Capítulos i y ii econometría aplicada a finanzas

ECONOMETRÍA APLICADA A FINANZAS

Prof. Elder Javier Nunes P., MSc., CRM

1

FUNDAMENTACIÓN

El contenido programático del curso tendrá como finalidad el de garantizar

el éxito académico de los estudiantes interesados en culminar el PMIF.

Este programa esta orientado, en primer lugar, a que el participante pueda

dominar los elementos institucionales matemáticos y estadísticos

necesarios para poder realizar modelación econométrica, y en segundo

término, a estimular las habilidades numéricas, teórico-económicas y

razonamiento abstracto, necesarios para la formulación correcta de

hipótesis y modelos econométricos de interés.

2

OBJETIVOS

II. Objetivos

II.1. Objetivos Generales

Asegurar que el estudiante a ingresar en el PMIF desarrolle las

competencias técnicas e instrumentales cuantitativas a la que va a

enfrentar durante su maestría y trabajo de investigación.

II.2. Objetivos Específicos

• Despertar en el estudiante el interés por los elementos matemáticos

formales, necesarios y requeridos, para el planteamiento y desarrollo

formal de modelos matemático-econométricos, tanto teóricos como

empíricos.

• Enseñar a los alumnos cómo se debe plantear, desarrollar, escribir y

presentar un trabajo econométrico aplicado sencillo, motivado por algún

interés personal, profesional o académico.

• Estimular sus habilidades y capacidades intelectuales para abordar temas

complejos a través del lenguaje matemático formal y científico.

3

ESQUEMA

Contenido Programático.

1.- Qué es econometría y para qué sirve. Es la econometría financiera

diferente de la econometría económica. Algunas características

importantes de los datos financieros. Tipos de datos. Retornos en los

modelos financieros. Pasos envueltos en formular un modelo

econométrico. Algunos puntos a considerar cuando se está leyendo

artículos en literatura empírica financiera. Uso del paquete econométrico

E-views y Risk Simulator para modelar datos financieros.

4

2.- Repaso del modelo clásico de regresión lineal. Regresión versus

correlación. Regresión Simple y Múltiple. Algunos supuestos aplicados en

tales modelos. Propiedades. Precisión y errores estándares. Usos de la

prueba de una variable específica y pruebas de significancia global

(pruebas t y F, respectivamente) para probar una teoría en finanzas.

Estadísticas de Bondad de ajuste. Violaciones al modelo clásico de

regresión lineal: Multicolinealidad, Autocorrelación, Heteroscedasticidad,

adopción de una forma funcional errada, omisión de variables relevantes,

inclusión de variables irrelevantes. Pruebas de estabilidad de los

parámetros. Estrategias en la construcción de modelos econométricos.

3.- Modelos univariados de series de tiempo para estimación. Modelos

autorregresivos, promedios móviles, funciones de autocorrelación parcial,

Modelos ARMA, EWMA. Metodología de Box-Jenkins. Ejemplos de

modelos de series de modelos en finanzas. Suavización exponencial.

Estimación en econometría mediante la utilización de E-views.

ESQUEMA (CONT.)

5

4.- Modelos multivariados. Sesgo en Ecuaciones simultáneas y como

pueden ser válidamente estimadas. Ecuaciones simultáneas en Finanzas.

Definición de Exogeneidad. Procedimientos de estimación para sistemas

de ecuaciones simultáneas. Aplicaciones de las ecuaciones simultáneas.

Modelos de Vectores Autorregresivos, análisis de Impulso - Respuesta,

Descomposición de la Varianza. Ejemplos de usos de modelos de Vectores

Autorregresivos (VAR).

5.- Relaciones de largo plazo en finanzas. Pruebas de Raíces Unitarias y

Estacionariedad. Cointegración. Modelos de Corrección de Errores (ECM)

o Corrección de Equilibrio. Pruebas de Cointegración en regresiones.

Métodos de Estimación de parámetros en sistemas cointegrados.

Ejemplos. Pruebas de estimación de sistemas cointegrados usando la

técnica de Johansen basada en modelos VAR. Pruebas de Cointegración

y modelación de sistemas cointegrados usando Eviews.

ESQUEMA (CONT.)

6

6.- Modelando volatilidad y correlación. Motivaciones. Modelos aplicados

para volatilidad. Volatilidad Histórica. Modelos de volatilidad implícita.

Modelos EWMA, modelos de volatilidad autoregresiva, modelos

generalizados ARCH, GARCH, GJR, EGARCH, GARCH in mean, Usos de

estos modelos en la estimación de volatilidad.

7.- Modelos Binomiales (Logit y Probit). Motivaciones. Estacionalidad en

los mercados financieros y formas de modelar datos financieros. Modelos

Switching de Markov.

8.- Modelos de simulación de Monte Carlo. Técnicas de reducción de

varianzas. Técnica de Bootstraping. Generación de números aleatorios.

Desventajas de la simulación en soluciones a problemas financieros.

Ejemplos de simulación de Montecarlo en econometría.

ESQUEMA (CONT.)

7

Mediante el uso de la herramienta E-views y cálculos manuales (pen and

paper), se aplicarán los conocimientos a través de ejercicios prácticos y

laboratorios de computación en clase para usar las herramientas

econométricas E-views y Risk Simulator.

Estrategia de Evaluación

Exámenes: Dos (2) exámenes presenciales 30% c/u. Primero el

05/05/2016 y el segundo el 07/07/2016. El peso de los exámenes será

del 60% de la nota final.

Trabajo en equipo: El mismo será realizado por grupos de tres (3)

estudiantes y el peso será del 30% de la nota final. Entrega 30/06/2016.

Asistencia: La asistencia es obligatoria, por lo que la pérdida del 15%

de las horas de clases será suficiente para que éste pierda la materia.

Se dará un incentivo del 10% de la nota final por asistencia.

METODOLOGÍA

8

A QUIEN ESTÁ DIRIGIDO

El programa estará dirigido estudiantes con o sin

conocimientos previos en la aplicación de la Econometría

para las finanzas.

9

BIBLIOGRAFÍA

1.- Fabris Julio (2009). Econometría Financiera. Modelos y

Pronósticos utilizando Eviews. Editorial Omicron.

2.- Brooks, Chris (2007). Introductory Econometrics for Finance.

Cambridge University Press. 8ª. Edición

3.- Gujarati, Damodar N. (2006). Essential of econometrics. Third

Edition. McGraw-Hill Irwin.

Video Lectures. University of Oregon

http://freevideolectures.com/Course/2455/Introduction-to-

Econometrics#

Learners TV. http://www.learnerstv.com/Free-Economics-Video-

lectures-ltv385-Page1.htm

www.Bionicturttle.com www.softwareshop.com10

http://freevideolectures.com/Course/2455/Introduction-to-Econometrics

http://www.learnerstv.com/Free-Economics-Video-lectures-ltv385-Page1.htm

http://www.bionicturttle.com/

http://www.softwareshop.com/

CAPÍTULO I. QUÉ ES ECONOMETRÍA

El término significa medición en economía. Sin embargo, las principales

técnicas para el estudio de los problemas económicos son de igual

importancia en las aplicaciones financieras

Econometría Financiera es la aplicación de técnicas estadísticas para

problemas en finanzas, como:

.- Probar teorías en finanzas

.- Determinación de los precios o retornos de activos

.- Pruebas de hipótesis en la determinación de las relaciones entre

variables.

.- Examinar el efecto en los mercados financieros sobre cambios en las

condiciones económicas.

.- Estimación de futuros valores de variables financieras para la toma de

decisiones financieras.

.- Medición y estimación de la volatilidad de los retornos de los bonos.11


.- Probar si los mercados financieros son débiles en la eficiencia de la

información.

.- Probar si los modelos CAPM y APT son superiores en la

determinación del retorno en activos de riesgo.

.- Medición y estimación de la volatilidad en los retornos de los bonos.

.- Explicar los determinantes de las calificaciones de riesgo de los bonos

usados por las agencias calificadoras de crédito.

.- Modelar las relaciones a largo plazo entre precios y tipo de cambio.

.- Determinar la relación óptima de hedge para una posición spot de

petróleo,

.- Probar reglas técnicas de trading las cuales podrían generar más

dinero.

.- Probar hipótesis de que las ganancias o anuncios de dividendos no

tienen efectos en los precios de las acciones.12


.- Probar cuál de los mercados (Spot o de Futuros) reaccionan más

rápidamente a las noticias.

.- Estimación de la correlación entre los índices accionarios de dos

países.

13

CAPÍTULO I. Diferencias entre econometría Financiera y Econometría

aplicada a economía

En economía:

.- Small sample problem; falta de datos para probar teorías o hipótesis de

interés. (Data anual).

.- Errores de medición o revisiones de datos. Usos de datos estimados, los

cuales son revisables.

En finanzas:

Las técnicas aplicadas son iguales, sin embargo, la data financiera

frecuentemente presenta menos diferencias con respecto a los datos

económicos (frecuencia de la data, precisión así como estacionalidad)

Datos financieros son frecuentemente considerados como ruidosos

(noisy) lo que significa que presentan dificultad en separar tendencias o

patrones sobre características aleatorias y poco interesantes.

Datos financieros generalmente no presentan una distribución normal, a

pesar de que en realidad la mayoría de las técnicas en econometría

asumen que se comportan como una normal. 14

CAPÍTULO I. Tipos de datos financieros.

Datos de series de tiempo:

Podrían ser cuantitativas (tipo de cambio, número de acciones colocadas)

Cualitativas: día de la semana, encuestas sobre productos financieros

adquiridos por individuales privados sobre un período de tiempo.

Series de datos Cross-seccional:

Datos unidimensionales obtenidos de una o más variables recolectadas

en un punto simple del tiempo. V.gr. calificaciones de créditos de un

grupo de bancos en un país específico.

Problemas que pueden ser resueltos usando cross sectional data:

Relaciones entre el tamaño de la compañía y el retorno de invertir en

estas acciones. Niveles de PIB y la probabilidad de que el gobierno

entre en default con su deuda soberana.

15

CAPÍTULO I. Tipos de datos financieros.

Panel Data:

El término de datos de panel se refiere a datos que combinan una

dimensión temporal con otra transversal (cross Sectional). Ejemplo: Precios

diarios de un número de acciones blue chip en los últimos 2 años. Un

conjunto de datos que recoge observaciones de un fenómeno a lo largo del

tiempo se conoce como serie temporal. Dichos conjuntos de datos están

ordenados y la información relevante respecto al fenómeno estudiado es la

que proporciona su evolución en el tiempo. Un conjunto transversal de

datos contiene observaciones sobre múltiples fenómenos en un momento

determinado. En este caso, el orden de las observaciones es irrelevante.

Un conjunto de datos de panel recoge observaciones sobre múltiples

fenómenos a lo largo de determinados períodos. La dimensión temporal

enriquece la estructura de los datos y es capaz de aportar información que no

aparece en un único corte.

La data más utilizada en finanzas es la de series de tiempo. Recuerden que

en datos de series de tiempo el orden de la data es de suma importancia ya

que la data está ordenada cronológicamente.

i= individuo t= tiempo

16

http://es.wikipedia.org/wiki/Serie_temporal

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Corte_transversal&action=edit&redlink=1

CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros.

En lugar de precios, es preferible utilizar rendimientos ya que éstos se

presentan como libres de la denominación unitaria, se presentan mejor

como porcentajes.

Existen dos métodos usados para calcular los retornos de una serie de

precios: Retornos simples o continuos:

Simples: Retorno compuestos en forma contínua

Rt=Pt / Pt-1*100-100 Pt = Pt-1 ert, donde t=1 día, mes, etc.

Rt = Pt – Pt-1 x 100% Rt = ln ( Pt ) x 100%

Pt-1 Pt-1 Retorno compuesto (logarítmico)+fácil mensualizar

Rtm= ( Pt – Pt-1 ) / P t-1 Retorno simple neto

1+Rtm= Pt / P t-1 Retorno simple bruto

17


Cálculos de volatilidad periódica: PAG 45 LIBRO MUN RELATIVE RETURN= ln

(PT/PT-1). Squared Daily Returns proxy of Daily Volatility Estimate for day t.

Fórmula general ANUALIZACIÓN DE RETORNOS SIMPLES

18

PAG 45 LIBRO MUN RELATIVE RETURN= ln (PT/PT-1)

Squared daily returns proxy of daily volatility estimate for day t.

(Pt/Pt-1) ln(Pt/Pt-1) ln [(relative returns)-promedio]^2

Relative returns Ln (Relative returns) Square of (ln relative returns - average)

0 10,5

1 12,25 1,1667 0,1542 0,0101

2 11,5 0,9388 -0,0632 0,0137

3 13,25 1,1522 0,1417 0,0077

4 14,65 1,1057 0,1004 0,0022

5 15,65 1,0683 0,0660 0,0001

6 14,5 0,9265 -0,0763 0,0169

Sumatoria 0,3228 0,0507

Average (promedio) 0,0538

Desvest (Sigma or Standard Deviation) o periodic volatility (%) 10,073%

Sample standard Deviation and Variance

Sum of Square (Ln Relative returns - average) 0,0507

Volatility= square root of (sum of squere (Ln relative returns - average) / n-1) 10,0726% Periodic volatility

Annualized Volatility= Periodic volatility * square root (periods in a year) 34,893%

Prices (X)Months

10,0726 *


Otro ejemplo de volatilidad periódica

Fórmula general ANUALIZACIÓN DE RETORNOS SIMPLES

19

ln [(relative returns)-promedio]^2

(Pt/Pt-1) ln(Pt/Pt-1)

Relative returns Ln (Relative returns)

2010 9,35

2011 9,46 1,176% 1,0118 0,0117 0,6280

2012 17,43 84,249% 1,8425 0,6111 0,0373

2013 64,10 267,757% 3,6776 1,3023 0,2481

2014 173,24 170,265% 2,7027 0,9942 0,0361

2015 836,00 382,568% 4,8257 1,5740 0,5926

2016 abril 1.164,71 39,319% 1,3932 0,3316 0,2233

Sumatoria 4,82485 1,7654 σ2 (varianza)

Promedio (retorno) 2,5756 0,8041

Desvest (Sigma or Standard Deviation) o periodic volatility (in %) 59,420%

Sample standard Deviation and Variance

Sum of Square (Ln Relative returns - average) 1,7654

Volatility= Square root of (sum of square (Ln relative returns - average) / n-1) 59,4202% Periodic volatility

Annualized Volatility= Periodic volatility * square root (periods in a year) 59,4202%

Años (a dic c/año) Tipo de cambio DT Square of (ln relative returns - average)retorno simple %

60,74 *


En E-Views los retornos financieros se calculan así:

R_serie=@log(serie/serie(-1)) o R_serie=@log(serie)-@log(serie(-1)

O más sencillamente R_serie=dlog(serie)

Fabris, Julio (2009) Econometría Financiera. Pp. 95

20

CAPÍTULO I. Mensualización de un retorno simple anual.

Supongamos que el precio de Petrobras en enero fue de US$ 101 y en

diciembre US$ 123. Queremos calcular el retorno anual y mensual.

Retorno Anual: (123 -101) / 101 *100=21,78%

Retorno promedio mensual: Rmensual =[((1+0,2178))^(1/12)-1]*100=1,66%

mensual

Es decir, un rendimiento simple anual de 21,78% equivale a un rendimiento

simple uniforme de 1,66%.

Retorno simple multianual: Una inversión de 4 años en un activo ha rendido

un retorno simple neto de 36% ¿concluimos que rindió un 9% anual? No!!

Retorno promedio = [(1,36)^(1/4) -1 ]*100= 7,99%

21


La literatura académica de finanzas generalmente emplea la formulación

log-return (o también denominada log-price relative ya que se calcula como

el cociente del logaritmo del precio t al precio del período previo o t-1)

motivado por: (en EViews se utiliza comúnmente dlog(Pt)).

a) Log return tiene la propiedad de que pueden ser interpretados como

retornos compuestos contínuamente. Así que la frecuencia de componer

contínuamente los retornos no tiene importancia siendo más fácil la

comparación.

b) Los retornos compuestos continuamente tienen la propiedad de ser

aditivos en el tiempo. Es decir, si se tiene en forma sencilla sumando los 5

retornos diarios.

lunes ln P1 – ln P0 jueves ln P4 – ln P3

martes ln P2 – ln P1 viernes ln P5 – ln P4

miércoles ln P3- ln P2 retorno semana (rt): ln P5 – ln P0 = ln (P5 / P0)

(Ojo pero no es aditivo en portafolios Rpt= sum (i=1 to N) wi x Rit)

En caso de datos pequeños diferencia

imperceptible

22

CAPÍTULO I. Retornos en los modelos financieros y volatilidad.

Retornos promedios de los m últimos períodos:

m

rt = (1/m) ∑ r t-i

i=1

Cálculo de volatilidad:

Asumiendo un retorno promedio igual a 0, la varianza hoy es igual a un

promedio ponderado de los retornos al cuadrado de días anteriores

(ponderaciones iguales).

m

σ2t = (1/m) ∑ r2

t-i

i=1

23


Ejemplo: Suponga que observó los siguientes retornos diarios:

Retorno diario (tanto por uno) Retorno2

-0,14 0,0196

-0,15 0,0225

0,46 0,2116

-0,02 0,0004

0,09 0,0081

Prom 0,05244 Desviación Estándar 22,90%

Hallar la volatilidad ponderada aritmética de los últimos 5 días

5

σ2t = (1/5) ∑ R2

t-i = (1/5) *0,2622 = 0,05244

i=1

σ = √ 0,05244 = sigma= 22,9% diaria

Nota: La volatilidad diaria

también se puede calcular a

través de modelos GARCH

usando Risk simulator.

24


Para calcular los retornos de un portafolio se debe estimar el valor de un

portafolio para cada período de tiempo y luego determinar los retornos.

En los límites, como la frecuencia de la muestra de datos resulta

incrementada cada vez más (periodos cada vez más cortos) los retornos

simples y compuestos tenderán a ser idénticos.

En Eviews los cálculos de retornos implican la formulación:

R = log ( z / z(-1) ) log return o dlog(z)

25

CAPÍTULO I. Pasos que envuelven formular un modelo econométrico.

Análisis de un estudio previo de teoría financiera

Formulación de un modelo teórico estimable.

Recolección de data

Estimación del modelo.

El modelo es estadísticamente adecuado?

SiNo

Interpretar el modelo Reformular el modelo

Uso para análisis. 26

Lo importante es que el proceso de construir un modelo empírico

robusto es interactivo, ya que no estamos hablando de una ciencia

exacta. Con mucha frecuencia el modelo final preferido podría diferir

mucho del modelo original propuesto.

CAPÍTULO I. Pasos que envuelven formular un modelo econométrico.

27

Herramienta más importante a disposición de los econometristas.

Es el intento de explicar movimientos de una variable (podríamos

denominarla y) por referencia de movimientos en una o más otras

variables (x).

y x

Variable Dependiente Variable Independiente

Regresando Regresores

Variable Efecto Variable Causal

Variable Explicada Variable Explicatoria

CAPÍTULO II. Repaso del modelo clásico de regresión lineal.

28

Regresión versus correlación

Correlación implica el grado de asociación lineal entre las variables, [no

implica que cambios en x causan cambios en y (o al revés)], sino más

bien que existe evidencia de una asociación lineal entre las dos variables

y que los movimientos en las dos variables están en promedio

relacionadas en una cuantía expresada en el coeficiente de correlación.

En toda regresión, la variable dependiente (y) y las variables

independientes (x) son tratadas en forma diferente. La variable y se

asume estocástica (i.e. que presenta una distribución de probabilidad)

mientras que las variables x se asumen que tienen valores fijos (no

estocásticas) en muestras repetidas.

Regresiones como herramienta es más flexible y más poderosa que la

correlación.


29

Propiedades de la correlación

Es un número puro (implica una unidad de medida). Otras medidas como

varianza, covarianza depende de las unidades en las cuales las

variables originales son medidas.

Si dos variables son estadísticamente independientes, su covarianza es

cero. Sin embargo, lo contrario no es necesariamente cierto. Ya que si el

coeficiente de correlación entre 2 variables es cero, no necesariamente

significa que estas variables son independientes. Ya que el coeficiente

de correlación es una medida de asociación lineal o relación lineal

entre 2 variables, Por ejemplo si Y=X2 la correlación entre las dos

variables podrían ser cero, pero no necesariamente independientes (ya

que Y es una función no lineal de X).

Correlación no necesariamente implica casualidad. Si se encuentra

correlación positiva entre cáncer del pulmón y fumar, esto no

necesariamente significa que el fumar genera cáncer en el pulmón.


30


Fuente: Gujarati, Damodar, 2006. pp. 62

31

Regresión simple.

Caso extremo en simplicidad y sumamente restringido, en la que la variable

dependiente y depende únicamente de x.

Ejemplos que se pudieran aplicar:

1. Cómo los retornos de los activos varían de acuerdo a su nivel de riesgo de

mercado.

2. Medición de la relación a largo plazo entre los precios Spot y Futuros. Hedge

ratio, etc.

3. Los precios de una acción específica está determinado por los dividendos de la

compañía (si los dividendos son US$ 100.000 cual sería su precio de mercado).

4. Tipo de cambio y reservas internacionales (o inflación y tipo de cambio).

• Supongamos que se presume cierta relación entre dos variables y que las

teorías financieras sugieren que un incremento en x conlleva a un incremento

en y. Un primer paso en la determinación de la relación entre estas dos

variables sería graficar (scatter plot).


32


x

y

33

Se observa una aproximación lineal positiva entre x y y del tipo:

Y = a + b x

• a= constante aditiva sumativa. b=factor de proporcionalidad (indica

cuánto varía y ante una variación unitaria y positiva de x)

• Sin embargo, esta ecuación pareciera ser no muy realista por la

exactitud que tendría la línea y el ajuste con los datos. Para hacerlo más

realista es necesario el término de error aleatorio u o lo que también se

denomina ruido blanco en las metodologías de series de tiempo (el cual

no se puede modelar)

Y = a + b x + u


34

Como se determinan los valores apropiados de a y b ?

Exactitud que tendría la línea y el ajuste con los datos. Para hacerlo más

realista es necesario el término de error aleatorio u (el cual no se puede

modelar)

Y = a + b X + u

• Las razones por las cuales existe el término u es motivado a algunos

determinantes de Y los cuales pudieron ser omitidos en el modelo, o que

algunos son no medibles (ataques terroristas, huracanes, fallas

computacionales, etc.) los cuales afectan los retornos de los activos

financieros, afectando su poder de predictibilidad o estimación. Es

importante saber que el comportamiento humano es aleatorio y no

pronosticable la mayoría de las veces.


Componente determinístico

Componente estocástico

(random or noise component)

35

La naturaleza detrás del término de error estocástico (ut)

1. Representa la influencia de variables no incluidas en el modelo

2. A pesar de que están incluidas todas las variables que podrían explicar el

modelo, existe cierta aleatoriedad no predecible ni racional

(comportamiento humano).

3. Errores de medición.

4. Principio Ockam´s razor (William Ockham 1285-1349)… en vano hace

con más lo que se puede hacer con menos..Manténgalo el modelo de

regresión tan simple como se pueda, hasta que sea probado como

inadecuado (a pesar de que otras variables afectan Y, la influencia

combinada en Y podría ser tan pequeña que no vale la pena sino dejarla

incorporada en el término de error (menos es más).


36

Como se determinan los valores apropiados de a y b ?

El método más indicado par ajustar una línea a los datos se denomina

Mínimos cuadrados ordinarios (MCO o OLS). Otros métodos alternativos

es el método de los momentos (Hansen, 1982) y el de máxima

verosimilitud.

MCO: Se toma cada distancia vertical desde el punto a la línea,

calculando su cuadrado y minimizando la suma de la áreas de los

cuadrados dibujados, desde los puntos para la línea.

yt

ỷt

ủt = (yt-ỷt) El objetivo es minimizar la suma de los errores al cuadrado

(que la suma de los ut sean tan cercano al cero como sea posible).


37

http://www3.uah.es/juanmuro/Clasedoc034.pdf

https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1xima_verosimilitud


x

y

38


x

y

ủt

ỷt

yt

xt

En la medida que un evento se

repite se hace más confiable el

promedio

39

RSS= ∑εt2 = (yt -ỷt)

2 = ∑ (yt – α – β xt ) 2 = Q


El objetivo es escoger α y β para minimizar Q ∂Q/∂α = 0 y ∂Q/∂β = 0

∂Q/∂α = ∑ 2 (yt – α – β xt )(-1) = 0

∂Q/∂α = ∑ yt – ∑ α – β ∑ xt = 0

∑ yt = n α + β ∑ xt = 0

α = Y - β X substituyendo α en Q

RSS= Q= ∑εi 2 = ∑ (yt – Y – β (xt-X) ) 2

∂Q/∂β = ∑ -2 [ (yt – Y – β (xt-X ) ] (xt-X) = 0

∂Q/∂β = ∑ ( (yt – Y ) (xt-X ) – β ∑ (xt - X) 2 = 0

β = ∑ ( (yt – Y ) (xt - X ) / ∑ (xt-X) 2 40

Syy = ∑ (yi-Y)2 = ∑ (yt2 – n Y 2 )


Sxy = ∑ (xi- X) (yi – Y) = ∑ xi yi – n X Y

Sxx = ∑ (xi- X)2 = ∑ xi 2 - n X2

β = Sxy / Sxx

En el argot de Riesgo, el término alpha (α) es lo que se denomina Riesgo Sistémico y el

beta (β) como la correlación de un título con respecto al mercado (riesgo específico), el

cual se reduce a través de diversificación….O el porcentaje de volatilidad de un título

explicado por la volatilidad del mercado .

Otra forma de calcular el beta:

41

ά = y - β x

β = ∑ (xt yt - n x y ) / ∑ (xt2 - n x 2 ) = [ ∑(Xt * Yi)/ ∑Xi

2]

Ejemplo 1: Pag. 49 (módelo de índice único (sharpe))1

Un portafolio de inversión ha generado durante los últimos 5 años los

siguientes retornos (archivo Excel) por encima de la tasa libre de riesgo.

Para efectos de comparación, se anexan los retornos por encima de la tasa

libre de riesgo de un índice de mercado.

Resultados: Beta positivo (1,64). Existe una relación positiva entre los

rendimientos que los analistas estiman para el mercado y nuestro portafolio

de inversión. Si los analistas estiman que el Índice de mercado sube el

próximo año en 1 unidad, el portafolio bajo análisis obtendría una ganancia

de 1,64. Con esta regresión se podría determinar cuánto sería la ganancia o

pérdida de nuestro portafolio (céteris páribus). (algo arriesgado 1,64 y saber

que sólo tiene 5obs) alpha(ά ) = -1.74 si el índice del mercado se estima no

tendrá ganancia en t+1 nuestro portafolio se reducirá en -1.74%,

1 Sharpe, William (1963). “A simplifyed model for portfolio analysis. Management Science.


42

Algo importante que notar es la confiabilidad de los estimadores del término

Alpha cuando no existen valores cercanos a cero (ejemplo nuestro), lo que

hace poco confiable el valor del intercepto en predicciones.


x

y

43

Lineariedad

OLS es lineal pero no necesariamente algunas regresiones (y y x) tienen

un comportamiento lineal. Más específicamente el modelo puede ser

lineal en los parámetros (α y β) pero no necesariamente tiene que ser

lineal en las variables (y y x). Modelos que no son lineales en las

variables pueden linealizarse realizándose ligeras transformaciones o

manipulaciones. Por ejemplo el modelo de regresión exponencial:

Yt = α Xtβ e ut

Podría hacerse lineal aplicando logaritmos en ambos lados:

ln Yt = ln (α) + β ln Xt + ut donde α y β son los parámetros a ser

estimados. En estos casos los coeficientes estimados se denominan

elasticidades (v.gr. si β=1.2 un incremento en x de 1% generará en

promedio (céteris páribus) un incremento en y del 1,2%.


44

Lineariedad

Similarmente, si la teoría sugiere que x está inversamente relacionado a

y de acuerdo con el siguiente modelo:

yt = α + (β / xt ) + ut

La estimación puede aplicarse OLS (MCO) haciendo:

zt = 1 / xt

No lineal en las variables. Modelos no pueden ser estimados usando

OLS (MCO). Ejemplo:

yt = α + βxtΩ + ut (se debe usar métodos de estimación no lineal)

Estimadores versus estimados

Estimadores son las fórmulas usadas para calcular los coeficientes (ej α

y β), mientras los estimados son los valores obtenidos de los coeficientes

de la muestra.


45

Lineamientos que se deben seguir para el modelo clásico de

regresión lineal. Teorema de Gauss-Márkov (BLUE)

Los datos de xt son observables, pero yt también depende de ut es

necesario ser específico acerca de cómo ut es generado. En razón de lo

anterior se asume lo siguiente:

Notación Técnica Interpretación

E(ut) = 0 Los errores tienen un promedio de 0

var(ut) = σ2 < ∞ La varianza de los errores es constante (varianza

común) y finita sobre todos los valores de xt

cov (ui , uj) = 0 Los errores son estadísticamente independientes.

cov (ut , xt) = 0 No hay relación entre el error y la variable x.

Normalidad de los errores : ut ~ N(0, σ2)


46

Fuente: Gujarati, Damodar (2006). Esentials of Econometrics. Third edition. Pp. 141 48

Lineamientos que se deben seguir para el modelo clásico de

regresión lineal. Teorema de Gauss-Markov (BLUE)


Gujarati, Damodar. Essentials of econometrics. (2006). Pp. 144

1

1

β2

β2

Yi= β1 + β2 Xi

La pendiente de β2 es la

misma a cada punto de la

curvaY

XPrecio

Cantidad1

1

β2

β2

Yi= β1 + β2 (1/Xi)

La pendiente de β2 varía de

punto a punto en la curvaY

XPrecio

Cantidad

49

Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal.

Que sean los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Esto

significa, lo siguiente:

Mejores Estimadores: Que los estimados de ά y β sean los valores

verdaderos de α y β.

a) Consistencia. Cuando la muestra tiende al infinito los valores de ά y β

tienden a su verdadero valor. La probabilidad de que

el estimador es diferente a su verdadero valor es cero.


50

Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal.

Que sean los mejores estimadores lineales insesgados (MELI). Esto

significa, lo siguiente:

Mejores Estimadores: Que los estimados de ά y β sean los valores

verdaderos de α y β.

b) Insesgado. En promedio, los valores estimados de ά y β son

iguales a sus verdaderos valores. Ej.: E(ά) = α


51

Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal (cont.)

c) Eficiente. Cuando los estimados de ά y β tienen la varianza más

pequeña.


Figura derecha: Cuando debemos elegir entre un estimador insesgado con mucha

varianza y otro con sesgo pero con menor varianza, el criterio de eficiencia no es

suficiente para determinar cuál es el mejor estimador. Podría suceder que el estimador

insesgado sea muy impreciso (disperso) mientras que el estimador sesgado sea muy

preciso y, en ese caso, podríamos llegar a preferir a este último si el sesgo es pequeño.52

Propiedades de un estimador de MCO (OLS) lineal (cont.)


Dos estimadores del parámetro C. El estimador C2 es insesgado pero su distribución es

muy dispersa, mientras que la distribución de C1 está más concentrada, aunque no

alrededor del verdadero valor de C, sino alrededor de un valor cercano (es un estimador

sesgado).

En este caso se utiliza el criterio del error cuadrático medio mínimo, que consiste en

evaluar una expresión que pondera la varianza y el sesgo muestral o skewness (ambas

características indeseables) y permite elegir el estimador que las presente en menor

medida. Dicha expresión es el error cuadrático medio:

ECM(estimador θ) =E (θ - θ )2 = [sesgo(θ )]2 + Var(θ )

Por lo tanto, el criterio de minimizar el ECM toma en cuenta tanto la varianza como el

sesgo del estimador. Cuando el estimador es insesgado, como puede verse:

ECM(estimador θ) = Var(θ)

53

Precisión y Error Estándar (EE) de los estimados de ά y β.

Es importante tener una idea de cuan confiable (eficiente) son los

estimados de ά y β. Una buena medida de la confiabilidad de los

estimadores y si éstos varían mucho de una muestra a otra está en su

Error Estándar. Sin embargo, es importante saber que el EE no muestra

cuán precisos son un set particular de coeficientes estimados. Si el error

estándar es pequeño los coeficientes pueden ser precisos en promedio

pero no cuán precisos son para esta muestra particular. Es decir, muestra

una medida del grado de incertidumbre de los valores estimados para los

coeficientes. En la medida que más grande sea la muestra de datos

menor será el coeficiente EE. Cada observación de una serie representa

una pieza de información útil para determinar los estimados de los

coeficientes.

Estimación de la varianza del término de error (ut)

Medida amplia de la bondad de ajuste de una regresión. Si todo lo demás

permanece constante, a medida que este indicador sea más bajo, más

cercano es el ajuste de la línea a los datos reales.


54

Efectos de los errores estándar de los estimados de los coeficientes

cuando (xt – x) tienen poca dispersión.


x

y

y

x 55

Fórmulas Desviación Estándar

SE(α) = s √ ∑ xi2 = s√ ∑ xi2

________

T ∑ (xi-x)2 T ((∑xi2) –T x 2)

SE(β) = s √ 1 = s√ 1 =

∑ (xi-x)2 ∑xi2 –Tx 2)

Donde s= desviación estándar residual

S= √ ∑ ui2 . = ∑ √ (Xi –X)2

n-k n-k

k=parámetros (incluyendo la constante) A mayor desvío, mayor ruido estadístico en las

estimaciones y menos confiable el valor obtenido


56

Fórmulas Covarianza

Covarianza Muestral (X,Y) = ∑ [(Xi – X)(Yi – Y) ]

n-1

Covarianza = Correlación lineal entre X y Y (ρ) * σx * σy


57


cuando (xt – x) tienen dispersión elevada


x

y

y

x 58


cuando xt2 es grande


x

y

Dificultad de

estimación de ά

59


cuando xt2 es pequeña… Ejemplo 3.2 pag 63 libro Chris Brooks


x

y

60

Ejemplo 3.3. Pág. 65. Distribución normal y distribución t

Distribución Normal: Simetría alrededor de la media N ~ (0,1)

Distribución t: Tiene otro parámetro, los grados de libertad. Cuando una

distribución t tiene un infinito número de grados de libertad se convierte en

una distribución normal. (caso especial de una t). Grados de libertad

puede ser interpretado como el número de piezas de información

adicional más allá de los requerimientos mínimos. Si se estiman dos

parámetros ά y β se requieren un mínimo de dos observaciones para

ajustar la línea a los datos.

En la medida de que se incrementa

el número de grados de libertad (n-k-1),

los valores críticos decrecen ya que

se requiere menos precaución.

Y uno puede estar más seguro de que los resultados son apropiados


μ

Ƒ(x)

x

Distribución normal

Distribución t

Cola mas gorda y

menor peak

61

Fuente: Gujarati, Damodar. Esential of econometrics. Third Edition. Pp. 94. 62

K= variables del Modelo (grados de libertad o número de piezas de información más allá de los requerimientos mínimos)

En la medida que los

grados de libertad

aumentan los valores

críticos de la tabla

disminuyen ya que menos

precaución se requiere y

uno puede estar más

confiado de que los

resultados son más

apropiados

Distribución de Probabilidad de los estimadores de MCO (OLS). Pág.

67


Para probar hipótesis, el supuesto de que los errores están normalmente

distribuidos ut ~ N(0, σ2) hace más simple la inferencia estadística. Ya que yt

depende parcialmente de ut se puede decir que ut está distribuida

normalmente y yt también lo está. Así que:

α~ N(α, var(α)) y β~ N(β, var(β))

Si los coeficientes siguen una distribución normal, los errores también siguen

una distribución normal. Asumiendo que los demás supuestos de los MCO se

mantienen y la muestra es suficientemente larga, pero como no se puede

saber las varianzas de los coeficientes verdaderos se utiliza la distribución t

(para valores muestrales).

(α – α* ) ~ T t-2 (la diferencia es escalada o normalizada por su

SE (α ) error estándar del coeficiente estimado) si es bajo

el error estándar podría existir mayor precisión).63

Pruebas de significancia. Teorías financieras sugieren que ciertos

coeficientes toman valores particulares o valores dentro de un rango

dado. Ejemplo yt = 20.3 + 0.5091 xt usados para hacer inferencias sobre

los parámetros de la población (v.gr. si la población podría estar en 0,5 o

1, etc.). Pasos:

1) Estimar ά y β y sus errores estándar SE(ά) SE(β)

2) Determinar el test =( β – β* ) / SE(β) Donde β* es el valor de la

hipótesis nula. (Ho = β =0 ; Ha = β ≠ 0 ) (las diferencias son normalizadas

por el error estándar del coeficiente estimado ya que mide precisión o

certeza). Si el SE es pequeño, el valor del estadístico será bueno

(grande, no se requiere prueba)


Ƒ(x)

95% región no

rechazo Ho

Estadísticame

no significante

*

2,5% Región rechazo Ho2,5% Región rechazo Ho

Si ά y β prueban ser =0 y la variable

no ayuda a explicar las variaciones

en yt … remover de la ecuación

64

Pruebas de significancia (cont…)

3) Se requiere una distribución tabulada para comparar las pruebas

estadísticas requeridas. Los test estadísticos de esta manera puede ser

mostrada siguiendo una distribución t con T-2 grados de libertad: número

de piezas de información adicional más allá de los requerimientos

mínimos). En la medida que los grados de libertad aumentan los valores

críticos de la tabla disminuyen ya que menos precaución se requiere y

uno puede estar más confiado de que los resultados son más apropiados.

4) Se escoge el nivel de significancia N.S. (dos colas, una cola). N.S.=

tamaño del test. En una prueba de una cola, con valor crítico de 5% es

1,68 implica que el test estadístico debería esperar un valor más grande

que 1,68 en 5% del tiempo como consecuencia de un chance solo.

Tamaño del test: Si la muestra de datos es suficientemente grande

cualquier hipótesis nula puede ser rechazada.


65

Valores críticos de una distribución normal versus distribución t

Nivel de significancia N(0,1) t40 t4

50% 0 0 0

5% 1,64 1,68 2,13

2,5% 1,96 2,02 2,78

0,5% 2,57 2,70 4,60 cola gorda

baja altura

En la medida que se incrementan los grados de libertad se incrementa la

altura de la distribución y se reduce las colas gordas (vamos hacia una

distribución normal).


66


μ

Ƒ(x)

x

Distribución normal

Distribución t

Cola mas gorda y

menor peak

67


Se requiere calcular ά , β, así como sus errores estándares. Se escoge

el nivel de significancia (convención = 5%)

Intervalo de Confianza = 100 – N.S.= ej. 95% del tiempo que el verdadero

valor se encuentra en este intervalo. En muchas muestras repetidas, el

95% de las veces el valor verdadero de β estará contenido dentro de este

intervalo.

5% de nivel de significancia = 95% intervalo de confianza.

4) Intervalo de confianza de β : β - tcrit * SE(β ) ; β + tcrit * SE(β )

-tcrit = < ( β – β* ) < = + tcrit

SE(β)

Ejemplo 3.4. Pág 75 (Chris Brooks).


68

Fuente: Brooks; Chris. Introductory econometrics for finance. Cambridge (2007). Pp. 75

Ho=β=1

69

Fuente: Brooks; Chris. Introductory econometrics for finance . Cambridge (2007). Pp. 75 70

Fuente: Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 183-184 71

Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 181 72


-1σ 1σμ-2σ 2σ-3σ 3σ

68% de los datos (aprox).

95% de los datos (aprox).

99,68% de los datos (aprox).

Algunas propiedades de una distribución normal

Gujarati, Damodar (2006). Essentials of Econometrics. Pp. 79 73


Si se requiere determinar si Ho = β = 0 o 2 etc. en estos casos se deberán

hacer pruebas para cada caso. Ejemplo Pág 76 (libro Chris Brooks)

cuando β = 2 cae fuera del intervalo estimado de confianza. En la mayoría

de los casos los resultados están bajo un tamaño de prueba del 5%. En

casos como por ejemplo cuando β = 1 cuando el t estadístico y el valor

crítico están cerca, las respuestas pueden variar dependiendo del tamaño

de la prueba. Ejemplo, supongamos que con un tamaño de la prueba del

10% del mismo ejemplo 3.4. explicado anteriormente:

(0.5091 – 1) / 0.2561 = -1.917 el valor crítico cambia a ±1.725 el test

estadístico cae en la zona de rechazo de la Ho


74


Si la hipótesis nula (H0) es rechazada a un nivel de significancia del 5% se

podría decir que el resultado de la prueba es estadísticamente

significante. Si la Ho no es rechazada es no significante o insignificante.

Finalmente si la Ho es rechazada al 1% de nivel de significancia, el

resultado es estadísticamente significante.

Nótese que un resultado estadísticamente significante podría ser de

significación no práctica. Por ejemplo, si el beta estimado de una acción

bajo una regresión CAPM es 1.05 y la Ho es que el β = 1 es rechazada, el

resultado podría ser estadísticamente significante. Pero podría ser el caso

que un monto ligeramente superior de β no creará mucha diferencia en las

alternativas de inversión en comprar una determinada acción o no. El

resultado podría ser estadísticamente significante pero financieramente

insignificante.


75

Clasificación de los errores que pueden ser hechos usando pruebas

de hipótesis.

La Ho es usualmente rechazada si la prueba estadística es significante

bajo un nivel de significancia. Existen dos errores posibles que pueden ser

hechos:

1) Rechazo de la Ho cuando realmente es verdadero…Error de tipo I o

Falso positivo (missed crises o no sirve cuando en realidad el modelo

sirve).

2) No rechazo de la Ho cuando en realidad es falso…Error de tipo II o

Falso negativo (falsa alarma, existe crisis cuando en realidad no sirve).

La probabilidad de un error de tipo I es α el nivel de significancia de la

prueba escogida. V.gr. existe sólo un 5% probabilidad que el resultado o

en forma más extrema podría ocurrir puramente por chance, o sólo 5% de

probabilidad de que la Ho se rechace cuando en realidad es verdadera.

Solución: reducir el tamaño de la prueba (ej. de 5% a 1%), incrementar la

muestra de datos…criterios de rechazo más estrictos.


76

El nivel exacto de significación.

También denominado p-value, indica el Nivel de Significancia (NS)

marginal donde uno puede ser indiferente entre rechazar o no la hipótesis

nula. Si el test estadístico es largo en valor, el p-value sería pequeño. Ej.:

si el p-value es 0,12 la H0 debería ser rechazada a un nivel de

significancia del 12% o más alto. P=0,0000 permite rechazar sin dudas

Ho=parámetro=0, en este caso resultó significativo… 0% probabilidad de caer en Ho.

Permite rechazar o aceptar fácilmente la hipótesis nula de que el

verdadero coeficiente es cero, contra la Ha de que es distinto a cero.

El p-value ofrece toda la información requerida para conducir test de

hipótesis sin requerir del investigador la necesidad de calcular un test

estadístico o encontrar un valor crítico de una tabla.

El p-value es también útil ya que evita requerir la especificación de un

nivel de significancia determinado. El análisis de sensibilidad del efecto

del nivel de significancia en la conclusión se produce inmediatamente.

Mientras mas pequeño es el p-value más poco probable es la Ho. Ej

Hedge ratio en EViews pag 115.


77

Otro ejemplo de Hedge ratio o Índice de Cobertura utilizando regresión

simple:

• Supongamos que tenemos un portafolio de bonos T y queremos cubrir el

riesgo de una caída de precios. La estrategia es vender corto un número h

de contratos a futuro que minimice o elimine el riesgo.

• El cambio (Δ) de valor de nuestro portafolio conformado por dos tipos de

activos es el siguiente: ΔS + h ΔF. La varianza (v) del portafolio es la

siguiente:

• v= σ s2 + h 2 σf

2 + 2 h ρ σs σf

• Como queremos minimizar la varianza del portafolio, ∂v / ∂h = 0

∂v 2 h σf2 F + 2 ρ σs σ f = 0

∂h

h = ρ σs σ=desviación Estándar ρ=Coef. Correlación

σF


78


σ

hh óptimo

Va

ria

nza

de

l P

ort

afo

lio

79


σs

σF

El índice de Cobertura óptimo h es la pendiente de la curva que se obtiene

Mediante una regresión de σs y σF. El nivel óptimo de contratos a futuros N es:

N = h NA

QF

NA = Cantidad del activo a cubrir (unds.)

QF = Tamaño de cada contrato a Futuro (unds.) 80


Ejemplo: Santa Bárbara espera comprar 1 mill. de galones de Jet Fuel en

un mes (abril) y decide utilizar Heating Oil No. 2. Cuántos contratos debe

comprar a futuro? Caso de cross hedge

Tamaño de cada contrato heating oil: 42.000 galones

Ver ejemplo Excel

Otro ejemplo: El índice de Cobertura para un portafolio de acciones

utilizando Futuros sobre índices es el beta (β) del portafolio con respecto

al índice.

Hedge Ratio: h* = β = ρ σs

Mínima varianza (hedge ratio) σF

El número óptimo de contratos a futuros N es el siguiente:

Beta is a measure with many faces

https://www.youtube.com/watch?v=KPckXlXTLCw

Optimal Hedge

https://www.youtube.com/watch?v=p-bBbdvy7r8

81

https://www.youtube.com/watch?v=KPckXlXTLCw

https://www.youtube.com/watch?v=p-bBbdvy7r8


N = β NA

QF Valor spot de un contrato futuro (No. Contratos x precio spot

índice)

Valor del activo a cubrir (US$)

Ejemplo No. 2 Excel: Hedge sobre índices

Ejemplo: Morgan Stanley compró US$ 5 millones en acciones de IBM para

colocarlas en el mercado en tres meses y decide utilizar el índice S&P 500

como cobertura. Cuantos contratos debe vender a futuro sobre el S&P 500?

Un contrato equivale a 250 veces el índice y el precio spot del índice es de

1.000

Β = ρ (σ ibm / σ s&p500)

82

Regresión Múltiple. Ejemplo EViews pág. 119 Acciones GEC UK otro en

Pag. 139 Hedonic Pricing Model

yt = α +β xt + ut t = 1, 2, 3 …..T

Ejemplo: El precio de una acción podría depender de su propia sensitividad

para cambios inesperados en:

1) Inflación

2) Diferencias en los retornos de los bonos a corto y a largo plazo

3) Producción Industrial

4) Riesgo default., etc.

Ejemplo: Puede un fondo mutual superar un Indice marcador? Necesidad α

para conocer si mejora o desmejora el índice de mercado. H0 = α = 0

(Jensen´s alpha) pág 93 y 112.

Ejemplo 2: Precio de un bono de que depende? Tasas de interés activas,

pasivas, inflación, PIB,….ejemplo 3: relación entre rendimientos y calificación

de riesgo.


83

Regresión Múltiple. Ejemplo EViews pag 119 Acciones GEC UK otro en Pag.

139 Hedonic Pricing Model

yt = α +β xt + ut t = 1, 2, 3 …..T

Ejemplo 2: La inflación puede afectar variables CAMEL, o algunas

determinadas variables de Balance:


84

Activos Bancarios (var %) t. reales

+ créditos durables (hipotecario (la mayoría inclumple), consumo, comerciales)

+ créditos al consumo (t. reales) riesgo sobreendeudamiento y posible morosidad dada la caída del poder adquisitivo de los deudores.

Patrimonio

Captaciones t.reales (DV, DA, DPF)

Disponibilidades (t. reales) Reservas excedentarias

Descalce

neto de Ingresos - gastos totales (t. reales)

Ingresos Financieros (comisiones, otros) no creo que afecte

Desintermediación financiera

Brecha estructural (activos productivos / pasivos con costo)


89

Bondad de Ajuste estadístico (R2) ajustado

Uno de los problemas con el uso del estadístico R2 para medir la bondad

de ajuste es que éste nunca decrece con el agregado de nuevos

regresores. Desde un punto de vista teórico, siempre se podría obtener un

estadístico R2 igual a 1 agregando el número suficiente de variables

dependientes, lo cual tendencialmente haría disminuir el término RSS (o

suma al cuadrado de los residuos). Para atender este problema se ha

diseñado el R2 ajustado:

R2 = 1 – (1-R2) * [(T-1)/(T-k)] k=número parámetros incluyendo la constante

Si k=1 entonces R2 = R2

Si k>1 entonces R2 < o = R2


90

Coeficiente de correlación muestral (r) o rho (ρ)

ρ = cov (X.Y) / (σx σy)

Mide cuán fuerte las variables están relacionadas. Es simplemente la

medición del grado de asociación lineal entre las dos variables (cuán

fuertemente las dos variables están linealmente relacionadas).


91


92

F statistic: test de hipótesis cuya Ho es que todos los coeficientes

correspondientes a variables dependientes (distintas a la constante) son

nulos…(H0=β1=β2=….βn=0) relevancia conjunta de las variables

involucradas. La distribución del estadístico es una F de Snedecor, lo cual

le da su nombre al test.

Esta hipótesis establece que las variables explicatorias juntas no tienen

influencia en Y. Lo que es igual que establecer que: H0=R2=0 Las dos

pruebas de hipótesis son equivalentes.

Prob F statistic: Es el valor p del estadístico F antes explicado. Un valor

p=0,0000 indica que se rechaza la Ho de que todos los coeficientes de la

regresión son nulos (es decir, son estadísticamente significativos).


93

Normalidad de los residuos: Otro elemento importante para revisar es

verificar si 2/3 (66,66%) de los valores debería estar dentro de dichos

límites (límites definidos por una Desviación estándar). Los

procedimientos de pruebas estadísticas se basan en asumir que el

término de error está normalmente distribuido. Pruebas: Histograma de los

residuales (proxy sobre la probabilidad de distribución de los residuales).


94

Bondad de Ajuste estadístico (R2) = 1


x

y

y

95

Efectos de no incluir intercepto en una línea de regresión. Ojo R2 y R2

ajustado pueden resultar insignificantes bajo este contexto.


x

y

96

Heterocedascicidad: Varianza de los errores se incrementa en la medida

que pasa el tiempo. Se reduce utilizando logs o agregar otra variable

explicatoria.


x

y

97

Heteroscedascicidad: Test estadístico para verificar Heteroscedasticidad.

White test:

Ejemplo estimar una regresión

Y1 = β1 + β2 x2t + β3 x3t + ut para probar que la var(ut) = σ2 modelo 1

Se obtienen los residuales y se corre la regresión auxiliar del tipo:

Ut2 = α1 + α2 x2t + α 3 x3t + α 4 x2t2 + α 5 x3t

2 +α 6 x2t x3t + vt

a) Donde el término de error vt esta distribuida como normal. Se corre

luego una regresión restringida donde ut2 es regresada en función de una

constante sola (α) los RSS de cada especificación se usan como inputs

para las pruebas estándares F.


99

Otra alternativa involucra verificar el R2 para la regresión auxiliar. Si uno o

más de los coeficientes en la regresión auxiliar es estadísticamente

significativo el valor del R2 será relativamente alto. El R2 se multiplica por

el número de observaciones T * R2 ~ X2(m) donde m es el número de

coeficientes en la regresión auxiliar (excluyendo la constante α1)

equivalente al número de restricciones en una prueba F (Ho= no

Heteroscedasticidad≈Homocedásticos).

La prueba es que en forma conjunta todos los coeficientes son

simultáneamente cero (Ho= α2 =α3 =α4 =α5 =α6 = 0 =no

heteroscedasticidad, es decir son homocedásticos) si el X2 estadístico del

paso a) es superior al de la correspondiente tabla estadística Chi2

entonces rechazamos la Ho de que los errores son homocedásticos, es

decir, existe heteroscedasticidad. Otra alternativa sería con el p-value del

Chi2 computado es razonablemente largo (sobre 5 o 10% del nivel de

significancia) no podemos rechazar la hipótesis nula de

homocedasticidad, es decir son homocedásticos. (no cumple con criterio

de eficiencia).


100

Ejemplo..suponemos que el modelo 1 ha sido estimado con 120

observaciones y el R2 de la regresión auxiliar es 0,234 el test estadístico

T*R2 = 120 * 0,234= 28,8 siguiendo Chi2(5) bajo la Ho el cual da por la

tabla 11,07 el test estadístico es superior al valor crítico lo que hace que la

Ho es rechazada de que los errores son homocedásticos. Se concluye que

hay evidencia significativa de heteroscedasticidad, por lo que no se

asume que la varianza es finita. Se reduce utilizando logs o agregando

otra variable explicatoria.

Consecuencias MCO (OLS) con heteroscedasticidad: estimadores serán

sesgados y no consistentes (no BLUE) no tienen la varianza mínima (ni

finita) entre la clase de estimadores insesgados. Así, la varianza de los

errores no juega parte importante en la prueba de que los estimadores

bajo MCO son consistentes e insesgados. Los errores estándares podrían

ser errados y en consecuencia cualquier inferencia hecha con esta

regresión no sirve. Errores estándares muy grandes para el intercepto

cuando los errores son heteroscedásticos.


101

Ejemplo: Capítulo 5 Texto Julio Fabris

EXP=Gastos totales del gobierno estadal y local

(mill. US$ por año)

POP=Población del estado en Miles

AID=Ayuda Federal

INC=Ingresos población

Fuente: Fabris, Julio.Econometría Financiera. Pág. 140 y Modelos de Ejemplo Capítulo 5 Archivo Expend Resuelto

View / Residual Tests / White Heteroskedasticity

σεt proporcional a la variable POP

102

Menú: View/Residual Tests / White heteroskedasticity

Ho=modelo Homocedástico

σεt proporcional a la variable POP (por lo tanto el desvío estándar es proporcional a POP)

103

La salida anterior incluye la regresión en que se basa el test, que no es

otra cosa que los residuos al cuadrado (proxy de σε2 ) vs. las explicativas y

sus cuadrados.

Lo que nos aporta esta regresión es la impresión de que la varianza de la

perturbación es aproximadamente proporcional a la variable población al

cuadrado, ya que dicho coeficiente estimado es altamente significativo.

Esto es importante porque nos permitirá aplicar una variante del método

de mínimos cuadrados ordinarios denominado mínimo cuadrados

ponderados (weighted least squares o WLS).

WLS: Se basa en la idea de que si se conoce el valor de σεt para cada

momento t dividiendo toda la ecuación por dicho valor, el supuesto de

homoscedasticidad se cumple forzosamente (varianza constante) y puede

realizarse la regresión con los supuestos. Obviamente la regresión ha

cambiado, pero luego de estimar los coeficientes de la regresión

modificada, se pueden calcular los coeficientes de la regresión original.


104


105

La regresión del test de White sugiere que la varianza es proporcional a

los cuadrados de los valores de la serie POP (y, por lo tanto, el desvío

estándar es proporcional a POP)

Quick / Estimate Equation… ventana de Equation Specification

introduciremos la fórmula expend c pop aid inc y en options

seleccionaremos Weighted LS (en EViews 8 cambia la forma)


106

Al 99% hay homoscedasticidad

Estimador (+ o -) robusto de White

107

108

Autocorrelación (o correlación serial):

Los errores del período se correlacionan (+, -) con los errores de los

períodos subsiguientes. Se produce a menudo en regresiones con series

de tiempo y puede deberse un alto grado de correlación en el tiempo en

las variables omitidas que influencia el término de error.

Ej. Optimismo generado por una buena noticia referida a la economía

puede perturbar el precio de una acción. En la regresión que explica el

valor de la misma, dicha noticia no estará en general representada, por lo

cual las noticias buenas y malas aparecerán como perturbaciones

aleatorias. Si el efecto de la novedad dura 3 días, por ejemplo, tendremos

una influencia al alza de 3 días, con lo cual la perturbación de hoy estará

correlacionada con la perturbación de mañana y pasado mañana.

εt=ρ * εt-1 + ut con Ut ̃ N(0, σ2

u)

Ejemplo de autocorrelación de primer orden AR(1) o esquema autoregresivo

de Markov (la más usual)


109

Autocorrelación(DW): Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación +


ut-1

ut

+

+

-

-

t

+

-

110

Autocorrelación: Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación -


ut-1

ut

+

+

-

-

t

+

-

111

Autocorrelación: Existe cov(ui, uj) para i = j. Ejemplo: Autocorrelación cero


ut-1

ut

+

+

-

-

t

+

-

112

Autocorrelación (o correlación serial): Detección por Durbin y Watson

prueba de autocorrelación de primer orden… test solo para probar

relación entre un error y su valor inmediatamente anterior. Los errores de

un período se relacionan con los del período anterior. Se produce a

menudo en regresiones con series de tiempo y puede deberse al alto

grado de correlación en el tiempo de las variables omitidas que influencian

el término de error. (ejemplo optimismo generado por una buena noticia

de la economía puede perturbar el precio de la acción)

ut = ρ ut-1 + vt donde vt ~ N(0, σv2) DW Ho= ρ =0 Ha= ρ ≠ 0

ρ=coeficiente de autocorrelación H0=ρ=0 no existe autocorrelación

(independencia uno del otro).

ρ =0 DW=2 no autocorrelación en los residuales si DW tiende a ser

cercano a 2 existe una pequeña evidencia de autocorrelación

ρ =1 DW=0 Autocorrelación positiva perfecta en los residuales

ρ =-1 DW=4 Autocorrelación perfectamente negativa en los residuales.

Ejemplo pág. 163 y 164 (numérico)


113

Ejemplo pág. 163 y 164 (numérico), Chris Brooks

Fuente: Gujarati, Damodar. Esentials of econometrics. Third edition. Pp 439

Fuente: Gujarati, Damodar. Esentials of econometrics. Third edition. Pp 438-439

Autocorrelación (o correlación serial):

DW de 2 indica ausencia de correlación serial de primer orden.

DW sensiblemente > 2 indica correlación serial negativa (poco usual)

DW sensiblemente < 2: presencia correlación serial positiva.

EViews provee el valor del estadístico por tradición. Pero no se

recomienda su uso por 3 razones:

1.- La distribución del estadístico bajo la Ho depende de los datos que se

utilizan en la regresión

2.- Cuando en el lado derecho de la ecuación hay valores rezagados de la

variable dependiente, el estadístico pierde validez.

3.- Sólo puede testearse autocorrelación de primer orden.

Se puede eliminar la Autocorrelación mediante el uso de rezagos (buscar

rezagos óptimos).


117

La correlación serial o auto correlación no afecta el insesgamiento ni la

consistencia de los estimadores MCO pero afecta su eficiencia. Para peor, la

pérdida de eficiencia quedará oculta por el hecho de que las estimaciones de los

errores estándar de los coeficientes estimados serán menores que los verdaderos,

lo cual puede conducir a la conclusión errónea de que los parámetros son más

precisos de los que son en realidad. Tendencia a rechazar Ho en los test de

significatividad individual (t test) cuando en realidad no debería ser rechazada.

Condiciones para ser válido un test DW.

1) Debe contener el intercepto o el término constante (α)

2) Los regresores deben ser no estocásticos asumiendo las reglas CLRM

(Classical Linear Regression Model).

3) Inexistencia de rezagos (lags) de la variable dependiente (yt) en la regresión.

Pero DW solo mide autocorrelación con el pasado inmediato corr(ut,ut-1)=0

pero no corr(ut, ut-2) ≠ 0 necesario el test de Breusch – Godfrey. (pág. 165).

Pruebas más Óptimas: Prueba test LM de Breusch-Godfrey si p value=0,48 hay

48% probabilidad de caer en zona Ho de no ACR (no existe autocorreación) entre

los residuos o estadístico Q. Arreglos para eliminar autocorrelación (pág. 167)

usando GLS (Cochrane-Orcutt).


118

Ho de no ACR (no existe autocorreación)

119

Otro ejemplo de ACR prueba Q statistics.. Incluir la

autocorrelación de las perturbaciones

Yt = α + βXt + εt con

εt = ρ εt-1 + ut

Prueba de normalidad de los residuos: ut ~ N(0,б2 ) Normalidad es

requerido para conducir test de hipótesis individual y conjunta sobre los

parámetros de los modelos (Bera–Jarque Chi2 test de

normalidad…terceros y cuartos momentos de la distribución: skewness,

kurtosis)… Primer momento E(X)=μx (o media) segundo momento

alrededor de la media o varianza: E(X- μx )2.

Tercer momento: Skewness (sesgo o medida de asimetría): Σ(X- μx )3.

Cuarto momento: Kurtósis: Σ(X- μx )4.

Kurtósis medida de tallness (pico) o flatness (meseta) de una función de

distribución de probabilidades (PDF) (Leptokurtica es característico de

series financieras. Una distribución normal se caracteriza por tener

kurtosis = 3 (Kurtosis – 3 = 0 es decir: distribución normal)

Si la probabilidad es mayor que 0.05 no se rechaza la Ho de normalidad a

un 5% (Ho=normalidad de los residuos). Si no es normal utilizar Dummy

lo cual hace que elimine esa observación (p.181-184). (Los residuos de la

regresión tienen media cero por construcción).


121

Gujarati, Damodar (2007). Essential of econometrics. Pp. 66122

123

Fuente: Gujarati, Damodar. Esential of econometrics. 2006. pp.89 124

Ejemplo de outliers (genera kurtosis) en una estimación de MCO. Su

remoción incide en mejor R2 reduce el Error estándar, RSS y mejora el

ajuste del modelo a la data. Pero importante, son piezas fundamentales

de información. Una buena manera para mejorar las probabilidades de

errores en la normalidad es mediante el uso de variables Dummy (pág.

183)


x

y

125

126

Multicolinealidad: Relación entre variables explicatorias (x´s). En teoría no debe haber

ningún tipo de relación entre las variables x (ortogonal), Agregando o removiendo variables

en una regresión no debería causar cambios en los coeficientes de las otras variables, (pero

relativamente benigno ya que casi siempre ocurre y no causa mucha pérdida de precisión.

Multicolinealidad (X3 = 2X2). Medición: Ver matriz de correlación entre las x´s).

Problemas: R2 alto pero los coeficientes individuales podrían tener elevados errores

estándares o t pocos significativos (regresión se ve bien pero las variables individuales no

son significantes). No se sabe la contribución individual de cada variable en el ajuste total de

la regresión. No afecta insesgamiento ni eficiencia (sigue siendo MELI) pero estimación se

vuelve poco precisa (elevados errores estándares de los estimados) se puede comparar las

salidas de máquina de las regresiones individuales y conjunta. Muchos econometristas

consideran que es un problema con la data que con el modelo o el método de estimación.

Solución: Matriz correlación simple entre los regresores si es >0,8 existe multicolinealidad 1)

si el modelo es adecuado (signo apropiado, estadísticamente significante). Ignorelo! 2)

elimine una de las variables colineales (pero algunos casos inaceptable ya que la variable es

necesaria para comprobar la teoría. 3) Transformación de la data (usar un cociente entre las

dos…ratio) y no use las variables individuales en la regresión… a veces no aceptable en

teoría financiera CONCLUS: PROBLEMA CON LA DATA NO CON EL MODELO..


127

Ejemplo multicolinealidad

128


La multicolinealidad cuando se presenta no afecta insesgamiento ni eficiencia de los estimadores

(siguen siendo MELI) pero es poco precisa. Tabla supra se denotan elevados errores estándares de

los coeficientes estimados. Se puede comparar las salidas de máquina de las regresiones individuales

y conjunta.

129

Consecuencia sobre Omisión de variables importantes: Los coeficientes

estimados de todas las otras variables será sesgadas e inconsistentes a menos

que no exista correlación entre las variables (View / Coefficient Test / Omitted

Variables–Likelihood Ratio) Ho=No omisiòn una variable. p-value=0 0%

probabilidad de que no se omite una variable. Es decir, la especificación de la

variable es la correcta (ejemplo págs. 150-152 texto Julio Fábris) View /

Coefficients Tests / Omitted Variables – Likelihood Ratio.

Consecuencia de la inclusión de una variable irrelevante: El valor esperado

de su parámetro tiende a cero…estimador consistente e insesgado pero no

eficiente. (Errores estándares inflados). Ho= variable redundante si p-value = 0,63

hay 63% probabilidad de que la variable es redundante.


130

Omitted Variables – Likelihood Ratio

View / Coefficient Tests / Omitted

Variables – Likelihood Ratio

Ho=No se está omitiendo la variable.

Redundant Variables – Likelihood Ratio

Ho = la variable consignada es

redundante

Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error

Test) … test que incluye:

Variable omitidas: la no inclusión de todas las variables relevantes

Forma funcional incorrecta: o sea que alguna de todas las variables debería ser

transformadas a logaritmos, potencias, recíprocos, etc.

Correlación entre las variables explicativas y el término de error: que puede

ser causada entre otras razones por errores de medición, presencia de variables

rezagados de la variable dependiente o correlación serial de las perturbaciones.

Cualquiera de estos errores determinará el sesgamiento e inconsistencia de los

estimadores MCO y la no validez de la inferencia estadística.

View- stability test / Ramsey RESET test…number of fitted: 2 es decir cuadrado y

al cubo de la variable dependiente pronosticada. Ho= especificación correcta p-

value=0,0000 0% probabilidad de que la especificaciòn es la correcta, es decir, no

es correcta.


135

Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error

Test) … test que incluye:

Por ejemplo, probemos lo que sucedería de haber especificado nuestro modelo

como:

Yt= α * X1tµ * X2t

λ* X3tλ *εt

Lo cual puede linealizarse como:

Log Yt= log(α) + µ log(X1t) + λ log(X2t) + λ log(X3t) +log(εt)

Para estimar el modelo, se debe incluir en la ventana: Equation Specification:


136

Especificaciòn de la variable: Ramsey RESET (regresion specification error

test) … test que incluye:


137

Especificación de la variable: Ramsey RESET (Regression Specification Error

Tst) … test que incluye:


138

View-stability test / Ramsey Reset test…number of fitted: 2 es decir

cuadrado y al cubo de la variable dependiente pronosticada. Ho=

especificación correcta p-value=0,0000 0% probabilidad de que la

especificación es la correcta, es decir, no es correcta.

Aparte de las estimaciones de

los coeficientes que son

completamente distintas de las

utilizadas en la creación de la

variable Y, un test RESET de

especificación cuya

Ho=especificación regresada es

la correcta, indicaría rechazar

este supuesto.

Ramsey RESET Test

Ho = Correctamente especificado

Test general de especificación del

modelo.. Es decir, indicaría rechazar

este supuesto.

Ho=especificación regresada es la

correcta…indicaría rechazar este

supuesto.

Pruebas de estabilidad de las variables: los parámetros β1 β2 β3 deberían ser

constantes para la muestra entera para que sea eficiente las estimaciones. Dividir

la data en sub períodos y estimar hasta tres modelos

Prueba de Chow: Estimar la regresión sobre el período completo y por los dos

subperíodos separadamente (3 regresiones) obtener RSS. Prueba F Prob debe

ser cercano a cero para que el resultado sea rechazar la Ho de no shocks en la

data (Ho = no break: α10 =α20, α11 =α21, etc. Ha = break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ) .

Luego de hacer la regresión … opción View / Stability Diagnostics / Chow Break

Point test.

Se ajusta la regresión para cada muestra y se determina si hay diferencias

significativas en las ecuaciones estimadas. En caso de haber diferencias

significativas se indica que hay un cambio estructural en la relación…Ejemplo:

determinar si la función de demanda por energía es igual antes y después del

shock.


Forecast

Quiebre=1996 Q1n1 n2 Quiebre=1996 Q1n1 n2

RSS3 / n2-k-1

140


Ejemplo:

p-value=0,3014 30,14% probabilidad de caer en Ho, es decir… no hay shocks!!!

Ejemplo:

p-value=0,0000 0,0% probabilidad de caer en Ho no hay shocks es decir hay shocks

141

Chow Forecast test: Similar Ho de no cambio estructural en la data o no shocks

(H0 = no break: α10 =α20, α11 =α21, etc. Ha=break: α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, ). Luego de

hacer la regresión … opción View / Stability Diagnostics / Chow Forecast Test.


Pvalue=0.8471 de probabilidad

de caer en Ho es decir no hay

cambio estructural.. Se puede

estimar

142


Pruebas: Hipótesis Nula – metodología Hipótesis Alterna

Prueba t Ho=α o β =0 Ha≠α o β≠0

Prueba F Ho=α=β=0 es como probar que H0: R2=0 Ha≠α≠β≠0

Multicolinealidad

(relación lineal entre

las variables

explicatorias)

a) R2 elevado pero pocas razones t

Significativas

b) Ver correlación entre regresores (>0,8 existe

multicolinealidad).

c) Efectuar regresiones auxiliares con las diferentes

variables explicatorias.

Nota: un R2 alto acompañado de

estadísticos t poco significativos podría

ser un síntoma de alta correlación entre

variables explicativas. Recomendación

eliminar alguna de las variables que

presentan alta correlación.

Cómo se elimina: Eliminando la

variable colindante.

HeteroscedasticidadView/Residual Tests /

White

heteroskedasticity (no

cross terms)

Aunque sean insesgados y consistentes deben

tener σ2 mínima. σ2 es el ruido estadístico mientras

menos sea más confiable es el valor obtenido.

Prueba de White o graficar residuos y ver

comportamiento (patrones: Gujarati p.401)

Ho=Modelo Homocedástico

Ha=modelo Heteroscedástico

Cómo se elimina: Aplicando logs o

incluyendo otra variable explicatoria.

Autocorrelación

(ACR) Relación

entre los residuales

View/residual

test/Serial

correlation LM test

a) Resid=resid(-1) y ver R2 si es alta hay ACR (ver

también scatter plot, si hay concentración hay ACR)

b) Breusch Godfrey (N*R2) p-value (Ho=No ACR

entre residuos)

c) Otra prueba: Durbin y Watson (D&W)Ho=No ACR entre residuos (a veces no muy

concluyente)

DW=0 ACR perfectamente (+)

DW=2 No autocorrelación en los

residuales

DW=4 ACR perfectamente (-)

Ha= existe ACR entre residuos

Cómo se elimina: Utilizando rezagos

(probar los más óptimos con los

criterios de Akaike y Shwarz) 143


Pruebas: Hipótesis Nula – metodología Hipótesis Alterna

Regresión Espúrea Diebold and Granger (Gujarati, 2006. pp 493)R2 > d (estadístico Durbin y Watson) -- Regresión

espúrea

Rule of Thumb to suspect

nonsense regression (non

stationary time series).

Normalidad

Residuos

Jarque Bera test:

Ho= Normalidad residuos

Normalidad… Kurtosis tiende a 3. (Kurtosis-3=0)

Ha=No Normalidad residuos

Cómo se elimina: Extraer

outliers a través del uso de

variables Dummys.

144

Resumen de Ho (se recomienda la aplicación del p-value al 95% nivel de

significación)


Pruebas: Hipótesis Nula –

metodología

Hipótesis

Alterna

Especificación del error de la regresión

(Test general de especificación del modelo). Trata tres cosas: a) variables

omitidas b) Forma funcional correcta (alguna o todas las variables deben ser

transformadas a logs, potencias, recíprocos, etc.) y c) Correlación entre X´s y

término error causada por errores medición, presencia variables rezagadas de

la variable dependiente o correlación serial de las perturbaciones.

View- stability test / Ramsey Reset test…number of fitted: 2 es decir

cuadrado y al cubo de la variable dependiente pronosticada.

Ramsey RESET Test

Ho = Correctamente

especificado

Test general de especificación

del modelo

O

similarmente:Ho=especificación

regresada es la correcta

RAMSEY RESET

Test

Ha = No

correctamente

especificado

Cambio estructural (Chow Breakpoint test) Ho= No cambio estructural en la

data o no shocks (no break: α10

=α20, α11 =α21, etc. Ha=break:

α10 ≠ α20, α11 ≠ α21, )

Ha=break: α10 ≠ α20,

α11 ≠ α21, )

Raíces Unitarias

(prueba de estacionariedad de las variables). Necesario que sean

estables (media y varianza constante). Estacionarias.

Prueba ADF (Dickey Fuller

Aumentado)

Ho = Raíz Unitaria (dato no

estacionario).

ADF

Ha ≠ Raíz Unitaria

(dato estacionario).

Variables omitidas Ho=No se está omitiendo la

variable.

Ha = Se está

omitiendo la

variable

Variables redundantes Ho = la variable consignada es

redundante

Ho = la variable

consignada no es

redundante145

Quick / Estimate Equation… y ajustemos en la

ventana Sample la muestra como 1993q1 a

2005q4 limitando nuestra muestra al 4 trim 2005

y con ella, realizamos la estimación de los

coeficientes del modelo

Para hacer pronóstico fuera de muestra:

Forecast .. forecast sample comenzamos con el

período siguiente al último de la muestra utilizada

para estimar los coeficientes.

Fuente: Fabris, Julio: ejemplo Capítulo 5 pbi resuelto capítulo 5.wf1

Pronóstico

146

Static Forecast

Static Forecast: El valor usado es el verdadero valor de la

variable (suponiendo que estén disponibles, con lo cual el

pronóstico, aunque se extienda por varios períodos, en

realidad es un pronóstico un período hacia adelante. (más

ajustado, ya que en realidad actualiza los verdaderos

valores del término AR(1) perído a período 147

Dinamic Forecast: Se usa el valor

pronosticado de la variable con lo cual los

errores aumentan. Tiene proporción de desvío

(bias) demasiado grande, con lo cual se

caracteriza por un mal pronóstico

Dinamic Forecast: Subestima sistemáticamente el valor de la variable pronosticada

148

Pronóstico


Mediciones de efectividad y error de pronóstico :

Error de pronóstico: Diferencia entre el valor pronosticado por el modelo y el

valor observado de la variable dependiente. Si llamamos T al último período

utilizado para estimar el modelo, los pronósticos se harán para los períodos

posteriores y, por lo tanto, el error de pronóstico se calculará para un período T+t

con t=1, 2, ….n Si el superíndice P refiere al valor pronosticado y el superíndice O

al valor efectivamente observado, el error de pronóstico será:

eT+t = YPT+t- YO

T+t

Evaluación de pronósticos: La magnitud que se tiene en cuenta para la

evaluación de los pronósticos es la varianza del error del mismo, la cual puede

medirse mediante la llamada Raíz del Error Medio Cuadrático de Pronóstico (RMS

– Root Mean Squared Error), que es simplemente la raíz cuadrada de dicha

varianza evaluada en el horizonte de pronóstico. Si n son los períodos que

constituyen dicho horizonte:

Forecast U de Theil

U de Theil (econometrista) varia entre cero y uno, correspondiendo valor cero a un pronóstico perfecto.

Se descompone en tres partes:

a) Proporción de desvío (Bias Proportion): Cuánto difiere la media de los valores pronosticados, respecto

a la media de los valores observados

b) Proporción de Varianza: Cuando difiere la varianza de los valores pronosticados, respecto de la

varianza de los valores observados.

c) Proporción de Covarianza (las tres suman 1): mide los errores de pronóstico no sistemáticos

remanentes.

Si el pronóstico es bueno, la proporción de Covarianza debería concentrar la mayor parte del error, mientras

que las proporciones de desvío y de varianza deberían ser pequeñas.149

Economy & Finance

Capítulos i y ii econometría aplicada a finanzas