Sveučilište u SplituSveučilišni studijski centar za stručne studije

ODSJEK: Informacijske tehnologije

SEMINARSKI RAD

Ekstremi u zatvorenom području

Student: Vladimir VrankuljODSJEK I STATUS: Informacijske tehnologije, izvanredniPREDMET: Analiza 2PREDMETNI NASTAVNIK: Ivo Baras, predavač

Split, veljača, 2010

Sadržaj:1. UVOD...........................................................................................................3

1.1. Što su ekstremi?..........................................................................................................................3

1.2. Maksimum i Minimum.................................................................................................................3

2. FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI..............................................................................5

2.1. Lokalni ekstremi...........................................................................................................................5

2.1.1. Određivanje lokalnog minimuma i maksimuma...................................................................5

2.2. Globalni ili apsolutni ekstrem......................................................................................................6

3. Ekstremi u zatvorenom području..................................................................7

3.1. Teorem........................................................................................................................................7

3.1.1. Definicija apsolutnog minimuma:........................................................................................7

3.1.2. Definicija apsolutnog maksimuma.......................................................................................7

3.2. Primjeri........................................................................................................................................8

4. Literatura.........................................................................................................14

1. UVOD

1.1. Što su ekstremi?

U matematici, minimum i maksimum, ili jednom rječju ekstrem, opisuju minimalnu, odnosno maksimalnu vrijednost neke funkcije.

Teorem ekstrema glasi: Ako je funkcija y = f(x) neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b], tada funkcija posjeduje i minimum i maksimum na određenom intervalu.Međutim, teorem ne opisuje način dobivanja ovih vrijednosti.Prije svega, ekstremi se trebaju klasificirati u dvije grupe:- lokalni ekstremi- globalni ili apsolutni ekstremi

Nadalje, razlikuju se i po broju varijabli, odnosno osi. Za početak će se razmatrati ekstremi na funkcijama s jednom varijablom, općeg oblika y = f(x).

1.2. Maksimum i Minimum

Definicija maksimuma (minimuma) glasi: Maksimum (M) ili minimum (m) funkcije y = f(x) jest takva vrijednost f(x0) za koje vrijedi nejednadžba:

f(x0 + h) < f(x0) (za maksimum)f(x0 + h) < f(x0) (za minimum)

za po volji uzete male vrijednosti h pozitivne i negativne. Na taj način u točkama maksimuma (minimuma) vrijednost f(x0) je veća (ili manja) od svih susjednih vrijednosti funkcije.

Nužan uvjet za maksimum ili minimum neprekinute funkcije:Neprekinuta funkcija može imati maksimum ili minimum samo u onim točkama, u kojima je derivacija ili jednaka nuli ili uopće ne postoji.

Iz ovoga se da zaključiti kako za određivanje točke (stacionarne točke) u kojima tražimo minimum ili maksimum deriviramo funkciju te izjednačujemo s nulom.Uzmimo primjer neprekidne funkcije y = f(x):

Najprije pronađemo točke koje zadovoljavaju nužni uvjet f’(x) = 0 (stacionarne točke): Izračunamo derivaciju f’(x) i nađemo sve realne korijene x1, x2, …, xn jednadžbe y = f’(x) = 0.Potom svaki od korijena uspoređujemo na jedan od načina:a) Usporedba predznaka derivacije

Ako predznak f’(x) se mjenja sa + na – tada za x = x1 imamo maksimum, a u protivnom minimum. Ukoliko predznak ostane nepromjenjen, tada nemamo ni minimum ni maksimum.

b) Metoda viših derivacijaUvrstimo svaki korijen x1 u drugu derivaciju f’’(x). Ako je f’’(x) < 0, tada za x = x1 imamo maksimum, a za f’’(x) > 0 imamo minimum.NAPOMENA: Ova metoda može biti primjenjena u onim slučajevima kada za x = x1 postoje derivacije višeg reda.

Opće pravilo: Ako je red prve derivacije, koja nije nula za x = x1, paran, tada f(x) ima za x = x1 maksimum i minimum, što zavisi dali je derivacija negativna ili pozitivna. Ako je taj red neparan, tada funkcija nema ekstreme za x = x1.

sl. 1 Minimum i maksimum neprekidne funkcije

2. FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI

sl.2 Globalni i lokalni ekstremi

2.1. Lokalni ekstremi

Lokalne ekstreme predstavljaju minimum i maksimum (ako postoje) kada je domena ograničena na dovoljno malen interval ulaznih vrijednosti.

Neka je c točka unutar domene funkcije y = f(x). Tada funkcija f(x):a) ima lokalni minimum u točci c onda i samo onda kada je f(x) ≤ f(c) za sve xn na

nekom otvorenom intervalu koji sadrži točku c.b) ima lokalni maksimum u točci c onda i samo onda kada je f(c) ≤ f(x) za sve xn

na nekom otvorenom intervalu koji sadrži točku c.

2.1.1. Određivanje lokalnog minimuma i maksimuma

Uzmimo funkciju u = f(x1,x2,…,xn).Ta će funkcija u točci T(a1,a2,…,an) imati:

- lokalni minimum f(a1,a2,…,an) ako za svaku točkuT'(a1 + dx1, a2 + dx2,…, an + dxn) vrijedi nejednakost:f(T' ) > f(T)

- lokalni maksimum f(a1,a2,…,an) ako za svaku točkuT'(a1 + dx1, a2 + dx2,…, an + dxn) vrijedi nejednakost:f(T' ) < f(T)

Neće biti ekstrema ako u točci T totalni prirast funkcije mjenja predznak.

2.2. Globalni ili apsolutni ekstrem

Globalni ekstrem za razliku od lokalnog dozvoljava da se globalni ekstrem nalazi u više točaka pa čak i na nekom intervalu. Na primjer, za prikazanu funkciju f : [a,j] : → R vrijedi sljedeće:- ni jedna točka u intervalu [a,b] nije ni lokalni, niti globalni ekstrem;- u točci c funkcija ima lokalni minimum, ali ne i globalni minimum;- u točci d funkcija ima lokalni maksimum, ali ne i globalni maksimum;- sve točke u intervalu [e,f] su točke globalnog minimuma, a ni jedna nije točka

lokalnog minimuma;- u točci g funkcija istovremeno ima lokalni i globalni maksimum;- u točci i funkcija ima lokalni minimum

Podaci su izvučeni sa sl. 3.

Sl. 3 Ekstremi u prostoru

3. Ekstremi u zatvorenom području

3.1. Teorem

Ako je funkcija f neprekidna na zatvorenom skupu D, i ako funkcija f postiže ekstremnu vrijednost na tom skupu, onda se to može desiti samo u točci lokalnog ekstrema ili na rubu područja.Ako je funkcija uz to i ograničena na zatvorenom skupu D, tada ona na tom skupu mora dostići ekstremne vrijednosti.

U tom slučaju treba izračunati ne samo lokalne ekstreme u tom području, već i najveće vrijednosti funkcije na rubu tog područja, a zatim među njima najveću i najmanju vrijednost funkcije.

3.1.1. Definicija apsolutnog minimuma:

Uzmimo da je y0 apsolutni minimum funkcije f(x) na nekom zatvorenom intervalu, tada će i samo tada biti y0 ≤ f(x) za sve xn u tom intervalu.Proširenje definicije:Ako je f(x) neprekidna funkcija u zatvorenom intervalu, tada će apsolutni minimum biti najmanja vrijednost funkcije f(x), odnosno manja od svih lokalnih minimuma i krajnjih točaka.

3.1.2. Definicija apsolutnog maksimuma

Uzmimo da je y0 apsolutni maksimum funkcije f(x) na nekom zatvorenom intervalu, tada će i samo tada biti y0 ≥ f(x) za sve xn u tom intervalu.Proširenje definicije:Ako je f(x) neprekidna funkcija u zatvorenom intervalu, tada će apsolutni maksimum biti najveća vrijednost funkcije f(x), odnosno veća od svih lokalnih maksimuma i krajnjih točaka.

3.2. Primjeri

a) Izračunati ekstreme funkcije f(x,y) = x + y nad područjem D … x2 + y2 ≤ 1.

1. Lokani ekstrem

Nema lokalnih ekstrema

Međutim na rubu područja D… x2 + y2 ≤ 1 tj. na kružnici:

Sada funkcija z = x+y dobija oblik:

I na danoj kružnici može imati ekstremne vrijednosti.Iz toga proizlazi:

ili

za

za

Iz toga proizlazi:

za

za

Dobivene točke su točke lokalnog ekstrema. S obzirom da ovdje imamo funkciju zadanu na zatvorenom skupu , pa se treba izračunati i vrijednosti funkcije z u rubnim točkama.Kako je z(0) = z(2π) = 1, na rubu nema ekstrema.

Dakle u točci je ,

a u je

b) Odrediti ekstreme funkcija z = x2 – 2y2 + 4xy – 6y -1 na skupu D {(x,y)εR2| x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3}.

1. Određivanje lokalnog ekstrema:

Stacionarna točka je T(1,1).

2. Određivanje ekstrema na granici

2.1. Na dijelu

Nema stacionarnih točaka unutar intervalaNa rubu segmenta je:

2.2. Na dijelu

Nema stacionarnih točaka unutar intervalaNa rubu segmenta je:

2.3. Na dijelu

pa je stacionarna točka:

3. Na poslijetku, odrediti kandidate točaka globalnog ekstrema:

c) Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije

u području:

1. Stacionarne točke

Stacionarna točka M je (-1,-1)a, pripadajući z:

Vrijednost z je jedan od kandidata za globalni minimum.

2. Istraživanje točaka na rubu područja – traženje minimuma i maksimuma

2.1. Uvjet:

Stacionarna točka:

Stacionarna točka M1

2.2. Uvjet:

Stacionarna točka:

Stacionarna točka M2

Vrijednost z je analogna vrijednosti z iz prethodnog koraka.

2.3. Uvjet:

Stacionarna točka:

Stacionarna točka M3

3. Kada se sve vrijednosti usporede, jasno je vidljivo da je maksimum 6, a minimum -1.

4. Literatura

KNJIGE:

1. Lugić, Dževad: Matematika 2, 3. izdanje, Fakultet elektrotehnike strojarstva i brodogradnje, 2006

2. Grupa pisaca: Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehničke nauke, 3. izdanje, Tehnička knjiga, 1975

3. Slapničar Ivan, Matematika 2, Internet izdanje, Fakultet elektrotehnike strojarstva i brodogradnje, 2010

INTERNETSKE STRANICE:

1. http://www.math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/ vcalc/min_max/min_max.html

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minima

3. http://www.math.com/tables/derivatives/extrema.htm

ČLANCI

1. Nepoznati autor: Maxima and minima; Functions of two variables