Düzlemde Eğrisel Hareket

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ

Behcet DAĞHAN

www.makina.selcuk.edu.tr

DİNAMİK


İÇİNDEKİLER

1. GİRİŞ

- Konum, Hız ve İvme - Newton Kanunları

2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

- Doğrusal Hareket - Düzlemde Eğrisel Hareket - Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde) - Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi

3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ

- Kuvvet, Kütle ve İvme - İş ve Enerji - İmpuls ve Momentum

Behcet DAĞHAN



DİNAMİK

Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN



DİNAMİK

2KİNEMATİK


Düzlemde Eğrisel Hareket

Behcet DAĞHAN


MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ

DİNAMİK

2.2



2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 1Behcet DAĞHAN

Dinamik Maddesel Noktaların Kinematiği

v = d r

dt

O

r

r

vA

Yörünge

v

v d r//

v = ds

dt

O

AA'

ds

d r

r

s

Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.

= dt

| d r |

Yön :

Şiddet :

teğet

= s

Hareketin yörüngesi düzlemsel bir eğri ise o harekete düzlemde eğrisel hareket denir.

Mühendislik problemlerinin çoğunu düzlemde eğrisel hareket olarak incelemek yeterli olmaktadır.

HızHız

Yer değiştirme vektörü,konum vektöründekivektörel değişme

Yörünge üzerindekeyfi olarak seçilen bir orijinden (s = 0) itibarenyörünge üzerinden ölçülen konum

Yer değiştirme vektörü daima yörüngeye teğettir.Dolayısıyla:

Aradan geçen zaman dt kadar küçük olduğu içinA noktası ile A' noktası hemen hemen çakışıktır.Aradaki fark son derece küçüktür.Dolayısıyla | d r | = ds alınabilir.


konumdaki değişme

v

A A'

t t + dt

r r + d r

s s + ds

→→

→→

→ →

→

→

→

→

→ → →

→

→

→| d r | = ds→→

Yönleri aynıdır.

İvmeBehcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN


Yön :

Şiddet :


a = d v

dt

a d v//

a =

İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.

dt

| d v |

a ≠dt

dv

A'

vA

v '

d vv

v '

v v ' = v + d v

a

dv

| d v | ≠ dv = d | v |

İvme

d vv

v '

AYörünge

a

a =dt

dv Bu eşitlik sadecedoğrusal harekettegeçerlidir.

Behcet DAĞHAN


2.2. Düzlemde Eğrisel Hareket 2

A A'

t t + dt

r r + d r

s s + ds

→→

→

→→

→ →

→

→ →

→→

→ → →

→→

→

→

→ → →

→ → → →

→

Yönleri aynıdır.

!

Behcet DAĞHAN





O (0,0)

r

v

Yörüngev A

a

Kartezyen koordinatlar (x,y)Kartezyen koordinatlar (x,y)

x

y

rx

ry

x

y

i

j

rvx

vy

vy

vx ax

ay

ax

ay

r = rx + ry = x i + y j

r 2 = x 2 + y 2

v = vx + vy = vx i + vy j

v2 = vx2 + vy

2

a = ax + ay = ax i + ay j

a2 = ax2 + ay

2

v = r = x i + y j

vx = x

a = v = vx i + vy j

ax = vx

y = f(x)

tanθ = ––– = –––dy

dx

ρ =( 1 + y' 2 )

3/2

| y'' |

vx =dx dy

dt dtvy = ax =

dvx dvy

dt dtay =

ρ : Eğrilik yarıçapı

teğet

C : Eğrilik merkezi

Yörünge

vθ

Kartezyen koordinatlarda orijin ve eksenler keyfi olarak seçilebilir.

Geometriden:

y = f(x) fonksiyonunungrafiğinin eğrilik yarıçapı:

vy

vx

i ve j : Birim vektörler

Birim vektörlerinyönü ve şiddeti

zamanladeğişmediğinden

dolayı:

Düzlemde eğrisel hareketin, iki tane doğrusal harekete indirgendiği görülmektedir.


a

→

Yörünge

i = 0→ →

→ →→

→

→

→

→

→

→ →

→A (x,y)→

→→

→ → → → → → → → →

→ → → → → → → →

→

→

→

j = 0→ →

vy = y ay = vy

→→→→→




O (0,0)

r

v

Yörünge

v

a = g

x

y

rx

ry

x

yr

vx

vy

vy

vxA

r = rx + ry

r2 = x2 + y2 v2 = vx2 + vy

2

a = ax + ay

vx = v cosθy = f(x)

tanθ =θ>0

Eğik atışın kartezyen koordinatlarda incelenmesiEğik atışın kartezyen koordinatlarda incelenmesi

vy

vx

ρ : Eğrilik yarıçapı


teğet

Bu kutunun içindeki bağıntılarx-y eksenleri yandaki gibi

yatay ve düşey seçilirse geçerlidir.

a = |ay|

a = g = sb.

ay = − g = sb.

v = vx + vy

vy = v sinθ

a = ax + ay

0

θ

ax = 0

O

v

a = gx

y

vy

vxA

θ<0teğetv0vy0

vx0

θ0

yatay y = ymax

teğet

a = g

a0 = g

θ = 0

x = vx0 t

vx = vx0 = sb.

y = vy0 t − –– g t2

vy = vy0 − g t

12

vx0 = v0 cosθ0

vy0 = v0 sinθ0

v = vx

a2 = ax2 + ay

2

düşey

yatay

düşey

düşey

Behcet DAĞHAN



yatay

ρ = ρmin

!

→

→

→

→→

→

→ → → → → → → → →

→

→ → →

→ →

t = 0

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


a = g

Örnek Problem 2/5Örnek Problem 2/5

30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülenmenzili s yi hesaplayınız.

v0

xy

a = g

a0 = g

x = vx0 t

y = vy0 t − g t21

2

t = 0

A

s30 m/s

30o

30o

Bazı öğrenciler x-y eksenlerini seçerken yandaki gibieğik düzleme paralel ve dik olarak seçme eğiliminde olurlar.

Fakat bunu yaparken ivme bileşenlerinin değiştiğine dikkat etmedenx-y eksenlerinin yatay ve düşey seçildiği durumda kullanılan bağıntıları kullanırlar.

Halbuki x-y eksenleri yandaki gibi seçilirse ivme bileşenleri aşağıdaki gibi olur.

a = g

ay = − g cosα

θ0

yatay

α

αax = − g sinα

ax = ax0 = − g sinα

ay = ay0 = − g cosα

y = vy0 t − g cosα t21

2

x = vx0 t − g sinα t21

2

x-y eksenlerininbu şekilde seçilmesitavsiye edilmez.

s

ax = 0

ay = ay0 = − g

A (0,0)O

B

Bu bağıntılar, x-y eksenleri

yukarıdaki gibi seçilirsegeçerli değildir.

Behcet DAĞHAN



B

!

Yerçekiminden kaynaklanan ivme,daima düşeydir ve aşağıya yönelmiştir.

a = g

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s2

ax = ax0 = 0

a = g

vx0 = v0 cosθ0

vy0 = v0 sinθ0


30 m/s lik bir hızla şekildeki gibi fırlatılan bir cismin eğik düzlem üzerinden ölçülenmenzili s yi hesaplayınız.

Verilenler:Verilenler:

İstenenler:İstenenler:

g = 9.81 m/s2

s = ?

a = a0 (sabit)a = g

Yerçekimindenkaynaklanan ivmedaima düşeydir veaşağıya yönelmiştir.

v0

A (0,0)

B (xB, yB)

v0 = 30 m/s

θ0 = 60o

x

y

a = g

a0 = g x = vx0 t

vx0 = 30 cos60o = 15 m/s

y = vy0 t + ay0 t21

2B noktasında:

x = xB

y = yB

t = tB

} xB = vx0 tB yB = vy0 tB − g tB21

2

vy0 = 30 sin60o = 26 m/s

s = 61.2 m

ÇözümÇözüm

t = 0

A

B

s30 m/s

30o

30o

s

30o

30o

xB = s cos30o

yB = s sin30o

tB =vx0

xB

= vy0 −g

2

vx0 yB

xB vx0

xB

}= vy0 − g tB

1

2

yB

tB

yatay

düşey

Behcet DAĞHAN



O

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


ay = ay0 = − g = − 9.81 m/s2

ax = ax0 = 0

a = g

v0 = 120 m/s

vx0 = v0 cosθ0

vy0 = v0 sinθ0


Bir mermi şekilde görüldüğü gibi A noktasından fırlatılmıştır. Çarptığı B noktasının eğik düzlemüzerindeki uzaklığı s yi bulunuz. Uçuş süresi t yi de hesaplayınız.



A

B

s800 m20o

θ = 40o

g = 9.81 m/s2

s = ?

Yerçekimindenkaynaklanan ivmedaima düşeydir veaşağıya yönelmiştir.

v0

A (0,0)

B (xB, yB)s

800 m

20o

θ0

v0 = 120 m/s

θ0 = 40o

x

y

a = g

a0 = g

x = vx0 t

vx0 = 120 cos40o = 91.9 m/s

y = vy0 t + ay0 t21

2B noktasında:

x = xB

y = yB

t = tB

} xB = vx0 tB

yB = vy0 tB − g tB21

2

vy0 = 120 sin40o = 77.1 m/s

tB = t =vx0

xB

= vy0 − g tB1

2

yB

tB

= vy0 −g

2

vx0 yB

xB vx0

xB s = 1057 mg xB2 − 2 vx0 vy0 xB + 2 vx0

2 yB = 0

t = 19.5 s

xB = 800 + s cos20o

yB = − s sin20o

ÇözümÇözüm

}

t = 0

t1 = tA = 0t2 = tB = t

Behcet DAĞHAN



a = a0 (sabit)a = g

O

} Δt = t = ?

t harfi çoğunlukla içinde bulunulan anı göstermek için kullanılır.Ama bu problemde aradan geçen zaman Δt nin yerine de kullanılmıştır.Eğer göz önüne alınan zaman aralığının başlangıcı sıfır seçilebilirse o zamaniçinde bulunulan an ile aradan geçen zaman birbirine eşit olur. t = Δt olur.

x = vx0 t

y = vy0 t + ay0 t21

2

Buradaki t leriçinde bulunulan anı

gösterir.

a = g

içindebulunulan

an

aradangeçenzaman

→

→→

t = tB = Δt

!

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN



A pimi, hareketinin belirli bir aralığında, x-yönündeki hızı sabit ve 20 mm/s olan kılavuztarafından, sabitlenmiş parabolik yarık içerisinde hareket etmeye zorlanmıştır.Bütün boyutlar milimetre ve saniye cinsindendir.x = 60 mm iken A piminin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.



v = ?

vx = vx0

ÇözümÇözüm

vx = 20 mm/s (sabit)

a = ?

y =x2

160

Yörüngenin denklemi:160 y = x2

160 y = 2 x x

80 vy = x vx

80 vy = x vx + x vx

80 ay = vx2+ x ax

0

x = 60 mm

x = 60 mm iken:

80 vy = 60 (20)

vy | = 15 mm/s

80 ay = vx2

ay = 5 mm/s2 (sabit)

v2 = vx2 + vy

2 a2 = ax2 + ay

2

a = 5 mm/s2 (sabit)

80 ay = 202

v2 = 202 + 152

y, mm

x, mm60

Yörüngey = x2/160

v

22.5vx

vy

aa

x = 60 mm

v | = 25 mm/s

A (x,y)

Behcet DAĞHAN



a2 = ax2 + 52

0

→

→

a

A

y = vy

x = vx}

vy = ay

x = vx }vx = ax

O (0,0)

y =x2

160

ax = 0 (sabit)vx = sb. →

x = (y2/12) − 3 eğrisinin pozitif y-kolu üzerinde hareket eden bir maddesel nokta t = 0 iken y = 0 konumundan ilk hızsız olarak harekete başlamıştır.Hızının y-bileşeni de vy = 2t bağıntısı ile değişmektedir. Yukarıdaki bağıntılarda x ve y metre, t saniye ve vy m/s cinsindendir. y = 9 m ikenbu maddesel noktanın hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN





v = ?

vy = 2t

ÇözümÇözüm

x = (y2/12) − 3

a = ?

Yörüngenin denklemi:

y = 9 m iken:

v2 = vx2 + vy

2

a2 = ax2 + ay

2

a | = 9.22 m/s2

v2 = 92 + 62

a2 = 92 + 22

v

vx

vya

y = 9 m

v | = 10.8 m/s

A (x,y)

t = 0 iken:

y = y0 = 0

v = v0 = 0

∫ dy = ∫ 2t dt0

t

0

y

dy = vy dt

y = t2

x = (t4/12) − 3

vx = x

vx = t3/3

y = 9 m iken t = 3 s

vx = 9 m/s

vy = 6 m/sax = vx

ay = vy

ax = t2

ax = 9 m/s2

ay = 2 m/s2 (sabit)

y = 9 may = 2 m/s2

x = (y2/12) − 3

y, m

x, m

Yörünge

6

x = (y2/12) − 3

9

3.75

ax

ay

Behcet DAĞHAN



O (0,0)

}

}

→

→

y = t2}

vy = 2t }




vYörünge

Normal ve teğetsel eksenler Normal ve teğetsel eksenler

A

v = vn + vt = vn en + vt et

v = vt = vt et = v et

v =

Yörünge

A

B

Ct

t

t

n

n

n

tet

n

en

0

v = ρ β

ρ = AC : Eğrilik yarıçapı


A '

dβ

ds = ρ dβ

ρ dβ

dt

β daima pozitiftir.

Normal ve teğetsel eksenler maddesel nokta ile birlikte hareket ederler.

t-ekseni, daima yörüngeye teğettir ve hareket yönünde pozitiftir.

n-ekseni, ona dik ve yörüngenin içbükey tarafına doğru pozitiftir.

β

β : Eğrilik yarıçapının birim zamanda taradığı açı,

v = v et

v ve ρ daima pozitif olduğu içindönme yönünden bağımsız olarak

v =ds

dt

en ve et : Birim vektörler

eğrilik yarıçapının açısal hızı

Behcet DAĞHAN



→

→→

→

→

→ → → → →

→ → → →

→ →→

}

ds = ρ dβ

Hız vektörü, daima t-ekseni ile çakışıktır.




A Yörünge

aan

at

an

at

v = v et

a = v = v et + v et

et

en

t

n

a = an + at = an en + at eta2 = an

2 + at2

et = β en

an = v β = ρ β2 = –––v2

ρ

at = v = = ρ β + ρ β

1

1et

dβ

en

d et

et = d et

dt

d et // en

d et = |d et | en

d et = (1) dβ en

an daima pozitiftir.β

β

β : Eğrilik yarıçapının açısal ivmesi

et '

an daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.

dv

dt

Eğrisel harekette olduğunu görmüş oluyoruz.a ≠dt

dv

Behcet DAĞHAN



1

d et et

a→

→

→

→→→

→→

→ → →

→→

→→

→ →

→ → → → →

→ →

→ → → →

→

→

→

→

→

a = v β en + v et→ → →

→

v = ρ β

{↓



Behcet DAĞHAN


A

aan

at

an

atv = vt

t

n

a = an + at

a2 = an2 + at

2

an = v β = ρ β2 =v 2

ρ

at = v = ρ β + ρ β

β = α

Çembersel hareketin normal ve teğetsel eksenler ile incelenmesi :Çembersel hareketin normal ve teğetsel eksenler ile incelenmesi :

+O

A

Yörünge

vt

n

β = ω

+O

R : Çemberin yarıçapı

β = ω

ρ = R = sb.

v = R ω

v = ρ β

an = v ω = R ω2 =v 2

R

at = R α

v

Çembersel harekette açısal hız sabit ise :

a = an

a = an

a = v ω = R ω 2 =v 2

R

v ┴ a

Yörünge

ρ = R = sb.

Behcet DAĞHAN




a


→ →

→

→

→→

→ → →

→ → → →}β = ω = sb.v = sb. at = 0

Buradaki eğrilik yarıçapı ρ ilekonum vektörünün şiddeti rbirbirine karıştırılmamalıdır.

ρ ≠ r

ρ = AC

r = OA

Bir mermi yatayla 30o lik açı yapan 360 m/s lik bir hızla ateşlenmiştir. Yörüngesinin, ateşlendikten 10 s sonraki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN





ρ = ?

ÇözümÇözüm

t = 10 s anında:

v0 = 360 m/s

θ0 = 30o

O (0,0)

r

v

Yörünge

a = g

x

y

rx

ry

rx = x

ry = y r

vx

vy

y = f(x)

θ



θ

vy = vy0 − g t

t = 0

vy0 = v0 sinθ0

vy0 = 360 sin30o

vy0 = 180 m/s

vy = 81.9 m/s

g = 9.81 m/s2

t = 10 s anında:

vy > 0 olması merminin çıkış yaptığını gösterir.

an = v 2

ρvx = sb. = vx0 = v0 cosθ0

vx = 360 cos30o = 311.8 m/s (sabit)

v 2 = vx2 + vy

2

v = 322.4 m/s

n

t

an = a cosθ

tanθ =vy

vx

θ = 14.72o

an = a cosθ

an = 9.49 m/s2

an

v 2

ρ =

ρ = 10 953 m

t = 10 s

v0

vx0

vy0

θ0

Behcet DAĞHAN



A (x,y)

!→

→

→

Düzlemde eğrisel hareket yapan bir maddesel noktanın konumunun koordinatları zamana bağlı olarak x = 2t2 + 3t − 1 ve y = 5t − 2 bağıntıları ile verilmiştir.Burada x ve y metre ve t saniye cinsindendir. t = 1 s anında eğrilik merkezi C nin koordinatlarını bulunuz.

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN





ÇözümÇözüm

av 2 = vx2 + vy

2

tanθ =vy

vx

an = a sinθ

an

v 2

ρ =

x = 2t2 + 3t − 1

y = 5t − 2

t = 1 s anında:

vx = x

vy = y

vx = 4t + 3

vy = 5 m/s (sabit)

ax = x

ay = y

ax = 4 m/s2 (sabit)

ay = 0 (sabit)

t = 1 s anında:

x = 4 my = 3 mvx = 7 m/svy = 5 m/s vvy

vx

θ

O x, m

y, m

4

3

t

n

C : Eğrilik merkeziyC

xC

A

v 2 = 74 (m/s)2

θ = 35.54o

an = 2.32 m/s2

a 2 = ax2 + ay

2

a = 4 m/s2 (sabit)

ρ = 31.83 m

xC = ρ sinθ + 4

θ

yC = − ( ρ cosθ − 3)

xC = 22.5 m

yC = − 22.9 m

Behcet DAĞHAN



a 2 = ax2 + ay

20xC = ?

yC = ?

ρ = AC : Eğrilik yarıçapı_

ax

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN





ÇözümÇözüm

an =v 2

ρ

a 2 = an2 + at

2

Bir nümerik kontrol cihazına ait bandın hareketinin yönü, şekildeki gibi A ve B makaraları ile değiştirilmektedir.Bandın hızı, makaralardan 8 m lik kısmının geçmesi esnasında, düzgün bir şekilde 2 m/s den 18 m/s ye çıkmaktadır.Bandın hızı 3 m/s olduğunda B makarası ile temas eden bant üzerindeki P noktasının ivmesinin şiddetini hesaplayınız.

Δs = 8 m

at = sb.

v1 = 2 m/s

v2 = 18 m/s

rA = 100 mm

rB = 150 mm

v = 3 m/s olduğunda:

a = ?

an =v 2

rB

v = 3 m/s an = 60 m/s2

v dv = at ds

s1

s2

Bandın, B makarasınasarılı kısmında bulunanbir nokta için:ρ = rB

∫ v dv = at ∫ ds

Bandın hızı düzgün birşekilde artıyor.

O halde bandın üzerindebulunan bir nokta için:

}

Δs = 8 m

at = 20 m/s2

v1

v2

a = 63.2 m/s2

(sabit)

v = 3 m/s olduğunda:

Behcet DAĞHAN



←

→

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN





ÇözümÇözüm

x-y düzleminde hareket eden bir maddesel noktanın konum vektörü r = 20 t2 i + (20/3) t3 j şeklinde verilmiştir. Buradaki r milimetre ve t saniyecinsindendir. t = 2 s anında maddesel noktanın bulunduğu konumdaki yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu hesaplayınız.

t = 2 s anında:

a

v 2 = vx2 + vy

2 an = a cos(45o + 26.6o)

an

v 2

ρ =

vx = x

vy = y

vx = 40 t ax = 40 mm/s2 (sabit)

ay = 40 t

ax = x

ay = y

vvy

vx

O x, mm

y, mm t

n

A

v 2 = 12 800 (mm/s)2

an = 28.23 mm/s2

a 2 = ax2 + ay

2

ρ = 453 mm

ρ = ?

r = 20 t2 i + (20/3) t3 j

r = x i + y j

x = 20 t2

y = (20/3) t3

r = 20 t2 i + (20/3) t3 j} }

x y

vy = 20 t2

t = 2 s anında:

vx = 80 mm/s

ax = 40 mm/s2 (sabit)

ay = 80 mm/s2

vy = 80 mm/s

80

45o

ay

ax

45o

26.6o

an

Hız vektörü daimat-ekseni ile çakışıktır.

160

3

İvme vektörü ven-ekseni daima

yörüngenin içbükeytarafına yönelmiştir.

an daima pozitiftir.

r

1

1

1

2

a = 40 √ 5 mm/s2

Behcet DAĞHAN



→ → → →

→ → →

→ → →

→ → →

veya

an = −ax sin45o + ay cos45o




vYörünge

A

v = vr + vθ = vr er + vθ eθ

v = r = r er + r er

er

v 2 = vr2 + vθ

2

θ er = θ eθ

er = = d er

dt

d er = |d er | eθ

θ açısı yönlü bir açıdır. Daima sabit eksendenhareketli eksene doğru yönlenmiştir.

O

r

θ

eθ

vr

vθ

vr

vθ

r

r

r = r er

v = r er + r θ eθ

er

eθ

1

1

dθ

d er

d er = (1) dθ eθ

d er // eθ

vr = r vθ = r θ

θ : r ekseninin birim zamanda taradığı açı, r ekseninin açısal hızı

Zaman geçtikçe : θ açısı artıyorsa : θ > 0

θ açısı değişmiyorsa : θ = 0

θ açısı azalıyorsa : θ < 0

Keyfi olarak seçilensabitlenmiş birreferans ekseni

Orijin (pole=kutup)keyfi olarak seçilenbir noktadır.

r ekseninin pozitif tarafı, θ açısının ölçüldüğü taraftır.

r ekseni, daima konum vektörü ile çakışıktır.Maddesel nokta daima r ekseni üzerindedir.Pozitif tarafta da olabilir negatif tarafta da olabilir.

er '

θ

er ve eθ : Birim vektörler

θ-ekseninin pozitif yönü,θ-açısı için seçilen

artış yönündedir.

Behcet DAĞHAN



v

1

d er er

Polar koordinatlar (r,θ) Polar koordinatlar (r,θ)

→ →

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→→

→→

→ → →

→ →→

→

→ →

→ → → → →

←

↓→ →

→ → → →

→ → →

r : r koordinatında, birim zamanda meydana gelen değişme, r koordinatının değişme hızı

r

Koordinat↓

Konum vektörü↓

Konum vektörünün şiddeti olan r daima pozitiftir,

ama koordinat olan r pozitif veya negatif olabilir.

r = OA__

↓dθ eθ

→

dt

Yönleri aynıdır.




a

aθ

ar

aθ

ar

a = v = r er + r er + r θ eθ + r θ eθ + r θ eθ

a = ar + aθ = ar er + aθ eθ

Yörünge

A

θ

O

r

θ

rr

a2 = ar2 + aθ

2

v = r er + r θ eθ

eθ = θ ( – er )

eθ = d eθ

dt

d eθ = | d eθ | ( – er )

– er

eθ

1

1

dθ

d eθ

d eθ = (1) dθ ( – er )

d eθ // ( – er )

a = ( r – r θ 2 ) er + ( r θ + 2 r θ ) eθ

ar = r – r θ2 aθ = r θ + 2 r θ

r : r koordinatında birim zamanda meydana gelen değişmedeki birim zamanda meydana gelen değişme; r koordinatının değişme ivmesi

θ : r ekseninin birim zamanda taradığı açıdaki birim zamanda meydana gelen değişme; r ekseninin açısal ivmesi

er = θ eθeθ = – θ er

eθ '

θ

θ

er

eθ

Behcet DAĞHAN



↓

1

d eθ eθ

→

→

→

→ →

→ → → → →

→

→

→

→ → →

→ → → → → → →

→ →

→ → →

←→→

→ →

→ →

→ →

→ → →

→ →

↓

vr = r

vr = r

drvr = ––dt

dvrvr = –––dt

} vr dvr = vr dr

r dr = r dr}

aYönleri aynıdır.

r

ar ≠ vr

aθ ≠ vθ

!




r

θ

v

vθ

vr

v'vθ'

vr'

dt kadar zaman aralığında hız vektörünün yönünde ve şiddetindemeydana gelen değişimlerin ivme terimlerindeki karşılıkları

vθ'

vr'

dθ

dθ

ar = r – r θ 2

drdθr

dθr θ

aθ = r θ + r θ + r θ

d(r θ)

d(r θ) = dr θ + r dθ

d vr

d vθ

Yörünge

er

eθ

Behcet DAĞHAN



vr = r

vθ = r θ

→

→

→

→

vr nin boyundaki değişme

vθ nın boyundaki değişme

vr nin yönünüetkileyen terim

vθ nın yönünüetkileyen terim

vr nin boyunuetkileyen terim

vθ nın boyunuetkileyen terimler

vθ nın yönündeki değişme

vr nin yönündeki değişme

ar ≠ vr

aθ ≠ vθ

!

Verilenler: Çözüm

İstenenler:

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/13 Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/13

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

Behcet DAĞHAN


Bir itfaiye aracının merdiveni, sabit l = 150 mm/s hızı ile uzamakta ve sabit θ = 2 deg/s oranında yükselmektedir.θ = 50o ve l = 4 m konumuna erişildiğinde A daki itfaiyecinin hızının ve ivmesinin şiddetini bulunuz.

l = 150 mm/s (sabit)

θ = 2 deg/s (sabit)

θ = 50o

l = 4 m } v = ?a = ?

r = OA = 6 m + l

r = l (sabit) r = l = 0

θ = 2 deg/s = 2 (π/180) rad/s

θ = 0

v 2 = vr2 + vθ

2 a2 = ar2 + aθ

2

vr = r

vθ = r θ

ar = r − r θ 2

aθ = r θ + 2 r θvr = 150 mm/s

vθ = 104 (π/90) = 349 mm/s

v = 380 mm/s

ar = 0 − 104 (π/90)2

ar = − 104 (π/90)2

ar = − 12.2 mm/s2

aθ = 0 + 2 (150) (π/90)

aθ = 10.5 mm/s2

a = 16 mm/s2

O

θ = 50o

rθ

r

A

l = 4 m iken

r = 6 + 4 = 10 m

ar

vr

a

aθ

v

vθ

l = 4 m iken

r = OA


Yörünge

→

→θ = π/90 rad/s (sabit)

r = 104 mm

Verilenler:Çözüm

İstenenler:

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/14 Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/14

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

Behcet DAĞHAN


θ = ?

vr = r

vθ = r θ

ar = r − r θ 2

aθ = r θ + 2 r θ

ar = 0

aθ = 0

O

θ

Av

r

Doğrusal bir yörünge üzerinde hareket eden A maddesel noktası, şekilde görülen konumdan

v = 100 m/s lik sabit şiddette bir hızla geçmektedir. Bu andaki r, θ, r ve θ değerlerini bulunuz.

r

r2 = 802 + 802

y

x

30o

80 m

80 m

x = 80 m

y = 80 m

v = 100 m/s (sabit)

α = 30o

r = ?

r = ?

θ = ?

O

Av

y, m

x, m

15o

80

80

θ = 45o

rθ

vr

vθ

r = − 96.6 m/s

θ = 0.229 rad/s

r = 80 √ 2 m

Doğrusal harekette hızın şiddeti sabit ise ivme sıfırdır.İvme sıfır ise, herhangi bir doğrultuya dik izdüşümü de sıfırdır.

0 = r − r θ 2

0 = r θ + 2 r θ

r = 5.92 m/s2

θ = 0.391 rad/s2

vr = − v cos15o

vθ = v sin15o

}

}}

}


Yörünge

θ = 45o

a = 0

v = sb. → a = 0

r

Behcet DAĞHANŞekildeki AB kolu, β açısının sınırlı bir aralığında dönmekte ve A ucu, yarıklı AC kolunun da dönmesine sebep

olmaktadır. β nın 60o ve sabit olan β nın da 0.6 rad/s olduğu şekilde görülen anda r, r, θ ve θ değerlerini bulunuz.

Örnek Problem 2/15

Verilenler:Çözüm

İstenenler:

Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/15

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

Behcet DAĞHAN


θ = ?

θ

r

ar

vr

a

aθ

v

vθ

AB = R = 150 mm

BC = 150 mm

r = ?

r = ?

θ = ?

r = 77.9 mm/s

θ = − 0.3 rad/s

r = − 13.5 mm/s2

θ = 0150 mm

θ = 60o

β = 0.6 rad/s (sabit)

β = 60o iken :

β = 60o

β

B

C

A

60o

A noktası AB yarıçaplı çembersel bir yörünge üzerinde sabit bir açısal hız ilehareket etmektedir. Dolayısıyla A nın hızı da sabit şiddettedir, AB koluna diktir vedönme yönündedir. İvmesi de hızına dik ve çemberin merkezi B ye yönelmiştir.

O

rv = R ω

v = 90 mm/s

30o

a = R ω2

a = 54 mm/s2

ar = r − r θ 2

aθ = r θ + 2 r θ

ar = − a cos60o

aθ = − a sin60o

vr = v cos30o

vθ = − v sin30o

}

}

r = 150 mm R = 150 mm

}

}


β = ω

vr = r

vθ = r θ

ρ = R

Çembersel yörünge

θ

t

Behcet DAĞHANBir roket düşey düzlemde yer alan bir yörüngede ilerlerken A noktasındaki bir radar tarafından izlenmektedir.

Belirli bir anda, radar ölçümleri şunlardır: r = 10.5 km, r = 480 m/s, θ = 0 ve θ = − 0.0072 rad/s2.

Roketin yörüngesinin bu andaki eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.

Örnek Problem 2/16

Verilenler:Çözüm

İstenenler:



Örnek Problem 2/16

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

Behcet DAĞHAN


θ

r

vr

aθ

v

r = 10.5 km

θ

A

O

r

aθ = r θ + 2 r θ

θ = 0

r = 480 m/s

θ = − 0.0072 rad/s2

ρ = ?

t

ρ = ACan

n

aθ = − 75.6 m/s2

an = | aθ | = 75.6 m/s2

vθ = 0 olduğu için

(an daima pozitiftir.)

ρ = 3048 m


Yör

ünge

an =v 2

ρ


vr = 480 m/s

vr = r

vθ = r θ } v = 480 m/s

v 2 = vr2 + vθ

2

vθ = r θ = 00

__

r

Behcet DAĞHAN


Behcet DAĞHAN


a

aθ

arYörüngeA

θ

O

r

θ

r

r

ar = r – r θ 2

aθ = r θ + 2 r θ

θ

vYörüngeA

θ

r

θ

vr

vθ

r

r

θ

n

t

C

β

vx

vy

y

x

v 2 = vx2 + vy

2 = vr2 + vθ

2

ρ = ACn

t

C

ρ = AC

β

vr = r

vθ = r θ

an

at

vx = x

ay

ax

vy = y v = ρ β

a 2 = ax2 + ay

2 = an2 + at

2 = ar2 + aθ

2

ax = vx = x

ay = vy = y

an = v β = ρ β 2 =v 2

ρ

at = v

v = vx + v y = vt = vr + vθ a = ax + ay = an + at = ar + aθ

Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.

β daima pozitiftir. an daima pozitiftir.

Hız vektörü daima t-ekseni ile çakışıktır.

v = vt

Behcet DAĞHAN



İvme vektörü daima yörüngeniniçbükey tarafına yönelmiştir.

O

→

→ →

→

→

→ → → → → → → → → → → → →

→→

→

→ →

→

→y

x

→ →

r r

Behcet DAĞHANÖrnek Problem 2/17

Verilenler:

Çözüm

İstenenler:

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/17

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

an

tanθ = 400/1000

an =v 2

ρ

v

vθ

θ

O

Behcet DAĞHAN


Düşey olan (r-θ) düzleminde yer alan eğrisel yörüngesinin en alt konumunda iken P uçağının yerdenyüksekliği 400 m ve yatay olan hızı 600 km/h tir. İvmesinin yatay bileşeni yoktur. Yörüngesinin eğrilikyarıçapı 1200 m dir. O noktasındaki radar tarafından kaydedilen r nın bu andaki değerini bulunuz.

v = 600 km/h

ρ = 1200 m

r = ?

r

n

t

rθ

a = an

yatay

düşeyİvmenin yatay bileşeni olmadığı için:

an = 23.15 m/s2

θ = 21.8o

θ

ar

θ

Hız vektörü daima yörüngeye teğettirve t-ekseni ile çakışıktır.

Maddesel nokta,yörüngesinin en alt konumunda bulunduğu içinyörüngesinin teğeti yataydır.

vθ = r θ

vθ = − v sinθ } θ = − 0.0575 rad/s

r2 = 4002 + 10002

a

ar = r − r θ 2

ar = a sinθ } r = 12.16 m/s2

P

r = 1077 m

ρ


Yörünge

İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir

a = 23.15 m/s2

↑


Verilenler:Çözüm

İstenenler:

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/18

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

an

an =v 2

ρ

v

vr

θO

Behcet DAĞHAN


v = 30 m/s

a = 8 m/s2

r = ?

r

r

θ

ar

vθ = r θ

vθ = v cos30o } θ = 0.325 rad/s

a

ar = r − r θ 2

ar = − a cos60o } r = 4.438 m/s2

P

Göz önüne alınan anda, düzlemde eğrisel hareket yapan P maddesel noktası şekilde görüldüğü gibi O kutbundan

80 m uzaklıktadır. Maddesel noktanın hızı ve ivmesi şekilde verilmiştir. Bu anda r, r, θ ve θ değerlerini, ivmenin

n ve t bileşenlerini ve yörüngenin eğrilik yarıçapı ρ yu bulunuz.

r = ?

θ = ?

θ = ?

r = 80 mHız vektörü daima yörüngeye teğettirve t-ekseni ile çakışıktır.

t

vθ

n

30o

30o

30o

vr = rr = 15 m/s

vr = v sin30o }

aθ = r θ + 2 r θ

aθ = a sin60o } θ = − 0.0352 rad/s2

aθ

30oan = a cos30o an = 6.93 m/s2

at = a sin30o at = 4 m/s2an = ?

at = ?

ρ = 129.9 m

ρ = ?

an daima pozitiftir.

ρ

θ

at


Yörünge

θ

r


Verilenler:Çözüm

İstenenler:

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/19

Verilenler:

İstenenler:

Çözüm

vθ

θ = 30o

O

Behcet DAĞHAN

r

r

θ

ar

θaθ

ar = r − r θ 2 = − 338 mm/s2

P

Şekildeki robot kolu, aynı anda hem yükselip hem de uzamaktadır. Verilen bir anda, θ = 30o,

θ = 10 deg/s = sb. l = 0.5 m, l = 0.2 m/s ve l = − 0.3 m/s2 dir. Robot kolun tuttuğu P parçasının

hızının ve ivmesinin şiddetini hesaplayınız. Ayrıca hız ve ivmeyi i ve j birim vektörleri cinsinden yazınız.

v = ?

a = ?

θ = 30o

θ = 10 deg/s (sabit)

θ = (π/18) rad/s

l = 0.5 m

l = 0.2 m/s

l = − 0.3 m/s2

v = vx i + vy j a = ax i + ay j

aθ = r θ + 2 r θ = 70 mm/s2

v 2 = vr2 + vθ

2

a 2 = ar2 + aθ

2

v = 296 mm/s

a = 345 mm/s2

x

y

vr

θ

vx = vr cosθ − vθ sinθ = 64 mm/s

vy = vr sinθ + vθ cosθ = 289 mm/s

ax = − | ar | cosθ − aθ sinθ = − 328 mm/s2

ay = − | ar | sinθ + aθ cosθ = − 108 mm/s2

θ

i

j

a = − 328 i − 108 j mm/s2v = 64 i + 289 j mm/s

θ = sb. → θ = 0

θ

vθ = r θ = 218 mm/s

r = 0.75 m + l

r = l = 200 mm/s

r = l = − 300 mm/s2

vr = r = 200 mm/s

v = vx i + vy j

a = ax i + ay j



→ →

→

→

→

→ → →

→ → →

→ → →

→ →→ → →

→ → →

r = 0.75 + 0.5 = 1.25 m = 1250 mm

l = 0.5 m iken:

r


Verilenler: 1. Çözüm

İstenenler:

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN

Behcet DAĞHAN


Örnek Problem 2/20

Verilenler:

İstenenler:

1. Çözüm

a tanθ =| at |

an

an = = v 2

ρ

vy = v0 (sabit)

vvy

vx

θ

O

Behcet DAĞHAN


Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğrukaldırılmaktadır. θ = 30o iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.

ρ = R = 250 mm

ρ (sabit)

θ = 30o iken:

v0 = 2 m/s (sabit)

θ

x

y t

A

at

anv0

ay = vy} ay = 0

a = ax + ay

0

θ

v 2

R

v0 = v cosθ}

θ = 30o iken:

an = 21.33 m/s2

at = − 12.32 m/s2

Yörünge

n

İvme vektörü daimayörüngenin içbükeytarafına yönelmiştir.

at nin negatif yönde olduğuşekilden görülmektedir.

Hız vektörü daimayörüngeye teğettir vet-ekseni ile çakışıktır.


ax

→

→ → →

an = ?

at = ?

R


Verilenler:

İstenenler:



Örnek Problem 2/20

Verilenler:

İstenenler:

an = ––– = ––– v 2

ρ

vv0O

Behcet DAĞHAN


Şekildeki mekanizmada, A piminin çembersel yarık içerisindeki hareketi B kılavuzu tarafından kontrol edilmektedir.B kılavuzu, hareketinin belirli bir aralığında bağlı olduğu vida vasıtası ile v0 = 2 m/s lik sabit bir hızla yukarı doğrukaldırılmaktadır. θ = 30o iken A piminin ivmesinin normal ve teğetsel bileşenlerini hesaplayınız.

ρ = R = 250 mm

ρ (sabit)

θ

A

v 2

R

v0 = v cosθ

θ = 30o iken:

an = 21.33 m/s2

at = − 12.32 m/s2

θ

v0 = v cosθ

v0 = v cosθ + v (− sinθ θ )

at = v

v = ρ β = R β

ββ = | θ |

Zaman geçtikçe θ azaldığı için θ negatiftir.

Ama β daima pozitiftir, negatif olmaz.} θ = − 9.24 rad/s

v = − 12.32 m/s2

θ = 30o iken:

ρ

R

d(cosθ)

dt

d(cosθ)

dθ

dθ

dt––––––– = ––––––– ––– (Zincir kuralı)


2. Çözüm2. Çözüm

θ = 30o iken:

v0 = 2 m/s (sabit)

an = ?

at = ?

Yörünge

0 }

v = 2.31 m/s

θ

→

C

Documents

Düzlemde Eğrisel Hareket