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Dosier módulo I
Dosier módulo IIII
Módulo III
Contenidos UNIDAD I: TRIGONOMETRÍA 1.1 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Relación entre el seno y el coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Funciones trigonométricas de ángulos peculiares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Identidades trigonométricas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 UNIDAD II: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 2.1 Triángulo oblicuángulo. Ley del seno. Ley del coseno . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Identidades trigonométricas II. Fórmulas de adición . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Ecuaciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 UNIDAD III: TRASFORMACIONES EN EL PLANO 3.1 Simetrías centrales y ortogonales. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Traslaciones. Actividades. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Rotaciones en el plano orientado. Actividades. Propiedades . . . . . . . . . . 39 3.4 Composición de transformaciones. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 UNIDAD IV: HOMOTECIAS 4.1 Homotecias: Teoremas Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Homotecia de guras geométricas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Problemas de Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ANEXO. Razones trigonométricas para ángulos agudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 El círculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Introducción En este módulo se estudian los aspectos espaciales del mundo físico que pueden ser tratados con el lenguaje ylos conceptos de la trigonometría y las transformaciones geométricas en el plano. La trigonometría estudia la relación entre los lados y ángulos de un triángulo, ante la necesidad de medirdistancias tanto a nivel de la tierra como astronómicas. Posteriormente ha tenido desarrollos vinculados con elanálisis matemático, como es la representación trigonométrica de las funciones periódicas y como soluciones enecuaciones diferenciales relacionadas con el movimiento ondulatorio. Los movimientos o transformaciones en el plano estudian los efectos geométricos de las traslaciones, reflexiones,giros y homotecias para obtener una mejor comprensión en el campo del arte, la estética y las matemáticas.
Contenido del módulo El contenido del presente módulo se ha estructurado teniendo como base los documentos siguientes: 1) El material deautoformación e innovación docente para matemática de primero y segundo año de bachillerato publicados porel Viceministerio de Ciencia y Tecnología, y 2) El curso de Trigonometría y transformaciones geométricas en el plano,impartido en el año 2011 bajo el Programa de Especialización para Docentes de Tercer Ciclo de Educación Básica yBachillerato. El objetivo principal es fortalecer los conocimientos teóricos, didácticos y habilidades matemáticas sobre latrigonometría y las transformaciones geométricas, de las y los docentes. Se trata de desarrollar capacidadespara enfrentarse con pertinencia y eficacia a la comprensión y solución de los problemas didácticos de latrigonometría y las transformaciones geométricas, e involucrarse en los procesos de innovación de la enseñanzay el aprendizaje de estas disciplinas. Para ello, se propone una metodología activa, participativa y reflexiva, quepromueve la implicación de las y los participantes en actividades individuales, grupales y situaciones comunicativas. El módulo consiste en un conjunto de actividades temáticas diseñadas para ser desarrolladas conjuntamenteentre formador y docentes, y se ha estructurado en cuatro unidades. Cada unidad se divide en subunidades con temáticas afines, y contiene un resumen de la teoría básica y una listade problemas y ejercicios, cuya resolución ha de ser pautada en la carta didáctica de cada jornada. En la Unidad I se introducen conceptos básicos de razones trigonométricas, identidades y aplicaciones decontexto y desarrollo matemático. En la Unidad II se estudian las leyes de senos y cosenos y sus aplicaciones matemáticas y de contexto. En la Unidad III se revisan los movimientos geométricos referidos a simetría axial y ortogonal, las traslaciones ylas rotaciones. Se estudia esta temática mediante el desarrollo de actividades manipulativas y de análisis,infiriendo y/o demostrando propiedades, se resuelven además problemas de contexto en matemáticas. En la Unidad IV se estudian de forma básica las homotecias en el plano, revisando las homotecias de recta ysegmentos, triángulos y circunferencias, analizando y/o demostrando propiedades generales de homotecias. Finalmente se resolverán problemas de homotecias.
¿Cómo desarrollar el módulo? El modulo se desarrollará mediante actividades presenciales, virtuales y de práctica docente en ocho semanas.Para la las actividades presenciales se recomienda retomar los procedimientos y los indicadores de logro de cadauna de las unidades, establecidos en el descriptor del módulo, allí se indica de manera secuencial el orden en elque se debe trabajar la base teórica y la resolución de problemas. Para el desarrollo de cada sesión de trabajoretomar las sugerencias metodológicas establecidas en cada una de las unidades del descriptor del módulo,estas se complementarán con una carta didáctica semanal, donde se establecerá de manera específica loscontenidos, objetivos, actividades a desarrollar, el tiempo requerido, la evaluación y los recursos.
Objetivos de la lección
Deducir los valores de las funciones
trigonométricas para los ángulos peculiares y
cuadrantales.
Conocer las relaciones entre el seno y el coseno.
Identificar el seno y el coseno con el círculo
unitario.
Pre-saberes
La circunferencia.
Rectas notables de un triángulo: Altura, BisectrizMediana y Mediatriz.
Áreas de Triángulos.
Teorema de Pitágoras.
Descripción
En la presente lección se estudian las razonestrigonométricas en un triángulo rectángulo, larelación entre el seno y el coseno, las funcionestrigonométricas de ángulos peculiares y cuadrantales, se plantean ejemplos de aplicación y se incluyen demostraciones de identidadespitagóricas.
Contenido
1.1 Razones trigonométricas en un triángulo
rectángulo. 1.2 Relación entre el seno y el coseno.
1.3 Funciones trigonométricas de ángulos
peculiares.
1.4 Funciones trigonométricas de ángulos
cuadrantales. 1.5 Identidades trigonométricas I.
1.5.1 Identidades fundamentales.
1.5.2 Identidades Pitagóricas.
Ejercicios, Prueba de Conocimientos y Bibliografía.
figura 5.1: Ruinas del Tazumal
El término Trigonometría proviene de las palabras
griegas: Trigono y Metron, que quieren decir: Triángulo
y Medida
Competencias a desarrollar
1. Manejar los elementos matemáticos básicos
(distintos tipos de números, medidas, símbolos,
elementos geométricos, etc.).
2. Integrar el conocimiento matemático con otros
tipos de conocimiento.
3. Interpretar con claridad y precisión informaciones,
datos y argumentaciones.
4. Seleccionar las técnicas adecuadas para calcular, representar e interpretar la realidad a partir de la información disponible
5. Identificar situaciones cotidianas que requieren la aplicación de estrategias de resolución de problemas.
UNIDAD I: TRIGONOMETRÍA
- 1 -
1.1 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la medición de los triángulos". Deriva de los términos griegos (τριγωνο) “trigono” que significa triángulo y (μετρον) que significa “medición”.
La trigonometría es una de las ramas más antigua de la matemática; estudia las relaciones entre los
ángulos y lados de los triángulos y para ello utiliza las funciones trigonométricas (seno, coseno,
tangente, cotangente, secante y cosecante).
Aunque los antiguos griegos, como Hiparco y Ptolomeo, usaban trigonometría en su estudio de astronomía entre el 150 A.C. y el 200 D.C., su historia es mucho más antigua. Por ejemplo el escriba egipcio Ahmes registró algunos cálculos trigonométricos rudimentarios (acerca de las proporciones de los lados de las pirámides) en el famoso Papiro de Rhind cerca del 1650 A.C. Incluso Ahmes dijo haber copiado el papiro de un trabajo aún más antiguo que posiblemente data del 3000 A.C.
Definiciones
Para cualquier ángulo agudo y un triángulo rectángulo cualquiera ,ABC el seno de ,
abreviado ,sen es la razón de la longitud del lado opuesto del ángulo y la longitud de la
hipotenusa del triángulo, ver figura 1.6. Sea:
: longitud del lado adyacente; : longitud del lado opuesto; : longitud de la hipotenusa a b c
Luego: b
senc
De manera similar tenemos el coseno, tangente, cotangente,
secante y cosecante del ángulo , que se abrevian y definen
de la siguiente manera:
cos a
c b
tana
cot
a
b sec
c
a csc
c
b
Figura 1.6
Figura 5.6
O b s e r v a q u e
De acuerdo con la definición y csc ; b c
senc b
note que1
; csc
sen además note que
1 1cos tan ,
sec cot
y por esta razón las funciones cotangente, secante y cosecante
reciben el nombre de recíprocas y así conociendo el valor del seno y coseno, podemos
conocer el resto ya que también tan .cos
b
b sencaa
c
- 2 -
Ejemplo 1
Dada la siguiente figura; encuentre los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos
, .
Utilizando la definición tendremos que:
5 12 12 5 5 12, ; cos , cos ; tan , tan ;
13 13 13 13 12 5 sen sen
13 13 13 13 12 5csc , csc ; sec , sec ; cot , cot .
5 12 12 5 5 12
Figura 1.7
Figura 1.9
Ejemplo 2
Encuentre la longitud de la sombra que un árbol proyecta, si se sabe que su altura es de 20 metros y
su parte más alta con el suelo forman un ángulo de 40 .
Primeramente construimos un dibujo que se adecúe a las condiciones del problema, como lo
muestra la Figura 1.8 y llamemos x a la longitud de la sombra y consideremos ahora el triángulo
rectángulo ABC que se muestra en Figura 1.9.
Nótese que de nuestra nueva figura, necesitamos relacionar en el triángulo rectángulo ,ABC el
lado adyacente y opuesto al ángulo; y la razón que nos funciona es la tangente de dicho ángulo, así:
20tan 40 ,
AB
BC x de donde
20x
tan 40
Utilizando la calculadora, tan 40 0.8391 entonces 20
23.83.0.8391
x
Tarea. Con este método calcula la altura de una persona y la de un edificio. Dibuja un esquema.
Figura 1.8
- 3 -
Figura 1.11
Figura 1.12
Figura 1.13
Teorema 1.1 Si 90 entonces cos y cos . sen sen Demostración
La condición 90 garantiza que se trata de un triángulo
rectángulo; luego consideremos la siguiente figura:
Nótese que cos x
sen h y cos ,
ysen
h lo que
completa la prueba.
Para evitar ambigüedades, representaremos 2 2 2
( ).( ) ( ) ( ) sen sen sen sen sen
Teorema 1.2 Para cualquier ángulo se cumple la identidad 2 2
cos 1. sen
Demostración Consideremos un triángulo rectángulo ABC , que incluye el
ángulo :
Supongamos que los lados tienen longitudes y ,a b y la
hipotenusa tiene longitud c .
Entonces 2 22 2
2 2
2cos ;
a ba bsen
c c c pero por
el teorema de Pitágoras sabemos que 2 2 2 , a b c así la suma de las fracciones es igual a 1; esto es
2 2cos 1 sen .
1.3 Funciones trigonométricas de ángulos peculiares
Usualmente no es fácil encontrar el valor de las funciones trigonométricas, dadas las medidas del
ángulo, pero existen algunos ángulos especiales en los que no es difícil
encontrarlas:
Ejemplo 4
Encontrar cos30
Al usar nuestra definición del coseno de un ángulo, podemos
considerar un triángulo rectángulo con uno de sus ángulos
agudos de 30 ; partiendo un triángulo equilátero de lado dos
unidades en dos triángulos iguales. Tal como se ilustra en la
figura 1.13.
Figura 1.10
1.2 Relación entre el seno y el coseno
Ejemplo 3
En la siguiente figura 5
cos 7
, ¿cuál es el valor del sen ?
Por definición .AC
senAB
El valor de esta razón es 5
,7
el
mismo que cos . ¿Es esto una coincidencia?, el siguiente
teorema nos da la respuesta.
- 4 -
Figura 1.14
En el triángulo equilátero hemos trazado la altura BH y por tanto 1AH , ya que la altura es
mediana de su base y además es bisectriz de su ángulo. Utilizando el Teorema de Pitágoras
encontramos la longitud de la altura que es 3 , por tanto utilizando la definición:
3cos30
2
BH
AB
Nótese además que de esta construcción hemos encontrado mucho más, podemos conocer los
valores para el seno, tangente, cotangente, secante y cosecante de 30 , y también conocer los
valores para 60 , lo cual se resumirá en una tabla más adelante.
Otro ángulo del que podemos encontrar el valor de las seis
funciones trigonométricas es 45 , para lo que consideraremos un
cuadrado de lado 1:
En el cuadrado anterior hemos trazado la diagonal ,AC en la cual
utilizamos el Teorema de Pitágoras para calcular su longitud
2 21 1 2AC y utilizando el ABC podemos encontrar los
valores de las funciones trigonométricas.
1 1 145 ; cos 45 ; tan 45 1
12 2
BC AB BC
senAC AC AB
cot 45 1; sec45 2; csc45 2
AB AC AC
BC AB BC
Así hemos obtenido los valores de las funciones trigonométricas para tres ángulos especiales
30 , 45 60 ; y lo cual se resume en la siguiente tabla:
sen cos tan cot sec csc
30°1
2
3
2
3
3 3
2 3
3 2
45°2
2
2
2 1 1 2 2
60°3
2
1
2 3
3
3 2
2 3
3
Observe en la tabla anterior que cos30 60 y cos60 30 ; sen sen correspondiéndose con el
Teorema 1.1
- 5 -
Figura 1.15
Figura 1.16 Figura 1.17
1.4 Funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales
En esta parte encontraremos los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos
0 , 90 , 180 , 270 , los cuales reciben el nombre de ángulos cuadrantales por coincidir con los
ejes coordenados en el plano cartesiano.
¿Cuál será el valor de 90sen ?
Para responder a esta pregunta, haremos un análisis de la siguiente figura:
En los triángulos anteriores podemos observar que a medida que el ángulo se va acercando a 90 ,
el cociente del lado opuesto y la hipotenusa se va acercando a uno ya que las longitudes de las
mismas tienden a ser iguales. Para el coseno vemos que el cociente del lado adyacente y la
hipotenusa se irá acercando a 0.
Mientras que por otro lado la tan90 , no existe ya que el cociente tiene la forma
lado puestotan 90
lado adyacente , luego si lado adyacente 0 se tendrá que
lado puestotan90
0
puesto que la división por cero no está definida decimos que la tangente de90 no existe. En
resumen:
90 1, cos90 0, sen tan90 no está definida, cot90 0, sec90 no está definida y
csc90 1.
Veamos ahora un análisis más formal, utilizando el concepto de circunferencia. Tracemos una
semicircunferencia de radio igual a la unidad, como se muestra a continuación:
Figura 5.11 Figura 5.12
- 6 -
En las figuras anteriores hemos tomado un punto cualquiera A de la semicircunferencia e
indiquemos por el ángulo, tracemos desde el punto A la perpendicular ,AB utilizando las
respectivas definiciones de las funciones trigonométricas y considerando que el valor de la
hipotenusa es 1, tenemos para cualquier punto sobre la semicircunferencia el triángulo
determinado por los respectivos lados adyacentes y opuestos son y x y respectivamente.
Luego podemos definir ,1
y
sen y cos ,1
x
x 1
tan cot = tan
, cos
x
y
sen y
x
1 1sec y csc .
x y
Así tendríamos el valor de las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera.
En particular podemos tomar los ángulos de 0 , 90 , 180 y 270 los cuales se pueden
representar por los puntos (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1) respectivamente. En resumen se tiene:
1.5 Identidades trigonométricas Una identidad es una igualdad que se cumple para cualquiera que sea el valor que toma la variable,
siempre que los miembros de la igualdad estén bien definidos.
Para nuestro caso especial, estaremos trabajando con expresiones que contienen funciones
trigonométricas; de ahí el nombre de identidades trigonométricas; ya conocimos algunas, por
ejemplo: las relaciones entre el seno y el coseno, y la reciprocidad entre el seno, coseno, tangente
con la cosecante, secante y cotangente respectivamente, ahora estudiaremos más a fondo las
relaciones entre las distintas funciones trigonométricas.
1.5.1 Identidades fundamentales
Aquí tenemos expresiones que ya hemos mencionado anteriormente, entre ellas las recíprocas:
1 1 1 1 1 1 csc cos sec tan , cot
csc sec cos cot tan, , , ,
sen
sen
Función 0° 90° 180° 270°
sen 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0
tan 0 No existe 0 No existe cot No existe 0 No existe 0
sec 1 No existe -1 No existe
csc No existe 1 No existe -1
I
- 7 -
Por otro lado también tenemos las identidades cociente:
costan y cot
cos
sen
sen
de las que ya hemos hablado al principio, y se debe de estar consciente de todas las combinaciones
posibles que se pueden hacer con los despejes para no tener problemas a la hora de aplicarlos en
los ejercicios.
Ejemplo 5
Si 2
tan 5
, encuentre el valor numérico de 2cos
cos 3
sen
sen
Supongamos que tenemos un triángulo rectángulo bien definido; luego dividimos la expresión entre
cos
cos 2 82 2
tan 2cos cos 5 5 8cos 6 11 3 tan
3 1cos cos 5 5
sen
sen
En este ejemplo tenemos una aplicación directa de la identidad cociente; como vemos muy útil para
simplificar expresiones más complicadas.
1.5.2 Identidades pitagóricas
De éstas conocimos ya una identidad, y es la que se dedujo en el Teorema 1.1, que establece que
para cualquier ángulo agudo 2 2
, cos 1 sen .
De la última ecuación También podemos obtener:
2 2 2 21 tan sec 1 cot csc
Para su deducción partimos de la relación 2 2
cos 1 sen , para obtener la primera relación
dividimos toda esta expresión por 2
cos obteniendo:
2 2
2 2 2
cos 1 ;
cos cos cos
sen
2 2 2cos 1
cos cos cos ;
sen
2 2 2 2
tan 1 sec ; 1 tan sec .
- 8 -
Para obtener la segunda relación dividimos por2sen :
2 2
2 2 2
cos 1;
sen
sen sen sen
2 2 2cos 1
;
sen
sen sen sen
2 2 2 2
1 cot csc ; 1 cot csc .
Ejemplo 6
Demuestre la siguiente identidad 2tan sec 1 sec 1
Como 2 2 2 2 1 tan sec tan sec 1 sec 1 sec 1
Finalmente se tiene la identidad.
Ejemplo 7
Demuestre la identidad
21 cos
1 cos 1 cos
sen
Es de resaltar que en este tipo de ejercicios, puede trabajarse cualquiera de los dos términos o
ambos simultáneamente, pero eso dependerá de la naturaleza del ejercicio, para nuestro caso
trabajaremos el lado derecho:
2 2 2
2 2 2
1 cos 1 cos1 cos 1 cos
1 cos 1 cos1 cos 1 cos 1 cos
sen sen
En el ejemplo anterior hemos usado la identidad pitagórica del seno y el coseno.
Ejemplo 8
Demostrar la siguiente identidad 2 2
2
2
2cos 1
cot
sensen
En estos problemas se aconseja trabajar el lado más complicado de la ecuación, así como también
pasar a senos y cosenos el resto de funciones.
- 9 -
Simplificando el lado izquierdo de esta expresión tenemos:
2 2 2 2 2 2
2 22
2 2
2cos 1 cos cos 1 1 cos 1
cos coscot
sen sen
sen sen
2
2 2
2
cos,
cos
sen sen así se tiene la identidad.
Ejemplo 9
Sea x un número real tal que sec tan 2 x x , evaluar sec tan .x x
Sabemos que x un número real tal que 2 2 2 2
1 tan sec ; 1=sec tan x x x x
Así 1 1
1= sec tan sec tan ; sec tan .sec tan 2
x x x x x xx x
S a b í a s q u e:
La trigonometría se util iza para calcular con muchísima precisión el lanzamiento de un misil.
Se usa en la Topografía, para conocer distancias, coordenadas y medidas angulares. Gracias a
ello actualmente, la posición sobre la tierra de un objeto, animal o persona se puede determinar usando el sistema de posicionamiento global (GPS de EUA) y el de Rusia denominado GLONASS (Global'naya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema )
Lanzamiento de Misil Ruso Topol M http://warcyb.org.ru/_nw/2/95908617.jpg Figura 1.18
Lanzamiento Soyuz-2-1B (GLONASS-M/Kosmos-2478)
http://4.bp.blogspot.com/-
7ISphhw0RsU/TtU4fbKUtPI/AAAAAAAAj9w/60zTBJ2
qSJU/s1600/SAV_2270-1.jpg
- 10 -
Figura 1.19
Figura 1.20
1. Dada la siguiente figura:
a. Encuentre una razón para el sen
b. Exprese h en términos de y sen b c. Exprese el área del ACB en términos de , y .b c sen
d. Exprese el área del ACB en términos de , y .a c sen
e. Demuestre que: sen sen
a b
f. Exprese la longitud de la altura de a A BC en términos de y .c sen
g. Exprese la longitud de la altura de a C AB de dos formas distintas.
h. Concluya que:
sen sen sen
a b c
Esta relación es llamada la ley del seno.
2. Encuentre el valor de cos , si es agudo y 5
7 sen
3. Pruebe que cos 2 sen
4. Muestre que cos 1sen para cualquier ángulo agudo .
5. Para qué valores de , cos 2. sen
1. Encuentre la altura de un árbol si su sombra proyectada mide 10 metros y el ángulo formado
por la parte más alta del árbol con el suelo es de 45 .
E j e r c i c i o s
ss
E x a m e n d e C o n o c i m i e n t o s
s
- 11 -
2. La siguiente figura ACDE es un cuadrado de lado 1 y el ABC es equilátero:
a. Muestre que 12
BED
.
b. Calcule BH y deduzca que: tan 2 3.12
c. Utilice identidades trigonométricas para calcular
el área del .ABC
3. Demuestre las siguientes identidades:
3 3 2
2
cos 1 tan sec 2 tan. 1 cos .
cos 1 tan 2 sec
sen x x xa sen b
sen x x
4. Explique brevemente, ¿por qué es importante el estudio de la trigonometría?
1. Canjura, C. (2011). Manual Número 5 del proyecto “Actualización y especialización
docente”. San Salvador, El Salvador: Universidad de El Salvador.
2. De Guzmán, M. (1990). Matemáticas de 2º de Bachillerato. Barcelona, España: Editorial
Araya.
3. Gelfand I.M. y M. Saul. (2001). Trigonometry. USA: Birkhäuser.
4. Titu, A. y Feng, Z. (2005). 103 Trigonometry Problems. USA: Birkhäuser.
B i b l i o g r a f í a
Figura 1.21
- 12 -
Figura 2.1
Objetivos
Deducir las fórmulas del seno, coseno y tangentede la suma de dos ángulos.
Resolver ecuaciones trigonométricas aplicandoidentidades.
Resolver problemas relacionados con triángulosoblicuángulos.
Pre-saberes
Casos de factoreo. Resolución de ecuaciones de primer y segundogrado. Áreas de triángulos. Teorema de Pitágoras.
Descripción
Se definen los triángulos oblicuángulos y se re-suelven aplicando las leyes del seno y del coseno; se analizan las identidades trigonométricas de ángulos negativos, se demuestran las fórmulas de adición y las identidades para ángulos dobles y triples, se resuelven ecuaciones trigonométricas y se presentan algunas aplicaciones y ejercicios.
Contenido
2.1 Triángulo oblicuángulo. Ley del seno. Ley del coseno 2.2 Identidades trigonométricas II. Fórmu-
las de adición 2.3 Ecuaciones Trigonométricas.
Ejercicios, Examen de Conocimientos, y
Bibliografía.
En las ecuaciones trigonométricas intervienen
funciones trigonométricas, que son periódicas
esto genera espacios de solución en muchos
casos hasta complejos. Para resolver
una ecuación trigonométrica se harán
transformaciones necesarias para trabajar con
una sola función trigonométrica, para se
utilizarán identidades trigonométricas
fundamentales.
Competencias a desarrollar
Saber argumentar, cuantificar y
analizar críticamente la información.
Representar y comunicar información.
Resolver y enfrentarse a problemas.
Usar técnicas e instrumentos matemáticos.
Modelar e Integrar los conocimientos adquiridos.
UNIDAD II: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
- 13 -
Figura 2.2
2.1 Triángulo oblicuángulo. Ley del seno. Ley del coseno
Ley del Seno
En todo triángulo oblicuángulo ,ABC designado de la manera usual, se cumple que:
sen sen sen
a b c
Dicha ley se puede utilizar para resolver los casos siguientes:
Ley del coseno:
2 2 2 2 cosAa b c bc
2 2 2 2 cosb a c ac B
Figura 2.3
Caso I: se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
Figura 2.4
Caso II: se conocen un ángulo y sus
lados opuesto y adyacente.
Observa que si uno de los ángulos
fuese 90°, el tercer término de la
ecuación se eliminaría y se obtiene
el Teorema de Pitágoras.
En un triángulo oblicuángulo ninguno de sus
ángulos es recto, por lo que no se puede resolver
directamente por el teorema de Pitágoras; para
resolverlos se utilizan la ley del seno y la ley del
coseno, así como también el hecho que la suma de
todos los ángulos internos de un triángulo suman 180
grados.
- 14 -
2 2 2 2 cosc a b ab C
Con esta ley se pueden resolver los casos siguientes:
Ejemplo
En la siguiente fotografía se observan los avances en las obras de mitigación en la carretera
Panorámica Santa Cruz Analquito, en el departamento de Cuscatlán. Se midieron los ángulos de
ambas laderas respecto a la línea horizontal, obteniéndose 63° para la izquierda y 45° para la
derecha. También se determinó que la longitud de la declinación izquierda es de 20 metros.
Calcular la longitud de la declinación derecha.
Figura 2.7 Figura 2.8
Fuente: La Prensa Gráfica Multimedia, 2012.
Solución
Esta situación corresponde al caso I, donde se conocen dos ángulos y un lado del triángulo
oblicuángulo, por lo que se utilizará la ley del Seno para resolver el problema.
Figura 2.5
Caso III: se conoce un ángulo y sus
lados adyacentes.
Figura 2.6
Caso IV: se conocen los tres lados
del triángulo.
45 63
20
sen sen
b ;
6320 25
45
senb m m
sen
- 15 -
2.2 Identidades Trigonométricas II. Fórmulas de adición
Para obtener identidades trigonométricas a partir de
nuestra definición de seno y coseno de un ángulo dentro
del círculo unitario, primero observamos que los puntos de
dicho círculo asociados a , , y son
los vértices de un rectángulo, suponiendo que los ejes de
coordenadas son los ejes de simetría, como muestra la
Figura 2.9
Figura 2.9
De esta observación podemos hacer una lectura directa, para obtener las siguientes identidades:
cos cos , cos cos y cos cos y para el seno
, sen y s .sen sen sen en sen
2.2.1 Comprobación de las Fórmulas de Adición
En esta parte veremos que sensen sen y cos cos cos , es
decir, que estas igualdades, en general no son ciertas; por ejemplo:
Para 90 ; 90 90 180 0.sen sen sen
Por otra parte sen 90 90 1 1 2.sen sen sen
Y así tenemos que el seno de una suma de ángulos, en general no es igual a la suma de senos.
Ahora veamos el siguiente teorema que nos dice la respuesta.
Teorema 2.1
Sean , ángulos cualesquiera, entonces se cumple:
cos cos y cos cos cossen sen sen sen sen
- 16 -
Demostración
Primero demostraremos la fórmula de adición para
sen donde , son ángulos agudos y
también lo es , necesitaremos dos
triángulos rectángulos; uno conteniendo un ángulo
agudo y el otro conteniendo a :
Figura 2.10
Ahora superponemos los triángulos de la siguiente manera para representar la suma de los
ángulos:
Figura 2.11 Figura 2.12 Figura 2.13
Cada una de las figuras anteriores da una prueba diferente de la fórmula, pero sólo abordaremos
las pruebas para las figuras 2.11 y 2.12; la prueba para la figura 2.13 quedará como ejercicio
para el lector.
Demostración
Comenzaremos con la figura 2.11, vamos a calcular el seno
de la suma de los ángulos y .
De la figura obtenemos , a e
sen senc d
.
Ahora trazamos la recta DQ perpendicular a AC .
Figura 2.14
- 17 -
Ahora podemos escribir:
sen DQ
q , pero DQ , que está relacionado con ,sen no está relacionado con las
razones representativas para ,sen y sen luego para establecer una relación dividimos DQ en
dos partes, trazando una perpendicular desde B , como muestra la figura 2.15
senp q p q p a
d d d d d
Vamos a relacionar p a
yd d
, con .sen y sen
. cosa a c
send c d
. cosp p e
send e d
Figura 2.15
Uniendo todos los resultados tenemos:
. . cos cosa c p e
sen sen senc d e d
lo que completa la primera parte.
Veamos ahora el coseno de la suma:
cos AQ AC QC AC QC AC BP
AD AD AD AD AD AD
. . cos cosAC AB BP BD
sen senAB AD BD AD
.
- 18 -
Segunda demostración
Para nuestra segunda demostración, usaremos un resultado adicional referente al área de un
triángulo:
El área de un triángulo es iguala al producto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo
entre ellos.
Figura 2.16
En la figura 2.16 tenemos dos triángulos rectángulos, uno que contiene un ángulo agudo y el otro que contiene el ángulo ; ahora si nosotros tenemos un lado común, obtenemos un nuevo
triángulo, con un ángulo igual a :
Según la figura cada hipotenusa de los triángulos rectángulos es un lado de nuestro nuevo
triángulo, en el cual hemos construido una altura, que es un lado común de nuestros triángu los
rectángulos; por tanto haciendo uso de la figura y de la propiedad de área de un triángulo tenemos:
El área del triángulo ABC es 1 2c c sen
Ahora calcularemos el área de este triángulo usando métodos de geometría elemental; la compara-
ción de esos dos resultados nos dará nuestra fórmula.
Sean 1 2 BD b y DC b . Y del triángulo rectángulo ABD obtenemos:
1
1
bsen
c
Así 1 1b c sen . Similarmente en el triángulo ACD , sea 2 2b c sen . Del triángulo rectángulo
ABD obtenemos 1 cosh c y del triángulo rectángulo 2; cosADC h c .
Usando estas relaciones, podemos expresar el área del triángulo ABC como sigue:
- 19 -
1 2 1 2
1 1 1 1.
2 2 2 2AD BC h b b hb hb
2 1 2 1
1 1cos cos
2 2c c sen c c sen
Igualando nuestras dos expresiones para el área del triángulo ABC tenemos:
1 2 2 1 1 2
1 1 1cos cos
2 2 2c c sen c c sen c c sen
Dividiendo ahora esta expresión por el factor 1 2
1
2c c obtenemos el resultado deseado.
La demostración para coseno de la suma queda para el lector.
Corolario 1
Sean , ángulos cualesquiera entonces se cumple:
cos cos y cos cos cossen sen sen sen sen
Demostración
Puesto que cos( ) ( )cossen sen sen sen
cos cos ,sen sen
lo que demuestra la primera parte.
Para la segunda parte nótese que:
cos cos ( ) cos cos( ) ( ) cos cos ,sen sen sen sen lo
que completa la demostración.
Ejemplo 1
Encontrar el valor de 75 cos75 .sen y
Solución
Puesto que 45 30 75 , podemos hacer uso de las fórmulas de adición para el seno y el
coseno, donde ya sabemos el valor de las seis funciones trigonométricas para estos ángulos.
- 20 -
2 3 2 1
75 45 30 45 cos30 cos 45 30 . .2 2 2 2
sen sen sen sen
6 2 6 2
4 4 4
Ahora, de manera similar para el coseno:
2 3 2 1
cos75 cos 45 30 cos 45 cos30 45 30 . .2 2 2 2
sen sen
6 2 6 2.
4 4 4
Ejemplo 2
Demostrar que 2
1 cot 231 cot 22
Solución
Es equivalente a demostrar 1 cot 23 1 cot 22 2
Luego pasamos todo a términos de seno y coseno:
cos 23 cos 22 23 cos 23 22 cos 221 1 .
23 22 23 22
sen sen
sen sen sen sen
Luego, utilizamos el hecho que:
2 23 45 2( 23 cos45 cos23 45 ) 23 cos23sen sen sen sen
2 22 45 2( 22 cos45 cos22 45 ) 22 cos22sen sen sen sen
Sustituyendo tenemos que la expresión se reduce a: 22 23
2 . 2.23 22
sen sen
sen sen
Nótese la importancia de estas nuevas fórmulas, ya que permiten conocer el valor de
las funciones trigonométricas de nuevos ángulos.
- 21 -
2.2.2 Fórmula para la Tangente de una Suma
Ahora vamos a demostrar que tan tan
tan .1 tan tan
Utilizando la identidad cociente de la tangente y las fórmulas de adición del seno y el coseno
tenemos:
cos cos
tancos cos cos
sen sen sen
sen sen
Ahora dividimos el numerador y denominador por cos cos
Así se tiene que tan tan
tan .1 tan tan
Por otro, lado también hemos encontrado un fórmula para la cotangente de una suma de ángulos ;
ya que :
1 11
1 1 tan tan cot cotcot
1 1tan tan tan
cot cot
1 1 cot cot 11
cot cot 1cot cot cot cot
1 1 cot cot cot cot
cot cot cot cot
.
Note toda la información que hemos obtenido gracias a las fórmulas de adición del seno y el coseno,
el resto de propiedades son mucho más sencillas de obtener.
- 22 -
2.2.3 Fórmulas para el ángulo doble
Si nosotros conocemos cossen y podemos encontrar los valores de 2 cos2 .sen y
Sabemos que:
cos cos cos cos cossen sen sen y sen sen
haciendo tenemos:
2 2
2 cos cos 2 cos
cos 2 cos cos cos cos
sen sen sen sen sen
sen sen sen
Observe que la fórmula para cos(2 ) es muy interesante, como 2 2cos 1 sen podemos
escribir 2cos2 1 2 .sen
Similarmente, como 2 21 cossen podemos escribir
2cos2 2cos 1.
Ejemplo
Simplificar 4 2 2 24cos cos 4sen x x x sen x
Solución
Utilizando la identidad pitagórica del seno y el coseno la expresión anterior se transforma en:
2 2
4 2 2 2 2 24 1 cos 4 1 cos 2 2 cossen x sen x x x sen x x
2 2 2 22 2 cos cos cos2sen x x x sen x x
2.2.4 Fórmulas para el ángulo triple
Ahora encontraremos las fórmulas para 3 3sen y cos .
Para 3sen :
3 2 2 cos cos2sen sen sen sen
- 23 -
2 3 32 cos2 2cos 1 3 4 3 4sen sen sen sen sen sen
Para cos3 :
cos3 cos 2 cos2 cos 2sen sen
2 2 32cos 1 cos 2 cos 4cos 3cos .sen
Finalmente para la tangente tenemos:
32
2
2
2 tan tan
tan 2 tan 3tan tan1 tantan 3 .2 tan1 tan 2 tan 1 3tan
1 tan1 tan
2.3 Ecuaciones TrigonométricasEn esta parte, utilizaremos las identidades anteriores para simplificar lo más posible las ecuacio-
nes; que en este caso involucran expresiones trigonométricas:
2.3.1 Ecuaciones de la forma 12senx
Ejemplo
Encuentre todos los valores de x para los cuales se cumple 1
2senx .
Solución
Sabemos que 6x
cumple la ecuación anterior,
además según la figura también 5
6x
, pero si
desde cualquier punto del círculo trigonométrico se realiza una rotación completa, se regresa al mismo punto de partida, por lo que el seno del ángulo descrito originalmente y el ángulo que se forma luego de la rotación son exactamente los mismos. Así para la primera de nuestras soluciones
Figura 2.14
- 24 -
26 6
sen sen
, de donde 13
26 6
x
es otra solución a nuestra ecuación. Ya
que podemos repetir este mismo proceso de manera indefinida (Es decir; podemos dar tantas
rotaciones completas como nos plazca y siempre llegaremos al mismo punto de partida), podemos
decir que a partir de la solución 6
x
se pueden obtener infinitas soluciones de la forma
26
x k
; donde k es un número entero cualquiera. Aplicando esta misma idea a la segunda
de las soluciones obtenidas anteriormente, podemos decir ahora que las soluciones de la ecuación
son: 5
2 26 6
x k ó x k
Donde k es un número entero.
Note que el método utilizado en el ejemplo anterior es similar al que se utilizaría para resolver
ecuaciones con coseno o tangente; y pueden ser descrito en los siguientes pasos:
1. Llevar la ecuación a la forma , cos , tansenx a x a x a .
2. Encontrar las soluciones entre 0 2y de estas ecuaciones simples. Para esto se puede
utilizar :
( ) ( ); cos( ) cos( ) tan( ) tan( )sen x sen x x x y x x . Utilizar la propiedad
periódica de las funciones; para que a partir de una solución específica 0x se pueda
obtener la solución general 0 2x x k
2.3.2 Ecuaciones de la Forma cos cosA x B x C
Ejemplo 1
Resuelva la ecuación cossenx x
Solución
Si dividimos la ecuación entre cos x
1 tancos
senxx
x
Luego tenemos que una solución particular es 0 4
x
; así la solución general es:
0 4
x x n n
, para cualquier entero n .
- 25 -
Ejemplo 2
Resuelva la ecuación cos2senx x
1ª Solución
Reescribimos la ecuación anterior de la siguiente forma 22
senx sen x
Donde podemos distinguir dos casos:
Primer caso: si 2 22
x x n
de dónde 2
6 3x n
. Con lo que se tiene la
primera solución.
Segundo caso: tenemos que 2 22
x x n
de donde 22
x n
2ª Solución
Ya vimos que2cos2 1x sen x , así podemos reescribir la ecuación de la siguiente manera:
22 1 0sen x senx
Es decir una ecuación cuadrática cuyo variable es senx , la cual podemos expresar como el
producto:
2 1 1 0senx senx
Ahora analizamos cada factor por separado:
Para 1
2 1 0; 2
senx senx
Así la solución será 5
2 26 6
x n ó x n
para cualquier entero n .
Para 1 0; 1senx senx
Así la solución será 3
2 2
x n
para cualquier entero n .
Note que en estos últimos casos se tenía una solución particular.
- 26 -
Observe que para los ejemplos tratados anteriormente se han resuelto ecuaciones de la forma
cosA x Bsenx C
A continuación se describe un método general para la solución de dichas ecuaciones. Para esto
suponga que un triángulo rectángulo tiene por catetos A y B , los coeficientes de sen x y
cos x en la ecuación dada; su hipotenusa será entonces2 2A B , luego dividimos la ecuación
por este valor, resultándonos
2 2 2 2 2 2cos
A B Cx senx
A B A B A B
Los coeficientes en esta nueva ecuación son coordenadas de un punto en la circunferencia unitaria
y por lo tanto se pueden identificar con el seno y el coseno de un ángulo asociado a dicho punto.
Existen dos posibilidades, de acuerdo a cuál coeficiente será considerado abscisa y cuál de ellos
como la ordenada.
Por ejemplo, si hacemos 2 2 2 2
cos ; A B
senA B A B
La ecuación puede ser escrita en la forma: 2 2
cos cosC
x sen senxA B
De donde las soluciones de la ecuación original se reducen a las soluciones de la ecuación
2 2
cosC
xA B
Note que esto nos dice que para que la ecuación original tenga solución debe cumplirse
2 21 1
C
A B
Observe que la selección de cossen y fue arbitraria. También pudo haberse establecido que
2 2 2 2s ; cos
A Ben
A B A B
en cuyo caso la ecuación se transforma
2 2
cos cos .C
sen x senx sen xA B
- 27 -
UNIDAD III: TRASFORMACIONES EN EL PLANO
Las transformaciones geometricas son aplicaciones del plano en el plano tal que a cada punto deun plano le hace corresponder otro punto del mismo plano. Las transformaciones geometricas per-miten deducir una nueva figura de la primitivamente dada. El trasformado se le llama Homologodel original.
Podemos clasificar las transformaciones en funcion del aspecto de la figura homologa respecto a laoriginal en:
Isometrıas: Un movimiento o isometrıa es una transformacion que preserva todas las dis-tancias y por ello preserva el tamano y la forma (dimensiones y los angulos). Estudiaremosla simetrıa central y axial, traslaciones y rotaciones.
Isomorficas: Estas trasformaciones conservan la forma de la figura original (los angulos) yexiste proporcionalidad entre las dimensiones de la figura original y la homologa. Estudiare-mos la homotecia.
3.1. Simetrıas centrales y ortogonales. Propiedades
Estudiaremos en este apartado dos tipos de simetrıas, las centrales y las axiales. En las primeras lasimetrıa ocurre respecto a un punto denominado centro, mientras que en las segundas la simetrıase da respecto a una recta que es denominada eje de simetrıa.
3.1.1. Simetrıas Centrales
Considere los puntos del plano P y un punto C que denominaremos centro. La simetrıa central decentro C es una transformacion del plano que envıa cada punto P del plano en otro punto P ′ delplano de manera tal que el punto C es el punto medio del segmento PP ′, es decir, PC = CP ′.
P C P ′
Vamos aplicar esta transformacion a varios elementos geometricos. Iniciemos por un segmento.Al segmento PQ le apliacremos la simetrıa respecto al punto C, para ello basta aplicarla a losextremos y unir los extremos resultantes.
P Q
C
P ′Q′
Podemos notar que el nuevo segmento Q′P ′ es congruente con el segmento PQ, ya que los 4PCQy 4P ′CQ′ son congruentes (se tiene que CP = CP ′ y CQ = CQ′ y la igualdad de angulos
PCQ = P ′CQ′ criterio LAL).
Veamos que sucede con un triangulo.Haremos la simetrıa del triangulo ABC respecto al punto D.Aplicamos la transformacion a cada uno de los vertices y obtenemos el nuevo triangulo A′B′C ′
- 28 -
Es facil probar que los triangulos ABC y A′B′C ′ son congruentes ya que tienen sus tres ladosiguales. Por ejemplo para probar que AB = A′B′ observemos que los triangulos ABD y DAB′ son
congruentes, por tener los lados BD = DB′ y AD = DA′ y los angulos ADB = A′DB′, por tantoAB = A′B′. De manera analoga podemos demostrar la igualdad de los otros lados.
3.1.2. Propiedades de las simetrıas centrales.
Las simetrıas centrales tienen la propiedad de conservar:
1. Distancias, es decir la distancia entre dos puntos y sus correspondientes imagenes es la misma,es decir d(P,Q) = d(P ′, Q′).
2. Puntos medios. Esta propiedad significa que dados dos puntos P y Q y sus respectivas imagenesP ′ y Q′, el punto medio M del segmento [P,Q] tiene por imagen a M ′ que es el punto medio de[P ′, Q′].
3. El alineamiento de puntos. Esto significa que si tres o mas puntos estan alineados, sus imagenesestan igualmente alineadas.
4. Los angulos y su orientacion. Es decir, si PQR = α, entonces P ′Q′R′ = α
5. Las areas. Es decir si una figura F tiene area A, la imagen F ′ que se obtiene despues de lasimetrizacion es siempre igual a A.
Demostracion. 1. Tomando en cuenta que la distancia de d(C,P ) = d(C,P ′) y d(C,Q) = d(C,Q′)
y la igualdad de angulos PCQ = P ′CQ′, por el criterio LAL de congruencia de triangulosse deduce que los triangulos 4PCQ y 4P ′CQ′ son congruentes y en consecuencia d(P,Q) =d(P ′, Q′).
P Q
C
P ′Q′
2. Como en la prueba anterior, los triangulos 4PCM y 4MCQ son respectivamente congruentescon los triangulos 4P ′CM ′ y 4M ′CQ′, respectivamente; en consecuencia P ′M ′ = PM =MQ = M ′Q′, de donde se deduce que P ′M ′ = M ′Q′, es decir M ′ es el punto medio de P ′Q′.
- 29 -
P Q
C
P ′Q′
M
M ′
3. Sean P , Q y R tres puntos alineados, condicion que significa que PQ + QR = PR. Por laprimera de las propiedades de las simetrıas centrales, ya demostrada, de conservar distancias,sabemos que P ′Q′ = PQ, Q′R′ = QR y P ′R′ = PR, en consecuencia se tiene: P ′Q′ + Q′R′ =PQ+QR = PR = P ′R′ y en consecuencia P ′, Q′yR′ estan alineados
4. Considere el angulo PQR. Verifique que el triangulo PQR es congruente con el triangulo P ′Q′R′
y que en consecuencia sus angulos correspondientes son iguales, en particular tendremos la
igualdad PQR = P ′Q′R′.
Ademas, las simetrıas centrales tiene la propiedad de que la composicion con ella misma da comoresultado la identidad. Es decir si Sc es la simetrıa de centro c, entonces S2
c (P ) = I(P ) = P.; porotra parte las simetrıas centrales tiene la propiedad de que el segmento[P,Q] y el segmento imagen[P ′, Q′] son paralelos.
Se dice que un punto P es invariante por una transformacion cuando su imagen P ′ coincide conP . Se dice tambien que el punto es un punto fijo por la transformacion. En el caso de las simetrıascentrales el unico punto que permanece invariante por ella es el centro mismo de la transformacion;para cualquier otro punto P del plano se tiene que su imagen P ′ es diferente a P .
3.1.3. Simetrıas Ortogonales
Sea D una recta del plano. Llamamos simetrıa axial ortogonal o reflexion a la transformaciondel plano que a cada punto P del plano lo transforma en el punto P ′ que satisface las siguientescondiciones:
1. El punto medio del segmento PP ′ pertenece a la recta D.
2. El segmento PP ′ es ortogonal o perpendicular a la recta D.
D
P
P ′
- 30 -
De la definicion se puede concluir que la recta D es mediatriz del segmento PP ′, por ello si tomamosun punto cualquiera E sobre la recta D se cumple que PE = P ′E.
Apliquemos esta transformacion a un segmento cualquiera. Dado el segmento PQ lo reflejaremosrespecto a la recta D. Se verifica que el segmento resultante P ′Q′ es de igual longitud que elsegmento PQ
Veamos que ocurre si reflejamos un triangulo cualquiera ABC respecto a la recta D.
El triangulo resultante A′B′C ′ es congruente con el triangulo ABC
3.1.4. Propiedades de las simetrıas ortogonales
Las propiedades son similares a las propiedades de las simetrıas centrales, salvo que la propiedadde conservacion de los angulos se reduce solo a la conservacion de la medida de los angulos, no asıla orientacion de los mismos que en las simetrıas ortogonales la orientacion se invierte. Todas lasdemas propiedades son identicas.
Una figura se dice que tiene un eje de simetrıa ortogonal de eje D, cuando la figura queda invarianteal aplicarle la simetrıa. De las figuras usuales en geometrıa las siguientes poseen eje de simetrıa:
- 31 -
1. Los rombos. Sus ejes de simetrıa son sus diagonales.
D
D’P R
S
Q
SD(P ) = R, SD(Q) = Q, SD(R) = P y SD(S) = S.
SD′(P ) = P , SD′(Q) = S, SD′(R) = R y SD′(S) = Q.
2. El triangulo 4ABC isosceles en A tiene como eje de simetrıa la altura que sale de A.
3. El triangulo equilatero tiene sus tres alturas como ejes de simetrıa.
4. El rectangulo admite como ejes de simetrıa a las rectas que unen los puntos medios de suslados paralelos.
5. El cuadrado admite como ejes a sus diagonales y a las rectas que unen puntos medios de suslados paralelos.
P Q
RS
D2
D1
E1
E2
En este caso, por ejemplo, se tienen las siguientes correspondencias:SD1(Q) = Q, SD1(S) = S, SD1(R) = P y SD1(P ) = R.SE1(Q) = R, SE1(S) = P , SE1(R) = Q y SE1(P ) = S.
Las simetrıas ortogonales ademas tienen, como las simetrıas centrales, la propiedad de que la com-posicion con ella misma es la identidad; es decir que S2
D(P ) = I(P ) = P ; sin embargo, en las
- 32 -
simetrıas ortogonales, un segmento [P,Q] y su segmento imagen [P ′, Q′], en general, no son para-lelos.
En las simetrıas ortogonales los puntos fijos son todos los puntos que pertenecen a la recta desimetrizacion.
3.1.5. Algunas actividades para realizar en el aula
Actividad 1: Con esta actividad el alumno podra descubrir que ocurre al reflejar un triangulorespecto a una recta.
1. Dobla una hoja de papel. Hazle tres perforaciones con un alfiler, marcando estas con lasletras A, B y C y vuelve a desdoblarla.
2. Une A con A′ ( con lınea punteada y fina ) ;( A′ es el punto imagen de A resultante de laperforacion del alfiler );B con B′ y C con C ′.
3. Une A con B y C. Estas con lınea entera. Tambien une A′ con B′ y con C ′. Resultan dostriangulos. Colorea los triangulos resultantes
4. Mide el segmento desde A hasta la lınea de doblez y desde esta hasta A′. Igual con B y C.?que sucede ?
5. ?ue se puede decir del segmento AA′ con respecto al doblez?
Actividad 2: Con esta actividad se prentende que el alumno identifique la simetrıa de algunasfiguras.
1. Doble una hoja de papel tamano carta de tal manera que forme un cuadrado con la mayorarea posible
2. Ahora, elimine la parte de papel que sobra recortandolo, dejando ası solo el cuadrado
3. Luego, doble el cuadrado juntando dos esquinas opuestas. Repita el procedimiento con lasotras dos esquinas opuestas. Marque bien ambos doblados y formara las diagonales del cua-drado
4. A continuacion, junte las diagonales de manera que forme un triangulo
5. Junte las diagonales del cuadrado en un lado de un triangulo.
6. Luego, con una tijera, haga cortes en lados del triangulo que no sean los lados del cuadrado.
7. Tenga presente que los cortes seran duplicados dependiendo de los dobleces que haya reali-zado.
8. ?ue propiedad tienen las figuras geometricas que observa en el papel producto de los cortes?
Actividad 3: Encuentre la imagen de cada figura aplicando simetrıa central o axial.
- 33 -
3.2. Traslaciones. Actividades. Propiedades
Una traslacion desliza la figura a lo largo de una trayectoria recta, moviendo cada punto la mismadistancia en la misma direccion. Se puede describir una traslacion usando un vector de traslacion,que especifica tanto la distancia como la direccion.
Definicion: Sea −→u un vector, se llama traslacion del vector −→u a la asociacion de los puntos M y
M ′ del plano tales que:−−−→MM ′ = −→u .
En general se denota t−→u a la traslacion del vector −→u , y escribimos: M ′ = t−→uM o Mt−→u−→M ′
Para ilustrar esta aplicacion utilizaremos el plano cartesiano. Tenemos el triangulo CDE al cualle aplicaremos la traslacion del vector ~u.
- 34 -
El vector ~u nos indica que relizaremos un desplazamiento de cinco unidades hacia la derecha y tresunidades hacia arriba. Si anclamos el vector u en el origen lo podemos representar u = (5, 4). Asıpor ejemplo la imagen del punto C(2, 2) la encontramos desplazando este punto cinco unidadeshacia la derecha y tres unidades hacia arriba obteniendo el punto C ′(7, 5), de manera analogaencontramos las imagenes de los otros dos vertices:
t~u(C(2, 2)) = C ′(7, 5)
t~u(D(4, 6)) = D′(9, 9)
t~u(E(9, 2)) = E ′(14, 5)
- 35 -
3.2.1. Actividad
Traslade cada figura segun el vector dado.
3.2.2. Propiedades de las Traslaciones.
Las traslaciones poseen las siguientes propiedades:
La imagen de una recta, es otra recta paralela a ella.
La imagen de un segmento, es otro segmento de igual longitud.
La imagen de una circunferencia de centro O, es otra circunferencia del mismo radio, cuyocentro es la imagen de O por la traslacion.
Conservacion del alineamiento de puntos.
- 36 -
Dado que la imagen de una recta es otra recta, tambien se cumple que si tres puntos A,B,Cestan alineados, las imagenes respectivas A′, B′, C ′ estan tambien alineados.
Conservacion del paralelismo.
Si d1 y d2 son dos rectas paralelas, las imagenes respectivas d′1 y d′2 son paralelas tambien.De esta propiedad es facil deducir que: “La imagen de un paralelogramo, es otro paralelo-gramo ”.
Conservacion de las distancias y las areas.
La imagen de un segmento, es tambien un segmento de la misma longitud.
La imagen D′ de una superficie D, tiene la misma area que D.
Conservacion del punto medio de un segmento.
Sea I el punto medio del segmento AB, si A′B′ es la imagen del segmento AB, entonces I ′
es la imagen de I, ademas I ′ es el punto medio del segmento A′B′.
Conservacion de la medida de angulo y de la ortogonalidad.
La imagen x′A′y′ del angulo xAy tiene la misma medida que xAy.
En particular cuando dos rectas d1 y d2 son perpendiculares sus respectivas imagnes d′1 y d′2son tambien perpendiculares.
EJEMPLO 3.1A, B, C son tres puntos tales que C es la imagen de B por la traslacion de
−→AB. Haga una figura
de esta situacion y responda ¿Cual es el punto medio de AC?
Demostracion. −→u =−→AB luego por definicion tu(A) = B, y de acuerdo a las propiedades de las
traslaciones la imagen de AB es otro segmento de la misma longitud, y como AB = BC, entoncesB es el punto medio de AC.
A Bu C
EJEMPLO 3.24ABC es un triangulo cualquiera. Denotaremos por B′ a la imagen de B por la simetrıa centralde centro A. Trazamos la recta d paralela a AB y que pasa por C, y la recta ∆ paralela a BCy que pasa por A. Las rectas d y ∆ se cortan en C ′. Demostrar que el triangulo 4B′AC ′ es laimagen del triangulo 4ABC por traslacion.
Demostracion. De acuerdo a la forma del 4ABC (Ver figura), transformamos el 4ABC en el
4B′AC ′ por la traslacion del vector−→BA hacia
−−→A′B′ o
−−→CC ′. Por lo cual, sera suficiente demostrar
que tu(A) = B′, tu(B) = A y tu(C) = C ′.
- 37 -
tu(B) = A, este resultado se obtiene de la definicion de traslacion del vector −→u .
tu(A) = B′, en efecto, B′ es la imagen de B, por la simetrıa central de centro A. Como A es
el punto medio de BB′, se tiene que−→BA =
−−→AB′. Es decir
−−→AB′ = −→u y esto por definicion es
tu(A) = B′.
tu(C) = C ′, en efecto, los lados opuestos del cuadrilatero AC ′CB son dos a dos paralelos, es
decir se trata de un paralelogramo, esto es:−−→CC ′ =
−→BA =⇒
−−→CC ′ = −→u , lo cual significa que
tu(C) = C ′.
A
B C
∆
d
C ′
B′
EJEMPLO 3.3Dado el4ABC sea H su ortocentro. BCDE es un rectangulo construido exteriormente. Se trazan,por D la perpendicular a AB, y por E la perpendicular a AC. Estas dos rectas se cortan en I.
Utilice la traslacion t−→u del vector −→u =−−→EB para demostrar que A, H e I estan alineados.
Demostracion. Dado −→u =−−→EB, por definicion tu(E) = B, y dado que BCDE es un rectangulo
tambien se cumple tu(D) = C. Como la imagen por una traslacion de una recta es otra rectaparalela a la primera, la recta BM es la imagen por −→u de la recta ER, dado que al ser ambasperpendiculares a AC resulta inmediato que ER ‖ BM . Analogamente, la imagen de la recta DSpor −→u es la recta CP .
La interseccion de ER y DS es I, como la traslacion es biyectiva (en el sentido de que es punto apunto) esta lleva intersecciones de rectas a intersecciones de rectas, luego t−→u (I) = H y esto implica
que IH ⊥ BC (dado que−→IH = −→u por definicion de traslacion, y este ultimo vector evidentemente
es perpendicular a BC dada la forma como se definio). Como H es el ortocentro del 4ABC,AH ⊥ BC. Ası IH ‖ AH (ambas son perpendiculares a BC) y esto obliga a que A, H, I estenalineados.
- 38 -
A
B C
DE
RS
MP
I
H
3.3. Rotaciones en el plano orientado. Actividades. Propiedades
3.3.1. Rotacion en el plano orientado.
Un ejemplo es util ahora para entender la importancia de trabajar en el plano orientado. En estecaso el centro de rotacion es O y el angulo es π
2. En la figura adjunta, ademas de la ortogonalidad
indicada, suponga que, OM2 = OM1 = OM . La formulacion: “Un punto M asociado a M ′ talqueOM ′ = OM y ∠MOM ′ = π
2” es ambigua, dado que los puntos M1 y M2 cumplen con la condicion.
M
OM2 M1
En cambio, en el plano orientado, la formulacion: “Un punto M asociado a M ′ tal que OM ′ = OM
y (−−→OM,
−−→OM ′) = π
2” no deja ninguna duda: un solo punto cumple con la condicion, M ′ = M1. Por
lo que en adelante, se utilizara el plano orientado.
Definicion 3.1. M ′ es la imagen de M (M 6= O) por la rotacion de centro O y angulo α si:
OM ′ = OM y (−−→OM,
−−→OM ′) = α.
O M
M ′
α
- 39 -
Notacion: RαO es la rotacion de centro O y angulo α.
3.3.2. Actividad
Rota cada figura respecto al punto indicado y el angulo dado.
θ = 75 θ = 60
θ = 45 θ = 90
θ = 120 θ = 145
cccc
Puntos Invariantes:
- 40 -
Si α = 0 entonces todos los puntos son invariantes.
Si α 6= 0 entonces el centro O de la rotacion es el unico punto invariante.
Biyectividad y Rotacion Inversa: RαO es biyectiva y la rotacion inversa es la rotacion de
centro O y de angulo −α.
Demostracion. Basta demostrar que: RαO(M) = M ′ si y solo si R−αO (M ′) = M .
3.3.3. Propiedades Esenciales.
Teorema 3.1. La rotacion conserva distancias y angulos.
1. La rotacion envıa a un segmento AB a otro A′B′, igual en longitud, siendo A′ imagen de A,B′ imagen de B. Mas aun el segmento AB se transforma en el segmento A′B′.
2. La rotacion transforma a una recta en otra, siendo el angulo entre ellas α.
Demostracion. Sea A′ = RO,α(A) y B′ = RO,α(B), entonces, OA = OA′, OB = OB′ y ∠A′OB′ =∠AOB′ − ∠AOA′ = ∠AOB′ − ∠BOB′ = ∠AOB, ası por LAL el 4A′OB′ es congruente con4AOB, por tanto, la longitud del segmento AB es la misma que la del segmento A′B′.A continuacion demostramos que la imagen del segmento AB es el segmento A′B′. Sea C un puntodel segmento AB o su prolongacion, y C ′ = RO,α(C), se demuestra como antes que A′C ′ = ACy B′C ′ = BC, por consiguiente A′C ′ + B′C ′ = AC + CB = AB = A′B′, dado que A, B y Cestan alineados, por lo tanto, A′C ′ +C ′B′ = A′B′ lo que demuestra que A′, B′ y C ′ alineados. Enconsecuencia, el segmento A′B′ es la imagen de AB y la recta A′B′ es la imagen de la recta AB.Ahora, determinamos el angulo entre la recta y su imagen. Defina D como la interseccion de lasrectas AB y A′B′. Por la congruencia de los triangulos AOB y A′OB′, se tiene que ∠BAO =∠B′A′O y por ende el cuadrilatero ADA′O es cıclico, por consiguiente, si E es un punto sobre larecta AD entonces, ∠EDA′ = ∠AOA′ = α.
A
B
O
A′
B′C
C ′
Corolario. Suponga que: A′ = RO,α(A), B′ = RO,α(B) C ′ = RO,α(C), demuestre que:
La imagen del punto medio de AB es el punto medio de A′B′.
La rotacion transforma a un cırculo de centro C y radio r en otro de igual radio y centro C ′.
- 41 -
Si AB es diametro del cırculo de centro C, entonces A′B′ es el diametro del cırculo de centro C ′.
La rotacion transforma un triangulo ABC en otro igual A′B′C ′
La rotacion transforma a un angulo en otro igual e igualmente orientado.
Dos rectas ortogonales tiene por imagen dos rectas ortogonales.
Dos rectas paralelas tienen por imagen dos rectas paralelas.
Demostracion. Dejamos esta prueba como ejercicio.
EJEMPLO 3.4Considere dos triangulos rectangulos isosceles ABC y AB′C ′ como en la figura adjunta. Demuestreque BB′ = CC ′ y que las rectas BB′ y CC ′ son ortogonales.Solucion. Dado que por hipotesis AB = AC, AB′ = AC ′ y el ∠BAC = ∠B′AC ′ = π
2, entonces,
C = RA,π2(B) y C ′ = RA,π
2(B′). Ası aplicando las propiedades de conservacion de distancias y
angulos de las isometıas se concluye que BB′ = CC ′ y como el angulo de rotacion es π2, BB′ ⊥ CC ′.
A
B
C
B′
C ′
EJEMPLO 3.5Utilizacion de una rotacion Sea ABCD un cuadrado de centro O. M es un punto del segmentoAB, y N es un punto del segmento AD tal que DN = AM . Considere la rotaci’on de centro O yde angulo π
2en sentido positivo. Demuestre que OM = ON y el ∠MON = π
2.
Solucion. Recuerde que en todo cuadrado las diagonales son mediatrices mutuamente, ası queOA = OD y el ∠AOD = π
2, en consecuencia D = RO,π
2(A), de la misma forma se verifica que:
A = RO,π2(B), ası por las propiedades de conservacion de la rotacion la imagen del segmento AB se
transforma en el segmento DA, y por consiguiente M ′ = RO,π2(M) es el punto del segmento DA tal
que DM ′ = AM , por lo tanto M ′ = N , por definicion de rotacion se tiene que OM = OM ′ = ONy el ∠MOM ′ = ∠MON = π
2.
- 42 -
D C
BA
O
M
N
EJEMPLO 3.6En la figura adjunta, ABCD es un rombo y los triangulos DCI y BCJ son equilateros. Definauna transformacion geometrica y demuestre que A, I y J estan alineados.Solucion. La presencia de dos triangulos equilateros del mismo vertice C nos sugiere definir larotacion de centro C y angulo π
3. Por esta rotacion B es la imagen de J , D la imagen de I.
Ahora definimos A′ como la imagen de A, por consiguiente, el triangulo CAA′ es equilatero. Estodemuestra que B, D y A′ estan alineados, dado que pertenecen a la mediatriz de AC, puesto que:BA = BC, DA = DC y A′A = A′C. Ahora solo falta considerar la rotacion inversa de centro C yangulo −π
3para demostrar que J = RC,−π
3(B), I = RC,−π
3(D), A = RC,−π
3(B) estan alineados las
propiedades de conservacion de colinealidad de las isometrıas.
DC
A B
J
I
EJEMPLO 3.7Dada una circunferencia Γ de centro C y radio CO. Demuestre que: Si Γ ′ = RO,α(Γ ), P ∈ Γ ,Q ∈ Γ
⋂Γ ′ y P ′ = RO,α(P ) entonces, P , Q y P ′ estan alineados.
Solucion. Por propiedades de conservacion de isometrıas sabemos que Γ ′ es la circunferenciade centro C ′ = RO,α(C) y radio C ′O, ya que O es el punto invariante de la rotacion. Ademas,dado que las rotaciones conservan angulos se tiene que el ∠PCO = ∠P ′C ′O = 2θ, entonces,el ∠OQP = 180 − θ por ser inscrito en la circunferencia Γ cuyo angulo central es ∠PCO, y el∠P ′QO = θ por ser inscrito en la circunferencia Γ ′ cuyo angulo central es ∠P ′CO. Por consiguiente,∠OQP + ∠P ′QO = 180 − θ + θ = 180 y por lo tanto, P , Q y P ′ son colineales.
- 43 -
1800 − θ
2θ
2θ
C
O
P
P ′C ′
Q
θ
3.4. Composicion de transformaciones. Actividades
En esta seccion:
Encontraras la transformacion simple equivalente a la composicion de dos traslaciones.
Encontraras la transformacion simple equivalente a la composicion de las reflexiones a travesde dos rectas paralelas
Encontraras la transformacion simple equivalente a la composicion de las reflexiones a travesde dos rectas que se intersecan
Cuando se aplica una transformacion a una figura y luego se aplica otra transformacion a suimagen, la transformacion resultante se llama una composicion de transformaciones.
3.4.1. Actividad 1
Reflexiones a traves de dos lıneas paralelas. En primer lugar, consideremos el caso de lıneasparalelas para la reflexion
1. En una hoja de papel vegetal o un acetato, dibuja una figura y una lınea de reflexion peroque no se corten.
2. Doble el papel por la lınea para reflejar su figura, marque la figura resultante.
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3. En el papel vegetal o en el acetato, dibujar una segunda recta de relexion paralela a laprimera, tal que la imagen se encuentre entre las dos rectas paralelas.
4. Refleja la imagen respecto a la segunda recta y traza la segunda imagen.
5. ?ue transformacion unica llevarıa la figura original a la imagen final? (Sugerencia: ?omo secompara la orientacion de la imagen final con la orientacion de la original?)
Compara la distancia entre las rectas paralelas con la distancia entre un punto en la figura originaly el punto correspondiente en la imagen final.Usa tus descubrimientos para completar esta conjetura:
- 45 -
3.4.2. Actividad 2
Reflexiones a traves de dos rectas que se intersecan. A continuacion, se estudiara el casode rectas rectas que se intersectan para la reflexin.
1. En una hoja de papel vegetal o un acetato, dibuja una figura y una lınea de reflexion peroque no se corten.
2. Dobla el papel por la lınea para reflejar su figura, marque la figura resultante.
3. En el papel vegetal dibuja una segunda recta de reflexion que se corte con la primera, de ma-nera tal que la imagen forme un angulo agudo entre la interseccion de las lineas de reflexion.
4. Refleja la imagen respecto a la segunda recta y traza la segunda imagen
5. Dibuja dos semirrectas p y q que comiencen en el punto de interseccion de las dos rectasy que pasen por los puntos correspondientes de la figura original y su segunda imagen. ?uetransformacion simple llevarıa la figura original a la imagen final?
- 46 -
Debes haber encontrado que las dos reflexiones son equivalentes a una rotacion simple. Usa untransportador para comparar el angulo de rotacion (es decir, el angulo creado por las semirrectasp y q) con el angulo agudo formado por las rectas que se intersecan.
Usa tus descubrimientos para completar esta conjetura:
3.4.3. Actividad 3
Ahora veremos un ejemplo de composicion de dos traslaciones.El triangulo ABC con vertices en los puntos A(−1, 0), B(4, 0) y C(2, 6), en primer lugar es tras-ladado por el vector ~u = (−6, 5) y despues su imagen, el triangulo A′B′C ′ es trasladado por elvector ~v = (6, 3). Que traslacion simple es equivalente a la composicion de esas dos traslaciones?
- 47 -
Podemos observar que al componer las dos traslaciones resulta otra traslacion cuyo vector es el~w = ~u+ vAhora pasaremos a formalizar los resultados anteriores.
3.4.4. La Isometrıa Directa mas simple.
Teorema 3.2. Dados dos segmentos congruentes AB y A′B′, existe una isometrıa directa quetransforma a A en A′ y a B en B′. Ademas, de todas las isometrıas que cumplen esta condicion,las mas simple siempre sera una rotacion, o una traslacion en caso excepcional.
Demostracion. Si ABB′A′ forma un paralelogramo, claramente la traslacion de vector−−→AA′ trans-
forma A en A′ y B en B′. Si en cambio ABA′B′ forma un paralelogramo, tomando O como lainterseccion de AA′ con BB′, una rotacion de centro O y angulo 180 funciona.1
A B
A′ B′
A B
B’ A’
O
En cualquier otro caso (es decir, AB ∦ A′B′), sea P la interseccion de AB con A′B′, y sea O la otrainterseccion de los circuncırculos de los triangulos 4AA′P y 4BB′P . Note que OPAA′ y OPBB′
1Observe que esta rotacion es una reflexion puntual respecto a O.
- 48 -
son cuadrilateros concıclicos, entonces ∠OAB = ∠OA′B′ y ∠OBA = ∠OB′A′, y dado que porhipotesis AB = A′B′ se concluye que 4ABO ≡ 4A′B′O y tienen igual orientacion. Note ademasque si llamamos α al angulo que la recta AB forma al rotarse con centro P hasta coincidir con larecta A′B′, de nuevo por los cuadrilateros concıclicos se obtiene α = ∠AOA′ = ∠BOB′. Ası, unarotacion de centro O y angulo α funciona como Isometrıa Directa que transforma a A en A′ y a Ben B′.
A B
A′
B′
P
O
α
α
α
3.4.5. Descomposicion de Traslaciones y Rotaciones como Composicion de SimetrıasAxiales.
Ya se estudio el hecho que una Simetrıas Axial es una Isometrıa Indirecta, esto quiere decir que apesar que mantiene invariante las distancias cambia la orientacion de los angulos. En particular,si los vertices de un triangulo 4ABC se recorren en sentido antihorario, los vertices del trianguloimagen tras una simetrıa axial 4A′B′C ′ se recorren en sentido horario. Si ahora se aplica otrasimetrıa axial (o la misma reflexion axial anterior, si se quiere) al 4A′B′C ′, el triangulo imagen4A′′B′′C ′′ cumple que sus vertices se leen en sentido antihorario. Ası, el4ABC y el4A′′B′′C ′′ sontriangulos congruentes y con la misma orientacion, esto significa que existe una isometrıa directaque transforma al 4ABC en el 4A′′B′′C ′′.
Por otra parte, ya se sabe que una isometrıa directa siempre puede resumirse a una sola rotacion, ouna sola traslacion en caso excepcional. A pesar que no es evidente, las Reflexiones Axiales puedenutilizarse para generar Rotaciones y Traslaciones, lo que las convierte en las isometrıas mas funda-mentales. Esto significa que cualquier isometrıa puede escribirse como la composicion de reflexionesaxiales. Mas impresionante aun es que la cantidad de reflexiones axiales necesarias es unicamente 2.
Teorema 3.3. Una Traslacion puede descomponerse como el producto de dos Reflexiones Axiales.
Demostracion. Si la traslacion esta determinada por el vector−→AB, al tomar dos rectas paralelas
entre sı l1 y l2, y perpendiculares a−→AB, tales que la distancia desde l1 hasta l2 es igual a la mitad
de la longitud del vector−→AB, se cumple que la composicion de reflexiones axiales Rl2 Rl1 es igual
a la traslacion T−→AB
.
- 49 -
l1 l2
2d
d
A B
P P1P2
Teorema 3.4. Una Rotacion puede descomponerse como el producto de dos Reflexiones Axiales.
Demostracion. Dada la rotacion de centro O y angulo α, se construyen dos rectas l1 y l2 que pasanpor O, y que cumplen que el angulo desde l1 hasta l2 es igual a α
2. Es relativamente sencillo
mostrar que la composicion de reflexiones axiales Rl2 Rl1 es igual a la rotacion de centro O yangulo α.
l1
l2
O
A
A1
A2
B
B1
B2
α
A partir de estos dos teoremas anteriores es evidente el siguiente corolario:
Corolario. Toda Isometrıa Directa puede descomponerse como el producto de 2 Reflexiones Axia-les.
Mas aun, una Isometrıa Indirecta o bien es una Reflexion Axial o bien la composicion de unaIsometrıa Directa con una Reflexion Axial, por lo tanto, toda Isometrıa Indirecta puede escribirsecomo la composicion de a lo sumo tres Reflexiones Axiales. De aquı se deriva el siguiente resultado,que es fundamental en la teorıa de Transformaciones Geometricas.
Teorema 3.5. Toda Isometrıa puede escribirse como la composicion de a lo sumo 3 ReflexionesAxiales.
3.4.6. Problemas de Traslaciones.
1. Sean ABCD un paralelogramo de centro O, la paralela a BD que pasa por A corta a laparalela AC que pasa por D en el punto E. ¿Cuales son las imagenes de A y D bajo la
traslacion del vector−−→EO?
- 50 -
2. Sean ABCD un paralelogramo de centro O, M y N los puntos medios de los segmentos DAy BC respectivamente. ¿Son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones?
a) Los puntos M, O y N son alineados.
b) Los segmentos AB y CD son simetricos con respecto a la recta MN .
c) La traslacion que transforma D en C, transforma M en N .
d) La rotacion de centro O y angulo AOD, transforma C en B.
e) La traslacion de vector−→AC es igual a la traslacion de vector
−−→BD.
3. Considere el triangulo 4ABC isosceles en A, I el punto medio de BC, D = t−→AC
(B) yE = t−→
BI(D). Estudie la naturaleza de los cuadrilateros ABDC y DECI.
4. Construya un triangulo 4ABC, en seguida el punto D, simetrico de A con respecto a B, y
el transformado E de B por la traslacion de vector−→AC. Mostrar que el triangulo 4ABC es
el transformado del triangulo 4BDE por una traslacion la cual debe precisarse el vector.
5. Sea 4ABC un triangulo rectangulo en B, y H la proyeccion ortogonal de B sobre AC. Sedenotan por A′ y C ′ los puntos tales que HBAA′ y HBCC ′ son dos paralelogramos. ¿Cuales la naturaleza del cuadrilatero CAA′C ′?Sugerencia: Utilice la traslacion de vector
−−→BH.
6. El cuadrado ABCD es de centro O y de lado a. Determine los puntos M sobre el lado AB,N sobre el lado CD, tales que MN ‖ BC y que minimicen la poligonal OMNB, y expreseeste mınimo en funcion de a.Pista: Sea O′ = T−−→
BC(O).
7. Consdiere dos circunferencias de radios iguales Γ de centro O, y Γ′ de centro O′, que se cortanen A y en B. Considere dos rectas paralelas l y l′:
l pasa por A, corta nuevamente a Γ en P , y a Γ′ en P ′;
l′ pasa por B, corta nuevamente a Γ en Q, y a Γ′ en Q′.
Demuestre que PP ′Q′Q es un paralelogramo.
8. Demuestre que la composicion de dos traslaciones es otra traslacion.
3.4.7. Problemas de Simetrıas Centrales o Reflexiones Puntuales.
1. ¿Cuales son las figuras simetricas de la figura siguiente con respecto a las cuatro esquinasdel rectangulo?
- 51 -
2. Sean las rectas d y d′ secantes en O y el punto I no perteneciente a ninguna de las rectasanteriores.
a) Construya el punto interseccion A de la recta d′ con la imagen de la recta d por lasimetrıa de centro I .
b) La recta AI corta a d en B . Precise la posicion de los puntos I, A y B.
c) Aplicacion: Construya un segmento de punto medio I, con uno de sus extremos en d yel otro en d′ .
3. Dado un triangulo 4ABC, sea M el punto medio de BC. D y E son las proyeccionesortogonales respectivas de B y C sobre la mediana AM . Utilizando propiedades de simetrıaspuntuales aplicadas a la simetrıa respecto a M , demuestre que BD = CE, ie, los vertices By C equidistan de la mediana AM .
4. Sea ABCD un paralelogramo de centro O. Especificar las imagenes de los puntos A, B, Cy D por S0.
5. El triangulo 4ABC es rectangulo en A; denotamos por D = SA (B) y E = SA (C). ¿Cual esla naturaleza del cuadrilatero BCDE?
6. Si ABCD y AECF son paralelogramos, ¿que tipo de cuadrilatero es BEDF?
7. Dado un paralelogramo ABCD de centro O, se trazan dos rectas paralelas l y l′ pasandorespectivamente por A y C. Si l corta a la recta BC en E, y l′ corta a la recta DA en F ,determine la naturaleza del cuadrilatero BEDF .
3.4.8. Problemas de Rotaciones.
1. Dada la figura siguiente, construya las imagenes del cuadrado, triangulo y segmento obtenidospor la rotacion de centro O y de angulo 90 (en ambos sentidos).
O
2. Sean d una recta, O un punto no perteneciente a d y r la rotacion de centro O y angulo 120,en el sentido directo. Construir, en el siguiente orden:
a) La proyeccion ortogonal de H de O sobre d.
b) La imagen H ′ de H por r.
c) La imagen d′ de d por r .
- 52 -
d) Si denotamos por I el punto interseccion de d y d′, mostrar que O, I, H y H ′ estansobre un mismo cırculo.
3. Sean: ζ un cırculo de centro O, r la rotacion de centro O y angulo de 50. El punto Apertenece a ζ, denotemos por B la imagen de A por r y por C la imagen de B por r.
a) Ilustre la situacion anterior.
b) Exprese en grados los angulos del triangulo 4ABC.
4. Trace el segmento AB de 4cm. Ubique el punto O de tal forma que la rotacion de centro Oy angulo 90, muevan el punto A al punto B. ¿Cual es la distancia del punto O a la rectaAB.
5. a) ¿Como trazar los vertices de un hexagono regular, utilizando solo el compas?
b) Aplicacion: Dados dos puntos O y A: Construir utilizando solo el compas, el puntosimetrico de A con respecto a O y el transformado A por la rotacion de centro O yangulo 120.
6. Sea el cuadrado ABCD de centro O en sentido directo. M un punto del segmento AD y Nsu imagen por una rotacion de 90 en sentido directo y de centro O.
a) Demostrar que N pertenece al segmento AB.
b) Comparar las distancias de BM y CN , los angulos AOM y BON y las areas de lostriangulos 4BDM y 4CAN .
7. Dada una recta l y un punto O que no pertenece a l, demostrar que las imagenes de l alhacer todas las rotaciones de centro O, son las tangentes a una circunferencia fija.
8. Dada una recta l y un punto O fuera de ella, se construye un triangulo equilatero 4OAB detal forma que A varıa sobre l. ¿Que lugar geometrico describe B?
9. Sobre los lados de un n-agono regular A1A2 · · ·An se dibujan puntos B1, B2, . . . , Bn tal queA1B1 = A2B2 = · · · = AnBn. Demuestre que B1B2 · · ·Bn tambien es n-agono regular.
10. Dado un cuadrado ABCD nombrado en sentido horario, sea I un punto en su interior talque 4DCI es equilatero, y J un punto en su exterior tal que 4BCJ tambien es equilatero.Demuestre que A, I, J , estan alineados. Para ello:
a) Construya las imagenes de J , I, A tras la rotacion Rπ3C y demuestre que estas tres
imagenes estan alineadas.
b) Concluya por propiedades de rotaciones que J , I, A, estan alineados.
11. Los triangulos 4ABC y 4AB′C ′ son triangulos rectangulos isosceles y con la misma orien-tacion. Demuestre que 4ABB′ ≡ 4ACC ′.
- 53 -
UNIDAD IV: HOMOTECIAS
4.1. Homotecias: Teoremas Fundamentales.
Las homotecias, dicho de forma sencilla, son las transformaciones geom´etricas b´asicas que estirano encogen a las figuras geom´etricas, o dicho de manera un poco m´as formal, dilatan o contraen alas figuras geom´etricas; en casos muy excepcionales (y de mucho inter´es), la figura geom´etricaquedar´a del mismo tama˜no. En cualquier caso, estas dilataciones o contracciones deben cumplirdos caracter´ısticas: Al transformar mediante una homotecia a una figura geom´etrica cualquiera,la figura resultante debe conservar las proporciones y la inclinaci´on de la figura original.2
Definicion 4.1. Homotecia: Dado un punto fijo O y un numero real no nulo k, la homotecia decentro O y razon k, denotada por HO,k, es la transformacion puntual que, a cada punto M asignaun punto M ′, tal que:
i) Los puntos O, M y M ′ estan alineados, y
ii) Los segmentos dirigidos OM y OM ′ satisfacen la relacion OM ′ = k ·OM .
O equivalentemente, estas condiciones pueden abreviarse en la relacion vectorial −−→OM ′ = k−−→OM .El punto O se llama Centro de Homotecia y el numero real no nulo k se llama Razon deHomotecia.
Observaciones:
El numero k puede tomar tanto valores positivos como negativos, esto se debe a que se estatrabajando con segmentos dirigidos, o con vectores si se prefiere.
Si k = 1, la homotecia HO,1 es la transformacion identidad, y todos los puntos son puntosfijos, es decir, HO,1(M) = M para todo M ; en cambio, si k 6= 1, el unico punto fijo es elcentro de homotecia O.
Si k = −1, la homotecia HO,−1 es la reflexion puntual respecto a O, RO.
Teorema 4.1. La homotecia HO,k transforma al segmento dirigido AB en un segmento dirigidoA′B′, tal que:
1. A′B′ ‖ AB, y
2. A′B′ = k · AB.
2Esto es basicamente lo que un programa de computadora hace a una imagen cuando se utiliza la funcion “zoom”.
- 54 -
4.2.
O equivalentemente, transforma el vector−→AB en un vector
−−→A′B′ tal que
−−→A′B′ = k
−→AB.
Demostracion. Se muestran dos soluciones, una por la vıa sintetica y otra utilizando vectores:
Primera demostracion: Por la defincion de la homotecia HO,k, los puntos O, A y A′ estan alineadosy lo mismo sucede con O, B y B′, entonces ∠AOB = ∠A′OB′; ademas, tambien por la definicionde homotecia se tiene OA′
OA= k = OB′
OB, entonces 4AOB ' 4A′OB′ (por el criterio lal de semejanza
de triangulos) con razon de semejanza k, y por lo tanto ∠OAB = ∠OA′B′ y A′B′
AB= k, que son
proposiciones equivalentes a A′B′ ‖ AB y A′B′ = k · AB.
Segunda demostracion: Por la definicion de la homotecia HO,k se cumple que−−→OA′ = k
−→OA y
−−→OB′ = k
−−→OB, entonces
−−→A′B′ =
−−→OB′ −
−−→OA′ = k
−−→OB − k
−→OA = k
(−−→OB −
−→OA = k
−→)AB.
Para completar las pruebas, si M es un punto cualquiera alineado con A y B, repitiendo estasmismas demostraciones, M ′ = HO,k(M) cumple que A′M ′ ‖ AM y A′M ′ = k · AM , o equiva-
lentemente−−−→A′M ′ = k
−−→AM , por lo que M ′ esta alineado con A′ y B′; por lo tanto, el segmento
dirigido AB se transforma punto a punto en el segmento dirigido A′B′, y lo mismo se dice con losvectores.
Corolario. La homotecia de una recta AB es otra recta A′B′ tal que AB ‖ A′B′; en particular, siel centro de homotecia pertenece a la recta AB, entonces la recta A′B′ coincide con la recta AB.
Demostracion. Dejamos esta prueba como ejercicio.
Teorema Recıproco: Dado un numero real no nulo k, toda transformacion que cumpleque a cualquier segmento dirigido AB lo transforma en el segmento dirigido A′B′ verificando lasrelaciones A′B′ ‖ AB y A′B′ = k · AB, es una homotecia si k 6= 1, o es una traslacion si k = 1.3
Demostracion. Analizamos los casos por separado:
Caso 1: Si k 6= 1, definimos la homotecia HO,k como aquella que cumple A′ = HO,k(A); observeque HO,k(B) = B1 tal que A′B1 ‖ AB y A′B1 = k · AB, por lo que B1 coincide con B′.
3En particular, si k = 1 y A coincide con A′, entonces la transformacion evidentemente es la transformacionidentidad, la cual puede ser vista como una traslacion de vector nulo o como una homotecia.
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Caso2: Si k = 1, se tiene que los segmentos dirigidos AB y A′B′ guardan las relaciones A′B′ ‖ ABy A′B′ = AB, esta es justamente la definicion de traslacion. Es importante notar que este casopuede ser visto como el comportamiento al lımite del caso anterior, si se inicia con un k 6= 1 y sedefine nuevamente la homotecia HO,k como aquella que cumple A′ = HO,k(A), y ahora se buscaque k → 1, sera necesario que O se mueva sobre la recta AA′ alejandose infinitamente de estospuntos, ası las rectas AA′ y BB′ tienden a ser paralelas y por tanto los segmentos AB y A′B′
tienden a ser paralelos e iguales.
Corolario. Una homotecia esta bien definida si se conocen las imagenes de dos puntos distintosdados.
Demostracion. Dados los puntos A y B, si A′ = HO,k(A) y B′ = HO,k(B) son sus imagenesrespectivas, entonces, por el teorema anterior, la razon de homotecia es k = A′B′
AB, y el centro de
homotecia O es la interseccion de las rectas AA′ y BB′.4
4.2. Homotecia de figuras geometricas fundamentales.
A continuacion se presentan como una serie de problemas guiados, los resultados mas importantesde la homotecia aplicada a rectas, triangulos y circunferencias, que son las figuras geometricasfundamentales.
PROBLEMA 4.1Homotecia de Rectas:La homotecia de rectas se divide en dos casos, que la recta pase por el centro de homotecia, o quela recta no pase por dicho centro.
1. Demuestre que si una recta pasa por el centro de una homotecia, la imagen de esta recta alaplicarle la homotecia es la misma recta.Observacion: Esto no significa que los puntos no se han movido, sino que a pesar que se hanmovido, tanto el punto preimagen como el punto imagen pertenecen a la misma recta.
2. Demuestre que si una recta no pasa por el centro de una homotecia, la imagen es otra rectaparalela a la original.
3. Extienda estos resultados a la homotecia de planos.
4. Demuestre que la homotecia de un angulo es otro angulo con igual medida y orientacion; siel vertice del angulo coincide con el centro de homotecia y la razon de homotecia es positiva,entonces el angulo es invariante tras la homotecia.
5. Demuestre que la homotecia de un semiplano definido por una recta, es otro semiplanodefinido por la imagen de la recta dada; demuestre tambien que los semiplanos restantestambien se corresponden.
4Note que por lo general, los segmentos dirigidos AB y A′B′ son paralelos pero de distinto tamano, exceptuandoel caso cuando la homotecia es la transformacion identidad, pero este es un caso trivial en el que A′B′ coincide conAB; ası, por lo general k 6= 1 y por tanto las rectas AA′ y BB′ son secantes.
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PROBLEMA 4.2Homotecia de Triangulos:
1. Utilizando el problema anterior, demuestre que la homotecia de un triangulo es otro triangulotal que los lados correspondientes son respectivamente paralelos. Estos dos triangulos puedenser coplanares, si el centro de homotecia se encuentra en el mismo plano que el triangulooriginal, o se ubican en planos paralelos en cualquier otro caso.
2. Demuestre por tanto que la homotecia transforma a un triangulo en otro triangulo semejan-te, y ambos triangulos tienen la misma orientacion de los angulos y la razon de homoteciak coincide con la razon de semejanza. A este par de triangulos se les llama Triangulos Ho-moteticos. Demuestre ademas que la razon entre las areas de los triangulos homoteticos esk2.
3. Demuestre el recıproco: Dados dos triangulos semejantes con lados correspondientementeparalelos (ie, triangulos homoteticos), existe una homotecia que transforma a un trianguloen el otro. Para ello, hay que demostrar que:
a) El centro de homotecia existe, es decir, que las tres rectas que unen vertices correspon-dientes (aquellos que se oponen a lados correspondientemente paralelos) son concurren-tes.
b) La razon de homotecia es la razon de semejanza de los triangulos.
4. Extienda la homotecia a cuadrilateros, pentagonos, etc.
5. Demuestre que la homotecia del interior de un triangulo es el interior del triangulo imagen,y analogamente, el exterior del triangulo se mapea al exterior del triangulo imagen. ¿Quesucede con el interior y el exterior de un polıgono simple5?
PROBLEMA 4.3Homotecia de Circunferencias.
1. Demuestre que la homotecia de una circunferencia es otra circunferencia. Si el centro de ho-motecia esta en el mismo plano que la circunferencia, la circunferencia resultante es coplanara la original; en cambio, si el centro de homotecia no esta en el mismo plano que la circun-ferencia, la circunferencia resultante esta en un plano paralelo al plano de la circunferenciaoriginal.
2. Demuestre que si dos circunferencias distintas son concentricas, el centro de estas es un centrode homotecia que transforma una circunferencia en la otra.
3. Demuestre que si dos circunferencias no concentricas tienen radios iguales, el punto mediodel segmento que une los centros de las circunferencias es un centro de homotecia para estas(de hecho, es una reflexion).
5Un polıgono simple es aquel no tiene auto-intersecciones.
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4. Dadas dos circunferencias no concentricas y de radios distintos, si AB es un diametro dela primera circunferencia, A′B′ es un diametro de la segunda circunferencia, y AB ‖ A′B′,demuestre que
a) El punto de interseccion de AA′ con BB′ es un centro de homotecia de las circunferen-cias.
b) El punto de interseccion de AB′ con A′B es otro centro de homotecia de las circunfe-rencias.
5. Demuestre que en todos los casos, la razon de homotecia es igual a la razon de los radios.
6. Demuestre que el interior de una circunferencia se mapea al interior de la circunferenciaimagen, y que el exterior se mapea al exterior.
7. Extienda estos resultados a la homotecia de esferas.
PROBLEMA 4.4El Pantografo:
La siguiente figura muestra un pantografo, un instrumento de diseno utilizado para aumentar odisminuir dibujos. El pantografo esta compuesto por 4 varillas unidas por articulaciones, y tienelas siguientes caracterısticas:
El punto O esta fijo, y el punto M es variable.
Las varillas OA y AM tienen igual longitud r. Esto le permite a M moverse 2r a la redondade O.
El punto B es un punto fijo sobre la varilla OA, pero escogido arbitrariamente. Este puntodefinira la escala.
El cuadrilatero ABM ′C es un paralelogramo de tal manera que O, M y M ′ estan alineados.
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Para utilizar el pantografo, debe colocarse un lapiz sobre el punto M ′; al mover el punto M des-cribiendo los contornos de un dibujo, el punto M ′ reproduce el dibujo a una escala 1 : OA
OB. Note
que puede intercambiarse los roles de M y M ′ para lograr un dibujo con una escala 1 : OBOA
.
Tambien podemos construir un modelo de pantografo en la computadora, siguiendo los siguientespasos:
1° En un programa de geometrıa, dibuje dos puntos cualesquiera, O y M .
2° Dibuje dos circunferencias de radio fijo r, una con centro en O y otra con centro en M .
3° El problema tendra sentido unicamente si O y M estan lo suficientemente cerca como para quelas dos circunferencias se corten, si esto no sucede, acerque un poco M hacia O. Realizado esto,defina A como una de las intersecciones de las circunferencias.
4° Dibuje un punto B sobre el segmento OA. Este punto quedara fijo sobre el segmento OA, estoquiere decir que siempre mantendra constante las distancias hacia los extremos del segmento.
5° Por B, trace una recta paralela a AM y defina M ′ como la interseccion de esta recta con OM .
6° El pantografo esta listo, active la opcion de “Dejar rastro” a los punto M y M ′; a medida queUd. mueva M , el programa le generara un dibujo a escala descrito por M ′.
Observe que para este modelo teorico de pantografo no es necesario construir el punto C, en elpantografo real sı lo es porque no es posible ordenar a las varillas que se mantengan paralelas,entonces se recurre a un artificio mecanico; de cualquier forma, si Ud. desea dibunar el punto C,tiene que trazar una recta por M ′ paralela a OA, y la interseccion de esta recta con AM define alpunto C.
Finalmente, para consolidar todo lo anterior
1. Justifique el funcionamiento del pantografo demostrando que para todo punto M , se cumpleque M ′ = HO,OB
OA(M).
2. Elabore un pantografo en la computadora y verifique las propiedades de homotecia en el planopara rectas, triangulos y circunferencias; note que previo al diseno del pantografo, debe tenerlista la figura a la cual se le aplicara la homotecia y obligar al punto M a pertenece a dichafigura.
Homotecia de una figura cualquiera:En general, dada una figura geometrica en el plano o en el espacio, es posible transformarla me-diante una homotecia y (segun las discusiones previas) la figura resultante siempre sera semejantea la original; por ejemplo, la homotecia de un pentagono es otro pentagono que, no necesaria-mente es del mismo tamano que el original, pero sı tiene los mismos angulos y sus lados soncorrespondientemente paralelos al original; esto mismo sucede con un arco de circunferencia, unafotografıa, un cilindro, uno cono, etc. Sin embargo, ¿como se puede llegar a una conclusion tan
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poderosa unicamente analizando la homotecia aplicada a figuras tan elementales como la recta, lostriangulos y las circunferencias?Para completar formalmente el argumento, es necesario recurrir al Calculo; sin entrar en tantos de-talles, en esencia, la idea es descomponer localmente cualquier curva en una lınea poligonal de ladosinfinitiamene pequenos, una superficie en un poliedro triangular de caras infinitamente pequenas,teselar una region plana con triangulos infinitamente pequenos, etc. y luego aplicar la homoteciaa la poligonal (por ejemplo) esperando que la poligonal imagen describa la curva imagen.Aunque esto es plausible, es importante establecerlo con mas rigor; cualquiera que haya tenidoexperiencia con el Calculo, sabra que la idea que esta de fondo es la continuidad de la homotecia.Esta es una propiedad, que dicho de manera sencilla establece que: dado un punto y un entornocercano a ese punto, la homotecia lo mapea en un entorno cercano a la imagen del punto. Para ello,aunque no es nada evidente, lo que debe probarse es dado un punto P y su imagen P ′ = HO,k(P ),si se contruye una circunferencia de radio arbitrario ε y centro P ′, siempre es posible encontrarun radio δ tal que la imagen tras la homotecia de la circunferencia de radio δ y centro P estacompletamente contenida en la circunferencia de centro P ′ y radio ε.Otra propiedad importante es que la homotecia es una transformacion biyectiva; esto resulta parti-cularmente util cuando se quiere medir el angulo entre la homotecia de dos curvas: Suponga que αy β son dos curvas que se cortan en un punto P , el angulo entre α y β esta definido como el anguloque forman las tangentes locales a las curvas en P ;6 suponga que α′, β′ y P ′ son sus respectivasimagenes tras una homotecia.
En primer lugar observe que α′ y β′ se cortan en P ′.
En segundo lugar, α y α′ pueden verse como poligonales (llevadas al lımite) que por pro-piedades de homotecia, tienen lados correspondientemente paralelos, entonces las curvas sonlocalmente paralelas.
En tercer lugar, si l es la recta tangente localmente a α en P , se transforma en una recta l′
paralela a l, que pasa por P ′, y si llegara a cortar (localmente) a l′ en un segundo punto P ′′,la preimagen forzosamente deberıa ser P , lo que contradice la inyectividad de la homotecia;ası, l′ es tangente a α′ en P ′.
Finalmente, si m es la recta tangente a β en P , la imagen m′ es la recta tangente a β′ enP ′, por propiedades de homotecia, el angulo entre l y m es igual al angulo entre l′ y m′,entonces, el angulo entre α y β es igual al angulo entre α′ y β′. Por lo tanto, una figura, porcomplicada que sea, cumple que su imagen tras una homotecia es semejante a la original,preservando la inclinacion.
Para completar lo comentado en este parrafo, resuelva lo siguiente:
1. Demuestre que la homotecia es una transformacion continua.Se denota por C(P, r) al interior de una circunferencia (o una esfera) de centro P y radior. Sea P ′ el imagen de un punto P tras la homotecia HO,k. Demuestre que para un radioarbitrario ε > 0, es posible construir convenientemente un radio δ > 0 tal que HO,k (C(P, δ))esta completamente contenido en C(P ′, ε).
6Observe que para definir la tangente local a una curva, es necesario hacer uso de lımites, y la continuidad de lahometecia es nuevamente un tema central.
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EJEMPLO 4.6
2. Demuestre que la homotecia es una transformacion biyectiva.
RECTA Y CIRCULO DE EULER DE UN TRIANGULO. Demuestre que en todo triangulo,el centroide G esta situado entre el segmento OH, el cual une el circuncırculo y el ortocentro.
La recta OH es la recta de Euler del triangulo ABC y ademas−−→MO = −1
2
−−→AH
A
B C
P
M
NG
Sean M,N,P los puntos medios de los lados BC,CA y AB de un 4ABC. El 4MNP cuyos ladosson respectivamente paralelos a cada uno de los lados del 4ABC, es la transformacion a travesde una homotecia de razon NP
BC= −1
2.
El centro G de esta homotecia es comun con el punto donde se cortan las rectas AM , BN y CP y
es tal que−−→GM = −1
2
−→GA, con esto se comprueba mediante homotecias la propiedad de la mediana
de un triangulo.Acabamos de establecer la homotecia HG,− 1
2, observemos que la altura trazada desde A del4ABC
, tiene por homologo a la altura trazada desde M del 4MNP , y esta se dira que es la mediatrizde BC.El ortocentro H del 4ABC tiene por homologo el centro O del cincuncırculo del 4ABC y−→GO = −1
2
−−→GH
A
B
C
P
M
N
A′
H1
HO
G
Demostremos ahora que “En todo triangulo, los puntos medios de los lados, los pies de las alturasy los puntos medios de los segmentos que unen al ortocentro con los vertices del triangulo, estan
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situados en una misma circunferencia, que llamaremos circunferencia de Euler o circunferencia delos nueve puntos.PruebaSea w el centro de la circunferencia que pasa por los puntos M,N y P , este centro w es el homologo
de O, que es el centro de la circunferencia que pasa por A,B y C y−→Ow homologo de
−−→HO, de aqui
que−→Ow = −1
2
−−→HO. Luego el punto w es el punto medio de OH. La igualdad
−−→Hw = 1
2
−−→HO muestra
que H es el centro de la homotecia de las circunferencias ABC y MNP , cuya razon es positiva.Veamos ahora que con la homotecia encontrada HH, 1
2la transformacion del punto A es el punto
medio α de AH, y la transformacion del punto H1 de la recta AH corta a la circunferencia ABCen el pie A′ de la altura AH.Los puntos α y A′ pertenecen a la circunferencia MNP .
A
B
C
P
M
N
A′
H1
C ′
B′HOG
α
J
ω
β γ
4.3. Problemas de Homotecias.
1. Dos circunferencias Ω y Ω′ son tangentes en I. Se considera las cuerdas MN en la cir-cunferencia Ω de longitud fija. Las rectas MI y NI cortan nuavamente a Ω′ en M ′ y N ′,respectivamente. Demuestre que la recta M ′N ′ permanece tangente a una circunferencia fija.
2. Sean Γ y Γ′ dos circunferencias tangentes en T , y sea A un punto interior a Γ. Dado un puntovariable M sobre Γ, se define N como la otra interseccion de AM con Γ, luego M ′ es la otrainterseccion de MT con Γ′, y N ′ es la otra interseccion de NT con Γ′. Demuestre que lasrectas M ′N ′ pasan por un punto fijo.
3. Una circunferencia variable es tangente a una recta l en un punto fijo O de l. ¿Cuales son loslugares geometricos de los puntos de contacto en el cırculo generados por rectas tangentesparalelas a una recta fija m?
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4. Dados dos cuadrados de lados correspondientemente paralelos, ¿que sucede con las rectasque unen vertices correspondientes? ¿podemos decir lo mismo de dos rectangulos de ladoscorrespondientemente paralelos?
5. ABCD y A′B′C ′D′ son dos rectangulos tales que los lados mas largos de cada uno, AB yA′B′, se ubican sobre una misma recta l. Demuestre que los rectangulos son semejantes (elcociente entre el largo y el ancho es igual) si y solo si las rectas BB′, CC ′ y l concurren.
6. Dadas dos triangulos rectangulos isosceles no necesariamente iguales, demuestre que si sushipotenusas se ubican sobre una misma recta, existe una homotecia que transforma a untriangulo en el otro. De una manera de construir el centro de homotecia.
7. El problema de los bordes: Dado un polıgono, se construye otro polıgono en su interior obteni-do al bordear los lados con una banda de ancho constante a. El problema estudia lo siguiente:¿Las rectas que unen vertices correspondientes AA′, BB′, CC ′, . . . son concurrentes?
En la figura anterior se muestra el caso cuando el polıgono original es un pentagono. De-muestre que
a) Si el polıgono original es un triangulo, la respuesta es SI.
b) Si el polıgono original es un cuadrado, la respuesta tambien es SI.
c) Si el polıgono original es un rectangulo pero no es cuadrado, la respuesta es por logeneral NO. Dentro de este caso, ¿cuando la respuesta sera SI? Generalice sus ideaspara otros cuadrilateros.
d) Si el polıgono original es un rombo, la respuesta es sı. En general, demuestre que si elpolıgono original es convexo y admite una circunferencia tangente a todos sus lados,entonces la respuesta sera SI.
e) Si existe una homotecia que transforma a un polıgono en el otro la respuesta es SI, yviceversa.
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f ) ¿Que sucede cuando el polıgono original es regular?
8. Dado un triangulo 4ABC y un punto M sobre el lado BC, sean M1 la proyeccion ortogonalde M sobre AB, M2 la proyeccion ortogonal de M1 sobre CA, y P ′ la proyeccion ortogonalde M2 sobre BC. El objetivo del problema es determinar todos los puntos M (si existen)tales que el recorrido regresa a M , ie, M ′ = M . Para ello:
1° Tome un punto cualquiera P sobre BC y construya P1, P2 y P ′.
2° Defina I como la interseccion de las rectas PP1 y P2P′, y J como la interseccion de las
rectas AI con BC.
3° Verifique que J es una solucion al problema (aplique una homotecia con centro en A yque transforme a I en J).
4° En el sentido logico contrario: Suponga que M es un punto solucion del problema, de-muestre que a partir del recorrido que determina M es posible reconstruir el recorrido quedetermina cualquier otro punto P (aplique una homotecia convenientemente).
Bibliografıa
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2. Pena Simon Alfredo (2013). Matematica Primero y Segundo Ano de Bachillerato.(DocumentosMINED. El Salvador)
3. De Guzman, Miguel (1990). Matematicas de 2° ano de bachillerato Edit. Anaya. BarcelonaEspana
4. Molina, Fernando Alonso y Otros, Grupo Azarquiel (2001). Matematica 4° B de E. S. O.Ediciones de la torre. Madrid Espana
5. Baldor.J.A (1967). Geometrıa plana y del espacio y Trigonometrıa Cultural CentroamericanaS. A Guatemala
6. Sullivan J., Hernandez Garciadiego. Carlos (2006). Algebra y Trigonometrıa. Septima Edi-cion.Edit. PEARSON. Prentice Hall
7. Nunez Cabello. Raul (2007). Movimientos en el plano Ittakus , Sociedad para la informacion. Jaen Espana
8. Alsina Catala .Claudi, y otros (1989). Simetrıa dinamica. Editorial Sıntesis S.A. Madrid.Espana
9. Clayton w. Dodge (2004). Euclidian Geometry and Transformations.Dover Publicacions.IncMinora, New York
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ANEXO - Razones trigonométricas para ángulos agudos
Suponga que un ángulo agudo, es decir, 0 < < 90 ó 0 < <
2. Con este ángulo agudo, se puede
formar un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud c y catetos de longitudes a y b, tal como semuestra en la figura 4.
Figura 4: Razones trigonométricas
Con estos tres lados se pueden formar la seis razones siguientes:
b
c;
a
c;
b
a;
c
b;
c
a;
a
b
Se ene que estas seis razones dependen sólo del ángulo y no del triángulo rectángulo formado. Enefecto, si se forma otro triángulo con hipotenusa de longitud c 0 y catetos de longitudes a0 y b0, entonceslos dos triángulos son semejantes y, por tanto, las razones correspondientes son iguales (ver figura 5).
Figura 5: Razones trigonométricas
Como resultado se ob ene:
b
c=
b0
c 0;
a
c=
a0
c 0;
b
a=
b0
a0;
c
b=
c 0
b0;
c
a=
c 0
a0;
a
b=
a0
b0
Como las razones dependen sólo del ángulo y no del triángulo rectángulo formado, se da a cada razónun nombre especial que involucra al ángulo :
sin =b
c; cos =
a
c; tan =
b
a; csc =
c
b; sec =
c
a; cot =
a
b
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El círculo unitario
Considere el plano cartesiano xy . Sea un círculo cuyo centro está en origen O del plano cartesiano yene radio igual a 1. Este círculo es conocido como El Círculo Unitario y la ecuación de la circunferencia
es x2 + y 2 = 1.Sea P un punto sobre la circunferencia. Las proyecciones de P sobre el eje x y el eje y son respec va-mente los puntos A y B. Por P se traza una tangente a la circunferencia, que corta al eje x y al eje y enlos puntos C y D, respec vamente. Finalmente, sea el ángulo orientado que se forma desde el eje xposi vo hasta OP .
1. Si se supone que es un ángulo entre 0 y 90, entonces de la definición de las razones trigono-métricas se ob ene que AP = cos, BP = sen, CP = tan, DP = cot, OC = sec,OD = csc.
2. Si ahora suponemos que P es un punto cualquiera de la circunferencia y es un ángulo que tomacualquier valor entre 0 y 360, entonces se pueden generalizar las razones trigonométricas dela siguiente forma: los puntos de la figura enen por coordenadas P (cos; sen), A(cos; 0),B(0; sen), C(sec; 0),D(0; csc); así
La función seno de viene dada por la coordenada en y del punto P .
La función coseno de viene dada por la coordenada en x del punto P .
La función tangente de se define como el cociente sencos
, y su magnitud coincide con lalongitud del segmento tangente a la circunferencia PC.
La función cotangente de se define como el cociente cossen
, y su magnitud coincide con lalongitud del segmento tangente a la circunferencia PD.
- 66 -
La función secante de viene dada por la coordenada en x del punto C, y su magnitudcoincide con la longitud del segmento secante a la circunferencia CO.
La función cosecante de viene dada por la coordenada en y del punto D, y su magnitudcoincide con la longitud del segmento secante a la circunferenciaDO.
A par r de estas definiciones, se puede analizar el comportamiento de las funciones trigonomé-tricas cuando varía de 0 a 360, o equivalentemente en radianes de 0 a 2. Para ello completela tabla siguiente (coloque “ND” si la función no está definida):
0
(0;
2
)
2
(
2;
)
(;
3
2
)3
2
(3
2; 2
)sen 0 Crece de 0 a 1 1 Decrece de 1 a 0 0 Decrece de 0 a1 1 Crece de1 a 0cos
tan
cot
sec
csc
3. Observe que todas las funciones trigonométricas f () cumplen f () = f ( + 2), por lo queson funciones periódicas. Determine el periódo de cada una de ellas.
4. Observe que para todo :
a) 1 sen 1.
b) 1 cos 1.
c) 1 < tan <1.
d) 1 < cot <1.
e) 1 sec, o bien sec 1.
f ) 1 csc, o bien csc 1.
5. Aplicando el Teorema de Pitágoras a los triángulos4OAP ,4OCP ,4ODP , se ob ene que paratodo se cumple:2
a) sen2 + cos2 = 1.
b) 1 + tan2 = sec2 .
c) 1 + cot2 = csc2 .
2Siempre que permita que la función trigonométrica que se está evaluando esté bien definida.
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SECCIÓN 6.2 Trigonometría del triángulo rectángulo 515
“¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtiene una respuesta equivocada, lea las pági-nas indicadas en azul.
6.2 Evalúe su comprensión
1. En un triángulo rectángulo, con catetos a y b e hipotenu-sa c, el teorema de Pitágoras establece que __________.(p. 30)
2. El valor de la función f(x) 3x 7 en 5 es __________.(pp. 218–226)
Conceptos y vocabulario
3. Dos ángulos agudos cuya suma es un ángulo recto se lla-man __________.
4. Las funciones seno y _________ son cofunciones.
5. __________.
6. Para cualquier ángulo u, sen2 u cos2 u __________,
7. Falso o verdadero: tan u =sen ucos u
.
tan 28° = cot
8. Falso o verdadero:
9. Falso o verdadero: si u es un ángulo agudo y sec u 3,
entonces
10. Falso o verdadero: tan p
5= cot
4p5
.
cos u =13
.
1 + tan2 u = csc2 u.
Ejercicios
En los problemas 11-20, encuentre el valor de las seis funciones trigonométricas del ángulo u en cada figura.
11. 12. 13. 14. 15.
16. 17. 18. 19. 20.
En los problemas 21-24, use las identidades para encontrar el valor exacto de las cuatro funciones trigonométricas restantes delángulo agudo u.
21. 22.
23. 24.
En los problemas 25-36, use la definición o las identidades para encontrar el valor exacto de las otras cinco funciones trigono-métricas del ángulo agudo u.
25. 26. 27. 28.
29. 30. 31. 32.
33. 34. 35. 36.
En los problemas 37-54, use las identidades fundamentales y/o el teorema de ángulos complementarios para encontrar el valorexacto de cada expresión. No use calculadora.
37. 38. 39. sen 80° csc 80° 40. tan 10° cot 10°
41. 42. 43. 44. tan 12° - cot 78°sen 38° - cos 52°cot 25° -cos 25°sen 25°
tan 50° -sen 50°cos 50°
sec2 28° - tan2 28°sen2 20° + cos2 20°
cot u = 2csc u = 2sec u =53
tan u = 12
csc u = 5sec u = 3cot u =12
tan u =12
sen u =134
cos u =13
cos u =122
sen u =122
sen u =13
, cos u =212
3sen u =
23
, cos u =153
sen u =132
, cos u =12
sen u =12
, cos u =132
2
51
5
2
3
1
2θ
3
4
24
3
3
3
2
3
4
5
12
516 CAPÍTULO 6 Funciones trigonométricas
55. Dado use las identidades trigonométricas
para encontrar el valor exacto dea) cos 60° b)
c) d)
56. Dado use las identidades trigonométri-
cas para encontrar el valor exacto dea) cos 30° b)
c) d)
57. Dado use las identidades trigonométricas pa-ra encontrar el valor exacto dea) b)
c) d)
58. Dado use las identidades trigonométricas pa-ra encontrar el valor exacto dea) b) c) d)
59. Dado use las identidades trigonométricas pa-ra encontrar el valor exacto dea) b) c) d)
60. Dado use las identidades trigonométricas pa-ra encontrar el valor exacto dea) b)
c) d)
61. Dada la aproximación sen 38° L 0.62, use las identidadestrigonométricas para encontrar el valor aproximado dea) cos 38° b) tan 38°c) cot 38° d) sec 38°e) csc 38° (f) sen 52°(g) cos 52° (h) tan 52°
62. Dada la aproximación cos 21° L 0.93, use las identidadestrigonométricas para encontrar el valor aproximado dea) sen 21° b) tan 21°c) cot 21° d) sec 21°e) csc 21° f) sen 69°g) cos 69° h) tan 69°
63. Si encuentre el valor exacto de sen u cos
ap2
- ub .
sen u = 0.3,
sec2 utanap2
- ubcsc2 utan u
cot u = 2,
sec2 usec190° - u2cot2 usen u
csc u = 4,
sen2 ucsc190° - u2tan2 ucos u
sec u = 3,
csc2 ucotap2
- ubcot usec2 u
tan u = 4,
csc p
3sec p
6
cos2 60°
sen 60° =132
,
sec p
3csc p
6
cos2 30°
sen 30° =12
, 64. Si encuentre el valor exacto de tanu tan
65. Encuentre un ángulo agudo u que satisfaga la ecuaciónsen u cos(2u 30°).
66. Encuentre un ángulo agudo u que satisfaga la ecuacióntan u cot(u 45°).
67. Cálculo del tiempo de viaje Se quiere caminar de unestacionamiento a una casa en la playa. La casa se locali-za a 1500 pies por un camino pavimentado paralelo a laplaya, que tiene 500 pies de ancho. En el camino se avan-za a 300 pies por minuto, pero en la arena se avanza a100 pies por minuto. Vea la ilustración.
a) Calcule el tiempo T si camina 1500 pies por el caminoy luego 500 pies por la arena hasta la casa.
b) Calcule el tiempo T si camina 500 pies en la arena di-rectamente hacia el mar y luego voltea a la izquierdapara caminar 1500 pies por la arena hasta la casa.
c) Exprese el tiempo T para llegar del estacionamientoa la casa en la playa como función del ángulo u mos-trado en la ilustración.
d) Calcule el tiempo T si camina directamente del esta-cionamiento a la casa.[Sugerencia: tan u 500/1500]
e) Calcule el tiempo T si camina 1000 pies por el caminopavimentado y luego camina directamente a la casa.
f) Grafique T T(u). ¿Para qué ángulo u es menor T?¿Cuanto vale x para este ángulo? ¿Cuál es el tiempomínimo?
g) Explique por qué da el ángulo u más pe-queño posible.
68. Cargar una escalera dando la vuelta a una esquina Doscorredores, uno con 3 pies de ancho y el otro con 4 piesde ancho, se unen en ángulo recto. Vea la ilustración.a) Exprese la longitud L del segmento de recta mostra-
do como función del ángulo u.
tan u =13
Playa
Mar
Camino pavimentado
500 pies
1500 piesBosquex
Estacionamiento
ap2
- ub .
tan u = 4,
45. 46. 47. 48.
49. 50. 51. 52.
53. 54. sec 35° csc 55° - tan 35° cot 55°cos 35° sen 55° + cos 55° sen 35°
cot 25° # csc 65° # sen 25°tan 35° # sec 55° # cos 35°cot 40° -sen 50°sen 40°
tan 20° -cos 70°cos 20°
1 + tan2 5° - csc2 85°1 - cos2 20° - cos2 70°cos 40°sen 50°
cos 10°sen 80°
72. Vea la figura. El círculo más pequeño, cuyo radio es a, estangente al círculo más grande, con radio b. El rayo contiene un diámetro de cada círculo y el rayo estangente a cada círculo. Demuestre que
(Esto muestra que cos u es la razón de la media geomé-trica de a y b entre la media aritmética de a y b).
[Sugerencia: Primero demuestre que sen u (b a)/(b a)].
73. Vea la figura. Si demuestre que
a) Área
b) Área
c) Área
d)
e)
[Sugerencia: Área ]
74. Vea la figura en la que se dibujó un círculo unitario. Larecta DB es tangente al círculo.
y
x
C
O 1
1
–1
–1
B
D
B
C
ADO
1
^OAB = Área ^OAC + Área ^OCB
sen1a + b2 = sen a cos b + cos a sen b
ƒOB ƒ =cos acos b
^OAB =12
ƒOB ƒ sen1a + b2^OCB =
12
ƒOB ƒ2 sen b cos b
^OAC =12
sen a cos a
ƒOA ƒ = 1,
b
B
AO
a
cos u =2ab
a + b
2
OB ! OA
!b) Analice por qué la longitud de la escalera más largaque se puede cargar de un corredor a otro es igual alvalor más pequeño de L.
69. Suponga que el ángulo u es un ángulo central de un círcu-lo de radio 1 (vea la figura). Demuestre que
a) Ángulo
b) y
c)
70. Demuestre que el área A de un triángulo isósceles esA a2 sen u cos u, donde a es la longitud de uno de loslados iguales y u es la medida de uno de los ángulos igua-les (vea la figura).
71. Sea cualquier número real y sea u un ángulo para
el que Entonces se dibuja un triángulo con
los ángulos u y nu y el lado incluido de longitud 1 (¿porqué?) y se coloca en el círculo unitario como se ilustra.Ahora baje una perpendicular de C a D (x, 0) y de-muestre que
y
x
n
(1, 0)D = (x, 0)
C
O
h
x =tan1nu2
tan u + tan1nu2
0 6 nu 6p
2.
n Ú 1
aa
BDOA
C
tan u
2=
sen u1 + cos u
ƒOD ƒ = cos uƒCD ƒ = sen u
OAC =u
2
4 pies
3 pies
L
SECCIÓN 6.2 Trigonometría del triángulo rectángulo 517
SECCIÓN 6.4 Funciones trigonométricas de ángulos generales 535
Ejercicios
En los problemas 11-20 se da un punto en el lado terminal del ángulo u. Encuentre el valor exacto de las seis funciones trigono-métricas.
11. 12. 13. 14. 15.
16. 17. 18. 19. 20.
En los problemas 21-32, use un ángulo coterminal para encontrar el valor exacto de cada expresión. No use calculadora.
21. sen 405° 22. cos 420° 23. tan 405° 24. sen 390° 25. csc 450° 26. sec 540°
27. cot 390° 28. sec 420° 29. 30. 31. 32.
En los problemas 33-40, diga en qué cuadrante se encuentra el ángulo u.
33. 34. 35.
36. 37. 38.39. 40.
En los problemas 41-58, encuentre el ángulo de referencia de cada ángulo.
41. 42. 60° 43. 120° 44. 300° 45. 210° 46. 330°
47. 48. 49. 50. 51. 52.
53. 54. 55. 440° 56. 490° 57. 58.
En los problemas 59-88, use el ángulo de referencia para encontrar el valor exacto de cada expresión. No use calculadora.
59. sen 150° 60. cos 210° 61. cos 315° 62. sen 120° 63. sen 510° 64. cos 600°
65. 66. 67. sec 240° 68. csc 300° 69. cot 330° 70. tan 225°
71. 72. 73. 74. 75. 76.
77. 78. 79. 80. 81. 82.
83. 84. 85. 86. 87. 88.
En los problemas 89-106, encuentre el valor exacto de las funciones trigonométricas de u que faltan.
89. en Cuadrante II 90. en Cuadrante IV 91. en Cuadrante III
92. en Cuadrante III 93. 94. cos u =45
, 270° 6 u 6 360°sen u =5
13, 90° 6 u 6 180°sen u = -
513
, u
cos u = - 45
, ucos u =35
, usen u =1213
, u
csca - 5p2bsec1-3p2cot15p2tan17p2cos1-2p2sen18p2
sec1-225°2csc1-315°2sec 11p
4tan
14p3
cota - p
6bsena -
2p3b
tan 8p3
cos 13p
4csc
7p4
cot 7p6
cos 2p3
sen 3p4
sen1-240°2cos1-45°2
19p6
15p4
- 7p6
- 2p3
-240°-135°7p4
8p3
5p6
5p4
-30°
csc u 7 0, cot u 6 0sec u 6 0, tan u 7 0
sen u 6 0, cot u 7 0cos u 7 0, cot u 6 0cos u 7 0, tan u 7 0
sen u 6 0, tan u 6 0sen u 6 0, cos u 7 0sen u 7 0, cos u 6 0
csc 9p2
tan121p2sen 9p4
cos 33p
4
a - 122
, - 122ba12
2, - 122ba -
12
, 132ba13
2,
12b12, -22
1-3, -321-1, -2212, -3215, -1221-3, 42
Conceptos y vocabulario
6.4 Evalúe su comprensión
1. Para un ángulo u que está en el cuadrante III, las funcio-nes trigonométricas _________ y _________ son positivas.
2. Dos ángulos en posición estándar que tienen el mismolado terminal, son ____________.
3. El ángulo de referencia de 240° es ___________.
4. Falso o verdadero: sen 182° cos 2°.
5. Falso o verdadero: no está definida.tan p
2
6. Falso o verdadero: el ángulo de referencia siempre es unángulo agudo.
7. ¿Cuál es el ángulo de referencia de 600°?
8. ¿En qué cuadrantes es positiva la función coseno?
9. Si 0 u 2p, ¿para qué ángulos u, si los hay, tan u no es-tá definida?
10. ¿Cuál es el ángulo de referencia de13p
3 ?
SECCIÓN 6.5 Enfoque del círculo unitario; propiedades de las funciones trigonométricas 545
Ejercicios
En los problemas 9-14, se da el punto P en círculo unitario que corresponde al número real t. Encuentre sen t, cos t, tan t, csc t,sec t y cot t.
9. 10. 11. 12. 13. 14. a - 155
, 215
5ba15
3,
23ba12
2, - 122ba -
122
, - 122ba -
132
, - 12ba13
2, -
12b
4 Buscar los valores exactos usando las propiedades pares-impares
Encuentre el valor exacto de
a) b) c) d)
Solución a) b)
Función impar Función par
c)
Función impar
d)
Función impar El periodo es p
T R A B A J E A H O R A E N L O S P R O B L E M A S 3 7 Y 7 3 .
“¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtuvo una respuesta equivocada, lea las pági-nas indicadas en azul.
6.5 Evalúe su comprensión
q q tana -
37p4b = - tan
37p4
= - tanap4
+ 9pb = - tan p
4= -1
q cota -
3p2b = -cot
3p2
= 0
q q cos1-p2 = cos p = -1 sen1-45°2 = -sen 45° = -
122
tana - 37p
4bcota -
3p2bcos1-p2sen1-45°2
EJEMPLO 3
csc1-u2 =1
sen1-u2 =1
-sen u= -csc u
sec1-u2 =1
cos1-u2 =1
cos u= sec u
1. ¿Cuál es la ecuación de un círculo? (p. 176)
2. El dominio de la función es
__________. (pp. 218–226)
f1x2 =3x - 6x - 4
3. Una función para la que f(x) f(x) para toda x en eldominio de f se llama función _____________________.(pp. 240–242)
Conceptos y vocabulario
4. Las funciones seno, coseno, cosecante y secante tienenperiodo ____________; las funciones tangente y cotan-gente tienen periodo ____________.
5. El dominio de la función tangente es ____________.
6. El rango de la función seno es ____________.
7. Si sen u 0.2, entonces sen (u) ________________ ysen (u 2p) _________________.
8. Falso o verdadero: las únicas funciones trigonométricasson las funciones coseno y secante.
13. Reescriba sobre un denominador común:
sen u + cos ucos u
+cos u - sen u
sen u
15. Multiplique y simplifique: 16. Multiplique y simplifique:
17. Factorice y simplifique: 18. Factorice y simplifique:
En los problemas 19-98, establezca cada identidad.
19. 20. 21.
22. 23. 24.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36.
37. 38. 39.
40. 41. 42.
43. 44. 45.
46. 47. 48.
49. 50. 51.
52. 53. 54.
55. 56.
57. 58. 59.
60. 61. 62.
63. 64. 65.
66. 67. 68.
69. 70. 71.
72. 73.
74. 75.
76. 77.
78. 79.sen u + cos u
cos u-
sen u - cos usen u
= sec u csc usec2 u - tan2 u + tan u
sec u= sen u + cos u
1sec u - tan u22 + 1
csc u1sec u - tan u2 = 2 tan u1 - sen u1 + sen u
= 1sec u - tan u 22
sec u1 - sen u
=1 + sen u
cos3 u
1 + sen u1 - sen u
-1 - sen u1 + sen u
= 4 tan u sec u
11 - sen u
+1
1 + sen u= 2 sec2 utan u + cot u = sec u csc u
sec u - cos u = sen u tan usen2 u - tan u
cos2 u - cot u= tan2 u
sec u - csc usec u csc u
= sen u - cos u
1 - cot2 u
1 + cot2 u+ 2 cos2 u = 1
1 - tan2 u
1 + tan2 u+ 1 = 2 cos2 u
sec u1 + sec u
=1 - cos u
sen2 u
sec u + tan ucot u + cos u
= tan u sec utan u - cot utan u + cot u
+ 2 cos2 u = 1tan u - cot utan u + cot u
+ 1 = 2 sen2 u
sec u - cos usec u + cos u
=sen2 u
1 + cos2 u
tan u - cot utan u + cot u
= sen2 u - cos2 usen u - cos u + 1sen u + cos u - 1
=sen u + 1
cos u
tan u + sec u - 1tan u - sec u + 1
= tan u + sec usen u cos u
cos2 u - sen2 u=
tan u
1 - tan2 utan u +
cos u1 + sen u
= sec u
cot u1 - tan u
+tan u
1 - cot u= 1 + tan u + cot u
cos u1 - tan u
+sen u
1 - cot u= sen u + cos u
1 - cos u1 + cos u
= 1csc u - cot u221 - sen u1 + sen u
= 1sec u - tan u221 -sen2 u
1 + cos u= cos u
sen usen u - cos u
=1
1 - cot ucos u
1 + sen u+
1 + sen ucos u
= 2 sec u1 - sen u
cos u+
cos u1 - sen u
= 2 sec u
cos u + 1cos u - 1
=1 + sec u1 - sec u
1 + sen u1 - sen u
=csc u + 1csc u - 1
csc u - 1cot u
=cot u
csc u + 1
sec ucsc u
+sen ucos u
= 2 tan ucsc u - 1csc u + 1
=1 - sen u1 + sen u
1 + tan u1 - tan u
=cot u + 1cot u - 1
1 -sen2 u
1 - cos u= -cos u1 -
cos2 u1 + sen u
= sen u9 sec2 u - 5 tan2 u = 5 + 4 sec2 u
3 sen2 u + 4 cos2 u = 3 + cos2 ucsc u - cot u =sen u
1 + cos usec u - tan u =
cos u1 + sen u
csc4 u - csc2 u = cot4 u + cot2 usec4 u - sec2 u = tan4 u + tan2 utan2 u cos2 u + cot2 u sen2 u = 1
1sen u + cos u22 + 1sen u - cos u22 = 211 - cos2 u211 + cot2 u2 = 1cos2 u11 + tan2 u2 = 1
1csc u + cot u21csc u - cot u2 = 11sec u + tan u21sec u - tan u2 = 11csc u - 121csc u + 12 = cot2 u
1sec u - 121sec u + 12 = tan2 usen u csc u - cos2 u = sen2 utan u cot u - cos2 u = sen2 u
sen u1cot u + tan u2 = sec ucos u1tan u + cot u2 = csc u1 + cot21-u2 = csc2 u
1 + tan21-u2 = sec2 usec u # sen u = tan ucsc u # cos u = cot u
cos2 u - 1
cos2 u - cos u
3 sen2 u + 4 sen u + 1
sen2 u + 2 sen u + 1
1tan u + 121tan u + 12 - sec2 u
tan u
1sen u + cos u21sen u + cos u2 - 1
sen u cos u
614 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica
14. Reescriba sobre un denominador común:
11 - cos u
+1
1 + cos u
25. 26.
27. 28.
29. 30.
En los problemas 31-36, encuentre el valor exacto de lo siguiente con las condiciones dadas.a) b) c) d)
31. 32.
33. 34.
35.
36.
37. Si en el cuadrante II, encuentre el valor exacto de:
a) b) c) d)
38. Si en el cuadrante VI, encuentre el valor exacto de:
a) b) c) d)
En los problemas 39-64, establezca cada identidad.
39. 40. 41.
42. 43. 44.
45. 46. 47.
48. 49.
50. 51.
52. 53.
54. 55.
56. 57.
58. 59.
60. 61.
62. 63. k cualquier entero
64. k cualquier enterocos1u + kp2 = 1-12k cos u,
sen1u + kp2 = 1-12k sen u,cos1a - b2 cos1a + b2 = cos2 a - sen2 b
sen1a - b2 sen1a + b2 = sen2 a - sen2 bsec1a - b2 =sec a sec b
1 + tan a tan b
sec1a + b2 =csc a csc b
cot a cot b - 1cot1a - b2 =
cot a cot b + 1
cot b - cot a
cot1a + b2 =cot a cot b - 1
cot b + cot a
cos1a + b2cos1a - b2 =
1 - tan a tan b
1 + tan a tan b
sen1a + b2sen1a - b2 =
tan a + tan b
tan a - tan b
cos1a - b2sen a cos b
= cot a + tan b
cos1a + b2cos a cos b
= 1 - tan a tan bsen1a + b2cos a cos b
= tan a + tan b
sen1a + b2sen a cos b
= 1 + cot a tan bcos1a + b2 + cos1a - b2 = 2 cos a cos b
sen1a + b2 + sen1a - b2 = 2 sen a cos bcosa3p2
+ ub = sen u
sena3p2
+ ub = -cos utan12p - u2 = - tan utan1p - u2 = - tan u
cos1p + u2 = -cos usen1p + u2 = -sen ucos1p - u2 = -cos u
sen1p - u2 = sen ucosap2
+ ub = -sen usenap2
+ ub = cos u
tanau -p
4bcosau +
p
3bsenau -
p
6bsen u
ucos u =14
,
tanau +p
4bcosau -
p
3bsenau +
p
6bcos u
usen u =13
,
0 6 b 6p
2sen b =
13
,- p
26 a 6 0;cos a =
12
,
p
26 b 6 ptan b = -23,-
3p2
6 a 6 -p;sen a =5
13,
p 6 b 63p2
sen b = - 12
,p 6 a 63p2
;tan a =5
12,0 6 b 6
p
2cos b =
12
,p
26 a 6 p;tan a = -
43
,
- p
26 b 6 0sen b = -
45
,0 6 a 6p
2;cos a =
255
,- p
26 b 6 0cos b =
2255
,0 6 a 6p
2;sen a =
35
,
tan1a - b2sen1a - b2cos1a + b2sen1a + b2
sen p
18 cos
5p18
+ cos p
18 sen
5p18
cos p
12 cos
5p12
+ sen 5p12
sen p
12
cos 5p12
cos 7p12
- sen 5p12
sen 7p12
sen p
12 cos
7p12
- cos p
12 sen
7p12
tan 40° - tan 10°1 + tan 40° tan 10°
tan 20° + tan 25°1 - tan 20° tan 25°
624 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica
29. Demuestre que sen4 u =38
-12
cos12u2 +18
cos14u2.
Ejercicios
En los problemas 7-18, use la información dada acerca del ángulo para encontrar el valor exacto de
(a) (b) (c) (d)
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
En los problemas 19-28, use las fórmulas de medio ángulo para encontrar el valor exacto de cada función trigonométrica.
19. sen 22.5° 20. cos 22.5° 21. 22. 23. cos 165°
24. sen 195° 25. 26. 27. 28. cosa - 3p8bsena -
p
8bcsc
7p8
sec 15p
8
tan 9p8
tan 7p8
cot u = 3, cos u 6 0tan u = -3, sen u 6 0sec u = 2, csc u 6 0
cot u = -2, sec u 6 0csc u = -25, cos u 6 0sec u = 3, sen u 7 0
sen u = - 233
, 3p2
6 u 6 2pcos u = - 263
, p
26 u 6 ptan u =
12
, p 6 u 63p2
tan u =43
, p 6 u 63p2
cos u =35
, 0 6 u 6p
2sen u =
35
, 0 6 u 6p
2
cos u
2sen u
2cos12u2sen12u2
u, 0 … u … 2p,
SECCIÓN 7.5 Fórmulas para ángulo doble y medio ángulo 633
Con esta fórmula, la solución del ejemplo 6c) se puede dar como
Entonces, por la ecuación (11),
Conceptos y vocabulario
7.5 Evalúe su comprensión
tan a
2=
1 - cos asen a
=1 - a -
35b
- 45
=
85
- 45
= -2
sen a = -31 - cos2 a = -A1 -9
25= -A16
25= -
45
cos a = - 35
1. ____________________ __________.
2.
3. tan u
2=
1 - cos u
sen2 u
2=
2
.
- 1 = 1 -=cos12u2 = cos2 u - 4. Falso o verdadero: tiene tres formas equivalentes:
5. Falso o verdadero: tiene dos formas equivalentes:
6. Falso o verdadero: tan12u2 + tan12u2 = tan14u22 sen u cos u y sen2 u - cos2 u
sen12u2cos2 u - sen2 u, 1 - 2 sen2 u, y 2 cos2 u - 1
cos12u2
30. Desarrolle una fórmula para como polinomio detercer grado en la variable cos u.
cos13u231. Demuestre que sen14u2 = 1cos u214 sen u - 8 sen3 u2. 32. Desarrolle una fórmula para como polinomio de
cuarto grado en la variable cos u.cos14u2
33. Encuentre una expresión para como polinomiode quinto grado en la variable sen u.
sen15u2 34. Encuentre una expresión para como polinomiode quinto grado en la variable cos u.
cos15u2
En los problemas 35-56, establezca cada identidad.
35. 36. 37.
38. 39. 40. csc12u2 =12
sec u csc usec12u2 =sec2 u
2 - sec2 ucot12u2 =
12
1cot u - tan u2
cot12u2 =cot2 u - 1
2 cot ucot u - tan ucot u + tan u
= cos12u2cos4 u - sen4 u = cos12u2
EjerciciosEn los problemas 7-30, resuelva cada ecuación en el intervalo
7. 8. 9. 10.
11. 12. 13. 14.
15. 16. 17. 18.
19. 20. 21. 22.23. 24. 25. 26.
27. 28. 29. 30.
En los problemas 31-40, resuelva cada ecuación. Dé una fórmula general para todas las soluciones. Enumere seis soluciones.
31. 32. 33. 34. 35.
36. 37. 38. 39. 40.
En los problemas 41-52, use una calculadora para resolver cada ecuación en el intervalo Redondee sus respuestasa dos decimales.
41. 42. 43. 44.45. 46. 47. 48.
49. 50. 51. 52. 4 cos u + 3 = 03 sen u - 2 = 04 cot u = -55 tan u + 9 = 0
csc u = -3sec u = -4sen u = -0.2cos u = -0.9cot u = 2tan u = 5cos u = 0.6sen u = 0.4
0 … u 6 2p.
tan u
2= -1sen
u
2= -
232
sen12u2 = -1cos12u2 = - 12
sen u =222
cos u = 0cos u = - 232
tan u = - 233
tan u = 1sen u =12
cosa u3
-p
4b =
12
tana u2
+p
3b = 1sena3u +
p
18b = 1cosa2u -
p
2b = -1
4 sen u + 323 = 23322 cos u + 2 = -15 csc u - 3 = 24 sec u + 6 = -223 cot u + 1 = 0tan u + 1 = 0cos u + 1 = 02 sen u + 1 = 0
cot 2u3
= -23sec 3u2
= -2tan12u2 = -1cos12u2 = - 12
tan u
2= 23sen13u2 = -14 cos2 u - 3 = 02 sen2 u - 1 = 0
tan2 u =13
4 cos2 u = 11 - cos u =12
2 sen u + 3 = 2
0 … u 6 2p.
SECCIÓN 7.7 Ecuaciones trigonométricas (I) 643
“¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtiene una respuesta equivocada, lea las pági-nas indicadas entre paréntesis.
7.7 Evalúe su comprensión
1. Resuelva: (pp. 84–87)3x - 5 = -x + 1. 2. __________; __________.
(pp. 520 y 526–534)
cosa8p3b =senap
4b =
Conceptos y vocabulario
3. Dos soluciones de la ecuación son __________
y __________.
4. Todas las soluciones de la ecuación son _______.sen u =12
sen u =12
5. Falso o verdadero: la mayoría de las ecuaciones trigono-métricas tienen soluciones únicas.
6. Falso o verdadero: la ecuación tiene solucio-nes reales que se encuentran usando una calculadora degráficas.
sen u = 2
53. Suponga que
a) Resuelva
b) Para qué valores de x, está en el intervalo
54. Suponga quea) Resuelvab) Para qué valores de x, está en el inter-
valo
55. Suponga quea) Resuelva
b) Para qué valores de x, está en el intervalo
a - p
2, p
2b?
f1x2 6 -4
f1x2 = -4.f1x2 = 4 tan x.
30, 2p2?f1x2 6 -23
f1x2 = -23.f1x2 = 2 cos x.
30, 2p2?f1x2 7
32
f1x2 =32
.
f1x2 = 3 sen x. 56. Suponga que
a) Resuelva
b) Para qué valores de x, está en el inter-valo
57. Rueda de la fortuna En 1893, George Ferris diseñó larueda de la fortuna (o rueda de Ferris).Tenía 250 pies dediámetro. Si la rueda completa una vuelta cada 10 segun-dos, entonces
representa la altura h, en pies, de un asiento en la rueda,como función del tiempo t, donde t se mide en segundos.El paseo comienza cuandoa) Durante los primeros 40 segundo del paseo, ¿en qué
momento t un individuo que pasea en la rueda de lafortuna está justo a 125 pies del suelo?
t = 0.
h1t2 = 125 sena0.157t -p
2b + 125
10, p2? f1x2 7 -23
f1x2 = -23.
f1x2 = cot x.
Ejercicios
En los problemas 3-44, resuelva cada ecuación en el intervalo
3. 4. 5.
6. 7. 8.
9. 10. 11.
12. 13. 14.
15. 16. 17.
18. 19. 20.
21. 22. 23.
24. 25. 26.
27. 28. 29.
30. 31. 32.
33. 34. 35.
36. 37. 38.
39. 40. 41.
42. 43. 44.
En los problemas 45-50, despeje Exprese las soluciones redondeadas a dos decimales.x, -p … x … p.
sen u + cos u = -22sen u + cos u = 22tan12u2 + 2 cos u = 0
tan12u2 + 2 sen u = 023 sen u + cos u = 1sen u - 23 cos u = 1
sec u = tan u + cot usec2 u + tan u = 0cos12u2 + 5 cos u + 3 = 0
3 - sen u = cos12u2csc2 u = cot u + 1tan2 u =32
sec u
411 + sen u2 = cos2 u311 - cos u2 = sen2 u2 cos2 u - 7 cos u - 4 = 0
2 sen2 u - 5 sen u + 3 = 0sen2 u = 2 cos u + 21 + sen u = 2 cos2 u
sen14u2 - sen16u2 = 0cos14u2 - cos16u2 = 0cos12u2 + cos14u2 = 0
sen12u2 + sen14u2 = 0sen12u2 sen u = cos ucos12u2 = cos u
tan u = cot usen u = csc usen12u2 = cos u
tan u = 2 sen ucos u + sen u = 0cos u = sen u
cos12u2 = 2 - 2 sen2 ucos12u2 + 6 sen2 u = 42 sen2 u = 311 - cos u2sen2 u = 61cos u + 12cos2 u - sen2 u + sen u = 0sen2 u - cos2 u = 1 + cos u
1cot u + 12acsc u -12b = 01tan u - 121sec u - 12 = 02 cos2 u + cos u - 1 = 0
2 sen2 u - sen u - 1 = 0sen2 u - 1 = 02 cos2 u + cos u = 0
0 … u 6 2p.
SECCIÓN 7.8 Ecuaciones trigonométricas (II) 651
“¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtiene una respuesta equivocada, lea las pági-
nas indicadas entre paréntesis.
7.8 Evalúe su comprensión
1. Encuentre las soluciones reales de 4x2 x 5 0.(pp. 97–98)
2. Encuentre las soluciones reales de x2 x 1 0.(p. 102)
45. Resuelva la ecuación cos x ex graficando Y1 cos x yY2 ex y encuentre sus puntos de intersección.
46. Resuelva la ecuación cos x ex graficando Y1 cos x ex y encuentre sus intercepciones en x.
47. Resuelva la ecuación 2 sen x 0.7x graficando Y1 2sen x y Y2 0.7x y encuentre sus puntos de intersec-ción.
48. Resuelva la ecuación 2 sen x 0.7x graficando Y1 2sen x 0.7x y encuentre sus intercepciones en x.
49. Resuelva la ecuación cos x x2 graficando Y1 cos x yY2 x2 y encuentre sus puntos de intersección.
50. Resuelva la ecuación cos x x2 graficando Y1 cos x x2 y encuentre sus intercepciones en x.
En los problemas 51-62, use una calculadora gráfica para resolver cada ecuación. Exprese las soluciones redondeadas a dos de-cimales
51. 52. 53.
54. 55. 56.
57. 58. 59.
60. 61. 62. 4 cos13x2 - ex = 1, x 7 06 sen x - ex = 2, x 7 0x2 = x + 3 cos12x2x2 - 2 sen12x2 = 3xx2 + 3 sen x = 0x2 - 2 cos x = 0
sen x - cos x = xsen x + cos x = x19x + 8 cos x = 2
22x - 17 sen x = 3x - 4 sen x = 0x + 5 cos x = 0
Figura 28
676 CAPÍTULO 8 Aplicaciones de las funciones trigonométricas
que de nuevo da
Entonces, ya sea que el triángulo tenga tres ángulos agudos o dos agudos yuno obtuso, las ecuaciones (3) y (4) se cumplen. En consecuencia, se igualanlas expresiones para h en estas ecuaciones para obtener
de donde
(5)
De manera similar, si se dibuja la altura desde el vértice del ángulo como se muestra en la figura 28, se demuestra que
Al igualar las expresiones para se encuentra que
de donde
(6)
Cuando se combinan las ecuaciones (5) y (6), se tiene la ecuación (1), esdecir, la ley de los senos.
“¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtiene una respuesta equivocada, lea laspáginas indicadas entre paréntesis.
8.2 Evalúe su comprensión
sen bb
=sen g
c
h¿ = c sen b = b sen g
h¿,
sen b =h¿c y sen g =
h¿b
ah¿
sen aa
=sen g
c
a sen g = c sen a
h = c sen a
1. La fórmula de la resta para el seno es __________. (p. 619)
2. Si es un ángulo agudo, resuelva la ecuación (pp. 639–642)
sen u =12
.u
sen1a - b2 = 3. Si es un ángulo agudo, resuelva la ecuación (pp. 639–642)
sen u = 2.u
Conceptos y vocabulario4. Si ninguno de los ángulos de un triángulo es un ángulo
recto, el triángulo se llama __________.5. Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos
la ley de los senos establece que __________.6. Falso o verdadero: un triángulo oblicuo en el que se dan
dos lados y un ángulo siempre tiene como resultado almenos un triángulo.
a, b, g,
7. Falso o verdadero: la suma de los ángulos de cualquiertriángulo es igual a 180°.
8. Falso o verdadero: el caso ambiguo se refiere al hecho deque, cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto aellos, algunas veces no se puede usar la ley de los senos.
Ejercicios
En los problemas 9-16, resuelva cada triángulo.
9. 10. 11.85°
c50°
a 3
40°4
45°
a b
45°
95°
5
a b
c ah′
b
a)
h′ca
b
b)
pies a C y ve que el ángulo ACB mide 50°. ¿Cuál es ladistancia entre A y B?
39. Longitud de un teleférico Consulte la figura. Para en-contrar la longitud del cable para un teleférico para es-quiadores propuesto de A a B, un topógrafo mide 25°para el ángulo DAB y luego camina una distancia de1000 pies a C y mide 15° para el ángulo ACB. ¿Cuál es ladistancia entre A y B?
15°25°
1000 pies
A CD
B
A C40° 50°
100 pies
B
37. Rescate en el mar La estación de guardacostas Able seencuentra 150 millas al sur de la estación Baker. Unbarco envía una llamada de auxilio que reciben las esta-ciones. La llamada a Able indica que el barco se localizaen N55°E; la llamada a Baker indica que el barco está enS60°E.a) ¿A qué distancia está cada estación del barco?b) Si un helicóptero capaz de volar a 200 millas por hora
se despacha de la estación más cercana, ¿cuánto tar-dará en llegar al barco?
38. Topografía Consulte la figura. Para encontrar la dis-tancia de la casa A a la casa B, un topógrafo ve que el án-gulo BAC mide 40° y luego camina una distancia de 100
Baker
60°
55°
150 mi
Able
N
SO E
12. 13. 14.
15. 16.
En los problemas 17-24, resuelva cada triángulo.
17. 18. 19.
20. 21. 22.
23. 24.
En los problemas 25-36 se dan dos lados y un ángulo. Determine si la información dada tiene como resultado un triángulo, dostriángulos o ninguno. Resuelva los triángulos que se obtengan.
25. 26. 27.
28. 29. 30.
31. 32. 33.
34. 35. 36. b = 4, c = 5, b = 40°a = 2, c = 1, g = 25°b = 4, c = 5, b = 95°
a = 2, c = 1, g = 100°a = 3, b = 7, a = 70°b = 4, c = 6, b = 20°
b = 2, c = 3, b = 40°a = 4, b = 5, a = 60°a = 2, c = 1, a = 120°
b = 5, c = 3, b = 100°b = 4, c = 3, b = 40°a = 3, b = 2, a = 50°
b = 20°, g = 70°, a = 1a = 40°, b = 40°, c = 2
b = 10°, g = 100°, b = 2a = 110°, g = 30°, c = 3a = 70°, b = 60°, c = 4
b = 70°, g = 10°, b = 5a = 50°, g = 20°, a = 3a = 40°, b = 20°, a = 2
30° 100°c
a6
40°
100°
c
a 2
5° 10°ba
5
45°c
40°
a 7
30°
125°
c
a 10
SECCIÓN 8.2 Ley de los senos 677
684 CAPÍTULO 8 Aplicaciones de las funciones trigonométricas
Ejercicios
En los problemas 9-16, resuelva cada triángulo.
9. 10. 11.
12. 13.
14. 15. 16.
En los problemas 17-32, resuelva cada triángulo.
17. 18. 19.20. 21. 22. b = 4, c = 1, a = 120°a = 3, c = 2, b = 110°a = 6, b = 4, g = 60°
b = 1, c = 3, a = 80°a = 2, c = 1, b = 10°a = 3, b = 4, g = 40°
34
4
γ
αβ
96
4
γ
αβ
85
4
γ
αβ
6 5
8
γ
αβ
20°2
5
bγα
95°2 3
cβ α30°
4
3aβ
γ
45°
2
4
b
α
γ
La ley de los senos se conocía vagamente mucho antes de queNasir Eddin (alrededor de 1250 dC) la estableciera en formaexplícita. Ptolomeo (alrededor de 150 dC) estaba conscientede ella al usar una función de cuerda en lugar de la función se-no. Pero fue establecida con claridad por primera vez en Eu-ropa por Regiomontanus, en su escrito en 1464.
La ley de los cosenos aparece primero en el libro Ele-mentos (Libro II) de Euclides, pero en una forma disfrazada enla que los cuadrados de los lados de los triángulos se suman yun rectángulo que representa el término del coseno se resta.Así que todos los matemáticos la conocían debido a su familia-
ASPECTO HISTÓRICO
ridad con el trabajo de Euclides. Una de las primeras formasmodernas de la ley de los cosenos, la que encuentra el ángulocuando se conocen los lados, fue establecida por François Viè-te (en 1593).
La ley de las tangentes (vea el problema 61 de los ejerci-cios 8.2) se ha convertido en obsoleta. En el pasado se usó enlugar de la ley de los cosenos, porque ésta era muy inconve-niente para los cálculos con logaritmos o reglas de cálculo. Sinembargo, la combinación de suma y multiplicación es ahoramuy sencilla en una calculadora y la ley de las tangentes quedóarchivada junto con la regla de cálculo.
1. Escriba la fórmula para la distancia d de a(p. 160)P2 = 1x2 , y22.
P1 = 1x1 , y12 2. Si es un ángulo agudo, resuelva la ecuación(pp. 639–642)
cos u =222
.u
Conceptos y vocabulario
3. Si se dan tres lados de un triángulo, se usa la ley de__________ para resolver el triángulo.
4. Si se da uno de los lados y dos ángulos de un triángulo, seusa la ley de __________ para resolver el triángulo.
5. Si se dan dos lados y el ángulo incluido de un triángulo,se usa la ley de __________ para resolver el triángulo.
6. Falso o verdadero: dados sólo los tres lados de un trián-gulo se tiene información insuficiente para resolverlo.
7. Falso o verdadero: dados dos lados y el ángulo incluido,los primero que se hace para resolver el triángulo es usarla ley de los senos.
8. Falso o verdadero: un caso especial de la ley de los cose-nos es el teorema de Pitágoras.
“¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtiene una respuesta equivocada, lea las pági-nas indicadas entre paréntesis.
8.3 Evalúe su comprensión
SECCIÓN 8.3 Ley de los cosenos 685
a) ¿Qué ángulo debe virar el capitán para ir directa-mente a Barbados?
b) Una vez que da la vuelta, ¿cuánto tiempo tarda en llegara Barbados si conserva la misma velocidad de 15 nudos?
36. Corrección del plan de vuelo Al intentar volar de Chi-cago a Louisville, una distancia de 330 millas, un pilotosin darse cuenta toma un curso equivocado con 10° deerror, como se indica en la figura.a) Si el avión mantiene una velocidad promedio de 220
millas por hora y si el error en dirección se descubre15 minutos después, ¿cuál es el ángulo que debe girarpara dirigirse a Louisville.
b) ¿Qué nueva velocidad debe mantener el piloto paraque el tiempo total de viaje sea de 90 minutos?
37. Campo para ligas mayores de béisbol Un diamante deligas mayores de béisbol en realidad es un cuadrado de90 pies por lado. El montículo del pitcher está a 60.5 piesde la base del bateador (home) sobre la línea que unehome con la segunda base.a) ¿A qué distancia está la primera base del montículo
del pitcher?b) ¿A qué distancia está la segunda base del montículo
del pitcher?c) Si un pitcher ve al home, ¿qué ángulo debe voltear
para mirar la primera base?
10°Punto dondese detecta el error
330 miLouisville
Chicago
20°
Barbados
San Juan
600
33. Topografía Consulte la figura. Para encontrar la dis-tancia de la casa en A a la casa en B, un topógrafo mideel ángulo ACB, cuya medida es de 70°, y luego camina ladistancia a cada casa, 50 y 70 pies, respectivamente. ¿Aqué distancia están las casas?
34. Navegación Un avión vuela de Fort Myers a Sarasota,una distancia de 150 millas, y luego da vuelta un ángulode 50° y vuela a Orlando, una distancia de 100 millas(vea la figura).a) ¿Qué distancia hay entre Fort Myers y Orlando?b) ¿Qué ángulo debe virar el piloto en Orlando para re-
gresar a Fort Myers?
35. Para evitar una tormenta tropical Un crucero mantie-ne una velocidad promedio de 15 nudos por hora al ir deSan Juan, Puerto Rico, a Barbados, Indias Occidentales,una distancia de 600 millas náuticas. Para evitar una tor-menta tropical, el capitán sale de San Juan en una direc-ción 20° fuera del curso directo a Barbados. Conserva lavelocidad de 15 nudos durante 10 horas, después de estetiempo la trayectoria a Barbados está libre de tormentas.
50°
100 mi
150 mi
Orlando
Sarasota
Ft. Myers
70°50 pies
70 pies
A
B
C
23. 24. 25.26. 27. 28.29. 30. 31.32. a = 9, b = 7, c = 10
a = 10, b = 8, c = 5a = 4, b = 3, c = 6a = 5, b = 8, c = 9a = 3, b = 3, c = 2a = 2, b = 2, c = 2a = 4, b = 5, c = 3a = 12, b = 13, c = 5a = 3, c = 2, b = 90°a = 2, b = 2, g = 50°
