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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Introdução à Álgebra Linear
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática AplicadaUniversidade Federal do Rio de Janeiro
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1, 2) ∈ R2
(−1, 2,√
3) ∈ R3
(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1, 2) ∈ R2
(−1, 2,√
3) ∈ R3
(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1, 2) ∈ R2
(−1, 2,√
3) ∈ R3
(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Rn
Definição (Rn)
Rn é o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais.
(1, 2) ∈ R2
(−1, 2,√
3) ∈ R3
(1, 2, 3, 4) 6= (2, 1, 3, 4) ∈ R4
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0
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Espaço Rn
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Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0
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Definição
Operações
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Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0
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Definição
Operações
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Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0
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Espaço Rn
Definição
Operações
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Bases
Soma em Rn
Definição (Soma em Rn)
u + v = (u1, u2, . . . , un) + (v1, v2, . . . , vn)= (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn)
Propriedades da Soma em Rn
comutativ.: u + v = v + u,associativ.: (u + v) + w = u + (v + w) ∀ u, v, welemento neutro: ∃ 0 t.q. u + 0 = u ∀ uinverso aditivo: dado u, ∃ (−u) t.q. u + (−u) = 0
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u
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Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u
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Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar em Rn
Definição (multiplicação por escalar)
αu = α(u1, u2, . . . , un) = (αu1, αu2, . . . , αun)
Propriedades da Multiplicação por Escalar em Rn
(αβ)u = α(βu), ∀ α, ∀ β, ∀ uelemento neutro: 1u = u, ∀u
Propriedades Distributivas de Rn
α(u + v) = αu + αv, ∀ α, u, v(α + β)u = αu + βu, ∀ α, β, u
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplo
(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)
= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)
= (2, 5,−6, 0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplo
(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)
= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)
= (2, 5,−6, 0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplo
(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)
= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)
= (2, 5,−6, 0)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplo
(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)
= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)
= (2, 5,−6, 0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplo
(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)
= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)
= (2, 5,−6, 0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplo
(2,−1, 0, 3)− 3(0,−2, 2, 1)
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)(0,−2, 2, 1))
= (2,−1, 0, 3) + ((−3)0, (−3)(−2), (−3)2, (−3)1)
= (2,−1, 0, 3) + (0, 6,−6,−3)
= (2 + 0,−1 + 6, 0− 6, 3− 3)
= (2, 5,−6, 0)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Representações Gráficas
(3, 2)
3
2
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Representações Gráficas
3
2 (3, 2)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Representações Gráficas
3
2 (1, 3, 2)
1
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)
w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)
w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)
w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)
w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
Regra do Triângulo
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)
w = u + v = (v1 + u1, v2 + u2)
Regra do Triângulo
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Soma de Vetores
u = (u1, u2)
v = (v1, v2)
w = u + v = (u1 + v1, u2 + v2)
Regra do Paralelogramo
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Somando Vários Vetores
uv
w
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Somando Vários Vetores
uv
vw
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Somando Vários Vetores
u
vw
w
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Somando Vários Vetores
u
vu + v
w
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Somando Vários Vetores
u + v
wu + v + w
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Somando Vários Vetores
u + v + w w
v
u
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
α > 1
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
0 < α < 1
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Multiplicação por Escalar
v = (v1, v2)
w = αv = (αv1, αv2)
α < 0
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X
(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X
(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X
(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X
(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Combinações Lineares
Definição (combinação linear)
v é combinação linear de v1, v2, . . . , vp se pode serexpresso como
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑i=1
αivi ,
onde αi ’s são escalares.
(3, 3) = 3(1, 1) + 0(−1,−1) = 1(1, 1)− 2(−1,−1) X
(3, 4) 6= α(1, 1) + β(−1,−1) = (α− β, α− β) ∀α, β ×Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.
〈v1, v2, . . . , vp〉 =
{ p∑i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.
〈v1, v2, . . . , vp〉 =
{ p∑i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.
〈v1, v2, . . . , vp〉 =
{ p∑i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
Definição (conjunto gerado)
O conjunto gerado por v1, v2, . . . , vp é o conjunto detodas as combinações lineares de v1, v2, . . . , vp.
〈v1, v2, . . . , vp〉 =
{ p∑i=1
αivi
∣∣∣∣∣ αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , p
}
Definição (conjunto gerador)
{v1, . . . , vp} gera o conjunto S se 〈v1, . . . , vp〉 = S.Diz-se também que {v1, . . . , vp} é gerador de S.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u2u
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u2u
−u
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u2u
−u0
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 1 Vetor
u2u
−u0
{αu, α ∈ R} = 〈u〉
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
u
v
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado por 2 Vetores
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Vetorial
Definição (espaço vetorial)
O espaço gerado por um conjunto de vetores é um espaçovetorial.
Observação
sinônimos: espaço linear, subespaço (vetorial/linear)0 ∈ Vpode ser um ponto, uma reta, um plano, . . .sempre “reto”, nunca “curvo”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Conjunto Gerado
1 vetor 2 vetores 3 vetores
caso “típico” caso “típico” caso “típico”
“redundância” “redundância”
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Dependência Linear
{v1, v2, . . . , vp}
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑i=1i 6=k
αivi
Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dosdemais.
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) seexiste um vetor que é c.l. dos demais.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Dependência Linear
{v1, v2, . . . , vp}
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑i=1i 6=k
αivi
Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dosdemais.
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) seexiste um vetor que é c.l. dos demais.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Dependência Linear
{v1, v2, . . . , vp}
“redundância”: um vetor é c.l. dos demais, vk =
p∑i=1i 6=k
αivi
Neste caso, diz-se que vk depende linearmente dosdemais.
Definição (dependência linear)
Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) seexiste um vetor que é c.l. dos demais.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplos
Exemplo
{(1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 2)} é LI.
Exemplo
{(1, 0, 0, 0), (2, 1, 3, 0), (5, 2, 6, 0)} é LD.De fato, (5, 2, 6, 0) = (1, 0, 0, 0) + 2(2, 1, 3, 0).
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplos
Exemplo
{(1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 2)} é LI.
Exemplo
{(1, 0, 0, 0), (2, 1, 3, 0), (5, 2, 6, 0)} é LD.De fato, (5, 2, 6, 0) = (1, 0, 0, 0) + 2(2, 1, 3, 0).
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Exemplos
Exemplo
{(1, 0, 0, 0), (0, 0, 3, 0), (0, 0, 0, 2)} é LI.
Exemplo
{(1, 0, 0, 0), (2, 1, 3, 0), (5, 2, 6, 0)} é LD.De fato, (5, 2, 6, 0) = (1, 0, 0, 0) + 2(2, 1, 3, 0).
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.
Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w + tv
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.
Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w + tv
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.
Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w + tv
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em R2 ou R3
Em geral, 〈v〉 = {u = tv, t ∈ R} representa uma retapassando pela origem.
Em geral, w + 〈v〉 = {u = w + tv, t ∈ R} representa umareta que não passa pela origem.
Equação Paramétrica da Reta
Toda reta pode ser expressa na forma
w + tv
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.
Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w + tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.
Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w + tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.
Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w + tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica do Plano em R3
Em geral, 〈v1, v2〉 = {u = tv1 + sv2, s, t ∈ R} representaum plano passando pela origem.
Em geral, w + 〈v1, v2〉 = {u = w + tv1 + sv2, s, t ∈ R}representa um plano que não passa pela origem.
Equação Paramétrica do Plano
Todo plano pode ser expresso na forma
w + tv1 + sv2
(Esta representação não é única.)
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em Rn
Definição (reta)
Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma
w + 〈v〉 , com v 6= 0.
Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorialde dimensão 1.
Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em Rn
Definição (reta)
Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma
w + 〈v〉 , com v 6= 0.
Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorialde dimensão 1.
Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Equação Paramétrica da Reta em Rn
Definição (reta)
Em Rn, define-se uma reta como um conjunto da forma
w + 〈v〉 , com v 6= 0.
Uma reta passando pela origem é um subespaço vetorialde dimensão 1.
Uma reta qualquer é um subespaço afim de dimensão 1.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Vetorial × Espaço Afim
Se {v1, . . . , vp} é LI, então 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço vetorial de dimensão p.
Se {v1, . . . , vp} é LI, então w + 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço afim de dimensão p.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Espaço Vetorial × Espaço Afim
Se {v1, . . . , vp} é LI, então 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço vetorial de dimensão p.
Se {v1, . . . , vp} é LI, então w + 〈v1, . . . , vp〉 éum espaço afim de dimensão p.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
... =...
en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn
∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
mαi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
... =...
en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn
∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
mαi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
... =...
en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn
∑αiei = (α1, α2, . . . , αn)
?= (v1, v2, . . . , vn) = v
mαi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
... =...
en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn
∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
mαi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0) ∈ Rn
... =...
en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Rn
∑αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v
mαi = vi ∀i
Definição (base)
Um conjunto ordenado S é base de V setodo vetor de V é expressível de forma únicacomo combinação linear dos vetores deste conjunto.
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1, e2} é base de R2.
Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.
(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1, e2} é base de R2.
Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.
(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30
Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1, e2} é base de R2.
Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.
(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1, e2} é base de R2.
Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.
(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 1
{e1, e2} é base de R2.
Dado (a, b) ∈ R2, (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = ae1 + be2.
Exemplo 2
S = {(1, 0), (2, 2), (0, 1)} não é base de R2.
(4, 4) = 2(2, 2) = 4(1, 0) + 4(0, 1).
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
3∑i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = vm
α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒
α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
3∑i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = vm
α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒
α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
3∑i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = vm
α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒
α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
3∑i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)?= (v1, v2, v3) = v
mα1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒
α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
3∑i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = vm
α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒
α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
3∑i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = vm
α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒
α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Base
Exemplo 3
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3 é base.
3∑i=1
αibi = α1b1 + α2b2 + α3b3
= (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3)
= (v1, v2, v3) = vm
α1 = v1α1 + α2 = v2α1 + α2 + α3 = v3
⇐⇒
α1 = v1α2 = v2 − α1 = v2 − v1α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Definição (coordenadas)
As coordenadas do vetor v na base β = {b1, b2, . . . , bn},são os coeficientes αi ’s usados para combinar linearmenteos vetores bi ’s de forma a gerar v.
[v]β =
α1α2...
αn
⇐⇒ v =n∑
i=1
αibi
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Exemplo 1
ε = {e1, e2, . . . , en}
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen
[v]ε =[(v1, v2, . . . , vn)
]ε
=
v1v2...
vn
coordenadas de vcom relação
à base ε
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Exemplo 1
ε = {e1, e2, . . . , en}
v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen
[v]ε =[(v1, v2, . . . , vn)
]ε
=
v1v2...
vn
coordenadas de vcom relação
à base ε
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Exemplo 2
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
v = (v1, v2, v3) = v1b1 + (v2 − v1)b2 + (v3 − v2)b3
[v]β =[(v1, v2, v3)
]β
=
v1v2 − v1v3 − v2
coordenadas de vcom relação
à base β
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Exemplo 2
β = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}= {b1, b2, b3} ⊂ R3
v = (v1, v2, v3) = v1b1 + (v2 − v1)b2 + (v3 − v2)b3
[v]β =[(v1, v2, v3)
]β
=
v1v2 − v1v3 − v2
coordenadas de vcom relação
à base β
Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Observação
v = (v1, v2, v3)
[v]ε =
v1v2v3
[v]β =
v1v2 − v1v3 − v2
Não confundir coordenadas e entradas.
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Observação
v = (v1, v2, v3)
[v]ε =
v1v2v3
[v]β =
v1v2 − v1v3 − v2
Não confundir coordenadas e entradas.
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
v = (2, 4)
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
v = (2, 4)
ε = { (1, 0), (0, 1) }
[v]ε =
[24
]
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
v = (2, 4)
β = { (1, 1), (0, 1) }
[v]β =
[22
]
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
α1...
αn
(uso correto);
v =
α1...
αn
(abuso de notação);
vt =[
α1 · · · αn]
(abuso de notação).
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Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
α1...
αn
(uso correto);
v =
α1...
αn
(abuso de notação);
vt =[
α1 · · · αn]
(abuso de notação).
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
α1...
αn
(uso correto);
v =
α1...
αn
(abuso de notação);
vt =[
α1 · · · αn]
(abuso de notação).
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Introdução àÁlgebra Linear
Espaço Rn
Definição
Operações
EspaçosGerados
Bases
Coordenadas
Observação
Determinam mesmo vetor v ∈ Rn:v = (α1, . . . , αn) (uso correto);
[v]ε =
α1...
αn
(uso correto);
v =
α1...
αn
(abuso de notação);
vt =[
α1 · · · αn]
(abuso de notação).
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