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FRANCISCO PARRA RODRÍGUEZ
(Doctor en Economía. Universidad Nacional de Educación a Distancia)
ECONOMETRÍA APLICADA I
Econometria Aplicada I by Francisco Parra Rodríguez is licensed under a Creative Commons
Reconocimiento-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional License.
ÍNDICE
Parte I
PRESENTACIÓN ........................................................................................................................................ 4 1. LA ECONOMETRÍA: HISTORIA Y METODOLOGÍA .................................................................... 6
1.1. LOS ORÍGENES DE LA ECONOMETRIA ............................................................................... 6 1.2. LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS...................................................................................... 12 1.3. LA METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA ................................................................................ 14
2. EL MODELO LINEAL GENERAL .................................................................................................. 18 2.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 18 2.2. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. ...................................................................................................................................... 18 2.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE .......................................................................................... 25 2.4. PROPIEDADES ESTADISTICAS DEl ESTIMADOR MÍNIMO CUADRADO. .................... 30 2.5. COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN Y CORRELACIÓN PARCIAL ............................. 31
2.5.1. Coeficiente de determinación ............................................................................................. 31 2.5.2. Coeficiente de correlación parcial ...................................................................................... 35
2.6. INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES ................................................................ 35 2.6.1. Intervalos De Confianza ..................................................................................................... 36 2.6.2. Contrastes de Hipótesis ...................................................................................................... 39
2.7. TABLA DE ANALIS DE LA VARIANZA (ANOVA) ............................................................. 43 2.8. PREDICCIÓN EN EL MODELO DE REGRESIÓN ................................................................ 44 2.9. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON EXCEL ........................ 46 2.10. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON R ........................... 54 2.11. PROBLEMAS .................................................................................................................... 59
3. EXTENSIONES AL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL ............................................................ 62 3.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 62 3.2. HETEROSCEDASTICIDAD ..................................................................................................... 65
3.2.1. Test de Bartlett ................................................................................................................... 65 3.2.2. Contraste de Goldfeld-Quant .............................................................................................. 66 3.2.3. Contraste de White ............................................................................................................. 69
3.3 AUTOCORRELACIÓN ................................................................................................................... 71 3.3.1. Contraste de Durbin-Watson .................................................................................................... 71 3.3.1. Contraste de Breush-Godfrey ................................................................................................... 75
3.4. DEFICIENCIAS MUESTRALES: MULTICOLINEALIDAD ................................................. 76 3.5. ERRORES DE ESPECIFICACIÓN ........................................................................................... 79
3.5.1. Omisión de una variable relevante...................................................................................... 80 3.5.2. Inclusión de una variable innecesaria ................................................................................. 81 3.5.3. Especificación funcional incorrecta .................................................................................... 82 3.5.4. Contraste de errores de especificación ................................................................................ 83
3.6. MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS....................................................................... 84 3.7. PROBLEMAS ............................................................................................................................ 91
4. MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES ...................................................................... 95 4.1. INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 95 4.2. TIPOS DE ERRORES DE MEDIDA ......................................................................................... 96
4.2.1. Errores de medida en la variable endógena ........................................................................ 96 4.2.2. Errores de medida en la variable exógena .......................................................................... 97
4.3. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES ............................. 100 4.4. APLICACIÓN PRÁCTICA ..................................................................................................... 102 4.5. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 104
5. MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS ........................................................................ 107 5.1. MODELOS CON VARIABLES CUANTITATIVAS Y CUALITATIVAS COMO REGRESORES. ................................................................................................................................... 107
5.1.1. Modelos ANOVA ............................................................................................................. 108 5.1.2. Modelos ANCOVA .......................................................................................................... 113
5.2. EL EMPLEO DE VARIABLES CUALITATIVAS PARA EL TRATAMIENTO DE LA ESTACIONALIDAD ........................................................................................................................... 122 5.3. APLICACIONES DE LAS VARIABLES CUALITATIVAS A LA REGRESIÓN POR TRAMOS. ............................................................................................................................................ 129 5.4. EL MODELO PROBABILÍSTICO LINEAL .......................................................................... 130 5.5. EL MODELO LOGIT .............................................................................................................. 132 5.6. EL MODELO PROBIT ............................................................................................................ 137 5.7. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 142
6. MODELOS CON DATOS DE PANEL ........................................................................................... 145 6.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 145 6.2. ESPECIFICACIÓN GENERAL DE UN MODELO DE DATOS DE PANEL ....................... 146 6.3. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MODELOS DE DATOS DE PANEL .................. 149 6.4. MODELO DE EFECTOS FIJOS ............................................................................................. 151 6.5. MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS ............................................................................... 154 6.6. ELECCIÓN DE MODELO DE EFECTOS O EFECTOS ALEATORIOS .............................. 156 6.7. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 163
7. MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS ......................................................................... 165 7.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 165 7.2. FORMA ESTRUCTURAL Y REDUCIDA ............................................................................. 167 7.3. DETECCIÓN DE LA SIMULTANEIDAD. PRUEBA DE HAUSMAN ................................ 172 7.4. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA ....................................................................................... 177
7.4.1. Condiciones de Orden y Rango en la Identificación ........................................................ 179 7.5. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 183
8. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS ............... 185 8.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 185 8.2. MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS (MCI) ................................................................... 185
8.2.1. Estimación de curvas de oferta y demanda por MCI ........................................................ 188 8.2.2. Estimación de Haavelmo de la propensión marginal al consumo por MCI ...................... 191
8.3. VARIABLES INSTRUMENTALES (VI) ............................................................................... 194 8.3.1. Estimación una función keynesiana de consumo por VI .................................................. 198
8.4. MÍNIMOS CUADRADOS EN DOS ETAPAS (MC2E) ......................................................... 201 8.4.1. Estimación de un modelo de gastos e ingresos por MC2E ............................................... 204
8.5. MODELOS RECURSIVOS ..................................................................................................... 210 8.5.1. Estimación de un Modelo Recursivo de Determinación de Precios y Salarios................. 213
8.6. EJEMPLO PRÁCTICO: ESTIMACIÓN DE UN MODELO EXACTAMENTE IDENTIFICADO POR MCI, VI Y MC2E ........................................................................................... 216 8.7. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 223
9. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO LINEALES ............................................................................ 226 9.1. INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 226 9.2. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE MODELOS NO LINEALES POR MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS. ........................................................................................................... 227 9.3. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES ............................................................................ 229
9.3.1. Algoritmo de Newton-Raphson ........................................................................................ 231 9.4. EL ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSIMILITUD ............................................................. 234 9.5. APROXIMACIÓN LINEAL DE TAYLOR ............................................................................ 236 9.6. PROBLEMAS .......................................................................................................................... 240
10. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICOS ............................................................. 242 10.1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 242 10.2. FUNCIÓN NUCLEO ....................................................................................................... 244 10.3. ESTIMADORES DE FUNCIÓN NUCLEO Y POLINOMIOS LOCALES .................... 249 10.4. REGRESIÓN POR SPLINES .......................................................................................... 259 10.5. APROXIMACIÓN POR SERIES DE FOURIER ............................................................ 268 10.6. PROBLEMAS .................................................................................................................. 274
ANEXO I. NOCIONES DE ALGEBRA MATRICIAL .......................................................................... 277 ANEXO II. TABLAS ESTADÍSTICAS .................................................................................................. 293 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................................... 302
PRESENTACIÓN
En el año 2004 el Departamento de Economía Aplicada y Estadística de la Universidad Nacional
de Educación a Distancia (UNED) encargó a los entonces profesores de la asignatura econometría
I de Administración y Dirección de Empresas y Económicas, elaborar un texto de econometría
que sirviera de bibliografía básica para la misma, dicho texto que se publicó en Ediciones
Académicas bajo el título de econometría, fue revisado y actualizado en 2007 y editado de nuevo
por Ediciones Académicas pero con un nuevo título: Econometría Aplicada. En lo que sé, el
manual sigue utilizándose como bibliografía en la UNED, ya que en septiembre del 2006 deje de
ser profesor de dicha asignatura. No obstante, durante el tiempo de docencia en la UNED también
participe en otros cursos de posgrado para los cuales también elaboré diferente material docente:
Curso de Contabilidad Nacional y Tablas Input-Output y Curso de Eficiencia y Productividad,
dentro del Programa de Doctorado del Departamento de Economía Aplicada y Estadística, y
Máster en Economía Aplicada y Programa Modular Economía Aplicada.
La parte que redacté de manual de Econometría y Econometría Aplicada se había basado a su vez
en los apuntes de otro curso de estadística y econometría para empleados públicos que impartí
junto a Mauricio Beltrán Pascual dentro de los programas de formación de funcionarios de la
Junta de Castilla y León. El curso se denominaba: Estadística Aplicada a la Administración
Pública, y los materiales del curso acabaron editándose por la Junta de Castilla y León, sin ISBN,
en una serie de Metodologías Estadísticas, bajo el título: Apuntes de Análisis Estadístico
Aplicados a la Administración Pública. La serie tuvo corta vida, ta solo dos números, y con el
tiempo el curso pasó a denominarse Aplicaciones Estadísticas en las Hojas de Cálculo, y Curso
de Estadística Descriptiva y Análisis de Datos con la Hoja de Calculo Excel, cuando se incluyó
en el año 2007 en los programas de formación del Centro de Estudios de la Administración
Regional del Gobierno de Cantabria. En el 2011 se programó el último de aquellos cursos, ya que
en el 2012 pase a impartir la asignatura de Econometría dentro de la licenciatura y grado de
Administración y Dirección de Empresas de la Universidad de Cantabria y andaba escaso de
tiempo.
Dado que había reunido un amplio material de recursos docentes tanto de la asignatura de
econometría I UNED, los cursos de postgrado en los que participe, como en los cursos impartidos
para las administraciones públicas, en 2007 abrí un blog en wordpress:
Http://econometria.wordpress.com/ en el que reuní una parte de aquellos documentos, que
posteriormente fui ampliando bien con el material de otros cursos que me fueron encargados
(Curso de Contabilidad Trimestral) y análisis estadísticos propios basados en Series de Fourier.
Del blog, los recurso más descargados fueros un curso de econometría básica, y otro de
econometría avanzado, que ha sido sucesivamente actualizado con los análisis estadísticos
basados en series de Fourier.
Dado que ha sido ya suficiente el tiempo que ha pasado desde la aparición del primer manual de
econometría editado por ediciones académicas, me propuse actualizar este con los contenidos que
se difunden a través del blog, ampliando los capítulos ya publicados, redactando nuevos capítulos
sobre econometría no parámetrica, cointegración, regresión en dinámica de la frecuencia y el uso
de filtros desestacionalizadores, e incorporando junto a los ejemplos desarrollados en Excel otros
desarrollados en R, software que está ganando mucho terreno en la docencia de la econometría.
Entre dichos materiales se incluye la base teórica de librería en R “descomponer” que elaboré
para extraer tendencias y estacionalidades en series de tiempo en base al periodograma de la serie
temporal. Dado que uno de los contenidos de los cursos de formación para las Administraciones
Públicas era la elaboración de números índices de precios y cantidades, se ha incluido otro
capitulo con estos contenidos, a pesar de que los números indices no es materia de las enseñanzas
de econometría. Al haber aumentado de forma notable el indice de capítulos, se ha dividido este
en dos partes, en la primera se incluyen los capítulos más generales sobre la técnica econométrica
y en una segunda parte los más específicos relativos a las series temporales.
Desde que cree el blog de econometría aplicada, he comprobado que la mayor parte de las
descargas proceden de América Latina, supongo que estos materiales están facilitando de alguna
u otra manera que los jóvenes latinoamericanos puedan disponer de materiales de econometría en
Castellano para completar sus estudios. Este es en definitiva el objetivo último de este manual
facilitar el estudio y la aplicación de la econometría a la comunidad de hispana de la manera más
abierta posible.
1. LA ECONOMETRÍA: HISTORIA Y METODOLOGÍA
1.1. LOS ORÍGENES DE LA ECONOMETRIA
La Econometría es una disciplina independiente de la Estadística mediante la que se trata de
contrastar la validez empírica de la teoría económica mediante modelos matemáticos y
estadísticos. Para lograr este objetivo se utiliza como instrumento básico el modelo econométrico,
el cual trata de ser una representación simplificada del mundo real mediante la que es posible
reproducir el comportamiento y las interrelaciones que se dan entre diversas variables
económicas.
El término 'econometría' fue utilizado por primera vez por Pawel Ciompa en 1910, siendo
rescatado por Frisch en su artículo de 1936 titulado “Note on term ‘Econometrics’”; este autor,
socio fundador de la Econometric Society, le asigna el significado que atribuimos en la actualidad
a este término. Dicho significado queda recogido en el primer artículo de los estatutos de la
mencionada sociedad, y en el mismo se menciona la necesidad del progreso de la teoría
económica mediante la utilización del análisis estadístico y matemático.
En un sentido más formal, se han propuesto a lo largo de la historia diferentes definiciones que
apuntan en la misma dirección e integran los mismos elementos (matemáticas, estadística y datos
económicos). Samuelson, Koopmans y Stone (1954) definen la Econometría como “el análisis
cuantitativo de fenómenos económicos actuales, basado en el desarrollo congruente de teoría y
observaciones, y relacionado por métodos apropiados de inferencia”; Intriligator (1978) señala
que es “la rama de la economía relacionada con la estimación empírica de las relaciones
económicas”. Chow (1983) la define como el “arte y ciencia de usar métodos para la medida de
relaciones económicas”. Stewart y Wallis (1984) consideran que la Econometría es aquella
ciencia que “se ocupa de la medición de las relaciones entre las variables económicas y de la
confrontación de la teoría con la evidencia empírica” . Finalmente, Greene (1993) señala que “es
el campo de la Economía que se refiere a ésta como aplicación de la Estadística Matemática y
los instrumentos de la Estadística Inferencial a la medición empírica de las relaciones postuladas
por la Teoría Económica”.
Si bien el término ‘econometría’ fue reconocido en 1936, se considera a Henry Moore (1914,
1917) el primer autor en efectuar una estimación de relaciones económicas de demanda a partir
de estadísticas económicas. Las regresiones lineales de Moore crearon escuela y entre sus
seguidores cabe destacar a Henry Schultz, Holbrook Working y Paul Douglas, entre otros.
Working (1927) planteó la estimación de mercados en equilibrio, descubrió en sus trabajos los
problemas asociados a los errores en las variables y planteó inicialmente la importancia de las
expectativas. Schultz (1938) publicó un libro íntegramente dedicado a la teoría y análisis de la
demanda en Estados Unidos, demostrando una preocupación permanente por la unión entre teoría
y medida.
La otra área de estudio con interés para los pioneros del análisis estadístico económico, la
constituían los ciclos económicos. Si bien en los trabajos iniciales de Sir William Petty se dejaba
constancia de los ciclos, no será hasta el siglo XIX cuando renacerá la curiosidad por su estudio.
Así, el físico francés Clement Juglar (1819-1905) es el primero en utilizar las series históricas
para el estudio del ciclo en los negocios, descubriendo un ciclo para la inversión de 7 a 11 años
de duración. A este trabajo le siguen los de Kitchin, Kuznets y Kondratieff, identificando un ciclo
de los inventarios de 3 a 5 años, un ciclo de la construcción de 15 a 25 años y un ciclo de
actividades a largo de 45 a 60 años.
En general estos estudios de los ciclos y los emprendidos posteriormente por Mitchell (1927) y
Burns y Mitchell (1947) en el National Bureau of Economic Research, fueron de tipo morfológico
y descriptivo, por lo que las relaciones entre variables constituían un segundo plano de interés.
No servirán, por tanto, de ayuda para el empuje del análisis econométrico ya que sus objetivos y
metodología son diferentes.
Por el contrario, los trabajos de Wright (1915, 1928), Working (1927), Tinbergen (1930) y Frisch
(1933) sobre análisis de la demanda, planteando el problema de la identificación en las relaciones
estructurales entre variables económicas, sientan las bases para el desarrollo econométrico que
culminaría en la creación de la Econometric Society en 1930, de la mano de Fisher, Frisch y Roos.
Dicha sociedad, junto con los trabajos de la Cowles Commission, sentaran las bases de la
Econometría actual.
La importancia asignada a la creación de la Econometric Society se debe a la obtención de una
agrupación de economistas con preocupaciones de tipo cuantitativo, creando un instrumento de
expresión de los mismos mediante la revista Econométrica. En ese momento la Econometría deja
de ser una actividad dispersa, facilitándose el intercambio de información entre investigadores,
convirtiéndose así en un movimiento organizado con un medio para el intercambio de ideas y
resultados.
Una vez creada la Econometric Society era importante disponer de una institución donde localizar
y centralizar las investigaciones sobre la nueva disciplina; éste será el papel a desempeñar por la
Cowles Commission. La Cowles Commission for Research in Economics, era una institución sin
fines lucrativos fundada por Alfred Cowles III, presidente de una sociedad de inversores. Su
objetivo era la aplicación de las matemáticas a la economía con el fin de obtener buenas
predicciones de las cotizaciones en Bolsa.
Sin embargo, no tardarán en aparecer las primeras críticas a los métodos utilizados por los
primeros económetras, Así, podemos encontrar la del propio Keynes juzgando a la econometría
como próxima a la alquimia y sin resultados fiables al considerar el contexto económico
difícilmente modelizable por relaciones matemáticas, o la de Milton Friedman dudando del
método de Tinbergen para seleccionar una teoría económica entre varias estimadas
empíricamente. Asimismo, un alumno de Frisch, Trygve Haavelmo (1943,1944) demuestra la
inconsistencia de la estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) y la simultaneidad en
los sistemas macroeconómicos, poniendo de manifiesto la necesidad de cuestionar los
procedimientos basados en MCO. Haavelmo propone la introducción del modelo probabilístico
para sustentar la base de la metodología econométrica, modelo que será adoptado inicialmente
por la Cowles Commission para realizar estimación e inferencia.
En 1950 la Cowles Commission publicó la obra "Statistical Inference in Dynamic Economic
Models", obra elaborada por un equipo de prestigiosos investigadores del que formaron parte
Marschak, Tjalling, Koopmans, Hurwicz, Rubin, Klein y Anderson, que recogía todos los trabajos
y avances realizados en años anteriores y establece las normas básicas de la investigación
econométrica.
Todo el conocimiento acumulado en los años treinta y cuarenta conduce un espectacular
desarrollo de la Econometría durante los años cincuenta; de entre los avances que se producen en
la época cabe destacar los siguientes:
− A mediados de los años cincuenta aparece el método de estimación por Mínimos
Cuadrados en 2 Etapas (MC2E), desarrollado por Theil (1954, 1958) y Bassmann (1957),
el cual debido a su sencillez y facilidad de cálculo gozará de una gran aceptación como
método de estimación de modelos de ecuaciones simultáneas frente a los métodos de
Máxima Verosimilitud con Información Completa (MVIC), propuesto por Koopmans
(1950), y con Información Limitada (MVIL), propuesto por Anderson y Rubin (1949);
posteriormente, a finales de esta década, aparecerá el método de las Variables
Instrumentales (VI) propuesto por Sargan (1958).
− Klein y Goldberger (1955) desarrollan y perfeccionan su trabajo anterior, dando lugar a
uno de los modelos más populares entre los económetras: el modelo Klein-Goldberger,
el cual incorpora novedades a las especificaciones de los modelos macroeconómicos
precedentes, determinando el consumo no solamente a través de la renta, sino también a
través de los efectos riqueza e impuestos, e incorporando por primera vez funciones de
producción.
− Otro acontecimiento de importancia capital en el desarrollo de la econometría y los
grandes modelos estructurales se produce en 1958, cuando los editores de Econometrica
promueven un Congreso bajo el título de “Estimación de ecuaciones simultáneas:
¿Alguna sentencia?” y con el que se pretendía establecer un debate sobre el método
propuesto por la Cowles Commission. Como era de esperar, en dicho Congreso hubo
diferentes posiciones, destacando las de Liu (1960), Hildreth (1960), Christ (1960) y
Klein (1960).
Sin embargo, el esplendor de que gozó la Econometría en los años cincuenta pronto se vería
eclipsado por la crisis que se produjo a comienzos de los años setenta a causa de la elevación de
los precios energéticos, hecho que no pudo ser previsto por ningún modelo econométrico. Ello
afectó directamente al pensamiento económico general y al desarrollo posterior de la
Econometría.
Una de las primeras críticas que se lanzó en contra de los modelos econométricos era que se
habían dejado de lado los planteamientos microeconómicos, por lo que los modelos
econométricos que sólo utilizaban agregados macroeconómicos no podían representar de forma
consistente la conducta racional y optimizadora de los agentes económicos. Esta crítica propició
la incorporación de datos y relaciones microeconómicas, dando lugar a la rama conocida como
Microeconometría. Entre los principales desarrollos alcanzados en esta área cabe destacar los
siguientes:
− Por un lado, los Modelos con Variable Dependiente Cualitativa, en los que se considera
que la variable dependiente admite un conjunto acotado de valores discretos,
generalmente 0 ó 1, mediante los que es posible representar cualidades de los individuos.
Entre los trabajos pioneros en este campo están los de McFadden (1974, 1976) y
Amemiya (1978), en los que se considera una aproximación logística en la estimación de
estos modelos (modelo Logit), mientras que en Albright, Lerman y Manski (1977) se
estudia la aproximación mediante una distribución Normal (modelo Probit).
− Por otro lado, los Modelos de Datos de Panel en los que se incluye información de una
muestra de agentes económicos (individuos, empresas, bancos, ciudades, países, etc.)
durante un determinado período de tiempo, combinando así la dimensión temporal y la
dimensión estructural de los datos. Entre los trabajos más notables de esta línea, cabe
mencionar a Kuh (1959), Balestra y Nerlove (1966), Rosenberg (1973) y Swamy y
Mentha (1977).
Mención aparte merece el espectacular desarrollo que se produce en esta década del análisis
econométrico de series temporales, tanto de tipo multivariante como, especialmente, univariante.
Los modelos univariantes de series temporales giran, de forma mayoritaria, en torno a la
metodología desarrollada por Box y Jenkins (1970). Dichos autores proponen la construcción de
modelos sobre una variable temporal, tratándola como un mecanismo autónomo, cuya gran
ventaja es la mejora de las predicciones a corto plazo. La metodología Box-Jenkins supone la
ruptura con la econometría clásica y con el pensamiento económico en general al no existir una
relación con la teoría económica, por lo que no pueden ser considerados como una alternativa a
los modelos estructurales multiecuacionales.
Sin embargo, la principal crítica realizada durante los años setenta de los métodos econométricos
se centra en la identificación y estimación de modelos multiecuacionales. Partiendo del trabajo
de Muth (1961), Lucas (1972, 1973), Sargent (1973) y Sargent y Wallace (1975), abanderados de
la escuela de las expectativas racionales, plantean la duda sobre la permanencia a lo largo del
tiempo de los parámetros estructurales incluidos en los modelos macroeconómicos, ante cambios
en la política económica del gobierno. Es decir, no existe nada que nos garantice que la estructura
de las reglas de decisión de los agentes económicos quedará inalterada al modificar las reglas de
política económica; y dado que esta estructura es la que representa el modelo, no hay razón para
pensar que los parámetros del mismo sean fijos. Por tanto, si no separamos los parámetros de las
decisiones políticas de los de las relaciones económicas, los modelos que estimemos no podrán
ser utilizados en la toma de decisiones.
La solución adoptada para resolver este problema ha sido la inclusión del proceso de formación
de las expectativas racionales en los modelos econométricos, asegurando la coexistencia entre
expectativas y simulaciones mediante la imposición de restricciones paramétricas entre
ecuaciones.
Finalmente, otra crítica importante a la econometría clásica es la planteada por Sims (1980, 1982)
a comienzos de los años ochenta. La idea central de Sims es que no es necesaria la existencia de
una teoría económica a priori para establecer las restricciones que hagan posible la identificación
de modelos estructurales, ya que no es necesario para la previsión y simulación. Sims propone
una nueva clase de modelos como alternativa a los modelos de ecuaciones simultáneas, los
Vectores Autorregresivos (VAR), en los que no es necesario clasificar las variables en endógenas
y exógenas.
Sin embargo, el desconocimiento que los modelos VAR conllevan sobre las relaciones de tipo
estructural (variables endógenas, exógenas, forma estructural) no permite realizar una
aproximación a los efectos producidos por cambios en la política económica, con lo que su campo
de aplicación se limita a la simple previsión.
A finales de la década pasada. Granger y Newbold (1974) advirtieron sobre el peligro que supone
especificar relaciones espúreas, es decir, relaciones no de causalidad sino de casualidad. Sus
estudios aumentaron el interés por la modelización dinámica y las propiedades a largo plazo de
los modelos econométricos. Su contribución ha dado lugar a los conceptos de cointegración
(Granger, 1981), el test de raiz unitaria (Dickey y Fuller, 1979) y los modelos de corrección de
error (Sargent, 1984).
En los últimos años, en paralelo al avance de las nuevas tecnologías de la información y al
desarrollo de las grandes bases de datos, asistimos a un nuevo cambio conceptual de la teoría
econométrica, poniendose en cuestión los supuestos sobre la normalidad de la distribución de
probabilidad de las variables sujetas al análisis. Otros problemas que enfrentan los investigadores
hoy día son la existencia de datos imperfectos con poca correspondencia con las variables
definidas en los modelos económicos y el poco entendimiento del verdadero significado de
algunas pruebas de hipótesis. En consecuencia, se estan produciendo desarrollos teóricos que
permiten un mayor acercamiento a los procesos económicos tal y como se presentan y que no
exigen el supuesto de normalidad de las variables bajo estudio (o del término de error). Entre los
avances teóricos más recientes que merecen ser mencionados se encuentran el desarrollo de la
econometría no paramétrica y la econometría de series de tiempo no lineales.
1.2. LOS MODELOS ECONOMÉTRICOS
El método científico en las Ciencias Sociales se basa tanto en la deducción como en el
conocimiento empírico. La deducción es el proceso de razonamiento lógico que conduce a unas
conclusiones partiendo de unas premisas o informaciones iniciales. El conocimiento empírico
objetiva el conocimiento a través de la experiencia, de los hechos y de la Historia.
El punto de partida del investigador es la realidad, los hechos económicos tal y como se producen
en la sociedad. La lectura de esos datos y el conocimiento general de la realidad sugerirán al
investigador alguna hipótesis explicativa de las razones por las que los datos ofrecen una
determinada magnitud o evolución. Esas hipótesis son las que permiten organizar los datos y dan
lugar a la formulación de leyes, teorías y modelos.
Las leyes expresan las regularidades encontradas en las series de datos. Las teorías son una forma
de organizar las hipotéticas leyes y facilitan la comprensión del funcionamiento de la economía.
Finalmente, los modelos son construcciones intelectuales basadas en las teorías que permiten
realizar estimaciones de los efectos que pueden derivarse de cambios en los datos reales. Los
modelos constituyen por tanto un puente entre la teoría pura y el mundo real, pudiendo
contrastarse si una determinada teoría es una buena representación de los hechos que trata de
explicar o no.
En el caso de la ciencia económica, los modelos están basados generalmente en supuestos
simplificadores de la realidad y están formados generalmente por ecuaciones matemáticas que
relacionan distintas variables. Dichas variables pueden dividirse en variables exógenas, que son
aquellas cuyos valores deben ser tomados de la realidad; y variables endógenas, que son aquellas
cuyo valor es deducido al operar con las ecuaciones del modelo. Ambos tipos de variables se
relacionan mediante un conjunto de parámetros, los cuales deben ser estimados.
Los modelos permiten realizar predicciones económicas susceptibles de ser contrastadas con la
realidad. Dichas predicciones son probabilísticas y no deterministas; es decir, que con los modelos
económicos no es posible predecir con precisión cuál será, por ejemplo, el consumo exacto que
realizará un determinado individuo, pero sí se puede prever el comportamiento de grandes
agregados de consumidores estableciendo unos márgenes de error entre los que estará
comprendido, o lo que es lo mismo, estimando la probabilidad de que esa predicción se cumpla.
Según el objeto de análisis, podemos distinguir diversos tipos de modelos económicos:
− Modelos Macroeconómicos, cuando los modelos representan la economía en su totalidad;
se trata de modelos en los que generalmente existe poco detalle sectorial con los que se
pretende cuantificar los resultados de las políticas macroeconómicas, como puede ser un
aumento del gasto público o de la imposición directa. La mayoría de los economistas que
realizan predicciones utilizan tales modelos.
− Modelos Microeconómicos, los cuales analizan la situación de una cierta industria,
mercado o institución.
Asimismo, atendiendo al tipo de relaciones que se establecen entre las variables del modelo
podemos distinguir entre:
− Modelos Deterministas, en los que las relaciones exactas entre las variables del modelo
son exactas. Se trata generalmente de modelos en los que se parte de una o varias
variables, denominadas inputs, a partir de las cuales se intenta conocer el comportamiento
de otras variables, denominadas output, mediante diversas transformaciones
matemáticas. Un ejemplo de este tipo de modelos son las tablas input-output de Leontief.
− Modelos Estocásticos, en los que las relaciones entre las variables no son exactas, ya que
existe un componente de carácter aleatorio, denominado término de error o perturbación
aleatoria, que forma parte de las ecuaciones del modelo. Dicho componente aleatorio
recoge todos aquellos aspectos que no quedan especificados en la relación causal
establecida en el modelo tales como determinadas circunstancias acontecidas de carácter
impredecible (shocks) que influyen en la relación estudiada y los errores en la medición,
documentación y computación de las variables observables que aproximan las variables
teóricas del modelo. En la literatura económica, la mayor parte de los modelos
econométricos son de este tipo estocástico.
Según el tipo de datos de las variables utilizadas en el modelo, podemos distinguir entre:
− Modelos de Series Temporales, en los que se utilizan datos recogidos a lo largo de un
determinado periodo de tiempo: días, semanas, meses, trimestres o años. Ejemplos de
este tipo de variables son las cotizaciones diarias de las acciones, el Índice de Precios al
Consumo, la Encuesta de Población Activa, los datos anuales y trimestrales del Producto
Interior Bruto, etc.
− Modelos de Series de Corte Transversal, en los que se utilizan datos referidos a diferentes
individuos en un mismo momento del tiempo. Ejemplos de datos transversales serían los
productos consumidos por diferentes familias en un determinado año, las ventas que
realizan diversas empresas que forman una determinada industria en un determinado
trimestre, el paro registrado en los municipios españoles en un determinado semestre, etc.
− Modelos de Datos de Panel, en los que se combinan datos de diversos individuos
recogidos a lo largo del tiempo.
Considerando la existencia o no de retardos de las variables incluidas en el modelo podemos
diferenciar entre:
− Modelos Estáticos, cuando las relaciones entre las variables del modelo tienen lugar en
el mismo instante del tiempo tanto para la variable endógena como para todas las
variables explicativas del modelo.
− Modelos Dinámicos, cuando las relaciones entre las variables del modelo están referidas
a diferentes momentos en el tiempo, de forma que un modelo dinámico se construye con
variables retardadas.
Finalmente, según el número de variables endógenas que deseemos explicar podemos distinguir
entre:
− Modelos Uniecuacionales, que constan de una única variable endógena.
− Modelos Multiecuacionales, que poseen varias variables endógenas, algunas de las cuales
pueden ser a su vez variables explicativas en otras ecuaciones.
1.3. LA METODOLOGÍA ECONOMÉTRICA
En términos generales, la metodología econométrica tradicional considera los siguientes pasos en
lo referente a la elaboración de modelos:
1. Planteamiento de la teoría o hipótesis: generalmente se utiliza una construcción teórica
de la Macroeconomía y/o Microeconomía, como por ejemplo la función keynesiana de
consumo, la curva de Phillips, la teoría de la demanda del consumidor, etc.
2. Especificación: el siguiente paso es establecer la relación formal entre las variables a que
da lugar la teoría. Dicha relación se establece en forma matemática funcional, mediante
una ecuación o un sistema de ecuaciones. Las variables que reciben los efectos son las
variables endógenas, las cuales figuraran a la izquierda de las igualdades, mientras que
las que producen los efectos, son las denominadas variables exógenas, las cuales aparecen
en el lado derecho de las ecuaciones. Los efectos de cada variable exógena se cuantifican
a través de una serie de parámetros que debemos estimar. Asimismo, en cada ecuación
del modelo existirá un término de error o perturbación que recoge los efectos aleatorios
y que tendrá unas propiedades probabilísticas definidas.
Una vez establecida la relación funcional matemática, deberemos seleccionar datos de los
que dispongamos nos servirán para representar los valores de las variables teóricas. Por
ejemplo, si incluimos en el modelo como variable teórica la renta tendremos que elegir
los datos que utilizaremos para representar dicha variable de entre las encuestas de que
dispongamos: la renta familiar disponible, la renta interior, la renta nacional, etc. En
algunas ocasiones, puede ocurrir que no exista una variable estadística que responda a los
requisitos que exijamos, por lo que deberemos considerar la existencia de un posible error
de observación.
En definitiva, para la especificación de un modelo completo habrá que especificar
claramente lo siguiente:
− variables endógenas teóricas (y sus respectivos valores observados)
− variables exógenas teóricas (y sus respectivos valores observados)
− perturbaciones aleatorias (no observables)
− errores de observación en las variables endógenas
− errores de observación en las variables exógenas.
3. Selección de datos: una vez hemos especificado el modelo procederemos a la obtención
de un número de suficiente de datos que tengan las siguientes características:
− Suficientes: como mínimo para poder realizar la estimación, el número de
observaciones debe ser igual al número de parámetros que queremos estimar;
de lo contrario, la estimación obtenida no resultará fiable.
− Homogéneos: los datos deben estar expresados de una forma homogénea;
esto quiere decir que todos deben estar expresados en las mismas magnitudes
o valores y tienen que haber sido obtenidos por procedimientos estadísticos
semejantes. Asimismo, si fuera necesario, todas las variables deberán estar
corregidas de la misma manera de determinados efectos que se dan en las
variables económicas como la tendencia o la estacionalidad.
− Actuales: la falta de actualidad en los datos es un problema grave, en
particular si el modelo que construimos tiene como finalidad predecir los
valores futuros o realizar simulaciones de política económica.
4. Estimación: se trata del procedimiento utilizado para obtener el valor de los parámetros
del modelo. Habitualmente la técnica utilizada es el análisis de regresión que incluye
diferentes técnicas: Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO), Mínimos Cuadrados
Indirectos (MCI), Variables Instrumentales (VI), Mínimos Cuadrados en 2 Etapas
(MC2E), Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG), etc.
Las técnicas econométricas requieren realizar cálculos a veces muy complejos, por ello
es de gran utilidad el auxiliarnos de herramientas como hojas de cálculo (Excel, Lotus
123, etc.) y programas estadísticos y econométricos (EViews, SPSS, SAS, etc.)
5. Validación: una vez que se han estimado los parámetros del modelo, habrá que verificar
que los valores obtenidos concuerdan con los postulados de la teoría que se ha utilizado
para la construcción del modelo.
La validación del modelo se realiza mediante la técnica estadística de inferencia o
contraste de hipótesis, que consiste en analizar mediante pruebas estadísticas la bondad
del ajuste y la significatividad estadística de los valores estimados, de tal forma que si el
modelo no ha dado los resultados esperados deberá perfeccionarse mediante:
− Un cambio en la forma matemática funcional del modelo.
− Incluyendo en el modelo alguna variable explicativa que haya sido omitida.
− Reemplazando las observaciones utilizadas para representar las variables
endógenas y explicativas por otras que posean un menor error de observación.
6. Utilización: una vez validado, el modelo econométrico puede ser utilizado para diversas
tareas tales como:
− Análisis estructural: cuantificar las relaciones que entre las variables endógenas
y exógenas.
− Predicción: dados unos valores de las variables explicativas, podemos obtener
mediante el modelo estimado el valor futuro que tomará la variable endógena.
− Simulación o evaluación de políticas: efectos que tienen sobre la variable
endógena (variable objetivo) las diferentes estrategias que se planteen sobre las
variables explicativas (variables de control).
2. EL MODELO LINEAL GENERAL
2.1. INTRODUCCIÓN
La regresión lineal es la técnica básica del análisis econométrico. Mediante dicha técnica tratamos
de determinar relaciones de dependencia de tipo lineal entre una variable dependiente o endógena,
respecto de una o varias variables explicativas o exógenas. Gujarati (1975), define el análisis de
regresión como el estudio de la dependencia de la variable dependiente, sobre una o más variables
explicativas, con el objeto de estimar o predecir el valor promedio poblacional de la primera en
términos de los valores conocidos o fijos (en medias muestrales repetidas) de las últimas.
En este capitulo abordaremos el estudio del caso de una única ecuación de tipo lineal con una
variable dependiente y una independiente, y la generalización del modelo al caso de múltiples
variables exógenas. Las extensiones del modelo lineal general se analizaran en capítulos
siguientes.
2.2. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE. EL MÉTODO DE LOS
MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS.
Partimos de la existencia de una relación lineal entre una variable endógena (Y) y k variables
exógenas (Xi):
ikikiii eXXXY +++++= ββββ ...22110
Nuestro objetivo consiste en estimar los parámetros βi de la ecuación anterior a partir de los datos
muestrales de los que disponemos. Para ello utilizaremos el método de los Mínimos Cuadrados
Ordinarios (MCO), pero antes de ver en que consiste este método debemos plantear ciertas
hipótesis sobre el comportamiento de las variables que integran el modelo.
La variable et la denominamos término de perturbación o error, y en ella recogemos todos aquellos
factores que pueden influir a la hora de explicar el comportamiento de la variable Y y que, sin
embargo, no están reflejados en las variables explicativas, Xi. Estos factores deberían ser poco
importantes, ya que no debería existir ninguna variable explicativa relevante omitida en el modelo
de regresión. En caso contrario estaríamos incurriendo en lo que se conoce como un error de
especificación del modelo. El término de perturbación también recogería los posibles errores de
medida de la variable dependiente, Y.
De lo anterior se desprende que, a la hora de estimar los parámetros del modelo, resultará de vital
importancia que dicho término de error no ejerza ninguna influencia determinante en la
explicación del comportamiento de la variable dependiente. Por ello, si el modelo esta bien
especificado, cuando se aplica el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios, cabe realizar las
siguientes hipótesis de comportamiento sobre el término de error:
1. La esperanza matemática de et es cero, tal que E(ei) = 0. Es decir, el comportamiento del
término de error no presenta un sesgo sistemático en ninguna dirección determinada. Por
ejemplo, si estamos realizando un experimento en el cual tenemos que medir la longitud
de un determinado objeto, a veces al medir dicha longitud cometeremos un error de
medida por exceso y otras por defecto, pero en media los errores estarán compensados.
2. La covarianza entre ei y ej es nula para ji ≠ tal que E(ei·ej) = 0. Ello quiere decir que el
error cometido en un momento determinado, i, no debe estar correlacionado con el error
cometido en otro momento del tiempo, j, o dicho de otro modo, los errores no ejercen
influencia unos sobre otros. En caso de existir este tipo de influencia o correlación, nos
encontraríamos ante el problema de la autocorrelación en los residuos, el cual impide
realizar una estimación por Mínimos Cuadrados válida.
3. La matriz de varianzas y covarianzas del término de error debe ser escalar tal que Var(ei)
= σ2I, i=1,…,n, donde I es la matriz unidad. Dado que siempre que medimos una
variable, se produce un cierto error, resulta deseable que los errores que cometamos en
momentos diferentes del tiempo sean similares en cuantía. Esta condición es lo que se
conoce como supuesto de homocedasticidad que, en caso de no verificarse, impediría un
uso correcto de la estimación lineal por Mínimos Cuadrados.
Estas hipótesis implican que los errores siguen una distribución Normal de media cero y varianza
constante por lo que, dado su carácter aleatorio, hace que los errores sean por naturaleza
impredecibles.
Asimismo, las variables incluidas en el modelo deben verificar que:
1. El comportamiento de la variable independiente Y se ajusta al modelo lineal durante todo
el periodo muestral, es decir, no se produce un cambio importante en la estructura de
comportamiento de Y a lo largo de la muestra considerada.
2. Las variables explicativas, Xi, son no estocásticas, es decir, son consideradas fijas en
muestreos repetidos.
3. El número de variables explicativas, k, siempre debe ser menor que el tamaño muestral,
n. Es decir, siempre debemos disponer de más observaciones que parámetros haya en el
modelo (coeficientes β).
Partiendo de la relación lineal más sencilla:
iii eXY ++= 110 ββ
Si suponemos que se verifican los supuestos anteriores, la estimación mínimo cuadrática de los
parámetros β0 y β1, dará como resultado gráfico una recta que se ajuste lo máximo posible a la
nube de puntos definida por todos los pares de valores muestrales (Xi,Yi), tal y como se puede
apreciar en el Figura 2.1.
Fig. 2.1. Nube de puntos o gráfico de dispersión con variables relacionadas linealmente
El término de error, ei, puede ser entendido, a la vista del gráfico anterior, como la distancia que
existe entre el valor observado, Yi, y el correspondiente valor estimado, que sería la imagen de
Xi en el eje de ordenadas. El objetivo de la estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios es,
precisamente, minimizar el sumatorio de todas esas distancias al cuadrado; es decir1:
∑ ∑∑= ==
−−=−=n
i
n
iiii
n
iii XYYYeMin
1 1
210
2
1
2 )ˆˆ()ˆ( ββ
Derivando esta expresión respecto a los coeficientes 0β y 1β e igualando a cero obtenemos el
sistema de ecuaciones normales:
XYXnY o
n
ii
n
ii 1
110
1
ˆˆˆˆ ββββ +=⇒+= ∑∑==
∑∑∑===
+=n
ii
n
ii
n
iii XXXY
1
21
10
1
ˆˆ ββ
1
Los parámetros y variables que llevan encima un símbolo de acento circunflejo (^) indican que son estimadas por lo que no se corresponden con el valor real del parámetro sino con el calculado por nosotros.
donde n representa el tamaño muestral y X e Y representan las medias de dichas variables.
Resolviendo dicho sistema de ecuaciones obtenemos la solución para los parámetros a y b:
( )( )
( )XY
XX
YYXX
o
n
ii
n
iii
1
1
2
11
ˆˆ
ˆ
ββ
β
−=
−
−−=
∑
∑
=
=
Ejemplo 2.1.
Supongamos que el director de una empresa piensa que la demanda de un producto que él
comercializa depende únicamente del precio de venta al público. Para estudiar la demanda de
este producto pretende estimar el siguiente modelo:
ttt eXY ++= 10 ββ
donde Yt es la cantidad vendida anualmente del bien Y en el año t, y Xt es el precio medio al cual
se vendió el bien Y durante el año t. Se dispone de los siguientes datos muestrales:
Año Yt Xt
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
10
12
13
14
15
17
20
21
22
20
19
18
16
15
15
14
14
13
12
13
A partir de estos datos iniciales podemos calcular la siguiente tabla:
Yt Xt ( )tY Y− )( XX t − ( )·( )t tY Y X X− − 2)( XX t −
2)( YYt −
10 19 -6.4 4.1 -26.24 16.81 40.96
12 18 -4.4 3.1 -13.64 9.61 19.36
13 16 -3.4 1.1 -3.74 1.21 11.56
14 15 -2.4 0.1 -0.24 0.01 5.76
15 15 -1.4 0.1 -0.14 0.01 1.96
17 14 0.6 -0.9 -0.54 0.81 0.36
20 14 3.6 -0.9 -3.24 0.81 12.96
21 13 4.6 -1.9 -8.74 3.61 21.16
22 12 5.6 -2.9 -16.24 8.41 31.36
20 13 3.6 -1.9 -6.84 3.61 12.96
Total 164 149 0 0 -79.6 44.9 158.4
Media 16.4 14.9
Aplicando las formulas vistas anteriormente:
11
2
1
0 1
( )( )79.6ˆ 1.7728
44.9( )
ˆ ˆ 16.4 ( 1.7728·14.9) 42.82
n
t tt
n
ti
X X Y Y
X X
Y X
β
β β
=
=
− −−= = = −
−
= − = − − =
∑
∑
de donde la ecuación de la recta estimada será: ttt eXY +−= 7728.182.42
Finalmente, sustituyendo en la expresión anterior los valores de Xt podemos obtener los valores
de tY y el valor de los términos de error et:
tY ttt YYe ˆ−=
9.13140312 0.86859688
10.9042316 1.09576837
14.4498886 -1.44988864
16.2227171 -2.22271715
16.2227171 -1.22271715
17.9955457 -0.99554566
17.9955457 2.00445434
19.7683742 1.23162584
21.5412027 0.45879733
19.7683742 0.23162584
2.3. REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
Pasamos a continuación a generalizar el modelo anterior al caso de un modelo con varias variables
exógenas, de tal forma que se trata de determinar la relación que existe entre la variable endógena
Y y variables exógenas: X1, X2.…, Xk. Dicho modelo se puede formular matricialmente de la
siguiente manera:
ikikii eXXXeXY ++++=+= ββββ ...· 2211 , i=1,2,…, n
donde:
=
nY
Y
Y
Y...
2
1
es el vector de observaciones de la variable endógena
[ ]k21
21
22221
11211
X ...X X
...
............
...
...
=
=
nknn
k
k
XXX
XXX
XXX
X es la matriz de observaciones de las variables
exógenas
=
Kβ
ββ
β...
2
1
es el vector de coeficientes que pretendemos estimar
=
ne
e
e
e...
2
1
es el vector de términos de error
Si en la expresión anterior se considerara que existe término independiente, β0, la matriz X
quedaría como:
11 1
21 21 3 k
1
1 ...
1 ... X X ... X
... ... ... ...
1 ...
1
k
k
n nk
X X
X XX
X X
= =
Y el modelo quedaría así:
ikikiioi eXXXY +++++= ββββ ...2211 , i=1,2,…, n
Suponiendo que se verifican las hipótesis que veíamos antes, el problema a resolver nuevamente
es la minimización de la suma de los cuadrados de los términos de error tal que:
( ) ( )∑ ∑ ∑= = =
−=−=n
i
n
i
n
iiii XYYYeMin
1 1 1
222 ˆˆ β
Desarrollando dicho cuadrado y derivando respecto a cada βi obtenemos el siguiente sistema de
ecuaciones normales expresado en notación matricial:
ˆ' · 'X X X Yβ =
en donde basta con despejar β premultiplicando ambos miembros por la inversa de la matriz
)'( XX para obtener la estimación de los parámetros del modelo tal que:
YXXX ')'(ˆ 1−=β
donde:
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
n
tki
n
tiki
ti
n
tkii
n
ti
n
tii
n
tkii
n
tii
n
ti
XXXX
XXXXX
XXXXX
XX
1
2
12
n
11ki
12
1
22
112
11
121
1
21
...X
..................
...
...
'
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
tiki
n
tii
n
tii
YX
YX
YX
YX
1
12
11
....
`
Si en el modelo existiera término independiente, β0, las matrices anteriores serían:
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
===
===
==
n
tki
n
tiki
t
n
tkii
n
ti
n
ti
n
tki
n
ti
XXX
XXXX
XXn
XX
1
2
11
n
1ki
11
1
21
11
111
...X
..................
...
...
'
=
∑
∑
∑
=
=
=
n
tiki
n
tii
n
ti
YX
YX
Y
YX
1
11
1
....
`
El resultado de multiplicar dichas matrices conduce a la obtención de la estimación de los
parámetros βi del modelo:
( )
=
==
∑
∑
∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
=
=
=
−
===
===
==
−
k
o
n
iiki
n
iii
n
ii
n
tki
n
tiki
t
n
tkii
n
ti
n
ti
n
tki
n
ti
YX
YX
Y
XXX
XXXX
XXn
YXXX
β
ββ
β
ˆ...
ˆ
ˆ
....
...X
..................
...
...
''ˆ 1
1
11
1
1
1
2
11
n
1ki
11
1
21
11
111
1
Cada uno de los coeficientes estimados, iβ , son una estimación insesgada del verdadero
parámetro del modelo y representa la variación que experimenta la variable dependiente Y cuando
una variable independiente Xi varía en una unidad y todas las demás permanecen constantes
(supuesto ceteris paribus). Dichos coeficientes poseen propiedades estadísticas muy interesantes
ya que. si se verifican los supuestos antes comentados, son insesgados, eficientes y óptimos.
Ejemplo 2.2.
Un investigador estudia el empleo en el sector turístico en España. Para ello dispone de
información relativa al empleo en los hoteles (Y), número de turistas medido en miles (X1), y la
estancia media de los turistas (X2) medida en días. Los datos disponibles son de corte transversal
y pertenecen a cada una de las 17 Comunidades Autónomas.
Provincias Empleo (miles)
Número de viajeros (miles)
Estancia media
Andalucía 28.4 11902.5 3.1 Aragón 3.6 1848.0 2.1 Asturias 2.4 1088.2 2.3 Baleares 25.9 6716.0 7.2 Canarias 27.2 4875.7 7.8 Cantabria 2.0 933.8 2.4 Castilla y León 6.2 3647.6 1.7 Castilla-La Mancha 2.8 1805.1 1.7 Cataluña 23.5 10771.7 3.4 Comunidad Valenciana 13.4 5579.7 3.9 Extremadura 2.2 1000.7 1.7 Galicia 6.3 3040.5 2.1 Madrid 10.7 5748.9 2.1 Murcia 2.0 882.5 3.0 Navarra 1.1 557.7 2.0 País Vasco 3.2 1540.6 1.9 Rioja (La) 0.7 446.2 1.8
El modelo teórico a estimar con la información disponible es el siguiente:
Yi = β0+β1 X1i + β2 X2i + ei
Para proceder a estimar es modelo lo más conveniente es calcular la matriz de productos cruzados:
Y X1 X2
Y 3193 1101921 709 X1 426702792 227645 X2 203
en donde 17
2
1
3193ii
Y=
=∑ , 17
11
1101921i ii
Y X=
=∑ , 17
21
709i ii
Y X=
=∑ , 17
21
1
426702792ii
X=
=∑ ,
17
1 21
227645i ii
X X=
=∑ y 17
22
1
203ii
X=
=∑
Teniendo presente que:
17
1
17
11
17
21
17
161.8
62385.5
50.3
ii
ii
ii
N
Y
X
X
=
=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
del que se conocen los siguientes resultados:
( )17 62386 50
' 62386 426702792 227645
50 227645 203
X X
=
( )162
' 1101921
709
X Y
=
Vamos a estimar el modelo propuesto por Mínimos Cuadrados Ordinarios. Para ello, basta con
multiplicar las matrices tal que:
( ) 1
0.231 0.00001 0.048 162 5.702ˆ ' ' 0.00001 0.00000001 0.000005 1101921 0.006
0.048 0.000005 0.022 709 2.679
X X X Yβ −− − −
= = − − = − −
Por lo que el modelo queda como sigue:
iY = -5.702+0.006 X1i + 2.679 X2i
donde 1 0.006β = indica el efecto de las variaciones unitarias del número medio de turistas sobre
el empleo del sector, y 679.2ˆ2 =β mide la variación que se produciría en empleo si la estancia
media aumentara en una unidad.
2.4. PROPIEDADES ESTADISTICAS DEl ESTIMADOR MÍNIMO
CUADRADO.
El estimador YXXX ')'(ˆ 1−=β puede escribirse como:
eXXXeXXXX ')'()(')'(ˆ 11 −− +=+= βββ
Si se cumplen las hipótesis de comportamiento sobre el término error, la distribución de
probabilidad del estimador MCO β será uno distribución normal multivariante con vector de
mediasβ y matriz de varianzas y covarianzas 12 )'( −XXσ.
La esperanza matemática del estimador MCO se demuestra a partir de:
[ ] ββββ =+=+= −− )(')'(')'()ˆ( 11 eEXXXeXXXEE .
De la definición de matriz de varianzas y covarianzas, se tiene que:
( )( )
−−=
')ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)ˆvar( βββββ EEE
Teniendo presente que
( ) eXXXeXXXE ')'(')'()ˆ(ˆ 11 −− =−+=− ββββ
Entonces
[ ] ( ) 121111 )'()'('')'()'('')'()ˆvar( −−−−− === XXXXXeeEXXXXXXeeXXXE σβ
El estimador jβdel parámetro jβ
es insesgado porque su esperanza matemática coincide con el
verdadero valor del parámetro jjE ββ =)ˆ(.
Se dice que un estimador insesgado jβ es mas eficiente que otro estimador insesgado jβ~
, si la
varianza muestral de jβ
es menor que la varianza muestral de jβ~. El teorema de Gauss-Markov
demuestra que el estimador MCO jβ
es el más eficiente de la clase de estimadores lineales e
insesgados de jβ.
Según el Teorema de Gauss-Markov, cualquier estimador lineal de puede expresarse como:
[ ] [ ]( ) DeeXXXDXeXDXXXYDXXX +++=++=+= −−− ')'(')'(')'( 111 βββ
donde D es una matriz (k×n) arbitraria, que establece la diferencia entre el estimador MCO y el
estimador alternativo.
La esperanza de dicho estimador es:
( ) DXE += ββ~
Si β~ es insesgado, entonces 0=DX . En otras palabras el estimador alternativo sólo será
insesgado si la matriz de distancia es ortogonal a las variables explicativas.
A continuación obtenemos la matriz de covarianzas de este estimador
( )( )[ ]')~
(~
)~
(~
)~
var( βββββ EEE −−=
Teniendo presente que :
( ) [ ]eDXXXDeeXXXDXE +=−+++=− −− ')'(')'()~
(~ 11 ββββ
entonces,
( ) ( )( ) [ ]DDXXXXXDeeEDXXX ')'()'(''')'()~
var( 1211 +=++= −−− σβ
y como DD' es una matriz semidefinida positiva, se demuestra que la )ˆvar()~
var( ββ > con
independencia de la normalidad o no de las distribución β~
.
2.5. COEFICIENTES DE DETERMINACIÓN Y CORRELACIÓN
PARCIAL
2.5.1. Coeficiente de determinación
Una vez estimada la ecuación de regresión lineal tiene interés determinar la exactitud del ajuste
realizado. Para ello hay que analizar la variación que experimenta esta variable dependiente y,
dentro de esta variación, se estudia qué parte está siendo explicada por el modelo de regresión y
qué parte es debida a los errores o residuos.
La forma de realizar dicho análisis es a partir de la siguiente expresión:
SCRSCESCT +=
donde:
− SCT: es la Suma de Cuadrados Totales y representa una medida de la variación de la
variable dependiente.
− SCE es la Suma de Cuadrados Explicados por el modelo de regresión.
− SCR es la Suma de Cuadrados de los Errores
Cuando el modelo tiene término independiente, cada una de estas sumas viene dada por:
2 2 2
1
'n
ii
SCT Y Y nY Y nY=
= − = −∑
2 2 2
1
ˆ ˆ ˆ' 'n
ii
SCE X Y nY Y nYβ β=
= − = −∑
2 2 2
1 1 1
ˆ ˆ' ' 'n n n
i i ii i i
SCR e Y Y X Y Y Y SCT SCEβ= = =
= = − = − = −∑ ∑ ∑
A partir de las expresiones anteriores es posible obtener una medida estadística acerca de la
bondad de ajuste del modelo mediante lo que se conoce como coeficiente de determinación (R2).
que se define como:
SCT
SCRR −= 12
, 10 2 ≤≤ R
y en el caso particular de modelo con término independiente. como:
SCT
SCER =2
, 10 2 ≤≤ R
Mediante este coeficiente es posible seleccionar el mejor modelo de entre varios que tengan el
mismo número de variables exógenas. ya que la capacidad explicativa de un modelo es mayor
cuanto más elevado sea el valor que tome este coeficiente. Sin embargo. hay que tener cierto
cuidado a la hora de trabajar con modelos que presenten un R2 muy cercano a 1 pues, aunque
podría parecer que estamos ante el modelo “perfecto”, en realidad podría encubrir ciertos
problemas de índole estadística como la multicolinealidad que veremos en el capítulo 3.
Por otra parte. el valor del coeficiente de determinación aumenta con el número de variables
exógenas del modelo por lo que. si los modelos que se comparan tienen distinto número de
variables exógenas, no puede establecerse comparación entre sus R2. En este caso debe emplearse
el coeficiente de determinación corregido 2R , el cual depura el incremento que experimenta el
coeficiente de determinación cuando el número de variables exógenas es mayor.
La expresión analítica de la versión corregida es:
( )22 11
11
1 Rkn
n
nSCT
knSCRR −
−−−=
−−−=
cuyo valor también oscila entre 0 y 1
Ejemplo 2.3.
En el modelo del empleo en el sector hotelero los errores ei se calculan a partir de:
ei=Yi – 5.702+0.002 X1i + 2.679 X2i
El error correspondiente a cada región es:
ei
Andalucía 2.193 Aragón -0.003 Asturias -0.146 Baleares -1.108 Canarias 2.195 Cantabria -0.508 Castilla y León 0.044 Castilla-La Mancha 0.424 Cataluña -1.325 Comunidad Valenciana -2.406 Extremadura 1.315 Galicia 0.290 Madrid -0.687 Murcia -2.034 Navarra 0.432 País Vasco 0.703 Rioja (La) 0.622
Las expresiones SCT, SCE y SCR son:
654,117' 217
1
22 =−=−= ∑=
YYYnYYSCTi
i
172 2 2
1
ˆ ˆ ˆ' ' 17 1,627ii
SCE X Y nY Y Yβ β=
= − = − =∑
2
1
ˆ' ' ' 1,654 1,627 27n
ii
SCR e Y Y X Y SCT SCEβ=
= = − = − = − =∑
Con ellas calculamos el coeficiente de determinación y el coeficiente de determinación corregido:
984.0654,1
627,12 ==R
982.0117654,1
3172712 =
−−−=R
El coeficiente de determinación y el coeficiente de determinación ajustado está cercano a uno lo
que constituye una prueba de que el ajuste realizado es aceptable. El modelo estaría explicando
el 98% de la variación del grado de ocupación que se da en las Comunidades Autónomas.
2.5.2. Coeficiente de correlación parcial
El coeficiente de correlación parcial entre dos variables del modelo, Xi y Xj (ó Xi e Y) describe la
relación lineal existente entre dos variables sin tener en cuenta los efectos o influencias de una o
más variables adicionales, con el objeto de identificar la existencia de posibles variables
interpuestas, o de detectar correlaciones neutralizadas por el efecto de estas variables.
Así, supongamos el caso de un modelo lineal que incluye dos variables independientes (X1 y X2)
y una variable dependiente (Y). Si deseamos obtener el coeficiente de correlación parcial entre Y
y X1, tomando como dados los efectos de X2 debemos seguir los siguientes pasos:
1. Realizamos una regresión de Y sobre X2 y obtenemos los residuos, que denominaremos
ei.
2. Del mismo modo, para suprimir el efecto de la variable X2 sobre X1, realizamos una
regresión de X1 sobre X2 y obtenemos los residuos de esta regresión, que denominaremos
ui.
3. Calculamos las varianzas residuales, Se2 y Su
2, y la covarianza entre ambos, Seu.
4. El coeficiente de correlación parcial entre Y y X1 es:
12,3 ·eu
e u
Sr
S S=
De forma análoga, podemos obtener mediante sucesivas regresiones los distintos coeficientes de
correlación parcial entre el resto de variables.
2.6. INFERENCIA ACERCA DE LOS ESTIMADORES
Hasta el momento hemos visto como la estimación por MCO permite obtener estimaciones
puntuales de los parámetros del modelo. La inferencia acerca de los mismos permite completar
dicha estimación puntual, mediante la estimación por intervalos y los contrastes de hipótesis. Los
primeros posibilitan la obtención de un intervalo dentro del cual, con un determinado nivel de
confianza, oscilará el verdadero valor de un parámetro, mientras que los segundos nos permitirán
extraer consecuencias del modelo, averiguando si existe o no, evidencia acerca de una serie de
conjeturas que pueden plantearse sobre sus parámetros.
La inferencia estadística consiste en la estimación de los parámetros poblacionales a partir de la
información extraída de una muestra de dicha población. El número de estimaciones que podemos
realizar de una población, a través de la extracción de diferentes muestras de un mismo tamaño, es
generalmente muy grande porque cada una de las muestras posibles que se pueden sacar de la
población arrojaría una estimación.
Por esta razón, a la estimación que obtenemos en una investigación por muestreo la acompañamos
con un intervalo de valores posibles. La amplitud de dicho intervalo dependerá del grado de confianza
que establezcamos.
El grado o nivel de confianza nos expresa el número de veces que la media verdadera de la población
está incluida en cien intervalos de cien muestras extraídas de una población dada. El nivel de
confianza más utilizado es el 95%, lo que quiere decir que 95 de cada 100 intervalos construidos
contendrán el verdadero valor de la media.
El intervalo de confianza para la media de una población normalmente distribuida se construye en
base a la probabilidad de que dicha media esté comprendida entre dos valores. Xa y Xb equidistantes
a ella:
[ ] 1a bXP X Xµ α≤ ≤ = −
siendo 1- α el nivel o grado de confianza asociado a dicho intervalo.
En términos generales, los intervalos de confianza para los estadísticos muestrales se expresan como:
Estimador ± (Factor de Fiabilidad)*(Error Típico del Estimador)
2.6.1. Intervalos De Confianza
Presentamos a continuación cómo se construyen los intervalos de confianza para los distintos
términos que hayamos estimado en el modelo:
a) Intervalo de confianza para el parámetro iβ
Para construir los intervalos de confianza de las estimaciones iβ , se parte de que la estimación
MCO proporciona el valor medio de los posibles valores que pudiera tener dicho parámetro, y
que la distribución de dichos valores sigue una distribución derivada de la Normal que se conoce
como t de Student. Dicha distribución es simétrica presentando mayor dispersión que la curva
Normal estándar para un tamaño muestral n pequeño. A medida que n aumenta (n > 100) es
prácticamente igual que la distribución Normal.
El cálculo del intervalo de confianza para iβ se realiza mediante la siguiente expresión:
ˆ: ( )i i
i n kIC S tβ ββ −±
donde iSβ es la desviación típica estimada para el coeficiente iβ , que se obtiene de la matriz de
varianzas y covarianzas de los estimadores expresada como:
1 1 2 1
2 1 2 2
1 2
2
2 2
ˆ ˆ
2
...
...
... ... ... ...
...
K
K
K K K
β β β β β
β β β β βββ
β β β β β
σ σ σσ σ σ
σ σ σ
Σ =
cuyos estimadores serán:
=
2ˆˆˆˆˆ
2ˆˆ
2ˆˆˆ
ˆˆˆˆ2ˆ
ˆˆ
...
............
...
...
21
2212
1211
KKK
K
K
SSS
SSS
SSS
S
βββββ
βββββ
βββββ
ββ
obtenidos a partir de la expresión ( ) 12ˆˆ ' −= XXSS eββ . donde
2eS es la estimación de la varianza del
término de error.
Destacar por último que tn-k es el valor teórico de la distribución t de Student que aparece tabulada
en el Anexo II, tabla II.2.
Ejemplo 2.4
Utilizando los resultados de la estimación del modelo del empleo en hoteles, tenemos que la
varianza de los errores al cuadrado es:
84.114
272 ==−
=kn
SCRSe .
Entonces, la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores será:
( )
−−−−
−−=
−−
−−== −
042.000001.0091.0
00001.000000001.000001.0
091.000001.0435.0
022.0000005.0048.0
000005.000000001.000001.0
048.000001.0231.0
84.1' 12ˆˆ XXSS eββ
Teniendo presente que el estadístico t-Student tiene un valor en las tablas de t17-3=2.145 para
α=0.025 para cada cola (el 95% de probabilidad) podemos afirmar que el valor de los parámetros
de la ecuación estarán entre:
)936.5702.5()145.2435.0702.5(: ±−=⋅±−o
ICβ
)0002.0002.0()145.200000001.0002.0(:1
±=⋅±βIC
)440.0679.2()145,2042.0679.2(: ±=⋅±o
ICβ
Los intervalos de confianza calculados nos dicen que lo más probable es que, por ejemplo, el
parámetro βo este entre los valores –4.287 y –7.117.
b) Intervalo de confianza para la varianza del término de error
La expresión del intervalo de confianza para la varianza del término de error es:
≡
−−
−−2
22
21
221
2
;)(
;)(
:2222 αααα χχχχσ
SCRSCRknSknSIC ee
e
donde α representa el nivel de significación del contraste y generalmente se utiliza un 5% de
significación, que corresponde a un intervalo de confianza del 95 %.
En este caso se asume que la Suma de Cuadrados de los Errores se distribuyen según una
distribución también derivada de la Normal que se conoce como 2χ de Pearson. La distribución
χ2 de Pearson es asimétrica. Su propiedad fundamental es que si sumamos dos χ2 independientes
de grados de libertad n1 y n2 , se obtiene una nueva variable χ2 con grados de libertad igual a la
suma de n1 y n2 . Los grados de libertad que hay que considerar en el cálculo de los intervalos
de confianza del término error son de n-k.
En el Anexo II, tabla II.3. también figuran los valores teóricos de la distribución 2χ de Pearson.
Ejemplo 2.5.
Utilizando los datos del modelo del grado de ocupación hotelera. calculamos el intervalo de
confianza para el error con un nivel de significación de α=0.05 y 14 grados de libertad, calculamos
el intervalo para el término de error:
)78,4;04,1(628,5
27;
119,26
27;
2025.0 975.0
22=
=
≡
χχσSCRSCR
IC
e
Es decir, se puede afirma con un 95% de probabilidad que el verdadero valor de la varianza estará
entre 1,04 y 4,78.
2.6.2. Contrastes de Hipótesis
Una buena parte de las investigaciones estadísticas están orientadas al desarrollo de procesos
encaminados a la contrastación de hipótesis que previamente se han establecido.
Una hipótesis es una afirmación que está sujeta a verificación o comprobación. Hay que tener
presente que una hipótesis no es un hecho establecido o firme, las hipótesis están basadas en la
experiencia, en la observación, en la experimentación o en la intuición del sujeto que las formula.
Cuando las hipótesis se plantean de tal modo que se pueden comprobar por medio de métodos
estadísticos reciben el nombre de hipótesis estadísticas. Estas hipótesis son afirmaciones que se
efectúan sobre uno o más parámetros de una o más poblaciones. Las hipótesis estadísticas son de dos
tipos: hipótesis nula e hipótesis alternativa. La hipótesis nula, o que no se verifique dicha afirmación,
simbolizada por H0, es la hipótesis que se debe comprobar.
Para contrastar una hipótesis nula examinamos los datos de la muestra tomados de la población y
determinamos si son o no compatibles con dicha hipótesis. Si son compatibles entonces H0 se acepta,
en caso contrario se rechaza. Si se acepta la hipótesis nula afirmamos que los datos de esa muestra
en concreto no dan suficiente evidencia para que concluyamos que la hipótesis nula sea falsa; si se
rechaza decimos que los datos particulares de la muestra ponen de manifiesto que la hipótesis nula
es falsa, entonces la hipótesis alternativa. H1, es verdadera.
El criterio que permite decidir si rechazamos o no la hipótesis nula es siempre el mismo. Definimos
un estadístico de prueba, y unos límites que dividen el espacio muestral en una región en donde se
rechaza la hipótesis establecida, y otra región en la que no se rechaza, llamada región de aceptación.
A la región donde se rechaza la hipótesis nula se le llama región crítica. Esta región es un subconjunto
del espacio muestral, y si el valor del estadístico de prueba pertenece a él se rechaza la hipótesis nula.
El límite entre la región crítica y la región de aceptación viene determinado por la información previa
relativa a la distribución del estadístico de prueba.
Señalar que un estadístico de prueba es una fórmula que nos dice como confrontar la hipótesis nula
con la información de la muestra y es, por tanto, una variable aleatoria cuyo valor cambia de muestra
a muestra.
Otra de las consideraciones a realizar en la contrastación de hipótesis es fijar la probabilidad del error
de rechazar la prueba siendo cierta, a este error se le denomina nivel de significación. Por ejemplo, si
se utiliza un nivel de significación de 0.05, equivale a decir que si para realizar un contraste
tomáramos infinitas muestras de la población, rechazaríamos la hipótesis nula de forma incorrecta
un 5 % de las veces.
En la formalización del procedimiento de contrastación podemos distinguir siete pasos principales:
1.- Planteamiento de las hipótesis.
2.- Selección del nivel de significación.
3.- Descripción de la población y tamaño de la muestra.
4.- Selección del estadístico de prueba y su distribución.
5.- Especificación de las regiones de aceptación y de rechazo.
6.- Recolección de datos y cálculo del estadístico.
7.- Decisión estadística.
Los contrastes de hipótesis que normalmente se realizan en la estimación MCO son los siguientes:
a) Contraste individual sobre un parámetro
Formulación de la hipótesis: *
0 : jjH ββ =
*1 : jjH ββ ≠
Estadístico experimental: j
St jj
β
ββ
ˆ
*
exp
ˆ −=
Estadístico teórico: )2/(αkntco tt −=
Regla de decisión: Si tcott >exp se rechaza la hipótesis H0
b) Contraste de significación individual
Formulación de la hipótesis: 0:0 =jH β
0:1 ≠jH β
Estadístico experimental: j
St j
β
β
ˆexp
ˆ=
Estadístico teórico: )2/(αkntco tt −=
Regla de decisión: Si tcott >exp se rechaza la hipótesis H0
c) Contraste de significación global
Formulación de la hipótesis: 0...: 210 ==== kH βββ
Estadístico experimental: ( )kn
Rk
R
knSCR
kSCE
F
−−
−=−
−=2
2
exp1
11
Estadístico teórico: ( )α, ,1 knkFFtco −−=
Regla de decisión: Si tcoFF >exp se rechaza la hipótesis H0
Ejemplo 2.6.
Utilizando los resultados del modelo del grado de ocupación hotelera vamos a plantear la hipótesis
de que el parámetro β2 sea cero, y en consecuencia que el efecto de la estancia media de cada
turista sobre el grado de ocupación hotelera no sea significativo.
1º.- Planteamiento de la hipótesis
Se contrasta la hipótesis de que 0: 20 =βH , frente a la alternativa de que dicho valor sea
diferente de cero 1 2: 0H β ≠ .
2º.- Nivel de significación o error de tipo I.
Sea α=0.05.
3º.- Descripción de la población y tamaño de la muestra.
La población son las Comunidades Autónomas españolas, lo que significa que n=17.
4º.- El estadístico pertinente.
El estadístico a calcular es:
jS
t j
β
β
ˆexp
ˆ=
5º.- Regiones de aceptación y de rechazo.
El valor crítico es 2.145, que es el valor correspondiente de la distribución t de Student
con 17-3=14 grados de libertad que deja el 2.5 % de la distribución en cada cola. De modo
que la región de rechazo de la hipótesis nula es la de todos los valores absolutos de t
superiores a 2.145.
6º.- Recolección de datos y cálculo del estadístico.
057.13205.0
679.2exp ==t
7º.- Decisión estadística.
Dado que 13.057 es mayor que 2.145 rechazamos la hipótesis nula y, por tanto, concluimos que
con un 95% de probabilidad se acepta la hipótesis alternativa 0: 21 ≠βH
2.7. TABLA DE ANALIS DE LA VARIANZA (ANOVA)
La hipótesis de no significación global 0...: 210 ==== kH βββ se rechaza al nivel de
significación α construyendo el estadístico experimental:
knSCR
kSCE
F
−
−= 1exp
y la regla de decisión que rechaza la hipótesis 0H ocurre cuando )..,1(exp αknkFF −−>
El contraste en la práctica se realiza elaborando una tabla ANOVA, que requiere:
1. estimar el modelo de regresión con todas las variables de interés
ikikiioi eXXXY +++++= ββββ ...2211 , i=1,2,…, n
que nos proporciona la suma de cuadrados de los residuos SCRee =ˆ'ˆ ;
2. estimar elmodelo de regresión bajo 0...: 210 ==== kH βββ
rioi uY += β , i = 1, . . . ,n,
que nos proporciona la suma de cuadrados de los residuos, SCTYYuu
n
i irr ∑ ==−=
1)(ˆ'ˆ
;
El contraste de significación global se resume en el cuadro siguiente, en donde la variación total
de la variable dependiente (SCT) se descompone en la explicada por la regresión (SCE) y en la
no explicada (SCR). Los grados de libertad de estas tres sumas de cuadrados son 1−n , 1−k y
kn − , respectivamente.
A partir de esta información muestral, podemos calcular el numerador y denominador del
estadístico F.
Fuente de
variación
Suma de cuadrados Grados de
libertad
Cuadrado
medio
Estadístico F
Regresión SCE=∑ =−n
i i YY1
2)ˆ( k-1 1−k
SCE
knSCR
kSCE
−
−1
Residual SCR=∑ =
−n
i ii YY1
2)ˆ(
n-k kn
SCR−
Total SCT=∑ =
−n
i i YY1
2)(
n-1
Ejemplo 2.7.
Utilizando los resultados del modelo de grados de ocupación hotelera vamos a realizar el contraste
de significación global construyendo la tabla ANOVA:
Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado medio Estadístico F
Regresión 1,627 2 813.5 421.81
Residual 27 14 1.93
Total 1,654 16
Dado que 74,3)05,0,14,2(exp ===> αFFF tco , la regla de decisión se rechaza la hipótesis
H0 .
2.8. PREDICCIÓN EN EL MODELO DE REGRESIÓN
Una vez estimado y validado el modelo, una de sus aplicaciones más importantes consiste en
poder realizar predicciones acerca del valor que tomaría la variable endógena en el futuro o para
una unidad extramuestral. Esta predicción se puede realizar tanto para un valor individual como
para un valor medio, o esperado, de la variable endógena, siendo posible efectuar una predicción
puntual o por intervalos. Su cálculo se realiza mediante las expresiones que figuran a
continuación:
α) Predicción individual: se trata de hallar el valor estimado para la variable Y un periodo
hacia delante. En este caso basta con sustituir el valor de las variables exógenas en el
modelo en el siguiente periodo y calcular el nuevo valor de Y.
β) Intervalo de predicción. Para hallar un intervalo de predicción debe utilizarse la siguiente
expresión:
( ) ( )
+++− +
−+−++
−+−+ 1
1'111
1'11 '1Y ; '1ˆ: tteknttteknt XXXXStXXXXStYIC
χ) Intervalos de predicción para un valor medio o esperado, jY, La expresión a utilizar en
este caso será:
( ) ( ) ( )
+− −
−−
− jjeknjjjeknjYE XXXXStXXXXStYICj
1'1' 'Y; 'ˆ:
Ejemplo 2.8
Utilizando los datos del modelo de estimación del empleo en hoteles, vamos a realizar una
predicción del grado de empleo que tendría Cataluña, si mediante una adecuada promoción se
elevara el número de días de estancia por turista de 3.4 días a 5 días de media por turista.
La predicción individual de Cataluña sería:
jY= -5.702+0.002⋅10771.7+ 2.679 ⋅5 = 29.1
Para calcular el intervalo de la predicción tenemos que calcular la expresión ( ) jj XXXX 1' ' −
( ) ( ) 319.0
5
722.10
1
022.0000005.0048.0
000005.000000001.000001.0
048.000001.0231.0
5722.101' 1' =
−−
−−=−
jj XXXX
Si deseamos un intervalo de confianza para la predicción del 95%, tenemos que utilizar un valor
t17-3=2.145
( ) ( ): 29.1 2.145 1.37 0.319; 29.1 2.145 1.37 0.31927.4; 30.8jE Y
IC − ⋅ + ⋅ =
2.9. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CO N
EXCEL
A continuación. vamos a estimar los parámetros de un determinado modelo por Mínimos
Cuadrados Ordinarios utilizando Microsoft Excel, programa que simplifica notablemente los
cálculos a realizar cuando disponemos de muchas observaciones y/o variables exógenas.
Supongamos que la cantidad demandada de manzanas viene determinada en función de su precio
y queremos cuantificar dicha relación. Partimos de la siguiente tabla de datos:
Cantidad (Kg.)
Precio (u.m. / Kg.)
2.456 82 2.325 92 2.250 94 2.200 99 2.100 106 2.082 108 2.045 112 2.024 115
Si realizamos un diagrama de dispersión mediante la opción Gráfico dentro del menú Insertar de
Excel obtendremos la Figura 2.2, en el que puede comprobarse la relación que aparentemente
existe entre cantidades demandadas de manzanas y su precio.
Curva de Demanda
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
2.000 2.100 2.200 2.300 2.400 2.500
Fig. 2.2. Relación entre la demanda de manzanas y su precio
Pasamos a continuación a estimar la recta de regresión por Mínimos Cuadrados Ordinarios. Para
ello, el lector debe verificar que tiene instalada la opción Herramientas para el Análisis dentro la
opción Complementos del menú Herramientas, tal y como puede observarse en la siguiente figura
2.3:
Fig. 2.3.
En caso de no tener dicha opción instalada en nuestro ordenador, deberemos marcar las casillas
que se ven en la figura 2.3, insertando seguidamente el CD-Rom de Microsoft Office para
proceder a su instalación. Una vez instaladas estas opciones, dispondremos de una nueva opción
en el menú Herramientas llamada Análisis de Datos. Si pinchamos en ella, nos aparecerá una
ventana similar a la de la figura 2.4, en la que seleccionaremos la opción Regresión:
Fig. 2.4.
Al seleccionar dicha opción nos aparecerá un cuadro de diálogo como el siguiente:
Fig. 2.5
En este cuadro de diálogo podemos seleccionar el rango de nuestra hoja de cálculo que contiene
los datos referidos a la variable endógena (Rango Y de entrada) y a las variables exógenas (Rango
X). Asimismo, se incluyen otras opciones sumamente útiles tales como eliminar el término
independiente del modelo (Constante igual a cero), determinar el nivel de confianza al cual se
realizarán los tests de significación de los parámetros, la posibilidad de obtener una tabla con los
términos de error del modelo (Residuos) y su gráfico (Grafico de Residuales), etc.
Una vez introducidos los rangos de las variables y seleccionado las opciones que deseemos (no
debemos olvidar indicar en qué Hoja, Rango o Libro deseamos aparezcan los resultados),
pulsamos en Aceptar y nos aparecerá una ventana similar a ésta (Fig. 2.6.):
Fig. 2.6.
La estimación de los parámetros del modelo aparecen en la columna Coeficientes, junto con su
Desviación Típica o Error Típico y el estadístico t de significatividad individual (obsérvese que
al término independiente del modelo, Excel lo denomina Intercepción). A la vista de los
resultados, el modelo estimado tiene la siguiente forma:
Cantidad = 3,534.27 – 13.36· Precio
(48.1) (-18.46)
donde entre paréntesis se muestra el estadístico t experimental asociado a cada parámetro. siendo
ambas claramente superiores a 2.365 (valor en tablas de una t de Student con n – k = 7 grados de
libertad al 95% de confianza.
Para el análisis de la bondad de ajuste del modelo, Excel ofrece los siguientes resultados:
a) Por un lado, si marcamos la casilla Curva de Regresión Ajustada obtenemos un gráfico
con los valores originales y estimados de la variable endógena. lo que nos permitirá
realizar un primer acercamiento visual al grado de ajuste de la recta (véase figura 2.7)
Fig. 2.7. Recta de regresión entre la demanda de manzanas y su precio
b) Por otro lado, Excel muestra en la parte superior de los resultados el valor del coeficiente
de determinación que, en nuestro caso, es del 98% lo que nos indica un grado de ajuste
muy bueno.
1900,0
2000,0
2100,0
2200,0
2300,0
2400,0
2500,0
80 85 90 95 100 105 110 115 120
Can
tidad
Precio
Curva de regresión ajustada
Cantidad
Pronóstico Cantidad
Para evaluar la significatividad estadística de los parámetros estimados, además de los estadísticos
t asociados a cada parámetro estimado y los respectivos intervalos de confianza para cada uno de
ellos. Excel nos muestra también el estadístico F que aparece en la tabla Análisis de Varianza,
mediante el que se realiza un contraste de significación global de los parámetros estimados. En
los resultados obtenidos. el estadístico F tomo un valor 340.8 asociado a un p-value de 0.0000016,
valor que es claramente inferior a 0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula, lo que nos permite
afirmar que todos los parámetros del modelo son globalmente significativos, es decir, todos son
significativamente distintos de cero. En este punto, cabe señalar que si estimamos un modelo con
varias variables exógenas y nos encontramos con que alguno de los parámetros del modelo es
estadísticamente igual a cero, deberíamos eliminar dicha variable del modelo al no haberse
encontrado una relación de causalidad con la variable endógena.
Respecto al análisis de los errores o residuos del modelo, Excel ofrece el Cuadro de Valores
Ajustados (Pronóstico Cantidad), los Residuos del modelo y los Residuos Estándares (es decir,
tipificados). Según la teoría que hemos estudiado hasta ahora, los residuos estándares deben seguir
una distribución Normal de media 0 y desviación estándar 1; por tanto, aquellos residuos cuyo
valor absoluto supere 1.96 se corresponderán con valores atípicos, también denominados outliers
en la literatura estadística. En nuestro ejemplo, afortunadamente, no se observa ningún outlier
como puede apreciarse en la siguiente tabla de Análisis de Residuos:
Análisis de los residuos
Observación Pronóstico Cantidad Residuos Residuos estándares
1 2439,03 16,97 0,79 2 2305,46 19,54 0,91 3 2278,75 -28,75 -1,33 4 2211,96 -11,96 -0,56 5 2118,47 -18,47 -0,86 6 2091,75 -9,75 -0,45 7 2038,33 6,67 0,31 8 1998,26 25,74 1,20
El gráfico de los residuos (figura 2.8) también constituye una herramienta de análisis importante,
ya que nos permite evaluar la aleatoriedad de los mismos. En el ejemplo, se observa una ligera
falta de aleatoriedad, derivada de que los cuatro últimos residuos presentan una marcada racha
creciente.
Fig. 2.8. Gráfico de residuos del modelo de demanda de manzanas frente al precio
Si se prefiere estimar una ecuación por MCO utilizando funciones en Excel, hay que tener
presente que la notación utilizada por este paquete para la regresión lineal es la siguiente:
y = mx + b
O, si existen varios rangos de valores de X:
y = m1x1 + m2x2 + ... + b
donde mi son los coeficientes que corresponden a cada variable y b es una constante.
La función que permite realizar estimaciones por MCO tiene la siguiente sintaxis:
=ESTIMACION.LINEAL(conocido_y,conocido_x,constante,estadística)
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
80 85 90 95 100 105 110 115 120
Res
iduo
s
Precio
Gráfico de los residuales
La función admite los siguientes argumentos:
Conocido_y Valores de la variable independiente.
Conocido_x Valores de la variable dependiente.
Constante Si se va a estimar un modelo con constante b se omite o se pone VERDADERO;
si se desea estimar un modelo sin constante (b=0) se debe escribir 0 ó FALSO.
Estadística Si se omite o se pone FALSO, EXCEL no muestra las estadísticas de regresión;
si se pone VERDADERO, Excel muestra las estadísticas de la regresión.
Una vez se completa el asistente de funciones, obtendremos los resultados de la regresión en
forma de matriz de valores; para mostrar todos los valores de la regresión, debe seleccionarse el
rango de salida y presionar simultáneamente Ctrl + Shift + Enter.
El siguiente esquema muestra el orden en que se devuelven los parámetros y las estadísticas de regresión adicionales:
El significado de cada celda se presenta en el siguiente cuadro:
Estadística Descripción
se(m1),se(m2),...,se(mn) Desviación típica para los coeficientes m1,m2,...,mn.
se(b) Desviación típica para la constante b (se(b) = #N/A cuando constante es FALSO).
R2 Coeficiente de determinación.
se(y) Desviación típica de la estimación de y
F Estadístico F de la regresión
dF Grados de libertad del estadístico F
ss(reg) La suma de regresión de los cuadrados.
ss(res) La suma residual de los cuadrados.
Asimismo, conviene recordar que Excel también incluye otras funciones relacionadas con la
estimación por MCO:
=TENDENCIA(conocido_y;conocido_x;nueva_matriz_x;constante)
=PRONOSTICO(x;conocido_y;conocido_x)
=ESTIMACION.LOGARITMICA(conocido_y;conocido_x;const ante; estadística)
=COEFICIENTE.R2(conocido_y;conocido_x)
2.10. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE REGRESIÓN LINEAL C ON
R
R es un entorno especialmente diseñado para el tratamiento de datos, cálculo y desarrollo gráfico.
Permite trabajar con facilidad con vectores y matrices y ofrece diversas herramientas para el
análisis de datos.
R es una implementación open-sourcedel lenguaje S (Bell Labs -principios de los 90), que
también es la base del sistema S-Plus (entorno comercial). R y S-Plus aún comparten una gran
mayoría de código e instrucciones, si bien R es software libre, gratuito en donde los usuarios
disponen de libertad para ejecutar, copiar, distribuir, estudiar, cambiar y mejorar el software. De
hecho R dispone de una comunidad de desarrolladores/usuarios detrás que se dedican
constantemente a la mejora y a la ampliación de las funcionalidades y capacidades del programa.
En la web http://www.r-project.org/ se encuentra disponible toda la información acerca de R. La
instalación de R se realiza a través de la CRAN (ComprehensiveR Archive Network):
http://cran.r-project.org
Actualmente R se distribuye para los siguientes Sistemas Operativos:
•Windows: entorno gráfico.
•Linux (Debian/Mandrake/SuSe/RedHat/VineLinux)
•MacOSX
•Código fuente: ampliación a sistemas Unix
Las funciones de R se agrupan en paquetes (packages, libraries), los que contienen las funciones
más habituales se incluyen por defecto en la distribución de R, y el resto se encuentran disponibles
en la Comprehensive R Archive Network (CRAN) .
Las entidades que R crea y manipula se llaman objetos. Dichos objetos pueden ser
:•Escalares: números, caracteres, lógicos (booleanos), factores
•Vectores/matrices/listas de escalares
•Funciones
•Objetos ad-hoc
Dichos objetos se guardan en un workspace. Durante una sesión de R todos los objetos estarán en
memoria, y se pueden guardar en disco para próximas sesiones.
R trabaja sobre estructuras de datos. La estructura más simple es un vector numérico, que consiste
en un conjunto ordenado de números.
Un vector de reales se crea mediante la función c y se guarda con el nombre “Cantidad”.
> Cantidad <- c(2.456,2.325,2.250,2.200,2.100,2.082,2.045,2.024)
Se crea ahora el vector de nombre “Precio”.
> Precio <- c(82,92,94,99,106,108,112,115)
Para obtener los estadísticos básicos del vector (Cantidad): media, desviación estandar, varianza
y mediana, se utilizan las siguientes funciones R:
> mean(Cantidad)
> sd(Cantidad)
> var(Cantidad)
> median(Cantidad)
Si se quiere tener un resumen sumario de estadístico de una variable:
> summary(Cantidad)
En R los valores "desconocidos" o "no disponibles" (missings) se simbolizan con el valor especial
NA (NotAvailable). Cualquier operación que incluya un NA en general devolverá NA como
resultado.La función is.na nos permite saber si un elemento es missingo no.
Otros tipos de objectosen R.
•Arrays y matrices (matrix): generación multidimensional de los vectores. Todos los elementos
de la matriz han de ser del mismo tipo.
•Factores (factor): útiles para el uso de datos categóricos.
•Listas (list): generalización de los vectores donde los elementos pueden ser de diferentes tipos
(incluso vectores o nuevas listas).
•Data frames: matrices donde las diferentes columnas pueden tener valores de diferentes tipos.
•Funciones (function): conjunto de código de R ejecutable y parametrizable.
Una tabla debe estar en un objecto tipo matriz. Ejemplo:
Tabla<-matrix(c(652,1537,598,242,36,46,38,21,218,327,106,67),nrow=3,byrow=T)
La función read.table permite leer datos desde ficheros en formato ASCII. Devuelve como
resultado un data.frame, por tanto, se supone que cada línea contiene los datos para un individuo.
El fichero EXCEL personas.xls tiene el siguiente aspecto:
Guardamos el fichero EXCEL como un fichero ASCII delimitado por tabulaciones
> manzanas <- read.table(file="manzanas.txt",header=T)
Tecleamos
> manzanas
La función de R que nos permite estimar un modelo de regresión lineal es la función lm. La forma
de invocar a la función para estimar un modelo de regresión lineal simple es lm(y~x).
Para consultar la ayuda de la función para ver todas las posibilidades que ofrece:
En nuestro ejemplo, obtenemos:
> lm(Cantidad~Precio)
Call: lm(formula = Cantidad ~ Precio) Coefficients: (Intercept) Precio 3.53427 -0.01336
En lugar de invocar simplemente la función podemos guardar su resultado en una variable y
veremos así que obtenemos más información.
> reg = lm(Cantidad~Precio)
Si queremos obtener el vector de residuos bastará solicitar:
> reg$residuals
Para realizar el análisis del modelo estimado utilizaremos la función summary. Así:
> summary(reg)
2.11. PROBLEMAS
2.1. Partiendo de las siguientes observaciones de dos variables:
Y 60 62 61 55 53 60 63 53 52 48 49 53 X 23 23 25 25 26 26 29 30 30 32 33 31
α) Estime por MCO la función de regresión Y=β0+β1X
β) ¿Satisfacen los términos de error la condición E(u)=0?
χ) Contrastar la hipótesis de β1=0 con un nivel de confianza del 95%.
2.2. Los datos de una muestra aleatoria de 22 familias dan la siguiente estimación de la función
de consumo:
tt YC 90,0120ˆ +=
(0,05)
donde Ct es el consumo e Yt es la renta en Euros, siendo 05,01ˆ =βS
a) Contrastar la hipótesis de que la propensión marginal a consumir es igual a 0.83. Utilizar
un nivel de confianza del 95%.
b) Calcular un intervalo de confianza al 90% para el coeficiente de regresión β1.
2.3. Utilizando los siguientes datos:
W 2 4 6 5 4 1 7
Z 8 28 60 52 32 7 75
α) Estimar los parámetros a y b de la siguiente relación bZ aW=
β) Realizar una predicción si W=3
χ) Establecer un intervalo de confianza para dicha predicción con un nivel de
significación del 5%.
2.4. Utilizando los siguientes datos:
Y 62 52 68 72 78 58 58 74
X1 51 44 52 57 62 48 53 61
X2 7 6 8 8 12 7 9 11
α) Obtener una estimación MCO para 21 XXY γβα ++=
β) Calcular los coeficientes R2 y R2 ajustado.
χ) Con un nivel de confianza del 95% contrastar que el coeficiente β es significativamente
distinto de cero.
δ) Con un nivel de confianza del 90% contrastar que el coeficiente β es significativamente
distinto de γ.
2.5 Suponga el siguiente modelo de regresión:
1 1 2 2t t tY X Xβ β= +
Siendo 5T = , 2ˆ 0.25σ = ,( ) 5 0'
0 1X X
=
y ( ) 5'
2X Y
=
. Se pide:
a) Obtener una estimación MCO para 1 1 2 2t t tY X Xβ β= +
b) Un intervalo de prediccioón para el nivel de confianza del 95%, para 1tY+
),
sabiendo que 1 1tX = y 2 10tX = .
SOLUCIONES
2.1 a) XY 1.129.86 +=
b) Si 27.0=u y 01.1=uσ
c) 0:0 =βH ; grados de libertad 12-2; 228.2=tcot ; 71.9exp =t ; se rechaza.
2.2 a) Se acepta la hipótesis nula
b) 1(0.612,1.286)ICβ =
2.3 a) 339.1086.5 WZ =
b) 14.22=Z
c) ( ) (7.556,64.901)jE ZIC =
2.4 a) 21 57.186.175.20 XXY −+−=
b) 893.02 =R , 850.02 =R
c) Se rechaza la hipótesis nula.
d) Se rechaza la hipótesis nula.
2.5 a) 1 22tt tY X X= +
b) 1( ) (4.99,37.01)tE YIC+
=
3. EXTENSIONES AL MODELO DE REGRESIÓN
LINEAL
3.1. INTRODUCCIÓN
Como veíamos en el capitulo anterior, el modelo de regresión lineal requiere que se cumplan las
siguientes hipótesis sobre los términos de error:
Media cero : E(ei) = 0 i=1,…,n
Varianza constante : Var(ei) = σ2I i=1,…,n
Residuos incorrelacionados : Cov(ei,ej) = 0
El incumplimiento de alguna de dichas hipótesis, implica la no aleatoriedad de los residuos y, por
tanto, la existencia de alguna estructura o relación de dependencia en los residuos que puede ser
estimada, debiendo ser considerada en la especificación inicial del modelo. Los principales
problemas asociados al incumplimiento de las hipótesis de normalidad de los residuos son, por
un lado, la heteroscedasticidad, cuando la varianza de los mismos no es constante, y la
autocorrelación o existencia de relación de dependencia o correlación entre los diferentes
residuos, lo que violaría el supuesto de términos de error incorrelacionados.
Si se construye una gráfica de los resultados de una estimación mínimo cuadrática (en ordenadas)
frente al valor absoluto de los residuos (en abscisas), cuando éstos últimos presentan una
distribución aleatoria, es decir una distribución Normal de media cero y varianza constante, N (0,
σ2), el resultado obtenido (véase Fig. 3.1.) muestra que el tamaño del error es independiente del
tamaño de la variable estimada, ya que errores con valor elevado se corresponden con valores
bajos y altos de la variable dependiente estimada; sin embargo, una distribución de residuos con
problemas de heteroscedasticidad da lugar a una figura como la que puede observarse en la figura
3.2., en donde se manifiesta una clara relación de dependencia entre la variable estimada y el
tamaño del error. En este caso los errores de mayor tamaño se corresponden con los valores más
altos de la variable estimada.
Fig. 3.1. Residuos Homocedásticos
Fig. 3.2. Residuos Heteroscedásticos
La representación gráfica de los errores en forma de serie temporal, es decir, poniendo en el eje
de ordenadas los errores y en abscisas el periodo temporal en que están datados, permite apreciar
la ausencia o presencia de correlación ya que a los residuos no correlacionados (figura 3.3.) les
corresponde una representación gráfica en la que no se aprecia pauta temporal alguna,
sucediéndose de forma impredecible o aleatoria, mientras que en los residuos con problemas de
autocorrelación la pauta temporal es evidente, evidenciándose que cada residuo podría ser
previsto en función de la sucesión de los errores correspondientes a periodos temporales pasados
(figura 3.4.)
Fig. 3.3. Residuos sin Autocorrelación
Fig. 3.4. Residuos con Autocorrelación
Estos problemas asociados a los errores pueden detectarse con tests estadísticos diseñados para
ello. A continuación se describen dichos tests y la forma en que debe procederse para estimar
modelos en donde la estimación mínimo-cuadrática presenta problemas de este tipo asociados a
los residuos.
3.2. HETEROSCEDASTICIDAD
Decimos que el término de error de una estimación mínimo-cuadrática presenta
heteroscedasticidad cuando la varianza del mismo es diferente para las distintas observaciones
que integran la muestra, lo que implica que la variabilidad de los errores mínimo-cuadráticos
obtenidos están relacionados de alguna manera con los datos utilizados en el modelo, ya sea por
estar relacionados con la escala temporal de los datos recogidos o por presentar alguna relación
de dependencia con alguna de las variables exógenas utilizadas. Las consecuencias para la
estimación mínimo-cuadrática son que los estimadores de los coeficientes seguirán siendo
insesgados y lineales pero ya no serán de mínima varianza o eficientes. Estos problemas se
resuelven utilizando una técnica de estimación lineal que recibe el nombre de Mínimos
Cuadrados Generalizados (MCG), método que se estudia más adelante.
La detección de la heteroscedasticidad se realiza a través de diversos contrastes paramétricos,
entre los que cabe destacar el contraste de Bartlett (Mood, 1950), el constraste de Goldfeld-
Quandt (1965) y el contraste de White (1980), los cuales describimos a continuación.
3.2.1. Test de Bartlett El test de Bartlett se basa en de que la suposición de que las n observaciones de los datos de la
variable a estimar por el modelo pueden agruparse en G grupos (g=1, 2, ..., G), cada uno de los
cuales se caracteriza por tener un distinto tipo de observaciones asociadas a la variable explicativa,
de tal manera que n1 sería el número de observaciones correspondientes al primer grupo, n2 el
número de observaciones asociadas al segundo grupo y, en general, nG es el número de
observaciones asociadas al grupo g-ésimo. A cada grupo le corresponde un valor medio de la
variable dependiente y una varianza para este valor medio.
El test contrasta si dicha varianza es igual o no entre los distintos grupos que se han construido
para la variable dependiente, admitiéndose la hipótesis de existencia de heteroscedasticidad si la
varianza es significativamente diferente entre los grupos formados.
Los pasos a seguir en la práctica para realizar el test de Bartlett son los siguientes:
1. Se estima la varianza (2gs ) de cada grupo de observaciones, g=1, 2, ..., G mediante la
siguiente expresión:
g
n
ggi
g n
yy
s
g
∑=
−= 1
2
2
)(
2. Se calcula el estadístico S:
−
−+
−
=
∑
∑∑
=
==
G
g g
G
gggg
G
g
g
nnG
snsn
nn
S
1
1
22
1
11)1(3
11
loglog
Bajo el supuesto de homocedasticidad, S se distribuye como una chi-cuadrado (χ2) con G–1 grados
de libertad. Por lo tanto, se rechazará la hipótesis de igual varianza en todos los grupos si S es
mayor que el valor crítico de la distribución chi-cuadrado al nivel de significación estadística
fijado.
3.2.2. Contraste de Goldfeld-Quant El contraste de Goldfeld-Quant se utiliza para contrastar la homocedasticidad cuando la forma de
la heteroscedasticidad no es conocida, aunque se intuye que la varianza guarda una relación
monótona –creciente o decreciente– respecto a alguna variable exógena (que denominaremos
variable z). La operativa de este test es la siguiente:
1. Ordenar todas las observaciones de las variables del modelo, de menor a mayor, en
función de la variable z.
2. Eliminar c observaciones centrales de la ordenación anterior, de tal forma que queden dos
submuestras de (n-c)/2 observaciones cada una. Al seleccionar c, debe hacerse de tal
forma que (n-c)/2 sea sustancialmente mayor que el número de parámetros del modelo.
3. Estimar dos veces el modelo original mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios,
utilizando en cada estimación cada una de las submuestras.
4. Denominando SR1 y SR2 a las sumas de los cuadrados de los residuos de ambas
submuestras (de manera que el subíndice 1 corresponda a la submuestra con la menor
suma) se define el estadístico F:
2
1
SCR
SCRF =
La idea que subyace bajo este contraste es la siguiente: si existe heteroscedasticidad
entonces, con la ordenación de la muestra, la varianza del término de error será mayor
hacia el final de la muestra que al principio de la misma. Como el cuadrado de los residuos
está asociado con la varianza de los mismos, entonces SR2 debería ser sensiblemente
mayor que SR1. Por ello, se rechazara la hipótesis nula de homocedasticidad siempre que
el valor del estadístico F excede el valor en tablas de la distribución F(n-c-2k)/2, (n-c-2k)/2,
aceptándose la existencia de heteroscedasticidad en caso contrario.
Ejemplo 3.1. Utilizando datos provinciales hemos estimado el modelo explicativo del empleo en el sector de
hoteles descrito en el capitulo 2; los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.96940463 Coeficiente de determinación R2 0.93974534 R2 ajustado 0.93728597 Error típico 1.19099172 Observaciones 52
Coeficientes Error típico Estadístico t Término constante -2.94444031 0.33100533 -8.89544675 Número de viajeros (miles) 0.00216699 0.00013832 15.6668389 Estancia media 1.31881995 0.13180001 10.0062201
El investigador sospecha que los errores obtenidos tengan alguna relación con la variable exógena
que recoge el número de viajeros de cada provincia. Por ello, decide realizar un contraste de
Goldfeld-Quant, ordena los datos de la tabla en función del número de viajeros; después elimina
las 10 observaciones centrales, y deja dos submuestras con 21 provincias cada una.
A continuación estima el modelo para cada una de ellas; obteniendo los siguientes resultados:
a) Primera submuestra
Coeficientes Término constante -0.80368434 Número de viajeros (miles) 0.00231232 Estancia media 0.37488653
b) Segunda submuestra
Coeficientes Término constante -4.55233015 Número de viajeros (miles) 0.00234497 Estancia media 1.54803859
La Suma de Residuos al Cuadrado obtenido en la primera muestra es de 0,176 y en la segunda
muestra es de 45.217. Construimos por tanto el estadístico F:
004.0217.45
176,0
2
1 ===SCR
SCRF
A continuación obtenemos de las tablas de la distribución F el valor teórico para una distribución
con 18 grados de libertad en el numerado y denominador, el valor obtenido es 2.2. Como valor
del estadístico está por debajo del valor teórico no se rechaza la hipótesis de homocedasticidad al
nivel de significación del 5% (probabilidad del 95%).
3.2.3. Contraste de White El contraste de White se desarrolló también para evitar la necesidad de considerar una forma
específica para la heteroscedasticidad. El contraste se basa en que, bajo la hipótesis nula de
homocedasticidad, la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores MCO de β es:
( ) 12 ' −= XXσ
Por el contrario, si existe heteroscedasticidad, la matriz de varianzas y covarianzas viene dada
por:
),...,,(,)'(')'( 222
21
11ndiagXXXXXX σσσ=ΩΩ −−
Por tanto, si tomamos la diferencia entre ambas queda:
1211 )'()'(')'( −−− −Ω XXXXXXXX σ
Por ello, basta con contrastar la hipótesis nula de que todas estas diferencias son iguales a cero,
lo que equivale a contrastar que no hay heteroscedasticidad.
Los pasos a seguir para realizar el contraste de White son los siguientes:
1. Estimar el modelo original y obtener la serie de residuos estimados
2. Realizar una regresión del cuadrado de la serie de residuos obtenidos en el paso anterior
sobre una constante, las variables exógenas del modelo original, sus cuadrados y los
productos cruzados de segundo orden (los productos resultantes de multiplicar cada
variable exógena por cada una de las restantes). Es decir, se trata de estimar por MCO la
relación:
tkkkkkkkkkkkt XXXXXXXXXXXXXXe ερννϖϖηηϕϕα +++++++++++++++= −12322121122
11112 ...............ˆ
3. Al aumentar el tamaño muestral, el producto nR2 (donde n es el número de observaciones
y R2 es el coeficiente de determinación de la última regresión) sigue una distribución Chi-
cuadrado con p – 1 grados de libertad, donde p es el número de variables exógenas
utilizadas en la segunda regresión. Se aceptará la hipótesis de existencia de
heteroscedasticidad cuando el valor del estadístico supere el valor crítico de la
distribución Chi-cuadrado (c) al nivel de significación estadística fijado ( cnR >2 ).
Ejemplo 3.2. Para realizar en R el constraste de heterocedasticidad de White en el modelo estimado en el
ejemplo 2.2, primero hay que instalar en Packaged “tseries”:
> install.packages("tseries")
y después ejecutar el siguiente programa R:
> library(tseries) > datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T,dec=",") > datos Años Empleo Viajeros Estancia_m 1 Andalucía 28.4 11.902,50 3.1 2 Aragón 3.6 1.848,00 2.1 3 Asturias 2.4 1.088,20 2.3 4 Balears 25.9 6.716,00 7.2 5 Canarias 27.2 4.875,70 7.8 6 Cantabria 2.0 933,8 2.4 7 Castilla_León 6.2 3.647,60 1.7 8 Castilla_Mancha 2.8 1.805,10 1.7 9 Cataluña 23.5 10.771,70 3.4 10 C_Valenciana 13.4 5.579,70 3.9 11 Extremadura 2.2 1.000,70 1.7 12 Galicia 6.3 3.040,50 2.1 13 Madrid 10.7 5.748,90 2.1 14 Murcia 2.0 882,5 3.0 15 Navarra 1.1 557,7 2.0 16 País_Vasco 3.2 1.540,60 1.9 17 Rioja 0.7 446,2 1.8 > x <- matrix(c(datos$Viajeros,datos$Estancia_m),ncol=2) > y <- matrix(datos$Empleo,ncol=1) > white.test(x,y) White Neural Network Test data: x and y X-squared = 11.2629, df = 2, p-value = 0.003583
En este ejemplo el valor del estadístico 2629,112 =nR , dado que el valor de la distribución
Chi-cuadrado teórica para el nivel de significación 05,0=α da un valor crítico 99,5=c
habría que aceptar la hipótesis de existencia de heterocedasticidad. El p-value es la probabilidad
asociada al estadístico calculado, al ser de 0,003583 y por tanto menor que 0,05, situaría al
estadístico en la zona de rechazo de la hipótesis 0H , la que de los valores del estadistico
superiores al valor crítico.
3.3 AUTOCORRELACIÓN
Decimos que existe autocorrelación cuando el término de error de un modelo econométrico está
correlacionado consigo mismo a través del tiempo tal que 0),( ≠ji eeE . Ello no significa que la
correlación entre los errores se dé en todos los periodos sino que puede darse tan sólo entre
algunos de ellos. En presencia de autocorrelación, los estimadores MCO siguen siendo insesgados
pero no poseen mínima varianza, debiéndose utilizar en su lugar el método de estimación de los
Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG).
La existencia de autocorrelación en los residuos es fácilmente identificable obteniendo las
funciones2 de autocorrelación (acf) y autocorrelación parcial (acp) de los errores mínimo-
cuadráticos obtenidos en la estimación. Si dichas funciones corresponden a un ruido blanco, se
constatará la ausencia de correlación entre los residuos. Sin embargo, el mero examen visual de
las funciones anteriores puede resultar confuso y poco objetivo, por lo que en la práctica
econométrica se utilizan diversos contrastes para la autocorrelación, siendo el más utilizado el de
Durbin-Watson (1950), que pasamos a ver seguidamente.
3.3.1. Contraste de Durbin-Watson Si se sospecha que el término de error del modelo econométrico tiene una estructura como la
siguiente:
ttt uee += −1ˆ·ˆ ρ
entonces el contraste de Durbin-Watson permite contrastar la hipótesis nula de ausencia de
autocorrelación. Dicho contraste se basa en el cálculo del estadístico d, utilizando para ello los
errores mínimo-cuadráticos resultantes de la estimación:
∑
∑
=
=−−
=n
tt
n
ttt
e
eed
1
2
2
21
ˆ
)ˆˆ(
El valor del estadístico d oscila entre 0 y 4, siendo los valores cercanos a 2 los índicativos de
ausencia de autocorrelación de primer orden. La interpretación exacta del test resulta compleja,
ya que los valores críticos apropiados para contrastar la hipótesis nula de no autocorrelación
requieren del conocimiento de la distribución de probabilidad bajo el supuesto de cumplimiento
de dicha hipótesis nula, y dicha distribución depende a su vez de los valores de las variables
explicativas, por lo que habría que calcularla en cada aplicación. Para facilitar la interpretación
del test Durbin y Watson derivaron dos distribuciones: dU y dD, que no dependen de las variables
2 Estas funciones se analizarán en detalle en el capítulo 3 de la II parte
explicativas y entre las cuales se encuentra la verdadera distribución de d, de forma que a partir
de un determinado nivel de significación, se adopta la siguiente regla de decisión:
1. Si d ≤ dD rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la hipótesis
alternativa de autocorrelación positiva.
2. Si d ≥ 4 – dD rechazamos la hipótesis nula de no autocorrelación frente a la hipótesis
alternativa de autocorrelación negativa.
3. Si dU ≤ d ≤ 4- dU aceptamos la hipótesis nula de no autocorrelación.
En el Anexo II, tabla II.5., presentamos la tabla con la distribución desarrollada por Durbin y
Watson para los valores de dU y dD.
El estadístico d de Durbin-Watson es aproximadamente igual a ( )1ˆ12 ρ− en donde 1ρ es el
coeficiente de autocorrelación simple muestral del retardo 1.
( )1
1
2
11
1
2
2
21
ˆ12ˆ
ˆˆ
22ˆ
)ˆˆ(ρ−=−=
−=
∑
∑
∑
∑
=
=−
=
=−
n
tt
n
ttt
n
tt
n
tti
e
ee
e
eed
Ejemplo 3.3.
En el siguiente ejercicio planteamos una regresión lineal entre el consumo de energía eléctrica
en España y el PIB a precios de mercado valorado en moneda constante (millones de euros).
Consumo de Energía Eléctrica (miles de TEP)
PIB (millones de euros)
1987 9427 355312 1988 9876 373412 1989 10410 391443 1990 10974 406252 1991 11372 416582 1992 11488 420462 1993 11569 416126 1994 11999 426041 1995 12462 437787 1996 12827 448457 1997 13331 466513 1998 14290 486785 1999 15364 507346 2000 16309 528714 2001 17282 543746 2002 17756 554852
Fuente: INE y OCDE
Con los datos de la tabla anterior la estimación MCO entre el consumo de energía eléctrica y el
PIB sería la siguiente:
Yt=-6234.4+0.043Xt+εt
Siendo Yt el consumo de energía eléctrica y Xt el PIB en moneda constante.
Los resultados de la estimación se presentan a continuación:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.99619699 Coeficiente de determinación R2 0.99240844 R2 ajustado 0.99186619 Error típico 233.805853 Observaciones 16
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Término constante
-6234.453 451.562 -13.806 0.000
PIB-$ 0.043 0.001 42.780 0.000
Como vemos las estadísticas de la regresión realizada son buenas, se obtiene un R2 muy elevado,
y los parámetros son estadísticamente significativos, ya que el valor teórico de la t-Student es 2.51
al 95% de probabilidad.
No obstante, la representación gráfica de los errores apunta a la posibilidad de un problema de
autocorrelación entre los residuos:
Grafico de los residuos
-400,0-300,0
-200,0
-100,0
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
Para verificarlo calculamos el estadístico t de Durbin-Watson:
Y* et et2 et-et-1 (et-et-1)2
1987 8933 494.2 244192.5 1988 9705 170.5 29076.7 -323.6 104742.4 1989 10475 -65.2 4247.8 -235.7 55551.6 1990 11107 -133.3 17777.0 -68.2 4645.2 1991 11548 -176.3 31078.1 -43.0 1845.5 1992 11714 -225.9 51038.2 -49.6 2462.8 1993 11529 40.2 1614.1 266.1 70804.9 1994 11952 46.9 2202.6 6.8 45.6 1995 12453 8.5 72.7 -38.4 1474.9 1996 12909 -81.9 6715.2 -90.5 8185.4 1997 13680 -348.7 121596.8 -266.8 71161.5 1998 14545 -255.1 65057.3 93.6 8769.2 1999 15423 -58.8 3452.3 196.3 38536.6 2000 16335 -25.9 670.7 32.9 1079.7 2001 16977 305.4 93286.1 331.3 109776.4 2002 17451 305.3 93234.4 -0.1 0.0 Total 0.0 765312.5 -188.8 479081.7
21
2
2
1
ˆ ˆ( )479,081.7
0.62599765,312.5ˆ
n
i ii
n
ii
e ed
e
−=
=
−= = =∑
∑
Los valores teóricos del estadístico para n=16 observaciones y k=1 variables explicativas, son
dD=0.98 y dU=1.24. Dado 0.62599 < 0.98 no podemos rechazar la hipótesis de la existencia de
autocorrelación positiva.
En R, el test de Durbin-Watson se encuentra en el Package (lmtest), y su sintaxis es: > dwtest(formula) Relaizar el ejercicio anterior requiere del siguiente programa R: > install.package(“bgtest”) > library(bgtest) > datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T)
> datos Años CEnEl PIB 1 1987 9427 355312 2 1988 9876 373412 3 1989 10410 391443 4 1990 10974 406252 5 1991 11372 416582 6 1992 11488 420462 7 1993 11569 416126 8 1994 11999 426041 9 1995 12462 437787 10 1996 12827 448457 11 1997 13331 466513 12 1998 14290 486785 13 1999 15364 507346 14 2000 16309 528714 15 2001 17282 543746 16 2002 17756 554852 > dwtest(datos$PIB ~ datos$CEnEl) Durbin-Watson test data: datos$PIB ~ datos$CEnEl DW = 0.628, p-value = 0.0001192 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
3.3.1. Contraste de Breush-Godfrey El test de correlación serial de Breusch–Godfrey es un test de autocorrelación en los errores y
residuos estadísticos en un modelo de regresión. Hace uso de los errores generados en el modelo
de regresión y un test de hipótesis derivado de éste. La hipótesis nula es que no exista correlación
serial de cualquier orden de ρ .
El test es más general que el de Durbin–Watson, que solo es válido para regresores no-estocásticos
y para testear la posibilidad de un modelo autoregresivo de primer orden para los errrores de
regresión. El test Breusch–Godfrey no tiene estas restricciones, y es estadísticamente más
poderoso que el estadístico d .
Los pasos para realizar el contraste son los siguientes:
1. Estimar el modelo original y obtener la serie de residuos estimados
2. Estimar la ecuación de regresión auxiliar:
tptptkkt eeXXe εδδϕϕα +++++++= −− ˆ...ˆ...ˆ 1111
3. Al aumentar el tamaño muestral, el producto ( ) 2Rpn − (donde n es el número de
observaciones,p , el número de retardos del error utilizados en la regresión auxiliar
y R2 es el coeficiente de determinación de dicha regresión) sigue una distribución
Chi-cuadrado con p grados de libertad, donde p es el número de variables
exógenas utilizadas en la segunda regresión. Se aceptará la hipótesis de existencia
de autocorrelación cuando el valor del estadístico supere el valor crítico de la
distribución Chi-cuadrado (c) al nivel de significación estadística fijado(
( ) cRpn >− 2).
Ejemplo 3.4.
El test de Breusch–Godfrey tambien se realiza con la librería R (lmtest), y se programa para
3=p del siguiente modo:
> install.package(“bgtest”) > library(gbtest) > bgtest(datos$PIB ~ datos$CEnEl,order=3) Breusch-Godfrey test for serial correlation of order up to 3 data: datos$PIB ~ datos$CEnEl LM test = 5.3733, df = 3, p-value = 0.1464
En este ejemplo el valor del estadístico ( ) 37,52 =− Rpn , dado que el valor de la
distribución Chi-cuadrado teórica para el nivel de significación 05,0=α da un valor crítico
81,7=c habría que rechazar la hipótesis de existencia de autocorrelación. El p-value es la
probabilidad asociada al estadístico calculado, al ser de 0,1454 y por tanto mayor que 0,05,
situaría al estadístico en la zona de aceptación de la 0H , la que constituyen los valores del
estadistico inferiores al valor crítico.
3.3. DEFICIENCIAS MUESTRALES: MULTICOLINEALIDAD
El fenómeno de la multicolinealidad aparece cuando las variables exógenas de un modelo
econométrico están correlacionadas entre sí, lo que tiene consecuencias negativas para la
estimación por MCO, ya que la existencia de una relación lineal entre las variables exógena,
implica que la matriz )'( XX va a tener determinante cero, es decir será una matriz singular y por
tanto no será invertible. Dado que YXXX ')'(ˆ 1−=β , no será posible calcular la estimación
mínimo cuadrática de los parámetros del modelo ni, lógicamente, la varianza de los mismos. Esto
es lo que se conoce por el nombre de multicolinealidad exacta.
Consideremos por ejemplo la relación lineal:
iiii uXXY +++= 22110 βββ
Supongamos que las variables independientes presentan relación lineal exacta:
ii cXX 12 =
La matriz (X’X) quedaría:
( )
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
22212
21211
21
'
XXXX
XXXX
XXn
XX
sustituyendo iX2 por icX1 tenemos:
( )
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
21
2211
21
211
11
'
XcXcXc
XcXX
XcXn
XX
Como el valor de un determinante no se altera si se resta de una fila o columna un múltiplo
constante de cualquier otra fila o columna. Si multiplicamos la segunda fila de (X’X) por c y
restamos el resultado de la tercera fila tenemos:
= ∑∑∑∑∑
000
21
211
11
XcXX
XcXn
A
puesto que 0' == AXX , la matriz (X’X) es singular y por tanto no invertible.
Sin embargo, en la práctica no nos encontraremos con un caso tan extremo como el que acabamos
de exponer, sino que generalmente nos encontraremos ante lo que se conoce como
multicolinealidad aproximada, siendo una de las columnas de la matriz )'( XX ,
aproximadamente, una combinación lineal del resto por lo que será una matriz aproximadamente
singular. Al no ser el determinante de )'( XX igual a cero, existirá inversa y podrán estimarse los
parámetros pero con las siguientes consecuencias:
1. Por un lado, pequeñas variaciones muestrales producidas al incorporar o sustraer un
número reducido de observaciones muestrales podrían generar importantes cambios
en los parámetros estimados.
2. Por otro lado, la matriz de covarianzas del estimador MCO, ( ) 12ˆˆ ' −= XXSS eββ , al ser
un múltiplo de 1)'( −XX , será muy grande por ser el determinante de )'( XX muy
pequeño por lo que la estimación realizada será muy poco precisa al ser la desviación
típica de cada parámetro muy elevada.
Las soluciones propuestas para resolver el problema de la multicolinealidad son variadas, si bien
en general resultan poco satisfactorias:
1. Una posibilidad, sugerida por Johnston (1984), consiste en excluir aquella variable
exógena que puede estar muy correlacionada con el resto y posteriormente estimar el
coeficiente asociado a dicha variable mediante otro procedimiento para incluirlo en el
modelo.
2. Otra posibilidad es la que se conoce como regresión cresta, introduciendo una constante
c en la matriz )'( XX de tal forma que el estimador de MCO quedaría como
YXcIXX k ')'(ˆ 1−+=β , evitando así la singularidad de la matriz. Evidentemente, los
coeficientes estimados estarán sesgados pero la matriz de covarianzas de los mismos será,
seguramente, menor que la que obtendríamos sin introducir la constante por lo que
probablemente la menor varianza compense en parte el sesgo introducido. Otra cuestión
no menos trivial es la selección del valor de c, para lo que no existe un método definido;
una posibilidad, sugerida por Hoerl y Kennard (1970) es comenzar con un valor muy
pequeño de c e ir aumentándolo hasta que observemos que las estimaciones comienzan a
estabilizarse.
3. También se ha sugerido la posibilidad de reformular el modelo, convirtiéndolo en un
modelo de varias ecuaciones (estimación por tramos).
4. Finalmente, cuando la multicolinealidad se debe a la presencia como variables
explicativas de varios retardos de una misma variable, puede especificarse una relación
entre sus coeficientes para eliminar alguno de los retardos del modelo.
3.4. ERRORES DE ESPECIFICACIÓN
Los errores de especificación hacen referencia a un conjunto de errores asociados a la
especificación de un modelo econométrico. En concreto cabe referirse a:
− Omisión de variables relevantes
− Inclusión de variables innecesarias
− Adopción de formas funcionales equivocadas
En Economía la teoría no suele concretar la forma funcional de las relaciones que estudia. Así,
por ejemplo, cuando se analiza la demanda se señala que la cantidad demandada es inversamente
proporcional al precio; cuando se estudia el consumo agregado se apunta que la propensión
marginal a consumir (relación entre renta y/o consumo) es mayor que cero y menor que uno. Por
otro lado es frecuente utilizar la condición “ceteris paribus” para aislar la información de otras
variables relevantes que influyen y/o modifican la relación estudiada. Por esta razón, la existencia
de errores de especificación en la relación estimada es un factor a considerar y a resolver en el
proceso de la estimación econométrica.
Con independencia de la naturaleza de los errores de especificación, dado que el proceso de
estimación MCO deben de cumplirse determinadas hipótesis básicas, que los estimadores MCO
deben de ser insesgados, eficientes y consistentes, y que el estimador de la varianza del término
de error ha de ser insesgado, debemos preguntarnos: ¿qué ocurriría con estas propiedades ante
errores de especificación?.
Para responder a esta cuestión, partimos del modelo de regresión lineal cuya especificación
general es:
Yi = βo+ β1 X1i +…+ ßk Xki + ei
Con las propiedades habituales:
Media cero : E(ei) = 0 i=1,…,n
Varianza constante : Var(ei) = σ2I i=1,…,n
Residuos incorrelacionados : Cov(ei,ej) = 0
No existencia de relación lineal exacta entre dos o más variables independientes
3.4.1. Omisión de una variable relevante Para analizar las consecuencias de la omisión de una variable relevante, vamos a partir del
siguiente modelo verdadero:
Yi = β0 + β1 X1i + β2 X2i + ei (3.1)
Sin embargo, por algún motivo, se ha procedido estimar el siguiente modelo:
Yi = α0 + α1 X1i + vi (3.2)
Dado que la variable excluida X2i está relacionada con la variable dependiente Yi, entonces se
deduce que:
vi= ß2 X2i + ei.
Estimando la pendiente α2 por MCO en el modelo (3.2), se obtiene:
( )( )2
11
111ˆ∑∑
−
−=
XX
yXX
i
iiα
siendo YYy ii −= , de forma que al sustituir yi por su expresión en el modelo verdadero (3.1)
quedaría:
( )( )( )
( ) ( )( ) ( )( )2
11
11222111
2
11
2
11
2211111ˆ
∑∑∑∑
∑∑
−
−+−−+−=
−
++−=
XX
eXXXXXXXX
XX
exxXX
i
iiiii
i
iiii ββββα
Al tomar esperanzas condicionales con respecto a los valores de las variables independientes y
dado que E(e| x1, x2, …, xk) = 0, se obtiene que:
( ) ( )( )( )2
11
2211211ˆ
∑∑
−
−−+=
XX
XXXXE
i
iiββα
lo que implica que )ˆ( 1αE no será igual a β1, por lo que estará sesgado siendo su sesgo:
( )( )( )2
11
22112
∑∑
−
−−
XX
XXXX
i
iiβ
Expresión cuyo signo viene determinado por el signo del coeficiente β2 y por el sentido de la
correlación entre las variables X1 y X2.
Con respecto a la varianza, dado que de la estimación MCO resulta que:
( ) ( ) ( )22,1
2
11
2
11
ˆrXX
Vari
e
−−=∑
σβ
donde r21,2 es el R2 resultante de regresar X1 sobre X2.
Y además:
( ) ( )2
11
2
1ˆ∑ −
=XX
Vari
vσα
entonces )ˆ( 1αVar será diferente de )ˆ( 1βVar , y por lo general será mas pequeña ya que
0<r21,2<1; pero aún en el caso en que r2
1,2=0, que implicaría que X1 y X2 no están correlacionadas,
y aunque el estimador MCO de α1 no fuera insesgado (ya que el sesgo de las variables omitidas
se anularía porque el termino ( )( )
( )2
11
2211
∑∑
−
−−
XX
XXXX
i
ii
sería cero), las varianzas serían ya de por
sí diferentes debido en la estimación de la ecuación (3.1) y en la de la ecuación (3.2).
3.4.2. Inclusión de una variable innecesaria Supóngase ahora que el modelo verdadero es:
Yi = β0 + β1 X1i + ei (3.3)
Pero se especifica el siguiente modelo:
Yi = αo + α1 X1i + α2 X2i + vi (3.4)
Los estimadores MCO de (3.4) son ahora sesgados y consistentes, ya que 00 )ˆ( βα =E ,
11)ˆ( βα =E y 0)ˆ( 2 =αE ; a este respecto hay que tener presente que al ser X2 una variable
innecesaria el parámetro estimado no será significativamente distinto de cero.
Pero como desde el punto de vista de las varianzas ahora resulta que:
( ) ( )2
11
2
1ˆ
∑ −=
XXVar
i
eσβ
( ) ( ) ( )22,1
2
11
2
11
ˆrXX
Vari
v
−−=∑
σα
Puesto que 0< r21,2<1, se cumpliría que )ˆ()ˆ( 11 βα VarVar ≥ , es decir, la varianza de la
estimación MCO de α1 sería mayor que la estimación MCO de β1.
3.4.3. Especificación funcional incorrecta Si especificamos la forma funcional de una relación (ya sea lineal, cuadrática, cúbica,
exponencial, logarítmica, etc.) y la verdadera relación presenta una forma diferente a la
especificada tiene, en algunos casos, las mismas consecuencias que la omisión de variables
relevantes, es decir, proporciona estimadores sesgados e inconsistentes. En general, una
especificación funcional incorrecta lleva a obtener perturbaciones heteroscedásticas y/o
autocorrelacionadas, o alejadas de los parámetros de la distribución del término de error del
modelo correctamente especificado.
3.4.4. Contraste de errores de especificación
Para constatar la presencia de errores de especificación en los modelos se utiliza la prueba general
de errores de especificación de Ramsey. Dicha prueba, en su versión más sencilla, se realiza
mediante los siguientes pasos:
1. A partir del modelo especificado, obtenemos iY estimada, es decir iY .
2. Se efectúa una nueva regresión incluyendo iY en alguna forma, con uno o varios
regresores adicionales, por ejemplo:
iiiii eYYXY ++++= 33
2210
ˆˆ ββββ (3.5)
3. Considerando el R2 obtenido en el modelo inicialmente especificado, 2AR , y el R2
obtenido en la segunda regresión, 2BR , se construye el siguiente estadístico:
( )
( )
2 2
21
( )
B A
B
R R
lFR
n k
−
=−−
El cual se distribuye según una F de Snedecor con l, n–k grados de libertad, siendo l
el número de regresores nuevos incluidos en el segundo modelo y n – k el número de
observaciones menos el numero de parámetros del segundo modelo.
4. Si el valor F calculado es significativo al nivel deseado, tcoFF >exp se puede aceptar
la hipótesis de que el modelo está mal especificado.
Ejemplo 3.5.
Utilizando los datos del modelo del grado de ocupación hotelera estimado en el capitulo anterior,
vamos a plantear la hipótesis de la existencia de algún error de especificación en el modelo.
Utilizando los datos del modelo, efectuamos la regresión siguiente:
iiiiii eYYXXY +++++= 34
2322110
ˆˆ βββββ
Para el que obtenemos el siguiente resultado:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.92689061 Coeficiente de determinación R2 0.8591262 R2 ajustado 0.81216826 Error típico 5.50047546 Observaciones 17
Dado que el modelo estimado obtenía un R2 ajustado de 0,794; construimos el estadístico de
prueba:
( )
( )
( )2 2
2
0.812 0.794
2 0.57(1 0.812)1
12( )
B A
B
R R
lFR
n k
− −
= = =−−−
Con un nivel de significación de α=0.05, obtenemos el valor teórico correspondiente a una
distribución F con 2 grados de libertad en el numerador y 12 en el denominador, que es de 3.49.
Dado que tcoFF <exp no se rechaza la hipótesis de que el modelo esté mal especificado.
3.5. MINIMOS CUADRADOS GENERALIZADOS. En el modelo lineal general estableciamos como hipótesis de trabajo para el termino de error tener
una media cero, una varianza constante y no estar autocorrelacionado; es decir:
Media cero : E(ei) = 0 i=1,…,n
Varianza constante : Var(ei) = σ2I i=1,…,n
Residuos incorrelacionados : Cov(ei,ej) = 0
Ahora vamos a mantener la hipótesis de media nula, es decir,
E(ei) = 0 , i=1,…,n
Pero se va a admitir la posibilidad de que las varizanzas y covarianzas del termino de error estén
multiplicads por un factor escalar tal que:
E(ei ,ej) = σ2Ω , i=1,…,n
Donde σ2 es desconocida y Ω es una matriz conocida de orden n simétrica y definida positiva.
Recordemos que los errores son heteroscedásticos cuando su varianza varía a lo largo del tiempo.
Entonces, suponiendo que no existe autocorrelación en los residuos, la matriz de varianza y
covarianzas de los errores tendría la forma:
=
=Ω=
2
22
21
2
1
22
...00
............
0...0
0...0
...00
............
0...0
0...0
),(
nn
ji eeE
σ
σσ
λ
λλ
σσ
Si en lugar de heteroscedasticidad, existiera alguna forma de autocorrelación en el término de
error tal que 0),( ≠ji eeE , la matriz de varianzas-covarianzas de los errores autocorrelacionados
tendrá la siguiente forma:
=Ω=
−−
−
−
1...
............
...1
...1
),(
21
21
11
22
nn
n
n
ji eeE
ρρ
ρρρρ
σσ
En resumen, la existencia de heteroscedasticidad y autocorrelación violan las hipótesis de trabajo
sobre el término de error que requiere MCO; en ese caso, los estimadores obtenidos por este
procedimiento no serán los más eficientes, es decir, no serán los que garanticen la mínima
varianza entre todos los estimadores lineales.
El método de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG) permite obtener estimadores eficientes
cuando MCO proporciona estimaciones cuyo termino de error no tiene la forma de ruido blanco,
es decir, no tiene media cero, varianza constante y no está autocorrelacionado.
Supóngase que las varianzas heteroscedásticas 2iσ son ahora conocidas. El uso de Mínimos
Cuadrados Generalizados equivale a redefinir las variables utilizadas en el modelo original de
regresión tal que todas ellas quedan divididas por iσ :
i
ii
i
jiji
i
ii
eekj
XX
YY
σσσ==== *** ,,...,2,,
El término de error transformado tiene ahora una varianza homocedástica:
Var(*ie ) = E(
*ie )2 = E
2
i
ie
σ= 2
1
iσ E(ei)2 = 2
1
iσ (2iσ ) = 1
Posteriormente se realiza la regresión mínimo cuadrática con el modelo transformado:
ikikiii eXXXY **...** 22110* +++++= ββββ
El estimador βMCG será:
( ) ( ) YPPXXPPXYXXXMCG11111**1** ''''''ˆ −−−−−−
==β
Siendo:
=−
n
P
σ
σ
σ
1...00
............
0...10
0...01
2
1
1
Si llamamos entonces 111 ' −−− =Ω PP , el estimador βMCG quedaría como:
( ) YXXXMCG111 ''ˆ −−− ΩΩ=β
Por tanto, el método de MCG consiste en aplicar MCO sobre las variables transformadas, las
cuales sí satisfacen las hipótesis teóricas establecidas para MCO.
Así, por ejemplo, si detectamos la presencia de autocorrelación, y se cree que las perturbaciones
se generan de la manera siguiente:
1t t te eρ ε−= +
Donde ρ se conoce como coeficiente de autocorrelación, siendo 11 <<− ρ y tε satisface los
supuestos MCO clásicos (esto es, media cero, varianza constante y ausencia de autocorrelación)
El estimador MCG se obtendría realizando la siguiente transformación:
( ) ( ) ttotttttt XYXXYY εββερβρβρ ++==+−+−=− −−**
1**
1101 )1(
De forma que el estimador MCG1β viene dado por la siguiente expresión:
( )( )
( )C
xx
yyxx
N
ttt
N
ttttt
MCG +−
−−=
∑
∑
=−
=−−
2
21
211
1ˆ
ρ
ρρβ
siendo ( )XXx tt −= e ( )YYy tt −= , y C un factor de corrección que suele despreciarse en la
práctica.
La varianza del estimador obtenido mediante MCG será:
( )
2
1 2
12
ˆ( )MCG
N
t tt
Var D
x x
σβρ −
=
= +−∑
donde D es otro factor de corrección que también es despreciable.
Dado que ρ es un parámetro desconocido, es habitual obtener un estimador de ρ a partir del
estadístico d de Durbin-Watson:
21ˆ
d−=ρ
O por el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt, que consiste en realizar una segunda
regresión con los errores de la regresión MCO de las variables originales; es decir:
y a partir de la estimación ρ de esta segunda regresión se realizan sucesivas regresiones a partir
del modelo transformado siguiente:
( ) ( ) ***1
***1101 ˆ)ˆ1(ˆ ttotttttt eXYeXXYY ++==+−+−=− −− ββρβρβρ
* * *0 1
ˆ ˆt t te Y Xβ β= − −
* *´ 1
ˆˆ ˆt t te e wρ −= +
hasta alcanzar un determinado grado de convergencia, en el sentido de que las diferencias entre
las sucesivas estimaciones de ρ tengan un valor inferior a un número previamente elegido.
En la práctica, para obtener los estimadores MCG una vez determinado el parámetro ρ
deberíamos seguir los siguientes pasos:
1. Transformar las observaciones originales utilizando el parámetro ρ
2. Aplicar MCO a los datos transformados.
Ejemplo 3.6.
Utilizando los datos y resultados obtenidos en el ejemplo 3.2, vamos a calcular un estimador para
ρ a partir de:
0.62599ˆ 1 1 0.687
2 2
dρ = − = − =
Para obtener los estimadores MCG, primero transformamos las variables originales:
ttt vee += −1ˆˆˆ ρ
*1
ˆt t tY Y Yρ −= − )ˆ1( ρ− *
1ˆ
t t tX X Xρ −= − 1987 1988 3399.63 0.312997435 129311.74 1989 3625.16 0.312997435 134908.00 1990 3822.30 0.312997435 137329.65 1991 3832.83 0.312997435 137485.83 1992 3675.41 0.312997435 134269.10 1993 3676.71 0.312997435 127267.53 1994 4051.07 0.312997435 140161.37 1995 4218.66 0.312997435 145095.74 1996 4265.57 0.312997435 147696.21 1997 4518.82 0.312997435 158421.89 1998 5131.57 0.312997435 166289.37 1999 5546.73 0.312997435 172923.46 2000 5753.89 0.312997435 180166.00 2001 6077.68 0.312997435 180518.13 2002 5883.22 0.312997435 181297.10
En segundo lugar aplicamos MCO a los datos transformados3, lo que da lugar a la siguiente
solución:
** 046.0)ˆ1(87.003,8 tt XY +−−= ρ
que equivale a estimar:
tt XY 046.087.003,8ˆ +−=
Para obtener una estimación de ρ por el procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt, iniciamos
el procedimiento a partir de la función estimada por MCO:
10.531t t te e v−= +
A continuación transformamos las variables originales:
3 Notese que en vez del vector de n valores 1 que se asocia al término constante en el MCO
ordinario, se estima ahora utilizando un vector con n valores )ˆ1( ρ− .
ttt vee += −1ˆˆˆ ρ
*1
ˆt t tY Y Yρ −= − )ˆ1( ρ− *
1ˆ
t t tX X Xρ −= − 1987 1988 4867.671917 0.468725142 184643.6678 1989 5163.129506 0.468725142 193058.5929 1990 5443.428732 0.468725142 198288.1759 1991 5541.789713 0.468725142 200750.5265 1992 5446.342319 0.468725142 199142.4573 1993 5465.714436 0.468725142 192745.1108 1994 5852.681172 0.468725142 204963.7186 1995 6087.232984 0.468725142 211442.1284 1996 6206.252725 0.468725142 215871.7739 1997 6516.337402 0.468725142 228259.0712 1998 7207.574873 0.468725142 238938.3724 1999 7772.082285 0.468725142 248729.3684 2000 8146.493088 0.468725142 259173.8261 2001 8617.438347 0.468725142 262853.5449 2002 8574.507911 0.468725142 265973.4213
Aplicamos MCO a los datos transformados, lo que da lugar a la siguiente ecuación:
** 045.0)ˆ1(97.518,7 tt XY +−−= ρ
Obtenemos los errores de predicción a partir de:
ttt XYe 045.097.518,7ˆ* +−=
tYˆ
*te
1987 8583.804131 843.1958686 1988 9404.058542 471.9414578 1989 10221.18602 188.8139837 1990 10892.29914 81.7008583 1991 11360.43329 11.56671113 1992 11536.26683 -48.26683108 1993 11339.76832 229.2316841 1994 11789.09552 209.9044751 1995 12321.39985 140.6001486 1996 12804.94209 22.05790756 1997 13623.20251 -292.2025146 1998 14541.88745 -251.8874547 1999 15473.66927 -109.6692747 2000 16442.02266 -133.0226587 2001 17123.24168 158.7583191 2002 17626.54254 129.4574635
Por tanto, en segunda iteración obtenemos el siguiente valor ˆρ a partir de la regresión:
ttt wee += −*
1* ˆ52446.0ˆ
Y a partir de este nuevo valor ˆρ repetiremos el proceso hasta obtener parámetros que difieran en
un pequeño valor, como ocurre entre los parámetros obtenidos en la iteración 9 y 10:
Iteración ρ Diferencias 1 0.5244578
2 0.52217007 -0.00228772
3 0.52141952 -0.00075055
4 0.52117513 -0.00024439
Con el parámetro correspondiente a la cuarta iteración se obtiene la siguiente estimación MCG:
ˆ 7495.29 0.045t tY X= − +
3.6. PROBLEMAS
3.1. Utilizando los siguientes datos:
Y X 2 25 3 28 4 30 5 33 6 35 7 35 8 39 4 28 5 29 6 31 7 33 3 26 4 29 5 28 8 34 2 23 4 28
a) Estime por MCO la relación Y=β0+β1X
b) Obtenga los residuos y representarlos gráficamente. Comentar los resultados.
c) Calcule el estadístico d de Durbin-Watson e interprete el resultado
3.2. Utilizando los siguientes datos de corte transversal de 20 individuos:
i Y X 1 5 4.3 2 11.1 4.6 3 3.2 2.4 4 7.9 2.4 5 25.5 26.4 6 3.8 4.2 7 11.1 5.5 8 9.9 4.7 9 13.3 2.2
10 1.5 4 11 6.4 4 12 8.9 8.4 13 8.1 3.3 14 13.5 4.7 15 4.7 5.2 16 7.5 3.6 17 4.7 3.6 18 8 4 19 7.5 3.9 20 9 2.1 a) Efectúe la regresión MCO de Y sobre X y realice un gráfico de los residuos de la
regresión. b) En base al gráfico de los residuos si concluye que hay heteroscedasticidad en la
varianza del error, realice un contraste estadístico para verificarlo.
3.3. Con los siguientes datos de X e Y
Y X 217 6.5 136 4.6 67 2.4 66 2.4 93 3.4 36 1.1
173 5.5 139 4.7 61 2.2 58 2.1 55 2
212 6.4 92 3.3
138 4.7 37 1.2
152 5 243 7
Se ha obtenido la siguiente estimación:
Y=8.25+3.68 X R2=0.9846. Comprobar si el modelo está bien especificado.
3.4. Comente los resultados con el siguiente programa R4 realizado con datos del PIB en indices de volumen y horas trabajadas de la Contabilidad Regional de España en Cantabria :
> library(lmtest) > datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T,dec=",") > datos Año PIB HORAS 1 2000 81.36789 358353.0 2 2001 84.70348 376717.6 3 2002 87.13748 389675.5 4 2003 88.44620 393953.2 5 2004 90.48026 402303.7 6 2005 93.35919 415740.0 7 2006 96.36604 418940.8 8 2007 99.17407 428054.0 9 2008 100.00000 426718.0 10 2009 96.05368 401495.1 11 2010 95.64394 379246.9 12 2011 94.83684 371818.5 13 2012 93.99655 354724.5 dwtest(datos$PIB ~ datos$HORAS) Durbin-Watson test data: datos$PIB ~ datos$HORAS DW = 0.0942, p-value = 6.069e-10 alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0
3.5 Utilizando los datos del ejercicio 1 realice una estimación de ρ siguiendo el procedimiento
de Cochrane-Orcutt.
Soluciones
3.1 a) XY 42.079.7 +−=
b) A realizar por el lector
c) 797.0777.9
795.7 ==d , con 40.1=Ud y 90.0=Ld . Se rechaza la hipótesis nula de
no autocorrelación.
4
3.2 a) XY 757.061.4 ++=
b) 28.171.55
43.71exp ==F ; 39.64,4 =F ; no se rechaza la hipótesis nula de
homocedasticidad5.
3.3 9998.02 =BR y 9846.02 =AR ; 1064
14
)9998.01(1
)9846.09998.0(
exp =−
−
=F ; 60.414,1 =F . Se
acepta la hipótesis de que el modelo está mal especificado6.
3.4 A realizar por el lector
3.5 57721.0ˆ =ρ ; 61176.0ˆ =ρ ; 61416.0ˆˆ =ρ ; 61432.0
ˆˆ =ρ
5 Resultados del contraste de Goldfeld-Quant eliminando las cuatro observaciones centrales. 6 Para calcular
2BR se utiliza la regresión iiii eYXY +++= 2
210ˆβββ
4. MODELOS CON ERRORES EN LAS VARIABLES
4.1. INTRODUCCIÓN
En el capítulo 2 hemos mantenido dos supuestos de forma implícita: por un lado, que los modelos
habían sido correctamente especificados; y por otro, que no se cometían errores en la medición
de las variables que componen los modelos. Sin embargo, en la práctica puede que alguno de los
supuestos anteriores no se satisfaga plenamente.
El incumplimiento del primero de ellos conlleva lo que se conoce en Econometría como errores
de especificación, los cuales ya han sido examinados en el capítulo anterior. Sin embargo, no son
éstos los errores objeto de análisis en este capítulo sino los segundos, aquellos derivados de la no
coincidencia de los datos disponibles con los valores teóricos de las variables incluidas. Ello
puede deberse básicamente a dos motivos: por un lado, puede darse la circunstancia de que no
podamos obtener datos para la variable teórica deseada (denominada variable latente), por lo que
deberemos usar una variable que esté muy correlacionada con la anterior (variable proxy) de la
que sí se disponga de datos. Por otro lado, también puede darse el caso en el que el investigador
se encuentre con problemas de la muestra tales como errores en el tratamiento de los datos,
respuestas no válidas, etc.
En estos casos, los estimadores obtenidos en las regresiones se verán afectados, introduciendo
sesgos en la estimación por Mínimos Cuadrados Ordinarios. El sesgo de los estimadores será
menor cuanto más se aproxime la variable que realmente aparece en el modelo, y cuanto más
independiente sea el error de medida de las restantes variables del modelo. Asimismo, también se
verán afectadas las propiedades de consistencia y eficiencia de los estimadores, siendo más
negativas las consecuencias de los errores de medida cuanto menor sea el tamaño muestral.
Entre ambos tipos de errores (especificación y medida) existe cierta relación. De hecho, un error
de medida puede ser considerado un error de especificación en cierta medida, ya que puede que
se esté dejando información relevante fuera del modelo, o que se esté incluyendo información
irrelevante en el mismo.
Si bien en el presente capítulo se muestran algunos métodos para atenuar las consecuencias de
estos errores, resulta fundamental que, desde el principio, el investigador conozca la fuente y el
origen de los datos, así como sus características básicas (error de muestreo, nivel de confianza,
tipo de muestreo, tamaños muestrales, universo de referencia, influencia de la no respuesta, etc.)
4.2. TIPOS DE ERRORES DE MEDIDA
A continuación pasamos a analizar los efectos que tienen los errores de medida sobre las distintas
variables del modelo; primero, consideraremos los efectos sobre las variables endógenas y
después, sobre las variables exógenas.
4.2.1. Errores de medida en la variable endógena Supongamos que deseamos estudiar el comportamiento de una determinada variable endógena
teórica o latente, que denominaremos Yt, a lo largo del tiempo en función de una sola variable, Xt,
la cual es observada sin error. El modelo especificado será por tanto:
Yt = β0 + β1Xt + εt (4.1.)
Donde εt es una variable aleatoria independiente con distribución N(0, 2εσ ).
Supongamos que la variable Yt presenta algún error de medida, de tal forma que en realidad
observamos:
Yt* = Yt + ut
Donde ut, al igual que εt, es una variable i.i.d. con función de distribución N(0, 2uσ ), siendo además
independiente de εt y de Xt.
Reemplazando el valor teórico de Yt por su valor observado en (4.1) tenemos que:
Yt = Yt* – ut = β0 + β1Xt + εt + ut
Y agrupando los dos términos de error en uno, vt = εt+ut, se obtiene que:
Yt* = β0 + β1Xt + vt (4.2.)
Donde el término de error vt continúa siendo i.i.d. si bien ahora su varianza pasa a ser:
Var(vt) = Var(εt)+ Var(ut) = 2εσ + 2
uσ
Al ser Cov(εt ut) = 0, por ser ambas variables ruidos blancos.
El modelo obtenido en (4.2) puede ser estimado por MCO sin ninguna dificultad y los estimadores
que se calculen serán insesgados; sin embargo, la varianza estimada para los coeficientes del
modelo sí se verá afectada ya que:
Var(β) = 2vσ (X’X)-1 = ( 2
εσ + 2uσ )(X’X)-1
Cuyo valor es mayor que el de la varianza de los estimadores del modelo (4.1) si Yt no estuviera
medida con error.
4.2.2. Errores de medida en la variable exógena Si bien la existencia de errores de medida en la variable endógena no tiene consecuencias
excesivamente graves para la estimación mínimo-cuadrática, no podemos decir lo mismo cuando
existen errores de medida en las variables exógenas. En efecto, supongamos que en el mismo
modelo planteado en (4.1) es ahora la variable exógena, Xt, la que presenta el error de medida tal
que:
Xt* = X t + ut (4.3.)
Donde de nuevo suponemos que ut es una variable iid con función de distribución N(0, 2uσ ),
siendo además independiente de εt y de Xt y de Yt.
Así, el modelo resultante de sustituir (4.3) en (4.1) es:
Yt = β0 + β1(Xt* – ut )+ εt = β0 + β1Xt* + ( εt – β1 ut )
Y, de nuevo, llamando vt = εt – β1 ut queda que:
Yt = β0 + β1Xt* + v t (4.4.)
Donde ahora el término de error compuesto vt está correlacionado con la variable explicativa Xt
tal que:
Cov(Xt*, vt) = Cov (Xt + ut, εt – β1 ut)
= Cov (Xt, εt) – β1Cov(Xt, ut)+Cov(ut, εt) – β1 Cov(ut, ut)
= 0 – β1·0 + 0 – β12uσ = – β1
2uσ
Siendo Cov(Xt, εt) nulo por los supuestos habituales del modelo de regresión lineal, mientras que
el resto de términos son nulos debido a los supuestos que hemos establecido a lo largo del
desarrollo sobre el error de medida.
La correlación existente entre Xt y vt va a provocar que los estimadores MCO en este caso sean
sesgados. En efecto, si expresamos el modelo (4.4) en desviaciones respecto a la media, dividimos
numerador y denominador por el tamaño muestral, T, y calculamos el límite en probabilidad de
la expresión del estimador MCO para β1 tenemos que:
[ ][ ]
[ ]
( )( )
+=
+=
−+−+
−−+−+−+=
−+
−+−+==
∑∑∑
∑ ∑∑∑
∑
∑
∑
∑
22122
21
22
12
1
2
1
2*
*
1
/1
1·
)()(21
lim
)()()()(1
lim
)(1
lim
)()(1
lim
1lim
1lim
ˆlim
xuux
x
tttt
ttttttt
tt
tttt
t
tt
uuuuxxT
p
uuxuuxxT
p
uuxT
p
xuuxT
p
xT
p
yxT
pp
σσβ
σσσβεεεεββ
εεββ
El resultado obtenido muestra que, en presencia de errores de medida, el estimador MCO de β1
será sesgado e inconsistente. La magnitud del sesgo será mayor cuanto mayor sea la varianza del
error de medida 2uσ , lo que implica que un error de medida en Xt que fuese constante no produciría
sesgo alguno en la estimación de β1.
El resultado obtenido puede generalizarse a modelos con k variables explicativas, todas ellas
medidas con error. Así, sea la matriz X* de dimensión T k× ; dicha matriz puede descomponerse
como la suma de la matriz de variables latentes, X, y la matriz de errores de medida, u, tal que:
+
=
kTTT
k
k
kTTT
k
k
kTTT
k
k
uuu
uuu
uuu
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
21
22212
12111
21
22212
12111
**2
*1
*1
*22
*12
*1
*21
*11
El investigador desea estimar el modelo:
Y = Xβ + ε
Sin embargo, los datos de que dispone para las variables explicativas presentan errores de medida
por lo que en la práctica el modelo que estimará será:
Y = (X*–u)β + ε = X*β + (ε–βu)= X*β + v (4.5.)
Suponiendo que u cumple las propiedades enunciadas anteriormente para los errores de medida,
la estimación MCO de los parámetros del modelo anterior vendrá dada por:
YXXXMCO *'*)*'(ˆ 1−=β
Descomponiendo el producto y tomando límites de probabilidad en la expresión anterior tenemos
que:
[ ] [ ]
uuXXT
Xup
T
uXp
T
uup
T
XXp
T
XuuXuuXXp
T
uXuXp
T
XXp
Σ+Σ=+++=
+++=
++=
)'(lim
)'(lim
)'(lim
)'(lim
)''''(lim
))()'(lim
*)'*(lim
[ ] [ ]
ββεβεβ
εβεβεβ
XXT
XXp
T
up
T
Xup
T
Xp
T
XXp
T
uXuXXXp
T
XuXp
T
YXp
Σ==+++=
+++=
++=
)'(lim
)'(lim
)'(lim
)'(lim
)'(lim
)''''(lim
)()'(lim
)*'(lim
Por tanto, si calculamos el límite en probabilidad de MCOβ queda que:
ββββ uuuuXXXXuuXXMCOp ΣΣ+Σ−=ΣΣ+Σ= −− 11 )(·)(ˆlim
Resultado que muestra que incluso aunque sólo una de las variables explicativas tuviera un error
de medida, los estimadores MCO obtenidos serían sesgados e inconsistentes.
4.3. ESTIMACIÓN DE MODELOS CON ERRORES EN LAS
VARIABLES
En la práctica, ante un problema como el planteado poco se puede hacer. Ya hemos visto las
implicaciones que ello tiene para la estimación, siendo éstas más importantes cuando se presentan
en las variables explicativas. Aunque en ocasiones lo que se hace es obviar dichos errores por
considerar que no son significativos, el investigador deberá tener en mente que puede utilizar dos
métodos que permiten atenuar las consecuencias de la existencia de errores de medida en las
variables. Dichos métodos son la estimación mediante variables instrumentales y la estimación
por variables aproximadas.
a) Estimación por Variables Instrumentales Si bien este método de estimación se verá con más detalle en el capítulo 8, pasamos a comentar
en este apartado la aplicación práctica de este método de estimación al problema de los errores de
medida. La filosofía de este procedimiento en este caso consiste en sustituir las variables medidas
con error por otras, denominadas instrumentos, que no presenten este problema y que no hayan
sido incluidas en el modelo. Para ello, cada una de las variables seleccionadas deben verificar
que:
α) Esté incorrelacionada, al menos asintóticamente, con el término de error tal que, si Z
es la matriz de variables instrumentales para el modelo, deberá verificarse que:
0'
lim·'
lim)('
lim'
lim =−=−=T
uZp
T
Zp
T
uZp
T
vZp βεβε
β) Esté correlacionada con la variable explicativa para la que actúa como instrumento
tal que:
0'
lim ≠Σ= ZXT
XZp
Si estas propiedades se cumplen, el estimador de Variables Instrumentales del modelo (4.5)
vendrá dado por la expresión:
YZXZVI ')'(ˆ 1−=β
El cual ahora sí es insesgado ya que:
( ) ( ) βββ
ββ
=Σ+ΣΣ=
+
=
+
=
=
−−−
−−
0·)'
lim'
lim'
lim
)('lim
'lim
'lim
'limˆ
111
11
ZXZXZX
VI
T
vZp
T
XZp
T
XZp
T
vXZp
T
XZp
T
YZp
T
XZp
Siendo la matriz de varianzas y covarianzas del estimador VIβ :
112 )')('()'()ˆ( −−= ZXZZXZVar vVI σβ
b) Estimación por Variables Aproximadas En algunas ocasiones lo que sucederá no es que existan errores de medida en la variable
considerada sino que sencillamente no existe ninguna variable observable que se corresponda
exactamente con la variable incluida en el modelo. Tal es el caso del nivel educativo o la
inteligencia de un individuo, variables que pueden ser aproximadas por los años de escolarización
o los resultados de un test de inteligencia respectivamente. Sin embargo, estas variables
aproximadas deben tratarse como variables con errores de medida, ya que no podemos
aproximarnos a la verdadera variable realizando mediciones más precisas de la variable proxy.
4.4. APLICACIÓN PRÁCTICA
Veamos cómo afectan los errores de medida a los valores de las estimaciones. Supongamos que
un investigador desea estimar un modelo simple que relaciona renta y consumo. Para lo cual
realiza una encuesta a 10 familias, y obtiene los datos que figuran en la tabla siguiente:
Observación Gasto observado (C) Ingreso observado (I)
1 67.60 80.09
2 75.44 91.57
3 109.70 112.14
4 129.42 145.60
5 104.24 168.56
6 125.83 171.47
7 153.99 203.54
8 152.92 222.85
9 176.33 232.98
10 174.52 261.18
Sin embargo, supongamos que en realidad el gasto efectivo en consumo, y el ingresos efectivos
de dichas familias han sido los siguientes:
Observación Gasto efectivo en consumo (C*) Ingreso efectivo (I*)
1 75.47 80
2 74.98 100
3 102.82 120
4 125.77 140
5 106.50 160
6 131.43 180
7 149.37 200
8 143.86 220
9 177.52 240
10 182.28 260
En consecuencia, el modelo de consumo para las cifras reales sería:
* *0 1i i iC I uβ β= + +
donde 2 2( ) 0, ( )i i uE u E u σ= = .
La función de Consumo estimada con datos reales sería :
Variable dependiente: C*
Número de observaciones: 10
Variable Coeficiente Desv. Típica Estadístico t p-value
0β
25.00 10.48 2.386 0.044
1β
0.60 0.06 10.276 0.000
R2 R2 corregido
0.929 0.921
Media variable dependiente Desv. típica variable dependiente
127.000 37.683
Desv. Típica regresión 10.606 Estadístico F 105.599
Estadístico Durbin-Watson 2.816 p-value Estadístico F 0.0000
Para comprobar como variaría la estimación, vamos a suponer que las variables observadas
contienen errores de medida tal que Ci = Ci* + εi, I i = I i* + v i, con εi y vi, errores de medición que
satisfacen que:
2 2( ) 0, ( )i iE E εε ε σ= = 2 2( ) 0, ( )i i vE v E v σ= =
( ) ( ) 0i i i iE v E vε ε= = * * *( ) ( ) ( ) 0i i i i i iE I E I v E I uε = = =
Supongamos que el investigador dispone de los datos de ingresos efectivos, I* , pero sólo cuenta
con el gasto en consumo observado, C. Con dicha información estimamos ahora la función de
consumo *
0 1i i iC I uβ β= + + .
Variable dependiente: C
Número de observaciones: 10
Variable Coeficiente Desv. Típica Estadístico t p-value
0β
25.00 12.22 2.046 0.075
1β
0.60 0.07 8.811 0.000
R2 R2 corregido
0.907 0.895
Media variable dependiente Desv. típica variable dependiente
127.000 38.158
Desv. Típica regresión 12.369 Estadístico F 77.647
Estadístico Durbin-Watson 2.287 p-value Estadístico F 0.000
Como puede apreciarse, los estimadores continúan siendo insesgados y consistentes, coincidiendo
prácticamente los coeficientes de ambas estimaciones. Sin embargo, los errores de medición en
la variable endógena provocan el aumento de las desviaciones típicas de los parámetros.
Supongamos que disponemos de la serie de gasto en consumo efectivo, C*, pero tan sólo
disponemos de los ingresos observados, I. Con dicha información estimamos ahora la función de
consumo *
0 1i i iC I uβ β= + + .
Variable dependiente: C*
Número de observaciones: 10
Variable Coeficiente Desv. Típica Estadístico t p-value
0β
28.46 11.28 2.522 0.036
1β
0.58 0.06 9.246 0.000
R2 R2 corregido
0.914 0.904
Media variable dependiente Desv. típica variable dependiente
127.000 37.683
Desv. Típica regresión 11.692 Estadístico F 85.481
Estadístico Durbin-Watson 2.842 p-value Estadístico F 0.000
En este caso, observamos que los estimadores obtenidos están claramente sesgados, sobre todo
en el caso del término constante.
4.5. PROBLEMAS
4.1. Considere el siguiente modelo:
yt = βxt + εt
En el que las variables están expresadas en desviaciones respecto a la media.
La variable xt presenta errores de medida tal que:
xt* = x t + ut
La variable xt en realidad es una variable aleatoria que evoluciona en el tiempo de acuerdo
a un proceso autorregresivo de orden 1 tal que:
xt* = φxt-1* + εt
Demuestre que, al contrario de los resultados obtenidos a lo largo del capítulo, es posible
estimar consistentemente β mediante la expresión:
∑
∑
=−
=−
=T
itt
T
itt
xx
yx
2
**1
2
*1
β
4.2. Un investigador especifica el siguiente modelo:
Yt =α+ βXt + εt
donde yt es el consumo que realizan las familias y Xt es la renta permanente. Dado que no
es posible observar directamente la variable Xt, el investigador decide utilizar como variable
proxy de Xt la media de la renta familiar de los últimos cinco años y que denotaremos por
Xt*.
La relación entre las dos variables puede expresarse como:
Xt* = X t + wt
Donde wt es un ruido blanco gaussiano.
Calcule el sesgo asintótico del estimador MCO del modelo cuando se tienen en
consideración los errores de medida comentados. ¿Es posible saber si el valor del estimador
MCO sobrestimará o subestimará el valor de β?
SOLUCIONES
4.1. A realizar por el lector.
4.2. El sesgo del estimador es 2 2
1
1 /w xσ σ+ . El estimador siempre subestima el
verdadero valor de β.
5. MODELOS CON VARIABLES CUALITATIVAS
5.1. MODELOS CON VARIABLES CUANTITATIVAS Y
CUALITATIVAS COMO REGRESORES.
En un modelo econométrico, las variables representan a los conceptos u operaciones económicas
que queremos analizar. Normalmente utilizamos variables cuantitativas, es decir, aquellas cuyos
valores vienen expresados de forma numérica; sin embargo, también existe la posibilidad de
incluir en el modelo econométrico información cualitativa, siempre que esta pueda expresarse de
esa forma.
Las variables cualitativas expresan cualidades o atributos de los agentes o individuos (sexo,
religión, nacionalidad, nivel de estudios, etc.) y también recogen acontecimientos extraordinarios
como guerras, terremotos, climatologías adversas, huelgas, cambios políticos etc.
No cabe duda de que una forma de recoger factores de este tipo sería la utilización de variables
proxy o aproximadas a las variables utilizadas. Por ejemplo, si quiero utilizar una variable que
mida el nivel cultural de un país (variable cualitativa) puedo utilizar como variable proxy el
número de bibliotecas existentes en un país, o representa una climatología adversa a partir de las
temperaturas medias o precipitaciones. Sin embargo, no siempre es posible encontrar este tipo de
variables y, en cualquier caso, debemos de ser conscientes de la posible existencia de errores en
la definición de la variable.
Puesto que las variables cualitativas normalmente recogen aspectos de la presencia o no de
determinado atributo (ser hombre o mujer, tener estudios universitarios o no tenerlos, etc.…) se
utilizan variables construidas artificialmente, llamadas también ficticias o dummy, que
generalmente toman dos valores, 1 ó 0, según se dé o no cierta cualidad o atributo. Habitualmente
a la variable ficticia se le asigna el valor 1 en presencia de la cualidad y 0 en caso contrario. Las
variables que toman valores 1 y 0, también reciben el nombre de variables dicotómicas o binarias.
Las variables dicotómicas pueden combinarse para caracterizar variables definidas por su
pertenencia o no a un grupo. Si incluyo una variable cualitativa que me define la pertenencia o
no de un país a un grupo, por ejemplo renta alta, media y baja, introduciré tres variables
cualitativas en el modelo asociadas al la pertenencia o no a cada grupo; la primera caracterizaría
a los individuos con renta alta, la segunda a los individuos con renta media, y la tercera a los
individuos con renta baja.
Los modelos que utilizan variables cualitativas como regresores se diferencian en dos grupos, los
modelos de Análisis de la Varianza o modelos ANOVA, que únicamente incluyen variables
cualitativas como regresores; y los modelos de Análisis de la Covarianza o modelos ANCOVA
que incluyen tanto variables cualitativas como cuantitativas. Los modelos ANOVA son muy
utilizados en Sociología, Psicología, Educación, etc.; en Economía son más comunes los modelos
ANCOVA.
5.1.1. Modelos ANOVA Un problema estadístico clásico es la comparación de medias de dos distribuciones normales.
Supongamos que las observaciones de la variable iY , provienen de dos distribuciones normales
con medias 1µ y 2µ y varianza común 2σ . El tamaño de la primera distribución se circunscribe a
las 1n primeras observaciones, y el de la segunda las 1nn − restantes observaciones. Queremos
constrastar la hipótesis 21: µµ =oH frente a la alternativa 21: µµ ≠oH al nivel de
significación de α .
Este contraste de igualdad de medias cabe formularlo en el marco del modelo lineal general. Así,
bajo oH tenemos el siguiente modelo de regresión múltiple utilizando variables Dummy:
iiii eDDY ++= 21 21 µµ
Siendo :
+∈∈
=nnisi
nisiD i ,...,10
,...,111
1
1
+∈∈
=nnisi
nisiD i ,...,11
,...,102
1
1
El estimador mínimo cuadrático del modelo planteado sería:
=
∑
∑
∑∑
∑∑
=
=
−
==
==n
iii
n
iii
n
ii
n
iii
n
iii
n
ii
YD
YD
DDD
DDD
1
1
1
1
2
1
11
2
1
1
2
1
221
211
ˆ
ˆ
µµ
Teniendo presente que ∑
=
=n
ii nD
11
21, ∑
=
=−=n
ii nnnD
121
22, ∑
=
=n
iii DD
1
021,
∑ ∑= =
=n
i
n
iiii YYD
1 1
1
1y∑ ∑
= +==
n
i
n
niiii YYD
1 11
2, el estimador mínimo cuadrático quedaría:
=
=
∑
∑
+=
=
−
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
0
0
ˆ
ˆ
Y
Y
Y
Y
n
nn
nii
n
ii
µµ
Para contrastar la hipótesis 0: 21 =− µµoH frente a la alternativa 0: 21 ≠− µµoH ,
construiríamos el estadístico experimental 2
2
1
2
21
ˆˆ
21
ˆˆ
ˆˆ
21
nn
YY
St
σσµµµµ +
−=
−=
−
, en donde
2ˆ 1
2
2
−=∑
=
n
en
ii
σ.
La hipótesis 0: 21 =− µµoH ser rechaza con el estadístico teórico )2/(2 α−= ntco tt si
tcott >exp .
El análisis anterior se extiende a la comparación de medias con tres o más distribuciones
normales. Suponemos ahora que las n observaciones proceden de tres distribuciones normales
con medias 1µ , 2µ y 3µ y varianza común 2σ , correspondientes a tres muestras que contienen
las 1n primeras observaciones,2n siguientes y 213 nnn −−=µ ultimas observaciones.
El modelo lineal utilizando variables Dummy quedaría:
iiiii edddY +++= 32211 µµ
Donde las variables binarias se definen:
∉∈
=Jgrupoelenisi
JgrupoelenisiDJ i 0
1
El estimador mínimo cuadrático del vector de parámetros es:
=
=
∑
∑
∑
+=
+=
=−
3
2
1
1
1
11
3
2
1
3
2
1
2
2
1
1
00
00
00
ˆ
ˆ
ˆ
Y
Y
Y
Y
Y
Y
n
n
n
n
nii
n
nii
n
ii
µµµ
Para contrastar la hipótesis 321: µµµ ==oH , se utiliza el contraste de significación global,
para el que construimos es estadístico experimental 3
)1(2
2
2
exp
−−
=
n
R
R
F
, siendo el estadístico
teórico )3,2( −= nFFtco , la hipótesis se rechazaría con la regla de decisión tcoFF >exp .
Ejemplo 5.1.
Desde R obteneos el conjunto de datos (data.frame) mtcars, que es una base de datos relativa a
diferentes tipos de automóviles.
> data(mtcars) El contenido de la base de datos puede analizarse con la function str > str(mtcars) 'data.frame': 32 obs. of 11 variables: $ mpg : num 21 21 22.8 21.4 18.7 18.1 14.3 24.4 22.8 19.2 ... $ cyl : num 6 6 4 6 8 6 8 4 4 6 ... $ disp: num 160 160 108 258 360 ... $ hp : num 110 110 93 110 175 105 245 62 95 123 ... $ drat: num 3.9 3.9 3.85 3.08 3.15 2.76 3.21 3.69 3.92 3.92 ... $ wt : num 2.62 2.88 2.32 3.21 3.44 ... $ qsec: num 16.5 17 18.6 19.4 17 ... $ vs : num 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ... $ am : num 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ... $ gear: num 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 ... $ carb: num 4 4 1 1 2 1 4 2 2 4 ...
Teniendo presente que mpg es el consumo en Miles/ (US) gallon, y que am es una variable
cualitativa que relativa al tipo de transmisión (marchas) , que toma valor 0 en caso de transmisión
es automática y 1 cuando lo es manual, construimos la tabla anova con la función “aov”:
> mod1 <- aov(mtcars$mpg ~ mtcars$am) > summary(mod1) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$am 1 405.2 405.2 16.86 0.000285 *** Residuals 30 720.9 24.0 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
El estadístico F al ser mayor que el valor teórico permite rechazar la hipótesis oH por lo que cabe
admitir que transmisión autómatica ó manual tiene relación con el consumo de gasolina de este
conjunto de automóviles. De hecho el codigo “***” nos muestra que la variable es significativa a
un α muy bajo.
La variable gear, hace referencia al numero de marchas delanteras, variable que toma valores:
3,4 y 5.
> mtcars$gear [1] 4 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 3 3 4 5 5 5 [30] 5 5 4 Otra posibilidad de obtener la tabla anova es definir el modelo lineal y utilizar la función
“anova”.
> reg <- lm(mtcars$mpg ~ mtcars$gear) > anova(reg) Analysis of Variance Table Response: mtcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$gear 1 259.75 259.749 8.9951 0.005401 ** Residuals 30 866.30 28.877 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Al igual que en laso anterior la variable tambien tiene relación con el consumo de gasolina, sería
significativa a un 001.0=α .
Realizamos ahora un modelo anova con el descrito en la teoría con la función siguiente:
> model.tables (mod1, type = "mean") Tables of means Grand mean 20.09062 mtcars$am mtcars$am 0 1 17.147 24.392 Warning message: In replications(paste("~", xx), data = mf) : non-factors ignored: mtcars$am
Incorporamos ahora la variable que nos informa del número de marchas y estudiamos sus efectos
sobre la explicativa:
mod2 <- aov(mtcars$mpg ~ mtcars$am+mtcars$gear) > anova(mod2) Analysis of Variance Table Response: mtcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$am 1 405.15 405.15 16.2994 0.0003615 *** mtcars$gear 1 0.05 0.05 0.0019 0.9651278 Residuals 29 720.85 24.86 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> model.tables (mod2) Tables of effects mtcars$am mtcars$am 0 1 -2.943 4.302 mtcars$gear mtcars$gear 3 4 5 -0.01854 0.00059 0.05419 Warning messages: 1: In replications(paste("~", xx), data = mf) : non-factors ignored: mtcars$am 2: In replications(paste("~", xx), data = mf) : non-factors ignored: mtcars$gear
Obtenemos ahora que los vehiculos con marchas automáticas reducen el consumo medio en 2,943
millas/(US) gallon, los de marchas manuales, lo aumentan en 4,302; los de 3 marchas lo reducen
en -0.01854, etc…
Incluimos ahora las dos variables y sus iteracciones:
> mod3 <- aov(mtcars$mpg ~ tcars$am+mtcars$gear+mtcars$am*mtcars$gear) > anova(mod3) Analysis of Variance Table Response: mtcars$mpg Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) mtcars$am 1 405.15 405.15 19.9021 0.0001208 *** mtcars$gear 1 0.05 0.05 0.0024 0.9614808 mtcars$am:mtcars$gear 1 150.85 150.85 7.4099 0.0110327 * Residuals 28 570.00 20.36 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 > model.tables (mod3) Tables of effects mtcars$am mtcars$am 0 1 -2.943 4.302 mtcars$gear mtcars$gear 3 4 5 -0.01854 0.00059 0.05419 mtcars$am:mtcars$gear mtcars$gear mtcars$am 3 4 5 0 -1.022 3.833 1 1.917 -3.066
Las iteraciones entre tipo de marchas y numero de marchas son significativas estadísticamente, y
la función nos informa que un coche automático con 3 marchas reduce en 1.002 adicional el
consumo de carburante en relación con el consumo medio del automático, un coche con marchas
manuales y 5 marchas reduce en 3.006 Milles/(US) gallon el consumo de gasolina sobre el
consumo medio de un conche con transmisión manual.
> model.tables (mod3,type="mean") Tables of means Grand mean 20.09062 mtcars$am mtcars$am 0 1 17.147 24.392 mtcars$gear mtcars$gear 3 4 5 20.072 20.091 20.145 mtcars$am:mtcars$gear mtcars$gear mtcars$am 3 4 5 0 16.107 21.050 1 26.275 21.380
5.1.2. Modelos ANCOVA
Para ilustrar la utilización de un modelo ANCOVA vamos a suponer que estamos modelizando
la relación que existe entre el dinero que ahorra un grupo “n” de individuos, Yi, y la renta que
declara cada uno de ellos, Xi:
Yi=β0+β1Xi+et , siendo i=1…..n
De este grupo de individuos conocemos algunas otras características que pueden ser
transcendentes a la hora de nuestro análisis, por ejemplo si están o no están casados. Utilizando
dicha información creamos las siguientes variables dummy:
=−=
=casadoestáisi
casadoestánoisiDD
casadoestánoisi
casadoestáisiD iii
,0
,1)11(2
,0
,11
Si por ejemplo la muestra de individuos que tenemos es de n=10, de los cuales cuatro de ellos
están casados, las variables dummy tendrían la siguiente estructura:
=
=
0
0
1
111
01
10
2
1
1
0
000
10
01
1 DD
De cara a estudiar los efectos del estado civil sobre el ahorro podemos estar interesados en saber
si los casados parten de un nivel de ahorro diferente de los solteros, o bien si las diferencias entre
solteros y casados derivan en que unos y otros tienen una diferente propensión marginal a ahorrar.
En el primer caso se trata de conocer si β0 es diferente entre los dos grupos de individuos, y en el
segundo, si lo es β1.
El planteamiento del problema para observar las diferencias de cada grupo respecto a β0 se puede
realizar a través de las siguientes especificaciones del modelo ANCOVA:
Yi=β0+α1D1i+β1Xi+ei (5.1)
Yi=β0+α2D2i+β1Xi+ei (5.2)
Yi=α1D1i+α2D2i +β1Xi+ei (5.3)
En este caso:
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.1), el término independiente de los casados vendrá
dado por la suma (β0+α1), y para los solteros por β0. Si queremos analizar la igualdad en el
nivel de ahorro de ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: α1=0
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.2), el término independiente de los solteros vendrá
dado por la suma (β0+α2), y para los casados por β0. Si queremos analizar la igualdad en el
nivel de ahorro de ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: α2=0
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.3) el término independiente de los casados vendrá
dado por el coeficiente α1, y para los solteros por α2. Si queremos analizar la igualdad en el
nivel de ahorro de ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0: α1=α2
Las tres especificaciones son equivalentes, y hay que tener presente que en la especificación del
modelo (5.3) se prescinde del término constante ya que de no hacerlo así tendríamos un problema
de multicolinealidad exacta entre el término constante y las dos variables dummy.
Si planteamos el modelo (5.3) de la siguiente forma:
Yi = β0+α1D1i+α2D2i +β1Xi+ei
La matriz X quedaría:
=
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
011
011
101
101
101
101
011
101
101
011
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
En la que se aprecia que la suma de las columnas 2 y 3 da como resultado la primera columna, lo
que provoca que la matriz (X’X) sea no singular.
Para el análisis del comportamiento de cada grupo respecto a la pendiente, aquí propensión
marginal a ahorrar, podemos plantear las siguientes especificaciones del modelo ANCOVA:
Yi=β0+β1Xi+δ1(D1i Xi)+ei (5.4)
Yi=β0+β1Xi+δ2(D2i Xi)+ei (5.5)
Yi=β0+δ1(D1i Xi)+ + δ2(D2i Xi)+ei (5.6)
En este caso:
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.4), la propensión marginal de los individuos
casados vendrá dado por la suma (β1+δ1), y la de los solteros por β1. Si queremos analizar la
igualdad en la propensión marginal del ahorro en ambos grupos, habría que contrastar la
hipótesis nula H0: δ1=0
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.5), la propensión marginal de los individuos
solteros vendrá dado por la suma (β1+δ2), y la de los casados por β1. Si queremos analizar la
igualdad en la propensión marginal del ahorro en ambos grupos, habría que contrastar la
hipótesis nula H0: δ2=0.
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.6), la propensión marginal de los individuos
casados vendrá dado por δ1, y la de los solteros por δ2. Si queremos analizar la igualdad en la
propensión marginal del ahorro en ambos grupos, habría que contrastar la hipótesis nula H0:
δ1=δ2
Si queremos incluir en modelo otra característica de los individuos como sería por ejemplo la
profesión y distinguimos entre tres profesiones: agricultores, asalariados y empresarios, habría
que crear tres nueva variables dummy:
=
=
=
empresarioesnoisi
empresarioesisiE
asalariadoesnoisi
asalariadoesisiE
agricultoresnoisi
agricultoresisiE
i
i
i
,0
,13
,0
,12
,0
,11
Si bien a la hora de especificar el modelo hay que evitar los problemas de multicolinealidad entre
todas las variables dummy incluidas y el término constante. Una forma de evitar los problemas es
no incluir alguna de las categorías en forma de variable dummy, y dejar que la constante recoja
el efecto de la categoría no incluida. Una especificación posible de un modelo ANCOVA sería
entonces:
Yi = β0+α1D1i+η1E1i+η2E2i +β1Xi+ei
Las variables cualitativas también pueden corresponder a hechos que concurren en un periodo de
tiempo y tener la forma de serie temporal. Este tipo de variables se utilizan para observar los
efectos que sobre el modelo provocan sucesos extraordinarios como son las huelgas, una
climatología adversa, cambios políticos e incluso cambios en la metodología estadística de
elaboración de los datos.
Supongamos que tenemos el siguiente modelo:
Yt=β0+β1Xt+et siendo t=1,….,T1, T1+1…T
En el periodo T1 sabemos de la existencia de un suceso extraordinario que afecta a la evolución
de la variable dependiente durante un periodo determinado de tiempo, y queremos lógicamente
saber el efecto que causa dicho suceso extraordinario sobre la ecuación a estimar.
Para ello definimos las siguientes variables dummy:
>≤
=−=
>≤
=1
1
1
1
1
0)11(2
0
11
Ttsi
TtsiDD
Ttsi
TtsiD ttt
La estructura de ambas variables sería la siguiente:
=
=
1
.
.1
0.
.0
2
0
.
.0
1.
.1
1 DD
D1 tienen tantos unos como observaciones hay hasta T1 y D2 tiene tantos unos como
observaciones hay entre T1 y T.
El análisis del efecto del suceso extraordinario sobre la regresión puede realizarse de forma
separada para cada periodo de 1 a T1 y T1 a T, o conjuntamente para todo el periodo, bien sobre
el termino constante β0 o sobre la pendiente β1.
Para el análisis de los efectos sobre el término constante tendremos que plantear los siguientes
modelos de regresión:
Yt=β0+α1D1t+β1Xt+et (5.7)
Yt=β0+α2D2t+β1Xt+et (5.8)
Yt=α1D1t+α2D2t +β1Xt+et (5.9)
En este caso:
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.7) el análisis de la invariabilidad de β0
exige contrastar la hipótesis nula H0: α1=0
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.8) el análisis de la invariabilidad de β0
exige contrastar la hipótesis nula H0: α2=0
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.9) el análisis de la invariabilidad de β0
exige contrastar la hipótesis nula H0: α1=α2
Si queremos analizar el efecto del acontecimiento extraordinario sobre la pendiente del modelo,
plantearemos las siguientes ecuaciones de regresión:
Yt=β0+β1Xt+δ1(D1t Xt)+et (5.10)
Yt=β0+β1Xt+δ2(D2t Xt)+et (5.11)
Yt=β0+δ1(D1t Xt)+ + δ2(D2t Xt)+et (5.12)
En cuyo caso:
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.10), el análisis de la invariabilidad de β1 exige
contrastar la hipótesis nula H0: δ1=0
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.11), el análisis de la invariabilidad de β1 exige
contrastar la hipótesis nula H0: δ2=0
− Si se utiliza la especificación del modelo (5.12), el análisis de la invariabilidad de β1 exige
contrastar la hipótesis nula H0: δ1=δ2
Para tomar una decisión acerca de que modelo ANCOVA seleccionar entre las varias
especificaciones que utilizan variables cualitativas, hay utilizar el contraste de errores de
especificación descrito en el apartado 3.5.4.
Ejemplo 5.2.
En el siguiente ejemplo planteamos una regresión lineal entre el crecimiento del consumo de
energía eléctrica en España y el crecimiento real del PIB, para verificar si los años en donde las
temperaturas medias fueron mayores han tenido alguna incidencia en la evolución del consumo
de energía eléctrica. Para ello nos auxiliamos de variables cualitativas que califican los años como
calurosos o no. En concreto calificamos los ejercicios de 1998, 1993, 1996, 1997 y 2002 como
los más calurosos del periodo estudiado.
Los datos utilizados son los siguientes:
Crecimiento Consumo Energía Crecimiento PIB
1988 4.76% 4.83%
1989 5.41% 3.78%
1990 5.42% 2.54%
1991 3.63% 0.93%
1992 1.02% -1.03%
1993 0.71% 2.38%
1994 3.72% 2.76%
1995 3.86% 2.44%
1996 2.93% 4.03%
1997 3.93% 4.35%
1998 7.19% 4.22%
1999 7.52% 4.21%
2000 6.15% 2.84%
2001 5.97% 2.04%
2002 2.74% 2.43%
Fuente: INE.
Con los datos de la tabla, la estimación MCO entre el crecimiento del consumo de energía
eléctrica, tY , y el crecimiento del PIB en moneda constante, tX , sería la siguiente:
Yt=0.023+0.715Xt+et
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.538912111 Coeficiente de determinación R2 0.290426264 R2 ajustado 0.235843669 Error típico 0.017592802 Observaciones 15
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Término constante 0.02291824 0.00993316 2.3072447 0.03814247 PIB 0.71496488 0.30995158 2.30669861 0.03818117
Como se puede apreciar en el cuadro anterior, los estadísticos de la regresión realizada no son
buenos: se obtiene un R2 muy bajo, aunque los parámetros son estadísticamente significativos con
un nivel de significación del 2.5%, ya que el valor teórico del estadístico t15-2 es 2.16.
La variable dummy que construimos para evaluar el efecto de un mayor calentamiento
atmosférico sería la siguiente:
≠=
=−=
≠=
=2002,1997,1996,1993,19881
2002,1997,1996,1993,19880)11(2
2002,1997,1996,1993,19880
2002,1997,1996,1993,198811
tsi
tsiDD
tsi
tsiD ttt
Las ecuaciones que vamos a estimar son las (5.2), (5.3), (5.4), (5.5), (5.6) y (5.7), y los resultados
que hemos obtenido figuran en la siguiente tabla; entre paréntesis se incluye el estadístico t
asociado a cada parámetro:
Ecuación β0 β1 α1 α2 δ1 δ2 F R2 Yt=β0+β1Xt+εt 0.0229 0.7150 5.3209 0.2358 (2.3072) (2.3067)
Yt=β0+α1D1t+β1Xt+εt 0.0229 1.0884 -0.0320 26.1668 0.7824 (4.3285) (6.1322) (-5.8008)
Yt=β0+α2D2t+β1Xt+εt -0.0091 1.0884 0.0320 26.1668 0.7824 (-1.1851) (6.1322) (5.8008)
Yt=α1D1t+α2D2t +β1Xt+εt 0.1775 -0.0091 0.0229 17.4445 0.6991 (6.1322) (-1.1851) (4.3285)
Yt=β0+β1Xt+δ1(D1t Xt)+εt 0.0192 1.1942 -0.8281 0.0056 0.7020 (3.0700) (5.4383) (-4.6197)
Yt=β0+β1Xt+δ2(D2t Xt)+εt 0.0192 0.3661 0.8281 17.4938 0.7020 (3.0700) (1.7624) (4.6197)
Yt=β0+δ1(D1tXt)+δ2(D2t Xt)+εt 0.0192 0.3661 1.1942 17.4938 0.7020 (3.0700) (1.7624) (5.4383)
Podemos apreciar que tanto el crecimiento del PIB, como las variables cualitativas resultaron
significativas al 95% en los modelos (5.7), (5.8), (5.10) y (5.11), por lo que se debe rechazar la
hipótesis de invariabilidad de β1, es decir, se rechaza que el aumento de la temperatura media
afecta a la relación entre tasas de crecimiento del consumo de electricidad y del PIB.
En el modelo (5.10), no es significativamente distinto de cero el parámetro α1
(texp=1.181<ttco=2.56), pero se puede contrastar la hipótesis de que H0: α1=α2. A la vista de los
resultados obtenidos, se debe rechazar dicha hipótesis, con un nivel de significación del 5%,
debiéndose admitir la variabilidad del coeficiente β1.
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95% PIB 1.08840409 0.17749128 6.13215522 5.0818E-05 0.70168381 1.47512436 D1 -0.00906395 0.00764828 -1.18509733 0.25891813 -0.02572812 0.00760021 D2 0.0229447 0.00530081 4.32852867 0.00098125 0.01139523 0.03449416
Los modelos (5.10), (5.11) también ofrecen parámetros estadísticamente significativos, pero con
un R2 inferior, lo que apunta a que la variable cualitativa es mejor incluirla en la forma de la
variable dummy que recoge el modelo (5.8) y (5.9). No obstante, se puede rechazar la hipótesis
de la invariabilidad de β1 tanto contrastando la hipótesis nula H0: α1=0 en (5.11) ó H0: α2=0 en
(5.12), como H0: α1=α2 en (5.13).
En definitiva, a la hora de modelizar la relación entre el crecimiento de consumo de la electricidad
y el PIB en España, habría que elegir la modelización 5.2 o su alternativa 5.4. por ser las que
mejor ajuste proporcionan; esto implica que hay que asumir un consumo autónomo diferente en
los años climatológicamente buenos y otro en los malos. Asimismo, al ser la relación consumo
de energía/PIB superior a la unidad, consideraríamos la existencia de una elasticidad del consumo
de energía sobre el PIB cercana a la unidad, en el sentido de que aumentos porcentuales del PIB
originan aumentos porcentuales del consumo de energía en una proporción similar. De hecho se
puede construir un intervalo de confianza del 95% para dicha elasticidad comprendida entre los
valores 1.47 y 0.70.
5.2. EL EMPLEO DE VARIABLES CUALITATIVAS PARA EL
TRATAMIENTO DE LA ESTACIONALIDAD
En Economía se suele trabajar con datos anuales pero en muchos casos, y derivado del carácter
predictivo del modelo y de los objetivos que persigue su elaboración, se hace necesario trabajar
con series de datos diarias, mensuales o trimestrales; este tipo de series tienen oscilaciones que se
deben al carácter estacional de las mismas (consumos bajos en los meses de verano, consumos
turísticos altos en este periodo, disminución de las ventas en domingos y lunes, etc.)
La estacionalidad en las series de tiempo es un patrón de comportamiento regular de una serie a
lo largo de cada año que puede obedecer a factores tales como costumbres, días festivos
decretados, vacaciones de verano, Navidad y otros hechos similares que ocasionan incrementos
o disminuciones en las magnitudes de ciertas variables, como por ejemplo la producción, las
ventas, etc.
Las variables dummy cualitativas pueden utilizarse también para recoger el efecto de la
estacionalidad en el modelo econométrico que estimamos.
La variable dummy cualitativa para ajuste estacional es una variable artificial que asumen valores
discretos, generalmente de 0 y 1, que se asigna a cada periodo de generación o referencia de las
series del modelo. Si se trabaja con datos trimestrales, hay que utilizar, en principio, una variable
dummy para cada trimestre; su representación sería:
=
=
=
=
trimestrecuartoelesnotsi
trimestrecuartoelestsiQ
trimestretercerelesnotsi
trimestretercerelestsiQ
trimestresegundoelesnotsi
trimestresegundoelestsiQ
trimestreprimerelesnotsi
trimestreprimerelestsiQ
t
t
t
t
,0
,14
,0
,13
,0
,12
,0
,11
La inclusión de los coeficientes de estas variables y de la constante en un modelo de regresión
simple produciría una matriz bianual X de la siguiente forma:
=
.1....
11000
10100
10010
10001
11000
10100
10010
10001
8
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
X
Que lleva asociada una matriz (X’X) singular (no invertible) por la existencia una combinación
lineal entre las dummy trimestrales y el parámetro constante, lo que impide estimar los
coeficientes del modelo de regresión.
Para evitar este inconveniente se utilizan únicamente tres de las cuatro variables dummy y la
constante. Así, si se excluye la variable Q4 en la matriz X; el efecto estadístico de la variable
omitida estaría implícitamente recogido con la columna de la constante. En definitiva, la matriz
de variables exógenas estaría determinada por las tres dummy: Q1, Q2, Q3 y la constante, y las
variables exógenas cuantitativas con lo cual la matriz (X’X) quedaría:
=
.1...
1000
1100
1010
1001
1000
1100
1010
1001
8
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
X
La forma funcional del modelo sería entonces:
Yt = β0+α1Q1t+α2Q2t +α3Q3t +β1Xt+et (5.13)
Otra forma muy utilizada para tratar la estacionalidad con variables cualitativas, consiste en
expresar las variables artificiales estacionales como desviaciones con respecto a la que
corresponde al cuarto trimestre. Estas nuevas variables, que podrían denominarse S1, S2 y S3,
corresponderían a las siguientes diferencias vectoriales:
S1 = Q1 – Q4
S2 = Q2 – Q4
S3 = Q3 – Q4
Una vez efectuadas las operaciones anteriores e incorporado el vector de la constante, la nueva
matriz X queda definida de la siguiente manera:
−−−
−−−=
.1...
1111
1100
1010
1001
1111
1100
1010
1001
8
7
6
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
X
Como se observa en la matriz anterior, los vectores de las variables dummy estacionales han sido
definidos de forma tal que su suma sea cero en cada año, por lo que este sistema permite que el
efecto estacional se anule en el año y que se obvie el problema de singularidad de la matriz.
En la estimación realizada con las tres variables dummy trimestrales S1, S2 y S3, los coeficientes
de las tres variables dummy identifican las diferencias con respecto al cuarto trimestre.
Yt = β0+α1S1t+α2S2t +α3S3t +β1Xt+et (5.14)
Es importante mencionar que en el caso de variables con periodicidad mensual, se utilizarían
únicamente once variables estacionales, en forma equivalente a lo explicado en esta sección para
las series de periodicidad trimestral. Sin embargo, hay que tener presente a la hora de incluir
variables dummy estacionales mensuales, la perdida de grados de libertad que conlleva el tener
que estimar tantos coeficientes, por lo que se requiere gran cantidad de observaciones para que
los test estadísticos ofrezcan resultados válidos.
También hay que tener en cuenta que el uso de las variables estacionales presenta problemas
cuando la estacionalidad de la serie Yt es móvil, es decir, cuando varía de año en año. En este
caso, es difícil que modelos de este tipo capturen de una forma adecuada la estacionalidad de la
variable dependiente.
Ejemplo 5.2.
Se disponen de datos trimestrales correspondientes a los ejercicios 1996-2003, relativos al
consumo de electricidad en GWh en España (Yt) y al PIB a precios de mercado en millones de
euros constantes de 1995.
Año Q Demanda de Electricidad (GWh) PIB (millones de euros) 1996 1 40919 109275
2 37275 111875 3 38070 111211 4 39981 116096
1997 1 40246 113396 2 39070 115566 3 40464 115744 4 42602 121807
1998 1 43263 118399 2 41535 120735 3 43273 121472 4 45010 126179
1999 1 46551 122424 2 43735 126471 3 45908 126474 4 48160 131977
2000 1 49922 129443 2 46861 133021 3 48208 130743 4 50020 135507
2001 1 52029 134079 2 49314 135900 3 50887 134475 4 53405 139292
2002 1 53928 136892 2 51523 138746 3 51950 137060 4 53762 142154
2003 1 57156 140080 2 53231 141861 3 56516 140207 4 56990 146163
Fuente: Ministerio de Economía
En la figura 5.1 se aprecia el carácter estacional de la demanda de energía eléctrica:
Figura. 5.1. Consumo Trimestral de Electricidad
Los trimestres de mayor consumo son los terceros y cuartos (otoño e invierno) y los de menor, el
segundo y tercero (primavera y verano).
Para estimar la relación entre demanda de electricidad y PIB en España vamos a plantear tanto la
especificación del modelo (5.13) y la del modelo (5.14).
La ecuación estimada con la especificación (5.13) es:
Yt = -24,705.2+3,087.2Q1t-996.1Q2t +1,066.2Q3t +0.55Xt+et
con los siguientes resultados:
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de correlación múltiple 0.99084217 Coeficiente de determinación R2 0.98176821 R2 ajustado 0.97906721 Error típico 854.455831 Observaciones 32
Coeficientes Error típico Estadístico t
Término constante -24705.2227 1999.20037 -12.3575521 PIB 0.55474441 0.01492667 37.1646554 Q1 3087.18799 439.461556 7.024933 Q2 -996.097068 432.19015 -2.30476578 Q3 1066.19716 434.284718 2.45506488
Para considerar la hipótesis H0: βi=0, hay que tener presente que el valor teórico de la t-Student
correspondiente a una distribución con (32-5) grados de libertad es 1.69 para α=0.05/2 (95% de
confianza). Se comprueba, por tanto, que todos los coeficientes son significativamente distintos
de cero.
La ecuación estimada con la especificación (5.14) es:
Yt = -23,915.9+2,297.9S1t – 1,785.4S2t +276.9 S3t +0.55Xt+et
con los siguientes resultados:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.99084217 Coeficiente de determinación R2 0.98176821 R2 ajustado 0.97906721 Error típico 854.455831 Observaciones 32
Coeficientes Error típico Estadístico t Término constante -23915.9007 1920.63147 -12.4521029 PIB 0.55474441 0.01492667 37.1646554 S1 2297.86597 264.879299 8.67514365 S2 -1785.41909 261.649371 -6.82370869 S3 276.875139 262.136744 1.05622407
En este modelo hay que considerar la posibilidad de que la variable dummy S3 tenga un
coeficiente significativamente igual a cero, en cuyo caso cabría plantear el modelo con la siguiente
especificación:
Yt = β0+α1S1t+α2S2t +β1Xt+et
5.3. APLICACIONES DE LAS VARIABLES CUALITATIVAS A L A
REGRESIÓN POR TRAMOS. La regresión por tramos se utiliza para estimar funciones en donde la representación gráfica de
las variables observadas manifiesta un cambio de pendiente. La representación gráfica de la figura
5.2 es de dicho tipo. Se aprecia que la relación entre las variables sigue una determinada forma
lineal hasta un determinado valor de Xi (X*=15), y a partir de dicho valor la relación lineal cambia
de forma.
Figura. 5.2.
En la regresión lineal por tramos se tiene por tanto dos partes o segmentos a los que corresponde
una determinada forma lineal de la función a estimar, y un valor umbral (X*) que es para el que
la representación manifiesta el cambio de pendiente.
La forma de estimar este tipo de relaciones es utilizar una variable dummy cualitativa que toma
los siguientes valores:
D=1 si Xi>X*
D=0 si Xi<X*
Y plantear la siguiente regresión:
Yi = β0 + β1Xi + β2(Xi-Xi*)D i + εi
La pendiente del primer tramo o segmento de la relación sería β1, y β1 + β2 sería la pendiente del
segundo tramo o segmento. La significación estadística del coeficiente β2 (H0: β2=0 ) serviría
como contraste de la existencia de tramos en la relación lineal estudiada.
5.4. EL MODELO PROBABILÍSTICO LINEAL
El modelo de probabilidad lineal se caracteriza por tener la variable endógena Y dicotómica o
binaria, es decir toma el valor Y=1 si un determinado suceso ocurre y el valor Y=0 en caso
contrario. Estos modelos están muy extendidos en el análisis estadístico pero encuentran una
difícil aplicación en Economía debido a las dificultades de interpretación económica de los
resultados que ofrecen este tipo de investigaciones. A este respecto, hay que considerar que estos
modelos lo que realmente investigan es la probabilidad de que se dé una opción (valores Y=1) o
no se dé (Y=0).
A pesar del carácter dicotómico de la variable endógena, el modelo de probabilidad lineal se
especifica de la forma habitual, teniendo presente que las variables exógenas no son dicotómicas
sino continuas:
Yi=β0+β1Xi+ei siendo i=1,……N (5.15)
De acuerdo con la expresión (5.15), el hecho de que la variable endógena tome valores discretos
(1 ó 0), el término de perturbación ei, puede tomar también dos valores únicamente:
− Si Yi=0 ⇒ ei = -β0- β1Xi con probabilidad p.
− Si Yi=1 ⇒ ei = 1-β0- β1Xi con probabilidad (1-p).
Dado que la esperanza del término de error ha de ser nula E(ei)=0, entonces se demuestra que p=
1-β0-β1Xi y (1-p) = β0+β1Xi, lo que permite evaluar la probabilidad de que la variable endógena
tome el valor correspondiente:
− Prob (Yi=0) = Prob (ei = -β0 - β1Xi ) = p = 1-β0- β1Xi.
− Prob (Yi=1) = Prob (ei = 1-β0 - β1Xi ) = (1-p) = β0+ β1Xi .
A su vez la varianza del término de perturbación, se calcularía a partir de p:
)1())(1()( 1010 ppXXeVar iii −=+−−= ⋅ββββ
Una problemática inherente a los estimadores MCO de estos modelos, son los siguientes:
− La perturbación aleatoria (ei) no sigue una distribución Normal. Es sencillo observar este
hecho ya que el carácter binario (1 ó 0) de la variable endógena afecta a la distribución
de la perturbación, teniendo ésta una distribución Binomial7. Este problema se atenúa
cuando se utilizan tamaños de muestra (N) grandes en donde la distribución Binomial es
susceptible de aproximarse a una Normal.
− La perturbación aleatoria no tiene una varianza constante (es heteroscedástica), lo cual
supone una falta de eficiencia. Para solucionarlo habría que realizar transformaciones
que nos diesen una perturbación homocedástica; esta transformación consiste en
multiplicar todas las variables por una cierta cantidad que elimine el problema de la
heteroscedasticidad. Dicha cantidad es:
)1)((
1
1010 ii XX ββββ))))
−−+
siendo oβ y 1β los estimaciones MCO del modelo.
− No obstante, el mayor problema que plantean estos modelos es que las predicciones
realizadas sobre la variable endógena no siempre se encuentran en el intervalo [0,1], ya
que pueden ser mayores que cero y menores que uno. Este problema tiene dos soluciones,
una es tomar como valor cero todas las estimaciones de la variable endógena con valores
negativos, y uno cuando estas resulten mayores que uno; la segunda, solución es utilizar
funciones de distribución que estén acotadas entre cero y uno como son la Logística y la
Normal; de éstas se derivan los modelos Logit y Probit que pasamos a ver a continuación.
7
La distribución binomial se basa en una prueba conocida como experimento de Bernouilli o problema de las pruebas repetidas, que consiste en averiguar la probabilidad de que en “n” extracciones o pruebas se hayan conseguido X valores de 1 y/o (n-X) valores de 0.
5.5. EL MODELO LOGIT
El problema que presentan los modelos probabilísticos lineales en cuanto a la existencia de
predicciones establecidas fuera rango (negativas o mayores que uno), es debido a que utilizan una
función de probabilidad que depende linealmente de las variables explicativas (X), que se
resolverían acotando dicha distribución de probabilidad. El modelo Logit en concreto utiliza, para
ello, la función de distribución logística:
Figura 5.3. Curva Logística
Debido a que la función de distribución logística no tiene forma lineal, el modelo Logit se estima
de forma diferente, así en vez de minimizar las sumas de las diferencias al cuadrado entre los
valores observados y los estimados por el modelo, el carácter no lineal de los modelos Logit
requiere la utilización del método de Máxima Verosimilitud para ser estimado, maximizando la
verosimilitud de que un suceso tenga lugar, aunque se podría estimar por MCO mediante una
transformación logarítmica de los datos (Gujarati, 1997).
La probabilidad de que Yi=0 (p) se define ahora mediante la siguiente expresión:
)1(
1ze
p −+=
donde Z = β0 + β1X1 + β2X2 +… + βkXk, siendo β i son los coeficientes a estimar y Xi es el vector
de variables independientes
La probabilidad de que Yi=1 (1-p) sería:
)1(
1)1(
zep
+=−
En consecuencia, la razón entre ambas será igual a:
zz
z
ee
e
p
p =++=
− − )1(
)1(
)1(
Tomando el logaritmo natural de la expresión anterior se obtiene
iz
i
ii Xe
p
pL 10)ln(
)1(ln ββ +==
−=
(5.16)
Donde Li es el denominado Logit.
Los coeficientes β indican el cambio en el Logit causado por el cambio en una unidad en el valor
de Xi, mientras que los eβ definen el cambio en la razón de probabilidades
− )1( pp
causado
por el cambio en una unidad en el valor de Xi. Si β es positivo, eβ será mayor que 1, es decir,
− )1( pp
se incrementará; si β es negativo, eβ será menor que 1, es decir,
− )1( pp
disminuirá. Adicionalmente, puede demostrarse que el cambio en la probabilidad (p) causado por
el cambio en una unidad en el valor de Xi es β
− )1( pp
, es decir, depende no sólo del
coeficienteβ, sino también del nivel de probabilidad a partir del cual se mide el cambio.
A la hora de estimar un modelo Logit, hay que tener presente que para estimar el modelo además
de los valores Xi, se necesitan los valores del Logit (Li). Por otro lado, hay que tener presente que
la estimación de los coeficientes de modelo (5.16) se realiza utilizando el método de Máxima
Verosimilitud, es decir, eligiendo como estimadores de los coeficientes β a aquellos que
maximizan la función de verosimilitud, construida sobre la base de )1(
1ze
p −+= . Pero si
tenemos la posibilidad de agrupar los datos individuales, entonces podría estimarse el modelo por
MCO.
Ejemplo 5.3.
Supongamos, que estamos investigando la posibilidad de la relación que se da a nivel individual
entre disponer vivienda propia (p=1) o no poseer vivienda propia (p=0). Si disponemos de la
información agrupada que aparece en la siguiente tabla sobre la población que investigamos:
Ingreso (miles de $) Numero de familias Número de familias con vivienda propia 6 40 8 8 50 12 10 60 18 13 80 28 15 100 45 20 70 36 25 65 39 30 50 33 35 40 30 40 25 20
Fuente: Gujarati (1997)
Si se conoce la probabilidad de tener o no tener casa a partir de:
i
ii N
np =ˆ
donde ni es el número de sujetos que para cada nivel i de la variable X (en el ejemplo, cada nivel
de ingreso) que cumplen la condición (tener vivienda), y Ni es el número total de sujetos en cada
categoría.
Se puede estimar
− )ˆ1(
ˆln
i
i
p
p y resolver la estimación del Logit (5.16) por MCO. Una vez
estimados los parámetros iβ , tendremos una estimación del logaritmo de la razón de
probabilidades; es decir:
iz
i
ii Xe
p
pL 10
ˆˆ)ln()ˆ1(
ˆlnˆ ββ +==
−=
Y aplicando antilogaritmos, tenemos que:
)ˆ1(
ˆ
i
iz
p
pe
−=
lo que permite dar una solución a la posibilidad de determinar la probabilidad de disponer de
vivienda para un individuo dado su nivel de ingresos.
Sin embargo, dado que en la estimación MCO del modelo Logit se pueden presentar problemas
de heteroscedasticidad, Gujarati (1997) propone realizar los siguientes pasos para resolver el
Logit:
1. Para cada nivel de ingreso (Xi), se calcula la probabilidad pi de disponer casa.
2. Para cada Xi se obtiene el Logit mediante:
−=
)ˆ1(
ˆlnˆ
i
ii p
pL
3. Realizar la siguiente transformación:
iiiiioii wXwBwBLw ε++= 1
que se escribe como:
iiioi vXBwBL ++= *1
* (5.17)
donde las ponderaciones )ˆ1(ˆ iiii ppNw −=
4. Estimar (5.17) mediante MCO.
5. Establecer intervalos de confianza y/o pruebas de hipótesis en el marco usual de
MCO, teniendo presente que las conclusiones serán válidas únicamente si se dispone
de una muestra grande de datos.
Utilizando las cifras de la tabla anterior, realizamos las siguientes transformaciones:
Ni ni
i
ii N
np =ˆ
)ˆ1(
ˆ
i
i
p
p
−
− )ˆ1(
ˆln
i
i
p
p
wi iw
L* X*
40 8 0.20 0.25 -1.39 6.40 2.53 -3.51 15.18 50 12 0.24 0.32 -1.15 9.12 3.02 -3.48 24.16 60 18 0.30 0.43 -0.85 12.60 3.55 -3.01 35.50 80 28 0.35 0.54 -0.62 18.20 4.27 -2.64 55.46 100 45 0.45 0.82 -0.20 24.75 4.97 -1.00 74.62 70 36 0.51 1.06 0.06 17.49 4.18 0.24 83.63 65 39 0.60 1.50 0.41 15.60 3.95 1.60 98.74 50 33 0.66 1.94 0.66 11.22 3.35 2.22 100.49 40 30 0.75 3.00 1.10 7.50 2.74 3.01 95.85 25 20 0.80 4.00 1.39 4.00 2.00 2.77 80.00
Los resultados de la estimación son:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.98166006 Coeficiente de determinación R2 0.96365647 R2 ajustado 0.83411353 Error típico 0.54044729 Observaciones 10
Coeficientes Error típico Estadístico t *iX 0.07866857 0.0054475 14.4412221
iw -1.59323779 0.11149444 -14.2898405
Con ello se puede calcular la probabilidad de poseer una casa dado una determinada cifra de
ingreso. Supóngase que dicha cifra de ingreso es de veinte mil dólares (X=20); entonces:
L*i / (X=20)= –1.59+0.078⋅ 20=-0.0199
Por tanto,
−=−
)ˆ1(
ˆln019.0
i
i
p
p, lo que implica que 9803.0
)ˆ1(
ˆ=
− i
i
p
p, de donde se obtiene
que pi=0.495, es decir que la probabilidad de que un individuo con ingreso de veinte mil dólares
es del 49.5%.
En R se ejecutaría el siguiente programa:
> datos <- read.table(file="libro1.txt",header=T) > datos Ingreso Familias Viv_propia 1 6 40 8 2 8 50 12 3 10 60 18 4 13 80 28 5 15 100 45 6 20 70 36 7 25 65 39 8 30 50 33 9 35 40 30 10 40 25 20 > prob <- datos$Viv_propia/datos$Familias > logit <- glm(prob ~ datos$Ingreso, family = "binomial") Warning message: In eval(expr, envir, enclos) : non-integer #successes in a binomial glm! > summary(logit) Call: glm(formula = prob ~ datos$Ingreso, family = "binomial") Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.090397 -0.047938 -0.007619 0.025761 0.125358 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -1.63921 1.47043 -1.115 0.265 datos$Ingreso 0.07901 0.06592 1.199 0.231 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 1.720664 on 9 degrees of freedom Residual deviance: 0.036394 on 8 degrees of freedom AIC: 11.995 Number of Fisher Scoring iterations: 4 Para obtener los valores estimados: > fitted.prob <- plogis(predict(logit, type = "link")) > fitted.prob 1 2 3 4 5 6 0.2377336 0.2675433 0.2996216 0.3515880 0.3883997 0.4852574 7 8 9 10 0.5832354 0.6750522 0.7551336 0.8207208
5.6. EL MODELO PROBIT
Mientras que el modelo Logit utiliza la función de distribución logística para acotar la distribución
de probabilidad en el modelo de probabilidad lineal, el modelo Probit utiliza la función de
distribución Normal.
Figura 5.4. Función de densidad (izq.) y de distribución (dcha.) de una Normal (0,1)
Las funciones de distribución normal y logística son muy semejantes: la diferencia principal es
que la función de distribución normal se acerca más rápidamente a los ejes que la logística (figura
5.5).
Figura. 5.5.
Para entender la filosofía del modelo Probit, vamos a suponer que existe una variable desconocida
s que cumple lo siguiente:
Si I i=β0+β1Xi ≥ s entonces Yi=1
Si I i=β0+β1Xi <s entonces Yi=0 (5.18)
Dado el supuesto de normalidad en un suceso, la probabilidad de que este sea menor o igual al
valor (s), se calcula a partir de la función de distribución acumulada de una distribución Normal
estandarizada, esto es, con esperanza cero y desviación típica uno.
∫+
∞−
−=≤+=== io X dtt
ii esXprYprp1 2
102
1)()1(
ββ
πββ (5.19)
Lo anterior equivale a que la relación entre la endógena y las explicativas venga dada por la
siguiente expresión:
∫+
∞−
+−=++Ψ= io i
X udtt
iii euXy1 2
102
1)(
ββ
πββ (5.20)
Donde:
− Ψ(β0+β1Xi) es la función de distribución normal
− ui es el término de perturbación que se distribuye como una normal N(0,σ2).
Dado que (5.20) es una relación no lineal en los parámetros no puede estimarse por MCO. No
obstante, hay una forma sencilla de asignar valores a las probabilidades que aparecen en la
expresión (5.19). Esta forma consiste en obtener información acerca de I i y de los parámetros β a
partir de la inversa de (5.19):
I i=F -1(I i)=F -1(pi)= β0+β1Xi
donde F-1 es la inversa de la función de distribución Normal.
Utilizando los datos agrupados del ejemplo anterior, los valores I i son obtenidos utilizando las
tablas de la función de distribución Normal estándar que aparecen en el Anexo II, tabla II.1. Por
ejemplo, tomando los datos del Ejemplo 5.3. tendríamos que:
i
ii N
np =ˆ
I i
0.20 -0.84 0.24 -0.71 0.30 -0.52 0.35 -0.39 0.45 -0.13 0.51 0.04 0.60 0.25 0.66 0.41 0.75 0.67 0.80 0.84
Donde I i es negativa siempre que pi<0.5; en la práctica se agrega el número 5 a I i y a su resultado
se le denomina Probit. Es decir, Probit=5+I i
Ahora, para estimar los parámetros β se regresa:
I i= β0+β1Xi + ui
El término de la perturbación es no obstante heteroscedástico. Gujarati (1999) sugiere que se
realice la transformación comentada en el caso del modelo Logit, para que el modelo
transformado sea homocedástico.
Ejemplo 5.3 (cont.)
Los resultados de la regresión anterior, realizados sin considerar la transformación que propone
Gujarati y utilizando como regresor los I i que acabamos de calcular, son los siguientes:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.98943031 Coeficiente de determinación R2 0.97897234 R2 ajustado 0.97634388 Error típico 0.0892711 Observaciones 10
Coeficientes Error típico Término constante
-1.01557838 0.05805496
Xi 0.0484664 0.00251134
Según dichos resultados, una familia con un ingreso medio de 20000$, obtendría el siguiente valor
probit:
I i / (X=20)= –1.018+0.048*20= –-0.0556
Por tanto, la probabilidad que corresponde a dicho valor en la función de distribución Normal
sería de un 47.78% de disponer de vivienda propia.
La estimación en R del modelo probit, se programa:
> probit <- glm(prob ~ datos$Ingreso, family = binomial(link="probit")) Warning message: In eval(expr, envir, enclos) : non-integer #successes in a binomial glm! > summary(probit) Call: glm(formula = prob ~ datos$Ingreso, family = binomial(link = "probit")) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.087368 -0.051317 -0.006763 0.030342 0.124273 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) -1.00836 0.87615 -1.151 0.250 datos$Ingreso 0.04842 0.03876 1.249 0.212 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 1.7207 on 9 degrees of freedom Residual deviance: 0.0366 on 8 degrees of freedom AIC: 12.02 Number of Fisher Scoring iterations:
5.7. PROBLEMAS
5.1. Disponemos de una base de datos con los siguientes datos de un grupo de personas: Sexo,
Estado Civil, Años de Experiencia Laboral, Salario por hora, Edad, Sector en el que trabaja
(agricultura, industria, construcción y servicios) y Categoría Profesional (directivo,
comercial, administrativo, técnico, oficial, auxiliar). Elabore un modelo uniecuacional
explicativo del salario que obtiene cada persona.
5.2. .
Disponemos de un conjunto de datos sobre las ventas de diferentes empresas ( )iY , sus gastos de
publicidad( )iX y un indicativo de su tamaño( )iT , que consiste en una variable binaria que toma
valor 1 para las pequeñas y medianas empresas y 0 para las grandes.
a) Se quiere contrastar si el efecto de la publicidad sobre las pequeñas y medianas empresas
es igual al de las grandes. Establezca una esfecificación del modelo y el contraste de
hipótesis que considere más adecuado.
b) Utilizando dicha especificación, como se determinaría el efecto de la publicidad sobre las
ventas de las pequeñas empresas y como se determinaría el efecto sobre las grandes.
5.3. Utilizando los siguientes datos:
Y X 26 1 41 1.5 63 2 78 2.5 100 3 184 6 208 8 242 10 273 11 291 14
a) Realice la representación gráfica de los datos.
b) ¿Considera que el modelo se ajusta a un modelo de regresión por tramos?
c) En caso afirmativo, estime el modelo.
5.4. Utilizando datos de una encuesta realizada entre en 1974/1975 en donde se pregunta sobre estar de acuerdo ó en desacuerdo con la afirmación de que las mujeres tienen que
dedicarse al cuidado del hogar y dejar el país en manos de los hombres, se ha realizado una regresión logistica entre el porcentaje de personas que se muestran de acuerdo con dicha información, el numero de años que han estudiado y su sexo. El conjunto de datos se obtiene en:
> install.packages("HSAUR") > data("womensrole", package="HSAUR") Se ha realizado el siguiente programa R:
> fm1 <- cbind(agree,disagree) ~ sex+education > glm_1 <- glm(fm1, data=womensrole, family = binomial()) > summary(glm_1) Call: glm(formula = fm1, family = binomial(), data = womensrole) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -2.72544 -0.86302 -0.06525 0.84340 3.13315 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) (Intercept) 2.50937 0.18389 13.646 <2e-16 *** sexFemale -0.01145 0.08415 -0.136 0.892 education -0.27062 0.01541 -17.560 <2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) Null deviance: 451.722 on 40 degrees of freedom Residual deviance: 64.007 on 38 degrees of freedom AIC: 208.07 Number of Fisher Scoring iterations: 4
a) Comente los resultados obtenidos.
b) Realice una regresión probit con estos datos
5.5. Considere el siguiente modelo probit estimado:
Pr( , ) ( 1.1 0.2 0.09 )i i i i iy S W S W= Ψ − + +
donde iy es una variable que toma valor 1 si el individuo i dispone de vehículo propio ,iS es
una variable que toma valor 1 si el individuo i es varon y 0 si es muje, yiW es el salario mensual
del individuo i en miles de euros.
a) Considere un hombre y una mujer que cobran 1500 euros al mes, calcular que
probabilidad tienen de disponer de vehículo propio.
b) Que diferencia de probabilidad tienen de disponer de vehículo propio un
hombre que cobra 1500 euros al mes y una mujer que cobra 2500.
SOLUCIONES
5.1. A realizar por el lector
5.2 a) Se estima el siguiente modelo ( )0 1 1i i i i iY X X T eβ β δ= + + + , y se contrasta la
hipótesis nula 0 1: 0H δ = b) El efecto de la publicidad sobre las ventas de las PYMES
vendría dado por 1 1( )β δ+ y la de las grandes por 1( )β
5.3 a) A realizar por el lector. b) Se estima el siguiente modelo de variables cualitativas para
la regresión por tramos DXXXY )(71,1791.1396.103 *−++= donde 6* =X ;
995.02 =R
5.4. A realizar por el lector
5.5. a) Hombre ( 0.765) 0.222Ψ − = , mujer ( 0.965) 0.167Ψ − =
b) ( 0.765) ( 0.875) 0.03Ψ − − Ψ − =
6. MODELOS CON DATOS DE PANEL
6.1. INTRODUCCIÓN
Un modelo de datos de panel es, según la definición más extendida, un modelo que utiliza
muestras recogidas a individuos a lo largo de instantes de tiempo. Los modelos de datos de panel
incluyen así información de una muestra de agentes económicos (individuos, empresas, bancos,
ciudades, países, etc.) durante un período determinado de tiempo, combinando, por tanto, la
dimensión temporal y estructural de los datos.
Los modelos de datos de panel se aplican a conjuntos o bases de datos de series de tiempo
agregadas para los mismos individuos; éstos conjuntos de datos suelen tener un número
relativamente grande de individuos y pocas observaciones en el tiempo, o por el contrario
podemos tener datos para un número grande de periodos pero para un número pequeño de
individuos. Un ejemplo de este tipo de bases de datos es el panel de hogares de la Unión Europea
(70.000 hogares en la UE), las encuestas de opiniones empresariales del Ministerio de Industria
(3.000 empresas), los índices Nielsen (5.000 hogares en España) para medir la audiencia
televisiva, etc. Estos conjuntos de datos que son conocidos como datos de panel o datos
longitudinales hay que diferenciarlos de las encuestas transversales que son repetidas en el tiempo
pero no a los mismos individuos (por ejemplo, la Encuesta de Población Activa)8.
El principal objetivo que se persigue al agrupar y estudiar los datos en panel es capturar la
heterogeneidad no observable entre los agentes económicos como entre periodos temporales.
Dado que esta heterogeneidad no se puede detectar exclusivamente con estudios de series
temporales, ni tampoco con estudios de corte transversal, hay que realizar un análisis más
dinámico incorporando a los estudios de corte transversal la dimensión temporal de los datos.
Esta modalidad de analizar la información es muy usual en estudios de naturaleza empresarial, ya
que los efectos individuales específicos de cada empresa y los efectos temporales del medio son
determinantes cuando se trabaja con este tipo de información.
8
En los paneles de datos a veces también hay que sustituir individuos por falta de respuesta, pero no es el caso de las encuestas transversales en donde la muestra se renueva de forma sistemática, de manera que a un periodo de tiempo determinado, por ejemplo un año, los hogares de la muestra sean diferentes a los del periodo anterior. La falta de respuesta en los datos de panel como en otro tipo de encuesta a la hora de los análisis estadísticos deben de depurarse, bien eliminando todos los datos del individuo con falta de respuesta o eliminando únicamente los individuos con falta de respuesta en cada variable analizada.
Los efectos individuales específicos se definen como aquellos que afectan de manera desigual a
cada uno de los agentes de estudio contenidos en la muestra (individuos, empresas, bancos). Estos
efectos son invariables en el tiempo y se supone que afectan de manera directa a las decisiones
que toman dichas unidades. Usualmente, se identifica este tipo de efectos con cuestiones de
capacidad empresarial, eficiencia operativa, el “saber-hacer” (Know-how), acceso a la tecnología,
etc.
Por su parte, los efectos temporales son aquellos que afectan por igual a todas las unidades
individuales del estudio y que, además, varían en el tiempo. Este tipo de efectos suele asociarse,
por ejemplo, a shocks macroeconómicos que afectan por igual a todas las empresas o unidades de
estudio (una subida de los tipos de interés, un incremento de los precios de la energía, un aumento
de la inflación, etc.), o a cambios en la regulación de mercados (ampliación de la Unión Europea,
reducción de tarifas arancelarias, aumento de la imposición indirecta, etc.).
6.2. ESPECIFICACIÓN GENERAL DE UN MODELO DE DATOS D E
PANEL
La especificación general de un modelo de regresión con datos de panel es la siguiente:
∑=
++=K
jit
jjititit eXY
1
βα
donde i = 1,......N se refiere al individuo o a la unidad de estudio (corte transversal), t = 1,...T a la
dimensión en el tiempo, Yit sería la variable a explicar correspondiente a cada unidad de estudio,
α es un escalar con N×T parámetros que recoge los efectos específicos del i-ésimo individuo en
cada momento del tiempo, β es un vector de K parámetros que se asocian a las j=1,….K variables
explicativas j
itX .
A partir del modelo general, y con base en ciertos supuestos y restricciones acerca del valor de
algunos de los parámetros, se derivan las diferentes variantes de modelos de datos de panel que
resumimos a continuación en la siguiente tabla.
MODELOS ALTERNATIVOS PARA COMBINAR DATOS DE SERIES DE TIEMPO Y DE CORTE TRANSVERSAL
TIPO DE MODELO EXPRESIÓN CARACTERÍSTICAS Modelo Lineal
∑=
++=K
jit
ji
jititit eXY
1
βα
Modelo Estático de Datos de Panel. ∑
=
++=K
jit
jjititit eXY
1
βα
Modelo Estático de Datos de Panel de una Vía (one-way) (A) ∑
=
++=K
jit
jjititit eXY
1
βα iit αα =
Modelo Estático de Efectos Fijos con variable dummy (los coeficientes constantes se estiman a partir de variables cualitativas) (B)
∑=
++=K
jit
jjitiit eXiY
1
βα i es un vector de variables
cualitativas y αi es un vector de coeficientes constantes.
Modelo Estático de Datos de Panel de Doble Vía (two-ways) (C)
∑=
++=K
jit
jjititit eXY
1
βα tiit λµαα ++=
Modelo de Regresiones Aparentemente No Relacionadas (SUR)9
∑=
++=K
jit
ji
jititit eXY
1
βα iit αα =
Modelo Dinámico de Datos de Panel ∑
=− +++=
K
jit
jjittiitit eXYY
11, βϑα tiit λµαα ++=
En un modelo de datos de panel, las variables explicativas pueden ser de tres tipos:
− Una variable por cada individuo, sin que exista referencia temporal en dicha variable:
las variables son las mismas para cada unidad de corte transversal y se refieren a
atributos del individuo o agente, por ejemplo, el tipo de empresa, su tamaño, la forma
gerencial; el sexo de un trabajador, el nivel de formación, la profesión y otras
características sociales de los individuos.
− Una variable por periodo, pero sin que existan diferencias en el valor que toma la
variable en cada individuo: las variables toman distintos valores en cada periodo
temporal pero no varían entre los individuos. Como ejemplo de este tipo de variables
cabe citar a la tasa de inflación, los tipos de interés, etc.
− Una variable que cambia en el tiempo y por individuo: se trata de variables que
cambian entre individuos en un momento del tiempo, y que además cambian a lo
largo del tiempo. Como ejemplo de estas variables se pueden mencionar los ingresos
9 Siglas de Seemingly Unrelated Regression
totales, el nivel de beneficios, el stock de capital o el nivel de endeudamiento, entre
otras.
Los modelos de datos de panel se interpretan a través de sus componentes de error. Considerando
la notación matricial abreviada de un modelo general de datos de panel:
ititit uXY += β' (6.1)
El término de error uit incluido en la ecuación (6.1), puede descomponerse de la siguiente manera:
ittiit eu ++= λµ (6.2)
donde µi representa los efectos no observables que difieren entre las unidades de estudio pero no
en el tiempo (capacidad empresarial, eficiencia de cada unidad, etc.…); λt identifica los efectos
no cuantificables que varían en el tiempo pero no entre las unidades de estudio; y eit se refiere al
término de error puramente aleatorio.
La mayoría de los análisis realizados con datos de panel utilizan el modelo de componente de
error conocido como one way para el cual λt =0 (modelo A). Las diferentes variantes para el modelo
one way de componentes de errores surgen de los distintos supuestos que se hacen acerca del
término µi, pudiéndose presentar tres posibilidades:
− El caso más sencillo es el que considera 0=iµ ; es decir, la no existencia de
heterogeneidad no observable entre los individuos o empresas.
− La segunda posibilidad consiste en suponer a iµ un efecto fijo y distinto para
cada individuo o empresa. En este caso, la heterogeneidad no observable se
incorpora a la constante del modelo (iα ).
− Finalmente, la tercera alternativa es tratar a iµ como una variable aleatoria no
observable que varía entre individuos/empresas pero no en el tiempo.
Bajo la primera especificación, los µit satisfacen todos los supuestos del modelo lineal general y,
por tanto, se emplea como método de estimación MCO, obteniendo estimadores lineales e
insesgados y con la ventaja de ganar grados de libertad.
Ahora bien, en los casos en que se rechaza el supuesto de homogeneidad en un sistema de datos
de panel, es decir, que existe heterogeneidad no observable ya sea a través del tiempo, entre
unidades de estudio (individuos) o en ambos sentidos, debe buscarse una especificación que la
capture de forma apropiada con el fin de evitar que los estimadores de los parámetros de las
variables explicativas estén sesgados.
6.3. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LOS MODELOS DE DATOS
DE PANEL
Los modelos de datos de panel presentan una serie de ventajas y desventajas en comparación con
los modelos de series temporales y de corte transversal. Las más relevantes son las siguientes:
Ventajas
− La técnica permite al investigador económico disponer de un mayor número de
observaciones, incrementando los grados de libertad, reduciendo la multicolinealidad
entre las variables explicativas y, en última instancia, mejorando la eficiencia de las
estimaciones econométricas.
− Tal y como se mencionó anteriormente, la técnica permite capturar la heterogeneidad no
observable ya sea entre unidades individuales de estudio como en el tiempo. Con base en
lo anterior, la técnica de datos de panel permite aplicar una serie de contrastes para
confirmar o rechazar dicha heterogeneidad y determinar cómo capturarla.
− Los datos de panel suponen, e incorporan al análisis, el hecho de que los individuos o
agentes económicos (consumidores, empresas, regiones, países, etc.…) son heterogéneos.
Los análisis de series de tiempo y de corte transversal no incorporan esta heterogeneidad
corriendo así el riesgo de obtener resultados sesgados.
− Permiten estudiar mejor la dinámica de los procesos de ajuste, ya que a través de ellos se
pueden analizar los cambios en el tiempo de las distribuciones transversales.
− Permiten elaborar y probar modelos relativamente complejos de comportamiento en
comparación con los análisis de series temporales y de corte transversal. Un ejemplo claro
de este tipo de modelos es aquel que trata de medir niveles de eficiencia técnica por parte
de unidades económicas individuales.
− Finalmente, puesto que las unidades transversales de un panel de datos normalmente se
refieren a individuos, familias o empresas, se evitan los sesgos que aparecen cuando se
trabaja con variables agregadas.
Desventajas
− En términos generales, las desventajas asociadas a la técnica de datos de panel se
relacionan con los procesos para la obtención y el procesamiento de la información
estadística sobre las unidades individuales de estudio; es decir cuando ésta se obtiene por
medio de encuestas, entrevistas o utilizando algún otro medio de inferencia estadística de
los datos. Ejemplos de este tipo de limitaciones son los problemas de selección no
aleatoria de la muestra, de recogida de datos con inadecuadas tasas de cobertura de la
población, porcentajes de no respuesta, preguntas confusas, distorsión deliberada de las
respuestas, etc.
− Asimismo, una escasa dimensión temporal puede invalidar alguno de los elementos
teóricos de los modelos de datos de panel.
− Por ultimo, algunas investigaciones han demostrado que la utilización de modelos de
efectos fijos produce resultados significativamente diferentes al los modelos con efectos
aleatorios cuando se estima una ecuación usando una muestra de muchas unidades de
corte transversal con pocos periodos de tiempo (700 individuos con 5 periodos, por
ejemplo).
6.4. MODELO DE EFECTOS FIJOS
Como ya se mencionó, los modelos de datos de panel permiten contemplar la existencia de efectos
individuales específicos a cada unidad, invariables en el tiempo, que determinan la manera en que
cada unidad de corte transversal toma sus decisiones.
Estos modelos asumen que los efectos de las variables omitidas, ya sean específicas a cada
individuo y/o que cambian en el tiempo, no son importantes en forma individual, pero sí en
conjunto.
Por otro lado, dado que el efecto de las variables omitidas se supone constante en el tiempo para
cada individuo, o que no varía en todos los individuos en un determinado momento en el tiempo,
o una combinación de ambos, se pueden capturar en el término constante de un modelo de
regresión como un promedio que toma en cuenta explícitamente la heterogeneidad entre
individuos y/o en el tiempo contenida en los datos.
Según la forma de incorporar la heterogeneidad no observada, se pueden diferencian los modelos
de efectos fijos y modelos de efectos aleatorios. Los modelos de efectos fijos se conocen también
como modelos mínimos cuadráticos con variables ficticias.
Los modelos de datos de panel de efectos fijos tienen la siguiente expresión general:
∑=
++=K
jit
jjitiit eXY
1
βα
donde itY es la variable dependiente, ,itα es un escalar que recoge los efectos específicos del i–
ésimo individuo y se supone constante en el tiempo, y ,jitX es el vector de las k variables
explicativas y ,jβ de los K parámetros que recogen los efectos de las variables explicativas; eit
es el termino de error que se suponen aleatorios distribuidos con media cero y varianza constante
de valor 2eσ . El panel de datos corresponde a i = 1,2..., N unidades o individuos de corte
transversal, observados para los períodos t = 1,2..., T.
Por tanto, lo que se pretende resolver es un sistema de regresiones específicas con N ecuaciones
de corte transversal: itjj
itititii eXXXY +++++= βββα ...2211 y T observaciones.
Su notación matricial abreviada es:
ititiit eXY ++= βα '
Agrupando las observaciones temporales, para cada unidad transversal se llega al siguiente
modelo:
ititit eXiY ++= βα '
que en el supuesto de una única variable explicativa tendría la siguiente expresión:
+
+
=
NT
T
T
N
NT
T
T
N
N
NT
T
T
N
e
e
e
e
e
e
X
X
X
X
X
X
i
i
i
Y
Y
Y
Y
Y
Y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...00
......
0...0
0...0
.
.
.
.
.
2
1
1
21
11
2
1
1
21
11
2
1
2
1
1
21
11
β
α
αα
Con este modelo se considera que las variables explicativas afectan por igual a las unidades de
corte transversal y que éstas se diferencian por características propias de cada una de ellas,
medidas por medio de la intercepción en el origen. Es por ello que las N intercepciones se asocian
con variables dummy con coeficientes específicos para cada unidad, los cuales se deben estimar.
La estimación de iα y β se realiza por MCO, si bien hay que tener presente que este modelo
presenta una pérdida importante de grados de libertad. Un test útil en este tipo de modelos es
realizar la prueba F, para comprobar si αα =i para cualquier i. Por otro lado, cabe señalar que
cuando se quiera incluir un término constante hay que introducir únicamente N-1 variables
ficticias.
Otra manera de plantear este modelo es especificándolo en desviaciones respecto a la media, es
decir, restando a cada variable la media en el periodo para cada unidad i-esima. El estimador a
utilizar en este caso tiene la siguiente expresión:
( )( ) ( )( )
−−
−−= ∑∑∑∑= =
−
= =
''ˆ1 1
1
1 1iit
N
i
T
tiitiit
N
i
T
tiit YYXXXXXXβ (6.3)
donde ,i iY X son las medias muestrales del individuo i-ésimo.
El estimador de la varianza de β es:
( ) ( ) ( )1
2
1 1
ˆ ˆ 'N T
e it i it ii t
Var X X X Xβ σ−
= =
= − − ∑∑
donde 2ˆ eσ es la varianza residual, calculada como
2 'ˆu
e e
NT N Kσ =
− − , donde e’e es la suma de
los residuos del modelo al cuadrado.
En general, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) es apropiado cuando los
residuos son incorrelados en el tiempo y homocedásticos en los cortes transversales.
Los efectos fijos se estiman en un segundo paso a través de la siguiente ecuación:
( )T
XYXY
T
titi
iii
∑=
−=−= 1
'
'
ˆˆˆ
ββα (6.4)
El modelo anterior puede extenderse al modelo de efectos fijos de doble vía, en el que aparecen
también los efectos no observables temporales, tal que:
itittiit eXY +++= βδα '
Expresión que equivale a introducir dos conjuntos de variables ficticias, unas individuales y otras
temporales; en este caso el estimador MCO tendría las mismas propiedades del modelo anterior.
El estimador a utilizar tendría la siguiente expresión:
( )( ) ( )( )
+−−+−−
+−−+−−= ∑∑∑∑= =
−
= =
''ˆ1 1
1
1 1
YYYYXXXXXXXXXXXX tiit
N
i
T
ttiittiit
N
i
T
ttiitβ
donde ,i iY X , son las medias muestrales del individuo i-ésimo, tt XY , las medias muestrales del
periodo t, y XY, las medias muestrales de las variables para todos los N individuos y T periodos.
Los efectos fijos se estiman en un segundo paso a través de las siguientes relaciones:
( ) ( ) βα ˆˆ 'XXYY iii −−−=
( ) ( ) βδ ˆˆ 'XXYY ttt −−−=
6.5. MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS
A diferencia del modelo de efectos fijos, el modelo de efectos aleatorios considera que los efectos
individuales no son independientes entre sí, sino que están distribuidos aleatoriamente alrededor
de un valor dado. Una práctica común en el análisis de regresión es asumir que el gran número
de factores que afectan al valor de la variable dependiente pero que no han sido incluidas
explícitamente como variables independientes del modelo, puede resumirse apropiadamente en
la perturbación aleatoria.
Así, en este modelo se considera que tanto el impacto de las variables explicativas como las
características propias de cada unidad son diferentes.
El modelo de efectos aleatorios o modelo de componentes de la varianza asume que el término
itα es la suma de una constante común α , una variable aleatoria específica de corte transversal
e invariante en el tiempo iµ asociada a cada individuo e incorrelada con el residuo ite , y otro
asociado al tiempo λt, también incorrelacionado con el residuo ite .
En lugar de tratar iµ como una constante fija, esta especificación asume que ),0( 2µσµ Ni ≈
independiente e igualmente distribuida, e incorrelada con ite y itX .
A su vez el modelo también requiere que tλ está incorrelado en el tiempo tal que 0),( =stE λλ
, y además está incorrelada coniµ , ite y itX .
Si suponemos que 0=tλ , la especificación del modelo entonces se convierte en:
itiitj
j
i
jitit eXY +=+=∑
=
µεεβ it1
,
La estimación de este modelo exige de la utilización de Mínimos Cuadrados Generalizados pues
los residuos del modelo están correlacionados entre sí al estar iµ incluido tanto en itε como en
isε , para .st ≠
El estimador apropiado de este modelo expresado en desviaciones a la media es, por tanto:
( ) ( ) ( )( )
−−
−−+= ∑ ∑∑ ∑= =
−
= =
'1
'1ˆ
1 1
'
1
1 1
'iit
N
i
N
iiitiiiit
N
i
N
iiitiiMCG YXXXQYX
TXXXXQXX
Tψβ
donde:
22
2
µε
ε
σσσψ
T+=
'1
eeT
IQ T ⋅−=
Generalmente las varianzas2µσ (varianza entre grupos) y
2εσ no son conocidas y, por tanto, habrá
que estimar un valor para ψ . Para estimar dicho valor un camino sería utilizar las estimaciones
de las varianzas de los residuos obtenidas en la solución MCO del modelo.
6.6. ELECCIÓN DE MODELO DE EFECTOS O EFECTOS
ALEATORIOS
La decisión acerca de la estructura apropiada para el análisis, es decir, efectos fijos vs efectos
aleatorios, dependerá de los objetivos que se persigan.
Así, Hausman (1978) aconseja utiliza el modelo de efectos fijos para realizar inferencias sobre la
muestra utilizada, mientras que el de efectos aleatorios resulta más útil para realizar inferencias
sobre la población.
Adicionalmente, si el interés del estudio particular está puesto en los coeficientes de las pendientes
de los parámetros, y no tanto en las diferencias individuales, se deberá elegir un método que
relegue estas diferencias y trate la heterogeneidad no observable como aleatoria.
El contexto de los datos, es decir, cómo fueron obtenidos y el entorno de donde provienen,
determinan también la elección del modelo. Con el modelo de efectos fijos la heterogeneidad no
observable se incorpora en la ordenada al origen del modelo y con el de efectos aleatorios, como
ya se mencionó, se incorpora en el término de error, modificándose la varianza del modelo.
Asimismo, emplear un modelo de efectos fijos o aleatorios genera diferencias en las estimaciones
de los parámetros en los casos en que se cuenta con T pequeño y N grande. En estos casos debe
hacerse el uso más eficiente de la información para estimar esa parte de la relación de
comportamiento contenida en las variables que difieren sustancialmente de un individuo a otro.
En principio, el enfoque de efectos fijos es más atractivo, ya que no requiere realizar supuestos
paramétricos sobre la distribución condicional de la heterogeneidad inobservable. Sin embargo,
su desventaja es que solo puede utilizarse en ciertas distribuciones y requiere hacer supuestos
muy restrictivos sobre la distribución del término de error como lo son las hipótesis que exige el
método MCO.
A este respecto hay que tener presente que el modelo de efectos fijos asume la existencia de
diferencias entre unidades que se capturan en forma de movimientos de la curva de regresión.
(Fig. 6.1).
Figura 6.1.
El modelo de efectos fijos, si se estima utilizando variables dummy no identifica directamente la
causa de la variación en el tiempo y los individuos, e implica un alto coste informativo en términos
de grados de libertad. En cuyo caso deben realizarse algunas consideraciones con respecto a la
estructura de los datos, dado que si N es grande y T pequeño, podría darse el caso en que el
número de parámetros en el modelo de efectos fijos sea muy grande en relación con el número de
datos disponibles, lo que daría lugar a parámetros poco significativos y una estimación ineficiente.
Para elegir entre los estimadores del modelo fijo y aleatorio puede utilizarse el test de Hausman,
que compara directamente ambos estimadores. El contraste se basa en el hecho de que bajo la
hipótesis de que [ ] 0=iti XE α el estimador del modelo de efectos aleatorios ( )EAβ es
asintóticamente más eficiente que el estimador MCO del modelo de efectos fijos ( )EFβ ; sin
embargo, si [ ] 0≠iti XE α , el estimador MCO mantendrá la consistencia, mientras que el
estimador MCG será sesgado e inconsistente.
El estadístico propuesto por Hausman es:
[ ] qqVarqm ˆ)ˆ(ˆ 1' −=
donde EFEAq ββ ˆˆˆ −= , y la matriz diagonal )ˆ()ˆ()ˆ( EFEA VarVarqVar ββ −= . Bajo la hipótesis
nula [ ] 00 == iti XEH α el estadístico m se distribuye como una variable 2kχ .
Ejemplo 6.1.
A continuación vamos a realizar un ejemplo de estimación de un modelo de datos de panel, con
las series temporales de créditos y depósitos de las cajas de ahorro de Castilla y León por
provincias, el objetivo de la investigación es comprobar qué parte de los depósitos se queda en
Castilla y León en forma de créditos y verificar si hay diferencias en los comportamientos
provinciales. Los datos utilizados corresponden al periodo 1998-2003 y tienen periodicidad
trimestral.
En primer lugar, utilizamos un modelo de datos de panel fijo de la forma siguiente:
ititit uXiY ++= βα '
donde itY son los créditos que prestan las cajas de ahorro en las nueve provincias de la región
(N=9), y itX los depósitos de las cajas de ahorro en cada una de las nueve provincias de la región.
El número de observaciones temporales es T = 22.
Los datos de los créditos totales concedidos por las Cajas de Ahorro en las nueve provincias de
Castillla y León (millones de €) son:
Año Periodo Ávila Burgos León Palencia Salamanca Segovia Soria Valladolid Zamora 1998 I 587 1739 1844 488 1058 534 207 1459 392 1998 II 607 1846 1956 516 1130 562 212 1552 411 1998 III 623 1872 1953 531 1151 588 212 1593 423 1998 IV 642 1992 2037 545 1189 610 218 1685 439 1999 I 643 1991 2146 571 1097 627 225 1718 436 1999 II 710 2147 2301 620 1254 656 232 1818 476 1999 III 694 2171 2271 644 1182 660 235 1895 481 1999 IV 694 2360 2350 652 1247 682 242 1981 496 2000 I 685 2380 2514 670 1285 668 252 2061 507 2000 II 731 2524 2682 719 1468 688 259 2208 561 2000 III 753 2665 2765 737 1471 692 260 2308 559 2000 IV 783 2840 3043 771 1493 708 280 2443 582 2001 I 787 2882 3018 764 1534 704 287 2523 581 2001 II 850 3066 3095 789 1628 739 301 2658 605 2001 III 835 3166 2994 812 1609 743 310 2685 612 2001 IV 894 3360 3081 837 1664 776 332 2869 636 2002 I 902 3463 3056 849 1707 794 336 2969 644 2002 II 976 3719 3153 908 1821 842 348 3195 676 2002 III 1039 3826 3161 933 1835 854 357 3241 676 2002 IV 1076 4020 3262 945 1913 899 387 3331 690 2003 I 1139 4140 3472 984 1968 942 400 3434 702 2003 II 1193 4417 3688 1022 2069 979 421 3575 734
Los datos de los depósitos del sector privado en las Cajas de Ahorro en las nueve provincias de
Castillla y León (millones de €) son:
Año Periodo Ávila Burgos León Palencia Salamanca Segovia Soria Valladolid Zamora 1998 I 1175 3686 3220 817 1600 1052 593 1626 866 1998 II 1170 3675 3275 802 1596 1060 594 1609 850 1998 III 1218 3731 3279 793 1614 1091 596 1635 838 1998 IV 1232 3862 3438 826 1619 1104 595 1697 871 1999 I 1238 3918 3374 822 1594 1112 581 1751 858 1999 II 1272 3959 3527 838 1627 1143 582 1814 870 1999 III 1295 4082 3426 861 1680 1173 594 2024 888 1999 IV 1329 4217 3459 894 1735 1183 652 1986 942 2000 I 1349 4322 3469 933 1822 1195 642 2048 948 2000 II 1388 4392 3470 961 1921 1227 655 2126 968 2000 III 1431 4497 3854 995 1984 1250 677 2229 989 2000 IV 1465 4692 3965 1059 2029 1293 701 2323 1048 2001 I 1488 4817 3957 1075 2081 1385 724 2378 1056 2001 II 1541 5271 4133 1121 3794 1462 746 2467 1099 2001 III 1587 5322 4251 1145 4137 1489 763 2518 1121 2001 IV 1773 5496 4476 1187 4334 1522 797 2650 1177 2002 I 1768 5528 4910 1173 4722 1597 794 2631 1150 2002 II 1806 5637 5095 1210 4970 1548 817 2776 1175 2002 III 1822 5658 5088 1208 5020 1577 832 2787 1170 2002 IV 1906 5898 4920 1242 5131 1722 849 2929 1210 2003 I 1949 5913 5239 1230 5118 1653 842 2915 1189 2003 II 2001 6316 5488 1247 5126 1676 846 2974 1220
A efectos de estimar el modelo MCO utilizando variables dummy habría que presentar los datos
conforme a la siguiente tabla:
Año Trimestre Créditos (Y) Dummies (iα) Depósitos (X) Ávila Burgos León Palencia Salamanca Segovia Soria Valladolid Zamora
1998 1 587 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1175 1998 1 1739 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3686 1998 1 1844 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3220 1998 1 488 0 0 0 1 0 0 0 0 0 817 1998 1 1058 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1600 1998 1 534 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1052 1998 1 207 0 0 0 0 0 0 1 0 0 593 1998 1 1459 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1626 1998 1 392 0 0 0 0 0 0 0 0 1 866 1998 2 607 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1170 1998 2 1846 0 1 0 0 0 0 0 0 0 3675 1998 2 1956 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3275 1998 2 516 0 0 0 1 0 0 0 0 0 802 1998 2 1130 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1596 1998 2 562 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1060 1998 2 212 0 0 0 0 0 0 1 0 0 594 1998 2 1552 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1609 1998 2 411 0 0 0 0 0 0 0 0 1 850
Aplicando MCO al modelo descrito se obtienen los siguientes resultados:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.96577233 Coeficiente de determinación R2 0.9327162 R2 ajustado 0.92417602 Error típico 274.756973 Observaciones 198
ANÁLISIS DE VARIANZA
Grados de libertad
Suma de cuadrados
Media cuadrados
F Valor crítico de F
Regresión 10 196740739 19674073.9 260.613465 4.338E-104 Residuos 188 14192382.1 75491.3944 Total 198 210933121
Coeficientes Error típico Estadístico t AV 82.5909183 74.062306 1.11515456 BU 543.61444 154.683995 3.51435479 LE 760.615561 135.247529 5.62387768 PA 248.928645 66.1017603 3.76583988 SA 58.0469567 106.602347 0.54451856 SG 77.3436176 71.092936 1.08792268 SO -52.4921486 62.268669 -0.84299455 VA 1323.60383 89.8271126 14.7350148 ZA 66.2517949 66.1422793 1.00165576 Β 0.48266722 0.03002785 16.0739855
Se puede apreciar que tanto el estadístico F, como la distribución asociada a los estimadores de
los coeficientes iα descarta la hipótesis de igualdad de dichos coeficientes (el valor teórico del
estadístico F en las tablas es 1.88), lo que hace significativa con un nivel de confianza del 95% la
existencia de heterogeneidad en el comportamiento de cada provincia.
Si utilizamos el modelo (6.2) y el procedimiento descrito para obtener el estimador (6.3) y los
coeficientes (6.4), obtendríamos los siguientes resultados en la estimación MCO.
( )( )
( )( )48266722.0
18.832723809
5.404107385ˆ
1 1
1 1 ==
−−
−−=
∑∑
∑∑
= =
= =N
i
T
tiitiit
N
i
T
tiitiit
MCO
XXXX
YYXX
β
El coeficiente αi correspondiente a Ávila se obtiene como:
( ) ( )59.82
22
4827.0811.05ˆ
ˆ
22
11 =−
=−
=∑∑
== tit
T
titi
i
X
T
XY βα
Análogamente, el resto de términos constantes es:
Burgos 543.61444 León 760.615561 Palencia 248.928645 Salamanca 58.0469567 Segovia 77.3436176 Soria -52.4921486 Valladolid 1323.60383 Zamora 66.2517949
Ejemplo 6.2.
La librería “plm” ofrece recursos en R para estimar modelos data panel.
> install.packages("plm") En esta librería tenemos un conjunto de datos panel relativos a 10 empresas para las que
disponemos de los siguientes cifras: año, invesión bruta, valor de la empresa y capital. El
conjunto de datos es para el periodo de 1935 a 1954.
> data("Grunfeld", package="plm") > str(Grunfeld) 'data.frame': 200 obs. of 5 variables: $ firm : int 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... $ year : int 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 ... $ inv : num 318 392 411 258 331 ... $ value : num 3078 4662 5387 2792 4313 ... $ capital: num 2.8 52.6 156.9 209.2 203.4 ... En el conjunto de datos los campos identificativos de las empresas y años deben de ser índices.
Para estimar un modelo de data panel de efectos fijos que relacione la inversión realizada por la
empresa con su valor contable y su capital, se requiere la siguiente sentencia R:
> grun.fe <- plm(inv~value+capital,data=Grunfeld,model="within")
> summary(grun.fe) Oneway (individual) effect Within Model Call: plm(formula = inv ~ value + capital, data = Grunfeld, model = "within") Balanced Panel: n=10, T=20, N=200 Residuals : Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. -184.000 -17.600 0.563 19.200 251.000 Coefficients : Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|) value 0.110124 0.011857 9.2879 < 2.2e-16 *** capital 0.310065 0.017355 17.8666 < 2.2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Total Sum of Squares: 2244400 Residual Sum of Squares: 523480 R-Squared : 0.76676 Adj. R-Squared : 0.72075 F-statistic: 309.014 on 2 and 188 DF, p-value: < 2.22e-16 Para estimar un modelo con efectos aleatorios:
> grun.re <- plm(inv~value+capital,data=Grunfeld,model="random") > summary(grun.re) Oneway (individual) effect Random Effect Model (Swamy-Arora's transformation) Call: plm(formula = inv ~ value + capital, data = Grunfeld, model = "random") Balanced Panel: n=10, T=20, N=200 Effects: var std.dev share idiosyncratic 2784.46 52.77 0.282 individual 7089.80 84.20 0.718 theta: 0.8612 Residuals : Min. 1st Qu. Median 3rd Qu. Max. -178.00 -19.70 4.69 19.50 253.00 Coefficients : Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|) (Intercept) -57.834415 28.898935 -2.0013 0.04674 * value 0.109781 0.010493 10.4627 < 2e-16 *** capital 0.308113 0.017180 17.9339 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Total Sum of Squares: 2381400 Residual Sum of Squares: 548900 R-Squared : 0.7695 Adj. R-Squared : 0.75796 F-statistic: 328.837 on 2 and 197 DF, p-value: < 2.22e-16
Los efectos fijos se extraen con la function “fixef”.
> summary(fixef(grun.fe, type = 'dmean')) Estimate Std. Error t-value Pr(>|t|) 1 -11.5528 49.7080 -0.2324 0.816217 2 160.6498 24.9383 6.4419 1.180e-10 *** 3 -176.8279 24.4316 -7.2377 4.565e-13 *** 4 30.9346 14.0778 2.1974 0.027991 * 5 -55.8729 14.1654 -3.9443 8.003e-05 *** 6 35.5826 12.6687 2.8087 0.004974 ** 7 -7.8095 12.8430 -0.6081 0.543136 8 1.1983 13.9931 0.0856 0.931758 9 -28.4783 12.8919 -2.2090 0.027174 * 10 52.1761 11.8269 4.4116 1.026e-05 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
6.7. PROBLEMAS
6.1. Considere el siguiente panel de datos de inversión (Y) y beneficios (X) para 3 empresas y
10 periodos:
Empresa 1 Empresa 2 Empresa 3
t Y X Y X Y X
1 18.32 17.85 25.30 27.93 13.85 13.65
2 31.30 30.69 22.47 22.97 24.60 21.55
3 7.62 10.48 14.31 14.16 8.87 6.47
4 19.94 18.79 23.01 23.73 29.19 29.91
5 20.80 20.41 12.63 16.31 8.99 10.01
6 17.20 17.59 24.84 26.15 10.73 13.34
7 19.93 21.64 18.76 21.13 31.68 27.70
8 34.82 31.45 15.00 16.61 16.49 13.36
9 25.32 24.64 24.51 24.55 23.49 20.44
10 9.77 10.43 23.32 22.06 25.84 22.87
a) Calcule la matriz de productos cruzados a partir de los datos anteriores y estime por
MCO los coeficientes del modelo:
it it itY X uα β= + +
b) Con los datos anteriores, estime el modelo de efectos fijos y contraste la hipótesis de
que el término constante es el mismo para las tres empresas. ¿Qué interpretación
económica puede realizarse de dicho término constante?
c) Calcule un modelo de efectos fijos de doble vía.
6.2. Considere el siguiente el siguiente modelo de data panel estimado con efectos fijos y
aleatorios:
iititt
ititit
XY
XY
εµββαµββα
++++=+++=
221it1
221it1
X
X
Cuya estimación ha dado los siguientes resultados
Coeficientes Desviación típica
Efectos fijos Efectos aleatorios Efectos fijos Efectos aleatorios
1β 0.3461617 0.3457104 0.0266645 0.026541
2β 0.1079481 0.1076555 0.0175089 0.0168169
Decida si es conveniente o no utilizar efectos aleatorios
SOLUCIONES
6.1 a) t1,0589X-1.042+=tY
b) t1.1022X0.389D3-3.348D2--1.979D1 +=tY ; 320: αα =H ; se rechaza la hipótesis
nula.
c) t1.11106X10223.19735.08439.17560.06467.15084.1
4695.03828.02352.01771.01.534D31.457D2--0.078D1
++++−−−−++−+=
TTTTTT
TTTTYt
6.2. Resultado de la prueba de Haussman, no se rechaza Ho, es conveniente utilizar efectos
aleatorios.
7. MODELOS DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS
7.1. INTRODUCCIÓN
Hasta el momento en todos los modelos que hemos visto, se ha supuesto que las variables
explicativas eran exógenas, de tal forma que su comportamiento podía explicarse de forma
completamente independiente del resto de las variables que componen el modelo. Esta
característica deja de tener sentido cuando se pretende recoger, mediante un modelo
econométrico, la existencia de un conjunto de variables endógenas que se determinan
mutuamente.
En ese caso, es preciso especificar un modelo de ecuaciones simultáneas, el cual se define como
un modelo compuesto por varias ecuaciones y en el que existe simultaneidad entre las variables
que lo componen. La simultaneidad en este tipo de modelos se produce porque, a la vez que una
variable dependiente Y está determinada por una variable explicativa X en una de las ecuaciones
del modelo, en otra ecuación la variable X queda determinada por la anterior endógena, Y. Es
decir, se da una relación en dos sentidos entre variables dependientes y explicativas, lo que hace
dudosa la diferenciación entre variables dependientes e independientes.
En particular, diremos que existe endogeneidad entre dos variables cuando hay una relación
bidireccional entre ellas, y calificaremos a una variable como exógena o predeterminada cuando
su valor no venga determinado por alguna de las ecuaciones del modelo.
La distinción entre variables endógenas y exógenas en un modelo de estas características es sutil
y resulta, a veces, controvertida. Por tanto corresponde al investigador, en función de argumentos
teóricos establecidos a priori, la difícil tarea de especificar qué variables son endógenas y cuáles
son predeterminadas. No obstante, éste puede ratificar sus conjeturas a través de pruebas
empíricas (prueba de Hausman) diseñadas para determinar si una variable debe ser considerada
endógena o no.
En definitiva, los modelos de ecuaciones simultáneas relacionan en cada ecuación a una variable
dependiente endógena, con variables exógenas que actúan como endógenas en otras ecuaciones
además de con otras variables exógenas o independientes.
La representación analítica de un modelo genérico con n ecuaciones simultáneas y m variables
exógenas es la siguiente:
α11Y1t+α12Y2t +…+α1nYnt + β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t
α21Y1t+α22Y2t +…+α2nYnt + β21X1t+ β22X2t+…+β2mXmt =u2t (7.1)
....................................................................................................................................................
αn1Y1t+αn2Y2t +…+αnnYnt + βn1X1t+ βn2X2t+…+βnmXmt =unt
En la expresión 7.1. puede observarse que la presencia de la simultaneidad se debe a dos
características: por un lado, que todas las variables endógenas (Yit) y exógenas (Xit) pueden
aparecer en todas las ecuaciones del modelo; y por otro, que las perturbaciones aleatorias uit están
correlacionadas contemporáneamente entre sí, lo que implica que un cambio en una cualquiera
de ellas afectará a todas las variables endógenas del modelo.
De esta forma, en los modelos de ecuaciones simultáneas la relación de causalidad entre las
variables deja de ser unidireccional, al contrario de lo que sucedía en los modelos uniecuacionales,
ya que una variable exógena puede influir en cualquier endógena, bien sea directamente por estar
especificada en la ecuación, o a través de otra endógena relacionada con la anterior, que también
figure especificada en la ecuación en cuestión.
7.2. FORMA ESTRUCTURAL Y REDUCIDA
Como veremos en detalle más adelante, el principal problema que plantea la presencia de
simultaneidad en el modelo es la estimación de los parámetros. No obstante, para poder abordarla
debemos definir previamente los conceptos de forma estructural y forma reducida de un modelo
de ecuaciones simultáneas.
Para ello, si expresamos en términos matriciales la expresión (7.1) tenemos que:
=
+
nt
t
t
mt
t
t
nmnn
m
m
nt
t
t
nnnn
n
n
u
u
u
X
X
X
Y
Y
Y
..
...
......
...
...
.
...
......
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
2
1
21
22221
11211
βββ
ββββββ
ααα
αααααα
(7.2)
O simplificando la expresión anterior:
Y BX UΓ + =
Donde:
11 12 1 1 11 12 1 1 1
21 22 2 2 21 22 2 2 2
1 2 1 2
... ...
... ...
. . ... . . . . ... . . .
... ...
n t m t t
n t m t t
n n nn nt n n nm mt nt
Y X u
Y X uY B X U
Y X u
α α α β β βα α α β β β
α α α β β β
Γ = = = = =
Esta forma de expresar el modelo es lo que se conoce como forma estructural, y en ella se
relacionan las variables de la forma que establece la teoría económica.
Si despejamos la parte endógena del modelo obtenemos que:
Y BX UΓ = − +
Suponiendo que la matriz Γ tiene inversa, operamos tal que:
1 1 1Y B X U− − −ΓΓ = − Γ + Γ
1 1Y BX U− −= −Γ + Γ
Llamando 1B−Π = −Γ y 1V U−= −Γ tenemos que:
VXY +Π=
Que desarrollado queda como:
1 11 12 1 1 1
2 21 22 2 2 2
1 2
...
...
. . . ... . . .
...
t m t t
t m t t
nt n n nm mt nt
Y X v
Y X v
Y X v
π π ππ π π
π π π
= +
La expresión resultante se conoce como forma reducida del modelo, y con ella se relaciona cada
una de las variables endógenas con todas las variables predeterminadas. Obsérvese que en la
forma reducida no existe simultaneidad en las variables por lo que su estimación por MCO no
presenta problema alguno.
Como veremos más adelante, en función del interés del investigador la utilización de una forma
u otra será más conveniente. Así, si nuestro objetivo es obtener predicciones en el modelo,
podremos realizarlas directamente con la forma reducida sin necesidad de estimar los parámetros
de la forma estructural; por el contrario, si necesitamos contrastar alguna hipótesis sobre los
coeficientes del modelo a fin de confirmar la validez de una teoría económica, lo apropiado será
utilizar la forma estructural del modelo.
Ejemplo 7.1.
El análisis clásico de la oferta y la demanda establece que las cantidades demandadas de un bien
(Qdt) depende del precio del bien (Pt), el precio de otros bienes sustitutivos o complementarios
(Prt) y la renta de los consumidores (Rt), así como por diversos factores psicológicos y/o
sociológicos que inciden en el comportamiento del consumidor: gustos, publicidad, etc. y que se
recogen en el término de error de la ecuación de demanda (u1t).
A su vez, la teoría económica establece que las cantidades ofertadas de un bien (Qot) depende del
precio del bien (Pt), el precio de otros bienes sustitutivos o complementarios (Prt), y de los precios
de los factores de producción (Ft), entre los que se incluyen los precios de las materias primas,
los salarios y los intereses que cobran los bancos por el dinero que prestan. Asimismo, otros
factores que afectan al proceso de producción quedan recogidos por el término de error de la
ecuación de oferta (u2t).
Ambas ecuaciones determinan un modelo de ecuaciones simultaneas, cuya solución permite
obtener la cantidad consumida y el precio del bien en equilibrio. La expresión convencional de
dicho modelo es la siguiente:
Ecuación de Demanda: Qdt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0
Ecuación de Oferta: Qot=α21Pt+β21Prt+β23Ft + u2t, α21>0
Igualdad: Qdt= Qo
t
Lo que, sustituyendo la igualdad, equivale a:
Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0 (7.3)
Qt=α21Pt+β21Prt+β23Ft + u2t, α21>0 (7.4)
Sus características son las siguientes:
− Posee dos variables endógenas: la cantidad consumida del bien (Qt) y el precio (Pt)
− Asimismo, tiene tres variables exógenas o explicativas: el precio de los factores de
producción (Ft), el precio de otros bienes complementarios o sustitutivos (Prt) y el nivel
de renta de los consumidores (Rt)
− La ecuación de demanda, tiene dos variables endógenas (Qt, Pt) y dos exógenas (Prt, Rt).
− La ecuación de oferta, tiene dos variables endógenas (Qt, Pt) y dos exógenas (Ft, Prt)
Para obtener el modelo reducido, debemos construir la expresión (7.2) tal que:
11 12 111
21 23 221
Pr01
01
tt t
tt t
t
Q uR
P uF
β βαβ βα
− −− + = − −−
(7.5)
O matricialmente:
Y BX UΓ + =
El determinante de Γ es entonces:
( ) ( )21 11 11 211 1α α α αΓ = × − − − × = −
Y su matriz inversa:
21 11
1 11 21 11 21
11 21 11 21
1 1
α αα α α α
α α α α
−
− − − Γ = − − −
A partir de la matriz 1−Γ , podemos obtener la relación existente entre los coeficientes de la forma
estructural (αij, βij) y los de la forma reducida (πij) tal que:
21 11
11 121 11 21 11 21
21 23
11 22 11 21
11 2311 21 21 11 21 12
11 21 11 21 11 2111 12 13
21 22 23 2321 11 12
11 21 11 21 11 21
0
01 1B
α αβ βα α α αβ β
α α α αα βα β α β α β
α α α α α απ π ππ π π ββ β β
α α α α α α
−
− − − − − Π = −Γ = − − −− − −
− − − − − = − − − − −
Otra forma alternativa de obtener el modelo en forma reducida sería igualar la ecuación de
demanda (7.3) con la ecuación de oferta (7.4):
11 11 12 21 21 23Pr Prt t t t t tP R P Fα β β α β β+ + = + +
Despejando Pt obtenemos:
21 11 12 23
11 21 11 21 11 21
Prt t t tP R Fβ β β βα α α α α α
−= − +− − − (7.6)
Ahora, si sustituimos (7.6) en (7.3) nos queda que:
21 11 12 2311 11 12
11 21 11 21 11 21
Pr Prt t t t tQ R F Rβ β β βα β βα α α α α α −= − + + + − − −
Y operando, tenemos que :
11 21 21 11 21 12 11 23
11 21 11 21 11 21
Prt t t tQ R Fα β α β α β α β
α α α α α α−= − +− − − (7.7)
Ahora simplemente basta con relacionar los coeficientes asociados a las variables en las
ecuaciones (7.6) y (7.7) con los coeficientes de la forma reducida tal que:
11 21 21 1111
11 21
21 1212
11 21
11 2313
11 21
α β α βπα α
α βπα αα βπ
α α
−=−
−=−
=−
21 1121
11 21
1222
11 21
2323
11 21
β βπα α
βπα α
βπα α
−=−
−=−
=−
7.3. DETECCIÓN DE LA SIMULTANEIDAD. PRUEBA DE
HAUSMAN
La consecuencia más inmediata de la presencia de simultaneidad en los modelos
multiecuacionales es que los estimadores que se obtienen al aplicar MCO a cada una de las
ecuaciones individuales no son consistentes, por lo que debemos recurrir a métodos de estimación
alternativos que permitan abordar el problema de la simultaneidad y que produzcan estimadores
consistentes y eficientes. Sin embargo, hay que tener en cuenta que, si dichos métodos se aplican
cuando no existe simultaneidad, los estimadores obtenidos son consistentes pero no eficientes,
siendo preferibles en estos casos los obtenidos por el método MCO (Gujarati, 1997). Por tanto,
parece razonable que, antes de descartar las estimaciones realizadas a través de MCO en favor de
otros métodos alternativos, se verifique la presencia de simultaneidad.
El método para verificar la presencia de simultaneidad o endogeneidad más utilizado es la prueba
de especificación de Hausman (1974). Esta prueba intenta, esencialmente, averiguar si un regresor
está correlacionado con el término de error. Si lo está, existirá simultaneidad, en cuyo caso deben
utilizarse métodos de estimación alternativos a MCO; si no lo está, se puede utilizar este método
con la seguridad de que proporcionará estimadores eficientes y consistentes.
Veamos cómo se utilizaría en la práctica la prueba de Hausman: supongamos que tenemos un
modelo de tres ecuaciones con dos variables endógenas, Y1 e Y2 y que hay tres variables exógenas,
X1, X2 e X3. Supóngase además que la primera ecuación del modelo es:
iiii uXYY 111211 ++= βα
La prueba de simultaneidad de Hausman comprende los siguientes pasos:
• Se obtienen las ecuaciones de la forma reducida y se estima la ecuación de aquella
variable supuestamente endógena por MCO. Por ejemplo, si en la ecuación anterior
sospecháramos que Y2i presenta simultaneidad, realizaríamos la siguiente regresión:
iiii XXXY 33221102 ππππ +++= , iii vYY 222ˆ +=
• A continuación, se estima por MCO la ecuación original del modelo en la que aparece la
variable analizada como exógena pero sustituyéndola por su valor estimado en la
regresión anterior. En nuestro ejemplo, reemplazamos Y2i por 2 2ˆ
i iY v+ como variable
explicativa en la ecuación original del modelo, tal que:
iiiii uvYXY 12121111ˆ +++= ααβ (7.8)
Bajo la hipótesis nula de no simultaneidad, el coeficiente asociado a v2i deberá ser
estadísticamente igual a cero.
Por otro lado, Pindyck y Rubinfeld (1980) sugieren una forma alternativa de realizar el contraste
de simultaneidad, incluyendo como regresor en el segundo paso de la prueba de Hausman los
residuos obtenidos en la estimación de la forma reducida, 2iv tal que:
1 1 2 1 1 2 1i i i i iY Y X v uα β λ= + + +
Nuevamente se contrasta la hipótesis nula λ=0; en caso de que se rechace la hipótesis nula, Y2i
no debe tratarse como una variable exógena.
Finalmente, también es posible contrastar la endogeneidad de varias variables tal y como propone
Gujarati (1997): supongamos por ejemplo que tenemos un modelo de tres ecuaciones con tres
variables endógenas, Y1, Y2 e Y3 y tres exógenas, X1, X2 e X3, en el que la primera ecuación es:
iiiiiii uXXXYYY 133221133221 +++++= βββαα
Vamos a verificar si Y2 e Y3 pueden ser utilizadas como exógenas; para ello, primero se estiman
las ecuaciones de ambas variables en forma reducida, obteniéndose los valores proyectados iY2
e iY3 .
Seguidamente estimamos por MCO la siguiente ecuación:
iiiiiiiii uYYXXXYYY 1332233221133221ˆˆ +++++++= λλβββαα
y se utiliza una prueba F para contrastar la hipótesis λ2=λ3=0. Si esta hipótesis es rechazada,
entonces Y2 e Y3 pueden ser consideradas como endógenas, en caso contrario deberán ser tratadas
como exógenas.
Ejemplo 7.2.
Utilizando el modelo multiecuacional de oferta y demanda del Ejemplo 7.1 vamos a comprobar
que la variable Pt puede tratarse como endógena en la ecuación (7.3), aplicando la prueba de
Hausman. Para ello utilizaremos los siguientes datos:
Año Tm sacrificadas de carne de
porcino (miles)
Precio carne de porcino
Precio relativo de la carne de aves
frente a la carne de porcino
Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino
Renta per
capita
1980 1182.31 1.09 1.09 0.91 0.77 1981 1224.50 1.10 1.07 0.93 0.77 1982 1336.37 1.18 1.00 0.81 0.78 1983 1342.03 1.19 0.99 0.90 0.79 1984 1428.66 1.11 1.18 1.02 0.80 1985 1387.75 1.20 1.04 0.90 0.82 1986 1398.64 1.21 0.90 0.86 0.84 1987 1489.27 1.07 1.03 1.02 0.88 1988 1722.33 0.97 1.12 1.09 0.93 1989 1703.49 1.09 0.93 0.91 0.97 1990 1788.85 0.98 0.99 0.99 1.00 1991 1885.56 1.03 0.93 0.95 1.03 1992 1912.92 1.17 0.89 0.89 1.03 1993 2069.40 0.94 1.14 1.08 1.02 1994 2193.37 0.91 1.09 1.01 1.04 1995 2258.65 0.96 0.85 0.88 1.06 1996 2361.85 1.04 0.93 0.85 1.09 1997 2448.77 1.16 0.82 0.80 1.12
La expresión para la ecuación (7.3) recordemos que es:
Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t
El primer paso consiste en realizar la regresión por MCO del precio de la carne de porcino (Pt)
sobre las tres variables exógenas del modelo: Precio relativo de la carne de aves frente a la carne
de porcino (Prt), Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino (Ft) y Renta "per
capita" (Rt), para lo que estimamos la relación:
Pt=π21Prt+π22Rt+π23Ft +e1t
Los resultados obtenidos son los siguientes:
Coeficientes Error típico Estadístico t Término constante 2.33947783 0.24298863 9.62793124 Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino
-0.34549619 0.28538168 -1.21064604
Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino
-0.43015941 0.30002065 -1.43376601
Renta per capita -0.55315522 0.16144429 -3.42629156
El valor obtenido para tP sería el siguiente:
t tP
1980 1.20910458 1981 1.19432981 1982 1.28461538 1983 1.20231821 1984 1.10554471 1985 1.18859183 1986 1.20641733 1987 1.06103444 1988 0.98035916 1989 1.09799849 1990 1.01801611 1991 1.03870013 1992 1.08101615 1993 0.94140969 1994 0.97946935 1995 1.06484696 1996 1.08198668 1997 1.09829545
El siguiente paso es plantear la ecuación (7.3) pero añadiendo la nueva variable estimada:
Qt=α12Pt+β11Prt+β12Rt +λ tP + u1t
Los resultados obtenidos en el segundo paso son los siguientes:
Coeficientes Error típico Estadístico t Término constante -9037.89318 2676.96924 -3.37616624 Precio carne de porcino -240.316755 429.828674 -0.55909894 Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino 2350.58492 794.500316 2.95857014 Renta per capita 5440.9149 789.283782 6.89348372
tP 3356.23732 1182.18626 2.83900891
Considerando que el valor de la t de Student en las tablas es de 2.67 para un nivel de confianza
del 95%, se descarta la posibilidad de que el coeficiente asociado a tP pueda ser considerado
igual a cero.
Por otro lado, si generamos el residuo vt tenemos que:
t vt 1980 -0.05564667 1981 -0.04316201 1982 -0.03408611 1983 0.01838146 1984 0.05894503 1985 0.06080601 1986 0.01847311 1987 0.01379649 1988 0.00132339 1989 0.00100086 1990 -0.03753504 1991 -0.00858133 1992 0.09163034 1993 0.02208662 1994 -0.04457266 1995 -0.11952179 1996 -0.01082423 1997 0.06748654
Aplicando el método de Pyndick y Rubinfeld ahora debemos estimar la siguiente ecuación:
Qt=α12Pt+β11Prt+β12Rt +λ vt + u1t
Obteniéndose los siguientes resultados:
Coeficientes Error típico Estadístico t Término constante -9037.89318 2676.96924 -3.37616624 Precio carne de porcino 3115.92057 1101.27729 2.82936968 Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino 2350.58492 794.500316 2.95857014 Renta per capita 5440.9149 789.283782 6.89348372 vt -3356.23732 1182.18626 -2.83900891
Nuevamente el parámetro λ es estadísticamente distinto de cero, por lo que podemos afirmar que
el precio de la carne de porcino pueda ser considerado como endógeno en la ecuación de demanda.
7.4. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA
En la expresión 1B−Π = −Γ podemos observar que los parámetros de la forma reducida son una
combinación lineal de los parámetros de la forma estructural del modelo (Y BX UΓ + = );
asimismo, dado que no existe simultaneidad en la forma reducida, podemos estimar sus
parámetros sin problema por MCO. Sin embargo, ¿cómo podemos para saber si es posible
recuperar todos y cada uno de los parámetros de la forma estructural (elementos de las matrices
B y Γ A) a partir de las estimaciones de los parámetros de la forma reducida (elementos de la
matriz Π )? Para responder a esta pregunta antes de proceder a la estimación del modelo, debemos
realizar la identificación del sistema de ecuaciones simultáneas; una vez realizada podemos
encontrarnos en alguna de las siguientes situaciones:
− Una ecuación estará no identificada cuando no tengamos suficiente información para
estimar los parámetros de la forma estructural de la ecuación.
− Por su parte, una ecuación estará sobreidentificada cuando haya más de una
combinación posible de valores estimados para los parámetros de la forma estructural.
− Finalmente, diremos que una ecuación está exactamente identificada cuando sea posible
obtener una única estimación de los parámetros estructurales.
− En caso de que todas las ecuaciones de un modelo multiecuacional en su forma estructural
sean exactamente identificadas, diremos que el sistema está exactamente identificado,
pudiéndose recuperar de forma unívoca los elementos de las matrices B y A a partir de
las estimaciones de la matriz Π .
Ejemplo 7.3.
Consideremos el modelo clásico de oferta y demanda del Ejemplo 7.1, en el que se ha omitido la
variable Prt de la ecuación (7.4):
Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0 (7.9)
Qt=α21Pt+β23Ft + u2t, α21>0 (7.10)
Se trata de un modelo con las siguientes características:
− La ecuación de demanda (7.9) tiene dos variables endógenas (Pt y Qt) y dos exógenas (Prt
y Rt)
− La ecuación de oferta (7.10) tiene dos variables endógenas (Pt y Qt) y una exógena (Ft).
La forma reducida del modelo es:
Qt=π11Ft+π12Prt+π13Rt
Pt=π21Ft+π22Prt+π23Rt
Relacionando los parámetros de la forma estructural con los de la forma reducida se obtiene un
sistema de 6 ecuaciones y 5 incógnitas, que se corresponden a los coeficientes a estimar en el
modelo de oferta y demanda, tal que:
21 11
11 121 11 21 11 21
23
11 21 11 21
11 2321 11 21 12
11 21 11 21 11 2111 12 13
21 22 23 2311 12
11 21 11 21 11 21
0
0 01 1B
α αβ βα α α α
βα α α α
α βα β α βα α α α α απ π π
π π π ββ βα α α α α α
−
− − − − − Π = −Γ = − −− − −
− − − − − = − − − − −
A partir de los parámetros de la forma reducida podemos obtener los valores de los coeficientes
asociados al modelo; por ejemplo, si dividimos π13 por π23 obtenemos el valor de α11 que:
1311
23
παπ
=
Pero para algunos parámetros se pueden obtener dos soluciones:
1121
21
1221
22
παππαπ
=
=
De lo que se deduce que la ecuación (7.10) del modelo está sobreidentificada.
7.4.1. Condiciones de Orden y Rango en la Identificación Para comprobar si las ecuaciones de un sistema de ecuaciones están identificadas se utilizan dos
sencillas condiciones. Por un lado, tenemos la condición de orden, según la cual para que una
ecuación esté identificada debe verificarse que el número de variables exógenas excluidas en la
ecuación j debe ser, al menos, tan alto como el número de variables endógenas incluidas en dicha
ecuación.
En términos matemáticos deberá cumplirse que:
K – k ≥ m – 1 (7.11)
Donde:
K = número de variables exógenas en el modelo.
k = número de variables exógenas en una ecuación dada.
m = número de variables endógenas en una ecuación dada.
En particular, tomando en consideración el signo de la desigualdad tenemos que
• Si K – k < m – 1, diremos que la ecuación está subidentificada por lo que no será posible
estimar el sistema al no haber información suficiente para ello (en términos algebraicos,
diríamos que es un sistema incompatible).
• Si K – k = m – 1, la ecuación está exactamente identificada lo que implica que tenemos
información suficiente para poder estimar el modelo y recuperar los parámetros de la
forma estructural (en términos algebraicos, se trataría de un sistema compatible
determinado).
• Si K – k > m – 1, la ecuación está sobreidentificada existiendo varias soluciones posibles
para los parámetros de la forma estructural a causa de un exceso de información, si bien
en este caso la estimación de los parámetros de la forma estructural es viable utilizando
el método de Mínimos Cuadrados en 2 Etapas que veremos en el siguiente capítulo (en
términos algebraicos, tendríamos un sistema compatible indeterminado).
La condición de orden de identificación puede simplificarse sumando (M–m) a ambos lados de la
desigualdad (7.11), siendo M el número de ecuaciones del modelo, tal que:
(K – k) + (M – m) ≥ (m – 1) + (M – m)
Operando queda:
(K – k) + (M – m) ≥ M – 1
Con ello, para aplicar la condición de orden ahora sólo tenemos que contar el número de variables
endógenas y exógenas excluidas en la ecuación analizada y comparar dicho número con el total
de variables endógenas del sistema menos uno.
De esta forma, si el número de variables endógenas y exógenas excluidas supera al número de
ecuaciones menos uno, la ecuación analizada estará sobreidentificada; si es igual estará
exactamente identificada; y si es menor estará subidentificada.
Sin embargo, la condición de orden es una condición necesaria pero no suficiente para la
identificación, por lo que es necesario plantear otra condición que sí es necesaria y suficiente. Se
trata de la condición de rango, que pasamos a ver a continuación.
La condición de rango señala que en un modelo que contiene M variables endógenas en M
ecuaciones, una ecuación estará identificada si y sólo si puede construirse al menos un
determinante diferente de cero, de orden ( 1) ( 1)M M− × − a partir de los coeficientes de las
variables endógenas y predeterminadas excluidas de la ecuación que se analiza, pero incluidas en
el resto de ecuaciones del modelo.
En resumen, para llevar a cabo la identificación de un sistema de ecuaciones simultáneas deben
seguirse los siguientes pasos:
1. Aplicar la condición de orden para saber si una ecuación está subidentificada,
exactamente identificada o sobreidentificada.
2. Aplicar la condición de rango; en caso de verificarse confirmaremos el resultado
obtenido con la condición de orden.
Ejemplo 7.4.
Volviendo al modelo de ecuaciones simultáneas de oferta y demanda del Ejemplo 7.3, tenemos
que:
− Variables predeterminadas del modelo K=3.
− Variables predeterminadas en la ecuación de demanda k=2.
− Variables predeterminadas en la ecuación de oferta k=1.
− Número de ecuaciones en el modelo M=2.
− Variables endógenas en la ecuación de demanda m=2.
− Variables endógenas en la ecuación de oferta m=2.
Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0 (7.9)
Qt=α21Pt+β23Ft + u2t, α21>0 (7.10)
La condición de orden de identificación del modelo quedaría establecida como sigue:
1. La ecuación de demanda, tal y como se ha formulado, contiene dos variables endógenas y dos
exógenas, y excluye una variable (Ft), que sería igual al número de endógenas incluidas en la
ecuación menos una, estando por tanto la ecuación de demanda exactamente identificada.
K–k=m–1 ⇒ 3-2=2-1 ⇒ 1=1
2. Por su parte, la ecuación de oferta, posee dos variables endógenas y una exógena, excluyendo
por tanto 2 variables (Prt y Rt), lo que supera al número de endógenas incluidas en la ecuación
menos una, por lo que la ecuación de oferta está sobreidentificada, tal que:
K–k=m–1 ⇒ 3-1>2-1⇒ 2>1
Procedemos a confirmar los resultados obtenidos con la condición de orden aplicando la
condición de rango. Dicha condición establece que una ecuación está identificada, si y sólo si
puede construirse por lo menos un determinante diferente de cero, de orden ( 1) ( 1)M M− × − a
partir de los coeficientes de las variables (endógenas y predeterminadas) excluidas de esa
ecuación particular, pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo; en nuestro caso, dicho
determinante debe ser de orden(2 1) (2 1)− × − = 1.
Para analizar la condición de rango lo más práctico es formar la siguiente tabla con los coeficientes
asociados a las variables endógenas y predeterminadas:
Qt Pt Prt Rt Ft Ecuación de demanda 1 α11 β11 β12 0 Ecuación de oferta 1 α21 0 0 β 23
A continuación debemos comprobar si existe algún determinante no nulo asociado a las matrices
que se pueden formar con los coeficientes asociados a las variables excluidas.
En la ecuación de demanda se verifica la condición de rango ya que existe un determinante no
nulo10 de orden 1 1 × , 23β tal y como puede apreciarse en la siguiente tabla:
Qt Pt Prt Rt Ft Ecuación de demanda 1 α11 β11 β12 0 Ecuación de oferta 1 α21 0 0 β 23
10
A priori, se supone que ningún parámetro es igual a cero.
En la ecuación de oferta también se cumple la condición de rango ya que existen dos
determinantes no nulos de orden 1 1× : 11β y 12β :
Qt Pt Prt Rt Ft Ecuación de demanda 1 α11 β11 β12 0 Ecuación de oferta 1 α21 0 0 β 23
En conclusión, la ecuación de demanda está exactamente identificada y que la ecuación de oferta
está sobreidentificada, resultado este que ya se intuía en el Ejemplo 7.3.
7.5. PROBLEMAS
7.1. Considere el siguiente modelo de oferta y demanda de dinero en desviaciones respecto a la
media:
1 2 3 1
1 2
Dt t t t t
Ot t t
D Ot t
M Y R P u
M Y u
M M
β β βα
= + + +
= +
=
Discuta la identificabilidad de las ecuaciones del modelo.
7.2. Estudie la identificabilidad del siguiente modelo de ecuaciones simultáneas:
1 13 3 11 1 13 3 1
21 1 2 21 1 22 2 2
32 2 3 32 2 33 3 3
t t t t t
t t t t t
t t t t t
y y x x u
y y x x u
y y x x u
α β βα β βα β β
+ + + =+ + + =+ + + =
7.3. Dado el siguiente modelo estructural:
1 12 2 11 1 1
2 21 1 22 2 2
t t t t
t t t t
y y x u
y y x u
α βα β
= + += + +
Se ha estimado la forma reducida, obteniendo los siguientes valores:
1 1 2
2 1 2
5 8
6 2t t t
t t t
y x x
y x x
= += −
A partir de las estimaciones obtenidas, recupere los valores de los parámetros estructurales.
7.4. En el modelo de gasto público de Pindyck y Rubinfeld:
i
i
vPSEXPAID
uPOPINCAIDEXP
+++=++++=
321
4321
δδδββββ
donde EXP es el gasto público de cada región, AID las ayudas que recibe del gobierno
central, INC los ingresos tributarios de las regiones, POP la población y PS la población en
edad escolar.
En principio INC, POP y PS se consideran exógenas. Debido a la posibilidad de que existiera
simultaneidad entre EXP y AID, se efectúa una regresión de AID sobre INC, POP y PS, siendo
iw los términos de error calculados en dicha regresión, obteniéndose los siguientes resultados
(entre paréntesis se presenta la desviación típica de cada parámetro estimado):
ˆ89.41 4.50 0.00013 0.518 1.39
( 1.44) (0.89) (0.50) ( 0.02) ( 0.93)iEXP AID INC POP w= − + + − −
− − −
Para una muestra de tamaño N=25 y al 95% de confianza, ¿sería válida la estimación de la
primera ecuación por MCO? ¿Y para un nivel de confianza del 90%?
SOLUCIONES
7.1. La ecuación de demanda está subidentificada y la ecuación de oferta está
sobreidentificada.
7.2. Las tres ecuaciones están exactamente identificadas.
7.3. 12 21 11 22
6 144; ; 29;
5 5α α β β= = − = − = −
7.4. La estimación es válida al 95% de confianza pero no al 90%, ya que en ese caso el
coeficiente asociado a iw sería significativo.
8. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE MODELOS DE
ECUACIONES SIMULTÁNEAS
8.1. INTRODUCCIÓN
Como acabamos de ver en el capítulo anterior, la estimación de la forma estructural de modelos
de ecuaciones simultáneas utilizando el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios presenta
importantes problemas ya que los estimadores son inconsistentes. Por ello, en este capítulo vamos
a ver diferentes métodos de estimación mediante los que sí es posible obtener estimaciones
consistentes de los parámetros del modelo.
8.2. MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS (MCI)
Este método resulta válido únicamente para la estimación de modelos de ecuaciones exactamente
identificados y permite estimar los coeficientes de la forma estructural a partir de las estimaciones
MCO de los parámetros de la forma reducida del modelo.
Sea el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas:
α11Y1t+α12Y2t +…+α1nYnt + β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t
α21Y1t+α22Y2t +…+α2nYnt + β21X1t+ β22X2t+…+β2mXmt =u2t.
.
.
αn1Y1t+αn2Y2t +…+αnnYnt + βn1X1t+ βn2X2t+…+βnmXmt =unt.
O bien, expresándolo en términos matriciales:
UBXY =+Γ
Lo que equivale a:
UXBY =+Γ ''
La estimación por MCI se puede esquematizar en tres pasos:
1. Se obtienen las ecuaciones de la forma reducida en forma matricial:
VXUXBY +Π−=Γ+Γ−= −− ')'()'(' 11
2. Las ecuaciones en forma reducida se estiman individualmente por MCO, obteniéndose el
estimador MCO del vector de parámetros de la forma reducida, Π :
( ) YXXX '''ˆ 1−=Π
3. A partir de las estimaciones obtenidas de los coeficientes de las ecuaciones en forma
reducida se obtienen los parámetros estructurales, mediante la siguiente relación:
1)'(''ˆ −Γ−=Π B (8.1)
1)'( −Γ= UV
Si todas las ecuaciones de la forma estructural del modelo están exactamente identificadas,
aplicando este método se obtiene una única solución a la hora de recuperar los parámetros
estructurales a partir de los coeficientes estimados de la forma reducida del modelo; por el
contrario, si alguna de las ecuaciones del modelo estuviera sobreidentificada obtendríamos más
de una solución para uno o más parámetros.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema de ecuaciones exactamente identificado:
α11Y1t+α12Y2t +β11X1t+ β13X3t=u1t
α21Y1t+α22Y2t +β22X2t+ β23X3t=u2t
En primer término debemos obtener la forma reducida del modelo:
Y1t= π11X1t+ π12X2t+ π13X3t +v1t
Y2t= π21X1t+ π22X2t+ π23X3t +v2t
Utilizando la matriz de productos cruzados se obtendrían las estimaciones MCO de la forma
reducida:
=
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑
−
3231
2221
1211
1
232313
322212
312121
2313
2212
2111
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
XYXY
XYXY
XYXY
XXXXX
XXXXX
XXXXX
ππππππ
Para recuperar los parámetros αij y βij partimos de la expresión (8.1) que puede rescribirse como
B−=ΠΓ ˆ .
−=
2322
1311
232221
131211
2221
1211
0
0
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ββββ
ππππππ
αααα
obteniendo así seis ecuaciones a partir de las que se pueden calcular los parámetros αi y βj :
−=+−=+
=+−=+
=+−=+
2323221321
2222221221
21221121
1323121311
22121211
1121121111
ˆˆ
ˆˆ
0ˆˆ
ˆˆ
0ˆˆ
ˆˆ
βπαπαβπαπα
παπαβπαπα
παπαβπαπα
En todo caso, debe subrayarse que es necesario que todas las ecuaciones del modelo estén
exactamente identificadas para poder aplicar Mínimos Cuadrados Indirectos de forma legítima.
Asimismo debe considerarse que los estimadores obtenidos por MCI son, en general, sesgados a
pesar de que los estimadores de la forma reducida sean insesgados, debido a que los estimadores
MCI son funciones no lineales de las estimaciones de la forma reducida del modelo. Sin embargo,
los estimadores MCI sí son consistentes al ser una función continua del estimador MCO de la
forma reducida.
8.2.1. Estimación de curvas de oferta y demanda por MCI Partimos de un modelo de ecuaciones simultáneas compuesto por una ecuación de oferta y otra
de demanda, cuya solución permite obtener la cantidad consumida y el precio del bien en
equilibrio. La expresión funcional de dicho modelo es la siguiente:
Qt=α11Pt+β11Prt+β12Rt + u1t, α11<0 (8.2)
Qt=α21Pt+β21Prt+β23Ft + u2t, α21>0 (8.3)
Tal y como ya se vio en el capítulo anterior, sus características son las siguientes:
− Posee dos variables endógenas o a explicar: la cantidad consumida del bien (Qt= Qot=
Qdt) y su precio (Pt)
− Presenta tres variables exógenas o explicativas: el precio de los factores de producción
(Ft), el precio de otros bienes complementarios o sustitutivos (Prt) y el nivel de renta y
riqueza del país o área económica (Rt)
− La ecuación de demanda tiene dos variables endógenas y dos exógenas (Prt y Rt).
− La ecuación de oferta tiene dos variables endógenas (Qt y Pt) y dos exógenas (Ft y Pt)
La ecuación de demanda excluye una variable (Ft), y dado que el número de variables excluidas
es igual al número de relaciones menos uno (2–1), está exactamente identificada según la
condición de orden. La ecuación de oferta también está exactamente identificada ya que también
excluye una sola variable (Rt). Asimismo, ambas cumplen la condición de rango al tener por lo
menos un determinante diferente de cero, de orden (2–1) x (2–1), formado a partir de los
coeficientes de las variables (endógenas y predeterminadas) excluidas de la ecuación particular,
pero incluidas en las otras ecuaciones del modelo.
En consecuencia este modelo de ecuaciones simultáneas es un sistema exactamente identificado
y las dos ecuaciones pueden estimarse por MCI.
La de forma reducida del modelo será:
Qt=π11Prt+π12Rt+π13Ft (8.4)
Pt=π21Prt+π22Rt+π23Ft (8.5)
Para estimar dicho modelo en forma reducida se utilizan los datos del Ejemplo 7.2. En la siguiente
tabla se presenta la matriz de productos cruzados que corresponde a dichos datos:
Tm sacrificadas de carne de
porcino (miles) (Qt)
Precio carne de
porcino (Pt)
Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino
(Prt)
Precio relativo de los piensos frente a la carne de
porcino (Ft)
Renta "per capita" (Rt)
Tm sacrificadas de carne de porcino (miles) (Qt)
56677706 33214 30800 29030 29781
Precio carne de porcino (Pt) 21.07 19.34 18.02 17.94 Precio relativo de la carne de aves frente a la carne de porcino (Prt)
18.16 16.90 16.62
Precio relativo de los piensos frente a la carne de porcino (Ft)
15.80 15.62
Renta "per capita" (Rt) 15.83
Dichos productos cruzados se han obtenido de la siguiente forma:
18 18 18 18 182
1 1 1 1 1
56677706, 33214, Pr 30800, 29030, 29781t t t t t t t t tt t t t t
Q QP Q QF QR= = = = =
= = = = =∑ ∑ ∑ ∑ ∑
18 18 18 182
1 1 1 1
21.07 Pr 19.34 18.02 17.94t t t t t t tt t t t
P P PF PR= = = =
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
18 18 182
1 1 1
Pr 18.16, Pr 16.90, Pr 16.62t t t t tt t t
F R= = =
= = =∑ ∑ ∑
18 18 182 2
1 1 1
15.80, =15.62, 15.83t t t tt t t
F F R R= = =
= =∑ ∑ ∑
La estimación MCO de las ecuaciones de la forma reducida del modelo es:
1
11 21
12 22
13 23
ˆ ˆ 18.16 16.90 16.62 30800 19.34
ˆ ˆ 16.90 15.80 15.62 29030 18.02
ˆ ˆ 16.62 15.62 15.83 29781 17.95
15.70 20.29 3.54 30800 19.34
20.29 28.81 7.12 290
3.54 7.12 3.38
π ππ ππ π
− = =
− − −
−
33.96 1.56
30 18.02 618.42 1.06
29781 17.95 2998.18 0.83
− = − −
Para recuperar los parámetros de la forma estructural a partir de las estimaciones MCO de la
forma reducida, hay que resolver el siguiente sistema:
11 2311 21 21 11 21 12
11 21 11 21 11 2111 12 13
21 22 23 2321 11 12
11 21 11 21 11 21
α βα β α β α βα α α α α απ π π
π π π ββ β βα α α α α α
− − − − −
= − − − − −
21 11
11 121 11 21 11 21
21 23
11 22 11 21
0ˆ '01 1
B
α αβ βα α α αβ β
α α α α
−
− − − − − Π = −Γ = − − −− − −
Es decir:
11 2311 21 21 11 21 12
11 21 11 21 11 21
2321 11 12
11 21 11 21 11 21
33.96 618.42 2998.18
1.56 1.06 0.83
α βα β α β α βα α α α α α
ββ β βα α α α α α
− − − − −− − = − − − − − −
Los parámetros 11α y 21α se obtienen de forma inmediata:
11
2998.183612.27
0.83α = =
21
618.42583.42
1.06α −= =
−
siendo 11 21 3028.85α α− = .
La recuperación de los parámetros 12β y 23β resulta inmediata a partir de los resultados
anteriores:
12 ( 1.06 3028.85) 3210.58β = − − ⋅ =
23 0.83 3028.85 2513.95β = ⋅ =
Por su parte, la estimación de 11β y 21β se obtiene resolviendo el siguiente sistema de
ecuaciones:
11 21
11 21
33.96 3028.85 583.42 3612.27
1.56 3028.85
β ββ β
− ⋅ = − + ⋅ = − +
cuya solución es 11 5669.09β = − y 21 944.09β = −
8.2.2. Estimación de Haavelmo de la propensión marginal al
consumo por MCI
Veamos cómo se calcularía la propensión marginal al consumo en el contexto del modelo
macroeconómico keynesiano. Dicho modelo, en su versión más sencilla viene dado por el
siguiente sistema de ecuaciones:
Ct = β10+α11Yt+ut
Yt = Ct + I t
donde Ct es el consumo, I t es la inversión e Yt la renta nacional.
Expresando el modelo en términos matriciales queda que:
11 10 11 0
1 1 0 1 0t t
t t
C u
Y I
α β− − + = − −
Siendo su forma reducida:
Ct=π10+π11I t
Yt=π20+π21I t
Teniendo en cuenta que:
111
11 1111
11 11
1
1 11
1 1 1 1
1 1
αα αα
α α
− − −− = − − −
Entonces:
11
11 1110 11 10
20 21
11 11
1
1 1 0
1 1 0 1
1 1
αα απ π β
π πα α
− − − = − − − −
Lo que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
Por lo que la propensión marginal al consumo puede calcularse a partir de la siguiente relación:
1121
11
1111
11
1020
11
1010
1
1
1
1
1
απ
ααπ
αβπ
αβπ
−=
−=
−=
−=
Utilizando este modelo, vamos a estimar la propensión marginal al consumo en España. Para ello
utilizaremos las series de la Contabilidad Nacional Trimestral Española relativas a Consumo
Nacional, Formación Bruta de Capital y Demanda Interna para el periodo 1970-1998, cuya matriz
de productos cruzados en miles de millones de euros se presenta en la siguiente tabla:
Demanda Interna
Consumo Nacional
Formación Bruta de Capital
Demanda Interna (Yt) 8480 6546 1934 Consumo Nacional(Ct) 5055 1490 Formación Bruta de Capital (I t) 444
Asimismo, las sumas totales en miles de millones de euros de cada variable son:
967
747
221
t
t
t
Y
C
I
=
=
=
∑∑∑
La estimación MCO del modelo en forma reducida es:
=
∑∑∑∑
∑∑∑
−
XYXY
YY
XX
Xn
21
21
1
22212
2111
ˆˆ
ˆˆ
ππππ
1
11 21
12 22
ˆ ˆ 116 221 967 747 0.7262 0.8930
ˆ ˆ 221 444 1934 1490 3.9944 2.9114
π ππ π
− = =
Que daría lugar a la siguiente estimación de la propensión marginal a consumir:
11
2.9114ˆ 0.7289
3.9944α = =
21
1111 ˆ
ˆˆ
ππα =
8.3. VARIABLES INSTRUMENTALES (VI)
Como ya sabemos, la utilización de MCO para estimar modelos de ecuaciones simultaneas
proporciona estimadores sesgados e inconsistentes, ya que en este tipo de ecuaciones existe
correlación entre los regresores o variables exógenas y las perturbaciones.
Así, por ejemplo, partiendo de la primera ecuación del modelo general de ecuaciones simultaneas:
α11Y1t+α12Y2t +…+α1nYnt + β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t t=1,…,T
Y dividiendo todos los términos de la ecuación por α11, obtenemos:
Y1t+γ12Y2t +…γ1nYnt + δ11X1t+ δ12X2t+…+δ1mXmt =v1t t=1,…,T (8.6)
Donde :
11
11 α
αγ ii = i=2,..,n ,
11
11 α
βδ ii = i=1,..,m , y
11
11 α
tt
uv = t=1,…,T
Podemos poner la ecuación (8.6) en forma matricial:
12
21 1 11 21 111 11
22 2 12 22 2 112 12
11
12
2 1 21 1
1
.. .. .
.. ..
. .. . . . .. .. .
. .. . . . .. .. .
.. .. .
n m
n m n
T nT T T mTT T
m
Y Y X X XY v
Y Y X X XY v
Y Y X X XY v
γ
γδδ
δ
= +
O también:
[ ] [ ] [ ]111 vXYy +
=
δγ
(8.7)
El estimador MCO de (8.7) será:
[ ] [ ]11
1
11
ˆˆ
yX
YXY
X
Y
=
−
δγ
Operando, tenemos que:
[ ] [ ] [ ]
+
=
−
ivXYX
YXY
X
Y
δγ
δγ
11
1
11
ˆˆ
[ ] [ ] [ ]1 1
1 11 1 11 1 1
1
Y vY Y Y
Y X Y X Y XXvX X X
γδ
− − = +
[ ]1
1 111
1
Y vY
Y XXvX
γδ
− = +
Dado que Y1 y v1 están correlacionados, al tomar esperanzas resulta que:
[ ]
≠
+
=
−
δγ
δγ
δγ
1
11
1
11
ˆˆ
Xv
vYXY
X
YEE
En definitiva, la correlación que existe entre las matrices Y1 y v1 es la que provoca que la
estimación MCO de la ecuación (8.6) proporcione estimadores que no satisfagan las propiedades
de consistencia e insesgadez.
Dado que los problemas de estimación vienen dados por la correlación existente entre las matrices
Y1 y v1, para eliminar dichos problemas es necesario disponer de otra matriz, Z*, denominada
matriz de variables instrumentales, que deberá incluir como mínimo tantas variables como
columnas tenga la matriz Y1 y cumplir dos condiciones:
− Las variables que contiene esta nueva matriz deben estar correlacionadas con las
variables incluidas en Y1.
− La correlación entre las variables que aparecen en Z* y v1 ha de ser nula.
Tal y como vimos en el capítulo 4, en los modelos uniecuacionales las variables instrumentales
son variables ajenas al modelo, altamente correlacionadas con la variable que sustituyen como
explicativa e independientes a su vez de la perturbación aleatoria. En el caso de los modelos de
ecuaciones simultaneas, cabe la posibilidad de seleccionar variables instrumentales de entre las
variables exógenas y predeterminadas que no han sido incluidas en la ecuación que se estima.
Asimismo, hay que tener presente que el número de variables instrumentales no debe ser menor
que el número de variables endógenas que aparecen como explicativas.
Veamos a continuación cómo estimar una ecuación por variables instrumentales. Sea una matriz
de variables instrumentales Z* de la forma:
* *21 1 11 21 1* *
22 2 12 22 2*
* *2 1 2
.. ..
.. ..
. .. . . . .. .
. .. . . . .. .
.. ..
n m
n m
T nT T T mT
Y Y X X X
Y Y X X X
Z
Y Y X X X
=
donde los instrumentos *
1Y están correlacionados con Y1 pero no con el término de error v1.
Expresando la matriz de variables instrumentales en términos matriciales:
[ ]XYZ *1
* =
y premultiplicando la expresión (8.7) por Z* ’ se obtiene:
[ ] [ ] [ ]* * *
1 1 11 1 1·
Y Y Yy Y X v
X X X
γδ
= +
De donde se obtiene el Estimador de Variables Instrumentales (VI):
[ ] [ ]1
*1
1
1
*1
ˆˆ
yX
YXY
X
Y
=
−
δγ
Si denominamos [ ]1Z Y X= , tenemos entonces que:
( ) 1* *1
ˆ' '
ˆB Z Z Z y
γ
δ− = =
La matriz Z* de instrumentos deberá cumplir las siguientes propiedades asintóticas:
• ZZT
ZZp *'
* 'lim ∑=
es una matriz no singular que indica la existencia de
correlación entre las endógenas y sus instrumentos.
• ***'
** 'lim
ZZT
ZZp ∑=
es una matriz simétrica definida positiva
• 0'
lim 1*
=
T
vZp que expresa la ausencia de correlación entre los
instrumentos y el término de perturbación.
Si se verifican estas condiciones, entonces el estimador VI es consistente (aunque no es
insesgado), siendo su matriz de varianzas y covarianzas:
( ) ( ) ( )1
1 12 * * * *'
ˆcov( ) ' ' 'vB Z Z Z Z Z Zσ− − =
Siendo 1
2 1 1( ) '( )ˆv
y ZB y ZB
T kσ − −=
−
No obstante hay que tener presente la indeterminación que la estimación VI provoca en modelos
simultáneos con ecuaciones sobreidentificadas. Por ejemplo, consideremos el siguiente modelo
en el que la primera ecuación está sobreidentificada:
Y1t+α21Y2t+β11X1t=u1t
α12Y1t+Y2t+β22X2t + β23X3t =u1t
Para estimar la primera ecuación por VI podemos utilizar como instrumento de Y2t las variables
exógenas X2t ó X3t , de tal forma que Z* puede ser:
31 1121 11
32 1222 12* *
3 12 1
a b
T TT T
X XX X
X XX XZ Z
X XX X
= =
M MM M
Por lo que las estimaciones VI obtenidas utilizando la matriz *aZ y
*bZ serán diferentes.
8.3.1. Estimación una función keynesiana de consumo por VI
Se parte de nuevo del modelo macroeconómico Keynesiano de la renta de equilibrio:
Ct = α+βYt
Yt = Ct + I t
donde Ct es el consumo, I t es la inversión e Yt la renta nacional.
Se utiliza I t como instrumento en la estimación de Ct, de forma que las matrices de variables
endógenas, exógenas e instrumentos serán:
1
21
1
2
1
2
.
1
1
..
1
1
1*
..
1
T
T
T
C
Cy
C
Y
YZ
Y
I
IZ
I
=
=
=
Con las que calculamos:
1*
1 1
1*1
1
1* *
2
1 1
'
'
'
T
tt
T T
t t tt t
T
tt
T
t tt
T
tt
T T
t tt t
T Y
Z Z
I I Y
C
Z y
I C
T I
Z Z
I I
=
= =
=
=
=
= =
=
=
=
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑ ∑
Con los datos de las series de la Contabilidad Nacional Trimestral Española utilizados en el
ejemplo anterior, la estimación de los coeficientes por VI es:
1116 967 747 0.3636
221 1934 1490 0.7289B
− = =
De forma que la estimación VI de la función de consumo resulta ser:
Ct = 0.3636 + 0.7289Yt
Si la suma residual del modelo es 3.17, tenemos que la varianza del error de estimación es:
1
2 1 1( ) '·( ) 3.170.028
116 2v
y ZB y ZB
T kσ − −= = =
− −
Con lo que la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores es:
( ) ( ) ( )1
1 11 12 * * * *
' 116 967 116 221 116 967ˆ ' ' ' 0.028
221 1934 221 444 221 1934
0.1856 0.09290.028
0.0058 0.0030
v Z Z Z Z Z Zσ− −
− − = =
− = −
Para contrastar si la propensión marginal al consumo es significativamente distinta de cero,
necesitamos su desviación típica tal que:
ˆ( ) 0.028 0.0030 0.0092DesvTipβ = × =
Dado que la desviación típica es βσ = 0.0092, el estadístico t es:
ˆ 0.728979.23
0.0092t
β
βσ
= = =
Valor sensiblemente superior a 1.645, valor tabulado para una distribución t de Student con 114
grados de libertad al 95% de confianza.
Resultado que confirma que el parámetro β es significativamente distinto de cero, por ser mayor
que el valor de teórico de una t de Student (ttco=1.980) con 112 grados de libertad con un nivel de
confianza del 95%.
A su vez la varianza del parámetro α es:
ˆ( ) 0.028 0.1798 0.00503Var α = ⋅ =
Al ser la desviación típica 0.07ασ = ; el estadístico t es, por tanto:
ˆ 0.263.61
0.07t
α
ασ
= = =
por lo que α resulta también estadísticamente significativo.
8.4. MÍNIMOS CUADRADOS EN DOS ETAPAS (MC2E)
El método denominado Mínimos Cuadrados en 2 Etapas (MC2E), al igual que los métodos de
Mínimos Cuadrados Indirectos y Variables Instrumentales, intenta dar una solución al problema
de la inconsistencia de los estimadores MCO en los sistemas de ecuaciones simultáneas. Sin
embargo, este método presenta la ventaja adicional de que puede utilizarse tanto en ecuaciones
exactamente identificadas como sobreidentificadas.
En particular, en el caso de las ecuaciones sobreidentificadas, la aplicación del método MC2E
ofrece un único valor para cada parámetro, que puede considerarse una combinación lineal de los
diversos estimadores que se obtendrían aplicando MCI. Por su parte, si se utiliza MC2E en
ecuaciones exactamente identificadas se obtiene la misma estimación que con los métodos MCI
y VI.
El método MC2E, como su propio nombre indica, consta de dos etapas:
− En una primera etapa, para eliminar la correlación existente entre la(s) variable(s)
endógena(s) y el término de error, se realiza la regresión de la(s) variable(s)
endógena(s) sobre todas las variables predeterminadas del modelo.
− Posteriormente, en una segunda etapa las regresiones efectuadas en la primera etapa
se utilizan para sustituir las variables endógenas de la ecuación inicial por los valores
estimados en la primera etapa. Seguidamente se estima la relación original con los
nuevos valores.
Por ejemplo, si partimos de un modelo de ecuaciones simultáneas con dos variables endógenas
Y1, Y2, y cuatro variables exógenas X1 , X2, X3, X4, la estimación por MC2E de la siguiente ecuación
del modelo:
ttttt uXXYY 2424323201212 ++++= βββα
Requiere en la primera etapa estimar:
Y1t=π10+π11X1t+π12X2t+π13X3t+π13X3t+v1t
De tal forma que:
ttt vYY 111ˆ +=
En la segunda etapa se reemplaza Y1t por los valores estimados en la etapa anterior tY1 , quedando
ahora la ecuación original como:
tttttt uXXvYY 24243232011212 )ˆ( +++++= βββα
tttttt uvXXYY 2121424323201212ˆ +++++= αβββα
*2424323201212
ˆttttt uXXYY ++++= βββα
La estimación de esta ecuación nos asegura la consistencia de las estimaciones MCO, al no estar
correlacionada tY1 con Y2t y a la vez sí estar muy correlacionada con X3 y X4 .
El método MC2E puede también resolverse de forma matricial: supongamos que la relación i-
ésima del modelo es:
yi =Yjαj + Xjβj+uj
donde yi es el vector de la variable endógena, Yj es la matriz de las variables endógenas
predeterminadas y Xj es la matriz de las variables exógenas de la ecuación.
Entonces los estimadores MC2E del modelo se obtienen resolviendo:
$
$
$' $ $'
' $ '
$'
'
αβ
j
j
j j j j
j j j j
j i
j i
Y Y Y X
X Y X X
Y y
X y
=
−1
(8.8)
siendo:
$ ( ' ) 'Y X X X X Yj j= −1
' 1ˆ ˆ ' ( ' ) 'j j j jY Y Y X X X X Y−=
' 1ˆ ' ( ' ) 'j j j iY y Y X X X X y−=
ˆ ' 'j j j jY X Y X=
Donde X es la matriz de todas las variables exógenas del modelo.
Así, por ejemplo en la estimación MC2E del modelo:
y1=α11y2+β11x1+u1
y2=α11y1+β22x2+β23x3+u2
Hay que estimar la primera relación del modelo, teniendo presente que yi=y1 , Yj=y2 y Xj=x1
[ ]Y X y x y x y x
X X
x x x x x
x x x x x
x x x x x
X X x
X y x y
j
j j
j i
'
'
'
'
=
=
=
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑∑
2 1 2 2 2 3
12
1 2 1 3
2 1 22
2 3
3 1 3 2 32
12
1 1
Para estimar la segunda ecuación del modelo hay que tener presente que yi=y2 , Yj=y1 y
[ ]32 xxX j =
1 1 1 2 1 3
22 2 3
22 3 3
2 2
3 2
'
'
'
j
j j
j i
Y X y x y x y x
x x xX X
x x x
x yX y
x y
=
=
=
∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑
Los errores asociados a los coeficientes se calculan a través de la formulación asintótica de la
matriz de covarianzas para muestras finitas, es decir:
112
ˆ '( ' ) ' 'ˆˆ ' '
j j j j jj
j j j jj
Y X X X Y Y XVar
X Y X X
ασ
β
−− =
(8.9)
siendo:
( ) ( )2
'ˆ ˆˆ ˆˆ
i j j j j i j j j j
j
y Y X y Y X
T k
α β α βσ
− − − −=
−
es decir, la suma residual del modelo dividida por los grados de libertad de la ecuación que se
estima (número de observaciones menos número de parámetros que se estiman).
8.4.1. Estimación de un modelo de gastos e ingresos por MC2E Supongamos que una empresa pretende conocer la evolución de sus ingresos (ING), teniendo en
cuenta los gastos de explotación (GAS), el capital invertido (SK), el número de trabajadores (L) y
un índice de actividad económica (ACT). Para ello, plantea el siguiente modelo de ecuaciones
simultáneas expresado en desviaciones con respecto a la media:
INGt = a1GASt + a2SKt +a3Lt + ut
GASt = b1INGt + b2ACTt + vt
Para estimar el modelo la empresa dispone de la siguiente matriz de sumas de productos cruzados
de las variables del modelo:
ING GAS SK L ACT
ING 11.25 -5.63 -11.25 22.50 -5.63
GAS -5.63 90.00 -5.63 22.50 -4.50
SK -11.25 -5.63 11.25 5.00 7.00
L 22.50 22.50 5.00 22.50 2.00
ACT -5.63 -4.50 7.00 2.00 11.25
Aplicando las condiciones de orden y rango tenemos que:
Condición de Orden
1ª ecuación Variables excluidas = 1 = 2–1 Ecuación Exactamente Identificada
2ª ecuación Variables excluidas = 2 > 2–1 Ecuación Sobreidentificada
Condición de Rango
ING GAS SK L ACT 1ª Ecuación 1 a1 a2 a3 0 2ª Ecuación b1 1 0 0 b2
1ª ecuación Rang[b2] = 1 = 2–1 Ec. Identificada
2ª ecuación Rang[a2] = Rang[a3] = 1 = 2–1 Ec. Identificada
La presencia de una ecuación sobreidentificada provoca que los métodos MCI y VI no sean
válidos para estimar el modelo completo por lo que debemos recurrir al método de Mínimos
Cuadrados en 2 Etapas, obteniendo estimaciones consistentes y únicas para cada parámetro.
1ª Ecuación
En la primera etapa debemos eliminar la correlación existente entre la variable GASt y el término
de error regresando dicha variable sobre todas las variables predeterminadas del modelo. Es decir,
debemos estimar por MCO la relación:
1 2 3t t t t tGAS SK L ACT eπ π π= + + +
Cuya estimación resulta ser:
1
11
2
3
ˆ 11.25 5.00 7.00 5.63 2.17
ˆ ( ' ) ' 5.00 22.50 2.00 · 22.50 1.33
ˆ 7.00 2.00 11.25 4.50 1.74
X X X Y
πππ
−
−
− − = = = −
Por lo que la relación estimada es:
2.17 1.33 1.74t t t t tGAS SK L ACT e= − + + +
En la segunda etapa de la estimación por MC2E debemos trasladar el resultado de la estimación
en la primera etapa de GASt, sustituyéndola en la ecuación que deseamos estimar por el valor
original de dicha variable; es decir:
1 2 3tt t t tING a GAS a SK a L u= + + +
La estimación MCO de dicha ecuación es:
12
11 2
2
23
( ' ) '
t t tt t t t
tt t t t t t
t ttt t t t
GAS GAS SK GAS La GAS ING
a X X X Y SK GAS SK SK L SK ING
a L INGL GAS L SK L
−
−
= =
∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑
∑∑ ∑ ∑
Antes de proceder a operar con las matrices anteriores, debemos obtener los productos cruzados
relacionados con la variable tGAS tal que:
( )2 2
2 2 2 2 2 2
2.17 1.33 1.74
( 2.17) (1.33) (1.74)
2·2.17·1.33 2·2.17·1.74 2·1.33·1.74 33.67
t t t t
t t t
t t t t t t
GAS SK L ACT
SK L ACT
SK L SK ACT L ACT
= − + +
= − + +
− − + =
∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
2
( 2.17 1.33 1.74)·
11.25
( 2.17 1.33 1.74)· 5.00 5.63
7.00
t
t tt t t t
t t
SK
GAS SK SK GAS L SK
ACT SK
= = −
= − = −
∑∑ ∑ ∑
∑
2( 2.17 1.33 1.74)·
5.00
( 2.17 1.33 1.74)· 22.50 22.5
2.00
t t
t tt t t
t t
SK L
GAS L L GAS L
ACT L
= = −
= − =
∑∑ ∑ ∑
∑
( 2.17 1.33 1.74)·
11.25
( 2.17 1.33 1.74)· 22.50 39.69
5.63
t t
t t t t
t t
SK ING
GAS ING L ING
ACT ING
= −
− = − = −
∑∑ ∑
∑
Sustituyendo los valores tenemos que:
1
1
2
3
33.67 5.63 22.5 39.69 6.09
5.63 11.25 5 11.25 4.78
22.5 5 22.50 22.50 6.15
a
a
a
−− = − − = −
Alternativamente podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así,
denominando yi=INGt, Yj=GASt y Xj=[SKt Lt] tenemos que:
2
2
'
'
'
j t t t t t t
t t tj j
t t t
t tj i
t t
Y X GAS SK GAS L GAS ACT
SK SK LX X
SK L L
SK INGX y
L ING
=
=
=
∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑∑
Por tanto:
' 1
12
2
2
'
ˆ ˆ ' ( ' ) '
· · 33.67
j j j j
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
Y Y Y X X X X Y
SK GAS SK SK L SK ACT SK GAS
L GAS SK L L L ACT L GAS
ACT GAS SK ACT L ACT ACT ACTGAS
−
−
=
= =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
' 5.63ˆ '22.50
t tj j j
t t
SK GASY X Y X
L GAS
− = = =
∑∑
2'
2
11.25 5.00
5.00 22.50t t t
j jt t t
SK SK LX X
SK L L
= =
∑ ∑∑ ∑
' 1
12
2
2
'
ˆ ' ( ' ) '
· · 39.69
j j j j
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
Y y Y X X X X y
SK GAS SK SK L SK ACT SK ING
LGAS SK L L L ACT L ING
ACTGAS SK ACT L ACT ACT ACT ING
−
−
=
= =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
' 11.25
22.50t t
j jt t
SK INGX y
L ING
− = =
∑∑
Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:
11
1
2
3
33.67 5.63 22.50 39.69 6.09ˆ ˆ ˆ ˆ' ' '5.63 11.25 5.00 11.25 4.78
ˆ '' '22.50 5.00 22.50 22.50 6.15
j j j j j i
j ij j j j
aY Y Y X Y y
aX yX Y X X
a
−− − = = − − = −
2ª Ecuación
En la primera etapa debemos eliminar la correlación existente entre INGt y el término de error
regresando dicha variable sobre todas las variables predeterminadas del modelo. Es decir,
debemos estimar por MCO la relación:
1 2 3t t t t tING SK L ACT eπ π π= + + +
Cuya estimación resulta ser:
1
11
2
3
ˆ 11.25 5.00 7.00 11.25 1.87
ˆ ( ' ) ' 5.00 22.50 2.00 · 22.50 1.38
ˆ 7.00 2.00 11.25 5.63 0.42
X X X Y
πππ
−
−
− − = = = −
Por lo que la relación estimada es:
1.87 1.38 0.42t t t t tING SK L ACT e= − + + +
En la segunda etapa de la estimación por MC2E debemos trasladar el resultado de la estimación
en la primera etapa de INGt, sustituyéndola en la ecuación que deseamos estimar por el valor
original de dicha variable; es decir:
1 2tt t tGAS b ING b ACT v= + +
La estimación MCO de dicha ecuación es:
12
1 1
22
( ' ) 't t tt t
t ttt t
ING ING ACTb ING GASX X X Y
b ACTGASACT ING ACT
−
− = =
∑ ∑ ∑∑∑ ∑
Antes de proceder a operar con las matrices anteriores, debemos obtener los productos cruzados
relacionados con la variable tING tal que:
( )2 2
2 2 2 2 2 2
1.87 1.38 0.42
( 1.87) (1.38) (0.42)
2·1.87·1.38 2·1.87·0.42 2·1.38·0.42 49.76
t t t t
t t t
t t t t t t
ING SK L ACT
SK L ACT
SK L SK ACT L ACT
= − + +
= − + +
− − + =
∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
2
( 1.87 1.38 0.42)·
7.00
( 1.87 1.38 0.42)· 2.00 5.63
11.25
t t
t tt t t t
t
SK ACT
ING ACT ACT ING L ACT
ACT
= = −
= − = −
∑∑ ∑ ∑
∑
( 1.87 1.38 0.42)·
5.63
( 1.87 1.38 0.42)· 22.50 39.69
4.50
t t
t t t t
t t
SK GAS
ING GAS L GAS
ACT GAS
= −
− = − = −
∑∑ ∑
∑
Sustituyendo los valores tenemos que:
1
1
2
49.76 5.63 39.69 0.7975
5.63 11.25 4.50 0.0001
b
b
−− = = − − −
También podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así,
denominando yi=GASt, Yj=INGt y Xj=[ACTt] tenemos que:
2
'
'
'
j t t t t t t
j j t
j i t t
Y X ING SK ING L ING ACT
X X ACT
X y ACT GAS
=
=
=
∑ ∑ ∑∑∑
Por tanto:
' 1
12
2
2
'
ˆ ˆ ' ( ' ) '
· · 49.76
j j j j
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
Y Y Y X X X X Y
SK ING SK SK L SK ACT SK ING
L ING SK L L L ACT L ING
ACT ING SK ACT L ACT ACT ACT ING
−
−
=
= =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( )'ˆ ' 5.63j j j t tY X Y X ACT ING= = = −∑
' 2 11.25j j tX X ACT= =∑
' 1
12
2
2
'
ˆ ' ( ' ) '
· · 39.69
j j j j
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
Y y Y X X X X y
SK ING SK SK L SK ACT SK GAS
L ING SK L L L ACT L GAS
ACT ING SK ACT L ACT ACT ACTGAS
−
−
=
= =
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑
' 4.50j j t tX y ACT GAS= = −∑
Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:
1 1
1
2
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 49.76 5.63 39.69 0.7975'ˆ 5.63 11.25 4.50 0.0001'' '
j j j j j i
j ij j j j
Y Y Y Xb Y y
b X yX Y X X
− − − = = = − − −
8.5. MODELOS RECURSIVOS
En el epígrafe 8.2. se ha mostrado como los estimadores MCO producen estimadores sesgados e
inconsistentes en los modelos de ecuaciones simultaneas, debido a la relación entre la
perturbación aleatoria y las variables explicativas endógenas. En este apartado vamos a analizar
un caso especial de los modelos de ecuaciones simultáneas en el que MCO sí proporciona
estimadores insesgados y eficientes: se trata de los modelos recursivos.
Estos modelos deben satisfacer una serie de restricciones:
− La matriz de coeficientes de las variables endógenas del sistema, Γ, debe ser
triangular.
Así, en el siguiente modelo de ecuaciones simultaneas:
α11Y1t +β11X1t+ β12X2t+…+β1mXmt =u1t
α21Y1t+α22Y2t + β21X1t+ β22X2t+…+β2mXmt =u2t.
α31Y1t+α32Y2t+α33Y2t + β31X1t+ β32X2t+…+β3mXmt =u2t.
.
.
αn1Y1t+αn2Y2t +…+αnnYnt + βn1X1t+ βn2X2t+…+βnmXmt =unt.
Se observa que la triangularidad existe, ya que la matriz Γ tiene la siguiente forma:
=Γ
nnnnn αααα
ααααα
α
...
0......
0...
0...0
0...00
321
333231
2221
11
− Las perturbaciones o términos de error de cada una de las ecuaciones del sistema no
están correlacionadas con las variables endógenas que aparecen como explicativas en
dicha ecuación; tampoco lo están con las perturbaciones de otras ecuaciones ni en el
mismo periodo de tiempo (correlación contemporánea) ni en periodos de tiempo
distintos.
Esta propiedad implica que la matriz de covarianzas de las perturbaciones aleatorias
debe ser diagonal, tal que:
=∑
nσ
σσ
σ
...000
0......
0...00
0...00
0...00
3
2
1
Para identificar un modelo recursivo hay que realizar una ordenación previa de las ecuaciones, de
manera que la primera ecuación tenga sólo una variable endógena; la segunda ecuación deberá
tener dos variables endógenas, siendo una de ellas la endógena de la ecuación anterior; la tercera
ecuación tendrá sólo tres variables endógenas, pero dos de ellas deberán ser las de las ecuaciones
anteriores, y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación.
La estimación de los modelos recursivos no plantea especiales problemas, ya que la segunda
condición de recursividad garantiza que las variables explicativas de cada ecuación estarán
incorrelacionadas con el término de error de esa misma ecuación, lo que permite estimar el
modelo aplicando MCO a cada ecuación.
La reordenación de ecuaciones determina que la primera ecuación tenga una variable endógena
(y ninguna variable endógena actuando como predeterminada), el conjunto de variables exógenas
y la perturbación aleatoria. Como las variables exógenas no están correlacionadas con el término
de error se puede aplicar MCO, obteniéndose estimadores insesgados y consistentes.
En la segunda ecuación y posteriores las variables endógenas de las ecuaciones previas tienen la
consideración de variables predeterminadas, por lo que se da una completa independencia entre
los regresores y las perturbaciones, permitiendo la adecuada estimación de cada ecuación por
MCO sin problemas de inconsistencia e insesgadez.
La naturaleza de los modelos recursivos determina que en éstos no exista el problema de tener
que identificar cada una de sus ecuaciones, es decir, una vez identificado el modelo como
recursivo se procede a estimar ecuación por ecuación sin tener que realizar la identificación
individual de las ecuaciones del modelo.
8.5.1. Estimación de un Modelo Recursivo de Determinación de
Precios y Salarios Sea el siguiente modelo de determinación de precios y salarios:
Pt=b10+b11Wt-1+b12Lt+u1t
Wt= b20+b11Ut+b12Pt+u2t
Donde Pt es el incremento anual de precios, Wt la tasa de cambio de los salarios por ocupado, Lt
la tasa de variación de la productividad laboral y Ut la tasa de desempleo.
El modelo es recursivo, ya que la matriz
=Γ
1
01
12bes triangular. Asumiendo que
Cov(u1t,u2t)=0, puede estimarse el modelo aplicando MCO ecuación por ecuación. Para ello, se
utilizan los siguientes datos relativos a la economía española para el periodo 1981-2002:
Periodo % Var. Deflactor PIB (Pt)
% Var. Salarios
Medios por Ocupado
(Wt)
% Var. Anual
Productividad (Lt)
Tasa de Paro
(Ut)
Periodo % Var. Deflactor PIB (Pt)
% Var. Salarios
Medios por Ocupado
(Wt)
% Var. Anual
Productividad (Lt)
Tasa de Paro
(Ut)
198101 14.14% 18.21% 1.64% 13.38% 199103 7.09% 11.46% 2.93% 16.33% 198102 13.49% 15.25% 1.67% 13.64% 199104 5.05% 7.86% 3.51% 16.93% 198103 13.49% 12.56% 1.91% 14.11% 199201 4.47% 10.89% 1.05% 17.40% 198104 13.20% 10.62% 1.87% 14.99% 199202 4.35% 10.32% 2.25% 17.71% 198201 13.02% 12.87% 3.48% 15.51% 199203 4.38% 4.92% 2.39% 18.27% 198202 12.14% 16.35% 2.41% 15.33% 199204 4.90% 4.15% 1.54% 20.03% 198203 11.72% 13.99% 1.77% 15.93% 199301 3.98% 3.93% 4.27% 21.69% 198204 10.88% 12.68% 2.26% 16.61% 199302 4.03% 4.34% 3.88% 22.17% 198301 10.98% 15.09% 4.49% 17.28% 199303 3.90% 2.71% 2.22% 22.87% 198302 11.47% 12.05% 5.10% 16.88% 199304 3.64% 3.74% 0.71% 23.83% 198303 10.81% 9.78% 5.36% 17.18% 199401 5.01% 2.90% 0.76% 24.55% 198304 10.27% 6.55% 5.54% 17.97% 199402 5.31% 4.32% 0.03% 24.22% 198401 9.03% 8.32% 3.57% 19.6% 199403 4.82% 3.46% -0.33% 23.80% 198402 8.20% 9.15% 3.56% 19.67% 199404 4.63% 4.00% 1.02% 23.90% 198403 8.73% 10.05% 2.58% 19.97% 199601 3.77% 3.88% 1.44% 23.49% 198404 8.44% 8.70% 1.76% 21.08% 199602 3.46% 4.73% 2.45% 22.70% 198501 10.87% 11.42% 0.89% 21.50% 199603 3.52% 5.23% 1.40% 22.65% 198502 10.80% 10.49% 1.33% 21.53% 199604 3.35% 4.18% -0.19% 22.76% 198503 10.92% 8.14% -0.56% 21.30% 199701 2.98% 2.28% -1.00% 22.92% 198504 10.92% 8.18% -2.20% 21.48% 199702 1.88% 1.80% -0.72% 22.26% 198601 6.22% 8.27% -0.31% 21.65% 199703 2.19% 2.11% -0.03% 21.82% 198602 6.05% 6.77% -1.81% 21.02% 199704 2.24% 3.03% 1.55% 21.73% 198603 5.95% 7.10% 1.34% 20.59% 199801 1.78% 4.09% 0.55% 21.46% 198604 5.52% 6.37% 2.69% 20.64% 199802 2.84% 3.04% 0.06% 20.88% 198701 6.10% 8.61% 1.28% 21.01% 199803 2.72% 2.22% 0.60% 20.46% 198702 6.00% 9.64% 1.14% 20.2% 199804 2.24% 1.74% -1.05% 20.22% 198703 5.90% 6.45% 1.21% 19.93% 199901 2.62% 2.18% -0.96% 19.51% 198704 5.81% 5.88% -0.51% 19.75% 199902 2.53% 2.75% -0.26% 18.83% 198801 6.92% 6.92% -0.09% 19.99% 199903 2.90% 2.49% -0.25% 18.41% 198802 6.74% 6.56% -0.52% 19.61% 199904 2.88% 3.40% 0.50% 18.09% 198803 7.14% 7.63% -1.68% 19.04% 200001 3.15% 4.30% 2.15% 16.89% 198804 6.80% 8.08% -0.68% 18.31% 200002 3.30% 3.89% 0.53% 15.49% 198901 7.15% 10.16% -1.79% 18.26% 200003 3.61% 3.25% -1.07% 15.29% 198902 7.40% 11.00% -1.81% 17.26% 200004 3.85% 3.54% -1.21% 15.32% 198903 7.33% 10.47% -2.20% 16.56% 200101 3.89% 3.28% -0.35% 14.89% 198904 7.35% 9.15% 1.54% 16.88% 200102 4.62% 4.00% -0.41% 13.83% 199001 6.92% 9.73% 0.15% 16.76% 200103 4.08% 4.68% 0.18% 13.57% 199002 6.54% 10.13% 0.05% 16.25% 200104 4.06% 4.33% 0.25% 13.44% 199003 7.04% 10.23% 1.84% 15.85% 200201 3.96% 3.96% -0.11% 10.87% 199004 7.29% 10.42% -0.51% 16.09% 200202 4.21% 3.82% -0.17% 10.35% 199101 7.56% 13.34% 3.89% 16.11% 200203 4.63% 3.81% -0.09% 10.25% 199102 7.34% 13.53% 2.54% 15.88% 200204 4.74% 4.23% 0.46% 10.50% Fuente: Elaboración propia a partir de datos del INE.
La estimación de la ecuación de precios por MCO es:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.84337111 Coeficiente de determinación R2 0.71127483 R2 ajustado 0.7040567 Error típico 0.01762477 Observaciones 83
Coeficientes Error típico Estadístico t Constante 0.01272847 0.00410008 3.104446 Crecimiento de los salarios medios por ocupado del trimestre anterior
0.68870367 0.0541869 12.7097812
Crecimiento anual de la productividad 0.18542501 0.11484988 1.61449891
En consecuencia, la función de precios de la economía española es la siguiente:
Pt=0.0127+0.6887Wt-1+0.1854Lt+u1t
Por su parte, la estimación de la ecuación de salarios ofrece los siguientes resultados:
Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0.86580246 Coeficiente de determinación R2 0.74961391 R2 ajustado 0.74335425 Error típico 0.02010504 Observaciones 83
Coeficientes Error típico Estadístico t Término constante 0.03663072 0.01505487 2.43314844 Crecimiento del deflactor PIB 1.00434242 0.07172996 14.0017142 Tasa de desempleo -0.0015008 0.00069398 -2.16258469
La función de salarios de la economía española quedaría como sigue:
Wt= 0.0366–0.0015Ut+1.004Pt+u2t
En la que se puede apreciar como el aumento de la tasa de paro desacelera el crecimiento de los
salarios en España.
8.6. EJEMPLO PRÁCTICO: ESTIMACIÓN DE UN MODELO
EXACTAMENTE IDENTIFICADO POR MCI, VI Y MC2E
A continuación se presenta un ejemplo en el que se aplican todos los métodos de estimación presentados a lo largo del capítulo. Para ello, retomamos el ya conocido modelo de oferta y demanda clásico, en el que se ha omitido la variable Ft por no ser significativa, tal que:
Qt=a1Pt+a2Rt+u1t
Pt=b1Qt+b2Prt+u2t
La matriz de sumas de productos cruzados de las variables del modelo es la siguiente:
Q P R Pr Q 3.5 3 1 1
P 3 11.5 1 3
R 1 1 1 0
Pr 1 3 0 1
A fin de saber qué método de estimación es el más apropiado, procedemos a la identificación del
modelo aplicando las condiciones de orden y rango:
Condición de Orden
1ª ecuación Variables excluidas = 1 = 2–1 Ecuación Exactamente Identificada
2ª ecuación Variables excluidas = 1 = 2–1 Ecuación Exactamente Identificada
Condición de Rango
Q P R Pr 1ª Ecuación 1 a1 a2 0 2ª Ecuación b1 1 0 b2
1ª ecuación Rang[b2] = 1 = 2–1 Ec. Identificada
2ª ecuación Rang[a2] = 1 = 2–1 Ec. Identificada
Al estar ambas ecuaciones exactamente identificados podemos aplicar indistintamente los tres
métodos descritos en el capítulo (MCI, VI, MC2E), ya que las estimaciones obtenidas por
cualquiera de ellos serán iguales.
Mínimos Cuadrados Indirectos
La forma reducida del modelo es:
Qt= π11Rt + π12Prt+e1t
Pt= π21Rt + π22Prt +e2t
La estimación de los parámetros de la forma reducida es:
1211 21
212 22
Pr 1 1ˆ 'Pr PrPr Pr 1 3
t t t tt t t
t t t tt t t
R Q R PR R
Q PR
π ππ π
− Π = = =
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑
A partir de los parámetros de la forma reducida, podemos recuperar los parámetros estructurales
mediante la siguiente expresión:
ˆ BΓΠ = −
Por tanto:
1 2
1 2
1 01 1
1 01 3
a a
b b
− = −
A partir de las matrices anteriores podemos construir el siguiente sistema de ecuaciones:
1 2
1
1
1 2
1
1 3 0
1 0
3
a a
a
b
b b
− =− =− =− =
Despejando los parámetros del sistema de ecuaciones anterior obtenemos que:
a1 = 0.33, a2 = 0.67 , b1 = 1, b2 = 2
Por lo que el modelo estimado es:
Qt = 0.33Pt + 0.67Rt+u1t
Qt = Pt + 2Prt+u2t
Variables Instrumentales
1ª Ecuación
Vamos a utilizar la variable Prt como instrumento de Pt para la estimación de la primera ecuación,
por lo que las matrices de variables endógenas, exógenas e instrumentos serán, respectivamente:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 21
Pr
Pr *
PrT T T T T
Q P R R
Q P R Ry Z Z
Q P R R
= = =
M M M M M
A partir de dichas matrices podemos calcular:
* *12
Pr Pr Pr' '
Pt t t t t t
t t t t t
P R QZ Z Z y
R R R Q
= =
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
Siendo la estimación de la primera ecuación:
( )1
11 * *1
2
3 0 1 0.33' '
1 1 1 0.67
aZ Z Z y
a
−− = = =
2ª Ecuación
En este caso, se utiliza Rt como instrumento de Qt, siendo las matrices de variables endógenas,
exógenas e instrumentos respectivamente:
1 1 1 1 1
2 2 2 2 21
Pr Pr
Pr Pr *
Pr PrT T T T T
P Q R
P Q Ry Z Z
P Q R
= = =
M M M M M
Con las que podemos obtener:
* *12
Pr' '
Pr Pr Prt t t t t t
t t t t t
R Q R R PZ Z Z y
Q P
= =
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑
La estimación de la segunda ecuación resulta ser:
( )1
11 * *1
2
1 0 1 1' '
1 1 3 2
bZ Z Z y
b
−− = = =
Mínimos Cuadrados en 2 Etapas
1ª Ecuación
Dado que ya hemos estimado la forma reducida del modelo al aplicar Mínimos Cuadrados
Indirectos, aprovecharemos el resultado obtenido en ese apartado ya que en la primera etapa es
necesario estimar:
Pt= π21Rt + π22Prt +e2t
La estimación dió el siguiente resultado:
Pt = Rt + 3Prt +e2t
En la segunda etapa debemos calcular:
12
1 1
22
ˆ ˆ ˆ( ' ) '
ˆt t t t t
t tt t t
P PRa Q PX X X Y
a Q RPR R
−
− = =
∑ ∑ ∑∑∑ ∑
Previamente debemos obtener los productos cruzados asociados a tP :
2 2 2 2 2 2ˆ ( 3Pr ) 1 +3 Pr 2·1·3 Pr 10t t t t t t tP R R R= + = + =∑ ∑ ∑ ∑
2
ˆ (1 3) 1Prt
t tt t
RP R
R
= =
∑∑ ∑
ˆ (1 3) 4Pr
t tt t
t
RQQ P
Q
= =
∑∑ ∑
La estimación de la primera ecuación resulta ser:
1
1
2
10 1 4 0.33
1 1 1 0.67
a
a
− = =
También podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así,
denominando yi=Qt, Yj=Pt y Xj=[Rt] tenemos que:
2
' Pr
'
'
j t t t t
j j t
j i t t
Y X R P P
X X R
X y R Q
=
=
=
∑ ∑∑∑
Por tanto:
' 1
12
2
'
ˆ ˆ ' ( ' ) '
Pr· · 10
Pr PrPr Pr
j j j j
t t t tt t t
t t t tt t t
Y Y Y X X X X Y
R P R PR R
P PR
−
−
=
= =
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑
( )'ˆ ' 1j j j j t tY X Y X PR= = =∑
' 2 1j j tX X R= =∑
' 1
12
2
'
ˆ ' ( ' ) '
Pr· · 4
Pr PrPr Pr
j j j j
t t t tt t t
t t t tt t t
Y y Y X X X X y
PR Q RR R
P QR
−
−
=
= =
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑
' 1j j t tX y R Q= =∑
Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:
1 1
1
2
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 10 1 4 0.33'ˆ 1 1 1 0.67'' '
j j j j j i
j ij j j j
Y Y Y Xa Y y
a X yX Y X X
− − = = =
2ª Ecuación
Nuevamente utilizamos los resultados obtenidos al estimar la forma reducida al aplicar MCI, dado
que ahora hay que estimar la siguiente relación:
Qt= π11Rt + π12Prt +e1t
Recordemos que el resultado que se obtuvo fue:
Qt = Rt + Prt +e1t
En la segunda etapa debemos calcular:
12
1 1
22
ˆ ˆ ˆPr( ' ) '
ˆ PrPr Pr
t t t t t
t tt t t
Q Qb Q PX X X Y
b PQ
−
− = =
∑ ∑ ∑∑∑ ∑
Previamente debemos obtener los productos cruzados asociados a tP :
2 2 2 2 2 2ˆ ( Pr ) 1 +1 Pr 2·1·1 Pr 2t t t t t t tQ R R R= + = + =∑ ∑ ∑ ∑
2
Prˆ Pr (1 1) 1Prt t
t tt
RQ
= =
∑∑ ∑
ˆ (1 1) 4Pr
t tt t
t t
R PQ P
P
= =
∑∑ ∑
La estimación de la segunda ecuación es:
1
1
2
2 1 4 1
1 1 3 2
b
b
− = =
Alternativamente podemos estimar la ecuación aplicando la forma matricial del estimador; así,
denominando yi=Pt, Yj=Qt y Xj=[Prt] tenemos que:
2
' Pr
' Pr
' Pr
j t t t t
j j t
j i t t
Y X R Q Q
X X
X y P
=
=
=
∑ ∑∑∑
Por tanto:
' 1
12
2
'
ˆ ˆ ' ( ' ) '
Pr· · 2
Pr PrPr Pr
j j j j
t t t tt t t
t t t tt t t
Y Y Y X X X X Y
RQ R QR R
Q QR
−
−
=
= =
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑
( )'ˆ ' Pr 1j j j j t tY X Y X Q= = =∑
' 2Pr 1j j tX X = =∑
' 1
12
2
'
ˆ ' ( ' ) '
Pr· · 4
Pr PrPr Pr
j j j j
t t t tt t t
t t t tt t t
Y y Y X X X X y
R Q R PR R
Q PR
−
−
=
= =
∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑
' Pr 3j j t tX y P= =∑
Sustituyendo los valores en la expresión matricial del estimador tenemos que:
1 1
1
2
ˆ ˆ ˆ ˆ' ' 2 1 4 1'ˆ 1 1 3 2'' '
j j j j j i
j ij j j j
Y Y Y Xb Y y
b X yX Y X X
− − = = =
Como puede comprobarse, las estimaciones obtenidas por los tres métodos coinciden al estar las
ecuaciones del modelo exactamente identificadas.
8.7. PROBLEMAS
8.1. Dado el siguiente modelo expresado en desviaciones con respecto a la media:
1 12 2 11 1 12 2
2 21 1 23 3
t t t t t
t t t t
Y b Y a X a X u
Y b Y a X v
= + + += + +
Siendo Yi, variables endógenas, y Xi variables exógenas, estime los parámetros de la forma
reducida del modelo y, a partir de ellos, obtenga las expresiones para los parámetros de la
forma estructural. Para ello, utilice las siguientes matrices producto:
10 0 0 5 10
( ' ) = 0 20 0 ; ( ' ) = 40 20
0 0 10 20 30
X X X Y
8.2. Partimos del siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
1 11 2 10 11 12 1
2 21 1 20 2
t t t t t
t t t
Y Y I G u
Y Y u
β α α αβ α
= + + + += + +
Donde Y1t es la renta nacional (PIB), Y2t es la oferta monetaria, I t el gasto en inversión y Gt el
gasto del gobierno. Estime consistentemente la segunda ecuación del modelo a partir de los
siguientes datos:
Y1 Y2 I G
Y1 38.05 29.73 7.07 5.31
Y2 23.29 5.55 4.15
I 1.33 9.90
G 0.74
1 20,64; 0,5; 1,19; 0,90; 9Y Y I G N= = = = =
8.3. Considere el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
1 11 2 11 1 1
2 21 1 22 2 23 3 2
t t t t
t t t t t
y y z u
y y z z u
α βα β β
= + += + + +
Las variables y1 e y2 son endógenas y z1, z2 y z3 son exógenas. Todas las variables están en desviaciones respecto a la media y la suma de sus productos cruzados aparece en la siguiente matriz:
y1 y2 z1 z2 z3
y1 50
y2 15 10
z1 1 0 4
z2 3 0 0 5
z3 5 2 0 0 2
En base a esta información estime por Mínimos Cuadrados en dos Etapas la primera ecuación y estime por Mínimos Cuadrados Indirectos la segunda ecuación.
8.4. Considere el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
t t t t
t t t t
Y a X a X u
Y b Y a X v
= + += + +
Siendo Yit variables endógenas y Xit variables exógenas, ambas expresadas en desviaciones respecto a sus medias. Para ello utilice la siguiente matriz de sumas de productos cruzados:
Y1 Y2 X1 x2
Y1 103 47 152 152
Y2 22 70 68
X1 300 100
X2 200
SOLUCIONES
8.1. 12 11 12 21 232 3 1 6 4 3 presenta dos soluciones, al igual queb / ; a / ; a / ; b a= = − =
8.2. 2 1 20.8627 0.0521t t tY Y u= − +
8.3. 1 2 1 1 2 3 22.5 0.25 ; t t t t t t ty y z u y z u= + + = +
8.4. 1 1 2 2 1 20.304 0.608 ; 0.3738 0.056t t t t t t t tY X X u Y Y X v= + + = + +
9. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO LINEALES
9.1. INTRODUCCIÓN
La teoría económica propone modelos de relación entre variables económicas, pero generalmente
deja indeterminada la forma funcional de dichas relaciones, por lo que en ocasiones dichas
relaciones pueden ser de tipo no lineal. La cuantificación de dichas relaciones exige un
tratamiento distinto al del caso lineal, utilizando técnicas de estimación que generalmente
implican un mayor coste computacional pero que a cambio ofrecen un mejor ajuste.
Por ello, en el presente capítulo se abordan algunas soluciones de cálculo para cuantificar este
tipo de relaciones, las cuales generalmente exigen la utilización de algoritmos de optimización
numérica en los que, a partir de una expresión general que representa una función de pérdida o de
ganancia, de forma iterativa se evalúa una función objetivo, que variará dependiendo del
procedimiento de estimación elegido, para las distintas combinaciones de los valores numéricos
de los parámetros. El resultado de la estimación final será aquel conjunto de valores paramétricos
que hagan mínima o máxima (según se defina) dicha función objetivo.
Las relacionales no lineales que trataremos no hacen referencia a las variables explicativas sino a
los parámetros incluidos en las relaciones del modelo, ya que las primeras pueden eliminarse
mediante la transformación de datos apropiada. Por ejemplo, si la ecuación que tuviéramos que
estimar fuera:
tttx
t xxey t εβββ +++= 32210 )·ln(1
Bastaría con realizar los siguientes cambios de variable para poder estimar la ecuación mediante
métodos lineales:
ttt
xt
xxz
ez t
322
1
)·ln(
1
==
De tal forma que ahora deberíamos estimar:
tttt zzy εβββ +++= 22110
Ecuación que es completamente lineal tanto en las variables como en los parámetros.
Sin embargo, si el modelo fuera de la forma:
tx
tttexy εβββ ββ +++= 232
2110
No sería posible hacer un cambio de variable similar al que hemos propuesto anteriormente, por
lo que habrá que estimarlo mediante procedimientos de tipo no lineal.
9.2. ESTIMACIÓN DE UN MODELO DE MODELOS NO LINEALES
POR MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS.
Los modelos a estimar no tienen porque ser funciones lineales, pero dado que el método MCO se
aplica exclusivamente a modelos de dependencia lineal, este método podrá utilizarse en todos
aquellos modelos que pueden transformarse en funciones lineales.
Son ejemplos de funciones no lineales que pueden transformarse a lineales, las siguientes:
a) Función Polinómica
La función polinómica:
ktkttt XXXY ββββ ++++= ...2
210
se transforma en lineal:
ktkttt XXXY ββββ ++++= ...22110
Haciendo:
1
22
t t
t t
kkt t
X X
X X
X X
=
=
=M
b) Función Potencial
La función potencial btt aXY = se transforma en lineal tomando logaritmos tal que:
tt XbaY logloglog +=
y se estima:
*10
*
ttXY ββ +=
Haciendo:
tt
tt
XX
YY
log
log*
*
=
=
En consecuencia:
0βea = y 1β=b
c) Función Exponencial
La función exponencial tX
t abY = se transforma en lineal tomando logaritmos tal que:
bXaY tt logloglog +=
y se estima:
ttXY 10
* ββ +=
Haciendo:
* logt tY Y=
En consecuencia 0βea = y 1βeb =
d) Función Logarítmica
La función logarítmica tt XbaY log+= puede estimarse haciendo * logt tX X= , aplicando
MCO después a la expresión:
*10 ttXY ββ +=
En consecuencia 0β=a y 1β=b
9.3. MÍNIMOS CUADRADOS NO LINEALES
El primer método que pasamos a abordar para estimar relaciones de tipo no lineal es el de
Mínimos Cuadrados No Lineales, que no es más que una generalización del procedimiento del
método de Mínimos Cuadrados Ordinarios que venimos utilizando a lo largo del libro. En efecto,
la idea de partida del método mínimo-cuadrático no exige en ningún momento la linealidad del
modelo, si bien la resolución analítica del mismo se complica bastante cuando el modelo no es
lineal.
Consideremos la siguiente expresión de un modelo no lineal:
itt XfY εβ += ),( (11.1.)
Donde f es una función cuya primera derivada es no lineal en β.
El método de Mínimos Cuadrados No Lineales, al igual que su homólogo lineal, trata de
minimizar el sumatorio de los errores del modelo al cuadrado, es decir:
[ ]∑∑==
−==T
ttt
T
tt XfYSR
1
2
1
2 );()(Min βεββ
(11.2.)
Derivando la expresión anterior, obtenemos las condiciones de primer y segundo orden,
necesarias y suficientes para la obtención del mínimo:
Condición de 1º orden
[ ] 0);(
·);(2)(
1
=∂
∂−−=
∂∂
∑=
T
t
ttt
XfXfY
SR
βββ
ββ
Condición de 2º orden
∂∂∂
−−∂
∂∂
∂=
∂∂∂
∑∑==
T
t
ttt
T
t
tt XfXfY
XfXfSR
1
2
1
2
'
);())·;((
'
);(·
);(2
'
)(
ββββ
ββ
ββ
βββ
Matriz que debe ser definida positiva.
Ejemplo 9.1.
Sea el modelo:
tx
tteY εββ β ++= 2
10
Minimizamos la expresión del sumatorio de los residuos del modelo al cuadrado tal que:
[ ]∑∑==
+−==T
t
xt
T
tt
teYSR1
210
1
2 )()( Min 2ββ
ββεβ
Derivando la expresión anterior, tenemos que:
20 1
10
( )2 ( ) 0t
Tx
tt
SRY eββ β β
β =
∂ = − − − = ∂ ∑
2 20 1
11
( )2 ( ) 0t t
Tx x
tt
SRY e eβ ββ β β
β =
∂ = − − − = ∂ ∑
2 20 1 1
12
( )2 ( ) 0t t
Tx x
t tt
SRY e x eβ ββ β β β
β =
∂ = − − − = ∂ ∑
Las ecuaciones obtenidas no poseen una solución analítica directa por lo que es necesario un
método iterativo para obtener los valores de los parámetros βi. Uno de los métodos utilizados para
resolver este tipo de problemas es el algoritmo de Newton-Raphson que pasamos a examinar a
continuación.
9.3.1. Algoritmo de Newton-Raphson
Supongamos que disponemos de una estimación iβ del mínimo β de la función );( βtXf ,
cuyas derivadas son continuas. Si consideramos un entorno del punto iβ , el valor numérico de f
en un punto de dicho entorno puede aproximarse mediante un desarrollo en serie de Taylor de
orden 2 tal que:
[ ] [ ] )ˆ()ˆ()'ˆ(2
1)ˆ()ˆ()ˆ()();( 2'
iiiiiit fffMXf βββββββββββ −∇−+−∇+=≅
Donde )ˆ( if β∇ y )ˆ(2if β∇ son, respectivamente, el gradiente (vector k x 1) y la matriz hessiana
(matriz simétrica de orden k x k) de la función )(βf evaluados en el punto iββ ˆ= .
Podemos mejorar la estimación actual, iβ , reemplazándola por aquel vector que minimice la
expresión cuadrática anterior tal que:
[ ] 0)ˆ()ˆ()ˆ( *2 =−∇+∇=∂∂
iii ffM βββββ
De donde obtenemos que:
[ ] )ˆ()ˆ(ˆˆ 12*1 iiii ff βββββ ∇∇−==
−
+ (11.3.)
La expresión (11.3) permite aproximarse al valor desconocido del vector de parámetros β a partir
de un vector inicial de estimaciones iβ suficientemente próximo a él.
Debe observarse que el punto *β que escogemos como nueva estimación minimiza realmente el
valor de f en el entorno de iβ si la matriz hessiana )ˆ(2if β∇ es definida positiva, lo que estará
garantizado si f es convexa en el punto iβ (es decir, si dicho punto estaba ya lo suficientemente
próximo a un mínimo local de f).
El procedimiento iterativo mediante el que se sustituyen las sucesivas estimaciones obtenidas a
través de la expresión (11.2) como punto de partida en la siguiente etapa del procedimiento hasta
que se satisfagan los criterios de convergencia que el investigador determine (por ejemplo, que la
diferencia entre las estimaciones de los parámetros obtenidos en cada etapa sea inferior a una
determinada cantidad) es lo que se conoce como algoritmo de Newton-Raphson.
La utilización de este algoritmo exige que se verifiquen dos supuestos: por un lado, deben existir
las derivadas que en él aparecen; asimismo, el hessiano de la función debe ser invertible.
El algoritmo de Newton-Raphson permite obtener numéricamente el estimador mínimo-
cuadrático de un modelo en el que Y es una función no lineal de β. En tal caso, la función objetivo
será la que vimos en (11.1), es decir:
[ ]∑=
−==T
ttt XfYSRf
1
2);()()( βββ
Se trata de hallar aquel vector de coeficientes β que minimiza la suma residual al cuadrado,
)(βSR . Para ello tomaremos las expresiones del gradiente y de la matriz hessiana que veíamos
anteriormente:
[ ] 0);(
·);(2)(
1
=∂
∂−−=
∂∂
∑=
T
t
ttt
XfXfY
SR
βββ
ββ
∂∂∂
−−∂
∂∂
∂=
∂∂∂
∑∑==
T
t
ttt
T
t
tt XfXfY
XfXfSR
1
2
1
2
'
);())·;((
'
);(·
);(2
'
)(
ββββ
ββ
ββ
βββ
Y las sustituiremos en la expresión (11.3) que define las etapas del algoritmo tal que:
[ ]
∂∂
−
∂∂∂
−−∂
∂∂
∂+= ∑∑∑
=
−
==+
T
t
ttt
T
t
tT
t
ttii
XfXfY
XfXfY
XfXf
1
1
1
2
11
);(·);(·
'
);())·;((
'
);(·
);(ˆˆβ
ββββ
βββ
ββ
βββ
Una vez se haya logrado la convergencia del algoritmo, se toma como matriz de varianzas y
covarianzas del estimador obtenido, el producto de la estimación de 2εσ y la inversa de la matriz
hessiana:
[ ] 122 )ˆ(−
∇ if βσ ε
Por lo que la distribución asintótica del vector de estimadores será:
[ ]
∇
−122 )ˆ(,ˆii fN βσβ ε
Ejemplo 9.2.
Veamos cómo se aplicaría algoritmo de Newton-Raphson al modelo que veíamos en el ejemplo
11.1 tomado en desviaciones respecto a la media. En primer lugar, para poder trabajar con la
expresión (11.3) necesitamos calcular el gradiente y la matriz hessiana de la función objetivo tal
que:
[ ]∑=
−==T
t
xt
teySRf1
21
2)()( ββββ
( )( )[ ]∑=
−−=∇T
t
xt
xx ttt eyeef1
11222 , 2)( βββ βββ
−−−=∇ ∑
=
T
t txx
ttxx
t
txx
tx
yeexyeex
yeexef
tttt
ttt
1 12
11
12
2
)2()2(
)2(2)(
2222
222
ββββ
βββ
βββββ
Por lo que la expresión para obtener las sucesivas iteraciones del algoritmo de Newton-Raphson
es:
( )
−
−−−+
=
∑∑
=
−
=+
t
t
t
tttt
tttx
t
T
tx
xT
t txx
ttxx
t
txx
tx
ii
eye
e
yeexyeex
yeexe2
2
2
2222
222 ˆ1
1ˆ
1
ˆ1
1ˆ
1ˆ2
1ˆ
1ˆ
ˆ1
ˆˆ2
2
1
12
1 ˆˆ
·)ˆ2(ˆ)ˆ2(
)ˆ2(ˆ
ˆ
ˆ
ˆ ββ
β
ββββ
ββββ
βββββ
ββ
ββ
9.4. EL ESTIMADOR DE MÁXIMA VEROSIMILITUD
Si el lector tiene algunos conocimientos de Estadística Teórica seguramente sabrá que la
estimación por Máxima Verosimilitud precisa del establecimiento de un supuesto acerca de la
distribución del término de error, a partir de la cual construiremos una función de verosimilitud
que deberemos maximizar.
En general, supondremos que el término de error del modelo, εt, sigue una distribución Normal
con media 0 y varianza, 2εσ ; en ese caso, la función de verosimilitud muestral será:
[ ] [ ]∑=
−−
=
−−
== ∏
T
t
tt XfYT
T
t
XfY
eeL 1
22
22
);(2
12
21
);(2
1
2
2
2
1
2
1),(
βσ
ε
βσ
ε
εεε
πσπσσβ
El logaritmo de la función evaluado en ( )2ˆ,ˆ εσβ es:
[ ] )ˆ(ˆ2
1ˆln
2-ln2
2)ˆ;(
ˆ2
1ˆln
2-ln2
2)ˆ,ˆ(ln
2
2
1
2
2
22 βσ
σπβσ
σπσβε
εε
εε SRTT
XfYTT
LT
tt −−=∑ −−−=
=
Como puede apreciarse, tal y como cabía esperar el parámetro 2ˆεσ no depende de ninguno de los
parámetros del vector β ; por tanto, para maximizar la función de verosimilitud bastará con
seleccionar aquel vector β que minimice la suma residual )ˆ(βSR . Las condiciones de
maximización de la función de verosimilitud serán por tanto:
[ ]∑ =∀=∂
∂−=
∂∂
−=∂
∂=
T
ti
ititt
i
i
i
i kif
XfYSRL
122
2
,...,2,1 0ˆ
)ˆ()ˆ;(
ˆ1
ˆ)ˆ(
·ˆ2
1ˆ
)ˆ,ˆ(ln
βββ
σββ
σβσβ
εε
ε
[ ]∑ =−+−=∂
∂=
T
ttt XfY
TL
1
2
422
2
0)ˆ;(ˆ2
1ˆ2ˆ
)ˆ,ˆ(ln βσσσ
σβεεε
ε
Las soluciones del sistema de ecuaciones anterior proporcionan las estimaciones de Máxima
Verosimilitud del vector β y el parámetro 2εσ bajo la hipótesis de Normalidad en el término de
error.
Como puede apreciarse, los resultados obtenidos coinciden el estimador de Mínimos Cuadrados
No Lineales; asimismo, de la segunda condición de optimalidad se deduce que la estimación de
2εσ es:
[ ]T
SR
T
XfYT
ttt )ˆ()ˆ;(
ˆ 1
2
2 ββσ ε =
∑ −= =
Expresión, como vemos, análoga a la obtenida para el caso lineal.
Finalmente, la expresión de la matriz de covarianzas del estimador de Máxima Verosimilitud
puede aproximarse, para muestras grandes, mediante la inversa de la matriz de información. Dicha
matriz viene dada por11:
∂∂
∂∂
=
4
'
22
20
01
),(
ε
εε
σ
ββσσβT
ff
I
k
k
Si invertimos dicha matriz y sustituimos los valores de los parámetros desconocidos por sus
correspondientes valores estimados tenemos que:
∂∂
∂∂
=
−
T
ff
Var
k
k
4
1'2
2
ˆ20
0ˆˆˆ
)ˆ,ˆ(
ε
εε
σ
ββσ
σβ
Siempre que
∂∂
∂∂
ββff
'
no sea una matriz singular.
11 El desarrollo de la demostración que conduce a esta expresión queda fuera de las pretensiones de este texto.
9.5. APROXIMACIÓN LINEAL DE TAYLOR
Consideremos el siguiente modelo de regresión no lineal siguiente:
itt XfY εβ += ),(
Haciendo lineal la función ),( βtXf , alrededor de una estimación inicial, β mediante un
desarrollo en serie de Taylor de primer orden tenemos que:
tt
tt
XfXfY εββ
βββ +−
∂∂
+≅ )ˆ(ˆ
)ˆ;()ˆ;(
'
Si simplificamos la notación obtenemos:
'
ˆ)ˆ;(
)ˆ(
∂∂
=β
ββ tXfz
Y por tanto:
tt zXfY εββββ +−+≅ )ˆ()ˆ()ˆ;( '
Operando queda que:
ttt zzXfY εβββββ +=+− )ˆ(ˆ)ˆ()ˆ;(
Obteniéndose el siguiente modelo lineal:
tt zY εββ +⋅≅ )ˆ(*
(11.4.)
Donde βββ ˆ)ˆ()ˆ;(* zXfYY ttt +−=
Para un valor determinado de β tanto *Y como )ˆ(βz son observables, y el modelo (11.4) posee
como estimador mínimo cuadrático a:
[ ] *1)ˆ()ˆ()'ˆ(
~tYzzz ββββ
−=
El desarrollo práctico sería el siguiente: debemos plantear una aproximación numérica inicial de
β ; a continuación generar las observaciones numéricas para las variables *Y, )ˆ(βz y proceder a
estimar el modelo (11.4) por MCO obteniendo nuevas estimaciones numéricas paraβ ( )β~ . Con
ellas, calculamos de nuevo las variables *Y, )ˆ(βz e iteramos el procedimiento hasta alcanzar
determinada convergencia.
Si desarrollamos la expresión de los estimadores obtenidos mediante MCO tenemos que:
[ ][ ] ( )
[ ] t
tt
t
zzz
zXfYzzz
Yzzz
εββββ
ββββββ
ββββ
ˆ)ˆ()ˆ()ˆ(ˆ
ˆ)ˆ()ˆ;()ˆ()ˆ()ˆ(
)ˆ()ˆ()ˆ(~
1'
1'
*1'
−
−
−
+=
+−=
==
(11.5.)
La expresión (11.5) proporciona de forma directa los estimadores MCO del modelo linealizado
mediante el desarrollo de Taylor, sin más que sustituir los valores indicados y teniendo en cuenta
que tε es el residuo obtenido al sustituir en el modelo original la estimación inicial, β .
La estimación del parámetro 2ˆεσ puede obtenerse de manera análoga al caso lineal tal que:
kT −= εεσ ε
~'~ˆ 2
Siendo )~,(~ βε XfY −=
Finalmente, si existe la inversa de [ ])ˆ()ˆ( ' ββ zz podemos derivar la distribución de probabilidad
del estimador β~
que será:
[ ]
−1'2 )ˆ()ˆ(, ββσβ ε zzN
Ejemplo 9.3
Si consideramos, ahora, la función:
tttttt uxfuxxy +=++= ),(22
1 θββ
Con )(βθ = , cuyo gradiente es:
( )'21 2
),(tt
t xxxf βθ
θ+=
∂∂
Entonces:
( )
ttttttt
tttttttt
xyxxxxy
xxxxyzxfyy
22
22
122
1
2122
1*
ˆˆ2ˆˆˆ
ˆˆ2ˆˆˆ)ˆ()ˆ,(
βββββ
ββββθθθ
+=++−−=
++−−=+−=,
tt xxz 211ˆ2)ˆ( βθ +=
Por lo que el modelo lineal a estimar resultará ser:
tt zy εθβ += )ˆ(1*
(11.6)
Vamos a aplicar dicho modelo a estimar una ecuación para los siguientes datos de la economía
española:
PIB(millones de euros moneda constante)
Ocupados estudios básicos (miles)
Ocupados estudios superiores (miles)
1991 342.598 10.284 2.773 1992 368.987 9.967 2.856 1993 381.747 9.333 2.960 1994 406.011 9.112 3.096 1995 447.205 9.155 3.357 1996 473.855 9.124 3.747 1997 503.921 9.300 4.046 1998 539.493 9.553 4.351 1999 579.942 9.964 4.725 2000 630.263 10.293 5.213 2001 680.678 10.556 5.590 2002 729.206 10.734 5.896 2003 782.531 11.103 6.193 2004 840.106 11.329 6.641 2005 905.455 11.743 7.231
Partimos de un valor de 1ˆ =β , y calculamos las variables transformadas:
ttt xyy 22* β+= tt xxz 211
ˆ2)ˆ( βθ +=
345.371 15.830 371.842 15.678 384.707 15.254 409.107 15.303 450.562 15.869 477.602 16.619 507.967 17.391 543.844 18.255 584.667 19.415 635.476 20.719 686.268 21.736 735.102 22.527 788.724 23.489 846.747 24.612 912.686 26.204
Utilizando MCO estimamos (1.5):
tt zy εθ += )ˆ(67,30 1*
Transformamos de nuevo las variables utilizando ahora 67,30ˆ =β , y estimamos de nuevo por
MCO el modelo (1.5):
ttt xyy 22* β+= tt xxz 211
ˆ2)ˆ( βθ +=
2.950.626 180.377 3.054.324 185.102 3.165.652 190.897 3.317.346 198.986 3.604.106 215.045 3.997.557 238.937 4.308.575 257.435 4.631.308 276.417 5.023.700 299.782 5.532.198 329.993 5.937.493 353.400 6.274.091 372.366 6.606.664 390.947 7.085.694 418.660
Obtenemos
tt zy εθ += )ˆ(81,16 1*
Seguimos iterando hasta y alcanzamos la convergencia al cabo de la quinta iteración:
Iteración β Diferencia
1 30,67 2 16,81 -13,86 3 11,42 -5,38 4 10,26 -1,16 5 10,20 -0,06
La ecuación estimada sería por tanto:
tttt uxxy ++= 22
1 20,1020,10
9.6. PROBLEMAS
11.1. Suponiendo que el término de error del modelo no lineal:
20 1
txt ty e uββ β= + +
Sigue una distribución Normal (0, 2εσ ), obtener la expresión analítica del algoritmo
Newton-Raphson.
11.2. Obtenga la expresión linealizada del modelo anterior aplicando el desarrollo en serie de
Taylor.
11.3 Obtenga la matriz de covarianzas de la estimación de máxima verosimilitud del modelo
tx
tteY εββ β ++= 2
10 es
SOLUCIONES
10.1.
( )2 21
1
ˆ( ) 2 1, ,t t
Tx x
t tt
f e x e uβ ββ β=
∇ = − ⋅∑∑
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
12 22
11 2 22 2 2
1 1 1 1
1
ˆ( ) 2
ˆ ˆ
t t
t t t t
t t t t t
x xtT
x x x xt t t
t x x x x xt t t t t t
e x e
f e e x e u x e
e x e u x e x e u x e
β β
β β β β
β β β β β
ββ β
β β β β=
∇ = − + − + − +
∑
( ) 12
1 1 1ˆ ˆ ˆ( )i i i if fβ β β β
−
− − − = − ∇ ∇
)
10.2.
2
2
2
ˆ*2 1
ˆ
1
ˆ
2 1
*0 1 1 2 2
ˆ ˆ
ˆ
t
t
t
xt t
xt
xt
t t t t
y y e
z e
z e
y z z u
β
β
β
β β
ββ β β
= +
=
=
= + + +
10.3. Inversa de la matriz de información siguiente:
2 2
2 2 2
2 2 2
1 12 2
12 2 22 2
2 1 1 1
2
1 0
01
( , ) 0
0 0 02
t t
t t t
t t t
x xt
x x xt
x x xe t t t
e
e
e x e
e e x e
I x e x e x e
T
β β
β β β
β β β
ββ
β σ β β βσ
σ
=
10. MÉTODOS DE ESTIMACIÓN NO PARAMÉTRICOS
10.1. INTRODUCCIÓN
Se dice que se ajusta el modelo paramétrico cuando se estiman sus parámetros a partir de un
conjunto de observaciones que siguen dicho modelo, de manera que pueden hacerse predicciones
de nuevos valores de Y conocido el valor de X, y tener información precisa acerca de la
incertidumbre asociada a la estimación y a la predicción. Sin embargo, si el modelo paramétrico
no es el adecuado al analisis de datos que estamos realizando, pueden llevar a conclusiones que
queden muy alejadas de la realidad, dado que el modelo paramétrico conlleva un grado de
exactitud en las afirmaciones que de el se derivan y que son adecuadas siempre y cuando se
cumplan los supuestos básicos sobre los que se apoya su construcción teórica. De hecho, los
modelos paramétricos presentan una estructura teórica tan rígida que no pueden adaptarse a
muchos conjuntos de datos de los que hoy día se disponen para el análisis económico.
La econometría no paramétrica aparece como consecuencia de intentos por solucionar problemas
que existen en la econometría paramétrica como, por ejemplo, la consistencia entre los datos y
los principios de maximización, homocedasticidad, o la necesidad de asumir una determinada
relación, por lo general de forma lineal entre las variables de interés. Esta preocupación llevó a
una serie de investigadores a utilizar formas funcionales flexibles para aproximarsea relaciones
desconocidas entre las variables.El plantear formas funcionales flexibles requiere el conocimiento
del valor esperado de la variable Y, condicional en las otras, X. Esto conlleva la necesidad de
estimar la función de densidad de Y condicional en X. La econometría no paramétrica no parte
de supuestos sobre la distribución de probabilidad de las variables bajo estudio, sino que trata de
estimar dicha distribución para encontrar la media condicional y los momentos de orden superior
(por ejemplo, la varianza) de la variable de interés. Una de las desventajas de este método es, sin
embargo, la necesidad de contar con muestras muy grandes si es que se desea estimar la función
de relación entre ambas variables de manera precisa. Además el tamaño de la muestra debe
aumentar considerablemente conforme aumenta el número de variables involucradas en la
relación.
Los modelos de regresión paramétricos suponen que los datos observados provienen de variables
aleatorias cuya distribución es conocida, salvo por la presencia de algunos parámetros cuyo valor
se desconoce.
εββ ++= xy 10 , con ( )2,0 σε N≈
Este es un modelo estadístico con tres parámetros desconocidos: 0β ; 1β y 2σ .
Una formulación general de un modelo de regresión paramétrico es la siguiente:
iixmy εθ += );( , ni ,...,1= , pℜ⊆Θ∈θ
Donde );( θixm es una función conocida de x y de θ , que es desconocido, nεε ...1 es una variable
aleatoria idénticamente distribuida con ( ) 0=iE ε y ( ) 2σε =iV . El modelo de regresión lineal
simple sería un caso particular con ( )1,ββθ o= y xxm ooi 11),;( ββββ += .
Se supone que se observan n pares de datos ( )ii yx , que provienen del siguiente modelo de
regresión no paramétrico:
iii xmy ε+= )(
Donde nεε ...1 es una variable aleatoria idénticamente distribuida con ( ) 0=iE ε y ( ) 2σε =iV ,
y los valores de la variable explicativa nxx ...1 son conocidos, por lo que se dice que el modelo
tiene diseño fijo, y dado que la varianza de los errores es constante el modelo es Homocedástico12.
Considerando ( )YX , una variable aleatoria bivariante con densidad conjunta ( )yxf , , cabe
definir la función de regresión como )/()( xXYExm == , es decir el valor esperado de Y
cuando X toma el valor conocido x . Entonces )()/( XmXYE = , y definiendo )(XmY −=ε
, se tiene que:
ε+= )(XmY , 0)/( =XE ε , 2)/( σε =XV
Sean ( )ii YX , , i=1…n, una muestra aleatoria simple de ( )YX , . Estos datos siguen el modelo de
regresión no paramétrico:
iii XmY ε+= )( , i=1…n.
12 Si se supone que la varianza es función de la variable explicativa x : ( ) ( )ii xV 2σε = , el modelo sería Heterocedástico.
Una vez establecido el modelo, el paso siguiente consiste en estimarlo (o ajustarlo) a partir de las
n observaciones disponibles. Es decir hay que construir un estimador )(ˆ xm de la función de
regresión y un estimador2σ de la varianza del error. Los procedimientos de estimación de )(xm
se conocen como métodos de suavizado.
El abanico de técnicas disponibles para estimar no paramétricamente la función de regresión es
amplísimo e incluye, entre otras, las siguientes:
• Ajuste local de modelos paramétricos. Se basa en hacer varios (o incluso infinitos, desde
un punto de vista teórico) ajustes paramétricos teniendo en cuenta únicamente los datos
cercanos al punto donde se desea estimar la función.
• Suavizado mediante splines. Se plantea el problema de buscar la función )(ˆ xm que
minimiza la suma de los cuadrados de los errores ( )(ˆ iii xmye −= ) más un término que
penaliza la falta de suavidad de las funciones )(ˆ xm ) candidatas (en términos de la
integral del cuadrado de su derivada segunda).
• Métodos basados en series ortogonales de funciones. Se elige una base ortonormal del
espacio vectorial de funciones y se estiman los coeficientes del desarrollo en esa base de
la función de regresión. Los ajustes por series de Fourier y mediante wavelets son los dos
enfoques más utilizados.
• Técnicas de aprendizaje supervisado. Las redes neuronales, los k vecinos más cercanos y
los árboles de regresión se usan habitualmente para estimar )(xm .
10.2. FUNCIÓN NUCLEO
Los histogramas son siempre, por naturaleza, funciones discontinuas; sin embargo, en muchos
casos es razonable suponer que la función e densidad de la variable que se está estimando es
continua. En este sentido, los histogramas son estimadores insatisfactorios. Los histogramas
tampoco son adecuados para estimar las modas, a lo sumo, pueden proporcionar “intervalos
modales", y al ser funciones constantes a trozos, su primera derivada es cero en casi todo punto,
lo que les hace completamente inadecuados para estimar la derivada de la función de densidad.
Los estimadores de tipo núcleo (o kernel) fueron diseñados para superar estas dificultades. La
idea original es bastante antigua y se remonta a los trabajos de Rosenblatt y Parzen en los años
50 y primeros 60. Los estimadores kernel son, sin duda, los más utilizados y mejor estudiados en
la teoría no paramétrica.
Dada una m.a.s. nXX ...1 con densidad f , estimamos dicha densidad en un punto t por medio
del estimador
( ) ∑=
−=
n
i
i
h
XtK
nhtf
1
1ˆ
donde h es una sucesión de parámetros de suavizado, llamados ventanas o amplitudes de banda
(windows, bandwidths) que deben tender a cero ”lentamente" ( 0→h , ∞→nh ) para poder
asegurar que f tiende a la verdadera densidad f de las variables iX y K es una función que
cumple 1=∫K
. Por ejemplo:
• Núcleo gaussiano
2
2
2
1 u
e−
π • Núcleo Epanechnikov13
( ) 121
4
3<− uIu
donde 1<uI es la función que vale 1 si 1<u y 0 si 1≥u
• Núcleo Triangular
( ) 11 <− uIu
• Núcleo Uniforme
12
1<uI
13 Otra expresión alternativa de la función núcleo de Epanechnikov es:
5
2
5
11
4
3<
−u
Iu
donde 5<uI es la función que vale
5
1 si 5<u y 0 si 5≥u
• Núcleo Biweight
( ) 121
16
15<− uIu
• Núcleo Triweight
( ) 121
32
35<− uIu
Para elegir la ventana h puede seguirse la siguiente regla14
51
101
8
3 −
= nsh nK πδ
Donde
• n es el tamaño de la muestra
• ( ) 2
1
1
21
−= ∑=
n
iin XX
ns
• Kδ depende del núcleo K, y se calcula como:
( )( )( )
51
22
2
=∫
∫dttKu
dttKKδ
Por ejemplo:
• Si K es el núcleo gaussiano, entonces
101
4
1
=π
δ K
• Si K es el núcleo Epanechnikov, entonces ( ) 51
15=Kδ
Ejemplo 10.1
Nuestra muestra 101...XX es:
2,1 2,6 1,9 4,5 0,7 4,6 5,4 2,9 5,4 0,2
Su desviación típica es 779,1=ns , utilizando una función núcleo de Gaussiana, la ventana h
será:
366.010779,18
3
4
1 51
10110
1
=××
×
= −ππ
h
Hacemos una grilla para t que va desde -2 a 8 con puntos semi-espaciados:
14 Por lo general, los programs informáticos eligen el ancho de ventana siguiendo criterios de optimización (error cuadrático medio.
t
-2 -1,166666667 -0,333333333 0,5 1,333333333 2,166666667 3 3,833333333 4,666666667 5,5 6,333333333 7,166666667 8
Para cada jt
calculamos
−h
XtK ij
:
t
−h
XtK j 1
−h
XtK j 2
−h
XtK j 3
−h
XtK j 4
−h
XtK j 5
−h
XtK
j 6
−h
XtK j 7
−h
XtK
j 8
−h
XtK j 9
−h
XtK j 10
∑=
−n
i
ij
h
XtK
1
-2,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -1,1667 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0004 -0,3333 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0075 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1383 0,1458 0,5000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0000 0,3437 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,2853 0,6293 1,3333 0,0447 0,0010 0,1206 0,0000 0,0896 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0033 0,2593 2,1667 0,3924 0,1982 0,3061 0,0000 0,0001 0,0000 0,0000 0,0538 0,0000 0,0000 0,9507 3,0000 0,0195 0,2198 0,0044 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,3844 0,0000 0,0000 0,6282 3,8333 0,0000 0,0014 0,0000 0,0762 0,0000 0,0447 0,0000 0,0156 0,0000 0,0000 0,1379 4,6667 0,0000 0,0000 0,0000 0,3597 0,0000 0,3924 0,0538 0,0000 0,0538 0,0000 0,8598 5,5000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0096 0,0000 0,0195 0,3844 0,0000 0,3844 0,0000 0,7979 6,3333 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0156 0,0000 0,0156 0,0000 0,0311 7,1667 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 8,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Para cada jt
se obtiene la estimación de f :
( ) ∑=
−=
n
i
i
h
XtK
nhtf
1
1ˆ:
t f(t)
-2 0 -1,166666667 0 -0,333333333 0,052488651 0,5 0,166657681 1,333333333 0,09328713 2,166666667 0,257268921 3 0,161036178 3,833333333 0,039861562 4,666666667 0,214170733 5,5 0,182116814 6,333333333 0 7,166666667 0 8 0
En la figura 10.1 se representa la función de desnidad estimada y la que se obtiene con un 1=h :
Figura 10.1.
Ejemplo 10.2
En R la estimación de una función de densidad kernel se realiza con la función “density”, con los
datos del ejemplo 10.1 hay que realizar el siguiente programa:
> x <- c(2.1,2.6,1.9,4.5,0.7,4.6,5.4,2.9,5.4,0.2)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
-2 -1,2 -0,3 0,5 1,33 2,17 3 3,83 4,67 5,5 6,33 7,17 8
h=0.36 h=1
> density(x,kernel="epanechnikov") Call: density.default(x = x, kernel = "epanechnikov") Data: x (10 obs.); Bandwidth 'bw' = 1.065 x y Min. :-2.99424 Min. :0.00000 1st Qu.:-0.09712 1st Qu.:0.02366 Median : 2.80000 Median :0.09427 Mean : 2.80000 Mean :0.08621 3rd Qu.: 5.69712 3rd Qu.:0.15245 Max. : 8.59424 Max. :0.16948 > plot(density(x,kernel="epanechnikov"))
Figura 10.2
10.3. ESTIMADORES DE FUNCIÓN NUCLEO Y POLINOMIOS
LOCALES
La alternativa no paramétrica a los modelos de regresión, supone que
eXmY += )(
donde m es una función que no se supone “confinada" dentro de una familia paramétrica. Se trata
de estimar m a partir de una muestra ( )11,YX …; ( )nn YX , .
Los estimadores núcleo establecen que el peso de ( )ii YX , en la estimación dem es
)(ˆ
1
),(tf
h
XtK
hXtW
i
ii
−
=
donde K(t) es una función de densidad simétrica (por ejemplo, la normal estándar) y
)(ˆ tf es un estimador kernel de la densidad como el definido en el apartado anterior.
),( ii XtW es, para cada i, una función de ponderación que da “mayor importancia" a los valores
iX de la variable auxiliar que están cercanos a t.
Una expresión alternativa para ),( ii XtW
∑=
−
−
=n
j
i
i
ii
h
XtK
h
XtK
XtW
1
),(
A partir de los pesos iW puede resolverse el problema de mínimos cuadrados ponderados
siguiente:
( )( )( )2
1,
min ii
n
ii
baXtbaYW −+−∑
=
los parámetros así obtenidos dependen de t, porque los pesos iW también dependen de t, la recta
de regresión localmente ajustada alrededor de t sería :
))(()()( XttbtaXl t −+=
Y la estimación de la función en el punto en donde tX =
)()()(ˆ tatltm t ==
Las funciones núcleo usadas en la estimación no paramétrica de la regresión son las mismas que
en la densidad.
Si se generaliza al ajuste local de regresiones polinómicas de mayor grado, es decir si pretendemos
estimar una forma lineal del tipo:
qq XXX ββββ ++++ ...2
210
con la salvedad de que en vez del valor iX en la regresión lineal múltiple se utiliza el valor
( )iXt − . El estimador de polinomios locales de grado q asignado los pesos iW obtenidos
mediante la función núcleo se resuelve el siguiente problema de regresión polinómica ponderada:
( ) ( )( )( )2
101
.....min
0
qiqii
n
ii XtXtYW
q
−++−+−∑=
βββββ
Los parámetros ( )tjj ββ ˆˆ =
dependen del punto t en donde se realiza la estimación, y el polinomio
ajustado localmente alrededor de t sería:
( ) ( )∑=
−=−q
j
jjtq XtXtP
0, β
Siendo )(tm el valor de dicho polinomio estimado en el punto en donde tX = :
( ) ( ) ( )tPtm otqq β0ˆ , ==.
En el caso particular del ajuste de un polinomio de grado cero, se obtiene el estimador de Nadaraya
−Watson, o estimador núcleo de la regresión:
( )∑∑
∑
=
=
= =
−
−
=n
iiin
i
i
n
ii
i
K YXtW
h
XtK
Yh
XtK
tm1
1
1 ,)(ˆ
Ejemplo 10.3
Disponemos del siguiente conjunto de datos relativos a 163 personas con su edad y su índice de
masa corporal (relación entre peso y altura):
Figura 10.3.
Se va a obtener el estimador núcleo de la regresión:
∑
∑
=
=
−
−
=n
i
i
n
ii
i
K
h
XtK
Yh
XtK
tm
1
1)(ˆ
Donde iX es la edad de cada individuo e iY su masa corporal, va ha utilizarse una función núcleo
de Epanechnikov, cuyo ancho de ventana sería:
( ) ( ) 22,416214,168
315
8
315 5
110
15
15
110
15
1=××
×=××
×= −− ππ nsh n
Para cada edad (t ) calculamos
−h
XtK i
:
t
−h
XtK 1
−h
XtK 2
−h
XtK 3
−h
XtK 4
−h
XtK 5
−h
XtK i
−h
XtK 159
−h
XtK 160
−h
XtK 161
−h
XtK 162
∑=
−n
i
ij
h
XtK
1
16 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 1,228967175 17 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0753208 0,0000000 0,0000000 0,0000000 2,298278625 18 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,3704930 0,0000000 0,0000000 0,0000000 3,689804416 19 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,5813302 0,0000000 0,0000000 0,0000000 4,490985932
20
0,0000000 0,0753208 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,7078326 0,0000000 0,0000000 0,0000000 4,777144002
21 0,0000000 0,3704930 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,7500000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 4,768129934 ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
85 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 3,19280911 86 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 2,48497655 87 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 1,73497655 88 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 1,027144 89 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,44581379 90 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,07532083
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 20 40 60 80 100
Edad
Indi
ce d
e m
asa
corp
oral
Para cada edad (t ) calculamos i
i Yh
XtK
−
:
t 1
1 Yh
XtK
− 2
2 Yh
XtK
− 3
3 Yh
XtK
− 4
4 Yh
XtK
− 5
5 Yh
XtK
− i
i Yh
XtK
− 159
159 Yh
XtK
− 160
160 Yh
XtK
− 161
161 Yh
XtK
− 162
162 Yh
XtK
− i
n
i
i Yh
XtK∑
=
−
1
16 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 24,1149969 17 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 2,05894306 0,0000000 0,0000000 0,0000000 47,590736 18 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 10,1276624 0,0000000 0,0000000 0,0000000 78,5234969 19 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 15,8910333 0,0000000 0,0000000 0,0000000 96,7487803
20
0,0000000 1,32020961 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 19,3490559 0,0000000 0,0000000 0,0000000 103,586796
21 0,0000000 6,49393249 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 20,5017301 0,0000000 0,0000000 0,0000000 103,037148 ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
85 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 90,1696692 86 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 69,1207607 87 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 48,0097761 88 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 29,5521528 89 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 14,3394414 90 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 .. 0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000000 2,60213476
En la figura siguiente se representa el estimador )(ˆ xm obtenido:
Figura 10.4.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 20 40 60 80 100
Edad
Indi
ce d
e m
asa
corp
oral
Ejemplo 10.4
Utiliando la base de datos “cars” de R, que contine las variables “dist” (distancia de parada) y
“speed”(velocidad), vamos a realizar la representación gráfica de la regresión kernel realizada
con el estimador de Nadaraya–Watson.
> data(cars) > plot(cars$speed, cars$dist) > lines(ksmooth(cars$speed, cars$dist, "normal", bandwidth = 2), col = 2) > lines(ksmooth(cars$speed, cars$dist, "normal", bandwidth = 5), col = 3)
Figura 10.4
Definida la matriz
( ) ( )
( ) ( )
−−
−−
=
qnn
q
t
XtXt
XtXt
X
...1
.....
.....
...1 11
Y definidos los vectores ( )′= nYYY ...1 , ( )′= nεεε ...1 , ( )′= qβββ ...0 . Se calcula la matriz de
pesos tW
( )( )
( )
=
tXW
tXW
tXW
W
nn
t
,...00
0.....
0...,.0
0...0,
22
11
Habría que estimar por mínimos cuadrados generalizados el modelo εβ += XY , cuya solución
es:
( ) YWXXWXt ttttt'1')(ˆ
−=β
Pueden tomar los pesos:
∑=
−
−
=n
j
i
i
ii
h
XtK
h
XtK
XtW
1
),(
o
−=
h
XtKXtW i
ii ),(
Ejemplo 10.5
Utilizando los datos de edades e índices de masas corporales, se ha realizado un ejercicio para
obtener un estimador de polinomio local a una función núcleo de núcleo de Epanechnikov, si se
desea obtener el estimador para una edad de 65 años (t=65); la matriz 65X quedaría:
Constante )65( iX−
2)65( iX−
1 -1 1
1 41 1681
1 19 361
1 20 400
1 11 121
1 -17 289
. . .
1 5 25
1 13 169
1 33 1089
1 34 1156
1 3 9
1 38 1444
Los pesos ),65( ii XW serían:
),65( ii XW
0,70783255
0
0
0
0
0
.
0
0
0
0
0
0
La matriz 6565'65 XWX quedaría
−−
−=
855,117044,6896,11
044,6.896,11347,0
896,11347,0669,2
6565'65 XWX
Y el estimador ( ) YWXXWX 65'65
1
6565'65)65(ˆ −
=β :
=321,0
255,0
196,22
)65(β
Es estimador del indice de masa corporal para la edad de 65 años sería:
( ) ( ) 196,2265ˆ65ˆ 2 == om β
El estimador del parámetro de suavizado h tiene una importancia crucial en el aspecto y
propiedades del estimador de función de regresión. Valores pequeños de h dan mayor
flexibilidad al estimador y le permiten acercarse a todos los datos observados, pero originan altos
errores de predicción (sobre-estimación), valores mas altos de h ofrecerán un menor grado de
ajustes a los datos pero predicican mejor, pero si h es demasiado elevado tendremos una falta de
ajuste a los datos (sub-estimación).
Si la cantidad de datos de que disponemos lo permite, lo habitual es obtener dos muestras una
para la estimación del modelo (muestra de entrenamiento) y otra muestra para predecir (muestra
de test). En este caso una medida de calidad del parametro h de suavizado es el error cuadrático
medio de la población de la muestra de test:
( )( )∑=
−=tn
ititi
ttest XmY
nhECMP
1
2,, ˆ
1)(
Donde ( )titi YX ,, ,
, tni ...1= , es la muestra test y ( )Xm es el estimador no paramétrico construido
con la muestra de entrenamiento. El valor h que minimice dicho error sería el parámetro de
suavización elegido.
Si no de puede disponer de una muestra de test, la alternativa consiste en sacar de la muestra
consecutivamente cada una de las observaciones iX , y estimar el modelo con los restantes datos
y predecir el dato ausente con el estimador obtenido, para después calcular el error de predicción.
Se construye entonces la siguiente medida del error de predicción (validación cruzada) para cada
h:
( )( )∑=
−=n
iiiiCV XmY
nhECMP
1
2ˆ1
)(
Donde ( )Xmiˆ es el estimador obtenido al excluir la observación i-esima.
El valor h que minimice dicho error de validación cruzada sería el parámetro de suavización
elegido.
Teniendo presente que el valor que predecimos iY no deja de ser una combinación lineal de los
valores observados:
( ) SYYWXXWXXXY tttttt ===− '1'ˆˆ β
Siendo ( ) tttttt WXXWXXS '1' −= , matriz que se denomina de suavizado cuyo elemento ( )ji , se
nombra ijs.
Dado que:
∑=
−−
=n
i ii
iiCV s
YY
nhECMP
1
2
1
ˆ1)(
no es necesario ajustar las n regresiones no paramétricas, sino que vasta con evaluar todos los
datos y anotar los valores de la diagonal principal de la matriz S .
Una modificación de la función anterior (Validación cruzada generalizada) permite obtener un
estimador de la varianza de los errores del modelo:
∑=
−−
=n
i
iiGCV
nvYY
nhECMP
1
2
1
ˆ1)(
Donde ( ) ∑
=
==n
iiisSTrazav
1
Entonces:
vn
nhECMPGCV −
=2ˆ
)( εσ
y
( )∑=
−−
=n
iii YY
vn 1
22 ˆ1ˆ εσ
10.4. REGRESIÓN POR SPLINES
Para poder estimar la función f de la forma más sencilla posible, deberíamos poder representar
f de forma que iii exfY += )( , nei ....,2,1= se convierta en un modelo lineal.
Y esto se puede hacer eligiendo una base de funciones de dimensión q que genere un subespacio
de funciones que incluya a f como elemento y que pueda expresarse como:
( )∑=
=q
jjj xsxf
1
)( β
Siendo jβ un parámetro desconocido, asociado al elemento j ,
)(xsj de dicha base de
funciones.
De manera que:
( ) i
q
jjji exsY +=∑
=1
β , nei ....,2,1= (10.1.)
Se convierte en un modelo lineal de dimensión q .
La regresión con funciones base polinómicas es la propuesta más sencilla para este tipo de
estimaciones.
Supongamos que f es un polinomio de grado 4 de forma que el espacio de polinomios de grado
4 contiene a f . Una base de este subespacio es:
=
=
=
==
45
34
23
2
1
)(
)(
)(
)(
1)(
xxs
xxs
xxs
xxs
xs
Con lo que el modelo (10.1) se convierte en:
iiiiii exxxxY +++++= 45
34
2321 βββββ
Un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios, que se utiliza
como bases de funciones para aproximar curvas con formas complicadas.
Las bases de spilines más populares:
• Bases de polinomios truncados.
• Bases de splines cúbicos.
• Bases de B-splines.
• Bases de thin plate splines.
Una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido sobre un subintervalo,
que se unen entre sí obedeciendo a ciertas condiciones de continuidad.
Supongamos que se ha fijado un entero 0≥q , de manera que disponemos de q+1 puntos, a los
que denominaremos nodos, tales que qtttt <<<< ....210 , en los que troceamos nuestro
conjunto de. Decimos entonces que una función spline de grado q con nodos en qttt ,....,, 21 es
una función S que satisface las condiciones:
(i) en cada intervalo [ )jj tt ,1− , S es un polinomio de grado menor o igual a q .
(ii) S tiene una derivada de orden (q-1) continua en [ ]qo tt ,
.
Los splines de grado 0 son funciones constantes por zonas. La expresión matemática de un spline
de grado 0 es la siguiente:
[ )
[ )
[ )
∈=
∈=
∈=
−−−
+
qqqq
jjjj
oo
ttxcxS
ttxcxS
ttxcxS
xS
,)(
..
,)(
,)(
)(
111
1
10
En la figura 10.3 se muestran las gráficas correspondientes a los splines de grado cero.
Figura 10.3.
Los splines de grado 0, se define en un solo tramo de nudo y ni siquiera es continua en los nudos.
Equivale a realizar una regresión por tramos.
iiqqiioi excxcxcY ++++= −− 11110 .... βββ
siendo
[ )
∈
=+
resto
ttxc
jj
j
0
,1 1
Un spline de grado 1 o lineal se puede definir por:
[ )
[ )
[ )
∈+=
∈+=
∈+=
−−−−
+
qqqqq
jjjjj
ooo
ttxbxaxS
ttxbxaxS
ttxbxaxS
xS
,)(
..
,)(
,)(
)(
1111
1
10
La representación gráfica de un spline lineal aparece en la figura 10.4:
Figura 10.4.
Las funciones de spilines más comúnmente utilizadas son las de grado 3 ó cúbicas. Son
polinomios de grado tres a trozos, que son continuos en los nodos al igual que su primera y
segunda derivada, proporcionando proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y a
través de cálculo que no es excesivamente complejo.
Sobre cada intervalo [ ] [ ] [ ]qqo tttttt ,,...,,,, 1211 − , S está definido por un polinomio cúbico
diferente. Si el polinomio cúbico que representa a b en el intervalo [ ]1, +jj tt
, por tanto:
[ )
[ )
[ )
∈+++=
∈+++=
∈+++=
−−−−−−
+
qqqqqqq
jjjjjjj
ooooo
ttxdxcxbxaxS
ttxdxcxbxaxS
ttxdxcxbxaxS
xS
,)(
..
,)(
,)(
)(
1113
13
11
123
1033
Los polinomios 1−jS y jS
interpolan el mismo valor en el punto jt, es decir, se cumple:
( ) ( )ijiij xSyxS ==−1
por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S' y S'' son
continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline
cúbico.
Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' y segunda S'',
es posible encontrar la expresión analítica del spline.
Una de las bases de splines cúbicos más utilizadas basadas en 2−q nodos interiores, *jx ,
2,...,1 −= qj , es:
=
==
+ ),()(
)(
1)(
)(*
2
1
jj
o
xxRxS
xxS
xS
xS
Siendo
( ) ( ) ( ) ( )
+−−−−−−
−−
−−= 240
72
12
12
124
112
12
112
12
14
1),(2422
zxzxxzzxR
Con esta base de splines definimos f a través de un modelo lineal con matriz de regresores X
con n filas y q columnas cuya i_esima fila es:
( ) ( ) ( )[ ]*2
*2
*1 ,,...,,,,,,1 −= kiiiii xxRxxRxxRxX
Los elementos de una base de splines cúbicos son polinomios de grado 3. Un Spline cúbico se
representa en la figura 10.5
Figura 10.5.
Ejemplo 10.5
Se va a aproximar la función representada con la siguiente tabla de datos:
Y X
2 0,1
4 0,2
5 0,4
3 0,5
2 0,7
6 0,9
Una Base de splines cúbicos basada en 2 nodos interiores, 31*
1 =xy 3
2*1 =x
,
Con lo que el modelo lineal será
( ) ( ) iiiii exRxRxY ++++= 3/2,31, 4321 ββββ
La expresión general de la matriz de los regresores X será:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
=
32,9.03
1,9.09.013
2,7.031,7.07.01
32,5.03
1,5.05.013
2,4.031,4.04.01
32,2.03
1,2.02.013
2,1.031,1.01.01
RR
RR
RR
RR
RR
RR
X
Que da como resultado:
=
0,00100931-30,00218832-9.01
90,0019474740,00025622-7.01
10,0017425410,001742545.01
20,0008139910,002246094.01
0,00128477-80,000739912.01
0,00218832-10,00100931-1.01
X
De forma que los coeficientes MCO obtendidos:
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95%
Superior 95%
Intercepción -1,28441535 0,463139089 -2,7732821 0,1091437 -3,27714201 0,70831132
x 9,92100052 0,890608598 11,13957416 0,00796254 6,08902101 13,75298
( )31,ixR
1541,86453 168,4360681 9,154004551 0,01172431 817,142626 2266,58644
( )32,ixR
-1745,47096 171,1229452 -10,2000989 0,00947511 -2481,75357 -1009,18835
Dan como resultado la siguiente estimación:
Figura 10.6.
Un tema importante es la elección del grado de suavización del spline. Una de las posibilidades
es a través del contraste de hipótesis, valorar la posibilidad de utilizar uno o más nodos. Pero lo
aconsejado es mantener fija la base de splines y controlar el grado de suavización añadiendo una
penalización a la función objetivo de mínimos cuadrados:
βλβ S'
Donde Ses una matriz de orden qq× con coeficientes conocidos que dependen de la base
elegida y un parámetro de suavizado λ .
La solución del modelo de regresión lineal penalizado en donde la matriz de regresores está ahora
definida por la base de splines y la penalización sería:
( ) yXSXXpenal ''ˆ 1−−= λβ
El modelo de regresión lineal con spilines penalizados es equivalente al siguiente modelo de
regresión lineal:
eXY += β''
En donde )'0...0,0,(' YY = es un vector de dimensión 1)( ×+ qn , es decir el vector Yseguido
de tantos ceros como nodos se han utilizado en la base de splines.
La matriz de regresores
=
λB
XX '
tiene ahora orden qqn ×+ )( , siendo B una matriz que
cumple BBS '= y que se obtiene a través de la descomposición de Cholesky y λ el parámetro
de suavizado y eun vector de 1)( ×+ qn errores aleatorios.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
y-estimada
y
Ejemplo 10.6
En el modelo anterior, el modelo de regresión lineal equivalente al penalizado se construiría con:
=
0
0
0
0
6
2
3
5
4
2
'Y
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
=
32,3
23
1,3200
32,3
13
1,3100
0000
00003
2,9.031,9.09.01
32,7.03
1,7.07.013
2,5.031,5.05.01
32,4.03
1,4.04.013
2,2.031,2.02.01
32,1.03
1,1.01.01
'
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
RR
X
λλλλ
La matriz de penalización es por tanto
( ) ( )( ) ( )
=
=
0,0021604910,0001028800
10,000102880,0021604900
0000
0000
32,3
23
1,3200
32,3
13
1,3100
0000
0000
RR
RRS
El parámetro de suavización,λ , es a priori desconocido y hay que determinarlo, si es muy alto
suaviza los datos en exceso, un criterio utilizado para elegir el parámetroλ es del valor que
minimiza el estadístico general de validación cruzada:
( )( ) ( )( )( )( )''
'''''1
11
XSXXXItraza
yXSXXXyyXSXXXynvg −
−−
−−−−−−=
λλλ
La regresión por splines puede realizarse con múltiples variables explicativas, si tenemos ahora
dos explicativas, ix y iz , y queremos estimar el siguiente modelo aditivo:
iiii ezfxfy ++= )()( 21
Representaríamos cada una de estas dos funciones a través de una base de splines penalizados,
que tomando la base cúbica quedaría:
( )∑−
=
++=2
1
*211 ,)(
q
jjii xxRxxf δδ
y
( )∑−
=
++=2
1
*212 ,)(
q
jjii zzRzzf γγ
Ejemplo 10.7
Partiendo de la base de datos “cars” utilizada en el ejemplo 10.4, la función R “smooth.spline”
realiza la regresión por splines utilizando una base de splinee cúbicos penalizados:
> plot(speed, dist, main = "data(cars) & smoothing splines") > cars.spl1 <- smooth.spline(speed, dist) > cars.spl1 Call: smooth.spline(x = speed, y = dist) Smoothing Parameter spar= 0.7801305 lambda= 0.1112206 (11 iterations) Equivalent Degrees of Freedom (Df): 2.635278 Penalized Criterion: 4187.776 GCV: 244.1044
En la función “smooth.spline” el parámetro de suavizado es un valor generalmente entre 0 y 1, en
tanto que el coeficiente que denomina λ se obtiene en el criterio de aceptación (logaritmo de
verosimilitud penalizado). En el ejercicio el programa elige un 7801305,0=spar . Si se desea
un función menos suavizada habrá que elegir un parámetro de suavizado más bajo, en linea roja
se representa en el gráfico la regresión por splines que se obtendría con un parámetro de suavizado
de valor 0,10.
> cars.spl2 <- smooth.spline(speed, dist,spar=0.10) > lines(cars.spl1, col = "blue") > lines(cars.spl2, col = "red")
10.5. APROXIMACIÓN POR SERIES DE FOURIER
La forma de Fourier permite aproximar arbitrariamente cerca tanto a la función como a sus
derivadas sobre todo el dominio de definición de las mismas. La idea que subyace en este tipo de
aproximaciones (que podrían denominarse semi-no-paramétricas) es ampliar el orden de la base
de expansión, cuando el tamaño de la muestra aumenta, hasta conseguir la convergencia asintótica
de la función aproximante a la verdadera función generadora de los datos y a sus derivadas
(Gallant, A.R.;1981,1984).
Un polinomio de Fourier viene dado por la expresión:
( ) ( )( )∑=
++k
jojoj tjwvtjwu
a
1
sincos2
Donde k es el número de ciclos teóricos o armónicos que consideramos, siendo el máximo n/2.
nw
π20 = es la frecuencia fundamental (también denominada frecuencia angular fundamental).
t toma los valores enteros comprendidos entre 1 y n (es decir, t = 1, 2, 3, ...n).
Los coeficientes de los armónicos vienen dados por las expresiones:
( )( ) ( )∑∑∑===
===n
iioij
n
iiij
n
ii jtwy
nvjtwy
nuy
n
a
110
1
sin2
,cos2
,2
2
La aproximación a una función no periódica )(xg por una serie de expansión de Fourier se realiza
en Gallart (1981) añadiendo es esta un término lineal y cuadrático. De esta forma que la
aproximación univariada se escribe como:
( ) ( ) ( )jxsvjxucxbxaxg j
J
jj sincos
2
1/
1
2 −+++= ∑=
θ (10.2.)
El vector de parámetros es ( )JJ vuvucba ,,...,,,, 11=θ de longitud JK 23+= .
Suponiendo que los datos siguieran el modelo iii exgy += )( para i=1,2,…,n estimariamos θ
por mínimos cuadrados, minimizando
( ) ( ) ( )[ ]∑=
−=n
iiKin xgyns
1
2/1 θθ
Dado que la variable exógena ix no esta expresada en forma periódica, debe de transformase o
normalizarse en un intervalo de longitud menor que π2 , [ ]π2,0 .
Considerando 0θ la solución al problema de minimización anterior, podríamos obtener diferentes
soluciones minimocuadráticas para )(xg , considerando diferentes valores de n y K y elegir aquel
de ellos que mejor aproxime, )(xg , )()/( xgdxd , y )()/( 22 xgdxd .
La expresión de la primera y segunda derivada de la función (10.2) son las siguientes:
( ) ( ) ( )( )∑=
−−++=J
jjjx jjxvjxucxbxgD
1
cossin/θ
( ) ( ) ( )( )∑=
+−+=J
jjjx jjxsenvjxucxgD
1
22 cos/θ
La aproximación multivariada se describe:
( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑=
−++++=A
jjo xjkvxjkuuCxxxbuxg1
''0 sincos2'
2
1'/
ααααααθ
Donde ∑=
−=A
akkuC1
'0
ααα . La regla de formación de la secuencia αk está dada en Gallant
(1981) y en Gallant (1982) para diferentes sistemas.
Ejemplo 10.7
Vamos a estimar una forma de flexibilidad global para el PIB trimestral de España, en índices
de volumen ajustados a estacinalidad y calendario, y utilizando como regresor los puestos de
trabajo equivalentes a tiempo completo, todas las series están obtenidas de la Contabilidad
Nacional Trimestral de España del INE. Base 2000. Datos corregidos de estacionalidad y
calendario.
Puestos de trabajo equivalentes a tiempo completo Producto interior bruto 1995TI 12974 81,35 1995TII 13027 81,62 1995TIII 13043 81,85 1995TIV 13036 82,28 1996TI 13021 82,75 1996TII 13123 83,44 1996TIII 13310 84,14 1996TIV 13358 84,68 1997TI 13458 85,57 1997TII 13630 86,36 1997TIII 13756 87,35 1997TIV 13828 88,69 1998TI 13974 89,5 1998TII 14186 90,35 1998TIII 14391 91,43 1998TIV 14481 92,24 1999TI 14655 93,14 1999TII 14869 94,56 1999TIII 15026 95,99 1999TIV 15132 97,08 2000TI 15360 98,56 2000TII 15592 99,65 2000TIII 15867 100,36 2000TIV 15859 101,44 2001TI 15972 102,51 2001TII 16106 103,17 2001TIII 16290 104,12 2001TIV 16333 104,79 2002TI 16354 105,25 2002TII 16530 106,14 2002TIII 16702 106,79 2002TIV 16608 107,62 2003TI 16763 108,61 2003TII 16871 109,33 2003TIII 17108 110,02 2003TIV 17053 111,03 2004TI 17230 111,81 2004TII 17291 112,71 2004TIII 17574 114,01 2004TIV 17524 114,8 2005TI 17646 115,85 2005TII 17874 116,93 2005TIII 18225 117,93 2005TIV 18136 119,02 2006TI 18280 120,14 2006TII 18493 121,41 2006TIII 18702 122,48 2006TIV 18692 123,83 2007TI 18887 125,04
2007TII 19080 126,21 2007TIII 19253 127,13 2007TIV 19148 128,14
Fuente: Contabilidad Nacional de España. INE
La aproximación utilizada es la descrita en (10.2) con la variable dependiente transformada en un
intervalo menor a 2π utilizando la siguiente función de transformación )max(
2
X
Xx
⋅= π . En la
ecuación se utilizan 7 parámetros, la constante, el asociado x , el asociado a 22x y los
parámetros asociados a los dos primeros armónicos. El resultado de la estimación mínimo
cuadrática de (10.2) aparecen en la tabla adjunta:
x 2
2x
COS (x) SENO(x) COS(2x) SENO(2x) ( )θ/xg
4,2340 17,9271 -0,4603 -0,8878 -0,5762 0,8173 81,645 4,2513 18,0739 -0,4449 -0,8956 -0,6042 0,7969 82,087 4,2566 18,1183 -0,4402 -0,8979 -0,6124 0,7905 82,220 4,2543 18,0989 -0,4423 -0,8969 -0,6088 0,7933 82,162 4,2494 18,0572 -0,4466 -0,8947 -0,6010 0,7992 82,038 4,2827 18,3413 -0,4166 -0,9091 -0,6529 0,7575 82,875 4,3437 18,8677 -0,3604 -0,9328 -0,7402 0,6724 84,356 4,3594 19,0040 -0,3457 -0,9383 -0,7609 0,6488 84,725 4,3920 19,2896 -0,3149 -0,9491 -0,8016 0,5978 85,480 4,4481 19,7858 -0,2612 -0,9653 -0,8636 0,5043 86,735 4,4892 20,1534 -0,2213 -0,9752 -0,9021 0,4316 87,622 4,5127 20,3649 -0,1983 -0,9801 -0,9213 0,3888 88,118 4,5604 20,7972 -0,1514 -0,9885 -0,9541 0,2993 89,101 4,6296 21,4330 -0,0827 -0,9966 -0,9863 0,1649 90,486 4,6965 22,0569 -0,0159 -0,9999 -0,9995 0,0318 91,790 4,7259 22,3337 0,0135 -0,9999 -0,9996 -0,0269 92,357 4,7826 22,8736 0,0702 -0,9975 -0,9901 -0,1400 93,446 4,8525 23,5465 0,1396 -0,9902 -0,9610 -0,2765 94,789 4,9037 24,0464 0,1902 -0,9818 -0,9277 -0,3734 95,785 4,9383 24,3868 0,2240 -0,9746 -0,8996 -0,4366 96,466 5,0127 25,1273 0,2958 -0,9552 -0,8250 -0,5652 97,958 5,0884 25,8921 0,3672 -0,9301 -0,7303 -0,6832 99,525 5,1782 26,8134 0,4491 -0,8935 -0,5966 -0,8026 101,453 5,1756 26,7864 0,4468 -0,8946 -0,6008 -0,7994 101,396 5,2124 27,1695 0,4795 -0,8776 -0,5402 -0,8415 102,210 5,2562 27,6273 0,5174 -0,8558 -0,4647 -0,8855 103,191 5,3162 28,2621 0,5678 -0,8232 -0,3552 -0,9348 104,566 5,3302 28,4115 0,5793 -0,8151 -0,3288 -0,9444 104,891 5,3371 28,4847 0,5849 -0,8111 -0,3159 -0,9488 105,050 5,3945 29,1010 0,6305 -0,7762 -0,2050 -0,9788 106,397 5,4507 29,7098 0,6730 -0,7396 -0,0941 -0,9956 107,730
5,4200 29,3763 0,6500 -0,7599 -0,1550 -0,9879 107,000 5,4706 29,9272 0,6876 -0,7261 -0,0544 -0,9985 108,206 5,5058 30,3141 0,7128 -0,7014 0,0161 -0,9999 109,050 5,5832 31,1718 0,7648 -0,6442 0,1699 -0,9855 110,909 5,5652 30,9717 0,7531 -0,6579 0,1345 -0,9909 110,477 5,6230 31,6179 0,7899 -0,6133 0,2478 -0,9688 111,864 5,6429 31,8422 0,8019 -0,5974 0,2861 -0,9582 112,341 5,7352 32,8931 0,8536 -0,5209 0,4573 -0,8893 114,538 5,7189 32,7061 0,8450 -0,5348 0,4280 -0,9038 114,152 5,7587 33,1631 0,8656 -0,5007 0,4985 -0,8669 115,093 5,8332 34,0256 0,9004 -0,4350 0,6216 -0,7834 116,835 5,9477 35,3751 0,9443 -0,3292 0,7832 -0,6217 119,491 5,9187 35,0305 0,9343 -0,3565 0,7458 -0,6662 118,819 5,9656 35,5890 0,9500 -0,3122 0,8050 -0,5932 119,908 6,0352 36,4232 0,9694 -0,2455 0,8795 -0,4760 121,533 6,1034 37,2511 0,9839 -0,1789 0,9360 -0,3519 123,171 6,1001 37,2113 0,9833 -0,1821 0,9337 -0,3580 123,091 6,1637 37,9917 0,9929 -0,1192 0,9716 -0,2366 124,686 6,2267 38,7721 0,9984 -0,0564 0,9936 -0,1127 126,372 6,2832 39,4784 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 128,013 6,2489 39,0490 0,9994 -0,0343 0,9977 -0,0685 127,000
La representación gráfica de los resultados obtenidos está en la figura 10.7.
Figura 10.7.
75
85
95
105
115
125
135
19
95TI
19
96TI
19
97TI
19
98TI
19
99TI
20
00TI
20
01TI
20
02TI
20
03TI
20
04TI
20
05TI
20
06TI
20
07TI
Aproximación FFF
PIB (IV)
A continuación figuran los coeficientes obtenidos en la estimación MCO de la expansión de
Fourier:
Coeficientes COEFICIENTE VARIANZA SENO (2X) 25,7726 48,4461 COS (2X) 30,5090 27,1992 SENO (x) -452,1873 644,8903 COS(x) 153,4978 389,0007
22x
163,5181 267,6648
x -1623,8053 2811,5767 Constante 3691,2378 6689,6026
10.6. PROBLEMAS
10.1 Estimar un funcion de densidad kernel con los siguientes datos utilizando una función de
distancia de Epanechnikov y una grilla de 12 datos con valores entre 300 y 700.
349 368 388 414 444 484 518 550 586 635 686
10.2 Realice una regresión polinómica de segundo grado entre el Consumo (Y) y la Renta (X).
Años Consumo Renta 2000 349 388 2001 368 408 2002 388 433 2003 414 465 2004 444 498 2005 484 538 2006 518 574 2007 550 614 2008 586 656 2009 635 699 2010 686 748
10.3 Ajuste un spiline cúbico a la relación entre ventas (Y) y publicidad (X), con base de 2
nodos interiores, 31*
1 =x y 32*
2 =x .
VENTAS PUBLIC. 2000 500 25 2001 1000 10 2002 2000 5 2003 3500 10 2004 3800 25 2005 4000 40
10.4 Realice el ejercicio anterior en R, señale el parámetro de suavización elegido por la
función y represente los resultados obtenidos.
10.5 Utilizando los datos del ejercicio 10.2 Ajustar una función de Fourier a la relación entre
Consumo (Y) y la Renta (X) con K=5.
SOLUCIONES
10.1.
t f(t)
300 0,00000
333,3333333 0,00195
366,6666667 0,00383
400 0,00365
433,3333333 0,00269
466,6666667 0,00234
500 0,00249
533,3333333 0,00253
566,6666667 0,00244
600 0,00197
633,3333333 0,00145
666,6666667 0,00080
700 0,00000
10.2
248,6862,047,68 ttt XXY ++=)
10.3
*2
*1 33.419,413,7480,1642ˆ
tttt XXXY −++=
10.4
485,1=spar
10.5
)(23,66)(cos73.786,3051,17502,579ˆ 2ttttt xsenoxenoxxY −−+−=
ANEXO I. NOCIONES DE ALGEBRA MATRICIAL
MATRICES
Definición
Una matriz de orden n×m contiene n·m elementos dispuestos en n filas y en m columnas; su
notación matemática habitual es:
nmnn
m
m
xxx
xxx
xxx
...
......
...
...
21
22221
11211
Tipos de Matrices
Una matriz de orden 1×m tiene una sola fila y m columnas y recibe la denominación de vector
fila:
[ ]11 12 1... mx x x
Una matriz de orden n×1 tiene n filas y una sola columna y recibe el nombre de vector columna:
11
21
1n
x
x
x
M
Una matriz que posee con igual número de filas que de columnas, es decir, de orden n×n, se
denomina matriz cuadrada.
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. . ... .
...
n
n
n n nn
x x x
x x x
x x x
Llamamos matriz unidad o identidad a la matriz cuadrada de orden n×n con n unos situados en
la diagonal principal, siendo ceros los elementos restantes; es decir:
=
1...00
......
0...10
0...01
nI
Una matriz diagonal es aquella que únicamente tiene al menos un elemento no nulo en la diagonal
principal, es decir:
=
nna
a
a
A
...00
......
0...0
0...0
22
11
Una matriz derivada de otra a la que se le han eliminado parte de sus filas y columnas, se denomina
submatriz.
Ejemplo
B =
−12
23 seria una submatriz de la matriz A=
−−121
231
012
, de orden 3×3.
Operaciones con matrices
Suma
Si dos matrices A y B son del mismo orden, y tienen como elementos genéricos aij y bij, definimos
la matriz C, suma de A y B, como la matriz cuyo elemento genérico sería cij=aij+bij.
Así, por ejemplo, si disponemos de dos matrices, A y B, de orden 2×2:
11 12 11 12
21 22 21 22
a a b b
A Ba a b b
= =
La suma de ambas matrices sería:
11 12 11 12 11 11 12 12
21 22 21 22 21 21 22 22
a a b b a b a bC
a a b b a b a b
+ + = + = + +
Multiplicación
a) Multiplicación por un escalar
La matriz A multiplicada por un número escalar λ cualquiera, da como resultado otra matriz cuyo
elemento genérico es λ·aij. Así, por ejemplo, si consideramos una matriz de orden 2×2, el
resultado de multiplicarla por un escalar λ sería:
=
2221
1211
2221
1211
aa
aa
aa
aa
λλλλ
λ
b) Multiplicación de matrices
Si una matriz A es de orden m×n y la B es de orden n×p (o si la matriz A es de orden n×m y la B
es de orden p×n), definimos la matriz C, producto de A y B, como la matriz de orden m×p (ó
n×n) cuyo elemento genérico es:
∑=
=n
kkjikij bac
1
Por ejemplo, si deseáramos multiplicar una matriz de orden 3×2 por una matriz de orden 2×3
tendríamos que el resultado es una matriz 3×3 tal que:
11 12 11 11 12 21 11 12 12 22 11 13 12 2311 12 13
21 22 21 11 22 21 21 12 22 22 21 13 22 2321 22 23
31 32 31 11 32 21 31 12 32 22 31 13 32 23
·
a a a b a b a b a b a b a bb b b
a a a b a b a b a b a b a bb b b
a a a b a b a b a b a b a b
+ + + = + + + + + +
Del mismo modo, si quisiéramos multiplicar una matriz de orden 2×3 por una matriz de orden
3×2 tendríamos que el resultado es una matriz 2×2 de la forma:
11 1211 12 13 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32
21 2221 22 23 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32
31 32
·
a ab b b b a b a b a b a b a b a
a ab b b b a b a b a b a b a b a
a a
+ + + + = + + + +
En conclusión, para que dos matrices se puedan multiplicar tiene que existir coincidencia entre el
número de columnas de la primera matriz y el número de filas de la segunda matriz o viceversa.
Ejemplo
2 1 0 2 1 2 2 1 1 0 3 2 ( 1) 1 2 0 1 5 0
1 3 2 · 1 2 1 2 3 1 ( 2) 3 1 ( 1) 3 2 ( 2) 1 1 3
1 2 1 3 1 ( 1) 2 2 1 1 3 ( 1) ( 1) 2 2 1 1 3 6
− × + × + × × − + × + × − = × + × + − × × − + × + − × = − − − × + × + × − × − + × + ×
c) Producto Kronecker
Otra forma de multiplicación matricial es el producto directo o Kronecker. Si A es una matriz de
orden m×n y B es de orden p×q, el producto Kronecker BA⊗ se define como:
=⊗
BaBaBa
BaBaBa
BaBaBa
BA
mnmm
n
n
...
......
...
...
21
22221
11211
La matriz resultante BA⊗ es una matriz de orden mp×nq.
Traspuesta de una matriz
La traspuesta de una matriz A de rango n×m es una matriz A’ de orden m×n obtenida mediante
el intercambio de filas y columnas de A, de tal forma que el elemento genérico aij pasa a ser aji en
la matriz traspuesta. Por ejemplo, si consideramos una matriz de orden 3×2:
=
3231
2221
1211
aa
aa
aa
A
Su traspuesta será:
=
322212
312111'aaa
aaaA
Las matrices traspuestas verifican las siguientes propiedades:
1) (A’)’=A
2) (A+B)’=A’+B’
3) (AB)’=A’B’
4) Si una matriz verifica AA’=A’A=I se dice que A es una matriz ortogonal
5) Si una matriz de orden n×n verifica que A=A’ , esto es, que los elementos situados por
encima de la diagonal principal son simétricos a los elementos situados por debajo de la
diagonal principal, se dice que es una matriz simétrica.
Ejemplo
La matriz A es simétrica tal que:
3 1 1
1 5 1
1 1 3
A A
− ′= = − −
−
DETERMINANTES
Una matriz cuadrada A de orden n×n se puede hacer corresponder con un escalar A , denominado
determinante, a partir de la suma de los productos cruzados de sus elementos.
Así, el determinante de una matriz A de orden 2×2 puede obtenerse como:
11 1211 22 12 21
21 22
a aA a a a a
a a= = −
Del mismo modo, el determinante de una matriz de orden 3×3 se obtiene operando de la siguiente
forma:
322311322113312213312312332112332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A −+−+−==
En el cálculo de un determinante hay que tener presente que:
− Cada término contiene uno y solo un elemento de cada fila y cada columna.
− El número de elementos de cada término es el mismo que el número de filas (o columnas)
del determinante. El determinante de una matriz de orden 2×2 tiene dos elementos en
cada término, mientras que un determinante de una matriz de orden 3×3 tiene tres
elementos en cada término; y en general, un determinante n×n tiene n elementos en cada
término.
− Los términos alternan en signo.
− El desarrollo de un determinante 2×2 tiene dos términos, mientras que el determinante
de una matriz de orden 3×3, seis términos. Y en general, un determinante de orden n×n
tiene n! términos.
Propiedades de los determinantes
− Una matriz cuyo determinante tiene valor cero se denomina matriz singular.
− Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a cero, el determinante también
será cero.
− El determinante de una matriz con dos filas (o columnas) iguales es cero.
− El determinante de una matriz y de su traspuesta son iguales tal que 'A A= .
− El intercambio de dos filas o de dos columnas cualesquiera de una matriz cambian el
signo de su determinante.
RANGO DE UNA MATRIZ
El rango de una matriz se define como el número máximo de columnas de A que son linealmente
independientes. En el caso de una matriz no singular, (tal que 0≠A ), el rango de A viene dado
por el número de filas (o columnas) de A. En el caso de una matriz singular, 0=A , el rango
será el orden de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante no sea igual a cero.
Ejemplo
Sea la matriz A:
−=101
210
012
A
La matriz A es singular ya que:
00)2(20001101)2(1101112
101
210
012
=×−×−××+××−×−×+××−××=−=A
Dado que
−10
21es una submatriz de la matriz A, y el determinante de dicha submatriz no es
cero: 1×1-(-2)×0, entonces el rango de A es 2.
Menor y cofactor del elemento ija de una matriz
Se denomina menor ijA del elemento ija de una matriz al determinante de la submatriz
resultante de eliminar la fila y la columna correspondiente a dicho elemento. Así, en una matriz
de orden 3×3:
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
El menor de 11a será 3332
232211 aa
aaA = , el menor de12a será
3331
232112 aa
aaA = y el menor de13a
será3231
222113 aa
aaA =
Por su parte, el cofactor de un elemento ija se define como:
ijij
ij Ac )1(−=
En el ejemplo anterior, en la matriz A el cofactor 1111 Ac = , el cofactor 1212 Ac −= y el cofactor
1313 Ac = .
En consecuencia el determinante de una matriz A cuadrada de orden 3, se puede escribir como:
131312121111131312121111 AaAaAacacacaA +−=++=
Y en general el determinante de una matriz cuadrada de orden n, puede ser desarrollado a partir
de los elementos de cualquier fila, mediante la siguiente expresión:
ininiiii cacacaA +++= ...2211
Ejemplo
−−=121
231
012
A
El determinante de A puede ser escrito como:
1521
310
11
211
12
232 =
−+
−−
−−
=A
La matriz de cofactores de una matriz A de orden n×n se obtiene reemplazando cada elemento de
dicha matriz por su cofactor.
La transpuesta de la matriz de cofactores recibe el nombre de matriz adjunta de A.
MATRICES INVERSAS
La matriz inversa de una matriz cuadrada de orden n, A-1, es aquella que verifica que A·A-1=I. La
inversa de una matriz se calcula a partir de la siguiente expresión:
=
A
c
A
c
A
c
A
c
A
c
A
c
adjAA
nnnn
n
...
......
......
......
...
)(1
21
12111
En consecuencia para hallar la inversa de una matriz hay que realizar los siguientes pasos:
1. Calcular el determinante de dicha matriz.
2. Obtener los cofactores, y con ellos la matriz de cofactores.
3. Transponer la matriz de cofactores para obtener la matriz adjunta.
4. Dividir cada elemento de la matriz adjunta por el determinante de A.
Ejemplo
−−=121
231
012
A
El determinante es 15
La matriz de cofactores es:
3 2 1 2 1 3
2 1 1 1 1 27 1 5
1 0 2 0 2 11 2 5
2 1 1 1 1 22 4 5
1 0 2 0 2 1
3 2 1 2 1 3
A =
− − − − −
− − = − − − − −
− − −
Y la matriz adjunta de A es:
−
−−=
555
421
217
adjA
Por tanto, la inversa de A es:
−−−
−−=
−
−−
=−
33,033,033,0
62,031,0640,0
31,060,064,0
15
5
15
5
15
515
4
15
2
15
115
2
15
1
15
7
1A
Propiedad
Dado el producto de dos matrices A·B=C, donde A es una matriz cuadrada no singular, se verifica
que B=A-1·C.
DIAGONALIZACIÓN, VALORES SINGULARES E INVERSA GENER ALIZADA
Sea A una matriz cuadrada de orden n×n:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
. . ... .
...
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
=
Se dice que el vector:
=
nv
v
v
V.2
1
es un vector propio de A de valor propio λ si verifica que:
VAV λ=
Los valores propios λ se obtienen resolviendo la ecuación característica, ecuación polinómica de
grado n, que se obtiene igualando a cero el determinante de la matriz IA λ− , es decir,
resolviendo:
0=− IA λ
La solución de la ecuación característica origina un polinomio con respecto a λ, cuya solución
implica la existencia de n raíces ó n posibles valores para λ.
Así, por ejemplo, si A es una matriz de orden 2×2, entonces su ecuación característica se obtiene
como:
0))(( 211222112221
1211 =−−−=−
−=− aaaa
aa
aaIA λλ
λλ
λ
0)())(( 2112221122112
21122211 =−++−=−−− aaaaaaaaaa λλλλ
Si λ es una raíz, entonces el vector propio de valor propio λ puede obtenerse resolviendo a su vez
el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
0)(...
.....................................................
0...)(
0...)(
1212111
1212111
1212111
=−+++
=++−+=+++−
nn
nn
nn
vavava
vavava
vavava
λ
λλ
O en expresado matricialmente:
0)( =− VIA λ
Como puede apreciarse, una matriz A tiene tantos vectores propios como raíces o valores propios
tenga.
Propiedades
− El producto de los valores propios de una matriz es igual a su determinante.
− Si C es la matriz-columna de todos los vectores propios de A y Dλ es la matriz diagonal
con todos los vectores propios entonces se demuestra que:
λCDAC =
− Si la matriz A es simétrica entonces sus valores propios son siempre números reales; si
además son positivos se dice que es una matriz simétrica definida positiva.
Si una matriz simétrica es definida positiva de rango n y se puede descomponer en la
forma:
'PPA =
donde P es una matriz de rango n y de orden n×n no necesariamente simétrica.
− Toda matriz simétrica puede expresarse como el producto:
'CCDA λ=
Donde C es una matriz ortogonal, con los vectores propios normalizados.
− Asimismo, si una matriz A es definida positiva, entonces existe una matriz Λ , tal que:
=Λ
nλ
λλ
.00
....
0.0
0.0
2
1
verificándose entonces que P C= Λ .
Ejemplo
Sea la matriz A:
−−−
−=
311
151
113
A
La ecuación característica a través de la que calculamos los valores propios de A es:
0363611 23 =−+−=− λλλλIA
Las raíces de la ecuación característica son 2,3,6 321 === λλλ ; al ser los valores propios
números reales positivos, la matriz A es definida positiva.
El vector propio correspondiente al valor propio 61 =λ , se obtiene resolviendo el siguiente
sistema lineal:
0)63(
0)65(
0)63(
321
321
321
=−+−=−−+−
=+−−
vvv
vvv
vvv
La solución de dicho sistema es 1,2,1 321 =−== vvv
De igual forma, podemos calcular los vectores propios asociados a 32 =λ y .23 =λ
La matriz ortogonal con los vectores propios de A normalizados será entonces:
1 1 16 3 2
2 1 06 3
1 1 16 3 2
C
−= −
Y entonces se verifica que:
'
1 1 1 1 2 16 3 2 6 6 63 1 1 6 0 0
2 1 1 1 11 5 1 0 · 0 3 0 ·6 3 3 3 3
1 1 3 0 0 21 1 1 1 10
6 3 2 2 2
A CD Cλ=
− − −− − = − − −
y además:
1 1 16 0 06 3 2
2 1 0 0 3 06 3
0 0 21 1 16 3 2
P C
P
= Λ
−= −
ANEXO II. TABLAS ESTADÍSTICAS
TABLA II.1. DISTRIBUCIÓN NORMAL (0, 1)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
TABLA II.2. DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
K 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.8 0.75 0.7 0.6 0.55
1 63.656 31.821 12.706 6.314 3.078 1.376 1.000 0.727 0.325 0.158
2 9.925 6.965 4.303 2.920 1.886 1.061 0.816 0.617 0.289 0.142
3 5.841 4.541 3.182 2.353 1.638 0.978 0.765 0.584 0.277 0.137
4 4.604 3.747 2.776 2.132 1.533 0.941 0.741 0.569 0.271 0.134
5 4.032 3.365 2.571 2.015 1.476 0.920 0.727 0.559 0.267 0.132
6 3.707 3.143 2.447 1.943 1.440 0.906 0.718 0.553 0.265 0.131
7 3.499 2.998 2.365 1.895 1.415 0.896 0.711 0.549 0.263 0.130
8 3.355 2.896 2.306 1.860 1.397 0.889 0.706 0.546 0.262 0.130
9 3.250 2.821 2.262 1.833 1.383 0.883 0.703 0.543 0.261 0.129
10 3.169 2.764 2.228 1.812 1.372 0.879 0.700 0.542 0.260 0.129
11 3.106 2.718 2.201 1.796 1.363 0.876 0.697 0.540 0.260 0.129
12 3.055 2.681 2.179 1.782 1.356 0.873 0.695 0.539 0.259 0.128
13 3.012 2.650 2.160 1.771 1.350 0.870 0.694 0.538 0.259 0.128
14 2.977 2.624 2.145 1.761 1.345 0.868 0.692 0.537 0.258 0.128
15 2.947 0.000 2.131 1.753 1.341 0.866 0.691 0.536 0.258 0.128
16 2.921 2.583 2.120 1.746 1.337 0.865 0.690 0.535 0.258 0.128
17 2.898 2.567 2.110 1.740 1.333 0.863 0.689 0.534 0.257 0.128
18 2.878 2.552 2.101 1.734 1.330 0.862 0.688 0.534 0.257 0.127
19 2.861 2.539 2.093 1.729 1.328 0.861 0.688 0.533 0.257 0.127
20 2.845 2.528 2.086 1.725 1.325 0.860 0.687 0.533 0.257 0.127
21 2.831 2.518 2.080 1.721 1.323 0.859 0.686 0.532 0.257 0.127
22 2.819 2.508 2.074 1.717 1.321 0.858 0.686 0.532 0.256 0.127
23 2.807 2.500 2.069 1.714 1.319 0.858 0.685 0.532 0.256 0.127
24 2.797 2.492 2.064 1.711 1.318 0.857 0.685 0.531 0.256 0.127
25 2.787 2.485 2.060 1.708 1.316 0.856 0.684 0.531 0.256 0.127
26 2.779 2.479 2.056 1.706 1.315 0.856 0.684 0.531 0.256 0.127
27 2.771 2.473 2.052 1.703 1.314 0.855 0.684 0.531 0.256 0.127
28 2.763 2.467 2.048 1.701 1.313 0.855 0.683 0.530 0.256 0.127
29 2.756 2.462 2.045 1.699 1.311 0.854 0.683 0.530 0.256 0.127
30 2.750 2.457 2.042 1.697 1.310 0.854 0.683 0.530 0.256 0.127
40 2.704 2.423 2.021 1.684 1.303 0.851 0.681 0.529 0.255 0.126
60 2.660 2.390 2.000 1.671 1.296 0.848 0.679 0.527 0.254 0.126
∞ 2.576 2.326 1.960 1.645 1.282 0.842 0.674 0.524 0.253 0.126
TABLA II.3. DISTRIBUCIÓN 2kχ
K 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01
1 7.8794 6.6349 5.0239 3.8415 2.7055 1.3233 0.4549 0.1015 0.0158 0.0039 0.0010 0.0002
2 10.5965 9.2104 7.3778 5.9915 4.6052 2.7726 1.3863 0.5754 0.2107 0.1026 0.0506 0.0201
3 12.8381 11.3449 9.3484 7.8147 6.2514 4.1083 2.3660 1.2125 0.5844 0.3518 0.2158 0.1148
4 14.8602 13.2767 11.1433 9.4877 7.7794 5.3853 3.3567 1.9226 1.0636 0.7107 0.4844 0.2971
5 16.7496 15.0863 12.8325 11.0705 9.2363 6.6257 4.3515 2.6746 1.6103 1.1455 0.8312 0.5543
6 18.5475 16.8119 14.4494 12.5916 10.6446 7.8408 5.3481 3.4546 2.2041 1.6354 1.2373 0.8721
7 20.2777 18.4753 16.0128 14.0671 12.0170 9.0371 6.3458 4.2549 2.8331 2.1673 1.6899 1.2390
8 21.9549 20.0902 17.5345 15.5073 13.3616 10.2189 7.3441 5.0706 3.4895 2.7326 2.1797 1.6465
9 23.5893 21.6660 19.0228 16.9190 14.6837 11.3887 8.3428 5.8988 4.1682 3.3251 2.7004 2.0879
10 25.1881 23.2093 20.4832 18.3070 15.9872 12.5489 9.3418 6.7372 4.8652 3.9403 3.2470 2.5582
11 26.7569 24.7250 21.9200 19.6752 17.2750 13.7007 10.3410 7.5841 5.5778 4.5748 3.8157 3.0535
12 28.2997 26.2170 23.3367 21.0261 18.5493 14.8454 11.3403 8.4384 6.3038 5.2260 4.4038 3.5706
13 29.8193 27.6882 24.7356 22.3620 19.8119 15.9839 12.3398 9.2991 7.0415 5.8919 5.0087 4.1069
14 31.3194 29.1412 26.1189 23.6848 21.0641 17.1169 13.3393 10.1653 7.7895 6.5706 5.6287 4.6604
15 32.8015 30.5780 27.4884 24.9958 22.3071 18.2451 14.3389 11.0365 8.5468 7.2609 6.2621 5.2294
16 34.2671 31.9999 28.8453 26.2962 23.5418 19.3689 15.3385 11.9122 9.3122 7.9616 6.9077 5.8122
17 35.7184 33.4087 30.1910 27.5871 24.7690 20.4887 16.3382 12.7919 10.0852 8.6718 7.5642 6.4077
18 37.1564 34.8052 31.5264 28.8693 25.9894 21.6049 17.3379 13.6753 10.8649 9.3904 8.2307 7.0149
19 38.5821 36.1908 32.8523 30.1435 27.2036 22.7178 18.3376 14.5620 11.6509 10.1170 8.9065 7.6327
20 39.9969 37.5663 34.1696 31.4104 28.4120 23.8277 19.3374 15.4518 12.4426 10.8508 9.5908 8.2604
21 41.4009 38.9322 35.4789 32.6706 29.6151 24.9348 20.3372 16.3444 13.2396 11.5913 10.2829 8.8972
22 42.7957 40.2894 36.7807 33.9245 30.8133 26.0393 21.3370 17.2396 14.0415 12.3380 10.9823 9.5425
23 44.1814 41.6383 38.0756 35.1725 32.0069 27.1413 22.3369 18.1373 14.8480 13.0905 11.6885 10.1957
24 45.5584 42.9798 39.3641 36.4150 33.1962 28.2412 23.3367 19.0373 15.6587 13.8484 12.4011 10.8563
25 46.9280 44.3140 40.6465 37.6525 34.3816 29.3388 24.3366 19.9393 16.4734 14.6114 13.1197 11.5240
26 48.2898 45.6416 41.9231 38.8851 35.5632 30.4346 25.3365 20.8434 17.2919 15.3792 13.8439 12.1982
27 49.6450 46.9628 43.1945 40.1133 36.7412 31.5284 26.3363 21.7494 18.1139 16.1514 14.5734 12.8785
28 50.9936 48.2782 44.4608 41.3372 37.9159 32.6205 27.3362 22.6572 18.9392 16.9279 15.3079 13.5647
29 52.3355 49.5878 45.7223 42.5569 39.0875 33.7109 28.3361 23.5666 19.7677 17.7084 16.0471 14.2564
30 53.6719 50.8922 46.9792 43.7730 40.2560 34.7997 29.3360 24.4776 20.5992 18.4927 16.7908 14.9535
40 66.7660 63.6908 59.3417 55.7585 51.8050 45.6160 39.3353 33.6603 29.0505 26.5093 24.4331 22.1642
50 79.4898 76.1538 71.4202 67.5048 63.1671 56.3336 49.3349 42.9421 37.6886 34.7642 32.3574 29.7067
60 91.9518 88.3794 83.2977 79.0820 74.3970 66.9815 59.3347 52.2938 46.4589 43.1880 40.4817 37.4848
70 104.2148 100.4251 95.0231 90.5313 85.5270 77.5766 69.3345 61.6983 55.3289 51.7393 48.7575 45.4417
80 116.3209 112.3288 106.6285 101.8795 96.5782 88.1303 79.3343 71.1445 64.2778 60.3915 57.1532 53.5400
90 128.2987 124.1162 118.1359 113.1452 107.5650 98.6499 89.3342 80.6247 73.2911 69.1260 65.6466 61.7540
100 140.1697 135.8069 129.5613 124.3421 118.4980 109.1412 99.3341 90.1332 82.3581 77.9294 74.2219 70.0650
TABLA II.4. DISTRIBUCIÓN F DE SNEDECOR
Percentiles de 95
(n1 = Grados de libertad del numerador; n2 = Grados de libertad del denominador)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40 50 120 ∞
1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 245.9 248.0 249.3 250.1 251.1 251.8 253.3 254.3
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.43 19.45 19.46 19.46 19.47 19.48 19.49 19.50
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.70 8.66 8.63 8.62 8.59 8.58 8.55 8.53
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.70 5.66 5.63
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.62 4.56 4.52 4.50 4.46 4.44 4.40 4.37
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 3.94 3.87 3.83 3.81 3.77 3.75 3.70 3.67
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.51 3.44 3.40 3.38 3.34 3.32 3.27 3.23
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.22 3.15 3.11 3.08 3.04 3.02 2.97 2.93
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.01 2.94 2.89 2.86 2.83 2.80 2.75 2.71
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.85 2.77 2.73 2.70 2.66 2.64 2.58 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.72 2.65 2.60 2.57 2.53 2.51 2.45 2.40
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.62 2.54 2.50 2.47 2.43 2.40 2.34 2.30
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.53 2.46 2.41 2.38 2.34 2.31 2.25 2.21
14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.46 2.39 2.34 2.31 2.27 2.24 2.18 2.13
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.40 2.33 2.28 2.25 2.20 2.18 2.11 2.07
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.35 2.28 2.23 2.19 2.15 2.12 2.06 2.01
17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.31 2.23 2.18 2.15 2.10 2.08 2.01 1.96
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.27 2.19 2.14 2.11 2.06 2.04 1.97 1.92
19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 2.00 1.93 1.88
n1
n2
20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.20 2.12 2.07 2.04 1.99 1.97 1.90 1.84
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.94 1.87 1.81
22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.15 2.07 2.02 1.98 1.94 1.91 1.84 1.78
23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.13 2.05 2.00 1.96 1.91 1.88 1.81 1.76
24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.11 2.03 1.97 1.94 1.89 1.86 1.79 1.73
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.84 1.77 1.71
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.07 1.99 1.94 1.90 1.85 1.82 1.75 1.69
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.06 1.97 1.92 1.88 1.84 1.81 1.73 1.67
28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.79 1.71 1.65
29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.03 1.94 1.89 1.85 1.81 1.77 1.70 1.64
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.01 1.93 1.88 1.84 1.79 1.76 1.68 1.62
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 1.92 1.84 1.78 1.74 1.69 1.66 1.58 1.51
60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.84 1.75 1.69 1.65 1.59 1.56 1.47 1.39
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.75 1.66 1.60 1.55 1.50 1.46 1.35 1.25
∞ 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.67 1.57 1.51 1.46 1.39 1.35 1.22 1.01
Percentiles de 99
(n1 = Grados de libertad del numerador; n2 = Grados de libertad del denominador)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40 50 120 ∞
1 4052.18 4999.34 5403.53 5624.26 5763.96 5858.95 5928.33 5980.95 6022.40 6055.93 6156.97
6208.66
6239.86
6260.35
6286.43
6302.26
6339.51
6365.59
2 98.50 99.00 99.16 99.25 99.30 99.33 99.36 99.38 99.39 99.40 99.43
99.45
99.46
99.47
99.48
99.48
99.49
99.50
3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23 26.87
26.69
26.58
26.50
26.41
26.35
26.22
26.13
4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.20
14.02
13.91
13.84
13.75
13.69
13.56
13.46
5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.72 9.55 9.45 9.38 9.29 9.24 9.11 9.02
6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.56 7.40 7.30 7.23 7.14 7.09 6.97 6.88
7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.31 6.16 6.06 5.99 5.91 5.86 5.74 5.65
8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.52 5.36 5.26 5.20 5.12 5.07 4.95 4.86
9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 4.96 4.81 4.71 4.65 4.57 4.52 4.40 4.31
10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.56 4.41 4.31 4.25 4.17 4.12 4.00 3.91
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.25 4.10 4.01 3.94 3.86 3.81 3.69 3.60
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.01 3.86 3.76 3.70 3.62 3.57 3.45 3.36
13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 3.82 3.66 3.57 3.51 3.43 3.38 3.25 3.17
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.66 3.51 3.41 3.35 3.27 3.22 3.09 3.00
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.52 3.37 3.28 3.21 3.13 3.08 2.96 2.87
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.41 3.26 3.16 3.10 3.02 2.97 2.84 2.75
17 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.31 3.16 3.07 3.00 2.92 2.87 2.75 2.65
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.23 3.08 2.98 2.92 2.84 2.78 2.66 2.57
19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.15 3.00 2.91 2.84 2.76 2.71 2.58 2.49
20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.09 2.94 2.84 2.78 2.69 2.64 2.52 2.42
n1
n2
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.03 2.88 2.79 2.72 2.64 2.58 2.46 2.36
22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 2.98 2.83 2.73 2.67 2.58 2.53 2.40 2.31
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 2.93 2.78 2.69 2.62 2.54 2.48 2.35 2.26
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 2.89 2.74 2.64 2.58 2.49 2.44 2.31 2.21
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.85 2.70 2.60 2.54 2.45 2.40 2.27 2.17
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.81 2.66 2.57 2.50 2.42 2.36 2.23 2.13
27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.78 2.63 2.54 2.47 2.38 2.33 2.20 2.10
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.75 2.60 2.51 2.44 2.35 2.30 2.17 2.06
29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2.73 2.57 2.48 2.41 2.33 2.27 2.14 2.03
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.70 2.55 2.45 2.39 2.30 2.25 2.11 2.01
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.52 2.37 2.27 2.20 2.11 2.06 1.92 1.80
60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.35 2.20 2.10 2.03 1.94 1.88 1.73 1.60
120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.19 2.03 1.93 1.86 1.76 1.70 1.53 1.38
∞ 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.04 1.88 1.77 1.70 1.59 1.52 1.32 1.00
TABLA II.5. DISTRIBUCIÓN DEL ESTADÍSTICO DEL CONTRA STE DE DURBIN-
WATSON
Se tabulan los valores de dL y dU para un nivel de significación α=0.05
BIBLIOGRAFÍA
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