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EEA-02: Análise de Circuitos ElétricosAula 14
1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto
Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Tópicos desta aula
Quadripolos:DefiniçãoMatriz ImpedânciaMatriz AdmitânciaMatriz Híbrida HMatriz Híbrida GMatriz Transmissão TMatriz Transmissão InversaSimétricosRecíprocosObservaçõesQuadripolos Não LinearesAplicações
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 34
Definição
Um bipolo contém dois polos, entre os quais existe uma tensão V e pelosquais passa uma corrente I e é completamente caracterizado por algumparâmetro que relaciona a tensão com a corrente. No caso de um bipololinear, essa relação é dada por uma impedância ou admitância.
Figura: Símbolo utilizado para um bipolo.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 3 / 34
Definição
O quadripolo, por sua vez, contém quatro polos e representa um estruturade dois acessos. Costuma-se chamar um dos acessos de entrada e o outrode saída. A ideia de quadripolo visa a estender a de bipolo. Enquanto obipolo tem uma tensão e uma corrente no total, o quadripolo tem umatensão e uma corrente associada a cada um dos dois acessos.
Figura: Símbolo utilizado para um quadripolo.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 4 / 34
Definição
Por meio de quadripolos, podemos representar muitos dispositivos práticose equipamentos. Um amplificador de áudio tem uma entrada, onde se podeligar um microfone ou outra fonte de sinal sonoro, e uma saída, onde sepode ligar um auto-falante. Em um transformador o primário atua comoentrada, sendo ligado à rede elétrica, e o secundário atua como saída,sendo conectado a um equipamento elétrico. Esses dois equipamentosexemplificam a aplicação do conceito de quadripolos.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 5 / 34
Matriz Impedância
Uma forma de representar um quadripolo é através da matriz impedância(Z ). Neste caso, as tensões V1 e V2 são dadas em função das correntes I1e I2. [
V1V2
]=
[z11 z12z21 z22
] [I1I2
](1)
Podemos perceber que:z11 =
[V1I1
]I2=0
(Impedância de entrada com saída em aberto)
z12 =[V1I2
]I1=0
(Transimpedância da porta 1 para 2 com entrada em
aberto)z21 =
[V2I1
]I2=0
(Transimpedância da porta 2 para 1 com saída em aberto)
z22 =[V2I2
]I1=0
(Impedância de saída com entrada em aberto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 6 / 34
Matriz Admitância
Outra representação é dada pela matriz admitância (Y ). Neste caso, ascorrentes I1 e I2 são dadas em função das tensões V1 e V2.[
I1I2
]=
[y11 y12y21 y22
] [V1V2
](2)
Podemos perceber que:y11 =
[I1V1
]V2=0
(Admitância de entrada com saída em curto)
y12 =[
I1V2
]V1=0
(Transadmitância da porta 1 para 2 com entrada em curto)
y21 =[
I2V1
]V2=0
(Transadmitância da porta 2 para 1 com saída em curto)
y22 =[
I2V2
]V1=0
(Admitância de saída com entrada em curto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 7 / 34
Relação entre matrizes impedância e admitância
Como a matriz impedância Z e a matriz admitância Y são tais que, sendoV = [V1 V2]T e I = [I1 I2]T
V = ZI
e
I = YV
temos
Y = Z−1 (3)
Essa última relação só é válida se a matriz Z for inversível.Há quadripolos que só podem ser representados por uma das duas matrizes(Z e Y ), que é o caso da matriz em questão não ser inversível.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 8 / 34
Exemplo 1
Determinar as matrizes impedância (Z ) e admitância (Y ) para oquadripolo abaixo, em que R1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω.
Para representação mais clara, vamos colocar fontes de tensão nos doisacessos do quadripolo (entrada e saída):
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 9 / 34
Exemplo 1
Podemos escrever as equações:
V1 = R1Ia (4)V1 = R2Ib + V2 (5)
I1 = Ia + Ib (6)V2 = R1(Ib + I2) (7)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 10 / 34
Exemplo 1
Usando essas equações e substituindo os valores de R1 e R2, obtemos
Z =
34
Ω14
Ω
14
Ω34
Ω
(8)
Podemos proceder de forma análoga para a determinação da matrizadmitância Y . Alternativamente, podemos fazer
Y = Z−1 =
32S −1
2S
−12S
32S
(9)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 11 / 34
Exemplo 1
Alternativamente, os parâmetros Y (ou Z ) podem ser determinados aocolocar um dos acessos em curto ou em aberto.
Lembrando que [I1I2
]=
[y11 y12y21 y22
] [V1V2
]percebemos que para calcular os elementos da matriz Y , podemos fazer:
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Exemplo 1
Parâmetros y11 e y21: saída em curtoParâmetros y12 e y22: entrada em curto
Saída em curto (V2 = 0):
Assim, temos y11 = I1V1
= 32 S (admitância equivalente vista na entrada,
excluindo o resistor indicado) e y21 = I2V1
= −12 S (através de relação entre
e I1 e I2 e com y11).
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Exemplo 1
Entrada em curto (V1 = 0):
Assim, temos y22 = I2V2
= 32 S (admitância equivalente vista na saída,
excluindo o resistor indicado) e y12 = I1V2
= −12 S (através de relação entre
e I1 e I2 e com y22).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 14 / 34
Exemplo 1
Desta forma, obtemos novamente,
Y =
32S −1
2S
−12S
32S
Os parâmetros Z podem ser obtidos de forma análoga, lidandoseparadamente com os casos saída em aberto (I2 = 0) e entrada em aberto(I1 = 0).
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Matriz Híbrida H
A matriz H permite escrever a tensão de entrada V1 e a corrente de saídaI2 em função da tensão de saída V2 e da corrente de entrada I1.O fato de os parâmetros h não representarem todos as mesmas grandezas(adimensional, impedância e admitância) justifica o nome híbrida para amatriz H. [
V1I2
]=
[h11 h12h21 h22
] [I1V2
](10)
Podemos perceber que:h11 =
[V1I1
]V2=0
(Impedância de entrada com saída em curto)
h12 =[V1V2
]I1=0
(Ganho inverso de tensão com entrada em aberto)
h21 =[I2I1
]V2=0
(Ganho direto de corrente com saída em curto)
h22 =[
I2V2
]I1=0
(Admitância de saída com entrada em aberto)
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Matriz Híbrida G
A matriz G permite escrever a tensão de saída V2 e a corrente de entradaI1 em função da tensão de entrada V1 e da corrente de saída I2.[
I1V2
]=
[g11 g12g21 g22
] [V1I2
](11)
Podemos perceber que:g11 =
[I1V1
]I2=0
(Admitância de entrada com saída em aberto)
g12 =[I1I2
]V1=0
(Ganho inverso de corrente com entrada em curto)
g21 =[V2V1
]I2=0
(Ganho direto de tensão com saída em aberto)
g22 =[V2I2
]V1=0
(Impedância de saída com entrada em curto)
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Exemplo 2
Determinar os parâmetros híbridos h e g para o quadripolo, em queR1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω:
Lembrando que [V1I2
]=
[h11 h12h21 h22
] [I1V2
]Façamos:
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Exemplo 2
Saída em curto (V2 = 0):
Assim, temos h11 = V1I1
= 23 Ω (impedância equivalente vista na entrada,
excluindo o resistor indicado) e h21 = I2I1
= −13 .
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 19 / 34
Exemplo 2
Entrada em aberto (I1 = 0):
Assim, temos h12 = V1V2
= 13 e I2
V2= 4
3 S (admitância equivalente vista nasaída).
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Exemplo 2
Desta forma, obtemos
H =
23
Ω13
−13
43S
Os parâmetros da matriz G podem ser obtidos de forma análoga ou atravésde:
G = H−1 =
43S −1
3
13
23
Ω
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Matriz Transmissão T
Os parâmetros transmissão (ou ABCD) relacionam as variáveis da entrada(V1 e I1) com as da saída (V2 e I2).[
V1I1
]=
[A BC D
] [V2−I2
](12)
Podemos perceber que:A =
[V1V2
]I2=0
(Ganho inverso de tensão com saída em aberto)
B =[−V1
I2
]V2=0
(Transimpedância negativa da porta 1 para 2 com saída
em curto)C =
[I1V2
]I2=0
(Transadmitância negativa da porta 1 para 2 com saída em
aberto)D =
[− I1
I2
]V2=0
(Ganho inverso negativo de corrente com saída em curto)
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Matriz Transmissão Inversa
Os parâmetros da matriz de transmissão inversa relacionam as variáveis dasaída (V2 e I2) com as da entrada (V1 e I1).[
V2I2
]=
[A′ B ′
C ′ D ′
] [V1−I1
](13)
Podemos perceber que:A′ =
[V2V1
]I1=0
(Ganho de tensão com entrada em aberto)
B ′ =[−V2
I1
]V1=0
(Transimpedância da porta 2 para 1 com entrada em
curto)C ′ =
[I2V1
]I1=0
(Transadmitância negativa da porta 2 para 1 com entrada
em aberto)D ′ =
[− I2
I1
]V1=0
(Ganho negativo de corrente com entrada em curto)
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 23 / 34
Exemplo 3
Determinar os parâmetros de transmissão para o quadripolo, em queR1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω:
Lembrando que [V1I1
]=
[A BC D
] [V2−I2
]Façamos:
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 24 / 34
Exemplo 3
Saída em aberto (I2 = 0):
Assim, temos A = V1V2
= 3 e C = I1V2
= 4 S .
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 25 / 34
Exemplo 3
Saída em curto (V2 = 0):
Assim, temos B = −V1I2
= 2 Ω e D = − I1I2
= 3.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 26 / 34
Exemplo 3
Desta forma, obtemos
T =
[3 24 3
]Os parâmetros da matriz de transmissão inversa podem ser obtidos deforma análoga.Observe que, com a definição apresentada, a matriz de transmissão inversanão é a inversa da matriz de transmissão.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 27 / 34
Quadripolos simétricos
Considere o seguinte quadripolo e suas equações da matriz impedância:
[V1V2
]=
[z11 z12z21 z22
] [I1I2
]Quando z22 = z11, o quadripolo é dito simétrico. Isto significa que oquadripolo pode ser dividido em duas partes iguais.
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Quadripolos recíprocos
Considere o seguinte quadripolo e suas equações da matriz impedância:
[V1V2
]=
[z11 z12z21 z22
] [I1I2
]Quando o quadripolo é linear e não tem fontes vinculadas, z12 = z21 e ele édito recíproco. Isto significa que colocando uma fonte de tensão ideal emuma das portas de acesso e medindo a corrente na outra com umamperímetro ideal, a medida é a mesma que no caso de os dois acessosserem trocados.
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Observações
Um quadripolo pode ter representação através de uma das matrizesapresentadas e não ter representação em outras.Por exemplo, um transformador ideal pode ser representado por
comV1 =
1nV2
eI1 = −nI2
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 30 / 34
Observações
Como não existem equações relacionando os fasores das tensões com os dacorrente, não existem matrizes impedância (Z ) nem admitância (Y ). Noentanto, o transformador ideal dispõe de matrizes híbridas H e G e dematriz de transmissão:[
V1I2
]=
[0 1
n−n 0
] [I1V2
]⇒ H =
[0 1
n−n 0
]e [
I1V2
]=
[0 − 1
nn 0
] [V1I2
]⇒ G =
[0 − 1
nn 0
]e [
V1I1
]=
[A BC D
] [V2−I2
]⇒ T =
[ 1n 00 n
]
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 31 / 34
Quadripolos Não Lineares - Observação
Toda a teoria apresentada até então foi voltada para os quadripoloslineares, em que é possível escrever duas das variáveis como combinaçãolinear das outras duas.Na formulação apresentada, as variáveis V1, V2, I1 e I2 podem representartanto tensões e correntes no domínio do tempo (quadripolos resistivos),quanto fasores ou transformadas de Fourier de tensões ou correntes(quadripolos com resistores e elementos reativos).No entanto, no caso de, por exemplo, as tensões V1 e V2 serem funçõesnão lineares das correntes I1 e I2, diz-se que o quadripolo é não linear, comtensões dadas por
V1 = f1(I1, I2)
eV2 = f2(I1, I2)
sendo f1 e f2 funções não lineares das correntes I1 e I2.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 32 / 34
Aplicações
A representação de um circuito linear de dois acessos nas formasapresentadas é útil porque permite:
Condensar toda a estrutura do circuito em um modelo de quatroparâmetros;Servir de modelo de pequenos sinais para circuitos não lineares;Facilitar a análise de quadripolos maiores compostos por associaçõesde quadripolos mais simples;Prover mais informação sobre a resposta de um circuito, emcomparação com a situação em que se dispõe apenas de uma funçãode transferência;Facilitar a síntese de um circuito um circuito que implemente umaresposta pré-determinada.
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 33 / 34
Bibliografia
Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,2006;Alexander, C., M. Sadiku, and M. Sadiku. "Fundamentals of ElectricCircuits, 2000."(Capítulo 19).
1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 34 / 34