7a) Yansıyan dalga (-x yönünde) 𝑦𝑅 𝑥, 𝑡 = 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝑘1𝑥 + 𝑤𝑡) (5.7b) Geçen dalga (+x yönünde) 𝑦𝑇 𝑥, 𝑡 = Ccos(𝑘2𝑥 − 𝑤𝑡) (5.7c) Sol taraftaki bileşke dalga 𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝐼 𝑥, 𝑡 + 𝑦𝑅 𝑥, 𝑡 (5.8a) Sağ taraftaki bileşke dalga 𝑦2 𝑥, 𝑡 = 𝑦𝑇 𝑥, 𝑡 (5.8b)

Şekil-5.4

i) x=0 noktasında iplerdeki enine yer değiştirmeler eşit olmalıdır:

𝑦1 0, 𝑡 = 𝑦2 0, 𝑡 veya

𝑦𝐼 0, 𝑡 + 𝑦𝑅 0, 𝑡 = 𝑦𝑇 0, 𝑡 veya

𝐴𝐶𝑜𝑠 −𝑡 + 𝐵𝐶𝑜𝑠𝑡 = 𝐶𝐶𝑜𝑠 −𝑡 veya

𝐴𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝐵𝐶𝑜𝑠𝑡 = 𝐶𝐶𝑜𝑠𝑡 yazabiliriz. Burada her iki taraf 𝑐𝑜𝑠𝑡’ye bölünerek gelen, yansıyan ve geçen dalgaların genlikleri arasında

𝐴 + 𝐵 = 𝐶 (5.9) ilişkisi elde edilir.

𝒙 = 𝟎 noktasında ipler üzerindeki enine kuvvetler (gerilme kuvvetleri) her an eşit olmalıdır: Bu koşuldan

𝑇𝜕𝑦1(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥 𝑥=0

= 𝑇𝜕𝑦2(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥 𝑥=0

veya

𝑇𝜕𝑦𝐼(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥 𝑥=0

+ 𝑇𝜕𝑦𝑅(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥 𝑥=0

= 𝑇𝜕𝑦𝑇(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥 𝑥=0

yazabiliriz. Burada Eşitlik-5.2’deki değerler kullanılarak

−𝑇𝐴𝑘1 sin −𝑡 − 𝑇𝐵𝑘1sin (𝑡) = −𝑇𝐶𝑘2sin (−𝑡) veya

𝑇𝐴𝑘1 − 𝑇𝐵𝑘1 = 𝑇𝐶𝑘2 veya 𝐴𝑘1 − 𝐵𝑘1 = 𝐶𝑘2 (5.10) elde edilir.

Şimdi (5.9) ve (5.10) denklemlerini yeniden yazalım: 𝐴 + 𝐵 = 𝐶

𝐴𝑘1 − 𝐵𝑘1 = 𝐶𝑘2 Birinci denklemi 𝑘1 ile çarpalım ve ikinci denklem ile taraf tarafa toplayalım:

𝑘1𝐴 + 𝑘1𝐵 = 𝑘1𝐶 + 𝑘1𝐴 − 𝑘1𝐵 = 𝑘2𝐶

2𝑘1𝐴 = 𝑘1 + 𝑘2 𝐶 Buradan

𝐶

𝐴=

2𝑘1

𝑘1+𝑘2 (5.11)

sonucunu elde ederiz. Eşitlik-5.9’dan

𝐵 = 𝐶 − 𝐴 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝐵

𝐴=

𝐶

𝐴− 1

yazabiliriz ve (5.11) denklemini burada kullanırsak

𝐵

𝐴=

2𝑘1𝑘1 + 𝑘2

− 1 =2𝑘1 − 𝑘1 − 𝑘2

𝑘1 + 𝑘2=

𝑘1 − 𝑘2𝑘1 + 𝑘2

veya

𝐵

𝐴=

𝑘1−𝑘2

𝑘1+𝑘2 (5.12)

sonucunu elde ederiz.

İpteki dalganın ilerleme hızının 𝑣 =𝑘

=𝑇

𝜇 olduğunu biliyoruz. Buradan

𝑘 = 𝜇

𝑇=𝑇

𝜇 (5.13a)

yazabiliriz. Birleşme noktasında dalgaların açısal frekansı () ve ipteki gerileme kuvveti (𝑇) eşit olacağından

𝑘1 =𝑇

𝜇1 (5.13b)

𝑘2 =𝑇

𝜇2

yazabiliriz.

Bu değerleri (5.12) ve (5.13) denklemlerinde kullanarak 𝐶

𝐴 ve

𝐵

𝐴 oranları için

𝐵

𝐴=

𝜇1− 𝜇2

𝜇1+ 𝜇2 (5.14a)

𝐶

𝐴=

2 𝜇1

𝜇1+ 𝜇2 (5.14b)

yazabiliriz.

𝑇

𝑣 oranına karakteristik empedans diyeceğiz ve Z ile göstereceğiz. Burada v hızı

için 𝑣 = 𝑇 𝜇 değerini kullanırsak karakteristik empedans için

𝑍 =𝑇

𝑣=

𝑇

𝑇 𝜇 =

𝑇 𝜇

𝑇= 𝜇𝑇 (5.15)

𝑍 =𝑇

𝑣=

𝜇𝑣2

𝑣= 𝜇𝑣

veya 𝜇 =𝑍

𝑇 yazabiliriz. İpin her yerinde T gerilimleri eşittir ve bundan dolayı

𝜇1 =𝑍1

𝑇 ve 𝜇2 =

𝑍2

𝑇 yazılabilir. Bu değerler (5.14a) ve (5.14b) ifadelerinde

kullanılarak

𝐵

𝐴=

𝑍1−𝑍2

𝑍1+𝑍2 (5.16a)

𝐶

𝐴=

2𝑍1

𝑍1+𝑍2 (5.16b)

sonuçları elde edilir.

𝐵

𝐴 oranına yansıma katsayısı ve

𝐶

𝐴 oranına ise geçme katsayısı adı verilir. Birinci

ortamdan ikinci ortama gelen bir dalganın yansıma katsayısını R12 ile, birinci ortamdan ikinci ortama geçen dalganın geçme katsayısını 𝑇12 ile göstereceğiz. Bu tanımlama kullanılırsa (5.16a) ve (5.16b) ifadelerinden

𝑅12 =𝐵

𝐴=

𝑍1−𝑍2

𝑍1+𝑍2 (5.17a)

𝑇12 =𝐶

𝐴=

2𝑍1

𝑍1+𝑍2 (5.17b)

yazabiliriz. Burada verilen yansıma (𝑅12) ve geçme (𝑇12) katsayılarının genlik yansıma ve geçme katsayıları olduğuna dikkat ediniz.

Yukarıda tartıştığımız kütle-yay modelinde her bir hücrenin uzunluğunu 𝑎 alalım. Bu durumda boyca kütle yoğunluğu yerine 𝜇 = 𝑚/𝑎 yazabiliriz. Bunu Eşitlik (5.15)’de kullanırsak, karakteristik empedans için

𝑍 = 𝜇𝑇 =𝑚𝑇

𝑎 (5.18)

yazabiliriz. Burada 𝑇/𝑎 oranı ise 𝑘 yay sabiti olarak alınabilir. Bu durumda karakteristik empedans için

𝑍 = 𝑚𝑘 (5.19a)

yazabiliriz. Bu durumda Z1 ve Z2 empadansları için

𝑍1 = 𝑚𝑘 ve 𝑍2 = b (5.19b)

alabiliriz.

Buradaki b, Eş. 5.6 ile tanımlı sönüm sabiti olup empedans boyutundadır.

Bu durumda yansıma ve geçme katsayıları için

𝑅 =𝐵

𝐴=

𝑍1−𝑍2

𝑍1+𝑍2=

𝑚𝑘−𝑏

𝑚𝑘+𝑏=

1−𝑏/ 𝑚𝑘

1+𝑏/ 𝑚𝑘 (5.20a)

ve

𝑇=𝐶

𝐴=

2𝑍1

𝑍1+𝑍2=

2 𝑚𝑘

𝑚𝑘+𝑏=

2

1+𝑏/ 𝑚𝑘 (5.20b)

ifadeleri yazılabilir.

İlginç birkaç özel durumu ele alalım:

1. Eğer b = Z2 =0 ise R = B/A = 1 olur ve atmanın tümü yansıtılır.

2. b = Z2 = Z1 = (mk)1/2 için R ’nin sıfır olduğunu belirtelim. Bu

durumda sönüm nedeniyle atmanın tümü soğurulur, hiç yansımış

atma yoktur ve uç kütlenin yer değiştirmesinin tepesi ötekileri ile

aynıdır.

3. Son olarak, b = Z2 empedansı Z1’e göre çok büyük ise R yansıma

katsayısı –1’e yaklaşır. Yani yansımış atma tersine çevrilir ve

uçtaki kütle hiç hareket etmez.

Sonuç olarak yansıma ve geçme katsayısı b’nin büyüklüğüne

kritik şekilde bağlıdır.

ELEKTRİKSEL BENZERİ Daha önce incelediğimiz m ile L, k ile 1/C ve b ile R arasındaki benzerlikleri kullanarak bu dizgenin elektrikteki benzerini bulabiliriz.. Şekil5.5’deki devreyi ele alalım.

Şekil-5.5

Qn–1 ve Qn yüklerini içine alan ilmeğe Kirchhoff’un ilmek kurallarını uyguladığımızda

Qn-1/C - Qn/C = LdIn/dt (5.21)

buluruz. Benzerince Qn ve Qn+1 i içine alan ilmek için

Qn/C - Qn+1/C = LdIn+1/dt (5.22)

elde ederiz. Qn in üstündeki kavşağa Kirchhoff’un akım kuralını uygularsak

dQn/dt = In– In+1 veya d2Qn/dt

2 = dIn/dt– dIn+1/dt (5.23)

elde ederiz. Eşitlik-5.21’den Eşitlik-5.22’yi çıkarıp Eşitlik-5.23’de yerlerine koyduğumuzda

L d2Qn/dt2 = (1/C) (Qn–1 – 2Qn + Qn+1) (5.24)

buluruz.

L/2 L/2

Eşitlik-5.24 ile Eşitlik-5.1a’nın karşılaştırılması bunların tam aynı yapıda olduklarını dolayısı ile

elektriksel benzerin geçerli olduğunu gösterir.

m d2xn/dt2 = k(xn–1 – 2xn + xn+1) L d

2Qn/dt2

= (1/C) (Qn–1 – 2Qn + Qn+1)

Elektro-mekaniksel benzetişimin incelenmesini bitirmiş olmak için denklemleri uçlar için de elde edip bunları Eşitlik-5.1c ve Eşitlik-5.6 ile karşılaştırmamız gerekmektedir. Yukarıdaki mekaniksel çözümlemenin en önemli sonucu Eşitlik-5.5 ve Eşitlik-5.20a’ dır. Bunların elektriksel benzerinin

𝑇 = 𝐿𝐶 (5.25)

R = 𝐵

𝐴=

1−𝑅/ 𝐿/𝐶

1+𝑅/ 𝐿/𝐶 (5.26)

olacağı açıktır. Empedans boyutunda olan (L/C)1/2 niceliğine dizgenin belirtgin (karakteristik) empedansı denir ve Z ile gösterilirse yansıma katsayısı için

R = 𝐵

𝐴=

𝑍−𝑅

𝑍+𝑅

yazabiliriz. Özellikle, atmanın R direnci ile kapalı uçta tümünce soğurulması için gerekli koşul (R = 0):

R = Z (5.27)

dir. Yani uç direnç belirtgin impendansa eşit olunca iletim yolunun ucundan hiç bir yansıma

olmaz gibi önemli bir sonuca varırız.

DAĞILMA (DİSPERSİYON)

Şimdi biçimi ne olursa olsun bir atmanın iletim yolunda biçim değiştirmeksizin sabit hızla yol alıp almadığı sorusuna dönelim. Bir atma Fourier analizi ile her zaman sinüssel bileşenlerin bir toplamı olarak gösterilebildiğini biliyoruz. Eğer bütün sinüssel bileşenler aynı hızla yol alırlarsa o zaman atmanın bütün kısımlarının aynı hızla yol almasını bekleyebiliriz. Fakat sinüssel dalgaların hızının frekanslarına bağlı olduğu ortaya çıkarsa o zaman genel olarak bir atmanın belirli bir hızla yayıldığı doğru olmayacaktır.

O halde yapılacak iş, kesimler arasında sabit faz farkı olmak üzere Eşitlik-5.24 için bir sinüssel çözüm almak, onun çözüm olup olmadığını denemek ve kesim başına T gecikme zamanını hesaplamaktır.

Bir deneme çözümü:

Qn = Q0 cosω(t – nT) (5.28)

alınabilir. n’inci yükün birinciye bakınca bir nT zamanı kadar geciktiği düşünülebilir. Q0 bir genlik sabiti olup bütün yükler için aynıdır. Bunu Eşitlik-5.24’de yerine koyunca

LC d2Qn/dt2

= (Qn+1 – 2Qn + Qn-1)

– LCω2Q0 cosω(t – nT) = Q0 cosω[t – (n + 1)T] – 2Q0 cosω(t – nT) + Q0 cosω[t – (n – 1)T] (5.29)

elde ederiz. Yalnız ωT ve ω(t – nT) niceliklerinin kosinüsleri olan terimleri elde etmek için kosinüs fonksiyonlarını açalım ve Q0 cos ω(t – nT) ortak katsayısına bölelim:

– LCω2Q0 cosω (t – nT) = Q0 cosω(t – nT) cosωT + Q0 sinω(t – nT) sinωT

– 2Q0 cosω(t –nT) + Q0 cosω(t – nT) cosωT

– Q0 sinω(t – nT) sinωT

Buradan

LC ω2 = 2(1 – cosωT) = 4 sin2 (ωT/2)

veya

T= (2/)sin-1 (LC2/4)1/2 (5.30)

elde ederiz .

Demek ki, Eşitlik-5.28 tipinde çözümler vardır, bunlarda her yük aynı frekansta fakat kesimler arasındaki = ωT ile verilen sabit bir faz farkı ile sinüssel olarak salınır.

Bununla beraber yaklaşıklık dışında kesim başına T gecikme zamanı, T = (LC)1/2

(Eşitlik-5.25) ile verilmez ve genellikle frekanstan bağımsız değildir. Eğer ω’ya karşılık gelen periyod, kesim başına T gecikmesinden uzun ise o zaman ωT çok küçük olduğundan komşu kesimler arasındaki faz farkı çok küçüktür. Bu durumda Eşitlik-5.30’daki sinüs fonksiyonu kuvvet serisine açılabilir.

Serinin yalnız ilk terimi bırakılırsa

LCω2 = 4(ωT/2)2 veya T = (LC)1/2 (5.31)

elde ederiz. Böylece yalnız düşük frekans sınırında T frekanstan bağımsız olarak

Eşitlik-5.31 ile verilir. Bunun tersine sinüs fonksiyonu 1’i aşamadığından

LCω2 = 4 veya ω = 2/(LC)1/2 (5.32)

ile verilen bir üst frekans sınırı vardır. Frekans bu kritik değerden büyükse

Eşitlik- (5.24)’ün Eşitlik-5.28 şeklinde hiç bir sinüssel çözümü yoktur.

Şekil-5.6, T’nin ω’ya bağlı davranışını göstermektedir (Eşitlik-5.30 ile verilen).

Şekilden görüldüğü gibi küçük frekanslarda T, ω’dan bağımsızdır ve (LC)1/2 ye eşittir; fakat ω arttıkça T’de artar ve kesilim (cutoff) frekansında π(LC)1/2/2 değerine ulaşır. Bu frekansa karşılık gelen periyod 2π/ω veya π(LC)1/2 olup kesilim frekansındaki kesim başına gecikme zamanının iki katına eşittir.

Şekil-5.6

Şu halde periyodu kesim başına gecikmenin iki katından büyük olan bir sinüssel dalga yapı boyunca yayılamaz.

T= (2/)sin-1(LC2/4)1/2

Sonuç Yukarıdaki tartışma bir atmanın iletim yolundan bozulmadan geçebilmesi için

çeşitli frekans bileşenlerinin kesilim frekansından küçük olması gerektiğini

gösteriyor. Yoksa biraz bozulma olacak ve eğer temel bileşenler kesilimin

üstünde ise atma büyük ölçüde bozulacak ve zayıflayacaktır. Atmanın yayılma

hızının frekansa bağlı oluşundan ileri gelen zayıflama ve bozulma olayının

tümüne dağılım (dispersion) denir. Fiziğin dalga olaylarının işe karıştığı ses,

optik ve kuantum mekaniği gibi öteki kollarında buna benzer çok olay vardır.

İLETİM YOLLARI (HATLARI)

İletim yolları (hatları) noktadan-noktaya enerji ve bilginin verimli bir şekilde iletimi

için kullanılır. Burada kısaca bu konuya değinilecektir. Laboratuvardaki mevcut

aletlerin yetersizliği nedeniyle deneysel çalışma yapılmayacaktır.

İletim yolunun her kesimindeki L ile C’yi azaltarak kesilim frekansının

yükselebileceği Eşitlik-5.32’den görülmektedir. Örneğin, eğer L ile C önceki

değerlerinin yarısıra indirilirse kesilim frekansı 2 katına çıkar, fakat belirtgin

empedans değişmez. Bu gözlem, indüksiyon katsayısı (L) ve sığası ( C ) yol boyunca

sürekli olarak dağılmış olan bir iletim yolu olabileceğini gösterir. Böyle bir iletim

yolunun bir yüksek frekans kesilimi olmaması ve tam dağılmasız olması gerekir.

Böyle bir dizge gerçekten olabilir ve belli sınırlar içinde kullanışlıdır. Basit bir iletken

çifti böyle bir dizge oluşturur ve buna dağılmış-parametreli yol veya iletim yolu denir.

Örneğin, bir çift paralel doğru iletken birim uzunluğu başına belli bir indüksiyon

katsayısı vardır. Bu düşünceler Şekil-5.7’de gösterilmiştir.

Şekil-5.7

Uygulamada iletim yolları çoğu kez aynı eksenli silindirler şeklinde yapılır; dış iletken, iletkenler arasındaki boşluk için elektrostatik bir perde gibi iş görür. Böylece iletim yolu çevredeki iletkenlerden doğan alanların etkisi altında değildir. Böylece iletim yoluna, aynı eksenli yol veya koaksiyel (Coaxial ) denir. Telefon, TV ve hassas yüksek-frekans ölçüm cihazlarında bu türden kablolar kullanılır. Bu yapının önemli yararı, elektrik ve manyetik alanların tümüyle dielektrik bölgeye hapsedilmesi ve hatta çok az dış girişim bağlaşmasıdır.

Toplu-parametreli yol için yapılan analizler, L ve C’yi birim uzunluk başına

indüksiyon katsayısı ve sığa olarak yorumlayarak dağılmış-parametreli yol için de

yapılabilir. Belirtgin empedans yine Z=(L/C)1/2 ile verilir ve T gecikme zamanı

birim uzunluk başına gecikme olur. O zaman bu niceliğin tersi birim zamanda alınan

yol yani gerçek yayılma hızıdır.

Kusursuz halde iletim yolunda hiç dağılım yoktur ve yayılma hızı frekanstan

büsbütün bağımsızdır.

Gerçek iletim yolları iki nedenle hiç bir zaman bu kusursuz davranışı kazanamazlar:

• Birincisi iletkende enerji yitirmeye yol açan dirençlerin bulunmasıdır.

• İkincisi iletkenler arasındaki boşluğun bir kısmının tele destek için dielektrik bir

madde ile doldurulmuş olmasıdır. Dielektriklerin özellikleri hep frekansa bağlıdır

ve bir dielektrik yüksek frekanslarda enerji yayar, yani bir şönt direnci gibi

davranır. Bu nedenle aynı eksenli iletim yollarının bile yüksek frekans kesilimi

vardır; maddenin dikkatlice seçilmesi ile bu frekans 1010 Hz ve daha yükseğe

çıkarılabilir.

İç ve dış yarıçapları sıra ile a ve b olan aynı eksenli l uzunlığında silindirlerden oluşan bir

iletim yolu için indüktans ve sığa hesabı:

Birim uzunluk başına sığa ve indüktans ise (aradaki kısım ve µ olan madde ile dolu ise)

C = 2π/ln(b/a) (5.33a)

L = (µ/2π)ln(b/a) (5.33b)

olacaktır.

Elektromanyetik dalganın dilektrik ortamda yayılma hızının v = 1/( µ)1/2 ile verildiğini

biliyoruz (Titreşimler ve Dalgalar ders notlarına bakınız). Eşitlik-5.33 kullanılarak LC =

µ olduğunu görebiliriz. Bu durumda yayılma hızı için

v = 1/( µ)1/2 = 1/( LC)1/2 (5.34)

yazabiliriz. Bu, iletkenlerin boyutlarından bağımsızdır ve yalnız iletkenler arasındaki

maddenin elektrik ve manyetik özelliklerine ( ve µ) bağlıdır. Özellikle, eğer ve µ

boşluktaki değerlere (0 ve µ0) yakınsa o zaman yayılma hızı ışığın boşluktaki hızı

c = 1/(µ0 0)1/2 ‘ye yakındır. Fakat, eğer dielektrik sabiti birden epeyce büyükse yani ,

0’dan epey büyükse o zaman

Belirtgin empedans R = (L/C)1/2

R = (1/2π) (µ/)1/2 ln(b/a) (5.35)

ile verilir. Böylece, iletkenlerin b/a yarıçap oranlarını değiştirerek iletim yolunun belirtgin

empedansını kolayca değiştirebiliriz.

Dağınık-parametreli iletim yolunun tam çözümlenmesi, iletkenler arasındaki alanlar ile bu

bölgedeki dalgaların yayılmasından giderek de yapılabilir. O zaman çözümlemenin ayrıntıları

büsbütün farklıdır. Fakat yayılma hızı ve belirtgin empedans ile ilgili sonuçlar aynıdırlar.

İletim Hattı Karakteristik Empedansı

R: birim uzunluk başına direnç (her iki iletken) /m L: birim uzunluk başına indüktans (her iki iletken) H/m G: iki iletkeni arasındaki dielektrik malzemenin birim uzunluk başına iletkenliği S/m C: birim uzunluk başına kapasitans F/m R ve L seri elemanlar; G ve C ‘nin ise paralel elemanlar olduğuna dikkat edilmelidir.

İletim hattı eşdeğer devresi

Karakteristik empedans

İki telli ve eş eksenli iletim hattı parametreleri

İletim hattı çıkışına rezistif bir yük bağlandığında yansıma: Bir iletim hattının karakteristik empedansı

Z0 = V(x)/I(x)

ifadesi ile tanımlanır. x =0 giriş ucuna ve x = l çıkış ucuna karşı gelir.

İletim hattının çıkışına karakteristik empedansa eşit olmayan rezistif bir yük

bağlandığında girişten gönderilen sinyalin bir kısmı yansır bir kısmı ise yük

tarafından soğrulur. Yansıma katsayısı

rV= Vr /Vi

ile tanımlıdır. Burada Vr = yansıyan gerilim, Vi = giriş gerilimidir. Burada rV alt indisi voltaj için yansıma katsayısını temsil etmektedir.

rV= Vr /Vi = (ZL – Z0)/(ZL + Z0 )

Yukarıdaki devrede yük (load) üzerindeki gerilim ve akım için

yazabiliriz. Burada

dir. Buradan

yazabiliriz. Buradan

Iyük = Ii + Ir ve

Vi = Z0 Ii Vr = -Z0 Ir ve

Vyük = ZL Iyük = ZL(Ii + Ir ) = Vi + Vr = (ZL/ Z0) (Vi - Vr )

Vi + Vr = (ZL/ Z0) (Vi - Vr )

eşitliği kullanılarak yansıma katsayısı için

ifadesini elde ederiz. Bu ifadeye voltaj yansıma katsayısı denir.

Vyük = Vi + Vr

Akım yansıma katsayısı ise

rI = Ir /Ii = (Z0 – ZL)/(ZL + Z0 )

ile tanımlıdır. Burada rI alt indisi akım için yansıma katsayısını temsil etmek için kullanılmıştır.

Voltaj ve Akım yansıma katsayıları zıt işaretlidir yani rV = - rI olacaktır.

Mekanik eşdeğerin yansıma katsayısını akım için verilen yansıma katsayısı ile karşılaştıracağız.

Bazı özel yük direnci için yansıma katsayısı Aşağıdaki şekildeki veriler voltaj için olan yansıma katsayısı içindir. Akım için verilen yansıma

katsayısının bunun ters işaretlisi olacağını tekrar hatırlatalım. Ayrıca mekanik eşdeğeri için

yansıma katsayısını akım için olanla karşılaştıracağımızı da tekrar belirtelim.

NOT: İletim hatları için daha fazla bilgi için, “Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri, David K.

Cheng. Çev: Adnan Köksal ve Birsen Saka”

kitabına bakabilirsiniz.

Eş eksenli (Koaksiyel) kabloların bazı uygulama yerleri

Bazı tipik koaksiyel kablo ölçüleri

Çeşitli koaksiyel kablo bağlantıları

http://www.tisanelektrik.com.tr/shop/index.php?route=product/product&path=45&product_id=125http://www.tisanelektrik.com.tr/shop/index.php?route=product/product&path=45&product_id=125