Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija vi se varijabliprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat2-pred7.pdf · Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija vi se varijabli Franka

Gradijent; plohe u prostoru Odredivanje lokalnih ekstrema skalarnih funkcija Uvjetni ekstremi Metoda najmanjih kvadrata

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija visevarijabli

Franka Miriam Bruckler


f (x , y) = y ln x

∂f

∂x=

y

x,

∂f

∂y= ln x .

Dakle, za svaki par (x , y) u domeni od f dobili smo pripadni parparcijalnih derivacija u tocki (x , y):

(x , y) 7→(y

x, ln x

)Koji je par na taj nacin pridruzen tocki (1, 1)? A tocki (e, e2)?Elemente domene (x , y) cemo interpretirati kao tocke, a njimapridruzene parove parcijalnih derivacija prvog reda kao vektore kojipocinju u odgovarajucoj tocki domente. Primjerice, vektor [1, 0]pridruzen je tocki (1, 1) pa uzimamo da je pocetak tog vektora u(1, 1). Je li ikojoj tocki domene pridruzen nulvektor?


f (x , y) = y ln x

∂f

∂x=

y

x,

∂f

∂y= ln x .


(x , y) 7→(y

x, ln x

)Koji je par na taj nacin pridruzen tocki (1, 1)? A tocki (e, e2)?

Elemente domene (x , y) cemo interpretirati kao tocke, a njimapridruzene parove parcijalnih derivacija prvog reda kao vektore kojipocinju u odgovarajucoj tocki domente. Primjerice, vektor [1, 0]pridruzen je tocki (1, 1) pa uzimamo da je pocetak tog vektora u(1, 1). Je li ikojoj tocki domene pridruzen nulvektor?


f (x , y) = y ln x

∂f

∂x=

y

x,

∂f

∂y= ln x .


(x , y) 7→(y

x, ln x

)Koji je par na taj nacin pridruzen tocki (1, 1)? A tocki (e, e2)?Elemente domene (x , y) cemo interpretirati kao tocke, a njimapridruzene parove parcijalnih derivacija prvog reda kao vektore kojipocinju u odgovarajucoj tocki domente. Primjerice, vektor [1, 0]pridruzen je tocki (1, 1) pa uzimamo da je pocetak tog vektora u(1, 1).

Je li ikojoj tocki domene pridruzen nulvektor?


f (x , y) = y ln x

∂f

∂x=

y

x,

∂f

∂y= ln x .


(x , y) 7→(y

x, ln x

)Koji je par na taj nacin pridruzen tocki (1, 1)? A tocki (e, e2)?Elemente domene (x , y) cemo interpretirati kao tocke, a njimapridruzene parove parcijalnih derivacija prvog reda kao vektore kojipocinju u odgovarajucoj tocki domente. Primjerice, vektor [1, 0]pridruzen je tocki (1, 1) pa uzimamo da je pocetak tog vektora u(1, 1). Je li ikojoj tocki domene pridruzen nulvektor?


Definicija

Gradijent skalarne funkcije f u nekoj tocki njene domene je vektorprvih parcijalnih derivacija od f izracunatih u toj tocki:

∇f (X ) =

(∂f

∂x1(X ),

∂f

∂x2(X ), . . .

).

Spomenuli smo da graf skalarne funkcije dviju varijabli predstavljaplohu u prostoru. Ali, sto je to uopce ploha u prostoru?Podsjetimo se: Sto su nivo-linije (nivo-krivulje) funkcijef (x , y) = 4x2 + 9y2? Odaberite nivo-liniju koja odgovaravrijednosti 1 i skicirajte gradijent od f duz te krivulje. Je li tajgradijent igdje nulvektor?Ako uzmemo g(x , y , z) = 2x − 3z i gledamo tocke u kojima gpostize vrijednost 4, sto cemo dobiti? Je li u ijednoj od tih tocakagradijent od g nulvektor?


Definicija


∇f (X ) =

(∂f

∂x1(X ),

∂f

∂x2(X ), . . .

).

Spomenuli smo da graf skalarne funkcije dviju varijabli predstavljaplohu u prostoru. Ali, sto je to uopce ploha u prostoru?Podsjetimo se: Sto su nivo-linije (nivo-krivulje) funkcijef (x , y) = 4x2 + 9y2?

Odaberite nivo-liniju koja odgovaravrijednosti 1 i skicirajte gradijent od f duz te krivulje. Je li tajgradijent igdje nulvektor?Ako uzmemo g(x , y , z) = 2x − 3z i gledamo tocke u kojima gpostize vrijednost 4, sto cemo dobiti? Je li u ijednoj od tih tocakagradijent od g nulvektor?


Definicija


∇f (X ) =

(∂f

∂x1(X ),

∂f

∂x2(X ), . . .

).

Spomenuli smo da graf skalarne funkcije dviju varijabli predstavljaplohu u prostoru. Ali, sto je to uopce ploha u prostoru?Podsjetimo se: Sto su nivo-linije (nivo-krivulje) funkcijef (x , y) = 4x2 + 9y2? Odaberite nivo-liniju koja odgovaravrijednosti 1 i skicirajte gradijent od f duz te krivulje. Je li tajgradijent igdje nulvektor?

Ako uzmemo g(x , y , z) = 2x − 3z i gledamo tocke u kojima gpostize vrijednost 4, sto cemo dobiti? Je li u ijednoj od tih tocakagradijent od g nulvektor?


Definicija


∇f (X ) =

(∂f

∂x1(X ),

∂f

∂x2(X ), . . .

).

Spomenuli smo da graf skalarne funkcije dviju varijabli predstavljaplohu u prostoru. Ali, sto je to uopce ploha u prostoru?Podsjetimo se: Sto su nivo-linije (nivo-krivulje) funkcijef (x , y) = 4x2 + 9y2? Odaberite nivo-liniju koja odgovaravrijednosti 1 i skicirajte gradijent od f duz te krivulje. Je li tajgradijent igdje nulvektor?Ako uzmemo g(x , y , z) = 2x − 3z i gledamo tocke u kojima gpostize vrijednost 4, sto cemo dobiti? Je li u ijednoj od tih tocakagradijent od g nulvektor?


Ploha je skup tocaka u (3D) prostoru u kojima dana skalarnafunkcija triju varijabli postize odredenu vrijednost. Te tocke sunaravno podskup domene te funkcije.

Preciznije,

Definicija (Ploha u R3)

Za zadanu konstantu c, ploha zadana funkcijom f : D ⊆ R3 → R

je svaki skup S = (x , y , z) ∈ D : f (x , y , z) = c, ukoliko vrijedida je ∇f (x , y , z) 6= (0, 0, 0)t za svaku tocku (x , y , z) ∈ S.

Zadatak

Pokazite da je

sfera x2 + y2 + z2 = r2;

svaka ravnina;

graf svake derivabilne funkcije dviju varijabli;

ploha u prostoru.


Ploha je skup tocaka u (3D) prostoru u kojima dana skalarnafunkcija triju varijabli postize odredenu vrijednost. Te tocke sunaravno podskup domene te funkcije. Preciznije,




Zadatak

Pokazite da je

sfera x2 + y2 + z2 = r2;

svaka ravnina;


ploha u prostoru.


Ploha je skup tocaka u (3D) prostoru u kojima dana skalarnafunkcija triju varijabli postize odredenu vrijednost. Te tocke sunaravno podskup domene te funkcije. Preciznije,




Zadatak

Pokazite da je

sfera x2 + y2 + z2 = r2;

svaka ravnina;


ploha u prostoru.


Kako su lezali vektori koji odgovaraju gradijentu funkcijef (x , y) = 4x2 + 9y2 u odnosu na njezinu nivo-liniju koja odgovaravrijednosti 1? Usporedite to s gradijentom na nivo-linijama istefunkcije koje odgovaraju vrijednostima 4 i 9!

A kako leze vektorikoji odgovaraju gradijentu funkcije f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 uodnosu na plohe zadane s f (x , y , z) = r2 za r = 1, 2, 3?Gradijent (njegov smjer i orijentacija) u tocki nivo-linije odnosnoplohe pokazuje smjer pomakom u kojem dolazi do najveceg porastavrijednosti funkcije.

Primjer

Ako je f funkcija koja opisuje trenutnu temperaturu u pojedinojtocki X Zemljine atmosfere, onda vektor ∇f (X ) pokazuje u kojemsmjeru se objekt na poziciji X treba pomaknuti tako da mu budesto toplije.


Kako su lezali vektori koji odgovaraju gradijentu funkcijef (x , y) = 4x2 + 9y2 u odnosu na njezinu nivo-liniju koja odgovaravrijednosti 1? Usporedite to s gradijentom na nivo-linijama istefunkcije koje odgovaraju vrijednostima 4 i 9! A kako leze vektorikoji odgovaraju gradijentu funkcije f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 uodnosu na plohe zadane s f (x , y , z) = r2 za r = 1, 2, 3?

Gradijent (njegov smjer i orijentacija) u tocki nivo-linije odnosnoplohe pokazuje smjer pomakom u kojem dolazi do najveceg porastavrijednosti funkcije.

Primjer



Kako su lezali vektori koji odgovaraju gradijentu funkcijef (x , y) = 4x2 + 9y2 u odnosu na njezinu nivo-liniju koja odgovaravrijednosti 1? Usporedite to s gradijentom na nivo-linijama istefunkcije koje odgovaraju vrijednostima 4 i 9! A kako leze vektorikoji odgovaraju gradijentu funkcije f (x , y , z) = x2 + y2 + z2 uodnosu na plohe zadane s f (x , y , z) = r2 za r = 1, 2, 3?Gradijent (njegov smjer i orijentacija) u tocki nivo-linije odnosnoplohe pokazuje smjer pomakom u kojem dolazi do najveceg porastavrijednosti funkcije.

Primjer



Ima li smisla govoriti o tangenti na sferu ili neku drugu plohu?Zasto?


Ima li smisla govoriti o tangenti na sferu ili neku drugu plohu?Zasto?


Definicija (Tangencijalna ravnina na plohu)

Tangencijalna ravnina na plohu F (x , y , z) = 0 u nekoj njenoj tockiX = (x0, y0, z0) je ravnina kroz tu tocku kojoj je ∇F (X ) vektornormale.

Kako onda glasi jednadzba tangencijalne ravnine na plohu u nekojnjenoj tocki?

A jednadzba normale? Moze li tangencijalna ravninana graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi?Zasto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih sf (x , y) = x2 + y2, g(x , y) = x2, h(x , y) = 1− x2 − y2,i(x , y) = x2 − y2. Sto biste rekli, postizu li te funkcije lokalneekstreme? Globalne? Ako da, gdje? Sto je neobicno za tocku(0, 0, 0) na grafu funkcije i? Kako u njoj i tockama ekstremaostalih funkcia postavljene tangencijalne ravnine na grafove?




Kako onda glasi jednadzba tangencijalne ravnine na plohu u nekojnjenoj tocki? A jednadzba normale?

Moze li tangencijalna ravninana graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi?Zasto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih sf (x , y) = x2 + y2, g(x , y) = x2, h(x , y) = 1− x2 − y2,i(x , y) = x2 − y2. Sto biste rekli, postizu li te funkcije lokalneekstreme? Globalne? Ako da, gdje? Sto je neobicno za tocku(0, 0, 0) na grafu funkcije i? Kako u njoj i tockama ekstremaostalih funkcia postavljene tangencijalne ravnine na grafove?




Kako onda glasi jednadzba tangencijalne ravnine na plohu u nekojnjenoj tocki? A jednadzba normale? Moze li tangencijalna ravninana graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi?Zasto?

Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih sf (x , y) = x2 + y2, g(x , y) = x2, h(x , y) = 1− x2 − y2,i(x , y) = x2 − y2. Sto biste rekli, postizu li te funkcije lokalneekstreme? Globalne? Ako da, gdje? Sto je neobicno za tocku(0, 0, 0) na grafu funkcije i? Kako u njoj i tockama ekstremaostalih funkcia postavljene tangencijalne ravnine na grafove?




Kako onda glasi jednadzba tangencijalne ravnine na plohu u nekojnjenoj tocki? A jednadzba normale? Moze li tangencijalna ravninana graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi?Zasto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih sf (x , y) = x2 + y2, g(x , y) = x2, h(x , y) = 1− x2 − y2,i(x , y) = x2 − y2. Sto biste rekli, postizu li te funkcije lokalneekstreme? Globalne? Ako da, gdje?

Sto je neobicno za tocku(0, 0, 0) na grafu funkcije i? Kako u njoj i tockama ekstremaostalih funkcia postavljene tangencijalne ravnine na grafove?




Kako onda glasi jednadzba tangencijalne ravnine na plohu u nekojnjenoj tocki? A jednadzba normale? Moze li tangencijalna ravninana graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi?Zasto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih sf (x , y) = x2 + y2, g(x , y) = x2, h(x , y) = 1− x2 − y2,i(x , y) = x2 − y2. Sto biste rekli, postizu li te funkcije lokalneekstreme? Globalne? Ako da, gdje? Sto je neobicno za tocku(0, 0, 0) na grafu funkcije i?

Kako u njoj i tockama ekstremaostalih funkcia postavljene tangencijalne ravnine na grafove?




Kako onda glasi jednadzba tangencijalne ravnine na plohu u nekojnjenoj tocki? A jednadzba normale? Moze li tangencijalna ravninana graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi?Zasto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih sf (x , y) = x2 + y2, g(x , y) = x2, h(x , y) = 1− x2 − y2,i(x , y) = x2 − y2. Sto biste rekli, postizu li te funkcije lokalneekstreme? Globalne? Ako da, gdje? Sto je neobicno za tocku(0, 0, 0) na grafu funkcije i? Kako u njoj i tockama ekstremaostalih funkcia postavljene tangencijalne ravnine na grafove?


Definicija (Lokalni i globalni ekstremi skalarnih funkcija)

Za skalarnu funkciju f : D → R tocku X0 ∈ D zovemo

tockom lokalnog minimuma odnosno maksimuma funkcije fako za sve X ∈ D iz neke okoline od X0 vrijedi f (X ) ≥ f (X0)odnosno f (X ) ≤ f (X0);

tockom globalnog minimuma odnosno maksimuma funkcije fako za sve X ∈ D vrijedi f (X ) ≥ f (X0) odnosnof (X ) ≤ f (X0).

Stacionarna tocka skalarne funkcije je nultocka njenoggradijenta, tj. element domene u kojemu su sve parcijalnederivacije prvog reda jednake nuli. Ako se radi o funkciji dvijuvarijabli, u stacionarnoj je tocki tangencijalna ravnina na grafparalelna s ravninom domene ((x , y)-ravninom).Iako i za funkcije vise varijabli ima smisla gledati opcenitije kriticne tocke, kakosmo se ogranicili na funkcije koje u svim tockama domene posjeduju parcijalnederivacije prvog reda, pri ispitivanju ekstrema funkcija ogranicit cemo se nastacionarne tocke kao kandidate za tocke ekstrema.


Hesseova matrica

Kako za stacionarnu tocku realne funkcije jedne varijableprovjeravamo je li tocka ekstrema?

Koliko parcijalnih derivacijadrugog reda posjeduje skalarna funkcija s 2 varijable?

Definicija (Hesseova matrica)

Za skalarnu funkciju f od n varijabli koja posjeduje sve parcijalnederivacije drugog reda (u tocki X iz svoje domene) njena Hesseovamatrica (u toj tocki) je matrica H = H(f )(X ) koja na poziciji (i , j)

ima iznos ∂2

∂xi∂xj(X ).

Zbog Schwarzovog teorema, za funkcije s neprekidnim parcijalnimderivacijama drugog reda (a to su gotovo sve koje se mogu susrestiu primjenama) Hesseova matrica je simetricna.


Hesseova matrica

Kako za stacionarnu tocku realne funkcije jedne varijableprovjeravamo je li tocka ekstrema? Koliko parcijalnih derivacijadrugog reda posjeduje skalarna funkcija s 2 varijable?



ima iznos ∂2

∂xi∂xj(X ).



Hesseova matrica

Kako za stacionarnu tocku realne funkcije jedne varijableprovjeravamo je li tocka ekstrema? Koliko parcijalnih derivacijadrugog reda posjeduje skalarna funkcija s 2 varijable?



ima iznos ∂2

∂xi∂xj(X ).



Definicija (Minore kvadratne matrice)

Za kvadratnu matricu A ∈ Mn njene (glavne) minore sudeterminante kvadratnih matrica A1,A2, . . . ,An−1,An = A, gdje jeAk matrica koja se iz A dobije tako da uzmemo njenih prvih kredaka i k stupaca (tj. Ai = (aij) ∈ Mk).

Funkcija f u stacionarnoj tocki X0 ima lokalni

minimum ako su sve minore Hesseove matrice H(f )(X0)pozitivne.

maksimum ako predznaci minora Hesseove matrice H(f )(X0)alterniraju pocevsi s negativnim.

U slucaju da uvjet na predznake ne vrijedi strogo, tj. neke odminora su nula, ali nema negativnih ili pak alterniraju tako daneparne po redu nisu pozitivne, a parne nisu negativne, potrebno jedrugim metodama provjeriti radi li se o tocki lokalnog ekstrema. Upreostalim slucajevima govorimo o sedlastoj tocki: Sedlasta tockafunkcije je stacionarna tocka koja nije tocka ekstrema.


Odredimo lokalne ekstreme funkcije zadane formulom

f (x , y) = x3 + x2y − y2 − 4y .

Njen gradijent je

∇f (x , y) = (3x2 + 2xy , x2 − 2y − 4),

a Hesseova matrica je

H(f )(x , y) =

(6x + 2y 2x

2x −2

).

Stacionarne tocke od f su (0,−2), (1,−3/2) i (−4, 6). Od njih je(0,−2) tocka lokalnog maksimuma, a druge dvije stacionarnetocke su sedlaste.



f (x , y) = x3 + x2y − y2 − 4y .

Njen gradijent je

∇f (x , y) = (3x2 + 2xy , x2 − 2y − 4),


H(f )(x , y) =

(6x + 2y 2x

2x −2

).

Stacionarne tocke od f su (0,−2), (1,−3/2) i (−4, 6).

Od njih je(0,−2) tocka lokalnog maksimuma, a druge dvije stacionarnetocke su sedlaste.



f (x , y) = x3 + x2y − y2 − 4y .

Njen gradijent je

∇f (x , y) = (3x2 + 2xy , x2 − 2y − 4),


H(f )(x , y) =

(6x + 2y 2x

2x −2

).

Stacionarne tocke od f su (0,−2), (1,−3/2) i (−4, 6). Od njih je(0,−2) tocka lokalnog maksimuma, a druge dvije stacionarnetocke su sedlaste.


Primjer

Treba odrediti dimenzije otvoren kutije oblika kvadra maksimalnogobujma koja ima oplosje 64 cm2.Ako su x, y i z trazene duljine bridova te kutije (u centimetrima),zadatak se svodi na

odredivanje maksimuma funkcije

f (x , y , z) = xyz

uz uvjet2xy + 2xz + yz = 64.

Problem koji zelimo rijesiti je odredivanje ekstrema funkcije zadaneformulom f (x , y , . . .) uz jedan ili vise uvjeta1 oblikag(x , y , . . .) = 0.

1Uvjeti moraju biti takvi da je ∇g razlicit od nulvektora za sve tocke kojezadovoljavaju uvjet.


Primjer

Treba odrediti dimenzije otvoren kutije oblika kvadra maksimalnogobujma koja ima oplosje 64 cm2.Ako su x, y i z trazene duljine bridova te kutije (u centimetrima),zadatak se svodi naodredivanje maksimuma funkcije

f (x , y , z) = xyz





Primjer

Treba odrediti dimenzije otvoren kutije oblika kvadra maksimalnogobujma koja ima oplosje 64 cm2.Ako su x, y i z trazene duljine bridova te kutije (u centimetrima),zadatak se svodi naodredivanje maksimuma funkcije

f (x , y , z) = xyz





Primjer

Za koju tocku pravca x + y = 1 (u (x , y)-koordinatnoj ravnini)funkcija zadana s f (x , y) = e−x

2−y2postize lokalni maksimumu?

Imate li ideju kako rijesiti ovaj zadatak?

Obzirom da je uvjetjednostavnog oblika, mozemo iz njega izraziti jednu varijablu,uvrstiti ju u funkciju i tako svesti problem na odredivanje lokalnogekstrema funkcije s jednom varijablom manje:

y = 1− x ⇒ fx(x) = e−2x2+2x−1

f ′x(x) = e−2x2+2x−1 · (2− 4x) = 0⇒ x = 1/2

f ′x(x) > 0 za x < 1/2, f ′x(x) < 0 za x > 1/2

Dakle, uvjetni lokalni maksimum funkcije f uz uvjet x + y = 1 sepostize u (x , y) = (x , 1− x) = (1/2, 1− 1/2) = (1/2, 1/2).


Primjer

Za koju tocku pravca x + y = 1 (u (x , y)-koordinatnoj ravnini)funkcija zadana s f (x , y) = e−x

2−y2postize lokalni maksimumu?

Imate li ideju kako rijesiti ovaj zadatak? Obzirom da je uvjetjednostavnog oblika, mozemo iz njega izraziti jednu varijablu,uvrstiti ju u funkciju i tako svesti problem na odredivanje lokalnogekstrema funkcije s jednom varijablom manje:

y = 1− x ⇒ fx(x) = e−2x2+2x−1

f ′x(x) = e−2x2+2x−1 · (2− 4x) = 0⇒ x = 1/2

f ′x(x) > 0 za x < 1/2, f ′x(x) < 0 za x > 1/2

Dakle, uvjetni lokalni maksimum funkcije f uz uvjet x + y = 1 sepostize u (x , y) = (x , 1− x) = (1/2, 1− 1/2) = (1/2, 1/2).


Metoda Lagrange-ovih multiplikatora

Za svaki od uvjeta uvodi se po jedna nova varijabla, tzv.Lagrange-ov multiplikator λ. Zatim se formira nova funkcija kojaovisi o polaznim varijablama x , y , . . . i Lagrange-ovimmultiplikatorima λ, . . . koja je oblika

F (x , y , . . . , λ, . . .) = f (x , y , . . .)− λg(x , y , . . .)− . . . ,

tj. polaznoj funkciji f oduzeti su clanovi oblika”Lagrange-ov

multiplikator puta lijeva strana odgovarajuceg uvjeta”. Ta novafunkcija zove se Lagrange-ova funkcija.

Primjer

Za problem s kutijom maksimalnog volumena

F (x , y , z , λ) = xyz − λ(2xy + 2yz + xz − 64).


Metoda Lagrange-ovih multiplikatora

Za svaki od uvjeta uvodi se po jedna nova varijabla, tzv.Lagrange-ov multiplikator λ. Zatim se formira nova funkcija kojaovisi o polaznim varijablama x , y , . . . i Lagrange-ovimmultiplikatorima λ, . . . koja je oblika

F (x , y , . . . , λ, . . .) = f (x , y , . . .)− λg(x , y , . . .)− . . . ,

tj. polaznoj funkciji f oduzeti su clanovi oblika”Lagrange-ov

multiplikator puta lijeva strana odgovarajuceg uvjeta”. Ta novafunkcija zove se Lagrange-ova funkcija.

Primjer

Za problem s kutijom maksimalnog volumena

F (x , y , z , λ) = xyz − λ(2xy + 2yz + xz − 64).


Ako polazna funkcija postize trazene uvjetne ekstreme, njihovekoordinate su uvijek dane stacionarnim tockama Lagrange-ovefunkcije. Primijetimo da izjednacavanje njene derivacije po nekomLagrangeovom multiplikatoru λ daju tocno pripadni uvjet:

0 =∂F

∂λ= −g(x , y , . . .),

sto je ekvivalentno s g(x , y , . . .) = 0.I u praksi i u teoriji najkompliciraniji dio Lagrangeove metode jeutvrdivanje koje od dobivenih stacionarnih tocaka su tockeminimuma ili maksimuma. U pravilu je to moguce utvrditiuvrstavanjem dobivenih koordinata stacionarnih tocaka u polaznufunkciju i razmatranjem svojstava te funkcije. Vrijedi: ako postojitrazeni uvjetni ekstrem, tocka tog ekstrema je medu onima koje sedobiju odbacivanjem koordinata Lagrangeovih multiplikatora izstacionarnih tocaka Lagrangeove funkcije.


Primjer

Nastavimo prethodni primjer:

∂F

∂x= yz + λ(2y + z) = 0,

∂F

∂y= xz + λ(2x + 2z) = 0,

∂F

∂z= xy + λ(x + 2y) = 0,

∂F

∂λ= −2xy − 2yz − xz + 64 = 0.

Pomnozimo prvu od jednadzbi s x, drugu s y i trecu sa z:

xyz = −λx(2y + z) = −λy(2x + 2z) = −λz(x + 2y).

To moze vrijediti za λ = 0, no to rjesenje nas ne zanima (zasto?).

Stoga mora biti 2xy + xz = 2xy + 2yz = xz + 2yz, ergo (jer x , y , z 6= 0)x = z = 2y. To uvrstimo u cetvrtu jednadzbu i dobivamo 12x2 = 64odnosno y = 4√

3cm i x = z = 8√

3cm.

Zasto se radi o tocki maksimuma?


Primjer

Nastavimo prethodni primjer:

∂F

∂x= yz + λ(2y + z) = 0,

∂F

∂y= xz + λ(2x + 2z) = 0,

∂F

∂z= xy + λ(x + 2y) = 0,

∂F

∂λ= −2xy − 2yz − xz + 64 = 0.

Pomnozimo prvu od jednadzbi s x, drugu s y i trecu sa z:

xyz = −λx(2y + z) = −λy(2x + 2z) = −λz(x + 2y).

To moze vrijediti za λ = 0, no to rjesenje nas ne zanima (zasto?).Stoga mora biti 2xy + xz = 2xy + 2yz = xz + 2yz, ergo (jer x , y , z 6= 0)x = z = 2y. To uvrstimo u cetvrtu jednadzbu i dobivamo 12x2 = 64odnosno y = 4√

3cm i x = z = 8√

3cm.

Zasto se radi o tocki maksimuma?


Primjer

Sekularne jednadzbe U fizici se cesto odreduju ekstremi tzv.kvadratnih formi, tj. funkcija tipa

f (x1, . . . , xn) =∑i ,j

cijxixj ,

uz”energetski” uvjet tipa ∑

i

x2i = 1.

Jednadzbe koje odgovaraju odredivanju stacionarne tockeodgovarajuce Lagrangeove funkcije tad se nazivaju sekularnimjednadzbama.Primjer su jednadzbe koje se dobivaju u tzv. Huckelovoj metodi zaodredivanje molekulskih orbitala kao linearnih kombinacijaatomskih (tu λ postaje svojstvena vrijednost prikladne matrice).


Primjer

Molarna provodnost u pravilu se mjeri indirektno mjerenjemotpora, a njihova veza dana je s Λm = Kcell

Rc , gdje je Kcell konstantakonduktometrijske celije. U nekom mjerenju otpora niza vodenihotopina NaCl u celiji s Kcell = 0,2 cm−1 dobiveni su sljedeci parovipodataka (c/(mol L−1),R/Ω): (5,0 · 10−4, 3314), (5,0 · 10−3, 342),(2,0 · 10−2, 89) i (5,0 · 10−2, 37). Zelimo, primjerice, procijenitimolarnu provodnost pri koncentraciji od 1,0 · 10−2 mol/L.

xi = 102c/M yiΛm/(S dm2/mol)

0, 05 1,2070,5 1,1702 1,1245 1,081



Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (xi , yi ), i = 1, . . . , n,trazi se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greska aproksimacijesto manja.

Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnugresku obzirom na zadane parove (xi , yi ), i = 1, . . . , n?ei = yi − f (xi ); f (xi )− yi?ei = |f (xi )− yi |?Ei = (f (xi )− yi )

2.Ukupna greska aproksimacije:

E =n∑

i=1

Ei =n∑

i=1

(f (xi )− yi )2 → min

Problem 3: Ako smo pretpostavili oblik funkcije f , s nepoznatimparametrima a, b, c , . . . , kako minimizirati E ?


Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (xi , yi ), i = 1, . . . , n,trazi se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greska aproksimacijesto manja.Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnugresku obzirom na zadane parove (xi , yi ), i = 1, . . . , n?

ei = yi − f (xi ); f (xi )− yi?ei = |f (xi )− yi |?Ei = (f (xi )− yi )2.

Ukupna greska aproksimacije:

E =n∑

i=1

Ei =n∑

i=1

(f (xi )− yi )2 → min



Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (xi , yi ), i = 1, . . . , n,trazi se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greska aproksimacijesto manja.Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnugresku obzirom na zadane parove (xi , yi ), i = 1, . . . , n?ei = yi − f (xi ); f (xi )− yi?

ei = |f (xi )− yi |?Ei = (f (xi )− yi )2.


E =n∑

i=1

Ei =n∑

i=1

(f (xi )− yi )2 → min



Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (xi , yi ), i = 1, . . . , n,trazi se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greska aproksimacijesto manja.Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnugresku obzirom na zadane parove (xi , yi ), i = 1, . . . , n?ei = yi − f (xi ); f (xi )− yi?ei = |f (xi )− yi |?

Ei = (f (xi )− yi )2.


E =n∑

i=1

Ei =n∑

i=1

(f (xi )− yi )2 → min



Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (xi , yi ), i = 1, . . . , n,trazi se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greska aproksimacijesto manja.Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnugresku obzirom na zadane parove (xi , yi ), i = 1, . . . , n?ei = yi − f (xi ); f (xi )− yi?ei = |f (xi )− yi |?Ei = (f (xi )− yi )


E =n∑

i=1

Ei =n∑

i=1

(f (xi )− yi )2 → min



Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (xi , yi ), i = 1, . . . , n,trazi se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greska aproksimacijesto manja.Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnugresku obzirom na zadane parove (xi , yi ), i = 1, . . . , n?ei = yi − f (xi ); f (xi )− yi?ei = |f (xi )− yi |?Ei = (f (xi )− yi )


E =n∑

i=1

Ei =n∑

i=1

(f (xi )− yi )2 → min







f (x) = ax + b:

E (a, b) =n∑

i=1

(axi + b − yi )2 → min

f (x) = ax2 + bx + c :

E (a, b, c) =n∑

i=1

(ax2i + bxi + c − yi )

2 → min

Funkcije E su diferencijabilne, dakle su jedine kriticne tockestacionarne:

∇E = 0.


f (x) = ax + b:

E (a, b) =n∑

i=1

(axi + b − yi )2 → min

f (x) = ax2 + bx + c :

E (a, b, c) =n∑

i=1

(ax2i + bxi + c − yi )

2 → min

Funkcije E su diferencijabilne, dakle su jedine kriticne tockestacionarne:

∇E = 0.


MNK: Aproksimacija afinom funkcijom

E (a, b) =n∑

i=1

(axi + b − yi )2,

∂E

∂a= 2

n∑i=1

(axi + b− yi )xi = 2n∑

i=1

x2i a + 2

n∑i=1

xib− 2n∑

i=1

xiyi = 0,

∂E

∂b= 2

n∑i=1

(axi + b − yi ) = 2n∑

i=1

xia + 2nb − 2n∑

i=1

yi = 0.

sx2 =n∑

i=1

x2i ; sx =

n∑i=1

xi

sxy =n∑

i=1

xiyi ; sy =n∑

i=1

yi


MNK: Aproksimacija afinom funkcijom

E (a, b) =n∑

i=1

(axi + b − yi )2,

∂E

∂a= 2

n∑i=1

(axi + b− yi )xi = 2n∑

i=1

x2i a + 2

n∑i=1

xib− 2n∑

i=1

xiyi = 0,

∂E

∂b= 2

n∑i=1

(axi + b − yi ) = 2n∑

i=1

xia + 2nb − 2n∑

i=1

yi = 0.

sx2 =n∑

i=1

x2i ; sx =

n∑i=1

xi

sxy =n∑

i=1

xiyi ; sy =n∑

i=1

yi


Imamo dakle sustav:

sx2 · a + sx · b = sxy

sx · a + n · b = sy

Cramerovo pravilo daje:

a =nsxy − sxsynsx2 − s2x

b =sx2sy − sxsxy

nsx2 − s2x.

Nije pretesko dokazati da je ova stacionarna tocka (a, b) stvarnotocka minimuma za E .


xi yi x2i xiyi

sx = sy = sx2 = sxy =

a =nsxy − sxsynsx2 − s2x

b =sx2sy − sxsxy

nsx2 − s2x.


Primjer

xi yi x2i xiyi

0,05 1,207 0,0025 0,060350,5 1,170 0,25 0,5852 1,124 4 2,2485 1,081 25 5,405sx = 7,55 sy = 4,582 sx2 = 29,2525 sxy = 8,29835

z = nsx2 − s2x = 4 · 29,2525− 7,552 = 60,0075

a =nsxy − sxsy

z= −0,023342

b =sx2sy − sxsxy

z= 1,189558.



Primjer

Za polazni primjer odredimo Λ0m ako znamo da se ovisnost molarne

provodnosti Λm o koncentraciji c jakog elektrolita opisujeKohlrauschovim zakonom

Λm = Λ0m − K

√c ,

gdje su Λ0m i K konstante.

xi = 10√

c/M yiΛm/(S dm2/mol)

0,2236 1,2070,7071 1,1701,4142 1,1242,2361 1,081



Zadatak

Arrheniusova jednadzba k = Ae−Ea/(RT ) opisuje temperaturnuovisnost koeficijenta k brzine reakcije. Vrijednosti A i Ea (i naravnoR = 8,3145 J/(K mol)) su konstantne. Mjerenjima tokom raspadaCH3CO dobiveni su sljedeci parovi podataka (T/K, k/(L/(mol s)):(700, 0,0110), (760, 0,105), (810, 0,789) i (910, 20,0).Arrheniusovu zakon brzine interpretirajte kao jednadzbu pravcay = ax + b. Zatim metodom najmanjih kvadrata izracunajtekoeficijente a i b. Koliko iznosi energija aktivacije Ea?

Documents

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija vi se varijabliprelog.chem.pmf.hr/~fmbruckler/mat2-pred7.pdf · Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija vi se varijabli Franka