17 circunferencia

UNIDAD 17CIRCUNFERENCIA

15. Circunferencia

Apuntes PSU 2011

Unidad 17Circunferencia

Confeccionado, recopilado, diseñado, diagramado, redactado, revisado, re-revisado y requete revisado por

César Fernández R. yTatiana Sepúlveda O.

Queridos alumnos y alumnas:

Hemos hecho lo humanamente posible por evitar errores pasados. Si hay errores, estos son ¡completamente nuevos! y te pedimos que nos avises.

Cada test incluye una sección en que tratamos de explicarte en qué te puedes haber equivocado al marcar una alternativa. Sin embargo, hay alternativas que ni con la mejor voluntad del mundo hemos podido explicar. Si tú, en un arranque de creatividad, marcaste una de las alternativas incorrectas y no está explicada en el análisis de alternativas, por favor cuéntanos cómo lo hiciste para mejorar estos apuntes para el futuro. Prometemos no reírnos de ti. O por lo menos no mucho.

Cualquier otra sugerencia que tengas, por favor háznosla saber. Estos apuntes van a seguir perfeccionándose año a año.

Por último, esperamos y te deseamos que seas constante y riguroso a la hora de desarrollar los ejercicios y los tests y al analizar tus errores. Sólo preparándote a conciencia y desde ahora ¡ya! lograrás los resultados que esperas.

Portada: Brian S. Chen, “Artificial Rain”, reproducida con permiso del autor. (www.brianschen.com)

Este apunte de preparación para la PSU fue confeccionado por el Departamento de

Matemáticas del Colegio Alemán de Santiago.

Circunferencia

CírculoCentro

Diámetro

Radio

Cuerda

F

T

17. Circunferencia

1. Circunferencia

► CIRCUNFERENCIA: Línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan de otro punto llamado CENTRO.

La región interior de la circunferencia se denomina Círculo.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA ►RADIO (r): Trazo que une el centro con un punto de la circunferencia.

►CUERDA: Trazo que une 2 puntos de la circunferencia

►DIÁMETRO (d): Cuerda que pasa por el centro. El diámetro equivale a la medida de 2 radios.

►ARCO: Parte de la circunferencia, limitada por 2 puntos de ella. Dos puntos F y T determinan dos arcos diferentes: el arco menor TF y el arco mayor FT.

POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

►DISJUNTAS: La recta y la circunferencia no tienen punto de intersección.

►TANGENTES: La recta toca a la circunferencia en un solo punto, llamado punto de tangencia. El radio que une el centro con el punto de tangencia es perpen- dicular a la recta.

► SECANTES: La recta y la circunferencia se intersectan en 2 puntos.

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

►EXTERIORES: Los puntos de cada circunferencia son exteriores a la otra.

► TANGENTES EXTERIORES: Las circunferencias tienen un punto común y el resto de los puntos de una son exteriores a la otra.

► SECANTES: Las circunferencias tienen dos puntos comunes.

►TANGENTES INTERIORMENTE: Las circunferencias tienen un punto común y todos los demás puntos de una son interiores a la otra.

► INTERIORES: Todos los puntos de una de ellas son interiores de la otra.

► CONCÉNTRICAS: Las circunferencias tienen el centro en común.

RELACIÓN ENTRE POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA

►POLÍGONO INSCRITO A LA CIRCUNFERENCIA: Los vértices del polígono son puntos de la circunferencia y ésta queda circunscrita al polígono. Los lados del polígono son cuerdas de la circunferencia.

1

O

BA

r

O

BA

C

D

O

O

A

C

B

O

x

Ox

D

A

C

B

D

A

C

B

d

a

c

b

15. Circunferencia

►POLÍGONO CIRCUNSCRITO A LA CIRCUNFERENCIA: Los lados del polígono son tangentes a la circunferencia. La circunferencia queda inscrita al polígono. 2. Ángulos y Arcos en la Circunferencia

►ÁNGULO CENTRAL (o ÁNGULO DEL CENTRO): ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo.

Un ángulo del centro determina un arco de circunferencia. Se dice que el ángulo subtiende dicho arco.

Medida del arco AB =

►ÁNGULO INSCRITO: Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son cuerdas. En la figura: ∠ACB.

► ÁNGULO SEMINSCRITO: Ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y cuyos lados son una cuerda y una tangente a la circunferencia. En la figura: ∠DCA y también ∠DCB.

TEOREMAS

► ÁNGULOS CENTRAL, INSCRITO y SEMINSCRITO Si un ángulo inscrito, un ángulo seminscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces:

1) El ángulo inscrito y el seminscrito tienen la misma medida.2) El ángulo del centro midel el doble que los otros dos: = 2.

► ANGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90º.

► IGUALDAD DE ÁNGULOS INSCRITOS: Si dos ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces tienen la misma medida.

► ANGULO INTERNO: ► ANGULO EXTERIOR: ►TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

,

CIRCUNFERENCIA Y CUADRILÁTEROS

►Cuadrilátero inscrito en una circunferencia A + C = 180º B + D = 180º

►cuadrilátero circunscrito en una circunferencia a + c = d + b

17. Circunferencia

Test 1: Circunferencia

1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es(son) siempre verdadera(s)

I) Tres puntos distintos y no colineales determinan una circunferencia II) Un diámetro de una circunferencia determina una secante a la circunferenciaIII) La recta que corta a una circunferencia en un punto, contiene una cuerda de dicha circunferencia.

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III

2. En la circunferencia de la figura, y son diámetros. ¿Cuál(s) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I)

II)

III) //

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3. Si O es el centro de la circunferencia de la figura, entonces el valor del ángulo x es:

A) 280ºB) 320ºC) 300ºD) 100ºE) Otro valor

4. Los puntos A, B, C, D, E y F dividen a la circunferencia de centro O de la figura en seis arcos congruentes. Entonces el ángulo CAB mide :

A) 18ºB) 30ºC) 36ºD) 60ºE) 72º

5. En la circunferencia de la figura está inscrito el triángulo ABC y la recta PA es tangente en el punto A. Si CAB = 50º y CAP = 72º, entonces ACB =

3

15. Circunferencia

A) 94ºB) 18ºC) 72ºD) 58ºE) 54º

6. ¿Cuál de los ángulos inscritos en la circunferencia de la figura tiene una medida distinta a los tres restantes?

A) aB) bC) cD) rE) Ninguno de ellos

7. En la circunferencia de la figura, es un diámetro de ella. Entonces x =

A) 20ºB) 45ºC) 70ºD) 90ºE) No se puede determinar

8. En la circunferencia de centro O, BCD = 125º. Entonces BAD =

A) 55ºB) 60ºC) 45ºD) 65ºE) No se puede determinar

9. ABCD es un cuadrilátero inscrito en la circunferencia. Entonces x =

A) 60ºB) 70ºC) 80ºD) 100ºE) 120º

10. En la circunferencia de centro O de la figura, ABCD es un cuadrilátero inscrito cuyas diagonales son

y . Si CAD = 50º y ACB = 30º, entonces el valor de x – y es:

A) -10ºB) 60ºC) 40ºD) 20ºE) 0º

17. Circunferencia

11. En la circunferencia de centro O de la figura, COD = 40º y AOB = 30º. ¿Cuánto mide el ángulo CHD?

A) 40ºB) 35ºC) 30ºD) 20ºE) 15º

12. En la circunferencia de centro O de la figura, BEA = 50º y AOB = 70º. ¿Cuánto mide el ángulo COD?

A) 70ºB) 60ºC) 50ºD) 30ºE) 25º

13. ¿Cuánto mide el ángulo exterior AEB en la circunferencia de centro O de la figura?

A) 60ºB) 65ºC) 30ºD) 35ºE) 25º

14. y son dos secantes a la circunferencia de centro O de la figura. ¿Cuánto mide el ángulo del centro COD?

A) 60ºB) 50ºC) 30ºD) 35ºE) 40º

15. y son diámetros de la circunferencia. ¿Cuánto mide el ángulo ABO, si el ángulo COD mide 100º?

A) 20ºB) 25ºC) 40ºD) 50ºE) 80º

16. ABCD es un rectángulo inscrito en la circunferencia de centro O,

y EOC = 130º. ¿Cuánto mide el ángulo ACD?

A) 20ºB) 40ºC) 45ºD) 50ºE) 65º

5

B

A C

DE

O

B

AC

F

D

E

O

15. Circunferencia

17. O es el centro de la circunferencia de la figura y QROP es cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo RSP?

A) 22,5ºB) 30ºC) 45ºD) 60ºE) 90º

18. La figura es una semicircunferencia de radio , en que . Si ACD = 20º, entonces ABC =

A) 20ºB) 50ºC) 60ºD) 70ºE) 90º

19. En la figura, y son tangentes a la circunferencia de centro O. Si ACB = 70º, entonces ABO =

A) 110ºB) 70ºC) 35ºD) 55ºE) otro valor

20. En la circunferencia de centro O, AOB DBC. Luego el ángulo BDC se expresa como:

A) 180º - xB) 180º - 2xC) 180º - 3xD) 180º - 4xE) 180º - 6x

21. En la circunferencia de centro O y diámetro AC, ¿cuál es la medida del arco EA?

(1) DBE = 50º(2) EBD es triángulo rectángulo

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional

22. , y son diámetros de la circunferencia de centro O.

Si AOC = 50º, ¿cuánto mide el EOB?

(1) FOD = 2 AOC

(2) EOB =

17. Circunferencia

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional

7

15. Circunferencia

Respuestas:

1. C 2. E 3. A 4. B 5. D 6. E 7. A 8. A 9. C 10. C 11. B12. D 13. C 14. E 15. C 16. B 17. C 18. D 19. C 20. C 21. E 22. B

Análisis de Alternativas

1. Alternativa C: CORRECTA. III es falsa

3. Alternativa A: CORRECTA.Alternativa B: el ángulo del centro se consideró igual a 40ºAlternativa C: se consideró ángulo completo igual a 380ºAlternativa D: se consideró ángulo completo igual a 180º

4. Alternativa A: se consideró el arco BC = 36ºAlternativa B: CORRECTA.Alternativa C: se consideró el arco BC = 72ºAlternativa D: corresponde al BOC

5. Alternativa A: se consideróABC= 72ºAlternativa B: se consideró el arco CB = 180ºAlternativa C: corresponde al ABCAlternativa D: CORRECTA.Alternativa E: se consideró el arco CB = 180ºy arco CA = 72º

6. Alternativa E: CORRECTA.Todos son ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

7. Alternativa A: CORRECTA.Alternativa B: a+x=90º pero axAlternativa C: corresponde al valor de aAlternativa D: imposible pues a+x=90º

8. Alternativa A: CORRECTAEn el cuadrilátero inscrito A+C=180º

9. Alternativa C: CORRECTA.En el cuadrilátero inscrito D+B=180º

10. Alternativa A: x no es ángulo inscritoAlternativa C: CORRECTA.Alternativa D: se consideró y =80º y x= 60ºAlternativa E: se consideró y =80º

11.Alternativa B: CORRECTA.

CHD = 12. Alternativa D: CORRECTA.

COD =

13. Alternativa C: CORRECTA.

AEB =

14. Alternativa E: CORRECTA.

APB =

15. Alternativa C: CORRECTA.ΔAOB isósceles ,AO y OB radios

16. Alternativa A: Corresponde al arco DAAlternativa B: CORRECTA.Alternativa C: Se consideró AC bisectrizAlternativa D: Corresponde al ángulo ACB

17. Alternativa C: CORRECTA.PSR inscrito que subtiende el mismo arco que el ángulo del centro POR

18. Alternativa D: CORRECTA.DCA CAB

19. Alternativa A: corresponde al ángulo BOAAlternativa B: faltó dividir por 2Alternativa C: CORRECTA.Alternativa D: corresponde al ángulo CBA

20. Alternativa C: CORRECTA.AOB = 2x

17. Circunferencia

Test 2: Circunferencia

1. En la circunferencia de centro O, . ¿Cuánto mide el ángulo OQR?

A) 30ºB) 35ºC) 45ºD) 60ºE) 120º

2. En la circunferencia de centro O, = y AOB = 4BAO. Entonces CBO =

A) 60ºB) 50ºC) 45ºD) 40ºE) 30º

3. En la circunferencia ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) Si , entonces

II) Si // , entonces

III) Si , entonces //

A) Sólo IB) Sólo IIIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) Sólo II y III

4. En la circunferencia de centro O, OBA = BOC = 2AOB. Entonces CBO =

A) 36ºB) 45ºC) 54ºD) 108ºE) 72º

5. En la circunferencia de centro O, QPO POQ. Luego ∠x =

A) 270ºB) 120ºC) 315ºD) 330ºE) 300º

6. En la circunferencia de centro O, ¿Cuánto mide el ángulo BAO?

A) 30ºB) 35º

9

2. Lenguaje Algebraico

C) 45ºD) 60ºE) 120º

7. En la circunferencia de centro O, AOB = 2DBA. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

A) 22,5ºB) 30ºC) 40ºD) 45ºE) 90º

8. En la circunferencia de centro O, se ha inscrito un hexágono regular. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 120ºB) 60ºC) 45ºD) 50ºE) 70º

9. En la circunferencia de centro O, . Si COB = 2AOC, entonces BCO =

A) 40ºB) 50ºC) 60ºD) 80ºE) 90º

10. es radio de la circunferencia y . Si OCA = 80º, entonces AOC mide:

A) 40ºB) 50ºC) 60ºD) 100ºE) 20º

11. En la circunferencia de centro O, y RQO = 60º.¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) // II) III) RQP = 2QPO

A) Sólo IB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

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17. Circunferencia

12. es diámetro de la circunferencia de centro O. Si CBO = 70º, entonces ACO =

A) 20ºB) 30ºC) 35ºD) 40ºE) 70º

13. O es centro de la circunferencia, POQ QOR

ROS y OSR = 72º.

¿Cuánto mide el ángulo PTQ?

A) 108ºB) 36ºC) 72ºD) 27ºE) 18º

14. Si en la circunferencia de centro O, OBA = 2AOB, entonces ACB =

A) 18ºB) 36ºC) 54ºD) 72ºE) 108º

15. En la circunferencia de centro O, // . Si CDA = 20º, entonces x =

A) 160ºB) 120ºC) 150ºD) 140ºE) 100º

16. es un cuarto de la circunferencia con centro en A . Si , entonces DAC =

A) 15ºB) 30ºC) 45ºD) 60ºE) 75º

17. y son diámetros de la circunferencia de la figura. Si AOB = 2BOC,entonces el BDC mide:

A) 30ºB) 45ºC) 60ºD) 120º

11


E) No se puede determinar

18. Los tres triángulos de la figura tienen dos de sus vértices en la circunferencia y el tercero en el centro de ella. ¿Cuál de las siguientes relaciones es verdadera, si = 30º?

A) = B) = 2 C) = 3D) = 2E) = 3

19. En la circunferencia de centro O, se puede determinar la medida del ángulo CBD, si:

(1) se conocen las medidas de los ángulos AOB y ACB.(2) se conocen las medidas de los ángulos DEA y ACB.

A) (1) por sí sola.B) (2) por sí sola.C) Ambas juntas, (1) y (2).D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).E) Se requiere información adicional.

20. El triángulo ABC inscrito en la circunferencia de centro O es equilátero, si:

(1) ABO = CBO = AOB

(2) y BAO = 30º


21. es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo ABC?

(1) = (2) COB = 2AOC


22. En la circunferencia de centro O, se puede determinar la medida del ángulo CDO, si se sabe que:

(1) // (2) AOC DOB


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17. Circunferencia

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Respuestas:1. A 2. E 3. A 4. C 5. E 6. A 7. D 8. A 9. D 10. C 11. E12. A 13. E 14. A 15. D 16. B 17. A 18. D 19. B 20. D 21. D 22. E

Análisis de Alternativas

1. Alternativa A: CORRECTA.Alternativa B: error al restarAlternativa C: se consideró ROOQAlternativa D: faltó dividir por 2Alternativa E: corresponde al ROQ

2. Alternativa E: CORRECTA.OA OB ( radios) ACB = 60º

3. Alternativa A: CORRECTA.II es falsa III es falsa

4. Alternativa A: corresponde al AOBAlternativa C: CORRECTA.Alternativa D: faltó dividir por dosAlternativa E: corresponde al BOC

5. Alternativa E: CORRECTA.

ΔPQO es equilátero.

6. Alternativa A: CORRECTA.ΔABC es equilátero.

7. Alternativa D: CORRECTA.

AOB = 90º ACB = /2

9. Alternativa A: corresponde al COBAlternativa C: corresponde al CBOAlternativa D: CORRECTA.

10. Alternativa A: corresponde al COBAlternativa C: CORRECTA.Alternativa D: corresponde al OCBAlternativa E: se consideró ΔACO isósceles

12. Alternativa A: CORRECTA. ΔABC es recto en C y AO OC

13.

Alternativa A: corresponde al POSAlternativa B: corresponde al POQAlternativa C: se multiplicó en vez de dividir por dos Alternativa E: CORRECTA.

14. Alternativa A: CORRECTA.Alternativa B: faltó dividir por dos Alternativa D: se multiplicó en vez de dividir por dos

15. Alternativa D: CORRECTA.

16. Alternativa B: CORRECTA.ΔABD es equilátero y CAB = 90º

17. Alternativa A: CORRECTA. BOC = 60º

18. Alternativa D: CORRECTA.Puedes resolver la siguiente ecuación: 6+(180º-2)·3=360º

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