UNIVERZITET U ISTO^NOM SARAJEVU SAOBRA]AJNI FAKULTET

Dr Perica Gojkovi Dr Milo Sorak Miroslav Dragi

ZBIRKA ZADATAKA IZ OSNOVA MA[INSTVA

Doboj, juna 2008. godine

Dr Perica Gojkovi Dr Milo Sorak Miroslav Dragi

ZBIRKA ZADATAKA IZ OSNOVA MA[INSTVA

RECEZENTI: Prof. dr Aleksa Blagojevi} Prof. dr Milan [ljivi} IZDAVA Saobra}ajni fakultet Doboj Univerziteta u Isto~nom Sarajevu GLAVNI I ODGOVORNI UREDNIK: dekan ,prof dr Perica Gojkovi} tampanje udbenika odobrilo Nastavno-nauno vijee Saobraajnog fakulteta u Doboju na XIX sjednici odranoj 3.juna 2008. godine.

TIRA: 500 komada TAMPA: PLANJAX Te{anj RAUNARSKA PRIPREMA:Dragi} Miroslav, dipl.ma{.in`. Dragi}evi} Danijel,dipl.in`.informatike

SADRAJ:

PREDGOVOR.............................................................................................................. 1.0 NACRTNA GEOMETRIJA............................................................................... 1.1 Predmet prouavanja......................................................................................... 1.2 Vrste projekcija................................................................................................. 1.3 Projekcija take na jednu ravan......................................................................... 1.4 Projekcija take na dvije ravni. Kvadrant.......................................................... 1.5 Projekcija take na tri ravni. Oktant.................................................................. 1.6 Projekcija dui i prave. Specijalan poloaj dui prave....................................... 1.7 Prodori prave kroz projekcijske ravni................................................................ 1.8 Projekcija ravni. Ravan u optem i specijalnom poloaju..................................

5 6 6 6 8 10 14 24 30 36

2.0 TEHNIKO CRTANJE..................................................................................... 41 2.1 Pribor za crtanje................................................................................................. 41 2.2 Vrste papira....................................................................................................... 41 2.3 Vrste crtea........................................................................................................ 41 2.4 Formati crtea.................................................................................................... 42 2.5 Zaglavlje i sastavnica na tehnikoj dokumentaciji............................................ 48 2.6 Vrste linija......................................................................................................... 50 2.7 Kotiranje........................................................................................................... 53 2.8 Prikazivanje predmeta u ortogonalnim parovima pogleda................................ 59 2.9 Presjeci.............................................................................................................. 80 2.10 Tolerancije........................................................................................................ 85 2.11 Izrada radionikog i sklopnog crtea................................................................. 110 3.0 STATIKA............................................................................................................. 3.1 Predmet prouavanja......................................................................................... 3.2 Veze i reakcije veza........................................................................................... 3.3 Sistem sueljenih sila........................................................................................ 3.4 Proizvoljni ravni sistema................................................................................... 3.5 Ravni nosai...................................................................................................... 4.0 OTPORNOST MATERIJALA.......................................................................... 4.1 Predmet prouavanja......................................................................................... 4.2 Istezanje i pritisak.............................................................................................. 4.3 Smicanje............................................................................................................ 4.4 Savijanje............................................................................................................ 4.5 Uvijanje............................................................................................................. 4.6 Izvijanje............................................................................................................. 4.7 Sloeno optereenje.......................................................................................... 117 117 118 121 130 134 142 142 145 149 153 156 160 166

5.0 ELEMENTI ZA SPAJANJE.............................................................................. 5.1 Navojni spojevi................................................................................................. 5.2 Opruge............................................................................................................... 5.3 Zavareni spojevi................................................................................................ 6.0 ELEMENTI OBRTNOG KRETANJA............................................................. 6.1 Osovine............................................................................................................. 6.2 Vratila............................................................................................................... 7.0 SUDOVI............................................................................................................... LITERATURA.............................................................................................................

170 170 178 185 192 192 193 197 203

PREDGOVOR Zbrirka zadataka iz OSNOVA MA[INSTVA namijenjena je kao dopunski ud`benik za studente tehni~kih fakulteta na kojima se izu~ava ovaj predmet (saobra}ajni,tehnolo{ki,ma{inski ,elektro i drugi fakulteti). Potreba za ovakvom vrstom ud`benika postoji odavno a posebno je do{la do izra`aja nakon smanjenja fonda ~asova i kratko}e vremena za koje se ta materija mora da savlada, te ~injenicom da su se studenti koristili raznim zbirkama koje su se odnosile samo na odre|ene oblasti. Cilj ove zbirke je u tome da se studentima predo~i {to ve}i broj postavki zadataka i njihovih rje{enja kako bi {to lak{e savladali predmetnu oblast, koja je veoma {iroka.Naravno da u zbirci se nisu mogle obraditi detaljno sve oblasti u onoj mjeri koji su autori `eljeli, ali }e vjerovatno naredna zbirka biti obimnija i kompletnija. U zbrici su obra|ene oblasti: 1. Nacrtna geometrija, 2. Tehni~ko crtanje, 3. Statika, 4. Otpornost materijala, 5. Elementi za spajanje, 6. Elementi obrtnog kretanja. 7. Sudovi. Za svaku oblast dat je uvodni teoretski dio, kako bi se studentima omogu}ilo da lak{e razumjeli nastavnu materiju , odnosno da bi la{e mogli razumjeti metodologiju rje{avanja zadataka.Naravno da za rje{avanje odre|enih zadataka student mora imati neka osnovna predznanja .Obzirom da su u pitanju OSNOVE MA[INSTVA rije{eni zadaci i zadaci za vje`bu dati su u skladu sa zahtjevima i potrebama nastavnog plana i programa . Nadamo se da }e ova zbirka biti od koristi studentima.

Banja Luka, 15.06.2008 godine AUTORI

-5-

1.0 NACRTNA GEOMETRIJA1.1 PREDMET PROUAVANJAOsnovni zadatak nacrtne geometrije jeste da razvija metode koje e omoguiti da se predmeti iz prirode, pravilno prikau u ravni koja ima dvije dimenzije, odnosno na crteu. Sa tog crtea treba da se dobije odgovarajua informacija o posmatranom predmetu. Naime, u industriji kada se izrauje bilo koji predmet, prvo ga je neophodno nacrtati, a zatim, koristei se crteom, izraditi ga. Prema tome nacrtna geometrija ima dva osnovna zadatka: 1. da razvija metode koje e omoguiti da se predmeti koji se zamiljaju ili posmatraju mogu nacrtati. 2. da razvije postupke koji e omoguiti da se posmatrajui crtee predmeta dobije njihova to tanija prostorna predstava.

1.2. VRSTE PROJEKCIJARjeavajui problem predstavljanja trodimenzionalnih predmeta u ravni sa dvije dimenzije razvila su se dva karakteristina naina projektovanja: 1. Centralna projekcija ili perspektiva (slika 1.1) i 2. Paralelna (kosa i ortogonalna) projekcija (slika 1.2). Postupak centralnog projektovanja, tj. perspektiva, u tehnici se rijetko upotrebljava, iz razloga to je vrlo teka i komplikovana tana izrada samog crtea te to isti ne moemo efikasno da koristimo. Sa ovoga crtea nismo u mogunosti da direktno izmjerimo dui (ili druge dimenzije) za to esto postoji potreba u tehnikoj praksi. Ovaj postupak projektovanja svoju najveu primjenu naao je u slikarstvu.

Slika 1.1 ematski prikaz centralnog projektovanja (perspektiva)

Kod paralelne projekcije, pri projektovanju projekcijski zraci meusobno paralelni.Ivice predmeta koje su meusobno paralelne ili upravne u prostoru bit e meusobno paralelne ili upravne i na projekcijskoj ravni (slika 1.2).

-6-

Slika 1.2 ematski prikaz paralelnog projektovanja

Prema poloaju projekcijskog zraka u odnosu na projekcijsku ravan mogu postojati dva naina paralelnog projektovanja: normalno ili ortogonalno projektovanje ( slika 1.3a) i koso projektovanje (slika 1.3b).

a)

b)

Slika 1.3 Paralelno projektovanje a) normalno projektovanje b) koso projektovanje

Kod normalnog odnosno ortogonalnog projektovanja projekcijski zraci su upravni normalni na projekcijsku ravan , a sama projekcija se zove ortogonalna ili normalna projekcija. U sluaju kada projekcijski zrak zatvara sa projekcijskom ravni ugao koji je razliit od 90 , takvo projektovanje zove se koso ili klinagonalno projektovanje, a sama projekcija kosa ili klinagonalna. U tehnici se uglavnom upotrebljava ortogonalna projekcija i ona je predmet prouavanja nacrtne geometrije.

-7-

1.3 PROJEKCIJA TAKE NA JEDNU RAVANAko se ta~ke M (sl.1) spusti projekciski zrak tako da bude normalan na ravan H,tada je njegov prodor kroz ravan H tj. ta~ke M' ortogonalna ili normalna projekcija ta~ke M na ravan H.

Slika 1.4 Projekcija ta~ke na jednu ravan

Zadatak 1: Na udaljenosti 30 mm iznad horizontale ravni H nalazi se ta~ka A, a ispod horizontalne ravni H nalazi se ta~ka B na udaljenosti od 20 mm. Odrediti normalne projekcije ta~aka A i B na projekcisku ravan N. Rjeenje: Normalno na ravan H kroz ta~ku A provla~imo projekciski zrak AA' koji }e prodirati kroz ravan H u ta~ki A' (~itaj a prim , ili : a prva projekcija). Ta~ka A' predstavlja prodor (probodi{te) normale spu{tene iz prostorne ta~ke A. Ta~ka A je udaljena od ravni H 30 mm i njen prostorni polo`aj je potpuno odre|en polo`ajem projekcije A' i kotom 30. Kota ta~ka A se upisuje u malu zagradu desno dole u odnosu na A' : A'(30) ta~ka A se nalazi iznad ravni H i kota je pozitivna. Za razliku od ta~ke A, ta~ka B nalazi se ispod ravni H na udaljenosti od 30 mm i u ovom slu~aju kota je negativna: B' (-30) (slika 1.5).

-8-

Slika 1.5 Rjeenje zadatka 1

ZADACI ZA VJE@BU: 1. Nacrtati u prostoru i ravni H ta~ke C,D,E i F koje su udaljene od ravni H za 26,30,33,14 mm. 2. Nacrtati normalnu projekciju trapeza ABCD koji je paralelan sa ravni H i od nje udaljen za 25 mm. 3. Nacrtati u ravni N i u prostoru pravougaonik KLMN ~ija je ravan normalna na ravan H, ako tjemena pravougaonika imaju kote 35 mm (ta~ka K), 20 mm(ta~ka L), 35 mm(ta~ka M), 35 mm (ta~ka N). 4. Nacrtati u ravni H i prostoru pravu a tako da ona zaklapa ugao od 60 sa ravni H (iznad ravni H). 5. Nacrtati u ravni H i prostoru pravu b tako da ona zaklapa ugao od 45 sa ravni H (ispod ravni H). 6. Nacrtati u ravni H i prostoru kvadrat ~ija du`ina stranice iznosi 15 mm, a ~ija ravan zaklapa ugao 45 sa ravni H (iznad ravni H).

-9-

1.4. PROJEKCIJA TAKE NA DVIJE RAVNI. KVADRANTIDvije projekcije ravni H(1) i V(2) koje su me|usobno uspravne (sl.1.6) dijele prostor na etiri kvadranta. Presjenica ravni N i V naziva se apscisa ili prva projekciska osa i oznaava se sa X. Kvadrati se oznaavaju u smijeru kazaljke na satu rimskim brojevima I do IV.

Slika 1.6 Projekcije taaka u kvadrantu a) kvadrant u prostoru b) oborena ravan H oko x ose

Prostor iznad prednjeg dijela H i ispred prednjeg dijela V ini I (prvi) kvadrant (sl.6 a). Prostor iznad zadnjeg dijela H i iza gornjeg dijela V ini II (drugi) kvadrant (sl.1.6a). Prostor ispod zadnjeg dijela H i iza donjeg dijela V ini III (trei) kvadrant (sl.1.6a). Prostor ispred predweg dijela H i ispred donjeg dijela V ini IV (etvrti) kvadrant (sl.1.6a). Na slici 1.6.b prikazan je oboren poloaj ravni H tako da se obije projekciske ravni H i V nalaze u ravni crtea sa odgovarajuim projekcijama datih taaka.Ravan H se obori okretanjem oko svoje x ose kako to pokazuju strelice na slici 1.6.a sve dok se ne poklopi sa vertikalnicom V. Poloaj take A u prostoru (I kvadrant) u odnosu na dvije meusobno upravne ravni H i V odreen je normalnim udaljenostima take od prve (H) i druge (V) projekciske ravni (sl. 1.6a).

- 10 -

ZADACI Zadatak 1: Odrediti projekciju take A na dvije upravne ravni H i V,ako je taka A udaljena 20 mm od H i 17 mm od V. Rjeenje: Taka A nalazi se u I kvadrantu. Povlaenjem normalnog projkcijskog zraka AA' na ravan H, u mjestu gdje projekciski zrak prodire kroz ravan H, dobija se prva projekcija A' take A. Isto tako povlaenjem normalnog projekcijskog zraka AA' na ravan V, dobija se druga projekcija A'' take A. (sl.1.7 a,b).

Slika 1.7(a,b)

Zadatak 2: Odrediti projekciju take B na dvije upravne ravni H i V , ako je taka B udaljena 11 mm od zadnjeg dijela H, a 23 mm iza gornjeg dijela V. Rjeenje: Taka B nalazi se u II kvadrantu.Povlaenjem normalnog projekciskog zraka BB' na ravan H dobija se prva projekcija B' take B,a povlaenjem normalnog projekciskog zraka BB' na ravan V dobija se druga projekcija B'' take B.sl.1.8(a,b)

Slika 1.8 (a,b)

- 11 -

Zadatak 3: Odrediti projekciju take C na dvije upravne ravni H i V,ako se taka C nalazi 23 mm ispod zadnjeg dijela H i 16 mm iza donjeg dijela V. Rjeenje: Taka C se nalazi u III kvadrantu.Povlaenjem normalnog zraka CC' na ravan H dobija se prva projekcijska zraka CC'' na ravan V dobija se druga projekcija C'' take C.(sl. 1.9 a,b)

Slika 1.9 (a,b)

Zadatak 4 : Odrediti projekciju take D na dvije upravne ravni H i V, ako se taka D nalazi 24 mm ispod predweg dijela H i 14 mm ispred donjeg dijela V. Rjeenje: Taka D se nalazi u IV kvadrantu.Povlaenjem normalnog projekciskog zraka DD' na ravan H, dobija se prva projekcija D' take D, a povlaenjem normalnog projekciskog zraka DD'' na ravan V dobija se druga projekcija D'' take D. (Sl. 1.10 a,b)

Slika 1.10 (a,b)

- 12 -

ZADACI ZA VJEBU: 1. Odrediti projekcije taaka A,B,C i D u odgovarajuim kvadrantima i u oborenom poloaju ravni H i V, ako su poznati sledei podaci: a) taka A je podjednako udaljena od H i V, lei u I kvadrantu, a udaljenost od projekcijskih ravni iznosi 40 mm, b) taka B je udaljena 20 mm od H i 15 mm od V i lei u I kvadrantu, c) taka C se nalazi 30 mm ispod zadnjeg dijela H i 5 mm iza donjeg dijela V (III kvadrant), d) taka D se nalazi 35 mm ispod prednjeg dijela H i 20 mm ispred donjeg dijela V (IV kvadrant). 2. Odrediti projekcije taaka MN i P u odgovarajuim kvadrantima i u oborenom poloaju ravni H i V, ako su poznati sledei podaci: a) taka M lei u H i udaljena je 30 mm od V, a nalazi se u II kvadrantu (i III). b) taka N lei u V i udaljena je 15 mm od H, a nalazi se u III kvadrantu (i IV). c) taka P lei u H i udaljena je 12 mm od V, a nalazi se u IV kvadrantu (i I). 3. Odrediti prvu i drugu projekciju dui MN ako je taka M udaljena 30 mm od N i 10 mm od V, a taka N 25 mm od H i 10 mm od V (obadvije take nalaze se u I kvadrantu). 4. Odrediti prvu i drugu projekciju dui PS ako je taka P udaljena 26 mm od H i 15 mm od V, a taka S 36 mm od H i 20 mm od V (obadvije take se nalaze u II kvadrantu).

- 13 -

1.5. PROJEKCIJA TAKE NA TRI RAVNI. OKTANTIAko iz take M povuemo prvi projekcijski zrak upravno na ravan H, u prodoru kroz ravan H dobija se prva projekcija M' take M (sl. 1.11 a,b). Povuemo li iz take M drugi projekcijski zrak upravno na V, u prodoru kroz ravan V dobija se druga projekcija M'' take M (sl. 1.11 a,b) Povuemo li iz take M trei projekcijski zrak upravno na P (profilnicu), u prodoru kroz ravan P dobija se trea projekcija M''' take M (sl. 1.11 a,b).

Slika 1.11 (a,b)

Uvoenjem i tree projekcijske ravni profilnice P(3) koja je upravna na ravan H i V (sl.1.11 a) prostor e biti podijeljen na 8 dijelova koji se nazivaju oktanti i oznaavaju se rimskim brojevima I do VIII.Dogovorno se uzima da se desno od profilnice nalaze I,II,III i IV oktant, a lijevo od profilnice V,VI,VII i VIII oktant (sl. 1.11 a), s tim to se oznaavanje vri u smijeru kazaljke na satu. Presjenica horizontalne i profilnice zove se ordinata ili druga projekcijska osa (y), dok se prjesenica vertikalnice i profilnice naziva aplikata ili trea projekcijska osa (z),dok je ranije reeno da se presjenica horizontalnice i vertikalnice naziva apcisa ili prva projekcijska osa (x )(sl.1.11 a,) Udaljenosti pojedinih taki od koordinatnog poetka (O) du projekcijskih osa (x,y,z) nazivaju se koordinatama taaka. Preklapanje projekcijskih ravni H i P na ravan V vrit e se kao to je prikazano na - 14 -

slici 1.11. Horizontalnica se obara okretanjem oko x-ose prema dole,dok se profilnica obara okretanjem oko z-ose u lijevo (vidjeti smijer strelica na slici 1.11 a). Predznaci projekcijskih osa x,y,z pripadajuim oktantima dati su u tabeli 1. Tabela 1 PREDZNAK KOORDINATA x OSA y z y0 OKTANT I + + + + II + + III IV + + + + V VI VII VIII + + + + + +

ZADACI: Zadatak 1 : Odrediti odgovarajue projekcije take A (20,15,10). Rjeenje:Prva projekcija A' take A odreuje se tako to se prvo na pozitivni dio x-ose (desno od take O) nanese vrijednost XA = 20 mm, a zatim u toj kordinati povue normala na y-osu, a potom na njoj nanese vrijednost ordinate YA = 15 mm. Druga projekcija A'' take A odreuje se tako to se na apscisu (x-osu) nanese vrijednost XA = 20 mm, a zatim u toj koordinati povue normalna paralelna sa z-osom i nanese vrijednost aplikate ZA = 10 mm. Trea projekcija A''' take A odreuje se tako to se povue horizontala iz take A'' take A, odstojanje ZA = 10 mm.I projekcija take A' i A''' nalaze se na istoj udaqenosti. YA = 15 mm od V pa je udaljenost prve projekcije A' take A, YA. Nanoenjem YA=15 mm na pozitivnom dijelu y-ose (negativna x-osa), povlaenjem normale na x-osu do presjeka sa horizontalom iz take A'', dobija se trea projekcija A''' take A (sl.15 a,b).

- 15 -

Slika 1.12 (a,b)

Zadatak 2 : Odrediti odgovarajue projekcije take B (29, -18,15). Rjeenje : Taka B se nalazi u II oktantu, a nain rjeavanje zadatka prikazan je na slici 1.13 a,b.Prva projekcija B' druga projekcija B'' i trea projekcija B''' nalaze se iznad x-ose i desno od z-ose (sl.1.13 a,b).

- 16 -

Slika 1.13 (a,b)

Zadatak 3 : Odrediti odgovarajue projekcije take C (22, -17, -23). Rjeenje : Taka C se nalazi u III oktantu, a nain rjeavanja zadatka prikazan je na slici 1.14 a,b.Prva projekcija C' je iznad x-ose, druga projekcija C'' i trea projekcija C''' nalaze se ispod x-ose i desna od z-ose (sl.14)

Slika 1.14 (a,b)

- 17 -

Zadatak 4 : Odrediti odgovarajue projekcije take D (12,15, -24). Rjeenje: Taka D se nalazi u IV oktantu ,a nain rjeavanja zadatka prikazan je na slici 1.15 a,b.Prva projekcija D' , druga projekcija D'' i trea projekcija D''' nalazi se ispod x-ose. Prva projekcija D' i druga projekcija D'' su desno a trea projekcija D''' lijevo od z-ose (sl.1.15)

Slika 1.15a

Slika 1.15b

Zadatak 5 : Odrediti odgovaraju}e projekcije ta~ke E (-27,23,19). Rje{enje : Ta~ka E se nalazi u V oktantu, a na~in rje{avanja zadataka prikazan je na slici 1.16 a,b .Druga projekcija E'' i tre}a projekcija E''' su iznad x-ose i lijevo od z-ose a prva projekcija E' ispod x-ose i lijevo od z-ose. (sl.11.16 a,b).

- 18 -

Slika 1.16(a,b)

Zadatak 6 : Odrediti odgovaraju}e projekcije ta~ke F ( -22, -20, 23). Rje{enje : Ta~ka F se nalazi u VI oktantu, a na~in rje{avanja zadatka prikazan je na slici 1.14 a,b. Prva i druga projekcija F' i F'' se nalaze iznad x-ose i lijevo od z-ose a tre}a projekcija F''' iznad x-ose i desno od z-ose(sl.1.17 a,b).

Slika 1.17 (a)

- 19 -

Slika 1.17 (b)

Zadatak 7 : Odrediti odgovaraju}e projekcije ta~ke G ( -20, -18, -20). Rje{enje : Ta~ka G se nalazi u VII oktantu, a na~in rje{avanja zadatka prikazan je na slici 1.18 a,b. Prva projekcija G' nalazi se iznad x-ose a lijevo od z-ose druga projekcija G'' je ispod x-ose a lijevo od z-osu, dok je tre}a projekcija G''' ispod x-ose a desno od z-ose(sl.1.18 a,b).

Slika 1.18 (a)

- 20 -

Slika 1.18 (b)

Zadatak 8 : Odrediti odgovaraju}e projeckije ta~ke K (-16, 20, -22). Rje{enje : Taka K se nalazi u VIII oktantu, a nain rjeavanja zadataka prikazan je na slici 1.19 a,b. Prva projekcija K' ,druga projekcija K'' i trea projekcija K''' nalaze se ispod x-ose i lijevo od z-ose (sl.1.19 a,b) u oborenim ravnima.

Slika 1.19(a,b)

- 21 -

Zadatak 9 : Nacrtati prvu, drugu i treu projekciju taaka M (0 , 0, 20), L (0 , 15, 0) i K (20, 20, 0). Rjeenje : Kako su apscisa i ordinata take M jednaki nuli, prva je projekcija M' je u koordinatnom poetku 0 , druga projekcija je na pozitivnom dijelu z-ose kao i trea projekcija M''' koja se poklapa sa drugom projekcijom M'' i taka M se prema tome nalazi na pozitivnom dijelu z-ose, izmeu I,II,V,VI a oktanta (sl.1.20 a,b)

Slika 1.20(a,b)

Prva projekcija L' nalazi se na pozitivnom dijelu y-ose, druga projekcija L'' je u koordinatnom poetku 0 (jer su apscisa i aplikata take L jednake nuli), a trea projekcija L''' nalazi se na pozitivnom dijelu y-osu i poklapa se sa prvom projekcijom L', a nalaze se izmeu I,IV,V i VIII oktanta (sl.23 a,b). Prva projekcija K' take K se nalazi u prvoj projekcijskoj ravni H, druga projekcija K'' lei na pozitivnom dijelu x- ose a trea projekcija na pozitivnom dijelu y-ose izmeu I,IV,V i VIII oktanta (sl.1.20 a,b). Zadatak 10: Nacrtati prvu,drugu i treu projekciju taaka E (0, -28, 10), F (15,10, -15), G (-25,22, - 32) i S (-33, -33, -38). Rjeenje: Prva projekcija E' take E se nalazi na negativnom dijelu y-ose, (poto je apscisa jednaka nuli), druga projekcija E'' lei na pozitivnom dijelu z-ose (po{to je ordinata jednaka nuli) a trea projekcija se nalazi na desnom dijelu P iznad negativnog dijela Y-ose (sl.1.21).

- 22 -

Slika 1.21

Prva i druga projekcija F' i F'' take F nalaze se ispod x-ose i desno od z-ose , dok je trea projekcija lijevo od z-ose (sl. 24) a taka se nalazi u IV oktantu. Prva, druga i trea projekcija G', G'', G''' take G nalaze se ispod x-ose,lijevo od z-ose (sl.1.21).Taka G se nalazi u VIII oktantu. Prva projekcija S' take S nalazi se iznad x-ose, a lijevo od z-ose, druga projekcija S'' ispod x-ose a lijevo od z-ose, dok je trea projekcija S''' ispod x-ose a desno od z ose (Sl.1.21) ZADACI ZA VJEBU: 1. Nacrtati prvu, drugu i treu projekciju taaka A (30, 30, 20), B (20,-15, 30), C (26,15,-36), i D ( -18,-12,40). Napisati u kom oktantu se nalazi svaka od taaka. 2.Nacrtati prvu, drugu i treu projekciju taaka M (-20,20,20), N (30,-15,30), K( -25, 20, -25), L (-30,-32,-34). Napisati u kom oktantu se nalazi svaka od taaka. 3.Nacrtati prvu, drugu i treu projekciju taaka P (0,-15,0), Q (0,0,-40), R (0,-20,10) i S(-20,0,0). Napisati gdje se nalaze projekcije take u odnosu na projekcijske ravni,odnosno oktante. 4.Nacrtati prvu,drugu i treu projekciju taaka E (15,-15,0), F(0,20,-20), G(-20,0,20) i H(-25,0,-25).

- 23 -

1.6 PROJEKCIJE DUI I PRAVE. SPECIJALAN POLOAJ DUI I PRAVEPoloaj neke dui MN u prostoru odre|en je koordinatama wenih krajwih taaka M i N.Povlaenjem projekcijskih zraka kroz svaku taku du`i MN normalno na projekcijske ravni H,V,P dobija se prva,druga i trea projekcija dui MN (sl.1.22 a).

Slika 1.22 (a,b)

Na slici 1.22 b prikazane su projekcije dui MN u oborenim ravnima. Du se nalazi u specijalnom poloaju kada lei na nekoj od projekcijskih ravni (sl.1.22), ako je paralelna sa projekcijskom ravni ,i kada je upravna na neku od projekcijskih ravni ili kada lei na projekcijskoj osi . ZADACI : Zadatak 1: Prostorni poloaj dui AB odreen je koordinatama njenih dviju krajnjih taaka A (15,10,20), B (43,22,32).Odrediti sve tri projekcije dui AB . Rjeenje: Prvo se odrede prve projekcije A' i B' taaka A i B i spajanjem prvih projekcija krajnjih taaka dobija se prva projekcija dui AB .Po istoj metodologiji odreuje se druga i trea projekcija du AB (sl.1.23).

- 24 -

Slika 1.23

Zadatak 2: Data je du PS sa takama P(14,14,?) i S (?,?, 32).Odrediti sve tri projekcije dui PS ako je du normalna na H (1) , a taka P lei u horizontalnici. Rjeenje : Prvo odreujemo prvu projekciju P' take P koja lei u horizontalnici,a druga projekcija P'' lei na x-osi (poto taka P lei u horizontalnici).Zatim nanosimo upravno na P'', z =32 mm i dobijamo drugu projekciju S'' take S.Kako je du normalna na horizontalnicu prva projekcija S' take S se poklapa sa prvom projekcijom P' take P, odnosno sa takom P koja lei u H.Na osnovu prve i druge projekcije taka P i S odre|ujemo treu projekciju S''' i P''' taka P i S a spajanjem projekcija taaka dobijamo projekcije dui (sl. 1.24).

Slika 1.24

- 25 -

Zadatak 3 : Data je du RT sa takama R (12,?,12) i T (?,35,?).Odrediti sve tri projekcije dui ako je du normalna na V i dodiruje je u taki R. Rjeenje : Prvo odreujemo drugu projekciju R'' take R koja lei na vertikalnici , a prva projekcija R' lei na x-osi (poto taka R lei u vertikalnici).Potom nanosimo 35 mm po ordinati i dobijamo prvu projekciju T' take T.Obzirom da je du normalna na vertikalnicu druga projekcija T'' take T se poklapa sa drugom projekcijom R'' take R, odnosno sa takom R koja lei u verikalnici.Na osnovu prve i druge projekcije taaka R i T odreujemo njihove tree projekcije R''' i T''' . Spajawem projekcija taaka dobijamo projekcije dui.(Sl. 125)

Slika 1.25

Zadatak 4 : Du JK sa J(25,10,?) i K (45,30,?) lei u horizontalnici,pri emu taka S lei na dui JK .Taka S ima koordinate (35,?,?).Odrediti sve tri projekcije dui i take S. Rjeenje : Odreujemo prve projekcije J' i K' taaka J i K. Spajanjem ovih projekcija taaka dobija se prva projekcija dui .Povlaenjem normale Xs=35 mm,da prosjeka sa prvom projekcijom dui JK dobijamo prvu projekciju S' take S. Druga projekcija dui JK nalazi se na x-osi (poto du lei u horizontalnici) a trea projekcija se nalazi na yo.(sl.1.26).

- 26 -

Slika 1.26

Zadatak 5 : Nacrtati projekcije specijalne prave aII1 koja prolazi kroz taku A (22,-30,20) i zaklapa sa 2 ugao od 60. Rjeenje : Prvo se definie prva projekcija A' take A (II oktant) a onda se pod uglom od 60 u odnosu na pozitivni dio x-ose povue prva projekcija prave a,koja je potpuno vidljiva. Potom se definiu druga A'' i trea A''' projekcija take A, a potom povue druga projekcija a'' prave a paralelno sa x-osom (koja se ne vidi jer se nalazi iza ravni 2)a zatim trea projekcija a''' prave a koja je paralelna sa (-yo) i vidi se.(sl.1.27).

Slika 1.27

Zadatak 6 : Nacrtati projekcije prave c koja je paralelna sa horizontalnom ravni - 27 -

1, a sa

ravni 3 zaklapa ugao od 75 i prolazi kroz taku C(35,25,21). Rjeenje : Prvo odreujemo projekcije C' , C'' i C''' take C , a onda crtamo, prvu projekciju prave c koja zaklapa ugao od 75 sa y-osom (pozitivni dio i desno poto se radi o I oktantu),a potom drugu c'' koja je paralelna sa x-osom a c''' sa y-osom(sl.1.28).

Slika 1.28

ZADACI ZA VJEBU: 1.Nacrtati sve tri projekcije dui koje su definisane koordinatama njenih krajnjih taaka za sledee sluajeve: d) e) f) g) du AB ; A (30,40,15), B (15,20,9) du CD ; C (-25,20,10); D (-44,30,18) du EF ; E (-34,-18,-12), F (-54,-40,-26) i du GH ; G (25,-30,-16), H (45,-10,-36)

2.Nacrtati sve tri projekcije pravih a,b i c koje prolaze kroz taku N (40,30,15) ako je poznato sledee : h) i) j) a II H b H c P

- 28 -

3.Data je du PQ sa P (33,?, 6) i Q (6,?,30). Du PQ lei u vertikalnici.Odrediti sve tri projekcije dui.

4.Du RS sa R (-40,10,?) i S (-10,25,?) lei u horizontalnici.Odrediti sve tri projekcije dui. 5. Du NT sa N (?,10,-40) i T (?,35,-6) lei u profilnici.Odrediti sve tri projekcije du`i. 6. Nacrtati sve tri projekcije pravih ako je poznato sledee: k) prava a prolazi kroz taku M (15,-20,?) i zaklapa sa ravni 2 ugao 60 a paralelna l) prava b prolazi kroz taku N (20,?,-20) i zaklapa sa ravni 1 ugao od 45 , a paralelna je sa 2 . m) prava c prolazi kroz taku P (?,-20,40) i zaklapa sa 1 ugao od 120 , a paralelna je sa 2. n) prava d prolazi kroz taku D (-20,-20,?) i zaklapa ugao od 45 sa ravni paralelna je sa 1. 7. Nacrtati sve tri projekcije pravih ako je poznato sledee: a) prava a 1 i aII2 a prolazi kroz taku A(-30,20,-20). b) prava b 1 i bII2 a prolazi kroz taku B (-15,-20,-25). c) prava c 2 i cII1 a prolazi kroz taku C(30,-15,-20). e) prava e 3 i eII1 a prolazi kroz taku E(-28,-15,34). f) prava f 3 i f II1 a prolazi kroz taku F(36,-16,39). d) prava d 2 i dII1 a prolazi kroz taku D(36,20,-30.) je sa 1.

2 , a

- 29 -

1.7 PRODORI PRAVE KROZ PROJEKCIJSKE RAVNITake prodora prave p kroz projekcijske ravni nazivaju se tragovi i obiljeavaju slovima T1,T2 i T3.

Druga trag T2 predstavlja prodor prave p kroz vertikalnicu (2) i istovremeno se poklapa sa svojom drugom projekcijom T2'', dok prva projekcija T2' lei na x-osi a trea projekcija T2''' na z-osu (sl.1.29 a,b). Trei trag T3 predstavljqa prodor prave p kroz profilnicu (3) istovremeno se poklapa sa svojom treom projekcijom T3''', dok prva projekcija T3' lei na y-osi , a druga projekcija T3'' na z-osi(sl.1.29 a,b).

Prvi trag T1 predstavlja prodor prave p kroz horizontalnicu (1) i istovremeno se poklapa sa svojom prvom projekcijom T1', dok je njegova druga projekcija T1'' lei na x-osi,a trea projekcija T1''' na y-osi. (sl.1.29 a,b).

Slika 1.29(a,b)

Na slici 1.29 prikazana prava p lei u V,I,IV,III oktantu.Prva projekcija p' prave p vidljiva je u V i I oktantu do take prodora u horizontalnici (1) a u IV i III oktantu je zaklonjena horizontalnicom. Druga projekcija p'' prave p vidljiva je u V,I i IV oktantu a zaklonjena je u III oktantu (zaklanja je vertikalnica).Trea projekcija p''' prave p vidqiva je u I,IV i III oktantu a zaklonjena je u V oktantu (zaklanja je profilnica).

- 30 -

ZADACI : Zadatak 1 : Prava a definisana je takama A (23,10,30) i B (35,-12,8). Odrediti prvi i drugi trag prave. Rjeenje : Prava a iz I oktanta prodire kroz vertikalnicu (2) u tragu T2 T2'' u oktant, iz II u III oktant kroz horizontalnicu prodire u tragu T1 T1',koji se nalazi iza vertikalnice .Prva projekcija a' je vidljiva do traga T1 T1' a zaklonjena iza traga T1 poto prava a u toj taki prolazi ispod horizontalnice.Posmatra li se prava a sa prednje strane ,projekcija prave a na vertikalnicu (2) tj. njena druga projekcija a'' vidqiva je u I oktantu lijevo od traga T2 T2'',dok je dio a'' desno od traga T2 T2'' zaklonjen, poto se nalazi iza vertikalnice (sl.1.30 a,b).

Slika 1.30 (a,b)

Zadatak 2 : Prava b prolazi kroz ta~ke C (13,10,-8) i D (31,10,19).Odrediti sva tri traga prave b. Rjeenje : Prava b iz I oktanta prodire kroz horizontalnicu (1) i IV oktant, a potom kroz

profilnicu (3) u VIII oktant.Prva b paralelna je sa vertikalnicom (2) ,pa je druga projekcija b'' identina pravoj u prostoru, prva projekcija b' paralelna je sa x-osom i vidljiva je desno od traga T1 T1',a zaklowena je lijevo od traga T1 T1' poto horizontalnica (1) zaklanja prvu projekciju.Trea projekcija b''' paralelna je sa z-osom i vidljiva je iznad traga T3 T3''', a zaklonjena je ispod traga T3 T3''' (profilnica zaklanja treu projekciju).(sl.1.31 a,b)

- 31 -

Slika 1.31(a,b)

Zadatak 3: Prava c prolazi kroz take E (-18,20,3) i F (9,6,20).Odrediti tragove prave c naznaiti vidljivost i oktante kroz koje prolazi prava. Rjeenje: Prava c prodire iz II oktanta u I kroz vertikalnicu u tragu T2 T2'', a zatim prodire kroz profilnicu u tragu T3 T3''' u V oktant. Iz V oktanta prodire kroz horizontalnicu u tragu T1 T1' u VIII oktant.Prva projekcija c' prave c vidljiva je desno od traga T1 T1' dok je lijevo od traga T1 T1' zaklonjena (zaklanja je horizontalnica). Druga projekcija c'' se vidi lijevo od traga T2 T2'' dok je desno od ovog traga projekcija zaklonjena.(zaklanja je vertikalnica).

- 32 -

Slika 1.32a

Slika 1.32b

- 33 -

Trea projekcija c''' vidljiva je desno od traga T3 T3''' (gledano s desna na lijevo) dok se ne vidi lijevo od traga T3 T3''' (zaklanja je profilnica).(sl.1.32 a,b) Zadatak 4 : Prava m V prolazi kroz taku A (20,20,32). Odrediti tragove prave m. Naznaiti vidljivost i oktante kroz koje prolazi prava m. Rjeenje : Prava m prolazi kroz I i II oktant desno od profilnice i iznad horizontalnice. Prva projekcija m' je vidljiva kao i trea m''' dok druga projekcija m'' predstavlja taku.(sl.1.33)

Slika 1.33

- 34 -

ZADACI ZA VJEBU: 1. Prava a definisana je takama A (-25,15,30) i B (35,13,10). Odrediti prvi i drugi trag prave a i njenu vrijednost. 2. Prava b definisana je takama C (30,-16,-12) i D (10,18,12). Odrediti prvi i drugi trag prave b i njenu vidljivost. 3. Nacrtati tragove prave c. Prava c prolazi kroz take E (-10,15,-42) i F (30,-10,15). Odrediti vidqivost i naznaiti oktante kroz koje prolazi prava. 4. Odrediti tragove prave d . Prava d prolazi kroz take M (60,30,20) i N (-30,20,-12). Odrediti vidljivost i naznaiti oktante kroz koje prolazi prava. 5. Odrediti tragove prave l koja prolazi kroz take L (-20,-30,10) i K (30,-15,18). Naznaiti oktante kroz koje prolazi prava i odrediti vidljivost. 6. Odrediti tragove prave k koja prolazi kroz take P (-50,-28,-15) i S (16,26,12). Naznaiti oktante kroz koje prolazi prava i odrediti vidljvost. 7. Odrediti tragove prave a koja je paralelna sa 1 i a) prolazi kroz taku A (25,-15,10) i zaklapa sa ravni 2 ugao od 30. b) prolazi kroz taku B (-35,-35,20) i zaklapa sa ravni 2 ugao od 120. (ugao mjeriti sa pozitivno orjentisanim dijelom x-ose). 8. Nacrtati sve tri projekcije prave m 3 tako da : a)prava prolazi kroz taku A (30,15,-20) b)prava prolazi kroz taku B (-30,-15,20) i c)prava prolazi kroz taku C (-30,10,12). 9. Nacrtati sve tri projekcije prave n 1 tako da : a) prava prolazi kroz taku D (-45,10,-20) b)prava prolazi kroz taku E (-30,20,-10) i c)prava prolazi kroz taku F (-40,20,10).

c)prolazi kroz taku C (-30,-30,-15) i zaklapa sa ravni 2ugao od 135.

- 35 -

1.8 PROJEKCIJA RAVNI. RAVAN U OPTEM I SPECIJALNOM POLOAJURavan je neograniena ravna povrina koja se najee predstavlja u vidu paralelelograma. Prostorni poloaj neke ravni T odreen je : a) b) c) d) trima takama (npr. Tx,Ty,Tz sl 1.34a,b) koje ne le na jednoj pravoj pravom i takom van nje dvjema paralelnim pravama dvjema pravama koje se sijeku.1

Presjek ravni T i horizontalne projekcijske ravni (sl.1.34 a,b) zove se prva trasa t ravni T, a prolazi kroz take Tx i Ty.

Presjek ravni T i vertikalne projekcijske ravni (sl.1.34 a,b) zove se druga trasa t 2 ravni T, a prolazi kroz take Tx i Tz. Presjek ravni T i profilne projekcijske ravni (sl. 1.34 a,b) zove se trea trasa t 3 ravni T a prolazi kroz take Ty i Tz.

1.8.1

RAVAN U OPTEM POLOAJU

Za ravan T se kae da je u optem poloaju u odnosu na projekcijske ravni (1,2,3, ), kada je nagnuto pod nekim uglom u odnosu na njih. (sl.50 a,b).

Slika 1.34 a,b

- 36 -

ZADACI : Zadatak 1 : Nacrtati prvu i drugu trasu ravi G (26,20,-28). Rjeenje : Na osnovu osnih tragova (Gx,Gy i Gz) crtaju se trase ravni G. Prva trasa g1 crta se punom linijom poto je vidljiva, druga trasa g2 iznad x-ose je vidljiva i crta se punom debelom linijom, a ostalo punom tankom linijom (sl.1.35 a,b).

Slika 1.35 (a,b)

Zadatak 2 : Nacrtati sve tri trase ravni E (14,-25,12). Rjeenje : Na slici 1.36 a,b prikazano je rjeenje zadatka. Nevidljivi dio prve i tree trase nalazi se iza vertikalnice.

- 37 -

Slika 1.34 (a,b)

1.8.2

RAVAN U SPECIJALNOM POLOAJU

Ravan je u specijalnom poloaju ako je bar na jednu projekcijsku ravan normalna ili paralelna sa njom.. Zadatak 3 : Odrediti trase ravni S (15,22, ) koja je normalna na horizontalnicu. Rjeenje : Druga trasa ravni s2 i trea trasa s3 ravni S su normalne na horizontalnicu, odnosu na osu x i osu y i istovremeno paralelne sa osom z.

Slika 1.35 (a,b)

- 38 -

Ravan S N naziva se jo i prva projektna ravan (sl.1.35 a,b) i sve to se nalazi na ravni S projektuje se na prvoj trasi S1. Zadatak 5 : Odrediti trase ravni R (22, , 20) koja je upravna na vertikalnicu. Rjeenje : Prvi trag r 1 normalan je na x-osu, a drugi r 2 ravni R ,normalan je na z-osu. Ravan R V naziva se jo i druga projektna ravan , a sve to se nalazi u toj ravni, projektuje se na drugoj trasi r 2. (sl.1.36 a,b).

Slika 1.36 (a,b)

Zadatak 6 : Odrediti trase ravni L ( ,15,26) koja je normalna na profilnicu. Rjeenje : Prva trasa l 1 normalna je na y-osu, a trasa l 2 ravni L normalna je na z-osu.

Slika 1.37 (a,b)

- 39 -

Ravan L P naziva se jo i trea projektna ravan, a sve to se nalazi u toj ravni, projektuje se na treoj trasi l 3 (sl.1.37 a,b). Zadatak 7 : Odrediti trasu ravni ( ,15, ) koja je normalna na horizontalnicu i profilnicu, a a paralelna sa vertikalnicom. Rjeenje : Prva trasa 1 i trea 3, ravni normalne su na, y-osu (sl.1.38 a,b).

Slika 1.38 (a,b)

ZADACI ZA VJEBU: 1. Nacrtati sve tri trase ravni : a) b) c) d) e) A(-50,30,40) B (42,-30,31) C (-16,-33,-42) D (22,-27,-35) G (-42,20,-50)

2. Nacrtati trase ravni : a) ( , ,30) b) (-30, , ) c) ( ,-25, ) d) (45, , )

- 40 -

2.0 TEHNIKO CRTANJE2.1 PRIBOR ZA CRTANJEZa izradu crtea neophodan je pribor za crtanje koga ine:

tabla za crtanje ili sto za crtanje sa mehanizmom (kulmanom), lenjiri, garnitura estara, trouglovi (jedan sa uglovima na hipotenuzi od 45 i drugi sa uglovima od 30 odnosno 60), uglomjer, abloni za izvlaenje raznih krivih i drugih linija i oblika, kao i za ispisivanje slova, brojeva i drugih znakova, tehnike olovke, komplet pera za izvlaenje linija u tuu, gumice za brisanje (meke, tvrde), i sl.

2.2 VRSTE PAPIRAU tehnikoj praksi najeu primjenu nale su sledee vrste papira: Hamer papir. To je tvrdi neprovidni papir koji slui za crtanje olovkom ili tuem i koji dobro podnosi brisanje. Papir za skiciranje. To je obini bijeli kancelarijski papir, koji je mekaniji i tanji, a slui za izradu skica i detalja u olovci i tuu. Paus papir.Providan je i sivkaste je ili plaviaste boje, a namijenjen je za izradu originalnih crtea. Dobro podnosi brisanje i radiranje, dok vodu ne podnosi. Ozalid papir.To je bijeli neprozirni papir koji je sa jedne strane presvuen sa hemikalijama koje su osjetljive na svjetlost. Obzirom da se originalni crte ne daje u radionice, jer bi se mogao uprljati ili otetiti, rade se kopije crtea na ozalid-papiru. Za kopiranje se primjenjuje heliografski postupak sa sunevom ili elektrinom svjetlou, a fiksiranje (razvijanje) se vri u parama amonijaka. Milimetarski papir.To je neprovidan papir preko koga je ucrtana mrea horizontalnih i vertikalnih linija na odstojanju od 1 mm zbog ega se i zove milimetarski papir. Slui za izradu jednostavnijih crtea, simetrinih slika, histograma, grafika i slino.

2.3 VRSTE CRTEAU tehnikom crtanju postoji vie podjela crtea i to: 1. Podjela prema nainu prikazivanja predmeta: a) Ortogonalni crte (u svakoj projekciji predmet se prikazuje u dvije dimenzije), b) Aksonometrijski crte (sve tri dimenzije obuhvaene su u jednom pogledu). 2. Podjela crtea prema sadrini: - 41 -

a) Sklopni sastavni crte (koji prikazuje cjelinu, sastavljenu iz pojedinih dijelova), b) crte detalja (koji pokazuje samo jedan dio cjeline). 3. Podjela crtea prema namjeni: a) montani crte (prikazuje postupak sklapanja cjeline), b) radioniki crte (prikazuje se dio sa svim podacima neophodnim za njegovu izradu), c) ematski crte (crte iz kojeg se vidi funkcionalno prikazivanje maine, postrojenja i slino). d) projektni crte, (koji prikazuje objekat u glavnim grubim potezima iz kojega su vidljive njegove karakteristike), e) crte za ponudu (prikazuje objekte u glavnim crtama istiui ono to je bitno), f) instalacioni crte (prikazuju kako se polau razni cijevni vodovi kao i elektrine instalacije). g) patentni crte ( prikazuje ideju i bit funkcionisanja nekog pronalaska), h) kontrolni crte (slui za kontrolu i prijem), h) situacimi plan (prikazuje smjetaj objekta s obzirom na regulacionu osnovu i susjedne objekte, kao i meusobni poloaj zgrada cjelokupnog objekta) itd. 4. Podjela prema nainu izrade: a) originalni crte (crte sa koga se vri kopiranje), b) kopija (umnoeni original), c) skica (prostoruno nacrtan crte).

2.4 FORMATI CRTEA I RAZMJERAStandardne dimenzije papira zovu se formati crtea, a oblik i dimenzije propisuje JUS.A.A0.104. Kao osnovni format uzima se format A0 ija je povrina lm2, a odnos stranica je 1: 2 . Ostale veliine formata se dobijaju dijeljenjem vee stranice sa 2

(slika 2.1). Standard propisuje sljedee dimenzije formata:Tabela 1Oznaka formata Dimenzije(mm)

A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6

1189 841 594 420 297 210 148

x x x x x x x

841 594 420 297 210 148 105

- 42 -

Slika 2.1 Formati crtea

U sluajevima da se crte ne moe nacrtati ni na produenom formatu, koriste se izuzetno produeni formati koji su lakoe standardizovani napred navedenim JUS-om. Poto se crtei ulau u registratore, fascikle sa mehanizmom itd, isti standard je propisao naine uokvirenja crtea, poloaj zaglavlja i nain presavijanja formata (slika 2.2 i slika 2.3).

Slika 2.2 Okvir i poloaj zaglavlja

- 43 -

Slika 2.3a Presavijanje formata za ulaganje u mapu sa mehanizmom A0

Slika 2.3b Presavijanje formata za ulaganje u mapu sa mehanizmom A1

- 44 -

Slika 2.3c Presavijanje formata za ulaganje u mapu sa mehanizmom A2

Slika 2.4d Presavijanje formata za ulaganje u mapu sa mehanizmom A3

Slika 2.5a Presavijanje formata za ulaganje u mapu bez mehanizma A0

- 45 -

Slika 2.5b Presavijanje formata za ulaganje u mapu bez mehanizma A1

Slika 2.5c Presavijanje formata za ulaganje u mapu bez mehanizma A2

Slika 2.5d Presavijanje formata za ulaganje u mapu bez mehanizma A3

- 46 -

RAZMJERA CRTE@ARazmjera predstavlja odnos izme|u mjera predmeta na crte`u i stvarnih mjera samog predmeta. U tehnikom crtanju koriste se standardne razmjere date u tabeli tabeli 2. Tabela 2

- 47 -

2.5 ZAGLAVLJE I SASTAVNICA NA KONSTRUKCIONOJ DOKUMENTACIJIZaglavlje je uokvireno mjesto na dokumentu koje slui za upisivanje podataka neophodnih za identifikaciju, klasifikaciju i korienje dotinog dokumenta. Na slici 2.6 a prikazanao je zaglavlje za crtee dijelova, a na slici 2.6b zaglavlje za sklopni crte koje se koristi kada se sastavnica nalazi na crteu uz zaglavlje.

Slika 2.6 a Zaglavlje za crtee dijelova b) zaglavlje za sklopni crte sa sastavnicom

- 48 -

ZADACI ZA VJEBU:

1.Nacrtati okvir crte`a na obi~nom bijelom papiru i ucrtati zaglavlje za radioni~ki crte` za ulaganje formata u mapu bez mehanizma : a) b) c) d) A3 A2 A1 A0

2.Nacrtati okvir crte`a na obi~nom bijelom papiru i ucrtati zaglavlje za radioni~ki crte` za ulaganje formata u mapu sa mehanizmom: a) b) c) d) A3 A2 A1 A0

3.Nacrtati okvir crte`a na paus papiru i ucrtati zaglavlje za sklopni crte` sa sastavnicom za ulaganje formata u mapu sa mehanizmom : a) A3 b) A2 c) A1 d) A0 4.Nacrtati okvir crte`a na paus papiru i ucrtati zaglavlje za sklopni crte` sa sastavnicom za ulaganje formata u mapu bez mehanizma : a) A3 b) A2 c) A1 d) A0

- 49 -

2.6 VRSTE LINIJAU tehni~kom crtanju se za prikazivanje predmeta upotrebljavaju linije razli~ite vrste i debljine koje su propisan standardima.Za izradu tehni~kih crte`a koriste se dvije debljine linija:puna debela i puna tanka , s tim da izme|u pune debele i pune tanke bude odnos 2:1.Izbor debljina linija je uslovljen veli~inom i tipom crte`a .

- 50 -

Zadatak: Ozna~iti tipove linija na slici br.2.5 Rjeenje: Na crte`u na slici br.2.7 ozna~ene su vrste linija u skladu sa standardima u tehni~kom crtanju.

Slika 2.7 Vrste linija

- 51 -

ZADACI ZA VJEBU: 1.Oznaiti vrste linija na prikazanim predmetima na slici br.2.8 a,b,c

Slika 2.8 a,b,c

- 52 -

2.7 KOTIRANJEDimenzije predmeta na crteu daju se pomou kotnih linija i kotnih brojeva. Bez obzira na mjerilo, na crte se upisuju stvarne dimenzije predmeta koji se treba dobiti nakon izrade. Pri tome treba paziti da se one nanesu na ona mjesta gdje se daje jasna predstava predmeta. Prilikom kotiranja treba paziti da se pri izradi predmeta kote ne izraunavaju. Osnovni elementi kotiranja su: pomona kotna linija, kotna linija, pokazna linija, kotni zavretak, poetna taka, kotni broj. Prilikom kotiranja, mora se voditi rauna sledeem: svi podaci dimenzijama, potrebni za odreivanje dijela ili komponente moraju biti nedvosmisleno i potpuno prikazani neposredno na crteu pomou kota, na crteu se jedna mjera moe kotirati samo jedanput, nanoenje kota vri se u onoj projekciji koja je najjasnija, na jednom crteu se u pravilu koristi samo jedna mjerna jedinica (npr. mm), ali bez pisanja jedinice mjere kotne linije i pomone kolne linije ne smiju presijecati druge kolne linije, osim kad to nije mogue izbjei,

Slika 2.9 Osnovni elementi kotiranja

Slika 2.10 Vrsta kotnih zavretaka i simboli uz kotni broj

- 53 -

Slika 2.11 Upisivanje kotnih brojeva

Slika 2.12 Kotiranje uglova

Slika 2.13 Kotiranje uglova a)redno kotiranje b)paralelno kotiranje

Slika 2.14 Kombinovano kotiranje

- 54 -

NEISPRAVNO50 50 50 50 50 50 50 50

NEISPRAVNO

ISPRAVNO

50

50

50

80

20

80

Slika 2.15 Primjeri ispavnog i neispravnog kotiranja

20

50

50

- 55 -

ZADACI Zadatak 1:Prikazane modele (ploa =3mm) (slika 2.16a,b) nacrtati u razmjeri i kotirati .

Slika 2.16 a) b)

Rjeenje :

Zadatak 2:Prikazane modele (ploa =5mm) (slika 2.17a,b) nacrtati u razmjeri i kotirati .

Slika 2.17 a) b)

- 56 -

Rjeenje :

Slika 2.18 a) b)

ZADACI ZA VJEBU: 1.Prikazane modele (slika 2.19a,b,c) nacrtati u razmjeri i kotirati (dimenzije uzeti sa crtea) .

Slika 2.19 a,b,c

2.Prikazane modele (ploa =4mm) (slika 2.20a,b) nacrtati u razmjeri i kotirati (dimenzije uzeti sa crtea) .

Slika 2.20 a, b

- 57 -

3.Prikazane modele (ploa =2mm) (slika 2.21a,b,c) nacrtati u razmjeri i kotirati (dimenzije uzeti sa crtea) .

Slika 2.21 a)

Slika 2.21 b)

Slika 2.21c)

- 58 -

2.8 PRIKAZIVANJE PREDMETA U ORTOGONALNIM PAROVIMA POGLEDAOrtogonalni nain je osnovni nain prikazivanja predmeta u tehnikom crtanju. On se primjenjuje u svim tehnikim oblastima (mainstvo, elektrotehnika, graevinarstvo itd.). Kod ovog naina crtanja, predmet koji se prikazuje na tehnikom crteu posmatra se sa vie strana i projektuje na projekcijske ravni. Pravac posmatranja predmeta uvijek je upravan na projekcijske ravni, tako da svi pogledi ine izmeu sebe uglove od 90. U ortogonalnom projektovanju koga propisuje JUS M.A0.110. ima est osnovnih pogleda, od kojih se pogled sprijeda (a), bira kao glavni pogled. Naje}e se koriste tri osnovna pogleda i to: pogled sprijeda (a), pogled odozgo (b) i pogled s lijeva (c). Naziv i oznake osnovnih pogleda prikazani su na slici 2.22.

Slika 2.22 Prikaz osnovnih pogleda predmeta

Slika 2.22 a Prikaz osnovnih pogleda predmeta

- 59 -

Z A D A C I: Zadatak 1:Prikazani su izometrijski pogledi modela A, B, C i D, a ispod njih su haotino poreani ortogonalni pogledi a, b i c tih modela . (slika 2.23).

Odrediti koje tri projekcije odgovaraju svakom od tih modela.

Slika 2.23

Rjeenje : Predmetu A odgovaraju: pogled sprijeda (B2), pogled odozgo (B6) i pogled

slijeva (C3). To se pie ovako: B-8(a),B-6(b),C-3(c). Odrediti ostale poglede.A B C D

Slika 2.23a

- 60 -

Zadatak 2:Nacrtati sva tri izgleda modela prikazanog na slici 2.24.

Slika 2.25

Rjeenje :

Slika 2.24a

- 61 -

Zadatak 3:Nacrtati sva tri izgleda modela prikazanog na slici 2.25.

Slika 2.25

Rjeenje :

Slika 2.25a

- 62 -

Zadatak 4:Nacrtati sva tri izgleda modela prikazanog na slici 2.26.

Slika 2.26

Slika 2.26a

- 63 -

Zadatak 5:Nacrtati sva tri izgleda modela prikazanog na slici 2.27.

Slika 2.27

Rjeenje :

Slika 2.27a

- 64 -

Zadatak 6:Nacrtati potreban broj izgleda modela prikazanog na slici 2.28.

Slika 2.28

Rjeenje :

Slika 2.28a

- 65 -

Zadatak 7:Nacrtati model u izometriji na osnovu tri izgleda prikazanog na slici 2.29.

Slika 2.29

Rjeenje :

Slika 2.29a

- 66 -

Zadatak 8: Nacrtati model u izometriji na osnovu tri izgleda prikazanog na slici 2.30.

Slika 2.30

Rjeenje:

Slika 2.30a - 67 -

Zadatak 9:Nacrtati treu projekciju modela na na osnovu dva izgleda prikazanog na slici 2.31.

Slika 2.31

Rjeenje :

Slika 2.31a

- 68 -

Zadatak 10:Nacrtati treu projekciju modela na na osnovu dva izgleda prikazanog na slici 2.32.

Slika 2.31a

Slika 2.32a

- 69 -

ZADACI ZA VJEBU: 1. Prikazani su izometrijski pogledi modela A, B, C , D i E a ispod njih su haotino poreani ortogonalni pogledi a, b i c tih modela . (slika 2.33). Odrediti koje tri

projekcije odgovaraju svakom od tih modela

Slika 2.33

2. Prikazani su izometrijski pogledi modela A, B, C , D i E a ispod njih su haotino poreani ortogonalni pogledi a, b i c tih modela . (slika 2.33). Odrediti koje tri

projekcije odgovaraju svakom od tih modela

Slika 2.33

- 70 -

Zadatak 3:Nacrtati sva tri izgleda modela prikazanog na slici 2.34 .1-14

Sl.2.34.1

Sl.2.34.2

Sl.2.34.2

Sl.2.34.4

Sl.2.34.5

Sl.2.34.6

- 71 -

Sl.2.34.7

Sl.2.34.8

Sl.2.34.9

Sl.2.34.10

Sl.2.34.11

Sl.2.34.12

- 72 -

Sl.2.34.13

Sl.2.34.14

Zadatak 4:Nacrtati model u izometriji na osnovu izgleda prikazanih na slici 2.35.1-10

Sl.2.35.1

Sl.2.35.2

- 73 -

Sl.2.35.3

Sl.2.35.4

Sl.2.35.5

Sl.2.35.6

- 74 -

Sl.2.35.7

Sl.2.35.8

Sl.2.35.9

Sl.2.35.10

Sl.2.35.11

Sl.2.35.12

- 75 -

Zadatak 50:Nacrtati treu projekciju modela na na osnovu dva izgleda prikazanog na slici 2.36.1-12

Sl.2.36.1

Sl.2.36.2

Sl.2.36.3

- 76 -

Sl.2.36.4

Sl.2.36.5

Sl.2.36.6

- 77 -

Sl.2.36.7

Sl.2.36.8

Sl.2.36.9

Sl.2.36.10

- 78 -

Sl.2.36.11

Sl.2.36.12

Sl.2.36.13

Sl.2.36.14

- 79 -

2.9. PRESJECIPresjek je slika predmeta koji je zamiljeno presjeen jednom ili vie ravni. Njime se slui kada treba potpunije i jasnije prikazati izgled predmeta. Razlikuju se: puni presjek (slika 2.37 a) polovini presjek (slika 2.37b) djelimini presjek (slika 2.37c)

a)

b)

c)

Slika 2.37 a) puni, b) polovini, c) djelimini presjek

Slika 2.38 Prikaz presjeka prdmeta u prostoru sa ravni R Polupresjek se dobija zami{ljenim presijecanjem predmeta pomo}u ravni presijecanja i (slika 2.39).

- 80 -

Slika 2.39 Presjeku dvije ravni

Slika 2.40 Djelimi~ni presjek Zadatak 1: Na osnovu datih izometrijskih pogleda modela nacrtati i kotirati model koristei polupresjek.(slika 2.41)

Slika 2.41 - 81 -

Rjeenje :

Slika 2.41a ZADACI ZA VJEBU: Zadatak 1: Na osnovu datih izometrijskih pogleda modela nacrtati i kotirati model koristei puni presjek (slika 2.42. 1-4)

Slika 2.42.1

Slika 2.42.2

Slika 2.42.3

Slika 2.42.4

- 82 -

Zadatak 2: Na osnovu datih izometrijskih pogleda modela nacrtati i kotirati model koristei puni polovini upresjek (slika 2.43a,b)

Slika 2.43.1

Slika 2.43.2

Slika 2.43.3

Slika 2.43.4

Slika 2.43.5

Slika 2.43.6

- 83 -

Zadatak 3: Na osnovu datih izometrijskih pogleda modela nacrtati i kotirati model u potrebnom broju projekcija koristei djelimini presjek.(slika 2.44.1-4)

Slika 2.44.1

Slika 2.44.2

Slika 2.44.3

Slika 2.44.4

- 84 -

2.10 TOLERANCIJEDozvoljeno odstupanje od nazivne mjere naziva se tolerancija.Tolerancije su propisane od strane JUS-ISO standarda. Izgled tolerancijskog polja prikazan je na slici 2.45.

Slika 2.45 Nazivne, stvarne i granine mjere tolerancijskog polja Nazivna (zahtijevana) mjera (d,D) je mjera koj je unaprijed utvrena, a slui kao osnova za definisanje graninih mjera i odstupanja. Stvarna mjera (ds, Ds), je dobijena mjera na izraenom predmetu. Granine mjere su dozvoljene ekstremne mjere jednog dijela (dg, dd za osovinu; Dg, Dd za rupu) izmeu kojih treba da se nae stvarna mjera, to podrazumjeva i same granine mjere. Spoljne mjere se u principu obiljeavaju malim slovima, a unutranje mjere velikim slovima. Gornje odstupanje (gornje nazivno odstupanje - ag, Ag) je algebarska razlika izmeu maksimalne mjere i nazivne mjere ag =dg - d; Ag = Dg - D Donje odstupanje (donje nazivno odstupanje - ad, Ad) je algebarska razlika izmeu minimalne mjere i nazivne mjere. ad = dd - d; Ad = Dd - D Stvarno odstupanje (as, As) je algebarska razlika izmeu stvarne i nazivne mjere. as = ds - d; As = Ds - D Osnovno odstupanje je ono od dvaju odstupanja koje je prema usvojenom pravilu izabrano za definisanje poloaja tolerancijskog polja u odnosu na nultu liniju. Veliina tolerancijskog polja zavisi od: kvaliteta obraene povrine i veliine nazivne mjere. - 85 -

U zavisnosti od navedena dva faktora JUS-ISO standardima je definisano 18 brojeva tolerancijskih polja rasporeenih od IT 1 do IT18. Tolerencije osovina (spoljnje mjere) oznaavaju se malim latininim slovima, a tolerancije otvore (unutranje mjere) velikim latininim slovima (slika 2.46).

Slika 2.46 Poloaj tolerancijskih polja u odnosu na nultu liniju

- 86 -

Sistemi nalijeganjaZavisno od izbora tolerancijskog polja pri istoj nazivnoj mjeri mogu se dobiti tri vrste nalijeganja, i to: 1. Labavo nalijeganje Zmax=Dg - dd Zmin=Dd dg gdje je: Zmax maksimalan zazor Zmin minimalan zazor

Slika 2.47

2. vrsto nalijeganjePmax=dg - Dd Pmin=dd Dg gdje je: Pmax maksimalan preklop Pmin minimalan preklop

Slika 2.48

3. Neizvjesno nalijeganje

Pmax=dg - Dd Zmax=Dg dd gdje je: Pmax maksimalan preklop Zmax maksimalan zazor

Slika 2.49

- 87 -

- 88 -

- 89 -

- 90 -

- 91 -

- 92 -

- 93 -

- 94 -

- 95 -

- 96 -

- 97 -

- 98 -

- 99 -

- 100 -

- 101 -

- 102 -

- 103 -

- 104 -

Z min

-granina odstupanja otvor

ag

Ad = 0

a10

Ag = Ad + T = 0 + 140osovina

Ag = 140[m ] = 0 ,14[mm ]

a g = 410[m] = 0 ,41[mm] ad = a g t = 410 140 ad = 550[m] = 0 ,55[mm]Slika 2.50

-zazor

Z min = Ad a g = 0 ( 410 ) = 410[m ] = 0 ,41[mm ]b) (slika 2.51) - tolerancije

Z max = Ag ad = 140 ( 550 ) = 690[m ] = 0 ,69[mm ]

Z max

-granina odstupanja otvor

N.L.

Ad = 0

Ag = Ad + T = 0 + 87osovina

Ag = 87 [m ] = 0 ,087 [mm ]

ad = 79[m] = 0 ,079[mm] a g = 166 [m] = 0 ,166 [mm]Z max = Ag ad = 87 79 = 8[m] = 0 ,008[mm]

a g = ad + t = 79 + 87-zazor i preklop

Slika 2.51

Pmax = a g Ad = 166 0 = 166 [m] = 0 ,166 [mm]

- 105 -

Ad Ag

ad

T = t = 87 [m] = 0 ,087 [mm]

ag

P max

s9

Z max

T = t = 87 [m] = 0 ,087 [mm]

ad

H9

Ad Ag

Zadatak 1:Odrediti tolerancije, osnovna granina odstupanja, zazore i preklope za nazivne mjere 115 mm, za nalijeganja: a ) H10/a10 b ) H9/s9 c ) h8/ZA9 Rjeenje: a) (slika 2.50) - tolerancije H10 N.L.

c) (slika 2.52) - tolerancije

-granina odstupanja otvor

Ag = 400[m ] = 0 ,4[mm ] Ad = 487 [m ] = 0 ,487 [mm ]

Ad = Ag T = 400 87osovina

a g = 0[m ] = 0[mm ]

a d = a g t = 0 54- preklop

Slika 2.52

a d = 54[m ] = 0 ,054[mm ] Pmax = a g Ad = 0 ( 487 ) = 487 [m ] = 0 ,487 [mm ]

Pmin = a d Ag = 54 ( 400 ) = 346 [m ] = 0 ,346 [mm ]Zadatak 2:Definisati toleranciju osovine, za sklop uraen u sistemu zajednikog otvora 90 H8, tako da maksimalni preklop iznosi P max =0,085mm, a maksimalan zazor Z max =0,035mm. Rjeenje: (slika 2.53) m9Z max

P min

ZA9

T = 46 [m ] = 0 ,046 [mm ] Ad = 0 Ag = Ad + T = 0 + 46

P max

ag

N.L.ad

Ag = 46 [m ] = 0 ,046 [mm ]

Z max = Ag a d

a d = Ag Z max = 46 35a d = 11[m] = 0 ,011[mm]- iz tabele 5 slijedi tolerancijsko polje "m" za osovinu

Pmax = a g Ad a g = Pmax + Ad = 85 + 0 a g = 85[m] = 0 ,085[mm]

Slika 2.53

- 106 -

Ad Ag

H8

Ad

T = 87 [m ] = 0 ,087 [mm ] t = 54[m ] = 0 ,054[mm ]

N.L.ad

ag

P max

Ag

h8

t = 74[m] = 0 ,074[mm]

t = a g a d = 85 11

- iz tabele 4 kvalitet osovine je IT9

ZADACI ZA VJEBU 1. Odrediti tolerancije, osnovna granina odstupanja, zazore i preklope za nazivne mjere 55 mm, za nalijeganja u sistemu zajednike osovine: a ) h8/C9 b ) a9/J8 c ) d10/ZA9 d ) e9/K8 2. Odrediti tolerancije, osnovna granina odstupanja, zazore i preklope za nazivne mjere 145 mm, za nalijeganja u sistemu zajednikog otvora: a) H9/c9 b) K10/j8 c) J10/za9 d) N7/k8 3. Definisati toleranciju osovine, za sklop uraen u sistemu zajednikog otvora 35 H8, tako da maksimalni preklop iznosi Pmax =0,105mm, a minimalan preklop P min=0,004mm. (Rjeenje: 35 H8/s9) 4. Definisati toleranciju otvora, za sklop uraen u sistemu zajednike osovine 45 h8, tako da maksimalni zazor iznosi Z max =0,103mm, a minimalan zazor Z min =0,025mm. (Rjeenje: 45 h8/F8) 5. Definisati toleranciju otvora, za sklop uraen u sistemu zajednike osovine 75 h8, tako da maksimalni preklop iznosi Pmax =0,078mm, a maksimalan zazor Z max =0,014mm. (Rjeenje: 75 h8/P8)

- 107 -

2.10.1 TOLERANCIJA OBLIKA I POLOAJAPri izradi mainskih dijelova ne mogu se postii idealne mjere, tako se ne mogu postii ni idealni oblici povrina ni njihovi meusobni poloaji koji su naznaeni na crteu. Da odstupanja od idealnog poloaja i oblika ne bi bilo proizvoljno propisuju se pored tolerancija mjera i tolerancije oblika i poloaja.

Slika 54

Simboli za toleranciju oblika i poloaja za:pravost,krunost,ravnost, cilindrinost, oblik linije,oblik povrine, paralelnost,upravnost, ugao nagiba,lokaciju,koncetrinost,simetrinost, bacanje i ukupno bacanje dati su u tabeli 7. Nain nanoenja referentnog trougla i referentnog slova dati su na slici 55. Tabela 7

Slika 55

- 108 -

Vrijednost tolerancije oblika i poloaja t izraava se u mm a zone tolerancije date su na slici 56.

Slika 56

Na slici 57 dati su primjeri oznaavanja tolerancija oblika i poloaja.

Slika 57

- 109 -

2.11 IZRADA RADIONIKOG I SKLOPNOG CRTEARadioniki crte predstavlja crte predmeta na osnovu koga se u radionici vri izrada istog.U radionikom crteu treba da bude sadrano sledee: - dovoljan broj ortogonalnih pogleda, - dovoljan broj kota, - oznakle za kvalitet hrapavosti povrina, - tolerancije mjera, - tolerancije oblika i poloaja, - podaci za termiku obradu , - podaci za povrinsku zatitu, - zaglavlje za crte sa potrebnim podacima (materijal,naziv dijela,razmjera podaci o konstruktoru, itd.) - ostale podatke neophodne za izradu predmeta (tabele za zupanike,lananike, i sl.). Kod izrade radionikih crtea koristi se ortogonalna projekcija. Sklopni crte predstavlja crte vie mainskih dijelova koji su meusobno povezani i imaju zajedniku funkciju. Sklopni crte treba da ima sledee elemente: - dovoljan broj projekcija, - pozicione brojeve, - gabaritne dimenzije i dimenzije sa tolerancijama nalijeganja, - zaglavlje za sklopni crte sa sastavnicom Za izradu sklopnog crtea koristi se ortogonalna projekcija. Prilikom izrade sklopnih crtea za sloenije sklopove koriste se presjeci (puni presjek,polupresjek,i djelimini presjeci ).U presjeku se dijelovi rafiraju, pri emu mogu da se ne rafiraju velike povrine ili se rafure izvlae samo uz konturne linije. Na sklopnom crteu se u pravilu ne sijeku:vijci,ivije,osovine,osovinice,vratila, klinovi, osigurai i drugi elementi za vezu. Pozicioni brojevi su sastavni dio sklopnog crtea, a svaki mainski dio ima svoj pozicioni broj.Piu se u rastuem nizu s lijeva na desno, odozgo na dole. ZADACI: Zadatak 1:Nacrtati radioniki crte vratila sa svim potrebnim podacima za njegovu izradu. (rjeenje slika 58) Zadatak 2:Nacrtati radioniki crte draa voice sa svim potrebnim podacima za njegovu izradu. (rjeenje slika 59) Zadatak 3:Nacrtati sklopni crte rune dizalice sa navojnim vretenom sa svim potrebnim podacima . (rjeenje slika 60) - 110 -

Slika 58 Radioniki crte

- 111 -

Slika 59. Radioniki crte

- 112 -

Slika 60. Sklopni crte

- 113 -

ZADACI ZA VJEBU:

Zadatak 1:Nacrtati sklopni i radionike crtee kulisnog mehanizma sa svim potrebnim podacima za njegovu izradu za poziciju 1,2 ,3,4,10,12 sa slike 61. (uzeti omjer za dimenzije na crteu i varijante u tabeli).

- 114 Ozn. varijante

A I II III IV V378 400 440 480 520

B170 190 230 270 300

C140 160 200 230 260

D156 176 206 246 270

Slika 61.KULISNI MEHANIZAM 1- Tijelo,2-Vratilo,3-Poklopac,4-To~ak,5-Vijak M12x16,6-Zaptiva~,7-Vijak M12x24,8-Le`aj, 9-Le`aj,10-Poklopac, 11-Klin 8x7x20,12-Kulisa,13 Navrtka M12,14-Zaptivka

Zadatak 2:Nacrtati sklopni crte dvojnog le`i{ta i radionike crtee sklopa za pozicije 1,2,3,4,8,9,13 sa svim potrebnim podacima za njegovu izradu sa slike 62.(uzeti omjer za dimenzije na crteu i varijante u tabeli).

- 115 Ozn. varijante

A I II III IV V200 240 270 300 320

B185 216 240 268 294

C64 80 88 96 104

D156 168 188 198 218

Slika 62.DVOJNO LE@I[TE:1-Postolje,2-Posteljica donja,3-Tijelo,4-Posteljica gornja,5-Vijak M6,6-Navrtka M6,7-Podmeta~,8-Posteljica donja,9-Poklopac,10-Vijak M6x220,11Navrtka M6,12-Podmeta~,13-Posteljica gornja,14-^ivija

Zadatak 3:Nacrtati sklopni crte amortizera i radionike crtee sklopa za pozicije 1,2,3,4,5,7,8,12 sa svim potrebnim podacima za njegovu izradu sa slike 63.(uzeti omjer za dimenzije na crteu i varijante u tabeli).

- 116 -

Ozn. varijante

A I II III IV V VI340 420 454 500 560 620

B102 126 140 154 1700 190

Slika 63.AMORTIZER:1-Spojnica,2-Navrtka M27,3-Tanjir,4-Tijelo,5-Dr`a~,6-Opruga,7-Tanjir,8-Poklopac,9-Zaptivka,10-Elasti~ni podmeta~,11-Vijak M14x40,12-Stezna navrtka,13-Prsten,14-Vijak M18x60,15-Podmeta~,16-Navrtka M18

3. S T A T I K A3.1 PREDMET PROUAVANJAStatika prouava uslove ravnotee materijalnih tijela pod dejstvom sila. Pri tom se pod silom podrazumjeva svaki uzrok koji moe dovesti do promjene stanja mirovanja ili jednolikog pravolinijskog kretanja. Ona je vektorska veliina te je odreena intenzitetom, pravcem i smjerom dejstva(slika 3.1).

Slika 3.1 Sila kao vektorska veliina Sila je u statici definisana izrazom : F = m a , a mjeri se u njutnima (N), gdje je 1(N) sila koja masi od 1 kilograma daje ubrzanje od 1 [m / s ]. Skup sila ( F1 ,F2 ,... F N ) koje djeluju na tijelo zove se sistem sila. Ako se jedan sistem sila koje djeluju na kruto tijelo moe yamijeniti drugim sistemom sila F1 ,F2 ,... F N , s tim da se ne mijenja stanje u kome se kruto tijelo nalazi, tada se ya ta dva sistema kae da su ekvivalentna i obiljeava se sa:

(F , F ,..., F ) ~ F , F ,...F1 2 n ' 1 ' 2

' m

U sluaju kada je dati sistem sila ekvivalentan jednoj sili, onda se ta sila zove rezultanta datog sistema sila i obeleava se zamijenjuje zovu se komponente.

Fr

~ ( F1 ,F2 ,... F N ) , a sile koje ona

Sila koja djeluje na tijelo, po intenzitetu i pravcu jednaka rezultanti, a suprotnog je smjera, zove se uravnotezujua ili suprotna sila. Sile koja dijeluje na tijelo sa spoljanje strane zovu se spoljanje sile, a sile kojima se tijelo iznutra odupire djelovanju spoljanjih sila zovu se unutranje sile.

- 117 -

3.2 VEZE I REAKCIJE VEZATijelo ije je pomijeranje u prostoru ometeno drugim tijelima, zove se vezano ili neslobodno tijelo. Svako tijelo koje onemoguava kretanje pos-matranom tijelu zove se veza. Sila kojom veza onemoguava kretanje pos-matranog tijela zove se reakcija veze. Ona je uvijek usmjerena u suprotnom smijeru od pravca kojim bi se tijelo kretalo da nije veze. Poto veze ne dozvoljavaju materijalnim tijelima da se kreu (one materijalna tijela dre u ravnotei), to se postavlja problem odreivanja reakcije veza, uz uslov da materijalno tijelo bude u ravnotei. Sile koje ne predstavljaju reakcije veza zovu se aktivnim silama i njihov pravac, smijer i intenzitet ne zavise od drugih sila. Za razliku od aktivnih sila, pravac, smijer i intenzitet sila reakcija veza podlijee odreivanju. Odreivanje reakcija veza se vri tako da tijelo mora biti u ravnotei kada se oslobodi veza. Vrste veza i reakcije veza: 1. Veza glatkom povrinom (slika 3.2)

Slika 3.2 2. Veza glatkim nerastegljivim uetom (slika 3.3)

Slika 3.3 - 118 -

3. Veza pokretnim osloncem (slika 3.4)

Slika 3.4 4. Veza nepokretnim osloncem (slika 3.5)

Slika 3.5

5. Veza cilindrinim zglobom (slika 3.6)

Slika 3.6

- 119 -

6. Veza tapom ija se teina zanemaruje(slika 3.7)

Slika 3.77. Veza ukljetenjem (slika 3.8)

Slika 3.8

- 120 -

3.3 SISTEM SUELJENIH SILAPod sistemom sueljenih sila podrazumjeva se skup sila koje djeluju na kruto tijelo iji se pravci sijeku u jednoj taci. Ako taj sistem djeluje u jednoj ravni onda se on zove ravan sistem sueljenih sila. Rezultanta ravnog sistema sueljenih sila moe se odrediti na dva naina: 1) grafiki, i 2) analitiki. 1) Grafiko odreivanje rezultante ravnog sistema sueljenih sila Grafiko odreivanje rezultante moe se izvriti pomou: paralelograma sila(slika 3.9), i poligona sila(slika 3.10).

Slika 3.9. Odreivanje rezultante sila pomou paralelograma

Kada je u pitanju paralelogram sila problem se rjeava koritenjem tree aksiome to podrazumjeva da se prvo odredi rezultanta ( F r 1 ,2 ) za sile F 1 i F 2 , a zatim se odredi rezultanta komponenata sila F 1 i F 2 , ( F r 1 ,2 ) i sile F 3 ( F r 1 ,2 ,3 ). Postupak se ponavlja dok se ne dobije rezultanta svih sila koje djeluju na kruto tijelo. Navedeni postupak se izvodi kroz etiri faze: 1) odreuje se razmjera za sile (U f ). 2) nacrtaju se sile u zadanoj razmjeri, 3) konstruie se paralelogram, 4) mnoi se duina grafiki dobijene rezultante sa razmjerom, da bi se odredila pravaveliina rezultante.

- 121 -

Navedeni postupak je dosta nepregledan, posebno kada je u pitanju vei broj sila, pa se umjesto metode paralelograma sila ee koristi metoda poligona sila. Postupak se izvodi tako to se na proizvoljno izabrani pol 0 nanase redosljedom sile po pravcu, smjeru i intenzitetu, i to tako da, se prvo nanese sila F 1 , sa poetkom iz proizvoljno izabranog pola 0, zatim se na kraj sile F 1 nanese sila F 2 i tako redom (slika 3.10). Postupak odreivanja rezultante metodom poligona izvodi se kroz etiri faze, i to: 1) odreivanje pola 0. 2) odreivanje razmjere za sile (U F ). 3) nanoenje sila u razmjeri, 4) mnoenje duine grafiki dobijene rezultante sa razmjerom, da bi se odredila pravaveliina rezultante.

Slika 3.10. Odreivanje rezultante sila metodom poligona sila

2) Analitiko odreivanje rezultante sistema sueljenih sila Problem se praktino svodi na primjenu metoda projekcije sile na ose x i y Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema i na osnovu poznate teoreme vektorske algebre 0 projekciji rezultujueg vektora na ose. koja kae da je projekcija rezultante sistema sueljenih sila jednaka zbiru projekcija komponenata (slika 3.11).

- 122 -

Slika 3.11 Slaganje sistema proizvoljnih sila

Fr = F1 + F2 + ... + FnFrx = F1 cos 1 + F2 cos 2 + ...+ F1 cos n Fry = F1 sin 1 + F2 sin 2 + ...+ F1 sin n2 2 Fr = Frx + Fry

tg r =

Fry Frx

Sistem sueljenih sila je u ravnotei ako mu je rezultanta jednaka nuli. U sluaju grafiko odreivnja rezultante sistema sueljenih sila. to podrazumjeva zatvoren poligon sila (slika 3.12), a u sluaju analitikog odreivanja rezultante sistema sila to podrazumjeva da je:

F 1 =0odnosno Frx = 0 Fry = 0

- 123 -

Slika 3.12. Ravnotea sistema sueljnih sila

U specijalnom sluaju ako na slobodno tijelo djeluje ravan sistem od tri sile, onda je potreban i dovoljan uslov za ravnoteu da trougao konstruisan od tih sila bude zatvoren (slika 3.12.) Zadatak 1:Odrediti rezultantu sistema sueljnih sila (slika 3.13), analitiki i grafiki ako je poznato: F 1 =F 5 =100N F 2 = F4 =F 6 =F 7 =200N F 3 =300N 1 =0 2 =30 3 =45 4 =60 5 =90 6 =135 7 =315 Rjeenje: a.)Analitiko odreivanje rezultante datog sistema sueljnih sila F rx =F1 cos1 + F 2 cos2 + F 3 cos3 + F 4 cos4 + F5 cos 5 + F6 cos 6 + F7 cos 7 F rx =1001+200 F rx =584N

1 2 2 3 2 +300 +200 +1000 -200 +200 2 2 2 2 2

- 124 -

F ry =F1 sin 1 + F 2 sin 2 + F 3 sin3 + F 4 sin4 + F 5 sin 5 + F6 sin6 + F7 sin 7

F ry =1000+200 F ry =584N2 2 F r = Frx + Frz

2 3 2 2 1 +300 +200 +1001 +200 +200 2 2 2 2 2

F r = 584 2 + 584 2 F r =825N

tg r =

Fry Frx

tg r =1 r =45 b.)Grafiko odreivanje rezultante datog sistema sueljnih sila F r =F r U F U F =50N/1cm

- 125 -

Slika 3.13 F r =16,550 F r =825N

- 126 -

Zadatak 2: Kugla teine G=150N objeena je o uadi OA i BC (slika 3.14), tako da se nalazi u ravnotenom poloaju. Grafiki i analitiki odrediti sile u uadima.

O

SA A SB B G C

SA SB

G

Rjeenje: a.) Grafiki (slika 3.15) UF =30 N/ 1 cm

Slika 3.14

S A = S 'A U F = 2 ,9 Slika 3.15 b.) Analitiki' S B = S B U F = 5 ,7

30 N = 87 [N ] 1cm 30 N = 171[N ] 1cm

Fx

i

= 0 S B S A cos 60 O S B = S A cos 60 O

Fy

i

= 0 G + S A sin 60 O S A =

G G 2G = = = 173 ,4[N ] O sin 60 3 3 2

S B = 173,4

1 = 86 ,7 [N ] 2- 127 -

Zadatak 3: Teret teine G=100N odrava se u ravnotei na glatkoj strmoj ravniposredstvom konopca koji je paralelan toj ravni (slika 3.16). Grafiki i analitiki odrediti pritisak tereta na ravan i silu u konopcu, ako strma ravan obrazuje ugao =30 sa horizontalnicom.

yB

SAA

FN

SA30

FN 60

30

x GSlika 3.16

G

Rjeenje: a.) Grafiki (slika 3.17) UF =20 N/ 1 cm

Slika 3.17

20 N = 86 [N ] 1cm 20 N S A = S 'A U F = 2 ,5cm = 50[N ] 1cm' FN = FN U F = 4 ,3cm

b.) Analitiki

3 cos 30 Fxi = 0 FN cos 60 S A cos 30 FN = S A cos 60 = 2 = 3S A 1 2 Fyi = 0 G + FN sin 60 + S A sin 30

G + 3S A

3 1 G + S A = 0 S A = = 50[N ] 2 2 2 FN = 3 S A = 1,73 50 = 86 ,5[N ]

- 128 -

ZADACI ZA VJEBU 1. Tijelo teine G =300 kN odrava se u ravnotei pomou dva ueta (S1 i S2) koja su vezana za nepominu vertikalnu i horizontalnu ravan (slika 3.18), tako da sa njima grade uglove =60 i =60. Odrediti uslove ravnotee tijela A.B

S2 S1 O G

A

Slika 3.18 (Rezultat: S1=150N, S2=259,5N)B

2. Kugla teine G = 30N objeena je o ue AB i oslonjena je oglatki vertikalni zid, gradei sa njim ugao =30 (slika 3.19). Odrediti uslove ravnotee kugle. (Razultat: S = 34,6N ; N = 17,32N)

30

A

G

Slika 3.19 3. Kugla teine G = 20N oslonjena je na glatku podlogu (slika 3.20). Odrediti sile kojim kugla djeluje na podlogu.

C B30

A

G

60

Slika 3.20 (Razultat: NA = 17,3N ; NB = 10N)

- 129 -

3.4 PROIZVOLJNI RAVNI SISTEMA SILA Moment sile u odnosu na takuMoment sile u odnosu na taku definie se kao vektorski proizvod vektora poloaja ( r ) i vektora sile ( F ), tj:

r r r r M 0F = r F

Moment sile moe se odrediti grafiki i analitiki. Analitiki se moment sile u odnosu na taku odreuje kao proizvod sile i njenog normalnog rastojanja od take obrtanja h (slika 3.21) tj: r

M 0F = F h

Slika 3.21 Vektorsko predstavljanje momenta

Momentno pravilo (Varinjonova teorema)Moment rezultante ravnog sistema sila jednak je zbiru momenata komponenata u odnosu na istu proizvoljnu taku O (slika 3.22).

M 0FR = M 0F1 + M 0F2 + K + M 0Fn odnosno Fr hr = F1 h1 + F2 h2 + K + Fn hn

r

r

r

r

Slika 3.22 Odreivanje momenta rezultante ravnog sistema sila - 130 -

Spreg silaSpregom sila ( F 1 i F 2 ), koje djeluju na kruto tijelo, naziva se sistem od dvije paralelne sile F 1 i F 2 istih intenziteta, a suprotnih smjerova (slika 3.23). Spreg sila vri obrtno kretanje krutog tijela. Intenzitet sprega predstavlja proizvod intenziteta jedne sile sprega F 1 i kraka sprega d. Moment sprega ne zavisi od izbora obrtne take tijela.

Slika 3.23 Spreg sila Sistem spregova sila koje djeluju na kruto tijelo mogue je zamijeniti jednim rezultujuim spregom sila koji djeluje u istoj ravni i iji je moment jednak algebarskom, zbiru momenata komponentnih spregova, tj. Mr = M1+M2+...+Mn

Uslovi ravnotee proizvoljnog ravnog sistema silaDa bi proizvoljan ravan sistem sila bio u ravnotei potrebno je i dovoljno da glavni vektor F R i glavni moment Mo budu jednaki nuli, tj:n r r FR = Fi = 0 i =1

r M

r Fr o

n r r = M oFi i =1

odnosno

F F M

xi yi

=0 =0 =0

Fi o

- 131 -

Zadatak 1: Odrediti silu F (slika 3.24), potrebnu da odri u ravnotei teret teine G=10kN, ako je: a=30cm b=9cm F A Rjeenje:

MF=

FiA

=0a b

F a G b = 0 G b 10 9 = a 30 F = 3[kN ]

G

Slika 3.24

Zadatak 2:Kvadratna ploa (slika 3.25) dimenzija a = 20cm, teine G =2kN, oslonjena je na zglobni nepokretni oslonac nepokretni oslonac A, a u ravnotei se odrava pomou tapa BC. Odrediti reakcije veze.

C

B

F CB

a

G A

G

F XA F YA

Slika 3.25 Rjeenje:

F F

x

= 0 FCB FXA = 0= 0 G + FYA = 0

(1) (2)

FYA = G = 2[kN ]FiA

y

MFCB

= 0 FCB a + G

a =0 2

G = = 1[kN ] 2

(3)

iz jednaine (1) slijedi

FXA = FCB = 1[kN ]

- 132 -

ZADACI ZA VJEBU 1. Odrediti silu F (slika 3.26), potrebnu da odri u ravnotei teret teine G=10kN, ako je: a=40cm F b=10cm A (Rjeenje: F=2 kN)a b

GSlika 3.26 2. Kvadratna ploa (slika 3.27) dimenzija a = 40cm, teine G =10kN, oslonjena je na zglobni nepokretni oslonac nepokretni oslonac A, a u ravnotei se odrava pomou ueta BC. Odrediti reakcije veze.

C

30

B

a

G(Rjeenje: FAX=3,16 kN; FAY=8,17kN; FBC=3,66kN) Slika 3.27

A

- 133 -

3.5 RAVNI NOSAINosaem se zove svako kruto tijelo koje je vezano za nepominu podlogu i optereeno silama. Zavisno od rasporeda dejstva sila, nosai mogu biti ravni i prostorni. Kod ravnih nosaa sile i osa nosaa lee u jednoj ravni. U protivnom radi se prostornim nosaima. Ravni nosai se dijele na: pune (slika 3.28), i reetkaste(slika 3.29).

Slika 3.28 Puni ravni nosa

Slika 3.29 reetkasti nosa

Punim nosaem ili gredom zove se svako kruto tijelo koje je oslonjeno na dva oslonca, od kojih je jedan pokretan, a drugi nepokretan. Ako je ta veza ostvarena samo na jednom mjestu, onda se ona izvodi ukljetenom (slika 3.30), a takvi nosai nazivaju se konzole.

Slika 3.30 Konzola Na nosa mogu da djeluju koncentrisane i kontinualne sile (slika 3.31). Koncentrisanim silama zovu se sile koje djeluju na zanemarjlivo maloj duini u odnosu na ukupnu duinu, pa se za takve sile kae da djeluju u taki. Kontinualne sile su optereenja koja djeluju na izvjesnoj duini nosaa. One mogu biti jednolike i nejednolike. Karakteristika jednolikih kontinualnih optereenja je specifino optereenje q[KN / m] dok je kod promjenljivog optereenja specifino optereenje promjenljivo i zavisno od apscise, tj. q = f(x) Sile koje djeluju na nosa, kao kod svih drugih krutih tijela, mogu se podijeliti na vanjske i unutranje. Vanjskim silama (slika 3.32) zovu se sva optereenja nosaa i reakcije oslonca. Unutranjim silama (slika 3.33) zovu se sile kojima se nosa suprostavlja vanjskim silama da ne bi dolo do njegove nedozvoljene deformacije i loma.

- 134 -

Slika 3.31 Dejstvo koncentrisanih i kontinualnih sila na nosa

Slika 3.32 Vanjske sileU unutranje sile spadaju: aksijalne (uzdune) sile (Fa ) transverzalne (poprene) sile (Ft) napadni momenti ili momenti savijanja (MF)

Slika 3.33 Unutranje sileTransverzalna sila (Ft)u nekom poprenom presjeku p-p jednaka je algebarskom zbiru projekcija svih sila koje djeluju na nosa lijevo ili desno od uoenog presjeka na osu upravnu na uzdunu osu nosaa. Sa obje strane presjeka, transverzalne sile su istog intenziteta samo suprotnog smjera (predznaka). Da bi one u svakom presjeku imale isti predznak bez obzira sa koje se strane raunale, konvencionalno je usvojeno da su transverzalne sile sa lijeve strane presjeka pozitivne ako su usmjerene na vie, a negativne ako su usmjerene na nie i obrnuto ako je u pitanju desna strana presjeka. - 135 -

Aksijalna sila (Fa) u nekom poprenom presjeku p-p jednaka je algebarskom zbiru projekcija svih sila koje djeluju na nosa lijevo ili desno od uoenog presjeka na uzdunu osu nosaa. Da bi one u svakom presjeku imale isti predznak konvencionalno je usvojeno da su one pozitivne ako vre zatezanje nosaa, a negativne ako ga pritiskuju. Moment savijanja (M f ) u nekom poprenom presjeku p-p jednak je algebarskom zbiru momenata svih sila koje djeluju na nosa lijevo ili desno od uoenog poprenog presjeka. Da bi moment savijanja u svakom presjeku nosaa imao isti predznak, bez obzira sa koje se strane rauna, konvencionalno je usvojeno da je on pozitivan sa lijeve strane, ako tei da obrne lijevi dio u smjeru kazaljke na satu, a sa desne strane on je pozitivan, ako tei da obrne desni dio u suprotnom smjeru od obrtanja kazaljke na satu.

Statiki dijagrami unutranjih silaZa proraun nosaa neophodno je da se znaju promjene unutranjih sila ne samo u jednom presjeku, nego u svim presjecima du nosaa. Radi toga se na osnovu analitikog prorauna crtaju statistiki dijagrami unutranjih sila u mjerilu. Prilikom crtanja dijagrama treba voditi rauna da se prvo crtaju transverzalne sile, zatim momenti i na kraju aksijalne sile.

- 136 -

ZADACI: Zadatak 1:Za nosa prikazan na slici 3.34 odrediti reakcije oslonaca i nacrtati statike dijagrame ako je: F = 5 [KN] a=5mA a a F B

60

Rjeenje (slika 3.35):

Slika 3.34

UL =

1m 2 KN 5 KNm ;U F = ;U M = 1cm 1cm 1cmF

F AX A F AY a a

B F BY

FAY

FV FBY

FAX

Slika 3.35 a) Proraun reakcija oslonaca

Fx

i

= 0 FAX + F cos 60 = 0

FAX = F cos 60 = 5 FAX = 2 ,5[KN ]

1 2

- 137 -

F

yi

= 0 FAY + F sin 60 + FBY = 0 FAY = F sin 60 FBY = 0 FBY 2 a F sin 60 a = 0

M

A

FBY =FBY

F sin 60 a = 2a = 2 ,15[KN ] 3 2 ,15 2 = 2 ,15[KN ]

5 2

3 2

FAY = 5 FAY

b) Proraun transferzalnih silal Ft 1 = FAY = 2 ,15[KN ] l Ft 2 = FAY F sin 60 = 2 ,15[KN ]

d Ft 3 = FBY = 2 ,15[KN ]

c) Proraun momenata savijanja

Mf 1l = 0[KNm] Mf 2l = FAY a = 2 ,15 5 = 10 ,75[KNm ] Mf 3d = 0[KNm ]d) Proraun aksijalnih silal Fa1 = FAX = 2 ,15[KN ] l Fa 2 = FAX F cos 60 = 0[KN ]

- 138 -

Zadatak 2:Za nosa prikazan na slici 3.36 odrediti reakcije oslonaca i nacrtati statike dijagrame ako je: F 1 = 4 [KN]

F 2 = 2 [KN] F 3 = 1 [KN] a=2m Rjeenje (slika 3.37):A

60

F1

F2 B

F3

45

a

a

a

a

Slika 3.36

UL =

1m 2 KN 2 KNm ;U F = ;U M = 1cm 1cm 1cm60

F12

F23 4 5

F3 B

45

F AX 1 A

F AY a

a

a

F BY a

F AY

F1Y

FtF2 F BY

F3Y

Mf

F AX

F 1X F 3X

Fa

Slika 3.37 a) Proraun reakcija oslonaca

Fx

i

= 0 FAX + F1 cos 60 F3 cos 45 = 0

FAX = F1 cos 60 F3 cos 45 = 4 FAX = 1,3[KN ]

1 2 1 2 2

- 139 -

F M

yi

= 0 FAY F1 sin 60 F2 + FBY F3 sin 45 = 0 = 0 FAY 3a F1 sin 60 2 a F2 a + F3 sin 45 a = 0

B

FAYFAY

4 F1 sin 60 + 2 F2 2 F3 sin 45 = = 6 = 2 ,73[KN ] 3 2 + 2 + 1 2 2

44

3 2 + 2 2 2 1 2 2 6

FBY = FAY + F1 sin 60 + F2 + F3 sin 45 FBY = 2.73 + 4 FBY = 3 ,43[KN ]

b) Proraun transferzalnih sila

l Ft 1 = FAY = 2 ,73[KN ]

l Ft 2 = FAY F1 sin 60 = 2 ,73 4

3 = 0 ,73[KN ] 2 3 l Ft 3 = FAY F1 sin 60 F2 = 2 ,73 4 2 = 2 ,73[KN ] 2 2 d Ft 4 = F3 sin 45 FBY = 1 3,43 = 2 ,73[KN ] 2 2 d Ft 5 = F3 sin 45 = 1 = 0 ,7 [KN ] 2

c) Proraun momenata savijanja

Mf 1l = 0[KNm] Mf 2l = FAY a = 2 ,73 2 = 5 ,46 [KNm ] Mf 3l = FAY 2a F1 sin 60 a = 2 ,73 4 4 Mf 4d = F3 sin 45 a = 1 3 2 = 4[KNm ] 2

Mf 5d = 0[KNm]d) Proraun aksijalnih silal Fa1 = FAX = 1,3[KN ]

2 2 = 1,41[KNm ] 2

l Fa 2 = FAX F1 cos 60 = 1,3 2 = 0 ,7 [KN ]

- 140 -

ZADACI ZA VJEBU 1. Za nosa prikazan na slici 3.38 nai reakcije oslonaca i nacrtati statike dijagrame, ako je: F = 5 [KN] a = 5 [m]60

F A a

F

(Rezultat: FAX =0; FAY =FBY =4,3 KN) 2. Za nosa prikazan na slici 3.39 nai reakcije oslonaca i nacrtati statike dijagrame, ako je: F1 = 4 [KN] F2 = 2 [KN] F3 = 1 [KN]F1 A 3m 2m 2m 1m30

(Rezultat: FAX =1,73 KN; FAY = 3 KN; FBY = 3 KN)

60

B a a

Slika 3.38

F2

F3 B

Slika 3.39

- 141 -

4.0 OTPORNOST MATERIJALA4.1 PREDMET PROUAVANJAOtpornost materijala prouava ponaanje vrstih deformabilnih tijela pod dejstvom spoljanjeg optereenja. Pri tome je potrebno utvrditi uslove koji moraju biti ispunjeni da ne doe do trajne deformacije tijela ili do njegovog loma, pod djelovanjem spoljanjeg optereenja. Naime, uslijed djelovanja spoljanjeg optereenja, vrsta tijela se nalaze u napregnutom stanju, pa se u izvjesnoj mjeri deformiu. Ako deformacije ne preu izvjesnu granicu (granica elastinosti), po prestanku dejstva spoljanjeg optereenja, ona e se vratiti u prvobitno stanje, jer sva vrsta tijela, za razliku od krutih, imaju manju ili veu osobinu elastinosti. Kakve e deformacije vrstog tijela nastupiti, zavisi od uticaja spoljnjeg optereenja, koje moe biti sila, moment ili spreg. Zavisno od naina njihovog djelovanja, moe nastupiti pet osnovnih naprezanja: aksijalno smicanje savijanje uvijanje izvijanje Pri tom se pokazalo, da veliina deformacije, kada se nosai opterete razliitim vrstama spoljanjeg optereenja (ista sila i materijal), kod aksijalnog optereenja i smicanja zavisi od veliine poprenog presjeka, dok kod uvijanja i savijanja, pored veliine poprenog presjeka, veliina deformacije zavisi od oblika i poloaja oblika poprenog presjeka u odnosu na ose, odnosno od geometrijske karakteristika poprenog presjeka (slika 4.1).

Sl.4.1

Geometrijske karakteristike za presjeke koji se najee pojavljuju u praksi, izraunate su i date u tabeli 4.1. - 142 -

Tabela 4.1. Geometrijske karakteristike presjeka koji se najee pojavljuju u praksi

- 143 -

Tabela 4.1. (Nastavak)

- 144 -

4.2 ISTEZANJE I PRITISAKAko na tap djeluju sile po njegovoj uzdunoj osi, tada se kae daje on izloen aksijalnom naprezanju. U tom sluaju u tapu e se pojaviti normalni napon koji se rauna na osnovu:

=

F A

Zavisno od smjera dejstva sila, tap moe biti izloen istezanju (slika 4.1a) ili pritisku (slika 4.1b).

Slika 4.1 Aksijalno naprezanje: a) istezanje, b) pritisak Ukoliko je tap izloen istezanju, njegova duina e se uveati za L, ili ako je izloen pritisku njegova duina e se smanjiti za L. Pri tom se L proraunava na osnovu:

L =

FL gdje su: EA

F aksijalne sile L duina tapa A povrina poprenog presjeka E modul elastinosti materijala ( E = 2 ,1 10 7 N / cm 2 za elik) Prilikom dimenzionisanja tapova, optereenih na aksijalno naprezanje, neophodno je uspostaviti odnos izmeu normalnih napona u poprenom presjeku i spoljanjeg optereenja. Pri tom, dozvoljeni napon na istezanje (de) i dozvoljeni napon na pritisak (dc) trebaju bitivei ili jednaki odgovarajuem proraunatom normalnom naponu, tj: de e , odnosno

dc cili

de

dc

FN A m2 FN 2 , a odatle zavisno od optereenja A m

- 145 -

A A

F

deF

dc

U izvjesnim sluajevima, deformacije mainskih dijelova mogu nastati bez dejstva spoljanjeg optereenja. To se deava u sluajevima toplotnih diletacija. Ako se te deformacije sprijee, dijelovi e biti napregnuti na pritisak ili istezanje. Izduenje tapova usljed poveanja temparature izraunava se na osnovu: L = Lt gdje je: koeficijent temparaturne dilatacije ( = 12,5 106 [C-1] za elik ) U tom sluaju normalni napon rauna se po:

= E = E

LL

= E

L tL

= E t ,

pa e aksijalna sila izazvana poveanjem temparature biti:

F = A = A E t

ZADACI: Zadatak 1:Na kraju tapa AB krunog poprenog presjeka, kao na slici 4.2 objeen je teret G. Odrediti naprezanje tapa, kao i pomjeranje takeB, ako je zadano: d = 24 mm G =50 kN FA l = 2m A

E = 2 ,1 10 4

kN cm 2

Rjeenje:

e =

F G 4 50 = 2 = A d 2 ,4 2 4 kN e = 11 2 cm Pomjeranje take B

Naprezanje tapa

l

d

B

GSlika 4.2

G

LB =

F l = EA

G l 500 200 4 = 2 d 2 ,1 10 4 2 ,4 2 E 4

LB = 0 ,1[cm]

- 146 -

Zadatak 2: Dimenzionisati tap kvadratnog poprenog presjeka kao na slici 4.3 , ako je optereen na pritisak silom F = 40 kN, a dc = 10 kN/cm2 . Rjeenje:

F e = dc A A F

A

B

Fa

dc

40 = 10

A4

A = a2a A a 2 usvaja se a = 2,1cm

FA

FSlika 4.3

Zadatak 3: Tramvajske ine zavarene su pri temparaturi +10C. Kololika je promjena normalnog napona, pri promjeni temparature od -30C do +50C, ako je

E = 2 ,1 10 7Rjeenje: t 0 = 10C t 1 = -30C t 2 = 50C

N a = 125 10 7 C 1 . 2 cm

[

]

= Et 1 = 2 ,1 10 7 125 10 7 ( 30 10 )

1 = 10000[N / cm 2 ] = 10[kN / cm 2 ] 1 = 2 ,1 10 7 125 10 7 ( 50 10 )Promjena napona iznosi

1 = 10000[N / cm 2 ] = 10[kN / cm 2 ] = 1 2 = 10 ( 10 )

= 20[kN / cm 2 ]

- 147 -

ZADACI ZA VJEBU 1. tap kvadratnog presjeka (slika 4.4) ukljeten je gornjim krajem, a na slobodnom izloen dejstvu aksijalne sile jaine 50kN . Odrediti veliinu poprenog presjeka tapa ako je dozvoljeni napon na istezanje de = 14kN/cm2.A

a

B

(Rjeenje: a = 1,9cm)

FSlika 4.4

2. elini tap promjenljivog kvadratnog poprenog presjeka optereen je na svojim krajevima sa dvije sile na istezanje (Slika 4.5). Izraunati ukupno izduenje tapa kao i naprezanje u svakom njegovom dijelu, ako je zadano: F = 50kN l = 60cm a = 7cm

E = 2 ,1 10 4

kN cm 2

Fa L L

F

2a

Slika 4.5 (Rjeenje:1 = 1,02kN/cm2; 2 = 0,26kN/cm2; l1=2,910-3cm; l2=7,2810-4cm; l=3,6210-3cm ) 3. Da li e tap kvadratnog poprenog presjeka, stranice a = 30mm (Slika 4.6), izdrati optereenje od F =81kN, ako je dc = 8 kN/cm2.

A

B

Fa

Slika 4.6 (Rjeenje:c = 9 kN/cm dc Nee izdrati optereenje.)2

- 148 -

4.3 SMICANJEZa tap se kae da je optereen na smicanje, ako na njegovu uzdunu osu okomito djeluju sile na meusobno bliskom rastojanju (slika 4.7).

Slika 4.7 Optereenje na smicanje Usljed djelovanja smiuih sila, u tapu e se pojaviti tangencijalni (smiui) naponi (). Oni se izraunavaju kao odnos sile (F) i presjeka tapa, koji je izloen smicanju (AS), tj:

=

F N As m 2

Ugaona deformacija (), u granicama vanosti Hukovog zakona iznosi:

=

G

gdje je: G Modul klizanja, i on iznosi G = 0,8107[N/cm2] za elik Da bi se izvrilo dimenzionisanje tapova optereenih na smicanje, neophodno je uspostaviti odnos izmeu tangencijalnih napona u porenom presjeku i spoljanjeg optereenja. Pri tom, dozvoljeni napon na smicanje ds, mora biti vei ili jednak proraunatom naponu na smicanje tj: ds pror . , odnosno

ds As

F , a odatle As F

dsF G

Ako su poznati i G, tada je:

As

Kako je kod elika dozvoljeni napon na smicanje za oko 20% nii od dozvoljenog napona na istezanje, to se dozvoljeni napon na smicanje esto proraunava na osnovu dozvoljenog napona na istezanje, tj: ds = 0,8de

- 149 -

ZADACI : Zadatak 1:Dva lima su spojena pomou zakovice krunog poprenog presjeka i optereena kao na slici 4.8. Izraunati naprezanje u zakovici, ako je: F = 30 kN d = 20 mm-prenik zakovice Rjeenje:F F

F As 30 30 = s = 4 3 ,14 4 kN s = 9 ,55 2 cm

s =

Slika 4.8

Zadatak 2:Proraunati prenik osovinice zgloba (slika 4.9) preko koga se prenosi sila jaine 5kN, ako je dozvoljeni napon smicanja ds = 600 N/cm2. Rjeenje:

F

s =

F ds As F 5000 As = = 8 ,3cm 2 ds 600 As = z A d 2 - povrina poprenog presjeka osovinice 4

z = 2 (broj ravni smicanja)

A=

FSlika 4.9