División Algebraica

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1com

I. OBJETIVOS ESPECFICOS:

Realizar la divisin de polinomios por losmtodos de Horner y Ruffini.

Resolver problemas que involucran divisinde polinomios.

II. PROCEDIMIENTOSA) INICIALES

Es muy frecuente realizar divisiones conexpresiones numricas en un camponumrico limitado. El hombre en su afnde tener un concepto abstracto de nmeroha establecido las expresiones algebraicasque constituyen las piezas fundamentalesdel lgebra.Siendo una de sus aplicaciones lasoperaciones con las expresionesalgebraicas, en las cuales manejamos consoltura y precisin las reglas adecuadas acada operacin.Ahora corresponde su turno a la divisinde polinomios, operacin que requiere deprocedimientos adecuados para obtener lodeseado.

B) DESARROLLO1. Divisin Algebraica

Operacin que se realiza entrepolinomios y que consiste en hallar dospolinomios llamados COCIENTE YRESIDUO, conocindose otros dospolinomios denominados DIVIDENDO YDIVISOR que se encuentran ligados porla relacin:

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x)

donde:D(x) : Dividendo Q(x) : Cociented(x) : Divisor R(x) : Resto

2. Propiedades de la Divisin

2.1 El grado del dividendo es mayor oigual que el grado del divisor.

Grado ( D(x) ) Grado ( d(x) )

2.2 El grado del cociente es igual al gradodel dividendo menos el grado deldivisor, o sea:

Grado (Q(x)) = Grado (D(x)) Grado (d(x))

2.3 El grado del Resto es menor o igualque, el grado del divisor disminuidoen la unidad, es decir:

Grado ( R(x) ) Grado ( d(x) ) - 1

Lo anterior nos indica que el gradomximo que puede adoptar el restoes uno menos que el grado deldivisor.

2.4 La relacin o propiedad fundamentalde la divisin en el lgebra forma unaidentidad.

D(x) = d(x) . Q(x) + R(x) ; x R

2.5 Si la divisin es exacta, el resto es unpolinomio idnticamente nulo.

D(x) d(x) . Q(x) R(x) 0

3. Principales Mtodos de Divisin

METODO DE WILLIAM G.HORNER

Pasos a seguir:

1) Coeficientes del dividendo ordenadodecrecientemente en una variable,completo o completado.

2) Coeficientes del divisor ordenadodecrecientemente en una variable,completo o completado, con signocontrario, salvo el primero.

3) Coeficientes del cociente que seobtienen de dividir la suma de loselementos de cada columna entre elprimer coeficiente del divisor. Cadacoeficiente del cociente se multiplicapor los dems coeficientes deldivisor para colocar dichosresultados a partir de la siguientecolumna en forma horizontal.

4) Coeficientes del residuo que seobtienen de sumar las columnasfinales una vez obtenidos todos loscoeficientes del cociente.

ESQUEMA GENERAL

1

2

3 4

LINEA DIVISORIA

La lnea divisoria se colocar separandotantos trminos de la parte final deldividendo como lo indique el grado deldivisor.

OBSERVACIN: Si la divisin origina uncociente exacto, entonces el residuo esun polinomio nulo (todos sus coeficientesson cero).Ejemplo:

Dividir :

4334

7652342567

yxy2yxx3

y2xy4yxyx6yx2yxx6

3 6 -1 +2 +6 0 -1 +4 +2

2 -1 +1 +3 -7 +2 +9 -1

-10

+2-1

-2 0 +4 -21 0 -2 +1

-1 0 +2 -1-3 0 +6 -3

x

Coeficientes del Coeficiente delResiduoCociente

La variable se agrega de acuerdo algrado del cociente y del resto, se tiene:Q(x ; y) = 2x3 - x2y + xy2 + 3y3

R(x ; y) =-7x3y4 + 2x2y5 + 9xy6 - y7

METODO DE PAOLO RUFFINISe utiliza para dividir polinomios y cuyodivisor es un binomio de primer grado dela forma: (ax+b).Tambin podra ser cualquier otro divisorque puede ser llevado o transformado ala forma antes mencionada.

Pasos a seguir:

1) Coeficientes del dividendo ordenadodecrecientemente, completo ocompletado con respecto a unavariable.

2) Valor que se obtiene para la variablecuando el divisor se iguala a cero.

3) Coeficientes del cociente que seobtienen de sumar cada columna,luego que el coeficiente anterior seha multiplicado por y colocado enla siguiente columna.

4) Resto de la divisin que se obtienede sumar la ltima columna.

DIVISIN ALGEBRAICA

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1comESQUEMA GENERAL

1

3 4

2

Ejemplo 01: Dividir :

2x1x5x11x7x2x3 2345

Por Ruffini :

3 -2 7 -11 +5 +1

3 4 15 19 43 87

+2 +6 8 30 38 86

x-2=0x=2

Residuo

Como : Grado (Q) =5 - 1=4, confeccionamosel cociente :

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43R(x) = 87

OBSERVACION: Si en el divisor (ax+b),a1 ; luego de dividir por Ruffini loscoeficientes del cociente deben dividirse entrea para obtener el cociente correcto.


1--x3

7+x8+x17x5+x3 234

Por Ruffini :

3 +5 -17 +8 +7

3 6 -15 +3 +8

1/3 1 +2 -5 +1

3x-1=0x=1/3

Resto

1 2 -5 +1

: 3

Coeficientes del cociente

Q =4 - 1=3 ; (Q nos indica el grado delcociente)Confeccionamos el cociente :

Q(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1 ; R = 8

OBSERVACION: Si el divisor es de la forma(axn+b), para proceder a dividir por Ruffinitodos los exponentes de la variable en eldividendo deben ser mltiplos del exponentede la variable del divisor. Luego de verificaresto, se procede como en los ejemplosanteriores.


7-

56-3-10

10203040

x2

57+xx47+x1x6

Solucin:

40, 30, 20, 10 son mltiplos de 10, entonces esposible aplicar el Mtodo de Ruffini.

6 -31 +47 -56 +57

6 -10 +12 -14 +8

7/2 21 -35 +42 -49

3 -5 +6 -7

: 2

2x -7=010

x =7/210

Q =40 - 10=30, los exponentes de la variableen el cociente disminuyen de 10 en 10.

Q(x) = 3x30 5x20 + 6x10 7R = 8

PRACTICA DE CLASE:01.Siendo Q(x) y r(x) el cociente y residuo

respectivamente que obtiene al dividir :

12x5 - x4 + 3x2 + 5 entre 3x3 + 2x2 - 1

Halle : Q(x) - r(x)

a) 0 b) 7x2 + 1 c) x2 - 5d) - x2 + 5 e) 1 - 7x2

02.Al dividir el polinomio :P(x) = 2x4 + x3 - 2x2 + 5x - 1 entre otropolinomio, el cociente que se obtuvo fue :Q(x) = 2x2 - x + 3 y el residuo 5. Culfue el divisor?

a) x2 + x b) x2 + x + 2 c) x2 +x - 2d) x2 - x - 2 e) x2 - x + 2

03.Encuentre a y b para que el residuo dela divisin :

1x3x4

baxx17x17x122

234

Sea : r(x) = 4x+1

a) a = - 4 ; b = 3 b) a = -8 ; b = 2c) a = 4 ; b = - 3 d) a=3 ; b = - 4e) a =1 ; b = 1

04.Calcular U + N + T, si la divisin :

3xx2

TNxUxx4x823

235

deja por resto : 3x2+2x+1

a) 20 b) 22 c) 24d) 28 e) N.A.

05.Calcular a . b . c, si el polinomio :x4+3x3+ax2+bx+c, es divisible por(x-1)(x+1)(x+2)

a) 2 b) - 2 c) 10d) 6 e) - 6

06.En el esquema de Horner :

Indicar el valor de:

a 8 6 9 1 qb m nc s p

11 224 5 11 22 32

indica el valor de:

cba qpnm

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

07.Hallar el cociente de :

bxbaax

bxbaxbaxbaax2

234

a) baxx 2 b) abxx 2 c) ax 2 d) 1x 2 e) bx 2

08.Hallar (a-b) si la divisin :

1x2x

1x2bxb6xa12xa32ax2

2345

da un cociente que evaluado en x = 2 es39.adems {a; b} Z+

a) 6 b) - 4 c) - 5d) - 1 e) - 6

09.Dar el valor de (p + q) si la divisin :

27

1x

qpxx

es exacta :

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

10.Dividir :2x

11x7x3x2x3 245

Dar como respuesta el coeficiente deltrmino cuadrtico del cociente :

a) 3 b) 4 c) 8d) 19 e) 45

11.Calcula: m, si la divisin, es exacta :

2x

2mx6x23x3x22x23456

a) 2 b) 2 c) 6

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1comd) 8 e) N.A.

12.Dividir :3x

4x5x28x32

248

E indique la suma de coeficientes delcociente:

a) - 12 b) - 11 c) - 10d) - 9 e) - 8

13.Divide : 15xx6x27 24 entre 3x-1 eindique un trmino del cociente.

a) 27x3 b) 9x2 c) - 3xd) 3x2 e) 15

14.Dividiendo por Ruffini :

8 c (c -2)

2

b 16 22 fa 11 d 32

Evaluar : K =ba

fdc

a) 1/4 b) 4 c) 2d) 1/2 e) 1

15.Luego de dividir :(10x5 - x4 + 3x3 + 17x2 + nx + 3) (5x+2)

Se sabe que el residuo es 5. Hallar : n

a) 4 b) 2 c) 1d) 3 e) - 1

16.Calcular el residuo de dividir :

12x

622x223x 35

a) 10 b) 9 c) 8d) 7 e) 3

17.Hallar la suma de los coeficientes delcociente de la divisin :

1nx

xn8n8x3n5xnn3nx 222324

Si el resto es 80

a) 10 b) 11 c) 13d) 15 e) 18

18.Calcular el resto de dividir :

2x

x63x3x2 67

a) 1 b) - 6 c) - 3d) 12 e) - 12

19.Calcula el resto en :

1x

8xx3x9x2x8x33

68172125

a) x2 - x+15 b) 7x2+4x+19 c) 6x2 -2x+7d) 11x2 + 5x - 1 e) N.A.

20.Calcular el valor de m, si el residuo dela divisin : x3 - mx2 + 7x - 1 entre (x - 2)es el triple del resto de dividir: x2 - (m + 2)x- 11 entre (x+2)

a) 3 b) 5 c) 17d) 27 e) 9

I. OBJETIVOS ESPECIFICOSDado un conjunto de ejercicios sobredivisin, calcular el residuo aplicandocorrectamente el Teorema del Resto.

II. PROCEDIMIENTOSA) InicialesEn la divisin algebraica se ha logradodeterminar el cociente y residuomanejando el mtodo adecuado para cadasituacin.Se presentan divisiones en la cual nossolicitan proporcionar slo el residuo eintentamos hallarlo aplicando losprocedimientos tanto de Horner y Rufini(segn como se presente el divisor).Muchas de las veces los trminos en ladivisin no tienen la forma que se requierepara aplicar tales mtodos.Es necesario entonces recurrir al estudiodel Teorema del Resto que nos permitirdeterminar el residuo en una divisin sinefectuarla.

B) Desarrollo1. Teorema del RestoSe utiliza para calcular el residuo en unadivisin sin tener que efectuar la operacin,se aplica cuando el divisor es un binomiode primer grado en la forma (ax+b) y enalgunos casos especiales.

Enunciado del Teorema del RestoEl residuo de dividir un polinomio Racionaly entero entre un binomio de forma(ax+b), es igual al valor que toma dichopolinomio cuando se reemplaza x por (-b/a) es decir:

P(x) ax+b Por definicin de divisin:

R Q(x) P(x) = (ax+b) Qx + R

Si: ax+b = 0, despejando x=ab

Luego:P(-b/a) = [a(-b/a) + b] Q(x) + RP (-b/a) = 0 + R

P (-b/a) = R

Entonces; para calcular el resto se iguala eldivisor a cero, se calcula el valor de lavariable (siempre que el divisor sea deprimer grado) y el valor obtenido sereemplaza en el dividendo.El resultado obtenido es el resto.

Ejemplo 01

Calcular el resto :2x

5x3x5

Solucin:Por el teorema del resto:x- 2 = 0 x = 2R = (2)5 + 3(2) 5 R = 33

Ejemplo 02

Calcular el resto:3x2

7x3x8xx2 234

Solucin:Por el teorema del resto:2x - 3 = 0 x = 3/2

R = 723

323

823

23

2234

R = 729

18827

881

R = 1129

8108

R =

1129

227

R = 9 11 R = -2

Ejemplo 03Hallar el resto en:

(3x60 5x45 + 3x30 2x15 + x5 + 7) : (x5 + 1)

TEOREMA DEL RESTO

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1comSolucin:Expresando el dividendo en funcin de x5,tenemos:

1)x(

7)x()x(2)x(3)x(5)x(35

5356595125

Por el teorema del resto:x5 + 1 = 0 x5 = -1

El valor obtenido para x5 lo reemplazamosen el dividendo, as:

R = 3(-1)12 5(-1)9 + 3(-1)6 2(-1)3 + (-1) +7

R = 3 + 5 + 3 + 2 1 + 7 R = 19

Ejemplo 04:Hallar el resto de:(5x7 4x6 + 5x4 3x3 + 2x2 5x + 7) : (x2 + 2)

Solucin:En este caso los exponentes del dividendono son mltiplos del exponente del divisor.Siendo el divisor de segundo grado, elgrado del resto ser de primer grado. (es elmximo valor que puede asumir).El procedimiento a seguir es el mismo queen el ejemplo anterior.Expresamos el dividendo en funcin de lapotencia x2 :

2x

7x5)x(2x)x(3)x(5)x(4x)x(52

22223232

Por el teorema del resto, igualamos eldivisor a cero y hallamos la potencia x2 :

x2 + 2 = 0 x2 = -2

Reemplazando en el dividendo tendremos:

R = 5(-2)3x 4(-2)3+5(-2)23(-2)x+ 2(-2)5x+7R = 5(-8)x 4(-8) + 5(4) + 6x 4 5x + 7R = -40x + 32 + 20 + 6x 4 5x + 7R = -39x + 55

Ejemplo 05Hallar el resto en:

6x5x

7)4x)(1x()5x5x(3)7x5x(2

412392

Solucin:Como el divisor es de la forma x2 + 5x +6, buscamos en el dividendo laspotencias de (x2 + 5x); as:

6x5x

74)x5x()5x5x(3)7x5x(2

2412392

Hacemos: x2 + 5x + 6 = 0 x2 +5x = -6,en el dividendo tendremos:

R = (-6+7)39 3(-6+5)41 + (-6) + 11R = 1 3(-1)41 6 + 11R = 1 + 3 6 + 11 R = 9

Ejemplo 06Hallar el resto luego de dividir:

12x7x

6)4x()3x(2

47100

Solucin:Factorizando el divisor:

x2 7x + 12 = (x-4)(x-3)

En toda divisin:D d . Q + R, reemplazando los datos:

(x- 3100) + (x- 47) + 6 = (x- 4)(x- 3) . Q(x) + R

2do. grado 1er. grado

(x-3)100+(x-4)47+6=(x-4)(x-3) .Q(x)+(ax+b), x

Si x = 3, se obtiene: 5 = 3 a + b . . . . . . (1)Si x=4, se obtiene: 7=4a + b . . . . . . (2)

Restando 2 1 : a = 2b = -1

Luego: R(x) = ax + b R(x) = 2x 1

Ejemplo 07Al dividir F(x) entre (4x2 9)(x+3); seobtuvo como residuo 2(x - 3)2. Hallar elresiduo de dividir F(x) entre (2x2 + 9x +9).

Solucin:F(x): (4x2-9)(x+3) R = 2(x - 3)2

Luego:F(x) =(4x2-9)(x+3).Q1 (x)+2(x- 3)

2 . . . . . ()F(x) : (2x2+9x+9) R = ? (primer grado)F(x) = (2x2+9x+9). Q2 + ax + b . . . . . ()

De () y () :

(2x+3)(2x-3)(x+3).Q1+2(x-3)2=(2x+3)(x+3).Q2+(ax+b)

Si x=-3/2,se obtiene: 81/2 = -3/2 a + b (-)Si x = -3, se obtiene : 72 = - 3 a + b

81/2 72 = -3/2 a + 3a81 144 = 3 a

-63 = 3 aa = -21 ; b = 9

Finalmente:R = - 21x + 9

PRACTICA DE CLASE

01.Hallar el resto :3x

11x7x8x2 24

a) 3 b) 16 c) 14d) 16 e) 18


1x4 355

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

03.Hallar a si el resto de la divisin es 7

1xax2x4 20

a) 3 b) 4 c) 5d) 7 e) 8

04.Hallar el resto en :

4x163x 20

a) 17 b) 12 c) 13d) 14 e) 18

05.Hallar a si el resto es 9 en :1x

ax3xx 23

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 8


4xxxx10

20908060

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 12


4xz

4xz5xz

2

2n22

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 18

08.Qu resto se obtiene al dividir :

2x7x

1578)2x)(4x)(5x)(3x(2

2

a) 15 b) 16 c) 19d) 24 e) 40

09.Hallar el resto de :

5x3x

14x6x24x3x6x3x4

4

45341024

a) 4 b) 24 c) 4d) 6 e) 2

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1com10.Hallar el resto de :

2x

7x5x2x3x5x4x52

23467

a) 55- 39x b) 39x + 55 c) 55x 39d) 55x + 39 e) 16x + 16


1x3x

10x93x33xx

2

222

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 180

12.Hallar el resto :

9x

38x8x8x 171920

a) 6 b) 7 c) 8d) 10 e) 60

13.Hallar el resto de dividir :

1xx

x1x2

1n22n

a) 1 b) 2 c) 0d) 7 e) 8

14 Hallar el resto en :

1xx

1xx2

48

a) 1 b) 0 c) 8d) 7 e) 16


4x3x

64x3x 1580

a) 2x + 1 b) 2x 1 c) 2x 3d) 2x + 3 e) 16

16.Hallar el resto de dividir :

7xx

)4x()1x()3x()2x(2

2nn

a) x + 1 b) 2x - 1 c) 3d) 4 e) 5

17.Hallar m.n, sabiendo que :(m-3)x49 + (m-12)x32 - nx27 + nx6 + 3

es divisible entre :(x2 + 1)

a) 6 b) -3 c) 12d) 18 e) -18


6x

46x7x 1620

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 10

19.Hallar el resto :

1x7x

n133n581

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 7


1x

1xxx5x4x3x23

346710

a) 11x+1 b) 11x+3 c) 11x+6d) 10x+5 e) 11x+2

La Divisibilidad Algebraica tiene por objetivodeterminar polinomios que no se conocenrestos en divisiones donde el teorema del restono se puede aplicar directamente.Para estudiar la divisibilidad algebraica,necesitaremos conocer los siguientes teoremaso principios fundamentales:

I. Si un polinomio D(x) es divisible entre otropolinomio d(x), entonces existe otropolinomio Q(x) tal que:

(x)(x)(x) Q.dD

Cuando dos polinomios son divisibles,entonces el resto es nulo (CERO) R(x) = 0

II. Si, P(x) es divisible entre (x a), entonces:P(a) = 0 si, P(x) es divisible entre (x + b),entonces: P(-b) = 0

III.Si, P(x) es divisible independiente por (x a), (x b) y (x c), entonces P(x) es divisiblepor el producto: (x a) (x b) (x c)Es decir:Si: P(x) (x a) r = 0

P(x) (x b) r = 0P(x) (x c) r = 0

Entonces:

)cx)(bx)(ax(P(x) r 0

NOTA:Tambin se cumple el proceso inverso,es decir si un polinomio P(x) es divisiblepor el producto (x a) (xb) (x c)entonces, P(x) es divisible por cada unode sus factores.

IV. Si al dividir un polinomio P(x) entre variasexpresiones por separado nos da un mismoresto entonces al dividir dicho polinomioentre el producto de ellas nos arrojarcomo resto dicho resto comn.

As:Sea P(x) un polinomio cualquiera y:

P(x) (x + a) r = RP(x) (x + b) r = RP(x) (x + c) r = R

Entonces:

0rc)(xb)a)(x(xP(x)

AMIGO LECTOR:

Recuerde que para determinar la suma decoeficientes de un polinomio entero en x,por decir P(x) se hace:

(1)PescoeficientdeSuma

Y, para determinar el trmino independientede dicho polinomio se hace:

(0)PnteIndependieTrmino

Ejemplo # 1Al dividir un polinomio P(x) se 3er. Gradoseparadamente entre (x 1), (x + 2) y (x 3)resulta como residuo en los 3 casos igual a 3.Si al dividir P(x) entre (x + 1) se obtiene comoresiduo 19, calcular el residuo de dividir P(x) (x 2).

Solucin:

* Dato: P(x) es de 3er. Grado.

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1comDel enunciado:P(x) (x 1) R(x) = 3P(x) (x + 2) R(x) = 3P(x) (x 3) R(x) = 3

Por el principio fundamental # III decimosque:

3R

3x2x1x

P)x(

)x(

* Por Identidad:

P = (x-1) (x+2) (x-3) Q + 3(x) (x)

LO LLAMAREMOS "a"

TERCER GRADO GRADO CEROTERCER GRADO

P(x) = (x 1) (x + 2) (x 3) a + 3 .............. (I)

* Adems:x + 1 = 0 x = - 1Dato: P(-1) = (-2) (1) (-4) a + 3

19 = 8a + 3

16 = 8a

a = 2 ........................................ (II)

* Reemplazando (II) en (I):P(x) = (x 1) (x + 2) (x 3) 2 + 3

* Nos piden calcular el residuo de dividir:

2xP )x(

R(x) = P(2) = (2-1)(2+2)(2-

3)2+3

R(x) = -8 + 3 = -5 R(x) = -5

PRACTICA DE CLASE:01.Hallar m sabiendo que:

P(x) = 2mx4 mx3 + 6x 24 es divisible

entre: 2x2 x + 4

a) 4 b) 3 c) 6d) 7 e) 2

02.Determinar M y N de manera que elpolinomio:x4 + 2x3 7x2 + Mx + N sea divisibleentre x2 3x + 5

a) 14 y 13 b) 15 y 16 c) 13 y 12d) 16 y 15 e) N.a

03.Qu valor debe tener k para que elpolinomio:

P(k)=x6+2x5 + kx4 x3 + 2(8 + k)x2 + 6x 18,sea divisible por x3 + 2x2 3

a) 2 b) 2 c) 3d) 3 e) 4

04.Si al dividir: 12x4 + Mx3 + Nx2 + 25x 15entre un polinomio de segundo grado, seobtuvo como cociente 4x2 + 3x 2 ycomo residuo 6x 5. Calcular M + N

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

05.Hallar un polinomio de cuarto grado envariable x, que d como residuo 2x aldividirlo por (x-1)2 y d como residuo 3x aldividirlo por (x-2)3.

a) (x-3)3 (3x+1) + 2b) (x-2)2 (4x+3) + 3xc) (x-2)3 (4x 3) + 3xd) (x 2)3 (3x + 1)+ 2xe) N.a

06.Encontrar el valor de K para que elpolinomio: x3 + y3 + z3 + (k 9) x y z,sea divisible por x + y + z.a) 1 b) 3 c) 6

d) 5 e) 4

07.Al dividir un polinomio P(x) entre elproducto (x+1) (x-2) (x+3) el restoobtenido es x2 5x+1. Encontrar culesson los restos que se obtiene al dividir P(x)entre x + 1 ; x-2 ; x+3

a) 7; -3 ; 12 b) 14; 13; -15c) 13; 12; 15 d) 8; 13; 15e) 7; -5; 25

08.Al dividir un polinomio P(x) entre (x+3) seobtuvo por residuo 5 y un cociente cuyasuma de coeficientes es igual a 3.Encontrar el residuo de dividir P(x) entre (x1).

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

09.Un polinomio de cuarto grado es divisibleentre (x+2) tiene raz cuadrada exacta. Aldividirlo entre (x 2) y (x + 1) los restosobtenidos son iguales a 16. Calcular lasuma de sus coeficientes.

a) 36 b) 37 c) 38d) 39 e) N.a

10.Determinar un polinomio P(x) de quintogrado que sea divisible entre (2x4 3) yque al dividirlo separadamente entre (x+1)y (x-2) los restos obtenidos seanrespectivamente 7 y 232.

a) 12x5 3x4 15x + 6b) 10x5 4x4 + 15x + 6c) 12x5 4x4 15x + 6d) 10x5 4x4 15x+7e) 10x5 3x4 15x + 6

11.Encontrar un polinomio P(x) de tercer gradosabiendo que al dividirlo separadamenteentre (x+3), (x+2) y (x-5), se obtenga

siempre el mismo residuo (- 6) y al dividirloentre (x + o1) el resto sea (- 42).

a) 3x2 57x 95 b) 3x3 + 57x 95c) x3 + 57x 96 d) 3x3 57x 96e) 3x3 + 57x 59

12.Un polinomio entero en x de tercergrado se anula para x = 7 y para x = -3 yel dividirlo entre (x 10) da como residuo39 si el primer coeficiente del polinomio es3.Hallar el resto al dividirlo entre (x 8).

a) 52 b) 53 c) 54 d) 55 e) 56

13.Un polinomio de grado n y variable x esdivisible entre (xn-1 + xn-2+1) y tiene portrmino independiente 2. Adems dichopolinomio disminuido en 9 es divisibleentre (x 1) y disminuido en 388 esdivisible entre (x 2). Calcular el valor den.

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

14.Cul es la suma de coeficientes de unpolinomio P(x) si se sabe que es mnico yde tercer grado, siendo divisible entre (x-2)(x+1) y carece de trmino cuadrtico.

a) 2 b) 5 c) 4d) 8 e) 3

15.El siguiente polinomio:P(x) = (x

2 n2) (x3 m3), se anula slo para4 valores diferentes de x. Calcular el restode dividir entre (x 2n)

a) 27n5 b) 29n5 c) 25n5

d) 24n5 e) 21n5

16.Al efectuar la divisin del polinomio P(x)entre (x2+1) se obtiene como residuo (x 2). El resto que se obtiene al dividir el cubodel polinomio P(x) entre x

2 + 1 es:a) x 11 b) x 2 c) 11x-2

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1comd) 11x-8 e) 11x + 2

17.Al dividir un polinomio P(x) entre (x2 + 2)se obtiene un cociente Q(x) y un resto (3x 1).Si Q(x) es divisible entre (x

2 x 6) el restode dividir P(x) entre (x+2) es:

a) 5 b) 5 c) 7d) 7 e) 6

18.Si el polinomio P(x) se anula para x = 1, x= 2, x = 3, adems es de cuarto grado ydivisible por (x 5), se pide calcular lasuma de coeficientes de P(x) si presentacomo primer coeficiente a la unidad.

a) 3 b) 4 c) 5d) 1 e) 0

19.Sealar la suma de coeficientes de unpolinomio en x, de tercer grado, que esdivisible por (x + 1) y al dividirloentre: (x 1), (x 2) y (x 4) presentaen cada caso el mismo resto 30.

a) 4 b) 2 c) 30d) 6 e) 7

20.Determinar el residuo de dividir unpolinomio P(x) entre: x

3+ x2 + x + 1siendo dicho resto divisible por (x 1),adems el polinomio disminuido en 2unidades es divisible por (x2+1). Sealecomo respuesta la suma de los cubos desus coeficientes.

a) 8 b) 3 c) 3d) 0 e) 8

1. Identificar las divisiones que originan uncociente notable.

2. Proporcionar el desarrollo del cociente deuna divisin notable.

3. Resolver ejercicios y/o problemas queinvolucren cocientes notables.

PROCEDIMIENTOSA. Iniciales

En el estudio de la divisin algebraica,hemos logrado hallar el cociente y elresiduo mediante la aplicacin correcta demtodos, tcnicas, procedimientos oalgoritmos.

Ante una determinada estructura de lasexpresiones algebraicas denominadosDividendo y Divisor, ahora! nos asistetratar con divisiones que por su forma oestructura las denominamos DIVISIONESNOTABLES, que originarn en sudesarrollo COCIENTES NOTABLES oINMEDIATOS.

B. Desarrollo1. Cocientes Notables

Reciben este nombre aquellos cocientesque se originan de divisiones queadquieren la forma:

axax nn

, n Z+

El desarrollo de estos cocientes sepuede escribir correctamente sinnecesidad de efectuar la divisin. Esimportante hacer notar que lostrminos de su desarrollo secaracterizan por que obedecen a unamisma ley de formacin, de la formageneral:

axax nn

Exponente comn

Bases

Podemos extraer las siguientes caractersticas:* El Dividendo y el Divisor deben ser

binomios, o cualquier otra expresin que sereduzca a ellos.

* Las bases estn indicadas en el divisor,debindose repetir en el dividendo.

* Los exponentes que afectan a las bases en eldividendo deben ser iguales y nos indicar elnmero de trminos que tendr en suexpansin el cociente notable.

2. Estudio de la Divisin NotableSe presentan 4 formas o casos distintosde divisiones notables, que lo vamos adeterminar combinandoadecuadamente los signos.

Primer Caso:

axax nn

Aplicamos el Teorema del Resto:

x a = 0 x = a

Reemplazamos en el Dividendo:

R = an - an R = 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresinorigina un cociente exacto. Luego el cocientees:

axax nn

= xn-1+ xn-2a+xn-3 a2 + . . . + x an-2 + an- 1

Segundo Caso:

axax nn

COCIENTE NOTABLES

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1comAplicando el Teorema del Resto:

x a = 0 x = a


R = an + an R = 2 an 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresinorigina un cociente completo o cociente mixto.Luego el cociente es:

axa2

axa...axaxxaxax n1-n2-n23-n2-n1-n

nn

Tercer Caso:

axax nn

Aplicamos el Teorema del Resto: x + a = 0 x = -a


R = (-a)n - an

Si n es un nmero parR = 0

Origina un cociente exacto.

Si n es un nmero imparR = -2 an 0

Origina un cociente completo.

Luego el cociente obtenido es:

Si n es un nmero par, ocupa lugar par

axax nn

= xn-1- xn-2a+xn-3 a2 - . . . + x an-2 - an-1

Si n es un nmero impar, ocupa lugar impar.

axa2

axa...axaxxaxax n1-n2-n23-n2-n1-n

nn

Cuarto Caso:

axax nn

Aplicamos el Teorema del Resto:

x + a = 0 x = -a


R = (-a)n+ an

Si n es un nmero par

R = 0

Origina un cociente completo.

Si n es un nmero impar

R = 2 an 0

Origina un cociente exacto.

Luego el cociente obtenido es:

Si n es un nmero par

axa2

axa..a.xaxaxxaxax n1-n2-n34-n23-n2-n1-n

nn

Si n es un nmero impar

1n2n34-n23-n2-n1-nnn

axa..a.xaxaxxaxax

Observaciones

Por lo expuesto anteriormente podemosconcluir:

Los divisores de la forma (x a) provocanun desarrollo cuyos signos son todospositivos.

Los divisores de la forma (x + a)provocan un desarrollo cuyos signos estnen forma alternada, as: + , - , + , - , . . . .

El primer trmino del cociente notable seobtiene dividiendo el primer trmino deldividendo entre el primer trmino deldivisor, obtenindose xn-1 .

A partir del segundo trmino deldesarrollo, el exponente de la primera basedisminuye de 1 en 1, mientras que aparecela segunda, cuyos exponentes aumentande 1 en 1 hasta (n-1).

El desarrollo es un polinomio homogneo.

3. Principio a cumplirse en una divisinnotable

rq

pm

ax

ax

Es divisin notable o inmediata si y slo si:

nrp

qm

Donde:n = Nmero de trminos del cociente.m, p, q, r R n Z+

De la divisin notable expuesta podemosconcluir: Los exponentes de x y a en el divisor

nos indicar la forma como aumentan odisminuyen los exponentes de las variablesmencionadas.

Si r > q, los grados absolutos deldesarrollo aumentarn de acuerdo a ladiferencia (r - q).

Si r < q, los grados absolutos deldesarrollo disminuyen de acuerdo a ladiferencia (q r).

Para ser ms objetivos veamos los siguientesejemplos:

Ejemplo No. 1

3025320615910125151853

3521aaxaxaxaxaxx

ax

ax

G.A. 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30

Ejemplo No. 2

15124986123162034

1824aaxaxaxaxx

ax

ax

G.A. 20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

4. Frmula del Trmino General delDesarrollo de los Cocientes Notables

Es una frmula que nos permite encontrar untrmino cualquiera en el desarrollo de los

cocientes notables, sin necesidad de conocerlos dems:

Para una divisin de la forma:

1n2n23n2n1nnn

axa...T...axaxxaxax

1 2 3 k n-1 n

Tk = Signo xn-k ak-1

El signo del trmino buscado depender de laforma del divisor y del lugar:

* Cuando el divisor es de la forma (x- a)entonces, el signo del trmino buscado serpositivo (+).

* Cuando el divisor es de la forma (x + a)entonces, el signo del trmino buscadoser:(-) Si el lugar que ocupa es PAR.(+) Si el lugar que ocupa es IMPAR.

Ejemplos Ilustrativos

Ejemplo 1.-Hallar el octavo trmino del desarrollo de:

65

7260

yx

yx

Resolucin:Tk = Signo x

n-k ak-1

Como el divisor es de la forma (x + a) y eltrmino ocupa lugar Par, entonces el signoser negativo (-).

T8 = -(x5)12-8 (y6)8-1

T8 = -x20 y42

Ejemplo 2.-Calcular el valor de n en:

3n21n

n54n4

yx

yx

www

com

.

.

M

atematica1

www.Matematica1.com www.youtube.com/Matematica1comPara que sea un cociente notable.

Resolucin:

3n2n5

1n4n4

3n2n5

)1n()1n(4

8n 12 = 5n3n = 12

n = 4

Ejemplo 3.-Si el grado del octavo trmino del cocientenotable

1x

1x3

n

Es 12, hallar el nmero de trminos de sudesarrollo.

Resolucin:

Nmero de trminos ser: n/3

24n1883n

38 x)1()x(T

Luego: n 24 = 12

n = 36

Luego, el nmero de trminos ser 12.

Ejemplo 4.-Qu lugar ocupa en el desarrollo del cocientenotable, el trmino cuyo grado absoluto es252?

74

280160

yx

yx

Resolucin:Hallemos el trmino que ocupa el lugar kque cumpla la condicin dada.

1-k7k-404k )(y)(xT

G A TK = 160 4k + 7k 7 = 3k + 153

Por dato del problema: G.A.TK = 2523k + 153 = 252

k = 33

PRACTICA DE CLASE:01.En el desarrollo de:

915

2745

ax

ax

hay un trmino de grado 24, la diferenciade los exponentes de x y a es:

a) 7 b) 24 c) 5d) 6 e) Ninguno

02. Cul de las siguientes divisiones no generaun cociente notable?

a)22

1010

yx

yx

b)

56

1012

yx

yx

c)

75

3525

yx

yx

d)43

2015

yx

yx

e) N.A.

03.Calcular el nmero de trminos delcociente notable:

32

m3n2

yx

yx

si se cumple que: T20 . T30 = x100 y144

a) 100 b) 150 c) 50d) 30 e) 60

04. Dar el nmero de trminos del cocientenotable:

22

nn

yx

yx

si el penltimo trmino es: x2 y82

a) 42 b) 82 c) 86d) 43 e) 45

05.Calcular: (256 - 1) : 624

a) 390 001 b) 390 251 c) 391 251d) 391 250 e) 391 249

06.El nmero de trminos que tiene elsiguiente desarrollo de:

54

n5n4

yx

yx

sabiendo que el t(5) tiene grado absoluto32, es:

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) N.A.

07.Hallar m y n para que el trmino 60del cociente:

n4m2

n296m148

ba

ba

; sea a56 b708

a) m = 2 b) m = 3 c) m = 3n = 2 n = 2 n = 3

d) m = 2 e) N.A.n = 3

08.Dado la siguiente divisin notable

ba

180120

yx

yx

Calcular la suma de las

cifras de ab sabiendo que los gradosabsolutos de los trminos de su desarrolloaumentan de 3 en 3.

a) 10 b) 9 c) 8d) 54 e) 44

09. x12 + x9 + x6 + x3 + 1 es el desarrollode:

a)1x

1x3

12

b)

1x

1x3

12

c)

1x

1x3

15

d)1x

1x3

15

e)

1x

1x3

15

10. En el cociente de:

35

63105

ba

aa

el grado del trmino que ocupa el lugar ksupera en 8 al grado del trmino de lugark contado desde el ltimo. Calcular k . k.

a) 9 b) 81 c) 100d) 15 e) 36

11. De:

I.axax n2n2

II.axax 1n21n2

III.axax 2n22n2

Con n Z+, son exactos:a) Slo I b) Slo I y II c) I, II y IIId) Slo II y III e) Ninguno

12. Si xm-96 y14 es el octavo trmino deldesarrollo del cociente notable:

qp

24m

yx

yx

; calcular (m + p + q).

a) 124 b) 144 c) 168d) 158 e) N.A.

13. En el cociente notable de:

75

ba

yx

yx

Calcular a+b si el trmino quinto es: xc

yd, adems d - c = 3.

a) 70 b) 100 c) 120d) 130 e) 140

14. En el desarrollo del cociente notable de:

www

com

.

.

M

atematica1


32

ba

yx

yx

hay un trmino cuyo grado es el doble delnmero de trminos. Qu lugar ocupaeste trmino?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

15. Calcular el valor numrico del trminocentral del cociente notable:

)()()(

22

100100

yxxy8

yxyx

para x = 3, y = 2 2

a) 3-2 2 b) 2 2 c) 2

d) 1 e) 3+2 2

16. En el cociente notable de:

22

5050

b2a2

baba

)()(

Qu valor adquiere el trmino centralpara:

a =2

2x 48; b =

22x 48

a) 2 b) 1/2 c) 2

d) 24 2 e) 48 2

17. Efectuando:23

1015

yy

yy

el nmero de trminos enteros es:

a) 6 b) 2 c) 4d) 3 e) 5

18.Hallar el nmero de trminos que tendr elcociente notable:

5n29n2

50m510m5

yx

yx

a) 12 b) 13 c) 14d) 15 e) N.a.

19.Encontrar la suma algebraica de todos lostrminos del desarrollo del cociente:

15823

1aa a2

Sabiendo que es exacto:

a) 25 b) 32 c) 128d) 96 e) 48

20. Encontrar el nmero de trminos de:

. . . . - x108 y55 + x99 y60 - . . . .

sabiendo que es el desarrollo de uncociente notable.

a) 12 b) 22 c) 24d) 21 e) 23

PRACTICA DE FIJACIN DEAPRENDIZAJE:

01.Determine al dividir:

1x2x

6x6x9x7x2

3456

Determine la suma de los coeficientes delcociente obtenido

a) 0 b) - 7 c) 2d) - 1 e) 5

02.Si dividimos:

1bxax

1bxx)7a(x6x22

234

; {a; b} Z

obtendremos como cociente y residuopolinomios no constantes mnicos decoeficientes reales; adems se sabe que elresiduo es un monomio halle: a + b

a) 13 b) 11 c) 15d) 9 e) 10

03.El resto de la divisin:

3xx2

9x8AxBxAx2

234

Es el polinomio R(x) = 3x - 3.

Calcule 3 B3A

a) - 1 b) 0 c) - 2d) 3 e) N.A

04.En la siguiente divisin:

3x

2xx3 1n

La suma de coeficientes del cociente es1093, calcular n

a) 3 b) 6 c) 7d) 8 e) 5

05.Halle el resto de la siguiente divisin:

5xx

)3x()1x()2x()3x()2x(2

2233

a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77d) x+11 e) - 31x -77

06.Halle el resto:

)2x)(1x(x1x10

a) 611 2x - 610x+1 b) 610 2x - 611x - 1

c) 610 2x +611x+1 d) 511 2x - 510x - 1

e) 611 2x - 1

07.Halle el resto en:

)1x)(1x()1x....()1x()1x()1x( n21n243322

Siendo n N

a) 1 - x b) 1 + x

c) )x1)(14(32 n d) )1x)(14(

23 n

e) 0

08.Halle el resto en la siguiente divisin:

)x1)(x1(

x....xxx12

1n432

a) 0 b) 1 - x c) 1 + x

d) 1 + 2x e) 2x - 1

09.Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) yluego entre (x - 2) se obtiene el mismoresto 4, adems p(x) es divisible entre (x -3). Calcular el trmino independiente p(x)si es de 3 y adems cp es 2.

a) - 1 b) - 3 c) - 12d) - 7 e) - 8

10.Sea p(x) un polinomio mnico de 3 si p(x)es divisible entre (x+2) y tambin entre

(x+3) y adems al dividir p(x) entre ( 2x -1) el resto es 17x+19. Calcular p(0)

a) 10 b) 17 c) 2d) 12 e) 6

11.Calcule m para que la divisin:

1xx

2m2nxx2

5

a) 5 b) 6 c)25

d) 10 e) 8

www

com

.

.

M

atematica1


12.Al dividir:1x2

1x2x16 4

se obtiene como

cociente :

dx35

cx2

4

bx1

3

a)x(q 23

halle a+b+c+d

a) 34 b) 30 c) 21d) 8 e) 50

13.Luego de dividir:

4)x7x(

)12x7x)(6x7x)(6x)(3x)(1x)(4x(22

22

Calcule la suma de los coeficientes delcociente obtenido

a) - 140 b) - 156 c) - 175d) - 144 e) - 136

14.Calcular a+b+c, si el resto de dividir:

3x5cxbxax 245 entre

2xxx2 23 es :

a) 18 b) 20 c) 15d) 19 e) 92

15.Halle el resto en la siguiente divisin:

2x2x

4xx)1x(2

4n

donde n = 4

a) x+2 b) - x + 1 c) - x - 1d) x+1 e) x - 1

www

com

.

.

M

atematica1

Documents

División Algebraica